551108_1 Tarea Intermedia 1 (1)

1 TAREA INTERMEDIA UNO UNIDAD UNO: LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL

LEIDYS MARCELA CUBILLOS MADERA C.C.1.100.399.790 ARTURO ELIAS ESTRADA GARCÍA C.C. 1.103.112.568 EDER ANTONIO FERNÁNDEZ DAVID C.C. 1.017.178.370 FRANCISCO JAVIER ROBLES TOUS C.C. 92.544.214 ROGER DANIEL VILLADIEGO GONZÁLEZ C.C. 1.003.157.780

GRUPO: 551108_1

TUTOR: JAIME JULIO BUELVAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2017

2

CONTENIDO Portada…………………………………………………………………………………….1 Contenido………………………………………………………………………………….2 Presentación……………………………………………………………………………….3 Objetivos…………………………………………………………………………………..4 Desarrollo de los ejercicios………………………………………………………………..5 Conclusiones……………………………………………………………………………..26 Referencias ………………………………………………………………………………27

3

PRESENTACIÓN El presente trabajo recoge el desarrollo de diferentes ejercicios que tienen que ver con pensamiento funcional y el lenguaje algebraico, que permitirán desarrollar nuestro pensamiento como un licenciado en matemáticas con grandes virtudes para la aplicación en contexto donde nos desenvolvamos. Del mismo modo es el resultado de la compilación de un trabajo conjunto desarrollado por cada uno de los miembros de este grupo de trabajo.

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OBJETIVOS General: Entender el significado del pensamiento funcional, por medio de la adquisición de habilidades en el desarrollo de procesos matemático. Específicos: ➢ Comprender los componentes conceptuales y procedimentales inmersos en algebra, trigonometría y geometría analítica. ➢ Desarrollar trabajos cooperativos e individuales que permitan la apropiación e implementación de procedimientos para la solución de problemas matemáticos.

5 DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS TAREA 1. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas: 1) 𝟐𝑿 + (𝑿 − 𝟏 )𝟐 2𝑋 + ((𝑋)2 − 2(𝑋)(1) + (1)2 ) 2𝑋 + (𝑋 2 − 2𝑋 + 1) 2𝑋 + 𝑋 2 − 2𝑋 + 1 𝑋2 + 1 2) 𝟑(𝑿 + 𝟐)𝟐 − 𝟐(𝑿 − 𝟐)𝟐 3(𝑋 2 + 4𝑋 + 4) − 2(𝑋 2 − 4𝑋 + 4) 3𝑋 2 + 12𝑋 + 12 − 2𝑋 2 + 8𝑋 − 8 𝑋 2 + 20𝑋 + 4 3) (𝑿 + 𝟏)𝟑 − (𝑿 + 𝟏)𝟐 − (𝑿 + 𝟏) 𝑋 3 + 3𝑋 2 + 3𝑋 + 1 − 𝑋 2 − 2𝑋 − 1 − 𝑋 − 1 𝑋 3 + 2𝑋 2 − 1 4) 𝑿 𝟐 − (𝑿 + 𝟑)𝟐 − 𝟗 𝑋 2 − (𝑋 2 + 6𝑋 + 9) − 9 𝑋 2 − 𝑋 2 − 6𝑋 − 9 − 9 −6𝑋 − 18 5) 𝟒(𝑿 + 𝟐) − 𝟑(𝑿 + 𝟐)𝟐 4𝑋 + 8 − 3𝑋 2 − 12𝑋 − 12 −3𝑋 2 − 8𝑋 − 4 6) (𝑋 + 2)(2𝑋 − 3) + 2(3 − 𝑋 2 )

6 2𝑋 2 − 3𝑋 + 4𝑋 − 6 + 6 − 2𝑋 2 𝑋

TAREA 2. Determine el valor de la variable x en las siguientes expresiones racionales y compruebe su solución con Geogebra.

A.)

𝟐𝑿𝟐 −𝟐 𝑿+𝟏

2(𝑋 2 −1) 𝑋+1

𝟕𝑿+𝟒

+

+

𝑿+𝟐

7𝑋+4 𝑋+2

2(𝑋−1)(𝑋+1) 𝑋+1

+

2(𝑋 − 1) + 2𝑋 − 2 + −2 + 7𝑋+4 𝑋+2 7𝑋+4 𝑋+2

𝑋+2

− 2𝑋 = 3

7𝑋+4 𝑋+2

7𝑋+4 𝑋+2

7𝑋+4

7𝑋+4

− 𝟐𝑿 = 𝟑

𝑋+2

− 2𝑋 = 3

− 2𝑋 = 3

− 2𝑋 = 3

=3

=3+2 =5

se multiplica en cruz

7𝑋 + 4 = 5(𝑋 + 2) 7𝑋+4=5X+10 7𝑋 − 5𝑋 = 10 − 4 2𝑋 = 6 se divide ambos miembros de la ecuación entre dos 2𝑋 ÷ 2 = 6 ÷ 2

7 𝑋=3 Solución con Geogebra

B.)

