54747783 Ejercicios Resueltos de Fisica

4. DINÁMICA Y ESTÁTICA La dinámica estudia las fuerzas como causas ca usas productoras del movimiento, relacionándolas con la masa y la aceleración del cuerpo que se mueve. Mientras que la estática se encarga del estudio de las condicione condicioness que deben cumplir las fuerzas para que un cuerpo esté en equilibrio. s una cantidad vectorial (requiere magnitud dirección y sentido) capaz de producir o modificar un movimiento o deformar un cuerpo. Concepto de fuerza:

E

La fuerza generalmente se representa repres enta por una F y sus un unidades idades son: n el sist sistema ema MKS es el Newton (Nw), que se define como la fuerza que comunica una aceleración de 1m/s 2 a un cuerpo de 1 kg de masa (1Nw = 1 kg × m/s 2 ). En el sistema CGS es la Dina (es la fuerza que comunica una aceleración de 1 cm/s 2 a un cuerpo de 1 g de masa) E

Leyes de Newton  Primera ley: (Inercia)

Un cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme(en una de estas condiciones el cuerpo está en equilibrio) a menos que sobre él actúe alguna fuerza resultante diferente de cero.

egunda  S egunda

ley: (Movimiento) El cambio de momentum de un cuerpo por unidad de

tiempo, es igual a la fuerza neta que actúa sobre él y tiene lugar en la dirección de esa fuerza; en otras palabras, la fuerza neta que se ejerce sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por la aceleración que este adquiere: 4.1 (Acción-Reacción) siempre que un cuerpo A ejerza fuerza sobre otro B, el cuerpo B ejerce simultáneamente otra fuerza igual y de dirección opuesta sobre el cuerpo A. A. A una cualquiera cualquiera de estas fuerzas se le llama llama acción y a la otra reacción; es importante tener en cuenta que estas fuerzas actúan act úan sobre cuerpos cuerpos diferentes, por lo cual nunca se anulan. ercera T ercera

ley:

Fuerzas en la Naturaleza

n la vida cotidiana interactuas intera ctuas con una gran cantidad de fuerzas que son las causantes de muchos de los fenómenos fenómenos que observas a diario; entre esas fuerzas sobresalen: E

 F uerza uerza Normal: Es la fuerza que ejerce una superficie sobre el cuerpo apoyado sobre

ella; aparece SOLAM E NTE cuando un cuerpo EST STÁ Á APOYADO sobre otro y está dirigida perpendicularmente a la superficie de apoyo, se representa por la letra N:

es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre los cuerpos; está dirigida hacia abajo (hacia el centro de la tierra) y siempre está presente. Se representa repres enta por W y se determina mediante la siguiente relación: r elación:

 E l Peso:

W  =

mg 

4.2

Donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración de la gravedad. es la fuerza que ejerce ejerce una cuerda completamente estirada atada a un cuerpo. Toma la misma dirección de la cuerda y la misma mis ma intensidad; si la cuerda es la misma, la tensión es igual en cualquier pun punto. to. Se representa mediante la letra T:

 La Tensión:

 F uerza uerza de rozamiento: Es

la fuerza que se produce por interacción de un cuerpo con una superficie rugosa; rugosa; entre más rugosa rugosa sea, la fuerza de rozamiento es mayor. Aparece cuando un cuerpo se mueve sobre otro y va dirigida en dirección contraria al movimiento. Se denota por F r o F f (fuerza de fricción). La relación matemática que  permite calcularla es: 4.3 Donde N es la fuerza normal y m es el coeficiente de rozamiento que depende de las características físicas y químicas de las superficies en contacto,  por lo cual cada material tiene un coeficiente coeficiente de rozamiento diferente. presenta n los resortes cuando sobre él  F uerza uerza elástica: Es una fuerza de reacción que presentan actúa otra fuerza para deformarlo. La fuerza elástica de un resorte se determina por la ley de Hooke: F  =

-kx 

4.4

Donde k es la constante elástica del resorte y x es la longitud que se estira o se comprime el resorte; el signo menos significa que la fuerza elástica restaura dora actúa en sentido contrario a la fuerza deformado defor madora. ra.

Diagrama de cuerpo libre Un diagrama de cuerpo libre o de fuerzas es la representación en un plano cartesiano de

todas las fuerzas que actúan sobre s obre un cuerpo; su realización es necesaria para la solución de problemas problemas de dinámica diná mica y de estática. El procedimiento para lograrlo es el siguiente: y

y y y

y

A partir de las condiciones del problema has un bosquejo claro que represente la situación, marca todas las fuerzas conocidas y desconocidas. Traza los ejes  x y y con líneas punteadas. Por cada cuerpo que esté presente debes realizar un diagrama de cuerpo libre. r epreséntalo como un punto que El cuerpo sobre el que actúan las fuerzas represéntalo coincida con el origen del plano cartesiano. Dibuja un diagrama de fuerzas, de tal forma que todas las fuerzas se representen represent en como vectores cuyos orígenes coincidan con el origen del plano cartesiano.

 Ejemplo. Dibu jar el diagrama de cuerpo libre de una ca j a que es arrastrada sobre una  superficie rugosa con con una cuerda que que forma 45 ° con la horizontal.

 De acuerdo al enunciado enunciado un esquema esquema de la situación es:

 Al analizar analizar el problema las fuerzas que están presentes son: el  eso (W), la normal (N), la tensión tensi ón (T) y la fricción (  F  r). Se  F r). realiza a continuación continuación el diagrama de cuerpo libre libre como se observa a la izquierda.

Leyes de Newton

Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y Newton cuando se efectuaron dramáticos progresos en la resolución de esta búsqueda.

principal Isaac Newton (1642 - 1727), nacido el año que murió Galileo, es el principal arquitecto de la mecanicaclasica, la cual se resume en sus tres leyes del movimiento . Antes

de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariament e tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de ausencia de friccion e interpretó a la fricción como una fuerza ,

llegando a la conclusión de que un objeto contin uará moviéndose con velocidad constante, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento. tres leyes de Newton del movimiento son las llamadas leyes clasicas del movimiento . Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no fueron objetadas hasta que Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad en 1905. Las

Primera Ley de Newton, de la Inercia

Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante . Un ejemplo de esto puede encontrarse en el movimiento de los meteoritos y asteroides, que vagan por el espacio en línea recta a velocidad constante, siempre que no se encuentren cercanos a un cuerpo celeste que los desvíe de su trayectoria rectilínea. tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. La masa es una medida de la inercia de un cuerpo. El peso se refiere a la fuerza de gravedad sobre un cuerpo, que no debe confundirse con su masa. La

Segunda Ley de Newton, de la Masa

que la aceleracion de un cuerpo es directamente proporcional a l a fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa . Indica

F = ma Este tema está tratado y se accede presionando:

Segunda

Ley de Newton .

