5 Razred - Klett - zbirka.pdf

др Небојша Икодиновић • мр Слађана Димитријевић Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика 5 Збирка задатака са решењима

1

Математика 5 Збирка задатака са решењима прво издање Аутори: др Небојша Икодиновић, Сања Милојевић, Ненад Вуловић, мр Слађана Димитријевић Илустрације: Кристијан Хранисављевић Рецензенти: доц. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу Графичко обликовање: Сашењка Мељников Ивановић Лектура: Јасна Аничић Прелом: Игор Болта

Издавач: Издавачка кућа „Klet“ д.о.о., 11000 Београд offi[email protected], www.klett.co.yu За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Тираж:

© Klett, 2007. ISBN 978- 86-7762Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

2

УПУТСТВО УЧЕНИЦИМА СКУПОВИ Скуп природних бројева  обнављање Скупови – елементи, основне особине, Венови дијаграми Основне операције са скуповима Изрази са више скуповних операција Скуп природних бројева Изрази са променљивом СКУПОВИ  решења ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ Тачка, права, раван Полуправа и дуж Полураван и изломљена линија Многоугао Конвексност Круг и кружница Угаона линија и угао Кружни лук и тетива Упоређивање углова. Надовезивање углова Врсте углова Мерење углова Углови на трансверзали ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ  решења ДЕЉИВОСТ Дељивост у N0 Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4, 25 Дељивост бројевима 3 и 9 Прости и сложени бројеви Највећи заједнички делилац Најмањи заједнички садржалац ДЕЉИВОСТ  решења РАЗЛОМЦИ  I део Појам разломка Проширивање и скраћивање разломака Упоређивање разломака Сабирање разломака једнаких именилаца

3

Врсте разломака. Мешовити бројеви Децимални запис разломака Поређење разломака датих у децималном запису Приближна вредност броја Бројевна полуправа РАЗЛОМЦИ  I део  решења РАЗЛОМЦИ  II део Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца Сабирање и одузимање разломака различитих именилаца Сабирање и одузимање децималних бројева Својства сабирања разломака Једначине Неједначине РАЗЛОМЦИ  II део  решења РАЗЛОМЦИ  III део Множење и дељење разломака природним бројем Множење разломака Дељење разломака Својства множења и дељења разломака Множење разломака записаних у децималном запису Дељење разломака записаних у децималном запису Бројевни изрази Једначине у вези са множењем и дељењем Неједначине у вези са множењем и дељењем Аритметичка средина Размера Проценти РАЗЛОМЦИ  III део  решења ОСНА СИМЕТРИЈА Осна симетрија Осна симетричност Симетрала дужи Симетрала угла ОСНА СИМЕТРИЈА - решења

4

СКУПОВИ СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВАОБНАВЉАЊЕ 1. Запиши цифрама следеће бројеве: 1) двадесет три хиљаде шестсто педесет осам; 2) осам милијарди; 3) милион двадесет; 4) три милиона петнаест хиљада шест; 5) седамнаест хиљада један; 6) шестсто милиона шездесет хиљада шест. 2. Одреди колико следећи бројеви имају јединица десетица, јединица хиљада, стотина хиљада и јединица милиона: 728 531

1 004 007

2 805

13 905

8 005 501 347

јединица десетица јединица хиљада стотина хиљада јединица милиона 3. Напиши број који има тачно: 1) 5 јединица, 6 десетица и 3 јединице хиљада; 2) 6 стотина, 3 десетице хиљада, 7 јединица и 8 јединица хиљада; 3) 12 десетица и још 13 јединица хиљада и још 18 стотина и још 123 јединице. 4. Које су тврђења тачна: 1) 1287≤ 1287;

2) 1287 =1287 ;

3) 1287 ≥1287 .

5. Између бројева ставити један од знакова ≤ или ≥ тако да посматрана тврђења буду тачна: 1) 304 427

340 427; 2) 222 483

222 384; 3) 405 324

45 998; 4) 143 889

54 998.

6. Одреди све природне бројеве који задовољавају неједнакости 1) 172 > x; 2) x < 362 ; 3) 1993 < x ≤ 2 000 ; 4) 5 243≥ x ≥ 3425. 7. Одреди месну вредност сваке цифре у следећим бројевима: 1) 23 456; 2) 24 547; 3) 576 576 ; 4) 333 000;

5) 99 999.

8. Запиши бројеве у облику збира производа декадне јединице и једноцифреног броја: 1) 38 947; 2) 15 035; 3) 100 700; 4) 5 030; 5) 77 007. 9. Запиши једним бројем сваки од следећих израза: 1) 3⋅10 000 + 5⋅1000 +7⋅100 + 8⋅10 +1⋅1 ; 2) 8⋅100 000 + 6⋅1000 + 3⋅100 + 2⋅10 + 9⋅1; 3) 1⋅100 000 + 2⋅1000 + 5⋅10 + 3⋅1; 4) 3⋅100 + 5⋅1000 + 2⋅10 + 8⋅10 000 ; 5) 9⋅10 000 +1000⋅7 +100⋅3 + 2⋅10 ; 6) 100⋅3 +7⋅10 000 +10⋅4 +1000⋅6 .

5

10. Попуни табелу претходник број

4 699 2 508

1 000

следбеник

2 008

999 999

1

12 999

1 300

5 001

11. Одреди разлику следбеника и претходника броја:

1) 1 799;

2) 8 000;

3) а.

12. Колико има природних бројева између: 1) 3 438 и 3 466; 2) 7 990 и 8 004; 3) природног броја а и природног броја b. 13. Колико има: 1) једноцифрених, 2) двоцифрених, 3) петоцифрених, Колико је међу њима парних, а колико непарних бројева?

4) осмоцифрених бројева.

14. 1) Којим цифрама се завршавају парни, а којима непарни природни бројеви? 2) Напиши најмањи непаран и највећи паран петоцифрени број. 3) На фудбалском дербију је 24 837 навијача. Да ли је могуће да је на стадиону једнак број навијача и једне и друге екипе? Објасни зашто. 15. Колико има троцифрених бројева који се пишу само цифрама 3, 4 и 7 и цифре се не понављају? 16. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 1) 1 и 2, 2) 0, 4 и 6, 17. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 0, 1, 5, 6 и 8 ако се цифре: 1) не могу понављати, 2) могу понављати? 18. Колико има бројева између 415 748 и 457 294 који се пишу помоћу цифара 0, 2, 4, 5, 8 и 9 ако се цифре не понављају? 19. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број чије су све цифре различите и парне. 20. Одреди највећи и најмањи паран седмоцифрени број у чијем запису нема цифара 5, 6 и 8 и у коме се свака цифра може јавити највише два пута. 21. Које цифре могу стајати уместо Δ тако да неједнакости буду тачне? 1) 623 950 662 < 623 9 Δ 8 662 2) 337 615 546 641 > 33 Δ 615 546 164 3) 423 613 976 < 423 614 9 Δ 6 4) 46 912 773 648 > Δ 6 002 300 800 22. Збир цифара броја 1 142 је 1+1+ 4 + 2 =10 , а производ цифара је 1⋅1⋅4⋅2 = 8 . Попуни табелу. број збир цифара производ цифара

23

111

4 098

7

1 000

23. Колико има четвороцифрених бројева чији је: 1) збир цифара 3, 2) производ цифара 2, 24. Израчунај збир свих троцифрених бројева чији је збир цифара 5.

6

23 115

0

25. Израчунај разлику четвороцифреног броја чији је производ цифара 1 и највећег троцифреног броја чији је збир цифара 19. 26. Попуни укрштеницу. 1

2

4

5

9

6

8

10

11

12

14

15

16

13

17 20

18 21

22 25

26

27 29

19 23

24

28

7

26) који је по реду дан 18. октобар у години која није преступна 27) најмањи троцифрен број чији је збир цифара 6 28) (274 + 439 )⋅3 + 25⋅(722 − 669 ) 30) број коме је 2 цифра стотина, 4 цифра јединица, 9 цифра јединица хиљада и 6 цифра десетица

30

ВОДОРАВНО 1) 100⋅2 + 4⋅1000 +10⋅3 5) 1247⋅5 +11⋅101 9) 249 + 23⋅28 10) најмањи број 67. десетице 11) 79⋅8 − 2 222 : 22 12) број који има 55 јединица хиљада, 37 десетица и 12 јединица 14) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 15) 625⋅15 +12⋅30 16) претходник броја 8 17) најмањи паран број 18) збир цифара броја 12021 19) најмањи природан број 20) производ збира и разлике бројева 64 и 28 23) највећи двоцифрени број чији је збир цифара 8 24) 20 227 + 20 230 + 20 233 + 20 225 25) 2⋅47⋅3

УСПРАВНО

1) 1000⋅8 + 6⋅10 +1⋅7 +10 000⋅4 + 5⋅100 2) највећи број треће хиљаде чији је збир цифара 18, а цифра јединица 4 3) следбеник следбеника броја 329 4) елемент скупа N0, а није елемент скупа N 5) (14 + 5⋅7) : (1545 : 103 − 8 ) 6) (3 870 + 3 871)⋅3 +100 +13⋅1001 7) најмањи непаран број који се пише цифрама 4, 5, 6 и 8 8) решење једначине x : 2 + 31= 337 12) најмањи двоцифрен број чији је производ цифара 45 13) (1125 : 25)⋅2 − 33 17) 1⋅23 916 + 35 253⋅0 19) најмањи паран број састављен од цифара 0, 1, 2, 4 и 5 20) 772 +773 +774 +775 21) 9 999:909 22) претходник следбеника броја 25 23) број који се добија када се у броју 6 808 цифре највеће и најмање месне вредности замене 24) (96 : 3 −12)⋅2 +783 25) највећи паран троцифрен број написан цифрама 1 и 2 чији је збир цифара 5 29) најмањи број чији је збир и производ цифара 4 30) највећи једноцифрени број

27. Упиши бројеве 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 99, тако да квадрат буде "магичан".. 88

7

28. а) Постави заграде и ознаке рачунских операција тако да једнакости буде тачне: 1) 2) 7 7 7 7 7 =1 6 6 6 6 6 = 22 7 7 7 7 7 =2 6 6 6 6 6 = 41 7 7 7 7 7 =3 6 6 6 6 6 =102 7 7 7 7 7 =4 6 6 6 6 6 =105 7 7 7 7 7 =5 6 6 6 6 6 =138 7 7 7 7 7 =6 6 6 6 6 6 = 630 7 7 7 7 7 =7 6 6 6 6 6 = 732 б) Постави заграде тако да једнакости буду тачне: 1) 16 + 4 ⋅ 2 − 8 : 4 + 10 =18 ; 2) 12 : 3 + 24 − 20 : 4 + 6 − 2 : 2 = 5 . 29. Дешифровати сабирања ако истим словима одговарају исте, а различитим различите цифре: 1) 2) 3) 4) A BAC ABC A AA ACB ABC CA + AB + CBA + CBA ACA + MACA BBB ABBC BBB CMCC 30. У троугао и око троугла уписани су бројеви тако да је збир два суседна поља у троуглу уписан на одговарајуће место ван троугла (види прву слику). На исти начин попуни празна места. урађени пример

1)

2)

3)

31. 1) Бројеве 172, 389, 394, 927, 1 728, 755 заокружи на најближу десетицу. 2) Бројеве 1 820, 2 770, 8 190, 28 110, 36 180, 12 450 заокружи на најближу стотину. 3) Заокруживањем бројева на најближу десетицу или стотину процени резултате сабирања: 328 + 421, 473 + 899, 5 238 + 424, 2 492 + 1 123, 7 777 + 9 999. 32. Станко је са баком отишао на пијацу. Поред једне тезге видео је натпис да за купљених 3kg спанаћа добијају још 1kg бесплатно. Ако спанаћ кошта 53 динара по килограму, колико су Станко и бака донели кући спанаћа ако су га укупно платили 424 динара? Колико би спанаћа донели да су га платили два пута више?

8

33. Странице правоугаоника су a и b. Одреди све могуће вредности за обим и површину правоугаоника ако страница a може имати вредности 3 или 4, а страница b може имати вредности 1, 2 или 6. 34. У уџбенику смо видели да је Јован убедио свога млађег брата Јанка да покуша да запише све природне бројеве. Јанко их је неспретно писао један поред другог без размака и добио је овакав запис 12345...104105106107108 Када га је Јадранка прекинула, последњи написани број био је 108. 1) Колико је Јанко цифара употребио да би написао све ове бројеве? 2) Која цифра се налази на 108. месту? 3) Колико пута је написана цифра 1, а колико пута цифра 9? 4) Која цифра је написана највише, а која најмање пута? 5) Колико пута су се у овом низу цифре 4 и 5 нашле једна поред друге? 35. Марко је купио свеске од 60 и 80 листова. Сваки лист обе свеске почео је да нумерише бројевима 1, 2, 3,... док није стигао до последње стране обе свеске. Колико цифара је употребио да би нумерисао обе свеске? 36. Славица живи у улици у којој има 34 куће са леве и 72 куће са десне стране. Куће на левој страни су нумерисане непарним бројевима почевши од броја 1, а са десне стране парним бројевима почевши од броја 2. Колико је цифара употребљено за нумерацију кућа у Славичиној улици? Колико је кућа нумерисано троцифреним бројевима? 37. Уместо звездица стави одговарајуће цифре тако да рачун буде тачан: 1)

3 ∗⋅1∗ ∗∗ 5 ∗∗11

2)

38. Испод сваке колоне уписан је збир бројева из те колоне, а поред сваке врсте производ бројева из те врсте (види слику). Упиши бројеве тако да важи:

∗2 ∗⋅∗ 7 ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗ 0

∗∗∗

∗∗ 3 ∗ 6

39. Следеће бројеве записане грчкоримским цифрама, запиши индоарапским цифрама: 1) LXXVI 2) MMVII 3) MDXCII 4) MCMLXXIX 5) DCCCLXXIV

2

3

1

6

6

9

4

2

5

40

20

8

3

6

2

36

1

35

9

11

8

9

3

7

8

8

11

40. Палидрвца су постављена као што видиш. Померајући само једно палидрвце, доведи да једнакости буду тачне: 1) 2) 3) 4) 5)

I – II = II VI – IV = IX XI + I = X XX + I = XIX IV = III – I

41. Који од следећих низова је низ природних бројева? Како би описао остале? 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 2) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, ...

9

42. Уочи правило и допиши бројеве који недостају: 1)

2) 3 240 2 852

1 076

253

1

2 164

1 226 815 308

1 019 507

43. Уочи правило и одреди следећа три члана низа: 1) 31, 50, 69, 88, 107, 126, 145, ... 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 4) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ... 5) 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ... 6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

450 44. 1) Упиши бројеве 4, 5, 6, 7, 8 и 9 у празна поља тако да су збирови на страницама једнаки. 2) Одреди и упиши бројеве тако да збир на свакој страници буде 57.

СКУПОВИ  ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ 1. Опиши речима елементе следећих скупова? 1) А={понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота, недеља} 2) В={Европа, Азија, Африка, Јужна Америка, Северна Америка, Аустралија, Антарктик} 2. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) имена четири твоја друга или другарице; 2) слова речи „школа“; 3) самогласници у српском језику; 4) првих пет слова абецеде. 3. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) природни бројеви мањи од 7; 2) бројеви треће десетице; 3) непарни бројеви између 15 и 23; 4) непарни бројеви мањи од 30, дељиви са 5. 4. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) двоцифрени бројеви чија је збир цифара 6 A = {60, 51, ____, ____, ____, ____}; 2) троцифрени бројеви чији је збир цифара 3 B = {300, ____, ____, ____, ____, ____}; 3) двоцифрени бројеви код којих је збир цифара већи од 15 C = {79, ____, ____, ____, ____, ____}; 4) двоцифрени и троцифрени бројеви чији је производ цифара 2 D = {12, ____, 112, ____, ____}; 5) двоцифрени бројеви код којих је цифра десетица за 3 већа од цифре јединица E = {30, 41, ____, ____, ____, ____, ____}.

10

5. Запиши, набрајањем елемената, скупове које чине: 1) сви двоцифрени бројеви који се могу записати коришћењем цифара 2, 5 и 7 A = {22, 25, 27, ____, ____, ____, ____, ____, ____}; 2) сви троцифрени бројеви који се могу записати цифрама 3, 0 и 1 B = {100, 101, 103, ____, ____, ____, ____, ____, ____, 300, 301, 303, ____, ____, ____, ____, ____, ____}. 6. Која од следећих тврђења су тачна: 1) 2 је елемент скупа { 5, 1} ; 2) запета је елемент скупа { a, b, c, d, e, f } ; 3) 12 није елемент скупа { 1, 2, ..., 99, 100} . 7. Дати су скупови А={1, 2, а, b, 3} и В={c, d, 4, 5, e}. На линијама стави један од знакова ∈ или ∉ тако да тврђења буду тачна. 4 ___ А, 2 ___ А, 3 ___ В, с ___ А, а ___ А, е ___ В, b ___ В, 5 ___ В. 8. Нацртај Венов дијаграм за скуп М ако је: 1) М = {7, 14, 21}; 2) М = {11, 33, 55, 77, 99}; 3) М = { ∗, ∇ , Δ ,◊,} ; 4) a ∈ M, b ∈ M, c ∈ M, d ∈ M и скуп М нема других елемената осим набројаних; 5) s ∈ M, g ∉ M, h ∈ M, p ∈ M, d ∉ M, f ∉ M и скуп М нема других елемената осим набројаних 9. Нацртај Венов дијаграм за скуп чији су елементи бројеви седме десетице дељиви са 3. 10. Запиши набрајањем елемената скуп дат на Веновом дијаграму.

