54977454 Complemento de Calculo
February 23, 2017 | Author: Alan Carrasco Concha | Category: N/A
Short Description
Download 54977454 Complemento de Calculo...
Description
COMPLEMENTO DE CÁLCULO D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
INTRODUCCION
Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.
Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros), transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y mantención en sectores productivos.
Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables.
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
I
II
III
VIRGINIO GOMEZ
INDICE
SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... Límite de una sucesión ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geométrica .................................................................................................. Serie p o hipergeométrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razón ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ................................................................................................... FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................
DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales ..................................................................................
Derivación implícita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ demostraciones .............................................................................. Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una función de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................
1
Pág. 3 4 7 8 9 11 13 16 19 23 26 30
35 36
40 45 48 55 59 62 66 70 73 73 73 77
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
IV
INTEGRACION MULTIPLE 3
: .................................................................................................... planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide .................................................................................... Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... determinar el valor de la región ‘ ................................................. cálculo de volúmenes ..................................................................... Cálculo de volúmenes ......................................................................................... Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................ V
VIRGINIO GOMEZ
Gráfico en ‘
82 82 86 87 89 91 92 95 98 103 108 116 123 128
CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................
136 137 137 141 141 146
ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... Ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................................
150 151 154 158
VII
AUTOEVALUACIONES
.................................................................................
162
VIII
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................
178
VI
2
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Sucesiones
Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales a œ ™ b Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − Ejemplo: 1) Si , f (n) =
n entonces: n+2
n
1
2
3
4
5
...
n
f (n)
1 3
1 2
3 5
2 3
5 7
...
n n+2
GOMEZ
Los pares ordenados serán:
2 n 1 1 1 ; ... 1 , ; 2 , ; 3 , ; 4 , ; n , 5 n + 3 2 3 3 7 2 5 , ... Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo
{ f (n)} = {an }
=
{a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5
a n ,...}
,...,
n 1 3 2 5 n , , , , ..., , ... = n+2 n + 2 3 2 5 3
{ f (n)} =
2) 0 a8b œ œ
" $
si 8 es impar si 8 es par
œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
VIRGINIO
3
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Concepto de Límite de una Sucesión
∑
{ n }es L y se denota por :
se dice que el límite de la sucesión a
lim a n = L
n→∞
VIRGINIO OMEZ
Si para ∑ > 0 existe M > 0 talque a − L < siempre que n > M , entonces n
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión Sea y = f ( x) una función real definida ∀ x ∈ entonces si lim n →∞
{ a n } es una sucesión tal que
™
+
con
f ( x) = L , lim x →∞
f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
a =L n
Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ
8 8#
0 aBb œ
B B#
H970 aBb œ ‘ Ö # ×
™ © ‘ Ö # × B lim œ lim B Ä_ B# BÄ _
Por lo tanto,
2) œ
B B
B # B B
œ
lim BÄ_
"
#œ" " B
8 lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8#
" &8$ #8$ %8
0 aBb œ
" &B$ #B$ %B
™ © ‘ Ö!×
H970 aBb œ ‘ Ö! ×
G
4
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
" &B lim œ lim B Ä _ #B$ BÄ_ %B
Por lo tanto,
&B$
"
B$ B$ #B$ %B $ B$ B
œ
B$
lim BÄ_
#
& " &8$ lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$ %8 #
1 3) œ8 † =/8Š ‹ 8 1 0 aBb œ B † =/8Š B ‹
H970 aBb œ ‘ Ö! ×
™ © ‘ Ö!× 1 B † =/8Š ‹ lim BÄ_ B
œ _†! =/8Š œ
lim BÄ_
œ
! !
œ
P wL
" B
1 ‹ B
1 1 # -9=Š ‹ B B " Blim Ä_ # B
1 1 -9=Š ‹ B œ lim BÄ_ " œ1 Por lo tanto,
&
1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 8Ä_ 8
%
œ
& #
VIRGINIO GOMEZ
"
$
B#
5
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Teorema: Si
{a n } y {bn } y
a) La sucesión lim c ⋅
b)
son sucesiones CV y es c un número, entonces:
{c} tiene como límite
c
= c ⋅ lim a n
an n →∞
lim
(a n ± bn ) =
n →∞
d)
lim
e)
n →∞
lim bn
n →∞
a n ⋅ bn =
n →∞
lim
lim a n ±
n →∞
an ⋅
lim
lim
GOMEZ n →∞
an bn
n →∞
lim a n
=
n→∞
si
lim bn
n→∞
Determine si la sucesión CV o DV
d) œ
lim b ≠ 0 n
n→∞
Ejercicios
a) œ
bn
8" #8 "
b) œ
$8$ #8# 8
e) œ
#8# " $8# "
/8 8
Solución
a) CV
b) CV
c) DV
d) DV
VIRGINIO
c)
n →∞
c) œ
8# " 8
f) œ
" # È 8 " 8
e) DV
f) DV
6
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Series
Concepto de Series Infinitas
Si
{a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞
∑
a n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ...
n=1
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a 3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales
S1 = a1 S 2 =a1 +a 2
GOMEZ
M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n
∞
Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 ,L, S n } converge, entonces la serie
VIRGINIO
S 3 = a1 + a 2 + a3
n=1
Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
∑
a n converge.
_ Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8 la sucesión de sumas parciales. 8œ" Si
lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8 8Ä_ ∞
Teorema : Si la serie
∑
es CV, entonces
a n n=1 Teorema : Si
lim a n ≠ n→∞ 0
lim a n = 0
n→∞
, entonces la serie dada
an
∞
∑
es DV.
n=1
Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
7
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Serie Geométrica La serie Primer término ∞
∑
a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a ≠ 0
n=0
razón
Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón
Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " +Ñ
_ " " 8 " œ Œ #8 # 8œ ! 8œ !
0 ∀ n ∈ , entonces: ∞
∑
n
(− 1)
⋅ a n = − a1 + a 2 − a3 + a 4 − a5 + L + ⋅ a n
(− 1) n
n=1
y ∞
∑
n+1
(− 1)
⋅ a n = a1 − a 2 + a3 − a 4 + a5 − L − (− 1)
n+1
⋅ an
n=1
GOMEZ
Se denominan series alternas o series alternantes.
Ejemplos:
_ 8 " 8 † " "Ñ " a "b † œ " " " " ÞÞÞ a "b 8" # $ % & 8" 8œ"
C.-
Criterio de la serie alterna Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces las series alternas ∞
∑ (− 1)
n+1
⋅ an
convergen si, y sólo si:
n=1
a)
b)
0 < a n+1 < a n ∀ n ∈ lim a n = 0 n →∞
∞
∑
n=1
RGINIO
_ " " " " 8" " 8" " #Ñ " a "b † œ " ÞÞÞ a "b † 8 # $ % & 8 8œ"
n (− 1) ⋅ a n y
VI
19
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ "Ñ " a "b8 † " $8 8œ" +8 " œ
" $a8
+8 œ
" $8
+8 œ
" 8# "
"b +Ñ
" " $8 $ $8
,Ñ lim
8Ä_
a8−
" œ! $8
Por lo tanto, la serie CV. _ #Ñ " a 8" "b † 8œ" +8 " œ
+Ñ
" 8# "
" a8 "b# "
" " 8# #8 # 8# "
,Ñ lim
"
8Ä_ 8#
Teorema:
a8−
œ! "
_ a) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
Por lo tanto, la serie CV.
o
_ " a "b8 " †
+8 8œ"
se dice que es
_ Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. 8œ" _ b) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
o
_ " a "b8 " †
+8 8œ"
se dice que es
_ Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. 8œ"
20
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
_ 8 "Ñ " a "b † & %8 8œ" +8 " œ
& 8 % "
& & %8 " % 8
+Ñ
,Ñ lim
8Ä_
& +8 œ 8 % a8−
& œ! %8
_ La serie " es CV. a "b8 † & %8 8œ"
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos:
_ _ " 8 " " & œ " &†Œ es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV 8 % % % 8œ" 8œ" _ 8 Luego la serie " a "b † CVA & %8 8œ" _ " #Ñ " a "b8 " † È8 8œ" +8 " œ
"
+8 œ
" È8
È8 " " " È8 " È8
+Ñ
,Ñ lim 8Ä_
a8−
" œ! È8
_ " La serie " a 8 " † es CV. È8 "b 8œ" _
_ " " " es una serie : con : y por lo tanto, DV " È œ" " 8 # œ 8œ" 8œ"8# _ " Luego la serie " a 8 " † CVC È8 "b 8œ"
21
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, además, si es CVA. o CVC. _ "Ñ " Ð "Ñ8 " † 1 8 8œ" "
_ 1 " #Ñ Ð "Ñ8 † # 8 " 8œ"
_ 1 $Ñ " Ð "Ñ8 † Ð8 "Ñ# 8œ"
_ 1 %Ñ " Ð "Ñ8 " † $ 8 " 8œ#
_ &Ñ " Ð "Ñ8 " † 1 8 È8 8œ"
_ 1 'Ñ " Ð "Ñ8 " † $8 " 8œ" Solución
1) CVC
2) CVA
3) CVA
4) CVA
5) CVA
6) CVC
22
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
D.-
Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert Sea
an
∞
∑
an ≠ 0
una serie infinita donde :
n=1
y
a n+1 =〉 n→∞ a n lim
entonces: a) cuando 〉 < 1 , la serie CVA. b) cuando 〉 > 1 , la serie DV. c) cuando 〉 = 1 el criterio no da información.
GOMEZ
Ejemplos:
Determine si la serie CV o DV.
â
+8
â â $
lim
8" â 8!
$8 † $ † $ 8" †8 a b !
†
8! 8
ºœ
$ †$
â â
œ!"
8Ä_
8"
_ 8" $ Por lo tanto, " CV 8! 8œ"
_ 8 a#8b! #Ñ " a "b 8 † 8œ" ! â â a#8 #b + â " º 8 "º œ âââ 8a#8b +8 ! â â 8
â
lim
8Ä_
#
%8 '8 #8 œ 8"
8"
â ââ œ a#8 #b † a#8 "b † a#8b!† 8 º â º a#8b! 8" â â $ '8# #8 %8 œ 8"
$
$
VIRGINIO
_ 8" $ "Ñ " 8! 8œ" â 8# â â $ â â â +8 " â â â a8 "b!â œ º ºœ º â $ â
lim
8Ä_
%
8$ 8# 8 ' # 8 8 8 8 "
8
8
23
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
œ
lim
8Ä_
%8# '8 # " " 8
_ "
œ_" _ a#8b! Por lo tanto, " a "b8 † DV. 8 8œ" _ 8 8 # $Ñ " a "b † $ 8 8œ" â 8" â â # â â â +8 " â $ #8 † # 8$ â a8 "b º º º º â $ ✠œâ † â +8 â â #8 #8 Š 8 " ‹ â â â â 8$ #8$ œ $ 8 $8# $8 " lim 8Ä_
"
#8$ 8$ $8# $8
œ
lim
# 8$
8Ä_
8$ œ
lim
8Ä_
8#
8$ 8$
# $ $ " " # $ 8 8 8
_ 8 8 Por lo tanto, " a "b † DV. # 8$ 8œ" _ 8# %Ñ " a "b8 † 8 & 8œ" â 8$ â â â +8 " ââ 8 "â 8 $ &8 8$ † œ ✺ 8 º + º œ ââ & 8# â & † & 8 # º &8 "! 8 â â â &8 â lim
8$ " " œ " œ Pw L lim 8Ä_ & &8 "! &
_ 8# Por lo tanto, " a "b8 † CVA.
"
$ $ $ $ $ 8 8 8
œ#"
8Ä_
8
VIRGINIO GOMEZ
œ
8œ"
&8
24
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Determine si la serie CV o DV. _ a8 "bx "Ñ " #8 8œ !
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
_ &8 #Ñ " Ð "Ñ8 a#8bx 8œ"
_ $Ñ " Ð "Ñ8 a8bx 8 $8 8œ"
_ # 8 %Ñ " 8 $ a8 "b 8œ"
_ " &Ñ " Ð "Ñ8 Ð#8 "Ñx 8œ"
Solución
1) DV
2) CVA
4) CV
5) CVA
25
3) DV
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Serie de Potencias
Concepto: Una serie de potencias en
b0 + b1 ( x − a) + b2 ( x − a) n a) = bi
y
2
x− a
+ b3 ( x − a)
3
+ L + bn ( x −
∞ n ∑ bn ( x − a) n=0
a son números , x es variable.
Si x es un número particular, entonces ∞ y
es una serie de la forma :
x− a
se transforma en un número
∑ b ( x − a) n es una serie infinita de términos constantes. n=0 n
Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ ∑ b xn = b +b x+b x2 +b x3 +L +b xn n 0 1 2 3 n=0 n
GOMEZ
Ejemplos:
VIRGINIO
Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. _ Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB +b8 8œ! donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razón y se resuelve la inecuación 3 ", además se debe hacer el análisis de los extremos.