𝟐𝑿𝟐 −𝟗𝑿−𝟏 𝟐𝑿+𝟑

2𝑋 2 −9𝑋−1 2𝑋+3

+

+

𝟑𝑿−𝟓 𝑿+𝟏

3𝑋−5 𝑋+1

2𝑋 2 −2 𝑋+1

+

7𝑋+4 𝑋+2

− 2𝑋 = 3

+𝟑=𝑿

− 𝑥 = −3

(𝑥+1)(2𝑥 2−9𝑥−1)+(2𝑥+3)(3𝑥−5)−𝑥(2𝑥+3)(𝑥+1) (2𝑥+3)(𝑥+1)

= −3

2𝑥 3 −9𝑥 2−𝑥+2𝑥 2 −9𝑥−1+6𝑥 2 −10𝑥+9𝑥−15+(−2𝑥 2 −3𝑥)(𝑥+1) (2𝑥+3)(𝑥+1)

= −3

2𝑥 3 −9𝑥 2−𝑥+2𝑥 2 −9𝑥−1+6𝑥 2 −10𝑥+9𝑥−15−2𝑥 3 −2𝑥 2−3𝑥 2−3𝑥 (2𝑥+3)(𝑥+1) −6𝑥 2 −14𝑥−16 (2𝑥+3)(𝑥+1)

= −3

−6𝑥 2 − 14𝑥 − 16 = −3(2x + 3)(x + 1) −6𝑥 2 − 14𝑥 − 16 = (−6x − 9)(x + 1) −6𝑥 2 − 14𝑥 − 16 = −6𝑥 2 − 6𝑥 − 9𝑥 − 9 −14𝑥 − 16 = −6x − 9𝑥 − 9 −14𝑥 − 16 = −15x − 9 −14𝑥 + 15𝑥 = −9 + 16

= −3

8 −14𝑥 + 15𝑥 = −9 + 16 𝑥=7 Solución con Geogebra

TAREA 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

2𝑋 2 −9𝑋−1 2𝑋+3

1 𝑥−𝐴

a) (𝒇 𝒐 𝒈)(−𝟐) = 𝟏 (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 )) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓((𝑥 + 1)2 ) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥 ) =

1 (𝑥 + 1)2 − 𝐴

1=

1 (−2 + 1)2 − 𝐴

1=

1 (−1)2 − 𝐴

1=

1 1−𝐴

1−𝐴 =1 𝐴=0 b)

+

2𝑋−5 𝑋+1

+3=𝑋

y 𝑔(𝑥 ) = (𝑥 + 1)2 , Determinar el valor de A tal que:

9 (𝒈 𝒐 𝒇)(−𝟐) = 𝟒 (𝑔 𝑜 𝑓 )(𝑥 ) = 𝑔(𝑓 (𝑥 )) 1 ) 𝑥−𝐴 1 (𝑔 𝑜 𝑓 )(𝑥 ) = (( ) + 1)2 𝑥−𝐴 1 (𝑔 𝑜 𝑓 )(−2) = (( ) + 1)2 −2 − 𝐴 1 4 = (( ) + 1)2 −2 − 𝐴 1 2= +1 −2 − 𝐴 1 2−1= −2 − 𝐴 1 1= −2 − 𝐴 (𝑔 𝑜 𝑓 )(𝑥 ) = 𝑔(

1(−2 − 𝐴) =1 −2 − 𝐴 = 1 −𝐴 = 1 + 2 𝐴 = −3 TAREA 4. Determine el dominio de las siguientes funciones y comprobar con el recurso Geogebra. A. 𝒇(𝒙) = Dominio:

𝒙−𝟐 𝒙+𝟏

𝑥+1 ≠ 0 𝑥 ≠0−1 𝑥 ≠ −1 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅 − {−1}

10

B. 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏 + 𝟑 𝑥−1≥0 𝑥 ≥0+1 𝑥≥1 𝐷𝑓 = [1, + ∞)

TAREA 5. Encontrar las dimensiones y el área sombrada de las siguientes figuras: a) El área de la figura es igual a 35 unidades cuadradas.

