5_14TRIGONOMETRIA_2008

Los problemas más comunes de triángulos son aquellos en que, a partir de algunos datos, se quiere hallar las restantes medidas de lados y ángulos. Estos problemas tienen el inconveniente de que la relación entre esos elementos no es algebraica. Al introducir las funciones trigonométricas, la relación entre lado y seno o coseno de un ángulo se hace algebraica. Esta es en esencia la idea de Hipparchus que, de tan simple, pocos se dan cuenta de su genialidad. Hipparchus introduce una sola función, la función cuerda, que es muy parecida a la actual función seno.

( )

ˆ⎞ ˆ = 2R sen ⎛ A cuerda A ⎜2⎟ ⎝ ⎠

Hipparchus of Rhodes (Grecia, 190 aC.–120 aC.)

Este artificio de cálculo tiene un precio, la necesidad de construir tablas de funciones trigonométricas.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II aC., el astrónomo Hipparchus construyó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Las primeras tablas construidas por Hipparchus no han sobrevivido al paso del tiempo, pero dieron una solución general para los problemas trigonométricos. Una conclusión de esto es que, antes de Hipparchus, las tablas astronómicas basadas en los métodos geométricos griegos no existían. Esto convierte a Hipparchus, no sólo en el fundador de la trigonometría, sino en el que transformó la astronomía griega, de una pura teoría, en una ciencia práctica y predecible. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Actualmente, otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. El significado y notación actual para el seno de un ángulo aparece en el trabajo de un hindú, Aryabhata. En el 500 dC. dio las primeras tablas para el seno. Estas tablas fueron reproducidas por Brahmagupta en el 628, y detallados métodos para construirlas fueron dados por Bhaskara en 1150. El término trigonometría aparece por primera vez en el título de un libro publicado en 1595 por B. Pitiscus, en Heidelber, Alemania. Edmund Gunter fue el primero en usar la abreviación sen en 1624, en un dibujo. El primer uso en un libro fue en 1634 por el matemático francés Hérgone.

314

GUSTAVO A. DUFFOUR

14 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco p AP , con una unidad apropiada para medir ángulos. P α

A

Según cual sea la unidad de longitud usada, se tendrán diferentes sistemas para medir ángulos.

1.2. SISTEMAS DE MEDIDAS En trigonometría suelen emplearse dos unidades distintas para medir ángulos, que originan dos sistemas de medidas: el sexagesimal y el circular.

Sistema sexagesimal

Unidad: grado

Se toma como unidad el grado sexagesimal, o simplemente grado, que se define como: Una de las 360 partes en que se divide la circunferencia. Por lo tanto, se tiene que: Una circunferencia equivale a 360º

Recordemos que, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes. La división de una circunferencia en 360 grados es muy arbitraria, debida a los antiguos babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60. La medida de un ángulo en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente para localizar una estrella en el cielo, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. La posición de un objeto en la superficie de la Tierra se mide en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich, en Inglaterra. La división en 2π partes es fundamental. Los radianes se usan casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, de las funciones trigonométricas, en especial para las derivadas y la expresión de series infinitas.

El grado se divide a su vez en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. MATEMÁTICA DE QUINTO

315

Sistema circular R

Unidad: radián

En este sistema se toma como unidad de medida el radián, que se define como: El ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia a la cual pertenece.

R

Relación entre el sistema sexagesimal y el circular Dado que en una circunferencia de perímetro 2πR hay 360º, se tendrá: Si R Toda la circunferencia ? 2πR

→ 1 radián → x radianes

x =

1 * 2πR = 2π radianes R

Fórmulas de conversión: Medida en grados

360º 180º 90º 60º 45º 30º π π π π π Medida en radianes 2π 2 3 4 6

180 × radianes π π × grados radianes = 180

grados =

USANDO LA CALCULADORA Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo se encuentra. Modo Modo

D o DEG para trabajar en grados. R o RAD para trabajar en radianes.

El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES.

Se supone que el lector tiene algún conocimiento de las tres relaciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones se estudian en los cursos de trigonometría de años anteriores, al resolver problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo (véase el capítulo 9 en Matemática de Cuarto, del mismo autor). Las relaciones trigonométricas son muy importantes, no solo por su relación con los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, sino por las propiedades que poseen como funciones trigonométricas definidas en los números reales (véase la página 318).

316

GUSTAVO A. DUFFOUR

2 – DEFINICIONES PREVIAS Para el triángulo rectángulo se han dado en cursos anteriores las siguientes definiciones.

d(M,P) Es la distancia del punto M al punto P. La longitud del segmento [MP]. P SENO de α

es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(M,P) y la longitud de la hipotenusa d(O,P).

COSENO de α es el cociente entre la longitud del cateto adyacente d(O,M) y la longitud de la hipotenusa d(O,P).

α

TANGENTE de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(M,P) y la longitud del cateto adyacente d(O,M).

M

O

sen α =

d(M,P) d(O,P)

cos α =

d(O,M) d(O,P)

tg α =

d(M,P) sen α = d(O,M) cos α

3 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Una circunferencia de radio unidad (R = 1), cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, se llama circunferencia trigonométrica; y el círculo que determina, círculo trigonométrico.

y

B II

A’

α

o III

P

I

IV

B’

A

x

Al punto A se lo toma como origen de medida de los ángulos y el punto P, de posición variable sobre la circunferencia trigonométrica, se p. llama extremo del arco AP La circunferencia se considera orientada positivamente en el sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, o sea, ABA'B'. Los diámetros principales (horizontal y vertical) dividen al círculo trigonométrico en cuatro cuadrantes, numerados en la figura.

Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. MATEMÁTICA DE QUINTO

317

4 – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1. DEFINICIONES Dado que el radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad: d(O, P) = 1 en el

+

triángulo rectángulo OMP de la figura, se tendrá: sen= d(M,P)

cos= d(O,M)

y De donde es posible definir el seno y el coseno de un ángulo como:

P

o

α

SENO

M A

x

En una circunferencia trigonométrica, el seno de un ángulo es la distancia p medida desde el extremo del arco AP al diámetro horizontal perpendicular.

sobre

la

COSENO En una circunferencia trigonométrica, el coseno de un ángulo es la distancia medida desde el pie de la perpendicular anterior (véase seno), al centro de la circunferencia. TANGENTE Recuérdese que el circunferencia trigonométrica d(O,A) = 1.

y

+

T

o

α

A

(r)

radio es la

En el triángulo rectángulo OAT figura, se tendrá que:

x

tg α =

de la unidad: de la

d(A,T) = d(A,T) d(O,A)   

=1

La tangente siempre se mide sobre la recta (r), desde el punto A hasta la intersección con el lado del ángulo.

Véanse los dibujos de la página 320, para un ángulo de cualquier cuadrante. Se llaman funciones trigonométricas a las relaciones trigonométricas definidas en una circunferencia trigonométrica, para cualquier valor del ángulo α (α en radianes, α e \ ). (Véase la página 320). Las funciones trigonométricas son valores sin unidades, que dependen de la magnitud de un ángulo.

318

GUSTAVO A. DUFFOUR

También se definen otras tres funciones trigonométricas, como funciones recíprocas de las anteriores: sec (secante)

sec α =

(t

cosec (cosecante)

1 cos α

co sec α =

α e \ / cos α $ 0)

(t

cotg (cotangente)

1 s en α

cot g α =

α e \ / sen α $ 0)

(t

1 cos α = tg α sen α

α e \ / sen α $ 0)

Es común usar el mismo símbolo, generalmente letras del alfabeto griego α, β, ... para nombrar al ángulo (una porción del plano, concepto básicamente geométrico), y a la medida del ángulo, en grados o radianes. Así es usado en este capítulo.

Es necesario aceptar que el estudiante está más familiarizado con las definiciones de las relaciones trigonométricas basadas en ángulos y triángulos rectángulos, que en la circunferencia de radio igual a uno.

y

Aunque en la deducción de fórmulas se habla de ángulos, este curso pretende ser una transición a las funciones trigonométricas basadas en la

P

y

o

t

x

A

x

2

2

circunferencia de radio unidad: x + y = 1 En este caso, el dominio de las funciones trigonométricas son conjuntos de números, en vez de conjuntos de ángulos. Sea:

A(1, 0) sen t = y

MATEMÁTICA DE QUINTO

y

P(x, y)

t = arco(AP)

cos t = x

319

4.2. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Y SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PRINCIPALES EN LOS CUATRO CUADRANTES Primer Cuadrante

Segundo Cuadrante

y

y P

o

Tercer Cuadrante

α M

T

y

y T

P

α

α A

x

M

Cuarto Cuadrante

o

A

x

M

α o

A

x

o

P

T

M

P

A

x

T

Para cada uno de los cuadrantes se cumple que: sen= d(M,P)

cos= d(O,M)

tg= d(A,T)

Al hacer coincidir los diámetros de la circunferencia trigonométrica con los ejes coordenados x y y, el valor de las funciones trigonométricas tomarán un signo positivo o negativo, según el cuadrante al que pertenezcan. Pr imer

Segundo

Tercer

Cuarto

cuadrante

cuadrante

cuadrante

cuadrante

sen α

+

+

−

−

cos α

+

−

−

+

tg α

+

−

+

−

La palabra trigonometría procede del griego y su significado es: 'medida de triángulos'. En un principio la trigonometría trataba exclusivamente de la resolución de problemas geométricos concernientes a triángulos. Hoy posee otras muchas importantes aplicaciones que no se refieren específicamente a los triángulos. El estudio de los fenómenos periódicos, tales como ondas, corrientes eléctricas alternas y ciclos comerciales se basa en los principios desarrollados en trigonometría, pero no como teorías de tipo geométrico, sino que utiliza las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas.

320

GUSTAVO A. DUFFOUR

4.3. RELACIONES ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 360º Se debe recordar que:

y

360º P

T

equivale a

2π radianes.

Sean entonces los ángulos α y (2kπ+α) con k∈ ] .

(α+2π)

o

α

M

A

Los extremos de los arcos que miden a estos ángulos en la circunferencia trigonométrica son puntos coincidentes (punto P). Por lo cual, el valor de las funciones trigonométricas será el mismo.

x

sen α = sen (2kπ +α) cos α = cos (2kπ +α)

k ∈]

tg α = tg (2kπ +α) Los ángulos que difieren en una o más circunferencias tienen los mismos valores de funciones trigonométricas.

5 – REPRESENTACIONES GRÁFICAS 5.1. FUNCIÓN SENO

valor del ángulo 0

π π 3 π 2π 2 2 1 0 −1 0

valor del seno 0 Se hallan los valores del seno para diferentes valores de x, y se confecciona una tabla. Luego, al llevar los valores sobre un par de ejes coordenados, se obtiene la representación gráfica de f: f(x) = sen x, llamada sinusoide. De la curva, solo es necesario dibujar una onda, es decir, el trozo entre 0 y 2π, pues debido a la relación: sen x = sen (x + 2kπ)

ke ] deducida en el punto anterior, se repiten

las ordenadas (los valores de seno cada 2π). f(x) 1

−3π

−2π

−π

0

π

2π

3π

x

–1 Téngase en cuenta que los valores del seno siempre se encuentran entre – 1 y + 1. MATEMÁTICA DE QUINTO

Dominio = \ Recorrido = [ –1, 1]

321

5.2. FUNCIÓN COSENO

π 2 valor del cos eno 1 0

3π 2 −1 0

2π Siguiendo el mismo procedimiento se 1 obtiene la representación gráfica de f: f(x) = cos x, que se denomina cosinusoide. Al igual que en la representación gráfica de seno, basta dibujar la curva para los valores valor del ángulo

0

π

entre 0 y 2π, pues se repiten las ordenadas debido a la relación: cos x = cos (x+2kπ) ke ] , deducida en el punto 4.3.

f(x) 1

−3π

−2π

−π

π

0

2π

3π

x

–1 Dominio = \ Recorrido = [ – 1, 1]

Téngase en cuenta que los valores del coseno siempre se encuentran entre – 1 y + 1.