11. Запиши набрајањем елемената скупове дате на Веновим дијаграмима.

11

12. На основу Веновог дијаграма са слике десно стави један од знакова ∈ или ∉ тако да тврђења буду тачна. 1___Р, 210___Р, 12___Р, 102___Р, 1 222___Р, 21___Р, 2___Р. 13. Запиши навођењем елемената и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) K = { x | x∈N и x < 5} 2) L = { n | n∈N₀ и n ≤ 7} 3) G = { s | s∈N и 4 ≤ s < 5} 4) D = { d | d∈N₀ и d + 4 ≤ 7} 5) S = { a | a∈ N и a је паран број пете десетице} 14. Скуп P = { a, e, и, о, у} можемо записати, описујући елементе, овако: P = { x | x је самогласник}. Запиши описујући елементе и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) A = { 2, 4, 6, 8, 10} 2) B = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} 3) C = { 123, 132, 213, 231, 312, 321} 4) 4) D = { 11, 15, 17, 51, 55, 57, 71, 75, 77} 15. Описујући елементе, као у претходном задатку, запиши скуп природних бројева: 1) мањих од 700 2) који су већи од 15 A = { x | x∈N₀ и x < ____} B = { x | x∈N₀ и ______} 3) који су мањи од 378, а већи од 111 A = { x | x∈N₀ и ____ < x < ____}

4) који су парни и мањи од 88 D = _____________________________

5) који су решења неједначине а + 16 < 163 E = _____________________________ 16. Која су од следећих тврђења тачна: 1) 0∈Р , ако је P = { r | r∈N и r < 4} 2) 201∈V , ако је V = {x | x∈N₀ и x > 200} 3) 4∈R , ако је R = { k | k ∈N и k + 3 > 7} 4) Δ∈G , ако је G = {g | g је геометријска фигура} 17. Одредити елементе следећих скупова: 1) А је скуп свих природних бројева мањих од 5, а већих од 7; 2) Е је скуп свих бројева који су решења једначине x⋅0 = 2 ; 3) С је скуп свих троцифрених бројева који се пишу само цифром 0. 18. Која су од следећих тврђења тачна: 1) {x | x je број осме стотине и x се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅ 2) {n | n je број девете стотине и n се пише само цифрама 2, 3 и 8} = ∅ 3) {k | k je број прве стотине и k је број који почиње цифром 2} = ∅ 19. Дат је скуп А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Који су од следећих скупова подскупови скупа А: В = {1, 3, 5}, C = {1}, D = {2, 4, 6, 8}, E = {0, 1}, F = ∅ , G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, H = {123}.

12

20. Одреди скупове А и В и одреди да ли је В⊂А:

21. Дат је скуп А = {a, b, c, d, e, f}. Која су од следећих тврђења тачна? 2) g∉A 3) {b, e} ⊂ A 4) c, f ⊂ A 1) a ∈ A ⊂ ⊂ 6) d A 7) { f } A 8) {e, f }∉A 9) { d, b, f, a, e, c} ∈ A

5) {a} ∈ A

22. Нека је А било који скуп. Која су од следећих тврђења увек тачна: 2) 1 ∈ А 3) ∅ ⊂ А 4) ∅ ∈ А 5) А ⊂ ∅ 1) А ⊂ А 23. Одреди све подскупове скупова: 1) А = {3} 2) B = {2, 5} 3) C = {3, 6, 9}

4) D = {x | x ∈ N и 6⋅x ≤ 24 }

24. Дат је скуп Е = {5, 55, 555, 5 555}. Одреди све: 1) једночлане подскупове 2) двочлане подскупове 25. Да ли су једнаки скупови: 1) A = {1, 2} и B = {2, 1} 3) E = {m, e, t, a, r} и F = {t, r, e, m, a}

3) трочлане подскупове

2) C = {n, a, d} и D = {s, a, n} 4) G = {K, R, E, D, A} и H = {d, r, e, k, a}

26. Одреди који скупови су међусобно једнаки: A = {1, 2, 1, 2} D = {1, 2, 12}

B = {1, 2, 2} E = {3, 3, 1, 3, 2}

C = {x | x∈N и x ≤ 3} F = {1, 23}

27. Ако је Е = {1, 2, 12, 23, 123, 234} и Н = {234, 123, 1, x, 12, 2} , одреди вредност променљиве х тако да је: 1) Е = Н x = ____ 2) Н ⊂ Е x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ 28. Одреди вредности променљивих p и q тако да важи: 1) {1, 3, 5} = {3, p, q} p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 2) {21, 49, p} = {7, q, 49} p = ___ и q = ___ 3) {2, 5, 8} ⊂ {2, 4, p, q} p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 4) {6, 26, q} ⊂ {26, p} p = ___ , а q = ___ или q = ___

13

29. Одреди вредности променљивих x и y тако да скупови А, В и С буду једнаки: А = {1,3,5,7,9}, В = {5,9, x,1,7} и С = {1,7,9, y,5,3}

30. Скуп K чине слова имена Јован, а скуп L слова имена Јована. Запиши елементе ова два скупа и одреди број њихових елемената. Које је од следећих тврђења тачно: K ⊂ L, K=L или L ⊂ K? 31. Два скупа која имају различити број елемената не могу бити једнака. Запиши два скупа која имају исти број елемената, а нису једнака. 32. Одреди број елемената скупa А ако je: 1) А = {1, 2, 33} 2) A = {1, 1, 1, 1} 4) A = {2, 4, {2}} 5) A = {1, 1, {2, 3, 4, 5}}

3) A = {5, 15, 55, 555, 5, 55} 6) A = {{1, 2}}

33. Одреди број елемената скупа С ако је: 1) С ={x | x∈N и x < 7342} 2) С ={x | x∈N и x је двоцифрен број} 3) C = { p | p∈N₀ и 483 < p < 841} 4) C = {g | g∈N₀ и g – 22 < 51} 34. Који од скупова A, B, C, D, E, F и G имају исти број елемената: A = {a, b, c}, B = {a, a, c}, C = ∅ , D = {a, {b, c}}, E = { ∅ }, F = {{a, b, c}}, G = {a, {a}, A}. 35. Одреди елементе и број елемената скупа С ако је: 1) А = {1, 2, 2, 3, 4, 5}, B = {10, 11, 12, 13, 13, 14} и С = { c | c∈ N и c = b – a, a ∈ A, b ∈ B} 2) A={8, 9, 10, 11, 12}, B={b | b∈N₀ и 3 ≤ b + 3 < 8 } и С={c | c∈N₀ и c = a : b, a ∈ A, b ∈ B} 3) А={a | a∈ N, 1≤ a < 3 или 4 < a < 9 }, B={b | b∈N и b – 2 ∈ A}, C={c | c∈N и c – 5 ∈ B} 36. Одреди вредности променљивих z, r и s знајући да за скупове M = {2, 4, 6, 8}, K = {4, 6, s} и L = {2, 4, z, r} важи: 1) K ⊂ L, n(L) = 3 2) L ⊂ M, n(L) = 2 3) L ⊂ M, n(L) = 3 4) L = M

ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА 1. За задате скупове А и В одреди А ∩ В ако је: 1) А = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} 2) А = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12} 3) А = {a, b, c, d}, B = {d, b, a, c} 4) А = {p, p, p, q, r, q}, B = {r, r, p, p} 5) А скуп слова имена Бранислав, а В скуп слова имена Бранимир 6) А ={n | n∈N и x ≤ 7}, B = {x | x∈N₀ и 5 ≤ x < 9} 7) А = {x | x∈N и x 10} 8) A = {p | p∈N и p > 41}, B = {q | q∈N и q > 30} 9) А = ∅ , B = { ∅ } 2. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе пресека скупова X и Y.

14

3. На основу Венових дијаграма запиши скупове и њихов пресек.

4. Нацртај Венове дијаграме скупова: 1) O = {12, 14, 16, 18} и I = {6, 12, 18} 2) M = {7, 17, 27} и N = {47, 37, 27} 3) А = { p, e, k, a, r} и B = {r, e, k, a} 4) V = ∅ и U = {0} 5) F = {x | x је непаран број прве десетице} и G = {x | x је паран број прве десетице} Који су од скупова дисјунктни? 5. Одреди вредности променљивих тако да је: 2) {2, 3, 5, 7, 11, 13}∩ {3, 5, x, y}= {3, 5, 7, 13} 1) {1, 3, 7, 9}∩ {2, 5, x, 7}= {3,7} 3) {a, 5, 12, 36}∩ {4, b, 12, 15}= {4, 36} 4) {34, 54, 74, 94}∩ {15, g, 67}=∅ 5) {7, 15, 21, 38, 41}∩ {9, 23, h, 38, s}= {15, 38} 6. За задате скупове Q и R одреди Q∪ R и број елемената овог скупа ако је: 1) Q = {1, 3, 5}, R = {7, 9, 11} 2) Q = {1, 4, 5, 7}, R = {4, 6, 7, 10} 3) Q = {12, 23, 34, 45}, R = {12, 45} 4) Q = {први}, R = {други} 5) Q скуп слова имена МИРОСЛАВ, а R скуп слова имена СОТИР 6) Q = {x | x∈N и 14 ≤ x ≤ 21}, R = {x | x∈N и x је паран број друге десетице} 7) Q = {x | x∈N и x > 46}, R = { x | x∈N и x ≤100 } 7. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе уније скупова X и Y. 8. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек и унију.

9. Зоран и Јован су другови из одељења. Зоран се дружи са Маријом, Тијаном, Јанком, Мирком, Здравком, Петром и Василијем, а Јован са Мирјаном, Јанком, Жељком, Луком, Василијем и Здравком. Одреди унију и пресек скупова имена Зоранових и Јованових другова. 10. Ако је А ⊂ В, које су од следећих једнакости увек тачне: 2) A∩ B = B 3) A∪ B = A 1) A∩ B = A 6) ∅ ∩ A = ∅ 7) A∪ ∅ = ∅ 5) A∩ ∅ = A

4) A∪ B = B 8) ∅ ∪ A = A

15

11. Одреди елементе скупа Е ако је: 1) P = {2, 5, 12, 13}, E ∩ P = {5}, E∪ P = {2, 5, 9, 12, 13, 17} 2) E ⊂ {a, b, c, d, e}, E ∩ { a, c, d } = {a}, n(E)=3 3) E∪ {5, 36, 59, 117} = {5, 26, 36, 59, 84, 117}, n(E)=3 12. Одреди: 1) n(A∪ B) ако је n(A)=5, n(B)=12 и n(A ∩ B)=3 2) n(A ∩ B) ако је n(A)=19, n(B)=17 и n(A∪ B)=23 3) n(B) ако је n(A)=8, n(A∪ B)=16 и n(A ∩ B)=3 13. Одреди D \ S и S \ D ако је: 1) D = {1, 3, 5, 6, 7, 8} и S = {2, 4, 7, 8, 9} 2) D = {1, 1, 3, 3, 3, 6, 9} и S = {1, 3, 6, 6, 9, 9, 9} 3) D = {маја} и S = {м, а, ј, а} 4) D = {3, 12, 22, 32} и S = {d | d∈N, d < 100 и d се пиши само цифрама 2 и 3} 5) D скуп слова речи НАСТАВНИК, а S скуп слова речи УЧЕНИК 6) D = {z | z∈N и 5 ≤ z − 2 < 8 } и S = {m | m∈N, m < 12 и m је дељиво са 4} 7) D = {p | p∈N ,p < 1000, збир цифара броја p је 3} и S = {3, 102, 300, 503, 1 200} 14. На Веновом дијаграму скупова М и Т десно шрафирај зеленом бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа М \ T, а црвеном бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа T \ M. 15. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек, унију и разлике.

16. Ако је L = {z, v, o, n, k, o} и V = {k, o, n, v, o, j}, која су од следећих тврђења тачна: 1) {z, v, o, n, o} ∈ L∪ V 2) {j, o, v, o} ⊂ L ∩ V 3) z ∈ L \ V 17. За скупове А = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, B = {12, 13, 15, 16, 17} и C = {13, 16} одредити СА(В), СА(С) и СВ(С). Одабери произвољне дисјунктне скупове K и L, такве да је K∪ L=А. У том случају одреди СА(K) и СА(L). 18. Одреди вредности променљивих тако да је: 1) {12, 17, 41, 55} \ {12, x, 21, 55} = {17} 2) {a, b, 32} \ {8, 11, 52} = {4, 32} 3) {p, 47, 200} \ {13, 18, r} = {47} 4) {14, 15, 16, f} \ {32, 33, 34, t} = {14, 15, 16} 19. Које су од следећих једнакости увек тачне: 2) A \ ∅ = ∅ 3) ∅ \ A = A 1) A \ ∅ = A

16

4) ∅ \ A = ∅

20. Ако је H ⊂ X, које су од следећих једнакости увек тачне: 1) H \ X = H 2) X \ H = ∅ 3) H \ X = ∅

4) X \ H = X

21. Ако је S ∩ D = ∅ , чему је једнако S \ D и D \ S? 22. Доврши попуњавање табеле како је започето:

\

∩

23. Одреди елементе скупова А и Е ако је: 1) А ∩ Е = {1, 3, 14}, A \ E = {2, 5, 38}, E \ A = {20, 22} Решење: Како је то је А = {2, ____, ____, ____, ____, ____} E = {20, ____, ____, ____, ____} 2) A ∩ Е = {a, d, f }, СA(E) = {e, k} 3) А∪ Е = {x| x ∈ ,N, x < 20 и x је дељиво са 3}, A \ E = {6, 15}, E \ A = {12} 4) А∪ Е={111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222}, A ∩ E={111, 222}, A \ E={112, 121, 122} 24. Ако је n(A) = 15, а n(B) = 7, колико највише, а колико најмање елемената могу имати 2) A ∩ B 3)A \ B 4) B \ A? скупови: 1) A∪ B 25. Одреди: 1) n(D∪ P) ако је n(D \ P) = 4, n(P \ D) = 3 и n(D ∩ P) = 3 2) n(K \ U) ако је n(U \ K) = 5, n(K∪ U) = 12 и n(U ∩ K) = 3 26. Одреди оне елементе које скуп А мора садржати ако је: 1) {1, 3, 5}∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} 2) А∪ {p, e, t} = {p, e, t, a, k} 3) A ∩ {p, e, t, a, k} = {p, e, t} 4) {2, 3, 4} ∩ A = {1, 2, 3, 4, 5} 27. Јадранка и Никола су одлучили да заједно прославе рођендан. Јадранка је позвала 15 другова, а Никола 12. Ако су 5 другова позвали и Јадранка и Никола, колико је укупно гостију позвано? 28. У једном одељењу од 27 ученика свако је морао да се одлучи за учење грађанског васпитања или веронауке. Ако се 14 ученика определило за грађанско васпитање и 17 за веронауку, колико ученика се определило за оба предмета?

17

29. У пошти је 115 особа. Њих 24 не шаље ни писма ни разгледнице. Разгледнице су послале 63 особе, а писма 44 особе. Колико особа је послало и писмо и разгледницу, а колико само једно од та два? 30. У једној туристичкој агенцији продају се аранжмани за летовање у Тунису и Египту. У колективу од 109 радника, 37 радника је одлучило да не иде на летовање преко ове агенције. Преостали радници су резервисали 42 аранжмана за Тунис и 34 аранжмана за Египат. Колико радника је резервисало само један, а колико радника оба аранжмана? 31. У европски летњи камп математичара дошло је 73 ученика од којих 38 ученика говори немачки језик, 25 ученика француски, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика не говори ниједан од ова два језика?

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА 1. На основу Веновог дијаграма записати елементе скупова P, Q и R.

2. Нацртај Венов дијаграм и одреди скупове А ∩ В ∩ С и А∪ В∪ С ако је: 1) A = {1, 4, 7, 11, 14}, B = {1, 3, 7, 12}, C = {5, 7, 13} 2) A = {a, s, d, f, g}, B = {a, f, g, k}, C = {a, d, f, k} 3) A = {s | s ∈N и s − 4 ≤ 5 }, B = {k | k ∈N, k x − 2 ≥ 4 } и С је скуп парних природних бројева прве десетице.

18

6. За скупове X, Y и Z, дате на Веновом дијаграму десно, одреди елементе скупова: 2) (Y \ Z)∪ (Z \ Y) 1) (X \ Z) ∩ (Y \ Z) 3) (Y \ Z) ∩ (Z \ Y) 4) (Y \ Z) \ (X∪ Y) 6) (Z∪ (X \ Y)) ∩ (Y \ Z) 5) (Z∪ X) \ СY(Х) 7. Осенчи део Веновог дијаграма у који уписујемо елементе скупова: 1) G∪ H∪ R 2) G ∩ H ∩ R 3) (G ∩ H)∪ R

5) H ∩ (R \ G)

9) (G∪ R) \ H

6) (R ∩ G)∪ (H \ G)

10) (H ∩ G)∪ (R \ G)

7) (H \ G) \ (R ∩ G)

4) (G∪ R) \ H

8) (R ∩ G)∪ (H\ (G∪ R))

11) ((G∪ R) \ (R ∩ G)) \ H

12) CG(R) ∩ H

8. Запиши користећи скуповне операције означене деловe Венових дијаграма како је започето: област V: _________________ област I: A \ (B∪ C) област II: (А ∩ В) \ С област VI: _________________ област III: _________________ област VII: _________________ област IV: _________________

19

9. Опиши обојене делове Венових дијаграма као што је започето :

Напомена: Задатке од 10. до 17. најлакше ћеш решити користећи се Веновим дијаграмима. 10. Одреди елементе скупа А ако је A∪ B∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} и (B∪ C) \ A = {4, 8, 9}. Решење:

Елементи 4, 8 и 9 једини су елементи које уписујемо у обојени део Веновог дијаграма, па је онда А = {___, ___, ___}

11. Одреди елементе скупа K ако је K∪ L∪ M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, M \ K={2, 4} и L \ K={4, 6}.

