53016152 Unidad III Engranes Planetarios

 Análisis  Anális is de Elementos Elemen tos de Máquin M áquinas as y Mecanismo Meca nismoss Trenes de Engranes Planetarios (o Epicíclicos)

Para obtener  obtene r  un a r educción e ducción de engra eng ra nes desea dese a d a, con f r  r ecuencia e cuenci a conviene diseñar  diseñ ar  un t r en e n de eng en g ra n ajes aj es de ma m a nera ne ra que uno de los engra engra nes tenga teng a movimiento planetario. Con este movimiento se log lo g ra que un engra eng ra n aje aj e se mueva muev a de t a l for  fo r ma que no sola sol a mente gir  gi r e al r ededor  e dedor  de su pr  p r opio o pio centr  centr o sino qu e a l mismo tiempo gir  gi r e al r ededor  e dedor  de otr  ot r o centr  cent r o. L as figura figu rass 3.1 3.19 9 a y b muestra muest ran n dos tr  tr enes e nes de eng en g ra n ajes aj es pla pl a net ne tar ios ios , en los que el engra eng ra ne 1 con f r  r ecuencia e cuenci a r ecibe e cibe el nombr  nomb r e de central  o  solar   so lar  y el eng en g ra ne 2 r ecibe e cibe el nombr  nomb r e de engra eng ra ne p laneta o  saté  sa télit lite. e.

Figura 3.19

En l a figura figu ra 3 .19 ra z o 3 mueve al engra eng ra naje aj e 2 a l r ededor  e dedor  del engra eng ra naje aj e 1 que es un engra eng ra n aj e .1 9. a, el b raz exter  exte r no no fi j fi jo o. Como se puede ver, ver, el engra eng ra n aje aj e 2 gira gi ra al r ededor  e dedo r  de su centr  cent r o B en ta t a nto que este centr  cent r o gira gi ra al r ededor  e dedo r  del punto A. A. Confor  Confor me m e el engra eng ra ne 2 r ued ue d a al r ededor  e dedo r  de l eng ra n aje aj e exter  exter io io r  1 , un punto de su super  supe r ficie f icie genera gene ra una un a epicicloide. epicicloide. La figura figu ra 3 .19  b mu est ra el c a so en que engra eng ra naje aj e 1 es un engra eng ra n aje aj e inter  inte r no no . En este ca c a so se .1 9. b aj e 2 . Debido a l a s cur  genera genera una un a hipocicloide con un punto en la l a super  supe r ficie ficie del engra eng ran n aje cu r v asgenera genera d as , con f r  r ecuencia e cuenci a se lla ll a ma t r en e n de engra eng ra n ajes aj es epicíclico o cíclico. cíclico . Mé todo

de la Fórmula:

En l a figura figu ra 3 .19: .1 9: Velocida d a ngular  ngular  del bra b razz o 3 con r ela el a ción a l engra eng ra ne 1.  D atos: [ 31 : Velocida Velocida d a ngular  ngular  del engra eng ra n aje aj e 2 con r ela el a ción al a eng en g ra naje aj e 1.  H allar  a llar : [21 : Velocida Debido a que el engra eng ra ne 1 está fi j fi jo o, esto es igua igu al que la l a velocida velocid a d a ngular  ngul ar  del engra eng ra ne 2 y del  bra  b razz o 3 con r ela el a ción a tie ti e rra . Consider  Conside r e el tr  t r en e n de engra eng ra najes aj es de la l a figura figu ra 3 .19 ca mbi mb ia de ma nera ne ra que el b raz o 3 esté .1 9. a que se ca est a cionar  cion ar io, io , en lugar  lug ar  del engra eng ra n aje aj e 1. Entonces el bra b razz o 3 se convier  convie r te t e en la l a tie ti e rra y se tiene en consecuencia consecuencia un t r en en o r din di n ar io i o de engra eng ra n ajes aj es.. P o r  t a nto, nto , se puede eva ev a lu ar  l a r ela el a ción [23 / [13 como ±   N 1/N 2. Si a ho ra se devuelve el meca mec a nismo a su arr eglo arr eglo or  or igina i gin al , o s ea que el b ra z o 3 está en movimiento y el engra eng ra n aj e 1 está fi j fi jo o, to d a vía ví a se ma ntiene la l a r ela el a ción ±N 1/N 2  par  p araa [ 23/ [ 13. L a raz ra z ón de ello es que cuando se invierte un mecanismo, no cambia el movimiento relativo entre los eslabones. / [ 13

Aho Ah o ra se puede obtener  obtener  una un a solución par p araa [ 21 en función de la l a s c a ntida ntida des conocida conocid as [ 31 y [ 23 esc r ibiendo i biendo una un a ecu a ción par p araa [ 21 y dividiendo entr  entr e [ 31 como se muestra muestra a continua continu a ción:

[ 2 1 = [31 + [23

 Ing. LEÓN LE SCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

49

 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos [  1

!

