50 - Ejercicios Resueltos

 

Ejercicios resueltos de suma de series   (26.12.2017)

 a  en suma o diferencia de series convergentes.

a) Descomposici´ on on de

n

Utilizamos la P.5 de las series:  “La combinaci´  on lineal de series convergentes es convergente  y su suma es la c. l. de las sumas” . Si al descomp descomponer oner el t´ermino ermino general gen eral de la serie resulta an   =  b n ± cn , donde  donde   bn   y   cn  corresponden a series convergentes de sumas   S b   y   S c , la serie  =  S b ± S c . estudiada ser´a comb combinaci´ inaci´ oon n lineal de cn . Entonces su suma ser´a   S a  = S  bn   y ∞

   

2

∞

2

 2nn (+n +2n2n1) + 1  , toma  n1   =   π6   . Ej. 1.-  Calcular tomando ndo como dato 2

2

2

n=1

n=1

Descomponemos Descom ponemos 2n2 + 2n + 1 =  n 2 + 2n + 1 + n2 = (n + 1)2 + n2 =⇒ an   = ∞

∞

∞

1   π 2  π 2   π2   =   +   − 1 =   − 1. 6 6 3 (n + 1) 2

   1  + Entonces a  = n

n=1

n2

n=1

 1   1   + . n2 (n + 1) 2

n=1

∞

 2n + 1  1 1 . Observ Observamos amos que   a   = = Ej. 2.-  Calcular . n (n + 1) n (n + 1) π     1  π 1 2n + 1  =  = Por lo tanto 1 = 1. 2

n

2

···

2 −

2

n=1

n=1

∞

∞

∞

n2 (n + 1) 2

n=1

n2

2

 −

n=1

(n + 1) 2

6

2

 −

6

 −

Nota 1.: En ambos ejercicios es f´aacil, cil, antes de descomponer el t´eermino rmino general, ver que 2 la serie converge (a (an   ∼ α   con con   α >  1). Pero no es imprescindible hacerlo, pues ambas se n descomponen en suma o diferencia de convergentes, luego ser´aan n convergentes. Nota 2.: El Ej. 2. puede tambi´ een n rresolverse esolverse como serie ttelesc´ elesc´oopica. pica. b) Descomposici´ on on de   an  en suma o diferencia de series divergentes. Si varios de los t´eerminos rminos en que se descompone descompone   an  corresponden a series divergentes, no podemos sumarlos por separado, sino que hay que estudiar una suma parcial de   an . En el siguiente ejemplo, que se resolvi´o en clase por otro m´eetodo, todo, se utiliz utilizaa la serie arm´oonica. nica. ∞

n + 2   3/2  n n . Descomponemos el t   general:   a   = n 1 Ej. 3.-  Obtener La suma parcial vale:    3/2 2   1/2    3  1  1  1  1  S    = =  + 2  +  = n 1 n n + 1 2 i 1 i 2 i + 1    1   1   1  1  3 1  1   1   1  +   + 2 +  + + + =  + + 2 1 2 2 2 3 n 1 n n + 1  1   3  1 1   1 H  2 (H  1) + H  1  + = 2 2 n 2 n + 1  3  1  3 1 1 3  1 1 3  5   1 o ¯

3−

n=2

−

n

n

n

−

i=2

 −

···

n

2

−

 − 2 +

−

2

H n −

i=2

−

−

n

2n

−

n

22

 +

∞

 : Calcular Ejercicio propuesto n=2

−

n

n

i=2

i=2

  1/2

n   + n + 1 .

···

−

2 n + 1 1

 = −

 5   +  +   =⇒   l´ım S n   = n 2n 4 2n + 2 4

 1 . Soluci´ o on:  n:   = .   S  4 n3 − n

C´ a alculo lculo Infin Infinitesim itesimal al 2. ETSI Camin Caminos. os. A Coru˜ n na a

2

 −

···

−

 + 2 −

 −

n

→∞