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ 8 # † aB 8 "b "Ñ " a "b8 " † 8 † $8 8œ"
º
+8 " +8 º
œ
â â â â â â â â â â
œ
º
#8 " † aB "b8 " a8 "b † $8 " #8 † aB "b8 8 † $8
â â â â â â â â â â
#8 † # † aB "b8 † aB "b 8 † $8 † 8 º 8 a8 "b † $ † $ # † aB "b8
# 8 † † ¸ B "¸ $ 8" # 8 # † ¸¸ B lim † † ¸ B "¸ œ " 8Ä_ $ 8 " $ œ
lim 8Ä_
8 8"
œ
Pw L #$ † ¸ B "¸8Ä_ lim ""
œ
# ¸ † B "¸ $
26
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
ÐB "Ñ "
$ $ Í # B " # & " Í # B # Análisis de los extremos Para B œ
_ " a "b8 " † 8œ"
& # #8 † Œ
$ 8 #
8 † $8
_ #8 † 8 " " œ a "b †
VIRGINIO GOMEZ
# # † ¸ B "¸ " Í " $ $
8 b a "b8 a$ #8 8 † $8
8œ"
_ #8 " " œ " a "b † 8 8œ" _ " œ " 8 8œ" _ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ"
Para B œ
" #
$ 8 #8 † Œ _ # " a "b8 " † 8 † $8 8œ"
$8 _ #8 † 8 œ " a "b8 " † #8 8 †$ 8œ"
_ 8" " œ " a "b † 8 8œ" _ " Pero, " a "b8 " † es una serie alterna que es CVC. 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie _ 8 8 8 " † # † aB es & B Ÿ " " a "b "b 8 † $8 # # 8œ"
27
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
_ aB 8$b #Ñ " a "b8 † 8! 8œ"
º
œ
â â â â â ââ ââ
œ
º
œ
" † ¸ B $¸ 8"
+8 " º +8
"
lim 8Ä_
† ¸ B $¸
8"
8" aB $b a8 "b! aB $b8 8!
â â â â â â â ââ
aB $b8 † aB $b 8! † º a8 "b † 8! aB $b8
œ $¸
¸B
œ
¸ B $¸ † !
œ
! "
lim 8Ä_
_ 8 8 aB Por lo tanto, la serie " a "b † $b 8! 8œ"
" 8"
es CVA a B − ‘
_ 8! $Ñ " a 8 † 8 8 "! †B "b 8œ" +8 " º º +8
lim a8 "b † 8Ä_
œ
â â a8 "b! ââ 8 " † B8 " ââ â â â "! â 8! âââ ââ 8 8 "! † B
œ
º
œ
a8 "b †
"!8 † B8 a8 "b † 8! † º "!8 † "! † B8 † B 8!
" "!¸B¸
" "! ¸B¸ "
œ
"!¸B¸
lim Ð8 "Ñ 8Ä_
" "!¸B¸ † _
œ
_
œ "
_ 8 8 aB Por lo tanto, la serie " a "b † $b 8! 8œ"
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
es DV a B − ‘
28
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ B 8 "Ñ " Ð#8Ñx † Œ # 8œ !
_ ÐB &Ñ8 #Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † &8 8œ"
_ $Ñ "
_ ÐB (Ñ8 %Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † (8 8œ"
ÐB #Ñ8 "
Ð8 "Ñ † 8œ" $8 "
_ &Ñ8" Ð "Ñ " † 8œ"
B#8 " Ð#8 "Ñ!
_ 8x ÐB %Ñ8 'Ñ " Ð "Ñ8 † $8 8œ"
_ 8x † B8 " (Ñ 8 œ " Ð#8Ñx
_ 8 8" )Ñ " Œ † Ð #BÑ 8" 8œ"
_ # 8 † B8 *Ñ " 8# 8œ"
_ ##8 " † B#8 "!Ñ " Ð "Ñ8 † Ð#8Ñx 8œ"
Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ ! B Ÿ "! $Ñ " Ÿ B & %Ñ ! B Ÿ "% &Ñ ‘ 'Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ " " )Ñ B # # " " *Ñ Ÿ B Ÿ # # "!Ñ ‘
29
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Serie de Taylor
∞
f
n
(a) ⋅ ( x − n a) corresponde a la serie de Taylor de n!
Concepto : La expresión f ( x) = ∑ n=0 f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a . n f (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .
∞
f
Si la serie de Taylor toma la forma f ( x) = ∑ n=0 serie de Maclaurin de f .
Ejemplos
n (0) ⋅ x n n!
que se conoce con el nombre de
GOMEZ
" 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ B
" œ B# B#
0 w aBb œ w
0 w aBb œ
Ê 0!
Ê 0 w a"b œ "
# œ #B$ B$
w
Ê 0 w a"b œ #
' ww 0 w aBb œ % œ 'B% B 0 3@ aBb œ
" † aB ! "b 0 aBb œ !!
#% œ #%B& B&
Ê 0 3@ a"b œ #%
a "b † aB "b "! !
aB "b 0 aBb œ
w
Ê 0 w a"b œ '
aB "b
"
# † aB "b
!
"
#x
# † aB "b
#
#
#
a 'b † aB $ "b $!
' † aB $ "b '
#
$
VIRGINIO
" 0 aBb œ a"b œ " B !
#% † aB "b
#% † aB "b
#%
0 aBb œ aB "b aB "b aB "b aB "b aB "b Por lo tanto, 0 aBb œ
_ " œ " a "b8 † aB "b8 B 8œ!
%!
%
%
%
30
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
0 ! aBb œ -9=B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aBb œ =/8B
Ê 0 w a!b œ ! w
w
Ê 0 w a!b œ "
0 w aBb œ =/8B
ww
Ê 0 w a!b œ !
0 3@ aBb œ -9=B
Ê 0 3@ a!b œ "
0 w aBb œ -9=B
ww
0 aBb œ
" † B! ! † B a "b † B# ! † B$ " † B% "! $! %! !! #x
0 aBb œ
B# B! B% ! ! !! #! %!
0 aBb œ
B ! B# B % !! #! %!
_ #8 Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a "b8 † B a#8b! 8œ!
VIRGINIO GOMEZ
2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a" Bb
Ê 0 ! a!b œ !
!
0 aBb œ 68a" Bb 0 w aBb œ " Bb
"
Ê 0 w a!b œ "
œ a"
"B
" w 0 w aBb œ œ a" # Bb # a" Bb
w
Ê 0 w a!b œ "
ww # 0 w aBb œ œ #a" $ Bb $ a" Bb
0 3@ aBb œ
'
ww
Ê 0 w a!b œ #
œ 'a" Bb
%
Ê 0 3@ a!b œ '
%
a" Bb 0 aBb œ
! † B! "
" † B " † B# # † B$ ' † B % " # ' #%
B# B$ B % 0 aBb œ ! B # $ % Por lo tanto, 0 aBb œ 68a" Bb œ "
_
8" 8 B a "b †
8"
8œ!
31
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Intervalo de convergencia â B8 # â â 8 # 8 # ââ œ B † B † 8 " œ ¸B¸ † 8 " º Œ º 8 # B8 † B 8# B8 " ââ 8" â
8" lim ¸B¸ † Œ 8#
8Ä_
œ
¸B¸ † lim Œ 8 " 8Ä_ 8#
œ
Pw L ¸ B¸ †8Ä_ lim
œ
¸B¸
" "
¸B¸ " Í " B " Análisis de los extremos Para B œ " _ a8" " a "b8 † "b 8œ!
_ a "b #8 " œ"
8"
8œ!
GOMEZ
â â â â œâ â â â
+8 " º º +8
8"
_ œ" 8œ"
" 8
_ Pero, " " es la serie armónica y por lo tanto DV 8 8œ" Para B œ " _ " a "b8 † a"b 8œ!
8" 8"
_ 8 " œ " a "b † 8œ!
8"
VIRGINIO
_ " œ" 8" 8œ!
_ " Pero, " a "b8 es una serie alterna que CVC 8 " † 8œ! _ 8" 8 es " B Ÿ " Luego el intervalo de convergencia de la serie " a "b † B 8œ!
8"
32
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
0 ! aBb œ /B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aBb œ /B
Ê 0 w a!b œ " w
w 0 w aBb œ /B
Ê 0 w a!b œ "
ww 0 w aBb œ /B
Ê 0
0 3@ aBb œ /B
" Ê 0 "
0 aBb œ
" † B! !!
www
3@
a!b œ
a!b œ
" † B " † B# " † B$ " † B % "! #! $! %!
_ B8 Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ " 8! 8œ ! Intervalo de convergencia â â â +8" º
º
B8 " a8 "b!
â œâ â â â
+8
lim ¸B¸ † Œ
8Ä_
B 8 8!
" 8"
â â â â ✺ â â â
8
!
B †B
8
"
VIRGINIO GOMEZ
,Ñ 0 aBb œ /B
† 8 º œ ¸B ¸ † Œ ! a8 "b † 8 B 8"
œ
¸B¸ † lim Œ " 8Ä_ 8"
œ
¸B ¸ † !
œ
! "
_ B8 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " es ‘ 8! 8œ ! Ejercicios I
Desarrollar en serie de Taylor
"Ñ 0 ÐBÑ œ È$ B
con + œ "
" #Ñ 0 ÐBÑ œ B
con + œ "
$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB "b
con + œ "
%Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B
con + œ
II
Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
1 $
"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ#
#Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
33
" $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=Œ B #
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Solución
#
B" "Ñ 0 aBb œ "
#
aB "b
'
& † aB $ "b &%
& † aB "b
)"
_ #Ñ 0 aBb œ " aB "b8 8œ! # $ % B" aB "b aB "b aB "b $Ñ 0 aBb œ 68# # ) #% '%
%
VIRGINIO GOMEZ
I
1 #8 1 #8 " _ ŠB ‹ ŠB ‹ È$ _ " $ $ %Ñ 0 aBb œ † " a 8 † † " a "b8 "† "b # # a#8b! a#8 "b! 8œ! 8œ!
II _ 8 "Ñ 0 aBb œ " # B† 8! 8œ ! 8 _ $#8 " † B#8 #Ñ 0 aBb œ " a "b8 " † a#8 "b! 8œ!
CV a B − ‘
CV a B − ‘
_ _ " " B# 8 B#8 " $Ñ 0 aBb œ -9=Œ † a 8† =/8Œ † a "b8 "† " " "b # # a#8b! a#8 "b! 8œ! 8œ! CV a B − ‘
34
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Funciones de más de una variable Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma C œ 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B − ‘. Se extenderá ahora este concepto a funciones de más de una variable. Por ejemplo À z = f ( x, y) = x 2 + y
z depende de las variables x e y
w = f ( x, y, z) = x + yz
w depende de las variables x , y y z
2
En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos de otros espacios numéricos. Si D œ 0 aBß Cb, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real bidimensional a‘# b. Si A œ 0 aBß Cß Db, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real tridimensional a‘$ b. Concepto de función de dos variables
Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un número real 0 aBß Cb, entonces se dice que 0 es función de B e CÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cb es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘# aBß Cb
È ‘ È 0 aBß Cb œ B# C #
#Ñ 0 À ‘#
È
aBß Cb
$Ñ 0 À ‘# aBß Cb
‘
È 0 aBß Cb œ
È
‘
È 0 aBß Cb œ
B C# BC
/BC BC
35
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Concepto de función de tres variables
Ejemplos À "Ñ 0 À ‘$ aBß Cß Db
È ‘ È 0 aBß Cß Db œ B# C # D #
#Ñ 0 À ‘$
È ‘ BC È 0 aBß Cß Db œ BC D #
aBß Cß Db $Ñ 0 À ‘$ aBß Cß Db
È
‘
È 0 aBß Cß Db œ
-9=aBCb D 68aC Db B#
Dominio de funciones de dos variables
VIRGINIO GOMEZ
Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un número real 0 aBß Cß Db, entonces se dice que 0 es función de Bß Cß DÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cß Db es el recorrido de 0
Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas restricciones que para funciones de una sola variable, es decir, a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la cantidad subradical debe ser mayor que cero. d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero. Ejemplos: Determinar el dominio de las siguientes funciones "Ñ 0 aBß Cb œ È#& B# C # #& B# ! C# #& B# C # B# C# Ÿ #&
Î † a "b
B# C# œ #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de radio cinco. B# C# #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la circunferencia de radio cinco.
36
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
#Ñ 0 aBß Cb œ
$B &C BC
BC Á ! BÁC
VIRGINIO GOMEZ
H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb se encuentra en y dentro de la circunferencia B# C# œ #&}
B œ C corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb no está en la recta B œ C ×
$Ñ 0 aBß Cb œ 68a#B Cb #B C ! #B C
#B œ C corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œ #B #B corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta C œ #B C H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está bajo la recta C œ #B ×
37
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
È*B# #&C# ##& C B #
*B# #&C# ##& ! *B# ##& #&C # B# C # " #& *
GOMEZ
%Ñ 0 aBß Cb œ
Î À ##&
B#
C# œ " corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse #& * B# C # œ" #& * B# #&
C# *
" corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la elipse
B# C # œ" #& *
CB # Á ! C ÁB#
C œ B corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta # C œB#
C Á B # corresponde a todos los puntos del plano que no están en la recta C œB#
y no están en la recta C œ B # ×
#
#&
C#
œ"
*
IRGINIO
H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está en y fuera de la elipse B
V
38
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Determine el dominio de las siguientes funciones À
+Ñ 0 ÐBß CÑ œ
B# C # " È%C &B
,Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68Ð* B# $C # Ñ
-Ñ 0 ÐBß CÑ œ
.Ñ 0 ÐBß CÑ œ
È B# C # $' #B# $C È / C #B 68ÐC BÑ
Solución
+Ñ H970 œ œaBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está sobre la recta C œ
,Ñ œ H970
œ
& B %
# aBß B Cb − ‘ ÎaBß Cb está en el interior de la elipse
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
#
*
C#
œ"
$
-Ñ H970 œ œaBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está en y dentro de la circunferencia
# # B# C# œ $' y no pertenece a la parábola C œ B $
.Ñ H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está sobre las rectas C œ #B e C œ B y está en la recta C œ #B ×
39
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Derivadas Parciales Conceptos Sea z = f ( x, y ) , una función de dos variables , entonces las derivadas
parciales
Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones
fx, fy
definidas por :
∂f ( x , y ) f
∂x
=
∂z
=
∂x
x
(x,y) =
lim
f(x+∆ x,y)− f(x,y)
∆ x →0
∆x
∂f ( x, y) ∂z f ( x, y + ∆ y) − f ( x, = = f ( x, y) = lim y) y ∆ y →0 ∂y ∂y ∆y siempre que exista el límite.