El tono musical producido por la vibración de una de las cuerdas de la guitarra puede ser representado matemáticamente por una gráfica, en la que las ordenadas representan el desplazamiento de un punto fijo en el medio de la cuerda y el tiempo se grafica en el eje de las abscisas. milímetros

Cuerda vibrando

0

1 440

tiempo

El período fundamental del tono graficado es

1 440

segundos y la

frecuencia definida como la inversa del período es de 440 Hz (hertz, ciclos por segundo). La frecuencia de una cuerda está determinada por su tensión, que el guitarrista cambia apretándola o aflojándola desde el clavijero, y por el largo de la cuerda, que se controla al apretarla contra una de las varillas de metal en el cuello de la guitarra, mientras se toca.

322

GUSTAVO A. DUFFOUR

5.3. FUNCIÓN TANGENTE Se deducen los valores de f: f(x) = tg x a partir de su definición: véase la página 292. f(x)

−2π

−π

0

π

2π

x

Dominio = \ – { π + kπ} k ∈ ] 2 Recorrido = \ Para valores de x = + π , + 3π ,... no existen valores de la función. La curva se aleja 2 2 indefinidamente del eje x y se acerca a las rectas verticales que pasan por dichos puntos –sin tocarlas–, las cuales se llaman asíntotas a la función.

NOTA Las funciones trigonométricas seno y coseno se llaman periódicas, pues reproducen su valor al aumentar la variable x en un valor fijo (2π) llamado período. También la función tangente es periódica, de período π.

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 361, de la página 347. NOTA Considerando la dificultad de la mayoría de los estudiantes en comprender las potencias de las funciones trigonométricas, en este curso para expresarlas se utilizan paréntesis, aunque no sea tan común esa notación. 2

cos α se escribirá siempre como: (cos α) 2

tg α

se escribirá siempre como:

MATEMÁTICA DE QUINTO

(tg α)

2

2

323

5.4. AMPLITUD Y PERÍODO

f: f(x) = 2 sen (x)

f(x) 2

f: f(x) = sen (x)

1

π

f : f( x ) =

x

2π

sen ( x ) 2

La figura anterior muestra la representación gráfica de tres funciones de la forma f: f(x) = a.sen x En cada caso el valor de la función varía desde un mínimo en – a a un máximo en a. El número a es llamado amplitud de la función f: f(x) = a.sen x

f(x)

1

π

2π

x

La figura anterior muestra la representación gráfica de dos funciones de la forma f: f(x) = sen bx El número b cambia el período de la función. En general el período de f: f(x) = sen bx con b > 0 es: 2π b

324

GUSTAVO A. DUFFOUR

6 – PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1. RELACIÓN FUNDAMENTAL y

+

Si en el triángulo rectángulo OMP , interior a la circunferencia trigonométrica, se aplica el teorema de Pitágoras, se obtiene la siguiente relación:

P

α

o

x

M

(d(M,P))

2

+ (d(O,M))

2

= (d(O,P))

2

Como: d(O,P) = 1 d(O,M) = es el coseno del ángulo α d(M,P) = es el seno del ángulo α Resulta la siguiente relación: d(M,P) Es la distancia del punto M al punto P. La del [MP]   longitud   segmento    

EJEMPLO: 2

(1 + cos α)(1 – cos α) = (sen α)

2

Se hacen las cuentas aplicando propiedad distributiva. 1 – cos α + cos α – (cos α) Se elimina

2

= (sen α)

2

– cos α + cos α

1 – (cos α)

2

= (sen α)

2

Se aplica la fórmula fundamental de la trigonometría. 2

(sen α) = (sen α)

2

( sen α)

2

+ ( cos α)

2

= 1

Estrategias para probar identidades

Verificar la siguiente identidad. (1 + cos α)(1 – cos α) = (sen α)



1) Transformar el lado de la igualdad más complicado, hasta que sea igual al más sencillo. 2) Transformar ambos lados de la identidad hasta llegar a la misma expresión. Recuérdese que es incorrecto pasar las expresiones de un lado al otro del signo de igual. Hacerlo implica dar por cierta la identidad que se quiere demostrar.

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 354, de la página 345. MATEMÁTICA DE QUINTO

325

6.2. RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS OPUESTOS Debe recordarse que la medida de un ángulo es positiva si se genera con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativa si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. y

El ángulo opuesto a α es el (– α) Según el dibujo se cumple que: P

o

α −α

d(M,P) = – d(M,P’) M

x

De lo cual resultan las siguientes relaciones trigonométricas:

P’

sen α = – sen (– α) cos α = cos (– α) tg α = – tg (– α)

En geometría, la mayoría de los ángulos tienen una medida entre 0º y 180º, pero en trigonometría se usarán ángulos cuya medida será mayor a 180º o menor a 0º. Para ello se seguirá el siguiente convenio. Se dirá que un ángulo situado en un sistema de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. Si el otro lado gira en sentido antihorario, generará ángulos positivos; y si gira en sentido horario, ángulos negativos.

326

y

+120º

o –240º

x

GUSTAVO A. DUFFOUR

6.3. RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son suplementarios cuando su suma vale 180º. El ángulo suplementario del α es el (180 – α) y

(180−α)

P’

P

α

o

M’

1) El seno de un ángulo se

x

M

mide en: i) Unidades de longitud. ii) Grados. iii) No tiene unidad.

Según el dibujo se cumple que: d(M,P) = d(M',P')

2) El coseno de un ángulo es:

d(O,M) = – d(O,M’)

De lo cual resultan las siguientes relaciones trigonométricas: sen α = sen (180 – α) cos α = – cos (180 – α) tg α = – tg (180 – α)

i) Una longitud. ii) Una razón. iii) Una incógnita. Véanse los resultados en la página 487.