20

12. Одреди елементе скупова А, В и С ако је A∪ B∪ C = {p | p∈N и p је једноцифрен број}, A \ B = {1, 2, 3}, A \ C = {2, 3, 9}, B \ A = {5, 6} и B∩ C = {4, 6}. 13. Одреди елементе скупова P, Q и R ако је P∪ Q∪ R = {x | x∈N и 2 ≤ x < 9}, P ∩ Q ∩ R = {8}, R \ (P∪ Q) = {5, 6, 7}, (R∩ Q) \ P = {3}, (R∪ P) \ Q = ∅ и P ∩ (Q∪ R) = {4, 8}. 14. Одреди елементе скупова E, F и G ако је E∪ F∪ G = {a, b, c, d, e}, E ∩ F ∩ G = {b, c}, G ∩ (E∪ F) = {b, c, d, e}, (E ∩ F) \ G = {a}, E \ F = {d}. 15. Последњих пет година се организује новогодишња трка. Право учешћа имају ученици шестог, седмог и осмог разреда. До сада је из једне школе учествовало 295 ученика шестог, 289 ученика седмог и 236 ученика осмог разреда. И у шестом и у седмом разреду учествовао је 101 ученик, и у седмом и у осмом 112, а и у шестом и у осмом разреду 124 ученика. Све три године учествовало је 73 ученика. Колико ученика је учествовало: 1) на овој трци; 2) само у једном разреду; 3) два пута. 16. У једном одељењу петог разреда свако од ученика је послао своје радове на неки од следећих конкурса: литерарни, ликовни и математички. На литерарни конкурс радове је послало 19 ученика, на ликовни 18 ученика, а на математички 14 ученика. На литерарни и ликовни конкурс радове је послало 11 ученика, на ликовни и математички 8 ученика, а литерарни и математички 4 ученика. На сва три конкурса радове је послало 3 ученика. 1) Колико је ученика у том одељењу? 2) Колико ученика је послало радове на: а) тачно 1 конкурс б) тачно 2 конкурса в) најмање 2 конкурса г) највише 2 конкурса 17. Сваки од 23 испитаника гледао је неки од три дела филма. Први и други део је гледало 5, само први и трећи део 4, а други и трећи део 3 испитаника. Први део је гледало 15, а само трећи 5 испитаника. Ако су сва три дела гледала 2 испитаника, одреди колико испитаника је гледало: 1) само други део, 2) други део, 3) трећи део, 4) само први део.

21

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. На линији упиши број тако да једнакости буду тачне: 2) 2 378 + _____ = 2 713 + 2 378 1) 153 +742 = ____+153 2. Упореди не рачунајући вредности датих израза: 1) 318 + 2 579 ____138 + 2 579 2) 25⋅316 _____ 316⋅23 3. Израчунај здруживањем сабирака: 1) 2 01+ 576 + 409 + 214 3) 1+ 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50

3) 34⋅87 = 87⋅_____

3) 133 + 4 777 _____ 4 777 +133

2) 72 +73 +74 +75 +76 +77 +78 4) 7 + 8 + 9 + ... + 43 + 44 + 45

4. Израчунај на најједноставнији начин: 1) 25⋅66 + 25⋅16 2) 88⋅65 −78⋅65

3) 426⋅13 −13⋅326

4) 22⋅16 +16⋅57 + 21⋅16

5. Како се мења: 1) разлика ако умањилац повећамо за 221, 2) количник ако делилац смањимо 3 пута, 3) производ ако чинилац повећамо 5 пута, 4) разлика ако умањеник смањимо за 493, 5) количник ако дељеник повећамо 8 пута, 6) збир ако сабирак повећамо за 102, 7) разлика ако умањеник смањимо за 173, а умањилац повећамо за 284, 8) производ ако један чинилац повећамо 5 пута, а други смањимо 10 пута, 9) збир ако један сабирак повећамо за 21, а други за 492, 10) количник ако дељеник повећамо 6 пута, а делилац смањимо 3 пута. 6. Ако је 4 820 − 3 913 = 907 , израчунај: 1) (4 820 − 307)− 3 913

2) 4 820 −(3 913 −723)

7. Ако је 1416 : 6 = 236 , израчунај: 2) 1416 : (6⋅4 ) 1) (1416 : 2): 6

3) (4 820 + 364 )−(3 913 +726 )

3) (1416 : 3): (6 : 3)

8. Израчунај: 1) 84 − 63 : 7 +11 3) (25⋅25 − 255)− 525 : 25 5) 1216 : 8 +(234 +11)⋅2 −18 : (17 − 8 ) 7) (618 −(312 : 4 + 344 )) : 14 −13

4) (1416⋅12): (6⋅6 )

2) 210 + 3⋅(42 + 634 ) 4) (73 +12⋅8 )− 4⋅(33 −11⋅3) 6) 2152 + 4⋅(618 −13⋅7)⋅3 − 3⋅(69 + 21⋅17)

8) (513 : 3 + 2⋅52) : 5 − 2⋅(22 −(6666 : 22) : 101)

9. Ако је дељеник број 1 347, количник 74, а остатак 15, одреди делилац. 10. Ако је количник 191, делилац 11, а остатак 10, одреди дељеник. 11. Количник два: 1) узастопна природна броја 2) узастопна непарна броја јесте природан број. Одреди те бројеве. 12. Израчунај број:

1) за 283 већи од 977,

13. Израчунај број: 1) за 3 већи од претходника броја 2 300,

22

3) узастопна парна броја

2) за 99 мањи од 10 001.

2) 19 пута већи од следбеника броја 188.

14. За колико је 4 291 већи од броја записаног истим цифрама али обрнутим редоследом? 15. Израчунај број за 5 238 већи од збира бројева 231 и 3 979. 16. Од збира бројева 2 374 и 7 297 одузми количник бројева 34 578 и 17. 17. Израчунај количник збира и разлике бројева 700 и 650. 18. Двоструки збир бројева 3 105 и 17 703 подели бројем за два већим од најмањег троцифреног броја. 19. Збир три узастопна природна броја је 51. Одреди те бројеве. 20. Збир три парна узастопна природна броја је 132. Одреди те бројеве. 21. Збир четири непарна узастопна броја је 216. Одреди те бројеве. 22. Број 4 928 представи као збир два сабирка тако да је један сабирак: 1) за 484 већи од другог, 2) три пута већи од другог. 23. Срђан има 200 динара у једном и 50 динара у другом џепу панталона. Ако из оба џепа извади по 40 динара, колико новца ће му остати у џеповима? 24. Марија има 626 динара, а Милева 1 034 динара. а) Колико новца Милева треба да да Марији да би имале исте суме? б) Ако Милева да Марији 250 динара, која од њих ће имати више новца и за колико? 25. Цена математичког часописа који излази једном месечно јесте 90 динара, а годишња претплата на исти часопис је 950 динара. Колико ће Јелена новца да уштеди ако уплати годишњу претплату уместо да свакога месеца купује часопис? 26. У једној пекари се дневно потроши 72 килограма брашна, а у другој 11 килограма више. Колико се килограма брашна потроши у обе пекаре за једну годину ако година није преступна? 27. Мајстор Гиле је у својој фабрици у јуну сашио 1 526 одела, у јулу 937 одела више него у јуну, а у августу 2 101 одело. Колико је мајстор Гиле сашио одела за ова три месеца? 28. Један музички диск је изашао у тиражу од 150 000 дискова. Путем интернета је купљено 12 527 дискова, 7 263 диска су поклоњена, а остатак је послат у продавнице. Ако је остало непродато 42 625 дискова, колико је продато у продавницама? 29. У једном аутобусу је данас превезено 1 628 путника, у другом 416 путника мање, а у трећем 11 путника више него у прва два заједно. Колико је укупно путника данас превезено у сва три аутобуса? 30. У три села живи 11 130 становника. У првом и другом селу живи 8 421, а у првом и трећем 5 837 становника. Колико свако село има становника?

23

31. У три погона једне фабрике ради 4 933 радника. У првом погону ради четири пута више радника него у другом, а у трећем 13 радника више него у другом. Колико радника ради у сваком погону? 32. У две просторије у пошти налази се 1 117 пошиљки. Када је поштар Мирослав изнео из једне собе 493 пошиљке, у њој је остало 7 пута мање пошиљки него у другој соби. Колико је било пошиљки у свакој соби? 33. Нацртај бројевну полуправу ако је јединична дуж дужине: 1) 1cm 2) 2cm 3) 15mm 34. У квадрате упиши природне бројеве који одговарају тачкама на бројевној полуправој:

35. На бројевној полуправој прикажи решења једначина: 1) x + 3 = 7 2) x − 3 = 8 3) 805−x = 798 4) (43−x )+ 8 = 44 5) 84 : (22⋅x− 2)+ 3 = 5 36. На бројевној полуправој прикажи решења неједначина и одреди колико природних бројева задовољава дате неједнакости: 1) x 9 3) 4 < x < 5 37. На бројевној полуправој 15mm представља растојање од 30 метара у природи. Прикажи на бројевној полуправој удаљеност неких објеката од Снежиног стана: продавница је удаљена 120m , пошта 240m , школа 150m , трафика 30m , ресторан 330m и пекара 210m . 38. „Скакавац” је на бројевној полуправој у тачки 0. При првом скоку скочи за дужину 1, у другом скоку за дужину 2, у трећем за дужину 3 и тако даље. У којој тачки на бројевној полуправој ће се налазити „скакавац” после петог скока? А после 13 скокова? 39. Зец се на бројевној полуправој налази у тачки 215 и скаче ка њеном почетку. У првом скоку скочи за дужину 20, у другом за дужину 19, у трећем за дужину 18, у четвртом за дужину 17, све док не скочи за дужину 1. Да ли ће зец пронаћи шаргарепу ако се она налази у тачки 110? А у тачки 4? Где ће се на бројевној полуправој налазити зец на крају свог пута? 40. Кенгур „скаче по бројевној полуправој” и може да доскочи само у тачке које су означене природним бројевима. Креће из Мелбурна, који је представљен тачком 998, и скаче ка Сиднеју, који је представљен тачком 0. У првом скоку прескочи растојање 4, у другом растојање 3, у трећем растојање 4, у четвртом растојање 3 и наставља овако да скаче. Да ли ће кенгур на крају да доскочи у тачку којом је представљен Сиднеј и ако хоће, у колико скокова? Ако је Аделаида означена у тачки 759, да ли ће кенгур на путу за Сиднеј скочити у тачку у којој је представљен овај град? Ако хоће, колико ће скокова направити до Аделаиде?

24

ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ 1. Израчунај вредност израза 12⋅s + 3 ако је: 1) s = 2 2) s = 5 3) s = 9 4) s =13

6) s =115

5) s = 31

2. Израчунај вредност израза 12⋅p−17 + 420 : p ако је: 1) p = 3 2) p = 7 3) p =15 4) p = 42 3. Израчунај вредност израза (250−120 : d)⋅2 + 2⋅d ако је: 1) d = 4 2) d = 6 3)d = 8 4) d =15

5) p =140

6) p= 210

5)d = 24

6)d = 60

4. Израчунај вредност израза 2⋅a−3⋅b+5 ако је: 2)a =13 , b =1 3) a =102 ,b = 47 1) a = 8 , b = 5

4) a =10 , b = 6

5. Израчунај вредност израза (p−q):3+3⋅p−q ако је: 1) p=24, q=15 2) p=17, q=11 3) p=31, q=13

4) p=802, q=370

6. Израз x⋅x−2x+7 можемо означити са f(x), тј. f(x)=x⋅x−2x+7. Ако заменимо x са бројем 3, тада вредност израза можемо записати овако f(3) = 3⋅3 − 2⋅3 +7 =10 . Аналогно овоме израчунај: 1) f(4) 2) f(7) 3) f(11) Упамти: производ x⋅x краће записујемо x2. 7. Попуни таблице: n

1

7

12

14

51

a

3⋅n−2

( a−2 )⋅a−4

362−7⋅n

6⋅a−3⋅(a−2)

4

8

12

13

15

21

a

7

5

9

7

11

15

13

17

9

b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a⋅a+5⋅b−3⋅a b⋅b+(a−b)⋅(a+b) 12⋅(3⋅b+a)−(14⋅a−6) : 4 (a−(a−b) : 3)⋅7−5 8. Нека је x природан број. Запиши број: 1) за 15 већи од x 2) 3 пута већи од x 3) за 3 већи од двоструке вредности броја x 4) количник броја x и броја за 19 мањег од њега 5) производ претходника и следбеника броја x

6) за 12 мањи од седмине броја x

9. Нека су a и b природни бројеви. Запиши следеће изразе: 1) збир бројева a и b 2) разлику бројева a и b 3) збир двоструког броја b и шестине броја a 4) производ збира и разлике бројева a и b 5) разлику броја за два мањег од троструког броја a и броја за шест мањег од петине броја b

25

10. Попуни табелу: претходник број следбеник

2⋅a−4 a

a2

a+1 3⋅a

11. Нека је страница квадрата a. Одреди обим и површину квадрата ако је a ∈ {1, 3, 5, 7, 9}. 12. Које вредности може имати променљива p, тако да вредност израза (2378-p):373 буде природан број? 13. Одреди најмању и највећу могућу вредност израза 801− 3⋅k ако је k: 1) једноцифрен број 2) двоцифрен број 14. Посматрајмо природан број d већи од 9. Поређај по величини, од најмањег до највећег, следеће бројеве: 1) d− 6 , d+ 3 , d 2) 2⋅d, 3⋅d −7 , d+ 9 , 3⋅d, d −1 15. У следећој табели бројевима из прве врсте придружени су бројеви из друге по следећем правилу: x → 2⋅x+1. 1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

... ...

x 2⋅x+1

Уочи правило по коме се бројевима из прве врсте придружују бројеви из друге и доврши попуњавање табела. 1 1

2 3 1 5

3 5

4 7 2 8

5

3 11

x

4 14

1 2 5 17

2 5 6

3 8 7

4 11 8

5

x

x

16. Бака је Сари дала 37 бомбона. Сара је својим другарицама давала по 5 бомбона. Колико је Сари остало бомбона ако је бомбоне поделила са: а) 3, б) 4 другарице? Запиши изразом колико је Сари остало бомбона ако је поделила бомбоне са x другарица. Колико је највише другарица могла да почасти бомбонама? 17. Милош је отишао на седмодневно зимовање на Златибор са школом. Родитељи су му послали укупно 1 500 динара. Учитељица је Милошу дневно давала по 200 динара. Колико је Милошу остало новца после: 1) 2 дана, 2) 4 дана, 3) 7 дана? Записати изразом колико је Милошу остало новца после x дана.

26

СКУП - РЕШЕЊА СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. 1) 23 658 2) 8 000 000 000 3) 1 000 020 4) 3 015 006 5) 17 001 6) 600 060 006 2. 728 531

1 004 007

2 805

13 905

8 005 501 347

јединица

728 531

1 004 007

2 805

13 905

8 005 501 347

десетица

728 53

100 400

280

1 390

800 550 134

јединица хиљада

728

1 004

2

13

8 005 501

стотина хиљада

7

10

0

0

80 055

јединица милиона

0

1

0

0

8 005

3. 1) 3 065 ; 2) 38 607 ; 3) 15 043. 4. 1) ; 2) ; 3) . 5. 1) ≤ ; 2) ≥ ; 3) ≥ ; 4) ≥ . ⊥

⊥

⊥

6. 1) x ∈ {1, 2, 3, ..., 170, 171}; 2) x ∈ {1, 2, 3, ..., 360, 361}; 3) x ∈ {1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2 000} ; 4) x ∈ {3 425, 3 426, ..., 5 242, 5 243}. 7. СХ ДХ ЈХ С Д Ј 23 456 2 3 4 5 6 24 547 2 4 5 4 7 576 576 5 7 6 5 7 6 333 000 3 3 3 0 0 0 99 999 9 9 9 9 9

8. 1) 38 947 = 3⋅10 000 + 8⋅1000 + 9⋅100 + 4⋅10 +7⋅1; 2) 15 035 =1⋅10 000 + 5⋅1000 + 3⋅10 + 5⋅1 3) 100 700 =1⋅100 000 +7⋅100 ; 4) 5 030 = 5⋅1000 + 3⋅10 5) 77 007 = 7⋅10 000 +7⋅1000 +7⋅1; 9. 1) 35 781; 2) 806 329; 3) 102 053; 4) 85 320; 5) 97 320; 6) 76 340. 10. претходник број следбеник

2 507

0

2 008 4 999 999 999 12 998

4 700

1

2 009

1 001 1 300 4 701

2

2 010 5 001 1 000 001 13 000

999

1 298 4 699

2 508 1 000 1 299 2 509

5 000 1 000 000 12 999

11. 1) 1 800 – 1 798 = 2 2) 8 001 – 7 999 = 2 3) 2 Напомена: Разлика следбеника и претходника било ког природног броја је увек 2. 12. 1) 3466 − 3438 −1= 28 −1= 27 2) 13 3) Између природних бројева a и b има a−b−1 других природних бројева. 13. 1) 9 2) 90 3) 90 000 4) 90 000 000 Има четири парна и пет непарних једноцифрених природних бројева. У свим осталим случајевима има једнак број парних и непарних природних бројева. 14. 1) Парни се завршавају цифрама 0, 2, 4, 6 и 8, а непарни цифрама 1, 3, 5, 7 и 9. 2) Најмањи непаран – 10 001, а највећи паран 99 998. 3) Није могуће. Ако је исти број навијача обе екипа, њихов укупан број мора да је паран.

