5 Razred - Matematiskop - Prirucnik 2

March 12, 2017 | Author: Vesna Matkovic | Category: N/A

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Vladimir Stojanovic - Matematika - Metodicki prirucnik za nastavnike matematike - peti razred - MATEMATISKOP...

Description

MATEMATISKOP

OSNOVNA [KOLA

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ ПЕТИ РАЗРЕД

МАТЕМАТИСКОП

Владимир Стојановић МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ (ПЕТИ РАЗРЕД) Рецензенти Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", Београд Величко Илић, наставник основне школе

Педагог консултант Светлана Гмитровић Лектор Јованка Цветковић, професор Уредник проф. др Предраг Цветковић Издавач ИП МАТЕМАТИСКОП, Деспота Оливера 6, Београд тел. (011)3087-958, (011)2413-403 тел/факс (011)380-70-90 www.matematiskop.co.rs За издавача Нада Стојановић, директор Припрема за штампу Жељко Хрчек [email protected] ЦИП - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 372.851(075 . 3) (076) 37.016:51(075.2) СТОЈАНОВИЋ, Владимир, 1940Математика 5 : уџбеник за пети разред основне школе / Владимир Стојановић. - 2. изд. Београд : Математископ, 2010 (Крагујевац : Графостил). - 179 стр. : илустр. ; 26 cm Тираж 3.000 ISBN 978-86-7076-039-4 COBISS.SR-ID 175695884 МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр. 650-02-00222/2008-06, од 20.06.2008. којим се одобрава издавање и употреба уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА ЗАДАТАКА и ПЛУС V за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као уџбенички комплет за предмет Математика за пети разред основне школе од школске 2008/2009. године.

Tираж 3.000 примерака Штампа: "Графостил", Крагујевац

PREDGOVOR – UPUTSTVO Ovaj priruqnik je nameǌen kao pomo, olakxica u planiraǌu, pripremaǌu i izvodeǌu nastave, za one nastavnike koji u redovnoj nastavi koriste UBENIQKI KOMPLET MATEMATISKOP-a . (Ovaj komplet ima licencu Ministarstva prosvete.) Priruqnik nije mogue koristiti uz ubenike drugih izdavaqa, jer je gradivo planirano prema ubenicima MATEMATISKOP-a . I domai zadaci su iz Zbirke zadataka za peti razred istog izdavaqa. Priruqnik se ne moe kupiti. On je dat kao poklon nastavnicima koji izvode nastavu po ubenicima MATEMATISKOP-a . Priruqnik sadri Godixǌi (globalni) plan rada i detaǉni plan izvoeǌa nastave za svaki qas u toke xkolske godine. Oba plana naqiǌena su prema zvaniqnom, obavezujuem UPUTSTVU Ministarstva prosvete (Slubeni Glasnik, avgust 2007). Pripremǉen plan i izvoeǌa nastave nije dovoǉan da bi nastavnici mogli raditi opuxteno. Ostaje problem objektivnog oceǌivaǌa uqenika. Mi smo se pobrinuli da Vam i tu smaǌimo brige. Nastavnik mora da ima na umu vanu qiǌenicu: ne oceǌuje se talenat, nego rad i radna disciplina uqenika. Zbog toga ne treba na kontrolnim i pismenim zadacima pripremati iznenaeǌa, niti birati samo tee zadatke. Nee se svi uqenici kad zavrxe xkolovaǌe baviti matematikom, ali e matematika svima trebati. Zbog toga treba dati vixe elementarnih zadataka. Ne treba izbegavati zadatke koji su rexavali na qasu, niti zadatke koje su uqenici dobijali za domai rad. Naprotiv! Preporuqǉivo je da svi zadaci budu iz kǌiga kojim uqenici raspolau. I, to ne treba kriti, nego javno saopxtiti uqenicima. To e ih stimulisati da budu aktivni na qasovima i rade domae zadatke. U Priruqniku za svaku Kontrolnu vebu i sva qetiri Pismena zadatka dat je predlog zadataka u PET GRUPA. Budui da je Priruqnik nedostupan uqenicima, mogu se koristiti bax ovi zadaci, uz eventualne izmene po potrebama i nahoeǌu nastavnika. Ako je za Kontrolnu vebu predvieno pet zadataka, onda svaki zadatak doprinosi ukupnoj oceni za 1. Ako su planirana qetiri zadatka, onda za jedan zadatak uqenik dobija ocenu 2, za dva zadatka ocenu 3 itd. Ne treba zbog sitne grexke ponixtiti ceo zadatak, ve stavite uz ocenu ”minus”. Treba vixe ceniti ispravan postupak, nego taqan raqun.

4

Sadraj

SADRAJ

GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA

5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA

6

DETAǈNI PLAN IZVOEǋA NASTAVE PO QASOVIMA

7

GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA PROGRAM-om je predvieno gradivo podeǉeno na nastavne teme i za svaku temu je odreen orijentacioni fond qasova. Tu su predvieni qasovi za obradu, za ponavǉaǌe i uvebavaǌe. U PROGRAM-u nije precizno navedeno kako predvideti nepredviene okolnosti. Ovde su teme rasporeene kao xto je u PROGRAM-u predloeno, ali se broj qasova predvienih za realizaciju tema razlikuje od predloenog. Razloga je vixe. – Liqno iskustvo i iskustva mnogih nastavnika nalau fleksibilnu primenu PROGRAM-a. – Mogue je da se kalendar poremeti praznicima, raspustima i nekim iznenadnim okolnostima. – Izvestan broj qasova treba izdvojiti za usmenu proveru znaǌa, jer ima dosta uqenika koji nisu sposobni da svoje znaǌe iskau iskǉuqivo preko kontrolnih i pismenih zadataka. – Nekoliko qasova u oba polugodixta treba ostaviti u rezervi, za nepredviene okolnosti. Ako takvih okolnosti ne bude, nastavnik e se lako organizovati i korisno upotrebiti ovaj poklon. – Za svaki PISMENI ZADATAK treba planirati bar jedan pripremni qas. R. br. 0 1 2 3 3 4 5

5 5 6

Broj qasova Broj qasova NASTAVNA TEMA po temema Obrada Ostalo Uvodni qas 1 1 Skupovi 14 7 7 Osnovni geometrijski objekti 10 5 5 Deǉivost brojeva 8 4 4 Prvi pismeni zadatak 3 3 Deǉivost brojeva (nastavak) 5 2 3 Ugao 17 7 10 Razlomci 7 3 4 Drugi pismeni zadatak 3 3 Drugo polugodixte Razlomci (nastavak) 32 13 19 Trei pismeni zadatak 3 3 Razlomci (drugi nastavak) 20 8 12 Osna simetrija 12 5 7 Qetvrti pismeni zadatak 3 3 UKUPNO 138 54 84

С е п т е м б а р

1

0

Ме- Наст. сец тема

С к у п о в и

Подскуп. Једнаки скупови

Подскуп. Једнаки скупови

Унија скупова

Унија скупова

Пресек скупова

Унија и пресек скупова

Разлика скупова

Операције са скуповима

Речи: "и", "или", "не", "сваки", "неки"

5

6

7

8

9

10

11

12

Појам скупа. Начин задававања скупова Појам скупа. Начин задававања скупова

Уводни час

Назив наставне јединице

4

3

2

1

Р. бр. наст. јед. Облик рада

Увежба- Парови вање ФронОбратални да Увежба- Групе вање ФронОбратални да

ФронРазтални говор ФронОбратални да Увежба- Фрон. парови вање ФронОбратални да Увежба- Фрон. парови вање ФронОбратални да УвежбаПарови вање ФронОбратални да

Тип часа Монолошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка

Методa

Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.) Учион. (кабин.)

Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.)

Место рада

Наст. сред.

ОПЕРАТИВНИ (ОРИЈЕНТАЦИОНИ) ПЛАН РАДА ПО МЕСЕЦИМА Ино- (Само)eвавалуација и ције корекција

6

19

24

23

22

21

20

18

17

16

2

2

15

14

13

Р. бр. наст. јед.

Основни геометријски објекти

С е п т е м б а р

О к т о б а р

Скупови

Ме- Наст. сец тема Тип часа

Облик рада Методa

Место рада

Наст. сред.

О скуповима

Учион. СистеДијаГрупе матиз. лошка (кабин.) Контр. Писмени Припр. Прва контролна вежба Учион. лист. знања (Скупови) Учион. Обнав. ФронДијаСкупови N и N0 тални и сист. лошка (кабин.) Учион. ФронОбраДијаРавне геометријске фигуре тални да лошка (кабин.) Фрон- Дијалош. Учион. ОбраИзломљена линија. Област. тални демонст. (кабин.) да Увежба- ФронУчион. ДијаИзломљена линија. Област вање тални лошка (кабин.) ФронУчион. ХеуриОбраКружница и круг. Круг и тачка тални стичка (кабин.) да Учион. ФронОбраХеуриКруг и права. Теттиве и тангенте тални да стичка (кабин.) ДијаУвежба- Групе Учион. Круг и права лошка (кабин.) вање ДијаУчион. Увежба- Групе О кругу парови лошка (кабин.) вање ХеуриФронУчион. ОбраДва круга стичка (кабин.) тални да ДијаСистеУчион. Све о кругу Групе лошка (кабин.) матиз.

Назив наставне јединице

Ино- (Само)eвавалуација и ције корекција

7

8

9

10

11

5

74

Децимални запис произвољног разломка Децимални запис произвољног разломка

Децимални запис разломка

72

73

Децимални разломци. Децимални запис разломка

Назив наставне јединице

71

Р. бр. наст. јед. Обрада Увежбавање Обрада Увежбавање

Тип часа

Напомене о реализацији плана рада за прво полугодиште

Ј а н у а р

Ме- Наст. сец тема

Разломци

Групе

Фронтални

Групе

Фронтални

Облик рада Дијалошка Дијалошка Дијалошка Дијалошка

Методa

ДРУГО ПОЛУГОДИШТЕ

Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.) Учион. (кабин.)

Место рада

Наст. сред.

Ино- (Само)eвавалуација и ције корекција

12

13

14

15

16

17

18

DETAǈAN PLAN IZVOEǋA NASTAVE PO QASOVIMA Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod istim naslovom obraene su u UBENIKU u izdaǌu IP MATEMATISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boks Osnovni tekst navodi se koja kǌiga se koristi (Ubenik ili Zbirka) sa navedenim brojevima strana. Na neispisanim delovima strana detaǉnog plana nastavnik upisuje liqna zapaaǌa o nivou ostvareǌa i eventualne primedbe o kojima e voditi raquna pri planiraǌu nastave sledee xkolske godine. Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne bude realizovan, on se prenosi na poqetak prvog sledeeg qasa, predvienog za uvebavaǌe. Ako se neki zadaci iz ubenika, predvieni za rad na qasu OBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodaju Domaem zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkom zadataka na qasovima UVE BAVAǋA. Preporuqǉivo je da nastavnik na qasu rexava i druge, sopstvene zadatke. Predloeni plan rada moe i treba da se mestimiqno meǌa i obogauje idejama nastavnika, realizatora nastave. Neke napomene koje su detaǉno navedene u prvom delu Priruqnika, a kasnije bi trebalo da se ponavǉaju, ovde nisu ponavǉane. Poxto se radi o Planu rada, dovoǉno ih je napisati prvi put. (To su najqexe napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatim izvoeǌa qasa sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.) Priruqnik u formi CD-a omoguava nastavniku da odxampa po potrebi bilo koju stranicu. To e bitno olakxati pripremu listia za Kontrolne vebe i Pismene zadatke.

20

1. QAS Uvodni qas

Dijalog

Ciǉ Upoznavaǌe sa uqenicima. Upoznavaǌe uqenika sa programom, literaturom, obavezama, mogunostima. Tok qasa Uqenici su do sada imali jednog nastavnika za sve predmete, a sada za svaki predmet imaju po jednog nastavnika. To je bitna promena. Zbog toga se nastavnik mora potruditi da ostavi povoǉan utisak i da uqenike ohrabri. Moe im proqitati stihove Miroslava Antia, sa 6. strane ubenika. Potrebno je istai znaqaj matematike kao nauke. Dobro bi bilo da nastavnik na ovom qasu proqita sa 3. strane Zbirke uvodni tekst pod naslovom ”Pred kapijom matematike” (sve osim posledǌeg pasusa). Zatim, nastavnik upozna uqenike sa programom matematike, navodei qiǌenice koje su uqili i u mlaim razredima. Onda im predoqi kǌige iz kojih e se uqiti, i preporuqi da stiqu naviku qitaǌa lekcije iz ubenika. Potrebno je ukazati da je matematika lepa, korisna i da prua velike mogunosti. Uqenike treba ohrabriti da idu na qasove dodatne nastave i ponuditi im da nabave priruqnik PLUS VI. Takoe, treba im predoqiti mogunost afirmacije na takmiqeǌima. Za pripreme, pored zbirke PLUS VI mogu im se preporuqiti kǌige MATHEMATISKOP 1 (Vodiq za xampione), Inostrana juniorska takmiqeǌa i qasopis MATEMATISKOP .

21

Skupovi

2. QAS Pojam skupa. Naqini zadavaǌa skupova. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Uqenici treba skup da shvate kao osnovni pojam koji se ne definixe, ali je odreen svojim elementima. Treba da razumeju razne naqine zadavaǌa skupova i da mogu sami da navedu takve primere. Prazan skup, bez elemenata, shvataju kao jedinstven skup. Oznake ∈, ∈, / i pravilno koriste. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 7. do 10. str.

Nastavnik navodi nekoliko primera skupova iz neposrednog okrueǌa. Onda trai da i uqenici navedu nekoliko primera. Na poqetku ne pomiǌe prazan skup. Dolazimo do zakǉuqka da je skup odreen ako znamo (ili moemo da uoqimo) ǌegove elemente. Uzimamo primere zadavaǌa skupa navoeǌem svih elemenata. Na tim primerima (kao na 8. str. ubenika) uvodimo oznake: ∈, ∈, / i . Uqenici i sami navode sliqne primere. Zatim, uvodimo zadavaǌe skupa opisom (opisivaǌem). Pravilno je, na primer, za skup A = {v, o, d} dati opis: A = {x| x je slovo reqi vodovod}. (Qita se: ”A je skup elemenata x, koji imaju svojstvo: x je slovo reqi vodovod.”) Nepravilno je: A = {slova reqi vodovod}. Prazan skup je bez elemenata i treba naglasiti da je taj skup jedinstven. (Postoji samo jedan prazan skup, xto sledi iz definicije.) Oznaka je ∅ ili {}. Insistirati na qiǌenici da je ovaj skup jedinstven. Na primer, ako neki uqenik pomisli da ima vixe praznih skupova (i navodi skup koji nema ”ovoga” ili nema ”onoga”), treba ga navesti da objasni, npr. u qemu je razlika izmeu ”Skupa aviona u naxoj uqinionici.” i ”Skupa kitova u naxoj uqinionici.” Uvesti prikazivaǌe skupova ”slikom” u vidu Ojler-Venovog dijagrama. Na odgovarajuim primerima (navedenim na qasu) povezati sva tri naqina zadavaǌa skupova. Rexavamo primere sa str. 10 u ubeniku. Domai zadatak: Zbirka: 1, 2, 8, 9, 10 i zadaci sa 10. str. Ubenika (koji nisu rexeni na qasu).

22

Skupovi

3. QAS Pojam skupa i naqini zadavaǌa skupova Frontalni rad kombinovan sa radom u parovima (po klupama) Ciǉ

Uvebavaǌe

Dijalog

Usvajaǌe pojmova upoznatih na prethodnom qasu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 7. do 10. str.

Ponovimo redom pojmove: skup je odreen svojim elementima, sva tri naqina zadavaǌa skupova, oznake pripadnosti skupu (∈, ∈ / itd.), pojam praznog skupa. Posebno insistirati na tekstovima koji su u Ubeniku istaknuti crvenom trakom i obojeni deo teksta u Zbirci (7. strana). Za svaki opisani pojam uqenici navode svoje primere. Tokom qasa rexavamo zadatke 3, 5 i 7, tako xto prvo nastavnik uradi zadatak iz uvodnog teksta, a onda uqenici rexavaju na tabli ili na mestu (u parovima) preostale sluqajeve (a), b), v), itd.). Na isti naqin rexavamo zadatak 13. Zatim, uqenici rexavaju na tabli zadatke: 10, 14, 11 i 16 a), b). Domai zadatak:

Zbirka: 12, 15, 16 v), 18

23

Skupovi

4. QAS Podskup. Jednaki skupovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Uvoeǌe pojmova podskupa i nadskupa, kao i relacije jednakosti meu skupovima. Uqenici shvataju da se kod skupova broje samo razliqiti elementi. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 10. do 13. str.

Uzmemo dva skupa, na primer A i C na 10. str. Ubenika, istaknemo ih na xkolskoj tabli. Uz voeǌe od strane nastavnika, uqenici utvrde da je svaki element skupa A istovremeno i element skupa C, i obrnuto ne vai za sve elemente skupa C. na osnovu ovih zapaaǌa uvodimo pojmove podskup i nadskup i oznake: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇. Zatim rexavamo primer 1 i 2 sa 11. str. Ubenika. Onda, na naqin kako je navedeno u Ubeniku, reximo primer 3, na osnovu qega uvedemo pojam jednakih skupova (kao skupova koji se sastoje od istih elemenata). To potvrdimo na primeru 4. Zatim, nastavnik objaxǌava rexeǌe primera 5, pa na osnovu toga uvede pravu definiciju jednakih skupova. (Ako je A ⊆ B i B ⊆ A, onda je A = B). Osim toga ovde se zapaa da je suvixno vixe puta nabrajati iste elemente, pa se uvede pojam najjednostavnijeg (redukovanog) oblika skupa. Na taj naqin se dolazi do pojma broja elemenata skupa. Uz obnavaǉaǌe uvedenih definicija, rexavamo zadatke od 6. do 12. sa 13. str. Ono xto ne uradimo na qasu ostavǉamo uqenicima kao dodatak za domai rad. Domai zadatak:

Zbirka: 24, 25, 27, 42, 38.

24

Skupovi

5. QAS Podskup. Jednaki skupovi.

Uvebavaǌe

Frontalni rad, kombinovan sa radom u parovima.

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova: podskup, nadskup, jednaki skupovi, redukovan (najjednostavniji) oblik skupa, broj elemenata skupa, kao i pojam pravog podskupa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 10. do 14. str.

Ponovimo pojmove: podskup i nadskup. Uqenici navode ”svoje” primere. Zatim rexavamo zadatak 22. (Nastavnik objasni primer iz uvodnog teksta sa skupovima T i B, pa uqenici rexavaju na tabli sluqajeve a) i b), a ostale na mestu, u parovima.) Rexavamo zadatak 26. Onda rexavamo zadatak 28. i uoqavamo prave podskupove. Ponovimo definiciju jednakih skupova. Zatim, rexavamo zadatke 37 i 39, i to na isti naqin kao i zadatak 22. Reximo na isti naqin i zadatak 21. Na kraju reximo zadatke 40 i 46. Domai zadatak:

Zbirka 23, 29, 30, 34, 43.

25

Skupovi

6. QAS Unija skupova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojma unije skupova uz odgovarajuu interpretaciju Ojler-Venovim dijagramima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 14. i 15. str.

Preporuqǉivo je odmah prilikom uvoeǌa pojma unije skupova koristiti ilustrovaǌe pomou Ojler-Venovih dijagrama. Koristei se primerima sa str. 14, uvodimo uniju kao skupovnu operaciju. Zatim, rexavaǌem primera 2. i 3, utvrdimo da je unija komutativna i asocijativna operacija. Ove primere mogu na xkolskoj tabli rexavati uqenici. Posle toga, nastavnik trai od uqenika da iskau pravilno definiciju unije dva skupa. Kad dobije zadovoǉavajui odgovor, izvede na tablu jednog uqenika koji sam ili uz pomo nekog od uqenika ”smisli” dva skupa, recimo A i B, qiji su elementi brojevi, odredi A ∪ B nabrajaǌem svih elemenata i sve to prikae pomou dijagrama. Daǉe, do kraja qasa, rexavamo zadatke od 4. do 7. Ako nema dovoǉno vremena za sve, preostale zadatke dajemo za domai zadatak. Domai zadatak:

Zbirka: 51 i 54.

26

Skupovi

7. QAS Unija skupova

Uvebavaǌe Dijalog

Rad u parovima (iz iste klupe) Ciǉ

Utvrivaǌe pojma unije skupova i osobina ove operacije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 14. do 16. str.

Ponovimo definiciju unije skupova, pa rexavamo zadatke 51b) i 51g). Onda, rexavamo zadatke 52 i ponovimo osobine komutativnosti i asocijativnosti unije skupova. Zatim, rexavamo redom zadatke 59, 60, 58, 57 i 63. Domai zadatak:

Zbirka: 53, 55, 56, 61.

27

Skupovi

8. QAS Presek skupova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Uvoeǌe pojma preseka skupova i pojma razdvojenih (disjunktnih ) skupova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 16. do 18. str.

Primer koji se navodi na poqetku 16. strane treba iskoristiti da uqenici uoqe zajedniqki deo skupova A i B. Obavezno treba prikazati i Ojler-Venove dijagrame. Zatim, zajedniqki deo skupova A i B definixeko kao presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B. Zatim, primer 1 iskoristimo da, bez crtaǌa dijagrama, uoqimo da presek dva skupa predstavǉa ǌihov zajedniqki podskup, koji sadri sve zajedniqke elemente ovih skupova. Pri tome, odreivaǌem preseka M ∩ P i P ∩ M uoqimo osobinu komutativnosti. Na sledeem primeru uverimo se da je presek takoe asocijativan. Daǉe uoqavamo, ako je A ⊂ B da je A ∩ B = A i da je A ∪ B = B. Koristimo, potom primer 3 radi definisaǌa razdvojenih (disjunktnih ) skupova: M ∩ R = ∅, xto pokazuje da ovi skupovi nemaju zajedniqkih elemenata. Do kraja qasa rexavamo zadatke od 4. do 8, sa 18. strane. Ukoliko do kraja qasa ne reximo sve ove zadatke, preostale ostavǉamo za domai rad. Domai zadatak:

Zbirka: 67, 71, 73, 76.