6.4. RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º y

Sean los ángulos α y (180 + α). Se cumplen en el dibujo las siguientes igualdades:

M’

o

d(M,P) = – d(M’,P')

P

(180+α)

α M

P’

MATEMÁTICA DE QUINTO

x

Y resultan trigonométricas:

las

d(OM) = – d(O,M') siguientes

relaciones

sen α = – sen (180 + α) cos α = – cos (180 + α) tg α = tg (180 + α)

327

6.5. RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º.

y

Por lo cual, el ángulo α y el ángulo (90 – α) son complementarios.

P’ P

(90−α)

α

o

M’

Según el dibujo se cumple que: x

M

d(M',P') = d(O,M)

d(M,P) = d(O,M')

De lo cual resultan las siguientes relaciones trigonométricas: sen α = cos (90 – α) cos α = sen (90 – α) tg α = cotg (90 – α)

A las funciones: coseno, cotangente y cosecante se les da el nombre particular de cofunciones, pues las palabras: coseno, cosecante y cotangente son las abreviaturas de seno del complemento, secante del complemento y tangente del complemento. De acuerdo con esta denominación, las relaciones anteriores pueden expresarse diciendo que: las funciones trigonométricas de un ángulo son respectivamente iguales a las cofunciones de su complemento.

6.6. RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º y Sean los ángulos α y (90 + α). Se cumplen en el dibujo las siguientes igualdades:

P’ (90+α) α M’

o

d(M,P) = – d(O,M')

P M

x

Y resultan trigonométricas:

las

d(M',P') = d(O,M) siguientes

relaciones

sen α = – cos (90 + α) cos α = sen (90 + α) tg α = – cotg (90 + α)

328

GUSTAVO A. DUFFOUR

6.7. VALORES FUNCIONALES PARA 60º

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad, como por ejemplo el de 60º.

y P

o

+

60º M

A

El triángulo OPA es equilátero, pues tiene dos lados iguales: d(O,P) = d(O,A) = 1 y tiene un ángulo de 60º.

x

El segmento [MP] es una de las alturas, por lo tanto M es punto medio entre O y A.

cos 60º =

De la relación fundamental:

sen 60º =

2

2

d(O,M) = d(O,P)

(sen α) + (cos α) = 1

1 − (cos 60º )2

sen 60º =

=

1 2

cos 60º =

1 2

se deduce que:

()

2 1− 1 = 2

sen 60º De la definición de tangente: tg 60º = = cos 60º

1 2 1

3 2 1 2

=

3 2

3

sen 60º =

tg 60º =

3 2

3

Ejercicio: deducir los valores de seno, coseno y tangente de ángulos de 30º y 45º.

MATEMÁTICA DE QUINTO

329

7 – CONOCIMIENTO PREVIO A TEOREMA BÁSICO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO Sean dos puntos en el plano A(x , y ) y A A B(x , y ). Al aplicar el teorema de Pitágoras al B B triángulo ARB, se obtiene que:

y y

y

B

B

(d(A,B))

A

A

o

x

x

2

X

B

d(A,R) = (x – x ) B A

2

= (d(A,R)) + (d(R,B))

O sea que la longitud de la hipotenusa d(A,B) al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos d(A,R) y d(R,B). Además, se cumple que las longitudes de los catetos valen:

R

A

2

d(R,B) = (y – y ) B A

Por lo cual, la distancia entre dos puntos d(A,B) viene dada por:

d ( A,B ) =

2

⎛x − x ⎞ + ⎛y − y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A⎠ A⎠ ⎝ B ⎝ B

1) ¿Cuáles de los ángulos que

2

a continuación se indican tienen iguales el seno? a) 125º c) 55º

La distancia buscada d(A,B) es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas. No importa el orden en que se tomen los puntos, ya que los binomios están elevados al cuadrado.

b) 85º c) ninguno

2) ¿Cuáles de los ángulos que a continuación se indican tienen iguales el coseno? a) 120º c) 240º

b) 75º c) ninguno

3) ¿Cuáles de los ángulos que a continuación se indican tienen iguales la tangente? a) 45º c) 225º

EJEMPLO: Hallar la distancia entre los puntos A(– 1, 3) y B(2, – 5)

d(A,B) =

( 2 − (−1))2 + ( −5 − 3 )2

=

9 + 64 =

b) 85º c) ninguno

4) El ángulo cuyo seno vale 2:

73

a) es 90º b) es 180º c) no existe. d) ninguna de las anteriores. Véanse los resultados en la página 487.

330

GUSTAVO A. DUFFOUR

8 – TEOREMA BÁSICO cos (α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β

Para la demostración se construirán dos circunferencias trigonométricas, con la finalidad de hacer más clara la representación. En la primera de ellas se dibujan el ángulo α y el ángulo β. Y en la segunda se dibuja el ángulo (α – β), apoyado en el diámetro horizontal. y y P T

Q

α β

o

N

(α−β) K

o

x

H A

x

Se darán en primer término las coordenadas de los puntos Q, P, T, y A. Punto Punto Punto Punto

Q P T A

es de abscisa d(O,K) y de ordenada d(K,Q), es de abscisa d(O,N) y de ordenada d(N,P), es de abscisa d(O,H) y de ordenada d(H,T), es de abscisa 1 y de ordenada 0,

Q(d(O,K), d(K,Q)) P(d(O,N), d(N,P)). T(d(O,H), d(H,T)) A( 1, 0)

Además, en la circunferencia trigonométrica se tiene que: d(O,K) = cos d(N,P) = sen

d(K,Q) = sen d(O,H) = cos (α – β)

d(O,N) = cos d(H,T) = sen (α – β)

Por lo cual, las coordenadas cartesianas de los puntos función de seno y coseno de los ángulos α y β, resultan ser: Q(cos β, sen)

Q, P, T y A, puestas en

T(cos (α – β), sen (α – β))