[  1

Por  lo tanto,

1

[  !

1

[  1

[ 1 ! [  1

!

Para la Figura .19.a:

[  [ 1

(1 

[ 

)

... ( .6)

[ 1

 N 1 N 

1

 N  [ 

! [ 



 N  [  3

Para la Figura 3.19. b:

! 

[ 13

[ 

...(3.6.a)

 N 1  N 

! [ 



 N   N 

...(3.6. b)

Al comparar  las ecuaciones 3.6.a y 3.6. b, se ve por  qué es impor t ante sustituir  el signo algebraico corr ecto de [ 23 / [ 13 en la ecu ación 3.6. Consider e a continuación el caso en el que todos los engra nes giran así como el braz o. Esto se ilustra en la Figura 3.2 0, en donde se conocen [ 31 y [ 41 , y se r e quier e encontrar  [ 21 .Al r e solver  este  pr o blema, la r elación clave es [ 24 / [ 34 debido a que es la r elación de las velocidades de los dos engra nes con r elación al b ra zo y se puede evalu ar  fácilmente.

Figura 3.20

Se pueden escr ibir  ecu aciones para [ 24 y [34 y combinar se de manera qu e a par ezca la r elación [24 / [ 34 . Esto se ilustra de la siguiente for ma:

[24 = [21 - [41 [34 = [31 - [41 Dividiendo la pr im era ecu ación entr e l a segunda,

[ 21

!

 per o,

¨ [ 24  ¸ ¨ [  ¸ ©© ¹¹[ 31  [ 41 ©©1  24 ¹¹ ª [ 34  º ª [ 34  º [  24 [ 34

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

!



 N 3  N 2

50

 Análi i

l 

nt 

áquinas y Mecani smos Por lo ta to,

¨ [ 21 ! ©© ª

 N 3  ¸

¨  N   ¸ ¹¹[ 31  [ 41 ©©1  3 ¹¹  N 2  º ª  N 2  º

..( 3.7)

Al obt r  la ecuaciones 3.6 y 3.7, se vio que en ca a caso pr i ero se obtenía la relaci n de las vel ocidades angulares de los engr a nes con relaci n al br azo y luego se escr i bían las ecuaciones de vel ocidad relativa y se combina ban par a contener esta relaci n. Aunque este m étodo es básico, signi ica que se debe desarrollar una nueva ecuaci n par a cada sistema planetar i o que se encuentre. Par a evita r  esta repetici n, es posi ble obtener una ecuaci n gener al que pueda a plicarse a cualquier tren de engr a ne s  pla netar i os. Considere nuevamente la Figur a 3. 20 y las ecuaciones

y

[ 24

=

[2 1

-

[41

[ 34

=

[3 1

-

[41

[ [

24

34

!

[ [

21 31

[ [

41 41

Si en la Figur a 3 .20 se consider a que el engr a ne 3 es el pr i mer engr a ne y que el engr a ne últi mo engr a ne, la ecuaci n anter i or puede escr i birse como

[  LA [  L ! [  FA [  F 

[  A [  A



2

es el

...(3 .8)

en donde:

[  LA = relaci n de las velocidades del último engr ane con respecto al pr imero, ambas con relaci n al br azo. [  FA [ L = Velocidad angular d el último engr a ne en el tren con rela ci n al esla bón f i jo. [ A = Velocidad angular d el br azo con relación al esla bón f i jo. [ F = Velocidad angular d el pr i mer engr a ne en el tren con rela ción al esla bón f i jo. Cuando se usa la ecuación 3.8 se debe enf a tizar que el pr i mer engr a ne y el último engr a ne deben ser engr a nes que se acoplen con el engr a ne o engr a nes que tienen movimi ento planetar i o. Asimismo, el  pr i mer engr a ne y el último engr a ne deben estar en f l ech as par alelas debido a que las velocidades angulares no se pueden tr atar  algebr aicamente a menos que los vectores que representan estas vel ocidades sean par alelos. Utilizando la ecuación 3 .8 par a escr i bir  la ecua ción par a el tren de engr a nes de la Figur a 3 .19.a: Considere que el engr a ne 1 es el pr i mer engr a ne y que el engr a ne 2 es el último engr a ne: [

 LA

[

 L

[

[

 F 

[

!