28

Skupovi

9. QAS Unija i presek skupova

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaqeǌe operacija unija i presek skupova. Jasno uoqiti razlike meu ǌima. Pritom, kombinovati i ranija znaǌa (podskup, i sl). Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 16. do 20. str.

Najpre obnovimo kako se odreuje presek dva skupa, pa reximo zadatke 66 a), b) i v). Uqenici rexavaju zadatke na mestu. Rade u parovima, po klupama. Zatim, po izboru nastavnika izlazi jedan uqenik na tablu, objaxǌava ceo postupak i rezultat prikae u obliku Ojler-Venovog dijagrama. Usput smo ponovo potvrdili komutativnost preseka. Zatim, na isti naqin rexavamo zadatak 68, pa zadatke 71 a) i 72 b). Podsetimo se na definiciju unije dva skupa, pa reximo zadatak 56 b) i zadatak 82. Na kraju rexavamo zadatak 79. Domai zadatak:

Zbirka: 70, 75, 77, 80.

29

Skupovi

10. QAS Razlika skupova

Obrada

Frontalni rad Ciǉ

Dijalog

Uvoeǌe pojmova razlika dva skupa i komplement skupa.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 19. i 20. str.

Reximo primer 1 sa 19. strane. Koristei se i dijagramom, objasnimo da smo na taj naqin izvrxili jednu novu operaciju sa skupovima. To je razlika dva skupa koja je u navedenom primeru oznaqena sa A\B (qita se: ”A razlika B”). Zatim, to potvrdimo rexavaǌem primera 2 i 3. Uoqimo posebno sluqajeve: A\∅ = A, ∅\B = ∅, A\A = ∅. Da produbimo znaǌe o razlici, postavimo pitaǌe: ”Ako su A i B skupovi koji imaju elemente (nisu prazni), koje uslove oni moraju zadovoǉiti da bi vaile jednakosti: A\B = ∅, i A\B = A?” Zatim, uvedemo pojam komplementa skupa, kao xto je to uqiǌeno na 20. strani. Do kraja qasa rexavamo zadatke 4, 5 i 6. Domai zadatak:

Zbirka: 91, 97.

30

Skupovi

11. QAS Operacije sa skupovima

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama (po dve susedne klupe)

Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaǌe o skupovnim operacijama. Rexavaǌe kombinovanih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 14. do 24. str.

Prvi deo qasa (oko 20 minuta). Obnovimo pojmove: unija, presek, razlika skupova, komplement skupa i disjunktni skupovi. Za svaki pojam izlazi na tablu jedan uqenik i nacrta odgovarajui dijagram. Drugi deo qasa. Nastavnik daje iz Zbirke zadatke za uvebavaǌe obnovǉenih pojmova. Svaki postavǉeni zadatak rexava se grupno. (Po dve susedne klupe daju jednu grupu.) Svaka grupa prijavǉuje nastavniku kad rexi zadatak, a nastavnik ”osmotri” svako rexeǌe. Kad rexeǌe prijavi vixe od polovine uqenika, nastavnik izvodi na tablu jednog uqenika, koji rexeǌe javno izloi. Kontrolixu ga uqenici iz klupa, a nastavnik nadzire. Rexavamo redom zadatke: 54, 64, 78, 77 a), b) v), 86 a), 92, 94. Domai zadatak:

Zbirka. 81 a), b), 87, 93, 100.

31

Skupovi

12. QAS Reqi: ”i”, ”ili”, ”ne”, ”svaki”, ”neki”. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Navedene reqi u matematici imaju znaqeǌe kao odreene operacije. Uqenici treba da razlikuju kada ove reqi imaju matematiqka znaqeǌa. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, str. 21-23, Zbirka 24-26.

Za svaku od navedenih reqi istai ǌeno ”jeziqko” i ”matematiqko” znaqeǌe, kao u Ubeniku. Uz pojam i primer iz Ubenika, svaki pojam ilustrovati jox i jednim zadatkom iz Zbirke. Zatim, traiti od uqenika da i oni navedu neki primer. Domai zadatak: na qasu.

Dati iz Zbirke one zadatke koji nisu rexavani

32

Skupovi

13. QAS O skupovima

Sistematizovaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Uoqiti bitne karakteristike nauqenih pojmova o skupovima. Uoqiti sliqnosti i razlike. Produbiti razumevaǌe pojmova i tehniku rada podii do potrebnog nivoa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 11. do 24. str.

Rexavaju se zadaci iz Zbirke, na naqin opisan u drugom delu 11. qasa. Prilikom demonstracije rexeǌa od strane uqenika, nastavnik insistira da se svaki korixeni pojam precizno definixe. Na primer, ako se radi o podskupu, onda se podskup precizno definixe, pa se onda rexava zadatak; ako se pomenu jednaki skupovi, onda definisati relaciju jednakosti dva skupa i sliqno. Izbor zadataka bi trebalo izvrxiti neposredno pre realizacije qasa, jer bi izbor trebao biti uslovǉen kvalitetom prethodno usvojenih znaǌa. Jedan od moguih izbora zadataka za ovu sistematizaciju je: 27, 35 a), b), v), 36 a), v), 39, 56, 62, 75, 87, 96, 101, 106. Domai zadatak: do 8.)

Radna sveska: Prva kontrolna veba (str. 5.

Skupovi

33

14. QAS Prva kontrolna veba (Skupovi)

Kontrola znaǌa

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima, da se ne gubi vreme i izbegnu grexke, koje su posledica diktiraǌa zadataka. Grupa A) 1. Odredi sve podskupove skupa {a, b, c}. 2. Elementi skupa P su dvocifreni brojevi maǌi od 40, koji imaju cifru jedinica 0 ili 5. Dat je jox skup Q = {q| q = 5n, gde je n ∈ N i 1 < n ≤ 7}. Nacrtaj Ojler-Venove dijagrame skupova P i Q. Da li je P = Q? 3. Dati su skupovi: A = A {a| a ∈ N i a je neparan broj maǌi od 7}, B = {1, 2, 3, 6} i C = {c| c ∈ N i 3 < c < 8}. Odredi skupove: A∪ B, A∩ C i (A∪ C)∩ B. 4. Na osnovu Ojler-Venovih dijagrama sa slike, prikai nabrajaǌem svih elemenata skupove: A ∩ B, B\D, D\A, B\A i CA D. Grupa B) 1. Imamo skup slova M = {m, e, t, a, r}. a) Odredi podskup skupa M , koji ima dva elementa, tako da od elemenata tog podskupa moemo sastaviti bar jednu smislenu req od dva slova i jednu smislenu req od qetiri slova. b) Odredi dva podskupa sa po tri elementa, tako da elementi svakog od ǌih odreuje smislenu req od tri slova. Da li su neki od ovih skupova jednaki? 2. Dat je skup C dijagramom i skupovi A = {1, 3, 3, 1, 5, 5, 5, 1, 7, 9, 9}, B = {b| b je jednocifreni neparan broj}. Odredi skupove A∩C i B\A. Da li meu datim skupovima ima jednakih? 3. Da li vai jednakost {1, 2, 3, 4, 5}∩A = {2, 4}, ako je a) A = ∅; b) A = {2, 3, 4}; v) A = {2, 4}; g) A = {2, 4, 6, 8}? 4. Dati su skupovi A = {x| x − 2 = 0 ili 2x = 6}, B = {b| b ∈ N0 i b ≤ 3} i C = {c| c < 6 i c ∈ N }. Odredi skupove a) A\B; b) B\C; v) (A\C) ∩ B; g) (A ∪ B)\C.

34

Skupovi

Grupa V) 1. Rexiti po nepoznatim x i y formule (x = y): a) {x, 5} = {y, 2}; b) {x, y} ⊂ {1, 2, 3}. 2. Da li su neki od skupova jednaki meu sobom: A = {a| a ∈ N i 2 ≤ a ≤ 4}; v) B = {b| b ∈ N0 i 1 < b < 5}; C = {c| c ∈ N i 2 < c < 4}? 3. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 4, 5, 6}. Odredi skupove: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C. 4. Dati su skupovi: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, K = {0, 2, 4, 6}, P = {1, 3, 5} i Q = {4, 6, 8}. Proveri da li su K, P , Q podskupovi skupa M . Ako jesu, odredi im komplement u odnosu na M . Grupa G) 1. Odredi sve prave podskupove skupa S = { , 2, }. Pazi, ima ih xest! 2. Dati su skupovi: A = {a, n, t, e, n, a}, B = {c, e, n, t, a, r} i C = {t, e, r, e, t, a, n, a}. Izdvoj taqna tvreǌa. a) A = C; b) C ⊇ A; v) B ⊆ C; g) A ⊆ B; d) B = C. Obrazloi! 3. Dati su skupovi: K = {2, 4, 6, 8} i M = {m| m ∈ N0 i n < 4}. Rexi po nepoznatim x i X formule: a) x ∈ K i x ∈ M ; b) x ∈ (K ∩ M ) i x = 2; v) X ⊂ K i X ⊂ M . 4. Dati su skupovi: A = {v, e, s, l, a} i B = {e, c}. Od elemenata skupa CA B naqini qetiri smislene reqi. Grupa D) 1. Odredi sve prave podskupove skupa M = {3, 5} i skupa P = {2, 4, 6}. 2. Skupove D, E i F , koji su zadati dijagramima, zapixi navoeǌem elemenata. Zatim, umesto 2 postavi odgovarajui znak: ⊂, ⊃, = ili ∈. a) F 2D; b) f 2D; v) D2E; g) E2{e, g}; d) {b, d}2F ; ) E ∩ F 2{g}. 3. Odredi podskupove X i Y skupa S = {a, b, c, d}, tako da je X∩{a, b, c} = {a, b} i Y ∪ {b, d} = {b, c, d}. 4. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a < 4}, B = {b| b ∈ N i 0 ≤ b ≤ 3} i C = {c| c ∈ N0 i 0 < c < 5}. Odredi skupove: a) C\A; b) A\(B ∩ C); v) (A ∪ C)\B.

35

Skupovi

15. QAS Skupovi N i N0 Frontalni rad

Obnavǉaǌe i sistematizovaǌe Dijalog

Ciǉ Podsetiti se na osnovne osobine prirodnih brojeva i raqunskih operacija sa ǌima. Upoznati pojmove prethodnik i sledbenik prirodnog broja. Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 24. do 26. str, Zbirka 26. do 29. str. Ponoviti pojmove: prirodni broj, skup N , skup N0 , brojevna poluprava (sve na str. 24. Ubenika). Zatim, pojmove prethodnik i sledbenik (uz rexavaǌe primera 1). Podsetimo se na brojevne izraze, rexavajui zadatak 131. Reximo i problemske, zanimǉive zadatke 133 i 134. Zatim, rexavamo zadatke 147 i 148. Vano je paǉivo prezentirati zadatak 150. Prvo nastavnik na tabli objasni sluqajeve navedene u promotivnom tekstu zadatka. Zatim, uqenici rexavaju sluqajeve od a) do g). Domai zadatak: Ubenik: Primeri 2. do 5. na str. 26. i Zbirka: 135, 137, 140, 142.

36

Osnovni geometrijski objekti

16. QAS Ravne geometrijske figure

Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Upoznavaǌe strukture, odreenosti i meusobnih odnosa osnovnih geometrijskih objekata i delova pravih i ravni. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 27. do 31. str.

Osnovni pojmovi u geometriji, taqka, prava i ravan, ne definixu se, ali se ǌihovim osobinama dopuǌuju intuitivne slike o ǌima. Taqke uoqavamo najqexe kao presek dve linije i kao kraj odseqka neke linije. Ni liniju ne definixemo. Zadravamo se na intuitivnoj predstavi zasnovanoj na crteu. Nastavnik insistira na obaveznom (i pravilnom) oznaqavaǌu taqaka velikim slovima latinice. Odnose taqaka, pravih i ravni prikazati kao u ubeniku. Ravni ubudue neemo posebno prouqavati. Zadraemo se na ”ravni crtea” (list sveske ili povrx xkolske table). Posvetiemo paǌu sledeim geometrijskim objektima (figurama): du, poluprava, poluravan. Sve ove objekte smatramo skupovima taqaka, koji imaju beskonaqno mnogo elemenata. Meutim, zbog svojih specifiqnosti, oni su odreeni sa dva ili tri elementa (dve ili tri taqke). Rexavaǌem primera 1, 2 i 3 (na 30. i 31. str.) upoznajemo se sa nekim osobinama navedenih objekata. Na kraju rexavamo zadatke 4-8. sa str. 31. i eventualno neki odabrani zadatak iz Zbirke (str. 30. do 34.). Domai zadatak:

Zbirka: 152, 154, 156, 159, 162, 168, 174.

Osnovni geometrijski objekti

37

17. QAS Izlomǉena linija. Oblast

Obrada Kombinacija dijaloxke i demonstrativne metode

Frontalni rad

Ciǉ Upoznavaǌe sa pojmom izlomǉene linije, posebno sa mnogougaonom linijom i oblaxu mnogougla. Razlikovati konveksne i nekonveksne figure. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 32. do 35. str.

Nastavnik pokazuje modele, a potom i crta sliqne na xkolskoj tabli. Definixe izlomǉenu liniju, a uqenici otkrivaju koji od modela predstavǉaju izlomǉene linije, kao na sl. 10, str. 32. Zatim se uoqava razlika izmeu izlomǉenih linija sa samopresekom i bez samopreseka. Ove posledǌe su tzv. proste izlomǉene linije. Takoe razlikujemo otvorene i zatvorene izlomǉene linije. Na kraju istiqemo zatvorenu prostu izlomǉenu liniju, koja se naziva mnogougaona linija. Uoqavamo trougaone, qetvorougaone itd. mnogougaone linije. Definixemo temena i stranice, a zatim i unutraxǌu oblast mnogougaone linije. Zatim, definixemo mnogougao. Posebno istiqemo konveksne i nekonveksne mnogouglove. Nastavnik pokazuje modele, kao na sl. 13, str. 34, a uqenici prepoznaju konveksne i nekonveksne mnogouglove. Posle rexavaǌa primera 1, 2 i 3, prelazimo na rexavaǌe zadataka 4, 5 i 6 sa str. 35. Domai zadatak:

Zbirka: 176, 179, 180.

38

Osnovni geometrijski objekti

18. QAS Izlomǉena linija. Oblast

Uvebavaǌe

Frontalni rad Ciǉ

Dijalog

Utvrivaǌe pojma mnogougaone linije i mnogougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 35. do 38. str.

Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa: izlomǉena linija (vrste), mnogougaona linija, mnogougao, unutraxǌa oblast mnogougla. Za svaku definiciju uqenici na mestu (jedan na xkolskoj tabli) crtaju modele. Zatim, rexavamo iz Zbirke redom zadatke: 177, 178, 181, 184, 187, 188. Domai zadatak:

Zbirka: 189, 190, 191, 196.

39

Osnovni geometrijski objekti

19. QAS Krunica i krug. Krug i taqka Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Ciǉ Produbiti znaǌe o krugu i krunici. Uoqiti razliqite poloaje taqke prema krugu i prema krunici. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 35. do 37. str.

Definixemo krunicu, polupreqnik, krunu povrx (krug). Na xkolskoj tabli nacrta se kruna linija polupreqnika r i oznaqi nekoliko taqka na krunici, u krugu i van kruga. Centar kruga nastavnik oznaqi sa O i ostale taqke velikim slovima latinice i pokazujui jednu po jednu od oznaqenih taqaka, pita uqenike u kakvom su poloaju u odnosu na krunu liniju. Prvo pokazuje par taqaka koje su na krunici. Uqenici sami, uz eventualnu neupadǉivu sugestiju nastavnika, utvrde da su neke taqke na krunici, neke unutra, a neke van krunice (van kruga). Zatim, nastavnik izabere jednu taqku na krunici, kao P na sl. 16, spoji je sa O i trai od uqenika da utvrde kolika je duina dui OP . (Oqekuje odgovor: OP = r.) Daǉe, kroz razgovor nastavnik navodi uqenike da uoqe sluqajeve OQ < r i ON > r. Nastavnik definixe centralno rastojaǌe taqke u odnosu na dati krug (krunicu) i potvrdi zakǉuqke o centralnom rastojaǌu i poloaju taqke prema krugu (krunici), kao na str. 37. Ubenika. Na kraju, rexavaju se zadaci 1, 2, 3, 4 sa str. 37. Domai zadatak:

Zbirka: 202, 203, 205, 206.

40

Osnovni geometrijski objekti

20. QAS Krug i prava. Tetive i tangente Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Ciǉ Uoqiti posebne poloaje prave u odnosu na krug. Posebno upoznati tantente i tetive. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 37. do 39. str.

Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli pravu p i taqku A van prave, a uqenici to isto uqine u svojim sveskama. Preporuqǉivo je da uqenici pravu nacrtaju po liniji svoje sveske ”u kocke”, a taqka A da bude presek dve linije. Zadatak za uqenike je: nacrtati najkrae rastojaǌe od taqke A do prave p. Kad otkriju da je to normala iz A na p, prelazimo na prouqavaǌe poloaja prave prema krugu i krunici. Prvo uzmemo taqku N u datom krugu k, sl. 17 na str. 37. Ubenika i postavimo pravu p kroz N . Utvrdimo da prava p sa krunicom ima dve zajedniqke taqke A i B, a sa krugom du AB, koju nazivamo tetivom. Definixemo centralno rastojaǌe prave i utvrdimo, ako je d < r, prava p seqe krug itd. Zatim, utvrdimo poloaje prave u sluqajevima d = r i d > r. Posebno treba naglasiti pojmove preqnika i tangente i ǌihovu vanu ulogu kod kruga. U vezi sa tangentom istai dodirni polupreqnik i ugao izmeu tangente i dodirnog polupreqnika. Zatim, izvrximo konstrukciju tangente kroz taqku na krunici – Primer 1. dobro je da bar dva uqenika ponove ovu konstrukciju na xkolskoj tabli. Na kraju rexavamo zadatke 2. do 4. sa 39. str. Domai zadatak:

Zbirka: 211, 212, 213, 218.

41

Osnovni geometrijski objekti

21. QAS Krug i prava

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Utvrivaǌe znaǌa o meusobnim poloajima prave i kruga, posebno o tangentama i tetivama. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 40. do 42. str.

Obnovimo pojam centralnog rastojaǌa prave. Zavisno od centralnog rastojaǌa odrediti presek prave i kruga, odnosno prave i krunice. Rexavaǌem odgovarajuih zadataka na naqin predvien radom u nehomogenim grupama (po dve susedne klupe), utvrujemo i dopuǌavamo znaǌa o odnosu kruga i prave. Radimo zadatke iz Zbirke: 214, 215, 216, 217, 219, 221, 223. Domai zadatak:

Zbirka: 220, 222.

42

Osnovni geometrijski objekti

22. QAS O krugu

Uvebavaǌe

Kombinovani rad u parovima i u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Utvrditi odnose taqke i prave u odnosu na dati krug.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka (druga glava)

Na osnovu liqnih zapaaǌa o realizaciji teme Osnovni geometrijski objekti, nastavnik, neposredno pre realizacije, utvruje taqan plan za ovaj qas. U svakom sluqaju, korisno je izvrxiti kratku rekapitulaciju druge glave. Treba utvrditi ili potvrditi nivo poznavaǌa pojmova (definicije i osobine), kao i primenu kroz raqunske i konstruktivne zadatke. Pritom koristimo zadatke iz Ubenika i Zbirke. Izbor zadataka iz Zbirke, za kratku rekapitulaciju nauqenog, mogao bi biti: 157, 158, 161, 163, 169, 175, 183, 185, 194, 195, 208, 209, 224, 225. Naravno, koje od ovih zadataka treba preskoqiti i koje eventualno uvrstiti u ovaj spisak, odluquje nastavnik na osnovu procene o nivou usvojenih znaǌa od strane uqenika. Zadaci se rexavaju na naqin predvien grupnim radom. Domai zadatak: qas.

Neuraeni od zadataka preporuqenih za ovaj

43

Osnovni geometrijski objekti

23. QAS Dva kruga

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Ciǉ Prouqavaǌe meusobnih poloaja dva kruga, jer e to imati izuzetan znaqaj kad se budemo bavili rexavaǌem konstruktivnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 39. do 41. str.

Razmatramo svih xest moguih sluqajeva, prikazanih na slikama 21. do 26. u ubeniku. Nastavnik sve sluqajeve prikazuje na xkolskoj tabli ili prikazuje pripremǉene crtee iz asortimana xkolskih uqila. Uqenici sve to crtaju u svojim sveskama. Nastavnik definixe samo centralno rastojaǌe, tako da svi uqenici izaberu iste dimenzije. Na primer, za prva tri sluqaja nacrtaju du O1 O2 = 5 cm, a za sluqajve 4. i 5. uzmu du O1 O2 = 1 cm. Osim toga, trai da bude r2 < r1 . Nastavnik trai da uqenici crtaju jedan po jedan sluqaj: prvo, da se krunice i odgovarajui krugovi ne seku, drugo, da se spoǉa dodiruju itd. Uqenici sami izvlaqe zakǉuqke odgovarajui na pitaǌa koja postavǉa nastavnik. U svim sluqajevima trai se odgovor na pitaǌe: ”Koji uslov moraju zadovoǉiti polupreqnici r1 i r2 , da bi krunice, odnosno krugovi bili su traenom odnosu?” (Odgovor bi mogao biti, na primer, za prvi sluqaj: ”Zbir polupreqnika r1 i r2 je 4 cm” i sl., pa u takvom sluqaju nastavnik generalizuje zakǉuqak: r1 + r2 < O1 O2 .) Na kraju rexavamo zadatke 1, 2, 3, 4 sa str. 41. Domai zadatak:

Zbirka: 227, 228, 230, 232.