P(cos α, sen)

A(1, 0)

Y se considera que la distancia d(P,Q) es igual a la distancia d(T,A), por ser la misma cuerda del ángulo (α – β). Al aplicar distancia entre dos puntos, se obtiene:

( cos

2 2 β − cos α ) + ( s en β − s en α )

=

( cos

2 2 (α − β) − 1) + ( s en (α − β) )

Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad para eliminar las raíces. MATEMÁTICA DE QUINTO

331

(

( cos

2 2 β − cos α ) + ( s en β − s en α ) 2

)

2 =

(

( cos

2

2 2 (α − β) − 1) + ( s en (α − β))

(cos– cos  + (sen– sen  = (cos    – 1)

2

+ (sen   )

)

2

2

Luego se hacen las cuentas indicadas, elevando al cuadrado los binomios en coseno y seno. 2

2

2

2

(cos – 2.cos . cos+ (cos) + (sen) – 2.sen  . sen+ (sen)  = 2

= (cos   ) – 2.cos    + 1 +

2

(sen   )

Se aplica la fórmula fundamental de la trigonometría a los ángulos α, β y (α – β). 2

2

(sen) + (cos) = 1

2

2

(sen) + (cos) = 1

2

2

(sen   ) + (cos   ) = 1

Se sustituyen sus resultados para obtener la siguiente ecuación:

2 − 2 .cos α .cos β − 2. sen α . sen β = 2 − 2 .cos (α −β)  Se eliminan los 2 y se divide entre – 2. Y se obtiene el resultado buscado.

cos    = cos α.cos+ sen α.sen

Esta es la fórmula que se demuestra a partir de la circunferencia trigonométrica y se considerándose el punto de partida para deducir las demás.

9 – OTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 9.1. DEDUCCIÓN DE cos ( +  cos ( +  se puede escribir como: cos ( – ( – ).

Al aplicar la fórmula anterior para el coseno de una resta de dos ángulos, se tendrá: cos ( +  = cos ( – ( – ) = cos  . cos (–  + sen  . sen (–  De las relaciones de ángulos opuestos (véase punto 6.2) surge que: sen(–  = – sen .Al sustituir, se obtiene:

cos(–  = cos

cos ( +  = cos  . cos– sen  . sen

332

GUSTAVO A. DUFFOUR

9.2. DEDUCCIÓN DE sen  Se usará la relación trigonométrica: sen= cos (90 – ) aplicada al ángulo   . Por lo cual es posible expresar sen    en función del coseno, para aplicar la fórmula deducida del coseno de la suma de dos ángulos (punto 9.1). sen    = cos (90 –   ) = cos (90 –  +  = cos ((90 – ) + ) sen    = cos ((90 – ) + β) = cos (90 – ).cos– sen (90 – ).sen Se aplican las relaciones entre complementarios  y (90 – ) (punto 6.5). sen (90 – ) = cos

funciones

trigonométricas

entre

ángulos

cos (90 – ) = sen

sen    = sen .cos – cos .sen

9.3. DEDUCCIÓN DE sen ( + β sen ( + β) se puede escribir como: sen ( – (– β)). Al aplicar la fórmula anterior al seno de una resta de dos ángulos, se tendrá: sen ( + β) = sen ( – (– β)) = sen  . cos (– β) – cos  . sen (– β) De las relaciones de ángulos opuestos (punto 6.2) surge que: cos(– = cos 

sen(– = – sen

sen ( + β = sen  . cos+ cos  . sen

9.4. DEDUCCIÓN DE tg ( + β Según la definición de la tangente:

tg ( + β =

sen (α + β) cos (α + β)

En condiciones de existencia. En todos los casos, denominador $ 0

Al aplicar las expresiones ya halladas para sen( + β (punto 9.3) y para cos( + β (punto 9.1), se obtiene que: tg (α + β) =

sen (α + β) = cos (α + β)

sen α . cos β + cos α . sen β cos α . cos β − sen α . sen β

Se dividen el numerador y el denominador entre el producto (cos  .cos β). Se simplifican las expresiones iguales y se pasan a tangente todos los cocientes seno/coseno. MATEMÁTICA DE QUINTO

333

sen α . cos β tg (α + β) =

cos α . cos β cos α . cos β cos α . cos β

+

cos α . sen β cos α . cos β

−

sen α . sen β cos α . cos β

tg (α + β) =

=

sen α sen β + cos α cos β sen α . sen β 1− cos α . cos β

tg α + tg β 1 − tg α . tg β

9.5. DEDUCCIÓN DE tg   

En condiciones de existencia. En todos los casos, denominador $ 0

sen (α – β) Según la definición de la tangente: tg (  β = cos (α – β)

Al aplicar las expresiones ya halladas para sen(  β (punto 9.2) y para cos(  β (punto 8) se obtiene que:

tg (α − β) =

sen (α − β) = cos (α − β)

sen α . cos β − cos α . sen β cos α . cos β + sen α . sen β

Se dividen el numerador y el denominador entre el producto (cos  .cos β). Se simplifican las expresiones iguales y se pasan a tangente todos los cocientes seno/coseno. sen α . cos β tg (α − β) =

cos α . cos β cos α . cos β cos α . cos β

tg (α – β) =

− +

cos α . sen β cos α . cos β sen α . sen β cos α . cos β

=

sen α sen β − cos α cos β sen α . sen β 1+ cos α . cos β

tg α – tg β 1 + tg α . tg β

Antes de continuar, es conveniente contestar las preguntas 1 al 8, de la página 344, y hacer los ejercicios 356 al 360, de la página 347.

