5.2 Composicion de Funciones

 

Unidad 4: 4: Funciones y sus gráficas

Composición de funciones 1

 

Fábrica 1: Tetra Pak

Fábrica 2: Jugos de Fruta

Insumos rojos y azules

a. ¿Qué representan para la Fábrica 1 los tetrapak azules? ¿Y para la Fábrica 2? b. ¿Qué insumos llegaron desde el inicio de producción de la Fábrica 1 hasta el producto final de la Fábrica 2? c. Otra Fábrica (la Nº 3) toma a los insumos azules y directamente los transforma en Jugos de Fruta. ¿Qué relación tiene este hecho con la  pregunta (b)? 2

 

Para entender la idea de composición tomamos la 2   2  g(x)  g( x)   x función que transforma toda entrada x    en x  y la función  f  ( x )   3 x que a toda entrada x   la  la multiplica  por 3. Ahora, apliquemo apliquemoss  f   a la salida de la función g  función  g , tal como se muestra en la figura: figur a:

 x

g 

2

x  

 f  

 

3 x

2

 f    g    

 

Lasefunción se llama f llama f compuesta con g, con g,  f g se obtiene y denota que .

3

 

Composición de funciones Dadas las funciones f  funciones  f   y  g , la la   función compuesta de f de  f con con g   g   , denotada por f  por f ○ g   ,  ,  está está  definida por  

( f    g  )( x)    f  ( g ( x)) 

siendo el dominio de  de  f  f ○ g   ,  ,   el conjunto de todos los números  x del  x  del dominio de g  de g , tales que g  que g ( x)  x) está en el dominio de f  de f .

4

 

Composición de f  de f  con g  con g  fog  og   f f g   g 

 f  

 g  x 

 x

 Dom  g 

 

 Ran  g 

 f  g  x  

 Dom  f  

 

 Dom  Do m  fog    x / x  Do Dom m  g   g  x   Do Dom m  f  

 Ran  f  

5

 

1   Ejemplo 1 Dadas las tablas de las funciones  f y  g  :  :  x

-1

0

1

2

 x

-2

-1

3

2

 f ( x)   x)

-2

1

5

4

 g ( x)   x)

-1

1

2

-1

calcule:  calcule:    )(2) ( fog   f og   b.   )(1) c.   ( gof   c.

d. ( gog ) (2)

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 1 6

 

Ejemplo 2: Dadas las funciones f funciones f y g expresadas como pares ordenados:  f     1; 2; 2;4;  1  ;  2; 0 ;1;  2 ; 5  g     2 ; 4;  1;2;  4 ;  2; 2 ;1; 0 ; 0

, calcule:

 f og )(0)  b.   ( fog   b.

d.  ( gog    )(2) of  )(3) e.  ( f fof  

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 2. 7

 

Ejemplo 3: Sean las funciones  f  ( x)  2 x    3, x   6; 5 y  g ( x)   4  x , calcule:  b.   ( gof    b.   )(3) d. ( fof    f of  )(3)

f. ( gof  )(8)

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 3

8

 

Ejemplo 4:  x 2  3,  x  2 Sean las funciones  f  ( x)   y 5  x, 4   x  8  g ( x)     x  4 , calcule:   )(3)  b.   ( gof    b. c.

( f og )(29)

e. ( fog   f og )(1) f.   ( gof  )(7) f.

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 4 9

 

Ejemplo 5: Dadas las gráficas de las funciones  f y g, como se muestra en la figura, calcule: 

c.

d.

( gof     )(2)



 f of     )(1) ( fof  



y

 f  

 

f .

( gof  )(3)

 g  

  

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 5  5 



    

x

















10

 

Revise el ejemplo 6 desarrollado y complete la tabla. Ejemplo 7: Dadas las funciones:   2  f  ( x)   2  x  3 ,  g ( x)    2  x

y   h ( x )     3  x

Determine la regla de correspondencia de las siguientes funciones compuestas ( gof     )( x)

 b. d.

( goh   )( x)

Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 7 11

 

Ejemplo 8: Dadas las funciones  f   ,  g   y h  , cada una con su dominio respectivo  Dom  Dom(( f   f ) ,  Dom  Dom(( g   g )  y  Dom  Dom((h). Plantee el dominio de la composición de funciones usando la definición:  Dom(( g   g ○ f )  b.  Dom  Dom(( g   g ○h) d.  Dom Resuelva los ejercicios que faltan del ejemplo 8

12

 

Ejemplo 9: Complete los espacios en blanco de la siguiente tabla.

a.

Intervalo

Inecuación

2 x  1    1; 5

 1   2x   1  5

Resolución  2  2  x  4     1  x  2

b.

 x 2  4   ; 0 c.

 x  x  1

  3;  

13

 

Complete los espacios en blanco del ejemplo 10

Ejemplo 11: Determine Determine gof   gof   a partir de las funciones dadas:   ;    f ( x)  x 2  2 ,  x  1

a.  g ( x)     x  3

,  x   2 ;   

Resuelva los ejercicios b y c. 14

 

Revise el ejemplo desarrollado. Ejemplo 12: Dadas las funciones  f  ( x)   2  x  4 y  x) tal que (hof  )( x    )   g ( x) .  g ( x)   5   x , halle h( x) Revise el ejemplo desarrollado. Ejemplo 13: Dadas las funciones:  f  ( x)     x  4  g ( x)     5  2 x , halle h( x)  x) tal que ( foh  f oh)( x   )   g ( x) .

y

15