Tercera Ley de Newton, Principo de Accion y Reaccion

Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera. Leyes de Newton: Fuerza de Friccion y Diagrama de Cuerpo Libre o Diagrama de Cuerpo Aislado

Cuando dos cuerpos se deslizan entre sí, la fuerza de fricción que ejerce uno sobre el otro se puede definir en forma aproximada como , donde N es la fuerza normal, o sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre otro, en dirección perpendicular a la superficie de contacto; se usa para denotar el coeficiente de friccion cinética si hay movimiento relativo entre los cuerpos; si están en reposo, es el coeficiente de friccion estática y es la máxima fuerza de friccion justo antes de que se inicie el movimiento. Para

resolver problemas en que intervengan fuerzas sobre uno o más cuerpos, es esencial trazar un diagrama de cuerpo libre o dia grama de cuerpo aislado para cada uno de los cuerpos donde se muestren todas las fuerzas que actúan sólo en el cuerpo respectivo

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de

Primera ley o ley de inercía

movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinámica

Tercera ley o Principio de acción-reacción

La fuerza que actua sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Estas son las tres leyes de Newton y, a continuación, vamos a comentarlas cada una por separado.

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dic e que si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton

sirve para definir un tipo especial de sistemas de referenci a conocidos como Sistemas

de referencia inerciales , que son aquellos sistemas de referencia

desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros. La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza . Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo . La constante de proporcionalidad es

la masa del cuerpo , de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera: F=ma

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como: F=ma La unidad de fuerza en el Sistema Internacional  es el N ewton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un 2

kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s , o sea, 1N

= 1 Kg · 1 m/s

2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newt on para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad , es decir: p=m·v La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal . Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional  se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera: La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir, F = dp/dt De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos: F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v Como la masa es constante dm/dt = 0 y recordando la definición de aceleración, nos queda F=ma tal y como habiamos visto anteriormente. Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad

de movimiento. Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es

cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = dp/dt es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es cero ). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento : si la fuerza total  que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de mov imiento del cuerpo  permanece constante en el tiempo .

Tal como comentamos en al principio de la Segunda ley de Newton las fuerzas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros. La tercera ley , también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sen tido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambien nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acci ón y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actuan sobre cuerpos

distintos.

.3

± PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

OBJETIVO:

El alumno podrá encontrar las fuerzas desconocidas aplicando la primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero. Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:

EJEMPLO: Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.

S

OLUCIÓN:

El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre:

Al

sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos : S Fx = - A cos 60° + B cos 40° = 0

Al

simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos: -0.5A + 0.7660B = 0 (1)

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto tenemos: (Cos 30° + cos 50° ) 0.8660A + 0 .6427B = 300N (2)

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de sustitución. Si despejamos A tenemos: A

= 0.7660 / 0.5

A = 1.532 B

Ahora

vamos a sustituir esta igualdad en la ecua ción 2 0.8660(1.532B) + 0.6427B =

Para

300 N

B tenemos:

1.3267B + 0.6427B = 300N

1.9694B = 300N B= 300N / 1.9694

B= 1 52.33N

Para

calcular la tensión en A

La

A

sustituimos B = 152.33 N

= 1.532(152.33N) =

tensión en la cuerda C es

300 N

233.3N

, puesto que debe ser igual al

peso.

Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de 30° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

S Primero

Ahora

OLUCIÓN

dibujamos le diagrama cuerpo libre:

se aplica la primera condición de equilibrio. La suma de las fuerzas a lo largo del eje X: SFx = B ± B=

Ahora

A

A

cos 60° = 0

cos 60° = 0.5

A

(1)

al sumar las componentes en Y:

S Fy =

A

sen 60° - 100N = 0

Por A

lo que:

sen 60° = 100N

Ahora

se despejan las fuerzas desconocidas: (sen 60° = .8660) .8660 A

A

= 100N

= 100N / .8660 = 115N

Conocemos el valor de

A,

ahora despejamos B de la ecuación 1:

B = 0.5

A

= (0.5)(115N) = 57.5N

SEGUNDA

LEY DE NEWTON

OBJETIVO: El alumno será capaz de construir un diagrama de cuerpo libre que represente todas las fuerzas que actúan sobre un objeto que se encuentra en equilibrio traslacional .

La

Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es  proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo . La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo , de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera : F=ma Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como: F

=ma

unidad de fuerza en el Sistema Internacional  es el Newton y se representa por N . Un N ewton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2 , o sea, La

1 N = 1 Kg · 1 m/s 2 La

expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a . Vamos a generalizar la Segunda ley de New ton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para

ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de l a masa de un cuerpo por su velocidad  , es decir:

p=m·v cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal . Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La

La

Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir F

= d p /dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y q ue como se deriva un producto tenemos: F

= d(m· v )/dt = m·d v /dt + dm/dt · v Como la masa es constante dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda F

=ma

tal y como habiamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento . Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que: 0 = d p /dt es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa q ue la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es c ero ). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento :si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece co nstante en el  tiempo .

EJEMPLOS - Calcular la aceleración que produce una fuerza de 5 N a un cuerpo cuya masa es de 1000g Expresar el resultado en m/s².

DATOS A

=?

FÓR MULA

a=F/m

SUSTITUCIÓN a = 5 Kg m/s² / 2 Kg =

R ESULTADO

2.5 m/s²

F=5N m = 2000g = 2Kg

- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 200N le produce una aceleración de 300 cm/s². Exprese el resultado en Kg.

