5 Razred - Matematiskop - Prirucnik

MATEMATISKOP

OSNOVNA [KOLA

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ ПЕТИ РАЗРЕД

МАТЕМАТИСКОП

Владимир Стојановић МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ (ПЕТИ РАЗРЕД) Рецензенти Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", Београд Величко Илић, наставник основне школе Лектор Јованка Цветковић, професор Уредник проф. др Предраг Цветковић Издавач ИП МАТЕМАТИСКОП, Деспота Оливера 6, Београд тел. (011)3087-958, (011)2413-403 тел/факс (011)380-70-90 www.matematiskop.co.rs За издавача Нада Стојановић, директор Припрема за штампу Жељко Хрчек [email protected] ЦИП - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 371.3::51(035) СТОЈАНОВИЋ, Владимир, 1940Математика : методички приручник за наставнике математике : пети разред / Владимир Стојановић. - Београд : Математископ, 2010 (Бор : Терција). - 174 стр. : граф. прикази ; 26 cm Тираж 500 ISBN 978-86-7076-050-9 а) Математика - Настава - Методика - Приручници COBISS.SR-ID 177893132 МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр. 650-02-00222/2008-06, од 20.06.2008. којим се одобрава издавање и употреба уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА ЗАДАТАКА и ПЛУС V за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као уџбенички комплет за предмет Математика за пети разред основне школе од школске 2008/2009. године.

Tираж 3.000 примерака Штампа: "Графостил", Крагујевац

PREDGOVOR – UPUTSTVO Ovaj priruqnik je namenjen kao pomo, olakxica u planiranju, pripremanju i izvodenju nastave, za one nastavnike koji u redovnoj nastavi koriste UBENIQKI KOMPLET MATEMATISKOP-a . (Ovaj komplet ima licencu Ministarstva prosvete.) Priruqnik nije mogue koristiti uz ubenike drugih izdavaqa, jer je gradivo planirano prema ubenicima MATEMATISKOP-a . I domai zadaci su iz Zbirke zadataka za peti razred istog izdavaqa. Priruqnik se ne moe kupiti. On je dat kao poklon nastavnicima koji izvode nastavu po ubenicima MATEMATISKOP-a . Priruqnik sadri Godixnji (globalni) plan rada i detaljni plan izvoenja nastave za svaki qas u toke xkolske godine. Oba plana naqinjena su prema zvaniqnom, obavezujuem UPUTSTVU Ministarstva prosvete (Slubeni Glasnik, avgust 2007). Pripremljen plan i izvoenja nastave nije dovoljan da bi nastavnici mogli raditi opuxteno. Ostaje problem objektivnog ocenjivanja uqenika. Mi smo se pobrinuli da Vam i tu smanjimo brige. Nastavnik mora da ima na umu vanu qinjenicu: ne ocenjuje se talenat, nego rad i radna disciplina uqenika. Zbog toga ne treba na kontrolnim i pismenim zadacima pripremati iznenaenja, niti birati samo tee zadatke. Nee se svi uqenici kad zavrxe xkolovanje baviti matematikom, ali e matematika svima trebati. Zbog toga treba dati vixe elementarnih zadataka. Ne treba izbegavati zadatke koji su rexavali na qasu, niti zadatke koje su uqenici dobijali za domai rad. Naprotiv! Preporuqljivo je da svi zadaci budu iz knjiga kojim uqenici raspolau. I, to ne treba kriti, nego javno saopxtiti uqenicima. To e ih stimulisati da budu aktivni na qasovima i rade domae zadatke. U Priruqniku za svaku Kontrolnu vebu i sva qetiri Pismena zadatka dat je predlog zadataka u PET GRUPA. Budui da je Priruqnik nedostupan uqenicima, mogu se koristiti bax ovi zadaci, uz eventualne izmene po potrebama i nahoenju nastavnika. Ako je za Kontrolnu vebu predvieno pet zadataka, onda svaki zadatak doprinosi ukupnoj oceni za 1. Ako su planirana qetiri zadatka, onda za jedan zadatak uqenik dobija ocenu 2, za dva zadatka ocenu 3 itd. Ne treba zbog sitne grexke ponixtiti ceo zadatak, ve stavite uz ocenu takvu ”minus”. Treba vixe ceniti ispravan postupak, nego taqan raqun.

4

Sadraj

SADRAJ

GODIXNjI (GLOBALNI) PLAN RADA

5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA

6

DETALjNI PLAN IZVOENjA NASTAVE PO QASOVIMA

7

GODIXNjI (GLOBALNI) PLAN RADA PROGRAM-om je predvieno gradivo podeljeno na nastavne teme i za svaku temu je odreen orijentacioni fond qasova. Tu su predvieni qasovi za obradu, za ponavljanje i uvebavanje. U PROGRAM-u nije precizno navedeno kako predvideti nepredviene okolnosti. Ovde su teme rasporeene kao xto je u PROGRAM-u predloeno, ali se broj qasova predvienih za realizaciju tema razlikuje od predloenog. Razloga je vixe. – Liqno iskustvo i iskustva mnogih nastavnika nalau fleksibilnu primenu PROGRAM-a. – Mogue je da se kalendar poremeti praznicima, raspustima i nekim iznenadnim okolnostima. – Izvestan broj qasova treba izdvojiti za usmenu proveru znanja, jer ima dosta uqenika koji nisu sposobni da svoje znanje iskau iskljuqivo preko kontrolnih i pismenih zadataka. – Nekoliko qasova u oba polugodixta treba ostaviti u rezervi, za nepredviene okolnosti. Ako takvih okolnosti ne bude, nastavnik e se lako organizovati i korisno upotrebiti ovaj poklon. – Za svaki PISMENI ZADATAK treba planirati bar jedan pripremni qas. R. br. 0 1 2 3 3 4 5

5 5 6

Broj qasova Broj qasova NASTAVNA TEMA po temema Obrada Ostalo Uvodni qas 1 1 Skupovi 14 7 7 Osnovni geometrijski objekti 10 5 5 Deljivost brojeva 8 4 4 Prvi pismeni zadatak 3 3 Deljivost brojeva (nastavak) 5 2 3 Ugao 17 7 10 Razlomci 7 3 4 Drugi pismeni zadatak 3 3 Drugo polugodixte Razlomci (nastavak) 32 13 19 Trei pismeni zadatak 3 3 Razlomci (drugi nastavak) 20 8 12 Osna simetrija 12 5 7 Qetvrti pismeni zadatak 3 3 UKUPNO 138 54 84

С е п т е м б а р

1

0

Ме- Наст. сец тема

С к у п о в и

Подскуп. Једнаки скупови

Подскуп. Једнаки скупови

Унија скупова

Унија скупова

Пресек скупова

Унија и пресек скупова

Разлика скупова

Операције са скуповима

Речи: "и", "или", "не", "сваки", "неки"

5

6

7

8

9

10

11

12

Појам скупа. Начин задававања скупова Појам скупа. Начин задававања скупова

Уводни час

Назив наставне јединице

4

3

2

1

Р. бр. наст. јед. Облик рада

Увежба- Парови вање ФронОбратални да Увежба- Групе вање ФронОбратални да

ФронРазтални говор ФронОбратални да Увежба- Фрон. парови вање ФронОбратални да Увежба- Фрон. парови вање ФронОбратални да УвежбаПарови вање ФронОбратални да

Тип часа Монолошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка

Методa

Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.) Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.)

Место рада

Наст. сред.

ОПЕРАТИВНИ (ОРИЈЕНТАЦИОНИ) ПЛАН РАДА ПО МЕСЕЦИМА Ино- (Само)eвавалуација и ције корекција

6

19

24

23

22

21

20

18

17

16

2

2

15

14

13

Р. бр. наст. јед.

Основни геометријски објекти

С е п т е м б а р

О к т о б а р

Скупови

Ме- Наст. сец тема Тип часа

Облик рада Методa

Место рада

Наст. сред.

О скуповима

Учион. СистеДијаГрупе матиз. лошка (кабин.) Контр. Писмени Припр. Прва контролна вежба Учион. лист. знања (Скупови) Учион. Обнав. ФронДијаСкупови N и N0 тални и сист. лошка (кабин.) Учион. ФронОбраДијаРавне геометријске фигуре тални да лошка (кабин.) Фрон- Дијалош. Учион. ОбраИзломљена линија. Област. тални демонст. (кабин.) да Увежба- ФронУчион. ДијаИзломљена линија. Област вање тални лошка (кабин.) ФронУчион. ХеуриОбраКружница и круг. Круг и тачка тални стичка (кабин.) да Учион. ФронОбраХеуриКруг и права. Теттиве и тангенте тални да стичка (кабин.) ДијаУвежба- Групе Учион. Круг и права лошка (кабин.) вање ДијаУчион. Увежба- Групе О кругу парови лошка (кабин.) вање ХеуриФронУчион. ОбраДва круга стичка (кабин.) тални да ДијаСистеУчион. Све о кругу Групе лошка (кабин.) матиз.

Назив наставне јединице

Ино- (Само)eвавалуација и ције корекција

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

DETALjAN PLAN IZVOENjA NASTAVE PO QASOVIMA Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod istim naslovom obraene su u UBENIKU u izdanju IP MATEMATISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boks Osnovni tekst navodi se koja knjiga se koristi (Ubenik ili Zbirka) sa navedenim brojevima strana. Na neispisanim delovima strana detaljnog plana nastavnik upisuje liqna zapaanja o nivou ostvarenja i eventualne primedbe o kojima e voditi raquna pri planiranju nastave sledee xkolske godine. Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne bude realizovan, on se prenosi na poqetak prvog sledeeg qasa, predvienog za uvebavanje. Ako se neki zadaci iz ubenika, predvieni za rad na qasu OBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, on se pridodaje Domaem zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkom predvienih zadataka za qasove UVE BAVANjA. Preporuqljivo je da nastavnik na qasu rexava i druge, sopstvene zadatke. Predloeni plan rada moe i treba da se mestimiqno menja i obogauje idejama nastavnika, realizatora nastave. Neke napomene koje su detaljno navedene u prvom delu Priruqnika, a kasnije bi trebalo da se ponavljaju, ovde nisu ponavljane. Poxto se radi o Planu rada, dovoljno ih je napisati prvi put. (To su najqexe napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatim izvoenja qasa sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.) Priruqnik u formi CD-a omoguava nastavniku da odxampa po potrebi bilo koju stranicu. To e bitno olakxati pripremu listia za Kontrolne vebe i Pismene zadatke.

20

1. QAS Uvodni qas

Dijalog

Cilj Upoznavanje sa uqenicima. Upoznavanje uqenika sa programom, literaturom, obavezama, mogunostima. Tok qasa Uqenici su do sada imali jednog nastavnika za sve predmete, a sada za svaki predmet imaju po jednog nastavnika. To je bitna promena. Zbog toga se nastavnik mora potruditi da ostavi povoljan utisak i da uqenike ohrabri. Moe im proqitati stihove Miroslava Antia, sa 6. strane ubenika. Potrebno je istai znaqaj matematike kao nauke. Dobro bi bilo da nastavnik na ovom qasu proqita sa 3. strane Zbirke uvodni tekst pod naslovom ”Pred kapijom matematike” (sve osim poslednjeg pasusa). Zatim, nastavnik upozna uqenike sa programom matematike, navodei qinjenice koje su uqili i u mlaim razredima. Onda im predoqi knjige iz kojih e se uqiti, i preporuqi da stiqu naviku qitanja lekcije iz ubenika. Potrebno je ukazati da je matematika lepa, korisna i da prua velike mogunosti. Uqenike treba ohrabriti da idu na qasove dodatne nastave i ponuditi im da nabave priruqnik PLUS V. Takoe, treba im predoqiti mogunost afirmacije na takmiqenjima. Za pripreme, pored zbirke PLUS V mogu im se preporuqiti knjige MATHEMATISKOP 1 (Vodiq za xampione) i Inostrana takmiqenja osnovaca.

21

Skupovi

2. QAS Pojam skupa. Naqini zadavanja skupova. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Uqenici treba skup da shvate kao osnovni pojam koji se ne definixe, ali je odreen svojim elementima. Treba da razumeju razne naqine zadavanja skupova i da mogu sami da navedu takve primere. Prazan skup, bez elemenata, shvataju kao jedinstven skup. Oznake ∈, ∈, /  i  pravilno koriste. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 7. do 10. str.

Nastavnik navodi nekoliko primera skupova iz neposrednog okruenja. Onda trai da i uqenici navedu nekoliko primera. Na poqetku ne pominje prazan skup. Dolazimo do zakljuqka da je skup odreen ako znamo (ili moemo da uoqimo) njegove elemente. Uzimamo primere zadavanja skupa navoenjem svih elemenata. Na tim primerima (kao na 8. str. Ubenika) uvodimo oznake: ∈, ∈, / i . Uqenici i sami navode sliqne primere. Zatim, uvodimo zadavanje skupa opisom (opisivanjem). Pravilno je, na primer, za skup A = {v, o, d} dati opis: A = {x| x je slovo reqi vodovod}. (Qita se: ”A je skup elemenata x, koji imaju svojstvo: x je slovo reqi vodovod.”) Nepravilno je: A = {slova reqi vodovod}. Prazan skup je bez elemenata i treba naglasiti da je taj skup jedinstven. (Postoji samo jedan prazan skup, xto sledi iz definicije.) Oznaka je ∅ ili {}. Insistirati na qinjenici da je ovaj skup jedinstven. Na primer, ako neki uqenik pomisli da ima vixe praznih skupova (i navodi skup koji nema ”ovoga” ili nema ”onoga”), treba ga navesti da objasni, npr. u qemu je razlika izmeu ”Skupa aviona u naxoj uqinionici.” i ”Skupa kitova u naxoj uqinionici.” Uvesti prikazivanje skupova ”slikom” u vidu Ojler-Venovog dijagrama. Na odgovarajuim primerima (navedenim na qasu) povezati sva tri naqina zadavanja skupova. Uqenici i sami smixljaju takve primere. Kao xto je navedeno na kraju 9. strane, istiqemo da i skup moe biti element skupa. Domai zadatak:

Vebe sa 10. str. Ubenika.

22

Skupovi

3. QAS Pojam skupa i naqini zadavanja skupova Frontalni rad kombinovan sa radom u parovima (po klupama) Cilj

Uvebavanje

Dijalog

Usvajanje pojmova upoznatih na prethodnom qasu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 7. do 10. str.

Ponovimo redom pojmove: skup je odreen svojim elementima, sva tri naqina zadavanja skupova, oznake pripadnosti skupu (∈, ∈ / itd.), pojam praznog skupa. Posebno insistirati na tekstovima koji su u Ubeniku istaknuti crvenom trakom i obojeni deo teksta u Zbirci (7. strana). Za svaki opisani pojam uqenici navode svoje primere. Rexavamo zadatke 1, 2 i 4. Tokom qasa rexavamo zadatke 3, 5 i 7, tako xto prvo nastavnik uradi zadatak iz uvodnog teksta, a onda uqenici rexavaju na tabli ili na mestu (u parovima) preostale sluqajeve (a), b), v), itd.). Na isti naqin rexavamo zadatak 13. Zatim, uqenici rexavaju na tabli zadatke: 8, 10, 14, 11 i 16 a), b). Domai zadatak:

6, 9, 12, 15, 16 v), 18

23

Skupovi

4. QAS Podskup. Jednaki skupovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvoenje pojmova podskupa i nadskupa, kao i relacije jednakosti meu skupovima. Uqenici shvataju da se kod skupova broje samo razliqiti elementi. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 10. do 13. str.

Uzmemo dva skupa, na primer A i C na 10. str. Ubenika, istaknemo ih na xkolskoj tabli. Uz voenje od strane nastavnika, uqenici utvrde da je svaki element skupa A istovremeno i element skupa C, a obrnuto ne vai za sve elemente skupa C. Na osnovu ovih zapaanja uvodimo pojmove podskup i nadskup i oznake: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇. Zatim rexavamo primer 1 sa 11. str. Ubenika. Uvodimo pojmove oqiglednih podskupova i pravih podskupova. Na osnovu postupka odreivanja pravih podskupova u primeru 2, koji prikae nastavnik, uqenici samostalno odrede prave podskupove skupa {2, 4, 6, 8} s kraja 11. strane. Rexiti, eventualno, jox jedan sliqan primer. Onda, na naqin kako je navedeno u Ubeniku, reximo primer 3, na osnovu qega uvedemo pojam jednakih skupova (kao skupova koji se sastoje od istih elemenata). To potvrdimo na primeru 4. Zatim, nastavnik objaxnjava rexenje primera 5, pa na osnovu toga uvede novu definiciju jednakih skupova. (Ako je A ⊆ B i B ⊆ A, onda je A = B). Osim toga ovde se zapaa da je suvixno vixe puta nabrajati iste elemente, pa se uvede pojam najjednostavnijeg (redukovanog) oblika skupa. Na taj naqin se dolazi do pojma broja elemenata skupa. Domai zadatak:

Vebe sa 13. strane Ubenika.

24

Skupovi

5. QAS Podskup. Jednaki skupovi. Frontalni rad, kombinovan sa radom u parovima.

Uvebavanje

Dijalog

Cilj Usvajanje pojmova: podskup, nadskup, jednaki skupovi, redukovan (najjednostavniji) oblik skupa, broj elemenata skupa, kao i pojam pravog podskupa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 10. do 14. str.

Ponovimo pojmove: podskup i nadskup (tekst Ukratko na 10. strani Zbirke). Uqenici navode ”svoje” primere. Zatim, rexavamo zadatak 22. (Nastavnik objasni primer iz uvodnog teksta sa skupovima T i B, pa uqenici rexavaju na tabli sluqajeve a) i b), a ostale na mestu, u parovima.) Rexavamo zadatak 26, pa reximo zadatke 24 i 25. Onda rexavamo zadatke 27. i 28 i uoqavamo prave podskupove. Ponovimo definiciju jednakih skupova. Zatim, rexavamo zadatke 37 i 39, i to na isti naqin kao i zadatak 22. Reximo na isti naqin i zadatak 21, pa zadatak 46. Na kraju reximo zadatke 40 i 41. Domai zadatak:

23, 29, 30, 34, 43, 44.

25

Skupovi

6. QAS Unija skupova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Usvajanje pojma unije skupova uz odgovarajuu interpretaciju Ojler-Venovim dijagramima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 14. i 15. str.

Preporuqljivo je odmah prilikom uvoenja pojma unije skupova koristiti ilustrovanje pomou Ojler-Venovih dijagrama. Koristei se primerima sa str. 14, uvodimo uniju kao skupovnu operaciju. Zatim, rexavanjem primera 2. i 3, utvrdimo da je unija komutativna i asocijativna operacija. Ove primere mogu na xkolskoj tabli rexavati uqenici. Posle toga, nastavnik trai od uqenika da iskau pravilno definiciju unije dva skupa. Kad dobije zadovoljavajui odgovor, izvede na tablu jednog uqenika koji sam ili uz pomo nekog od uqenika ”smisli” dva skupa, recimo A i B, qiji su elementi brojevi, odredi A ∪ B nabrajanjem svih elemenata i sve to prikae pomou dijagrama. Na kraju reximo primer 4. Domai zadatak:

Vebe na 15. strani Ubenika.

26

Skupovi

7. QAS Unija skupova

Uvebavanje

Rad u parovima (iz iste klupe) Cilj

Dijalog

Utvrivanje pojma unije skupova i osobina ove operacije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 14. do 16. str.

Ponovimo definiciju unije skupova (tekst Ukratko sa 14. strane Zbirke), pa rexavamo zadatak 51. Onda, rexavamo zadatak 52 i ponovimo osobine komutativnosti i asocijativnosti unije skupova. Reximo zadatke 54 i 55. Zatim, rexavamo redom zadatke 59, 60, 58 i 57. Domai zadatak:

53, 55, 56, 61, 63.

27

Skupovi

8. QAS Presek skupova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvoenje pojma preseka skupova i pojma razdvojenih (disjunktnih ) skupova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 16. do 18. str.

Primer koji se navodi na poqetku 16. strane treba iskoristiti da uqenici uoqe zajedniqki deo skupova A i B. Obavezno treba prikazati i Ojler-Venove dijagrame. Zatim, zajedniqki deo skupova A i B definixeko kao presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B. Zatim, primer 1 iskoristimo da, bez crtanja dijagrama, uoqimo da presek dva skupa predstavlja njihov zajedniqki podskup, koji sadri sve zajedniqke elemente ovih skupova. Pri tome, odreivanjem preseka M ∩ P i P ∩ M uoqimo osobinu komutativnosti. Na sledeem primeru uverimo se da je presek takoe asocijativan. Dalje uoqavamo, ako je A ⊂ B da je A ∩ B = A i da je A ∪ B = B. Koristimo, potom primer 3 radi definisanja razdvojenih (disjunktnih ) skupova: M ∩ R = ∅, xto pokazuje da ovi skupovi nemaju zajedniqkih elemenata. Do kraja qasa reximo i primer 4. sa 18. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 18. strane Ubenika.

28

Skupovi

9. QAS Unija i presek skupova

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Utvrditi znaqenje operacija unija i presek skupova. Jasno uoqiti razlike meu njima. Pritom, kombinovati i ranija znanja (podskup, i sl). Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 16. do 20. str.

Najpre obnovimo pojam presek dva skupa (tekst Ukratko sa 16. strane Zbirke), pa reximo zadatke 66 a), b) i v). Uqenici rexavaju zadatke na mestu. Rade u parovima, po klupama. Zatim, po izboru nastavnika izlazi jedan uqenik na tablu, objaxnjava ceo postupak i rezultat prikae u obliku Ojler-Venovog dijagrama. Usput smo ponovo potvrdili komutativnost preseka. Zatim, na isti naqin rexavamo zadatak 68. Podsetimo se na pojam disjunktnih skupova, pa reximo zadatke 71 i 72. Podsetimo se na definiciju unije dva skupa, pa reximo zadatak 56 b) i zadatak 82. Na kraju rexavamo zadatke 67, 75 i 79. Domai zadatak:

69, 70, 72 a), b), 75, 77, 80.

29

Skupovi

10. QAS Razlika skupova

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Uvoenje pojmova razlika dva skupa i komplement skupa.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 19. i 20. str.

Reximo primer 1 sa 19. strane. Koristei se i dijagramom, objasnimo da smo na taj naqin izvrxili jednu novu operaciju sa skupovima. To je razlika dva skupa koja je u navedenom primeru oznaqena sa A\B (qita se: ”A razlika B”). Zatim, to potvrdimo rexavanjem primera 2 i 3. Uoqimo posebno sluqajeve: A\∅ = A, ∅\B = ∅, A\A = ∅. (Na primer: A = {a, b, v}.) Da produbimo znanje o razlici, postavimo pitanje: ”Ako su A i B skupovi koji imaju elemente (nisu prazni), koje uslove oni moraju zadovoljiti da bi vaile jednakosti: A\B = ∅, i A\B = A?” Uqenici navode odgovarajue primere. Zatim, uvedemo pojam komplementa skupa, kao xto je to uqinjeno na 20. strani. Do kraja qasa rexavamo zadatak 4 sa 20. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 20, strane Ubenika.

30

Skupovi

11. QAS Operacije sa skupovima

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama (po dve susedne klupe)

Dijalog

Cilj Utvrditi znanje o skupovnim operacijama. Rexavanje kombinovanih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 14. do 24. str.

Prvi deo qasa (oko 15 minuta). Obnovimo pojmove razlika skupova i komplement skupa. Onda reximo zadatke 91 i 104 a), d), ). Drugi deo qasa (oko 10 minuta). Obnovimo pojmove: unija, presek, razlika skupova, komplement skupa i disjunktni skupovi. Za svaki pojam izlazi na tablu jedan uqenik i nacrta odgovarajui dijagram. Trei deo qasa. Nastavnik daje iz Zbirke zadatke za uvebavanje obnovljenih pojmova. Svaki postavljeni zadatak rexava se grupno. (Po dve susedne klupe daju jednu grupu.) Svaka grupa prijavljuje nastavniku kad rexi zadatak, a nastavnik ”osmotri” svako rexenje. Kad rexenje prijavi vixe od polovine uqenika, nastavnik izvodi na tablu jednog uqenika, koji rexenje javno izloi. Kontrolixu ga uqenici iz klupa, a nastavnik nadzire. Rexavamo redom zadatke: 54, 64, 66 g), d), 77 a), b) v), 86 a), 92, 94. Domai zadatak:

81 a), b), 87, 93, 97, 100.

31

Skupovi

12. QAS Reqi: ”i”, ”ili”, ”ne”, ”svaki”, ”neki”. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Navedene reqi u matematici imaju znaqenje kao odreene operacije. Uqenici treba da razlikuju kada ove reqi imaju matematiqka znaqenja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, str. 21-23, Zbirka 24-26.

Za svaku od navedenih reqi istai njeno ”jeziqko” i ”matematiqko” znaqenje, kao u Ubeniku. Uz pojam i primer iz Ubenika, svaki pojam ilustrovati jox i jednim zadatkom iz Zbirke. Zatim, traiti od uqenika da i oni navedu neki primer. Domai zadatak: na qasu.

Dati iz Zbirke one zadatke koji nisu rexavani

32

Skupovi

13. QAS O skupovima

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Uoqiti bitne karakteristike nauqenih pojmova o skupovima. Uoqiti sliqnosti i razlike. Produbiti razumevanje pojmova i tehniku rada podii do potrebnog nivoa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 11. do 24. str.

Rexavaju se zadaci iz Zbirke, na naqin opisan u drugom delu 11. qasa. Prilikom demonstracije rexenja od strane uqenika, nastavnik insistira da se svaki korixeni pojam precizno definixe. Na primer, ako se radi o podskupu, onda se podskup precizno definixe, pa se onda rexava zadatak; ako se pomenu jednaki skupovi, onda definisati relaciju jednakosti dva skupa i sliqno. Izbor zadataka bi trebalo izvrxiti neposredno pre realizacije qasa, jer bi izbor trebao biti uslovljen kvalitetom prethodno usvojenih znanja. Jedan od moguih izbora zadataka za ovu sistematizaciju je: 27, 35 a), b), v), 36 a), v), 39, 56, 62, 75, 87, 96, 101, 106. Domai zadatak: do 8.)

Radna sveska: Prva kontrolna veba (str. 5.

Skupovi

33

14. QAS Prva kontrolna veba (Skupovi)

Kontrola znanja

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima, da se ne gubi vreme i izbegnu grexke, koje su posledica diktiranja zadataka. Grupa A) 1. Odredi sve podskupove skupa {a, b, c}. 2. Elementi skupa P su dvocifreni brojevi manji od 40, koji imaju cifru jedinica 0 ili 5. Dat je jox skup Q = {q| q = 5n, gde je n ∈ N i 1 < n ≤ 7}. Nacrtaj Ojler-Venove dijagrame skupova P i Q. Da li je P = Q? 3. Dati su skupovi: A = A {a| a ∈ N i a je neparan broj manji od 7}, B = {1, 2, 3, 6} i C = {c| c ∈ N i 3 < c < 8}. Odredi skupove: A∪ B, A∩ C i (A∪ C)∩ B. 4. Na osnovu Ojler-Venovih dijagrama sa slike, prikai nabrajanjem svih elemenata skupove: A ∩ B, B\D, D\A, B\A i CA D. Grupa B) 1. Imamo skup slova M = {m, e, t, a, r}. a) Odredi podskup skupa M , koji ima dva elementa, tako da od elemenata tog podskupa moemo sastaviti bar jednu smislenu req od dva slova i jednu smislenu req od qetiri slova. b) Odredi dva podskupa sa po tri elementa, tako da elementi svakog od njih odreuje smislenu req od tri slova. Da li su neki od ovih skupova jednaki? 2. Dat je skup C dijagramom i skupovi A = {1, 3, 3, 1, 5, 5, 5, 1, 7, 9, 9}, B = {b| b je jednocifreni neparan broj}. Odredi skupove A∩C i B\A. Da li meu datim skupovima ima jednakih? 3. Da li vai jednakost {1, 2, 3, 4, 5}∩A = {2, 4}, ako je a) A = ∅; b) A = {2, 3, 4}; v) A = {2, 4}; g) A = {2, 4, 6, 8}? 4. Dati su skupovi A = {x| x − 2 = 0 ili 2x = 6}, B = {b| b ∈ N0 i b ≤ 3} i C = {c| c < 6 i c ∈ N }. Odredi skupove a) A\B; b) B\C; v) (A\C) ∩ B; g) (A ∪ B)\C.

34

Skupovi

Grupa V) 1. Rexiti po nepoznatim x i y formule (x = y): a) {x, 5} = {y, 2}; b) {x, y} ⊂ {1, 2, 3}. 2. Da li su neki od skupova jednaki meu sobom: A = {a| a ∈ N i 2 ≤ a ≤ 4}; v) B = {b| b ∈ N0 i 1 < b < 5}; C = {c| c ∈ N i 2 < c < 4}? 3. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 4, 5, 6}. Odredi skupove: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C. 4. Dati su skupovi: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, K = {0, 2, 4, 6}, P = {1, 3, 5} i Q = {4, 6, 8}. Proveri da li su K, P , Q podskupovi skupa M . Ako jesu, odredi im komplement u odnosu na M . Grupa G) 1. Odredi sve prave podskupove skupa S = { , 2, }. Pazi, ima ih xest! 2. Dati su skupovi: A = {a, n, t, e, n, a}, B = {c, e, n, t, a, r} i C = {t, e, r, e, t, a, n, a}. Izdvoj taqna tvrenja. a) A = C; b) C ⊇ A; v) B ⊆ C; g) A ⊆ B; d) B = C. Obrazloi! 3. Dati su skupovi: K = {2, 4, 6, 8} i M = {m| m ∈ N0 i n < 4}. Rexi po nepoznatim x i X formule: a) x ∈ K i x ∈ M ; b) x ∈ (K ∩ M ) i x = 2; v) X ⊂ K i X ⊂ M . 4. Dati su skupovi: A = {v, e, s, l, a} i B = {e, c}. Od elemenata skupa CA B naqini qetiri smislene reqi. Grupa D) 1. Odredi sve prave podskupove skupa M = {3, 5} i skupa P = {2, 4, 6}. 2. Skupove D, E i F , koji su zadati dijagramima, zapixi navoenjem elemenata. Zatim, umesto 2 postavi odgovarajui znak: ⊂, ⊃, = ili ∈. a) F 2D; b) f 2D; v) D2E; g) E2{e, g}; d) {b, d}2F ; ) E ∩ F 2{g}. 3. Odredi podskupove X i Y skupa S = {a, b, c, d}, tako da je X∩{a, b, c} = {a, b} i Y ∪ {b, d} = {b, c, d}. 4. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a < 4}, B = {b| b ∈ N i 0 ≤ b ≤ 3} i C = {c| c ∈ N0 i 0 < c < 5}. Odredi skupove: a) C\A; b) A\(B ∩ C); v) (A ∪ C)\B.

35

Skupovi

15. QAS Skupovi N i N0 Frontalni rad

Obnavljanje i sistematizovanje Dijalog

Cilj Podsetiti se na osnovne osobine prirodnih brojeva i raqunskih operacija sa njima. Upoznati pojmove prethodnik i sledbenik prirodnog broja. Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 24. do 26. str, Zbirka 26. do 29. str. Ponoviti pojmove: prirodni broj, skup N , skup N0 , brojevna poluprava (sve na str. 24. Ubenika). Zatim, ponovimo pojmove prethodnik i sledbenik (uz rexavanje primera 1). Podsetimo se na brojevne izraze, rexavajui zadatak 131 iz Zbirke. Reximo i problemske, zanimljive zadatke 133 i 134. Zatim, rexavamo zadatke 147 i 148. Vano je paljivo prezentirati zadatak 150. Prvo nastavnik na tabli objasni sluqajeve navedene u promotivnom tekstu zadatka. Zatim, uqenici rexavaju sluqajeve od a) do g). Domai zadatak: 140, 142.

Ubenik: Vebe na str. 26. i Zbirka: 135, 137,

36

Osnovni geometrijski objekti

16. QAS Ravne geometrijske figure

Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Upoznavanje strukture, odreenosti i meusobnih odnosa osnovnih geometrijskih objekata i delova pravih i ravni. Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 27. do 31. str, Zbirka od 30. do 34. str. Osnovni pojmovi u geometriji, taqka, prava i ravan, ne definixu se, ali se njihovim osobinama dopunjuju intuitivne slike o njima. Taqke uoqavamo najqexe kao presek dve linije i kao kraj odseqka neke linije. Ni liniju ne definixemo. Zadravamo se na intuitivnoj predstavi zasnovanoj na crteu. Nastavnik insistira na obaveznom (i pravilnom) oznaqavanju taqaka velikim slovima latinice. Odnose taqaka, pravih i ravni prikazati kao u Ubeniku. Ravni ubudue neemo posebno prouqavati. Zadraemo se na ”ravni crtea” (list sveske ili povrx xkolske table). Posvetiemo panju sledeim geometrijskim objektima (figurama): du, poluprava, poluravan. Sve ove objekte smatramo skupovima taqaka, koji imaju beskonaqno mnogo elemenata. Meutim, zbog svojih specifiqnosti, oni su odreeni sa dva ili tri elementa (dve ili tri taqke). Rexavanjem primera 1, 2 i 3 (na 28. i 30. str.) upoznajemo se sa nekim osobinama navedenih objekata. Na kraju rexavamo zadatak 4. sa str. 31. Reximo i zadatke 156, 157, 159, 167 i 168 iz Zbirke. Vano je da uqenici uvebaju kako se pojedine figure crtaju korixenjem lijina kvadratne mree u svesci. Na primer, kako da koriste linije mree pri crtanju paralelnih i normalnih pravih. Domai zadatak: 154, 162, 174.

Ubenik: Vebe sa 31. strane i Zbirka: 152,

Osnovni geometrijski objekti

37

17. QAS Izlomljena linija. Oblast

Obrada Kombinacija dijaloxke i demonstrativne metode

Frontalni rad

Cilj Upoznavanje sa pojmom izlomljene linije, posebno sa mnogougaonom linijom i oblaxu mnogougla. Razlikovati konveksne i nekonveksne figure. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 32. do 35. str.

Ponovimo pojmove poluprava i du. Pritom reximo iz Zbirke zadatke 160 a), b), v) i 162 a), b). Nastavnik pokazuje modele, a potom i crta sliqne na xkolskoj tabli. Definixe izlomljenu liniju, a uqenici otkrivaju koji od modela predstavljaju izlomljene linije, kao na sl. 10, str. 32. Zatim se uoqava razlika izmeu izlomljenih linija sa samopresekom i bez samopreseka. Ove poslednje su tzv. proste izlomljene linije. Takoe razlikujemo otvorene i zatvorene izlomljene linije. Na kraju istiqemo zatvorenu prostu izlomljenu liniju, koja se naziva mnogougaona linija. Uoqavamo trougaone, qetvorougaone itd. mnogougaone linije. Definixemo temena i stranice mnogougaone linije i reximo primer 1. sa 33. strane. Zatim, definixemo unutraxnju oblast mnogougaone linije, pa definixemo mnogougao. Posebno istiqemo konveksne i nekonveksne mnogouglove. Nastavnik pokazuje modele, kao na sl. 13, str. 34, a uqenici prepoznaju konveksne i nekonveksne mnogouglove. Zatim, reximo primere 2, i 3. sa str. 34. Na kraju, ponovimo definicije nauqenih pojmova. Za svaki od njih crtamo na xkolskoj tabli (uqenici crtaju u svesci) odgovarajue primere (bar po dva razliqita primera). Domai zadatak:

Vebe sa 35. strane Ubenika.

38

Osnovni geometrijski objekti

18. QAS Izlomljena linija. Oblast

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Utvrivanje pojma mnogougaone linije i mnogougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 35. do 38. str.

Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa: izlomljena linija (vrste), mnogougaona linija, mnogougao, unutraxnja oblast mnogougla (tekst Ukratko na 35. strani Zbirke). Za svaku definiciju uqenici na mestu (jedan na xkolskoj tabli) crtaju modele. Reximo zadatke 176, 177, 178 i 179. Zatim, rexavamo iz Zbirke redom 180, 181, 184, 187 i 188. Domai zadatak:

185, 189, 190, 191, 196.

39

Osnovni geometrijski objekti

19. QAS Krunica i krug. Krug i taqka Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Produbiti znanje o krugu i krunici. Uoqiti razliqite poloaje taqke prema krugu i prema krunici. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 35. do 37. str. i Zbirka, 39. i 40. str.

Definixemo krunicu, polupreqnik, krunu povrx (krug). Na xkolskoj tabli nacrta se kruna linija polupreqnika r i oznaqi nekoliko taqka na krunici, u krugu i van kruga. Centar kruga nastavnik oznaqi sa O i ostale taqke velikim slovima latinice i pokazujui jednu po jednu od oznaqenih taqaka, pita uqenike u kakvom su poloaju u odnosu na krunu liniju. Prvo pokazuje par taqaka koje su na krunici. Uqenici sami, uz eventualnu neupadljivu sugestiju nastavnika, utvrde da su neke taqke na krunici, neke unutra, a neke van krunice (van kruga). Istiqemo pojmove: centar, polupreqnik, kruna linija. Zatim, nastavnik izabere jednu taqku na krunici, kao P na sl. 16, spoji je sa O i trai od uqenika da utvrde kolika je duina dui OP . (Oqekuje odgovor: OP = r.) Dalje, kroz razgovor nastavnik navodi uqenike da uoqe sluqajeve OQ < r i ON > r. Uvodimo pojmove unutraxnje i spoljaxnje oblasti krunice. Definixemo krug (krunu povrx). Nastavnik definixe centralno rastojanje taqke u odnosu na dati krug (krunicu) i potvrdi zakljuqke o centralnom rastojanju i poloaju taqke prema krugu (krunici), kao na str. 37. Ubenika. Na kraju, rexavaju se vebe 1, 2, 3, 4 sa str. 37. Domai zadatak:

Zbirka: 202, 203, 205, 206, 207.

40

Osnovni geometrijski objekti

20. QAS Krug i prava. Tetive i tangente Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Uoqiti posebne poloaje prave u odnosu na krug. Posebno upoznati tantente i tetive. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 37. do 39. str.

Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli pravu p i taqku A van prave, a uqenici to isto uqine u svojim sveskama. Preporuqljivo je da uqenici pravu nacrtaju po liniji svoje sveske ”u kocke”, a taqka A da bude presek dve linije. Zadatak za uqenike je: nacrtati najkrae rastojanje od taqke A do prave p. Kad otkriju da je to normala iz A na p, prelazimo na prouqavanje poloaja prave prema krugu i krunici. Prvo uzmemo taqku N u datom krugu k, sl. 17 na str. 37. Ubenika i postavimo pravu p kroz N . Utvrdimo da prava p sa krunicom ima dve zajedniqke taqke A i B, a sa krugom du AB, koju nazivamo tetivom. Definixemo centralno rastojanje prave i utvrdimo, ako je d < r, prava p seqe krug itd. Zatim, utvrdimo poloaje prave u sluqajevima d = r i d > r (slike 18. i 19). Posebno treba naglasiti pojmove preqnika i tangente i njihovu vanu ulogu kod kruga. Definixemo dijametralno suprotne taqke. U vezi sa tangentom istai dodirni polupreqnik i ugao izmeu tangente i dodirnog polupreqnika. Zatim, izvrximo konstrukciju tangente kroz taqku na krunici – primer 1. Dobro je da bar dva uqenika ponove ovu konstrukciju na xkolskoj tabli. Konstruixemo tangente datog (nacrtanog na tabli – u svesci) kruga, koje su: a) paralelne; b) normalne na datu (nacrtanu) pravu p. Na kraju rexavamo Vebe sa 39. str. Domai zadatak:

Zbirka: 211, 212, 213, 218.

41

Osnovni geometrijski objekti

21. QAS Krug i prava

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Utvrivanje znanja o meusobnim poloajima prave i kruga, posebno o tangentama i tetivama. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 40. do 42. str.