44

Osnovni geometrijski objekti

24. QAS Sve o krugu

Sistematizacija

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Povezati i rasqlaniti sve nauqeno o krugu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka

Pre svega potrebno je ponoviti sve nauqene pojmove, qije su definicije istaknute (podvuqene bojom) u Ubeniku. Svaki objekt se prikae i crteom, prvo na mestu - u svesci, a potom i na tabli. Zatim se rexavaju zadaci iz Zbirke. Ne ide se redom od Pojma geometrijske figure, nego se prvo obnovi o odnosu dva kruga. Dakle, prvo rexavamo zadatke: 229, 233, 235, 239, 240. Zatim, rexavamo zadatke za sistematizovaǌe ostalog dela gradiva iz Druge glave: 155, 166, 170, 173, 190, 191, 197, 210, 220, 222. Domai zadatak: do 12.)

Radna sveska: Druga kontrolna veba (str. 9.

45

Osnovni geometrijski objekti

25. QAS Druga kontrolna veba (Osnovni geometrijski objekti. Skupovi N i N0 .)

Kontrola znaǌa

Uqenici su podeǉeni u grupe, prema nahoeǌu nastavnika. Svaki uqenik dobija list sa ispisanim tekstovima zadataka. Na listu je boǉe unapred napisati ime uqenika, nego oznaqiti grupu. Dajemo predloge pet grupa zadataka. Grupa A) 1. Nacrtaj dva qetvorougla, tako da ǌihov presek bude: a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao. 2. Nacrtaj kao na priloenoj slici pravu a, taqku A na pravoj i taqku O van prave. Konstruixi dve krunice polupreqnika 15 mm, koje dodiruju pravu a u taqki A. Zatim, konstruixi krunicu k sa centrom O, koja takoe dodiruje pravu a. 3. Data je du AB = 1 dm i krunica k1 (A, 2 cm) i k2 (B, 5 cm). Odredi rastojaǌe izmeu dve meusobno najblie taqke krunica k1 i k2 i rastojaǌe izmeu dve najudaǉenije taqke ovih krunica. 4. Koliko je dui i koliko trouglova nacrtano na slici. Sve nacrtane dui oznaqi krajǌim taqkama (na primer M N ) i trouglove temenima (na primer M N Q). 5. Na papiru su napisana dva broja: 118 i 216. Da li je neki od ǌih jednak zbiru tri uzastopna parna broja? Grupa B) 1. Nacrtaj taqke A, B, C, D, E i F , kao na slici. Koristei se nacrtanim taqkama oznaqi izlomǉene linije: a) (plavu) BCDE; b) (crvenu) ABF DA; v) (crnu) ECDBAE. Da li je neka od ǌih mnogougaona linija? 2. Nacrtaj pravu t i taqku C van prave t. Zatim, konstruixi krunicu k sa centrom C, tako da dodiruje pravu t. Dodirnu taqku obelei i oznaqi sa T . Nacrtaj i krunicu k1 sa centrom C, tako da seqe pravu t. 3. Nacrtaj krunicu k polupreqnika 3 cm i jedan ǌen preqnik AB. Zatim nacrtaj krunice k1 i k2 , obe polupreqnika 2 cm, koje

46

Osnovni geometrijski objekti

iznutra dodiruju krunicu k. Dodirna taqka krunica k i k1 je A, a B je dodirna taqka krunica k i k2 . U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Koliko dui i koliko trouglova odreuju taqke oznaqene na slici? 5. Uoqi brojeve: 1, 2, 4, 8, 16. Uveri se da sve prirodne brojeve maǌe od 32, osim ovih uoqenih, moex dobiti sabiraǌem uoqenih brojeva. (Na primer: 25 = 16 + 8 + 1). Za svaki broj ispixi odgovarajui zbir. Grupa V) 1. Nacrtaj kvadrat i trougao, tako da ǌihov presek bude: a) petougao; b) xestougao. 2. Nacrtaj paralelne prave p i q, kao na slici i oznaqi taqku P na pravoj p. Zatim, konstruixi krug K1 sa centrom P , koji dodiruje pravu q i krug k2 sa centrom na pravoj q, koji dodiruje pravu p u taqki P . Osenqi K1 ∩ K2 . 3. Nacrtaj pravu p i na ǌoj oznaqi taqku P . Konstruixi sve krunice preqnika 4 cm, koje pravu p dodiruju u taqki P . U kakvom su meusobnom poloaju ove krunice? 4. Prebroj dui i trouglove nacrtane na slici. Ispixi sve trouglove (oznaqi ih temenima). 5. Koristei se brojevima 1, 1, 5, 15 i operacijama sabiraǌa i oduzimaǌa, moemo dobiti svaki prirodni broj izmeu 1 i 22. Za svaki broj napixi odgovarajui izraz. Grupa G) 1. Nacrtaj dva trougla, tako da ǌihova unija bude: a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao. 2. Nacrtaj pravu a i taqku B, koja je od a udaǉena 6 cm. Zatim, konstruixi krunicu k polupreqnika 3 cm, koja sadri taqku B i dodiruje pravu a. Dodirnu taqku oznaqi sa A. 3. Nacrtaj krunicu k, na ǌoj taqku T i pravu a, kao na slici. Zatim, konstruixi

Osnovni geometrijski objekti

47

krug K1 sa centrom na pravoj a, koji dodiruje krunicu k u taqki T . Presek kruga K1 i prave a je du AB. Xta predstavǉa AB u krugu K1 ? 4. Navedi sve trouglove qija su temena taqke oznaqene na slici. Koliko ima takvih trouglova? 5. Izraqunaj vrednosti izraza: a) 40 : (27 : 3 + 4 · 17 − 200 : 4 − 112 : 16) b) 5 · 7 − (14 : 2 + 3 · (222 : 37 − 2) − 11). Grupa D) 1. Prave a i b na slici paralelne su meu sobom. Odredi skup taqaka S, tako da je: a) S = c ∩ d; b) S = a ∩ b; v) S = d∩ (a∪ c); g) S = (a∩ c)∪ (c∩ d). 2. Nacrtaj prave p i q u taqku P kao na slici. Zatim, konstruixi krunicu k, koja ima centar na pravoj q, tako da P bude dodirna taqka krunice i prave p. 3. Centralno rastojaǌe krugova K1 i K2 iznosi 15 cm. Polupreqnik kruga K2 qetiri puta je vei od polupreqnika kruga K1 . Odredi duine polupreqnika ovih krugova, ako se oni dodiruju. a) spoǉa; b) iznutra. 4. Date su qetiri razliqite taqke: A, B, C, D. Koliko najvixe pravih mogu da odrede ove taqke? Ispixi sve dui qiji su krajevi date taqke. Koliko ima tih dui? 5. Koristei se po potrebi operacijama sabiraǌa i oduzimaǌa, pokai da se svaki prirodni broj maǌi od 14, moe izraziti preko brojeva 1, 3 i 9. Za svaki broj napixi odgovarajui izraz.

48

Deǉivost brojeva

26. QAS Mnoeǌe i deǉeǌe u skupu N0

Obnavǉaǌe

Frontalni rad i rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Obnavǉaǌe osobina proizvoda i koliqnika, radi pripreme terena za izuqavaǌe deǉivosti brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 42. do 46. str.

Najpre ponovimo pojmove: proizvod i qinioci (faktori). Posebno istiqemo osobine (uqenici raqunaju primere sa datim brojevima i sami izvode zakǉuqke): 0 · n = 0, 1 · n = 1, m · n = n · m, (a · b) · c = a · (b · c) i a(b + c) = a · b + a · c. Pritom reximo zadatke: 1, 2, 3, 4, 5 sa 43. strane. Zatim, obnovimo pojmove: deǉenik, delilac, koliqnik (strana 46). Posebno obratimo paǌu na ulogu nule u deǉeǌu (str. 45). Primetimo da jednakosti: a = b · c, zatim a : b = c i a : c = b, gde su a, b i c prirodni brojevi, imaju suxtinski isto znaqeǌe. Za ilustraciju reximo zadatke 6 i 7 sa strane 45. Na kraju, obnovimo deǉeǌe sa ostatkom i jednakost a = d · q + r, gde je r < d (strana 46). Reximo i zadatke 8, 9 i 10 sa 46. strane. Ukoliko ima vremena, reximo jox neke od zadataka sa 47. strane. Domai zadatak:

Preostali zadaci na 47. strani.

49

Deǉivost brojeva

27. QAS Deǉivost prirodnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Neophodno je da uqenici razumeju i shvate ekvivalentno znaqeǌe jednakosti a : d = q i a = d · q, gde je broj d prirodan (pojam delioca). Analizirati jednakost a = d · q + r. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 48. do 50. str.

Ponovimo znaqeǌe veze a = d · k, gde su a, d i k prirodni brojevi. Na primer: Iz 85 = 5 · 17 sledi da je 85 : 17 = 5 i 85 : 5 = 17. Dakle, brojevi 5 i 17 su delioci broja 85. Takoe, 85 je sadrilac brojeva 5 i 17. Istiqemo pojam sadralac i ǌegov sinonim umnoak. Nastavimo izlagaǌe orema tekstu sa 48. strane Ubenika. Onda, reximo primere 1, 2, 3, 4 sa 49. strane. Zatim, kao xto je izloeno na 49. strani, razmatramo sluqajeve kada deǉeǌe daje ostatak. Posebno naglasiti oznake za parne i neparne brojeve. Na kraju rexavamo zadatke od 1 do 10 na stranama 50. i 51. Ubenika. Domai zadatak:

Zbirka: 243, 244, 251, 259.

50

Deǉivost brojeva

28. QAS Deǉivost prirodnih brojeva

Utvrivaǌe

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Utvrditi pojmove: deǉeǌe bez ostatka (deǉivost) i deǉeǌe sa ostatkom u skupovima N i N0 . Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 45. do 48. str.

Ponovimo pojam (definiciju) deǉivosti: Ako su a, k i d prirodni brojevi, iz a = d · k sledi da je a : d = k i a : k = d. Tada su d i k delioci broja a. Reximo zadatak 242 iz Zbirke. Proxirimo definiciju deǉivosti na skup N0 . Dakle: ako je d prirodni broj i a, k ∈ N0 , onda ako je a = d · k, kaemo da je a deǉivo sa d i a : d = k. Ako je, na primer, a = 0 i d = 7, onda je 0 = 7 · 0. Tada u jednakosti a = d · k je a = 0, d = 7, k = 0, odnosno vai 0 : 7 = 0. Rexavamo zadatke: 252 i 245. Ponovimo jednakost: a = d · q + r, r < d, pa rexavamo zadatke: 260, 257, 259. Domai zadatak:

Zbirka: 247, 248, 249, 254.

51

Deǉivost brojeva

29. QAS Svojstva deǉivosti brojeva Rad u nehomogenim grupama

Sistematizovaǌe Dijalog

Ciǉ Isticaǌe najbitnijih pojmova i osobina u vezi sa deǉivoxu u skupu N0 . Tok qasa Osnovni tekst Ubenik str. 51, 52, 53; Zbirka od 48. do 51. Ponovimo deǉeǌe sa ostatkom (a = d · q + r) i reximo zadatak 261 iz Zbirke. Onda nastavǉamo prouqavaǌe deǉivosti bez ostatka. Sledimo tekst iz Ubenika, strane: 51, 52, 53, istiqui osobine kroz primere navedene u ovom tekstu. Rexavamo zadatke 2, 3, 4 i 5 sa 53. strane. Zatim, do kraja qasa rexavamo zadatke iz Zbirke, redom: 266, 267 a), b), 269 a), b), v), g), d), 275. Domai zadatak:

Zbirka: 262, 263, 270, 276, 277, 278, 292.

52

Deǉivost brojeva

30. QAS Pravila deǉivosti sa 10, 5, 2 i 4 Rad u nehomogenim grupama

Obrada Heuristiqka metoda

Ciǉ Na osnovu dosadaxǌih znaǌa i iskustava, uqenici u najveoj meri samostalno otkrivaju pravila za utvrivaǌe deǉivosti sa 10, 5, 2 i 4. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 54. do 58. str.

(Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.) Ponovimo definiciju deǉivosti: ”Broj a je deǉiv sa d ako postoji ceo broj k, takav da je a = k · d.” Primenimo na sluqaj d = 10: Broj je deǉiv sa 10 ako ima oblik 10 · k, a to znaqi, ako mu je cifra jedinica 0 itd. Pratimo tekst sa strana 54. i 55. Koristimo osobinu deǉivosti: Ako p|a i p|b, onda p|(a + b). Do zakǉuqka nastavnik dolazi postavǉajui pitaǌa, a uqenici izvode zakǉuqke. Ukoliko oceni da uqenici texko mogu sami doi do zakǉuqka o brojevima koji nisu deǉivi sa 10 (cifra jedinica nije 0), nastavnik tu preuzima inicijativu. Onda, rexavamo zadatke od 1 do 5 sa 55. strane. Daǉe, prelazimo na deǉivost sa 5 (strana 55.) i rexavamo zadatke 6 do 10 sa 56. strane. Koristei se navedenom osobinom o deǉivosti zbira, daǉe izvodimo zakǉuqke o deǉivosti najpre sa 2, pa sa 4. Usput rexavamo postavǉene zadatke od 11 do 15. Domai zadatak:

Zbirka: 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300.

53

Deǉivost brojeva

31. QAS Pravila deǉivosti sa 9 i 3

Rad u nehomogenim grupama

Obrada Kombinovano: dijaloxka i heuristiqka metoda

Ciǉ Uz minimalnu pomo nastavnika uqenici dolaze do pravila deǉivosti sa 9 i 3. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 58. do 60. str.

Ponovimo zakǉuqak sa prethodnog qasa da se deǉivost sa 10, 2 i 5 odreuje na osnovu samo jedne cifre broja - posledǌe, a deǉivost sa 4 na osnovu dvocifrenog zavrxetka. Razmotrimo onda deǉivost sa 9 (strane 58. i 59.), koristei sa qiǌenicom da svaka dekadna jedinica (10, 100, 1000, ...) pri deǉeǌu sa 9 daje ostatak 1. Pri ispitivaǌu cifara na xkolskoj tabli treba koristiti kredu u boji (kao u ubeniku) ili podvlaqeǌe cifara. Potom rexavamo primere 1 i 2. Posebno istiqemo rexavaǌe primera 2. Zatim, koristei se qiǌenicom (osobina deǉivosti): ako je broj deǉiv sa 9, onda je deǉiv i sa 3, izvodimo pravilo deǉivosti sa 3. Rexavamo zadatke 3, 4 i 5 sa 60. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 321, 322, 323, 324, 326.

54

Deǉivost brojeva

32. QAS Pravila deǉivosti

Uvebavaǌe

Rad u parovima i nehomogenim grupama

Heuristiqka metoda

Ciǉ Snalaeǌe uqenika u otkrivaǌu deǉivosti prirodnih brojeva korixeǌem nauqenih pravila. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 51. do 56.strane

Ponovimo pravila deǉivosti sa 10, 5, 2, 4, 9 i 3. Za svako pravilo uqenici sastavǉaju dva do tri primera. Prvi deo qasa, tokom ponavǉaǌa pravila, radi se u parovima. Parove qine uqenici u svakoj klupi. Zatim, vraajui se na deǉivost sa 10, nastavnik navodi uqenike da sami zakǉuqe uslove deǉivosti i drugim, veim dekadnim jedinicama (100, 1000, ...). Rexavamo zadatke 291, 292, 293. Za nastavak rada uqenici se grupixu tako da svaku grupu qine uqenici iz dve susedne klupe. Zadatke koje nastavnik postavǉa prvo rexavaju grupe, koje prijavǉuju nastavniku da su rexili zadatak. Onda nastavnik izvodi jednog uqenika na xkolsku tablu, gde on demonstrira pronaeno rexeǌe. Rexavaju se zadaci: 301, 303, 304, 307, 317, 318. Domai zadatak:

Zbirka: 302, 305, 308, 309, 311, 333.

55

Deǉivost brojeva

33. QAS Prosti i sloeni brojevi. Rastavǉaǌe na proste qinioce Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Ciǉ Uoqiti razliku izmeu prostih i sloenih brojeva. Uoqiti da je svaki sloen broj proizvod prostih brojeva (prostih qinilaca) i utvrditi postupak nalaeǌa svih prostih qinilaca. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 60. do 63. strane

Koristei se tabelom delilaca sa 60. strane pokazati kako se brojevi prve desetice razlikuju po broju delilaca. Zatim se definixu prosti brojevi. Odmah, na osnovu definicije zapaa se da je broj 2 najmaǌi prost broj i jedini paran prost broj. Zatim se uoqi da svi prirodni brojevi vei od 1, koji nisu prosti, mogu da se izraze u vidu proizvoda dva broja vea od 1. To su sloeni brojevi. Istiqemo neobiqnu qiǌenicu: broj 1 nije ni prost ni sloen broj i jedini je prirodni broj sa takvom osobinom. U skup N0 imamo i broj 0, koji je deǉiv svakim prirodnim brojem, ali nije sloen broj (ne moe se izraziti kao proizvod dva broja vea od 1). Uz eventualnu pomo nastavnika uqenici sami nalaze sve proste brojeve maǌe od 50. Zatim reximo primere 1 i 5 sa 61. str. Kao xto je opisano na 62. strani ubenika, na primeru broja 60, treba pokazati kako se sloeni broj moe postepeno dovesti na oblik proizvoda samih prostih qinilaca. Ukoliko oceni da ovaj primer nije dovoǉan za izvoeǌe potrebnih zakǉuqaka, nastavnik e prikazati jox neki primer, recimo broj 168. Onda rastavimo broj 144 iz primera 1 sa 62. strane. Zatim, na brojevima 25740, 180 i 504 prikazujemo uobiqajeni postupak razlagaǌa sloenih brojeva na proste qinioce sistematskim pretraivaǌem. Pritom, koristimo nauqena pravila deǉivosti sa 2, 3 i 5. Za proste qinioce 7, 11, 13 i vee proveru vrximo direktnim deǉeǌem. Zatim, kao na primeru broja 853, prikazanog na 63. strani, razmatramo kako se dolazi do zakǉuqka da li je dati broj prost. Domai zadatak: strane ubenika.

1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane i 2, 3, 4, 5 sa 63.

56

Deǉivost brojeva

34. QAS Prosti i sloeni brojevi Rad u parovima

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Utvrivaǌe osobina prostih i sloenih brojeva, uz primenu pravila deǉivosti i rastavǉaǌe na qinioce. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: od 57. do 59. str.

Prvi deo qasa radimo frontalno. Ponovimo definicije prostih i sloenih brojeva. Reximo zadatke 341. i 342. Zatim, uvebavamo nauqene postupke za razlagaǌe sloenih brojeva na proste qinioce i nalaeǌe svih delilaca datog broja. Nastavǉamo rad u parovima. Radimo u parovima na uobiqajeni naqin: prvo parovi dou do rexeǌa na mestu, pa onda neki uqenik radi na tabli. Ukoliko se nastavnik neposrednim nadgledaǌem parova uveri da su svi shvatili problem i doxli do rexeǌa, taj problem se preskaqe, tj. ne rexava se na tabli. Rexavamo zadatke: 350 v), g), z), l), 351 v) d), 353 a), 370, 355 a), 361 a). Zatim, postavimo zadatke: ”Utvrdi da li je prost ili sloen broj: a) 479, b) 667.” Nastavǉamo sa zadacima: 354. v), 357. a), 364. a). Ukoliko neki od predloenih zadataka ne doe na red do kraja qasa, taj se zadaje za domai rad. Dodajemo i sledee zadatke. Domai zadatak: 13. do 16.)

Radna sveska: Trea kontrolna veba (str.

57

Deǉivost brojeva

35. QAS Trea kontrolna veba (Deǉivost. Sloeni brojevi)

Kontrola znaǌa

Grupa A) 1. Rastavi na proste qinioce broj 1008, pa odredi sve ǌegove delioce. 2. Odredi sve proste brojeve p, takve da je broj p2 trocifren i maǌi od 500. 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 17∗4 bude deǉiv sa 4. Nai sva rexeǌa. 4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 9240. Odredi ta tri broja.

Grupa B) 1. Rastavi na proste qinioce broj 39204, pa pokai da je on kvadrat nekog prirodnog broja k. Odredi broj k. 2. Napixi sve sloene brojeve vee od 120 i maǌe od 140. Za svaki od ǌih pokai da je zaista sloen broj. 3. Umesto slova a i b stavi odgovarajue cifre, tako da broj 1a46b bude deǉiv sa 2 i sa 9. Nai sva rexeǌa. 4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi ta tri parna broja.

Grupa V) 1. Rastavǉaǌem na proste qinioce utvrdi da li je broj n = 312 · 78 kvadrat nekog prirodnog broja. 2. Odredi sve proste brojeve q, takve da je q 3 trocifren broj. 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 520∗ bude deǉiv sa 2 i sa 3. Nai sva rexeǌa. 4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 3360. Odredi ta tri prirodna broja.

58

Deǉivost brojeva

Grupa G) 1. Rastavi na proste qinioce broj 600. Zatim, odredi sve ǌegove delioce, koji su takoe sloeni brojevi. 2. Od svih dvocifrenih i trocifrenih brojeva, koji imaju jednake sve cifre, odredi one koji su prosti brojevi. 3. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj 2x33y bude deǉiv sa 2 i sa 3, ali ne i sa 4. 4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi ta tri parna broja. Grupa D) 1. Rastavi na proste qinioce broj 713. Obrazloi postupak. 2. Koristei se ciframa 3, 4 i 5, napixi sve trocifrene brojeve, koji se pixu sa tri razliqite cifre i deǉivi su sa 2. Da li je neki od ǌih deǉiv sa 4? 3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 6∗25 bude deǉiv sa 3, ali ne i sa 9. 4. Proizvod qetiri uzastopna prirodna broja iznosi 24024. Odredi ta qetiri prirodna broja.