DATOS

FÓR MULA

SUSTITUCIÓN

M=? F = 200 N a=f/m m = 200N / 3 A = 300 cm/s² = 3 m=f/a m/s² m/s² =

R ESULTADO

66.6 Kg

EJEMPLO 1

Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2 kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos del cable, el cual pasa por la polea. El objeto m 2 está en contacto con el piso. a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el  piso?  b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m 1? SOLUCION Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

a) Para que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie, debe ser mayor que m 1 . Fuerzas sobre m 2 : m1g-T-N=0, pero N = 0 cuando está a punto de despegar. Luego:

m 2 g - T = 0 (1)

Fuerzas sobre m 1 : T - m 1 g = m 1 a 1 (2), donde es la aceleración con que sube . Aquí existe una aceleración, porque si la masa 2 tiene que estar en reposo y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se mueve. Fuerzas sobre la polea: F - 2T = 0 (3)

De la expresión (3) Reemplazando T en (1) queda m 2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m 2 g (4) Reemplazando m 2 =1,9 kg y g=10m/s 2 queda F= 38N b) Calculo de la tensión del cable: Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) : 110 - 2T = 0 , luego: T= 55N Calculo de a 1 : Reemplazando T , m 1 y g en (2) : 55 - 12 = 1,2a 1 , luego : a 1 = 35,8 m/s 2 EJEMPLO En el diagrama de la siguiente figura se pide que:

2

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre asociado a:la masa M, la polea P y la masa m 2 b) ¿Cuál es la relación entre la aceleración de la masa m 2 y la de M? c) Encuentre la aceleración de M. d) ¿Cuál es el valor de la tensiones?

SOLUCION a) diagrama de

cuerpo libre asociado diagrama de cuerpo libre diagrama de cuerpo libre aM asociado a la polea P asociado a m 2

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

b)

Por

lo tanto:

Otra forma de ver, es que si la masa M se mueve X, la m 2 se mueve X/2. Si hacemos la derivada de la posición dos veces, obtenemos la aceleración de las masas y ll egamos a la misma relación.

c) Según diagrama de cuerpo libre, se tiene: (1) T 1 = m 2 a 2 (2) Mg= Ma M (3) T 2 - 2T 1 =0

Además

sobre m 2 : N - m 2 g= 0, ya que no hay movimiento en ese eje. Reemplazando (1) en (3) , se tiene: T 2 - 2m 2 a 2 = Ma M (4) Reemplazando (4) en (2) , se tiene: Mg - 2ma 2 = Ma M pero, a 2 = 2a m Mg - 2m 2 a 2 = Ma M

Mg = (M + 4m 2 ) = a M

d) R eemplazando en expresión a 2 = 2a m en expresión (1) , se obtiene : T 1 = m 2 a M , por lo tanto: de la expresión ( 3) , T 2 = 2T 1 , por lo tanto reemplazando el valor obtenido

EJEMPLO 3 - Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque A de 64lb en reposo sobre una masa sin fricción y esta atado en su otro extremo a un peso W, calcule: a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una aceleración de

?

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

SOLUCIÓN

(a)

Dibuje el diagrama cuerpo libre (boton diagrama cuerpo libre)

Puesto

que las fuerzas verticales en el bloque de 64lb están equilibradas, la fuerza neta en el sistema total es solo el peso W .aplicamos la ley de Newton:

2W=64lb+W 2W ± W = 64lb w=64lb

SOLUCIÓN

(b)

T= 32lb

Partes: 1, 2 R. P. Feynman, premio Nóbel de física, dijo una vez , "Ud. No sabe nada hasta que lo ha practicado". De acuerdo con esta afirmación, reitero el consejo de que desarrolle las habilidades necesarias para resolver una amplia gama de problemas. Su capacidad para solucionarlos será una de las principales pruebas de su conocimientode física y, en consecuencia, debe tratar de resolver el mayor número posible de problemas. Es esencial que comprenda los conceptos y principios básicos antes de intentar resolverlos. Una buena práctica consiste en tratar de encontrar soluciones alternas al mismo problema. Por ejemplo, los de mecánica pueden resolverse con las leyes de Newton, aunque con frecuencia es mucho más directo un métodoalternativo que usa consideraciones de energía. No deben detenerse en pensar entender el problema después de ver su solución en clase. Debe ser capaz de resolver el problema y problemas similares por si solo. El científico no estudia la naturalezaporque sea útil; la estudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porque es hermosa. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría la pena conocerla, y si no ameritara saber de ella, no valdría la pena vivir la vida. Henri Poincare

LAS LEYES DEL MOVIMIENTO 5.1 El conceptodefuerza 5.2 Primera ley de newton y marcos de referencia inerciales 5.3 Masa inercial 5.4 Segunda ley de Newton 5.5 Peso 5.6 La tercera ley de Newton 5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton Fuerzas de fricción

PROBLEMA DE REPASO DE LA FÍSICA DE SERWAY . Pág. 132 de la cuarta edición. Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistemaesta en equilibrio, determine (en función de m, g y LJ). a) La masa M

 b) Las tensiones T1 y T2.

Bloque 2m Fx = 0 T1 ± W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen LJ W1 = 2m*g  W1X = (2m*g) sen LJ Reemplazando T1 ± W1X = 0

T1± (2m*g) sen LJ = 0 (Ecuaciın 1) Bloque m Fx = 0 T2 - T1 ± W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen LJ W2 = m*g  W2X = (m*g) sen LJ Reemplazando T2 - T1 ± W2X = 0

T2 - T1 ± (m*g) senLJ = 0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones tenemos:

Bloque M FY = 0 T2 ± W3 = 0 T2 = W3  W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3m*g) sen LJ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen LJ

a) La masa M M = 3 m sen LJ Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque. d) Las tensiones T1 y T2.