334

GUSTAVO A. DUFFOUR

9.6. FACTOREO DE

sen+ sen β

Se expresan α y β como:

α–β⎞ ⎛α+β α = ⎜ + 2 ⎟⎠ ⎝ 2

α–β⎞ ⎛α+β + sen α = sen ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝

Resulta:

α–β⎞ ⎛α+β – β = ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 2

α–β⎞ ⎛α+β sen β = sen ⎜ – 2 2 ⎟⎠ ⎝

Se aplican las fórmulas de seno de una suma y seno de una resta (vistas en los puntos 9.2 y 9.3), y se suman miembro a miembro las igualdades. Se obtiene que: α–β⎞ ⎛α+β ⎛α+β⎞ ⎛α–β⎞ ⎛α+β⎞ ⎛α –β⎞ sen α = sen ⎜ + ⎟ = sen ⎜ 2 ⎟ .cos ⎜ 2 ⎟ + cos ⎜ 2 ⎟ .sen ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α–β⎞ ⎛α+β ⎛α+β⎞ ⎛α–β⎞ ⎛α+β⎞ ⎛α–β⎞ sen β = sen ⎜ – = sen ⎜ .cos ⎜ – cos ⎜ .sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛α+β⎞ ⎛α–β⎞ sen α + sen β = 2 sen ⎜ ⎟ .cos ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛α+β⎞ ⎛α–β⎞ sen α + sen β = 2 sen ⎜ ⎟ .cos ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10 – OTRAS FÓRMULAS A partir de las fórmulas demostradas, el estudiante tendrá las ideas básicas para deducir todas las demás. Por ejemplo: para calcular sen 2 se debe aplicar sen( +  a sen( + β ). Véase la tabla de fórmulas trigonométricas en la página 341.

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta. a) cos (x + y) = cos x + cos y

para todo x e y reales.

b) cos (xy) = cos x . cos y

para todo x e y reales.

c) (sec x)

2

– (tg x) 2

2

=1

para todo x

real.

2

para todo x

real.

d) (cosec x) – (cotg x) = 1

e) Si los puntos A, B, y C forman un triángulo rectángulo en A, y la hipotenusa BC mide 1, entonces los lados del triángulo miden el seno del ángulo opuesto. Véanse los resultados en la página 487.

MATEMÁTICA DE QUINTO

335

11 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 11.1. INTRODUCCIÓN En general, el estudiante ante una ecuación trigonométrica se encuentra perdido y no sabe qué camino tomar. Por eso se ha construido el siguiente esquema de trabajo que, si se sigue paso a paso, puede aportar ideas eficaces para resolver los problemas presentados.

NOTA En la resolución de ecuaciones trigonométricas, la solución debe darse en el intervalo pedido y cumpliendo las condiciones de existencia de la ecuación propuesta.

11.2 ALGUNAS IDEAS PARA RESOLVER ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1

Sustituir toda función trigonométrica de ángulo constante por su valor numérico.

EJEMPLO:

Resolver en [ 0º, 360º)

2.cos x = tg 45º

Se sustituye tg 45º por su valor: tg 45º = 1 2 cos x = 1

cos x = 1 2

Solución = {60º, 300º}

Debe recordarse que para hallar el primer resultado de la ecuación trigonométrica usando la calculadora, se debe seguir la siguiente secuencia de teclas. y 60º0´ 0.5 SHIFT COS = SHIFT º ´ ´´

La segunda solución, si la hay, se obtiene a partir de la circunferencia trigonométrica, preguntándose: ¿qué otro ángulo tiene el mismo coseno?

336

o 300º

60º

x

GUSTAVO A. DUFFOUR

No se deben simplificar factores dependientes de la variable, con ello podrían eliminarse soluciones.

2

EJEMPLO:

Resolver en [ 0º, 2π)

Una forma de resolver la ecuación correctamente es pasar (sen x) al primer miembro.

2

2 (sen x) = sen x Para resolver la ecuación simplificando, se debería pasar (sen x) dividiendo:

2

2 (sen x) – sen x = 0

2(sen x)2 =1 sen x

Luego se saca (sen x) de factor común:

Para luego simplificar:

sen x .(2.sen x – 1) = 0 Y se aplica la propiedad hankeliana: sen x = 0 →

Solución = {0, π}

sen x = 1 → 2

Solución = π , 5π 6 6

{

Solución:

2.(sen x) sen x

}

=1

Resulta la ecuación: 2.sen x = 1

{0, 6π , π, 56π}

sen x = 1 2 Solución:

No se debe simplificar, pues se podrían eliminar soluciones.

3

2

{ 6π , 56π}

Llevar las funciones trigonométricas a su valor en seno o coseno. sen α 1 1 tg α = sec α = cos ec α = cos α cos α s en α

EJEMPLO:

Resolver en [0º, 360º)

2.tg x . cos x = 1

Se sustituye tg x por su valor en sen x y cos x. No se debe simplificar. Se pasa cos x al segundo miembro, multiplicando.

2.

No se debe simplificar, pues se podrían eliminar soluciones.

sen x . cos x = 1 cos x

Se saca cos x de factor común

2.sen x. cos x = cos x 2. sen x . cos x – cos x = 0

cos x.(2.sen x – 1) = 0

No sirve pues tg 90º ∃ sen x = 1 ? 2

cos x = 0 ? x = 90º 2.sen x = 1

MATEMÁTICA DE QUINTO

Solución = {30º, 150º}

337

4

Hacer común denominador (si existieran denominadores) y simplificar términos.