27

15. 6 и то су: 347, 374, 437, 473, 734 и 743 16. 1) 16 2) 54 17. 1) 96 2) 500 18. Ако број почиње са 42 ∗ ∗∗∗ онда на преостала 4 места може стајати било која од преосталих цифара, па је број могућности 24, а ако почиње са 45∗ ∗∗∗ на трећем месту могу стајати цифре 0 или 2, а на осталим било која од преосталих цифара, па је број могућности 12. Дакле, укупно је могуће написати 36 тражених бројева. 19. Најмањи је 2 046, највећи је 8 642. 20. Највећи је 9 977 442, најмањи је 1 001 224. 21. 1) Δ ∈ {5, 6, 7, 8, 9} 2) Δ ∈ {7, 8, 9} 3) За било коју цифру је задовољава неједнакост 4) Δ ∈ {1, 2, 3, 4} 22.

број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0 збир цифара 5 3 21 7 1 12 0 производ цифара 6 1 0 7 0 30 0 23. 1) 10. Четири сабирка која дају збир 3 јесу: 1+1+1+ 0 , 1+ 2 + 0 + 0 или 3 + 0 + 0 + 0 , па су тражени бројеви: 1110,1101, 1011, 1200, 1020, 1002, 2100, 2 010, 2 001 и 3 000 2) 4. Четири чиниоца која дају производ 2 јесу 2⋅1⋅1⋅1 , па су тражени бројеви : 1112, 1121, 1211 и 2111 24. Три сабирка која дају збир 5 јесу 5 + 0 + 0, 4 +1+ 0, 3 + 2 + 0, 3 +1+1, 2 + 2 +1, па су тражени бројеви: 500, 410, 401, 140, 104, 320, 302, 230, 203, 311, 131, 113, 221, 212 и 122, а њихов збир је 3 720. 25. 1111− 991=120 26. Попунити укрштеницу 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 66 77 22 4 2 3 0 7 3 4 6 11 55 99 9 10 8 9 3 6 6 1 88 33 44 11

5

12

3

1

5

14

6

13

5

3

8

7

3

5

4

16

9 17

7

18

2 20

3

21

3

1

22

2

28

8

0

8

2

1

0

5

2

6

4

25

0

9

1

5

2 27

9

1

28

3

1 23

26

2

19

6

24

8

2

15

29

4

6

4

30

9

28. а)1) (7 +7) : 7 −7 : 7 =1 (7 +7) : 7 +7 −7 = 2 (7 +7) : 7 +7 : 7 = 3 (7 +7 +7 +7) : 7 = 4 7 −7 : 7 −7 : 7 = 5 (7⋅7) : 7 −7 : 7 = 6 7 +7 +7 −7 −7 = 7

2) (66 + 66) : 6 = 22 6⋅6 + 6 − 6 : 6 = 41 (6 + 6 + 6)⋅6 − 6 =102 666 : 6 − 6 =105 66 + 66 + 6 =138 666 − 6⋅6 = 630 666 + 66 = 732

б) 1) ((16 + 4 )⋅2 − 8 ) : 4 +10 =18 2) 12 : (3 +(24 − 20 ) : 4 )+(6 − 2) : 2 = 5

29. 1)

30.

2)

3)

4)

5 55 + 51

918 189 + 891

152 152 + 251

6 46 646 + 3 646

111

1998

555

4 344

1)

2)

3)

31. 1) 170, 390, 390, 930, 1 730. Број 755 је подједнако удаљен и од 750 и од 760. 2) 1 800, 2 800, 8 200, 28 100, 36 200. Број 12 450 је подједнако удаљен и од 12 400 и од 12 500. 3) Збирови су око 750, 1 370, 5 660, 3 610, 17 780. 32. 10kg . За 424 динара су купили 8kg спанаћа и на ову количину су добили још 2kg бесплатно. Да су платили два пута више, донели би 21kg спанаћа. 33. Површина P=a⋅b a 3 4 b 1 3 4

b

Обим O=2⋅(a+b) a 3 4 1

8

10

2

6

8

2

10

12

6

18

24

6

18

20

34. 1) 9⋅1+ 90⋅2 + 9⋅3 = 9 +180 + 27 = 216 2) 5 3) 30 пута цифра 1, а 20 пута цифра 9 4) Највише цифра 1, а најмање цифра 0 5) 5 пута, и то код бројева 4 и 5, у броју 45, код бројева 45 и 46, у броју 54 и код бројева 54 и 55. 35. (9⋅1+ 51⋅2)+(9⋅1+71⋅2)=111+151= 262 . 36. (5⋅1+ 29⋅2)+(4⋅1+ 45⋅2 + 23⋅3)= 63 +163 = 226 . Укупно је употребљено 226 цифара. Како на левој страни има 34 куће, то је 5 нумерисано једноцифреним, а 29 двоцифреним бројевима. Са десне стране, 4 куће су нумерисане једноцифреним, 45 двоцифреним и 23 троцифреним бројевима. 37. 1)

31⋅15 155 31 31 465

2)

428⋅57 2996 2140 2140 24396

38. 3

1

2

6

3

1

3

9

5

1

4

20

4

2

1

8

1

1

1

1

1

5

7

35

9

3

7

8

8

11

29

39. 1) 76 2) 2 007 3) 1 592 4) 1 979 5) 874 40. 1) I + I = II 2) VI + IV = X 3) X + I = XI 4) XIX + I = XX 5) IV – III = I 41. Трећи низ. 1) Проширени скуп природних бројева N0 2) Низ парних природних бројева 4) Низ непарних природних бројева 42. 1) 5 512 2) 3 240 1 076 253 1 0 2 852 2 660 1 626 815 308

1 226

811 507

43. 1) 164, 183, 202 2) 128, 256, 512 3) 34, 55, 89 4) 57, 73, 91 5) 51, 66, 83 6) 64, 81, 100

1 434

415 304

1 164

1 134

1 019 111

823

908

252 571

770

1 251

320 450

44. Једно решењe је:

СКУПОВИ  ЕЛЕМЕНТИ, ОСНОВНЕ ОСОБИНЕ, ВЕНОВИ ДИЈАГРАМИ 1. 1) А је скуп имена дана у недељи 2) В је скуп имена континената 2. 2) А = {ш, к, о, л, а} 3) B = {а, е, и, о, у} 4) С = {a, b, c, d, e} 3. 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) B = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} 3) C = {17, 19, 21} 4) D = {5, 15, 25} 4. 1) A = {60, 51, 42, 33, 24, 15} 2) B = {300, 210, 201, 120, 102, 111} 3) C = {79, 88, 89, 97, 98, 99} 4) D = {12, 21, 112, 121, 211} 5) E = {30, 41, 52, 63, 74, 85, 96} 5. 1) A = {22, 25, 27, 52, 55, 57, 72, 75, 77} 2) B = {100, 101, 103, 110, 111, 113, 130, 131, 133, 300, 301, 303, 310, 311, 313, 330, 331, 333} 6. 1) Не 2) Не 3) Не 7. 4∉А, 2 ∈ А, 3∉В, с∉А, а ∈ А, е ∈ В, b∉В, 5 ∈ В. 8.

30

9.

10. 1) А = {g, k, r, t} 2) B = {Марија} 3) C = {1, 6, 8} 11. 1) P = {2, 3, 4, 7, 10}, R = {1, 3, 4, 5, 7, 9} 2) H = {d, a, p}, K = {p, z} 3) A = {8, 12, 14, 18, 20}, B = {14, 16, 20}, C = {8, 10, 20} 4) S = {t, h}, D = {s, h, n, f}, F = {f, r} 12. 1∉Р, 210 ∈ Р, 12∉Р, 102 ∈ Р, 1 222∉Р, 21 ∈ Р, 2 ∈ Р.

2) L= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 3)G = {4} 13. 1)K = {1, 2, 3, 4} 4) D= { 0, 1, 2, 3} 5) S= { 42, 44, 46, 48, 50} 14. 1) A = { x | x∈N, x је паран број, x ≤ 10} 2) P = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише истим цифрама} 3) C = { x | x∈N, x је троцифрен број који се пише само цифрама 1, 2 и 3} 4) D = { x | x∈N, x је двоцифрен број који се пише неком од цифара 1, 5 или 7} 15. 1) A = { x | x∈N и x < 700} 2) B = { x | x∈N и x > 15} 3) A = { x | x∈N и 111 < x < 378} 4) D = { x | x∈N, x < 88 и x је паран број} 5) E = { a | a∈N и a je решење једначине а + 16 < 163} 16. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно 4) Тачно 17. 1) A=∅ 2) E=∅ 3) C=∅ 18. 1) Нетачно 2) Тачно 3) Нетачно 19. B ⊂ A, C ⊂ A, F ⊂ A, G ⊂ A 20. 1) A = {1, 3, 5} , B = {1, 5} ,B ⊂ A 2) A = {2, 3, 5} , B = {2, 3, 5} , B ⊂ A 3) A = {1, 8, 12} , B =∅ , B ⊂ A 4) A = {8, 9} , B= {7, 8, 9} , B ⊄ A 5) A = {2, 4, 5} , B = {0, 3}, B ⊄ A 21. 1) Тачно 2) Тачно 3) Тачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Нетачно 7) Тачно 8) Тачно 9) Нетачно 22. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно 4) Нетачно 5) Нетачно

23. 1) ∅, {3} 2) ∅, {2}, {5}, {2, 5} 3) ∅, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9} 4) ∅ , {1} , {2} , {3} , {4} , {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} 24. 1) {5}, {55}, {555}, {5 555} 2) {5,55}, {5,555}, {5, 5 555}, {55, 555}, {55, 5 555}, {555, 5 555} 3) {5, 55, 555}, {5, 55, 5 555}, {5, 555, 5 555}, {55, 555, 5 555} 25. 1) јесу 2) нису 3) јесу 4) нису 26. A=B, C=E 27. 1) x = 23 2) x =1 или x = 2 или x =12 или x= 23 или x =123 или x = 234 28. 1) p =1 и q= 5 или p = 5 и q =1 2) p = 7 и q = 21 3) p = 5 и q = 8 или p = 8 и q= 5 4) p= 6 , а q= 6 или q = 26 29. x = 3 , а y =1 или y = 3 или y = 5 или y = 7 или y = 9

31

30. K = {Ј, о, в, а, н}, L = {Ј, о, в, а, н}. n(K)=n(L)=5. Тачна су сва три тврђења. 31. A= {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, n(A)=n(A)=3, A ≠B 32. 1) n(A)= 3 2) n(A)=1 3) n(A)= 4 4) n(A)= 3 5) n(A)= 2 6) n(A)=1 33. 1) n(C)= 7 342 2) n(C)= 90 3) n(C)= 357 4) n(C)= 73 34. n(A)=n(G), n(B)=n(D), n(E)=n(F) 35. 1) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, n(C)= 9 2) C = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12}, n(C) =10 3) C = {8, 9, 12, 13, 14, 15}, n(C)= 6 36. 1) s = 2 , а z=6, r ∈ {2,4,6} или r=6, z ∈ {2,4,6} 2) z=2, r=2 или z=2, r=4 или z=4, r=2 или z=4, r=4 3) z=6, r ∈ {2,4,6} или z=8, r ∈ {2,4,8} 4) z=6, r=8 или z=8, r=6

ОСНОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА СКУПОВИМА 1. 1) A∩B = {2, 3} 2) A∩B = {6} 3) A∩B = {a, b, c, d} 4) A∩B = {p,r} 5) A∩B= {Б, р, а, н, и} 6) A∩B = {5, 6, 7} 7) A∩B = {11, 12} 8) A∩B= {x | x∈N и x > 41} 9) A∩B=∅ 2.

3. 1) S ={1, 7 , 8 , t , d }, D ={7 , 8 , a, e , t }, S ∩ D ={7 , 8 , t } 2) Z ={u} , T ={u} , Z ∩T ={u} 3) G ={12 , 21}, H ={1, 2 , 12}, G ∩ H ={12} 4) W ={4 , 44}, Q ={7 , 77},W ∩ Q =∅ 4.

5. 1) x =3 2) x =7 , y =13 или x =13 , y =7 3) a = 4 , b = 36 4) g је било који број који не припада скупу {34, 54, 74, 94} 5) h =15 , s ∉ {7 , 21, 41} или s =15 , h ∉ {7 , 21, 41} 6. 1) 3) 5) 6) 7)

32

Q ∪ R ={1, 3 , 5 , 7 , 9 , 11}, n(Q ∪ R )= 6 2) Q ∪ R ={1, 4 , 5 , 6 , 7 , 10}, n(Q ∪ R )= 6 }, n(Q ∪ R )=2 Q ∪ R ={12 , 23 , 34 , 45}, n(Q ∪ R )= 4 4) Q ∪ R ={први, други} Q ∪ R = {М, И, Р, О, С, Л, А, В, Т} , n(Q ∪ R )=9 Q ∪ R ={12 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21}, n(Q ∪ R )= 9 Q ∪ R = N N. Скуп Q ∪ R = N има бесконачно много елемената.

7.

8. 1) 2) 3) 4) 5)

G ={5 , 8 , 9}, H ={3 , 5 , 8}, G ∩ H ={5 , 8}, G ∪ H ={3 , 5 , 8 , 9} G ={2 , 3 , 11}, H ={11} , G ∩ H ={11} , G ∪ H ={2 , 3 , 11} G ={a, d , v }, H ={j , v }, G ∩ H ={v } , G ∪ H ={a, d , j , v } G ={t , q, r , h, x }, H ={r , x , h}, G ∩ H ={r , x , h}, G ∪ H ={t , q, r , h, x } G ={1, 2 , 9}, H ={5 , 6}, G ∩ H =∅ , G ∪ H ={1, 2 , 5 , 6 , 9}

9. Нека је J скуп имена Јованових, а Z скуп имена Зоранових пријатеља. Тада је: Ј ∪ Z = {Марија, Тијана, Јанко, Мирко, Здравко, Петар, Василије, Мирјана, Жељко, Лука} Ј ∩ Z = {Јанко, Здравко, Василије} 10. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Тачно 5) Нетачно 6) Тачно 7) Нетачно 8) Тачно 11. 1) Å E= {5, 9, 17} 2) E = {a, b, e} 3) E = {5, 26, 84} или E = {26, 36, 84} или E = {26, 59, 84} или E = {26, 84, 117} 12. 1) n( A∪ B )= n( A)+n(B )−n( A∩ B )= 5+12−3 =14 2) n( A∩ B )=13 3) n(B )=11 13. 1) D \ S ={1, 3 , 5 , 6}, S \ D ={2 , 4 , 9} 2) D \ S =∅ , S \ D =∅ 3) D \ S = {маја}, S \ D = {м, а, ј, а} 4) D \ S ={12} , S \ D ={2 , 23 , 33} 5) D \ S = {A, C, T, B}, S \ D = {У, Ч, Е} 6) D \ S ={7 , 9}, S \ D ={4} 7) D \ S ={12 , 21, 30 , 111, 120 , 201, 210}, S \ D = {503, 1200} 14.

15. 1) K = {2, 3, 4, 7, 8, 9}, T = {1, 2, 4, 5, 7}, K ∪T ={1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9}, K ∩T ={2 , 4 , 7} K \ T ={3 , 8 , 9}, T \ K ={1, 5} 2) K ={a, d , h}, T ={d , h}, K ∪T ={a, d , h}, K ∩T ={d , h}, K \ T ={a} , T \ K =∅ 3) K = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, Т = {Ена, Миа}, K ∪ Т = {Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, K ∩ Т = {Ена, Миа}, K \ Т = {Ана, Мира, Оља}, T \ K =∅ 4) K = {122, 123, 132, 133}, T = {222, 223, 232, 233}, K ∩T =∅ , T \ K ={222 , 223 , 232 , 233} K \ T ={122 , 123 , 132 , 133}, K ∪T ={122 , 123 , 132 , 133 , 222 , 223 , 232 , 233}

16. 1) Тачно 2) Нетачно 3) Тачно 17. C A (B )={11, 14}, C A (C )={11, 12 , 14 , 15 , 17}, C B (C )={12 , 15 , 17}. За дисјунктне скупове K и L, такве да је K∪ L=А, важи C A (K )= L и C A (L )= K . 18. 1) x = 41 2) a = 4 , b ∈ {8, 11, 32, 52} или b =4 , a ∈ {8 , 11, 32 , 52} 3) r = 200 , p ∈ {13, 18, 47, 200} 4) t може бити било који број осим 14, 15 и 16, а f ∈ {14, 15, 16, 32, 33, 34, t}

33

19. 1) Tачно 2) Нетачно 3) Нетачно 4) Tачно 20. 1) Нетачно 2) Нетачно 3) Tачно 4) Нетачно 21. S \ D = S , D \ S = D 22. B \ A, A ∩ B, R \ P, (M \ N )∪(N \ M ) , S \ L

23. 1) A = {1, 2, 3, 5, 14, 38}, E = {1, 3, 14, 20, 22} 2) A ={a, d , e , f , k }, E ={a, d , f } 3) A = {3, 6, 9, 15, 18}, E = {3, 9, 12, 18} 4) A = {111, 112, 121, 122, 222}, E = {111, 211, 212,221, 222} 24. 1) највише 22 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 15 (ако је B ⊂ A ) 2) највише 7 (ако је B ⊂ A ), најмање 0 (ако је A∩ B =∅ ) 3) највише 15 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 8 (ако је B ⊂ A ) 4) највише 7 (ако је A∩ B =∅ ), најмање 0 (ако је B ⊂ A ) 25. 1) n(D ∪ P )= n(D \ P )+n(D ∩ P )+n(P \ D )= 4 +3+3 =10 2) n(K \ U )=4 26. 1) 2 и 4 2) а и k 3) p, e и t 4) дата једнакост је немогућа јер су у пресеку елементи који нису у првом скупу. 27. Укупно су позвали 22 госта. Користи једнакост n( A∪ B )= n( A)+n(B )−n( A∩ B ) 28. За учење оба предмета определила су се 4 ученика. 29. И писмо и разгледницу је послало 16 људи, а њих 75 је послало само једно од то двоје. 30. Оба аранжмана су резервисала 4 радника, а њих 68 један аранжман. 31. 22 ученика не говоре ни немачки ни француски.