11

La figura es un rectángulo de Base= x+4, Altura= x+2. El Área de un rectángulo es igual a base por altura, lo que nos permite obtener una ecuación con las dimensiones dadas y resolverla para hallar el valor de x. 𝑨 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) El problema nos brinda la información de que el área de la figura es de 35 unidades cuadradas, entonces: 35 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 2) Resolviendo: 35 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 − 35 = 0 𝑥 2 + 6𝑥 − 27 = 0 (𝑥 + 9)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 = −9 , 𝒙 = 𝟑 Las distancias no pueden ser negativas, por lo que la solución que nos sirve es 𝒙 = 𝟑. De donde la altura sería 5 unidades y la base es 7 unidades. Para hallar el área de la región sombreada se resta al área total el área correspondiente a cuatro veces el área de los rectángulos de las esquinas de color blanco que tiene un valor total de 8 unidades cuadradas. Entonces: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 35 − 8 = 27 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠. b) El are de la figura es igual a 56 unidades cuadradas.

12

Primero es necesario que formemos una ecuación que nos permita hallar el valor de x. Como la figura es un rectángulo, al igual que en el punto anterior aplicamos el área de un rectángulo para obtener la ecuación: 56 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 9) Resolviendo: 𝑥 2 + 11𝑥 + 18 − 56 = 0 𝑥 2 + 11𝑥 − 38 = 0 Utilizamos la formula general para hallar la solución de la ecuación cuadrática: siendo el valor de a=1, b=11 y c=-38. −𝑏 ∓ √𝑏2 − 4(𝑎)(𝑐) 2𝑎

𝑥=

−11 ∓ √112 − 4(1)(−38) 𝑥= 2(1) 𝑥=

−11 ∓ √121 + 152 2

𝑥= 𝑥1 =

−11 ∓ √273 2

−11 + √273 , 2 𝑥1 = 2,7

𝑥2 =

−11 − √273 2

, 𝑥2 = −13,7

Nos sirve el valor positivo 𝑥1 = 2,7. Por lo tanto, las dimensiones son: Ancho es 11,7 cm y la Altura es 4,7 cm Con el valor que hallamos de x calculamos el área del cuadrado azul: 𝐴𝑐 = 𝐿2

13 𝐴𝑐 = (2,7𝑐𝑚)2 𝐴𝑐 = 7,29 𝑐𝑚2 El área del rectángulo azul es: 𝐴𝑟 = 𝐵 ∗ 𝐴 𝐴𝑟 = (9𝑐𝑚 ∗ 2𝑐𝑚) 𝐴𝑟 = 18 𝑐𝑚2 El área sombreada es: 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑎𝑑𝑎 = 7,29 𝑐𝑚2 + 18 𝑐𝑚2 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑎𝑑𝑎 = 25,29 𝑐𝑚2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 TAREA 6. Resolver los siguientes problemas. a) En un depósito hay 40 teléfonos, de los cuales algunos son de 16 teclas y otros de 20 teclas. La cantidad total de teclas entre los 40 teléfonos es 696. ¿Cuántos teléfonos de 16 teclas y de 20 teclas hay?

R//: El total de teléfonos es 40, entonces: 𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟎 El total de teclas es 696, entonces: 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟔𝟗𝟔 𝒙 = 𝑇𝑒𝑙é𝑓𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 16 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑎𝑠 𝒚 = 𝑇𝑒𝑙é𝑓𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 20 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑎𝑠

Usaremos la segunda ecuación para encontrar la respuesta: 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟔𝟗𝟔 - Despejaremos primero la variable x de la ecuación: 𝑥 + 𝑦 = 40 𝒙 = 𝟒𝟎 − 𝒚 - Reemplazamos la variable x 𝟏𝟔(𝟒𝟎 − 𝒚) + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟔𝟗𝟔

14 640 − 16𝑦 + 20𝑦 = 696 640 + 4𝑦 = 696 4𝑦 = 696 − 640 4𝑦 = 56 𝑦=

56 4

𝒚 = 𝟏𝟒 Teléfonos con 20 teclas = 14 -

Para encontrar el valor de la variable x usamos 𝑥 = 40 − 𝑦

-

Reemplazamos 𝑥 = 40 − 14 𝒙 = 𝟐𝟔

Teléfonos con 16 teclas = 26

b) La diferencia entre el precio de un libro y el de otro es de $10 y uno cuesta las tres quintas partes de lo que cuesta el otro. ¿Cuánto cuesta cada uno?