La masa es M = 3 m sen LJ El problema dice que se duplique la mas a ĺ

M = 2*(3 m sen LJ)

M = 6 m sen LJ  Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m Fx = 2m * a T1 ± W1X = 2m * a Pero: W1X = W1 sen LJ W1 = 2m*g  W1X = (2m*g) sen LJ Reemplazando

T1 ± W1X = 0 T1 ± (2m*g) sen LJ = 2m * a (Ecuaciın 1) Bloque m Fx = m * a T2 - T1 ± W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen LJ W2 = m*g  W2X = (m*g) sen LJ Reemplazando T2 - T1 ± W2X = m * a T2 - T1 ± (m*g) sen LJ = m * a (Ecuación 2) Bloque M FY = 6 m sen LJ * a  W3 - T2 = 6 m sen LJ * a  W3 = 6 m sen LJ * g 6 m sen LJ * g - T2 = 6 m sen LJ * a (Ecuación 3)

Resolviendo las ecuaciones tenemos:

Despejando la ecuación 3 para hallar T2

6 m sen LJ * g - T2 = 6 m sen LJ * a (Ecuación 3) 6 m sen LJ * g - 6 m sen LJ * a = T2 6 m sen LJ( g - a ) = T2

Pero:

Factorizando g

Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 ± (2m*g) sen LJ = 2m * a (Ecuaciın 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen LJ

Pero:

Factorizando

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.1 Edición quinta; Problema 5.1 Edición cuarta SERWAY  Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2. La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 . a. Cual es el valor de la proporción m1 / m2  b. Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. a. Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos:  b. a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2 F = m1 * a1 (Ecuación 1) F = m2 * a2 (Ecuación 2) Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2

c.

Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F.

MT = m1 + m2 F = (m1 + m2) * a

(Ecuación 3) Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3

F = m2 * a2 = m2 * 1

Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos:

a = ¾ m/seg2

a = 0,75 m/seg2

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.2 Edición cuarta Serway; Problema 5.20 Edición quinta Serway  Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i - 3j )N, y F3 = (- 45i) N actúan sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2 a) Cual es la dirección de la aceleración?  b) Cual es la masa del objeto?

c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su  velocidad después de 10 seg? d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg.

a) Cual es la dirección de la aceleración? F = m * a F = F1 + F2 + F3 F = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a Donde a representa la dirección de a F = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a

u = arctg 2,3809 * 10-2 u = 181,360 42 = = m * (3,75 ) a La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x.

 b) Cual es la masa del objeto? 42 = m * (3,75 ) The image cannotbe displayed. Yourcomputer may nothav e enoughmemory to openthe image, orthe image may have beencorrupted. Restarty ourcomputer, and thenopen the file again. If the red xstillappears, you may have to delete the imageandtheninsertit again.

c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg?

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d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg.  VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg  VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 ± 4 Edición cuarta Serway; Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve u na distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la acciónde una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza? m = 3 Kg. X = 4 metros T = 2 seg. The image cannotbe displayed. Yourcomputer may nothav e enough memory to openthe image, orthe image may have been corrupted. Restart your computer, and thenopen the file again. If the red xstill appears, youmay hav e to delete the image and theninsert itagain.

pero; V0 = 0 The image cannot be displayed. Yourcomputer may nothave enoughmemory to openthe image, orthe image may have beencorrupted. Restart y ourcompute r,and thenopenthefile again. If the red x stillappears, youmay have to delete the image and theninsertit again.

2 X = a t2 The image cannotbe displayed. Yourcomputer may nothav e enoughmemory to openthe image, orthe image may have beencorrupted. Restart your computer, and thenopen the file again. If the red xstill appears, youmay hav e to delete the imageandthen insert it again.

F=m*a F = 3 * 2 = 6 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.5 Edición cuarta Serway; Problema 5.5 Edición quinta Serway  Una bala de 5 gr sale del cañón de un rifle con una rapidez de 320 m/seg. Que fuerza ejercen los gases en expansión tras la bala mientras se mueve por el cañón del rifle de 0,82 m de longitud. Suponga aceleración constante y fricción despreciable.

F=m*a F = 0,005 * 62439,02 = 312,91 Newton.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.6 Edición cuarta Serway; Problema 5.6 Edición quinta Serway  Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de  béisbolde 1,4 Newton de peso a una velocidad de 32 m/seg. Al acelerar uniformemente su brazo durante 0,09 seg Si la bola parte del reposo. a. Que distancia se desplaza antes de acelerarse?  b. Que fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota.  W = 1,4 Newton t = 0,09 seg. V0 = 0 VF = 32 m/seg  VF = V0 +a * t pero: V0 = 0  VF = a * t

 W = m g

FX = m a = 0,142 * 355,55

FX = 50,79 Newton. CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 ± 7 Edición cuarta Serway  Una masa de 3 kg se somete a una aceleración dada por a = (2 i + 5 j) m/seg2 Determine la fuerza resultante F y su magnitud. F=ma F = 3 * (2 i + 5 j) F = (6 i + 15 j) Newton

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO (CUARTA EDICION) Problema 5.8 Edición cuarta Serway; Problema 5.4 Edición quinta Serway  Un tren de carga tiene una masa de 1,5 * 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un jalón constante de 7,5 * 105 Newton. Cuanto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/hora. m = 1,5 * 107 kg. V0 = 0 VF = 80 km/hora. F = 7,5 * 105 New ton.

F=ma

 VF = V0 +a * t pero: V0 = 0  VF = a * t

SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.9 Edición cuarta Serway  Una persona pesa 125 lb. Determine a) Su peso en Newton.  b) Su masa en kg.

 W = m g

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.24 Edición quinta Serway 

Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura p5 ± 24. Dos de los alambres forman ángulos LJ1 = 600 LJ2 = 250 c on la horizontal. Si el sistemaesta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3

T1Y = T1 . sen 60 T2Y = T2. sen 25 T1X = T1 . cos 60 T2X = T2 . cos 25 S FX = 0

T1X - T2X = 0 (ecuación 1) T1X = T2X T2 .cos 25 = T1 . cos 60 T2 . 0,9063 = T1 . 0,5

(Ecuación 1) S FY = 0

T1Y + T2Y ± W = 0 T1Y + T2Y = W pero: W = 325 N T1Y + T2Y = 325 T1 . sen 60 + T2. sen 25 = 325

0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 0,866 T1 + 0,4226 *(0,5516 T1) = 325 0,866 T1 + 0,2331 T1 = 325 1,099 T1 = 325

T1 = 295,72 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. T2 = 0,5516 T1 T2 = 0,5516 * (295,72)

T2 = 163,11 Newton. CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.26 Edición cuarta Serway  Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas.

Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40 Reemplazando T2X = T1X T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766

T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)  FY = 0  FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50

T1y = T1 sen 40  W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 ± 49 = 0

T2 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2. T2 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0 pero: T2 = 1,1918 T1 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 ± 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49

Se reemplaza en la ecuación 1

T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton

T2 = 37,54 Newton.