59

Deǉivost brojeva

36. QAS Najvei zajedniqki delilac Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Istai pojam i znaqaj najveeg zajedniqkog delioca. Utvrditi naqine odreivaǌa. Uvoeǌe pojma uzajamno prostih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 64. od 66. strane

Ponovimo pojmove delilac i sadralac. Uoqiti da su delioci brojeva 21 brojevi 3 i 7. Delioci broja 12 su 3 i 4. Primeujemo da je broj 3 zajedniqki delilac za 21 i 22. Nije texko utvrditi da broj 60 ima sledee delioce: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60. Delioci broja 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45. Poredei ova dva skupa delilaca uoqavamo da oni imaju zajedniqke delioce: 1, 3, 5 i 15. Najvei meu ǌima je broj 15. Razmotrimo delioce brojeva 18 i 30, kao xto je opisano na 64. strani ubenika. Uoqavamo da je broj 6 najvei zajedniqki delilac za 18 i 30. Definixemo najvei zajedniqki delilac, skraena oznaka je NZD. Uvodimo oznaku D(a, b), pa u datim primerima je D(60, 45) = 15 i D(18, 30) = 6. Reximo primer sa komadom papira sa 64. strane. Zatim, pokaemo kako se iz razlagaǌa sloenih brojeva na proste qinioce odreuje NZD. U ubeniku detaǉno je obraen sluqaj D(180, 144) = 36, zatim je za tri broja, naveden je primer D(24, 60, 96) = 12. Onda uvedemo odreivaǌe NZD pomou xeme (strana 65). Reximo primere 1, 2 i 3. Uvodimo pojam uzajamno prostih brojeva, kako je opisano na 66. strani i reximo primer 4. Domai zadatak: Zbirka: 376 a), b), v), 377 a), b), v), g), 378 a), b), 379 a), d), 383 a), b), v), 386 a), b), v).

60

Deǉivost brojeva

37. QAS Najmaǌi zajedniqki sadralac Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Ciǉ Uoqavaǌe pojma najmaǌeg zajedniqkog sadraoca i otkrivaǌe naqina ǌegovog odreivaǌa. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 66. do 68. strane

Obnovimo pojmove: zajedniqki delilac, najvei zajedniqki delilac i uzajamno prosti brojevi. Rexavamo iz Zbirke zadatke: 378 ), 383 ) i d), 387 a). Obnovimo pojam sadraoca. Zatim na primeru 12 · 30 = 360, sa 66. strane ubenika, animiramo uqenike da odrede po nekoliko (recimo po deset) sadralaca brojeva 12 i 30. Onda uoqavaju zajedniqke sadraoce i izdvajaju najmaǌeg od ǌih. Navodimo uqenike da definixu najmaǌi zajedniqki sadralac, skraeno: NZS. Uvodimo oznaku, na datom primeru je to: S(12, 30) = 60. Zatim, uqenici analiziraju i izvode zakǉuqak, kako se na osnovu razlagaǌa na proste uqinioce moe odrediti NZS za dva ili vixe od dva zadata broja. Do potrebnih zakǉuqaka najpre razmatraju prethodni primer S(12, 30), a onda na sliqan naqin odreuju S(18, 20, 21, 28). Uz eventualnu pomo nastavnika uqenici dolaze do zakǉuqka da NZS sadri sve proste qinioce brojeva, i to svaki onoliko puta koliko se najvixe nalazi u svakom od brojeva. Na osnovu toga nastavnik predlae i izlae odreivaǌe NZS u dva koraka, kako je pokazano na str. 67 za S(18, 20, 21, 28). Onda, traimo S(8, 25) i eventualno S(15, 14) i zakǉuqimo: ako je D(a, b) = 1, onda je S(a, b) = a · b. Reximo primere od 1 do 5 sa 68. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 401, 405 a), b), v), 406 g), 407 b), j).

61

Deǉivost brojeva

38. QAS NZD i NZS

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Uoqiti znaqeǌe NZD i NZS i ǌihovu primenu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 60. do 64. strane

Obnovimo pojmove: delilac, zajedniqki delilac, najvei zajedniqki delilac (NZD) i uzajamno prosti brojevi. Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 378 ), 379 g), 381, 380, 383 e), 384 ), 387 b), g), 390 a). Zadaci se rexavaju na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama, koje qine uqenici iz dve susedne klupe. Zatim, obnovimo pojmove: sadrilac, zajedniqki sadralac i najmaǌi zajedniqki sadrilac (NZS). Rexavamo zadatak iz zbirke: 402 a), b), 405 d), 406 b), d), 407 a), ), k), 410. Domai zadatak: Zbirka: 384 a), b), v), 385 a), ), 386 g), d), ), e), 396, 406 v), ), 407 l), 411, 413.

62

Pismeni zadatak

39. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavǉaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ U najkraim crtama, kroz rexavaǌe karakteristiqnih zadataka, obnoviti bitne teme i probleme. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka zadataka

Posle svake zavrxene nastavne teme (Skupovi, Osnovni geometrijski objekti) nastavnik analizira efekte nastave i, uzimajui u obzir i rezultate sa dve uraene kontrolne vebe, planira koje delove gradiva treba obnoviti pre pismenog zadatka. Takoe, uzima u obzir nivo znaǌa koji su, po ǌegovoj oceni, uqenici postigli iz aktuelne teme (Deǉivost brojeva). Od tih utisaka zavisi izbor zadataka za obnavǉaǌe gradiva i pripremu za pismeni zadatak. Ovaj izbor i zadaci predvieni za pismeni zadatak treba da budu usklaeni, jer bi se u protivnom uqenici usmerili ka neodgovarajuim pripremama. Navodimo jedan uopxten izbor zadataka, koji predstavǉa presek kroz preeno gradivo. Nexto od toga treba uraditi na ovom qasu, a ostatak kroz domai rad. Svi navedeni zadaci su iz Zbirke. 31, 36 (izbor), 44, 47, 80, 86, 99, 115, 148, 167, 168, 191, 192, 198, 224, 225, 228, 237, 255, 264, 305, 315, 335, 357, 364, 371, 379, 388, 389, 391, 406, 408, 409, 410. Domai zadatak: do 19.)

Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (str. 17.

Pismeni zadatak

63

40. QAS Prvi pismeni zadatak

Kontrola znaǌa

Uqenici dobijaju odxtampane zadatke. Od pet zadataka svaka grupa ima jedan zadatak koji je raen na qasu, jedan koji je dat za domai zadatak i dva zadatka iz Zbirke. Grupa A) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a je jednocifreni broj}; B = {b| b ∈ N0 i b < 3}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: A ∩ B, B\A i CA B. 2. Odredi skup A ako je A ∪ B ∪ C = {x| x ∈ N0 i x < 9}, B\A = {4, 5}, C\A = {2, 7}, a skupovi B i C su disjunktni. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi krunice k1 i k2 sa centrom C, koje dodiruju krunicu k sa centrom S. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. U broju 38 ∗ 2∗ umesto zvezdica stavi odgovarajue cifre, tako da dobijeni broj bude deǉiv sa 3 i sa 5, ali ne i sa 9. Nai sva rexeǌa. 5. Odredi najvei prirodni broj d, takav da pri deǉeǌu sa d broj 262 daje ostatak 7, a broj 246 daje ostatak 8. Grupa B) 1. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {b| b ∈ N0 i b2 < 10}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: B\A, A ∩ B i A ∪ B. 2. Odredi skupove: M , P i M ∩ P , ako je M \P = {0, 1}, P \M = {4, 5} i M ∪ P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. (Polupreqnik krunice k je 1,5 cm.) Konstruixi krunice k1 i k2 , obe polupreqnika 2 cm, koje dodiruju k u taqki A. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Odredi prirodne brojeve m i n, koji imaju najvei zajedniqki delilac 21, ako je m + n = 84. 5. Nai najmaǌi prirodni broj n kojim treba pomnoiti 1260 da bi dobijeni proizvod bio kvadrat prirodnog broja. Grupa V) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i 3 ≤ a ≤ 6} i B = {b| b ∈ N0 i 3b ≤ 10}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: A∩ B, B\A i A∪ B. 2. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 4, 6}. Preko A i B, koristei skupovne operacije, izrazi skupove: M = {1, 3}, P = {2, 4} i Q = {6}.

64

Pismeni zadatak

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi sve krunice koje pravu t dodiruju u taqki T , a centar im je na datoj krunici. 4. Odredi sve qetvorocifrene brojeve qiji je zbir cifara 5 i koji su deǉivi sa 5. 5. Rastavǉaǌem na proste qinioce odredi broj n, ako je n3 = 3375. Grupa G) 1. Dati su skupovi A = {a| a ∈ N i a ≤ 5} i B = {0, 1, 2, 3}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, A ∪ B. 2. Dati su skupovi M = {1, 3, 4}, P = {2, 4, 6} i Q = {4}. Izrazi preko M , P i Q skupove: A = {1, 3} i B = {1, 2, 3, 6}. 3. Preslikaj u svesku dati ugao aOb. Zatim, konstruixi dve jednake krunice k1 i k2 , koje dodiruju krak Oa u taqki A i pritom je centar krunice k1 na pravoj b. U kakvom su meusobnom poloaju k1 i k2 ? 4. Od pravougaonog kartona, ivica 84 cm i 54 cm, treba izrezati kvadratne kartice, tako da sve kartice budu jednake veliqine i da nema otpatka od datog kartona. Kolika je najvea mogua ivica kartice? Koliko takvih kartica dobijamo? 5. Da li postoji prirodni broj kome proizvod cifara iznosi 924? Obrazloi rexeǌe. Grupa D) 1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i a < 10}, B = {b| b ∈ N0 i b je neparan jednocifren broj}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, CA B. 2. Odredi skup Y koji ima tri elementa, ako je Y ∩ {2, 3, 4} = {3, 4} i {1, 2, 3, 4, 5} ∪ Y = S, gde je S = {s| s ∈ N i s < 7}. 3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim, konstruixi sve krunice koje krunicu k2 dodiruju u taqki T , a centar im je na datoj krunici k1 . 4. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj 4x28y bude deǉiv sa 5 i sa 9. Nai sva rexeǌa. 5. Obim predǌeg toqka traktora je 2 m i 80 cm, a obim zadǌeg je 4 m i 80 cm. Koliko punih obrtaja treba da napravi predǌi toqak, da bi istovremeno i zadǌi toqak napravio ceo broj obrtaja i pritom traktor prexao najmaǌi ceo broj metara?

65

Pismeni zadatak

41. QAS Ispravka prvog pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Ukazivaǌe na sistemske i pojedinaqne grexke uz pouku o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka. Tok qasa Nastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko je bilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin da se one isprave. Zatim, istiqe jox neke karakteristiqne grexke. Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitivne qiǌenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitivnije i blagotvornije efekte nego kritika. Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskoj tabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detaǉa, pojedine zadatke radi sam nastavnik. Poeǉno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremena za sve grupe, treba raditi po neki od svake.

66

Ugao

42. QAS Pojam ugla. Obeleavaǌe uglova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Uvoeǌe pojma ugla kao ravne figure odreene ugaonom linijom. Razlikovati konveksne i nekonveksne uglove. Uoqiti oblast ugla, oprueni i pun ugao. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik: od 69. do 73. strane

Najpre definixemo ugaonu liniju, kao na 69. strani ubenika, i uvedemo odgovarajue oznake. Na sl. 1 imamo ugaonu liniju koju oznaqavamo sa aOb ili bOa. Taqka O je teme, a poluprava Oa i Ob su kraci ugaone linije. Ugaona linija deli ravan na dve disjunktne oblasti (sl.3). Definixemo, zatim, unutraxǌu oblast i ugao, kao uniju ugaone linije i jedne oblasti. Tu izabranu oblast nazivamo oblast ugla ili unutraxǌa oblast. Pojmove i ǌihove oznake prezentiramo kao na 70. i 71. strani ubenika. Onda reximo primer 1. na 71. strani. Definixemo oprueni ugao, puni ugao i nula ugao. Zatim, definixemo konveksne i nekonveksne uglove (sl. 10 i 11). Uvodimo pOq za nekonveksni oznake: aOb za konveksni ugao na sl. 10 i ugao na sl. 11. Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa strane 73. Domai zadatak:

Zbirka: 416, 417, 418, 420, 424.

67

Ugao

43. QAS Centralni ugao. Kruni luk. Uporeivaǌe uglova.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Uoqiti korelaciju izmeu centralnog ugla, odgovarajueg luka i odgovarajue tetive. Na osnovu toga definisati konstrukcije ”prenoxeǌa” i uporeivaǌa uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 74. do 77. strane

Pojam centralnog ugla zasnivamo na qiǌenici da dve poluprave koje sadre dva polupreqnika krunice odreuju ugaonu liniju (sl. 12 na 74. strani). Zatim, kao xto je opisano u ubeniku, definixemo odgovarajui kruni luk i odgovarajuu tetivu. Krunom luku odgovara jedan centralni ugao, a tetivi odgovaraju dva centralna ugla. Zatim, izvedemo zakǉuqak o jednakim centralnim uglovima (strana 75). Preqnicima odgovaraju oprueni uglovi, pa se moe potvrditi da su svi oprueni uglovi jednaki meu sobom. Koristei se odgovarajuim tetivama, uvodimo pojam ”prenoxeǌa” uglova (konstrukcijom, tj. leǌirom i xestarom), sl. 16 na str. 76. Takoe, prenoxeǌem uglova vrximo uporeivaǌe dva ugla, sl 17 i sl. 18 na str. 77. Tako se za dva ugla, na primer, aOb i pSq moe utvrditi jedna od relacija. aOb = pSq ili aOb > pSq ili aOb < pSq. Reximo jox i zadatke 3, 4 i 5 na 77. strani. Domai zadatak:

Zbirka: 431, 433, 434, 435, 437.

68

Ugao

44. QAS Prenoxeǌe uglova. Uporeivaǌe

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Uvebavaǌe tehnike ”prenoxeǌa” uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 65. do 70. strane

Ponovimo pojam centralnog ugla i uslov jednakosti dva centralna ugla. Zatim, nastavnik izvodi na tablu jednog po jednog uqenika, koji rexavaju zadatak sa formulacijom. ”Dati ugao (nacrtao ga nastavnik na tabli) prenesi na datu polupravu Op (nacrtao je nastavnik na tabli), tako da dobijex pOq, koji je jednak datom uglu.” Istovremeno uqenici konstruixu na mestu. Onda uqenici formiraju grupe spajaǌem po dve susedne klupe i naredne zadatke rexavaju na naqin koji smo opisali za rad u nehomogenim grupama. Rexavamo zadatke: 432, 433, 436, 437, 438, 439. Domai zadatak:

Zbirka: 440.

69

Ugao

45. QAS Susedni uglovi. Sabiraǌe i oduzimaǌe uglova.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Ispravno shvataǌe pojma susednih uglova. Definisati sabiraǌe i oduzimaǌe uglova. Uoqiti razlike izmeu zbira i unije dva ugla i razliku izmeu aOb − bOc i skupovne razlike dva ugla, kao ravne figure. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 78. i 79. strana

Definixemo susedne uglove. Uniju dva susedna ugla nazivamo zbirom ta dva ugla. Zatim, definixemo zbir dva ugla α i β koji nisu susedni. Nastavnik izabere dva konveksna ugla (nacrta ih na xkolskoj tabli) i onda se prenoxeǌem konstruixe ugao α + β. Sabiraǌe jednog ugla vixe puta zapisuje se krae pomou proizvoda. Na primer α + α + α + α + α = 5α. Zatim, definixemo razliku dva ugla i konstruixemo (na xkolskoj tabli) razliku θ − ϕ sa sl. 22 na strani 79 (to je Primer 2). Onda reximo primer 3 (sl. 23). Reximo jox nekoliko sliqnih primera, gde se sabiraju, oduzimaju i mnoe dati uglovi (uglovi koje nastavnik nacrta na xkolskoj tabli). Domai zadatak:

Ubenik: 4, 5 (sa strane 79).

70

Ugao

46. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe uglova Rad u parovima Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Uvebati tehniku konstruisaǌa zbira i razlike dva ugla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 71. i 72. strana

Ponovimo pojam susednih uglova, pa rexavamo iz Zbirke zadatke: 441, 442, 443. Zatim, ponovimo definicije zbira i razlike dva ugla. Reximo zadatak 444. Onda nastavnik bira razliqite uglove (crta ih na xkolskoj tabli) i postavǉa zahteve da se konstruixu uglovi, kao: α − β, 3α, 2β + α, 2α − 3β i sl. Dok parovi rexavaju zadatke, nastavnik obilazi uqenike i odobrava ǌihove konstrukcije ili intervenixe. Ove konstrukcije vebaju se do kraja qasa. Domai zadatak: 20. do 23.)

Radna sveska: Qetvrta kontrolna veba (str.

Ugao

71

47. QAS Qetvrta kontrolna veba (Sloeni brojevi i ugao)

Kontrola znaǌa

Grupa A) 1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac za brojeve: 24, 30 i 36. 2. Odredi najvei broj k, takav da je 630 deǉivo sa k, a broj 341 pri deǉeǌu sa k daje ostatak 5. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove α i β sa slike, pa konstruixi ugao 2β + 3α. 4. Nacrtaj oprueni ugao θ. Uporedi ugao θ sa uglom 3α, gde θ. (U je α ugao sa slike: 3α prazan kvadrat upixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”. Grupa B) 1. Za brojeve 49, 80 i 120 odredi najvei zajedniqki delilac (NZD) i najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS). 2. Nai najvei qetvorocifreni broj koji pri deǉeǌu sa 4, 5, 6 i 7 uvek ima ostatak 2. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove β i γ sa slike, pa konstruixi ugao 3β − γ. 4. Nacrtaj oprueni ugao je ϕ = pOq. Zatim, ugao ϕ uporedi ϕ. (U prazan kvadrat upixi sa 4γ, gde je γ dati ugao sa slike: 4γ odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”. Grupa V) 1. Umesto slova a i b stavi odgovarajue cifre, tako da broj a256b bude deǉiv sa 30. Nai sva rexeǌa. 2. Nai najvei prirodni broj d takav da brojevi 845 i 275 pri deǉeǌu sa d oba imaju ostatak 5. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove α i ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ − 4α. 4. Nacrtaj oprueni ugao je θ = aOb, pa ga uporedi sa 3ϕ, 3ϕ. (U prazan kvadrat upixi gde je ϕ ugao dat na slici: θ odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi ”prenoxeǌe uglova”.

72

Ugao

Grupa G) 1. Umesto slova stavi odgovarajue cifre, tako da broj 3x71y bude deǉiv sa 36. Nai sva rexeǌa. 2. Danas, u nedeǉu 25. novembra, sa aerodroma su poletela tri aviona. Jedan polee redovno posle tri dana, drugi posle qetiri i trei posle xest dana. Kog datuma e sva tri aviona prvi put ponovo poleteti sa ovog aerodroma u nedeǉu? 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove ϕ i θ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ− 3θ. 4. Nacrtaj oprueni ugao je α, pa ga uporedi sa 2 · (ϕ + θ), gde 2 · (ϕ + θ). (U prazan kvadrat upixi su ϕ i θ uglovi sa slike: α odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”. Grupa D) 1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac (NZD) za brojeve: 144, 240 i 360. 2. Nai najvei prirodni broj n, takav da brojevi 173 i 2622 pri deǉeǌu sa n oba daju ostatak 18. 3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove β i ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ + 3β. 4. Uporedi uglove α i θ sa slike: θ. (U prazan kvadrat upixi odgoα varajui znak: >, < ili =.) Konstrukcijom i obrazloeǌem potkrepi zakǉuqak.

73

Ugao

48. QAS Uporedni i unakrsni uglovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Uporedni uglovi se razmatraju kao susedni qija unija je oprueni ugao. Koristei se uporednim uglovima definixemo prav ugao i dokazujemo jednakost unakrsnih uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 80. do 82. strane

Ponovimo pojam susedni uglovi. Definixemo par uporednih uglova, kao na 80. strani. Zatim, definixemo prav ugao, kao ugao koji je jednak svom uporednom uglu, pa utvrdimo da su svi pravi uglovi jednaki meu sobom (jer su jednaki meusobni svi oprueni uglovi). Daǉe, kao xto je opisano na 80. i 81. strani, razmatramo par normalnih pravih. Onda, definixemo unakrsne uglove i utvrdimo da su parovi unakrsnih uglova jednaki. Na kraju rexavamo zadatke: 2, 3 i 4 na 82. strani. Domai zadatak:

Zbirka: 451, 452, 456.

74

Ugao

49. QAS Uporedni i unakrsni uglovi Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Utvrivaǌe osobina uporednih i unakrsnih uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: 73. i 74. strana.

Ponovimo pojmove: uporedni i unakrsni uglovi. Rexavamo zadatke 451 a) i d) i 452. Zatim, rexavamo zadatke: 453, 454 i 455. Svaki od ovih zadataka rexavaju grupe na mestu, pa jedan uqenik to rexeǌe demonstrira na xkolskoj tabli. Daǉe, po istom principu, rexavamo zadatke: 456, 457, 458, 459. Domai zadatak:

Zbirka: 460.

75

Ugao

50. QAS Mereǌe uglova. Uglomer. Vrste uglova. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Upoznati mere uglova i veze izmeu ǌih. Koristiti uglomer za grubo mereǌe ugla i za konstruisaǌe ugla zadate mere. Uoqavaǌe oxtrog i tupog ugla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 82. do 85. strane.