[

 FA

[ 23

[ LA

!

[

! [

 FA

[L

=

[2 1

[A

=

[31

[F

=

[1

13

=

 A  A



 N 1  N  2

0

Sustituyendo estos valores se obtiene

[ 21

!

¨  N   ¸ [ 31 ©©1  1 ¹¹ ª  N 2  º

 Ing. LEÓ N LES C A    N  ± Ing. PALAC  IOS GUAR N  IZ 

51

 Análi si s de E le  ment os de Máquinas y Mecani smos que concuerda con la ecuación 3 .6. a. Resumiendo podemos decir que en un tren de engr a nes planetar i os se cumple la ecuación: [

 LA

[

 FA

 [ A = RV  [ [  F   A [

!

 L

donde RV = relación de tr a ns misión

 RV  !

 RV  !

Pr oduct o

de l os d ient es de l os engranes mot r ices Pr oduct o de l os d ient es de l os engranes movidos Pr oduct o de l os d iámet ros de l os engranes mot ri ces Pr oduct o de l os d iámet ros de l os engranes movidos

Ejemplo 3.4: En el tren de engr a nes de la Figur a 3 .2 1, las entr a das son: el engr a ne sol 5 y el engr a ne anular  2 . Par a velocidades angulares dadas de [ 5 = 200 rpm y [ 2 = 500 rpm (ambas antihor ar ias vistas desde la derecha), calcule la velocidad de rotación del br azo 6 .

Fi   Sol  ción:

 [ A = RV [ [   F   A [

 L

identif i cando términos, se tiene: = [A = [F = [L

[2 [6 [5

[2 [

 Ing. LEÓ N LES C A    N O ± Ing. PALAC  IOS GUAR N  IZ 

5

 [6 =RV  [6

52

 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos

[6 = 300 [ 6 500

[6 =

¨ 5  ¸¨ 8 ¸ © ¹© ¹ = R V ª  ºª 7 º

r  pm antihorar i a vista desde la der echa.

Como se ha visto, lo pr im er o que debemos hacer  es identificar  los e jes cuyos centr o s se mueven (llevados por  bra zos alr e dedor  de e jes fi jos). Entonces, los engra nes llevados por  la flecha móvil constituyen esa unidad p lanetar i a del tr e n de engra ne. A plicaciones

E

l

5

de los Trenes de Engranajes Planetarios:

E bragu

En el embra gue planetar i o mostra do en la Figura 3.22, el tope 6 puede estar  tra bado o destra bado. Cu and o está tra bado, se tiene un tr e n de engra nes planetar io, y cuando está destra bado, el r e sultado es un tr e n de engranes or dinar io, ya que el bra zo 5 per m anecer á estacionar io. Si el engra ne 2 gira en la dir e cción mostra da a 3 00 r  pm , deter mine: a). La velocidad del engra ne anu lar  4 cuando el tope está destra bado como se muestra.  b). La velocidad del bra zo tra bado con el engra ne anular  4.  So lu

5

cuando el tope 6 está

i 

[2 = 3 00 r  pm a). Cu ando el tope está destra bado, entonces el sistema tra baja como un tr en or din ar io. Lo s engra nes [ 

R V =

 N 

S 

=

 N 

[  E 

  N 

!

Fig. 3.22

! 

,

 N 

[4 = 3 00 (-24/5 6)

= -12 ,6 r  pm

(contra r i a a [ 2 )

 b). Cu ando el tope está tra bado, entonces el sistema tra baja como un tr e n epicíclico: R V =

4

5

2

5

 [  !

!

 N 2  N 4

,

[ 

= 9 r  pm ,

(misma dir e cción de [  )

 [ 

E aut

l 6 óvil

Dif r ncial d

la trans i sión d

un

Los númer os de dientes del difer encial de un automóvil que se muestra en la Fig.3.23 son N2= 17, N3=  bol impulsor  gira a 1200 54, N4= 11, N5 = N6= 16. El ár  r  pm. a) ¿Cuáles son las velocidades de las r uedas si el automóvil se desplaza en línea r ecta sobr e un camino de super ficie unifor me?  b) Supóngase que la r ueda der echa está levantada con un

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

53

 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos gato y que la izquier da r eposa sobr e un camino. ¿Cuál es la velocidad de la r ueda der echa?

Fig. 3.23

c) Consider e, en el caso de un vehículo con tracción en las r uedas traseras, que el automóvil está estacionado con la r ueda der echa en r eposo sobr e una super ficie cubier ta de hielo, mo jada. ¿Le da la r espuesta a la par te ( b) algún indicio de lo que suceder á si arrancara el automóvil e intentara conducir lo?.  So lu

i 

El dif r ncial El gir o del motor  que puede interr umpir se a voluntad en el embragu e, pasa po r  la caj a de cambios y llega al e je t rase r o, en el que tiene que comunicar se a las r uedas colocadas en un e je tra nsver sal.