Pero: T1X = T1 cos 60 Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60

T2 = T1 0,5

(Ecuación 1)  FY = 0  FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60  W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 ± 98 = 0

T1 sen 60 = 98(ecuación 2)

Reemplazando en la ecuación 1

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.29 Edición cuarta Serway  La distancia entre dos postes de teléfonoes 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensión en el cable (Ignore el peso del cable).

 FY = 0  FY = TY + TY - W = 0 Pero:

Ty = T sen 0,4583  W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PROBLEMA 5 ± 33 SERWAY CUARTA EDICION Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo LJ = 600 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 ± 33. a. Determine el valor de F, la magnitud de F.  b. Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).

ƶ FX = 0

FX ± WX = 0 (Ecuación 1) FX = WX Pero: FX = F cos 60  WX = W sen 60 F cos 60 = W sen 60

Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). ƶ FY = 0

N ± WY ± FY = 0 (Ecuación 2) Pero: FY = F sen 60  WY = W cos 60

Reemplazando en la ecuación 2

N ± WY ± FY = 0 (ecuación 2) N ± W cos 60 ± F sen 60 = 0 N ± m g cos 60 ± F sen 60 = 0 N ± 2 * 9,8 * 0,5 ± 33,94 * 0,866 = 0 N ± 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39

N = 39,19 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.34 Serway cuarta edición La bala de un rifle con una masa de 1 2 gr viaja con una velocidad de 400 m/seg y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Determine la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que actúa sobre la bala. X = 15 cm = 0,15 m

 V0 = 400 m/seg VF = 0

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F = m a = 0,012 * (-533333,33) = - 6400 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5. 36 Serway cuarta edición La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al es te. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y dirección de su acelerac ión?

LJ = arc tg 2,1666 LJ = 65,220 FR = m * a Pero: m = 270 Kg.

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.37 Serway cuarta edición; Problema 5.37 Serway quinta edición En el sistema que se muestra en las figura p5.37, una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg. La superficie horizontal no tiene fricción. a. Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?.  b. Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. c. Grafique la aceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 1 00 N.  y FX = 100 N

S FY = m1 a S FY = T ± P1 = m1 a

T ± m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 S FX = m2 a

FX - T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.

- m1 g + FX = m1 a + m2 a a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX

10 a + 19,6 = FX Si a = 0 FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. Despejando la aceleración en la ecuación 1

T ± m1 g = m1 a T ± 2g = 2 a

Despejando la aceleración en la ecuación 2

FX - T = m2 a FX - T = 8 a

Igualando las aceleraciones.

8 * (T ± 2g) = 2 * (FX ± T) 8T ± 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g

Si T = 0

FX = - 8 g CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.38 Serway cuarta edición: Problema 5.35 Serway quinta edición Dos masas m1 y m2 situadas sobre una superficie horizontal sin fricción se conec tan mediante una cuerda sin masa Una fuerza F se ejerce sobre una de las masas a la derecha Determine la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda.

Bloque m1  FX = m1 a T = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2  FX = m2 a F - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T = m1 a (Ecuación 1) F - T = m2 a (Ecuación 2)

F = m1 a + m2 a F = (m1 + m2 ) a

Reemplazando en la ecuacion1 T = m1 a (Ecuación 1)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.40 Serway cuarta edición Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de q = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la acelerac ión del bloque? a. Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente?

S FY = 0  WY ± N = 0  WY = N Pero: WY = W cos q  W cos q = N S FX = m a  WX = m a Pero: WX = W sen q

g sen q = a a = 9,8 * sen 15 = 9,8 * 0,258

a = 2,536 m/seg2

SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.40 Serway quinta edición El coeficiente de fricción estáticaes 0,8 entre las suelas de los zapatos de una corredora y la superficie plana de la pista en la cual esta corriendo. Determine la aceleración máxima que ella puede lograr. Necesita usted saber que su masa es 60 kg?

FX = m a FR = m a (Ecuación 1) FY = 0 N±W=0

N = W 

N=mg Pero: FR = Nj N FR = Nj m g Reemplazando en la ecuacion1

FR = m a (Ecuación 1)

a = 7,84 m/seg2 No se necesita saber la masa, como pueden ver se cancelan en la ecuación, es decir la masa no tiene relación con la aceleración CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.41 Serway cuarta edición; Problema 5.62 Serway qui nta edición; Un bloque de masa m = 2 kg se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo LJ = 300 como se ilustra en la figura 5 ± 41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta fricción. a.  b. c. d.

Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente.  A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. e. La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.

 FX = m a PX = m a Pero: PX = P sen 30 PX = m g sen 30

g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5

a = 4,9 m/seg2

 VX = VF cos 30  VX = 3,13 * 0,866  VX= 2,71 m/seg.  VY = VF sen 30  VY = 3,13 sen 30  VY = 1,565 m/seg.

CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.41 Serway quinta edición; Problema 5.48 Serway cuarta edición Un bloque de 25 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se necesita una fuerza horizontal de 75 Newton para poner el bloque en movimie nto. Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta información.

FX = 0 F - FR = 0 (Ecuación 1) FY = 0

N±W=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton

N = 245 Newton FR =NjCINET N FR = 245 NjCINET Reemplazando en la ecuación 1

F - FR = 0 (Ecuación 1) 75 - 245NjCINET = 0 245NjCINET = 75

Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el  bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática

El cuerpo se desplaza a velocidad constante, entonces la aceleración es cero FX = 0 F - FR = 0 (Ecuación 1) FY = 0 N±W=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton

N = 245 Newton FR =NjESTAT N FR = 245 NjESTAT Reemplazando en la ecuación 1

F - FR = 0 (Ecuación 1) 60 - 245NjESTAT = 0 245NjESTAT = 60

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO (QUINTA EDICION) Problema 5.42 Serway quinta edición Un auto de carreras acelera de manera uniforme de 0 a 80 millas/hora en 8 seg. La fuerza externa que lo acelera es la fuerza de fricción entre los neumáticos y el camino. Si los neumáticos no derrapan, determine el coeficiente de fricción mínima entre los neumáticos  y el camino.

FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = Nj N FR = Nj m g Reemplazando en la ecuación 1

 VF = V0 +a * t pero: V0 = 0  VF = a * t pero: a = 9,8 Nj

35,555 = 9,8 Nj * 8 35,555 = 78,4 Nj

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.43 Serway quinta edición; Problema 5.52 Serway cuarta edición Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. a. Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1.  b. Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta s eca y Nj = 0,6

FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = Nj N FR = Nj m g Reemplazando en la ecuación 1

FR = m a (Ecuación 1)

Njg=a a = 9,8 Nj = 9,8 * 0,1 = 0,98

a = 0,98 m/seg2

Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta s eca y Nj = 0,6

FX = m a FR = m a (Ecuación 1) Pero: FR = Nj N FR = Nj m g Reemplazando en la ecuación 1

Njg=a a = 9,8 Nj = 9,8 * 0,6 = 5,88

a = 5,88 m/seg2

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.44 Serway quinta edición; Problema 5.32 Serway cuarta edición Una mujeren el aeropuerto jala su maleta de 20 kg a una rapidez constante y su correa forma un ángulo LJ respecto de la horizontal (figura p5 ± 44). Ella jala la correa con una fuerza de 35 Newton y la fuerza de fricción sobre la maleta es de 20 Newton. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la maleta. a.  b. Que ángulo forma la correa con la horizontal?

 FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante) FX ± FR = 0 FX = FR  Pero: FX = F cos LJ F cos LJ = FR 

35cos LJ = 20

LJ = arccos0,5714

LJ = 55,150 Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta?

 FY = 0 N + FY ± W = 0 N = W - FY  Pero: FY = F sen LJ FY = 35 sen 55,150 FY = 28,7227

N = W - FY  N = m g ± FY  N = 20 * 9,8 - 28,7227

N = 196 - 28,7227 N = 167,27 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.45 Serway quinta edición; Problema 5.57 Serway cuarta edición Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300  Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 seg.

Encuentre a) La magnitud de la aceleración del bloque.  b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c. Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta? d. La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. e. La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.

m = 3 Kg. X = 2 metros t = 1,5 seg. The image cannotbe displayed. Yourcomputer may nothav e enough memory to openthe image, orthe image may have been corrupted. Restart your computer, and thenopen the file again. If the red xstill appears, youmay hav e to delete the image and theninsert itagain.

Pero; V0 = 0 The image cannot be displayed. Yourcomputer may nothave enoughmemory to openthe image, orthe image may have beencorrupted. Restart y ourcompute r,and thenopenthefile again. If the red x stillappears, youmay have to delete the image and theninsertit again.

2 X = a t2

El coeficiente de fricción cinética e ntre el bloque y el plano.

 FX = m a  WX ± FR = m a (Ecuación 1) Pero: WX = W sen 30  WX = m g sen 30  WX = 3 * 9,8 * 0,5

 WX = 14,7 Newton.  FY = 0 N ± WY = 0 N = WY = W cos 30

N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866

N = 25,461 Newton FR =Nj N FR = Nj 25,461 Reemplazando en la ecuación 1  WX ± FR = m a (Ecuación 1) 14,7 - Nj 25,461 = m a 14,7 - Nj 25,461 = 3 * 1,77 14,7 - Nj 25,461 = 5,31 Nj 25,461 = 14,7 - 5,31 Nj 25,461 = 9,39

La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.

FR =Nj N FR = 0,368 * 25,461

FR = 9,36 Newton La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.  VF = V0 +a * t pero: V0 = 0  VF = a * t pero: a =1,77 m/seg2  VF = 1,77 * 1,5  VF = 2,65 m/seg

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.47 Serway quinta edición Un muchacho arrastra un trineo de 60 Newton con rapidez constante al subir por una colina de 150 Con una cuerda unida al trineo lo jala con una fuerza de 25 Newton. Si la cuerda tiene una inclinación de 350 respecto d e la horizontal. a. Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve.  b. En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente

Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve.

 FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante) FX ± FR ± WX = 0 (Ecuación 1) Pero: FX = F cos 20 FX = 25 cos 20

FX = 23,492 Newton  WX = W sen 15  WX = 60 sen 15

 WX = 15,529 Newton  FY = 0 N ± WY + FY = 0 N = WY - FY(Ecuación 2)

Pero: WY = W cos 15  WY = 60 cos 15

 WY = 57,955 Newton FY = F sen 20 FY = 25 sen 20

FY = 8,55 Newton N = WY - FY(Ecuación 2)

N = 57,955 - 8,55

N = 49,405 Newton FR =Nj N FR = Nj 49,405 Reemplazando en la ecuación 1 FX ± FR ± WX = 0 (Ecuación 1) 23,492 - Nj 49,405 - 15,529 = 0 Nj49,405 = 23,492 ± 15,529 Nj49,405 = 7,963

En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleración al bajar la pendiente.

 FX = m a  WX ± FR = m a (Ecuación 1) Pero: WX = W sen 15  WX = 60 sen 15

 WX = 15,529 Newton  FY = 0 N ± WY = 0 Pero: WY = w cos 15  WY = 60 cos 15

 WY = 57,955 Newton. N = WY = 57,955 Newton. FR = Nj N = 0,161 * 57,955

FR = 9,33 Newton  W = m g

Reemplazando en la ecuación 1  WX ± FR = m a (Ecuación 1) 15,529 - 9,33 = 6,122 a 6,199 = 6,122 a

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.47 Serway cuarta edición Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 ± 47). Si el coeficiente de fricción durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda?

Bloque m1 S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton

N1 = 60,76 Newton FR = m N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton. FR = 12,152 Newton. S FX = m1 * a

T - FR = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 S FY = m2 * a

m2 * g ± T = m2 * a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto:

y

FR + m2 * g = m1 * a + m2 * a

a (m1 + m2) = - FR + m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton. m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148

a = 4,84 m/seg2 Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2. m2 * g ± T = m2 * a (Ecuación 2) m2 * g - m2 * a = T T = 8,5 * 9,8 ± 8,5 * 4,84 = 83,3 ± 41,14 =

T = 42,16 Newton CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PROBLEMA 5.49 SERWAY CUARTA EDICIÓN Suponga que el coeficiente de fricción entre las ruedas de un auto de carreras y la pista es 1. Si el auto parte del reposo y acelera a una tasa constante por 335 metros. Cual es la  velocidad al final de la carrera? ƶ FX = m a

FR = m a (ecuación 1) µN=ma Pero: ƶ FX = 0 N-mg=0 N=mg

µg=a a = 1 * 9,8 m/seg2

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.51 Serway quinta edición; Problema 5.55 Serway cuarta edición Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Suponga F = 68 Newton m1 = 12 kg m2 = 18 kg y que el coeficiente de fricción cinético entre cada bloque y la superficie es 0,1. a. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque  b. Determine la tensión T y la magnitud de la aceleración del sistema.