Pre uvoeǌa mere uglova, nastavnik objasni princip mereǌa, kao uporeivaǌe sa konstantnom veliqinom, koja se deklarixe kao jedinica mere (prva dva pasusa u tekstu na strani 82). Za jedinicu mere uzimamo 360-ti deo punog ugla i nazivamo je ugaoni stepen, u oznaci 1◦ . Uqenicima treba objasniti zbog qega je ovako odreena jedinica mere. Prvo, pun ugao je nepromenǉiva veliqina, jer je ǌegova unutraxǌa oblast cela ravan. Drugo, broj 360 je pogodan zato xto ima veliki broj delilaca. Budui da je mera punog ugla 360◦ , mnogi uglovi koje praktiqno koristimo, a delovi su punog ugla, imae za meru cele brojeve. Ovo odmah dolazi do izraaja kad odredimo mere opruenog i pravog ugla. Naglasimo da je oxtar ugao maǌi od 90◦ . Uqenici sami uoqavaju mere tupih uglova. Uqenici se, zatim, upoznaju sa uglomerom i rexavajui primere 1 i 2 (strane 83. i 84.) vebaju ǌegovo korixeǌe. Ve prilikom rexavaǌa primera 1 uqenici e shvatiti da je to grub instrument. (Mereǌem, na primer, ugla α na sl. 32, neki uqenici e saopxtiti meru od 80◦ , a neki e ”nai” maǌe ili vixe od 80◦ .) Stoga se uvode maǌe jedinice, minuta i sekunda, za preciznija mereǌa, pri qemu se koriste posebni ureaji. Zatim, prelazimo na raqunaǌe sa uglovima qije su mere date u stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo primere 3, 4 i 5 (strane 84. i 85.) Ako ima vremena, rexavamo i zadatak 6, na kraju 85. strane. Preostali deo ostavǉamo za domai rad. Domai zadatak:

6. zadatak iz Ubenika.

76

Ugao

51. QAS Mereǌe uglova. Raqunaǌe sa stepenima. Frontalni rad

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Utvrditi qetiri osnovne raqunske operacije sa uglovima izraenim u jedinicama mere. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 74. do 79. strane

Ponovimo: jedinice mere uglova (stepen, minuta, sekunda) i oznaqavaǌe. Zatim, mere punog, opruenog i pravog ugla. Zatim, podsetimo se kako koristimo uglomer. Reximo zadatke: 464 i 465 a), b), v). Nastavǉamo raqunaǌem sa uglovima qije su mere izraene stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo redom zadatke: 474 a) i ), 468 a), 473 a), b), ), 471 a) 1), b) 2), v) 1). Domai zadatak:

Zbirka: 461, 462, 465 g), d), ), 469a), 479, 480.

77

Ugao

52. QAS Mereǌe uglova

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Usavrxiti tehniku raqunaǌa sa uglovima, izraenim u obliku tzv. vixeimenovanih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 74. do 79. strane.

Qas se realizuje u tri dela. 1◦ Upotreba uglomera: rexavamo zadatke: 469 b), v), 476 2◦ Veze izmeu stepena, minuta i sekundi: rexavamo zadatke: 471 a) (2) i 3)), b) (1) i 4)), v) (2) i 3)). 3◦ Raqunaǌe sa uglovima, qije su mere izraene u obliku vixeimenovanih brojeva: rexavamo zadatke: 468 b), 472 a), 473 v), d), 474 v). Napomena: Mogue su dijametralno suprotne situacije u razredu. Ako su uqenici nedovoǉno shvatili mereǌe i raqunaǌe sa uglovima, nastavnik e smaǌiti broj rexavanih zadataka (redukovae plan). U tom sluqaju preporuqǉivo je da se godixǌi plan izmeni i ubaci vanredno qas 53 a) (na raqun rezervnog 69. qasa), jer se ne moe dozvoliti loxe ili nedovoǉno znaǌe iz ove oblasti. Odluku o eventualnom uvoeǌu qasa 53 a) doneti posle analize efekta rada na sledeem qasu. Ako su uqenici odliqno savladali materiju, nastavnik e lako i sa zadovoǉstvom dodati jox neki zadatak iz Zbirke. Domai zadatak:

Zbirka: 466, 467, 470, 471 v), 474.

78

Ugao

53. QAS Raqunaǌe sa uglovima Frontalni rad Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Raqunaǌe sa uglovima konstruktivno i raqunski.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 71. do 79. strane

Nastavnik daje odabrane zadatke i na xkolsku tablu poziva uqenike za koje nije sasvim siguran da su dovoǉno ovladali gradivom. Pri tome, aktivno uqestvuje u rexavaǌu zadataka i, pomaui uqeniku koji radi na xkolskoj tabli, koristi da neke vane qiǌenice prezentira celog odeǉeǌu. Rexavamo sledee zadatke: 463, 466, 469 g), 470, 473, 475, 479, 482, 483. Domai zadatak:

Zbirka: 477, 472, 484, 485, 486, 488, 490.

79

Ugao

54. QAS Suplementni i komplementni uglovi Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Pojmove komplementnih i suplementnih uglova uvodimo preko susednih uglova i zbira uglova. Uoqavamo da uporedni uglovi qine par suplementnih uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 86. i 87. strana.

Ponovimo pojam uporednih uglova. Ako su pOq i pOq uporedni, onda je, po definiciji zbira uglova: pOq +qOr = pOr = 180◦ mera opruenog ugla. Uopxte, ako su α i β uglovi, takvi da je α + β = 180◦ , onda su α i β suplementni. Kao xto je opisano na 86. strani ubenika, definixemo suplementne i komplementne uglove. Rexavaǌem primera 1 na strani 87. uoqavamo konstruktivni aspekt pojmova: par komplementnih i par suplementnih uglova. Zatim, razmatramo komplementne i suplementne uglove u raqunskom smislu, rexavaǌem zadataka 2, 3, 4 i 5 sa 87. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 491, 496, 498 a), g), d), 501, 502.

80

Ugao

55. QAS Suplementni i komplementni uglovi Frontalni rad Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Uoqiti primenu suplementnih i komplementnih uglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 80. do 82. strane

Ponovimo pojam suplementnih uglova (uqenik navodi primer). Ponovimo pojam komplementnih uglova (uqenik navodi primer). Rexavamo najpre zadatke u kojima nije primaran raqun: 492, 493, 494, 495. Zatim, rexavamo zadatak 497. Slede zadaci 499 i 500. Onda reximo problemske zadatke 508 i 513. Domai zadatak:

Zbirka: 498 ), e), ), z), i), 504, 506, 507.

81

Ugao

56. QAS Paralelne prave i transverzala. Uglovi s paralelnim kracima.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Razlikovati uglove sa paralelnim kracima koji su jednaki, od uglova koji su suplementni. Istai istorijski znaqaj uglova koje odreuje transverzala na paru paralelnih pravih. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 87. do 90. strane

Na poqetku qasa nastavnik istakne istorijski znaqaj uglova na paralelnim pravim (strana 87.). Prema sl. 35 nastavnik dokazuje da su uglovi koje transverzala odreuje sa paralelnim pravim a i b u parovima jednaki ili suplementni. Pri tome koristi se oqiglednoxu translacije prave a do poklapaǌa sa b. Poxto do kraja izloi ovu problematiku (88. strana), razmatra razne sluqajeve u kojima su dva proizvoǉna ugla sa oba para paralelnih krakova. Sve to izloeno je na 89. strani i ilustrovano na sl. 36. Na kraju rexavamo primere 1 i 2 i zadatak 3. Domai zadatak:

Zbirka: 516, 517, 521.

82

Ugao

57. QAS Uglovi sa paralelnim kracima Rad u nehomogenim grupama

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Prepoznavaǌe jednakih i suplementnih uglova sa paralelnim kracima. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 82. do 85. strane

Na poqetku istaknemo zakǉuqke sa prethodnog qasa o uglovima sa paralelnim kracima. Zatim, reximo zadatke: 518, 519, 523, 529. Zatim, izvedemo bitan zakǉuqak, da za prave a, b i ǌihovu transverzalu t vai i obrnuto tvreǌe. Ako su jednaki oxtar ugao izmeu transverzale i prave a i oxtar ugao izmeu transverzale i prave b, onda su a i b paralelne prave. Prave a i b su paralelne ako su jednaka i dva odgovarajua tupa ugla, ili je oxtar ugao na jednoj pravoj suplementan tupom uglu na drugoj pravoj. Takoe, prave a i b su paralelne ako transverzala odreuje sve prave uglove. Rexavamo zadatke: 522, 524, 525. Zatim, rexavamo problemski zadatak 533. Domai zadatak: do 27.)

Radna sveska: Peta kontrolna veba (str. 24.

Ugao

83

58. QAS

Peta kontrolna veba (O uglovima)

Kontrola znaǌa

Grupa A) 1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao α = 32◦ . Zatim, konstruixi ugao 5α. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 17◦ 13 15 · 8; b) 113◦ 52 14 − 75◦ 18 25 . 3. Dat je ugao α = 32◦ 24 . Odredi ugao β koji je komplementan sa α i ugao γ koji je suplementan sa 2α. 4. Prave p i q seku se i odreuju qetiri ugla maǌa od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako zbir dva unakrsna ugla iznosi 123◦ . 5. Odredi mere uglova oznaqenih na slici. Prave a i b su paralelne. Grupa B) 1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao β = 42◦ 30 . Zatim, konstruixi ugao 4β. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 111◦ 11 36 : 6; b) 54◦ 45 18 + 29◦ 34 42 . 3. Dat je ugao β = 25◦ 18 . Odredi ugao ϕ koji je komplementan sa β i ugao γ koji je suplementan sa 3β. 4. Prave a i b seku se i odreuju qetiri ugla maǌa od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako je razlika dva susedna ugla 17◦ . 5. Prave m i n na slici paralelne su meu sobom. Odredi mere oznaqenih uglova. Grupa V) 1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao γ = 33◦ . Zatim, konstruixi ugao 3γ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 5 · 43◦ 27 24 ; b) 82◦ 47 38 + 57◦ 51 22 . 3. Dat je ugao γ = 104◦ 15 . Odredi ugao δ koji je suplementan sa γ i ugao θ koji je komplementan sa γ : 5.

84

Ugao

4. Prave m i n seku se i odreuju qetiri ugla maǌa od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla ako zbir tri ugla iznosi 247◦ 38 16 . 5. Odredi mere uglova oznaqenih na slici. Grupa G) 1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao δ = 18◦ . Zatim, konstruixi ugao 5 · δ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 93◦ 23 45 : 5; b) 82◦ 21 18 − 33◦ 30 48 . 3. Dat je ugao δ = 63◦ 40 . Odredi ugao α koji je komplementan sa δ i ugao β koji je suplementan sa 2δ. 4. Prave c i d seku se i odreuju qetiri ugla maǌa od opruenog ugla. Odredi sva qetiri ugla, ako je zbir dva unakrsna ugla 201◦ . 5. Prave p i q na slici paralelne su meu sobom. Odredi mere oznaqenih uglova. Grupa D) 1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao ϕ = 32◦ 30 . Zatim, konstruixi ugao 5 · ϕ. Uglomerom proveri preciznost konstrukcije. 2. Izraqunaj: a) 6 · 21◦ 48 25 ; b) 74◦ 19 55 + 47◦ 48 35 . 3. Dat je ugao ϕ = 143◦ 24 . Odredi ugao β koji je suplementan sa ϕ i ugao γ koji je komplementan sa ϕ : 3. 4. Prave r i s seku se i odreuju qetiri ugla maǌa od opruenog. Odredi ova qetiri ugla ako se dva susedna ugla razlikuju za 33◦ . 5. Prave k i p na slici paralelne su. Odredi mere oznaqenih uglova.

85

Razlomci

59. QAS Pojam razlomka

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Produbiti pojam razlomka. Razlikovati prave, neprave i prividne razlomke. Istai razvijaǌe pojma razlomka kroz istoriju. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 91. do 93. strane

Podsetimo se na razlomak kao deo celine, kako je to ranije prezentovano uqenicima. (Koristiti sliku sa 91. strane i nacrtati jox neke sliqne.) Na stranama 91. i 92. u ubeniku opisano je kako se moe oba jasniti uqenicima da je razlomak koliqnik broja a i prirodnog b broja b. Ranije, vekovima su razlomci tretirani dosta drugaqije nego danas. Qak su mnogi quveni stari matematiqari smatrali da razlomci nisu brojevi. Tu privilegiju su pripisivali samo celim brojevima. Mnogi nazivi koji su danas prirodno prihvaeni, ranije su imali drugaqiji smisao. (U ubeniku na 93. strani navodi se i primer iz narodne pesme.) Precizno definixemo pojmove: pravi razlomak, nepravi razlomak i prividni razlomak. Mnogi matematiqari i danas ne prihvataju pojam prividni razlomak. Meutim, kasnije emo se uveriti da nam taj pojam pomae kod uvoeǌa skupa racionalnih brojeva. Rexavamo zadatke iz Zbirke: 536, 537, 541, 542, 553. Domai zadatak:

Zbirka: 538, 543, 546.

86

Razlomci

60. QAS Pojam razlomka

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ

Utvrditi pojam razlomka kao koliqnika.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 86. do 89. strane

Obnovimo: razlomak kao deo (ili delovi) celine. Znaqeǌe brojioca i imenioca. Reximo zadatak 545. (Nije potrebno preslikavaǌe na tabli. Parovi koriste Zbirku i javno saopxtavaju rexeǌa.) Zatim, rexavamo zadatak 539. (Uqenik koji zadatak rexava na xkolskoj tabli, prilikom crtaǌa dui, umesto centimetara uzima decimetre.) Uoqavamo primene razlomaka u svakodnevnom ivotu. Rexavamo zadatak 540. Obnovimo pojmove: pravi, nepravi i prividni razlomci. Reximo zadatak 544 onako kako je formulisan u Zbirci. Zatim, za preostale razlomke pitamo: ”Kojoj vrsti oni pripadaju?” Rexavamo zadatke redom: 549, 550, 551, 552, 554. Domai zadatak:

Zbirka: 547, 548, 555.

87

Razlomci

61. QAS Uporeivaǌe razlomaka

Obrada

Frontalni rad Ciǉ

Dijalog

Uporeivati dva razlomka bez odreivaǌa koliqnika.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 94. do 96. strane

Prilikom uporeivaǌa razlomaka dobro je posmatrati modele koji su bliski uqenicima. Na 94. i 95. strani porede se razlomci koji predstavǉaju delove qokolade (koja se lomi na ”kockice”) i delove pice (koja se u picerijama i pekarama najqexe deli na xestine i osmine). Poredimo najpre razlomke jednakih imenilaca, pa razlomke jednakih brojilaca (strana 94.). Zakǉuqujemo da je u prvom sluqaju vei razlomak koji ima vei brojilac, a u drugom sluqaju vei je razlomak koji ima maǌi imenilac. Zatim, odreujemo uslov jednakosti dva razlomka. Dolazimo do jednakosti koju dobijamo tzv. unakrsnim mnoeǌem:

ако је

,

a vai i obrnuto. Reximo primer 1 na 96. strani. Onda, uoqimo da se unakrsnim mnoeǌem moe utvrditi koji je razlomak vei, bez obzira na to da li razlomci imaju jednake ili nejednake brojioce ili imenioce. Naime, ako je a · d > b · c, onda je

>

. 96. strane. Na kraju, rexavamo primere 2, 3 i 4 sa Domai zadatak:

Zbirka: 556, 557, 561, 564.

88

Razlomci

62. QAS Uporeivaǌe razlomaka

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Uporeivaǌe razlomaka na razliqite naqine.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 89. do 92. strane

Ponovimo zakǉuqke o uporeivaǌu dva razlomka jednakih brojilaca i dva razlomka jednakih imenilaca. Reximo zadatke 558, 559 a), b), v) i 560. Ponovimo metodu uporeivaǌa razlomaka unakrsnim mnoeǌem, pa reximo zadatke 565 i 567. Radi praktiqne primene razlomaka, podsetiemo se na veze izmeu jedinica mere. Radi toga reximo najpre zadatak 572, pa zadatak 575. Domai zadatak:

Zbirka: 562, 563, 566, 568, 570, 571.

89

Razlomci

63. QAS Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka objasniti na osnovu osobina koliqnika. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 97. do 100. strane.

Na 97. strani, koristei se razlomcima koji predstavǉaju delove kruga ili delove pravougaonika, uoqavamo da mnoeǌem brojioca i imenioca istim prirodnim brojem (proxirivaǌem) dobijamo jednake razlomke. To se moe koristiti radi uporeivaǌa razlomaka koji nemaju jednake brojioce, ni jednake imenioce. To je 11 23 i . pokazano na primeru poreeǌa razlomaka 6 3 Zatim, reximo primere 1, 2, 3 i 4 sa 98. strane. Na sledeoj strani se razmatra postupak skraivaǌa razlomaka (brojilac i imenilac se dele istim prirodnim brojem, veim od 1). Uvodimo pojam neskrativog razlomka. To je razlomak kome su brojilac i imenilac uzajamno prosti brojevi (nemaju zajedniqkog delioca veeg od 1). Na kraju, rexavamo primere 5, 6, 7, 8 i 9 sa 100. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 582, 584, 586, 587.

90

Razlomci

64. QAS Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka Rad u parovima

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Uoqiti zbog qega je nekad korisno skratiti, a nekad proxiriti razlomak. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 92. do 96. strane

Ponovimo pojmove: proxiriti razlomak i skratiti razlomak. Rexavamo zadatke: 581, 583, 585 Zatim, rexavamo zadatak 589. Ponovimo pojam nesvodǉiv razlomak. Reximo zadatke redom 591. i 590. Rexavamo i zadatak 607. Domai zadatak:

592, 594, 595, 596, 602, 608.

91

Pismeni zadatak

65. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavǉaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Napraviti presek kroz oblasti: prosti i sloeni brojevi, ugao i razlomci. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka zadataka

Postupajui sliqno kao xto je opisano u toku 36. qasa, nastavnik napravi izbor zadataka iz oblasti koje su planirane za drugi pismeni zadatak. Ovaj izbor ne sme biti proizvoǉan, jer moe uputiti uqenike da se za pismeni zadatak spremaju na pogrexnim temama ili neadekvatnim zadacima. Zbog toga, nastavnik prvo sastavi zadatke za drugi pismeni zadatak, a onda odabere iz zbirke 10-15 odgovarajuih zadataka, qijim rexavaǌem uqenika podseti na potrebna znaǌa i vextine. Domai zadatak: 28. do 30.)

Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (str.

92

Pismeni zadatak

66. QAS Drugi pismeni zadatak

Kontrola znaǌa

Grupa A) 1. Prema slici levo odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prava p je pralelna sa AB. Odredi mere oznaqenih uglova. 3. Odredi meru ugla α koji je tri puta vei od svog suplementnog ugla. 34 · 30 · 27 . 4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 24 · 51 · 55 5. Poreaj od najmaǌeg do najveeg brojeve: 3 6 9 9 3 13 , , , , , . 4 5 20 13 2 10 Grupa B) 1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Prema datim podacima na desnoj slici, odredi mere oznaqenih uglova. 3. Odredi meru ugla β koji je qetiri puta vei od svog komplementnog ugla. 4 3 4. Nai pet razlomaka koji su vei od i maǌi od . 4 5 5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve: 2 3 2 1 3 7 , , , , , . 5 4 3 2 10 30

Pismeni zadatak

93

Grupa V) 1. Prema slici dole levo odredi meru ugla x. (Lukovima su oznaqene uglovi datih mera).

2. Na slici gore prave d i AB su paralelne. Izrazi u stepenima i minutama oznaqene uglove. 3. Odredi meru ugla ϕ koji je sedam puta vei od svog suplementnog ugla. 4. Umesto zvezdice stavi odgovarajui broj, tako da bude ta14 ∗ = . qna jednakost: 117 39 3 2 8 4 15 3 , , , . 5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve: , , 4 3 21 7 28 7 Grupa G) 1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prave p i q su paralelne. Odredi ugao x. 3. Odredi meru ugla θ koji je qetiri puta maǌi od svog komplementnog ugla. 1 1 4. Nai pet razlomaka koji su maǌi od i vei od . 6 7 5. Poreaj od najmaǌeg do najveeg brojeve: 5 3 3 8 9 2 , , , , , . 12 7 4 15 20 5

94

Pismeni zadatak

Grupa D) 1. Prema levoj slici odredi u stepenima meru ugla x.

2. Prema podacima na slici desno odredi mere uglova α, β, γ. (Paralelne su prave AC i EF , a takoe BC i DE.) 3. Odredi meru ugla γ koji je qetiri puta maǌi od svog suplementnog ugla. 105 · 12 · 52 . 4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 15 · 78 · 48 9 3 1 9 3 2 , , , , , . 5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve: 10 5 2 13 4 3

95

Pismeni zadatak

67. QAS Ispravka pismenog zadatka

Uvebavaǌe

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne grexke uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka. Tok qasa Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

96

Razlomci

68. QAS O razlomcima

Sistematizovaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Utemeǉiti znaǌe o razlomcima, posebno uporeivaǌe razlomaka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 89. do 96. strane

Uporeivaǌe razlomaka, skraivaǌe i proxirivaǌe razlomaka treba dobro nauqiti i izvebati, jer e u kasnijem izuqavaǌu razlomaka to biti glavno orue. Na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (grupu qine uqenici iz dve susedne klupe), rexavamo niz zadataka: 559 g), d), ), 573, 576, 578, 588, 601, 603, 617, 610, 615. Domai zadatak: Zbirka: 597, 598, 604 b), v), 605 b), v), 606, 618. Qasovi do kraja PRVOG POLUGODIXTA su stavǉeni u rezervu. Na koji e naqin biti realizovani odluqie nastavnik, prema proceni trenutne situacije. Ovde upisati samo nastavnu temu i tip qasa. Nastavna tema: 69. qas Tip qasa: Nastavna tema: 70. qas Tip qasa:

(Samo)evaluacija nastavnika za polugodixǌe planiraǌe i realizaciju nastave:

97

Razlomci

71. QAS

DRUGO POLUGODIXTE

Decimalni razlomci. Decimalni zapis razlomka

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Koristei se oqiglednoxu decimalnih razlomaka, uvesti decimalni zapis razlomka kao samo novi naqin zapisivaǌa. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 101. do 103. strane

Meu razlomcima posebno mesto imaju oni qiji imenilac predstavǉa dekadnu jedinicu, kao: 3 2807 3 19 ; ; ; i sl. 10 100 100 1000 To su tzv. decimalni razlomci. Zbog qeste upotrebe ovakvih razlomaka doxlo se na ideju da se oni, iz praktiqnih razloga zapisuju bez razlomaqke crte. Tako se doxlo do decimalnog zapisa decimalnih razlomaka. Cela priqa o tome data je u ubeniku na 101. i 102. strani. Na taj naqin pomenuti decimalni brojevi se zapisuju redom: 0,3; 0,19; 0,03; 2,807. Decimalna zapeta odvaja ceo deo broja (levo od zapete) od decimalnog dela. Vidimo da je broj decimalnih mesta (decimala) jednak broju nula dekadne jedinice u imeniocu decimalnog razlomka. Kad sve ovo razjasnimo, rexavamo primer 1 sa 103. strane. 1 Zatim, kroz odreivaǌe decimalnog zapisa broja , dolazimo 2 do ideje kako jox nekim razlomcima odrediti decimalni zapis: 1·5 5 1 = = = 0, 5 2 2·5 10 Onda reximo primere 2, 3 i 4. 31 7 , zatim 3, 1 = . Sliqno je Obrnuto, broj 0,7 je razlomak 10 10 4205 itd. 42, 05 = 100 Reximo i primer 5. Domai zadatak:

Zbirka: 627, 628, 629.