Ejemplos À Obtener 0B ß 0C en À "Ñ 0 aBß Cb œ $B# #C $ (B %C 0C œ 'C # %
0B œ 'B (
#Ñ 0 aBß Cb œ #BC *B$ &C % 0B œ #C #(B
0C œ #B #!C $
#
$Ñ 0 aBß Cb œ a$BC# %Bb #
$
0B œ $a$BC # %Bb a$C # %b
VIRGINIO
Es decir, si D œ 0 aBß Cbß entonces para determinar 0B se considera constante la variable y se C deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se deriva con respecto a C
#
0C œ ")BCa$BC # %Bb
40
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
%Ñ 0 aBß Cb œ 0B œ
#B &C$ $B #C
#a$B #Cb $a#B &C $ b
0C œ
#
a$B #Cb 0B œ
0C œ
a$B #Cb#
&Ñ 0 aBß Cb œ BC B# C $ B % ( C $
0B œ C #BC %B C
"&C # a$B #Cb #a#B &C $ b #
a$B #Cb
%C "&C $
$
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
#!C $ %&BC # %B a$B #Cb#
0C œ B $B# C # (B% C '
(
'Ñ 0 aBß Cb œ B/BC >1a#B $Cb 0B œ /BC BC/BC #=/- # a#B $Cb
0C œ B# /BC $=/- # a#B $Cb
(Ñ 0 aBß Cb œ 68aB# C # b =/8aBCb BC -9=aBCb 0B œ
#B # C -9=aBCb C-9=aBCb BC =/8aBCb B# C #
0C œ
#C B -9=aBCb B-9=aBCb #B C =/8aBCb B# C #
El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables. Sea A œ 0 aBß Cß Db, una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0 con respecto a B, a C y a D están definidas por À ` 0 aBß Cß `A 0 aB ?Bß Cß Db 0 aBß Cß Db Db œ œ 0B aBß Cß Db œ lim ?B `B `B ?B Ä ! ` 0 aBß Cß `A 0 aBß C ?Cß Db 0 aBß Cß Db Db œ œ 0C aBß Cß Db œ lim `C `C ?C ?C Ä ! ` 0 aBß Cß Db œ
`D
œ
`A
œ D0 aBß C, zb
`D
siempre que el límite exista
lim ?D Ä !
0 aBß Cß D ?Db 0 aBß Cß Db ?D
Es decir, si A œ 0 aBß Cß Db para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las variables B y D y se deriva con respecto a la variable C. Por último, por igual camino para calcular 0D se consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D.
41
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Obtener 0B ß 0C ß 0D en À "Ñ 0 aBß Cß Db œ #B# %C $ &D % $B %C D 0C œ "#C # %
0B œ %B $
0D œ #!D $ "
#Ñ 0 aBß Cß Db œ BC $CD %BD BCD 0B œ C %D CD
0C œ B $D BD
$Ñ 0 aBß Cß Db œ BC/BD 68aB C Db 0B œ C/BD BCD/BD 0C œ B/BD
" BC D
" BC D
0D œ B# C/BD
" BC D %Ñ 0 aBß Cß Db œ $B &C #C D 0B œ
0C œ
0D œ
$ #C D &a#C Db #a$B &Cb &D 'B œ a#C Db# a#C Db# $B &C a#C Db
#
&Ñ 0 aBß Cß Db œ 68aB# C# D # b =/8a$B Cb >1a&C %Db 0B œ
B#
#B $ -9=a$B Cb C# D #
0C œ
#C # -9=a$B Cb &=/a&C %Db B# C # D #
0D œ
#D %=/-# a$B Cb B# C # D #
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos À
0D œ $C %B BC
42
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
'Ñ 0 aBß Cß Db œ B/BCD C -9=aBCDb D ÈBCD CD # # ÈBCD
0 œ B# D/BCD -9=aBCDb BCD =/8aBCDb C
BD # # ÈBCD
BCD 0D œ B# C/BCD BC # =/8aBCDb ÈBCD # ÈBCD $
(Ñ 0 aBß Cß Db œ =/8$ a#B $Cb >1a$C %Db 68# a&D Bb 0B œ '=/8# a#B $Cb -9=a#B $Cb )Ò68a&D Bb %
Ó†
%
" a&D Bb $
VIRGINIO GOMEZ
0 œ /BCD BCD/BCD C # D =/8aBCDb B
0C œ *=/8# a#B $Cb -9=a#B $Cb *Ò=/- # a$C %Db Óa$C %Db " $ # 0D œ "#Ò=/- # a$C %Db Óa$C %Db %!Ò68a&D Bb a&D Bb % Ó†
Ejercicios I Determine 0B y 0C en: +Ñ 0 aBß Cb œ $B %C B# C BC $ ,Ñ 0 aBß Cb œ 68a$B 'Cb -9=a$BC 'b B >1a#C "!b ) -Ñ 0 aBß Cb œ È$B %C a$B Cb %B( )C '
.Ñ 0 aBß Cb œ
(B )C %C *B
II Determine 0B ß 0C y 0D en: +Ñ 0 aBß Cß Db œ BCD 68a$B %C &Db %B 'C *D ,Ñ 0 aBß Cß Db œ È$ %B% *C % (D ( -Ñ 0 aBß Cß Db œ -9=a$B 'C (Db /-9=aBCDb B$ C % D ' .Ñ 0 aBß Cß Db œ
#
B68C D=/8C
C>1B BC/D
43
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Solución +Ñ 0B œ $ #BC
$ $C † =/8a$BC 'b >1a#C "!b $B 'C
,Ñ 0B œ
0C œ
' $B † =/8a$BC 'b #B † =/- # a#C "!b $B 'C
$ #%a$B Cb( #)B' # È$B %C
-Ñ 0B œ
0C œ
.Ñ 0B œ
II
# )a$B Cb( %)C& È$B %C
"!!C a%C *Bb# $ % $B %C &D
+Ñ 0B œ CD
0D œ BC
,Ñ 0B œ
0D œ
0C œ % B# $BC #
VIRGINIO GOMEZ
I C$
"!!B 0C œ a%C *Bb#
% ' $B %C &D
0C œ BD
& * $B %C &D "'B$
$ É a%B% *C % # (D ( b $
0C œ
$'C$
$ É a%B% *C % (D ( b $
%*D ' $ É a%B% *C% # (D ( b $
-Ñ 0B œ $=/8a$B 'C (Db CD † =/8aBCDb † / -9=aBCDb $B# C % D ' 0C œ '=/8a$B 'C (Db BD † =/8aBCDb † / -9=aBCDb %B$ C $ D ' 0D œ (=/8a$B 'C (Db BC † =/8aBCDb † /-9=aBCDb 'B$ C % D &
.Ñ 0B œ
68CaC>1B BC/D b aB68C D=/8CbaC=/- # B # C/ D b aC>1B BC/D b Œ
0C œ
0D œ
B D D C D-9=CaC>1B BC/ b aB68C D=/8Cba>1B B/ b # aC>1B BC/D b
a =/8CbaC>1B BC/D b aB68C # D=/8CbaBC/ D b aC>1B BC/D b
#
44
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Derivación implícita Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de derivada implícita. `D Si D œ 0 aBß Cb, es decir, D es una función de dos variables que depende de B e C . Para obtener `B se considera constante la variable C y se deriva implícitamente D con respecto a B. `D Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implícitamente D con respecto a `C C. Ejemplo À Obtener
`D `D , en À `B `C
"Ñ B# C# D # œ #& Para
`D `B
`D #B #D † œ! `B Para
Ê
`D B œ `B D
`D `C
`D `D C #C #D † œ ! Ê œ `C `C D #Ñ >1aB Cb >1aC Db œ " `D `B `D =/- # aB Cb =/- # aC Db † œ ! `B Para
`D =/- # aB Cb œ `B =/- # aC Db Para
`D `C
=/- # aB Cb =/- # aC Db † Œ"
`D œ! `C
`D =/- # aB Cb =/- # aC Db œ `C =/- # aC Db $Ñ D † /BD C † /CD /BC œ # Para
`D `B
`D BD `D BD # CD `D BC † / D † / † ŒD B † C † / † C/ œ ! `B `B `B
45
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
`D D # /BD C/BC œ BD `B / BD/BD C # /CD Para
`D `C
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
`D BD `D `D BC † / BD † /BD † /CD C † / CD † ŒD C † `C `C `C B/ œ ! `D /CD CD /CD B/BC œ BD ` B / BD/BD C # /CD %Ñ /BCD >1aCDb œ 68aBCDb -9=aBDb Para
`D `B
`D `D /BCD CD BC`D C=/- # aCDb `D œ CD BC =/8aBDb † D B " Œ Œ Œ `B BCD `B `B `B `D œ `B
Para
" D=/8aBDb CD/BCD B " BC/BCD C=/- # aCDb B=/8aBDb D
`D `C
/BCD BD BC`D =/- # Œ aCDb `C `D œ `B
`D DC Π`C
œ
`D `D ŒBD BC B=/8aBDb BCD `C `C
" BCD D=/-# aCDb BD/ C " BC/BCD C=/- # aCDb B=/8aBDb D Ejercicios
Obtener
`D `B
y
`D en À `C
"
+Ñ B# %C # *D # œ $'
,Ñ CD BD BC BCD œ !
-Ñ $B% %C $ 'D & œ '!
.Ñ #B C D œ 68D
/Ñ =/8ÐB CÑ -9=ÐC DÑ =/-ÐD BÑ œ "
0 Ñ B/ BC C=/8aCD b œ D>1aBD b
46
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
+Ñ
`D B œ `B *D
` D %C œ `C *D
,Ñ
` D CD D C œ `B C B BC
` D BD D B œ `C C B BC
`D
-Ñ
`B
.Ñ
/Ñ
œ
#B$ &D %
`D # œ " `B " D `D `B
œ
`D #C # œ % `C &D `D " œ " `C " D
-9=aB Cb =/-aB Db>1aB Db =/8aC Db =/-aB Db>1aB Db
`D -9=aB Cb =/8aC Db œ ` C =/8aC Db =/-aB Db>1aB Db
0Ñ
`D D # =/- # aBDb /BC BC/BC œ # `B C -9=aCDb >1aBDb BD =/- # aBDb `D B# /BC =/8aCDb CD -9=aCDb œ ` C >1aBDb BD =/- # aBDb C # -9=aCDb
GOMEZ
Solución
VIRGINIO
47
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Regla de la cadena
T eorema : Supóngase que z = f ( x, y ) , es una función de dos variables y que existen
∂z ∂x
y
∂z ∂y
con x = f (r , s) e y = f (r , s) funciones de r y
para las cuales
s
existen las derivadas
∂z ∂r
=
∂x
∂x
,
∂r ∂s ∂z
,
∂y ∂r
,
∂y ∂s
. Luego,
∂z ∂r
y
∂z ∂s
existen y vienen dadas por:
∂z ∂y + ⋅ ∂x ∂r ∂y ∂r ⋅
∂x
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
1) Determine D œ B# C # B œ =$ ` B .> ` C .>
.D .>
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos
`D œ C/BC BC# /BC `B
`D œ `C
.B " œ %>$ È .> # >
.C " # œ 68 $ a> "b $> † 68 a> "b † .> >"
B/BC B# C /BC
" ‰ %>$ " ˆB/BC B# C /BCŒ68$ a> "b $> † 68# a> œ ˆC/BC BC # /BC È> > " # "b † ‰ #Ñ Determine
.A en: .>
A œ BCD B œ >( $> & Cœ
>#
> $
D œ Eb
.A ` A .B ` A .C ` A .D œ † † † .> ` B .> ` C .> ` D .> `A œ CD `B
`A œ BD `C
.B
.C "a># $b >a#>b œ .> a># # $b
.>
'
œ (> $
`A œ BC `D
.D .>
" œ
È" >#
$ ># " ' œ aCDbˆ(> $‰ aBDb aBCb # È .> a> " ># # $b
.A
52
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios Determine À `A `<
+Ñ
si
A œ 68ÐB # C # Ñ B œ < -9= > C œ < =/8 >
,Ñ
.E si .>
E œ B $ C$ È#B $C B œ E1a>b -9=> =/8> C œ > † >1 a>b
-Ñ
`? `? `? ß ß si `3 `) `9
? œ B # #C # #D # B œ 3 -9= ) =/8 9 C œ 3 =/8 ) =/8 9 D œ 3 -9= 9
.Ñ Hallar
`A `B
en el punto Ð"ß "ß "Ñ si
A œ -9=a +,b + œ BCD ,œ
1 %ÐB# C# Ñ
53
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
+Ñ
`A #B #C œŒ # -9= > Œ # =/8 > # `< B C B C#
,Ñ
`E B " # œ $B# =/8# > -9= > Œ È `> " ># #B $C $ $C# a>1 > > =/- # >b È # #B $C
`? œ a#Bba-9=) =/89b a%Cba=/8) =/89 b a%Dba-9=9b `3
-Ñ
`? œ a#Bba 3 =/8) =/89b a%Cba3 -9=) =/89 b `)
VIRGINIO GOMEZ
Solución
`? œ a#Bba3 -9=) -9=9b a%Cba3 =/8) -9=9 b a%Dba=/89b `9
.Ñ
`A a"ß "ß "b œ ! `B
54
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
A) Problemas con enunciado
VIRGINIO GOMEZ
Aplicaciones de la regla de la cadena
1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm.. En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese momento?