Obnovimo pojam centralnog rastojanja prave. Zavisno od centralnog rastojanja odrediti presek prave i kruga, odnosno prave i krunice (tekst Ukratko sa 40. strane). Ponovimo pojmove: seqica, tetiva i tangenta kruga (tekst Ukratko sa 40. i 41. strane u Zbirci). Rexavanjem odgovarajuih zadataka na naqin predvien radom u nehomogenim grupama (po dve susedne klupe), utvrujemo i dopunjavamo znanja o odnosu kruga i prave. Radimo zadatke iz Zbirke: 214, 215, 216, 217, 219, 221, 223. Domai zadatak:

220, 222, 225.

42

Osnovni geometrijski objekti

22. QAS O krugu

Uvebavanje

Kombinovani rad u parovima i u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Utvrditi odnose taqke i prave u odnosu na dati krug.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka (druga glava)

Na osnovu liqnih zapaanja o realizaciji teme Osnovni geometrijski objekti, nastavnik, neposredno pre realizacije, utvruje taqan plan za ovaj qas. U svakom sluqaju, korisno je izvrxiti kratku rekapitulaciju druge glave. Treba utvrditi ili potvrditi nivo poznavanja pojmova (definicije i osobine), kao i primenu kroz raqunske i konstruktivne zadatke. Pritom koristimo zadatke iz Ubenika i Zbirke. Izbor zadataka iz Zbirke, za kratku rekapitulaciju nauqenog, mogao bi biti: 157, 158, 161, 163, 169, 175, 183, 185, 194, 195, 208, 209, 224, 225. Naravno, koje od ovih zadataka treba preskoqiti i koje eventualno uvrstiti u ovaj spisak, odluquje nastavnik na osnovu procene o nivou usvojenih znanja od strane uqenika. Zadaci se rexavaju na naqin predvien grupnim radom. Domai zadatak: za ovaj qas.

Ponovno rexavanje svih zadataka preporuqenih

43

Osnovni geometrijski objekti

23. QAS Dva kruga

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Prouqavanje meusobnih poloaja dva kruga, jer e to imati izuzetan znaqaj kad se budemo bavili rexavanjem konstruktivnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 39. do 41. str.

Razmatramo svih xest moguih sluqajeva, prikazanih na slikama 21. do 26. u ubeniku. Nastavnik sve sluqajeve prikazuje na xkolskoj tabli ili prikazuje pripremljene crtee iz asortimana xkolskih uqila. Uqenici sve to crtaju u svojim sveskama. Nastavnik definixe samo centralno rastojanje, tako da svi uqenici izaberu iste dimenzije. Na primer, za prva tri sluqaja nacrtaju du O1 O2 = 5 cm, a za sluqajve 4. i 5. uzmu du O1 O2 = 1 cm. Osim toga, trai da bude r2 < r1 . Nastavnik trai da uqenici crtaju jedan po jedan sluqaj: prvo, da se krunice i odgovarajui krugovi ne seku, drugo, da se spolja dodiruju itd. Uqenici sami izvlaqe zakljuqke odgovarajui na pitanja koja postavlja nastavnik. U svim sluqajevima trai se odgovor na pitanje: ”Koji uslov moraju zadovoljiti polupreqnici r1 i r2 , da bi krunice, odnosno krugovi bili u traenom odnosu?” (Odgovor bi mogao biti, na primer, za prvi sluqaj: ”Zbir polupreqnika r1 i r2 je 4 cm” i sl., pa u takvom sluqaju nastavnik generalizuje zakljuqak: r1 + r2 < O1 O2 .) Na kraju rexavamo Vebe 1, 2, 3, 4 sa str. 41. Domai zadatak:

Zbirka: 227, 228, 230, 232.

44

Osnovni geometrijski objekti

24. QAS Sve o krugu

Sistematizacija

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Povezati i rasqlaniti sve nauqeno o krugu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka

Pre svega potrebno je ponoviti sve nauqene pojmove, qije su definicije istaknute (podvuqene bojom) u Ubeniku. Svaki objekt se prikae i crteom, prvo na mestu - u svesci, a potom i na tabli. Zatim se rexavaju zadaci iz Zbirke. Ne ide se redom od Pojma geometrijske figure, nego se prvo obnovi o odnosu dva kruga. Dakle, prvo rexavamo zadatke: 229, 233, 235, 239, 240 iz Zbirke. Zatim, rexavamo zadatke za sistematizovanje ostalog dela gradiva iz Druge glave (od 32. do 42. strane iz Zbirke zadataka): 155, 166, 170, 173, 190, 191, 197, 210, 220, 222. Domai zadatak: do 12.)

Radna sveska: Druga kontrolna veba (str. 9.

45

Osnovni geometrijski objekti

25. QAS Druga kontrolna veba (Osnovni geometrijski objekti. Skupovi N i N0 .)

Kontrola znanja

Uqenici su podeljeni u grupe, prema nahoenju nastavnika. Svaki uqenik dobija list sa ispisanim tekstovima zadataka. Na listu je bolje unapred napisati ime uqenika, nego oznaqiti grupu. Dajemo predloge pet grupa zadataka. (Nastavnik moe odluqiti da uqenici rexavaju qetiri od pet predloenih zadataka, i to po sopstvenom izboru.)

Grupa A) 1. Nacrtaj dva qetvorougla, tako da njihov presek bude: a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao. 2. Nacrtaj kao na priloenoj slici pravu a, taqku A na pravoj i taqku O van prave. Konstruixi dve krunice polupreqnika 15 mm, koje dodiruju pravu a u taqki A. Zatim, konstruixi krunicu k sa centrom O, koja takoe dodiruje pravu a. 3. Data je du AB = 1 dm i krunica k1 (A, 2 cm) i k2 (B, 5 cm). Odredi rastojanje izmeu dve meusobno najblie taqke krunica k1 i k2 i rastojanje izmeu dve najudaljenije taqke ovih krunica. 4. Koliko je dui i koliko trouglova nacrtano na slici. Sve nacrtane dui oznaqi krajnjim taqkama (na primer M N ) i trouglove temenima (na primer M N Q). 5. Na papiru su napisana dva broja: 118 i 216. Da li je neki od njih jednak zbiru tri uzastopna parna broja?

46

Osnovni geometrijski objekti

Grupa B) 1. Nacrtaj taqke A, B, C, D, E i F , kao na slici. Koristei se nacrtanim taqkama oznaqi izlomljene linije: a) (plavu) BCDE; b) (crvenu) ABF DA; v) (crnu) ECDBAE. Da li je neka od njih mnogougaona linija? 2. Nacrtaj pravu t i taqku C van prave t. Zatim, konstruixi krunicu k sa centrom C, tako da dodiruje pravu t. Dodirnu taqku obelei i oznaqi sa T . Nacrtaj i krunicu k1 sa centrom C, tako da seqe pravu t. 3. Nacrtaj krunicu k polupreqnika 3 cm i jedan njen preqnik AB. Zatim nacrtaj krunice k1 i k2 , obe polupreqnika 2 cm, koje iznutra dodiruju krunicu k. Dodirna taqka krunica k i k1 je A, a B je dodirna taqka krunica k i k2 . U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Koliko dui i koliko trouglova odreuju taqke oznaqene na slici? 5. Uoqi brojeve: 1, 2, 4, 8, 16. Uveri se da sve prirodne brojeve manje od 32, osim ovih uoqenih, moex dobiti sabiranjem uoqenih brojeva. (Na primer: 25 = 16 + 8 + 1). Za svaki broj ispixi odgovarajui zbir.

Osnovni geometrijski objekti

47

Grupa V) 1. Nacrtaj kvadrat i trougao, tako da njihov presek bude: a) petougao; b) xestougao. 2. Nacrtaj paralelne prave p i q, kao na slici i oznaqi taqku P na pravoj p. Zatim, konstruixi krug K1 sa centrom P , koji dodiruje pravu q i krug k2 sa centrom na pravoj q, koji dodiruje pravu p u taqki P . Osenqi K1 ∩ K2 . 3. Nacrtaj pravu p i na njoj oznaqi taqku P . Konstruixi sve krunice preqnika 4 cm, koje pravu p dodiruju u taqki P . U kakvom su meusobnom poloaju ove krunice? 4. Prebroj dui i trouglove nacrtane na slici. Ispixi sve trouglove (oznaqi ih temenima). 5. Koristei se brojevima 1, 1, 5, 15 i operacijama sabiranja i oduzimanja, moemo dobiti svaki prirodni broj izmeu 1 i 22. Za svaki broj napixi odgovarajui izraz. Grupa G) 1. Nacrtaj dva trougla, tako da njihova unija bude: a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao. 2. Nacrtaj pravu a i taqku B, koja je od a udaljena 6 cm. Zatim, konstruixi krunicu k polupreqnika 3 cm, koja sadri taqku B i dodiruje pravu a. Dodirnu taqku oznaqi sa A. 3. Nacrtaj krunicu k, na njoj taqku T i pravu a, kao na slici. Zatim, konstruixi krug K1 sa centrom na pravoj a, koji dodiruje krunicu k u taqki T . Presek kruga K1 i prave a je du AB. Xta predstavlja AB u krugu K1 ? 4. Navedi bar 15 trouglova qija su temena taqke oznaqene na slici. Takvih trouglova ima 29. 5. Izraqunaj vrednosti izraza: a) 40 : (27 : 3 + 4 · 17 − 200 : 4 − 112 : 16) b) 5 · 7 − (14 : 2 + 3 · (222 : 37 − 2) − 11).

48

Osnovni geometrijski objekti

Grupa D) 1. Prave a i b na slici paralelne su meu sobom. Odredi skup S taqaka, tako da je: a) S = c ∩ d; b) S = a ∩ b; v) S = d∩ (a∪ b); g) S = (a∩ c)∪ (b∩ d). 2. Nacrtaj prave p i q u taqku P kao na slici. Zatim, konstruixi krunicu k, koja ima centar na pravoj q, tako da P bude dodirna taqka krunice i prave p. 3. Centralno rastojanje krugova K1 i K2 iznosi 15 cm. Polupreqnik kruga K2 qetiri puta je vei od polupreqnika kruga K1 . Odredi duine polupreqnika ovih krugova, ako se oni dodiruju. a) spolja; b) iznutra. 4. Date su qetiri razliqite taqke: A, B, C, D. Koliko najvixe pravih mogu da odrede ove taqke? Ispixi sve dui qiji su krajevi date taqke. Koliko ima tih dui? 5. Koristei se po potrebi operacijama sabiranja i oduzimanja, pokai da se svaki prirodni broj manji od 14, moe izraziti preko brojeva 1, 3 i 9. Za svaki broj napixi odgovarajui izraz.

49

Deljivost brojeva

26. QAS Mnoenje i deljenje u skupu N0

Obnavljanje

Frontalni rad i rad u parovima

Dijalog

Cilj Obnavljanje osobina proizvoda i koliqnika, radi pripreme terena za izuqavanje deljivosti brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 42. do 47. str.

Najpre ponovimo pojmove: proizvod i qinioci (faktori). Posebno istiqemo osobine (uqenici raqunaju primere sa datim brojevima i sami izvode zakljuqke): 0 · n = 0, 1 · n = n, m · n = n · m, (a · b) · c = a · (b · c) i a(b + c) = a · b + a · c. Pritom reximo zadatke: 1, 2, 3, 4, 5 sa 43. strane. Zatim, obnovimo pojmove: deljenik, delilac, koliqnik (strana 44). Posebno obratimo panju na ulogu nule u deljenju (str. 45). Primetimo da jednakosti: a = b · c, zatim a : b = c i a : c = b, gde su a, b i c prirodni brojevi, imaju suxtinski isto znaqenje. Za ilustraciju reximo zadatke 6 i 7 sa strane 45. Na kraju, obnovimo deljenje sa ostatkom i jednakost a = d · q + r, gde je r < d (strana 46). Reximo i zadatke 8, 9 i 10 sa 46. strane. Ukoliko nije potroxeno vreme, reximo jox neke od zadataka sa 47. strane, na primer 5 i 7. zadatak. Domai zadatak:

Preostali zadaci Vebe na 47. strani.

50

Deljivost brojeva

27. QAS Deljivost prirodnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Neophodno je da uqenici razumeju i shvate ekvivalentno znaqenje jednakosti a : d = q i a = d · q, gde je broj d prirodan (pojam delioca). Analizirati jednakost a = d · q + r. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 48. do 50. str.

Ponovimo znaqenje veze a = d · k, gde su a, d i k prirodni brojevi. Na primer: Iz 85 = 5 · 17 sledi da je 85 : 17 = 5 i 85 : 5 = 17. Dakle, brojevi 5 i 17 su delioci broja 85. Takoe, 85 je sadrilac brojeva 5 i 17. Istiqemo pojam sadralac i njegov sinonim umnoak. Nastavimo izlaganje orema tekstu sa 48. strane Ubenika. Onda, reximo primere 1, 2, 3, 4 sa 49. strane. Zatim, kao xto je izloeno na 49. strani, razmatramo sluqajeve kada deljenje daje ostatak. Posebno naglasiti oznake za parne i neparne brojeve. Sliqno, tumaqimo prirodu brojeva oblika 3n+2 i 7p+5 (strana 49). Onda, reximo primere 5 i 6 sa 50. strane. Na kraju rexavamo Vebe 1 i 5 na 50. strani. Domai zadatak:

Vebe sa 50. i 51. strane.

51

Deljivost brojeva

28. QAS Deljivost prirodnih brojeva

Utvrivanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Utvrditi pojmove: deljenje bez ostatka (deljivost) i deljenje sa ostatkom u skupovima N i N0 . Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 45. do 48. str.

Ponovimo pojam (definiciju) deljivosti: Ako su a, k i d prirodni brojevi, iz a = d · k sledi da je a : d = k i a : k = d. Tada su d i k delioci broja a. (Vidi tekst Ukratko na 45. strni.) Reximo zadatke 242 i 244 iz Zbirke. Proxirimo definiciju deljivosti na skup N0 . Dakle: ako je d prirodni broj i a, k ∈ N0 , onda ako je a = d · k, kaemo da je a deljivo sa d i a : d = k. Ako je, na primer, a = 0 i d = 7, onda je 0 = 7 · 0. Tada u jednakosti a = d · k je a = 0, d = 7, k = 0, odnosno vai 0 : 7 = 0. Rexavamo zadatke: 251, 252 i 245. Ponovimo jednakost: a = d · q + r, r < d, pa rexavamo zadatke: 260, 257, 259 i 261. Domai zadatak:

247, 248, 249, 254, 256, 262.

52

Deljivost brojeva

29. QAS Svojstva deljivosti brojeva Rad u nehomogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Isticanje najbitnijih pojmova i osobina u vezi sa deljivoxu u skupu N0 . Tok qasa Osnovni tekst Ubenik str. 51, 52, 53; Zbirka od 48. do 51. Ponovimo deljenje sa ostatkom (a = d · q + r) i reximo zadatak 261 iz Zbirke. Onda nastavljamo prouqavanje deljivosti bez ostatka. Sledimo tekst iz Ubenika, strane: 51, 52, 53, istiqui osobine kroz primere navedene u ovom tekstu. Zatim, do kraja qasa rexavamo zadatke iz Zbirke, redom: 266, 267 a), b), 269 a), b), v), g), d), 275, 281. Domai zadatak: Vebe sa 53. strane Ubenika; Zbirka: 263, 270, 276, 277, 278, 292.

Deljivost brojeva

53

30. QAS Pravila deljivosti sa 10, 5, 2 i 4

Obrada

Rad u nehomogenim grupama

Heuristiqka metoda

Cilj Na osnovu dosadaxnjih znanja i iskustava, uqenici, u najveoj meri samostalno, otkrivaju pravila za utvrivanje deljivosti sa 10, 5, 2 i 4. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 54. do 57. str.

(Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.) Ponovimo definiciju deljivosti: ”Broj a je deljiv sa d ako postoji ceo broj k, takav da je a = k · d.” Primenimo na sluqaj d = 10: Broj je deljiv sa 10 ako ima oblik 10 · k, a to znaqi, ako mu je cifra jedinica 0 itd. Pratimo tekst sa strana 54. i 55. Koristimo osobinu deljivosti: Ako p|a i p|b, onda p|(a + b). Do zakljuqka nastavnik dolazi postavljajui pitanja, a uqenici izvode zakljuqke. Ukoliko oceni da uqenici texko mogu sami doi do zakljuqka o brojevima koji nisu deljivi sa 10 (cifra jedinica nije 0), nastavnik tu preuzima inicijativu. Onda, reximo primer sa skupom S sa 55. strane. Dalje, prelazimo na deljivost sa 5 (strana 55.) i reximo dva zadata primera (plavo obojeni tekst). Koristei se navedenom osobinom o deljivosti zbira, dalje izvodimo zakljuqke o deljivosti najpre sa 2, sa dekadnom jedinicom, pa sa 4. Usput rexavamo postavljene zadatke. Ukoliko ima vremena, do kraja qasa reximo neke od Vebi sa 57. strane, recimo: 2, 8, 11, 15. Domai zadatak:

Vebe sa 57. strane.

54

Deljivost brojeva

31. QAS Pravila deljivosti sa 9 i 3

Rad u nehomogenim grupama

Obrada Kombinovano: dijaloxka i heuristiqka metoda

Cilj Uz minimalnu pomo nastavnika uqenici dolaze do pravila deljivosti sa 9 i 3. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 58. i 59. str.

Ponovimo zakljuqak sa prethodnog qasa da se deljivost sa 10, 2 i 5 odreuje na osnovu samo jedne cifre – poslednje, a deljivost sa 4 na osnovu dvocifrenog zavrxetka. Razmotrimo onda deljivost sa 9 (strane 58. i 59.), koristei sa qinjenicom da svaka dekadna jedinica (10, 100, 1000, ...) pri deljenju sa 9 daje ostatak 1. Pri ispitivanju cifara na xkolskoj tabli treba koristiti kredu u boji (kao u Ubeniku) ili podvlaqenje cifara. Potom rexavamo primere 1 i 2. Posebno istiqemo rexenje primera 2 i specijalno sluqaj broja 2∗7, gde postoje dve mogunosti. Zatim, koristei se qinjenicom (osobina deljivosti): ako je broj deljiv sa 9, onda je deljiv i sa 3, izvodimo pravilo deljivosti prirodnih brojeva sa 3. Rexavamo i vebe sa 60. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 321, 322, 323, 324, 326.

55

Deljivost brojeva

32. QAS Pravila deljivosti

Uvebavanje

Rad u parovima i nehomogenim grupama

Heuristiqka metoda

Cilj Snalaenje uqenika u otkrivanju deljivosti prirodnih brojeva korixenjem nauqenih pravila. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 51. do 56. strane

Ponovimo pravila deljivosti sa 10, 5, 2, 4, 9 i 3 (tekst Ukratko sa 51, 52. i 55. strane). Za svako pravilo uqenici sastavljaju dva do tri primera. Prvi deo qasa, tokom ponavljanja pravila, radi se u parovima. Parove qine uqenici u svakoj klupi. Zatim, vraajui se na deljivost sa 10, nastavnik navodi uqenike da sami zakljuqe uslove deljivosti i drugim, veim dekadnim jedinicama (100, 1000, ...). Rexavamo zadatke 291, 292, 293. Za nastavak rada uqenici se grupixu tako da svaku grupu qine uqenici iz dve susedne klupe. Zadatke koje nastavnik postavlja prvo rexavaju grupe, koje prijavljuju nastavniku da su rexili zadatak. Onda nastavnik izvodi jednog po jednog uqenika na xkolsku tablu, gde oni demonstriraju pronaena rexenja. Rexavaju se redom zadaci: 296, 297, 299, 301, 303, 304, 307, 326, 328, 331. Domai zadatak:

294, 302, 305, 308, 309, 311, 332, 333.

56

Deljivost brojeva

33. QAS Prosti i sloeni brojevi. Rastavljanje na proste qinioce Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Uoqiti razliku izmeu prostih i sloenih brojeva. Uoqiti da je svaki sloen broj proizvod prostih brojeva (prostih qinilaca) i utvrditi postupak nalaenja svih prostih qinilaca. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 60. do 63. strane

Koristei se tabelom delilaca sa 60. strane, pokazati kako se brojevi prve desetice razlikuju po broju delilaca. Zatim se definixu prosti brojevi. Odmah, na osnovu definicije zapaa se da je broj 2 najmanji prost broj i jedini paran prost broj. Zatim se uoqi da svi prirodni brojevi vei od 1, koji nisu prosti, mogu da se izraze u vidu proizvoda dva broja vea od 1. To su sloeni brojevi. Istiqemo neobiqnu qinjenicu: broj 1 nije ni prost, ni sloen broj i jedini je prirodni broj sa takvom osobinom. U skupu N0 imamo i broj 0, koji je deljiv svakim prirodnim brojem, ali nije sloen broj. (Ne moe se izraziti kao proizvod sva broja vea od 1.) Uqenici, zatim, rexe primer 1, pa uz eventualnu pomo nastavnika, sami nalaze sve proste brojeve manje od 50. Zatim, reximo primere 2 i 3 sa 61. str. Kao xto je opisano na 62. strani Ubenika, na primeru broja 60, treba pokazati kako se sloeni broj moe postepeno dovesti na oblik proizvoda samih prostih qinilaca. Ukoliko oceni da ovaj primer nije dovoljan za izvoenje potrebnih zakljuqaka, nastavnik e prikazati jox neki primer, recimo broj 168. Onda rastavimo brojeve 180, 144 i 504 iz primera 1 sa 62. strane. Zatim, na broju 25740 prikazujemo uobiqajeni postupak razlaganja sloenih brojeva na proste qinioce, sistematskim pretraivanjem. Pritom, koristimo nauqena pravila deljivosti sa 2, 3 i 5. Za proste qinioce 7, 11, 13 i vee proveru vrximo direktnim deljenjem. Zatim, kao na primeru broja 853, prikazanog na 63. strani, razmatramo kako se dolazi do zakljuqka da li je dati broj prost. Na kraju, reximo poslednji primer sa 63. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 61. strane i Vebe sa 63. strane.

57

Deljivost brojeva

34. QAS Prosti i sloeni brojevi

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Utvrivanje osobina prostih i sloenih brojeva, uz primenu pravila deljivosti i rastavljanje na qinioce. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: od 57. do 59. str.

Prvi deo qasa radimo frontalno. Ponovimo definicije prostih i sloenih brojeva (tekst Ukratko sa 57. strane). Reximo zadatke 341. i 342. Zatim, uvebavamo nauqene postupke za razlaganje sloenih brojeva na proste qinioce i nalaenje svih delilaca datog broja. Nastavljamo rad u parovima. Radimo u parovima na uobiqajeni naqin: prvo parovi dou do rexenja na mestu, pa onda neki uqenik radi na tabli. Ukoliko se nastavnik neposrednim nadgledanjem parova uveri da su svi shvatili problem i doxli do rexenja, taj problem se preskaqe, tj. ne rexava se na tabli. Rexavamo zadatke: 345, 347, 350 v), g), z), l), 351 v) d), 353 a), 370, 355 a), 361 a), g). Zatim, postavimo zadatke: ”Utvrdi da li je prost ili sloen broj: a) 479, b) 667.” Nastavljamo sa zadacima: 354. v), 357. a), 364. a). Ukoliko neki od predloenih zadataka ne doe na red do kraja qasa, taj se zadaje za domai rad. Dodajemo i sledee zadatke. Domai zadatak:

344, 346, 349 a), 358, 360.

58

Pismeni zadatak

35. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavljanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj U najkraim crtama, kroz rexavanje karakteristiqnih zadataka, obnoviti bitne teme i probleme. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka zadataka

Posle svake zavrxene nastavne teme (Skupovi, Osnovni geometrijski objekti) nastavnik analizira efekte nastave i, uzimajui u obzir i rezultate sa dve uraene kontrolne vebe, planira koje delove gradiva treba obnoviti pre pismenog zadatka. Takoe, uzima u obzir nivo znanja koji su, po njegovoj oceni, uqenici postigli iz aktuelne teme (Deljivost brojeva). Od tih utisaka zavisi izbor zadataka za obnavljanje gradiva i pripremu za pismeni zadatak. Ovaj izbor i zadaci predvieni za pismeni zadatak treba da budu usklaeni, jer bi se u protivnom uqenici usmerili ka neodgovarajuim pripremama. Navodimo jedan uopxten izbor zadataka, koji predstavlja presek kroz preeno gradivo. Nexto od toga treba uraditi na ovom qasu, a ostatak kroz domai rad. Svi navedeni zadaci su iz Zbirke. 31, 36 (izbor), 44, 47, 80, 86, 99, 115, 148, 167, 168, 191, 192, 198, 224, 225, 228, 237, 255, 264, 305, 315, 335, 352, 355 b), v), g), 357, 364, 371. Domai zadatak: do 15.)

Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (str. 13.

Pismeni zadatak

59

36. QAS Prvi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Uqenici dobijaju odxtampane zadatke. Od pet zadataka svaka grupa ima jedan zadatak koji je raen na qasu, jedan koji je dat za domai zadatak i dva zadatka iz Zbirke. Grupa A) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a je jednocifreni broj}; B = {b| b ∈ N0 i b < 3}. Odredi nabrajanjem elemenata skupove: A ∩ B, B\A i CA B. 2. Odredi skup A ako je A ∪ B ∪ C = {x| x ∈ N0 i x < 9}, B\A = {4, 5}, C\A = {2, 7}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi krunice k1 i k2 sa centrom C, koje dodiruju krunicu k sa centrom S. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. U broju 38 ∗ 2∗ umesto zvezdica stavi odgovarajue cifre, tako da dobijeni broj bude deljiv sa 3 i sa 5, ali ne i sa 9. Nai sva rexenja. 5. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 9240. Odredi ta tri broja. Grupa B) 1. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {b| b ∈ N0 i b2 < 10}. Odredi nabrajanjem elemenata skupove: B\A, A ∩ B i A ∪ B. 2. Odredi skupove: M , P i M ∩ P , ako je M \P = {0, 1}, P \M = {4, 5} i M ∪ P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. (Polupreqnik krunice k je 1,5 cm.) Konstruixi krunice k1 i k2 , obe polupreqnika 2 cm, koje dodiruju k u taqki A. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi ta tri parna broja. 5. Nai najmanji prirodni broj n kojim treba pomnoiti 1260 da bi dobijeni proizvod bio kvadrat prirodnog broja.

60

Pismeni zadatak

Grupa V) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i 3 ≤ a ≤ 6} i B = {b| b ∈ N0 i 3b ≤ 10}. Odredi nabrajanjem elemenata skupove: A∩ B, B\A i A∪ B. 2. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 4, 6}. Preko A i B, koristei skupovne operacije, izrazi skupove: M = {1, 3}, P = {2, 4} i Q = {6}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi sve krunice koje pravu t dodiruju u taqki T , a centar im je na datoj krunici. U kakvom su meusobnom poloaju te krunice? 4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 3360. Odredi ta tri broja. 5. Rastavljanjem na proste qinioce odredi n, ako je n3 = 3375. Grupa G) 1. Dati su skupovi A = {a| a ∈ N i a ≤ 5} i B = {0, 1, 2, 3}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, A ∪ B. 2. Dati su skupovi M = {1, 3, 4}, P = {2, 4, 6} i Q = {4}. Izrazi preko M , P i Q skupove: A = {1, 3} i B = {1, 2, 3, 6}. 3. Preslikaj u svesku dati ugao aOb. Zatim, konstruixi dve jednake krunice k1 i k2 , koje dodiruju krak Oa u taqki A i pritom je centar krunice k1 na pravoj b. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Proizvod qetiri uzastopna parna broja iznosi 5760. Odredi ta qetiri parna broja. 5. Da li postoji prirodni broj kome proizvod cifara iznosi 924? Obrazloi rexenje. Grupa D) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i a < 10}, B = {b| b ∈ N0 i b je neparan jednocifren broj}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, CA B. 2. Odredi skup Y koji ima tri elementa, ako je Y ∩ {2, 3, 4} = {3, 4} i {1, 2, 3, 4, 5} ∪ Y = S, gde je S = {s| s ∈ N i s < 7}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi sve krunice koje krunicu k2 dodiruju u taqki T , a centar im je na datoj krunici k1 . 4. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj 4x28y bude deljiv sa 5 i sa 9. Nai sva rexenja. 5. Proizvod qetiri uzastopna prirodna broja iznosi 24024. Odredi ta qetiri broja.

61

Pismeni zadatak

37. QAS Ispravka prvog pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistemske i pojedinaqne grexke uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Nastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko je bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin da se one isprave. Zatim, istiqe jox neke karakteristiqne grexke. Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitivnije i blagotvornije efekte nego kritika. Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskoj tabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detalja, pojedine zadatke radi sam nastavnik. Poeljno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremena za sve grupe, treba raditi po neki od svake.

62

Deljivost brojeva

38. QAS Najvei zajedniqki delilac Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Istai pojam i znaqaj najveeg zajedniqkog delioca. Utvrditi naqine odreivanja. Uvoenje pojma uzajamno prostih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 64. od 66. strane

Ponovimo pojmove delilac i sadralac. Uoqiti da su delioci broja 21 brojevi 3 i 7. Delioci broja 12 su 2, 3, 4 i 6. Primeujemo da je broj 3 zajedniqki delilac za 21 i 12. Nije texko utvrditi da broj 60 ima sledee delioce: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60. Delioci broja 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45. Poredei ova dva skupa delilaca uoqavamo da oni imaju zajedniqke delioce: 1, 3, 5 i 15. Najvei meu njima je broj 15. Razmotrimo delioce brojeva 18 i 30, kao xto je opisano na 64. strani Ubenika. Uoqavamo da je broj 6 najvei zajedniqki delilac za 18 i 30. Definixemo najvei zajedniqki delilac, skraena oznaka je NZD. Uvodimo oznaku D(a, b), pa u rexavanim primerima zapisujemo: D(60, 45) = 15 i D(18, 30) = 6. Reximo primer sa komadom papira sa 64. strane. Zatim, pokaemo kako se iz razlaganja sloenih brojeva na proste qinioce odreuje NZD. U Ubeniku detaljno je obraen sluqaj D(180, 144) = 36, zatim za tri broja navodimo primer D(24, 60, 96) = 12. Onda, uvedemo odreivanje NZD za iste brojeve pomou xeme (strana 65). Reximo primere 1, 2 i 3. Uvodimo pojam uzajamno prostih brojeva, kako je opisano na 66. strani. Uqenici navode jox neke parove uzajamno prostih brojeva. Domai zadatak:

Vebe na 66. strani i iz Zbirke: 383, 388, 380.

Deljivost brojeva

63

39. QAS Najmanji zajedniqki sadralac

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Uoqavanje pojma najmanjeg zajedniqkog sadraoca i otkrivanje naqina njegovog odreivanja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 66. do 68. strane

Obnovimo pojmove: zajedniqki delilac, najvei zajedniqki delilac i uzajamno prosti brojevi. Rexavamo iz Zbirke zadatke: 378 a), b), ), 383 a), ) i d), 387 a) i b). Obnovimo pojam sadraoca. Zatim na primeru 12 · 30 = 360, sa 66. strane ubenika, animiramo uqenike da odrede po nekoliko (recimo po deset) sadralaca brojeva 12 i 30. Onda uoqavaju zajedniqke sadraoce i izdvajaju najmanjeg od njih. Navodimo uqenike da definixu najmanji zajedniqki sadralac, skraeno: NZS. Uvodimo oznaku, na datom primeru je to: S(12, 30) = 60. Zatim, uqenici analiziraju i izvode zakljuqak, kako se na osnovu razlaganja na proste uqinioce moe odrediti NZS za dva ili vixe od dva zadata broja. Do potrebnih zakljuqaka najpre razmatraju prethodni primer S(12, 30), a onda na sliqan naqin odreuju S(18, 20, 21, 28). Uz eventualnu pomo nastavnika uqenici dolaze do zakljuqka da NZS sadri sve proste qinioce brojeva, i to svaki onoliko puta koliko se najvixe nalazi u svakom od brojeva. Na osnovu toga nastavnik predlae i izlae odreivanje NZS pomou xeme, kako je pokazano na str. 67 za S(18, 20, 21, 28). Onda, traimo S(8, 25) i eventualno S(15, 14) i zakljuqimo: ako je D(a, b) = 1, onda je S(a, b) = a · b. Reximo i poslednji primer naveden n kraju (ispred Vebe). Domai zadatak:

Vebe sa 68. strane.

64

Deljivost brojeva

40. QAS NZD i NZS

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Uoqiti znaqenje NZD i NZS i njihovu primenu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 60. do 64. strane

Obnovimo pojmove: delilac, zajedniqki delilac, najvei zajedniqki delilac (NZD) i uzajamno prosti brojevi (tekst Ukratko na 60. strani). Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 378 ), 379 g), 381, 380, 383 e), 384 ), 387 b), g), 390 a). Zadaci se rexavaju na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama, koje qine uqenici iz dve susedne klupe. Zatim, obnovimo pojmove: sadrilac, zajedniqki sadralac i najmanji zajedniqki sadrilac (NZS) (tekst Ukratko na 63. strani). Rexavamo zadatke iz zbirke: 402 a), b), 405 d), 406 b), d), 407 a), ), k), 410. Domai zadatak: 16. do 19.).

Radna sveska: Trea kontrolna veba (na str.

65

Deljivost brojeva

41. QAS Trea kontrolna veba (Deljivost. Sloeni brojevi)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Rastavi na proste qinioce broj 1008, pa odredi sve njegove delioce. 2. Odredi sve proste brojeve p, takve da je broj p2 trocifren i manji od 500. 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 17∗4 bude deljiv sa 4. Nai sva rexenja. 4. Odredi najvei zajedniqki delilac (NZD) i najmanji zajedniqki sadralac (NZS) za brojeve 144, 240 i 360.

Grupa B) 1. Rastavi na proste qinioce broj 39204, pa pokai da je on kvadrat nekog prirodnog broja k. Odredi broj k. 2. Napixi sve sloene brojeve vee od 120 i manje od 130. Za svaki od njih pokai da je zaista sloen broj. 3. Umesto slova a stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 1045a bude deljiv sa 2 i sa 9. Nai sva rexenja. 4. Proizvod qetiri uzastopna prirodna broja iznosi 7920. Odredi ta qetiri broja.

Grupa V) 1. Rastavljanjem na proste qinioce utvrdi da li je broj n = 312 · 78 kvadrat nekog prirodnog broja. 2. Odredi sve proste brojeve q, takve da je q 3 trocifren broj. 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 520∗ bude deljiv sa 2 i sa 3. Nai sva rexenja. 4. Za brojeve 48, 80 i 120 odredi najmanji zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac (NZD).

66

Deljivost brojeva

Grupa G) 1. Rastavi na proste qinioce broj 600. Zatim, odredi ove njegove delioce, koji su takoe sloeni brojevi. 2. Od svih dvocifrenih i trocifrenih brojeva, koji imaju jednake sve cifre, odredi one koji su prosti brojevi. 3. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj 2x33y bude deljiv sa 2 i sa 3, ali ne i sa 4. 4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 960. Odredi ta tri broja. Grupa D) 1. Rastavi na proste qinioce broj 713. Obrazloi postupak. 2. Koristei se ciframa 3, 4 i 5, napixi sve trocifrene brojeve, koji se pixu sa tri razliqite cifre i deljivi su sa 2. Da li je neki od njih deljiv sa 4? 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 6∗25 bude deljiv sa 3, ali ne i sa 9. 4. Odredi najmanji zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac (NZD) za brojeve 24, 30 i 36.

67

Ugao

42. QAS Pojam ugla. Obeleavanje uglova Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Uvoenje pojma ugla kao ravne figure odreene ugaonom linijom. Razlikovati konveksne i nekonveksne uglove. Uoqiti oblast ugla, oprueni i pun ugao. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik: od 69. do 73. strane

Najpre definixemo ugaonu liniju, kao na 69. strani Ubenika, i uvedemo odgovarajue oznake. Na sl. 1 imamo ugaonu liniju koju oznaqavamo sa aOb ili bOa. Taqka O je teme, a poluprava Oa i Ob su kraci ugaone linije. Ugaona linija deli ravan na dve disjunktne oblasti (sl.3). Definixemo, zatim, unutraxnju oblast i ugao, kao uniju ugaone linije i jedne oblasti. Tu izabranu oblast nazivamo oblast ugla ili unutraxnja oblast. Pojmove i njihove oznake prezentiramo kao na 70. i 71. strani ubenika. Onda reximo primer 1. na 71. strani. Definixemo oprueni ugao, puni ugao i nula ugao. Zatim, definixemo konveksne i nekonveksne uglove (sl. 10 i 11). Uvodimo pOq za nekonveksni oznake: aOb za konveksni ugao na sl. 10 i ugao na sl. 11. Reximo Vebe, 2, 3, 4 i 5 sa strane 73. Domai zadatak:

Zbirka: 416, 417, 418, 420, 424, 427.

68

Ugao

43. QAS Centralni ugao. Kruni luk. Uporeivanje uglova.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti korelaciju izmeu centralnog ugla, odgovarajueg luka i odgovarajue tetive. Na osnovu toga definisati konstrukcije ”prenoxenja” i uporeivanja uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 74. do 77. strane

Pojam centralnog ugla zasnivamo na qinjenici da dve poluprave koje sadre dva polupreqnika krunice odreuju ugaonu liniju (sl. 12 na 74. strani). Zatim, kao xto je opisano u Ubeniku, definixemo odgovarajui kruni luk i odgovarajuu tetivu. Krunom luku odgovara jedan centralni ugao, a tetivi odgovaraju dva centralna ugla. Zatim, izvedemo zakljuqak o jednakim centralnim uglovima (kao na strani 75). Preqnicima odgovaraju oprueni uglovi, pa se moe potvrditi da su svi oprueni uglovi jednaki meu sobom. Obratimo posebnu panju na jednakost centralnih uglova koji (u istom krugu ili u krugovima jednakih polupreqnika) odgovaraju jednakim tetivama (jednakim lukovima) i obrnuto. Koristei se odgovarajuim tetivama, uvodimo pojam ”prenoxenja” uglova (konstrukcijom, tj. lenjirom i xestarom), primer 1, sl. 16 na str. 76. Takoe, prenoxenjem uglova vrximo uporeivanje dva ugla, sl 17 i sl. 18 na str. 77. Tako se za dva ugla, na primer, aOb i pSq moe utvrditi jedna od relacija. aOb = pSq ili aOb > pSq ili aOb < pSq. Reximo jox primer 2 i primer naveden na kraju odeljka (ispred Vebe), na 77. strani. Domai zadatak:

Vebe na 77. strani.

69

Ugao

44. QAS Prenoxenje uglova. Uporeivanje

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Uvebavanje tehnike ”prenoxenja” uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 68. do 70. strane

Ponovimo pojam centralnog ugla i uslov jednakosti dva centralna ugla (tekst Ukratko na 68. i 69. strani). Zatim, nastavnik izvodi na tablu dva do tri uqenika, koji rexavaju zadatak sa formulacijom. ”Dati ugao (nacrtao ga nastavnik na tabli) prenesi na datu polupravu Op (nacrtao je nastavnik na tabli), tako da dobijex pOq, koji je jednak datom uglu.” Nastavnik kontrolixe rad uqenika na mestu i, po potrebi, ukazuje na uputstva data u tekstu Ukratko. Istovremeno uqenici konstruixu na mestu. Onda uqenici formiraju grupe spajanjem po dve susedne klupe i naredne zadatke rexavaju na naqin koji smo opisali za rad u nehomogenim grupama. Rexavamo zadatke: 432, 433, 434, 436, 437, 438, 439. Pri rexavanju zadataka uqenici koriste slike iz sveske, koje su nacrtane po uzoru na slike iz knjige. Domai zadatak:

431, 435, 440.

70

Ugao

45. QAS Susedni uglovi. Sabiranje i oduzimanje uglova. Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Ispravno shvatanje pojma susednih uglova. Definisati sabiranje i oduzimanje uglova. Uoqiti razlike izmeu zbira i unije dva ugla i razliku izmeu aOb − bOc i skupovne razlike dva ugla, kao ravne figure. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 78. i 79. strana

Definixemo susedne uglove. Uniju dva susedna ugla nazivamo zbirom ta dva ugla. Zatim, definixemo zbir dva ugla α i β koji nisu susedni. Nastavnik izabere dva konveksna ugla (nacrta ih na xkolskoj tabli) i onda se prenoxenjem konstruixe ugao α + β, kao u primeru 1 na 78. strani. Sabiranje jednog ugla vixe puta zapisuje se krae pomou proizvoda. Na primer α + α + α + α + α = 5α. Reximo primer 2. Zatim, definixemo razliku dva ugla i konstruixemo (na xkolskoj tabli) razliku θ − ϕ sa sl. 22 na strani 79 (to je primer 3). Onda reximo primer 4 (sl. 23). Ako ima vremena do kraja qasa, reximo jox nekoliko sliqnih primera, gde se sabiraju, oduzimaju i mnoe dati uglovi (proizvoljni uglovi koje nastavnik nacrta na xkolskoj tabli). Domai zadatak:

Vebe sa strane 79.