Bloque m1 S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 m1 * g = N1 = 12 * 9,8 = 117,6 Newton

N1 = 117,6 Newton FR1 = m N1 = 0,1 * 117,6 = 11,76 Newton. FR1 = 11,76 Newton. S FX = m1 * a

T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 S FY = 0 m2 * g ± N2 = 0 m2 * g = N2 = 18 * 9,8 = 176,4 Newton

N2 = 176,4 Newton FR2 = m N1 = 0,1 * 176,4 = 17,64 Newton. FR2 = 17,64 Newton. S FY = m2 * a

F - FR2 ± T = m2 * a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones

F ± 17,64 ± 11,76 = a ( 12 + 18) 68 ± 29,4 = 30 a 38,6 = 30 a

T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1) T ± 11,76 = 12 * 1,286 T ± 11,76 = 15,44 T = 11,76 + 15,44

T = 27,2 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.56Serway quinta edición Tres bloques están en contacto entre si sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura 5 ± 56. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1. Si m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 4 kg y F = 18 Newton. Dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada bloque y encuentre. a. La aceleración de los bloques  b. La fuerza resultante sobre cada bloque. c. Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques.

La aceleración de los bloques mT = m1 + m2 + m3 = 2 + 3 + 4 = 9 kg

mT = 9 kg F = mT a

Bloque m1 ƶ FX = m1 a

F ± FC1 = m1 a 18 - FC1 = 2 * 2 = 4 18 - FC1 = 4 FC1 = 18 - 4

FC1 = 14 Newton La fuerza resultante en el bloque m1 es: F1 = F ± FC1 F1 = 18 ± 14 = 4 Newton Bloque m2 ƶ FX = m2 a FC1 - FC2 = m2 a 14 - FC2 = 3 * 2 = 6 14 - FC2 = 6 FC1 = 14 - 6

FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m2 es: F2 = FC1 - FC2 F2 = 14 ± 8 = 6 Newton Bloque m3 ƶ FX = m3 a FC2 = m3 a FC2 = 4 * 2 = 8 FC2 = 14 - 6

FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m3 es: F3 = FC2 F2 = 8 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PROBLEMA 5.50 SERWAY quinta EDICION; Problema 5.59 Serway cuarta edición En la figura p5 ± 59 se muestran tre s masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un coeficiente de fricción de deslizamiento 0,35 . Las tres masas son de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas son sin fricción. a. Determine la aceleración de cada bloque y sus direcciones.  b. Determine las tensiones en las dos cuerdas.

Bloque m1 S FY = m1 a  W1 - T1 = m1 a

m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 S FX = m2 a

T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuación 2) S FY = 0 N2 ± W = 0 N2 ± m2 g = 0 N2 = m2 g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton

N2 = 9,8 Newton FR = m * N2 FR = 0,35 *(9,8)

FR = 3,43 Newton Bloque m3 S FY = m3 a

T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones

m1 g- FR- m3 g = m1 a + m2 a + m3 a m1 g- FR- m3 g = ( m1 + m2 + m3 ) a 4 * 9,8 ± 3,43 ± 2 * 9,8 = ( 4 + 1 + 2 ) a

39,2 ± 3,43 ± 19,6 = ( 7 ) a 16,7 = 7 a

Hallar la tensión T1

m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1) 4 * 9,8 - T1 = 4 * 2,31 39,2 - T1 = 9,24 39,2 - 9,24 = T1

T1 = 29,96 Newton Hallar la tension T2

T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3) T2 ± 2 * 9,8 = 2 * 2,31 T2 ± 19,6 = 4,62 T2 = 19,6 + 4,62

T2 = 24,22 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.59 Serway quinta edición; Problema 5.65 Serway cuarta edición. Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se ilustra en la figura p5 ± 59 . Las poleas tienen masa y fricción despreciables. Encuentre: a) La tensión en cada sec ción de la cuerda T1 T2 T3 T4 y T5

Bloque M S FY = 0 (Por que la fuerza F aplicada mantiene el sistema en equilibrio.) S FY = M g ± T5 = 0

M g = T5 POLEA 1 S FY = 0

T5 ± T2 ± T3 = 0 PERO:T2 = T3 T5 ± T2 ± T2 = 0 T5 ± 2 T2 = 0

T5 = 2 T2 y T5 = 2 T3  y  S FY = 0 F±Mg=0

F=Mg S FY = 0 F = T1

T1 = M g POLEA 2 S FY = 0

T1 + T2 + T3 = T4 M g + Mg/2 + Mg/2 = T4

T4 = 2 M g CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.69 Serway quinta edición; Problema 5.83 Serway cuarta edición Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado e n la figura 5 ± 83 con el propósito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro? Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción (sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1.

Bloque m1 S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleración igual a la del carro) S FX = m1 * a

T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 S FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace)

m2 * g ± T = 0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto:

m2 * g = m1 * a

Todos los bloques unidos MT = (M + m1 + m2) (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto) S FX = mT * a F = mT * a F = (M + m1 + m2) * a

Pero :

Reemplazando tenemos:

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.70 Serway quinta edición; Problema 5.84 Serway cuarta edición Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig 5- 83 se mantiene inmóvil. Todas las superficies, poleas y ruedas son sin fricción. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere, encuentre: a. La tensión T en la cuerda? La aceleración ac eleración de m2 ?  b. La aceleración de M. c. La aceleración de m1.