Fig. 3.23.a

Fig. 3.23.b Fu

Fig. 3.23.

i on amient o en re t a

Fu nc i on amient o en c urva

[2 = 12 00 r  pm a). El mecanismo se compor t a como un tr e n de engra ne simpl e y el cálcul o de la velocidad angular  del brazo o por t ador tiene la misma velocidad angular  que el engra ne anular  3. Se sa be qu e:

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

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 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos !

 N   N 

,

3

= 12 00 (17 / 5 4)

= 377,78 r  pm =

A

 b). En el funcionamiento del difer e ncial se tiene que el engrane 4 tiene dos movimientos r otato r i os: Alr e dedor  del engra ne 5 debido al b ra zo o por t ador  unido al engra ne anul ar  3. Alr e dedor  de su pr o pio e je debido al ³choque´ de 4 con 5 (acción-r e acción).  

Si considera mos a [ 5 como engra ne de entra da del tr en: [5 = 0 (r ueda izquier d a) 3 : b raz o  [ motor :

[  [3 [ 5  [3

! 

[ 6  [ mot or  0  [ mot or 



!

[6 = 2 [motor 

c). Se pr o ducir í a un patinaje de la r ueda der echa y la potencia del motor  ³esca par í a´ p or  est a r ueda (³el agua busca su cauce´).

E

l

7

R duct r d V l cidad

El r e ductor  de velocidad que se muestra en la Fig.3.24 tiene fi jo el piñón 2. Los planetas son los engra nes 3 y 4, ambos montados con cuña sobr e el e je  planet ar io. El engrane solar  5 está unido al e je de salid a. El e je de entra da a impulsa el b raz o. Deter m ine la r e acción de velocidad general de este r e ductor  y el sentido de r otación del e je de salida.  So lu c i  n:

Se sa be qu e: R V =

[  L  [  A [  F   [  A

[ 

[ 

[ 

[ 

[ 

¨  N   ¸¨  N   ¸ ¹¹©© ¹¹ ! ©©  N   N  ª  ºª  º

 [  !  [ 

*

,

Fig. 3.24

[ 5

= 0 ,3 055

[ 6

*

El signo positivo indica que el engra ne de salida  po r t ado r  6.

E

l

8

5

gira en el mismo sentido queel brazo o

P l a dif r ncial tri l

La Fi g.3.2 5 muestra un a Pole a difer e ncial tr i ple en una sección ver tical y una vista lateral. S es la flecha (e je) a la cual está anclada la catalina 2 (r ueda dentada) para la cadena de mano. También a S está anclado el engra ne 3 que tra baja en con junto con los dos engra nes 4. Los engra nes 4 giran sobr e espárra gos M, que son transpor t ados por  el brazo A, est and o anclado este último al mamelón de la catalin a de la cadena de car ga 5 . Los engra nes 6 for man par t e de los engra nes 4 y engra nan con el anillo

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

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 Análi si s de E le  ment os de Máquinas y Mecani smos dentado 7, el cual es una par t e de la ca ja estacionar ia. El mecanismo es un tren epicíclico. Par a:

Fi 

5

 N3 = 1 2, N 4 = 2 5, N6 = 1 2, N 7 = 5 0, P=

4

dte/ pulg.

a) Suponiendo que el oper a dor  tir a de la cadena de mano haciendo gir a r 10 vueltas a la catalina Hallar las vueltas que da el br azo A (o la rueda 5).  b) Si la velocidad angular d e la catalina

2

es

2

2.

vueltas/seg y esta tiene 15¶¶ de diámetro, calcular :

. La velocidad angular d e la rueda 5. . Si 5 tiene un diámetro de 6¶¶, calcular las velocidades lineales de la cadena de mano y de la cadena de carga. c) Si el oper a dor  tir a de la cadena de mano con una fuer za de 500 N, ¿Cuál es el peso de la carga . Calcule la venta ja mecánica.  Sol  ción: a) [3 =

[2

=

[5

¨  N   ¸¨  N 6  ¸ [7  [ ¹¹©©  ¹¹ ! ©©  [ [ ª  N   ºª  N 7  º 3

 A

3

 A

4

0  [ A

10  [ A

 b)



12 *12

,

[A

= 1,033 vueltas/seg

,

[A

= 0 ,20 7 vueltas/seg = 1,3 r a d/seg

25 * 50

 b.1 ) [ [

7 3

 [ A  [ A

!