98

Razlomci

72. QAS Decimalni zapis razlomka

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Formiraǌe decimalnog zapisa samo na osnovu oblika odgovarajueg decimalnog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 97. do 99. strane

Upoznajemo strukturu decimalnog zapisa rexavajui zadatke 621 i 622. Vebamo prepoznavaǌe decimalnog razlomka i ǌegovog decimalnog zapisa, rexavajui zadatak 623. Ulogu decimalne zapete utvrujemo rexavajui zadatak 624. Pravilno qitaǌe decimalnog zapisa vebamo rexavajui zadatak 625. Pogodnim proxirivaǌem neke razlomke lako izraavamo u decimalnom zapisu. Rexavamo zadatak 632. Domai zadatak:

Zbirka: 626, 630, 631, 633, 634, 635.

99

Razlomci

73. QAS Decimalni zapis proizvoǉnog razlomka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Izraavaǌe razlomka u obliku decimalnog broja kao rezultat deǉeǌa brojioca imeniocem. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 104. do 107. strane

Polazei od definicije razlomka kao koliqnika a = a : b, b deǉeǌem brojioca imeniocem dobija se decimalni zapis proizvoǉnog razlomka. Do sada samo delili tako da je koliqnik ceo broj i dobijali smo ostatak u sluqaju kad deǉenik nije deǉiv deliocem. Sada delimo i taj ostatak i tako dobijamo decimale. Na 104. strani ubenika ovaj postupak je detaǉno opisan. Reximo primer 1 na 104. strani. Na strani 105. vidimo da nije uvek mogue podeliti do kraja, tj. broj decimala moe biti i beskonaqan. Ali tada se jedna ili 3 1 i . vixe cifara ponavǉa, kao xto je pokazano na primerima 3 11 Cifre koje se ponavǉaju odreuju broj koji nazivamo periodom i zapisujemo je sa taqkama iznad cifara: 3 1 = 0, 3333... = 0, 3˙ = 0, 272777... = 0, 2˙ 7˙ 3 11 Nekad i konaqan decimalni zapis ima previxe decimala, koje nam qesto nisu potrebne u tolikom broju. Onda suvixne decimale brixemo, a preostali deo zaokruimo da bismo umaǌili grexku koja time nastaje. O zaokruivaǌu priqa se u ubeniku na 105. i 106. strani. Uraen je i primer sa zaokruivaǌem broja 6,83257. Na kraju rexavamo primere 2, 3, 4, 5 i 6. Domai zadatak:

Zbirka: 636, 637, 638, 639.

100

Razlomci

74. QAS Decimalni zapis voǉnog razlomka.

proiz-

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Detaǉnije upoznavaǌe strukture decimalnog zapisa razlomaka (decimalnog broja) i primena. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 100. do 104. strane

a Vebamo izraavaǌe razlomaka oblika u decimalnom zapib su. U tom ciǉu paǉivo rexavamo zadatke 640 i 641. Zatim, rexavamo zadatak 642 a), b), v), d). Zaokruivaǌe decimalnog zapisa (decimalnog broja) vebamo rexavaǌem zadataka 643 i 644. Daǉe, rexavamo i zadatak 647. Na kraju, primenimo decimalne zapise kod izraavaǌa maǌih jedinica mere u veim jedinicama. U tu svrhu rexavamo zadatke 651 i 652. Domai zadatak:

Zbirka: 645, 648, 653, 654, 655.

101

Razlomci

75. QAS Prevoeǌe decimalnog broja u oblik

Frontalni rad

a . b

Obrada

Dijalog

Ciǉ Dopuniti upoznavaǌe razlomaka: ranije smo nauqili da razlomak izrazimo u vidu decimalnog broja, a sada emo nauqiti i obrnuti postupak. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 107. i 108. strana

Razmatrajui naqin izraavaǌa decimalnih razlomaka u obliku decimalnog broja (qas 71.), praktiqno smo definisali i obrnutu vezu. Svaki decimalni broj sa konaqnim brojem decimala jeda nostavno se izraava u obliku , tako xto mu se izbrixe zapeta b i postavi imenilac – odgovarajua dekadna jedinica. Na primer: 127 39 3 ; 0, 039 = itd. 0, 3 = ; 1, 27 = 10 100 1000 Dobijeni decimalni razlomak se daǉe eventualno skrati i daǉe uproxava, kao xto je navedeno u ubeniku na 107. strani 15 75 = . 7, 5 = 10 2 Na kraju ovog razmatraǌa reximo primer 1. Nexto sloeniji je pristup kod periodiqnih decimalnih brojeva. O tome se izlae na kraju 107. strane i daǉe na strani 108. a je Izraavaǌe periodiqnih decimalnih brojeva u obliku b sliqno obiqnim decimalnim brojevima. Razlika je samo xto je imenilac oblika 9, 99, 999 itd. Konkretno: 32 63 7 5 = itd. 0, 5˙ = ; 0, 3˙ 2˙ = ; 0, 6˙ 3˙ = 9 99 99 11 Na kraju reximo i primer 2. Domai zadatak: Zbirka: 656 a), v), e), 657 a), v) e), i primer 3 sa 108. strane ubenika.

102

Razlomci

76. QAS Prevoeǌe decimalnog broja u oblik

a . b

Rad u parovima Ciǉ

Uvebavaǌe

Dijalog

Proxiriti primenu decimalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 104. i 105. strana

a Date decimalne brojeve jednostavno prevodimo u oblik , ali b se time ne zavrxava rad: ako je mogue, dobijeni razlomak se skrauje, dok se ne svede na neskrativ oblik. Rexavamo najpre zadatak 656 (b), g), d), ), ), z), i)). Zatim, prevodimo periodiqne decimalne brojeve: zadatak 657. b) g), ), z), i). Kako postupiti kada periodiqni razlomak ima ceo deo (ispred decimalne zapete) vei od 0? ˙ Odvojiemo periodiqni deo: Neka je dat broj 3, 818181... = 3, 8˙ 1. 9 42 81 =3+ = . 3, 8˙ 1˙ = 3 + 0, 8˙ 1˙ = 3 + 99 11 11 a Posebno je zanimǉivo izraavaǌe u obliku decimalnih brob jeva koji iskazuju neke mere. Obratimo paǌu na zadatak 658 a). 225 nije nexto xto nam pojednostavǉuje 2,25 godina u obliku 100 1 godine. Dakle, zapis, jer maǌa jedinica od godine je 1 mesec= 12 1 3 3 25 = = , pa je 2,25 godina = 2 godina, a to je 2 godine 0, 25 = 100 4 12 12 i 3 meseca. a Sliqno u zadatku 659 b). 40, 7◦ izraziemo u obliku , gde je b 42 7 = 40 = b = 60, jer stepen ima 60 minuta. Prema tome 40, 7◦ = 40 10 60 40◦ 42 . Domai zadatak:

Zbirka: 658, 659, 660.

103

Razlomci

77. QAS Razlomci na brojevnoj polupravoj Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Povezati cele brojeve, razlomke i decimalne brojeve, dajui im zajedniqku osobinu - korespondenciju sa duinom dui. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 109. do 111. strane

U odeǉku o skupovima N i N0 , na 24. strani Ubenika, govorili smo o brojevnoj polupravoj sa poqetnom taqkom O, na kojoj smo odredili taqke A, B, C, D,... tako da je OA = AB = BC = CD = · · · Zatim su taqkama O, A, B, C, D,... redom prikǉuqeni brojevi 0, 1, 2, 3, 4, ... Sada razmatramo brojevnu pravu na koju smo naslonili leǌir, kao na 109. strani ubenika. Postavǉa se pitaǌe: Da li na brojevnoj polupravoj ima mesta za razlomke? Pomenuti leǌir sa 109. strane daje potvrdan odgovor. U posledǌem pasusu 109. strane i daǉe na strani 110. i 111. opisuje se kako se na brojevnoj polupravoj pojavǉuju razlomci u a obliku i u decimalnom zapisu. Budui da se i celi brojevi mob 4 3 gu izraziti u obliku prividnog razlomka (na primer: 1 = , 2 = , 3 2 15 3 = , ...), moemo smatrati da su svi brojevi na brojevnoj polu5 a pravoj razlomci oblika . Dakle, svi brojevi koje smo prikazali b na brojevnoj polupravoj pripadaju skupu razlomaka. Taj skup smo nazvali skupom racionalnih brojeva i oznaqavamo ga sa Q. Oqigledno je N ⊂ Q i N0 ⊂ Q. Tokom izlagaǌa o brojevnoj polupravoj, kako je uqiǌeno na stranama 109, 110 i 111 u ubeniku, nastavnik paǉivo tumaqi primere 1, 2, 3 i 4. Domai zadatak:

Zbirka: 661, 662, 663, 664.

104

Razlomci

78. QAS Brojevna poluprava Rad u nehomogenim grupama

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Odrediti taqku date koordinate i odrediti koordinatu zadatke taqke. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 105. do 108. strane

Ponovimo konstrukciju i graduiraǌe brojevne poluprave. Uqenicima treba objasniti da ne postoje utvreni standardi za odreivaǌe jediniqne taqke A, takva da se duina OA smatra jediniqnom: OA = 1, a taqki A pripisuje broj 1. U to su se uverili rexavajui domai zadatak, a uverie se i tokom rexavaǌa sledeih zadataka: 665, 666, 667, 668 i posebno zadatka 669. Rexavamo jox i zadatke 670 i 675. Domai zadatak: 31. do 34.)

Radna sveska: Xesta kontrolna veba (str.

105

Razlomci

79. QAS Xesta kontrolna veba (O razlomcima)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

4 7 9 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: , , . 15 12 10 15 4 24 , , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 8 7 11 2. Uporedi dva data razlomka: 10 15 i dovoeǌem imenilaca na NZS; a) 21 14 18 12 i dovoeǌem brojilaca na NZS; b) 17 25 9 3 i unakrsnim mnoeǌem. v) 373 1221 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,325; b) 0, 1˙ 8. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu, tako da jejediniqna du OA = 15 11 ,B , C(1, 25). 4 cm, pa na ǌoj odredi taqke: A 4 8 Grupa B)

11 13 9 , , . 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 84 112 24 12 4 15 , , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 7 3 4 2. Uporedi dva data razlomka: 36 24 i dovoeǌem brojilaca na NZS; a) 9 15 5 8 b) i dovoeǌem imenilaca na NZS; 9 6 104 13 i unakrsnim mnoeǌem. v) 24 192 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,875; b) 0, 7˙ 2. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu, jediniqna du OA = takoda je 10 3 ˙ ;E ; F (2, 3). 6 cm, pa na ǌoj odredi taqke: D 2 3 Grupa V)

15 6 10 , , . 1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 11 7 9 7 5 4 , , . b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 24 36 45 2. Uporedi dva data razlomka:

106

Razlomci

20 15 i dovoeǌem brojilaca na NZS; 13 18 39 35 b) i dovoeǌem imenilaca na NZS; 48 40 96 50 i unakrsnim mnoeǌem. v) 75 144 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 7,75; b) 0, 1˙ 1˙ 7. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu tako da je jediniqna du OA = 9 7 ,L , M (2, 3). 5 cm, pa na ǌoj odredi taqke: K 5 10 a)

Grupa G)

9 4 6 , . 1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: , 7 13 7 17 7 9 , , . b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 48 15 20 2. Uporedi dva data razlomka: 24 56 i dovoeǌem imenilaca na NZS; a) 105 45 90 24 i dovoeǌem brojilaca na NZS; b) 9 35 12 48 i unakrsnim mnoeǌem. v) 400 90 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 2,125; b) 0, 4˙ 5. 4. Nacrtaj brojevnu polupravu, tako da je jediniqna du OA = 3 5 ,P , Q(1, 75). 8 cm, pa na ǌoj odredi taqke N 4 8 Grupa D)

21 5 21 , , . 1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 28 6 24 6 10 15 , . b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: , 7 11 13 2. Uporedi dva data razlomka: 24 15 i dovoeǌem brojilaca na NZS; a) 14 21 25 30 i dovoeǌem imenilaca na NZS; b) 42 35 71 4 i unakrsnim mnoeǌem. v) 111 1988 ˙ 3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,625; b) 0, 2˙ 3˙ 4. 4. Nacrtaj brojevnu pravu, tako da je jediniqna du OA = 5 cm, 4 13 ,S , T (2, 6). pa na ǌoj odredi taqke: R 10 5

107

Razlomci

80. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jednakih imenilaca. Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Ciǉ Istai qiǌenicu da se razlomci mogu sabrati i oduzeti samo ako imaju isti imenilac. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 112. do 117. strane

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka vrlo ubedǉivo istiqu ulogu i vanost imenilaca razlomaka. Na primerima, kao na 112. strani ubenika pokaimo da se neki razlomci mogu prirodno sabirati i oduzimati i kako se to opisuje raqunski. Zatim, kao xto je opi1 3 + , objasnimo logiku sano na 112. i 113. strani, na primeru 8 8 tog sabiraǌa (koristimo privremeno termin ”jabuke”, kao zamenu za ”osmine”) i geometrijsku interpretaciju zbira. Geometrijska interpretacija je znaqajna za onu populaciju uqenika, kojima je bitno da ”vide” taj zbir. Tako je pripremǉen teren za ”matematiqko” tumaqeǌe zbira i razlike. Kao xto je opisano na 114. strani ubenika, koristei osobinu koliqnika (a + b) : c = a : c + b : c, c = 0, i simetriqnost b a+b a + = i sliqno za jednakosti, dobijamo pravilo za zbir: c c c a−b a b . razliku: − = c c c a a Reximo primere 1, 2, 3 i 4 i uoqimo osobinu: − = 0. b b Koristei se qiǌenicom da ceo broj moemo izraziti kao razlomak sa bilo kojim prirodnim brojem u imeniocu, uvodimo pojam mexovitog broja. To je opisano na 115. strani. Treba naglasiti zbog qega je praktiqno da neprave razlomke izraavamo u obliku mexovitog broja (posledǌi pasus na 115. strani). Onda uqenici prihvataju mexoviti broj kao pojam koji nam pomae u raqunu. Reximo i preostale primere, od 5 do 11, sa 116. i 117. strane. Domai zadatak: 681 a), b), v), g).

Zbirka: 676 a), b), v), g), d), ), 678 a), b), v),

108

Razlomci

81. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jednakih imenilaca. Rad u nehomogenim grupama

Uvebavaǌe

Dijalog

Ciǉ Uvebati sabiraǌe i oduzimaǌe i uvesti mexoviti broj kao zbir celog broja i pravog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 108. do 110. strane

Napomena. Ukoliko okolnosti pri realizaciji nastavne teme na prethodnom qasu prisile nastavnika da uspori izlagaǌe; moe se desiti da ne ostane dovoǉno vremena za paǉivo tumaqeǌe mexovitog broja. U tom sluqaju, ne treba forsirati i ubrzavati predavaǌe. Jednostavno, mexoviti broj moe biti nova tema na ovom qasu. Ponovimo pravila za sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jednakih imenilaca, pa rexavamo zadatke iz Zbirke: 676 e), ), z), i), 677, 679. Zatim, ponovimo pojam mexovitog broja i rexavamo zadatke 681 d), ), e), ), 682 (delimiqno) i 683 (delimiqno). Domai zadatak:

680, ostaci zadataka 682 i 683, zatim 684, 685.

Razlomci

109

82. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka razliqitih imenilaca Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka metoda

Ciǉ Definisati postupak sabiraǌa i oduzimaǌa bilo kojih raza lomaka oblika . b Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 117. do 119. strane

Postavimo problem sa 117. strane ubenika. Ispostavǉa se da 2 1 ne moemo izraqunati − . 3 2 Razmotrimo onda sledei problem: U piceriji pice iste veliqine seku na osam ili na xest jednakih delova. Anka je od osam kupila tri dela, a Sima je od xest 3 2 delova kupio dva. Dakle, Anka i Sima su zajedno kupili + pice. 8 6 Pitamo se: koliki deo pice su oni kupili? Crte pokazuje da je sabiraǌe mogue, zbir smo nacrtali, via dimo ga, ali ne moemo da ga napixemo u obliku . b

Сима Анка+Сима Анка Opet problem predstavǉaju razliqiti imenioci razlomaka. Da su jednaki imenioci znali bismo zbir. Nastavǉamo izlagaǌe kao xto je opisano u Ubeniku, poqev od posledǌeg pasusa na 117. strani. Tako uqenici shvate: prvo, da razlomke treba dovesti na zajedniqki imenilac; drugo, da je najboǉe ako se dovedu na NZS. Onda prvo reximo probleme stolara i pice, pa reximo i primere od 1 do 5 sa 119. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 691, 692, 696.

110

Razlomci

83. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka Rad u nehomogenim grupama

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Tehniku sabiraǌa i oduzimaǌa podii na visok nivo. Rezultat dovesti na najjednostavniji oblik. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 111. do 113. strane

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka spadaju u fundamentalne operacije, pa je potrebno dobro ih uvebati. Ne treba zapostaviti ni jednog uqenika, jer ko ovo ne nauqi imae ”matematiqke more” do kraja ivota. Dok uqenici rade na mestu, nastavnik ih obilazi, prati ǌihov rad i po potrebi intervenixe. Na xkolsku tablu izvodi one uqenike kojima je potrebna pomo. Rexavamo redom zadatke iz Zbirke: 691 g), d), 692 e), ), 693 a), g). Zatim, malo komplikujemo raqun. Rexavamo zadatak 693 e), ). Tu se pojavǉuju i decimalni brojevi, koje treba odmah izraziti u obliku razlomka, a onda se raquna. Naravno, prvo se raquna u zagradama. Onda raqunamo sa mexovitim brojevima. Prvo se mexoviti brojevi izraze u obliku nepravog razlomka, pa se posle sabira i oduzima. Rexavamo zadatke 694 g), ), 695 a). Na kraju, rexavamo tekstualne probleme, zadatke 697, 701, 706. Domai zadatak:

Zbirka: 694, 695, 699, 709.

Razlomci

111

84. QAS Uporeivaǌe decimalnih brojeva Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Utvrditi ulogu decimalne zapete. Istai pojmove vaeih i nevaeih nula u decimalnom broju. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 119. do 121. strane

Uporeivaǌe decimalnih brojeva zahteva od uqenika punu koncentraciju, jer se u protivnom lako pogrexi. Ako su celi delovi decimalnih brojeva jednaki, onda je vei onaj broj kome je vei decimalni deo. Tu onda nastaje problem, zbog specifiqne uloge tzv. nevaeih nula. Zbog toga prvi deo izlagaǌa posveujemo ovim nevaeim ciframa. U Ubeniku to je tekst na 119. i deo 118. strane. Uporeivaǌe decimalnih brojeva poqiǌemo provokativnim pitaǌem iz primera 4. Pitaǌe postavimo celom odeǉeǌu i dobiemo i taqne i netaqne odgovore. Naqin uporeivaǌa decimalnih brojeva uporeivaǌem jedne po jedne decimale od zapete pa nadesno, opisan je na 120. strani. Da se ipak ne dese brzoplete grexke tipa: ”12, 726 > 12, 81, zato xto je 726 > 81”, poeǉno je da nastavnik objasni jox jedan naqin uporeivaǌa. Postupak je sledei: Ako decimalni brojevi nemaju isti broj decimala, onda se onom koji ima maǌe decimala, dopixe potreban broj nula. Dobijene brojeve posmatramo kao da su celi i lako odredimo koji je vei. Na primer, uporedimo brojeve 103,5 i 103,286. Dopixemo prvom broju dve nule da bi ”imao” tri decimale: 103,500. Sada vidimo da je 103500 > 103286, pa je 103, 5 > 103, 286. Na kraju rexavamo primere od 5 do 10 sa 121. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 717, 719, 726, 734 a).

112

Razlomci

85. QAS Uporeivaǌe decimalnih brojeva Rad u parovima Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Produbiti upoznavaǌe strukture decimalnog broja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 114. do 117. strane

Preporuqǉivo je da qas poqne sa nekoliko provokativnih pitaǌa, sliqno primeru 4 sa 120. strane ubenika. Zatim, rexavamo zadatke koji se bave nevaeim nulama. To su zadaci: 718 i 720. Prelazimo na zadatke problemskog tipa: 725, 727 a), b). Na kraju, primenimo steqeno znaǌe na brojeve koji izraavaju mere. Rexavamo zadatke 732 b), 733 a). Zadatak 735 rexavamo ako imamo vremena, a ako smo ve potroxili qas, dajemo ga za domai rad. Domai zadatak:

727, 728, 729, 732, 733.