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАЦИЈА 1. 1) P = {1, 2, 3, 4, 8}, Q = {3, 4, 6, 7, 9}, R = {4, 5, 6, 8} 2) P ={a, d , e}, Q ={a, b, d }, R ={d , e , f } 3) P ={2 , 3 , 9}, Q ={1, 4 , 7 , 8 , 9}, R ={5 , 7 , 8} 2.

1) A∪ B ∪ C ={1, 3 , 4 , 5 , 7 , 11, 12 , 13 , 14} A∩ B ∩ C ={7}

2) A∪ B ∪ C ={a, d , f , g , k , s} A∩ B ∩C ={a, f }

3) A∪ B ∪C ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}, A∩ B ∩C ={9} 3. 1) K ∪ L ∪ S ={12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20} 2) K ∩ L ∩ S ={16} 3) (L ∩ K )∪ S ={14 , 16}∪{15 , 16 , 17 , 18 , 19}={14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19} 4) (S ∪ L )∩ K ={13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19}∩{12 , 14 , 16 , 18 , 20}={14 , 16 , 18}

34

4. 1) P ∪ ( Q ∩ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с} 3) ( R ∩ P ) ∪ ( Q ∩ P ) = {о, к} 5. 1) ( A∩ B )\ C ={7} 4) ( A∪ B )\ C ={5 , 7 , 9}

2) 5)

2) R ∩ ( Q ∪ R ) = {а, л, е, к, с} 4) ( Q ∪ P ) ∩ ( P ∪ R ) = {м, и, р, к, о, а, л, с}

(B ∩ C )\ A ={10} (B ∪ C )\ A ={2 , 4 , 9 , 10}

3) 6)

(C ∩ A)\ B =∅ (C ∪ A)\ B ={2 , 4 , 5}

6. 1) ( X \ Z )∩(Y \ Z )={s}∩{s, p}={s} 2) (Y \ Z )∪( Z \Y )={s, k , p} 3) (Y \ Z )∩( Z \Y )=∅ 4) (Y \ Z )\ ( X ∪Y )=∅ 5) ( Z ∪ X )\ CY ( X )={h, k , s} 6) (Z ∪( X \Y ))∩(Y \ Z )=∅ 7. 1) G∪ H∪ R

5) H ∩ (R \ G)

9) (G∪ R) \ H

2) G ∩ H ∩ R

3) (G ∩ H)∪ R

6) (R ∩ G)∪ (H \ G)

4) (G∪ R) \ H

7) (H \ G)∪ (R ∩ G)

10) (H ∩ G)∪ (R \ G) 11) ((G∪ R) \ (R ∩ G)) \ H

8) (R ∩ G)∪ (H\ (G∪ R))

12) CG(R) ∩ H

8. област III: B \ ( A∪ C ) , област IV: A∩ B ∩ C , област V: ( A∩ C )\ B , област VI: (B ∩ C )\ A , област VII: C \ ( A∪ B ) 9. Као олакшицу приликом решавања овог задатка можемо користити претходни задатак. 4) ( A∪ B ∪ C )\ ( A∩ B ∩ C ) 5) A∪(B ∩ C ) 6) (A\ (B ∪ C ))∪(B \ ( A∪ C ))∪(C \ ( A∪ B )) 7) (( A∩ B )\ C )∪((B ∩ C )\ A)∪(( A∩ C )\ B ) 8) (( A∩ B )\ C )∪(C \ ( A∪ B )) 9) ( A∩ B ∩ C )∪((( A∪ C )\ B )\ ( A∩ C )) 10) ( A\ B )∪(B ∩ C ) 11) (A\ (B ∪ C ))∪(B \ ( A∪ C ))∪(C \ ( A∪ B ))∪( A∩ B ∩ C ) 12) B \ ( A\ C ) 13) (B \ A)∪(A\ (B ∪ C )) 10. A = {5, 6, 7} 11. K = {1, 3, 5}

35

12. A = {1, 2, 3, 4, 9}, B = {4, 5, 6, 9}, C = {1, 4, 6, 7, 8}

13. P ={4 , 8}, Q ={2 , 3 , 8}, R ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} или P ={4 , 8}, Q ={2 , 3 , 8}, R ={3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} 14. E ={a, b , c , d }, F ={a, b, c , e}, G ={b, c , d , e} 15. 1) 556 2) 365 3) 118 16. 1) 31 2) а) 14 б) 14 в) 17 г) 28 17. 1) 2 2) 8 3) 12 4) 6

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. 1) 153 +742 = 742 +153 2) 2378 +2713 = 2713+2378 3) 34⋅87 = 87⋅34 2. 1) 318 + 2 579 >138 + 2 579 2) 25⋅316 > 316⋅23 3)133 + 4 777 = 4 777 +133 3. 1) 201+576 +409 +214 = (201+409 )+(576 +214 )= 610 +790 =1400 2) 72 +73 +74 +75 +76 +77 +78 = (72 +78 )+(73 +77)+(74 +76 )+75 = 525 3) 1275 4) 1014 4. 1) 25⋅66 + 25⋅16 = 25⋅(66 +16 )= 25⋅82 = 2 050 2) 650 3) 1300 4) 1600 5. 1) смањи се за 221 2) повећа се 3 пута 3) повећа се 5 пута 4) смањи се за 493 5) повећа се 8 пута 6) повећа се за 102 7) смањи се за 457 8) смањи се 2 пута 9) повећа се за 513 10) повећа се 18 пута 6. 1) 907 − 307 = 600 2) 907 +723 =1630 3) 907 + 364 −726 = 545 7. 1) 236 : 2 =118 2) 236 : 4 = 59 3) (236 : 3)⋅3 = 236 4) (236⋅12) : 6 = 472 8. 1) 86 2) 2 238 3) 349 4) 169 5) 640 6) 7198 7) 1 8) 17 9. Делилац је број 18 . 10. Дељеник је број 2111. 11. 1) 2 и 1 2) 3 и 1 3) 4 и 2 12. 1) 977 + 283 =1260 2) 10 001− 99 = 9 902 13. 1) (2 300 −1)+ 3 = 2 302 2) (188 +1)⋅19 = 3 591 14. 4 291−1924 = 2 367 15. (231+ 3 979 )+ 5 238 = 9 448

16. (2 374 +7 297)−(34 578 : 17)= 7 637 17. (700 + 650 ) : (700 − 650 )= 27

18. (2⋅(3105 +17 703)): (100 + 2)= 408 19. 51=17 +17 +17 . Ако први сабирак повећамо за 1, а трећи сабирак смањимо за 1 имамо да је 51= (17 −1)+17 +(17 +1) , односно 51=16 +17 +18 , па су тражени бројеви 16, 17 и 18. 20. 132 = 44 + 44 + 44 = (44 − 2)+ 44 +(44 + 2)= 42 + 44 + 46 , па су тражени бројеви 42, 44 и 46. 21. 216 = 54 + 54 + 54 + 54 = (54 − 3)+(54 −1)+(54 +1)+(54 + 3)= 51+ 53 + 55 + 57 . 22. 1) x + x + 484 = 4 928 , па је x =2 222 , а тражени бројеви су 2 222 и 2 222 + 484 = 2 706 . 2) x +3⋅ x = 4 928 , па је x =1232 , а тражени бројеви су 1232 и 3⋅1232 = 3 696 .

36

23. (200 − 40 )+(50 − 40 )=170 или (200 + 50 )− 2⋅40 =170 24. а) (1034 − 626 ): 2 = 204 б) Више ће имати Марија, и то за (626 + 250 )−(1034 − 250 )= 92 динара. 25. Уштедеће 12⋅90 − 950 =130 динара. 26. За годину дана се потроши 72⋅365 +(72 +11)⋅365 = 56 575kg брашна. 27. Мајстор Гиле је сашио 1526 +(1526 + 937)+ 2101= 6 090 одела за ова три месеца.

28. У продавнице је стигло 150 000 −(12 527 +7 263)=130 210 дискова, а ако је остало непродато 42 625 дискова, продато је 130 210 − 42 625 = 87 585 дискова.

29. Први – 1628 , други – 1628 − 416 =1212 , трећи (1628 +1212)+11= 2 851. Укупно 1628 +1212 + 2 851= 5 691 путника . 30. У трећем селу живи 11130 − 8 421= 2 709 , у другом 11130 − 5 837 = 5 293 , а у првом селу живи 11130 −(2 709 + 5 293)= 3128 становника. 31. Ако је x број радника у другом погону, тада је 4⋅ x + x + x +13 = 4 933 , па је x = 820 . Дакле, у првом погону ради 3 280, у другом 820 и у трећем 833 радника. 32. Ако је x број пошиљки у првој соби после изношења 493 пошиљке, имамо да је x + 493+7⋅ x =1117 , па је x = 78 . У првој соби је било 571, а у другој 546 пошиљки. 33.

34.

35. 1) x = 4 2) x =11 3) x = 7 4) x = 7 5) x = 2 36. 1) 12 2) бесконачно много бројева 3) ниједан број 37. 38. После петог скока је у тачки којој је придружен број 15 (1+ 2 + 3 + 4 + 5) , а после 13 скокова је у тачки којој је придружен број 91 (1+ 2 + ... +12 +13) . 39. Зец ће пронаћи шаргарепу у тачки 110 јер је 215 −(20 +19 +18 +17 +16 +15)=110 , а неће шаргарепу која се налази у тачки 4 јер је 215 −(20 +19 + ... + 2 +1)= 5 . Дакле, зец ће се налазити у тачки 5 на крају свог пута.

37

40. Хоће. Како у свака 2 скока прескочи дужину 7, после 284 скока доћи ће у тачку 4 одакле ће скоком за дужину 4 стићи до тачке којом је представљен Сиднеј. Дакле, са 285 скокова. У тачку којом је представљена Аделаида кенгур неће доскочити јер после 68 скокова биће у тачки којој је придружен број 760 (998 − 34⋅7) , а скоком за дужину 4 прескочиће посматрану тачку.

ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ 1. 1) 27 2) 63 3) 111 4) 159 5) 375 6) 1383 2. 1) 159 2) 127 3) 191 4) 497 5) 1666 6) 2 505 3. 1) 448 2) 472 3) 486 4) 514 5) 538 6) 616 4. 1) 6 2) 28 3) 68 4) 7 5. 1) 60 2) 42 3) 86 4) 2 180 6. 1) f (4 )= 4⋅4 −2⋅4 +7 =15 2) f (7)= 42 3) f (11)=106 7. n 1 7 12 14 51 a 3n-2 362-7n

1

19

34

40

355 313 278 264

151 5

4

8

12

4

44

116 139 191 395

6a−3⋅(a−2) 18

30

42

( a–2 ) • a – 4

13 45

15

21

51

69

a

7

5

9

7

11

15

13

17

9

b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a⋅a +5b −3a

33

20

69

48

113

210

165

278

99

b⋅b +(a−b )(a +b )

49

25

81

49

121

225

169

289

81

12⋅(3b +a )−(14 a−6 ) : 4

97

116

186

205

275

345

364

434

402

(a−(a−b ) : 3)⋅7−5

30

23

44

37

58

79

72

93

58

8. 1) x +15 2) 3⋅ x 3) 2⋅ x +3 4) x : ( x −19 ) 5) ( x −1)⋅( x +1) 6) ( x : 7)−12 9. 1) a +b 2) a−b 3) 2⋅b +(a : 6 ) 4) (a +b )⋅(a−b ) 5) (3⋅a−2)−(b : 5−6 ) 10. a a−1 2⋅a−4 3⋅a−2 a2 −1 претходник a +1 2⋅a−3 3⋅a−1 број a a2 a +1 a +2 2⋅a−2 3⋅a следбеник a2 +1 11.

a O = 4⋅a P = a⋅a

1 4 1

3 12 9

5 20 25

7 28 49

9 36 81

12. Како је дељеник 2 378 − p < 2 378 , вредност израза (2 378 − p ): 373 не може бити већа од 6. Ако је (2 378 − p ): 373 =1 имамо да је p =2 005 . Ако редом мењамо вредности количника, имамо да је p ∈ {140 , 513 , 886 , 1259 , 1632 , 2 005}. 13. 1) Најмања је за k = 9 и то 774, а највећа је за k =1 и то 798 . 2) Најмања је за k = 99 , и то 504, а највећа је за k =10 , и то 771.

38

14. 1) d −6 , d, d +3 2) d −1 , d + 9 , 2⋅d , 3⋅d −7 , 3⋅d 15. 1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

x

1

3

5

7

9

2⋅x −1

2

5

8

11

14

3⋅x −1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

5

8

11

14

17

20

23

26

3⋅x +2

16. а) 37 − 3⋅5 = 37 −15 = 22 бомбоне б) 37 − 4⋅5 = 37 − 20 =17 бомбона Aко је поделила бомбоне са x другарица, остало јој је 37− x⋅5 бомбона. Највише је могла да почасти 7 другарица. 17. 1) 1500 − 2⋅200 =1100 динара 2) 1500 − 4⋅200 = 700 динара 3) 1500 −7⋅200 =100 динара После x дана преостало му је 1500 − x⋅200 динара.

39

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН 1. Упиши ∈ или ∉ тако да важе односи приказани на слици. 1) A ___a;

2) A ___ bb;

3) B ___ a;

4) B ___ b;

5) C ___ a;

6) D ___ bb.

2. Означи тачке и праве тако да је: p ∩ q ={Q } , q ∩ r ={P } , p ∩ r ={R } .

3. Нацртај праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: C ∈ aa, C ∈ b, A∈a, C − B − A . 4. Упиши речи тачно или нетачно тако да важе односи са слике. 1) A − B − C _______ 2) B − C − E _______ 3) E − C − A _______ 4) A − D − E _______ 5) A − B − F _______ 6) A − F − D _______ 5. Означи изабране тачке праве p тако да је B −D − A , D − A −E , B − A − C , A − C −E . 6. Колико има правих које садрже једну задату тачку? 7. Нацртај четири тачкe A, B, C, D тако да оне одређују тачно: а) једну праву; б) четири праве; в) шест правих. 8. Допуни текст који описује следећу слику. 1) Пресек правих a и b јесте тачка ___. 2) Пресек правих ___ и ___ јесте тачка A. 3) Пресек правих a и ___ јесте тачка B. 4) Тачка D припада правој ___ и не припада правама ___ и ___. 5) Тачка D је између тачака A и ___. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки ___, праву b у тачки ___ и праву c у тачки ___.

41

8. Сваку од ових реченица преведи на математички језик. 1) a ∩ b ={___} ; 2) ___∩ ___ = { A} ; 4) D ∈ ___, D ∉ ___, D ∉ ___ ; 5) A − D −___ ; 6) p(B , D ) ∩ a = {___}, p(B , D ) ∩ b = {___}, p(B , D ) ∩ c = {___} .

3) a ∩ ___ = {B } ;

9. Нацртај две праве a и b које се секу. Нацртај затим праву p тако да је a ∩ b ∩ p ≠ ∅ и праву q тако да је a ∩ q ≠ ∅, b ∩ q ≠ ∅ и a ∩ q ≠ b ∩ q . Одреди a ∩ b ∩ q ! 10. Тачке P и Q припадају равни α. Упиши један од знакова ∈ или ⊂ на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни. 2) Q ___ α; 3) {P , Q}___ α; 4) p p( P , Q )___ α; 1) P ___ α; 5) P ___ p( P , Q ) ; 6) Q ___ p( P , Q ) ; 7) {P , Q}___ p( P , Q ) . 11. Упиши један од знакова ∈ , ∉ или ⊂ тако да искази буду тачни. 1) S _____ áα; 3) p( P , Q )_____ α; 5) Q _____ α; 7) p( S , T )_____ α;

2) 4) 6) 8)

{P,Q,R,S, T} _____ α; Q _____ p( S , R ) ; {P , Q } _____ α; R _____ p( P , Q ) .

12. Упиши један од знакова = или ≠ тако да искази буду тачни. 1) 3) 5) 7)

{ A, B } ∩ a _____ ∅; p( A, B ) ∩ a _____ ∅; p( A, B ) ∩ a ∩ b _____ ∅; p( A, B ) ∩ β _____ p( A, B )

2) { A, B } ∩ b _____ ∅; 4) p( A, B ) ∩ b _____ ∅; 6) p( A, B ) ∩ β _____{ A, B } ;

13. Дата је раван α и праве a и b тако да је a ⊂ α, b ⊂ α и a ∩ b ={O } . Одреди a ∩ b ∩ α, a∪α, α∩{O } .

14. Означи тачке и праве приказане на слици десно ако је a || b , a ∩ c = { A}, b ∩ c = {B } .