71

Ugao

46. QAS Sabiranje i oduzimanje uglova Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Uvebati tehniku konstruisanja zbira i razlike dva ugla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 71. i 72. strana

Ponovimo pojam susednih uglova (tekst Ukratko sa 71. strane), pa rexavamo iz Zbirke zadatke: 441, 442, 443. Zatim, ponovimo definicije zbira i razlike dva ugla. Reximo zadatke 444, 445 i 447. Onda nastavnik bira razliqite uglove (crta ih na xkolskoj tabli) i postavlja zahteve da se konstruixu uglovi, kao: α − β, 3α, 2β + α, 2α − 3β i sliqno (kao u zadacima 446 i 447). Dok parovi rexavaju zadatke, nastavnik obilazi uqenike i odobrava njihove konstrukcije ili intervenixe. Ove konstrukcije vebaju se do kraja qasa. Domai zadatak:

446, 448, 449, 450.

72

Ugao

47. QAS Uporedni i unakrsni uglovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uporedni uglovi se razmatraju kao susedni qija unija je oprueni ugao. Koristei se uporednim uglovima definixemo prav ugao i dokazujemo jednakost unakrsnih uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 80. do 82. strane

Ponovimo pojam susedni uglovi. Definixemo par uporednih uglova, kao na 80. strani. Zatim, definixemo prav ugao, kao ugao koji je jednak svom uporednom uglu, pa utvrdimo da su svi pravi uglovi jednaki meu sobom (jer su jednaki meusobni svi oprueni uglovi). Dalje, kao xto je opisano na 80. i 81. strani, razmatramo par normalnih pravih. Onda, definixemo unakrsne uglove i utvrdimo da su parovi unakrsnih uglova jednaki (81. strana u Ubeniku). Na kraju rexavamo Vebe na 82. strani. Domai zadatak:

Zbirka: 451, 452, 456.

73

Ugao

48. QAS Uporedni i unakrsni uglovi Rad u nehomogenim grupama Cilj

Uvebavanje Dijalog

Utvrivanje osobina uporednih i unakrsnih uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: 73. i 74. strana.

Ponovimo pojmove: susedni, uporedni i unakrsni uglovi (tekst Ukratko na 73. strani). Rexavamo zadatke 451 a) i d) i 452. Zatim, rexavamo zadatke: 453, 454 i 455. Svaki od ovih zadataka rexavaju grupe na mestu, pa jedan uqenik to rexenje demonstrira na xkolskoj tabli. Dalje, po istom principu, rexavamo zadatke: 456, 457, 458, 459 i 460. Ako vreme nije potroxeno, reximo jox zadatak: ”Nacrtajmo qetiri prave, koje prolaze kroz zajedniqku taqku O. Osenqimo naizmeniqno qetiri nesusedna ugla, od osam dobijenih oxtrih uglova. Zatim, izraqunajmo zbir osenqenih uglova.” Domai zadatak: 20. do 23.).

Radna sveska: Qetvrta kontrolna veba (str.

74

Ugao

49. QAS Qetvrta kontrolna veba. (Sloeni brojevi i ugao)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Datom uglu ϕ na slici, koristei se samo lenjirom, nacrtaj uporedni ugao θ. Koliko je takvih uglova? Uporedi ϕ i θ. 2. Odredi najvei broj k, takav da je 630 deljivo sa k, a broj 341 pri deljenju sa k daje ostatak 5. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove α i β sa slike, pa konstruixi ugao 2β + 3α. 4. Nacrtaj oprueni ugao θ. Uporedi ugao θ sa uglom 3α, gde θ. (U je α ugao sa slike: 3α prazan kvadrat upixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxenjem uglova”.

Grupa B) 1. Na slici desno, meu uglovima 1, 2, 3, 4 i 5, odredi parove: a) unakrsnih; b) uporednih; v) susednih uglova. 2. Nai najvei qetvorocifreni broj koji pri deljenju sa 4, 5, 6 i 7 uvek ima ostatak 2. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove β i γ sa slike, pa konstruixi ugao 3β − γ. 4. Nacrtaj oprueni ugao je ϕ = pOq. Zatim, ugao ϕ uporedi sa 4γ, gde je γ dati ugao sa slike: ϕ. (U prazan kvadrat up4γ ixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxenjem uglova”.

Ugao

75

Grupa V) 1. Zbir uglova β, γ i δ sa slike desno uporedi sa opruenim uglom θ. 2. Nai najvei prirodni broj d takav da brojevi 845 i 275 pri deljenju sa d oba imaju ostatak 5. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove α i ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ − 4α. 4. Nacrtaj oprueni ugao je θ = aOb, pa ga uporedi sa 3ϕ, gde je ϕ ugao dat 3ϕ. (U na slici: θ prazan kvadrat upixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi ”prenoxenje uglova”.

Grupa G) 1. Prave a i b su normalne meusobno. Ugao 1 uporedi sa zbirom uglova α i β. 2. Danas, 25. novembra, sa aerodroma su poletela tri aviona. Jedan polee redovno posle tri dana, drugi posle qetiri i trei posle xest dana. Kog datuma e sva tri aviona prvi put ponovo poleteti sa ovog aerodroma? 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove ϕ i θ sa slike desno, pa konstruixi ugao 2ϕ − 3θ. 4. Nacrtaj oprueni ugao je α, pa ga uporedi sa 2·(ϕ+θ), gde su ϕ i θ uglovi 2 · (ϕ + θ). (U sa slike: α prazan kvadrat upixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxenjem uglova”.

76

Ugao

Grupa D) 1. Datom uglu θ na slici desno konstruixi unakrsni ugao ϕ, koristei se samo lenjirom. Uporedi uglove θ i ϕ. 2. Nai najvei prirodni broj n, takav da brojevi 173 i 2622 pri deljenju sa n oba daju ostatak 18. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove β i ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ + 3β. 4. Uporedi uglove α i θ sa slike: θ. (U prazan kvadrat upixi odgoα varajui znak: >, < ili =.) Konstrukcijom i obrazloenjem potkrepi zakljuqak.

77

Ugao

50. QAS Merenje uglova. Uglomer. Vrste uglova. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Upoznati mere uglova i veze izmeu njih. Koristiti uglomer za grubo merenje ugla i za konstruisanje ugla zadate mere. Uoqavanje oxtrog i tupog ugla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 82. do 85. strane.

Pre uvoenja mere uglova, nastavnik objasni princip merenja, kao uporeivanje sa konstantnom veliqinom, koja se deklarixe kao jedinica mere (prva dva pasusa u tekstu na strani 82). Za jedinicu mere uglova uzimamo 360-ti deo punog ugla i nazivamo je ugaoni stepen, u oznaci 1◦ . Uqenicima treba objasniti zbog qega je ovako odreena jedinica mere. Prvo, pun ugao je nepromenljiva veliqina, jer zahvata celu ravan. Drugo, broj 360 je pogodan zato xto ima veliki broj delilaca. Budui da je mera punog ugla 360◦ , mnogi uglovi koje praktiqno koristimo, a delovi su punog ugla, imae za meru cele brojeve. Ovo odmah dolazi do izraaja kad odredimo mere opruenog i pravog ugla. Naglasimo da je oxtar ugao manji od 90◦ . Uqenici sami uoqavaju mere tupih uglova. Uqenici se, zatim, upoznaju sa uglomerom i rexavajui primere 1 i 2 (strane 83. i 84.) vebaju njegovo korixenje. Ve prilikom rexavanja primera 1 uqenici e shvatiti da je to grub instrument. (Merenjem, na primer, ugla α na sl. 32, neki uqenici e saopxtiti meru od 80◦ , a neki e ”nai” manje ili vixe od 80◦ .) Stoga se za preciznija merenja uvode manje jedinice, minuta i sekunda, pri qemu se koriste posebni ureaji. Zatim, prelazimo na zapisivanje i raqunanje sa uglovima qije su mere date u stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo primere 3, 4 i 5 (strane 84. i 85.) Ukoliko nismo utroxili vreme qasa, izaberemo proizvoljno uglove, npr. α = 67◦ 19 i β = 102◦ 15 30 , pa raqunamo: α + β, β − α, α , 2β, 4α itd. 3 Domai zadatak:

Vebe sa 85. strane.

78

Ugao

51. QAS Merenje uglova. Raqunanje sa stepenima. Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Utvrditi qetiri osnovne raqunske operacije sa uglovima izraenim u jedinicama mere. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 74. do 79. strane

Ponovimo: jedinice mere uglova (stepen, minuta, sekunda) i oznaqavanje. Zatim, mere punog, opruenog i pravog ugla (vidi tekst Ukratko na 74. i 75. strani Zbirke.) Onda, reximo zadatak 462. Zatim, podsetimo se kako koristimo uglomer. Reximo zadatke: 464 i 465 a), b), v). Nastavljamo raqunanjem sa uglovima qije su mere izraene stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo redom zadatke: 471 a) 1), b) 2), v) 1), 472 a), g) 474 a) i ), 468 a), 473 a), b), ). Domai zadatak: 480.

461, 465 g), d), ), 469 a), 471 a), b) v), 479,

79

Ugao

52. QAS Merenje uglova

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Usavrxiti tehniku raqunanja sa uglovima, izraenim u obliku tzv. vixeimenovanih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 74. do 79. strane.

Qas se realizuje u tri dela. 1◦ Upotreba uglomera: rexavamo zadatke: 469 b), v), 476 2◦ Veze izmeu stepena, minuta i sekundi: rexavamo zadatke: 471 a) (2) i 3)), b) (1) i 4)), v) (2) i 3)). 3◦ Raqunanje sa uglovima, qije su mere izraene u obliku vixeimenovanih brojeva: rexavamo zadatke: 468 b), 472 a), 473 v), d), 474 v). Napomena: Mogue su dijametralno suprotne situacije u razredu. Ako su uqenici nedovoljno shvatili merenje i raqunanje sa uglovima, nastavnik e smanjiti broj rexavanih zadataka (redukovae plan). U tom sluqaju preporuqljivo je da se godixnji plan izmeni i ubaci vanredno qas 53 a) (na raqun rezervnog 69. qasa), jer se ne moe dozvoliti loxe ili nedovoljno znanje iz ove oblasti. Odluku o eventualnom uvoenju qasa 53 a) doneti posle analize efekta rada na sledeem qasu. Ako su uqenici odliqno savladali materiju, nastavnik e lako i sa zadovoljstvom dodati jox neki zadatak iz Zbirke. Domai zadatak:

466, 467, 470, 471 v), 474.

80

Ugao

53. QAS Raqunanje sa uglovima

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Raqunanje sa uglovima konstruktivno i raqunski.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 71. do 79. strane

Nastavnik daje odabrane zadatke i na xkolsku tablu poziva uqenike za koje nije sasvim siguran da su dovoljno ovladali gradivom. Pri tome, aktivno uqestvuje u rexavanju zadataka i, pomaui uqeniku koji radi na xkolskoj tabli, koristi da neke vane qinjenice prezentira celog odeljenju. Rexavamo sledee zadatke: 463, 466, 469 g), 470, 473, 475, 479, 482, 483. Domai zadatak:

477, 472, 484, 485, 486, 488, 490.

81

Ugao

54. QAS Suplementni i komplementni uglovi Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Pojmove komplementnih i suplementnih uglova uvodimo preko susednih uglova i zbira uglova. Uoqavamo da uporedni uglovi qine par suplementnih uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 86. i 87. strana.

Ponovimo pojam uporednih uglova. Ako su pOq i pOq uporedni, onda je, po definiciji zbira uglova: pOq +qOr = pOr = 180◦ mera opruenog ugla. Uopxte, ako su α i β uglovi, takvi da je α + β = 180◦ , onda su α i β suplementni. Kao xto je opisano na 86. strani Ubenika, definixemo suplementne i komplementne uglove. Rexavanjem primera 1 na strani 87. uoqavamo konstruktivni aspekt pojmova: par komplementnih i par suplementnih uglova. Zatim, razmatramo komplementne i suplementne uglove u raqunskom smislu, rexavanjem zadatka 2 sa 87. strane. Ukoliko vreme qasa nije utroxeno, rexavamo i sledee zadatke. 1◦ Odrediti komplementne uglove α i β, ako je: a) α − β = 5◦ ; b) α − β = 1 . 2◦ Odrediti suplementne uglove θ i ϕ, ako je: a) θ − ϕ = 90◦ ; b) ϕ − θ = 7 . Domai zadatak:

Vebe sa 87. strae.

82

Ugao

55. QAS Suplementni i komplementni uglovi Frontalni rad Cilj

Uvebavanje Dijalog

Uoqiti primenu suplementnih i komplementnih uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 80. do 82. strane

Ponovimo pojam suplementnih uglova (uqenik navodi primer). Ponovimo pojam komplementnih uglova (uqenik navodi primer). (Koristimo tekst Ukratko sa 80. strane.) Rexavamo najpre zadatke u kojima nije primaran raqun: 491, 492, 493, 494, 495. Rexavanjem zadatka 502 zabaviemo uqenike i time ih osveiti za dalji rad. Reximo zadatke 504 a), v) i 507. Zatim, rexavamo zadatak 497. Slede zadaci 498 a), b), v), g), d), 499 i 500. Onda reximo problemske zadatke 508 i 513. Domai zadatak:

496, 498 ), e), ), z), i), 501, 504 b), 506.

83

Ugao

56. QAS Paralelne prave i transverzala. Uglovi s paralelnim kracima. Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Razlikovati uglove sa paralelnim kracima koji su jednaki, od uglova koji su suplementni. Istai istorijski znaqaj uglova koje odreuje transverzala na paru paralelnih pravih. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 87. do 90. strane

Na poqetku qasa nastavnik istakne istorijski znaqaj uglova na paralelnim pravim (strana 88.). Prema sl. 35 nastavnik dokazuje da su uglovi koje transverzala odreuje sa paralelnim pravim a i b u parovima jednaki ili suplementni. Pri tome koristi se oqiglednoxu translacije prave a do poklapanja sa b, kao xto je opisano na 88. i 89. strani. Poxto do kraja izloi ovu problematiku, razmatra razne sluqajeve u kojima su dva proizvoljna ugla sa oba para paralelnih krakova. Sve to izloeno je na 89. strani i ilustrovano na sl. 36. Naglasimo da su uglovi sa paralelenim kracima jednaki (ako su oba oxtra ili oba tupa) ili suplementni (jedan oxtar i jedan tup ugao). Na kraju rexavamo primere 1 i 2. Domai zadatak:

Vebe na 90. strani i Zbirka: 516, 517.

84

Ugao

57. QAS Uglovi sa paralelnim kracima Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Prepoznavanje jednakih i suplementnih uglova sa paralelnim kracima. Formulisati obrnuto tvrenje: Ako transverzala odreuje dva jednaka oxtra (tupa) ugla na pravim a i b, ili su oxtar i tup ugao suplementni, onda su a i b paralelne prave. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 82. do 85. strane

Na poqetku istaknemo zakljuqke sa prethodnog qasa o uglovima sa paralelnim kracima (tekst Ukratko sa 82. strane). Zatim, reximo zadatke: 518, 519, 520, 523, 529. Zatim, izvedemo bitan zakljuqak, da za prave a, b i njihovu transverzalu t vai i obrnuto tvrenje. (tekst Ukratko sa 83. strane). Ako su jednaki oxtar ugao izmeu transverzale i prave a i oxtar ugao izmeu transverzale i prave b, onda su a i b paralelne prave. Prave a i b su paralelne ako su jednaka i dva odgovarajua tupa ugla, ili je oxtar ugao na jednoj pravoj suplementan tupom uglu na drugoj pravoj. Takoe, prave a i b su paralelne ako transverzala odreuje sve prave uglove. Rexavamo zadatke: 521, 522, 524, 525. Zatim, rexavamo zadatke 532 i 533. Domai zadatak: do 27.)

Radna sveska: Peta kontrolna veba (str. 24.

Ugao

85

58. QAS Peta kontrolna veba (O uglovima)

Kontrola znanja

Od pet ponuenih zadataka uqenici rexavaju qetiri zadatka po sopstvenom izboru. Grupa A) 1. Koristei se lenjirom i uglomerom nacrtaj ugao α = 32◦ . Zatim, konstruixi ugao 5α. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 17◦ 13 15 · 8; b) 113◦ 52 14 − 75◦ 18 25 . 3. Dat je ugao α = 32◦ 24 . Odredi ugao β koji je komplementan sa α i ugao γ koji je suplementan sa 2α. 4. Prave p i q seku se i odreuju qetiri ugla manja od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako zbir dva unakrsna ugla iznosi 123◦ . 5. Odredi mere uglova oznaqenih na slici. Prave a i b su paralelne.

Grupa B) 1. Koristei se lenjirom i uglomerom nacrtaj ugao β = 42◦ 30 . Zatim, konstruixi ugao 4β. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 111◦ 11 36 : 6; b) 54◦ 45 18 + 29◦ 34 42 . 3. Dat je ugao β = 25◦ 18 . Odredi ugao ϕ koji je komplementan sa β i ugao γ koji je suplementan sa 3β. 4. Prave a i b seku se i odreuju qetiri ugla manja od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako je razlika dva susedna ugla 17◦ . 5. Prave m i n na slici paralelne su meu sobom. Odredi mere oznaqenih uglova.

86

Ugao

Grupa V) 1. Koristei se lenjirom i uglomerom nacrtaj ugao γ = 33◦ . Zatim, konstruixi ugao 3γ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 5 · 43◦ 27 24 ; b) 82◦ 47 38 + 57◦ 51 22 . 3. Dat je ugao γ = 104◦ 15 . Odredi ugao δ koji je suplementan sa γ i ugao θ koji je komplementan sa γ : 5. 4. Prave m i n seku se i odreuju qetiri ugla manja od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla ako zbir tri ugla iznosi 247◦ 38 16 . 5. Odredi mere uglova oznaqenih na slici. Grupa G) 1. Koristei se lenjirom i uglomerom nacrtaj ugao δ = 18◦ . Zatim, konstruixi ugao 5 · δ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 93◦ 23 45 : 5; b) 82◦ 21 18 − 33◦ 30 48 . 3. Dat je ugao δ = 63◦ 40 . Odredi ugao α koji je komplementan sa δ i ugao β koji je suplementan sa 2δ. 4. Prave c i d seku se i odreuju qetiri ugla manja od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako je zbir dva unakrsna ugla 201◦ . 5. Prave p i q na slici paralelne su meu sobom. Odredi mere oznaqenih uglova. Grupa D) 1. Koristei se lenjirom i uglomerom nacrtaj ugao ϕ = 32◦ 30 . Zatim, konstruixi ugao 5 · ϕ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 6 · 21◦ 48 25 ; b) 74◦ 19 55 + 47◦ 48 35 . 3. Dat je ugao ϕ = 143◦ 24 . Odredi ugao β suplementan sa ϕ i ugao γ koji je komplementan sa ϕ : 3. 4. Prave r i s seku se i odreuju qetiri ugla manja od opruenog. Odredi ova qetiri ugla ako se dva susedna ugla razlikuju za 33◦ . 5. Prave k i p na slici paralelne su. Odredi mere oznaqenih uglova.

87

Razlomci

59. QAS Pojam razlomka

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Produbiti pojam razlomka. Razlikovati prave, neprave i prividne razlomke. Istai razvijanje pojma razlomka kroz istoriju. Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 91. do 93. strane i Zbirka od 86. do 89. strane. Podsetimo se na razlomak kao deo celine, kako je to ranije prezentovano uqenicima. (Koristiti sliku sa 91. strane i nacrtati jox neke sliqne.) Na stranama 91. i 92. u ubeniku opisano je kako se moe oba jasniti uqenicima da je razlomak koliqnik broja a i prirodnog b broja b. Ranije, vekovima su razlomci tretirani dosta drugaqije nego danas. Qak su mnogi quveni stari matematiqari smatrali da razlomci nisu brojevi. Tu privilegiju su pripisivali samo celim brojevima. Mnogi nazivi koji su danas prirodno prihvaeni, ranije su imali drugaqiji smisao. (U ubeniku na 93. strani navodi se i primer iz narodne pesme.) Precizno definixemo pojmove: pravi razlomak, nepravi razlomak i prividni razlomak. Mnogi matematiqari i danas ne prihvataju pojam prividni razlomak. Meutim, kasnije emo se uveriti da nam taj pojam pomae kod uvoenja skupa racionalnih brojeva. Radi utvrivanja nauqenih pojmova, rexavamo zadatke iz Zbirke: 536, 537, 538, 541, 542, 553. Domai zadatak:

Zbirka: 543, 546, 554.

88

Razlomci

60. QAS Pojam razlomka

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj

Utvrditi pojam razlomka kao koliqnika.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 86. do 89. strane

Obnovimo: razlomak kao deo (ili delove) celine, znaqenje brojioca i imenioca. (tekst Ukratko sa 86. strane). Reximo zadatak 545. (Nije potrebno preslikavanje na tabli. Parovi koriste Zbirku i javno saopxtavaju rexenja.) Zatim, rexavamo zadatak 539. (Uqenik koji zadatak rexava na xkolskoj tabli, prilikom crtanja dui, umesto centimetara uzima decimetre.) Uoqavamo primene razlomaka u svakodnevnom ivotu. Rexavamo zadatak 540. Obnovimo pojmove: pravi, nepravi i prividni razlomci (tekst Ukratko na 86. strani). Reximo zadatak 544 onako kako je formulisan u Zbirci. Zatim, za preostale razlomke, koji nisu jednaki 1, pitamo: ”Kojoj vrsti oni pripadaju?” Rexavamo zadatke redom: 549, 550, 551, 552, 554. Domai zadatak:

547, 548, 555.

89

Razlomci

61. QAS Uporeivanje razlomaka

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Uporeivati dva razlomka bez odreivanja koliqnika.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 94. do 96. strane

Prilikom uporeivanja razlomaka dobro je posmatrati modele koji su bliski uqenicima. Na 94. i 95. strani porede se razlomci koji predstavljaju delove qokolade (koja se lomi na ”kockice”) i delove pice (koja se u picerijama i pekarama najqexe deli na xestine i osmine). Poredimo najpre razlomke jednakih imenilaca, pa razlomke jednakih brojilaca (strana 94.). Zakljuqujemo da je u prvom sluqaju vei razlomak koji ima vei brojilac, a u drugom sluqaju vei je razlomak koji ima manji imenilac. Zatim, odreujemo uslov jednakosti dva razlomka. Dolazimo do jednakosti koju dobijamo tzv. unakrsnim mnoenjem:

ако је

,

a vai i obrnuto. Reximo primer 1 na 96. strani. Onda, uoqimo da se unakrsnim mnoenjem moe utvrditi koji je razlomak vei, bez obzira na to da li razlomci imaju jednake ili nejednake brojioce ili imenioce. Naime, ako je a · d > b · c, onda je

>

. Onda, reximo sledei primer, u kome treba sloiti po veli3 2 7 qini razlomke , i . 3 9 5 Na kraju, rexavamo Vebe sa 96. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 556, 557, 561, 564.

90

Razlomci

62. QAS Uporeivanje razlomaka

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Uporeivanje razlomaka na razliqite naqine.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 89. do 92. strane

Ponovimo zakljuqke o uporeivanju dva razlomka jednakih brojilaca i dva razlomka jednakih imenilaca (tekst Ukratko na 89. strani). Reximo zadatke 558, 559 a), b), v) i 560. Ponovimo metodu uporeivanja razlomaka unakrsnim mnoenjem, pa reximo zadatke 565 i 567. Radi praktiqne primene razlomaka, podsetiemo se na veze izmeu jedinica mere. Radi toga reximo najpre zadatak 572, pa zadatak 575. Domai zadatak:

562, 563, 566, 568, 570, 571.

91

Razlomci

63. QAS Proxirivanje i skraivanje razlomaka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Proxirivanje i skraivanje razlomaka objasniti na osnovu osobina koliqnika. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 97. do 100. strane.

Na 97. strani, koristei se razlomcima koji predstavljaju delove kruga ili delove pravougaonika, uoqavamo da mnoenjem brojioca i imenioca istim prirodnim brojem (proxirivanjem) dobijamo jednake razlomke. To se moe koristiti radi uporeivanja razlomaka koji nemaju jednake brojioce, ni jednake imenioce. To je 11 23 i , koje dovodimo pokazano na primeru poreenja razlomaka 6 3 na zajedniqki imenilac. 9 12 i , dovodei ih na zaOdmah zatim, uporedimo razlomke 7 5 jedniqki brojilac (98. strana). Na osnovu razmatranja sa sledee slike razmatra se postupak skraivanja razlomaka (brojilac i imenilac se dele istim prirodnim brojem, veim od 1). Uvodimo pojam neskrativog razlomka. To je razlomak kome su brojilac i imenilac uzajamno prosti brojevi (nemaju zajedniqkog delioca veeg od 1). Neskrativ oblik razlomka qesto se naziva i najjednostavnijim oblikom. To je ustvari najoqigledniji oblik 5 5 1825 = . Ovde je vixe nego jasno da je razlomka. Na primer, 3285 9 9 jasan, oqigledniji oblik. Onda, nauqene pojmove koristimo pri rexavanju narednih primera (plavo odxtampani tekstovi na 99. strani). Domai zadatak:

Vebe sa 100. strane.

92

Razlomci

64. QAS Proxirivanje i skraivanje razlomaka Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Uoqiti zbog qega je nekad korisno skratiti, a nekad proxiriti razlomak. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 92. do 96. strane

Ponovimo pojmove: proxiriti razlomak i skratiti razlomak (tekst Ukratko sa 92. strane). Rexavamo zadatke: 581, 582, 583, 585 Zatim, rexavamo zadatak 589. Ponovimo pojam neskrativ razlomak. Reximo zadatke redom 591, 592 i 590. Onda rexavamo zadatke 604 i 605 (nastavnik izvrxi izbor). Rexavamo i zadatak 607. Domai zadatak:

592, 594, 595, 596, 602, 608.

93

Pismeni zadatak

65. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavljanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Napraviti presek kroz oblasti: prosti i sloeni brojevi, ugao i razlomci. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka zadataka

Postupajui sliqno kao xto je opisano u toku 36. qasa, nastavnik napravi izbor zadataka iz oblasti koje su planirane za drugi pismeni zadatak. Ovaj izbor ne sme biti proizvoljan, jer moe uputiti uqenike da se za pismeni zadatak spremaju na pogrexnim temama ili neadekvatnim zadacima. Zbog toga, nastavnik prvo sastavi zadatke za drugi pismeni zadatak, a onda odabere iz zbirke 10-15 odgovarajuih zadataka, qijim rexavanjem uqenika podseti na potrebna znanja i vextine. Domai zadatak: 28. do 30.)

Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (str.

94

Pismeni zadatak

66. QAS Drugi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Prema slici levo odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prava p je pralelna sa AB. Odredi mere oznaqenih uglova. 3. Odredi meru ugla α koji je tri puta vei od svog suplementnog ugla. 34 · 30 · 27 . 4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 24 · 51 · 55 5. Poreaj od najmanjeg do najveeg brojeve: 3 6 9 9 3 13 , , , , , . 4 5 20 13 2 10 Grupa B) 1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Prema datim podacima na desnoj slici, odredi mere oznaqenih uglova. 3. Odredi meru ugla β koji je qetiri puta vei od svog komplementnog ugla. 4 3 4. Nai qetiri razlomka koji su vei od i manji od . 4 5 5. Poreaj od najveeg do najmanjeg brojeve: 2 3 2 1 3 7 , , , , , . 5 4 3 2 10 30

Pismeni zadatak

95

Grupa V) 1. Prema slici dole levo odredi meru ugla x. (Lukovima su oznaqene uglovi datih mera).

2. Na slici gore prave d i AB su paralelne. Izrazi u stepenima i minutama oznaqene uglove. 3. Odredi meru ugla ϕ koji je sedam puta vei od svog suplementnog ugla. 4. Umesto zvezdice stavi odgovarajui broj, tako da bude ta14 ∗ = . qna jednakost: 117 39 3 2 8 4 15 3 , , , . 5. Poreaj od najveeg do najmanjeg brojeve: , , 4 3 21 7 28 7 Grupa G) 1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prave p, q i r su paralelne. Odredi ugao x. 3. Odredi meru ugla θ koji je qetiri puta manji od svog komplementnog ugla. 1 1 4. Nai pet razlomaka koji su manji od i vei od . 6 7 5. Poreaj od najmanjeg do najveeg brojeve: 5 3 3 8 9 2 , , , , , . 12 7 4 15 20 5

96

Pismeni zadatak

Grupa D) 1. Prema levoj slici odredi u stepenima meru ugla x.

2. Prema podacima na slici desno odredi mere uglova α, β, γ. (Paralelne su prave AC i EF , a takoe BC i DE.) 3. Odredi meru ugla γ koji je qetiri puta manji od svog suplementnog ugla. 105 · 12 · 52 . 4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 15 · 78 · 48 9 3 1 9 3 2 , , , , , . 5. Poreaj od najveeg do najmanjeg brojeve: 10 5 2 13 4 3

97

Pismeni zadatak

67. QAS Ispravka pismenog zadatka

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne grexke uz uputstva o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

98

Razlomci

68. QAS O razlomcima

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Utemeljiti znanje o razlomcima, posebno uporeivanje razlomaka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 89. do 96. strane

Uporeivanje razlomaka, skraivanje i proxirivanje razlomaka treba dobro nauqiti i izvebati, jer e u kasnijem izuqavanju razlomaka to biti glavno orue. Na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (grupu qine uqenici iz dve susedne klupe), rexavamo niz zadataka: 559 g), d), ), 573, 576, 578, 588, 601, 603, 617, 610, 615. Domai zadatak: Zbirka: 597, 598, 604 b), v), 605 b), v), 606, 618. Qasovi do kraja PRVOG POLUGODIXTA su stavljeni u rezervu. Na koji e naqin biti realizovani odluqie nastavnik, prema proceni trenutne situacije. Ovde upisati samo nastavnu temu i tip qasa. Nastavna tema: 69. qas Tip qasa: Nastavna tema: 70. qas Tip qasa:

(Samo)evaluacija nastavnika za polugodixnje planiranje i realizaciju nastave:

99

Razlomci

71. QAS

DRUGO POLUGODIXTE

Decimalni razlomci. Decimalni zapis razlomka

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Koristei se oqiglednoxu decimalnih razlomaka, uvesti decimalni zapis razlomka, kao samo novi naqin zapisivanja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 101. do 103. strane

Meu razlomcima posebno mesto imaju oni qiji imenilac predstavlja dekadnu jedinicu, kao: 3 2807 3 19 ; ; ; i sl. 10 100 100 1000 To su tzv. decimalni razlomci. Zbog qeste upotrebe ovakvih razlomaka doxlo se na ideju da se oni, iz praktiqnih razloga zapisuju bez razlomaqke crte. Tako se doxlo do decimalnog zapisa decimalnih razlomaka. Cela priqa o tome data je u ubeniku na 101. i 102. strani. Na taj naqin pomenuti decimqlni razlomci, kao decimalni brojevi, zapisuju se redom: 0,3; 0,19; 0,03; 2,807. Nastavnik insistira, ne samo na pravilnom zapisivanju, nego i na pravilnom qitanju decimalnog broja. Decimalna zapeta odvaja ceo deo broja (levo od zapete) od decimalnog dela. Broj decimalnih mesta (decimala) jednak broju nula dekadne jedinice u imeniocu decimalnog razlomka. Kad sve ovo razjasnimo, rexavamo primer 1 sa 103. strane. 1 Zatim, kroz odreivanje decimalnog zapisa broja , dolazimo 2 do ideje kako jox nekim razlomcima odrediti decimalni zapis: 1·5 5 1 = = = 0, 5 2 2·5 10 Onda reximo preostale primere sa strane 103. 31 7 , zatim 3, 1 = . Obrnuto, na primer, broj 0,7 je razlomak 10 10 Uradimo primere na kraju teksta, ispred Vebe. Domai zadatak:

Vebe sa 103. strane.

100

Razlomci

72. QAS Decimalni zapis razlomka

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Formiranje decimalnog zapisa samo na osnovu oblika odgovarajueg decimalnog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 97. do 99. strane

Upoznajemo strukturu decimalnog zapisa rexavajui zadatke 621 i 622. Pritom, prvo nastavnik na tabli objasni rexenje 8145 57 i kod 621, primera navedenih u uvodnom tekstu zadatka ( 100 100 a 3,8 i 5,29 kod 622. zadatka). Posle toga, uqenici (grupe) rexavaju ostale zadatke. Vebamo prepoznavanje decimalnog razlomka i njegovog decimalnog zapisa, rexavajui zadatak 623. Ulogu decimalne zapete utvrujemo rexavajui zadatak 624. Pravilno qitanje decimalnog zapisa vebamo rexavanjem zadataka 625 i 626. Pogodnim proxirivanjem neke razlomke lako izraavamo u decimalnom zapisu. Rexavamo zadatak 632. Domai zadatak:

628, 629, 630, 631, 633, 634, 635.

Razlomci

101

73. QAS Decimalni zapis proizvoljnog razlomka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Izraavanje razlomka u obliku decimalnog broja, kao rezultat deljenja brojioca imeniocem. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 104. do 107. strane

Polazei od definicije razlomka kao koliqnika a = a : b, b deljenjem brojioca imeniocem dobija se decimalni zapis proizvoljnog razlomka. Do sada samo delili tako da je koliqnik ceo broj i dobijali smo ostatak u sluqaju kad deljenik nije deljiv deliocem. Sada delimo i taj ostatak i tako dobijamo decimale. Na 104. strani Ubenika ovaj postupak je detaljno opisan. Reximo primer 1 na 104. strani. Na strani 105. vidimo da nije uvek mogue podeliti do kraja, tj. broj decimala moe biti i beskonaqan. Ali tada se jedna ili vixe cifara ponavlja, kao xto je detaljno pokazano na primeri3 1 i . Cifre koje se ponavljaju odreuju broj koji nazivamo ma 3 11 periodom i zapisujemo sa taqkama iznad cifara: 3 1 = 0, 3333... = 0, 3˙ = 0, 272727... = 0, 2˙ 7˙ 3 11 Istiqemo da decimalni zapis razlomka ima konaqan broj decimala samo ako imenilac ima jedino 2 i 5 za svoje proste qinioce. Nekad i konaqan decimalni zapis ima previxe decimala, koje nam qesto nisu potrebne u tolikom broju. Onda suvixne decimale brixemo, a preostali deo zaokruimo da bismo umanjili grexku koja time nastaje. O zaokruivanju priqa se u Ubeniku na 105. i 106. strani. Uraen je i primer sa zaokruivanjem broja 6,83257. 9 i Zatim to primenimo na decimanim zapisima razlomaka 14 23 (zadato na 106. strani). 16 Na kraju rexavamo preostale navedene primere. Domai zadatak:

Vebe sa 106. i 107. strane.

102

Razlomci

74. QAS Decimalni zapis voljnog razlomka.

proiz-

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Detaljnije upoznavanje strukture decimalnog zapisa razlomaka (decimalnog broja) i primena. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 100. do 104. strane

Ponovimo sadraj teksta Ukratko sa 100. strane. a Vebamo izraavanje razlomaka oblika u decimalnom zapib su. U tom cilju paljivo rexavamo zadatke 636, 637, 638 i 639. Onda, reximo zadatke 640 i 641. Zatim, rexavamo zadatak 642 a), b), v), d). Zaokruivanje decimalnog zapisa (decimalnog broja) vebamo rexavanjem zadataka 643 i 644. Dalje, rexavamo i zadatak 647. Zadatak 647 ima opxiran uvodni tekst koji je bitan, jer uvodi uqenike u problematiku. Zbog toga, nastavnik prvo objasni sadraj uvodnog teksta, pa onda zadaje sluqajeve a), b), v), g). Na kraju, primenimo decimalne zapise kod izraavanja manjih jedinica mere u veim jedinicama. U tu svrhu rexavamo zadatke 651, 652 i 655. Domai zadatak:

645, 646, 648, 653, 654.

103

Razlomci

75. QAS Prevoenje decimalnog broja u oblik

a . b

Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Dopuniti upoznavanje razlomaka: ranije smo nauqili da razlomak izrazimo u vidu decimalnog broja, a sada emo nauqiti i obrnuti postupak. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 107. i 108. strana

Razmatrajui naqin izraavanja decimalnih razlomaka u obliku decimalnog broja (qas 71.), praktiqno smo definisali i obrnutu vezu. Svaki decimalni broj sa konaqnim brojem decimala jeda nostavno se izraava u obliku , tako xto mu se izbrixe zapeta b i postavi imenilac – odgovarajua dekadna jedinica. Na primer: 127 39 3 ; 0, 039 = itd. 0, 3 = ; 1, 27 = 10 100 1000 Dobijeni decimalni razlomak se dalje eventualno skrati i dalje uproxava,  kao xto je navedeno u Ubeniku na 107. strani  15 75 = . 7, 5 = 10 2 Na kraju ovog razmatranja reximo zadati primer na 107. strani (plavo obojeni tekst). Nexto sloeniji je pristup kod periodiqnih decimalnih bro˙ i dalje na jeva. O tome se izlae na kraju 107. strane (sluqaj 0, 3) ˙ ˙ strani 108 (sluqaj 0, 27). a je Izraavanje periodiqnih decimalnih brojeva u obliku b sliqno obiqnim decimalnim brojevima. Razlika je samo xto imenilac nije dekadna jedinica, nego broj oblika 9, 99, 999 itd. Konkretno: 32 63 7 5 = itd. 0, 5˙ = ; 0, 3˙ 2˙ = ; 0, 6˙ 3˙ = 9 99 99 11 Na kraju reximo i primere date na kraju, ispred Vebe. Domai zadatak:

Vebe sa 108. strane.

104

Razlomci

76. QAS Prevoenje decimalnog broja u oblik

a . b

Rad u parovima Cilj

Uvebavanje

Dijalog

Proxiriti primenu decimalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 104. i 105. strana

a Date decimalne brojeve jednostavno prevodimo u oblik , ali b se time ne zavrxava rad: ako je mogue, dobijeni razlomak se skrauje, dok se ne svede na neskrativ oblik. Rexavamo najpre zadatak 656. Zatim, prevodimo periodiqne decimalne brojeve: zadatak 657. b) g), ), z), i). Kako postupiti kada periodiqni razlomak ima ceo deo (ispred decimalne zapete) vei od 0? ˙ Odvojiemo periodiqni deo: Neka je dat broj 3, 818181... = 3, 8˙ 1. 9 42 81 =3+ = . 3, 8˙ 1˙ = 3 + 0, 8˙ 1˙ = 3 + 99 11 11 a Posebno je zanimljivo izraavanje u obliku decimalnih brob jeva koji iskazuju neke mere. Obratimo panju na zadatak 658 a). 225 nije nexto xto nam pojednostavljuje 2,25 godina u obliku 100 1 godine. Dakle, zapis, jer manja jedinica od godine je 1 mesec= 12   1 3 3 27 25 = = , pa je 2,25 godina = 2 godina = godina , 0, 25 = 100 4 12 12 12 a to je 2 godine i 3 meseca. a Sliqno u zadatku 659 b). 40, 7◦ izraziemo u obliku , gde je b 42 7 = 40 = b = 60, jer stepen ima 60 minuta. Prema tome 40, 7◦ = 40 10 60 40◦ 42 . Domai zadatak:

658, 659, 660.