¨  N   ¸¨  N 6  ¸ ©©  ¹¹©© ¹¹  N   N  ª  ºª 7  º 3

4

0  [ A 2  [ A [2

 b. 2 )

c)

!

=

2

!



12 * 12 2 5 * 50

vueltas/seg 12 ,57 r a d/seg = 120 rpm.

VL m ano =

[2

*

r = 12 ,57 (15/2 ) = 94 ,2 75 pulg/seg = 2 ,39 m/s

VL c arga =

[5

*

r = 1,3 (3 ) = 3 ,9 pulg/seg = 9,91 cm/s

Potencia = cte. (F * V)mano = (F *V) carga 2

5 00 (2 ,39) = F(9,91*1 0- ) F = 12 06 3 ,3 9 N La Venta ja Mecánica obtenida es: VM = (Fuer za de Salida)/(Fuer za de entr a da) = (1 20 6 3 ,3 9N)/(5 00 N) =

24 .1 3

 PROBLEMA S PROPUE   ST O S  1. En el mecanismo mostr ado, la velocidad de giro en el e je de entr ada es N1 y el anillo dentado gir a con N2 en sentido opuesto. Hallar la velocidad de giro del e je de salida N3.  Rpta. N3= (1/4) (3 N2-N1).

 Ing. LEÓ N LES C A    N O ± Ing. PALAC  IOS GUAR N  IZ 

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 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos

Fig.P.1 2.

El engrane Sol B de la figura gira a 100 r  pm en sentido horar io visto desde la der echa. Deter minar  la velocidad angular  y la dir ección de [ G vista desde a bajo.

Fig.P.2 3.

En este mecanismo de elevación, 2 es un engrane anular  fi jo, que tiene 100 dientes. Los dos piñon es inter medios 3 son por tados por  el brazo del tr en epicíclico, el cual por ta también al tambor, como se muestra. El engrane 4, que esta fi jo a la manivela tiene 70 dientes. El diámetr o del tambor  es 127 mm. La longitud de la manivela es 533 mm. Y la fuerza a plicada a la manivela es 34 kg. Hallar  los dientes de los  piñones 3 y el peso levantado, despr eciando la f r icción.  R t a. N3= 15 dtes. W= 692,7 kg.

Fig.P.3

4.

En el tr en de engranes planetar ios mostrado, el radio de los engranes A, B, C y D es de 75 mm y el radio de la cor ona E es 22 5 mm. Sa biendo

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

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 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos que esta tiene una velocidad angular  horar ia de 120 r  pm y que el engranaje central tiene una velocidad angular  horar ia de 150 r  pm, hallar : a) La velocidad angular  de cada satélite b) La velocidadde la araña que enlaza a los satélites.  R t a. [B= --105 r  pm , [A= -127,5 r  pm.

Fig.P.4  .

a) Deter mine el númer o de dientes del engrane E en el malacate del tr en de engranes de la Fig.P.5, que  pr oduce una r educción de velocidad entr e B y A de B/ A=2 5, dados NB=2 0, NC=80 y ND=3 0.  b) Deter mine el valor  numér ico de la ventaja mecánica de éste mecanismo W/Fent, suponiendo que no hay  per didas.

Fig.P. 6.

Un sistema de engranes planetar ios se utiliza para transfer ir  sobr es de la tolva ver tical a la f aja transpor tadora hor izontal. El engrane anular  exter ior  esta fi jo, y la montura de los engranes planetar ios ( brazo cr uzado) es impulsado por  un motor  y gira en sentido horar io. Cada uno de los cuatr o engranes  planetar ios tiene 48 dientes y su paso diametral es de 18. Un brazo con ventosa esta su jeto r ígidamente a cada engrane planetar io, de modo que gira con el engrane planetar io en sentido antihorar io.

a) Si quer emos garantizar  que los sobr es se colocar án en posición hor izontal cuando la montura de engranes gir e un cuar to de cír culo, ¿Cuántos dientes debe tener  en engrane anular  exter ior ? Calcule el diámetr o de paso.  b) Suponiendo que la banda transpor tadora tiene una velocidad lineal de 120 pies/min y que la distancia entr e los centr os de dos sobr es adyacentes es de 12 pulg, calcule la velocidad angular  del motor  impulsor . Calcule la velocidad angular del engrane planetar io. c) Compar e la eficiencia de este sistema con el esla bonamiento típico de 4 barras de r ecoger  y colocar  con la misma velocidad de entrada del motor .

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

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 Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos

Fig.P.6 

 Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ 

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