15. Дата је раван α и у њој праве a и b које се секу. Који су од исказа тачни? 1) Свака права равни α паралелна са a сече праву b. 2) Не постоји права равни α паралелна и са a и са b. 3) Свака права равни α сече праву a или праву b. 4) Постоји права равни α која сече и праву a и праву b. 16. Нацртај три различите праве a, b , c тако да је: 1) a ∩ b ∩ c ≠ ∅; 2) a ∩ b ≠ ∅ и aa|| c; 3) a ∩ b ≠ ∅, b ∩ c ≠ ∅, c ∩ a ≠ ∅, a ∩ b ∩ c = ∅.

42

17. Нека су a, b, c различите праве неке равни. Која од реченица је увек тачна? 1) Ако је a || b и b || c, онда је a || c. 2) Ако је a || b и b ∩ c ≠ ∅, онда је a || c. 3) Ако је a ∩ b ≠ ∅ и b ∩ c ≠ ∅, онда је a ∩ c ≠ ∅.

ПОЛУПРАВА И ДУЖ 1. На основу слике десно упиши један од знакова = или ≠ на предвиђена места тако да добијене формуле буду тачне. 1) Aa ∩ Bb ____ ∅; 2) Aa ∩ Cc ____ ∅; Cc ____ ∅; 3) Bb ∩ C ∩ Aa ____ ∅; 4) Oz A 5) Ox ∩ Oy ____ ∅; Oy____ ∅. 6) Bb ∩ O

2. Користећи се сликом лево одреди: 1) Oz ∩ Oy = ____; 2) Ox ∩ Bb = ____; 3) Ox ∩ p(O , B ) = _____; 4) Bb ∩ p( A, C ) = ____.

3. На основу слике десно, одреди: 1) Aa ∩ Bb = ____; 2) p(B , D ) ∩ Cc = ____; 3) Aa ∩ Dd = _____; 4) Dd ∩ p(B , C ) = ____ . 4. Нацртај полуправе Aa и Bb тако да је: 1) Aa ∩ Bb = ∅; 2) Aa ∩ Bb ={ A} ;

3) Aa ∩ Bb = Aa ;

4) Aa ∪ Bb = Aa .

5. Да ли су тачни следећи искази? 1) Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака. 2) Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака. 6. Нацртај две полуправе Aa и Bb чија је унија нека права. Који од исказа је тачан? 1) Aa ∩ Bb = ∅; 2) A ∈ Bb; 3) B ∈ Aa. 7. Колико различитих правих, а колико различитих дужи одређују тачкe A, B , C , D , E приказане на слици? 1) 2) 3)

43

8. На основу слике десно одреди: 1) АC ∩ BF 2) AD ∩ EEF 4) AB ∪ BC 3) FBB ∪ BE 6) (BC ∪ CD )∩ AB 5) ( AC ∪ BD ) ∩ EF 7) ( AB ∪ BC ) ∩ ( EF ∪ BF ) .

9. Поређај дате дужи по дужини почевши од најкраће. _____ тако да добијеш тачно тврђење. 0,2 ;

б) 0,3

0,03 ;

в) 0,06

0,006 .

3. Упиши у

< или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,04 ;

а) 0,05 4. Упиши у

б) 2,786

2,785 ;

в) 99, 4562

99, 4568 .

< или > тако да добијеш тачно тврђење. 0,307 ;

а) 0,298

б) 10,583

10,62 ;

в) 0,043

0,2 .

5. Дати су скупови: ⎧1 2 5 4⎫ ⎧ 3 55 103 6543⎫ ⎧ 7 3 13 29 ⎫ ⎬ , C =⎨3 , 3 , 10 , 10 ⎬. A =⎨ , , , ⎬ , B =⎨ , , , ⎩2 5 6 7 ⎭ ⎩ 5 8 25 125 ⎭ ⎩ 10 20 50 1800 ⎭ a Разломке који припадају истом скупу (A, B или C) запиши на исти начин (у облику или у b децималном запису), а затим их поређај у растућем поретку. 6. Дате разломке поређај по величини у опадајућем поретку (од највећег до најмањег). a) 0, 4 ; 4,04 ; 4, 4 ; 0, 44 ; 40, 4 ; 0, 404 ; б) 0,11; 1,1; 1,001; 0,011; 0,1001; 10,01. 7. Упиши у а)

1 4

или = тако да добијеш тачно тврђење. 0,2 ; 3 ; 25

г) 0,127 8. Упиши у

б)

1 6

0,16 ;

д) 10,583

в)

2 10 ; 3

1 8

0,125 ;

ђ) 0, 45

6 . 13

или = тако да добијеш тачно тврђење.

1 а) m 40cm ; 4 1 г) дана 8 сати; 3

1 1 в) kg 1,6dl; l 6 8 3 д) године 7,5 месеци. 4

б)

125g ;

ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. Попуни таблицу дати број

0,7257

55,555...

8,5238

100,00199

645,39645

број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале

107

2. У супермаркету продају се паковања од по 5 чоколада и једно такво паковање кошта 335,99 динара. Колика је онда цена једне чоколаде из тог паковања заокружена на две децимале? 3. Цена паковања јабука од 3kg је 199,9 динара. Јанко жели да купи само 1kg и договорио се са продавачицом да рачун заокруже на цео број динара. Ко је од њих двоје при том на малом губитку? 4. Попуни таблицу 2 3

дати број

8 15

9 22

132 35

77 108

број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале

БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА 1. На датој бројевној полуправој представи разломке

0

3 7 4 1 4 , 2, , , 1 и 2 . 5 4 3 2 15

1

2

2. Назначеним тачкама на датој бројевној полуправој придружи одговарајуће разломке, па их затим напиши у растућем поретку (поредак прочитај са бројевне полуправе).

0

2

3. Прикажи на бројевној полуправој решења неједначина: 1 9 3 1 4 5 а) < x < ; б) ≤ y < 3 ; в) < z ≤ ; 2 4 5 6 5 4

1 г) 2,9 ≥ a ≥ . 3

Решење: а)

0

108

1 2

1

2

9 4

3

4. Напиши неједначину која одговара назначеном скупу на датој полуправој. а)

2 3

0

221 5

1

3

4

б)

0

3 8

1

2

1

2

3

3

3 5

в)

0

4 5

2

17 3 12

г)

0

1

1

7 12

2

2

4 15

Решење:

⎛2⎞ 2 а) Због пуног кружића код тачке A⎜ ⎟ важи ≤ x , а због празног кружића код тачке ⎝3⎠ 3 ⎛ 1⎞ 1 2 1 B⎜2 ⎟, важи x < 2 . Дакле, тражена неједначина је ≤ x < 2 . ⎝ 5⎠ 5 3 5 ⎛ 1⎞ 5. На бројевној полуправој дата је тачка A⎜ ⎟. Одреди положај тачака B, C и D, ако се тачка ⎝4⎠ 3 5 7 B налази десно од тачке A, тачка C налази десно од тачке B, а тачка D се налази 4 4 4 лево од тачке C.

0 A( 1 ) 4

109

РАЗЛОМЦИ  I ДЕО  РЕШЕЊА ПОЈАМ РАЗЛОМКА 1 , 2 4 2. , 3

1.

1 3 2 5 5 4 11 7 1 1 1 3 , , , , , , , , , , , . 3 4 5 6 8 9 15 10 3 2 4 5 13 5 11 29 23 4 11 7 1 1 1 3 , , , , , , , , , , , . 8 2 6 12 10 9 15 10 3 2 4 5

3.

2 3

3 5

7 8

11 6

3 10

11 4

4 7

10 3

4.

1 4

4 5

5 9

9 10

3 2

9 4

4 3

11 6

111

5. Милица је добила

2 1 2 , Вук , док је неподељено остало те чоколаде. 5 5 5

3 4 10 , ,..., 15 15 15 4 4 4 7. , ,..., 6 7 13 1 2 4 9 12 24 8. =1: 2, = 2 : 3, = 4 : 7, = 9 : 5, =12 : 6 = 2, = 24 : 11. 2 3 7 5 6 11 3 4 7 9 45 44 . 9. 3 : 4 = , 4 : 3 = ,7 : 8 = ,9 : 17 = , 45 : 7 = , 4 = 44 : 11= 4 3 8 17 7 11 10. n =1, y = 28 , x = 8 , m = 210

6.

11. а) 60 : 3 = 20 ; б) (80 : 4)⋅3 = 60 ; в) (40 : 5)⋅2 =16 ; г) (100 : 10)⋅11=110 ; д) (707 : 7)⋅15 =1515 . 1 1 2 7 редом садрже 15,6,20,21 бомбону. , , , 2 5 3 10 13. Цела трака има две (једнаке) половине, па је њена дужина 2⋅10 = 20 cm.

12. Дати делови

14. Једна петина одељења је 15 : 3 = 5 ученика, па у том одељењу има 5⋅5 = 25 ученика. 15. Како је 175 : 35 = 5 , Ана је прочитала

1 књиге. 5

4 16. Ненад има петину потребног новца, па му недостају потребне суме новца, односно 5 треба му још 4⋅50 = 200 динара. 17. Једна петина дуга је 3150 : 3 =1050 динара, па је укупан дуг 5⋅1050 = 5250 динара. 18. Читајући 17 страна на дан, Ани би требало 1+7 = 8 дана да прочита књигу. Дакле, Ана 1 је првог дана прочитала књиге, која има 8⋅17 =136 страна. 8 3 19. Ако је број m половина броја 72, онда је m=36, а броја m су једнаке броју (36 : 4 )⋅3 = 27 . 4

ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1 1⋅4 4 2 2⋅4 8 1 1⋅3 3 1 1⋅5 5 2 2⋅3 6 = = , б) = = = , = = , = = , = , 7 7⋅3 21 7 7⋅5 35 5 5⋅3 15 7 7⋅4 28 5 5⋅4 20 2 2⋅5 10 8 8⋅3 24 8 8⋅4 32 8 8⋅5 40 = = , в) = = , = = , = = . 5 5⋅5 25 13 13⋅3 39 13 13⋅4 52 13 13⋅5 65 3 15 75 7 28 63 9 108 36 2. а) = = , б) , в) = = = = , 4 20 100 15 60 135 11 132 44 19 133 152 43 344 172 16 64 112 г) , д) , ђ) = = = = = = 17 119 136 125 1000 500 25 100 175 1 1⋅25 25 4 4⋅20 80 12 12⋅4 48 3 3⋅10 30 3. а) = , б) = , в) = , г) = . = = = = 4 4⋅25 100 5 5⋅20 100 25 25⋅4 100 10 10⋅10 100 1. а)

112

4. Како је 1 6 2 8 3 9 5 10 = , = , = , = , 2 12 3 12 4 12 6 12 1 2 3 5 то је у бројевима , , , редом садржано 6 , 8 , 9 и 10 дванаестина. 2 3 4 6 1 1⋅60 60 3 3⋅20 60 4 4⋅15 60 ; б) ; в) = 5. а) = = = = = ; 4 4⋅60 240 10 10⋅20 200 5 5⋅15 75 г)

12 12⋅5 60 ; = = 25 25⋅5 125

6. а)

6 6⋅10 60 д) 6 = = = ; 1 1⋅10 10

1 1⋅3 3 1 1⋅2 2 = = и = = , 2 2⋅3 6 3 3⋅2 6

ђ) 15 =

15 15⋅4 60 = = . 1 1⋅4 4

(јер је S(2,3) = 6 );

б)

3 3⋅5 15 3 3⋅4 12 и = = = = , 4 4⋅5 20 5 5⋅4 20

(јер је S(4,5) = 20 );

в)

2 2⋅4 8 1 1⋅3 3 и = = = = , 3 3⋅4 12 4 4⋅3 12

(јер је S(3, 4) =12 );

г)

5 5⋅11 55 2 2⋅6 12 и = = = = , 6 6⋅11 66 11 11⋅6 66

д)

7 7⋅9 63 7 7⋅16 112 и = , = = = 16 16⋅9 144 9 9⋅16 144

ђ)

1 1⋅2 2 3 = = и , 2 2⋅2 4 4

е)

13 2 2⋅5 10 и = = , 25 5 5⋅5 25

ж)

7 7⋅4 28 5 5⋅3 15 и = = = = , 9 9⋅4 36 12 12⋅3 36

(јер је S(9,12) = 36 );

з)

1 1⋅7 7 3 3⋅2 6 и = = = = , 4 4⋅7 28 14 14⋅2 28

(јер је S(4,14) = 28 );

и)

7 7⋅5 35 21 21⋅2 42 и = = = = , 10 10⋅5 50 25 25⋅2 50

7. а) в)

1 15 1 10 1 6 = , = , = ; 2 30 3 30 5 30

(јер је S(6,11) = 66 ); (јер је S(16,9) =144 );

(јер је S(2, 4) = 4 ); (јер је S(5,25) = 25 );

б)

(јер је S(10,25) = 50 ).

3 21 2 8 5 10 = , = , = ; 4 28 7 28 14 28

2 80 3 135 11 264 ; = , = , = 9 360 8 360 15 360

г)

5 80 1 24 17 51 = , = , = . 6 96 4 96 32 96

0 1 2 5 8 10 8. 0 = ,1= ,2 = ,5 = ,8 = ,10 = . 1 1 1 1 1 1 3 12 18 27 33 9. 1= , 4 = ,6 = ,9 = ,11= . 3 3 3 3 3 10. 2 =

18 18 18 18 ,6 = ,9 = ,18 = . 9 3 2 1

113

11. а)

120 60 = 360 180

б)

120 40 = 360 120

в)

120 20 = 360 60

г)

120 1 = . 360 3

6 3 18 9 54 27 144 72 = , = , = , = 12 6 24 12 36 18 162 81 6 2 18 6 54 18 144 48 б) = , = , = , = 12 4 24 8 36 12 162 54 6 1 18 3 54 9 144 24 в) = , = , = , = 12 2 24 4 36 6 162 27

12. a)

4 4:2 2 = = 10 10 : 2 5 16 16 : 4 4 г) = = 36 36 : 4 9

6 6:3 2 = = 15 15 : 3 5 69 69 : 3 23 д) = = 96 96 : 3 32

13. а)

75 75 : 15 5 = = 135 135 : 15 9 108 108 : 27 4 ђ) = = 405 405 : 27 15

б)

в)

16 4 45 3 64 2 75 1 78 13 420 3 540 3 573 3 = , = , = , = , = , = , = , = , 20 5 105 7 160 5 225 3 324 54 560 4 1260 7 955 5 132 4 3300 3 , = = 111111 3367 5500 5 2⋅3 3 4⋅3 1 4⋅5 10 15⋅3 9 16⋅3 2 16⋅9 6 21⋅35 21 б) = , = , = , = , = , = , = , 4⋅5 10 8⋅9 6 3⋅6 9 11⋅10 22 27⋅8 9 15⋅8 5 25⋅28 20 18⋅45 54 48⋅21 72 = , = 25⋅51 85 49⋅22 77 2⋅3⋅5 3 4⋅3⋅12 2 35⋅18⋅24 2 12⋅81⋅15 9 48⋅26 1 в) , = , = , = , = , = 4⋅5⋅7 14 8⋅9⋅15 15 36⋅55⋅42 11 27⋅24⋅50 20 13⋅160⋅96 160 66⋅72 1 = 144⋅33⋅12 12

14. а)

3 36 = , 1 12 1 4 б) = , 3 12 3 1 в) = , 6 2

15. а)

21 7 = , 3 1 2 14 = , 3 21 15 3 = , 40 8

16 , 4 3 15 , = 8 40 18 3 = , 30 5

4=

42 7 17 68 ; = 25 100 48 3 = . 64 4

6=

16. Тачна су тврђења под а), в) и г). 2 1 17. а) 2 dl = l = l 10 5 2 1 m= m г) 2 cm = 100 50

15 3 l= l 100 20 3 д) 3 cm = dm 10 б) 15 ml =

23 3 в) 23 ml = cl = 2 cl 100 10 77 7 ђ) 77 dm = m = 7 m. 10 10

1 1 1 1 3 1 18. 3 min = h,5min = h, 10 min = h, 12 min = h, 45 min = h, 60 min =1h, 80 min =1 h 20 12 6 5 4 3 1 и 195 min = 3 h. 4

114

19. Најмањи двоцифрен непаран број је 11, а највећи шестоцифрени број је 999999 . Дакле, 11 1 најмањи двоцифрен непаран број је део највећег шестоцифреног броја. = 999999 90909 50 + 4 1 1 , збир броја 50 и најмањег сложеног броја је део производа = 18⋅987 329 329 најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије

20. Како је

су све цифре различите. 21.

2 2⋅17 34 2 2⋅18 36 2 2⋅19 38 или = или = = = = = . 3 3⋅17 51 3 3⋅18 54 3 3⋅19 57

7 7⋅k 7 (разломак проширили смо бројем k). Онда = 13 13⋅k 13 је, по услову задатка 7⋅k +13⋅k =140 , односно 20⋅k =140 . Из последње једначине 7⋅7 49 закључујемо да је k = 7 . Дакле, тражени разломак је = . 13⋅7 91 54 24 30 , б) , в) . 23. а) 81 36 45 24. Како је 2008 = 2⋅2⋅2⋅251, закључујемо да је p = 2, n =1004 или p = 251, n = 8

22. За природан број k важи

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 5 6 11 2 4 7 45 39 7 23 8 2 17 88 106 < < ; б) < < ; в) > > ; г) > > ; д) < < 15 15 15 91 91 91 15 15 15 147 147 147 23 23 23 12 12 12 3 3 3 25 25 25 2. а) ; б) > > ; в) ; > > > > 17 23 101 7 27 37 6 18 180 89 89 89 1006 1006 1006 . г) < < ; д) < < 105 51 15 143 134 43 3 7 2 4 5 33 б) > в) < 3. а) > 1 10 5 25 3 18 2 7 4 7 31 21 г) < д) ђ) < > 7 8 11 15 64 45 14 29 12 9 45 25 е) ж) з) > > > 15 36 35 28 52 36 4. Упиши знак < , > или = тако да добијеш тачно тврђење. 3 33 2 1 17 153 а) = б) в) < = 4 44 13 5 9 81 18 5 34 35 31 3 г) д) ђ) > > > 23 8 15 16 48 5 8 12 43 4343 97 74 е) ж) з) > = > 153 1349 88 8888 99 77 1. а)

115

5. а) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима именилац буде исти. Како је S(4,3,12,6,8) = 24 , први разломак проширујеш са 6 , други са 8 , трећи са 2 , четврти са 4 и пети са 3 . Сада треба да упоредиш разломке 18 16 22 20 15 , , , , . Како за њихове бројиоце важи 15 1, одакле добијамо да је једино решење n= 2 .