EJEMPLO:

Resolver en [ 0º, 360º)

sen x +

sen x −

( sen x )2

sen x ) + ( sen x )

+

( sen x )2

1 − sen x

2 =1

=1

sen x = 1 – sen x

sen x + sen x = 1

sen x

=1

1 − sen x

Se pasa el denominador multiplicando Se despeja

1 − sen x

( sen x )(1 −

Se hace común denominador: (1 – sen x)

Se efectúan las cuentas

( sen x )2

2.sen x = 1

sen x = 1 2

Solución = {30º, 150º} 

5

En todo valor de seno o coseno elevado al cuadrado, buscar la simplificación aplicando:

2

2

(sen + (cos = 1

EJEMPLO:

−sen x +

Resolver en \

2 − sen x

–2.sen x + 1 = 2 – sen x

{

}

k ∈]

= 1

= 1

–2.sen x + sen x = 2 – 1

Solución en [ 0, 2π) =

sen x = –1

Solución en \ = 3 π + 2kπ, 2

338

2 − sen x ) + ( cos x )

2 − sen x =1

  2 2 − 2.sen x + ( sen x ) + ( cos x )

Se efectúan las cuentas

– sen x = 1

=1

2 − sen x

( −sen x )( 2

Se hace común denominador: (2 – sen x)

− 2.sen x + 1 =1 2 − sen x

( cos x )2

{ 32π }

Véase el punto 4.3 en la página 321. GUSTAVO A. DUFFOUR

Si el problema no queda resuelto con los pasos anteriores y existen funciones trigonométricas de ángulos dobles o triples, sustituirlas por su valor en seno o coseno. Las más comunes son:

6

2

sen 2x = 2.sen x.cos x

EJEMPLO:

cos 2x = (cos x) – (sen x)

Resolver en [ 0º, 360º)

Se sustituye sen 2x por 2.sen x.cos x →

Se saca cos x de factor común

2

sen 2x + cos x = 0

→ 2.sen x .cos x + cos x = 0 cos x .(2.sen x + 1) = 0

Se aplica la propiedad hankeliana: para que un producto valga cero, uno de los factores debe valer cero: Si

cos x = 0

?

x = 90º

Si

2.sen x +1 = 0

x = 270º 1 sen x = − → x = 210º 2

x = 330º

Solución = {90º, 210º, 270, 330º}

7

Se debe llegar a dos posibles casos: CASO A

Un término o un producto igual a cero.

EJEMPLO:

Resolver en [ 0º, 360º)

sen x.(1 – 2.cos x) = 0

Se aplica la propiedad hankeliana: para que un producto valga cero, uno de los factores debe valer cero. Si sen x = 0

→ x = 0º

Si 1 – 2.cos x = 0

x = 180º

cos x = 1 2

→

x = 60º

x = 300º

Solución = {0º, 60º, 180º, 300º}

MATEMÁTICA DE QUINTO

339

CASO B. Si queda una ecuación en una sola función trigonométrica y del mismo ángulo, se efectúa el cambio de variable más conveniente para obtener una ecuación en z, a la cual se le hallarán las raíces.

EJEMPLO:

2

Resolver en \

2(sen x) – 3.sen x + 1 = 0

Ecuación de segundo grado en (sen x), que con el cambio de variable sen x = z se resuelve en la variable z. π z = 1 → sen x = 1 → x= 2 2

2z – 3z + 1 = 0

z = 1 → sen x = 1 → 2

{

Solución en \ = π + 2kπ, 2

x=

2

π + 2kπ, 6

π 6

}

5π + 2kπ, 6

k ∈]

x=

5π 6

Véase el punto 4.3 en la página 321.

En algunos casos no es posible seguir los procedimientos anteriores. Es necesario 2 introducir un nuevo elemento, por ejemplo: dividir toda la expresión entre (cos x) , comprobando primero que el valor que anula el divisor no es solución de la ecuación.

8

EJEMPLO:

Resolver en [ 0º, 360º)

2

2

(sen x) – 2.sen x.cos x + (cos x) = 0

Un camino a seguir es: dividir toda la ecuación entre (cos x)

2

cos x = 0 No es solución.

Al simplificar se obtiene una ecuación expresable en tangente.

( sen x )2 ( cos x )2

−

2.( sen x ) ( cos x )

(tg x)

( cos x ) 2

2

+

( cos x )2 2

( cos x )

= 0

Es posible simplificar, pues cos x = 0 no es solución de la ecuación propuesta.

– 2.tg x + 1 = 0

Ecuación de segundo grado en tg x, que con el cambio de variable resuelve en la variable z. 2

z – 2z + 1 = 0

z=1

tg x = 1

tg x = z, se

Solución = {45º, 225º}

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 355, de la página 346.

340

GUSTAVO A. DUFFOUR

12 – FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 12.1. INTRODUCCIÓN Aunque a continuación se da una tabla de relaciones trigonométricas, esta se ha construido solo para que el estudiante la tenga como consulta para años posteriores. En este curso se aplican casi exclusivamente las siguientes relaciones trigonométricas.

Fórmula fundamental:

2

2

(sen x) + (cos x) = 1 2

cos 2x = (cos x) – (sen x)

sen 2x = 2.sen x. cos x

2

12.2. TABLA DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS sen= – cos (90 + ) cos= sen (90 + ) tg= – cotg (90 + ) 

sen= – sen (– ) cos= cos (– ) tg = – tg (– )



sen= sen (2k π + )

k∈]

sen= – sen (180 + )

cos= – cos (180 – ) 

cos= cos (2k π + )

k∈]

cos= – cos (180 + )

tg = – tg (180 – )

tg=

tg (2k π + )

k∈]

sen= cos (90 – ) cos= sen (90 – ) tg = cotg (90 – ) sen= sen (180 – ) 

SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS sen ( + ) = sen .cos+ sen .cos sen ( – ) = sen .cos– sen .cos cos ( + ) = cos .cos– sen .sen

cos ( – ) = cos .cos+ sen  .sen tg α + tg β tg (α + β) = 1 – tg α . tg β tg α – tg β tg (α – β) = 1 + tg α . tg β

ÁNGULOS TRIPLES

sen 3α = 3.sen α – 4(sen α) 3

3

cos 3α = 4(cos α) – 3.cos α tg 3α =

3 tg α − (tg α )3 2 1 − 3(tg α )

MATEMÁTICA DE QUINTO

tg =

tg (180 + )

ÁNGULOS DOBLES 





sen 2 = 2.sen .cos  2

cos 2 = (cos) – (sen ) 2.tg α tg 2α = 2 1 − (tg α)

2

FÓRMULAS DE FACTOREO ⎛ α+β⎞ ⎛α–β⎞ sen α + sen β = 2 sen ⎜ ⎟ .cos ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ α+β⎞ ⎛α–β⎞ sen α – sen β = 2 cos ⎜ ⎟ .sen ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ α+β⎞ ⎛α–β⎞ cos α + cos β = 2 cos ⎜ ⎟ .cos ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ α+β⎞ ⎛α–β⎞ cos α – cos β = – 2 sen ⎜ ⎟ .sen ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ sen (α + β) tg α + tg β = cos α. cos β sen (α – β) tg α – tg β = cos α. cos β

341

ÁNGULOS MITAD

ÁNGULOS CUÁDRUPLES

En estas fórmulas, delante del signo de raíz cuadrada deben ponerse los signos + o – según en qué cuadrante se encuentre el ángulo.