Bloque m1 S FY = 0 m1 * g ± N1 = 0 (La aceleración resultante del sistema es la diferencia entre las aceleraciones, es decir el  bloque m1 tiene una aceleración diferente a la del carro) S FX = m1 * (a ± A) S FX = m1 * a ± m1 * A 

T = m1 * a ± m1 * A (Ecuación 1) Para el carro M S FX = M * A 

T = M * A (Ecuación 2) Bloque m2 S FY = m2 * a (La masa m2 se desplaza hacia abajo con aceleración = a)

m2 * g ± T = m2 * a

m2 * g ± m2 * a = T (Ecuación 3) En la ecuación 1, despejamos la aceleración : T = m1 * a ± m1 * A  T+ m1 * A = m1 * a

(Ecuación 1) En la ecuación 2, despejamos la aceleración : T = M * A  (Ecuación 2) Reemplazamos (ecuación 1) y (ecuación 2) en la (ecuación 3) para hallar la tensión en función de la masa y gravedad. m2 * g ± m2 * a = T (Ecuación 3)

pero:

(Ecuación 1)

CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.85 Serway cuarta edición

(Ecuación 2)

Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a. Las tensiones en la cuerda  b. El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma Nj para ambos bloques)

Datos: m1 = 10 kg. m2 = 5 kg. m3 = 3 kg a = 2,35 cm/seg2 g = 9,8 m/seg2

Bloque m1  FY = m1 a

P1 ± T1 = m1 a (Ecuación 1) P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton

P1 = 98 Newton 98 - T1 = m1 a = 10 * 2,35 = 23,5 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton Bloque m2  FX = m2 a

T1 ± FR2 ± T2 = m2 a (Ecuación 2)  FY = 0 P2 ± N2 = 0 P2 = N2 m2 g = N2 P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton

P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = Nj N2 FR2 = Nj 49

Reemplazando en la ecuación 2 T1 ± FR2 ± T2 = m2 a (Ecuación 2) 74,5 - Nj 49 ± T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - Nj 49 ± T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - Nj 49 = T2

62,75 - Nj 49 = T2 (Ecuación 3) Bloque m3  FX = m3 a

T2 ± P3X ± FR3 = m3 a Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25

P3X = 12,42 Newton  FY = 0 P3Y ± N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25

P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = Nj N3

FR3= Nj 26,64 Reemplazando en: T2 ± P3X ± FR3 = m3 a

T2 ± 12,42 - Nj 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + Nj 26,64 + 7,05

T2= 19,47 + Nj 26,64 (Ecuaciın 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción

62,75 - Nj 49 = T2 (Ecuación 3) T2 = 19,47 + Nj 26,64 (Ecuaciın 4) 62,75 - Nj 49 = 19,47 + Nj 26,64 62,75 ± 19,47 = Nj 26,64 + Nj 49 43,28 = 75,64 Nj

Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4

T2= 19,47 + Nj 26,64 (Ecuaciın 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.86 Serway cuarta edición El coeficiente de fricción cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y las poleas son sin fricción y las masas se liberan desde el reposo. a. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cad a bloque  b. Determine la aceleración de cada bloque c. Encuentre la tensión en las cuerdas?

Bloque m1

 FX = m1 a

T1 - FR = m1 a  FY = 0 P1 ± N1 = 0 P1 = N1 m1 g = N1 P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton

P1 = N1 = 19,6 Newton Pero: FR = Nj N1 FR = 0,3 * 19,6 FR = 5,88 Newton. Reemplazando

T1 - FR = m1 a T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) Bloque m2  FX = m2 a

T2 - FR ± T1 = m2 a Reemplazando

T2 - FR ± T1 = m2 a T2 ± 5,88 ± T1 = 3 a (Ecuación 2) Bloque m3  FY = m3 a

m3 g ± T2 = m3 a 10 * 9,8 ± T2 = 10 a 98 ± T2 = 10 a (Ecuación 3)

Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleración del sistema

- 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a 86,24= 15 a

Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T1

T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T1 - 5,88 = 2 * 5,749 T1 = 5,88 + 11,498

T1 = 17,378 Newton Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T2

T2 ± 5,88 ± T1 = 3 a (Ecuación 2) T2 ± 5,88 ± 17,378 = 3 * 5,749 T2 = 17,247 + 23,258

T2 = 40,5 Newton CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.72 Serway quinta edición; Problema 5.87 Serway cu arta edición Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 ± 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a. La magnitud de la aceleración de cada bloque?  b. La tensión en la cuerda?

NO HAY ROZAMIENTO Bloque m1 S FX = T ± P1X = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton

T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 S FX = P2X ± T = m2 * a

Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 P2X = 8 * 10 * sen 35 = 45,88 Newton

m2 g sen 35 ± T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.

- m1 g sen 35 + m2 g sen 35 = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 a ( 3,5 + 8) = 25,88 a ( 11,5 ) = 25,88

 b. La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1

T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) T -20 = 3,5 * 2,25 T = 7,87 + 20 T = 27,87 Newton

SERWAY CAPÍTULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5.73 Serway quinta edición; Problema 5.88 Serway cuarta edición El sistema mostrado en (figura p5 ± 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a. El coeficiente de fricción cinético.  b. La tensión en la cuerda?

HAY ROZAMIENTO

FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Bloque m1 S FX = T ± P1X - FR1 = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton

P1X =20 Newton S FY = P1Y ± N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 10 * cos 35 = 28,67 Newton

P1Y = 28,67 Newton P1Y = N1 = 28,67 Newton Pero :FR1 = m cin N1 FR1 = m cin * ( 28,67)

T - m1 g sen 35 ± 28,67 m cin= m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 S FX = P2X ± T - FR2 = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 P2X = 8 * 10 * sen 35 = 45,88 Newton S FY = P2Y ± N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 10 * cos 35 = 65,53 Newton

P2Y = 65,53 Newton P2Y = N2 = 6 5,53 Newton Pero :FR2 = m cin N2 FR2 = m cin * (65,53)

m2 g sen 35 ± T- FR2 = m2 a m2 g sen 35 ± T- 65,53 m cin = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.

- m1 g sen 35 ± 28,67 m cin + m2 g sen 35 - 65,53 m cin = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 ± 28,67 m cin - 65,53 m cin a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 ± 28,67 mcin - 65,53 m cin 1,5 ( 3,5 + 8) = 25,88 ± 94,2 m cin 1,5 ( 11,5 ) = 25,88 ± 94,2 m cin