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЗЛОМАКА 3 5 3 2 23 59 = 0,3 ; = 0,5 ; 1 =1,3 ; 3 = 3,2 ; = 2,3 ; = 5,9 ; 10 10 10 10 10 10 2 51 3 25 304 509 б) = 0,02 ; = 0,51; 1 =1,03 ; 4 = 4,25 ; = 3,04 ; = 5,09 ; 100 100 100 100 100 100 7 47 789 205 34 9076 в) = 0,007 ; = 0,047 ; = 0,789 ; 1 =1,205 ; 2 = 2,34 ; = 9,076 . 1000 1000 1000 1000 100 1000

1. а)

118

1 5 1 2 3 15 = = 0,5 ; = = 0,2 ; = =1,5 ; 2 10 5 10 2 10 6 12 3 6 1 5 = =1,2 ; 1 =1 =1,6 ; 13 =13 =13,5 ; 5 10 5 10 2 10 3 6 19 38 67 335 б) = = 0,06 ; 4 = 4 = 4,38 ; = = 3,35 ; 50 100 50 100 20 100 304 1216 3 75 5 125 = =12,16 ; = = 0,75 ; = =1,25 ; 25 100 4 100 4 100 407 814 303 1212 117 585 в) = = 0,814 , = =1,212 ; = = 0,585 ; 500 1000 250 1000 200 1000 9 72 734 5872 7 875 = = 0,072 , = = 5,872 ; = = 0,875 . 125 1000 125 1000 8 1000

2. а)

7 5 1 4 2 2 1 ; 1,5 =1 =1 ; 2, 4 = 2 = 2 ; 101,2 =101 =101 ; 10 10 2 10 5 10 5 11 5 1 25 1 4 1 б) 0,11= ; 45,05 = 45 = 45 ; 2,25 = 2 = 2 ; 31,04 = 31 = 31 ; 100 100 20 100 4 100 25 999 505 101 35 7 в) 0,999 = ; 5,505 = 5 ; 23,035 = 23 ; =5 = 23 1000 1000 200 1000 200 4 1 36 9 ; 6,036 = 6 . 1,004 =1 =1 =6 1000 250 1000 250

3. а) 0,7 =

1 2 5 4 = 0,(3) ; = 0,(6) ; = 0,8 (3) ; = 0,(571428) ; 3 3 6 7 12 56 106 6543 б) =1, ( 09 ) ; = 3,7(3) ; = 2,3(5) ; = 233,67(857142) ; 11 15 45 28 7 4 10 25 в) 3 = 3,(7) ; 2 = 2, (190476 ) ; 10 =10,(769230) ; 1 =1, ( 675) . 9 21 13 39

4. а)

1 5. а) 0,(3) = ; 3

1 5 б) 8,(45) = 8 ; 1,(1) =1 ; 9 11 262 44 в) 33,(786) = 33 ; 404,(044) = 404 . 333 999

5 ; 110 131 22 в) 33,0(786) = 33 ; 404,0(044) = 404 . 1665 4995

6. а) 0,0(6) =

1 ; 15

1,10(1) =1

91 ; 900

10,(21) =10

б) 0,0(45) =

7 ; 33

121,012(21) =121

7. 7 dm = 0,7 m, 24 dm = 2, 4 m, 26 cm = 0,26 m, 108 cm =1,08 m, 10101 mm =10,101 m, 1km 5dm 3cm 6mm =1000,536 m.

101 ; 8250

2mm = 0,002 m,

119

ПОРЕЂЕЊЕ РАЗЛОМАКА ДАТИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. а) 0,2 < 0,5 ;

б) 0,02 < 0,05 ;

в) 0,002 < 0,005 .

2. а) 0,02 < 0,2 ;

б) 0,3 > 0,03 ;

в) 0,06 > 0,006 .

3. а) 0,05 > 0,04 ;

б) 2,786 > 2,785 ;

4. а) 0,298 < 0,307 ;

в) 99, 4562 < 99, 4568 . в) 0,043 < 0,2 .

б) 10,583 < 10,62 ;

⎧105 84 175 120 ⎫ 2 1 4 5 ⎬, < < < ; 5. A =⎨ , , , ⎩ 210 210 210 210 ⎭ 5 2 7 6 3 103 55 6543 ; < < B = {0,6; 6,875; 4,12; 52,344} , < 5 25 8 125 ⎧ 1260 270 3 7 29 13 468 29 ⎫ ⎬ , 3 < 3 4,04 > 0, 44 > 0, 404 > 0, 4 ; б)10,01>1,1>1,001> 0,11> 0,1001> 0,011 . 7. а)

1 1 1 3 2 6 ; д) 10,583 < 10 ; ђ) 0, 45 < . > 0,2 ; б) > 0,16 ; в) = 0,125 ; г) 0,127 > 4 6 8 25 3 13

8. Упиши у

< , > или = тако да добијеш тачно тврђење.

1 < 1 m 40 cm; б) l > 1,6 dl; 4 6 3 д) године > 7,5 месеци. 4

а)

в)

1 1 kg = 125 g; г) дана = 8 сати; 8 3

ПРИБЛИЖНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале

120

0,7257

55,555...

8,5238

100,00199

645,39645

1

56

9

100

645

0,73

55,6

8,5

100,0

645, 4

0,72

55,56

8,52

100,00

645, 40

0,726

55,556

8,524

100,002

645,396

2. 335,99 : 5 = 67,198 ≈ 67,20 3. Како је 199,9 : 3 = 66,6... ≈ 67 , на малом губитку je Јанко. 4. 2 3

8 15

9 22

132 35

77 108

1

1

0

4

1

0,7

0,5

0, 4

3,8

0,7

0,67

0,53

0, 41

3,77

0,71

0,667

0,533

0, 409

3,771

0,713

дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале

БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА 1. 3 5

0

4 3

1

1

1 2

7 4

2

2

4 15

2

2

1 4

2.

1 2

0

2 3 3 4

1

7 6

17 12

1 2 3 7 17 1 < < 5 10 7 x> − 10 5 4 − x> 10 x>

0

138

1 3 б) 3 + x ≤ 6 2 4 x≤6 x≤6

4 4

−3 −3

4

x ≤ __

10

1

0

1

2

3

г) x − 4,7 ≥ 0,8

2 5 в) x − 2 < 4 3 6 x 3 ; 4 5 2 4 7 5 1 3 3 1 г) 12 + x 4 ; ђ) 6 − x ≤ 2 ; 12 6 2 4 10 2 3 3 1 4 3 е) x − 5 3,7 ; б) x + 4,39 ≤ 8,39 ; в) 3,82 + x 3 ; ђ) 3,3 + x ≤ 7 . г) 4 − x < 0,75 ; 5 2 5 7. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: ⎛ 3⎞ 4 4 2 2 а) 3 + x > 5 + 6 ; б) 10 −⎜ x +1 ⎟≤ 5 ; ⎝ 4⎠ 9 5 3 5 ⎛ 1⎞ 1 1 3 в) ⎜ x + 4 ⎟− 2 ≥12 ; г) 6 −(4,5 − x )≤ 3 . ⎝ 4⎠ 2 2 4 8. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: ⎛ 1⎞ 3 1 1 а) (5,5 + x )−7 > 3 ; б) 10,6 −⎜ x − 2 ⎟< 5 ; ⎝ 2 ⎠ 10 4 2 ⎛ 1 ⎞ 1 1 г) 9,8 −⎜3 − y ⎟≥10 . в) (10 − y )+1 < 8,8 ; ⎝ 2 ⎠ 4 2 ⎛ 3 ⎞ 3 3 9. За које је вредности x израз ⎜ 4 + x ⎟+1 мањи од 10 . ⎝ 5 ⎠ 4 10 ⎧ 3 1 ⎫ 10. Из скупа A =⎨0,25; ; 2 ; 8⎬ издвој елементе који припадају скупу решења неједначине ⎩ 9 5 ⎭ 4 ⎛ 8⎞ 1 4 −⎜ x − ⎟> 4 . 5 ⎝ 15 ⎠ 3 11. Које бројеве можеш додати броју 5 12. Које бројеве можеш одузети од 12

7 1 тако да збир буде мањи од 8 ? 9 6

5 2 тако да добијена разлика не буде мања од 2 ? 8 3

13. Од којих бројева можеш одузети збир бројева 2,9 и 6,17 тако да добијена разлика буде већа од 4,23? 7 4 одузмеш неки број увећан за 3,3 добијеш број који је већи од 4 . 12 5 Одреди скуп таквих бројева.

14. Када од броја 10

2 15. Када разлику неког броја и броја 0,6 сабереш са 4 , добићеш број који није већи од 3 4 9 . Одреди скуп таквих бројева. 15

140

РАЗЛОМЦИ  II ДЕО  РЕШЕЊА САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА 2 3 5 4 2 6 4 7 11 3 4 7 2 5 2 3 10 + = ; б) + = ; в) + = ; г) + = =1 ; д) + + = ; 7 7 7 9 9 9 15 15 15 5 5 5 5 11 11 11 11 1 3 6 10 3 5 3 9 7 24 8 ђ) + + = =1 ; е) + + + = =1 . 7 7 7 7 7 16 16 16 16 16 16 1 1 4 7 1 1 13 2. а) 5 ; б) 10 ; в) 11 ; г) 7 ; д) 13 ; ђ) 22 ; е) 6 ; ж) 12 . 3 5 11 9 8 9 20 3. а) б) в) 2 5 1 3 5 + + 2 4 7 + 1 6 6 8 8 8 1 1 3 1 1 1 2 3 5 7 5 1 3 7 10 3 3 4 3 5 6 6 5 5 5 8 8 8 8 3 5 2 1 1 1 1 1 3 5 2 1 6 8 13 13 2 3 2 6 6 6 9 9 9 9 8 8 8 4 3 7 7 7 7 7 2 4 1 1 1 8 10 12 15 2 1 6 6 20 20 20 20 8 8 8 1. а)

1 2 3 4 5 15 3 1 + + + + = =2 =2 . 6 6 6 6 6 6 6 2 3 5. 10 km . 5 7 1 6 11 5 6 13 8 5 1 9 7 2 1 6. а) − = ; б) − = ; в) − = = ; г) − = = . 10 10 10 12 12 12 15 15 15 3 20 20 20 10 4 3 1 5 7. а) ; б) ; в) ; г) . 25 14 7 18 2 2 4 4 2 1 1 1 1 8. а) 5 − 4 =1 ; б) 9 − 4 = 5 ; в) 8 − 5 = 3 ; г) 7 − 3 = 4 . 5 5 9 9 3 3 3 2 2 2 1 1 4 9. а) 9 = 9 ; б) 6 ; в) . 8 4 5 7 1 3 1 1 5 3 10. а) 1 ; б) 3 ; в) 7 ; г) 2 ; д) 1 ; ђ) 4 . 2 4 3 7 8 5 2 2 1 6 3 4 12 4 38 19 11 1 5 11. а) ; б) = ; в) 6 = 6 ; г) 2 ; д) 8 = 8 ; ђ) 4 = 4 ; е) = ; ж) 4 . 3 4 2 8 4 5 15 5 50 25 99 9 17 12. а) б) в) 4.

 7 8 3

1 3 2 4 3 2 5 3 2 3 2

7 8 1 6 8 1 7 8 1 2 8

5 9 4 5 9 4 6 9 4 1 9 1

 5 7 6 12 7 2 5 7 6

1 1 7 4 5 7 5 11 7 1 4 7

4 7 1 2 7 2 8 7 5 7

4

3 7 2 3 7 3 9 7 6 1 7 3

2 2 8 2 5 8 3 3 8 8

3 8 5 8 8 5 5 8 2

4

13. а) x = 4 ; б) x = 21; в) x = 4 ; г) x = 9 ; д) x = 4 ; ђ) x = 4 .

141

4 14. а) x = 8 ; б) x = 3 ; в) x = 7 ; г) x = 5 ; д) x = 3 ; ђ) x = 6 . 9 3 3 1 2 15. а) 2 ; б) ; в) 11 ; г) 3 . 5 4 3 5 4 5 3 17 16. а) 5 ; б) 7 ; в) 10 ; г) 5 . 5 9 4 20 1 4 10 17. а) 8 ; б) 10; в) 6 ; г) 8 . 3 7 11 1 18. 19 . 10 3 4 19. Други је продао 5 m штофа више од првог, а укупно су продали 30 m штофа. 5 5 5 20. 28 km . 8

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА РАЗЛИЧИТИХ ИМЕНИЛАЦА 2 1 8 5 13 2 1 4 5 9 1 3 4 15 19 + = + = ; б) + = + = ; в) + = + = ; 5 4 20 20 20 5 2 10 10 10 5 4 20 20 20 2 1 4 3 7 7 3 14 3 17 5 3 20 9 29 5 г) + = + = ; д) + = + = ; ђ) + = + = =1 . 9 6 18 18 18 10 20 20 20 20 6 8 24 24 24 24 7 7 7 1 23 1 7 2. а) ; б) 1 ; в) 1 ; г) 1 ; д) 1 ; ђ) 1 ; е) 1 . 9 12 24 6 24 5 15 24 11 17 7 27 13 3. а) 5 ; б) 8 ; в) 8 ; г) 10 ; д) 12 ; ђ) 17 . 35 12 30 12 40 24 4. а) б) 2 3 1 5 5 1 + + 3 5 5 7 2 12 6 2 3 31 45 7 2 11 29 19 8 8 11 13 8 40 56 8 15 20 30 30 4 2 1 2 1 31 5 17 1 1 1 4 5 9 3 15 21 6 36 18 18 1 13 19 3 4 13 19 3 6 7 10 12 4 20 28 4 5 60 30 10 1. а)

14 ; 33 33 6. а) 19 ; 70 7. 5. а) 14

142

1 5 3 б) 9 ; в) 8 ; г) 11 ; 3 36 20 23 1 б) 18 ; в) 10 . 24 30

д) 18

3 ; 10

ђ) 22

23 . 36

1 2 5 4 1 5 1 5 3 2 б) − = − = ; в) − = − = ; 2 5 10 10 10 6 2 6 6 6 11 2 11 8 3 3 1 9 2 7 д) − = − = ; ђ) г) − = − = ; 20 5 20 20 20 4 6 12 12 12 11 5 1 11 7 1 9. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) . 24 24 30 21 18 10 5 9 19 11 11 б) 3 ; в) 3 ; г) 10 ; д) ; 10. а) 2 ; 28 20 24 14 12 7 13 7 17 5 б) 11 ; в) 11 ; г) 1 ; д) 9 ; 11. а) 3 ; 12 60 15 60 24 12. а) б) 8. а)

1 8 1 4 1 3 15 4 3 9

49 1 120 8 1 15 7 4 20 131 4 180

4 1 5 3 4 2 3

2

5 1 13. а) 1 ; б) 10 . 8 14 31 2 ; б) 19 . 14. а) 4 42 5 4 37 15. а) 48 ; б) 14 . 15 42 ⎛ 2 1⎞ 7 16. 12 −⎜ 4 +1 ⎟= 6 . ⎝ 5 4 ⎠ 20 2 ⎛ 5 2 ⎞ 17 17. 5 +⎜ 6 − 3 ⎟= 8 . 5 ⎝ 6 3 ⎠ 30 7 ⎛ 4⎞ 13 18. 7 +⎜ 9 − 6 ⎟=10 . 10 ⎝ 15 ⎠ 30 37 19 19. 1 . 20. 16 . 40 20 3 4 25. 19 cm . 24. 31 . 5 5 3 7 1 7 29. 2 + 5 =14 − 5 . 4 8 2 8 43 13 37 37 30. а) 27 ; б) 15 ; в) 9 ; г) 9 . 60 60 60 60

7 2 21 16 5 − = − = ; 8 3 24 24 24 6 1 12 7 5 − = − = . 7 2 14 14 14

7 . 10 29 ђ) 1 . 36 ђ) 9

3 8 23 1 40 1 8 1 24 3

17 . 60 3 26. 6 cm . 5 21. 7

1 . 36 1 27. 7 cm . 5 22. 17

1 23. 9 . 8 1 28. 30 m . 2

143

11 . 20 5 12 − 5 7 1 32. 1− = му је остало, а то је 700 динара, па закључујемо је 100 динара, = 12 12 12 12 31. 5

што значи да је понео 1200 динара. 4 5 1 33. 1− = је остало, а то је 50 страница, књиге има 10 страница, а цела књига има 90 9 9 9 страница. 7 8 1 је остало, а то је 40kg јагода, од укупне количине је 5kg , а укупна = 15 15 15 количина јагода је 75kg .