Z œ 1b
Z œ 0 a seg
2 œ 0 a>b
< œ "# cm
.2 cm œ% .> seg
.Z œ ` Z † .< ` Z † .2 .> ` < .> ` 2 .> # .Z .> œ a#1 ˆ1< ‰ † .2 .>
.Z œ a)'%1b † a &b a"%%1b † a%b .> .Z œ %$#!1 &('1 .> .Z œ $(%%1 .> El volumen decrece a razón de $(%%1 cm3 /seg
55
2 œ $' cm
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Por teorema del coseno +# œ , # - # #,- † -9=! + œ 0 a,ß -ß !b
;, œ 0 a>b
; - œ 0 a>b
; ! œ 0 a>b
+ œ È, # - # #,- † -9=! ! œ '!º
.! grados œ& .> seg
- œ "! cm
, œ "' cm
., " cm œ .> # seg
.cm œ" .> seg
.+ ` + .! ` + ., ` + .œ † † † .> ` ! .> ` , .> ` - .> .+ .> .> .+ .> ”
,- † =/8! œ
.!
È,# - # #,- † -9=!
, -† -9=!
bœ
.,
È, # - # #,- † -9=!
.> "
VIRGINIO GOMEZ
2) En cierto instante, el ángulo ! de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de "# cm/seg. Hallar la velocidad de variación del lado a.
- , † -9=!
È, # - # #,- † -9=!
.>
" a,- † =/8!ba&b a, - † -9=! Œ a- , † -9=!ba"b • È, # - # #,- † -9=! #
.+ " "" œ # %!!È$ Œ .> "% # .+ " ( œ %!!È$ Œ .> "% # El lado a crece a razón de
cm " ( Π%!! $ seg "% #
È
.-
56
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
+Ñ Z œ 6+2 + œ "!
Z œ 0 a+ß 6ß 2b .+ œ # cm .> seg
2œ)
;
.2 cm œ" .> seg
.Z œ ` Z † .+ ` Z † .6 ` Z † .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .Z .+ .6 .2 œ a62b a+2b a6+b .> .> .> .> .Z œ a"#!ba #b a)!ba$b a"&!ba"b .> .Z œ "&! .>
El volumen crece a razón de 150 cm3 /seg.
,Ñ E œ #+6 #+2 #62 .E œ ` E † .+ ` E † .6 ` E † .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .E
.+ œ a#6 #2b a#+ #2b .> .>
.6
.2 a#+ #6b .> .>
.E œ a%'ba #b a$'ba$b a&!ba"b .> .E œ '' .>
6 œ "&
VIRGINIO GOMEZ
3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es 10 y la altura es 8 cm.? b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?
El área total crece a razón de 66 cm2 /seg.
57
cm .6 œ$ .> seg
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
"Ñ La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono en ese instante ? #Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son À largo 15 cm., ancho 8 cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del: +Ñ volumen. ,Ñ área total si el sólido es sin tapa. -Ñ área total si el sólido es con tapa.
$Ñ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de cambio del À +Ñ volumen. ,Ñ área total , si el cilindro no tiene tapa. -Ñ área lateral, si el cilindro tiene tapa. Solución
"Ñ El volumen del cono decrece a razón de (#Þ!!! 1 cm3 /min. #Ñ
+Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de $%) cm3 /seg.
,Ñ El área total del sólido rectangular decrece a razón de ( cm# /seg si el sólido es sin tapa.
-Ñ El área total del sólido rectangular crece a razón de &# cm# /seg si el sólido es con tapa. $Ñ +Ñ El volumen del cilindro crece a razón de $)%! 1 cm3 /seg. ,Ñ El área total del cilindro crece a razón de #!) cm# /seg . -Ñ El área lateral del cilindro crece a razón de )! cm# /seg .
58
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
B) Demostraciones "Ñ Sea A œ 0 aC B >ß D C >b . Haciendo ? œ C B > à @ œ D C > `A `A `A `A # Demostrar que œ! `B `C `D `> A œ 0 a?ß @b
? œCB>
con
@œDC>
y
`A `A `? `A `@ œ † † `B `? `B `@ `B `A `B
œ
`A
a "b
`A
`?
a!b
Ê
`@
`A
œ
`A
`B
`?
`A `A `? `A `@ œ † † `C `? `C `@ `C `A
œ
`C
`A
a"b
`?
`A `@
a "b
Ê
`A `C
œ
`A
`?
`A `@
`A `A `? `A `@ œ † † `D `? `D `@ `D `A `A `A œ a!b a"b `D `? `@
Ê
`A `A œ `D `@
`A `A `? `A `@ œ † † `> `? `> `@ `> `A `>
œ
`A
a "b
`?
`A
a"b
`@
Ê
`A `>
œ
`A `?
`A `@
`A `A `A `A `A `A `A `A `A `A # œ # # `B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ `A `A `A `A # œ! `B `C `D `> Por lo tanto,
`A `A `A `A œ! # `B `C `D `>
59
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
`?
`? `? œ+† , † `> `B `C
Sea : œ B +> y ; œ C ,> `? `? `: `? `; œ † † `> `: `> `; `> `? `? `? œ a+b a,b `> `: `;
Ê
`? `? `? œ+ , `> `: `;
Ê
`? `? œ `B `:
Ê
`? `? œ `C `;
`? `? `: `? `; œ † † `B `: `B `; `B `? `? `? œ a"b a!b `B `: `; `? `? `: `? `; œ † † `C `: `C `; `C `? `? `? œ a!b a"b `C `: `; `?
`? `? œ+† , † `> `B `C
+
`? `? `? `? , œ+ , `: `; `: `;
Por lo tanto,
`? `? `? œ+† ,† `> `B `C
3) Para A œ 0 aBß Cb con B œ
Solución "Ñ Se cumple #Ñ Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:
`+ `, `B œ `C
y
`+ `, `C œ `B
61
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Derivada direccional La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con respecto a B puede considerarse como la derivada en la dirección B y la derivada parcial con respecto a C puede considerarse como la derivada en la dirección C.
p
Sea D œ 0 aBß Cb una función de dos variables y sea ? œ -9=) 3 =/8) 4 un vector unitario. p Entonces la derivada direccional de 0 en la dirección de ?, denotada por H? 0 aBß Cb es À H? 0 aBß Cb œ
lim 2Ä!
0 aB 2-9=)ß C 2=/8)b 0 aBß Cb 2
p
Si ? œ 3 Ê ) œ ! Ê -9=! œ " H3 0 aBß Cb œ Si
2Ä!
p
H4 0 aBß Cb œ
`B
0 aB 2ß Cb 0 aBß Cb
lim
? œ 4Ê ) œ
à =/8! œ ! y se obtiene À
2
œ
`0
`B
1 1 1 Ê -9= œ ! à =/8 œ " y se obtiene À # # #
lim 2Ä!
0 aBß C 2b 0 aBß Cb 2
œ
`0
`C
`C
si existe el límite
Teorema: Si f ( x, y) y sus derivadas parciales son continuas y r ∝ = cos i + sen j , entonces: D ∝r = f x ( x, y) cos + f y ( x, y)sen
62
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Ejemplos
0B aBß Cb œ #B # 0C aBß Cb œ #C # p
? œ -9=Œ
Ê 0B a #ß &b œ # Ê 0C a #ß &b œ "#
#1
#1 3 =/8Π4 $ $
Ê p? œ
È$ " 3 4 # #
È$ " H? 0 a #ß &b œ a a "#b # # #bŒ H? 0 a #ß &b œ " 'È$
VIRGINIOGOMEZ
1) Dada la función 0 aBß Cb œ B# C # #B #C, hallar la derivada direccional de en la 0 dirección ) œ #1Î$ en el punto a #ß &b
2) Calcular la derivada direccional de 0 aBß Cb œ C # -9=#B en a1Î'ß "b en la dirección de @ œ $3 %4 p
1 # 0BaBß Cb œ #C # =/8 #B Ê 0B a1Î'ß "b œ #a"b =/8Š ‹ œ È$ $ 1 0C aBß Cb œ #C -9= #B Ê 0C a1Î'ß "b œ #a"b -9=Š ‹ œ " $ p m@m œ È* "' œ &
p
@
$ % p Ê ? œ 3 4 & & m@ m p
% a"bŒ & & $È $ % &
H ?$‹ 0 a1Î'ß "b œ Š È H? 0 a1Î'ß "b œ
p
ß @ no es unitario, ? œ $
Œ
Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En ‘3 , la dirección de un vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À , ? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 p
? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 un vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de ? está dada por À Concepto À Sea 0 aBß Cß Db una función de tres variables y p
H 0 Bß Cß D œ b ? a límite
lim Db 2Ä!
0 aB 2-9=!ß C 2-9="ß D 2-9=#b 0 aBß Cß 2
si existe el
63
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
r
∝ = cos 〈 i + cos j + cos k , entonces:
Ejemplos À
VIRGINIO GOMEZ
Teorema: Si f ( x, y, z) es una función de tres variables y
1) Dada la función 0 aBß Cß Db œ B# BC BD C # D # . Encontrar la derivada direccional de p 0 aBß Cß Db en T a "ß #ß "b en la dirección del vector @ œ #3 4 #5 0B aBß Cß Db œ #B C D Ê 0B a "ß #ß "b œ " 0C aBß Cß Db œ B #C
Ê 0C a "ß #ß "b œ $
0D aBß Cß Db œ B #D
Ê 0D a "ß #ß "b œ "
p m@ m œ È % " % œ $
p
ß @ no es unitario, ? œ
# H? 0 aBß Cß Db œ a Œ $ "b a$bŒ
@
# " # p Ê ? œ 3 4 5 $ $ $ m@ m p
" # a "bΠ$ $
H? 0 aBß Cß Db œ "
2) Hallar la derivada direccional si 0 aBß Cß Db œ /C -9= B /D =/8 C en T a!ß !ß #b en la dirección p
del vector T U si Ua #ß "ß #b 0B aBß Cß Db œ /C =/8B
Ê 0B a!ß !ß #b œ !
0C aBß Cß Db œ /C -9= B /D -9= C
Ê 0C a!ß !ß #b œ " /#
0D aBß Cß Db œ /D =/8 C
Ê 0D a!ß !ß #b œ !
Ä
T U œ U T œ a #ß "ß #b a!ß !ß #b œ a #ß "ß !b p
p p p @ m@m œ È% " ! œ È& ß @ no es unitario, ? œ
p # " Ê ? œ 3 4 È È & & m@ m
p
# " H? 0 aBß Cß Db œ a!b a" /# b a!ba!b È& È& H? 0 aBß Cß Db œ
" /# È &
64
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la dirección o vector. +Ñ 0 aBß Cb œ
C $ ß el punto es a"ß #b y la dirección ! œ 1 BC %
,Ñ 0 aBß Cb œ B # BC C # ß el punto es a$ß "b y la dirección ! œ '
&
1
# -Ñ 0 aBß Cb œ C B-9= ÐBCÑ ß el punto es a!ß !b y la dirección ! œ 1 $ p
.Ñ 0 aBß Cb œ #B # $BC C # ß el punto es a"ß "b y el vector @ œ 3 4 p
/Ñ 0 aBß Cß Db œ BE1ÐCDÑ ß el punto es a%ß "ß "b y el vector @ œ Ò#ß "ß "Ó
0 Ñ 0 aBß Cß Db œ
BC p ß el punto es Ð#ß $ß &Ñ y el vector @ œ 5 D
Ä
1Ñ 0 aBß Cß Db œ 68ÐB # C D # Ñ ß el punto es a!ß "ß !b y el vector está en la dirección T U si T a!ß "ß !b y Ua$ß %ß "b
2Ñ 0 aBß Cß Db œ
ÈB C D #
#
ß el punto es a"ß "ß "b y el vector está en la dirección EF #
68ÐB C DÑ si Ea#ß "ß "b y Fa"ß !ß #b
Solución +Ñ H ? 0 a"ß #b œ
È#
,Ñ H ? 0 a$ß "b œ
'
.Ñ H ? 0 a"ß "b œ # È#
1Ñ H? 0 a!ß "ß !b œ È
$ "*
& (È $ #
/Ñ H ? 0 a%ß "ß "b œ
È'1
2Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
"# 68$ " $a68 $b#
Ä
-Ñ H ? 0 a!ß !b œ
È$ " #
' 0 Ñ H ? 0 a#ß $ß &b œ #&
65
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Gradientes 1) De H? 0 aBß Cb œ 0B aBß Cb -9=) 0C aBß Cb =/8) œ Ò0B aBß Cbß 0C aBß CbÓ † Ò -9=)ß =/8) Ó p œ Ò0B aBß Cbß 0C aBß CbÓ † ?