113

Razlomci

86. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka metoda

Ciǉ Koristiti analogiju sa raqunaǌem u skupu celih brojeva. Insistirati na potpisivaǌu brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 122. i 123. strana

Uradimo nekoliko primera sabiraǌa i oduzimaǌa vixecifrenih celih brojeva, kao xto je navedeno na 122. strani ubenika. Zatim se pree na sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva. Insistirati na obavezno potpisivaǌe sabiraka, kao xto je napisano i u ubeniku. Da bi se uqenici bre i lakxe snalazili u potpisivaǌu, dobro je da u poqetku obavezno koriste svesku sa kvadratiima. (Videti kako je to preporuqeno u zadatku 736 iz Zbirke). Najboǉe je da uqenici olovkom u boji povuku jednu vertikalnu liniju du celog lista i da ta linija u svim buduim sabiraǌima i oduzimaǌima oznaqava mesto decimalne zapete. Rexavamo najpre primere date pri kraju 122. strane, pa prelazimo na zadatke od 1 do 7 na 123. strani. Ukoliko neki od ovih zadataka ne uradimo tokom qasa, dajemo ga uqenicima za domai zadatak. Domai zadatak:

Zbirka: 736, 742, 743.

114

Razlomci

87. QAS Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva. Rad u parovima

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Insistirati na pravilnom potpisivaǌu. Rezultat dovesti na najjednostavniji oblik. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 117. do 121. strane

Nastavnik insistira na strogo pravilnom potpisivaǌu. U rezultatu, ako se ukae prilika, brixu se suvixne nule. Rexavamo zadatke: 737 a), 738, 739, 741, 749, 752. Domai zadatak: 35. do 38.)

Radna sveska: Sedma kontrolna veba (str.

Razlomci

115

88. QAS Sedma kontrolna veba. (Razlomci i decimalni brojevi)

Kontrola znaǌa

Grupa A) Izraqunaj: 1 3 7 + − ; b) 11, 59 − 7, 462 − 0, 8. 1. a) 12 2 4 1 1 2. 2 − 1 + 1, 75. 12 2 3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da vae nejednakosti 1 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 0, 9. 4. Vozaq je tokom prepodneva prexao petinu planiranog puta, 3 a popodne je prevezao jox puta. Tako je prexao za 12 kilometara 8 vixe od pola puta. Koliko mu je kilometara ostalo do ciǉa? Grupa B) Izraqunaj: 7 7 2 − . b) 0, 0372 + 12, 73 − 3, 4952. 1. a) + 5 15 10 5 5 1 + 3, 375 − 4 − 2 . 2. 24 12 6 3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su taqne nejednakosti < < < < 0, 2. 0, 1 < 3 4. Jedna stranica trougla ima duinu 3 cm, a druga je za 4 0,2 dm kraa od prve. Obim trougla (zbir duina sve tri stranice) je 1 dm. Koliko u decimetrima iznosi duina tree stranice? Grupa V) Izraqunaj: 11 5 3 1 − + + . b) 22, 937 + 11, 43 − 23, 037. 1. a) 12 4 2 3 5 7 2. 2, 5 + 1 − 3 . 12 6 3. Iznad svake crte napixi odgovarajui decimalni broj (pet brojeva), tako da su taqne nejednakosti > > > > > 0, 85. 0, 9 > 4. Od eparca Duca plati qetvrtinu za taksi, za uinu plati treinu i za sok xestinu. Koliko mu je ostalo za ostale potrebe?

116

Razlomci

Grupa G) Izraqunaj: 3 1 4 + . b) 18, 025 − 0, 877 + 3, 552. 1. a) − 5 10 4 7 1 2. 3 + 0, 4 − 2 . 2 10 3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (pet brojeva), tako da vae sledee nejednakosti 1, 5 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 1. 4. Suzana je kupila tri kǌige. Za prvu je potroxila treinu novca koji je imala. Za drugu kǌigu dala je polovinu, a za treu xestinu novca. Koliko je novca ostalo Suzani? Grupa D) Izraqunaj: 3 2 7 1. a) − + . b) 7, 234 + 90, 306 − 88, 0562. 4 3 6 1 5 2. 4, 2 + 1 − 4 . 6 3 3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su ispravne sledee nejednakosti 2, 42 <

<

<

<

< 2, 43

1 7 4. U loncu zapremine 5 litara ima 1 litara vode i 1 litara 12 4 sirupa. Koliko vode treba doliti da lonac bude do vrha pun?

117

Razlomci

89. QAS Svojstva sabiraǌa. Brojevni izrazi. Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Svojstva sabiraǌa koristiti radi jednostavnijeg izraqunavaǌa vrednosti izraza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 124. i 125. strana

Kao xto je opisano na 124. i 125. strani, na konkretnim primerima pokaemo da vae zakoni komutativnosti i asocijativnosti sabiraǌa. U posledǌem pasusu na 124. strani naveden je primer kako se ponekad raqun moe uprostiti korixeǌem ovih zakona. a a a a a Takoe vae osobine: + 0 = − 0 = i − = 0. b b b b b Zatim, definixemo brojevni izraz u kome figurixu samo operacije sabiraǌa i oduzimaǌa. Naglasimo, ako u izrazu ima zagrada, onda se prvo raquna ono xto je u zagradi. a U izrazu mogu biti istovremeno razlomci oblika , celi, meb xoviti i decimalni brojevi. Tada je potrebno prvo razlomke izraziti kao decimalne brojeve ili decimalne brojeve izraziti u obliku razlomaka. Za koju varijantu emo se odluqiti zavisi od datih brojeva. Mexoviti brojevi se takoe izraze u obliku nepravog razlomka ili u obliku decimalnog broja. Rexavamo primere 1, 2 i 3 sa 125. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 761, 762, 763, 764.

118

Razlomci

90. QAS Brojevni izrazi

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Obratiti paǌu na pravilno korixeǌe zagrada. Rad sa promenǉivom veliqinom. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 122. do 124. strane

Sreivaǌem brojevnih izraza poboǉxava se raqunska tehnika. Zbog toga prvo sreujemo nekoliko izraza bez promenǉivih veliqina. Rexavamo zadatke: 765 i 766 u kojima se do reltata dolazi ako se primene zakoni komutativnosti i asocijativnosti. Zatim, rexavamo vrednosti brojevnih izraza sa promenǉivim veliqinama. Rexavamo zadatke: 775 a), v), g), 777 a), b), v), g). Na kraju rexavamo zadatak sa periodiqnim decimalnim brojevima: 779 a), b). Domai zadatak:

Zbirka: 767 a), g), ), 772 a), v), 775 b), d).

119

Razlomci

91. QAS Brojevni izrazi

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Sreivaǌe izraza u kojima su razlomci oblika

a i decib

malni brojevi. Rexavaǌe tekstualnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 122. do 124. strane

Nastavǉamo sa usavrxavaǌem tehnike sabiraǌa i oduzimaǌa razlomaka i decimalnih brojeva. Rexavamo redom zadatke: 767 b), d), 772 b), g). Zatim, sreujemo izraze sa promenǉivim veliqinama. Rexavamo zadatke: 775 ), e), 777 d), ), 776 a). Na kraju, rexavamo tekstualne zadatke: 768, 769, 771, i zadatak 780 b), sa periodiqnim decimalnim brojevima. Domai zadatak:

Zbirka: 770, 773, 776 b), 778.

120

Razlomci

92. QAS Jednaqine oblika x ± a = b i a − x = b Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Ciǉ Rexavaǌe jednaqina na osnovu osobina zbira ili razlike. Insistirati na proveri dobijenog rexeǌa. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 126. do 128. strane

Podsetimo se na pojmove: jednaqina, rexeǌe jednaqine, provera rexeǌa. Najpre rexavamo jednaqinu u kojoj je nepoznat jedan sabirak (jednaqinu tipa x + a = b). Reximo primer 1 sa 126. strane. Dobijeno rexeǌe odmah proveravamo. Uqenici moraju da shvate da je provera neophodna, jer moe da nam ukae na moguu grexku tokom rexavaǌa. Reximo i primer 2 sa 127. strane. U sluqaju b) pokazuje se da ne moemo rexiti postavǉenu jed13 − naqinu, jer ne znamo ni jedan broj koji zadovoǉava uslov x = 3 17 . Izvlaqimo pouku: 3 Jednaqina x + a = b ima rexeǌa ako je a ≤ b. Zatim, rexavamo jednaqinu tipa x−a = b, koja uvek ima rexeǌe (reximo primer 3). Na kraju, jednaqina tipa a − x = b ima rexeǌe pod uslovom da je a ≥ b. Rexeǌe je x = a − b. Reximo primer 4 i, naravno, obavezno proverimo rexeǌe. Reximo jox i zadatke 4 i 5 sa 128. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 781 a), b), v), e), ), z), 782 a), b), v).

121

Razlomci

93. QAS Jednaqine

Uvebavaǌe

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Poboǉxaǌe tehnike rexavaǌa jednaqina. Rexavaǌe tekstualnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 124. do 126. strane

Vebamo jednaqine tipova x + a = b (odnosno a + x = b), x − a = b i a − x = b. Rexavamo zadatke: 781 g), d), ), i), j), 782 g), d), 783 a), b), v), 784 a), b). Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 787, 788. Budui da se zadaci rexavaju ”pod budnim okom” nastavnika i celog odeǉeǌa, moemo preskoqiti redovnu proveru rexeǌa. Nastavnik to obrazlae, a uqenike upozorava da samostalna rexeǌa (za domai zadatak) i daǉe obavezno proveravaju. Domai zadatak:

Zbirka: 784 v), g), 785, 786 a), b), v), 790.

122

Razlomci

94. QAS Nejednaqine oblika x±a ≷ b i a−x ≶ b Frontalni rad Ciǉ

Obrada Heuristiqka metoda

Koristiti iskustva steqena rexavaǌem jednaqina.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 129. do 132. strane

Ponovimo pojmove: nejednaqina i rexeǌe nejednaqine. Rexavaǌe nejednaqina zahteva veu paǌu nego rexavaǌe jednaqina. Nejednaqina obiqno ima beskonaqno mnogo rexeǌa, koja na brojevnoj pravoj odreuju du (interval). Inaqe, tehnika rexavaǌa se ne razlikuje od rexavaǌa jednaqina. Preporuquje se obavezno grafiqka interpretacija rexeǌa na brojevnoj polupravoj. Reximo primer 1 sa 129. strane, kao xto je prikazano u ubeniku, sa grafiqkom interpretacijom. Napomena (nastavniku). Nije potrebno naglaxavati da je re5 xeǌe 0 ≤ x < , jer u ovom momentu uqenici jox ne znaju za brojeve 2 5 maǌe od nule. Dakle, konstatujemo bez ograniqeǌa, x < . 2 Sliqno reximo i primer 2 (130. strana). Sa posebnom paǌom rexavamo primer 3 uz naglaxeno ograniqeǌe x ≥ 1, 25, jer ne bi bila jasna razlika x − 1, 25 za x < 1, 25. Reximo primer 4 na 131. strani, u kojem je nepoznat prirodni broj. Zbog toga, rexeǌe x < 4, 45 oznaqava da je skup rexeǌa {1, 2, 3, 4}. Konaqno, rexavamo nejednaqinu tipa a − x ≷ b, koja u startu ima ograniqeǌe x ≤ a. Reximo primer 5. Do kraja qasa rexavamo zadatak 6, na kraju 132. strane. Domai zadatak: g), 796 a).

Zbirka: 791 a), b), v), 792 v) g), 794 a), g), 795

Razlomci

123

95. QAS Nejednaqine

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Shvatiti prirodu rexeǌa crtaǌem intervala na brojevnoj polupravoj. Voditi raquna o oblasti definisanosti nejednaqine. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 126. i 127. strana

Rexavamo nejednaqine obraenih tipova, uz obaveznu grafiqku interpretaciju. Uqenici se upozoravaju na oprez pri rexavaǌu nejednaqina tipova: x − a < b i a − x < b. Rexavamo zadatke: 791 g), d), ), 793, 795 a), b), 794 b), v), 796 b). Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 799 i 800. Domai zadatak: v).

792 a), b), 796 v), g), 797 a), b), v), 798 a), b),

124

Razlomci

96. QAS Mnoeǌe razlomaka oblika

a b

Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Ciǉ Uvesti pravilo za mnoeǌe razlomaka, uz ilustrovaǌe oqiglednim, praktiqnim primerima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 133. do 135. strane

Izraqunavaǌa povrxina pravougaonika (”duina” puta ”xirina”), kao xto je opisano u primerima 1 i 2 na 133. strani, navode nas na formulisaǌe pravila za mnoeǌe razlomaka. Iz primera 3 na 134. strani izvlaqimo zakǉuqak o mnoeǌu razlomka celim brojem. Tako formulixemo pravilo: a·c a k·a a c · = ; k· = b d b·d b b Pri rexavaǌu primera 4 upozoravamo uqenike da je boǉe prvo skratiti, pa mnoiti, nego prvo mnoiti, pa skratiti. Ako u mnoeǌu uqestvuje mexoviti broj, treba ga prvo zameniti odgovarajuim nepravim razlomkom, pa onda mnoiti. Reximo zadatke 5, 6, 7 i 8 sa 135. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 801 d), ), 802 v), d), 803 g), d)

125

Razlomci

97. QAS Mnoeǌe razlomaka

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Radi jednostavnijeg raqunaǌa poxtovati redosled: prvo skraivaǌe, pa mnoeǌe. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 127. do 129. strane

Ponovimo pravila za mnoeǌe razlomaka: a·c a k·a a a·k a c · = , k· = , ·k = b d b·d b b b b Nastavnik insistira na principu: prvo skrati, pa mnoi. Rexavamo zadatke: 801, a), b) v), g), 802, a), b), g), 803 a), b), v), ), 805, 806. Domai zadatak:

Zbirka: 804, 807, 808.

126

Razlomci

98. QAS Svojstva mnoeǌa razlomaka Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Primena osobina mnoeǌa kod izraqunavaǌa vrednosti brojevnih izraza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 136. i 137. strana

Kao xto je opisano na 136. strani, primerima ilustrujemo komutativnost mnoeǌa. Zatim, koristei se pravilom za mnoeǌe razlomka celim brojem, pokaemo da vae osobine: a a a a a ·1 = 1· = i ·0 = 0· =0 b b b b b Onda, primerom pokaemo osobinu asocijativnosti mnoeǌa: a c e a c e · · = · · b d f b d f Na osnovu toga izvodimo zakǉuqak da se pri mnoeǌu vixe 1 2 7 brojeva ne moraju stavǉati zagrade. Na primer, pixemo: · ·5·1 . 3 9 5 Zatim reximo primere 1 i 2 sa 137. strane. Na kraju, istaknemo osobinu distributivnosti mnoeǌa u odnosu na zbir i razliku. Reximo primer 3, radi ilustrovaǌa posledǌe osobine. Ukoliko ima vremena za jox neki zadatak, rexiemo iz Zbirke zadatak 820 a), b), v). Domai zadatak:

Zbirka: 811, 812, 813, 814, 815, 818.

Razlomci

127

99. QAS Razlomci i decimalni brojevi Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Sistematizovaǌe Dijalog

Zaokruiti do sada obraene osobine racionalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 108. do 131. strane

Rexavaǌem zadataka iz Zbirke, ukratko emo se podsetiti na a sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka oblika i u obliku decimalnih b brojeva. Takoe emo se podsetiti na uporeivaǌe racionalnih brojeva i rexavaemo jednaqine i nejednaqine upoznatih oblika. Precizan sadraj ovog qasa nastavnik odreuje na osnovu utiska koji je stekao pratei dosadaxǌi rad uqenika. Ti utisci mogu biti razliqiti u raznim odeǉeǌima. Zadaci za sistematizovaǌe ovog gradiva mogu se izabrati izmeu sledeih, 698, 704, 705, 707, 712, 714, 715, 727, 730, 734, 750, 753, 760, 774, 783 g), d), ), 786 g), d), ), 787, 788, 796, 797, 807, 809, 810. Domai zadatak: do 42.)

Radna sveska: Osma kontrolna veba (str. 39.

128

Razlomci

100. QAS Osma kontrolna veba. (Izrazi, jednaqine, nejednaqine)

Kontrola znaǌa

Grupa A) 5 1 a) 2 − x = 1 ; b) 3 6 1 2. Rexi nejednaqinu 2 ≥ 4, 25 − x, pa 2 brojevnoj polupravoj. 1 1 1 1 3. Ako je m = 2 , n = 1 , p = 2 , q = 1 , 2 3 6 4 m + p − n − q − 0, 75. 1 1 1 4. Izraqunaj: 7, 5 · 5 · 1 · 0, 125 · 1 . 3 5 6 1. Rexi jednaqine:

1 5 5 =x+3 . 6 12 rexeǌe predstavi na izraqunaj

Grupa B) 5 1 1 =2 . a) 5, 6 − x = 2 ; b) x − 2 2 18 3 1 2. Rexi nejednaqinu x + 3, 15 < 5 , pa rexeǌe predstavi na 4 brojevnoj polupravoj. 3. Ako je k = 23, 037, m = 9, 43 i n = 22, 937 izraqunaj m + n − k − 4, 13. 2 1 1 · 2, 4 · 3 · 4 . 4. Izraqunaj: 6 · 4 30 3 1. Rexi jednaqine:

Grupa V) 3 a) 5 − x = 2, 25; b) 18, 24 − 7, 03 = x + 6, 3. 8 1 2. Rexi nejednaqinu 4, 375 − x ≥ 1 , pa rexeǌe predstavi na 8 brojevnoj polupravoj. 5 1 1 3 1 7 3. Ako je a = 1 + 2, 25 − 1 , b = 2 − 1 , c = 1 , d = 2, 5 − 1 12 6 2 6 8 3 izraqunaj a − b − c + d. 19 7 · 8 · 1 · 2, 75. 4. Izraqunaj: 22 21 1. Rexi jednaqine:

Razlomci

129

Grupa G) 5 1 1 b) x − 2 =2 . a) 2 − x = 0, 35; 4 18 3 1 2. Rexi nejednaqinu: 2 − x > 0, 625 pa rexeǌe predstavi na 4 brojevnoj polupravoj. 3. Ako je x = 32, 03 − 9, 75, y = 2, 043 − 14, 557, z = 73, 42 − 64, 02 izraqunaj x − y + z. 5 7 1 4. Izraqunaj: 5 · 2, 4 · · 1 · 0, 25. 4 7 9 1. Rexi jednaqine:

Grupa D) 1 1. Rexi jednaqine: a) x + 3 = 4, 5; b) 2, 05 − x = 2, 31 − 1, 81. 4 3 2. Rexi nejednaqinu x − 2 ≤ 5, 5 pa rexeǌe predstavi na bro4 jevnoj polupravoj. 1 9 3 3 3. Ako je m = 0, 6 + ; n = 1 − 0, 125; p = 1, 4 − , q = 2, 25 − , 5 2 10 2 izraqunaj m + q − (n + p). 1 1 1 4. Izraqunaj: 5 · 7, 5 · 1 · 0, 125 · 1 . 3 6 5

130

Razlomci

101. QAS Deǉeǌe razlomaka oblika

a b

Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Ciǉ Definisati deǉeǌe razlomkom kao mnoeǌe reciproqnom vrednoxu tog razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 138. do 140. strane

3 1 Polazei od primera proizvoda · 1 , kao xto je opisano na 4 3 138. strani ubenika, uvodimo pojam reciproqne vrednosti broja, razliqitog od nule. Zatim, reximo primer 1 na dnu 138. strane. Podsetimo se da koliqnik definixemo preko proizvoda, pa 9 15 prema toj definiciji izraqunamo koliqnik : . Postupamo kao u 4 8 tekstu na 139. strani ubenika. Zatim primenimo isti postupak na a c koliqnik : , za c = 0. Dobijamo pravilo za mnoeǌe razlomaka. b d a d a c za c = 0 je : = · , b d b c c d gde je reciproqna vrednost delioca . c d 1 7 Izraqunajmo, potom, koliqnik 1 : 6 . 8 4 Zatim, delimo razlomak celim brojem. Moemo primeniti navedeno pravilo, jer je reciproqna vrednost prirodnog broja n raz8 1 lomak . Pokaemo to na primeru : 6, prikazanom u ubeniku. n 5 U sluqaju da je brojilac razlomka deǉiv prirodnim brojem, onda se skraivaǌem brojilac ustvari deli prirodnim brojem. Onda moemo deliti direktno kao u primeru: 24 : 6 4 24 :6= = . 7 7 7 Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa 140. strane. Domai zadatak:

Zbirka: 821, 822 a), b), v), 823 a), b), v), 824.

Razlomci

131

102. QAS Deǉeǌe razlomaka

Uvebavaǌe

Rad u parovima

Dijalog

Ciǉ Deǉeǌe u raznim kombinacijama izmeu razlomaka i celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 131. i 132. strana

Obnavǉamo pojmove i pravila nauqena prethodnog qasa. 1◦ Reciproqna vrednost (uqenici odreuju reciproqne vredno1 4 3 sti brojeva: , 1 , 1, 2 , 0 i 2,75). 9 8 2 2◦ Pravilo za deǉeǌe razlomaka (rexavamo zadatke: 824 ), e), ) i 825). 3◦ Deǉeǌe razlomka celim brojem (rexavamo zadatke: 822 g), d), ) i 823 g), d), )). Na kraju, rexavamo zadatke 828 i 830. Domai zadatak: 827, 829.

Zbirka: 822 e), ), z), i), 823 e), ), z), i), 826,

132

Razlomci

103. QAS Izrazi. Dvojni razlomci Frontalni rad

Obrada Heuretiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Sreivaǌe izraza u kojim figurixu sve qetiri osnovne raqunske operacije. Definisati dvojni razlomak kao koliqnik dva razlomka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 141. do 143. strane

Na poqetku definixemo brojevni izraz i definiciju ilustrujemo sa vixe primera. Uqenici takoe zadaju primere brojevnih izraza, kao na poqetku 141. strane ubenika. Pri sreivaǌu izraza bitno je poxtovati redosled operacija: ako nema zagrada, prednost imaju operacije mnoeǌa i deǉeǌa (”starije” su od sabiraǌa i oduzimaǌa); ako ima zagrada, onda se prvo raquna u zagradi, a ako postoji zagrada u zagradi, prednost ima unutraxǌa. Vrednost izraza je broj, najqexe razlomak, koji se dobija posle izvrxenih operacija. Izraqunavamo vrednosti izraza navedenih na 141. strani, a rexavamo i primere koje su zadali uqenici. Zatim, definixemo izraz koji predstavǉa koliqnik dva razlomka, koji nazivamo dvojnim razlomkom (strana 142.). U ubeniku su data dva pravila za izraqunavaǌe vrednosti dvojnog razlomka (svoeǌe na obiqan razlomak), opisano je na 142. strani. Tu su navedena tri dvojna razlomka (primer 5), koje rexavamo na sledeoj strani. Zatim, izraqunamo vrednost izraza u primeru 6, ili ih damo za domai rad. Domai zadatak: 834 a), b).