Razlomci

105

77. QAS Razlomci na brojevnoj polupravoj Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Povezati cele brojeve, razlomke i decimalne brojeve, dajui im zajedniqku osobinu - korespondenciju sa duinom dui. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 109. do 111. strane

U odeljku o skupovima N i N0 , na 24. strani Ubenika, govorili smo o brojevnoj polupravoj sa poqetnom taqkom O, na kojoj smo odredili taqke A, B, C, D,... tako da je OA = AB = BC = CD = · · · Zatim su taqkama O, A, B, C, D,... redom prikljuqeni brojevi 0, 1, 2, 3, 4, ... Sada razmatramo brojevnu pravu na koju smo naslonili lenjir, kao na 109. strani ubenika. Postavlja se pitanje: Da li na brojevnoj polupravoj ima mesta za razlomke? Pomenuti lenjir sa 109. strane daje potvrdan odgovor. U poslednjem pasusu 109. strane i dalje na strani 110. i 111. opisuje se kako se na brojevnoj polupravoj pojavljuju razlomci u a i u decimalnom zapisu. Celi brojevi mogu se izraziti obliku b 4 15 3 , u obliku prividnog razlomka (na primer: 1 = , 2 = , 3 = 3 2 5 ...), pa moemo smatrati da su svi brojevi na brojevnoj polupravoj a razlomci oblika . Dakle, svi brojevi koje smo prikazali na brob jevnoj polupravoj pripadaju skupu razlomaka. Taj skup smo nazvali skupom racionalnih brojeva i oznaqavamo ga sa Q. Oqigledno je N ⊂ Q i N0 ⊂ Q. Pri rexavanju primera 1, 2 i 3 uqenici crtaju brojevne poluprave u svojim sveskama, kao xto je prikazano na slikama (110. i 111. strana Ubenika). Sami odrede taqku X(0, 35). Pri rexavanju primera 4 uqenici se koriste poslednjom slikom na 111. strani i samostalno odreuju taqku R(0, 87). Domai zadatak:

Zbirka: 661, 662, 663, 664, 665.

106

Razlomci

78. QAS Brojevna poluprava Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Odrediti taqku date koordinate i odrediti koordinatu zadatke taqke. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 105. do 108. strane

Ponovimo konstrukciju i graduiranje brojevne poluprave. Uqenicima treba objasniti da ne postoje utvreni standardi za odreivanje jediniqne taqke A, takva da se duina OA smatra jediniqnom: OA = 1, a taqki A pripisuje broj 1. U praksi du OA = 1 biramo tako da se mogu lako odrediti date koordinate. U to su se uverili rexavajui domai zadatak, a uverie se i tokom rexavanja sledeih zadataka: 666, 667, 668 i posebno zadatka 669. Rexavamo jox i zadatke 670 i 675. Domai zadatak: 31. do 34.)

Radna sveska: Xesta kontrolna veba (str.

Razlomci

107

79. QAS Xesta kontrolna veba (O razlomcima)

Kontrola znanja

Grupa A) 4 7 9 , , . 15 12 10 15 4 24 , , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 8 7 11 2. Uporedi dva data razlomka: 10 15 i dovoenjem imenilaca na NZS; a) 21 14 18 12 i dovoenjem brojilaca na NZS; b) 17 25 9 3 i unakrsnim mnoenjem. v) 373 1221 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,325; b) 0, 1˙ 8. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu, tako  da jejediniqna du OA =   15 11 ,B , C(1, 25). 4 cm, pa na njoj odredi taqke: A 4 8 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:

Grupa B) 11 13 9 , , . 84 112 24 12 4 15 , , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 7 3 4 2. Uporedi dva data razlomka: 36 24 i dovoenjem brojilaca na NZS; a) 9 15 5 8 b) i dovoenjem imenilaca na NZS; 9 6 104 13 i unakrsnim mnoenjem. v) 24 192 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,875; b) 0, 7˙ 2. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu,  jediniqna du OA =  takoda je 10 3 ˙ ;E ; F (2, 3). 3 cm, pa na njoj odredi taqke: D 2 3 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:

108

Razlomci

Grupa V) 15 6 10 , , . 11 7 9 7 5 4 , , . b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 24 36 45 2. Uporedi dva data razlomka: 20 15 i dovoenjem brojilaca na NZS; a) 13 18 39 35 b) i dovoenjem imenilaca na NZS; 48 40 96 50 i unakrsnim mnoenjem. v) 75 144 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 7,75; b) 0, 1˙ 1˙ 7. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu takoda je  jediniqna du OA =   9 7 ,L , M (2, 3). 5 cm, pa na njoj odredi taqke: K 5 10 1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:

Grupa G) 9 4 6 , , . 7 13 7 17 7 9 , , . b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 48 15 20 2. Uporedi dva data razlomka: 24 56 i dovoenjem imenilaca na NZS; a) 105 45 90 24 i dovoenjem brojilaca na NZS; b) 9 35 12 48 i unakrsnim mnoenjem. v) 400 90 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 2,125; b) 0, 4˙ 5. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu,  takoda je jediniqna du OA = 3 5 ,P , Q(1, 75). 8 cm, pa na njoj odredi taqke N 4 8 1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:

Razlomci

109

Grupa D) 21 5 21 , , . 28 6 24 6 10 15 , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: , 7 11 13 2. Uporedi dva data razlomka: 24 15 i dovoenjem brojilaca na NZS; a) 14 21 30 25 b) i dovoenjem imenilaca na NZS; 42 35 71 4 i unakrsnim mnoenjem. v) 111 1988 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,625; b) 0, 2˙ 3˙ 4. 4. Nacrtaj brojevnu pravu,  takodaje jediniqna du OA = 5 cm, 4 13 ,S , T (2, 6). pa na njoj odredi taqke: R 10 5 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:

110

Razlomci

80. QAS Sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca. Mexoviti broj. Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Istai qinjenicu da se razlomci mogu sabrati i oduzeti samo ako imaju isti imenilac. Uvesti pojam mexovitog broja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 112. do 117. strane

Sabiranje i oduzimanje razlomaka vrlo ubedljivo istiqu ulogu i vanost imenilaca razlomaka. Na primerima, kao na 112. strani Ubenika pokaimo da se neki razlomci mogu prirodno sabirati i oduzimati i kako se to opisuje raqunski. Zatim, kao xto je opi3 1 sano na 112. i 113. strani, na primeru + , objasnimo logiku 8 8 tog sabiranja (koristimo privremeno termin ”jabuke”, kao zamenu za ”osmine”) i geometrijsku interpretaciju zbira. Geometrijska interpretacija je znaqajna za onu populaciju uqenika, kojima je bitno da ”vide” taj zbir. Tako je pripremljen teren za ”matematiqko” tumaqenje zbira i razlike. Kao xto je opisano na 114. strani Ubenika, koristei osobinu koliqnika (a + b) : c = a : c + b : c, c = 0, i simetriqnost b a+b a + = i sliqno za jednakosti, dobijamo pravilo za zbir: c c c a−b a b . razliku, ako je c = 0 i a > b, onda je − = c c c Reximo primere 1, 2, 3 i 4 sa 114. i 115 strane i uoqimo a a osobinu: − = 0. b b Koristei se qinjenicom da ceo broj moemo izraziti kao razlomak sa bilo kojim prirodnim brojem u imeniocu, uvodimo pojam mexovitog broja. To je opisano na 115. strani. Treba naglasiti zbog qega je praktiqno da neprave razlomke izraavamo u obliku mexovitog broja (pretposlednji pasus na 115. strani). Onda uqenici prihvataju mexoviti broj kao pojam koji nam pomae u raqunu. Reximo i preostale primere od 5 do 8, sa 116. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 117. strane

111

Razlomci

81. QAS Sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca. Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje

Dijalog

Cilj Uvebati sabiranje i oduzimanje i uvesti mexoviti broj kao zbir celog broja i pravog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 108. do 110. strane

Napomena. Ukoliko okolnosti pri realizaciji nastavne teme na prethodnom qasu prisile nastavnika da uspori izlaganje; moe se desiti da ne ostane dovoljno vremena za paljivo tumaqenje mexovitog broja. U tom sluqaju, ne treba forsirati i ubrzavati predavanje. Jednostavno, mexoviti broj moe biti nova tema na ovom qasu. Ponovimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca (tekst Ukratko na 108. strani), pa rexavamo zadatke iz Zbirke: 676 e), ), z), i), 677, 678 i 679. Zatim, ponovimo pojam mexovitog broja i rexavamo zadatke 681, 682 (delimiqno), 683 (delimiqno) i 684 (delimiqno). Na kraju rexavamo zadatak 679 (priprema terena za rexavanje jednaqina). Domai zadatak:

680, ostaci zadataka 682 i 683, 684, zatim 685.

112

Razlomci

82. QAS Sabiranje i oduzimanje razlomaka razliqitih imenilaca Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka metoda

Cilj Definisati postupak sabiranja i oduzimanja bilo kojih raza lomaka oblika . b Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 117. do 119. strane

Postavimo problem sa 117. strane Ubenika. Ispostavlja se da 2 1 ne moemo izraqunati − . (”Jabuke” i ”kruxke” se ne oduzimaju.) 3 2 Razmotrimo onda sledei problem: U piceriji pice iste veliqine seku na osam ili na xest jednakih delova. Anka je od osam kupila tri dela, a Sima je od xest 3 2 delova kupio dva. Dakle, Anka i Sima su zajedno kupili + pice. 8 6 Pitamo se: koliki deo pice su oni kupili? Crte pokazuje da je sabiranje mogue, zbir smo nacrtali, via dimo ga, ali ne moemo da ga napixemo u obliku . b

Сима Анка+Сима Анка Opet problem predstavljaju razliqiti imenioci razlomaka. Da su jednaki imenioci znali bismo zbir. Nastavljamo izlaganje kao xto je opisano u Ubeniku, poqev od pretposlednjeg pasusa na 117. strani. Kao xto je naglaxeno na 118. strani Ubenika, sugerixemo uqenicima da shvate: prvo, da razlomke treba dovesti na zajedniqki imenilac; drugo, da je najbolje ako se dovedu na NZS. Na kraju, reximo primere od a) do i), date na 118. strani. Domai zadatak:

Vebe sa 119. strane.

113

Razlomci

83. QAS Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Tehniku sabiranja i oduzimanja podii na visok nivo. Rezultat dovesti na najjednostavniji oblik. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 111. do 113. strane

Sabiranje i oduzimanje razlomaka spadaju u fundamentalne operacije, pa je potrebno dobro ih uvebati. Ne treba zapostaviti ni jednog uqenika, jer ko ovo ne nauqi imae ”matematiqke more” do kraja ivota. Dok uqenici rade na mestu, nastavnik ih obilazi, prati njihov rad i po potrebi intervenixe. Na xkolsku tablu izvodi one uqenike kojima je potrebna pomo. Rexavamo zadatke iz Zbirke: 691, 692 b), e), ), 693 a), g). Zatim, malo komplikujemo raqun. Rexavamo zadatak 693 e), ). Tu se pojavljuju i decimalni brojevi, koje treba odmah izraziti u obliku razlomka, a onda se raquna. Naravno, prvo se raquna u zagradama. Onda, raqunamo sa mexovitim brojevima. Prvo se mexoviti brojevi izraze u obliku nepravog razlomka, pa se posle sabira i oduzima. Rexavamo zadatke 694, 695 a), b), v). Na kraju, rexavamo tekstualne probleme, koji su formulisani u zadacima 697, 698, 701 i 706. Domai zadatak:

692, 693, 695 g), d), 696, 699, 709.

114

Razlomci

84. QAS Uporeivanje decimalnih brojeva Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Utvrditi ulogu decimalne zapete. Istai pojmove vaeih i nevaeih nula u decimalnom broju. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 119. do 121. strane

Uporeivanje decimalnih brojeva zahteva od uqenika punu koncentraciju, jer se u protivnom lako pogrexi. Ako celi delovi decimalnih brojeva nisu jednaki, vei je onaj decimalni broj koji ima vei ceo deo. Ako su celi delovi decimalnih brojeva jednaki, onda je vei onaj broj kome je vei decimalni deo. Tu onda nastaje problem, zbog specifiqne uloge tzv. nevaeih nula. Zbog toga prvi deo izlaganja posveujemo ovim nevaeim ciframa. U Ubeniku to je tekst na 119. i deo 118. strane. zakljuqno sa primerom 3. Ovde je vano, uz pomo brojevne prave sa 119. strane, omoguiti uqenicima da ”vide” kako su navedene nule suvixne. Uporeivanje decimalnih brojeva poqinjemo provokativnim pitanjem iz primera 4. Pitanje postavimo celom odeljenju i dobiemo i taqne i netaqne odgovore. Ponovo potenciramo nevaee nule, ali ovoga puta (naglasimo) one nam pomau da doemo do pravilnog zakljuqka. Suxtina uporeivanja decimalnih brojeva uporeivanjem jedne po jedne decimale od zapete pa nadesno, opisana je na 120. strani. Da se ipak ne dese brzoplete grexke tipa: ”12, 726 > 12, 81, zato xto je 726 > 81”, poeljno je da nastavnik objasni jox jedan naqin uporeivanja. Postupak je sledei: Ako decimalni brojevi nemaju isti broj decimala, onda se onom koji ima manje decimala, dopixe potreban broj nula. Dobijene brojeve posmatramo kao da su celi i lako odredimo koji je vei. Na primer, uporedimo brojeve 103,5 i 103,286. Dopixemo prvom broju dve nule da bi ”imao” tri decimale: 103,500. Sada vidimo da je 103500 > 103286, pa je 103, 5 > 103, 286. Na kraju rexavamo primere date na kraju 120. strane i primere 5 i 6 sa 121. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 121. strane.

115

Razlomci

85. QAS Uporeivanje decimalnih brojeva Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Produbiti upoznavanje strukture decimalnog broja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 114. do 117. strane

Preporuqljivo je da qas poqne sa nekoliko provokativnih pitanja, sliqno primeru 4 sa 120. strane ubenika. Onda, reximo zadatak 722. Zatim, rexavamo zadatke koji se bave nevaeim nulama. To su zadaci: 718 i 720. Reximo i zadatak 719. Onda rexavamo poslednji zadatak koji je bio dat za domai rad. To je zadatak 12. sa 121. strane Ubenika. Uz pomo tabele iz ovog zadatka analiziramo strukturu decimalnog broja i na xkolskoj tabli reximo oba sluqaja a) i b). Prelazimo na zadatke problemskog tipa: 725, 727 a), b). Na kraju, primenimo steqeno znanje na brojeve koji izraavaju mere. Rexavamo zadatke 732 b), 733 a). Zadatak 735 rexavamo ako imamo vremena, a ako smo ve potroxili qas, dajemo ga za domai rad. Domai zadatak:

726, 727, 728, 729, 732, 733.

116

Razlomci

86. QAS Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka metoda

Cilj Koristiti analogiju sa raqunanjem u skupu celih brojeva. Insistirati na potpisivanju brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 122. i 123. strana

Uradimo nekoliko primera sabiranja i oduzimanja vixecifrenih celih brojeva, kao xto je navedeno na 122. strani Ubenika. Zatim se pree na sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva. Insistirati na obaveznom potpisivanju sabiraka, kao xto je napisano i u Ubeniku. Da bi se uqenici bre i lakxe snalazili u potpisivanju, dobro je da u poqetku obavezno koriste svesku sa kvadratiima. (Videti kako je to preporuqeno u zadatku 736 iz Zbirke.) Najbolje je da uqenici olovkom u boji povuku jednu vertikalnu liniju du celog lista u svesci i da ta linija u svim buduim sabiranjima i oduzimanjima oznaqava mesto decimalne zapete. Rexavamo najpre nenumerisane primere date nai 122. strani, pa prelazimo na zadatke od 1 do 4. Zadatak 4. raditi prvo bez potpisivanja, kao xto je napisano u Ubeniku, a onda pravilno potpisati, pa ponovo raqunati. Eventualne grexke uqenika ili texkoe u raqunanju bez potpisivanja, iskoristiti da se istakne znaqaj pravilnog potpisivanja. Domai zadatak:

Vebe sa 123. strane.

117

Razlomci

87. QAS Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva. Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Insistirati na pravilnom potpisivanju. Rezultat dovesti na najjednostavniji oblik. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 117. do 121. strane

Nastavnik insistira na strogo pravilnom potpisivanju. U rezultatu, ako se ukae prilika, brixu se suvixne nule. Rexavamo zadatke: 736, 737 a), 738, 739, 741, 742, 745, 749, 752 i 756. Ukoliko vreme qasa nije potroxeno, radi utvrivanja tehnike raqunanja, do kraja qasa rexavamo zadatke 759 i 743. Domai zadatak: 35. do 38.)

Radna sveska: Sedma kontrolna veba (str.

118

Razlomci

88. QAS Sedma kontrolna veba. (Razlomci i decimalni brojevi)

Kontrola znanja

Grupa A) Izraqunaj: 1 3 7 + − ; b) 11, 59 − 7, 462 − 0, 8. 1. a) 12 2 4 1 1 2. 2 − 1 + 1, 75. 12 2 3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da vae nejednakosti 1 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 0, 9. 4. Vozaq je tokom prepodneva prexao petinu planiranog puta, 3 a popodne je prevezao jox puta. Tako je prexao za 12 kilometara 8 vixe od pola puta. Koliko mu je kilometara ostalo do cilja? Grupa B) Izraqunaj: 2 7 7 1. a) + − . b) 0, 0372 + 12, 73 − 3, 4952. 5 15 10   5 5 1 + 3, 375 − 4 − 2 . 2. 24 12 6 3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su taqne nejednakosti < < < < 0, 2. 0, 1 < 3 4. Jedna stranica trougla ima duinu 3 cm, a druga je za 4 0,2 dm kraa od prve. Obim trougla (zbir duina sve tri stranice) je 1 dm. Koliko u decimetrima iznosi duina tree stranice? Grupa V) Izraqunaj: 11 3 5 1 + − + . b) 22, 937 + 11, 43 − 28, 067. 1. a) 12 2 4 3 5 7 2. 2, 5 + 1 − 3 . 12 6 3. Iznad svake crte napixi odgovarajui decimalni broj (pet brojeva), tako da su taqne nejednakosti > > > > > 0, 85. 0, 9 > 4. Od eparca Duca plati qetvrtinu za taksi, za uinu plati treinu i za sok xestinu. Koliko mu je ostalo za ostale potrebe?

119

Razlomci

Grupa G) Izraqunaj: 4 3 1 1. a) − + . b) 18, 025 − 0, 877 + 3, 552. 5 10 4 7 1 2. 3 + 0, 4 − 2 . 2 10 3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (pet brojeva), tako da vae sledee nejednakosti 1, 5 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 1. 4. Suzana je kupila tri knjige. Za prvu je potroxila treinu novca koji je imala. Za drugu knjigu dala je polovinu, a za treu xestinu novca. Koliko je novca ostalo Suzani? Grupa D) Izraqunaj: 3 2 7 1. a) − + . b) 7, 234 + 90, 306 − 88, 0562. 4 3 6 1 5 2. 4, 2 + 1 − 4 . 6 3 3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su ispravne sledee nejednakosti 2, 42 <

<

<

<

< 2, 43

1 7 4. U loncu zapremine 5 litara ima 1 litara vode i 1 litara 12 4 sirupa. Koliko vode treba doliti da lonac bude do vrha pun?

120

Razlomci

89. QAS Svojstva sabiranja. Brojevni izrazi. Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka i dijaloxka metoda

Cilj Svojstva sabiranja koristiti radi jednostavnijeg izraqunavanja vrednosti izraza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 124. i 125. strana

Kao xto je opisano na 124. i 125. strani, na konkretnim primerima pokaemo da vae zakoni komutativnosti i asocijativnosti sabiranja. U poslednjem pasusu na 124. strani naveden je primer kako se ponekad raqun moe uprostiti korixenjem ovih zakona. a a a a a Takoe vae osobine: + 0 = − 0 = i − = 0. b b b b b Zatim, definixemo brojevni izraz u kome figurixu samo operacije sabiranja i oduzimanja. Naglasimo, ako u izrazu ima zagrada, onda se prvo raquna ono xto je u zagradi. a U izrazu mogu biti istovremeno razlomci oblika , celi, meb xoviti i decimalni brojevi. Tada je potrebno prvo razlomke izraziti kao decimalne brojeve ili decimalne brojeve izraziti u obliku razlomaka. Za koju varijantu emo se odluqiti zavisi od datih brojeva. Mexoviti brojevi se takoe izraze u obliku nepravog razlomka ili u obliku decimalnog broja. Izraqunamo brojevne vrednosti izraza datih u primerima 1 (brojevni izraz) i 2 (izrazi sa promenljivim veliqinama). Domai zadatak:

Vebe sa 125. strane i 761, 762 iz Zbirke.

121

Razlomci

90. QAS Brojevni izrazi

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Obratiti panju na pravilno korixenje zagrada. Rad sa promenljivom veliqinom. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 122. do 124. strane

Sreivanjem brojevnih izraza poboljxava se raqunska tehnika. Zbog toga prvo sreujemo nekoliko izraza bez promenljivih veliqina. Rexavamo zadatke: 763, 765 i 766 u kojima se do rezultata dolazi na odgovarajui naqin ako se lako primene zakoni komutativnosti i asocijativnosti. Zatim, izraqunavamo vrednosti brojevnih izraza sa promenljivim veliqinama. Rexavamo zadatke: 775 a), v), g), e) 777 a), b), v), g), e). Onda, reximo zadatak 772. Na kraju rexavamo zadatak sa periodiqnim decimalnim brojevima: 779 a), b). Domai zadatak:

764, 767 a), g), ), 772 a), v), 775 b), d).

122

Razlomci

91. QAS Brojevni izrazi

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Sreivanje izraza u kojima su razlomci oblika

a i decib

malni brojevi. Rexavanje tekstualnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 122. do 124. strane

Nastavljamo sa usavrxavanjem tehnike sabiranja i oduzimanja razlomaka i decimalnih brojeva. Rexavamo redom zadatke: 767 b), d), 772 b), g). Zatim, sreujemo izraze sa promenljivim veliqinama. Rexavamo zadatke: 775 ), e), 777 d), ), 776 a). Na kraju, rexavamo tekstualne zadatke: 768, 769, 771 i zadatak 780 b), sa periodiqnim decimalnim brojevima. Domai zadatak:

770, 773, 776 b), v), 778.

Razlomci

123

92. QAS Jednaqine oblika x ± a = b i a − x = b Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Rexavanje jednaqina na osnovu osobina zbira ili razlike. Insistirati na proveri dobijenog rexenja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 126. do 128. strane

Podsetimo se na pojmove: jednaqina, rexenje jednaqine, provera rexenja. Najpre rexavamo jednaqinu u kojoj je nepoznat jedan sabirak (jednaqinu tipa x + a = b). Reximo primer 1 sa 126. strane. Dobijeno rexenje odmah proveravamo. Uqenici moraju da shvate da je provera neophodna, jer moe da nam ukae na moguu grexku tokom rexavanja. Reximo i primer 2 (a), b) i v)) sa 127. strane. U sluqaju b) pokazuje se da ne moemo rexiti postavljenu jednaqinu, jer ne znamo ni jedan broj koji zadovoljava uslov 13 17 − . x= 3 3 Izvlaqimo pouku: Jednaqina x + a = b ima rexenja ako je a ≤ b. Zatim, rexavamo jednaqinu tipa x−a = b, koja uvek ima rexenje (reximo primere 3 a) i b)). Na kraju, jednaqina tipa a − x = b ima rexenje pod uslovom da je a ≥ b. Rexenje je x = a − b. Reximo primere 4 a) i b) i, naravno, obavezno proverimo rexenje. Reximo jox i jednaqine a) i b), nevedene ispred Vebe. Domai zadatak:

Vebe sa 128. strane.

124

Razlomci

93. QAS Jednaqine

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Poboljxanje tehnike rexavanja jednaqina. Rexavanje tekstualnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 124. do 126. strane

Vebamo jednaqine tipova x + a = b (odnosno a + x = b), x − a = b i a − x = b. Rexavamo zadatke: 781 a), b), v), g), d), i), j), 782 v), g), d), 783 a), b), v), 784 a), b). Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 787, 788. Budui da se zadaci rexavaju ”pod budnim okom” nastavnika i celog odeljenja, posle nekoliko kompletno rexenih jednaqina (sa proverom rexenja), moemo ponekad i preskoqiti redovnu proveru rexenja. Nastavnik to obrazlae, a uqenike upozorava da samostalna rexenja (za domai zadatak) i dalje obavezno proveravaju. Domai zadatak: a), b), v), 790.

782, a), b), 783 g), d), ), 784 v), g), 785, 786

125

Razlomci

94. QAS Nejednaqine oblika x±a ≷ b i a−x ≶ b Frontalni rad Cilj

Obrada Heuristiqka metoda

Koristiti iskustva steqena rexavanjem jednaqina.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 129. do 132. strane

Ponovimo pojmove: nejednaqina i rexenje nejednaqine. Rexavanje nejednaqina zahteva veu panju nego rexavanje jednaqina. Nejednaqina obiqno ima beskonaqno mnogo rexenja, koja na brojevnoj pravoj odreuju du (interval). Inaqe, tehnika rexavanja se ne razlikuje od rexavanja jednaqina. Preporuquje se obavezno grafiqka interpretacija rexenja na brojevnoj polupravoj. Reximo primer 1 sa 129. strane, kao xto je prikazano u Ubeniku, sa grafiqkom interpretacijom. Napomena (nastavniku). Nije potrebno naglaxavati da je re5 xenje 0 ≤ x < , jer u ovom momentu uqenici jox ne znaju za brojeve 2 5 manje od nule. Dakle, konstatujemo bez ograniqenja, x < . 2 Sliqno reximo i primer 2 (130. strana). Oba sluqaja, a) i b) rexavaju se na xkolskoj tabli. Sa posebnom panjom rexavamo primer 3, uz naglaxeno ograniqenje x ≥ 1, 25, jer ne bi bila jasna razlika x − 1, 25 za x < 1, 25. Dobijamo rexenje u obliku intervala: a ≤ x < a + b. Reximo primere 4 na 131. strani, u kojim je nepoznat prirodni broj. Zbog toga, na primer, rexenje x < 4, 45 oznaqava da je skup rexenja {1, 2, 3, 4}. Konstatujemo da svaka nejednaqina oblika a − x > b, za a > b, ima rexenje x < a − b, a za a ≤ b nema rexenja. Konaqno, rexavamo nejednaqine tipa a − x > b i a − x < b, koje u startu imaju ograniqenje x ≤ a. Reximo primer 5 sa 132. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 132. strane.

126

Razlomci

95. QAS Nejednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Shvatiti prirodu rexenja crtanjem intervala na brojevnoj polupravoj. Voditi raquna o oblasti definisanosti nejednaqine. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 126. i 127. strana

Rexavamo nejednaqine obraenih tipova, uz obaveznu grafiqku interpretaciju. Uqenici se upozoravaju na oprez pri rexavanju nejednaqina tipova: x − a < b i a − x < b. Rexavamo zadatke: 791 b), g), d), 792 v), g), 793, 795 a), b), 794, 796 b), v). Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 799 i 800. Domai zadatak: v), 798 a), b), v).

791 a), v) 792 a), b), 795, 796 v), g), 797 a), b),

Razlomci

127

96. QAS Mnoenje razlomaka oblika

a b

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvesti pravilo za mnoenje razlomaka, uz ilustrovanje oqiglednim, praktiqnim primerima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 133. do 135. strane

Izraqunavanje povrxine pravougaonika (”duina” puta ”xirina”), kao xto je opisano u primerima 1 i 2 na 133. strani, navode nas na formulisanje pravila za mnoenje razlomaka. Iz primera 3 na 134. strani izvlaqimo zakljuqak o mnoenju razlomka celim brojem. Tako formulixemo pravilo: a·c a k·a a c · = ; k· = b d b·d b b U poslednjem pasusu na 134. strani navodimo jedan od qestih 5 od nekog sluqajeva primene mnoenja razlomaka (koliko iznosi 6 broja). Time se bavi primer 4 koji sledi. Pri rexavanju primera 4 upozoravamo uqenike da je bolje prvo skratiti, pa mnoiti, nego prvo mnoiti, pa skratiti. Ako u mnoenju uqestvuje mexoviti broj, treba ga zameniti odgovarajuim nepravim razlomkom, pa onda mnoiti. Na kraju reximo zadatke date na 135. strani, ispred Vebi. Nastavnik uporno insistira na principu ”prvo skrati, pa onda mnoi”. Domai zadatak:

Vebe sa 135. strrane.

128

Razlomci

97. QAS Mnoenje razlomaka

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Radi jednostavnijeg raqunanja poxtovati redosled: prvo skraivanje, pa mnoenje. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 127. do 129. strane

Ponovimo pravila za mnoenje razlomaka: a·c a k·a a a·k a c · = , k· = , ·k = b d b·d b b b b Nastavnik insistira na principu: prvo skrati, pa mnoi. Rexavamo zadatke: 801, 802, 803, 804. Zadatke 803 i 804 rexavamo tako xto prvo nastavnik uradi na tabli primer opisan u uvodnom tekstu zadatka, pa uqenici rade na tabli redom ostale sluqajeve (a), b), v), g), d), )). Onda izraqunavamo ”deo od neqega” rexavajui zadatak 805. (Nstavnik postupa kao kod rexavanja 803. zadatka.) Na  kraju, rexavamo zadatak 806. Nastavnik objasni uvodni 3 , a ostali sluqajevi se postavljaju na xkolsku taprimer 20 · 5 blu i rexavaju kolektivno. Domai zadatak:

807, 808, 809 a), ), 810 b), v).

129

Razlomci

98. QAS Svojstva mnoenja razlomaka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Primena osobina mnoenja kod izraqunavanja vrednosti brojevnih izraza. Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, 136. i 137. strana i Zbirka od 129. do 131. strane. Kao xto je opisano na 136. strani, primerima ilustrujemo komutativnost mnoenja. Zatim, koristei se pravilom za mnoenje razlomka celim brojem, pokaemo da vae osobine: a a a a a ·1 = 1· = i ·0 = 0· =0 b b b b b Onda, primerom prikaemo osobinu asocijativnosti mnoenja:   a c  e a c e · · = · · b d f b d f Na osnovu toga izvodimo zakljuqak da se pri mnoenju vixe 1 2 7 brojeva ne moraju stavljati zagrade. Na primer, pixemo: · ·5·1 . 3 9 5 Zatim reximo primere 1 i 2 sa 137. strane. Na kraju, istiqemo osobinu distributivnosti mnoenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje. Reximo primer 3, radi ilustrovanja poslednje osobine. Zatim, reximo iz Zbirke zadatke 815 a), b), v), 817 a), v), 820 a), b), v). Domai zadatak:

Zbirka: 811, 812, 813, 814, 815 g), 818.

130

Razlomci

99. QAS Razlomci i decimalni brojevi Rad u nehomogenim grupama Cilj

Sistematizovanje Dijalog

Zaokruiti do sada obraene osobine racionalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 108. do 131. strane

Rexavanjem zadataka iz Zbirke, ukratko emo se podsetiti na a sabiranje i oduzimanje razlomaka oblika i u obliku decimalnih b brojeva. Takoe emo se podsetiti na uporeivanje racionalnih brojeva i rexavaemo jednaqine i nejednaqine upoznatih oblika. Precizan sadraj ovog qasa nastavnik odreuje na osnovu utiska koji je stekao pratei dosadaxnji rad uqenika. Ti utisci mogu biti razliqiti u raznim odeljenjima. Zadaci za sistematizovanje ovog gradiva mogu se izabrati izmeu sledeih: 698, 704, 705, 707, 712, 714, 715, 727, 730, 734, 750, 753, 760, 774, 783 g), d), ), 786 g), d), ), 787, 788, 796, 797, 807, 809, 810. Domai zadatak: do 42.)

Radna sveska: Osma kontrolna veba (str. 39.

131

Razlomci

100. QAS Osma kontrolna veba. (Izrazi, jednaqine, nejednaqine)

Kontrola znanja

Grupa A) 1 5 a) 2 − x = 1 ; b) 3 6 1 2. Rexi nejednaqinu 2 ≥ 4, 25 − x, pa 2 brojevnoj polupravoj. 1 1 1 1 3. Ako je m = 2 , n = 1 , p = 2 , q = 1 , 2 3 6 4 m + p − n − q − 0, 75. 1 1 1 4. Izraqunaj: 7, 5 · 5 · 1 · 0, 125 · 1 . 3 5 6 1. Rexi jednaqine:

1 5 5 =x+3 . 6 12 rexenje predstavi na izraqunaj

Grupa B) 5 1 1 =2 . a) 5, 6 − x = 2 ; b) x − 2 2 18 6 1 2. Rexi nejednaqinu x + 3, 15 < 5 , pa rexenje predstavi na 4 brojevnoj polupravoj. 3. Ako je k = 23, 037, m = 9, 43 i n = 22, 937 izraqunaj m + n − k − 4, 13. 2 1 1 · 2, 4 · 3 · 4 . 4. Izraqunaj: 6 · 4 30 3 1. Rexi jednaqine:

Grupa V) 3 a) 5 − x = 2, 25; b) 18, 24 − 7, 03 = x + 6, 3. 8 1 2. Rexi nejednaqinu 4, 375 − x ≥ 1 , pa rexenje predstavi na 8 brojevnoj polupravoj. 5 1 1 3 1 7 3. Ako je a = 1 + 2, 25 − 1 , b = 2 − 1 , c = 1 , d = 2, 5 − 1 12 6 2 6 8 3 izraqunaj a − b + d − c. 19 7 · 8 · 1 · 2, 75. 4. Izraqunaj: 22 21 1. Rexi jednaqine:

132

Razlomci

Grupa G) 1 1 1 a) 2 − x = 0, 35; b) x − 2 = 2 . 4 6 2 1 2. Rexi nejednaqinu: 2 − x > 0, 625 pa rexenje predstavi na 4 brojevnoj polupravoj. 3. Ako je x = 32, 03 − 9, 75, y = 22, 043 − 14, 557, z = 73, 42 − 64, 02 izraqunaj x − y + z. 5 7 1 4. Izraqunaj: 5 · 2, 4 · · 1 · 0, 25. 4 7 9 1. Rexi jednaqine:

Grupa D) 1 1. Rexi jednaqine: a) x + 3 = 4, 5; b) 2, 05 − x = 2, 31 − 1, 81. 4 3 2. Rexi nejednaqinu x − 2 ≤ 5, 5 pa rexenje predstavi na bro4 jevnoj polupravoj. 1 9 3 3 3. Ako je m = 0, 6 + ; n = 1 − 0, 125; p = 1, 4 − , q = 2, 25 − , 5 2 10 2 izraqunaj m + q − (n + p). 1 1 1 1 4. Izraqunaj: 5 · 7 · 1 · · 1, 2. 3 2 6 8

Razlomci

133

101. QAS Deljenje razlomaka oblika

a b

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Definisati deljenje razlomkom kao mnoenje reciproqnom vrednoxu tog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 138. do 140. strane

3 1 Polazei od primera proizvoda · 1 , kao xto je opisano na 4 3 138. strani Ubenika, uvodimo pojam reciproqne vrednosti broja, razliqitog od nule. Zatim, reximo primer 1 na dnu 138. strane. Podsetimo se da koliqnik definixemo preko proizvoda, pa 9 15 prema toj definiciji izraqunamo koliqnik : . Postupamo kao u 4 8 tekstu na 139. strani Ubenika. Zatim primenimo isti postupak na a c koliqnik : , za c = 0. Dobijamo pravilo za mnoenje razlomaka. b d a d a c za c = 0 je : = · , b d b c d c gde je reciproqna vrednost delioca . c d 1 1 1 7 Reximo sledee primere, odredimo koliqnike 1 : 6 i 4 : 1 . 8 4 6 9 Zatim, delimo razlomak celim brojem. Moemo primeniti navedeno pravilo, jer je reciproqna vrednost prirodnog broja n raz8 1 lomak . Pokaemo to na primeru : 6, prikazanom u Ubeniku. n 5 U sluqaju da je brojilac razlomka deljiv prirodnim brojem, onda se skraivanjem ustvari brojilac deli prirodnim brojem. Onda moemo deliti direktno kao u primeru: 24 : 6 4 24 :6= = . 7 7 7 Reximo primere 2, 3, 4 sa 140. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 140. strane.

134

Razlomci

102. QAS Deljenje razlomaka

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Deljenje u raznim kombinacijama izmeu razlomaka i celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 131. i 132. strana

Obnavljamo pojmove i pravila nauqena prethodnog qasa (tekst Ukratko sa 131. strane). 1◦ Reciproqna vrednost (uqenici rexavaju zadatak 821). 2◦ Pravilo za deljenje razlomaka (rexavamo zadatak: 824). 3◦ Deljenje razlomka celim brojem (rexavamo zadatke: 822 i 823). Zatim, reximo zadatke 825 i 826. Na kraju, rexavamo zadatke 828 i 830 a), b), v). Domai zadatak:

827, 829, 830 g) i d).

Razlomci

135

103. QAS Izrazi. Dvojni razlomci Frontalni rad

Obrada Heuristiqka i dijaloxka metoda

Cilj Sreivanje izraza u kojim figurixu sve qetiri osnovne raqunske operacije. Definisati dvojni razlomak kao koliqnik dva razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 141. do 143. strane

Na poqetku definixemo brojevni izraz i definiciju ilustrujemo sa vixe primera. Uqenici takoe zadaju primere brojevnih izraza, kao na poqetku 141. strane Ubenika. Pri sreivanju izraza bitno je poxtovati redosled operacija: ako nema zagrada, prednost imaju operacije mnoenja i deljenja (”starije” su od sabiranja i oduzimanja); ako ima zagrada, onda se prvo raquna u zagradi, a ako postoji zagrada u zagradi, prednost ima unutraxnja. Vrednost izraza je broj, najqexe razlomak, koji se dobija posle izvrxenih operacija. Izraqunavamo vrednosti izraza navedenih na 141. strani, a rexavamo i primere koje su zadali uqenici. Zatim, definixemo izraz koji predstavlja koliqnik dva razlomka, koji nazivamo dvojnim razlomkom (strana 142.). U Ubeniku su data dva pravila za izraqunavanje vrednosti dvojnog razlomka (svoenje na obiqan razlomak), opisano je na 142. strani. Tu je navedeno xest dvojnih razlomaka (primer 5), a rexenja sluqajeva a), b) i v) navodimo na sledeoj strani. Reximo takoe i sluqajeve g), d), ). Domai zadatak:

Vebe na 143, strani.

136

Razlomci

104. QAS Izrazi. Dvojni razlomci Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Usavrxiti tehniku sreivanja izraza sa razlomcima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 133. do 135. strane

Obnovimo pojmove brojevni izraz i dvojni razlomak i dve varijante sreivanja dvojnih razlomaka (tekst Ukratko na 133. strani.). Rexavamo redom zadatke: 831, 832 g), ), 833 e), 834 g), d), 835 a), b). Zatim, rexavamo zadatak 836 a), b) i 837 a). Na kraju   reximo  i zadatak 837 v), koji svodimo na koliqnik:  1 5 1 1 : 2 + . 2 − 2 6 2 6 Domai zadatak:

832 d), e), 833 v), 834, 836 d), e), ).

137

Pismeni zadatak

105. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavljanje

Rad u homogenim grupama Cilj

Dijalog

Kratak pregled o razlomcima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 86. do 132. strane

Nastavnik postupa kao xto je opisano u ”Pripremi za (prvi) pismeni zadatak” (tok 36. qasa). O izboru zadataka za vebanje odluquje se kad se pripreme zadaci za trei pismeni zadatak. To mogu biti i zadaci koji su rexavani na nekom od prethodnih qasova (ako su nam mnogo vani), kao i oni koji su zadavani za domai rad. Ponoviti i potrebne pojmove, kao decimalni razlomak i njegov zapis u obliku decimalnog broja. Obnavljanje pojmova, ilustrovano jednostavnim primerima, radimo u prvoj polovini qasa. Za drugi deo qasa, nastavnik podeli odeljenje na homogene grupe od 4-6 uqenika, u tri nivoa znanja. Svaka grupa radi zadatke (4-5 zadataka) izabrane u tri nivoa. Prva grupa (elementarni nivo) rexava zadatke oznaqene u Zbirci sa . Druga grupa (srednji nivo) rexava dva zadatka oznaqena sa i 2-3 zadatka oznaqena sa 2. Trea grupa (vixi nivo) radi jedan zadatak oznaqena sa , dva zadatka oznaqena sa 2 i dva zadatka oznaqena sa . Konkretne zadatke, prema proceni nivoa znanja uqenika, bira nastavnik iz Zbirke i pripremi listie sa tekstovima ili koristi na qasu Zbirku zadataka. Dok uqenici rade zadatke, nastavnik ih obiliza i kontrolixe, po potrebi intervenixe. Poslednjnih petnaest minuta qasa koristi da se na xkolskoj tabli demonstriraju rexenja pojedinih karakteristiqnih zadataka, bar po jedan iz svake od tri grupe. Domai zadatak: 43. do 45.)