R//=

Precio libro 1 será x Precio libro 2 será 𝒚 =

𝟑 𝟓

𝒙

Tenemos que el valor de 𝒙 − 𝒚 = $𝟏𝟎 - Reemplazamos: 𝑥−

3 𝑥 = 10 5

𝑥 − 3𝑥 = 10 ∗ 5

15 𝑥 − 3𝑥 = 50 2𝑥 = 50 𝑥=

50 2

𝒙 = 𝟐𝟓 Así, el precio del libro 1 es $25

Para encontrar el valor de y, reemplazamos: 𝒙 − 𝒚 = $𝟏𝟎 𝟐𝟓 − 𝒚 = 𝟏𝟎 25 – 10 = y 𝟏𝟓 = 𝒚 Así, el precio del libro 2 es $15

c) En una bicicletería hay entre bicicletas y triciclos 23 vehículos. La cantidad de ruedas es de 49. ¿Cuántas bicicletas y triciclos hay?

R//: El total de vehículos es 23, entonces: b+ 𝒕 = 𝟐𝟑 𝒃 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑐𝑖𝑐𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝒕 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 El total de ruedas es 49, y cada bicicleta tiene 2 ruedas y triciclos 3, entonces: 𝟐𝒃 + 𝟑𝒕 = 𝟒𝟗

Usaremos la segunda ecuación para encontrar la respuesta: 𝟐𝒃 + 𝟑𝒕 = 𝟒𝟗 -

Despejaremos primero la variable b de la ecuación: b+ 𝒕 = 𝟐𝟑 𝒃 = 𝟐𝟑 − 𝒕 - Reemplazamos la variable b

16 𝟐(𝟐𝟑 − 𝒕) + 𝟑𝒕 = 𝟒𝟗 46 − 2𝑡 + 3𝑡 = 49 46 + 1𝑡 = 49 𝑡 = 49 − 46 𝒕=𝟑 Total, triciclos = 3 -

Para encontrar el valor de la variable b usamos b+ 𝒕 = 𝟐𝟑

-

Reemplazamos 𝑏 = 23 − 3 𝒃 = 𝟐𝟎

Total, bicicletas = 20

d) En grado 9° de un colegio hay 30 alumnos, de los cuales algunos tienen 14 años y otros 15 años. Si la suma de las edades es igual a 434. ¿Cuántos alumnos tiene 14 años y cuántos tienen 15 años?

R//: 𝒂 = 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝟏𝟒 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒃 = 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝟏𝟓 𝒂ñ𝒐𝒔 Suma de las edades= 434, entonces 𝟏𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟒𝟑𝟒 El total de alumnos= 30 entonces: 𝒂 + 𝒃 = 𝟑𝟎

Usaremos la primera ecuación para encontrar la respuesta: 𝟏𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟒𝟑𝟒

17

Despejaremos primero la variable b de la ecuación: 𝒂 + 𝒃 = 𝟑𝟎 𝒂 = 𝟑𝟎 − 𝒃 - Reemplazamos la variable a 𝟏𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟒𝟑𝟒 14(30 − 𝑏) + 15𝑏 = 434 420 − 14𝑏 + 15𝑏 = 434 420 + 1𝑏 = 434 𝑏 = 434 − 420 𝒃 =14 Total, alumnos con 15 años = 14 -

Para encontrar el valor de la variable a usamos 𝒂 + 𝒃 = 𝟑𝟎

-

Reemplazamos 𝑎 = 30 − 14 𝒂 = 𝟏𝟔

Total, alumnos con 14 años = 16

TAREA 7. Efectuar las operaciones de las siguientes expresiones algebraicas y simplificarlas: a)

𝟓𝟏𝐚𝐝 𝟔𝟎𝐛𝐜

𝟒𝟖𝐚𝐛

∗ 𝟐𝟕𝐜𝐝

a

Multiplicamos las fracciones: b ∗ =

c d

a∗ c

= b∗ d

51ad ∗ 48ab 60bc ∗ 27cd

Eliminamos los términos comunes: d

18 =

51a ∗ 48ab 60bc ∗ 27c

Eliminamos los términos comunes: b =

51a ∗ 48a 60c ∗ 27c

Aplicamos las leyes de los exponentes: ab ∗ ac = ab+c cc = c1+1 = c2 = 27 ∗ 60c2 = 1620c2 51a ∗ 48a 1620c2 Aplicamos las leyes de los exponentes: ab ∗ ac = ab+c cc = c1+1 = c2 = 48 ∗ 51a2 = 2448a2 2248a2 = 1620c2 Eliminamos los términos comunes: 36 68a2 = 45c2

b)