El vector f x ( x, y)i
+ f y ( x, y) j
se conoce como vector gradiente
grad f (x, y) = ∇ f (x, y) = f x ( x, y)i + f y (x, y) j grad f (x, y) = ∇ f (x, y) = f x (x, y)i + f y ( x, y) j
H? 0 aBß Cß Db œ 0B aBß Cß Db -9=! 0C aBß Cß Db -9=" 0D aBß Cß Db -9=# œ Ò0B aBß Cß Dbß 0C aBß Cß Dbß 0D aBß Cß Db Ó † Ò -9=!ß -9="ß -9=# Ó p œ Ò0B aBß Cß Dbß 0C aBß Cß Dbß 0D aBß Cß DbÓ † ?
El vector f x ( x, y, z)i
GOMEZ + f y ( x, y, z) j + f z ( x, y, z)k
se conoce como vector gradiente
Asíß
p
H ?0 aBß Cb œ ? † f0 aBß Cb p H? 0 aBß Cß Db œ ? † f0 aBß Cß Db
VIRGINIO
#Ñ De
p
Sea ! la medida en radianes del ángulo formado por los vectores ? y f0 ß entonces p p p ? † f0 œ m?m † mf0 m † -9=! , pero m?m œ " p ? † f0 œ mf0 m † -9=! Si ! œ !ß entonces -9=! œ " alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su p máximo valor cuando ? está en la misma dirección y sentido que f0 Máx D∝r f ( x, y)
= ∇ f ( x, y)
Máx D∝r f ( x, y, z) = ∇ f ( x, y, z)
Si ! œ ")!°ß entonces -9=")!° œ " alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada p direccional alcanza su mínimo valor ? cuando está en la misma dirección, pero sentido contrario con f0 Mín D ∝r f ( x, y) =
∇ f ( x, y)
Mín D ∝r f ( x, y, z) = z)
− ∇ f ( x, y,
66
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos À 1) La temperatura en cualquier punto T aBß Cb de una placa rectangular situada en el plano BC es C X aBß Cb œ # B C# a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ß %b b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto #BC # C# b
+Ñ XB aBß Cb œ
Ê XB a$ß %b œ
aB#
aB# C# b #C # XC aBß Cb œ aB# C # # b fX a$ß %b œ ”
#% '#& (
Ê XC a$ß %b œ
'#&
#% ( ß • '#& '#& #
#
#% ( " ,Ñ MáxH X a$ß %b œ mfX a$ß %bm œ ËŒ Œ œ ? '#& '#& #&
fX a$ß %b -Ñ ? œ œ mfX a$ß %bm p
”
#% ( ß • #% ( '#& '#& œ” ß • " #& #& #&
'! 2) Si Z volts es el potencial eléctrico en cualquier punto T aBß Cß Db en ‘3 y Z œ # ÈB C# D # Þ Encontrar À a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a "ß "ß en la dirección del vector p "b @ œ $3 '4 #5 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto. '!B '! #! È +Ñ ZB aBß Cß Db œ Ê ZB a "ß "ß "b œ œ $ È # # # $ $ $ ÉaB C D $ b aBß Cß Db œ
ZD aBß Cß Db œ
'!C '! $Ê ZC a "ß "ß "b œ $È $ ÉaB# C# D # $ b '!D ÉaB# b
C#
D#
'! #! È Ê ZD a "ß "ß "b œ œ $ È $ $ $
$
#! fZ a "ß "ß "b œ ” $
È$ß #! È$ß #! È$ • $
#!œÈ ZC $
$
p p p m@m œ È * $' % œ ( @ no es unitario, ? œ $ 3 ' 4 # 5
(
(
(
67
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
##! È H? Z a "ß "ß "b $ #" œ
VIRGINIO GOMEZ
#! $ ' # a È #! a È #! a ? Z a "ß "ß "b œ HÈ ” $ $ß $ $ß $ $• † ” ( ß ( 4 ß ( 5 •
,Ñ MínH? Z a "ß "ß "b œ mfZ a "ß "ß "bm œ #!
Dirección
p
?œ
fZ a "ß "ß œ "b mfZ a "ß "ß "bm
”
#!È #! #! $ß È$ß È$• $ $ $ #!
œ ”
È$ È$ È$ ß • $ $ $
Ejercicios
"Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß Cb œ B # -9=ÐBCÑ T Ð"ß 1Î% Ñ ,Ñ 0 aBß Cb œ BÈC B C T Ð$ß %Ñ -Ñ 0 aBß Cß Db œ /BC D T Ð!ß $ß "Ñ #
#Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß Cb œ B # BC C # T a "ß "b # T a#ß "ß #b ,Ñ 0 aBß Cß Db œ ÐB CÑ# ÐC DÑ ÐD # BÑ $Ñ +Ñ La densidad ÐBß CÑ, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC, es BC HaBß Cb œ = ÈB # C # Þ $
+Þ"ÑHalle la razón de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la dirección de ! œ &1Î$Þ +Þ#Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese punto. ,Ñ Suponga que la temperatura por À X aBß Cß Db œ B # C CD /BC
en
cualquier
punto
aBß Cß Db
está
dada p
,Þ"Ñ Determinar la razón de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la dirección del vector OP donde O es el origen del sistema. ,Þ#Ñ ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?. -Ñ El potencial eléctrico es Z aBß Cb aen voltsb en el plano BC y Z aBß Cb œ $B$ C %C # BC p
-Þ"Ñ Determine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD con G a#ß "bà Ha'ß #b en el punto a "ß %bÞ -Þ#Ñ Obtener el vector gradiente en este mismo punto. -Þ$Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en a "ß %bÞ -Þ%Ñ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a "ß %b . Con ese vector calcule la derivada direccional en el mismo punto.
68
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Solución
+Ñ f0 a"ß 1Î%b œ #
È#1 )
ß
È#
#
GOMEZ
"Ñ
MáxH ? 0 a"ß 1Î%b œ
È# † É1# "'È#1 "%%
( ,Ñ f0 a$ß %b œ Œ"ß %
MáxH ? 0 a$ß %b œ
-Ñ f0 a!ß $ß "b œ a $ß !ß #b
MáxH? 0 a!ß $ß "b œ È"$
#Ñ
È'& %
+Ñ f0 a "ß "b œ a "ß "b
MínH? 0 a "ß "b œ È#
,Ñ f0 a#ß "ß #b œ a"!ß %ß "! b
MínH? 0 a#ß "ß #b œ 'È'
$Ñ ") (È$ '%
+Þ#Ñ MáxH ? 0 a#ß $b œ
,Þ"Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
È$($ $#
") ( p ?œ = ß È$($ È$($
&È$ #È$/ $
+Þ#Ñ MínH? 0 a#ß $b œ È#/# )/ * p
?œ *
/# È#/#
/ # " ß ß # # È#/ )/ * )/ È#/ )/ *
-Þ"Ñ H? 0 a "ß %b œ
"'#È"( "(
-Þ#Ñ fZ a "ß %b œ a $#ß $%b -Þ$Ñ MáxH ? 0 a#ß $b œ #È&%&
"' "( p ? œ = ß È&%& È&%&
-Þ%Ñ los vectores unitarios ortogonales al gradiente son "( "' È ß È &%& &%&
VIRGINIO
+Þ"Ñ H? 0 a#ß $b œ
"( "' È ß È &%& &%&
)
El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.
69
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Derivadas Parciales de orden superior `0 `0 son funciones y `B `C también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de segundo orden que se definen como: Si 0 es una función de dos variables, es decir, D œ 0 aBß Cb, entonces
+Ñ
` a0B b `B
,Ñ
` a0C b `C
-Ñ
` a0B b `C
.Ñ
` a0C b `B
# œ lim 0B aB 2ß Cb 0B aBß œ 0BB œ ` 0 Cb 2 ` B# 2Ä!
0 aBß C 2b 0C aBß ` #0 œ lim C œ 0 œ CC Cb 2 ` C# 2Ä! # œ lim 0B aBß C 2b 0B aBß œ 0BC œ ` 0 Cb 2 ` C` B 2Ä!
0C aB 2ß Cb 0C aBß ` #0 œ 0CB œ Cb 2 ` B` C 2Ä!
œ lim
Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos: Dada la función, obtener 0BB ß 0CC ß 0BC "Ñ 0 aBß Cb œ #B$ $B# C BC# $C # #
0B œ 'B 'BC C
#
0BB œ "#B 'C 0BC œ 'B #C #Ñ 0 aBß Cb œ /BC a-9=B =/8Cb 0B œ C/BC a-9=B =/8Cb /BC † =/8B 0C œ B/BC a-9=B =/8Cb /BC † -9=C
0C œ $B# #BC 'C 0CC œ #B '
0BB œ C# /BC a-9=B =/8Cb C/BC † =/8B C/BC † =/8B /BC † -9=B 0CC œ B# /BC a-9=B =/8Cb B/BC † -9=C B/ BC † -9=C /BC † =/8C
0BC œ /BC a-9=B =/8Cb BC/BC a-9=B =/8Cb C/BC † -9=C B/ BC † =/8B Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables `0 `0 `0 Sea A œ 0 aBß Cß Db una función de tres variables con , y funciones también de tres `B `C `D variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:
70
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
` a0B b
# œ lim 0B aB 2ß Cß Db 0B aBß Cß œ 0BB œ ` 0 Db 2 ` B# 2Ä!
`B ` a0C b
,Ñ
0 aBß C 2ß Db 0C aBß Cß ` #0 œ lim C œ 0 œ CC Db 2 ` C# 2Ä!
`C ` a0D b
-Ñ
# œ lim 0D aBß Cß D 2b 0D aBß Cß œ 0DD œ ` 0 Db 2 ` D# 2Ä!
`D ` a0B b
.Ñ
# œ lim 0B aBß C 2ß Db 0B aBß Cß œ 0BC œ ` 0 Db 2 ` C` B 2Ä!
`C ` a0B b
/Ñ
# œ lim 0B aBß Cß D 2b 0B aBß Cß œ 0BD œ ` 0 Db 2 ` D` B 2Ä!
`D ` a0C b
0Ñ
0C aB 2ß Cß Db 0C aBß Cß ` #0 œ 0CB œ Db 2 ` B` C 2Ä!
œ lim
`B ` a0C b
1Ñ
0C aBß Cß D 2b 0C aBß Cß ` #0 œ 0CD œ Db 2 ` D` C 2Ä!
œ lim
`D 2Ñ œ
3Ñ
` a0D b `B
` a0D b `C
0D aB 2ß Cß Db 0D aBß Cß ` #0 œ 0DB œ Db 2 ` B` D 2Ä! lim
# œ lim 0D aBß C 2ß Db 0D aBß Cß œ 0DC œ ` 0 Db 2 ` C` D 2Ä!
VIRGINIO GOMEZ
+Ñ
Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB ß 0BD œ 0DB ß 0CD œ 0DC . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos
Para las siguientes funciones, determinar 0BB ß 0CC ß 0DD ß 0BC ß 0BD ß 0CD "Ñ 0 aBß Cß Db œ B$ $B# C C $ $C # D D # BD # C D 0B œ $B# 'BC D #
0C œ $B# $C # 'CD D
0D œ $C # #D #BD C 0BB œ 'B 'C
0CC œ 'C 'D
0DD œ # #B
0BC œ 'B
0BD œ #D
0CD œ 'C "
71
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
0B œ /B † -9=D /C † -9=B
0C œ /C † =/8B / D † =/- # C
0D œ /B † =/8D /D † >1 C 0BB œ /B † -9=D /C =/8B
0CC œ /C † =/8B #/D † =/- # C † >1 C
0DD œ /B † -9=D /D † >1 C
0BC œ /C † -9=B
0BD œ /B † =/8D
0CD œ /D † =/- # C
Ejercicios
1) En ‘# la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 # œ! `B# `C Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación +Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68ÐB# C # Ñ C B ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ E1 Š ‹ # # B B C -Ñ 0 ÐBß CÑ œ /B † =/8 C /C † =/8 B .Ñ 0 ÐBß CÑ œ E1
Œ
VIRGINIO GOMEZ
#Ñ 0 aBß Cß Db œ /B † -9=D /C † =/8B /D † >1 C
#BC B# C #
2) En ‘$ la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 ` #0 # #œ! `B# `C `D Demuestre que la función 0 ÐBß Cß DÑ œ
" cumple con esta ecuación. È B# C # D#
Solución
Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en ‘# como en ‘3 .
72
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Conceptos:
VIRGINIO GOMEZ
Máximos y mínimos para funciones de varias variables
1) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de máximo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb Ÿ 0 aB! ß C! b
#) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de mínimo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb
0 aB! ß C! b
$) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb si, y sólo si f0 a+ß ,b œ Ò !ß ! Ó %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un máximo relativo de 0 aBß Cb si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb Ÿ 0 a+ß ,b &Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un mínimo relativo de 0 aBß Cb si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß 0 a+ß ,b Cb %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto de silla de 0 aBß Cb si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] no es máximo ni mínimo.