Radna sveska: Trei pismeni zadatak (str.

138

Pismeni zadatak

106. QAS Trei pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Uprosti dvojni razlomak

9 . 2 2 5

1 3 2. Koliko iznose qetiri treine od 1 : 5 ? 5 3 1 3. Odredi nepoznati broj x ako je 3 = 5, 375 − x. 8 4. Za koliko treba umanjiti zbir brojeva 4,026 i 13,74 da bi se dobio broj jednak razlici brojeva 24,7 i 14,904? 5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve a i b, tako da je   1 1 1 a = 6, 75 − 3 ·1 −3 . b 8 3 3

Grupa B) 1 2 . 1. Uprosti dvojni razlomak 3, 75 2

1 1 2. Koliko iznose tri polovine od 2 : 5 ? 3 4 7 4 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 = x − 2 . 9 18 4. Koliko se moe oduzeti broju 16,3425, pa da dobijena re8 zlika ne bude manja od zbira brojeva i 11,1025? 5 5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve m i n, tako da je   1 1 9 m = 3 · 1, 8 + 7 − . n 3 2 10

Pismeni zadatak

139

Grupa V) 3, 6 1. Uprosti dvojni razlomak . 2 2 5 7 1 2. Koliko iznosi pet treina od 1 : 2 ? 9 9 3 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 − x = 1, 5. 10 3 4. Koji broj treba uveati za 3 da bi dobijeni zbir bio jed4 1 nak razlici brojeva 6,125 i 1 ? 4 5. Odredi  uzajamne proste  prirodne brojeve x i y, tako da je 1 3 2 x = 1 : 3 + 2 + 4, 25 . y 3 4 3 Grupa G) 3 1 10 . 1. Uprosti dvojni razlomak 5, 2

1 2 2. Koliko iznose qetiri treine od 4 : 2 ? 6 9 1 1 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 = x − 1 . 2 6 2 4. U kanti ima 14 litara vode. Koliko litara moemo da 3 11 litara vode?. prospemo, pa da u kanti ne bude manje od 10 12 5. Odredi  uzajamne prosteprirodne brojeve p i q, tako da je 1 2 1 p = 3 : 2 : 1, 8 + 1 · 0, 6 . q 3 5 9 Grupa D) 7 . 1. Uprosti dvojni razlomak 1 5 4 5 1 2. Koliko iznosi pet qetvrtina od 2 : 5 ? 4 8 3 3. Odredi nepoznati broj x ako je 1 + x = 2, 125. 4 4. Za koliko treba poveati razliku brojeva 8,206 i 1,53, da bi ona bila za 2,107 manja od zbira brojeva 3,09 i 7,603? 5. Odredi uzajamne brojeve k i n, tako da je    proste prirodne  1 2 2 1 n = 4 −2 : 8 + 4, 5 · 1 . k 2 3 3 3

140

Pismeni zadatak

107. QAS Ispravka pismenog zadatka

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne grexke, uz uputstva o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

Razlomci

141

108. QAS Mnoenje decimalnih brojeva.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Mnoenje decimalnih brojeva svesti na proizvod celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 143. do 145. strane

Kao xto je prikazano na 143. strani ubenika, rexavanjem primera 1 uoqavamo kako se mnoi ceo broj sa decimalnim (15 · 27, 36). Zatim, u primeru 2, na sledeoj strani, vidimo kako se mnoe dva decimalna broja. Posle razmatranja i primera 3, izvlaqimo zakljuqak – definixemo jednostavno pravilo za mnoenje decimalnih brojeva. Mnoenje decimalnih brojeva sa konaqnim brojem decimala svodi se na mnoenje celih brojeva. Izraqunajmo proizvode zadate u primeru 4 na 145. strani. Uoqimo interesantan proizvod iz sluqaja ): Zatim, navodimo jednostavno pravilo za mnoenje decimalnih brojeva dekadnim jedinicama, raqunajui proizvod iz primera 5. Ukoliko nismo potroxili vreme, do kraja qasa mnoimo decimalne brojeve iz zadatka 847 z), i), j), k) iz Zbirke zadataka. Domai zadatak:

Vebe sa 145. strane.

142

Razlomci

109. QAS Mnoenje decimalnih brojeva Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Uvebati tehniku mnoenja decimalnih brojeva. Posebno uoqiti mnoenje brojevima oblika 0,1 ili 0,001 i sl. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 135. i 136. strana

Ponovimo pravilo za mnoenje decimalnih brojeva, posebno, ako je jedan mnoilac dekadna jedinica. Onda rexavamo zadatak: 844. (Nastavnik objasni na tabli primer iz uvodnog teksta zadatka, pa uqenici rexavaju sluqajeve od a) do z).) Zatim, reximo zadatke 845 i 842. Onda, rexavamo zadatak 846, gde nastavnik postupa kao kod zadatka 844. Zatim, rexavamo zadatak 843 d), ), e), ). Na kraju, rexavamo zadatak 847 a), g), d). Domai zadatak: 849, 850.

841, 843 a), b), v), g), 847 b), v), ), ), 848,

143

Razlomci

110. QAS Deljenje decimalnog broja celim brojem. Frontalni rad Cilj

Obrada Dijalog

Priprema ”terena” za decimalni delilac.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 146. i 147. strana

Prilikom odreivanja decimalnog zapisa proizvoljnog razlomka (videti 73. qas), poxto podelimo brojilac (ceo broj) imeniocem, ne zadravamo ostatak deljenja, nego ”spuxtamo” nule (jer drugih cifara nema) i daljim deljenjem dobijamo decimale u novom zapisu. Sliqno, decimalni broj delimo celim, tako xto kad zavrximo deljenje celog dela, u koliqniku stavimo decimalnu zapetu i nastavimo deljenje. Ovog puta, za razliku od deljenja na 73. qasu, spuxtamo decimale - cifre iza zapete decimalnog deljenika. Na 146. strani ubenika naveden je primer 1 koji uradimo i na xkolskoj tabli, a onda sledi primer 2, koji rexavaju uqenici na mestu. Zatim je navedeno jednostavno deljenje decimalnog broja dekadnom jedinicom, koje se svodi na pomeranje decimalne zapete ulevo. To ilustrujemo primerom 3. Onda, do kraja qasa rexavamo Vebe sa 147. strane. Ako ne uradimo sve navedene zadatke, ostatak dajemo za domai rad. Domai zadatak:

Zbirka: 851, 853, 854.

144

Razlomci

111. QAS Deljenje decimalnog broja decimalnim brojem. Frontalni rad

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Cilj Usvajanje tehnike deljenje decimalnim deliocem (decimalni delilac transformisati u ceo broj). Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 147. do 149. strane

Koristiemo osobinu koliqnika: proxirivanjem, tj. mnoenjem deljenika i delioca istim brojem razliqitim od nule, koliqnik se ne menja (147. strana Ubenika). Ovaj postupak je znatno olakxan kad su u pitanju decimalni brojevi sa konaqnim brojem decimala. Tada proxirivanje vrximo odgovarajuom dekadnom jedinicom, jer, kao xto smo ve uqili, time se samo pomere udesno decimalne zapete. Reximo na tabli primer 1 sa 148. strane: Dalje se deli celim brojem, a to znamo da radimo. Sledei, primer 2, uz eventualnu podrxku nastavnika, rexavaju uqenici na xkolskoj tabli. Zanimljivo je deljenje (i rezultat deljenja) kada je delilac neki od brojeva: 0,1 ili 0,001 itd. Reximo primer 3 sa 149. strane, uz izvoenje odgovarajuih zakljuqaka. Posle toga, reximo i primer 4. Ne treba zaobilaziti ni periodiqne decimalne brojeve, koji a su praktiqno neizbeni, a lako se svode na oblik . Tako dobijamo b obiqno deljenje sa razlomcima. Dakle, rexiemo jox i primere 5 i 6 (obojeni tekst na 149. strani). Domai zadatak:

Vebe sa 149. strane.

Razlomci

145

112. QAS Deljenje decimalnih brojeva Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Izraqunavanje koliqnika a : b, u raznim kombinacijama sa celim brojevima, razlomcima i decimalnim brojevima. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 137. do 139. strane

Ponovimo deljenje decimalnog broja celim brojem, posebno kada je delilac dekadna jedinica. Reximo zadatke 853 a), b), v), 851, 852 v), g), ). Ponovimo pravilo o deljenju sa decimalnim deliocem (tekst Ukratko sa 137. strane). Rexavamo zadatke 856 i 857 a), b), v), g). Zatim, vebamo sluqajeve sa deliocem 0,1, odnosno 0,01 itd. Radimo zadatak 859. Prvo nastavnik na tabli uradi primer koji je rexen u uvodnom tekstu, pa uqenici rexavaju ostale zadatke, od a) do ). Onda, kombinujemo razlomke i decimalne brojeve. Rexavamo zadatke 861 b), 867 a) i 868 a). Na kraju reximo i zadatke 864 a), ). (Ponovo, prvo nastavnik rexi primer iz uvodnog teksta.) Domai zadatak: b), v).

858, 860 a), b), 861 v), 867 b), 868 b), 864 a),

146

Razlomci

113. QAS Mnoenje i deljenje decimalnih brojeva.

Sistematizacija

Rad u nehomogenim grupama Cilj jeva.

Dijalog

Kombinovati operacije mnoenja i deljenja decimalnih bro-

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 135. do 139. strane.

Ponovimo pravilo za deljenje decimalnim brojem sa konaqnim brojem decimala i kad je delilac decimalni broj. Rexavamo zadatke 856 v), g), d), ), 864 b), g). Rexavamo jednostavnije izraze, uz podseanje da su mnoenje i deljenje operacije ”starije” od sabiranja i oduzimanja. Rexavamo zadatke: 847 e), z), i), j), k), 850, 852, 855, 861 a), v), 862 b), 867 v), 866, 868 b). Domai zadatak:

860, 864 d), e), 865, 868, 869.

147

Razlomci

114. QAS Jednaqine oblika: ax = b, x : a = b, a : x = b, ax ± b = c Frontalni rad

Tok qasa

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Osnovni tekst

Ubenik, od 150. do 152.

Kao xto je opisano u Ubeniku, koristei se osobinama mnoenja i deljenja i koristei iskustva sa jednaqinama obraenim na 92. qasu, rexavamo jednaqine zadatih oblika. Nastavnik postavi problem iz primera 1 i navodi uqenike da odrede nepoznatu veliqinu i postave odgovarajuu jednaqinu. Sada, a tako je bilo i ranije i treba poxtovati i ubudue, svako rexenje jednaqine se proverava. Rexavajui jox i primere 2 i 3, dolazimo do postupka za rexavanje jednaqina oblika: ax = b i x : a = b. Nastavnik naglaxava zbog qega je u oba sluqaja neophodno da bude a = 0 (jer deljenje nulom nije definisano). Zatim, rexavamo jednaqinu oblika a : x = b, koristei se definicijom deljenja. Onda, nastavnik izvede na tablu jednog uqenika da rexi primer sa dvojnim razlomkom, naveden (plavi tekst) na 151. strani. Na kraju, rexavamo i jednaqine kod kojih se uz nepoznatu pojavljuje i sabirak, tj. rexavamo jednaqinu oblika ax±b = c. Koristimo se iskustvima koje smo stekli pri rexavanju ranije prouqenih jednaqina (na primer: x − a = b). Primer 4 rexavaju uqenici na tabli. Takoe reximo i primer 5 sa 152. strane. Domai zadatak:

Vebe sa 152. strane.

148

Razlomci

115. QAS Jednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Rexavanje jednaqina navedenih tipova i primena jednaqina.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 140. do 142. strane

Za svaki od oblika jednaqina obraenih prethodnog qasa, ponovimo postupak rexavanja uzimajui zadatke iz Zbirke. ax = b: zadatak 871.   x x : a = b odnosno = b : zadatak 872. a   a a : x = b odnosno = b : zadatak 874 a), b), v), g). x ax ± b = c: zadaci 875 a), b), g) i 876 a), v). Zatim, rexavamo zadatke 873 v), e), ), 879, 881. Domai zadatak: 46. do 49.)

Radna sveska: Deveta kontrolna veba (str.

149

Razlomci

116. QAS Deveta kontrolna veba. (Mnoenje i deljenje. Jednaqine.)

1. 2.

3.

4.

1. 2.

3.

4.

1. 2.

3.

4.

Kontrola znanja

Grupa A) Izraqunaj:  0, 21 : (0, 75 − 0, 012 : 0, 02) − 1, 73 · 0, 16. 2 1 Izraqunaj: 4 · 17, 04 : 21, 6 + 4, 48 : 2 . 2 3 3 3 4 . Uprosti dvojni razlomak 1 2 5 −3 3 6 3 1 Rexi jednaqinu: 4, 5 = 2 · x − . 4 8

Grupa B) Izraqunaj:  (1, 53 : 1, 5 +17, 4 : 29) · 0, 25 − 0, 005. 1 3 Izraqunaj: 3 + 2, 625 : 1 − 2, 55 : 1, 25. 4 4 5 1 1 +1 6. Uprosti dvojni razlomak: 2 5 6 1 Rexi jednaqinu: 1, 2 · x − 3 = 1, 25. 4

Grupa V) Izraqunaj: (21, 85  5 − 7, 2 · 0, 25) · 2, 25.  : 43, 7 + 2, 3 1 + : 0, 375. Izraqunaj: 2, 7 : 3, 5 − 1 4 4 5 2 8 . Uprosti dvojni razlomak 1 1 2 +1 6 3 1 1 Rexi jednaqinu: 2 − 1 · x = 1, 5. 4 4

150

Razlomci

1. 2.

3.

4.

Grupa G) Izraqunaj:  460, 08 : 129,6 + (21, 018 −7, 548) : 8. 1 1 1 3 Izraqunaj: 2, 75 + 3 : 1 − 17 : 6 + 5, 5 . 2 4 2 4 1 1 4 −2 2. Uprosti dvojni razlomak 6 1 2 2 +1 3 2 1 1 Rexi jednaqinu: = 2, 75 − 2 · x. 4 2

Grupa D) 1. Izraqunaj:  ((7, 803 + 8, 547)  ·2, 5 − 3, 3): 4,5.  3 2 1 2. Izraqunaj: 563 : 15, 02 · 3 − 1, 5 : 2 − 1, 9 . 4 4 5 1 2 − 1, 2 . 3. Uprosti dvojni razlomak 2 1 5 5 1 1 4. Rexi jednaqinu: 3 = 4 − 0, 625x. 4 7

Razlomci

151

117. QAS Nejednaqine oblika: ax ≷ b, x : a ≷ b, a : x ≷ b Frontalni rad

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Cilj Rexavanje nejednaqina navedenih tipova, analogno rexavanju odgovarajuih jednaqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 152. do 154. strane

Nejednaqine navedenih oblika rexavamo sliqno odgovarajuim jednaqinama, koristei se osobinama mnoenja i deljenja. U to se uverimo rexavajui primere 1 i 2. U primeru 1 ograniqili smo rexavanje zahtevom da se trae 3 rexenja u skupu prirodnih brojeva. Zbog toga iz n ≤ 2 , zakljuqu4 jemo da je n = 1 ili n = 2. Posle svakog rexenog primera izvodimo zakljuqak (pravilo) o rexavanju nejednaqina tog tipa. Na kraju reximo primer 3 sa 154. strane. Neka od dobijenih rexenja, po izboru nastavnika, predstavljamo na brojevnoj polupravoj. Domai zadatak:

Vebe sa 154. strane.

152

Razlomci

118. QAS Nejednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Rexavanje nejednaqina navedenih tipova i njihova primena.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: 142. i 143. strana

Ponovimo postupak rexavanja za svaki od upoznatih oblika nejednaqine. ax ≷ b: zadatak 891. x : a ≷ b: zadatak 892. a : x ≷ b: zadatak 895 a). b), v), g). Reximo jox i nejednaqine iz zadataka 893 a), v), 894 b) i g). Zatim, reximo tekstualni zadatak 896 i na kraju zadatak 898 a), v), g). Domai zadatak: a).

893 b), g), 894 a), 895 ), 897, 898 b), g), 900

153

Razlomci

119. QAS Izrazi. Jednaqine. Nejednaqine. Rad u nehomogenim grupama Cilj

Uvebavanje Dijalog

Uvebavanje tehnike.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 133. do 143. strane

Kao kod qasova pripreme za pismeni zadatak, nastavnik ne planira precizno sadraj ovog qasa unapred, ve neposredno pred realizaciju. Kad sagleda efekte dosadaxnje nastave i rada uqenika i odredi zadatke za kontrolnu vebu, nastavnik izabere zadatke za obradu na danaxnjem qasu. Mogu izbor zadataka iz Zbirke: 808, 809, 810, 830, 833 g), d), 834 v), g), 835 v), g), 837 e), ), 840, 847, 850, 855, 863, 870, 885, 886, 890, 899. Domai zadatak: ni na qasu.

Zadaci sa poslednjeg spiska, koji nisu rexava-

154

Razlomci

120. QAS Razlomci, jednaqine, nejednaqine Rad u homogenim grupama Cilj

Uvebavanje Dijalog

Priprema za kontrolnu vebu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 124. do 143. strane

Nesporan je znaqaj dobre tehnike rada sa razlomcima i primene kroz jednaqine i nejednaqine. Qas se organizuje u dva dela. Prva polovina qasa koristi se za obnavljanje na elementarnom nivou. Oblik rada je frontalni. (Mogui izbor zadataka za ovu namenu je iz Zbirke, i to: 809 g), d), 810 d), 830, 834 v), 839, 875 g), 893 g)). Onda, nastavnik razvrsta uqenike u tri grupe, po nivou znanja: A) elementarni nivo, B) srednji nivo i V) vixi nivo. Poeljno je da se sami uqenici opredeljuju o izboru grupe. Onda se ove grupe ”usitne” na manje homogene grupe od 4 do 6 uqenika. Manje grupe se rasporede u susedne klupe. Naqin izbora zadataka i organizovanje rada do kraja qasa opisan je u planu rada za drugi deo 105. qasa.

Razlomci

155

121. QAS Aritmetiqka sredina

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Povezati pojmove: proseqna vrednost, koliqnik i razlomak.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 154. do 157. strane

Pojam proseka, odnosno proseqne vrednosti qesto se pominje. S obzirom na naqin izraqunavanja, u matematici se to naziva aritmetiqka sredina. Navoenjem primera, kao xto je dato na 154. strani Ubenika, uqenici se navode da problematiku shvate svakodnevnom pojavom i time se zainteresuju. Najpre navedemo pravilo za aritmetiqku sredinu dva broja. Prikazivanjem taqaka A(a), B(b) i S(s) na brojevnoj polupravoj za konkretno izabrane brojeve a i b, nalazimo jedan od razloga zaxto se to zove sredina. (Poeljno je koristiti se lenjirom.) Izraqunajmo jox nekoliko sluqajeva aritmetiqke sredine (proseqne vrednosti), na primer, za brojeve: a) 7 i 25; b) 6 i 19; v) 1,8 i 8,1; 2 5 5 g) 3 i 5 ; d) 3, 2 i 1 . 6 3 15 Zatim, nastavnik na xkolskoj tabli dokazuje vanu osobinu a+b < b. aritmetiqke sredine. Ako je a < b, onda je: a < 2 Ova osobina pokazuje da se izmeu svaka dva razliqita broja nalazi jedan broj. Sledi da je skup razlomaka (na brojevnoj polupravoj) svuda gust, jer se za bilo koja dva, ma koliko bliska broja (taqke na brojevnoj polupravoj), uvek izmeu njih moe smestiti njihova aritmetiqka sredina. Zatim, pokaemo xta predstavlja (kako se raquna) aritmetiqka sredina za vixe od dva broja (156. strana u Ubeniku). Navedene formule ilustrujemo primerima 1, 2, 3 i 4. Na kraju, naglasimo da se kod odreivanja aritmetiqke sredine mora voditi raquna o istoimenim veliqinama, kao xto je istaknuto na 156. strani. Domai zadatak:

Vebe sa 157. strane.

156

Razlomci

122. QAS Aritmetiqka sredina Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Primene aritmetiqke sredine (proseqne vrednosti).

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 144. i 145. strana

Ponovimo pojam: aritmetiqka sredina (proseqna vrednost) za dva broja (tekst Ukratko na 144. strani). Reximo zadatke 901 b), d), e), ), 902 a), g) i 905. Ponovimo pojmove: aritmetiqka sredina za tri, qetiri, pet brojeva. Reximo zadatak 902 b), v). Zatim, rexavamo tekstualne zadatke (primene aritmetiqke sredine): 903, 906, 907, 909. Domai zadatak:

904, 908, 910.

Razlomci

157

123. QAS Razmera

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Praktiqno znaqenje razmere povezati sa pojmovima razlomka i koliqnika. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 157. do 161. strane

Navodei primere kao u Ubeniku (strana 157) nastavnik daje matematiqko znaqenje pojma razmere, koji se quje svakodnevno. Vrlo je bitno da uqenici shvate da razmera (u matematiqkom a smislu koliqnik a : b, a to je i razlomak , gde su a i b uzajamno b prosti brojevi) ima stvarnog smisla samo ako brojevi a i b oznaqavaju iste jedinice iste mere. Treba navesti primere pravilno i nepravilno postavljene razmere (kao na 158. strani Ubenika). Zatim se navode primeri praktiqne primene razmera u kartografiji i crtanju planova (primeri 3 i 6 na 159. i 160. strani). Dalje, uvodi se pojam produene razmere (primer 4) i njena primena u odreivanju sastava smexe ili rastvora (primer 5). Na kraju, objaxnjavamo pojam razmere u geometriji (linijska razmera i razmernik ), kao xto je opisano na 161. strani Ubenika. Domai zadatak:

Vebe sa 161. strane.

158

Razlomci

124. QAS Razmera – primene

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Primena razmera.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 145. i 146. strana

Ponovimo znaqenje pojma razmere dva broja (koliqnik dva uzajamno prosta broja ili neskrativ razlomak) i produene razmere, prema tekstu Ukratko na 145. strani. Reximo zadatak 911. Nastavnik insistira na zakljuqku: razmera imenovanih brojeva ima smisla samo ako brojeve a i b izraavaju iste jedinice mere. Onda, reximo zadatke 912 i 913 a). Zatim, ponovimo primenu razmere u odreivanju mexanja. Za ilustraciju reximo zadatke 914 i 916. Ponovimo pojam produene razmere i njeno znaqenje (na primer: ako je a : b : c = 5 : 1 : 9, onda je a = 5k, b = k i c = 9k). Reximo zadatke 913 b) i 915. Zatim, rexavamo zadatke primene razmere u kartografiji i crtanju planova: 917, 918, 920, 921. Reximo i problemski zadatak 922. Domai zadatak:

919, 923, 924, 925.

Razlomci

159

125. QAS Aritmetiqka sredina i razmere Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Sistematizovanje ove primene operacija sa racionalnim brojevima, sa teixtem na ”praktiqne” primere. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 144. do 146. str.

Obnovimo pojam aritmetiqke sredine (i formule) za dva, tri, qetiri broja. Za svaki navedeni sluqaj uqenici sami sastave ”zadatak” i rexavaju ga na tabli. Zatim, rexavamo zadatke: 901 a), v), g), z), 902 a), g), d). Onda rexavamo problem iz odeljenja. Nastavnik proqita ocene sa poslednje pismene vebe, a uqenici raqunaju proseqnu ocenu. a+b < b, pa Podsetimo se na osobinu: ako je a < b, onda je a < 2 rexavamo zadatak. 1◦ Koristei se osobinama aritmetiqke sredine odredi tri broja a, b, c, tako da je m < a < b < c < n, gde su brojevi m i n 4 3 dati: a) m = 0, 7 i n = 0, 8; b) m = i n = . 7 7 Ponovimo pojam razmere a : b i produene razmere a : b : c, pa rexavamo zadatke. 1 8 2◦ Uglovi α i β su komplementni. Ako je α : β = 8 : 11 , 9 3 odredi α i β. 3◦ ”Naqinjena je legura mexanjem antimona, bakra i kalaja u razmeri 1 : 7 : 3. Koliko je potrebno svakog od ovih metala za 5,5 kg legure?

Na autokarti, koja je nacrtana u razmeri Domai zadatak: 1 : 400 000, vexataqko jezero na Drini, uzvodno od Zvornika, dugo je 47,5 mm. Kolika je stvarna duina Zvorniqkog jezera?

160

Osna simetrija

126. QAS Osna simetrija u ravni Frontalni rad

Obrada Demonstrativna i heuristiqka metoda

Cilj Povezati simetriju iz prirode sa preslikavanjem taqaka i figura. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 162. do 166. strane

Nastavnik objaxnjava znaqenje pojma simetrije i njen veliki znaqaj u nauci i prirodi (162. strana). Zatim, pokazuje pripremljene modele iz prirode, na kojim se istiqe lepota i sklad simetrije (kao na slikama 1, 2 i 3). Navesti primer preslikavanja lika u ogledalu kao simetriju u prostoru. Nastavnik naglaxava: baviemo se simetriqnim preslikavanjem likova i osobinama simetriqnih likova. Ponovo pokazuje sl. 1, 2 i 3 (i eventualno jox neke pripremljene crtee) i pokazuje pravu s, koja ima ulogu ogledala - likovi se preslikavaju preko ”ogledala” s. Zato ovo preslikavanje nazivamo simetrija u odnosu na pravu ili osna simetrija. Prava s je osa te simetrije. Sada pokaemo kako se lik nacrtan na papiru preslikava u simetriqan, savijanjem papira (slika 4). Zatim, definixemo osno simetriqne taqke (strana 163). Dalje, na primerima, vebamo preslikavanje simetrijom u odnosu na datu pravu. Preslikavamo prvo taqke (primeri 1 i 2), zatim dui i prave (primeri 3 i 4) i trouglove (primer 5). U poqetku poeljno je forsirati crtanje u sveskama sa kvadratiima, dok se uqenici ne nauqe da je osa normalna na dui koje spajaju simetriqne taqke. Veoma je vano stalno isticati da su osno simetriqne figure podudarne (mogu se poklopiti, na primer, savijanjem papira). Na kraju konstruixemo simetriqne likove u zadatku 6. Domai zadatak:

Zbirka: 926, 927, 928.

Osna simetrija

161

127. QAS Osna simetrija

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Konstruktivni aspekt osne simetrije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 147. do 150. strane

Prvu polovinu qasa iskoristimo za bolje upoznavanje simetrije, tako xto odreujemo simetriqne likove i vrximo preslikavanje simetrijom na karo papiru. Rexavamo redom zadatke 929, 930, 928. Zatim, nastavnik postavi zadatak: ”Svaki uqenik neka nacrta jedan trougao u svesku (na karo papiru) i izabere za osu simetrije jednu liniju koja postoji na karo papiru. Tu liniju pojaqa olovkom u boji. Zatim, nacrta simetriqan trougao.” Nastavnik obilazi uqenike, kontrolixe, ispravlja, ohrabri, pohvali. Onda rexavamo zadatke 931, 932 i 933. Na kraju, uqenici preslikaju ”pristanixte” iz zadatka 934, simetriqno u odnosu na horizontalnu liniju (u sredini slike, pojaqana), kao osu simetrije. To je ”refleks” (simetriqna slika). Nastavnik ponovo kontrolixe rad uqenika na mestu. Domai zadatak: Zbirka: 935 i specijalni zadatak: ”Svaki uqenik da nacrta neki jednostavan pejza, po ugledu na zadatak 934, pa odredi simetriqan lik u odnosu na neku horizontalnu i u odnosu na neku vertikalnu pravu (kao elektriqni stub).” Najinteresantnijim zadacima sleduje nagrada u xkolskom dnevniku.

162

Osna simetrija

128. QAS Osno simetriqne figure

Frontalni rad Cilj

Obrada Dijaloxka i heuristiqka metoda

Uoqiti figure koje imaju ose simetrije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 166. do 168. strane

Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli jedan krug (uqenici ga slede crtajui u svojim sveskama). Zatim nacrta jednu pravu kroz centar kruga. Postavlja pitanje: ”Vidite li ovde neku simetriqnost?” Uqenici otkrivaju da je nacrtana prava osa simetrije, a polukrugovi koje ona odreuje, simetriqni likovi. To isto uoqavaju i na svojim crteima. Zatim, uqenici crtaju taqke simetriqne taqkama A, B, C, koje nastavnik uzima na nacrtanoj krunici (Uqenici izlaze jedan po jedan na tablu, ali crtaju i u svojim sveskama). Pitanjima nastavnik navodi uqenike da zakljuqe: taqkama A, B, C na krunici odgovaraju simetriqke taqke A1 , B1 , C1 , koje su na istoj krunici. Ovakve figure, koje se preslikavaju u sebe, su osno simetriqne (tekst na 166. strani). Dalje, prouqavamo osno simetriqne figure, koje smo ranije upoznali. (Uqenici sami otkrivaju ili utvrde posle pitanja nastavnika: ”Da li je figura ”ta i ta” osno simetriqna?”.) Takoe, uoqavaju koliko osa simetrije ima svaka od njih i identifikuju te ose. (Pratimo tekst na 167. i 168. strani.) Uoqavamo simetrije prave, dui, pravougaonika, kvadrata. Usput reximo primere 1, 2 i 3. Na kraju reximo Vebe na 168. strani. Domai zadatak:

Zbirka: 936, 937, 938, 939, 954.

Osna simetrija

163

129. QAS Osno simetriqne figure

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Ispitivanje osno simetriqnih figura.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 150. do 154. strane

Prouqavanje simetriqnosti figura poqinjemo rexavanjem zadatka 939. Zatim, rexavamo zadatke 940, 938, 941, 942. Onda, rexavamo enigmatski zadatak 943 pa zadatak 951. Upoznajemo simetriqnost ravnih geometrijskih figura. Rexavamo zadatke 945, 946, 947, 948. Na kraju reximo i zadatak 949, pa zadatak 951. Domai zadatak: 50. do 53.)

Radna sveska: Deseta kontrolna veba (str.

164

Osna simetrija

130. QAS Deseta kontrolna veba (razmere, aritmetiqka sredina, simetrija)

Kontrola znanja

Grupa A)

3 3 1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 5,21; 1 ; 10; 2 . 5 4 1 2. Razmeru 4, 2 : 3 dovedi na najjednostavniji oblik. 2 3 1 3. Rexi nejednaqinu 1 : 0, 5x < 3 . Rexenje prikai na bro8 4 jevnoj pravoj. 4. Nacrtaj trougao ABC i pravu s, kao xto je ovde na slici. Zatim, trougao ABC preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici qine dva jednaka kruga. Olovkom u boji nacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Osna simetrija

165

Grupa B)

3 4 5 13 1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: ; ; ; . 4 5 8 40 2. Odredi brojeve a, b i c, ako je a : b : c = 2 : 7 : 6 i a + b + c = 18. 1 2 3. Rexi nejednaqinu 2, 5x − 3 ≤ 2 . Rexenje prikai na bro3 6 jevnoj pravoj. 4. Nacrtaj qetvorougao KLM N i pravu s, kao ovde na slici. Zatim, qetvorougao KLM N preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Na slici je kvadrat sa jednom dijagonalom. Olovkom u boji nacrtaj sve ose simetrije ove figure. Grupa V)

1 3 1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 5,2; 3 ; 8; 4,7; 2 ; 6. 5 5 4 1 2. Razmeru 8 : 4 dovedi na najjednostavniji oblik. 3 9 3 3 3. Rexi nejednaqinu 4, 5 − x ≥ 1 . Rexenje prikai na bro4 4 jevnoj pravoj. 4. Nacrtaj trougao P QR i pravu s, kao ovde na slici. Zatim, trougao P QR preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici predstavljaju dva jednaka kvadrata. Olovkom u boji nacrtaj sve ose simetrije ove figure.

166

Osna simetrija

Grupa G)

1 3 1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 3,2; 2 ; 4; 6 ; 7,8. 2 4 2. Odredi brojeve x, y i z, ako je x : y : z = 5 : 8 : 7 i x+y−z = 24. 7 1 3. Rexi nejednaqinu 3, 5x : 4 < 1 . Rexenje prikai na bro5 8 jevnoj pravoj. 4. Nacrtaj qetvorougao ABCD i pravu s, kao ovde na slici. Zatim, qetvorougao ABCD preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Na slici je krug sa jednim svojim preqnikom. Olovkom u boji oznaqi sve ose simetrije ove figure. Grupa D)

7 3 1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 4 ; 2 ; 5,3. 5 10 2 2. Razmeru 7, 2 : 5 dovedi na najjednostavniji oblik. 5 1 3 3. Rexi nejednaqinu 3 : x + 2, 4 ≤ 4 . Rexenje prikai na 8 5 brojevnoj pravoj. 4. Nacrtaj trougao XY Z i pravu s, kao xto je ovde na slici. Zatim, trougao XY Z preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici obrazuju dva jednaka kvadrata. Olovkom u boji oznaqi sve ose simetrije ove figure.

Osna simetrija

167

131. QAS Simetrala dui Frontalni rad Cilj

Obrada Heuristiqka metoda

Uoqiti osobine i nauqiti konstrukciju simetrale dui.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 168. do 171. strane

Nacrtamo neku kosu pravu s. (Svi crtaju – jedan uqenik na xkolskoj tabli, a ostali u svojim sveskama.) Nastavnik izabere taqku A van prave s (i uqenici na svojim crteima) i zahteva da se konstruixe taqka B, koja je simetriqna sa A u odnosu na s. Oznaqimo preseqnu taqku S prave s i dui AB. Definixemo simetralu date dui (koristimo nacrtanu du AB i pravu s). Odmah uoqavamo osnovne osobine: 1◦ Simetrala je normalna na du (s normalna na AB). 2◦ Simetrala polovi du (AS = SB). 3◦ Svaka taqka M simetrale jednako je udaljena od krajeva dui (AM = M B, gde je M ∈ s). Zatim, rexavamo zadatak: konstruisati simetralu date dui (slika 19). Razmatramo neke osnovne konstrukcije u kojima se koriste osobine simetrale dui. Treba istai da simetrale omoguavaju podele dui na polovine, qetvrtine itd. Rexavamo primere 1 (konstrukcija normale iz date taqke na datu pravu), 2 i 3. Radi uvebavanja konstrukcije normale iz primera 1, preporuqljivo je rexiti i po jedan sluqaj kad je prava p vertikalna ili kosa, a ne samo kao na slikama 20. i 21. Takoe, rexavamo problem: Konstruisati taqku M , simetriqnu datoj taqki N u odnosu na datu pravu p, koristei se samo xestarom (slika 21). Na kraju reximo i primere 4 i 5 na 171. strani. Domai zadatak: Zbirka: 961, 967, 965 a), i poseban zadatak: Nacrtaj kosu pravu p i oznaqi taqku A na pravoj i taqku B van prave. Zatim, koristei se simetralom dui konstruixi pravu a kroz A i pravu b kroz B, normalne na p.

168

Osna simetrija

132. QAS Simetrala dui

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uoqiti primenu simetrale dui.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 155. i 156. strana.

Ponovimo definiciju simetrale dui i njene osobine (tekst Ukratko sa 154. i 155. strane). Rexavamo elementarne konstrukcije, koje nastavnik postavlja na xkolskoj tabli, a uqenici crtaju u svojim sveskama. 1. Datoj dui AB (nastavnik nacrta du) konstruixi simetralu. 2. Iz date take N konstruixi normalu na datu pravu p (nastavnik nacrta pravu p i taqku N ). Poeljno je izabrati nekoliko razliqitih poloaja prave i taqke. Zatim, rexavamo zadatke: 962, 963, 964, 966, 965 b), 967, 973. Domai zadatak:

968, 969, 970, 971, 975.

Osna simetrija

169

133. QAS Simetrala ugla

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Uoqiti osobine simetrale ugla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 171. do 174. strane

Nacrtamo pravu s i taqke P i Q koje su simetriqne u odnosu na s. Izaberemo taqku O prave s, tako da O nije na dui AB (slika 24 na 171. strani). Konstruixemo poluprave Op i Oq. Pravu s nazivamo simetralom ugla P OQ. Uqenici lako, na osnovu osobina simetrije zakljuqke da simetrala polovi ugao. Nastavnik, koristei se oqiglednoxu simetrije i do sada steqenim znanjima dokazuje tvrenje da simetrala polovi ugao. (Koristiti obojeni tekst oznaqen crvenom zvezdicom na 172. strani). Dobro bi bilo da se uqenicima naglasi da je to dokaz tvrenja i da emo sledee xkolske godine qesto biti u prilici da dokazujemo vana tvrenja. Zatim, nauqimo kako se konstruixe simetrala ugla (primer 1, slika 25). Koristei se simetralom moemo konstruisati polovinu ugla, zatim qetvrtinu (polovina polovine), osminu itd. Rexavanjem primera 2 pokazujemo kako moemo bez uglomera konstruisati uglove od 45◦ (polovina pravog ugla) i od 22◦ 30 (polovina ugla od 45◦ ). Onda, takoe bez upotrebe uglomera, konstruixemo ugao 67◦ 30 . Zatim, pokaemo (dokaemo) da je svaka taqka simetrale ugla jednako udaljena od krakova (slika 27). Reximo jox i primere 3 i 4 (173. i 174. strana). Domai zadatak:

Zbirka: 976, 977, 978.

170

Osna simetrija

134. QAS Simetrala ugla

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uoqiti primenu osobina simetrale ugla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 157. i 158. strana

Ponovimo pojam simetrala ugla (tekst Ukratko sa 157. strane). Ponovimo osobine simetrale ugla: 1) Simetrala polovi ugao. 2) Svaka taqka simetrale jednako je udaljena od krakova. Ponovimo konstrukciju simetrale ugla. Nastavnik postavi zadatak: Nacrta jedan oxtar ugao i trai da mu se konstruixe simetrala s. Zatim, na simetrali izabere taqku S, koja je razliqita od temena i trai da se konstruixu rastojanja SM i SN taqke S od krakova ugla. Xestarom proveriti da li je SM = SN . Uqenici moraju shvatiti da se rastojanja taqke S od krakova konstruixu kao dui SM i SN koje su normalne na krakove ugla. Zatim, rexavamo zadatke: 981, 979, 980. Onda rexavamo zadatke 982 i 983. Na kraju, reximo i zadatke 984 i 987. Domai zadatak:

Zbirka: 985, 988, 990.

171

Osna simetrija

135. QAS Osna simetrija

Sistematizovanje

Rad u homogenim grupama Cilj

Dijalog

Povezati nauqene osobine osne simetrije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 148. do 158. strane.

Osnovni je zadatak da se obnove i utvrde sledei pojmovi. 1. Pojam osne simetrije. Konstrukcija taqke koja je simetriqna datoj taqki. 2. Datu figuru preslikati simetriqno u odnosu na datu pravu. 3. Odrediti da li je figura osno simetriqna i ako jeste, koje su joj ose simetrije. 4. Simetrala dui: konstruisanje i osobine. 5. Simetrala ugla: konstruisanje i osobine. Za svaki obnovljeni pojam postavlja se elementarni problem (po potrebi i vixe primera, kao kod deljenja dui i uglova na polovine, qetvrtine itd). Primeri za ovu svrhu mogu se uzeti i iz Zbirke. Naqin izbora zadataka i rexavanja opisan je u okviru plana rada 105. qasa.

172

Pismeni zadatak

136. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavljanje

Rad u homogenim grupama Cilj

Dijalog

Priprema uqenika za pismeni zadatak.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 133. do 159. strane.