Zbirka: 831 a), b), v), 832 a), b), v), 833 a), b),

133

Razlomci

104. QAS Izrazi. Dvojni razlomci Rad u parovima Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Usavrxiti tehniku sreivaǌa izraza sa razlomcima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 133. do 135. strane

Obnovimo pojmove brojevni izraz i dvojni razlomak i dve varijante sreivaǌa dvojih razlomaka. Rexavamo redom zadatke: 831 g), d), 832 g), ), 833 e), 834 d), 835 a), b), d). Zatim, rexavamo zadatak 836 a), b) i 837 a). Na kraju reximo i zadatak 837 v), koji svodimo na koliqnik: 1 5 1 1 : 2 + . 2 − 2 6 2 6 Domai zadatak: e), ).

Zbirka 831 b), v), ), 832 d), e), 833 v), 836 d),

134

Razlomci

105. QAS Priprema za pismeni zadatak

Obnavǉaǌe

Rad u homogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Kratak pregled o razlomcima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 86. do 132. strane

Nastavnik postupa kao xto je opisano u ”Pripremi za (prvi) pismeni zadatak” (tok 36. qasa). O izboru zadataka za vebaǌe odluquje se kad se pripreme zadaci za trei pismeni zadatak. To mogu biti i zadaci koji su rexavani na nekom od prethodnih qasova (ako su nam mnogo vani), kao i oni koji su zadavani za domai rad. Ponoviti i potrebne pojmove, kao decimalni razlomak i ǌegov zapis u obliku decimalnog broja. Obnavǉaǌe pojmova, ilustrovano jednostavnim primerima, radimo u prvoj polovini qasa. Za drugi deo qasa, nastavnik podeli odeǉeǌe na homogene grupe od 4-6 uqenika, u tri nivoa znaǌa. Svaka grupa radi zadatke (4-5 zadataka) izabrane u tri nivoa. Prva grupa (elementarni nivo) rexava zadatke oznaqene u Zbirci sa . Druga grupa (sredǌi nivo) rexava dva zadatka oznaqena sa i 2-3 zadatka oznaqena sa 2. Trea grupa (vixi nivo) radi jedan zadatak oznaqena sa , dva zadatka oznaqena sa 2 i dva zadatka oznaqena sa . Konkretne zadatke, prema proceni nivoa znaǌa uqenika, bira nastavnik iz Zbirke i pripremi listie sa tekstovima ili koristi na qasu Zbirku zadataka. Dok uqenici rade zadatke, nastavnik ih obiliza i kontrolixe, po potrebi intervenixe. Posledǌnih petnaest minuta qasa koristi da se na xkolskoj tabli demonstriraju rexeǌa pojedinih karakteristiqnih zadataka, bar po jedan iz svake od tri grupe. Domai zadatak: 43. do 45.)

Radna sveska: Trei pismeni zadatak (str.

Pismeni zadatak

135

106. QAS Trei pismeni zadatak

Kontrola znaǌa

Grupa A) 9 . 1. Uprosti dvojni razlomak 2 2 5 1 3 2. Koliko iznose qetiri treine od 1 : 5 ? 5 3 1 3. Odredi nepoznati broj x ako je 3 = 5, 375 − x. 8 4. Za koliko treba umaǌiti zbir brojeva 4,026 i 13,74 da bi se dobio broj jednak razlici brojeva 24,7 i 14,904? 5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve a i b, tako da je 1 1 1 a = 6, 75 − 3 ·1 −3 . b 8 3 3 Grupa B) 1 2 1. Uprosti dvojni razlomak 2 . 3, 75

1 1 2. Koliko iznose tri polovine od 2 : 5 ? 3 4 7 4 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 = x − 2 . 9 18 4. Koliko se moe oduzeti broju 16,3425, pa da dobijena re8 zlika ne bude maǌa od zbira brojeva i 11,1025? 5 5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve m i n, tako da je 1 1 9 m = 3 · 1, 8 + 7 − . n 3 2 10 Grupa V) 3, 6 . 1. Uprosti dvojni razlomak 2 2 5 7 1 2. Koliko iznosi pet treina od 1 : 2 ? 9 9 3 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 − x = 1, 5. 10 3 4. Koji broj treba uveati za 3 da bi dobijeni zbir bio jed4 1 nak razlici brojeva 6,125 i 1 ? 4

136

Pismeni zadatak

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve x i y, tako da je 1 3 2 x = 1 : 3 + 2 + 4, 25 . y 3 4 3 Grupa G) 3 1 1. Uprosti dvojni razlomak 10 . 5, 2

1 2 2. Koliko iznose qetiri treine od 4 : 2 ? 6 9 1 1 3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 = x − 1 . 2 6 2 4. U kanti ima 14 litara vode. Koliko litara moemo da 3 11 litara vode?. prospemo, pa da u kanti ne bude vixe od 10 12 5. Odredi uzajamne prosteprirodne brojeve p i q, tako da je 1 2 1 p = 3 : 2 : 1, 8 + 1 · 0, 6 . q 3 5 9 Grupa D) 7 . 1. Uprosti dvojni razlomak 1 5 4 5 1 2. Koliko iznosi pet qetvrtina od 2 : 5 ? 4 8 3 3. Odredi nepoznati broj x ako je 1 + x = 2, 125. 4 4. Za koliko treba poveati razliku brojeva 8,206 i 1,53, da bi ona bila za 2,106 maǌa od zbira brojeva 3,09 i 7,603? 5. Odredi uzajamne brojeve k i n, tako da je proste prirodne 1 2 2 1 n = 4 −2 : 8 + 4, 5 · 1 . k 2 3 3 3

137

Pismeni zadatak

107. QAS Ispravka pismenog zadatka

Uvebavaǌe

Frontalni rad

Dijalog

Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne grexke, uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka. Tok qasa Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

138

Razlomci

108. QAS Mnoeǌe decimalnih brojeva. Frontalni rad

Obrada Dijalog

Ciǉ Mnoeǌe decimalnih brojeva svesti na proizvod celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 143. do 145. strane

Kao xto je prikazano na 143. strani ubenika, rexavaǌem primera 1 uoqavamo kako se mnoi ceo broj sa decimalnim (15 · 27, 36). Zatim, u primeru 2, na sledeoj strani, vidimo kako se mnoe dva decimalna broja. Posle razmatraǌa i primera 3, izvlaqimo zakǉuqak – definixemo jednostavno pravilo za mnoeǌe decimalnih brojeva. Mnoeǌe decimalnih brojeva sa konaqnim brojem decimala svodi se na mnoeǌe celih brojeva. Izraqunajmo proizvode zadate u primeru 2 na 145. strani. Zatim, navodimo jednostavno pravilo za mnoeǌe decimalnih brojeva dekadnim jedinicama, pa izraqunajmo proizvode iz primera 6. Domai zadatak:

Zbirka: 841, 843 a), b), v), g), 847 a), b), v), g).

139

Razlomci

109. QAS Mnoeǌe decimalnih brojeva

Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Dijalog

Istai praktiqnu primenu mnoeǌa decimalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 135. i 136. strana

Ponovimo pravilo za mnoeǌe decimalnih brojeva, posebno, ako je jedan mnoilac dekadna jedinica. Onda rexavamo zadatke: 844, 845, 842. Zatim, rexavamo zadatak 843 d), ), e), ). Na kraju, rexavamo zadatak 846 a), g), d). Domai zadatak:

Zbirka: 846, 847, 848, 849.

140

Razlomci

110. QAS Deǉeǌe decimalnog broja celim brojem. Frontalni rad Ciǉ

Obrada Dijalog

Priprema ”terena” za decimalni delilac.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 146. i 147. strana

Prilikom odreivaǌa decimalnog zapisa proizvoǉnog razlomka (videti 73. qas), poxto podelimo brojilac (ceo broj) imeniocem, ne zadravamo ostatak deǉeǌa, nego ”spuxtamo” nule (jer drugih cifara nema) i daǉim deǉeǌem dobijamo decimale u novom zapisu. Sliqno, decimalni broj delimo celim, tako xto kad zavrximo deǉeǌe celog dela, u koliqniku stavimo decimalnu zapetu i nastavimo deǉeǌe. Ovog puta, za razliku od deǉeǌa na 73. qasu, spuxtamo decimale - cifre iza zapete decimalnog deǉenika. Na 146. strani ubenika naveden je primer 1 koji uradimo i na xkolskoj tabli, a onda sledi primer 2, koji rexavaju uqenici na qasu. Na sledeoj strani navedeno je jednostavno deǉeǌe decimalnog broja dekadnom jedinicom, koje se svodi na jednostavno pomeraǌe decimalne zapete ulevo. To ilustrujemo primerom 3, a onda zajedno rexavamo primer 4. Domai zadatak:

Zbirka: 851, 853, 854.

Razlomci

141

111. QAS Deǉeǌe decimalnog broja decimalnim brojem. Frontalni rad

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Ciǉ Usvajaǌe tehnike deǉeǌe decimalnim deliocem (decimalni delilac transformisati u ceo broj). Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 147. do 149. strane

Koristiemo osobinu koliqnika: proxirivaǌem, tj. mnoeǌem deǉenika i delioca istim brojem razliqitim od nule, koliqnik se ne meǌa (147. strana ubenika). Ovaj postupak je znatno olakxan kad su u pitaǌu decimalni brojevi sa konaqnim brojem decimala. Tada proxirivaǌe vrximo odgovarajuom dekadnom jedinicom, jer, kao xto smo ve uqili, time se samo pomere udesno decimalne zapete. Reximo na tabli primer 1 sa 148. strane: Daǉe se deli celim brojem, a to znamo da radimo. Sledei, primer 2, uz eventualnu podrxku nastavnika, rexava neki uqenik na xkolskoj tabli. Zanimǉivo je deǉeǌe (i rezultat deǉeǌa) kada je delilac neki od brojeva: 0,1 ili 0,001 itd. Reximo primer 3 sa 149. strane, uz izvoeǌe odgovarajueg zakǉuqka. Posle toga, reximo primer 4. Ne treba zaobilaziti ni periodiqne decimalne brojeve, jer a i dobijamo deǉeǌe sa razlomcima. se oni lako svode na oblik b Dakle, rexiemo jox i primere 5 i 6. Domai zadatak:

Zbirka: 856.

142

Razlomci

112. QAS Deǉeǌe decimalnih brojeva Rad u parovima

Uvebavaǌe Dijalog

Ciǉ Izraqunavaǌe koliqnika a : b, u raznim kombinacijama sa celim brojevima, razlomcima i decimalnim brojevima. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 137. do 139. strane

Ponovimo pravilo o deǉeǌu sa decimalnim deliocem. Rexavamo zadatak 857. Zatim, vebamo sluqajeve sa deliocem 0,1, odnosno 0,01 itd. Radimo zadatak 859. Onda, kombinujemo razlomke i decimalne brojeve. Rexavamo zadatke 861 b), 867 a) i 868 a). Na kraju reximo i zadatke 864 a), ). Domai zadatak: 864 b), v).

Zbirka: 858, 860 a), b), 861 v), 867 b), 868 b),

143

Razlomci

113. QAS Mnoeǌe i deǉeǌe decimalnih brojeva.

Sistematizacija

Rad u nehomogenim grupama Ciǉ jeva.

Dijalog

Kombinovati operacije mnoeǌa i deǉeǌa decimalnih bro-

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 135. do 139. strane.

Rexavamo jednostavnije izraze, uz podseaǌe da su mnoeǌe i deǉeǌe operacije ”starije” od sabiraǌa i oduzimaǌa. Rexavamo zadatke: 861 a), 862 b), 867 v), 866, 868 b). Domai zadatak:

Zbirka: 860, 864 d), e), 865, 869.

144

Razlomci

114. QAS Jednaqine oblika: ax = b, x : a = b, a : x = b, ax ± b = c Frontalni rad

Tok qasa

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Osnovni tekst

Ubenik, od 150. do 152.

Kao xto je opisano u ubeniku, koristei se osobinama mnoeǌa i deǉeǌa i koristei iskustva sa jednaqinama obraenim na 92. qasu, rexavamo jednaqine zadatih oblika. Nastavnik postavi problem iz primera 1 i navodi uqenike da odrede nepoznatu veliqinu i postave odgovarajuu jednaqinu. Sada, a tako je bilo i ranije i treba poxtovati i ubudue, svako rexeǌe jednaqine se proverava. Rexavajui jox i primere 2 i 3, dolazimo do postupka za rexavaǌe jednaqina oblika: ax = b i x : a = b. Nastavnik naglaxava zbog qega je u oba sluqaja a = 0 (jer deǉeǌe nulom nije definisano). Zatim, rexavamo jednaqinu oblika a : x = b, koristei se definicijom deǉeǌa. Onda, nastavnik izvede na tablu jednog uqenika da rexi navedeni primer na 151. strani. Na kraju, rexavamo i jednaqine kod kojih se uz nepoznatu pojavǉuje i sabirak, tj. rexavamo jednaqinu oblika ax±b = c. Koristimo se iskustvima koje smo stekli pri rexavaǌu ranije prouqenih jednaqina (na primer: x − a = b). Primer 4 rexavaju uqenici na tabli. Takoe reximo i primer 5 sa 152. strane. Domai zadatak: Zbirka: 871 a), b), 872 a), b), 873 a), b), 874 a), b), 875 a), 876 b).

Razlomci

145

115. QAS Jednaqine

Uvebavaǌe

Rad u parovima Ciǉ

Dijalog

Rexavaǌe jednaqina navedenih tipova i primena jednaqina.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 140. do 142. strane

Za svaki od oblika jednaqina obraenih prethodnog qasa, ponovimo postupak rexavaǌa i rexavamo zadatke iz Zbirke. ax = b: zadatak 871 v), g), d). x x : a = b odnosno = b : zadatak 872 v), e). a a a : x = b odnosno = b : zadatak 874 v), g). x ax ± b = c: zadaci 875 b) i 876 a). Zatim, rexavamo zadatke 873 v), e), ), 879, 881. Domai zadatak: 46. do 49.)

Radna sveska: Deveta kontrolna veba (str.

146

Razlomci

116. QAS

Deveta kontrolna veba. (Mnoeǌe i deǉeǌe. Jednaqine.)

Kontrola znaǌa

Grupa A) 1. Izraqunaj: 0, 21 : (0, 75 − 0, 012 : 0, 02) − 1, 73 · 0, 16. 2 1 2. Izraqunaj: 4 · 17, 04 : 21, 6 + 4, 49 : 2 . 2 3 3 3 4 . 3. Uprosti dvojni razlomak 1 2 5 −3 3 6 3 1 4. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 2 · x − . 4 8

1. 2.

3.

4.

1. 2.

3.

4.

Grupa B) Izraqunaj: (1, 53 : 1, 5 +17, 4 : 29) · 0, 25 − 0, 005. 1 3 Izraqunaj: 3 + 2, 625 : 1 − 2, 55 : 1, 25. 4 4 5 1 1 +1 2 6 . Uprosti dvojni razlomak: 5 6 1 Rexi jednaqinu: 1, 2 · x − 3 = 1, 25. 4 Grupa V) Izraqunaj: (21, 85 5 − 7, 2 · 0, 25) · 2, 25. : 43, 7 + 2, 3 1 + : 0, 375. Izraqunaj: 2, 7 : 3, 5 − 1 4 4 5 2 8 . Uprosti dvojni razlomak 1 1 2 +1 6 3 1 1 Rexi jednaqinu: 2 − 1 · x = 1, 5. 4 4

Razlomci

1. 2.

3.

4.

Grupa G) Izraqunaj: 460, 08 : 129,6 + (21, 018 −7, 548) : 8. 1 1 3 1 : 1 − 17 : 6 + 5, 5 . Izraqunaj: 2, 75 + 3 2 4 2 4 1 1 4 −2 2. Uprosti dvojni razlomak 6 1 2 2 +1 3 2 1 1 Rexi jednaqinu: = 2, 75 − 2 · x. 4 2

Grupa D) 1. Izraqunaj: ((7, 803 + 8, 547) · 2, 5 −3, 2) : 4, 5. 3 2 1 2. Izraqunaj: 563 : 15, 02 3 − 1, 5 : 2 − 1, 9 . 4 4 5 1 2 − 1, 2 . 3. Uprosti dvojni razlomak 2 1 5 5 1 1 4. Rexi jednaqinu: 3 = 4 − 0, 625x. 4 7

147

148

Razlomci

117. QAS Nejednaqine oblika: ax ≷ b, x : a ≷ b, a : x ≷ b Frontalni rad

Obrada

Dijaloxka i heuristiqka metoda

Ciǉ Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova, analogno rexavaǌu odgovarajuih jednaqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 152. do 154. strane

Nejednaqine navedenih oblika rexavamo sliqno odgovarajuim jednaqinama, koristei se osobinama mnoeǌa i deǉeǌa. U to se uverimo rexavajui primere 1 i 2. U primeru 1 ograniqili smo rexavaǌe zahtevom da se trae 3 rexeǌa u skupu prirodnih brojeva. Zbog toga iz n ≤ 2 , zakǉuqu4 jemo da je n = 1 ili n = 2. Na kraju reximo i primere 3, 4 i 5 sa 154. strane. U primeru 5 ponovo ograniqavamo rexeǌa na prirodne brojeve, a rexeǌe suavamo jox vixe nego u primeru 1, jer traimo samo proste brojeve. Domai zadatak:

Zbirka: 891 a), b), v), 892 a), b), v), 895 a), v).

149

Razlomci

118. QAS Nejednaqine

Uvebavaǌe

Rad u parovima Ciǉ

Dijalog

Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova i ǌihova primena.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka: 142. i 143. strana

Ponovimo postupak rexavaǌa za svaki od upoznatih oblika nejednaqine. ax ≷ b: zadatak 891 g), d), ). x : a ≷ b: zadatak 892 g), d), ). a : x ≷ b: zadatak 895 b), e). Reximo jox i nejednaqine iz zadataka 893 a), v), 894 b) i g). Zatim, reximo tekstualni zadatak 896 i na kraju zadatak 898 a), v). Domai zadatak:

897, 898 b), g), 900 a).

150

Razlomci

119. QAS Izrazi. Jednaqine. Nejednaqine. Rad u nehomogenim grupama Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Uvebavaǌe tehnike.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 133. do 143. strane

Kao kod qasova pripreme za pismeni zadatak, nastavnik ne planira precizno sadraj ovog qasa unapred, ve neposredno pred realizaciju. Kad sagleda efekte dosadaxǌe nastave i rada uqenika i odredi zadatke za kontrolnu vebu, nastavnik izabere zadatke za obradu na danaxǌem qasu. Mogu izbor zadataka iz Zbirke: 808, 809, 810, 830, 833 g), d), 834 v), g), 835 v), g), 837 e), ), 840, 847, 850, 855, 863, 870, 885, 886, 890, 899. Domai zadatak: ni na qasu.

Zadaci sa posledǌeg spiska, koji nisu rexava-

151

Razlomci

120. QAS Razlomci, jednaqine, nejednaqine Rad u homogenim grupama Ciǉ

Uvebavaǌe Dijalog

Priprema za kontrolnu vebu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 124. do 143. strane

Nesporan je znaqaj dobre tehnike rada sa razlomcima i primene kroz jednaqine i nejednaqine. Qas se organizuje u dva dela. Prva polovina qasa koristi se za obnavǉaǌe na elementarnom nivou. Oblik rada je frontalni. (Mogui izbor zadataka za ovu namenu je iz Zbirke, i to: 809 g), d), 810 d), 104 g), 834 v), 839, 875 g), 893 g)). Onda, nastavnik razvrsta uqenike u tri grupe, po nivou znaǌa: A) elementarni nivo, B) sredǌi nivo i V) vixi nivo. Poeǉno je da se sami uqenici opredeǉuju o izboru grupe. Onda se ove grupe ”usitne” na maǌe homogene grupe od 4 do 6 uqenika. Maǌe grupe se rasporede u susedne klupe. Naqin izbora zadataka i organizovaǌe rada do kraja qasa opisan je u planu rada za 103. qas.

152

Razlomci

121. QAS Aritmetiqka sredina Frontalni rad Ciǉ

Obrada Dijalog

Povezati pojmove: proseqna vrednost, koliqnik i razlomak.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 154. do 157. strane

Pojam proseka, odnosno proseqne vrednosti qesto se pomiǌe. S obzirom na naqin izraqunavaǌa, u matematici se to naziva aritmetiqka sredina. Navoeǌem primera, kao xto je dato na 154. strani ubenika, uqenici se navode da problematiku shvate svakodnevnom pojavom i time se zainteresuju. Najpre izvedemo pravilo za aritmetiqku sredinu dva broja: a+b . s= 2 Prikazivaǌem taqaka A(a), B(b) i S(s) na brojevnoj polupravoj za konkretno izabrane brojeve a i b, nalazimo jedan od razloga zaxto se to zove sredina. (Poeǉno je koristiti se leǌirom.) Izraqunajmo jox nekoliko sluqajeva aritmetiqke sredine (proseqne vrednosti), na primer, za brojeve: 2 5 a) 7 i 25; b) 6 i 19; v) 1,8 i 8,1; g) 3 i 5 ; d) 3, 2 i 6 3 5 1 . 15 Zatim, nastavnik na xkolskoj tabli dokazuje vanu osobinu aritmetiqke sredine. Ako je a < b, onda je: a+b

5 Razred - Matematiskop - Prirucnik 2

Short Description

Description

Comments

We need your help!