Hessiano de una función de dos variables
Sea D œ 0 aBß Cb una función de dos variables, se define el Hessiano como: L aBß Cb œ Œ
0BB 0CB
0BC 0CC
Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico, entonces: 1) [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un mínimo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si ¸L a+ß ,b¸ ! • 0BB a+ß ,b !
73
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
¸L a+ß ,b¸ ! • 0BB a+ß ,b ! $Ñ [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto de silla de 0 aBß Cb si, y sólo si ¸L a+ß ,b¸ ! %Ñ No hay información si ¸L a+ß ,b¸ œ !
Ejemplos: Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones: "Ñ 0 aBß Cb œ & B# C # 0B œ #B
0C œ #C Ê #B œ ! Ê #C œ !
0B œ ! 0C œ !
ÊBœ! Ê Cœ!
Así, a!ß !ß &b es el punto crítico de 0 aBß Cb 0BB œ #
0CC œ #
0BC œ !
# ! # ! L aBß Cb œ Œ Ê L a!ß !b œ Œ ! # ! # ¸L a!ß !b¸ œ % ! • 0BB a!ß !b œ # ! Por lo tanto, a!ß !ß &b es un máximo relativo de 0 aBß Cb #Ñ 0 aBß Cb œ #B$ C$ $B# $C "#B % 0B œ 'B# 'B "#
0C œ $C # $
VIRGINIO GOMEZ
2) [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un máximo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si
Ê 'B# 'B "# œ ! Ê B" œ " • B # œ # # Ê $C $ œ ! Ê C" œ " • C# œ "
0B œ ! 0C œ !
Así, a"ß "ß "$b à a"ß "ß *b à a #ß "ß "%b à a #ß "ß ")b son puntos críticos de 0 aBß Cb 0BB œ "#B ' L aBß Cb œ Œ
0CC œ 'C
0BC œ !
"#B ' ! ! 'C
a"ß "b œ Œ ") !
!L '
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") !
74
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Por lo tanto, a"ß "ß "$b es un mínimo relativo de 0 aBß Cb !L '
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) !
Por lo tanto, a"ß "ß *b es un punto de silla de 0 aBß Cb a #ß "b œ Œ ") ! L ! '
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) !
Por lo tanto, a #ß "ß "%b es un punto de silla de 0 aBß Cb L a #ß "b œ Œ ") ! ! ' ¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") ! Por lo tanto, a #ß "ß ")b es un máximo relativo de 0 aBß Cb $Ñ 0 aBß Cb œ -9= B =/8 C
en el intervalo Ò !ß #1Ó
0B œ =/8B
VIRGINIO GOMEZ
a"ß "b œ Œ ") !
0C œ -9=C
0B œ ! B#
Ê =/8B œ ! Ê B" œ ! à
0C œ !
Ê -9=C œ !
œ 1 • B$ œ #1 1 $1 • C# œ # #
Ê C" œ
1 $1 1 $1 1 $1 ß #‹ à Œ!ß ß !à Š1ß ß !‹ àŒ 1ß ß # à Š#1 ß ß #‹ à Œ#1 ß ß ! son puntos # # # # # # críticos de 0 aBß Cb Así, Š!ß
0BB œ -9=B L aBß Cb œ Œ
0CC œ =/8C
-9=B !
1 " L Š!ß ‹ œ Œ ! # Por lo tanto, Š!ß $1 Œ L !ß
#
Œ
œ
Por lo tanto, Œ!ß L Š1ß 1# ‹ œ Œ"!
0BC œ !
! =/8C !
"
Ê ¸L a"ß "b¸ œ # ! • 0
1 ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß Cb # " ! !
"
¸ Œ Ê L !ß
$1 #
1 Š!ß ‹ œ " ! #
BB
¸
œ " !
$1 ß !es un punto de silla de 0 aBß Cb # 1 ! " Ê ¸L Š1ß ‹¸ œ " ! #
1 ß !‹ es un punto de silla de 0 aBß Cb # $1 $1 " ! L Œ1ß # œ Œ ! " Ê ¸L Œ1ß # ¸ œ " ! • 0 Por lo tanto, Š1ß
BB Œ1ß
$1 # œ " !
75
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Por lo tanto, Œ1ß
$1 ß # es un mínimo relativo de 0 aBß Cb #
Š#1ß ‹1 œ Œ #
" !
¸L Š#1ß
1 1 ‹¸ œ " ! • BB 0 Š#1ß ‹ œ " ! # #
Por lo tanto, Š#1ß $1 Œ L #1ß
!L "
#
Œ
1 ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß Cb # " ! !
"
œ
Por lo tanto, Œ#1ß
¸ Œ
$1 #
Ê L #1ß
¸
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
œ " !
$1 ß !es un punto de silla de 0 aBß Cb # Ejercicios
1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À +Ñ 0 ÐBß CÑ œ #B %C B# C # $ ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐB CÑ -Ñ 0 ÐBß CÑ œ %BC B% C % .Ñ 0 aBß Cb œ B# BC C # #B #C %
2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercancía A, C unidades de la mercancía B. Si T aBß Cb es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aBß Cb œ $$B ''C BC B # $C # Þ ¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima utilidad diaria? Solución "Ñ +Ñ a"ß #ß #b es un máximo relativo de 0 aBß Cb ,Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß Cb
-Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß Cb a"ß "ß #bà a "ß "ß #b son máximos relativos 0 aBß Cb y de .Ñ a #ß #ß )b es un mínimo relativo de 0 aBß Cb
#Ñ Deben fabricarse #% unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para maximizar la utilidad diaria.
76
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Multiplicadores de Lagrange
Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo método se denomina Multiplicadores de Lagrange Sea 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b una función de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos con la condición adicional 1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b œ ! . Para determinar los puntos críticos se forma una nueva función auxiliar J aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 ß -b œ 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b -1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b
Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el mínimo buscado y si el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el máximo buscado. Ejemplos:
1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura.
0 a+ß 6ß 2b œ +6 #+2 #62 Z œ +62 Ê 1a+ß 6ß 2b œ +62 Z J a+ß 6ß 2ß -b œ +6 #+2 #62 -a+62 Z b J+ œ 6 #2 -62
Ê J+ œ !
Ê - œ
J6 œ + #2 -+2
Ê J6 œ !
Ê - œ
6 #2 62 + #2 +2 #+ #6 +6
J2 œ #+ #6 -+6
Ê J2 œ !
Ê - œ
J- œ +62 Z
Ê J- œ !
Ê +62 œ Z
a"b y a$b
6 #2 #+ #6 # œ Ê +6# #+62 œ #+62 #6 2 62 +6 # # Ê +6 œ #6 2 Ê + œ #2
77
a"b a#b a$b
a%b
a&b
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
+ #2 #+ #6 œ Ê +# 6 #+62 œ #+# 2 #+62 +2 +6 Ê +# 6 œ #+# 2 Ê 6 œ #2
VIRGINIO GOMEZ
a#b y a$b
a'b
a&b y a'b +œ6
a(b
a%b ß a&b ß a'b y a(b + +62 œ Z Ê a+ba+bŠ ‹ œ Z #$ + Ê œZ # Ê +$ œ #Z È $ $ Ê + œ È #Z , 6 œ È #Z ß 2 $œ #
Luego, las dimensiones de la caja son base È #Z ÒudlÓ y altura $
#Z
È$ [udl]. #Z #
2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción #B# C# $D # œ #()% . Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad. 0 aBß Cß Db œ #!!B $!!C &!!D 1aBß Cß Db œ #B# C# $D # #()% J aBß Cß Dß -b œ #!!B $!!C &!!D -a#B# C # $D # #()%b Ê - œ
J œ #!! %BB
Ê J œ!
J œ $!! #CC
Ê JC œ !
Ê - œ
J œ &!! 'DD
Ê J œ! D
Ê - œ
B
J- œ #B# C# $D # #()% %
B
Ê J- œ !
a"b y a#b &! "&! $BœB Ê C &!C œ "&!B Ê C œ a"b y a$b
&!
"&! C #&! $D
a"b
a#b
a$b
Ê - œ #B# C # $D # œ #()
a&b
a%b
78
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
&!
œB $ B
#&!
Ê $D "&!D œ #&!B Ê D œ
&
a'b
a%b à a&b y a'b # #B# C# $D œ #()% Ê #B# *B# Œ $
#& B # œ #()% *
Ê &)B# œ ) $&# Ê B# œ "% % Ê B œ "# , C œ $' ß D œ #!
VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12 unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C. 3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia B# C# œ " . Si X grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X œ #B# C# C , encuentre los puntos más calientes y los puntos más fríos en el disco 0 aBß Cb œ #B# C # C 1aBß Cb œ B# C # " J aBß Cß -b œ #B# C # C -aB# C # "b JB œ %B #B-
Ê - œ #
Ê JB œ !
J œ #C " #CC
Ê J œ!
J - œ B# C # " "
Ê J- œ !
C
Ê - œ
ß BÁ ! " #C
ßC Á !
#C Ê B# C # œ
a"b y a#b #œ
" #C #C
Ê %C œ " #C
Ê Cœ
" Ê B# œ " %
È$
a$b y a%b B# C # œ "
Ê B" œ
a"b
a$b
" #
È$ ß B# œ # #
Si B œ !ß entonces en B# C # œ " , C# œ " Ê C" œ " ß C# œ " Si C œ !ß entonces en B# C # œ " , B# œ " Ê B" œ " ß B# œ " Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son: È$ " # ß #
È$
Ê X
#
ß
" * œ # %
È$ È$ " " * ß Ê X ß œ # # # % #
a#b
a%b
79
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Ê X a!ß "b œ !
a!ß "b Ê X a!ß "b œ # a"ß !b
Ê X a!ß "b œ #
VIRGINIO GOMEZ
a!ß "b
a "ß !b Ê X a!ß "b œ # È$ È$ " " Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son ß y el punto más ß , # # # # frío del disco es a!ß "bÞ
Ejercicios
Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À 1Ñ Hallar los valores extremos de 0 aBß Cb œ BC sujetos a la restricción 1aBß Cb œ B# C # "! 2Ñ El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su máximo volumen posible. 3Ñ Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicas en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible. 4Ñ Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la Fábrica A produce B unidades, la fábrica B produce C unidades y la fábrica C produce D unidades, sus respectivos costos de producción son $B# #!! dólares, C# %!! dólares, #D # #!! dólares. Si se va a surtir un pedido de "Þ"!! unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total. 5Ñ Si se gastan B miles de dólares en trabajo e C miles de dólares en equipamiento, la producción de una cierta fábrica será T ÐBß CÑ œ '! B"Î$ C #Î$ unidades. Si hay "#!Þ!!! dólares disponibles, ¿cómo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?. 6Ñ Hállese los puntos sobre la esfera B# C# D # œ donde 0 aBß Cß Db œ B #C #& $D sus valores máximos y mínimos
tiene
7Ñ Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. Determine el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.
80
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Solución
"Ñ Los puntos máximos son ŠÈ&ß È&‹à Š È&ß È&‹ Š È&ß È&‹à ŠÈ&ß È&‹
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
y los puntos mínimos son
#Ñ Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja rectangular es 108 pies3 .
$Ñ La altura 2 de cada uno de los conos es #È& unidades y la altura L del cilindro es Z % È & unidades . #&1 $ %Ñ Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total. &Ñ Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la mayor producción posible.
'Ñ El
punto
máximo
es
&È"% "!È"% "&È"% "% ß "% ß "%
&È"% "!È"% "&È"% "% ß "% ß "% .
(Ñ El problema no tiene solución.
81
y
el
punto
mínimo
es
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Gráficos en ‘3 Si D œ 0 aBß Cb es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto de ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada. La gráfica de una ecuación en ‘3 se denomina superficie . 1) Plano
Su ecuación general es +B ,C -D . œ ! donde [ +ß ,ß - ] es el vector normal al plano. Es posible encontrar varios tipos de planos
a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B ,C -D . œ !b
En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.
Ejemplo: Graficar #B $C %D "# œ ! eje X C œ D œ ! Ê B œ ' eje Y
BœDœ!ÊCœ%
eje Z
BœCœ!ÊDœ$
82
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
b) El plano pasa por el origen a+B ,C -D œ !b En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B œ ! à C œ ! y luego se trazan paralelas a las dos rectas encontradas. Ejemplo: Graficar &B $C "&D œ ! B œ ! Ê $C "&D œ ! Ê C œ &D Cœ!
Ê &B "&D œ !
Ê B œ $D
c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados
Si es paralelo al eje Xß entonces su ecuación es ,C -D . œ ! Ejemplo: Graficar &C #D "! œ !
Si es paralelo al eje Yß entonces su ecuación es +B -D . œ !
83
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo: Graficar $B #D "# œ !
Si es paralelo al eje Zß entonces su ecuación es +B ,C . œ ! Ejemplo: Graficar *B #C ") œ !
d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados Si es paralelo al plano YZß entonces su ecuación es +B . œ !
84
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Si es paralelo al plano XZß entonces su ecuación es ,C . œ ! Ejemplo: Graficar C œ #
Si es paralelo al plano XYß entonces su ecuación es -D . œ !
85
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo: Graficar B œ #
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
2) Esfera
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo: Graficar D œ #
a) Si el centro es G a!ß !ß !b y su radio < , entonces su ecuación es B# C# D # œ 1 ! Ê .C œ B =/- # ! .! B C œ ! Ê >1 ! œ ! Ê ! œ! 1 C œ B Ê >1 ! œ " Ê ! œ % È$
(
B
( "
!