( )

1 − cos α 2

( )

1 + cos α 2

sen α = 2 cos α = 2

( )

tg α = 2

3

sen 4α = 8(cos α) .sen α – 4.cos α.sen α 4

2

cos 4α = 8(cos α) – 8(cos α) . + 1 tg 4α =

3 4.tg α – 4.(tg α) 2 4 1 – 6.(tg α) + (tg α)

1 − cos α 1 − cos α = 1 + cos α sen α PRODUCTO DE FUNCIONES

TANGENTE DEL ARCO MITAD

sen α =

( ) 2 1 + ( tg( α ) ) 2

cos α =

( tg( α2 )) 2 1 + ( tg( α ) ) 2

2.tg α 2

2

1 −

sen α . sen β =

cos (α – β) – cos (α + β) 2

cos α . cos β =

cos (α – β) + cos (α + β) 2

sen α . cos β =

sen (α – β) + sen (α + β) 2

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE OTRA DEL MISMO ÁNGULO En estas fórmulas, delante del signo de raíz cuadrada deben ponerse los signos + o – según en qué cuadrante se encuentre el ángulo.

sen α =

1 − (cos α )2

=

cos α =

1 − (sen α )2

=

tg α =

cotg α =

342

sen α 1 − (sen α )2

2 1 − (sen α ) sen α

tg α 1 + (tg α )2

1 1 + (tg α )2

1

=

1 + (cotg α )2

cot g α

=

1 + (cotg α )2

2 1 − (cos α ) 1 = = cos α cot g α

=

=

cos α 1 − (cos α )2

=

1 = tg α

2 (sec α ) − 1 1 = sec α cos ec α

=

1 = sec α

=

(sec α )2 − 1 =

1 (sec α )2 − 1

=

(cos ec α )2 − 1 cos ec α

1 (cos ec α )2 − 1

(cosec α )2 − 1

GUSTAVO A. DUFFOUR

Ángulo α

Ángulo α

en grados

en radianes

0

cos α

0

15º

π 12

30º

π 6

45º

π 4

2 2

2 2

1

60º

π 3

3 2

1 2

3

75º

5π 12 π 2

(

6− 2 ) 4

1

tg α

0º

90º

12.3. VALORES EXACTOS DE LAS FUNCIONES SENO COSENO TANGENTE

sen α

(

6+ 2 ) 4 3 2

1 2

(

6+ 2 ) 4

(

(

6+ 2 ) 4

2− 3 3 3

6− 2 ) 4

1

0

2+ 3 ∃

0 −( 6 − 2 ) 4

105º

7π 12

120º

2π 3

3 2

−1

− 3

135º

3π 4

2 2

− 2

−1

150º

5π 6

1 2

− 3

− 3

165º

11π 12

6− 2 ) 4

−( 6 + 2 ) 4

180º

π

195º

13 π 12

210º

7π 6

225º

5π 4

240º

4π 3

255º

17 π 12 3π 2 19 π 12

270º 285º

(

2

2

2

−1

0 −( 6 − 2 ) 4

−( 6 + 2 ) 4

3

−(2 − 3 ) 0 2− 3

−1

− 3

3 3

2 2

− 2

1

−1

3

2

−

−(2 + 3 )

− 3

2 −( 6 + 2 ) 4

2

2

2 −( 6 − 2 ) 4

−1 −( 6 + 2 ) 4

(

(2+

3)

0

∃

6− 2 ) 4

− (2+ 3 )

300º

5π 3

− 3

1 2

− 3

315º

7π 4 11π 6

− 2

2 2 3 2

−1

330º 345º

23 π 12

360º MATEMÁTICA DE QUINTO

2π

2

2 1 − 2

−( 6 − 2 ) 4

0

(

6+ 2 ) 4

1

− 3 3

−(2 − 3 ) 0

343

13 – ALGUNAS PREGUNTAS SOBRE EL TEÓRICO 1)

a) Probar que: cos   = cos .cos+ sen .sen  b) Probar que: sen 2 = 2.sen .cos 

2)

Demostrar: a) cos   = cos .cos+ sen .sen  b) cos ( + β= cos .cos– sen .sen  2

2

c) cos 2 = (cos – (sen  d) Calcular cos 75º sabiendo que:

3 2

cos 30º =

cos 45º =

3)

a) Demostrar que: cos   = cos .cos + sen .sen  b) Deducir cos( +  y sen  

4)

Sabiendo que: cos  = cos .cos  + sen .sen Calcular sen( + , tg 2.

5)

i) Demostrar: a) cos   = cos .cos + sen .sen b) Deducir la fórmula para cos( +  c) Deducir la fórmula de transformación en producto de: ii) Hallar todas las soluciones de: cos 3x – cos x = 0

6)

2 2

cos p – cos q

Sabiendo que: cos = cos .cos+ sen .sen Demostrar: 2

2

2

i) cos( + .cos  = (cos – (sen = (cos  – (sen ) 2

2

2

ii) cos( + .cos   = 1 – (sen  – (sen  sen (α −β) + sen(α +β) cos(α +β) − cos(α −β)

7)

Deducir:

8)

Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y justificar. i) sen α.cos α > 0 ii) sen α > 1

2

iv) sen α + cos α = 1

344

2

t α∈ \

iii) sen 2α = 2.sen α 2

⇔ 0