𝟗𝟗𝐚𝐜𝟑 𝟐𝟕𝐛

÷

𝟓𝟒𝐚𝟐 𝐜𝟐 𝟏𝟐𝐚𝐛 a

c

a∗d

Dividimos fracciones: b ÷ d = b∗c =

99ac3 ∗ 12ab 27b ∗ 54a2 c2

Eliminamos los términos comunes: b 99ac3 ∗ 12a = 27 ∗ 54a2 c2 Simplificamos

19 =

1188aac3 1458a2 c2

Eliminamos los términos comunes: 54 =

22aac3 27a2 c2

Eliminamos los términos comunes: a =

22ac3 27a2 c2 xa

Aplicamos las leyes de los exponentes: xb = x a−b c3 = c3−2 = c c2 22ac = 27a Eliminamos los términos comunes: a =

c)

22c 27

𝐱−𝐲

∗ 𝐱+𝟑𝐲

𝐱 𝟐 −𝟗𝐲 𝟐 𝐱 𝟐 −𝐲𝟐

Multiplicamos fracciones: =

a b

∗

c d

=

a∗ c b∗ d

(x − y) (x 2 − 9y2 ) ∗ (x + 3y) (x 2 − y2 )

Factorizamos (x − y) (x 2 − 9y2 ): (x − y) (x − 3y)(x + 3y) (x − y) (x 2 − 9y2 ) Factorizamos (x 2 − 9y2 ): (x + 3y)(x − 3y) x 2 − 9y2 Aplicamos la siguiente regla para binomios al cuadrado: x 2 − y2 = (x + y)(x − y) x 2 − 9y2 = (x + 3y)(x − 3y) = (x + 3y)(x − 3y) = (x − y)(x − 3y)(x + 3y)

20 =

(x − y)(x − 3y)(x + 3y) (x + 3y)(x 2 − y2 )

Factorizamos (x + 3y)(x 2 − y2 ): (x + y)(x − y)(x + 3y) (x + 3y)(x 2 − y2 ) Aplicamos la siguiente regla para binomios al cuadrado: x 2 − y2 = (x + y)(x − y) = (x + y)(x − y)(x + 3y) =

(x − y)(x − 3y)(x + 3y) (x + y)(x − y)(x + 3y)

Cancelamos

(x−y)(x−3y)(x+3y) x−3y : (x+y)(x−y)(x+3y) x+y

(x − y)(x − 3y)(x + 3y) (x + y)(x − y)(x + 3y) Eliminamos los términos comunes: x − y =

(x − 3y)(x + 3y) (x + y)(x + 3y)

Eliminamos los términos comunes: x + 3y =

d)

x − 3y x+y

𝐚+𝟏 𝐚𝟑

−

𝐚+𝟐 𝐚𝟐

+

𝐚+𝟑 𝐚

Encontrar el mínimo común denominador para

a+1 a3

−

a+2 a2

+

a+3 a

∶ a3

Encontrar el minino común múltiplo de a3 Reescribimos las fracciones basándome en el mínimo común denominador a + 1 a + 2a a + 3a2 − + a3 a3 a3 Ya que los denominadores son iguales; combinamos las fracciones: =

a + 1 − a(a + 2) + a2 (a + 3) a3

Expandimos a + 1 − a(a + 2) + a2 (a + 3) ∶ a3 + 2a2 − a + 1 a + 1 − a(a + 2) + a2 (a + 3)

a c

b

±c=

a±b c

21 Expandimos – a(a + 2) ∶

−a2 − 2a

Ponemos los paréntesis utilizando a(b + c) = ab + ac a = −a,

b = a, c = 2

= −a ∗ a − a ∗ 2 Aplicamos las leyes de los exponentes: ab ∗ ac = ab+c aa = a1+1 = a2 = −a2 − 2a = a + 1 − a2 − 2a + a2 (a + 3) Expandimos a2 (a + 3) ∶ a3 + 3a2 a2 (a + 3) Ponemos los paréntesis utilizando: a(b + a) = ab + ac a = a2 ,

b = a,

c=3

= a2 ∗ a + a2 ∗ 3 Aplicamos las leyes de los exponentes: ab ∗ ac = ab+c a2 a = a2+1 = a3 = a3 + 3a2 = a + 1 − a2 − 2a + a3 + 3a2 Simplificamos: a + 1 − a2 − 2a + a3 + 3a2 : a3 + 2a2 − a + 1 Agrupamos términos semejantes a3 − a2 + 3a2 − a + 1 Sumamos elementos similares: a − 2a = −a a3 − a2 + 3a2 + a − 2a + 1 Sumamos elementos similares – a2 + 3a2 = 2a2 = 3a2 + 2a2 − a + 1 =