Na osnovu planirane provere znanja na pismenom zadatku, nastavnik izabere desetak zadataka i rexava ih na ovom qasu. Izbor zadatka je takav da uqenike direktno upuuje na ponavljanje potrebnih znanja. Zadaci se mogu uzeti preteno (ili svi) iz Zbirke. Prvih pet zadataka su lakxi i slue da se svi uqenici podsete na neophodne pojmove. Zatim, nastavnik formira homogene grupe i dalje radi na naqin predvien za ovakve grupe. Uputstvo je dato u okviru plana za 105. qas. Domai zadatak: 54. do 56.)

Radna sveska: Qetrti pismeni zadatak (str.

Pismeni zadatak

173

137. QAS Qetvrti pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A)   3 1 6 +5 . 4 2 1 1 2. Rexi jednaqinu: 2, 1 + x : 3 = 4 . 3 2 3. U xkoli ima nastavnika i uqenika ukupno 1444. Broj devojqica prema broju deqaka je 5 : 4. Deqaka ima osam puta vixe nego nastavnika. Koliko je u toj xkoli nastavnika? 4. Preslikaj poluprave Oa, Ob i Oc sa slike. Zatim, konstruixi simetralu p ugla aOb i simetralu q ugla bOc. Ako je aOb = 27◦ i bOc = 48◦ , koliki je pOq? 5. Nacrtaj du M N = 7 cm. Zatim, koristei xestar i lenjir (bez merenja duine), odredi taqku P na dui M N , 3 tako da je M P = M N . 8 Grupa B) 5 7 1 +2 6. 1. Uprosti izraz 15 4, 3 1 1 2. Rexi nejednaqinu: 4 − 1, 4x ≤ 2 . 4 2 3. Za 6 kg jabuka i 9 kg kruxaka plaeno je 630 dinara. Cene jabuka i kruxaka obrazuju razmeru 3 : 5. Kolike su cene jabuka i kruxaka? 4. Izaberi proizvoljnu taqku S. Zatim, nacrtaj jedan ugao, tako da taqka S bude u tom uglu i to na njegovoj simetrali. 5. Nacrtaj ugao β kao na slici. Zatim, bez 1 upotrebe uglomera, konstruixi ugao α, tako da je α = β. Osenqi 4 unutraxnost ugla α. 1 1. Uprosti izraz 17 : 2

174

Pismeni zadatak

 1. Uprosti izraz

Grupa V)    5 1 5 2 − : 1, 5 + 1 . 6 2 6

1 1 2. Rexi jednaqinu: 2 − 1 x = 0, 35. 4 2 3. Na karti, qija je razmera 1 : 80 000, rastojanje izmeu dva mesta predstavlja du od 12,5 cm Za koje e vreme biciklista prei ovo rastojanje, ako vozi brzinom od 15 km na sat? 4. Nacrtaj prav ugao aOb i njegovu simetralu s. Koliki je ugao aOs? Bez uglomera nacrtaj ugao od 22◦ 30 . 5. Nacrtaj du CD = 7, 5 cm. Zatim, koristei xestar i lenjir (bez merenja duine), odredi taqku P na dui CD, tako da je 3 DP = CD. 4 Grupa G) 1 3 1 :1 5 5 . 1. Uprosti izraz 1 1 · 0, 5 3 4 3 2. Rexi nejednaqinu: 11 − 3, 5x ≥ 1 . 5 5 3. Mexanjem bakra i kalaja u razmeri 3 : 2 dobili smo 105 kg bronze. Koliko je upotrebljeno bakra? 4. Nacrtaj par uporednih uglova xOy i yOz. Zatim, nacrtaj simetralu p ugla xOy i simetralu q ugla yOz. Kojoj vrsti uglova pripada pOq. Obrazloi odgovor. 5. Nacrtaj krunicu k sa centrom O i izaberi u njoj taqku S, kao xto je prikazano na slici. Zatim, konstruixi tetivu AB krunice k, tako da je S sredixte tetive.

Pismeni zadatak

175

Grupa D)    2 3 3 1. Uprosti izraz 4 · 3 : 1, 8 · 3 . 7 8 14 1 1 2. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 2 : x − 1 . 4 8 3. Lana, Milica i Stefan uplatili su tiket za LOTO. Lana je dala 120 dinara, Milica 150 dinara i Stefan 90 dinara. Dobili su 30 000 dinara. Kako e poxteno podeliti dobitak? 4. Nacrtaj pravu p, taqku S na pravoj i taqku M van prave, kao na slici. Zatim, odredi taqku N , tako da prava p bude simetrala ugla M SN . 5. Na slici je prav ugao β. Koristei samo lenjir i xestar bez korixenja uglomera, konstruixi ugao od 77◦ 30 . 

176

Pismeni zadatak

138. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistematske i karakteristiqne grexke uz uputstva o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajen, standardan naqin analize postignutih rezultata. Preostali qasovi do zavrxetka nastave ostavljeni su u rezervi. O naqinu realizacije ovih qasova odluqie nastavnik, prema proceni trenutne situacije.

Osna simetrija

177

139. QAS Konstrukcije na osnovu simetrije Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Primene osobina osne simetrije u rexavanju konstruktivnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 174. do 176. strane.

Na poqetku qasa istiqemo vane osobine simetrije koje e biti korisne za rexavanje konstruktivnih zadataka. 1◦ Ako su A i B taqke simetriqne u odnosu na pravu s onda je AB normalno na s i prava s polovi du AB. Ako je M taqka prave s, onda je AM = M B, jer je taqka M simetriqna samoj sebi. (Ovo su ujedno i osobine simetrale s dui AB. 2◦ Ako su a i b prave simetriqne u odnosu na pravu s, onda se one seku u taqki na pravoj s, ili su a, b i s tri paralelne prave. 3◦ Sve taqke koje su jednako udaljene od dve date taqke A i B jesu taqke simetrale s dui AB. 4◦ Sve taqke koje su jednako udaljene od dve date prave a i b jesu taqke koje pripadaju simetralama dva para unakrsnih uglova, odreenih presekom pravih a i b. U Ubeniku na stranama od 174. do 176. detaljno su rexeni primeri od 1 do 6. Ove primere treba rexavati na qasu. Sve xto treba komentarisati napisano je u Ubeniku. Ako ima vremena treba rexavati na qasu i vebe na kraju 176. strane. Ako nema vremena za rad, ostavljamo ih za domai rad. Domai zadatak:

Zbirka: 991, 992.

178

Osna simetrija

140. QAS Konstrukcije

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Heuristiqka metoda

Primena osobina simetrale dui i simetrale ugla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 159. strana.

Ponovimo osobine simetrale dui i izvrximo dve elemenatarne konstrukcije. 1◦ Simetralu date dui AB (du odredi nastavnik). 2◦ Normalu iz date taqke N na datu pravu p, bez korixenja pravouglog trougla. (Nastavnik na tabli nacrta pravu p i izabere taqku N .) Ponovimo osobine i konstrukciju simetrale ugla. Zatim, rexavamo zadatke 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997. Domai zadatak:

998, 999, 1000.

Nastavna tema: 141. qas Tip qasa: Nastavna tema: 142. qas Tip qasa: Nastavna tema: 143. qas Tip qasa: Nastavna tema: 144. qas Tip qasa:

ТЕСТОВИ

ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗА ПРОВЕРУ НИВОА ЗНАЊА ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

АУТОРИ ТЕСТОВА: Марија Ђукић, ОШ „Милица Павловић”, Чачак Никола Видњевић, ОШ „Илија Бирчанин”, Земун Поље Хасим Бућан, ОШ „Јошаница”, Нови Пазар Идриз Вејселовић, ОШ „Вук Караџић”, Нови Пазар

Прве радне недеље сви ученици V разреда раде исти (следећи) тест у исто време

ИНИЦИЈАЛНИ ТЕСТ Пети разред

Одељење:

Школа: Име и презиме:

1. а) Напиши цифрама број:

ЗАДАЦИ

двеста хиљада педесет осам ____________________________ четиристочетири хиљада четрдесет ____________________________ Број бодова

б) Напиши речима број 810018 _______________________________________________________

2. Изрази у датим јединицама мере: а) 7 km = ____________ m

б) 9002 m = _________ km ________m

в) 51489 g = _____ kg ______ g г) 505050 g = _________ kg ________ g

Број бодова

д) 8 месеци 7 дана и 11 часова = __________________ часова

3. Упиши цифру тако да важи неједнакост

Број бодова

☐9

14179 < 141

4. Упиши цифрама и речима колико је новца Софија уштедела.

Број бодова

Софија је уштедела _______, ____________________________ динара. (цифрама)

(словима)

2

5. Запиши речима који број се добија када се броју 78 с леве стране допише цифра 2, а са десне стране цифре 9. Број бодова

6. Запиши испод слике какав је дати угао:

Број бодова

7. Израчунај површину квадрата са слике. Број бодова

8. Који део круга представља осенчени део фигуре. Заокружи тачан одговор. а)

7 ; 9

б)

2 ; 7

в)

2 ; 8

г)

2 . 9

Број бодова

3

9. Шта је приказано на сликама? Испод слике упиши назив.

Број бодова

10. а) Израчунај збир бројева 352 и 899 б) Израчунај разлику бројева 1500 и 579. Број бодова

11. Израчунај производ бројева 153 и 13. Број бодова

4

12. Спој изразе са њиховим вредностима: а) за 12 већи од 132

•

• 1584

б) за 12 мањи од 132

•

• 144

в) 12 пута већи од 132

•

• 120

г) 12 пута мањи од 132 •

Број бодова

• 11

13. Нађи најмањи и највећи троцифрени број који се записује помоћу цифара 2, 3, 7, 8, 5, а да се цифре: а) не понављају

______________________________

б) понављају

______________________________

Број бодова

14. Израчунај вредност израза 1456 + 13 · 152. Број бодова

15. Реши дате једначине и провери решење: а) x + 256 = 459 б) x – 27 = 145 Број бодова

в) x · 9 = 171

5

БОДОВАЊЕ ТЕСТА 1. Сваки тачан одговор по 1 бод: 1 + 1+ 1 = 3 бода. 2. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 бодова. 3. Свако тачно решење по 1 бод, укупно 2 бода. 4. 1 + 1 = 2 бода. 5. 2 бода. 6. 1 + 1 + 1 + 1 = 4 бода. 7. 3 бода. 8. 2 бода. 9. 8 пута по 0,5 бода, максимум 4 бода. 10. 1 + 1 = 2 бода. 11. 3 бода. 12. 1 + 1 + 1 + 1 = 4 бода. 13. а) 1 + 1 б) 1 + 1, укупно 4 бода. 14. 4 бода. 15. 2 + 2 + 2 = 6 бода. Укупан број освојених бодова, помножен са 2, даје одговор на питање: „Колико је (изражено у процентима) уписани ученик оспособљен за праћење наставе математике.”

6

7

ПОЛУГОДИШЊИ ТЕСТ Пети разред

Одељење:

А

Група:

Школа: Име и презиме:

ЗАДАЦИ

1. Спој како је започето: сабирак

умањилац +

умањеник

делилац

збир =

разлика

чинилац

сабирак

производ

дељеник

чинилац

количник

2. На цртицама задовољено:

упиши

одговарајуће

елементе

скупа,

тако

{2, _____, x, y} ∩ {3, y, _____ } = {5, _____ }

Број бодова

да

буде

Број бодова

3. Сви ученици једног одељења,њих 30, данас је одговарало математику или српски језик. Од 20 ученика који су одговарали српски језик, 17 није одговарало математику. Колико ученика је одговарало: а) оба предмета Број бодова

б) само математику в) само из једног предмета?

4. Колико чланова има низ бројева: Број бодова

а) 13, 14, 15, 16, ..., 81 б) 13, 15, 17, 19, ..., 81

5. Посматрај слику, а затим знацима ∈, ∉ попуни празна места: A

☐l

В

☐l

C

☐l

D

☐l

Број бодова

8

6. Која фигура је приказана на слици? Одговор ________________________ Шта означава који број: 1. _______________________________ 2. _______________________________ 3. _______________________________

Број бодова

4. _______________________________

7. Може ли се у кружници чији је пречник 2 cm 5 mm нацртати тетива дужине: а) 24 mm Број бодова

б) 25 mm в) 26 mm

8. Одреди мере непознатих углова са слике α = _______________ β = _______________ Број бодова

γ = _______________

9. Напиши број најближи броју 2007 тако да он буде дељив са: а) 5

________________________________

б) 19

________________________________

в) 100

________________________________

Број бодова

10. Одреди број а који у свом раставу на просте чиниоце има само: једну двојку, две тројке, две петице и једну седмицу: _____________________________________________________

9

Број бодова

БОДОВАЊЕ ТЕСТА, ГРУПА А) 1. 2 + 2 + 2 = 6 бодова. 2. 10 бодова. 3. 5 + 5 + 5 = 15 бодова. 4. 5 + 5 = 10 бодова. 5. 7 бодова. 6. 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 бодова. 7. 3 + 3 + 4 = 10 бодова. 8. α, β, и γ редом: 3 + 3 + 4 = 10 бодова. 9. 5 + 5 + 5 = 15 бодова. 10. 9 бодова.

10

11

ПОЛУГОДИШЊИ ТЕСТ Пети разред

Одељење:

Б

Група:

Школа: Име и презиме:

ЗАДАЦИ

1. Спој како је започето: сабирак

умањилац –

чинилац

=

збир

делилац

разлика

умањеник

чинилац

количник

дељеник

сабирак

производ

2. На цртицама задовољено:

упиши

одговарајуће

елементе

скупа,

тако

Број бодова

да

буде

{1, α,_____, β} ∪ {2, _____, β } = {α, _____ } Број бодова

3. Сви ученици једног одељења, њих 30, учлањени су у математичку или спортску секцију. Само у спортску учлањено је 7 пута више него само у математичку секцију. Колико је ученика у спортској секцији, ако 6 ученика учествује у обе секције? Број бодова

Одговор___________________________

4. Колико има природних бројева: а) мањих од 2001 б) не већих од 2001 Број бодова

в) већих од 1000, а мањих од 2001?

12

5. Запиши симболима узајамни положај праве а и тачака P, Q и R (упиши одговарајући знак у празан квадрат). P

☐a

Q

☐

a

☐R Број бодова

a

6. (кружнице): На одговарајућим линијама упиши називе одговарајућих елемената круга тачка О _______________________________ дуж AB _______________________________ дуж OP _______________________________ дуж PQ _______________________________

Број бодова

7. тачан Колико je полуправих на датој слици одређено тачкама A, B и C? Заокружи одговор. а) 3 б) 4 в) 6 Број бодова

г) 9 д) 12 ђ) 14

8. Одреди углове α, β и γ на слици. α = _______________ β = _______________ γ = _______________

Број бодова

13

9. Од цифара 0, 4 и 5 састави све четвороцифрене бројеве са различитим цифрама тако да су они дељиви са 5. Одговор

________________________________ Број бодова

10. Напиши број а који у свом саставу на просте чиниоце има само: две двојке, једну тројку, једну петице и једну седмицу: _____________________________________________________

14

Број бодова

БОДОВАЊЕ ТЕСТА, ГРУПА Б) 1. 2 + 2 + 2 = 6 бодова. 2. 10 бодова. 3. 15 бодова. 4. 4 + 4 + 4 = 12 бодова. 5. 2 + 2 + 2 = 6 бодова. 6. 2 + 2 + 2 + 2 = 8 бодова. 7. 9 бодова. 8. 3 + 3 + 4 = 10 бодова. 9. 5 + 5 + 5 = 15 бодова. 10. 9 бодова.

15

ГОДИШЊИ ТЕСТ Пети разред

Одељење:

Група:

Школа: Име и презиме:

А

ЗАДАЦИ

1. xДати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {x | x∈N и x < 8} и C = {x | x∈N и x < 10 и је непаран број}. Одреди (A ∩ B)\ C. B = _______________________

C = _____________________

(A ∩ B)\ C = ______________________________________________

Број бодова

2. На паркингу једне фирме 20 аутомобила има испумпане гуме. 15 аутомобила има испумпану десну гуму, а 8 аутомобила испумпану леву гуму. Колико је аутомобила са две испумпане гуме? (Користити дијаграм.)

Број бодова

3. На свакој линији упиши изостављену реч тако да добијеш тачно тврђење: а) скуп тачака једне равни који садржи све тачке кружнице и све тачке унутрашње области кружнице назива се ________________________________ б) Полупречник је ______________________ на тангенту у додирној тачки. в) Тетива која садржи центар круга зове се __________________

Број бодова

4. Упиши изостављене речи како би добио тачно тврђење: а) Два угла чији је збир једнак правом углу су ___________________ углови. б) Углови α и β су суплементни ако _____________________________.

16

Број бодова

5. Напиши све делиоце броја 12: а) Запиши у скупу А све садржаоце броја 8, који су већи од 20, а мањи од 70. Одговор: _________________________________________________ б) Садржаоци броја 8 већи од 20 а мањи од 70 су:

Број бодова

Одговор:_________________________________________________

6. Одреди број који при дељењу са 4, 6 и 15 увек даје остатак 2. Одговор:_________________________________________________

Број бодова

7. Одреди непознату: а)

11 22 = 12 x

_________________________________________

б)

42 t = 60 10

_________________________________________

Број бодова

8. На атлетској стази трче три такмичара. За исто време први такмичар прет5 13 стазе, други 0,8 стазе, а трећи стазе. Који такмичар је претрчао 6 15 најдужи део стазе? рчи

Број бодова

9. Израчунај а)

5 2 5 + = _________________________________________ 14 14 14

7 3 б) - = 12 8

Број бодова

_________________________________________

10. Разлику бројева 5 18 и 1 56 увећај за 7 43 . Број бодова

17

11. Пресликај дуж CD осном симетријом у односу на осу s. Број бодова

12. Посматрај фигуре са слике:

1) Заокружи слово испред осносиметричних фигура

Број бодова

2) Нацртај све осе симетрије квадрата.

13. Колико је: а) сати у б) cm у

3 дана 4

Број бодова

3 m? 5

14. Израчунај а) производ 2

2 3 $ = 3 8

Број бодова

б) количник: 0,202 : 0,04 =

15. Решење неједначине прикажи графички. а) 2

2 :x>2 3

б) 2

3 1 #x 4

2 3

б) 1

1 3 , ≥ ). Бројевна полуправа

Основне операције у формуле

N

, изрази, једнакости и неједнакости –

понављање понављање

утврђивање систематизација 2. ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ (5+7)

1.

17.

Тачка и линија

обрада

2.

18.

Права, полуправа, дуж

обрада

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

СЕПТЕМБАР

СКУПОВИ (7+9)

Корелација

Евалуација

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка - Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (тестови, контролни).

Редни бр. наст. јед.

Вербално – текстуална наставна средства уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови

мес

Техничко и информатичко образовање, географија,

Напомена (примена стандарда): МА.1.1.1. (ученик уме да прочита и запише природан број)

Математика 5 Напомена(примена стандарда): МА.1.3.1 (ученик влада појмовима дуж,полуправа,права), МА.1.3.3. (влада појмовима круг,кружна линија,издваја основне елементе...), МА.1.1.5. (дели са остатком једноцифреним бројем ...), МА.2.1.3. (примењује основна правила дељивости са 2,3,5,9 и декадним јединицама), МА.3.1.2.(оперише са појмом дељивости у проблемским ситуацијама)

Редни бр. наст. јед.

Ред. бр. часа

3.

19.

Раван, геометријски објекти

4.

20.

Изломљена линија, област.

обрада

5.

21.

Изломљена линија, област.

утврђивање

6.

22.

Фигура, многоугао

Тип часа утврђивање

вежбање

7.

23.

Кружна линија, круг

обрада

8.

24.

Кружна линија и права. Међусобни положај

обрада

9.

25.

Тангента кружнице

10.

26.

Кружница и права

11.

27.

Кружни лук, тетива

12.

28.

Геометријски објекти

29.

ПРВИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК

30.

ИСПРАВАК ПРВОГ ПИСМЕНОГ ЗАДАТКА

продубљивање утврђивање вежбање систематизација

3. ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВА (5+7)

N (a = b⋅q + r)

1.

31.

Дељење у скупу

2.

32.

Појам дељивости. Чиниоци и садржаоци броја

обрада

3.

33.

Дељивост декадном јединицом, дељивост са 2, 5, 4

обрада

4.

34.

Дељивост са 3 и са 9

обрада

5.

35.

Дељивост

36.

Прости и сложени бројеви. Растављање бројева на просте чиниоце

6.

Начин остваривања Методе и Наставна облици рада средстава

обнављање

утврђивање обрада

Корелација

Евалуација

Техничко и информатичко образовање, географија,

Наставна јединица

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, Рад у паровима, индивидуализована настава. Вербално – текстуална наставна средства (жива реч, уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови и сл.)

ОКТОБАР

мес

Математика 5 Напомена(примена стандарда): МА.1.1.5.(дели са остатком једноцифреним бројем ...), МА.2.1.3. (примењује основна правила дељивости са 2, 3, 5, 9 и

декадним јединицама), МА.3.1.2. (оперише са појмом дељивости у проблемским ситуацијама), МА.1.1.1(влада појмом угла,уочава моделе у реалним ситуацијама,уме да их нацрта користећи прибор,разликује неке врсте углова), МА.2.3.1. (одреди упоредне и унакрсне углове,рачуна са њима ако су изражени у целим степенима), МА.3.3.1 (рачуна са угловима укључујући и претварање угаоних мера) Начин остваривања

7.

37.

Растављање природних бројева на просте чиниоце

8.

38.

Заједнички делилац, највећи заједнички делилац

9.

39.

Заједнички садржалац, најмањи заједнички садржалац

утврђивање обрада обрада

10.

40.

НЗД и НЗС

утврђивање и примена

11.

41

Дељивост

утврђивање

12.

42.

Дељивост бројева

систематизација 4. УГАО (8+12)

1.

43.

Угао, (појам, елементи, обележавање)

2.

44.

Централни угао, кружни лук, тетива, Преношење углова

обнављање обрада

3.

45.

Преношење углова.Упоређивање углова

4.

46.

Врсте углова (опружен, прав, оштар, туп, пун угао)

вежбање

5.

47.

Констуктивно сабирање и одузимање углова

6.

48.

Мерење углова (степен, минут, секунд; угломер)

обрада

7.

49.

Сабирање и одузимање углова

обрада

8.

50.

Сабирање и одузимање углова

утврђивање

9.

51.

Суседни, упоредни, унакрсни углови

обрада продубљивање

обрада

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, Рад у паровима, индивидуализована настава.

НОВЕМБАР

3. ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВА

Наставна средстава

Корелација

Евалуација

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (тестови, контролни).

Методе и облици рада

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

Тип часа

Техничко и информатичко образовање, географија,

Наставна јединица

Техничко и информатичко образовање, географија,

Ред. бр. часа

Вербално – текстуална наставна средства уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови

Редни бр. наст. јед.

Основни геометријски прибор и илустративни модели

Време реализације

Математика 5 Напомена (примена стандарда): МА.1.1.1(влада појмом угла,уочава моделе у реалним ситуацијама,уме да их нацрта користећи прибор,разликује неке врсте углова), МА.2.3.1. (одреди суплементне и комплементне углове,упоредне и унакрсне углове,рачуна са њима ако су изражени у целим степенима), МА.3.3.1 (рачуна са угловима укључујући и претварање угаоних мера, закључује на основу углова на трансверзали), МА.1.1.3 (упореди по величини бројеве у облику разломка,помажући се сликом када је то потребно), Ред. бр. часа

Наставна јединица

Тип часа

Начин остваривања Методе и облици рада

Наставна средстава

Вербално – текстуална наставна средства уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови

Редни бр. наст. јед.

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

Време реализације

Корелација

Евалуација

11.

53.

Углови

12.

54.

Комплементни и суплементни углови

обрада

13.

55.

Комплементни и суплементни углови

вежбање

14.

56.

Углови

15.

57.

Паралелне праве са трансверзалом и углови које оне чине

16.

58.

Углови на трансверзали

17.

59.

Углови са паралелним крацима

обрада

18.

60.

Углови са паралелним крацима

утврђивање

19.

61.

Углови

62.

ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК

63.

ИСПРАВАК ДРУГОГ ПИСМЕНОГ ЗАДАТКА

утврђивање

утврђивање обрада утврђивање

систематизација

5. РАЗЛОМЦИ – ПРВИ ДЕО (5+6)

a (a ∈ N , b∈ N ) 0 b

1.

64.

Појам разломка, облик

2.

65.

Појам разломка

3.

66.

Проширивање и скраћивање разломка

4.

67.

Својства разломка. Упоређивање разломака

5.

68.

Особине разломака

обрада утврђивање обрада продубљивање утврђивање

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (писмени задаци, тестови, контролни).

вежбање

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

Суседни, упоредни, унакрсни углови

Техничко и информатичко образовање, географија,

52.

Техничко и информатичко образовање, географија,

10.

Основни геометријски прибор и илустративни модели

ДЕЦЕМБАР

4. УГАО

Математика 5 Напомена (примена стандарда): МА.1.1.3 (упореди по величини бројеве истог записа,помажући се сликом када је то потребно), МА.1.1.2 (преведе децимални запис броја у разломак и обратно), МА.2.1.1 (упореди по величини бројеве записане у различитим облицима), МА.1.1.4 (изврши једну основну рачунску операцију са бројевима истог записа,у случају разломка само са истим имениоцима)

Тип часа

Начин остваривања Методе и облици рада

Наставна средстава

69.

Децимални запис разломка

обрада

7.

70.

Превођење децималног разломка у запис а/b

обрада

8.

71.

Заокругљивање бројева

9.

72.

Придруживање тачака бројевне полуправе разломцима

10.

73.

Разломци

11.

74.

Разломци-општа својства

продубљивање обрада утврђивање и примена систематизација

ЈАНУАР, ФЕБРУАР

6. РАЗЛОМЦИ – ДРУГИ ДЕО (5+8) 1.

75.

Сабирање и одузимање разломака једнаких имениоца

обрада

2.

76.

Сабирање и одузимање разломака неједнаких имениоца

обрада

3.

77.

Сабирање и одузимање разломака

4.

78.

Примена сабирања и одузимања разломака

утврђивање

5.

79.

Сабирање и одузимање разломака

6.

80.

Сабирање и одузимање децималних записа

обрада

7.

81.

Сабирање и одузимање децималних записа

утврђивање

8.

82.

Једначине са сабирањем и одузимањем разломака

9.

83.

Примена једначина упознатих облика

вежбање

10.

84.

Примена једначина упознатих облика

вежбање

11.

85.

Неједначине са сабирањем и одузимањем разломака

12.

86.

Једначине и неједначине

13.

87.

Разломци-сабирање и одузимање

вежбање утврђивање

обрада

обрада вежбање систематизација

7. ОСНА СИМЕТРИЈА (5+8) 1.

88.

Појам осне симетрије у равни

2.

89.

Парови симетрично продужених тачака у односу на праву

обрада утврђивање

Вербално – текстуална наставна средства (жива реч, уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови и сл.)

6.

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

5. РАЗЛОМЦИ – ПРВИ ДЕО (5+6)

Корелација

Евалуација

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (тестови, контролни).

Наставна јединица

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

Ред. бр. часа

Техничко и информатичко образовање, географија,

Редни бр. наст. јед.

Техничко и информатичко образовање, географија,

Време реализације

Математика 5 Напомена (примена стандарда):МА.1.3.6.(интуитивно схвата појам подударних фигура,кретањем до поклапања), МА.2.3.6. (уочи осно симетричне фигуре и да одреди осу симетрије): МА.1.1.3 (упореди по величини бројеве истог записа,помажући се сликом када је то потребно), МА.1.1.2 (преведе децимални

запис броја у разломак и обратно), МА.2.1.1 (упореди по величини бројеве записане у различитим облицима), МА.1.1.4 (изврши једну основну рачунску операцију са бројевима истог записа,у случају множења разломка рачуна на пример 1/5 од природног броја), МА.2.1.2 (одреди реципрочну вредност броја, израчуна вредност једноставнијег бројевног израза са више рачунских операција различитог приоритета са бројевима истог записа), МА.3.1.1 (одреди вредност сложенијег бројевног израза) Време реализације

Редни бр. нас. јед.

Ред. бр. часа

Наставна јединица

Тип часа

Начин остваривања Методе и Наставна облици рада средстава

Корелација

Евалуација

Пресликавање скупа тачака осном симетријом

5.

92.

Осна симетрија једне фигуре

обрада

6.

93.

Симетрала дужи (својства и конструкција)

обрада

7.

94.

Симетрала дужи

8.

95.

Симетрала дужи – конструктивни задаци

9.

96.

Симетрала угла-конструкција

10.

97.

Симетрала угла

11.

98.

Примена симетрале дужи и угла

12.

99.

Примена симетрале дужи и угла

13.

100.

Осна симетрија

101.

ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК

102.

ИСПРАВАК ТРЕЋЕГ ПИСМЕНОГ ЗАДАТКА

вежбање

утврђивање вежбање обрада утврђивање вежбање вежбање систематизација

8. РАЗЛОМЦИ – ТРЕЋИ ДЕО (11+15) 1.

103.

Производ разломка и броја

обрада

2.

104.

Дељење разломака природним бројем

обрада

3.

105.

Множење и дељење разломака природним бројем

4.

106.

Производ два разломка

обрада

5.

107.

Производ два разломка

утврђивање

6.

108.

Количник два разломка

обрада

7.

109.

Количник два разломка

утврђивање

утврђивање

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (писмени задаци, тестови, контролни).

91.

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

4.

Техничко и информатичко образовање, географија, физика, хемија

обрада

Техничко и информатичко образовање, географија, физика, хемија

Пресликавање одереног скупа тачака осном симетријом

Основни геометријски прибор и илустративни модели

90.

Вербално – текстуална наставна средства (жива реч, уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови и сл.)

3.

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

МАРТ

7. ОСНА СИМЕТРИЈА

Математика 5 Напомена (примена стандарда МА.1.1.3 (упореди по величини бројеве истог записа,помажући се сликом када је то потребно), МА.1.1.2 (преведе децимални запис броја у разломак и обратно), МА.2.1.1 (упореди по величини бројеве записане у различитим облицима), МА.1.1.4 (изврши једну основну рачунску операцију са бројевима истог записа, у случају множења разломка рачуна на пример 1/5 од природног броја), МА.2.1.2 (одреди реципрочну вредност броја, израчуна вредност једноставнијег бројевног израза са више рачунских операција различитог приоритета са бројевима истог записа), МА.3.1.1 (одреди вредност сложенијег бројевног израза) Наставна јединица

Тип часа

Начин остваривања Методе и облици рада

Наставна средстава

Корелација

Техничко и информатичко образовање, географија,

Ред. бр. часа

Вербално – текстуална наставна средства (жива реч, уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови и сл.)

Редни бр. наст. јед.

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

Време реализације

Евалуација

110.

9.

111.

Множење и дељење разломака Примена множења и дељења разломака Множење и дељење разломака у децималном запису декадном једсиницом Множење и дељење разломака у децималном запису декадном једсиницом

утврђивање вежбање

10.

112.

обрада

11.

113.

12.

114.

Множење децималних записа

обрада

13.

115.

Множење децималних записа

утврђивање

14.

116.

Дељење децималних записа природним бројем

15.

117.

Количник два разломка-децимални запис

обрада

16.

118.

Количник два разломка-децимални запис

утврђивање

утврђивање

обрада

17.

119.

Примена множења и дељења децималних записа

18.

120.

Једноставнији бројеви и изрази

вежбање

19.

121.

Примена бројевних израза

20.

122.

Једначине облика

обрада

21.

123.

Једначине облаик

обрада

обрада утврђивање

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (тестови, контролни).

8.

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

АПРИЛ

8. РАЗЛОМЦИ – ТРЕЋИ ДЕО (11+15)

Математика 5 Напомена (примена стандарда МА.1.1.3 (упореди по величини бројеве истог записа,помажући се сликом када је то потребно), МА.1.1.2 (преведе децимални запис броја у разломак и обратно), МА.2.1.1(упореди по величини бројеве записане у различитим облицима), МА.1.1.4 (изврши једну основну рачунску операцију са бројевима истог записа, у случају множења разломка рачуна на пример 1/5 од природног броја), МА.2.1.2 (одреди реципрочну вредност броја,израчуна вредност једноставнијег бројевног израза са више рачунских операција различитог приоритета са бројевима истог записа),МА.3.1.1(одреди вредност сложенијег бројевног израза)

23.

125.

Једначине-примена

вежбање

24.

126

Једначине-примена

вежбање

25.

127.

Једначине-примена

вежбање

26.

128.

Разломци

129.

ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК

130.

ИСПРАВАК ЧЕТВРТОГ ПИСМЕНОГ ЗАДАТКА

утврђивање

систематизација

9. РАЗЛОМЦИ – ЧЕТВРТИ ДЕО (5+6) 1.

131.

Неједначине

обрада

5.

135.

Бројевни изрази са променљивом

обрада

6.

136.

Примена бројевних израза

7.

137.

Двојни разломак

утврђивање обрада

Методе и облици рада

Наставна средстава

Корелација

Евалуација

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (писмени задаци, тестови, контролни).

Једначине

Начин остваривања

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

124.

Тип часа

Техничко и информатичко образовање, географија,

22.

Наставна јединица

уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови

Ред. бр. часа

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, колективни, групни, индивидуализована настава.

Редни бр. наст. јед.

MAJ

Време реализације

Математика 5 Напомена (примена МА.2.1.2 (одреди реципрочну вредност броја,израчуна вредност једноставнијег бројевног израза са више рачунских операција различитог приоритета са бројевима истог записа), МА.1.4.1 (користи одговарајуће јединице за мерење дужине), МА.1.4.2. (претвори веће јединице дужине у мање)

9. РАЗЛОМЦИ – ЧЕТВРТИ ДЕО (5+6)

ЈУН

8.

138.

Размера

обрада

9.

139.

Размера

вежбење

10.

140.

Примена размере

вежбање

11.

141.

Разломци

систематизација

ГОДИШЊЕ ПОНАВЉАЊЕ ГРАДИВА 142.

Осна симетрија, симетрала дужи, симетрала угла

понављање

143.

Угао

понављање

144.

Разломци

понављање

Начин остваривања Методе и облици рада

Наставна средстава

Корелација

Евалуација

- Периодично праћење ученика кроз: 1. усмене одговоре 2. писмене провере (тестови, контролни).

Тип часа

- Систематско праћење ученика кроз: 1. ангажовање ученика на часу, 2. проверу домаћих задатака и рад неких задатака из домаћег задатка

Наставна јединица

Техничко и информатичко образовање, географија,

Ред. бр. часа

уџбеник, тестови, контролни задаци, радни листови

Редни бр. наст. јед.

Методе: користе се комбиноване методе, најчешће дијалошка и илустративно – демонстративна, текстуално – графичка и мултимедијалне презентације Облици: Фронтални, групни, индивидуализована настава.

Време реализације

REXENjA KONTROLNIH I PISMENIH ZADATAKA (iz priruqnika za nastavnike) Prva kontrolna veba Grupa A) 1. Oqigledni podskupovi su ∅, i {a, b, c}. Pravih podskupova ima xest. To su: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} i {b, c}. 2. Prema opisu je P = {10, 15, 20, 25, 30, 35} i Q = {10, 15, 20, 25, 30, 25}. Dakle, P = Q. Vidimo i odgovarajui njegov dijagram P = Q 3. Napiximo sve elemente skupova A i C, na osnovu datih opisa: A = {1, 3, 5} i C = {4, 5, 6, 7}. Sada lako odredimo: A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6}, A ∩ C = {5}. Prvo odredimo A ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6, 7}, pa (A ∪ C) ∩ B = {1, 3, 6}. 4. Sve traene skupove uoqavamo na datim Venovim dijagramima: A ∩ B = {, 0, 2, a}, B\D = {, a, b, c, d}, D\A = ∅, B\A = {b, c, d} i CA D = {∗, , , •, a}. Grupa B) 1. a) N = {m, a}. Reqi su: am i mama. b) Na primer: P = {r, a, t} i Q = {r, a, m}. Meu ovim skupovima nema jednakih. 2. Iz opisa nalazimo elemente skupa B, B = {1, 3, 5, 7, 9} A ∩ C = C i B\A = 0. Jednaki su svi dati skupovi: A = B = C. 3. Neka je dati skup S = {1, 2, 3, 4, 5}. Tada je a) S ∩ ∅ = ∅; b) S ∩ {2, 3, 4} = {2, 3, 4}. v) S ∩ A = {2, 4} i g) S ∩ A = {2, 4}. Data jednakost vai samo u sluqajevima v) i g).

2

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

4. Prvo emo odrediti elemente skupova datih opisom. A = {2, 3}, B = {0, 1, 2} i C = {1, 2, 3, 4, 5}. Sada lako odredimo traene skupove: a) A\B = {3}; b) B\C = {0}; v) Kako je A\C = ∅, bie i (A\C) ∩ B = ∅; g) Najpre uoqimo da je A ∪ B = {0, 1, 2, 3}, pa je (A ∪ B)\C = {0, 1, 2, 3}\C = {0}. Grupa V) 1. a) Data jednakost vai samo ako je x = 2 i y = 5. b) Moe biti x = 1 i y = 2, jer je {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}, ali i obrnuto, x = 2 i y = 1. Sliqno zakljuqimo da su rexenja i x = 1 i y = 3, ali i x = 3 y = 1. Imamo jox i rexenja x = 2 i y = 3, odnosno x = 3 i y = 2. 2. Zapiximo zadate skupove nabrajanjem elemenata: A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 4} i C = {3}. Vidimo da je A = B. 3. A ∩ B = {2, 3}; A ∪ B = {1, 2, 3, 4}; A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} = A; (A ∪ B) ∩ C = {1, 4}. 4. Svi elementi skupa K istovremeno su i elementi skupa M , pa je K ⊂ M . Sliqno zakljuqimo da je P ⊂ M . Meutim, kako je 8∈Q i 8∈ / M , sledi da Q nije podskup skupa M . Dalje je CM (K) = M \K = {1, 3, 5} = P i CM (P ) = M \P = {0, 2, 4, 6} = K. Grupa G) 1. Pravi podskupovi su: {}, {}, {}, {, }, {, } i {, }. 2. a) r ∈ C i r ∈ / A, pa A = C. v) c ∈ B i c ∈ / C, pa B ⊆ C. d) B = C iz istih razloga. Taqna su tvrenja b) i g). 3. Odredimo najpre elemente skupa M , zadatog opisom M = {0, 1, 2, 3}. Rexenja formula: a) Ako je x ∈ K i x ∈ M , onda je x ∈ K ∩ M = {2}. Dakle, x = 2. b) Iz a) sledi da ne postoji x, takvo da je x ∈ {2} i x = 2. v) Ako je X istovremeno podskup skupova K i M , onda X sadri samo zajedniqke elemente skupova K i M . Dakle, X = {2}. 4. Prvo odredimo skup CA B = A\B = {v, l, a}. Traene reqi su, npr.: val, lav, lava, ala, alva, avala, av. Grupa D) 1. Pravi podskupovi skupa M su {3} i {5}. Pravi podskupovi skupa P su: {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6} i {4, 6}.

Druga kontrolna veba

3

2. D = {a, b, c, d, e, f, g}, E = {e, g} i F = {b, g, f } a) F ⊂ D; b) f ∈ D; v) D ⊃ E; g) E = {e, g}; d) Ne odgovara ni jedna od oznaka ⊂, ⊃, =, ni ∈. ) E ∩ F = {g}. 3. Kako je {a, b}∩ {a, b, c} = {a, b} i {a, b, d}∩ {a, b, c} = {a, b}, zakljuqujemo da je X = {a, b} ili X = {a, b, d} (dva rexenja za X). Uoqimo da je {c} ∪ {b, d} = {b, c, d}, zatim {b, c} ∪ {b, d} = {b, c, d}, onda {c, d} ∪ {b, d} = {b, c, d} i {b, c, d} ∪ {b, d} = {b, c, d}. Zakljuqujemo da je Y = {c}, ili Y = {b, c}, ili Y = {c, d}, ili Y = {b, c, d} (qetiri rexenja za Y ). 4. Najpre odredimo elemente skupova A, B, C, datih opisom: A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4}. a) C\A = {4}. b) Kako je B ∩ C = {1, 2, 3}, bie A\(B ∩ C) = {0}. v) Imamo A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4}, pa je (A ∪ C)\B = {0, 4}. Druga kontrolna veba Grupa A) 1. Na primer, kao na slikama dole.