È$ 1Î% B B# =/- # ! .! ( ( .C .B œ .B B# B# a" >1# !b " !
C# È$
œ(
"
1Î%
! º
.B
! È$
œ
1 ( % "
œ
1 Bº % "
œ
1 È Š $ "‹ %
.B È$
Ejercicios Resuelva À È# +Ñ(
(
"
,Ñ (
B
% "
#
ÈC #
"
= ÈC
/
.C .B
B C ( # Ê .C .B B B
1 -9=) -Ñ ( ( 3 =/8) .3 .) !
!
# B
.Ñ ( ( "
B#
B .C .B
#B# #
VIRGINIO
96
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
1Î%
/Ñ (
!
!
+Ñ(
"
% "
-Ñ (
1
!
3$ -9=# ) .3 .)
B# / BC.C .B
!
È#
,Ñ (
>1) =/-)
B
$
0 Ñ( (
(
Solución
(
B# #
" = / ÈC
È ÈC .C .B œ / # Š% #È#‹ #/
B C %!$ ( # Ê .C .B œ B #" B
(
-9=)
3 =/8) .3 .) œ
!
!
" $
# B# B * .Ñ ( ( B .C .B œ # % " #B #
/Ñ (
1Î%
$ !
>1) =/-)
3$ -9=# ) .3 .) œ
!
!
0 Ñ(
(
" #!
B /* ( B# / BC.C .B œ & # !
97
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
1) Cálculo de áreas en el plano ‘2 En ( plano.
V
( 0 aBß Cb .E si 0 aBß Cb œ " , entonces (
V
(
.E representa el área de regiones del
Así, E œ(
+œ ,
C œ 1aBb C œ . B œ 1aCb .C .B œ ( .B .C ( ( B œ + C œ 0 aBb C œ - B œ 0 aCb
Ejemplos:
VIRGINIO GOMEZ
Aplicaciones de la integral doble
1) Hallar el área de la región V situada bajo la parábola C œ %B B# ß sobre el eje X y sobre la recta C œ $B ' Intersección de las curvas
%B %B# œ $B ' ! œ B# (B ' ! œ aB "baB 'b B" œ "ß C" œ $ B# œ 'ß C# œ "# ano es solución, por condiciones del problemab C œ %B B# Cœ!
Ê %B B# œ ! Ê B" œ !ß B# œ %
C œ $B ' Cœ! Ê $B ' œ !
%BB#
#
E œ( ( $B'
" #
E œ ( Cº "
%
.C .B ( ( #
%BB# $B '
%BB#
.C .B
!
%BB#
%
.B ( C º #
Ê Bœ #
.B !
98
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas %
"
#
Eœ
B$ $
(B#
#
%
%B# B$ 'Bº º # # $ # "
"' E œ "$ ' $ "& [u. de a.] #
Eœ
Por otro lado, C œ %B B# B# %B C œ !
C œ $B ' $B œ ' C
È B œ % „ #"' %C Bœ
B œ # C$
% „ È%a% Cb #
B œ # „ È% C
#È%C
$
E œ( ( !
# $C
%
.B .C ( ( $
#È%C
#È%C
.B .C
VIRGINIO GOMEZ
#
E œ ( ˆ B# (B '‰.B ˆ%B B# ‰ .B (
Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener al integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto, #È%C
$
( ( !
#$C
%
#È%C
.B .C ( ( $
#È%C
.B .C œ
"& [u. de a.] #
99
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Intersección de las curvas
VIRGINIO GOMEZ
2) Determinar el área limitada por C œ B$ e C œ B#
B$ œ B# Ê B$ B# œ ! Ê B# aB "b œ ! Ê B" œ !ß C" œ ! à B# œ "ß C# œ "
B#
"
E œ( ( !
.C .B
B$
B#
"
E œ ( C º .B !
B$
"
# $ E œ ( ˆB B ‰.B !
Eœ
Eœ
B$
% "
B º $ % !
" [u. de a] "#
Por otro lado, C œ B$ Ê È$ C œ B È$ C
"
E œ( ( !
ÈC
.B .C œ
C œ B# Ê ÈC œ B " [u. de a] "#
100
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje \ y respecto al eje ] . Plantee ambas integrales, pero resuelva sólo una de ellas. +Ñ B œ C #
à
B œ #C C #
,Ñ C œ =/8 B
à
C œ -9= B
-Ñ B œ C C #
à
BCœ !
.Ñ B# œ %C
à
)C œ B# "'
/Ñ B# C # œ "' à
C œ È'B
;
à
Cœ!
Solución ÈB
"
+Ñ E œ ( ( ! B
"È"
"
#CC#
E œ( ( !
Eœ
.B .C
C#
" [ u.de a.] $ 1Î%
,Ñ E œ (
!
-9= B
(
=/8 B
È#Î#
E œ(
.C .B
!
.C .B
E1B 68C >1B 68D G aCß Db >1 B 0C aBß Cß Db œ B/BC -9=D C BC ( 0C aBß Cß Db .C œ ( ŒB/ -9=D
Î ( .C >1 B .C C
a"b
143
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
0 aBß Cß Db œ
B/BC -9=D >1B 68 C G aBß Db B
0 aBß Cß Db œ /BC -9=D >1B 68 C G aBß Db >1B 0D aBß Cß Db œ /BC =/8D D BC ( 0D aBß Cß Db .D œ ( Œ / =/8D
a#b
Î ( .D >1B .D D
0 aBß Cß Db œ /BC -9=D >1B 68D G aBß Cb
a$b
De a"b , a#b y a$b 0 aBß Cß Db œ /BC -9=D >1B 68D >1B 68C G G aCß Db œ G
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
donde G aBß Cb œ >1B 68C ß G aBß D b œ >1B 68Dß
Ejercicios I Encontrar el rotacional en el punto indicado "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ BCD 3 C 4 D 5
Ð " ß #ß " Ñ
#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B# D 3 #BD 4 CD 5
Ð #ß "ß $ Ñ
$Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /B =/8 C 3 /B -9=C 4 5
Ð !ß !ß $ Ñ
%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /BCD Ð 3 4 5 Ñ
Ð $ß #ß ! Ñ
II Encuentre Ð J ‚ K Ñ donde À "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3 #B 4 $C 5
KÐBß Cß DÑ œ B 3 C 4 # 5 KÐBß Cß DÑ œ B# 3 C 4 D # 5
#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B 3 D 5
III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial. "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ C/D 3 B/D 4 /D 5 #Ñ J ÐBß Cß DÑ œ $B# C # D 3 #B$ CD 4 B$ C # 5 " B $Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3 4 Ð#D "Ñ 5 # C C B C %Ñ J ÐBß Cß DÑ œ # 3 # 45 B C# B C#
144
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
I "Ñ J a"ß #ß "b œ #4 5 #Ñ J a#ß "ß $b œ (3 %4 '5 $Ñ J a!ß !ß $b œ #5 %Ñ J a$ß #ß !b œ '3 '4 II "Ñ aJ ‚ Kb œ 3 %B 4 $C 5 #Ñ aJ ‚ Kb œ aB B# #BDb3 a #BD D # D b5 III "Ñ No es conservativo #Ñ 0 aBß Cß Db œ B$ C # D G G aBß Cb œ G aBß Db œ G aCß Db œ G
$Ñ 0 aBß Cß Db œ G aBß Cb œ
B à C
B #D D G C G aBß Db œ G aCß Db œ D# D
" %Ñ 0 aBß Cß Db œ 68¸B# C # ¸ D G # " G aBß Cb œ 68¸B# C# ¸ à G aBß Db œ G aCß Db œ D #
145
VIRGINIO GOMEZ
Solución
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Conceptos
VIRGINIO GOMEZ
Plano tangente y recta normal a una superficie
1) Si D œ 0 aBß Cb es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por: ∇ f (a, b) ⋅ ( x − a, y − b) − (c − z) = 0
donde c = f (a, b)
2) Si 0 aBß Cß Db œ ! es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por:
∇ f (a, b, c) ⋅ ( x − a, y − b, c − z) = 0 El vector f0 a+ß ,ß -b es el vector normal a la superficie 0 aBß Cß Db œ !
3) La recta normal a una superficie de la forma D œ 0 aBß Cb en el punto a+ß ,ß -b de ella es À x− a
z− c y− = b − = 1 f (a, b) f x (a, b) y
donde c = f (a, b)
4) La recta normal a una superficie de la forma 0 aBß Cß Db œ ! en el punto a+ß ,ß -b de ella es À x− a y− b z− c = = f x (a, b, c) f y (a, b, c) f z (a, b, c)
Ejemplos:
I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada en el punto dado. "Ñ D œ 68ÈB# C#
en el punto a $ß %ß 68&b
D œ 68È* "'
Ê D œ 68&
Por lo tanto, el punto a $ß %ß 68&b pertenece la la superficie D œ 68ÈB# C # 0B aBß Cb œ
0C aBß Cb œ
" #B † ÈB# C# # ÈB# C# " #C † ÈB# C # # ÈB# C#
$ f0 a $ß %b œ Œ
% ß #& #&
œ
B B# C #
$ Ê 0 a $ß %b œ #&
œ
C B# C #
% Ê 0 a $ß %b œ #&
146
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Œ
$ % ß † aB $ß C %b aD 68&b œ ! #& #&
$ * % "' B C D 68& œ ! #& #& #& #&
Î † #&
$B %C #&D #& #& 68& œ ! $B %C #&D #& #& 68& œ ! Ecuación recta normal B$ C% D 68& œ œ $ % " #& #& #&aB $b $
œ
#&aC %b D 68& œ % "
#Ñ BC CD BD œ "
en el punto a#ß $ß "b
a#ba$b a$ba "b a#ba "b œ ' $ # œ "
VIRGINIO GOMEZ
Ecuación plano tangente
Por lo tanto, el punto a#ß $ß "b pertenece la la superficie BC CD BD œ " 0B aBß Cß Db œ C D
Ê 0 a#ß $ß "b œ #
0C aBß Cß Db œ B D
Ê 0 a#ß $ß "b œ "
0D aBß Cß Db œ B C
Ê 0 a#ß $ß "b œ &
f0 a#ß $ß "b œ a#ß "ß &b Ecuación plano tangente a#ß "ß &b † aB #ß C $ß D "b œ ! #B % C $ &D & œ ! #B C &D # œ ! Ecuación recta normal B #" œC $œ D # " &
147
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
0 aBß Cß Db œ B# C# D # 0B aBß Cß Db œ #B 0C aBß Cß Db œ #C 0D aBß Cß Db œ #D f0 aBß Cß Db œ a#Bß #Cß #Db Sea a+ß ,ß -b un punto del cono, luego +# , # œ - # f0 a+ß ,ß -b œ a#+ß #,ß #-b Ecuación plano tangente a#+ß #,ß #-b † aB + ß C , ß D -b œ ! #+B #+# #,C #, # #-D #- # œ ! Si aBß Cß Db œ a!ß !ß !b ß entonces así #a+# , # b #- # œ !
VIRGINIO GOMEZ
II Demuestre que todo plano tangente al cono B# C# œ D # pasa por el origen
#+# #, # #- # œ #a+# , # b #- # ß +# , # œ - # , pero
Por lo tanto, todo plano tangente al cono B# C# œ D # pasa por el origen.
148
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. "Ñ $C # #BC BD # œ !
T Ð "ß "ß "Ñ
#Ñ C œ /D -9= B
T Ð!ß "ß !Ñ
$Ñ C/BC D # œ !
T Ð!ß "ß "Ñ
II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. "Ñ B#Î$ C #Î$ D #Î$ œ '
T Ð )ß "ß "Ñ
#Ñ DB# BC # CD # œ "#
T Ð$ß #ß !Ñ
$Ñ D œ Ð+B ,CÑ#
T Ð+ß ,ß -Ñ
Solución
I "Ñ $B %C #D " œ ! #Ñ C D " œ ! $Ñ B C #D " œ !
II "Ñ
$aB )b $aC "b $aD "b œ œ " # #
#Ñ
B$ C# D œ œ % "# *
$Ñ
B+ C, Dœ œ # # # # #+a+ , #+a+ , b " b
149
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Ecuaciones Diferenciales Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar la función que dio origen a la ecuación. Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero no hay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria aEDOb y si sólo contiene derivadas parciales se llama ecuación diferencial parcial aEDPb. Ejemplos de EDO .# B œJ .>#
B œ Ba>b
.B œ 5 .>
B œ Ba>b
+Ñ 7 ,Ñ
-Ñ Œ
.# C .# B .B # # Œ † Œ B œ ! .B# .C # .C
C œ CaBb
.C .Ñ = œ B# $ .B
C œ CaBb
Ejemplos de EDP +Ñ
` # ? `? `? œ5† `B# `C `>
? œ ?aBß Cß >b
,Ñ
` #? ` #? # œ! `B# `C
? œ ?aBß Cb
Orden de una EDO Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación. Grado de una EDO Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada. Ejemplos Ecuación .C œB& .B # .$ C .# C .C # œ -9= Œ # .B$ .B .B B # # $ . C .C # Œ .B# Œ.B $C œ B
Orden
Grado
"
"
$
"
#
#
150
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Su característica es :
M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO: 1) de variables separables 2) exactas
VIRGINIO GOMEZ
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables aEDVSb
Q aBß Cb .B R aBß Cb .C œ ! se puede separar, si es posible, y escribirla como: 0" aBb † 1" aCb † .B 0# aBb † 1# aCb † .C œ !
la cual se resuelve por integración
0" aBb 1" aCb † .B œ † .C 0# aBb 1# aCb Ejemplos #
"Ñ B$ .B aC "b .C œ ! #
B$ .B œ aC "b .C
Î( #
$ ( B .B œ ( aC "b .C
B% aC "b$ œ G % $ #Ñ &Ba" Cb .B œ Ca" B# b.C &B C .B œ .C # " B " C
Î(
(
&B C .B œ ( " B# " C .C
(
&B .B " B#
&B .B ( " B#
#
? œ "B œ &(
Ê .? œ #B .B
.? # ?