3a2 + 2a2 − a + 1 a3

22 e)

𝟒𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 −𝐱 𝟐

𝐱−𝐲

𝐱+𝐲

− 𝐱+𝐲 + 𝐱−𝐲

(x − y)(x − y) (x + y)(x + y) 4x 2 x−y x+y −4x 2 − + = − + 2 2 2 2 (x − y)(x + y) (x + y)(x − y) y −x x+y x−y x −y −4x 2 x 2 − 2xy + y2 x 2 − 2xy + y2 = 2 − + x − y2 x2 − y2 x2 − y2 =

−4x 2 − x 2 + 2xy − y 2 + x 2 + 2xy + y2 x2 − y2

=

−4x 2 + 4xy 4x (−x + y) −4x(x − y) −4x = = = 2 2 2 2 x −y x −y (x + y)(x − y) x + y

TAREA 8. Resolver la siguiente los siguientes problemas algebraicos:

a) Calcular un numero de dos cifras que multiplicadas por su consecutivo es igual a los cuatro tercios del cuadrado de dicho número menos 216. 𝑋 Es el número que necesitamos hallar, ya sabemos que su consecutivo es 𝑥 + 1

Entonces formulemos la ecuación con la información que nos da el problema y la resolvemos, nos queda de la siguiente manera: 4 𝑥 (𝑥 + 1) = 𝑥 2 − 216 3

𝑥2 + 𝑥 =

𝑥2 −

4𝑥 2 − 216 3

4𝑥 2 + 𝑥 = −216 3

23 3𝑥 2 − 4𝑥 2 + 𝑥 = −216 3 3𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥 = −216 3 3𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥 ( ) ∗ 3 = −216 ∗ 3 3 3𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥 = −648 (−𝑥 2 + 3𝑥 ) ∗ −1 = −648 − 1 𝑥 2 − 3𝑥 = 648 𝑥 2 − 3𝑥 − 648 = 0 (𝑥 − 27)(𝑥 + 24)

b) Calcular un número tal que la suma entre dicho número y la mitad de su cuadrado es igual a 60. Plantearemos un número 𝑥

𝑥+(

𝑥2 ) = 60 2

𝑥2 + 𝑥 − 60 = 0 2 𝑥 2 + 2𝑥 − 120 = 0

24

(𝑥 + 10)(𝑥 − 12) Como el -12 no es natural solo escogemos 𝑥 = 10

c) Calcule un número tal que la suma entre dicho número y el cuadrado de su consecutivo sea 56.

d) Hallar dos números naturales consecutivos tales que su producto sea igual a 552 𝑥 Es el número 𝑥 + 1 Es su consecutivo 𝑥(𝑥 + 1) = 552 𝑥 2 + 𝑥 = 552 𝑥 2 + 𝑥 − 552 = 0

Resolvemos con la siguiente formula

𝑥=

𝑥=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Donde 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 552

−1±√12 −4(1)(−552) 2(1)

25 𝑥=

−1 ± √1 + 2208 2

𝑥=

−1 ± √2209 2

𝑥=

−1 ± 47 2

𝑥1 =

−1 + 47 46 = = 23 2 2

𝑥2 =

−1 − 47 −48 = = −24 2 2

Los números son: 23 y 24

26 CONCLUSIONES Las matemáticas son una ciencia muy activa, que permite la ejercitación de la mente de forma constante y permanente en el desarrollo de cada una de sus diferentes ramas, este trabajo nos permitió comprender aún más el significado de las matemáticas, poner en práctica procedimientos y temáticas esenciales para cualquier licenciado en matemáticas, del mismo modo nos permitió recordar temas que durante nuestra adolescencia vimos en el colegio y que por el no uso ya casi no recordábamos, del mismo modo permitió fortalecer nuestros esquemas mentales a través del trabajo en equipo, de esta manera podemos concluir con el presente trabajo.

27 REFERENCIAS ➢ Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235. ➢ Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. ➢ Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. ➢ Moreno Y. (2014). Algebra Simbólica. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. ➢ Ríos, J.

(2013).

Sistema

de

ecuaciones lineales 2

x

2.