2. Rexenje je na slici dole levo (Prave m i ON normalne su na a.)

4

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

3. Uoqimo taqke D i E na datoj dui i taqke C i F na produecima date dui. Prema slici lako odredimo traena rastojanja. Najblie su taqke D i E, i to DE = 3 cm (10 − 2 − 5 = 3). Najudaljenije su taqke C i F , i to CF = 17 cm (10 + 2 + 5 = 17). 4. Nacrtano je 10 dui: M N , N P , P R, M R, M Q, QP , M P , N Q, QR i N R. Nacrtano je 8 trouglova: M N Q, N P Q, P RQ, M RQ, M N P , N P R, P RM i M N R. 5. 216 = 70 + 72 + 74, jer je srednji broj 216 : 3 = 72. Broj 118 nije zbir tri uzastopna parna broja, jer je 36 + 38 + 40 < 118, a 38 + 40 + 42 = 120 > 118. Grupa B) 1. Izlomljene linije vidimo na slikama dole.

Samo je crna izlomljena linija mnogougaona (ECDBAE, na slici v)). 2. Vidi na slici dole levo. Prava n normalna je na t.

3. Na slici gore desno vidimo da je C1 C2 = 2 cm < r1 +r2 = 4 cm. Dakle, krunice k1 i k2 seku se.

Druga kontrolna veba

5

4. Imamo 15 dui: AK, BK, AB, AL, CL, AC, AM , DM , AD, BC, CD, BD, KL, LM i KM . Imamo 6 trouglova, svi sadre teme A. To su: BCA, CDA, BDA, KLA, LM A i KM A. 5. 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 9 = 1 + 8, 10 = 2 + 8, 11 = 1 + 2 + 8, 12 = 4 + 8, . . . , 29 = 1 + 4 + 8 + 16, 30 = 2 + 4 + 8 + 16, 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16. Grupa V) 1. Mogua rexenja vidimo na slikama a) i b) dole.

2. Centar kruga K2 je taqka Q, podnoje normale iz taqke P na pravu q. Krug K1 dodiruje pravu q u istoj taqki Q (slika dole levo).

3. Centri O1 i O2 krunica k1 i k2 su na pravoj n, normalnoj na p u taqki P . Pritom su polupreqnici O1 P = O2 P = 2 cm. Postoje samo dve traene krunice i one se dodiruju spolja. 4. Dui ima 15 (sliqno zadatku 4 iz grupe B) i to su: AB, BC, AC, KL, LM , KM AS, M S, AM , BS, LS, BL, CS, KS i CK.

6

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

Trouglova ima xest: ABS, BCS, ACS, KLS, LM S i KM S. 5. 2 = 1 + 1, 3 = 5 − 1 − 1, 4 = 5 − 1, 6 = 5 + 1, 7 = 5 + 1 + 1, 8 = 15−5−1−1, 9 = 15−5−1, 10 = 15−5, 11 = 15−5+1, 12 = 15−5+1+1, 13 = 15−1−1, 14 = 15−1, 16 = 15+1, 17 = 15+1+1, 18 = 15+5−1−1, 19 = 15 + 5 − 1, 20 = 15 + 5, 21 = 15 + 5 + 1, 22 = 15 + 5 + 1 + 1.

Grupa G) 1. Neka od rexenja vidimo na sledeoj slici.

2. Normala iz B na a odreuje preqnik traene krunice, AB = 6 cm, slika dole levo.

3. Ako je C centar traenog kruga, znamo da dodirna taqka T pripada pravoj OC. Dakle, centar C je presek prave OT i date prave a. Na slici gore desno vidimo krug K1 , sa centrom C. Du AB, presek kruga K1 i prave a, predstavlja preqnik kruga K1 . 4. Odreeni su sledei trouglovi: ABC, ABL, ABM , ABP , ACL, ACN , ACP , ALM , ALN , AM N , AM P , AN P BCM , BCN , BCP , BLM , BLN , BLP , BM N , BN P , CLM , CLN , CLP , CM N , CM P , LM N , LM P , LN P , M N P . 5. Raqunamo: a) 40 : (9 + 68 − 50 − 7) = 40 : 20 = 2. b) 35 − (7 + 3 · (6 − 2) − 11) = 35 − (7 + 3 · 4 − 11) = 35 − (7 + 12 − 11) = 35 − 8 = 27.

Prvi pismeni zadatak

7

Grupa D) 1. a) S = {P }; b) S = ∅; v) S = {K, M }; g) S = {L, M }. 2. Konstruixemo normalu n iz prave p, kroz taqku P . Ova normala seqe pravu q u taqki O, centru traene krunice k. Na slici desno vidimo konstrukciju krunice. 3. Ako je r1 polupreqnik kruga K1 , onda je r2 = 4r1 polupreqnik kruga K2 . Dato je centralno rastojanje krugova O1 O2 = 15 cm. a) Ako se krugovi dodiruju spolja, onda je O1 O2 = r1 + r2 , xto znaqi da je 15 cm = 5r1 . Odavde je r1 = 15 : 5 = 3 cm, pa je r2 = 4r1 = 4 · 3 cm = 12 cm. b) Ako se krugovi dodiruju iznutra, onda je O1 O2 = r2 − r1 . Ovde je, dakle, 15 cm = 4r1 − r1 . Odavde je 15 cm = 3r1 , pa je r1 = 15 : 3 cm = 5 cm. Onda je r2 = 4r1 = 4 · 5 cm = 20 cm. 4. Ima ukupno 6 pravih, koje oznaqavamo sa dva slova (dve date taqke), kao i dui. Dakle, imamo: AB, AC, AD, BC, BD, CD. 5. 1; 2 = 3 − 1; 4 = 1 + 3; 5 = 9 − 3 − 1; 6 = 9 − 3; 7 = 9 − 3 + 1; 8 = 9 − 1; 9; 10 = 9 + 1; 11 = 9 + 3 − 1; 12 = 9 + 3, 13 = 9 + 3 + 1.

Prvi pismeni zadatak

Grupa A) 1. Prvo odredimo elemente datih skupova: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i B = {0, 1, 2}. Onda je A ∩ B = {0, 1, 2} = B, B\A = ∅ i CA B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2. Prema opisu je A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Iz uslova sledi da skup A ne sadri elemente 2, 4, 5 i 7. Dakle, A = {0, 1, 3, 6, 8}

8

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

3. Dodirne taqke i centri krunica, kao xto znamo, predstavljaju kolinearne taqke. Dakle, prava CS seqe datu krunicu k u taqkama T1 i T2 , u kojima traene krunice, redom, k1 i k2 , dodiruju k. Time su odreeni polupreqnici CT1 i CT2 . Pritom, manja krunica k1 je u veoj k2 , slika desno. 4. Broj 38 ∗ 2∗ je deljiv sa 5, pa mu je poslednja cifra (jedinica) ili 0, ili 5. Da bi broj 38 ∗ 20, odnosno 38 ∗ 25, bio deljiv i sa 3, mora mu zbir cifara biti deljiv sa 3. Traeni brojevi su: 38220, 38520, 38820, 38025, 38325, 38625 i 38925. 5. Rastavimo na proste qinioce: 9240 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11. Pregrupixemo qinioce: 9240 = (2 · 2 · 5) · (3 · 7) · (2 · 11) = 20 · 21 · 22. Traeni brojevi su 20, 21 i 22. Grupa B) 1. Iz opisa odreujemo elemente drugog datog skupa: B{0, 1, 2, 3}. Onda je: B\A = {0}, A ∩ B = {1, 2, 3} i A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2. Prikazaemo skupove M i P Venovim dijagramima, slika dole levo. (Osenqeni deo je M ∩ P ). Prvo popunimo neosenqene delove, M \P = {0, 1} i P \M = {4, 5}. Onda iz date unije M ∪ P zakljuqimo da je osenqeni deo dijagrama M ∩ P = {2, 3, 6}.

3. Krunice k1 i k2 dodiruju k u taqki A, pa su centri C1 i C2 na pravoj OA, slika gore desno. Krunice k1 i k2 dodiruju se u taqki A.

Prvi pismeni zadatak

9

4. Rastavimo na proste qinioce: 17472 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 13. Pregrupixemo qinioce: 17472 = (2 · 2 · 2 · 3) · (2 · 13) · (2 · 2 · 7) = 24 · 26 · 28. Traeni brojevi su 24, 26 i 28. 5. Ponovo rastavimo na proste qinioce: 1260 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 22 · 32 · 5 · 7. Da bi ovo bio kvadrat prirodnog broja trebalo bi da od svakog prostog qinioca ima u razvoju paran broj. Onda, treba pomnoiti sa 5 · 7. Dakle, 1260 · 5 · 7 = 22 · 32 · 5 · 7 · 5 · 7 = 22 · 32 · 52 · 72 = (2 · 3 · 5 · 7)2 = 2102 . Konaqno: 1260 · 35 = 2102 . Traeni broj je 35. Grupa V) 1. Odredimo elemente datih skupova: A = {3, 4, 5, 6} i B = {0, 1, 2, 3}. Onda je A ∩ B = {3}, B\A = {1, 2}, A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Vidimo da M ne sadri elemente skupa B. Kako je A\B = {1, 3}, sledi da je M = A\B. Takoe je oqigledno P = {2, 4} = A∩B. Na kraju je Q = {6} = B\P = B\(A ∩ B). 3. Centri traenih krunica su na pravoj n, koja je u taqki T normalna na t. Normala n seqe datu krunicu u O1 i O2 . To su centri traenih krunica k1 i k2 (slika desno). Ove dve krunice dodiruju se iznutra u taqki T . 4. Rastavljanjem na qinioce dobijamo: 3360 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7. Grupisanjem qinilaca dobijamo: 3360 = (2·7)·(3·5)·(2·2·2·2) = 14·15·16. Traeni brojevi su 14, 15 i 16. 5. Rastavimo na qinioce: 3375 = 3·3·3·5·5·5 = (3·5)·(3·5)·(3·5) = 15 · 15 · 15 = 153 . Dakle, n3 = 153 , pa je n = 15. Grupa G) 1. Prema opisu je A = {1, 2, 3, 4, 5}, pa je A ∩ B = {1, 2, 3}, B\A = {0} i A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2. Oqigledno je A = M \Q. Kako je M ∪ P = {1, 2, 3, 4, 6}, a skup B sadri sve elemente ove unije, osim broja 4, zakljuqujemo da je B = {1, 2, 3, 4, 6}\{4} = (M ∪ P )\Q.

10

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

3. Centri krunica k1 i k2 su na pravoj n, koja je u taqki A normalna na pravu a. Prava n seqe b u centru O1 krunice k1 . Polupreqnik krunice k2 je du AO2 = AO1 , kao xto vidimo na slici. Krunice k1 i k2 dodiruju se spolja. 4. Rastavimo na qinioce: 5760 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Grupixemo qinioce: 5760 = (2·3)·(2·2·2)·(2·5)·(2·2·3) = 6·8·10·12. Traeni brojevi su 6, 8, 10 i 12. 5. Rastavimo broj 924 na proste qinioce: 924 = 2 · 2 · 3 · 7 · 11. Grupisanjem prostih qinilaca treba da dobijemo cifre traenog prirodnog broja. Meutim, prost broj 11 je dvocifren i ne moe biti qinilac neke cifre, tj. broja koji je manji od 10. Prema tome, traeni prirodni broj ne postoji. Grupa D) 1. Najpre odredimo elemente skupova A i B, na osnovu opisa: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i B = {1, 3, 5, 7, 9}. Onda je A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9} = B, B\A = ∅ i CA B = {2, 4, 6, 8}. 2. Prvo odredimo elemente skupa S, na osnovu opisa: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }. Iz uslova Y ∩ {2, 3, 4} = {3, 4}, sledi da su 3 i 4 elementi traenog skupa Y , a 2 ∈ / Y . Iz drugog uslova, poxto je data unija jednaka skupu S, sledi da je i broj 6 element skupa Y . Trai se da Y ima tri elementa, pa je Y = {3, 4, 6}. 3. Budui da traene krunice dodiruju krunicu k2 u taqki T , njihovi centri moraju biti na pravoj p = OT . Prava p seqe k1 u centrima C1 i C2 traenih krunica. Ove dve traene krunice dodiruju se iznutra, kao xto vidimo na slici. 4. Da bi ovaj broj bio deljiv sa 5, treba umesto y staviti 0 ili 5, pa imamo broj 4x280 ili 4x285. Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9. Zbog toga je x = 4 u prvom, a x = 8 u drugom sluqaju. Traena rexenja su 44280 il 48285. 5. Rastavimo na proste qinioce: 24024 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13. Pregrupixemo qinioce: 24024 = 11 · (2 · 2 · 3) · 13 · (2 · 7) = 11 · 12 · 13 · 14. Traeni brojevi su 11, 12, 13, 14.

Trea kontrolna veba

11

Trea kontrolna veba Grupa A) 1. 1008 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7. Delioce boja 1008 su: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 112, 126, 168, 252, 336, 504, 1008. 2. Uoqimo da je 72 = 49 < 100, pa prost broj 7 i brojevi manji od 7 ne ispunjavaju uslov. Meutim, 112 = 121, 132 = 169, 172 = 289, 192 = 361 i 232 = 529. Broj 23 i brojevi vei od 23 ne ispunjavaju uslov p2 < 500. Prema tome, traeni prosti brojevi su: 11, 13, 17 i 19. 3. Dati broj deljiv je sa 4, ako je sa 4 deljiv broj ∗4. Sledi da umesto ∗ moemo staviti cifre 0, 4, i 8. Tada imamo brojeve 1704, 1744, 1784, koji su deljivi sa 4. 4. Koristimo uobiqajeno raqunanje korixe- 144, 240, 360 2 72, 120, 180 2 njem nauqenih xema. Na primer, vidimo kako je 36, 60, 90 2 odreen NZD, broj 2 · 2 · 2 · 3 = 24. NZS za iste 18, 30, 45 3 brojeve je 720. 6, 10, 15 Grupa B) 1. 39204 = 2·2·3·3·3·3·11·11 = (2·3·3·11)·(2·3·3·11) = 198·198 = 1982 . 2. 121 = 11 · 11; 122 = 2 · 61; 123 = 3 · 41; 124 = 4 · 31; 125 = 5 · 25; 126 = 9 · 14; 128 = 4 · 32; 129 = 3 · 43. Samo je 127 prost broj. 3. Treba umesto a staviti parnu cifru, tako da se dobije broj kome je zbir cifara deljiv sa 9. Ako stavimo 0, 2, 4 ili 6, zbir cifara nije deljiv sa 9. Ako stavimo 8, zbir cifara je: 1 + 0 + 4 + 5 + 8+ = 18 = 2 · 9. Jedino rexenje je broj 10458. 4. Rastavimo na proste qinioce: 7920 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 11. Pregrupixemo qinioce: 7920 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3) · (2 · 5) · 11 = 8 · 9 · 10 · 11. Traeni brojevi su 8, 9, 10 i 11.

Grupa V) 1. Rastavimo na qinioce: 312 = 2 · 2 · 2 · 3 · 13 i 78 = 2 · 3 · 13. Onda je 312·78 = 2·2·2·3·13·2·3·13 = (2·2·3·13)·(2·2·3·13) = 156·156 = 1562 .

12

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

2. Raqunamo kubove prostih brojeva redom: 23 = 2 · 2 · 2 = 8; = 3 · 3 · 3 = 27; 53 = 125; 73 = 343. Kako je 103 = 1000, zakljuqujemo da 11 i prosti brojevi vei od 11 ne ispunjavaju uslov. Dakle, q ∈ {5, 7}.

33

3. Umesto ∗ treba staviti parnu cifru, tako da se dobije broj kome je zbir cifara deljiv sa 3. Imamo rexenja 5202 i 5208. 4. Koristei se nauqenim xemama lako odredimo NZS i NZD. Dobijemo S(48, 80, 120) = 240 i D(48, 80, 120) = 8.

Grupa G) 1. 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5. Sloeni delioci broja 600 su: 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600. (Uvaavati odgovor koji sadri bar deset od ovih delilaca). 2. Samo je 11 takav prost broj. Na primer, 77 = 7 · 11 je sloen broj. Svi trocifreni brojevi sa tri jednake cifre deljivi su sa 3, jer im je zbir cifara deljiv sa 3, pa su sloeni. 3. Dati broj e biti deljiv sa 2, a ne i sa 4, ako se cifra y zameni sa 0, 4 ili 8. Cifru x biramo tako da je zbir cifara broja 2x33y deljiv sa 3. Tako dobijamo rexenja: 21330, 24330, 27330, 20334, 23334, 26334, 29334, 22338, 25338, 28338. 4. Rastavimo na qinioce: 960 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5, pa pregrupixemo qinioce: 960 = (2 · 2 · 2) · (2 · 5) · (2 · 2 · 3) = 8 · 10 · 12. Traeni brojevi su 8, 10 i 12.

Grupa D) 1. Na osnovu poznatih kriterijuma, jasno je da 713 nije deljivo sa 2, 3 i 5. Deljenjem se uverimo da nije deljivo ni sa 7, 11, 13, 17 i 19. Meutim, 713 : 23 = 31. Brojevi 23 i 31 su prosti, pa je 713 = 23 · 31. 2. Deljivi sa 2 su brojevi 354 i 534, a nijedan od njih nije deljiv sa 4. 3. Treba ∗ zameniti nekom cifrom, tako da kod dobijenog broja zbir cifara bude deljiv sa 3, ali ne i sa 9. Imamo rexenja 6225 i 6825. 4. NZS je S(24, 30, 36) = 360, a NZD je D(24, 30, 36) = 6.

Qetvrta kontrolna veba

13

Qetvrta kontrolna veba Grupa A) 1. Prema slici desno vidimo da se lako konstruixu dva uporedna ugla, θ i θ1 . Konstrukcija je jednostavna: produimo jedan krak preko temena. Ugao ϕ je oxtar, a θ je tup, pa je ϕ < θ. 2. Po uslovu je broj 341 − 5 = 336 deljiv sa k. Onda sledi da je traeni broj k ustvari NZD za 630 i 336. To je D(630, 336) = 42. (Odredili smo ga koristei se nauqenom xemom.) 3. Rexenje vidimo na sledeoj slici: pOq = 2β + 3α.

4. Prema slici desno je 3α = aOc, a θ = aOb. Vidimo da je po definiciji 3α < θ.

Grupa B) 1. a) Unakrsni su samo 3 i 5. b) Uporedni su 3 i 4. v) Ima vixe parova susednih uglova: 1 i 2, zatim 1 i 5, onda 5 i 4, pa 4 i 3 i jox 2 i 3. 2. Broj koji je deljiv sa 4, 5, 6, i 7 je NZS za ova qetiri broja, a to je 420. Onda je svaki broj koji je deljiv sa 4, 5, 6 i 7 oblika 420k, gde je k prirodni broj. Onda broj koji pri deljenju sa 4, sa 5, sa 6 i sa 7 daje ostatak 2, ima oblik 420k + 2. Za k = 23 dobijamo

14

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

broj 420 · 23 + 2 = 9662 i to je najvei takav qetvorocifren broj, koji se i trai. Dakle, traeni broj je 9662. 3. Na sledeoj slici vidimo konstrukciju. Traeni ugao je mOp = 3β − γ. Pritom je mOn = 3β i nOp = γ.

4. Na slici desno vidimo konstrukciju ugla pOr = 4γ. Po definiciji, ovde vai relacija 4γ > ϕ.

Grupa V) 1. Uoqimo ugao δ1 , koji je unakrsan uglu δ. Znamo da je δ1 = δ. Sa slike dole oqigledno je β + δ1 + γ jednako opruenom uglu aOb. Onda je takoe β + δ + γ = aOb. 2. Prema uslovu, jasno je da su brojevi 845 − 5 = 840 i 275 − 5 = 270 deljivi brojem d. Znaqi, d je NZD za 840 i 270. Dakle, d = D(840, 270) = 30. (Izraqunato korixenjem standardne xeme za odreivanje NZD.) Traeni broj je d = 30 3. Na sledeoj slici prikazana je konstrukcija traenog ugla: mOn = 2ϕ − 4α, pri qemu je mOp = 2ϕ i pOn = 4α.

Qetvrta kontrolna veba

15

4. Na slici levo vidimo da je aOc = 3ϕ nekonveksan, pa je θ < 3ϕ.

Grupa G) 1. Uoqimo ugao β1 , koji je unakrsan uglu β. Znamo da je tada β1 = β. Na slici gore desno vidimo da je zbir α + β1 jednak pravom uglu, jer su prave a i b normalne. Onda je i zbir α+β jednak pravom uglu. Kako je i 1 prav, sledi da je α + β = 1. 2. Jedan avion polee posle 3 dana, drugi posle 4 dana i trei posle 6 dana, raqunajui od dana prethodnog poletanja. Sva tri aviona poletee ponovo istog dana posle n dana, gde je broj n deljiv sa 3, sa 4 i sa 6. Onda, treba odrediti NZS za 3, 4, i 6, a to je 12. Znaqi, 12 dana posle 25.novembra, a to je 7. decembra, ponovo e poleteti ova tri aviona. 3. Konstrukciju vidimo na sledeoj slici. Traeni ugao je pOq = 2ϕ − 3θ, gde je pOr = 2ϕ i rOq = 3θ.

4. Na sledeoj slici levo vidimo da je α < 2(ϕ + θ). Pritom je

16

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

α = aOb, a aOc = ϕ + θ i aOd = 2(ϕ + θ).

Grupa D) 1. Konstrukcija je jednostavna, samo se oba kraka ugla θ produe preko temena S, slika gore desno. Znamo da su unakrsni uglovi jednaki, pa je θ = ϕ. 2. Prema datom uslovu zakljuqujemo da su brojevi 173−18 = 155 i 2622−18 = 2604 deljivi brojem n. Sledi da je n = D(155, 2604) = 31. (Za odreivanje NZD za 155 i 2604 koristimo poznatu, nauqenu xemu). Traeni broj je n = 31. 3. Konstrukciju vidimo na sledeoj slici. Traeni ugao je pOr = 2ϕ + 3β, pri qemu je pOq = 2ϕ i qOr = 3β.

4. Konstrukciju vidimo na slici dole. Ugao α ”preneli” smo u manji krug. Pritom je P OA = α. Taqka A je u uglu θ, pa je α < θ.

Peta kontrolna veba

17

Peta kontrolna veba Od pet ponuenih, uqenici, po sopstvenom izboru rexavaju qetiri zadatka.

Grupa A) 1. Ugao od 32◦ nacrtali smo priblino, koristei se uglomerom. Ugao, pet puta vei, na ovoj slici, nije dovoljno precizno konstruisan, jer je vei od 5 · 32◦ = 160◦ . 2. a) 17◦ 13 15 ·8 = 136◦ 104 120 . Kako je 120 = 2 , a 106 = 1◦ 46 , bie na kraju 17◦ 13 15 · 8 = 137◦ 46 . b)

113◦

−1+60 52 14

− 75◦ 18 25 38◦ 33 49 Dakle: 113◦ 52 14 − 75◦ 18 25 = 38◦ 33 49 . 3. Komplementan ugao: β = 90◦ − 32◦ 24 = 57◦ 36 . Odredimo ugao 2α = 2 · 32◦ 24 = 64◦ 48 . Suplementan sa 2α je ugao γ = 180◦ − 2α = 180◦ − 64◦ 48 = 115◦ 12 . 4. Prave p i q odreuju dva para unakrsnih uglova. Neka su α i γ, odnosno β i δ, parovi unakrsnih uglova. Pritom je α = γ i β = δ, a α + β = 180◦ . Prema tome, dato je α + γ = 123◦ , odakle je 2α = 123◦ , pa je α = 123◦ : 2 = 61◦ 30 . Onda je i γ = 61◦ 30 . Ugao β je suplementan sa α, pa je β = 180◦ − α = 180◦ − 61◦ 30 = 118◦ 30 = δ. 5. Na osnovu nauqenih osobina uglova s paralelnim kracima, znamo da su svi oxtri uglovi na slici jednaki meusobno: α = γ = Ψ = 41◦ 15 . Tupi uglovi su suplementni oxtrim uglovima: β = 180 − α = 138◦ 45 = δ = θ = ϕ.

Grupa B) 1. Na sledeoj slici desno vidimo traenu konstrukciju. Na prikazanoj slici konstruisan je ugao 4 · β = 4 · 42◦ 30 . Zbog nepre-

18

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

cizne konstrukcije, dobijeni ugao je, po uglomeru, vei od 170◦ .

2. a)

b)

54◦ 45 18 +29◦ 34 42 83◦ 79 60 = 84◦ 20

Izraqunali smo: 111◦ 11 36 : 6 = 18◦ 31 56 i 54◦ 45 18 +29◦ 34 42 =

84◦ 20 .

3. Ugao ϕ komplementan je sa β je: ϕ = 90◦ − β = 90◦ − 25◦ 18 = Izraqunajmo 3β = 3 · 25◦ 18 = 75◦ 54 . Ugao γ, suplementan sa 3β je γ = 180◦ − 3β = 180◦ − 75◦ 54 = 104◦ 6 .

64◦ 42 .

4. Prave odreuju dva para unakrsnih uglova, α i γ, odnosno β i δ. Dato je α = β + 17◦ . Znamo da su α i β suplementni, tj. da je α + β = 180◦ , odnosno β + 17◦ + β = 180◦ ili 2β = 163◦ . Sledi da je β = 81◦ 30 = δ i α = 98◦ 30 = γ. 5. Svi tupi uglovi su 121◦ 45 = β = ϕ = Ψ. Oxtri uglovi su suplementni sa β, pa su jednaki 180 − β = 180◦ − 121◦ 45 = 58◦ 15 . Dakle, α = 58◦ 15 = γ = δ = θ.

Grupa V) 1. Konstrukciju ugla 3γ vidimo na slici desno. Zbog nepreciznosti konstruisani ugao je vei od 100◦ (provereno uglomerom). 2. a) 5 · 43◦ 27 24 = 215◦ 135 120 . Kako je 120 = 2 , bie 5 · 43◦ 27 24 = 215◦ 137 = 217◦ 17 (Raqunali smo: 137 = 2◦ 17 .)

Peta kontrolna veba

b)

19

82◦ 47 38 + 57◦ 51 22 139◦ 98 60 = 140◦ 39 . Dakle, 82◦ 47 38 + 57◦ 51 22 = 140◦ 39 .

3. Ugao δ, suplementan sa γ, je δ = 180◦ − γ = 180◦ − 104◦ 15 = Izraqunajmo Ugao komplementan sa

{

75◦ 45 .

γ : 5 je θ = 90◦ − γ : 5 = 90◦ − 20◦ 51 = 69◦ 9 . 4. Zbir sva qetiri ugla je 360◦ . Ako je dati zbir β + γ + δ = onda je α = 360◦ − 247◦ 38 16 = 112◦ 21 44 = γ. Ugao β suplementan je sa α i β = 180◦ − α = 180◦ − 112◦ 21 44 = 67◦ 38 16 = δ.

247◦ 38 16 ,

5. Zbir datog oxtrog i datog tupog ugla je 48◦ 23 + 131◦ 37 = To pokazuje da su prave p i q paralelne. Zbog toga su svi oxtri uglovi meusobno jednaki, a to vai i za sve tupe uglove. Dakle: 48◦ 23 = β = δ = ϕ i 131◦ 37 = θ = α = γ.

180◦ .

Grupa G) 1. Jasno je prikazana konstrukcija ugla 5δ = 5 · 18◦ . Zbog nepreciznosti ugao na slici je malo manji od 90◦ . 2. a) 93◦ 23 45 : 5 raqunamo na sledei naqin: 1) 93◦ : 5 = 18◦ i ostatak je 3◦ . 2) 3◦ 23 : 5 = 203 : 5 = 40 i ostatak je 3’. 3) 3 45 : 5 = 225 : 5 = 45 . Prema tome, 93◦ 23 45 : 5 = 18◦ 40 45 . b)

−1◦ +59+60 82◦ 21 18

−33◦ 30 48 48◦ 50 30 . Dakle: 82◦ 21 18 − 33◦ 30 48 = 48◦ 50 30 . 3. Ugao α je komplementan sa δ, pa je α = 90◦ − δ = 90◦ − 63◦ 40 = Kako je 2δ = 2 · 63◦ 40 = 126◦ 80 = 127◦ 20 , suplementan ugao je β = 180◦ − 2δ = 180◦ − 127◦ 20 = 52◦ 40 .

26◦ 20 .

4. Par unakrsnih uglova qine dva jednaka ugla. Ako je dati zbir α + γ = 201◦ , onda, zbog α = γ, zakljuqujemo da je α = 201◦ : 2 = 100◦ 30 = γ. Dalje je β = 180◦ − α = 180◦ − 100◦ 30 = 79◦ 30 = δ. 5. Datom uglu od 101◦ 11 jednaki su svi tupi uglovi: ϕ = 101◦ 11 =

20

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

α = γ. Oxtri uglovi suplementni su tupim uglovima. Dakle, β = 180◦ − α = 180◦ = 101◦ 11 = 78◦ 49 = δ = θ = Ψ.

Grupa D) 1. Na slici desno vidimo konstrukciju ugla 5 · ϕ = 5 · 32◦ 30 . Provera uglomerom pokazuje da je na slici desno dosta neprecizna konstrukcija. (Izmeren uglomerom, iznosi 164◦ .) 290

2. a) 6 · 21◦ 48 25 = 126◦ 288 150 . Budui da je 150 = 2 30 , a = 4◦ 50 , bie konaqno: 6 · 21◦ 48 25 = 130◦ 50 30 . b)

74◦ 19 55 + 47◦ 48 35 121◦ 67 90 = 122◦ 8 30 . Dakle, 74◦ 19 55 +47◦ 48 35 = 122◦ 8 30 .

3. Suplementan uglu ϕ je ugao β = 180◦ − ϕ = 180◦ − 143◦ 24 = Odredimo ugao ϕ : 3 = 143◦ 24 : 3. Kako je 143◦ : 3 = 47◦ , sa ostatkom 2◦ , a 2◦ 24 = 84 i 84 : 3 = 28 , bie ϕ : 3 = 47◦ 28 . Onda, ugao komplementan sa ϕ : 3 je γ = 90◦ − ϕ : 3 = 90◦ − 47◦ 28 = 42◦ 32 .

36◦ 36 .

4. Prave r i s odreuju dva para unakrsnih uglova: α = γ i β = δ. Pritom je α = β + 33◦ . Kako su α i β suplementni, tj. α + β = 180◦ , ili β + 33◦ + β = 180◦ , tj. 2β = 147◦ , bie β = 73◦ 30 i α = 106◦ 30 . Dakle, α = 106◦ 30 = γ i β = 73◦ 30 = δ 5. Svi oxtri uglovi jednaki su datom uglu: β = 50◦ 10 = δ = Ψ. Tupi uglovi suplementni su sa oxtrim, pa je na primer: α = 180◦ − 50◦ 10 = 129◦ 50 . Onda je α = 129◦ 50 = γ = ϕ = θ. Drugi pismeni zadatak Grupa A) 1. Prema slici vidimo da je ugao, koji je unakrsan sa uglom 5x, jednak 90◦ + 32◦ 40 = 122◦ 40 . Onda je 5x = 122◦ 40 , pa je x = 122◦ 40 : 5 = 24◦ 32 . 2. Uoqimo najpre da je α = 180◦ − = 53◦ . Onda, na transverzali AC paralelnih pravih p i AB je x = α =

137◦

21

Drugi pismeni zadatak

53◦ . Na transverzali BC, sliqno je y = 64◦ . Na kraju je γ = 180◦ − x − y = 180◦ − 53◦ − 64◦ = 127◦ − 64◦ = 63◦ . 3. Neka je β ugao suplementan sa α. Onda je α = 3β, pa iz α + β = 180◦ , dobijamo 3β + β = 180◦ , odnosno 4β = 180◦ . Sledi da je β = 180◦ : 4 = 45◦ , pa je α = 3 · β = 3 · 45◦ = 135◦ . 2

6

9

8

3

11

3

4. Izvrxiemo prvo skraivanja. 2

(Prvo smo skratili 34 i 51 sa 17, pa 30 i 55 sa 5 i 27 i 24 sa 3.) 9 3 9 i , koje dovedemo 5. Prvo poreamo prave razlomke: , 4 20 13 9 9 9 9 9 9 , , . Sledi da je < < . na zajedniqki brojilac: 12 20 13 20 13 12 13 6 3 i . Njih dovedemo na Onda uporedimo neprave razlomke: , 5 2 10 13 12 13 15 12 15 , i , pa vidimo da je < < , zajedniqki imenilac: 10 10 10 10 10 10 13 3 9 9 3 6 6 < . Poveemo zakljuqke i dobijemo: < < < < tj. < 5 10 2 20 13 4 5 3 13 < . 10 2 Grupa B) 1. Prema slici je 2x = 180◦ − 1660 − 3458 . Kako je 1660 : 60 = 27 sa ostatkom 40, sledi da je 1660 = 27◦ 40 . Sliqno dobijemo da je 3458 = 59◦ 8 . Onda je 2x = 180◦ −27◦ 40 −59◦ 8 = 152◦ 20 −59◦ 8 = 93◦ 12 . Iz 2x = 93◦ 12 , sledi: x = 93◦ 12 : 2 = 46◦ 36 . Traeni ugao je x = 46◦ 36 . 2. Na levoj transverzali vidimo da je 77◦ + 103◦ = 180◦ , pa ova transverzala seqe paralelne prave p i q. Onda je α = 77◦ . Na desnoj transverzali je 68◦ = δ = ϕ, a γ = 180◦ − 68◦ = 112◦ = β. 3. Neka je ϕ ugao koji je komplementan sa β. Onda je, prema uslovu, β = 4ϕ, pa iz β + ϕ = 90◦ (komplementni uglovi) dobijamo 4ϕ + ϕ = 90◦ ili 5ϕ = 90◦ . Odavde je ϕ = 90◦ : 5 = 18◦ , pa je β = 4ϕ = 4 · 18◦ = 72◦ . 4. Date razlomke dovedemo na zajedniqki imenilac, broj 100. 80 75 i , pa su traeni razlomci sa brojiocima 76, 77, Dobijemo 100 100 75 76 77 78 79 80 4 3 < < < < < = . 78, i 79. Dakle: = 4 100 100 100 100 100 100 5

22

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

5. Dovedemo date razlomke na zajedniqki imenilac, broj 60. 14 45 40 30 24 24 45 40 30 18 , , , i , pa je: > > > > Dobijemo redom: 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 14 3 2 1 2 3 7 18 > , odnosno: > > > > > . 60 60 4 3 2 5 10 30 Grupa V) 1. Odredimo prvo qOr = 72◦ 43 −21◦ 19 = 51◦ 24 . Onda je, prema slici, 3x = 180◦ − qOr − rOt = 180◦ − 51◦ 24 − 68◦ = 128◦ 36 − 68◦ = 60◦ 36 . Sada, iz 3x = 60◦ 36 , dobijamo x = 60◦ 36 : 3 = 20◦ 12 . Traeni ugao je x = 20◦ 12 . 2. Najpre iz 2340 : 60 = 39, zakljuqimo da je 2340 = 39◦ . Sliqno je 3480 = 64◦ . Onda, zbog paralelnosti pravih AB i d, zakljuqujemo da je α = 64◦ i ϕ = 39◦ . Konaqno je γ = 180◦ −64◦ −ϕ = 180◦ −64◦ −39◦ = 116◦ − 39◦ = 77◦ . 3. Neka je θ ugao suplementan sa ϕ. Onda je ϕ = 7θ, pa iz ϕ+ θ = 180◦ , dobijemo 7θ + θ = 180◦ ili 8θ = 180◦ . Odavde je θ = 180◦ : 8 = 22◦ 30 . Sledi da je ϕ = 180◦ − θ = 180◦ − 22◦ 30 = 157◦ 30 . Traeni ugao je ϕ = 157◦ 30 . 42 ∗ = . 4. Proxirimo drugi razlomak sa 3 i dobijemo: 117 117 Sledi da umesto ∗ treba staviti broj 42. (Moemo koristiti uslov jednakosti dva razlomka: ∗ · 39 = 14 · 117, itd.) 5. Dovedemo razlomke na zajedniqki brojilac, broj 120. Dobi120 120 120 120 120 120 120 120 120 , , , , , , pa je: > > > jemo redom: 160 180 315 210 224 280 160 180 210 120 120 3 2 4 15 3 8 120 > > , odnosno: > > > > > . 224 280 315 4 3 7 28 7 21 Grupa G) 1. Najpre odredimo meru ugla α. Vidimo na slici da je 4α = 90◦ , pa je α = 90◦ : 4 = 22◦ 30 . Sada iskoristimo qinjenicu da su 3x i α suplementni uglovi: 3x = 180◦ − α = 180◦ − 22◦ 30 = 157◦ 30 . Onda, iz 3x = 157◦ 30 , dobijamo x = 157◦ 30 : 3 = 52◦ 30 . Traeni ugao je x = 52◦ 30 2. Najpre odredimo 3, koji je suplementan sa 143◦ . Imamo: 3 = 180◦ −143◦ = 37◦ . Zbog paralelnosti pravih p i r je 1 = 3, pa je 1 = 37◦ . Takoe, zbog paralelnosti pravih q i r, vai jednakost

Drugi pismeni zadatak

23

2 = 41◦ . Sa slike vidimo da je traeni ugao: x = 1 + 2 = 37◦ + 41◦ = 78◦ .

3. Ako je ϕ ugao komplementan sa θ, onda, prema uslovu je ϕ = 4θ. Sledi da je θ +ϕ = 90◦ , odnosno θ +4θ = 90◦ , ili 5θ = 90◦ . Odavde je traeni ugao θ = 90◦ : 5 = 18◦ . 4. Dovedemo date razlomke na zajedniqki imenilac, broj 42. 6 1 7 1 = i = . Kad nove razlomke proxirimo sa 6, Dobijemo: 7 42 6 42 36 1 42 1 = i = . Sada lako odredimo pet traenih dobiemo 7 252 6 252 36 37 38 39 40 41 42 1 1 < < < < < < = . razlomaka: = 7 252 252 252 252 252 252 252 6 5. Dovedemo razlomke na jednake brojioce, broj 360. Dobijemo 360 360 360 360 360 360 , , , , , , pa zakljuqimo da je: redom: 864 840 480 675 800 900 360 360 360 360 360 360 < < < < < . Vratimo se na date razlomke: 900 864 840 800 675 480 5 3 9 8 3 2 < < < < < . 5 12 7 20 15 4 Grupa D) 1. Najpre izrazimo date uglove u stepenima. (151740 : 3600 = 42 i ostaje 540. Dalje je 540 : 60 = 9, pa zakljuqujemo da je 151740 = 42◦ 9 . Sliqno odredimo da 6457 = 107◦ 37 .) Na slici desno osenqili smo ugao koji je unakrsan (i jednak) sa 2x. Primeujemo da je na ovoj slici 1 = 42◦ 9 (unakrsni uglovi), pa je 2x = 107◦ 37 − 1 = 107◦ 37 − 42◦ 9 = 65◦ 28 . Onda, iz 2X = 65◦ 28 , dobijamo x = 65◦ 28 : 2 = 32◦ 44 . Traeni ugao je x = 32◦ 44 .