œ
& 68¸?¸ G #
œ
& ¸ 68 " B# ¸ G #
151
Ê
.? #
œ B .B
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
C ( " C .C CÀ"C
( (
C
CÀ C" œ " … C„ " "
Ê
.C
œ ( .C
"C
" " C .C
œ C 68¸" C¸ G Por lo tanto, (
&B C .B œ ( " B# " C .C
& 68¸" B# ¸ œ C 68¸" C ¸ G #
$Ñ aC # "b .B #C È" B# .C œ ! .B #C œ .C È" # C " B# .B ( È=œ ( # "B
#C C#
"
Î(
.C
E1 B œ =/- B .B
Solución
"Ñ C œ
/= $B G /B #
#Ñ C œ B ˆ#B 68¸B¸ G ‰ " $Ñ C œ /%B Œ = B$ G $ %Ñ C œ " B -9>1 B G -9=/- B &Ñ C œ =/8 B G -9= B
161
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°1 Complemento de Cálculo Nombre: Carrera:
1)
2)
............................................................... ................................... Sección: .............
Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique. 8
a)
b)
"Œ $ % 8œ"
c)
_ ! # 8 8œ" &
d)
"8
_
# $
8œ"
Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À _
8œ"
8# 8$ #
Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: _
! a 8 "b
8œ"
4)
_
_ ! " # 8œ" 8
! a "b8"†
3)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
B#8 a#8bx
Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ B # 0 aBb œ /
162
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
_ ! " # 8œ" 8
") a)
es serie p, p œ #,
CV
b)
! Œ$ % 8œ"
es serie geométrica , r œ
$ , %
por lo tanto
c)
_ ! # 8 8œ" &
es serie geométrica , r œ
" &
, por lo tanto CV
_
d)
! 8 $#
es serie p , p œ
8œ"
2)
por lo tanto
8
_
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de corrección
# , $
por lo tanto
Decida si la serie alterna es convergente o divergente À _
! a "b8"†
8œ"
+8 œ
8# 8$ #
8#
+ 8" œ
8$
# a)
#
a8 "b $ a8 "b #
! +8" +8
a8 "b# 8# ! $ $ a8 "b # 8 # b) lim +8 8Ä_
lim +8 œ ! 8# 8Ä_ 8$ #
œ lim
#8 8Ä_ $8#
regla de L´Hopital
œ lim
8Ä_
#
regla de L´Hopital
$8
Se cumple segunda condición. (2)
œ ! #
_ De (1) y (2) la serie ! a "b8" † 8 es convergente. 8$ # 8œ"
Consideremos la serie asociada: 8# $ 8œ" 8 # _
!
DV
Se cumple primera condición. (1)
8Ä_
œ lim
CV
163
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
B# 0 aBb œ B$ #
_
(
B#
B #
"
función continua, positiva, decreciente. Así es posible utilizar el criterio de la integral ,
$
.B œ
lim (
,Ä_ "
œ
œ
œ
B# .B B # lim (
" $
? œ B$ #
$
,Ä_
œ
.? œ $B# .B
.? $?
lim 68?
,Ä_
"
$ lim 68ˆ B ‰# ‚
$
,Ä_
" $
,Ä_
, "
lim 68ˆ,$ #‰ 68ˆ"$ #‰
" $ œ_
œ
lim 68a_b 68a$b
,Ä_
8# es divergente $ 8œ" 8 # _
De esta forma la serie asociada !
#
_ 8 ! a "b8" † $ # 8 8œ"
Por tanto, la serie
3)
es CVC
Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: _
B#8
! a 8 "b
a#8bx
8œ"
+8
+8 º
;
+8"
B œ a#8 #bx
B#8# B# B# a#8 #bx œ œ œ a#8 #ba#8 %8# $8 # B#8 "b #8x
+8"
lim
#8#
#8
B #8x
+8 œ
8Ä_
VIRGINIO GOMEZ
Por criterio de la integral
"
+8
º
œ
lim 8Ä_
œ ¸B # ¸
B# º
%8# $8 #
lim º
8Ä_ %8#
º
" º $8 #
164
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
œ!
4)
_
B#8
8œ"
a#8bx
a B − ‘ la serie !8 a "b
3œ ! "
Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ 0 aBb œ /
" B #
"
0 a!b œ "
" #B
" # " 0 ´´a!b œ % " 0 ´´´a!b œ ) " v 0 ´ a!b œ "' " v 0 a!b œ $# " v ´ 0 a!b œ '%
0 ´aBb œ / # " " B 0 ´´aBb œ /# % " " B 0 ´´´aBb œ /# ) " v " 0 ´ aBb œ / # B "' " "# B v 0 aBb œ / $# " "# B v ´ 0 aBb œ / '% _
8
8œ!
8x
! 0 8 a!b B
0 ´a!b œ
" B " B# " B$ " B% œ" † † † † ÞÞÞ #
"x
8 _ _ 8 8 B ! 0 8 a!bB œ " " Œ 8œ! 8x 8œ! # 8x
%
#x
)
$x
"'
%x
VIRGINIO GOMEZ
œ ¸B # ¸ † !
es CV
165
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°2 Complemento de Cálculo
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Nombre:............................................................. Carrera:...................................... ..Sección.............
"Ñ
Sea =/8aB Cb -9=aC Db œ "
#Ñ
Obtener : +Ñ
#Ñ
`D `B
,Ñ
`D `C
Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado son À largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razón de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À a) Rapidez de cambio del volumen. b) Rapidez de cambio del área total.
$)
La densidad 4aBß Cbaen 51Î7# b en cualquier punto de una placa rectangular " situada en el plano BC es 4aBß Cb œ È= # Þ B C# $ La distancia se mide en metros. a1) Obtener la r+zón de cambio de la densidad en el punto a$ß #b en la dirección del vector unitario ? œ -9= #$1 3 =/8$#1 4.
a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de 4aBß Cb en a$ß #b
%Ñ
Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible, considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las caras laterales $3000 por pie cuadrado.
166
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
1Ñ
Sea
=/8aB Cb -9=aC Db œ "
Obtener : +Ñ
`D `B
=/8aB Cb -9=aC Db œ "
À
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de Corrección
-9=aB Cb =/8aC DbŒ `D œ ! `B `D -9=aB Cb œ `B =/8aC Db ,Ñ
`D `C
À
=/8aB Cb -9=aC Db œ "
-9=aB Cb ˆ "‰ =/8aC DbŒ " `D œ! `C `D =/8aC Db =/8aC Db œ -9=aB Cb `C
`D =/8aC Db -9=aB Cb œ `B =/8aC Db
2Ñ 6 œ * -7 .6 -7 .> œ $ =/1
+ œ ' -7 .+ œ " -7 .> =/1
.2 œ " -7 .> =/1
+Ñ Z œ 6+2 .Z œ ` Z † .6 ` Z † .+ ` Z † .2 .> ` 6 .> ` + .> ` 2 .> .Z œ +2 † .6 62 † .+ 6+ † .2 .> .> .> .> .Z œ ")a $b #(a"b &%a"b .> .Z œ #( .> El volumen crece a razón de #(
2 œ $ -7
-7 $ =/1
,Ñ E œ 6+ #+2 #62 .E œ ` E † .6 ` E † .+ ` E † .2 .> ` 6 .> ` + .> ` 2 .>
167
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
.6 œ a+ #2b a6 #2b .> .>
.+
.2 a#+ #6b .> .>
.E œ "#a $b "&a"b $!a"b .> .E œ $ .> El área total decrece a razón de $ 3) a1)
p
p
-7# =/1
È
" ? œ -9= #$ 1 3 =/8# $ 1 4 Ê ? œ 3 $ #
4aBß Cb œ
#
4
" ‰ Ê 4aBß Cb œ ˆ# B # C $"Î# = È B# C # $
B $Î# =" # # 4B œ ˆB C ‰$ a#Bb Ê 4B œ $Î# # # aB C# $b 4B a$ß #b œ
$ '%
" # C $Î# = # 4C œ ˆB C ‰$ a#Cb Ê 4C œ $Î# # aB# C# $b 4C a$ß #b œ
# '%
f4a$ß #b œ Œ
$ # ß '% '%
H? 4a$ß #b
œ f4a$ß #b † ?
p
$ # œ Œ ß '% '%
" È$ ß # #
$ #È$ "#) Q +BH? 4a$ß #b œ mf4a$ß #bm œ
a2)
* % Q +BH? 4a$ß #b œ Ê # # '% '% Q +BH? 4a$ß #b œ p
?œ
È"$ '%
f4a$ß #b $ # p Ê ? œ ß mf4a$ß #bm È"$ È"$
VIRGINIO GOMEZ
.E
168
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Z œ %)! :3/=$ Z œ BCD
Ê
BCD œ %)!
VIRGINIO GOMEZ
4)
E œ #BC #CD #BD G œ &!!!a#BCb $!!!a#CD #BDb J aBß Cß Dß -b œ "!!!!BC '!!!CD '!!!BD -aBCD %)!b "!!!!C '!!!D CD
JB œ "!!!!C '!!!D -CD œ ! Ê
- œ
JC œ "!!!!B '!!!D -BD œ ! Ê
- œ
JD œ '!!!D '!!!B -BC œ ! Ê
- œ
J- œ BCD %)! œ !
Ê
BCD œ %)!
& B † B † B œ %)! Ê $
B$ œ %)! †
"!!!!B '!!!D BD '!!!C '!!!B BC
De a"b y a#b
"!!!!C '!!!D "!!!!B '!!!D œ CD BD BœC
De a"b y a$b
"!!!!C '!!!D '!!!C '!!!B œ CD BC "!BC 'BD œ 'CD 'BD "!B œ 'D
a%bß a&b y a'b BCD œ %)!
& BœD $
Ê
a"b
a#b
a$b
a%b
$ Ê B œ È$#)) &
$ $ Luego, las dimensiones del contenedor serán base B œ È #)) pie à C œ È #)) pie y altura & È$ Dœ $ pie. #))
169
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°3 Complemento de Cálculo
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Nombre ..............................................Sección..............
1.-
Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: ( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C V
1Î#
1 =/8) #-9=# 9 3 # .3 .) .9 ( ( ! !
2.-
Integre À
3.-
Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por D œ % C# y los planos B œ C à C œ #
4.-
Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B# C# œ * ß el paraboloide D œ B# y el plano D œ ! C#
5.-
Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos B# C# œ D # à B# C # œ $D # y la semiesfera D œ È% B# C #
(
!
170
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
".-
Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: ( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C Para .E œ .C.B ( ( .E œ ( ( V
!
V
/B
"
.C.B
ÈB
Para .E œ .B.C Intersección entre la curva B œ C # y la recta B œ " B œ C# Ê C# œ " Ê Cœ" Bœ" Ê Cœ " Puntos de intersección :
a"ß "b à a"ß "b
Intersección entre la curva C œ /B y la recta B œ ! B Cœ/ Ê C œ /! Ê Cœ" Bœ! Puntos de intersección : a!ß "b
( ( !
1Î#
(
!
œ
1
( ( !
C#
"
Luego
#Þ
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de Corrección
!
"
.C.B ( ( !
!
.C.B
68C
=/8)
#-9= # 93 # .3 .) .9 œ (
"
1
1Î#
( !
!
# 1Î# 1 ( ( -9= # 9=/8$ ) .) .9 $ ! !
# 1Î# 1 œ ( ( -9= # 9=/8)ˆ" -9=# )‰.) .9 $ ! ! 1
" # 1Î# œ ( -9= # 9Œ -9=) = -9=$ )º .9 $ ! $ ! œ
=/8)
#= # $ -9= 93 º $ !
)= 1Î# # -9= 9 .9 ( * !
171
.) .9
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
) *
1Î#
(
Œ
!
" -9=#9 .9 #
VIRGINIO GOMEZ
œ
1Î#
% =/8#9 œ Œ9 º * # ! œ
$Þ-
# 1 * #
%C#
C
.D.B.C
Z œ( ( ( !
!
#
! %C#
C
Z œ ( ( Dº !
!
#
.B .C !
C
Z œ ( ( Ð% C # Ñ .B .C !
!
C
#
Z œ ( ˆ%B BC # ‰º .C !
!
#
$ Z œ ( ˆ%C C ‰ .C !
#
" Z œ #C # C %º % !
4.-
Z œ % a?Þ ./ @Þb Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B# C# œ * ß el paraboloide D œ B# y el plano D œ ! C#
1 #
Z œ %( ( ( !
View more...
Comments