24

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

2. Na osnovu osobina uglova s paralelnim kracima zakljuqujemo da je α − 43◦ i da je γ = 180◦ − 99◦ = 81◦ . Takoe je DEF = γ = 81◦ (sa paralelnim kracima). Sa date slike uoqavamo da je AED = 180◦ − 43◦ − DEF = 180◦ − 43◦ − 81◦ = 137◦ − 81◦ = 56◦ . Dakle, AED = 56◦ , a β = AED (sa paralelnim kracima). Prema tome: α = 43◦ , β = 56◦ i γ = 81◦ . 3. Ako je α suplementan sa γ, onda je prema uslovu α = 4γ. Iz jednakosti α + γ = 180◦ , dobijamo 4γ + γ = 180◦ , odnosno 5γ = 180◦ . Sledi da je γ = 180◦ : 5 = 36◦ . Traeni ugao je γ = 36◦ . 7

1

2

1

4. Prvo skratimo

(Prvo smo skra1

3

4

2

tili 105 i 15 sa 15, zatim 12 i 48 sa 12, pa 52 i 78 sa 26.) 5. Dovedemo date razlomke na zajedniqki brojilac, broj 18. 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 , , , , , , pa sloimo: > > > > Dobijemo: 20 30 36 26 24 27 20 24 26 27 18 18 > . Vratimo se na poqetne oblike razlomaka: 30 36 3 9 2 3 1 9 > > > > > . 10 4 13 3 5 2

Xesta kontrolna veba Grupa A) 1. a)

120 120 120 16 35 54 , , . b) , , . 60 60 60 64 210 55

2. a) NZS za imenioce je broj 42, pa imamo: b) NZS za brojioce je broj 36, pa je

30 30 = . 42 42

36 36 < . 51 50

daje 3 · 1221 = 3663 i 373 · 9 = 3357. Kako je 9 3 > . 3663 > 3357, zakljuqujemo da je 373 1221 53 18 2 1325 = (Skratili smo sa 25.) b) 0, 1˙ 8˙ = = . 3. a) 1, 325 = 1000 40 99 11 v)

25

Xesta kontrolna veba

4. Rexenje vidimo na slici.

Grupa B) 44 39 126 , , . 336 336 336 60 60 60 , , . b) NZS za brojioce je 60, pa dobijamo: 35 45 16 72 16 15 72 > . b) > . 2. a) NZS za 24 i 36 je 72, pa je 27 30 18 18 1. a) NZS za imenioce je broj 336, pa imamo:

v)

daje 13 · 192 = 2496 = 24 · 104, pa

104 13 = . 24 192

75 15 1875 = = . (Prvo smo skratili sa 25.) 1000 40 8 8 72 = . b) 0, 7˙ 2˙ = 99 9 1 3 4. Rexenje je dato na sledeoj slici: (2, 3˙ = 2 + = 2 ). 9 3

3. a) 1, 875 =

Grupa V) 30 30 30 , i . 22 35 27 32 105 50 , i . b) NZS za 24, 36 i 45 je 360, pa je: 360 360 360 60 60 > . 2. a) NZS za brojioce je 60, pa dobijamo: 52 54 210 190 < . b) NZS za imenioce je 240, pa je 240 240 1. a) NZS za 15, 6 i 10 je 30, pa imamo:

26

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

v)

daje 50 · 144 = 7200 = 75 · 96, pa

96 50 = . 75 144

31 117 13 775 = . (Skraeno sa 25.) b) 0, 1˙ 1˙ 7˙ = = . 100 4 999 111 4. Rexenje je na sledeoj slici:

3. a) 7, 75 =

Grupa G) 36 36 36 , , . 28 117 42 85 112 108 , , . b) NZS za imenioce je 240, pa imamo: 240 240 240 168 168 = . 2. a) NZS za 105 i 45 je 315, pa je 315 315 360 360 > . b) NZS za 24 i 90 je 360, pa zakljuqujemo da je 135 140 1. a) NZS za brojioce je broj 36, pa dobijemo:

dobijamo 48 · 90 = 4320 i 400 · 12 = 4800. Kako 12 48 < . je 4320 < 4800, sledi da je i 400 90 v) Iz

17 2125 = . (Skratili smo sa 125.) 1000 8 5 45 = . b) 0, 4˙ 5˙ = 99 11 4. Rexenje je na sledeoj slici.

3. a) 2, 125 =

Grupa D) 1. a) NZS za 28, 6 i 24 je broj 168, pa imamo:

126 140 147 , , . 168 168 168

Sedma kontrolna veba

27

30 30 30 , , . 35 33 26 120 120 2. a) NZS za brojioce je 120, pa je < . 112 105 150 150 = . b) NZS za imenioce je 210, pa dobijamo: 210 210 b) NZS za 6, 10 i 15 je 30, pa dobijemo:

dobijamo 4 · 1998 = 7992 i 111 · 71 = 7881. 71 4 > . Kako je 7992 > 7881, zakljuqujemo da je 111 1998 v) Iz

13 1625 = . (Skraeno sa 125.) 1000 8 26 234 = . b) 0, 2˙ 3˙ 4˙ = 999 111 4. Rexenje vidimo na sledeoj slici.

3. a) 1, 625 =

Sedma kontrolna veba Grupa A) 1 3 7 6 9 4 1 7 + − = + − = = . 12 2 4 12 12 12 12 3 b) 11, 59 − 7, 462 − 0, 8 = 4, 128 − 0, 8 = 3, 328. 1. a)

1 25 3 175 25 3 7 25 − 18 + 21 1 − + = − + = = 2. 2 − 1 + 1, 75 = 12 2 12 2 100 12 2 4 12 7 1 28 = =2 . 12 3 3 3. Na primer: 1 > 0, 99 > 0, 98 > 0, 97 > 0, 96 > 0, 9. 3 8 + 15 23 23 1 + = = puta. Kako je = 4. Vozaq je prexao 5 8 40 40 40 3 1 3 3 1 20 + = + , zakljuqujemo da puta iznose 12 km. Onda je 40 40 2 40 40 40 puta jednaka 12 : 3 = 4 km, a ceo put je 40 · 4 km= 160 km. Vozaq je prexao polovinu puta (80 km) i jox 12 km, ukupno 92 km. Do cilja je ostalo 68 km.

28

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

Grupa B) 7 7 12 14 21 5 1 2 + − = + − = = . 5 15 10 30 30 30 30 6 b) 0, 0372 + 12, 73 − 3, 4952 = 12, 7672 − 3, 4952 = 9, 272.     5 5 1 3375 53 17 1 27 1 + 3, 375 − 4 − 2 = + − − = + − 2. 24 12 6 24 1000 12 6 24 8  1 27 19 1 81 38 44 11 5 53 34 − = + − = + − = = =1 . 12 12 24 8 12 24 24 24 24 6 6 1.

3. 0, 1 > 0,11 < 0,12 < 0,13 < 0,14 < 0, 2. 15 3 cm = 3, 75 cm. Druga stranica je 4. Neka je a = 3 cm = 4 4 b = a − 0, 2 dm = a − 2 cm = 1, 75 cm. Obim je a + b + c = 1 dm = 10 cm, pa iz 3, 75 + 1, 75 + c = 10, odnosno iz 5, 5 + x = 10, dobijamo c = 10 − 5, 5 = 4, 5 cm. Onda je trea stranica c = 4, 5 cm = 0, 45 dm. Grupa V) 11 18 15 4 29 15 4 18 3 1 11 3 5 1 + − + = + − + = − + = = =1 . 12 2 4 3 12 12 12 12 12 12 12 12 2 2 b) 22, 937 + 11, 43 − 28, 067 = 34, 367 − 28, 067 = 6, 3 1. a)

5 25 19 23 5 19 23 30 19 46 7 + − = + − = + − = 2. 2, 5 + 1 − 3 = 12 6 10 12 6 2 12 6 12 12 12 1 3 = . 12 4 3. Na primer: 0, 9 > 0, 89 > 0, 88 > 0, 87 > 0, 86 > 0, 855 > 0, 85. 1 1 3 4 2 9 1 + + = eparca. 4. Duca je potroxio + + = 4 3 6 12 12 12 12 1 3 = eparca za ostale potrebe. Ostalo mu je 12 4 Grupa G) 3 1 16 6 5 15 3 4 − + = − + = = . 5 10 4 20 20 20 20 4 b) 18, 025 − 0, 877 + 3, 552 = 17, 148 + 3, 552 = 20, 7. 1. a)

7 1 1 = 3, 5 + 0, 4 − 2, 7 = 3, 9 − 2, 7 = 1, 2 = 1 . 2. 3 + 0, 4 − 2 2 10 5

Osma kontrolna veba

29

3. 1 1 1 2 3 1 6 4. Suzana je potroxila + + = + + = = 1, tj. 3 2 6 6 6 6 6 potroxila je sav novac. Nije joj ostalo nixta. Grupa D) 9 8 14 15 5 1 3 2 7 − + = − + = = =1 . 4 3 6 12 12 12 12 4 4 b) 7, 234 + 90, 306 − 88, 0562 = 97, 54 − 88, 0562 = 9, 4838.

1. a)

1 42 11 13 126 55 130 181 130 5 + − = + − = − = 2. 4, 2 + 1 − 4 = 6 3 10 6 3 30 30 30 30 30 17 7 51 = = 1, 7 = 1 . 30 10 10 3. Na primer: 2, 42 < 2,421 < 2,422 < 2,423 < 2,424 < 2, 43. 1 19 5 19 15 34 17 7 +1 litara. To je + = + = = 12 4 12 4 12 12 12 16 30 17 13 1 17 = − = = 2 litara. litara. Doliemo vode 5 − 6 6 6 6 6 4. U loncu ima 1

Osma kontrolna veba Grupa A) 5 7 11 14 11 3 1 1 1 = − = = . Provera: 2 − 1. a) x = 2 − 1 = − 3 6 3 6 6 6 6 2 3 7 1 14 3 11 5 1 1 = − = − = = 1 , xto je taqno. Rexenje je x = . 2 3 2 6 6 6 6 2 5 31 41 62 41 21 7 3 1 = − = − = = = 1 . Provera: b) x = 5 − 3 6 12 6 12 12 12 12 4 4 5 7 41 21 41 62 31 1 3 = + = + = = = 5 , xto je taqno. Rexenje 1 +3 4 12 4 12 12 12 12 6 6 3 je x = 1 . 4 3 3 1 2. x ≥ 4, 25 − 2 = 4, 25 − 2, 5 = 1, 75 = 1 . Rexenje je x ≥ 1 , xto 2 4 4 je prikazano i na brojevnoj polupravoj.

30

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

1 1 1 3 5 13 4 5 3 1 3. m + p − n − q − 0, 75 = 2 + 2 − 1 − 1 − = + − − − = 2 6 3 4 4 2 6 3 4 4 40 − 15 − 9 16 4 1 30 + 26 − 16 − 15 − 9 = = = =1 . 12 12 12 3 3 1

1

1

4.

(Skratili smo 1

1

1

1

1

6 sa 6, zatim 15 sa 3 · 5 i 16 sa 2 · 8.) Grupa B) 1 1 1. a) x = 5, 6 − 2 = 5, 6 − 2, 5 = 3, 1 = 3 . Provera: 5, 6 − 3, 1 = 2 10 1 1 2, 5 = 2 , xto je taqno. Rexenje jednaqine je x = 3 = 3, 1. 2 10 1 41 13 41 39 80 40 4 5 + = + = = = 4 . Provera: b) x = 2 + 2 = 18 6 18 6 18 18 18 9 9 5 40 41 80 41 39 13 1 4 = − = − = = = 2 , xto je taqno. Rexenje 4 −2 9 18 9 18 18 18 18 6 6 4 je x = 4 . 9 1 1 1 2. x < 5 − 3, 15 = 5, 25 − 3, 15 = 2, 1 = 2 . Rexenje, x < 2 , 4 10 10 vidimo i na brojevnoj polupravoj.

3. m+n−k −4, 13 = 9, 43+22, 937−23, 037−4, 13 = 32, 367−23, 037− 4, 13 = 9, 33 − 4, 13 = 5, 2 4. smo skratili 3 sa 3, pa 25 i 10 sa 5, pa 24 i 4 sa 4. )

(Prvo

31

Osma kontrolna veba

Grupa V) 3 1 43 9 43 18 25 1 3 − = − = =3 . 1. a) x = 5 − 2, 25 = 5 − 2 = 8 8 4 8 4 8 8 8 8 1 2 1 3 Provera: 5 − 3 = 2 = 2 = 2, 25 xto je taqno. Rexenje jednaqine 8 8 8 4 1 je x = 3 . b) Prvo sredimo levu stranu jednaqine (18, 24 − 7, 03 = 8 11, 21), pa iz 11, 21 = x + 6, 3 dobijemo x = 11, 21 − 6, 3 = 4, 91. Provera: 18, 24 − 7, 03 = 11, 21 i 4, 91 + 6, 3 = 11, 21. Taqno je, pa je x = 4, 91 rexenje jednaqine. 1 1 1 2. x ≤ 4, 375 − 1 = 4, 375 − 1, 125 = 3, 25 = 3 . Rexenje, x ≤ 3 , 8 4 4 vidimo i na brojevnoj polupravoj.

1 19 +2 − 3. Prvo odredimo brojevne vrednosti za a, b i d. a = 12 4 19 9 11 19 + 27 − 22 24 5 7 15 − 7 11 = + − = = = 2. Zatim, b = − = = 6 12 4 6 12 12 2 6 6 4 1 1 1 5 4 15 − 8 7 1 8 = = 1 , pa d = 2 −1 = − = = = 1 . Onda raqunamo 6 3 3 2 3 2 3 6 6 6 1 3 4 7 11 1 = vrednost izraza: a − b + d − c = 2 − 1 + 1 − 1 = 2 − + − 3 6 8 3 6 8 16 + 28 − 33 11 48 − 32 + 28 − 33 = = . 24 24 24 1

10

1

2

3

1

4

4. 1

Grupa G) 9 1 1 1. a) x = 2 − 0, 35 = 2, 25 − 0, 35 = 1, 9 = 1 . Provera: 2 − 1, 9 = 4 10 4 9 2, 25 − 1, 9 = 0, 35 xto je taqno. Rexenje jednaqine je x = 1, 9 = 1 . 10 1 13 5 13 15 28 14 2 1 + = + = = = 4 . Provera: b) x = 2 + 2 = 6 2 6 2 6 6 6 3 3

32

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

1 14 13 28 13 15 5 1 2 − = − = = = 2 , xto je taqno. Rexenje je 4 −2 = 3 6 3 6 6 6 6 2 2 2 x=4 . 3 9 625 9 25 9 5 18 5 13 5 1 = − = − = − = =1 . 2. x < 2 − 0, 625 = − 4 4 1000 4 40 4 8 8 8 8 8 5 Rexenje nejednaqine, x < 1 , vidimo i na brojevnoj polupravoj. 8

3. Odredimo prvo: x = 32, 03 − 9, 75 = 22, 28 onda y = 22, 043 − 14, 557 = 7, 486 i z = 73, 42 − 64, 02 = 9, 4. Onda, raqunamo brojevnu vrednost izraza: x−y+z = 22, 28−7, 486+9, 4 = 14, 794−7, 486 = 7, 308. 3

8

1

1

1

2

1

3

1

4

4.

(Prvo 1

1

1

smo skratili 21 sa 7, pa 24 i 9 sa 3, zatim 5 i 10 sa 5 i 16 sa 4 · 4.)

Grupa D) 9 13 18 13 5 1 1 − = − = = 1 . Provera: 1. a) x = 4, 5 − 3 = 4 2 4 4 4 4 4 1 2 1 1 1 1 + 3 = 4 = 4 = 4, 5 xto je taqno. Rexenje jednaqine je x = 1 . 4 4 4 2 4 b) Najpre raqunamo 2, 31 − 1, 81 = 0, 5. Jednaqina 2, 05 − x = 0, 5 ima rexenje x = 2, 05− 0, 5 = 1, 55. Provera: 2, 05− 1, 55 = 0, 5 xto je taqno. Rexenje jednaqine je x = 1, 55. 1 1 3 2. x ≤ 2 + 5, 5 = 2, 75 + 5, 5 = 8, 25 = 8 . rexenje je x ≤ 8 , xto 4 4 4 vidimo i na brojevnoj polupravoj.

Trei pismeni zadatak

33

3. Najpre odredimo brojevne vrednosti za m, n, p i q. Imamo: 1 3 m = 0, 6+ = 0, 6+0, 6 = 1, 2 zatim, n = 1 −0, 125 = 1, 5−0, 125 = 1, 375 5 2 3 9 = 1, 4 − 0, 9 = 0, 5 i q = 2, 25 − = 2, 25 − 1, 5 = 0, 75. onda, p = 1, 4 − 10 2 Sada odredimo vrednost izraza: m + q − (n + p) = 1, 2 + 0, 75 − (1, 375 + 0, 5) = 1, 95 − 1, 875 = 0, 075.

4. (Prvo smo skratili 16 sa 8, pa 2, pa 15 sa 3 · 5 i 6 sa 6.)

Trei pismeni zadatak Grupa A) 3

1.

4

2. To je 1 1 = 5, 375−3, 125 = 2, 25 = 2 . 8 4 4. Nepoznati broj oznaqimo sa x. Na osnovu postavljenih uslova dobijamo jednaqinu: 4, 026 + 13, 74 − x = 24, 7 − 14, 904. Prvo odredimo zbir i razliku: 17, 766 − x = 9, 796. Odavde je x = 17, 766 − 9, 796, odnosno x = 7, 97. To je traeni broj. 3. Rexenje jednaqine je x = 5, 375−3

      3 1 1 1 27 25 4 10 54 25 4 10 a − · − = − · − = 5. = 6 − 3 ·1 −3 = b 4 8 3 3 4 8 3 3 8 8 3 3 1

2

9 3 a 3 29 20 − = = . Dakle, = , pa je a = 3 i b = 2. 6 6 6 2 b 2

34

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

Grupa B)

1.

2. To iznosi 7 40 43 80 43 123 4 = + = + = = 3. Rexenje jednaqine je x = 4 + 2 9 18 9 18 18 18 18 5 41 =6 . 6 6 4. Oznaqimo nepoznati broj sa x i dobijemo nejednaqinu: 8 8 16, 3425 − x ≥ + 11, 1025. Na desnoj strani je + 11, 1025 = 1, 6 + 5 5 11, 1025 = 12, 7025. Imamo nejednaqinu 16, 3425 − x ≥ 12, 7025 odakle je x ≤ 16, 3425 − 12, 7025 = 3, 64. rexenje je x ≤ 3, 64.     1 28 18 15 9 10 18 75 9 m 10 = · + − = · + − 28 = 5. n 3 10 2 10 3 10 10 10 1

1

m 28 28 . Dakle, = . pa je m = 28 i n = 1. 1 n 1 Grupa V) 3

1.

1

2

2. To iznosi 4 3 − 1, 5 = 4, 3 − 1, 5 = 2, 8 = 2 . 10 5 3 4. Neka je x nepoznati broj. Imamo jednaqinu: x + 3 = 6, 125 − 4 1 1 1 49 5 49 10 39 1 − = − = , dobijemo 1 . Kako je 6, 125 − 1 = 6 − 1 = 4 4 8 4 8 4 8 8 8 39 39 3 39 15 39 30 9 1 3 −3 = − = − = =1 . uslov x+3 = . Odavde je x = 4 8 8 4 8 4 8 8 8 8 3. Rexenje jednaqine je x = 4

35

Trei pismeni zadatak

  1 3 2 x 5. = 1 : 3 + 2 + 4, 25 y 3 4 3   15 8 17 4 45 + 32 + 51 4 128 4 : + + = : = : 3 4 3 4 3 12 3 12

3

1

1

32

1

8

Grupa G)

1. 1

3

5

1

1

5

2

1

2. To je 1 9 7 27 + 7 34 1 = = 3. Rexenje jednaqine je x = 4 + 1 = + = 2 6 2 6 6 6 2 17 =5 . 3 3 4. Prosutu koliqinu vode oznaqimo sa x, pa dobijemo nejednaq11 2 11 44 131 2 = − = inu: 14 − x ≥ 10 . Njeno rexenje je x ≤ 14 − 10 3 12 3 12 3 12 45 15 3 3 176 131 − = = = 3 . Dakle, x ≤ 3 , xto znaqi da moemo da 12 12 12 4 4 4 3 prospemo najvixe 3 litara vode. 4   1 2 1 p 5. = 3 : 2 : 1, 8 + 1 · 0, 6 q 3 5 9

Dakle,

5 p = , pa je p = 5 i q = 3. q 3

Grupa D) 1

1.

3

36

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka 1

1

2

1

1

2. To iznosi 1 3 17 7 3 − = 3. Rexenje jednaqine je: x = 2, 125 − 1 = 2 − 1 = 4 8 4 8 4 3 17 14 − = . 8 8 8 4. Ako je x nepoznati broj, dobijamo jednaqinu: 8, 206−1, 53+x = 3, 09+7, 603−2, 106. Kako je 8, 206−1, 53 = 6, 676 i 3, 09+7, 603−2, 107 = 10, 693 − 2, 107 = 8, 586 ostaje jednaqina: 6, 676 + x = 8, 586. Njeno rexenje je x = 8, 586 − 6, 676 = 1, 91. Traeni broj je x = 1, 91. 3 2     1 2 2 1 n : 8 + 4, 5 · 1 5. = 4 − 2 k 2 3 3 3 1 1 1 1     26 11 26 18 27 − 16 : +6 = : + Dakle, 6 3 6 3 3 2 4 1 n = , pa je n = 1 i k = 8. k 8

Deveta kontrolna veba Grupa A) 1. 0, 21 : (0, 75 − 0, 012 : 0, 02) − 1, 73 · 0, 16 = 0, 21 : (0, 75 − 1, 2 : 2) − 0, 2768 = 0, 21 : (0, 75 − 0, 6) − 0, 2768 = 0, 21 : 0, 15 − 0, 2768 = 21 : 15 − 0, 2768 = 1, 4 − 0, 2768 = 1, 1232.   2 8 1 2. 4 · 17, 04 : 21, 6 + 4, 48 : 2 = (4, 5 · 17, 04) : 21, 6 + 4, 48 : = 2 3 3 3 76, 68 : 21, 6 + 4, 48 · = 766, 8 : 216 + 13, 44 : 8 = 3, 55 + 1, 68 = 5, 23. 8 3       3 3 2 1 15 17 19 15 34 19 4 =3 : 5 −3 = : − = : − = 3 1 2 4 3 6 4 3 6 4 6 6 5 −3 3 1 6 3 15 15 : 4 6 2

1

37

Deveta kontrolna veba

3 9 3 36 3 39 1 + = . 4. Iz date jednaqine je 2 x = 4, 5 + = + = 4 8 2 8 8 8 8 1 39 39 1 39 9 39 4 13 1 Onda, iz 2 x = , dobijamo x = :2 = : = · = =2 . 4 8 8 4 8 4 8 9 6 6 1 Rexenje je x = 2 . 6 Grupa B) 1. (1, 53 : 1, 5+17, 4 : 29)·0, 25−0, 005 = (15, 3 : 15+0, 6)·0, 25−0, 005 = (1, 02 + 0, 6) · 0, 25 − 0, 005 = 1, 62 · 0, 25 − 0, 005 = 0, 405 − 0, 005 = 0, 4.   1 3 2. 3 + 2, 625 : 1 − 2, 55 : 1, 25 = (3, 75 + 2, 625) : 1, 25 − 4 4 255 : 125 = 6, 375 : 1, 25 − 2, 04 = 637, 5 : 125 − 2, 04 = 5, 1 − 2, 04 = 3, 06.

3.

4

1

1

1

1 + 1, 25 = 3, 25 + 1, 25 = 4, 5. Onda, iz 1, 2x = 4, 5 4 3 dobijamo x = 4, 5 : 1, 2 = 45 : 12 = 3, 75 = 3 . 4 4. 1, 2x = 3

Grupa V) 1. (21, 85 : 43, 7+2, 5−7, 2·0, 25)·2, 25 = (218, 5 : 437+2, 5−1, 8)·2, 25 = (0, 5 + 2, 5 − 1, 8) · 2, 25 = 1, 2 · 2, 25 = 2, 7.   3 1 + : 0, 375 = 2, 7 : (3, 5 − 1, 25) + 0, 75 : 0375 = 2. 2, 7 : 3, 5 − 1 4 4 2, 7 : 2, 25 + 750 : 375 = 270 : 225 + 2 = 1, 2 + 2 = 3, 2. 5       2 5 1 1 21 13 4 21 13 8 8 = 2 : 2 +1 : + = : + = 3. 1 1 8 6 3 8 6 3 8 6 6 2 +1 6 3 21 21 : 8 6

1

3

4

1

38

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

1 9 3 9 6 3 1 3 1 4. 1 x = 2 − 1, 5 = − = − = . Sada iz 1 x = dobijamo 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3 1 3 5 3 4 3 3 x = : 1 = : = · = . Rexenje je x = . 4 4 4 4 4 5 5 5 Grupa G) 1. 460, 08 : 129, 6 + (21, 018 − 7, 548) : 8 = 4600, 8 : 1296 + 13.47 : 8 = 3, 55 + 1, 68375 = 5, 23375.     1 1 3 1 : 1 − 17 : 6 + 5, 5 = 2. 2, 75 + 3 2 4 2 4         1 5 35 27 55 11 7 4 35 27 11 3 : − : + = + · − : + = 2 +3 4 2 4 2 4 10 4 2 5 2 4 2 1 5 5 2     4 35 27 22 11 14 + · − : + 4 4 5 2 4 4 1

1

1

7

35 10 25 4 10 = − = =3 . 5− 7 7 7 7 7 1 1         4 −2 1 1 2 1 25 5 8 3 6 2 = 4 −2 : 2 +1 = − : + = 3. 1 2 6 2 3 2 6 2 3 2 2 +1 3 2 2 1     16 9 10 25 25 15 − : + = : 6 6 6 6 6 6 1

5

1 1 1 4. 2 x = 2, 75− = 2, 75−0, 25 = 2, 5. Sada iz 2 x = 2, 5 dobijamo 2 4 2 1 1 1 x = 2, 5 : 2 = 2 : 2 = 1. Rexenje je x = 1. 2 2 2 Grupa D) 1. ((7, 803 + 8, 547) · 2, 5 − 3, 3) : 4, 5 = (16, 35 · 2, 5 − 3, 3) : 4, 5 = (40, 875 − 3, 3) : 4, 5 = 37, 575 : 4, 5 = 375, 75 : 45 = 8, 35.       3 2 1 2. 563 : 15, 02 · 3 − 1, 5 : 2 − 1, 9 = (563, 25 : 15, 02) · 4 5  4 2 (3, 75 − 1, 5) : 2 − 1, 9 = (563, 25 : 15, 02) · (3, 75 − 1, 5) : (2, 4 − 1, 9) = 5

39

Deseta kontrolna veba

1 (56325 : 1502) · 2, 25 : 0, 5 = 37, 5 · 2, 25 : = 37, 5 · 2, 25 · 2 = 37, 5 · 4, 5 = 2 168, 75. 1     2 − 1, 2 1 1 5 6 26 25 − 12 5 2 3. = 2 − 1, 2 : 5 − − : = · = 1 2 5 2 5 5 10 26 5 5 1

1

2

2

1 4. 0, 625x = 4 − 7 25 625 = 0, 625 = 1000 40 5

7

2

1 29 13 116 − 91 25 = − = = . Osim toga, 4 7 4 28 28 5 5 25 = , pa iz x = , dobijamo rexenje 8 8 28

3

3 Dakle, rexenje jednaqine je x = 1 . 7

1

Deseta kontrolna veba Grupa A) 3 3 5, 21 + 1 + 10 + 2 5 4 . Izraqunamo zbir u brojiocu: 5, 21 + 1. s = 4 1, 6 + 10 + 2, 75 = 19, 56. Onda je x = 19, 56 : 4 = 4, 89. 3

2. 1 3

1

2

5

3. Rexavanjem dobijamo: 1

3 Onda, iz 0, 5x > , sledi Rexe10 1 3 nje je: x > , a prikazali smo ga i na brojevnoj polupravoj (sledea 5 slika).

40

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

4. Preslikamo taqke B i C, simetriqno u odnosu na pravu s, na uobiqajeni naqin. (Iz B konstruixemo normalu BS na s, pa u produetku odredimo taqku B1 , tako da je B1 S = BS. Na isti naqin odredimo i taqku C1 , simetriqnu sa C.) Taqka A je simetriqna samoj sebi, jer je na osi s. Trougao AB1 C1 je simetriqan trouglu ABC. 5. Figura koju odreuju dva data jednaka kruga ima dve ose simetrije. To su: prava O1 O2 i simetrala s dui O1 O2 , xto je prikazano na slici desno. Grupa B) 30 + 32 + 25 + 13 3 4 5 13 = = 1. Saberemo date brojeve: + + + 4 5 8 40 40 5 5 5 1 5 100 = . Aritmetiqka sredina je s = : 4 = · = . 40 2 2 2 4 8 2. Iz a : b : c = 2 : 7 : 6 sledi da je a = 2k, b = 7k i c = 6k, gde emo k odrediti iz uslova a + b + c = 18. Ovaj zbir daje uslov: 2k + 7k + 6k = 18. Odavde je 15k = 18, pa je k = 18 : 15 = 1, 2. Onda je a = 2k = 2 · 1, 2 = 2, 4 i b = 7k = 7 · 1, 2 = 8, 4 i c = 6k = 6 · 1, 2 = 7, 2. 1 11 13 22 13 35 2 + = + = . Zatim, iz 3. Najpre je 2, 5x ≤ 3 + 2 = 3 6 3 6 6 6 6 35 35 35 5 35 2 35 dobijamo x ≤ : 2, 5. Kako je : 2, 5 = : = · = 2, 5x ≤ 6 6 6 6 2 6 5 1 1 7 = 2 , bie x ≤ 2 rexenje date nejednakosti (vidi sliku). 3 3 3

Deseta kontrolna veba

41

4. Taqke K i N su na osi s, pa su simetriqne same sebi. Taqke L i M preslikamo simetriqno u odnosu na pravu s. (Iz L konstruixemo normalu LS na s, pa na njenom produetku odredimo taqku L1 , tako da je LS = SL1 . Sliqno preslikamo i taqku M .) Qetvorougao KL1 M1 N simetriqan je datom qetvorouglu KLM N .

5. Data figura ima dve ose simetrije, prave s1 i s2 , koje vidimo na slici gore desno. Grupa V) 1 3 1. Saberemo date brojeve: 5, 2 + 3 + 8 + 4, 7 + 2 + 6 = 5, 2 + 3, 6 + 5 5 8 + 4, 7 + 2, 2 + 6 = 29, 7. Aritmetiqka sredina je s = 29, 7 : 6 = 4, 95. 5

3

1

8

2. 3 3 9 7 3 3. Najpre imamo: x ≤ 4, 5 − 1 . Kako je 4, 5 − 1 = − = 4 4 4 2 4 7 11 3 11 18 − = , dobijamo nejednaqinu: x ≤ . Odavde sledi da je 4 4 4 4 4 11 4 11 2 2 11 3 : = · = = 3 . Dakle, imamo rexenje x ≤ 3 , koje x≤ 4 4 4 3 3 3 3 vidimo na slici.

4. Preslikaemo taqke Q i R, kao xto je opisano u rexenjima zadataka iz grupa A) i B). Trougao P Q1 R1 simetriqan je trouglu

42

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

P QR, slika dole levo.

5. Data figura ima dve ose simetrije, prave s1 i s2 , koje vidimo na slici gore desno. Grupa G) 3 1 1. Odredimo zbir datih brojeva: 3, 2+2 +4+6 +7, 8 = 3, 2+2, 5+ 2 4 4 + 6, 75 + 7, 8 = 24, 25. Aritmetiqka sredina je s = 24, 25 : 5 = 4, 85. 2. Iz x : y : z = 5 : 8 : 7 sledi da je x = 5k, y = 8k i z = 7k. Onda iz x + y − z = 24, dobijamo: 5k + 8k − 7k = 24, odnosno 6k = 24, pa je k = 4. Prema tome: x = 5k = 5 · 4 = 20, y = 8k = 8 · 4 = 32 i z = 7k = 7 · 4 = 28.

3. Iz date nejednaqine je

Sada iz

63 63 7 63 2 9 1 63 dobijamo x < : 3, 5 = : = · = = 2 . Dakle, 8 8 8 2 8 7 4 4 1 rexenje nejednaqine je x < 2 . Vidimo ga na slici dole. 4

3, 5x <

4. Preslikamo taqke B i D, kao u zadacima iz grupa A) i B. Qetvorougao AB1 CD1 simetriqan je qetvorouglu ABCD, slika

Deseta kontrolna veba

43

dole levo.

5. Figura koju odreuje dati krug ima dve ose simetrije, prave s1 i s2 , koje vidimo na slici gore desno.

Grupa D) 7 3 1. Zbir datih brojeva je 4 + 2 + 5, 3 = 4, 6 + 2, 7 + 5, 3 = 12, 6 5 10 pa je aritmetiqka sredina s = 12, 6 : 3 = 4, 2. 4

1

1

3

2. 1 21 24 3 − = 3. Iz date nejednaqine sledi da je: 3 : x ≤ 4 −2, 4 = 8 5 5 10 9 3 9 21 12 − = . Onda, iz 3 : x ≤ dobijamo 5 5 5 8 5 3

ga na slici.

1

7 Rexenje je x ≥ 1 i vidimo 8

4. Temena datog trougla preslikamo kao xto je opisano u zadacima grupa A) i B). Trougao X1 Y1 Z1 simetriqan je trouglu XY Z, slika dole levo.

44

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

5. Data figura ima dve ose simetrije, prave s1 i s2 , na slici gore desno.

Qetvrti pismeni zadatak

Grupa A)

5

1

1 1. 17 : 2 2 7



3 1 6 +5 4 2



35 = : 2



27 11 + 4 2

 =

35 27 + 22 35 49 : = : 2 4 2 4

1 9 21 45 − 21 24 12 1 = = = . Onda, iz 2. x : 3 = 4 − 2, 1 = − 3 2 2 10 10 10 5 12 1 12 10 12 1 dobijamo x = 3 · = · = 8. Rexenje je x = 8. x:3 = 3 5 3 5 3 5 3. Oznaqavamo sa a, b i n redom, broj devojqica, deqaka i nastavnika. Tada je b : n = 8 : 1. Kako je a : b = 5 : 4 = 10 : 8, sledi da je a : b : n = 10 : 8 : 1. Odavde je a = 10k, b = 8k i n = k, pri qemu je a + b + n = 1444 (dato). Onda, iz 10k + 8k + k = 1444, odnosno iz 19k = 1444 dobijamo k = 1444 : 19 = 76. Devojqica je a = 10k = 10 · 76 = 760, deqaka je b = 8k = 8 · 76 = 608 i nastavnika je n = k = 76. 1 4. Prema slici dole levo pOq = pOb + bOq = aOb + 2 1 bOc = 13◦ 30 + 24◦ = 37◦ 30 . 2

45

Qetvrti pismeni zadatak

5. Konstrukciju vidimo na slici gore desno. Simetrala s1 dui M N polovi du M N . Taqka Q je sredixte dui M N . Simetrala s2 dui M Q, odreuje sredixte R dui M Q. Tada je M R = 2 1 M N = M N . Sredixte dui RQ je traena taqka P , jer sime4 8 1 1 trala s3 dui QR odreuje polovinu ove dui, RP = QR = M N . 2 8 3 Tada je M P = M R + RP = M N . 8 Grupa B) 1 1. 3

1

3

1

5 7     +2 15 6 = 1 7 + 2 5 : 4, 3 = 22 + 17 : 43 = 44 + 85 : 43 4, 3 15 6 15 6 10 30 10

1 17 5 17 10 7 1 − = − = . 2. Rexenje dobijamo iz: 1, 4x ≥ 4 − 2 = 4 2 4 2 4 4 4 1

7 Sada, iz 1, 4x ≥ sledi 4 1 nje je x ≥ 1 . 4

5

Rexe2

2

3. Neka su b i c cene jabuka i kruxaka. Tada, iz b : c = 3 : 5 sledi b = 3k i c = 5k, a znamo da je 6b + 9c = 630. Odavde dobijemo: 6 · 3k + 9 · 5k = 630, odnosno 18k + 45k = 630 ili 63k = 630. Sledi da je k = 10. Cena jabuke je b = 3k = 3 · 10 dinara = 30 dinara, a cena kruxke je c = 5k = 5 · 10 dinara = 50 dinara.

46

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

4. Konstrukciju vidimo na slici dole levo. Izabrali smo proizvoljno polupravu Os, koja prolazi kroz S. Onda smo konstruisali taqke A i B, simetriqne u odnosu na s, tako da je data taqka S sredixte dui AB. Poluprave Oa i Ob odreuju traeni AOB.

5. Simetrala s1 polovi ugao β, a simetrala s2 polovi polovinu 1 datog ugla i odreuje traeni ugao α = β, osenqen na slici gore 4 desno.

Grupa V)        5 17 3 3 11 5 1 : 1, 5 + 1 = − : + = 2 − 6 2 6 6 6 2 6  11 14 20 + = : 6 6 6

 1. 14 : 6



9 6

1 9 35 225 35 190 19 1 = − = = . Sada, iz 2. 1 x = 2 − 0, 35 = − 2 4 4 100 100 100 100 10 19 1 dobijamo 1 x = 2 10 je 4 x=1 . 15

Rexenje

3. Du od 12,5 cm na karti predstavlja stvarnu duinu od 12, 5 · 80000 cm = 1000000 cm = 10000 m = 10 km. Biciklista e to 2 rastojanje prei sata, odnosno za 40 minuta. 3 1 4. aOs = ·90◦ = 45◦ . Simetrala s1 ovog ugla odreuje traeni 2 ugao od 22◦ 30 , polovinu ugla od 45◦ (osenqeni na slici dole levo).

Qetvrti pismeni zadatak

47

5. Taqku S, sredixte date dui CD, odreuje simetrala s1 ove dui. Simetrala s2 dui CS odreuje datu taqku P , jer je 3 1 CP = CD, a P D = CD (slika gore desno). 4 4 Grupa G) 1 3     :1 3 1 1 5 5 = 1 :1 : 1 · 0, 5 1. 1 5 5 3 1 · 0, 5 3 1

4 58 9 49 49 3 − = . Onda, iz 3, 5x ≤ 2. Najpre je 3, 5x ≤ 11 − 1 = 5 5 5 5 5 5 7

dobijamo 1

4 Rexenje je x ≤ 2 . 5

3. Oznaqimo sa b i c koliqine bakra i kalaja. Onda, iz b : c = 3 : 2 sledi da je b = 3k i c = 2k. Kako je b + c = 105 kg, bie 3k + 2k = 105 kg, odnosno 5k = 105kg. Dakle, k = 105 : 5 = 21 kg, pa je bakra upotrebljeno b = 3k = 3 · 21 kg = 63 kg i kalaja c = 2k = 2 · 21 kg = 42 kg. 4. Neka je α = xOy i β = yOz. Tada je α+β = 180◦ . Simetrale 1 p i q polove uglove α i β (sledea slika levo), pa je pOq = α + 2

48

Rexenja kontrolnih i pismenih zadataka

1 1 1 β = (α + β) = · 180◦ = 90◦ . Dakle, pOq je prav. 2 2 2

5. Ako je S sredixte tetive AB, onda je prava OS simetrala dui AB, xto uslovljava konstrukciju. Prvo konstruixemo polupravu Os, pa kroz S normalu AB, slika gore desno.

Grupa D)  1

2 3 4 ·3 7 8

   3 : 1, 8 · 3 14

2 Najpre je 2

1 9 9 36 9 45 1 : x = 4, 5 + 1 = + = + = . Onda, 4 8 2 8 8 8 8

45 1 , dobijamo iz 2 : x = 4 8 2 jednaqine je x = . 5

1

2

Rexenje 1

5

3. Ako oznaqimo sa L, M i S dobitke ovih osoba, onda e biti L : M : S = 120 : 150 : 90 = 4 : 5 : 3 (skratili smo sa 30) i L + M + S = 30000. Iz proporcije sledi: L = 4k, M = 5k i S = 3k. Tada je 4k + 5k + 3k = 30000, odakle je 12k = 30000, pa je k = 30000 : 12 = 2500. Dobici iznose: L = 4k = 4 · 2500 = 10000 dinara, M = 5k = 5 · 2500 = 12500 dinara i S = 3k = 3 · 2500 = 7500 dinara.

Qetvrti pismeni zadatak

49

4. Taqka N je simetriqna sa M u odnosu na p, slika dole levo.

5. Kao u zadatku 4 grupe G), konstruixemo simetralu s1 pravog ugla i simetralu s2 polovine pravog ugla. Dobijemo qetvrtinu pravog ugla, ugao 22◦ 30 . Njegov komplement, osenqen na slici gore desno, predstavlja traeni ugao.