34. 1−

⎛ 7 3 ⎞ 11 35. 1−⎜ + ⎟= укупне количине. ⎝ 20 8 ⎠ 40 ⎛9 4 ⎞ 17 36. 1−⎜ + ⎟= ⎝ 20 15 ⎠ 60 ⎡ 1 ⎛1 1 ⎞ 1⎤ 4 37. 1−⎢ +⎜ + ⎟+ ⎥= ⎣ 9 ⎝ 9 12 ⎠ 4 ⎦ 9 ⎡ 7 ⎛ 7 3 ⎞⎤ 5 39. 1−⎢ +⎜ − ⎟⎥= ⎣ 12 ⎝ 12 8 ⎠⎦ 24 1 ⎛1 3 ⎞ ⎛1 3 1 ⎞ 17 40. +⎜ + ⎟+⎜ + − ⎟= km = 850 m 5 ⎝ 5 20 ⎠ ⎝ 5 20 20 ⎠ 20 7 ⎛ 7 8 ⎞ ⎡⎛ 7 8⎞ 8⎤ 1 41. 4 +⎜ 4 + 9 ⎟+⎢⎜ 4 + 9 ⎟+ 9 ⎥= 43 m 10 ⎝ 10 10 ⎠ ⎣⎝ 10 10 ⎠ 10 ⎦ 2 1 1 13 5 5 5 42. а) + = ; б) − = . 4 9 36 6 8 24 1 1 1 1 44. + − = 6 4 12 3 1 1 1 45. − = , што значи да би Воја сам опрао ауто за 42 минута. 14 21 42 1 1 9 60 20 2 46. посла се заврши за 1 сат, а цео посао би се завршио за + = = = 6 сати, 12 15 60 9 3 3 тј. 6 сати и 40 минута. 1 1 1 посла за 1 дан, а цео посао за 60 дана. − = 15 20 60 5 1 1 3 1 48. 2 + = 3 минута, а за 1500 m потребно јој је 9 = 9 минута. 6 4 12 12 4 ⎛ 3 1 1⎞ 1 пута је 15 km , а цео пут је 15⋅40 = 600 km . 49. 1−⎜ + + ⎟= ⎝ 8 10 2 ⎠ 40 1 1 3 3 1 1 1 3 3 50. I буре: 124 +12 +15 =152 l ; II буре: 124 −12 =112 l ; III буре: 124 −15 =108 l . 2 2 4 4 2 2 2 4 4 47.

144

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА 1. а) 9,5; б) 17,3; в) 4,14; г) 13,7; д) 12,42; ђ) 127,61. 2. а) 33,3; б) 18,11; в) 39,5; г) 33,32; д) 223,27; ђ) 400,066; е) 31,718; ж) 2008,9976; з) 136,423. 3. а) б) + 1 3 6 + 2,6 7,91 3,199 0,32

1,32

3,32

6,32

4,4

7

12,31

7,599

0,4

1,4

3,4

6,4

11,3

13,9

19,21 14,499

0,183

1,183

3,183

6,183

13,45

16,05

21,36 16,649

4. а) 17; б) 40,496; в) 208,877; г) 83,062; д) 7,2378. 5. а) 5,6; б) 2,7; в) 2,38; г) 0,55; д) 6,88; ђ) 4,63. 6. а) 33,3; б) 2,1; в) 27,47; г) 1; д) 2,11; ђ) 35,911; е) 4; ж) 84,162; з) 0,61; и) 5,011; ј) 1,973; к) 2,384; л) 10; љ) 0,001; м) 7,186. 7. а) б) 4,8

1,6

8,4

5,28

6,39

3,19

12,31

9,19

7,11

3,91

6,38

3,26

3,82

0,62

6,22

3,1

8. а) 16,258; б) 10,587; в) 2,65; г) 601; д) 4,78; ђ) 7,1. 9. а) 11,219; б) 10,461; в) 4,019; г) 3,261. 10. а) 45,78; б) 51,78; в) 250,01; г) 91,492; д) 4,944. 11. а) 2; б) 10,835; в) 2,24; г) 1,985; д) 0,77; ђ) 7,3; е) 5; ж) 5,05. 47 3 3 5 ; б) 2 ; в) 9 ; г) 1 ; д) 3 . 12. а) 17 10 4 8 100 13.

1 16 ; б) 12 . 8 45 15. а) 11,05; б) 5,75; в) 3,46. 16. 8,08. 17. 15,3. 18. 40,22kg.

14. а)

145

19. 17,85t.

20. 17,8cm.

21. 122,64m.

22. 27,126.

24. 35,48.

25. 19,5.

7 16. 16 . 8

3 27. 9 = 9,6 . 5

23. 1,37.

28. 100 −(42 + 28,5 + 8,35)= 21,15 динара 29. I корпа: 10,125 − 4,8 = 5,325 kg ; II корпа: 9, 45 +1,55 =11kg . 30. 34, 4 +(34, 4 + 2,25)+[(34, 4 + 2,25)− 8,64 ]= 99,06 km . 31. 4,9 +(4,9 + 9,8 )+(4,9 + 9,8 + 9,8 )+(4,9 + 9,8 + 9,8 + 9,8 )= 78, 4 m . 32. 26,5 +(26,5 + 8,3)+[26,5 +(26,5 + 8,3)]=122,6 динара. 34. 300 −[40 +(40 −1,5)+(65,5 + 8,75)]=147,25 kg . 35.

а)

18,66 8,71 9,95 3,6 5,11 4,84

б)

в) 21,89 9,49 12,4 7,35 2,14 10,26

52,38 31,12 21,26 17,66 13,46 7,8 4,95 12,71 0,75 7,05

СВОЈСТВА САБИРАЊА РАЗЛОМАКА 1. а) 2.

1 3 3 ; б) ; в) 13,3 ; г) 3 . 7 4 8 а)

б)

a 3 2 7 7 8 9 4,11 a 2 3 1 2 4 6,6

b 3 1 4 1 4 6 7,3 b 5 6 1 3 6 0, 4

c 8 9 1 4 8 2,15

a + b = b + a ; a +(b + c )= (a + b )+ c

2 3. а) 6 ; б) 20; в) 18; г) 21. 3 5 4. а) 6x + 2,9 ; б) 7a +7 . 6 5. а) 3,2; б) 1,6; в) 14,91; г) 8,095.

146

a +b 5 4 28 17 12 18 11, 41

b +a 5 4 28 17 12 18 11, 41

a +(b + c ) 7 2 18 13 9 24 9,15

(a + b )+ c 7 18 13 9 24 9,15 2

ЈЕДНАЧИНЕ 1 19 1. а) ; б) 11,8; в) ; г) 3,29. 6 24 2. + 5,93 3,79



3,95

2,66

10,56

4,32

10,25

8,11

7,46

19,4

15,45

16,74

8,84

1,87

7,8

5,66

5,01

13,5

9,55

10,84

2,94

1,86

7,79

5,65

5

11,06

7,11

8,4

0,5

3. + 1 3 4 7 5 3 4 4

1

3

4. а) x =

3,14

2 3

5 7 15 5 6 12

9

1 2 5 3 6 3 8 10 1 5 4

0 1 3 4 7 5 3 4 4 3

5 7 1 9 20 29 5 5 3 4 4 60 6 18 3 2 1 3 3 2 5 45 4 53 59 8 8 8 7 60 180 15 

3 5 7 1 30 3

0 5

17 60

17 9 5 ; б) x =1 ; в) x = 2 . 10 12 63

5. а) x =12

1 5 1 ; б) x = 2 ; г) ax =17 . 3 18 12

6. а) x = 6,1; б) x =13,82 ; в) x = 6,65 ; г) x =10,07 ; д) x = 0,85 ; ђ) x = 4,67 ; е) y =11,12 ; ж) x = 3,1 . 1 4 9 13 1 19 7. а) x = 4 ; б) a = 5 ; в) m = 2 ; г) x = 4 ; д) x = 7 ; ђ) x =10 . 6 10 30 5 10 20 8. а) x = 6

73 1 11 1 13 11 ; б) a = 5 ; в) x = 6 ; г) x =10 ; д) x = 7 ; ђ) x = 4 . 8 120 10 15 20 12

9. а) x = 8,9 ; б) x = 7

33 53 5 ; в) x = ; г) x = 3 . 40 60 9

2 10. x =10 . 3 11. x = 9

11 . 36

3 12. x = 8 . 5 13. x = 5

13 . 60

147

21 . 40 2 15. x =10 . 45 ⎛ 29 3⎞ 4 16. 12 −⎜ x +1 ⎟= 4 , x = 5 . ⎝ 36 4⎠ 9 17. 52,5 +(52,5 −10,75)+ x =150 , x = 55,75 . Бициклиста треба да пређе још 55,75 км. 14. x =1

18. 73,6 +(73,6 + 5,6 )+ x = 224 , x = 71,2 . Виолета је убрала 71,2 кг малина. 1 1 1 +x = , x = . 20 15 60 131. нацртати

19.

НЕЈЕДНАЧИНЕ 3 1 1 ; б) x ≤ 3 ; в) x < 7 ; г) x ≥ 5,5 . 10 4 2 7 7 2. а) x ≥1 ; б) x < 6 . 12 8 3. а) x ∈ {1, 2, … , 9}; б) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; в) x ∈ {8, 9}; г) x ∈ {6, 7, 8, …}; д) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. 1. а) x >

2 1 1 1 1 4 3 1 1 4. а) x 6,6 ; д) x > 5,3 ; ђ) x < 8 . 3 7 1 3 7 1 6. а) x ≥10 ; б) y > 2 ; в) x ≥ 4 ; г) x > 3 ; д) x > 5 ; ђ) x ≤ 4 . 4 10 4 10 4 2 4 29 1 3 7. а) x > 8 ; б) x ≥ 2 ; в) x ≥10 ; г) x ≤1 . 15 36 4 4 1 4 7 19 8. а) x > 5 ; б) x > 7 ; в) y > 2 ; г) y ≥ 3 . 4 5 10 20 19 9. x < 3 . 20 ⎧ 3⎫ 10. x 13,3 . 29 . 60 1 15. x ≤ 5 . 5 14. x < 2

148

РАЗЛОМЦИ  III ДЕО МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ 1. Допиши шта недостаје: 1 1 1 1 1 1 1 1 1⋅7 ; а) + + + + + + = ⋅7 = = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ⋅ б) + + + + + + + + + + = ⋅ = = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 ⋅ в) + + + + + + + = ⋅ = = = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

;

2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе: 1 1⋅3 3 3⋅ а) ⋅3 = ; б) ⋅5 = = = = = 2 2 4 4 10⋅ 7 ⋅ ; г) ⋅6 = в) 10⋅ = = = = = 7 3 3 3 ⋅ ; д) 5⋅1 = 5⋅ = = = 4 4 5 ⋅ . ђ) 2 ⋅10 = ⋅ = = = = 6 6 3 3. Допиши шта недостаје: 1 1 1 а) : 2 = ; = 3 3⋅ 14 в) ; : 5= = 9 ⋅ 3 д) 3 : 8 = : 8= 10 ⋅ .

=

4. Допиши шта недостаје: 4 4: 1 а) : 4 = ; = 7 7 2 : в) 2 : 8 = : 8= = 7 7 5. Израчунај: 1 а) ⋅2 ; 5 7 г) : 10 ; 3 6. Шта је веће:

5 5 : 9= = 6 ⋅ 49 г) : 3= = 11 ⋅ 3 ђ) 6 : 4 = : 4= 7 б)

;

18 : : 3= 10 10 3 г) 6 : 5 = : 7 б)

;

1 :2; 5 2 д) 3 : 18 ; 17 б)

= =

4

;

;

; =

; =

⋅

=

.

; :

=

=

.

7 в) 10⋅ ; 3 2 ђ) 18⋅3 . 17

3 5 од 340 или од 400? 4 8

149

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Попуни дате таблице, као што је започето: x⋅y

1 3

1 4

1 5

x:y

3

300

300

100

420

420

108

21

3 5

4

5

108

2. Попуни празна места тако да добијеш тачне исказе: 1 6 6 6 1 1 1 1 а) ⋅ = : 3 = ; б) ⋅ = : 7 = ; = = 7 13 13 ⋅ 7 3 7 7⋅3 1 1 21 1 21 35 1 35 в) ; г) 5 ⋅ = ⋅ = : = ⋅ = : = 4 20 4 20 4 ⋅ 27 8 27 1 5 1 65 д) ⋅5 = ⋅ = . : = = = 4 12 4 12 ⋅ 3. Допиши шта недостаје: 3 5 3⋅5 а) ⋅ = ; = 4 11 4⋅11 17 3 ⋅3 в) ⋅ = ; = 8 5 ⋅5 5 6 5 19 ⋅ д) ⋅1 = ⋅ = 6 13 6 13 ⋅

=

=

2 4 2⋅ б) ⋅ = ; = 3 9 3⋅ 4 11 4⋅ г) ⋅ = ; = 9 7 ⋅7 1 2 ⋅ ; ђ) 2 ⋅3 = ⋅ = 2 7 2 7 ⋅

4. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 3 2 2 5 15 3 а) ⋅ ; б) ⋅ ; в) ⋅ ; 4 5 7 6 8 5 5 1 5 8 3 1 д) ⋅1 ; ђ) 3 ⋅ ; е) 2 ⋅3 ; 7 13 7 13 4 5 5. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 8 5 25 27 35 33 а) ⋅ ; б) в) ⋅ ; ⋅ ; 15 12 36 40 22 65 3 14 8 19 3 5 ђ) ⋅1 ; е) 3 ⋅3 ; д) 3 ⋅ ; 4 25 51 100 14 9

150

=

=

=

3 11 ⋅ ; 22 7 2 4 ж) 4 ⋅1 . 7 15

г)

39 105 ; ⋅ 60 26 1 9 ж) 4 ⋅12 . 91 100 г)

;

.

6. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 42 15 5 102 20 27 б) ; а) ⋅ ⋅ ; ⋅ ⋅ 75 32 28 225 37 255

в)

35 32 39 ⋅ ⋅ . 18 65 12

7. Израчунај: 3 ⎛3 2⎞ а) 3 ⋅⎜ + ⎟; 4 ⎝5 3⎠

б)

8. Упореди следеће производе: 4 5 1 1 а) ⋅ и ⋅ ; 9 21 3 5 9. Шта је веће:

3⎛ 7 3⎞ ⋅⎜ 4 − ⎟; 8 ⎝ 15 10 ⎠

⎛ 17 1 ⎞⎛ 7 3 ⎞ в) ⎜ −1 ⎟⎜ ⋅ 2 − ⎟. ⎝9 6 ⎠⎝ 10 5 ⎠

1 5 3 7 б) 3 ⋅ и 2 ⋅ ; 4 3 5 15

1 1 1 1 в) 4 ⋅4 и 8 ⋅2 . 2 3 2 5

5 4 7 6 од 2 или од 1 ? 8 9 9 7

10. Докажи да је производ бројева

1 1 и једнак разлици тих бројева. 2 3

3 5 11. Шта је мање, и за колико: производ или разлика бројева 2 и ? 8 6 5 4 12. Шта је веће, и за колико: збир или производ бројева 3 и 2 ? 7 5 4 3 3 m, 3 m и 2 m, колика је запремина собе? Колико 5 4 5 квадратних метара ламината треба купити за под те собе?

13. Ако су димензије собе 4

14. Ако килограм јабука кошта 55 динара, колико треба платити за 1800 грама?

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева: 1 1 1 1 2 33 9 137 , , ; в) , , , ; а) 1, 4, 10, 101; б) , 2 16 105 997 5 67 7 24 2. Допиши шта недостаје: 1 ; а) 1: 11= 2 1 2 ⋅ : = ⋅7 = = 3 7 3 2 1 1 ђ) 2 : = : = ⋅ 9 4 4

г)

3 4 = б) 1: = 4 = =

; ⋅

=

1 13 9 1 г) 1 , 2 , 10 , 22 . 4 15 10 22

7 в) 1: = 6 13 1 13 ⋅ д) : = ⋅ = 5 9 5

=

;

; =

=

;

.

151

3. Допиши шта недостаје: 2 3 2 5 ⋅ 7 6 7 13 ⋅ = = = а) : = ⋅ = ; б) : = ⋅ = 7 5 7 3 ⋅ 11 13 ⋅ 11 4 5 ⋅1 5 3 5⋅1 : = ⋅ = = = в) ; г) : = ⋅ = ; 15 5 15 3⋅ 8 2 3 ⋅ 5 6 ⋅ ; д) 2 : = ⋅ = = = 8 7 8 6 ⋅ 5 1 ⋅2 : = ⋅ = = ђ) 1 : 5 = . 6 4 4 ⋅ 4. Израчунај количнике: 4 2 а) : ; 5 3 45 18 д) : ; 8 25

7 6 : ; 10 15 36 27 ђ) ; : 69 23

б)

12 8 ; : 25 33 7 7 е) 3 : ; 10 25

5. Одреди вредност следећих двојних разломака: 1 11 63 а) 3 ; б) 15 ; в) 77 ; 72 4 3 21 17 10 6. Израчунај: 3 ⎛3 2⎞ а) :⎜ + ⎟; 4 ⎝7 3⎠

⎛ 7 7⎞ 7 б) ⎜2 −1 ⎟: ; ⎝ 15 10 ⎠ 6

7. Докажи да је количник бројева 5

56 21 ; : 121 22 85 12 ж) :1 . 91 39

в)

г)

г)

5 . 30 13 ⎛ 7 1 ⎞⎛ 8 2⎞ в) ⎜3 −1 ⎟⎜ : 1 + 2 ⎟. ⎝ 9 6 ⎠⎝ 10 5⎠

2 1 6 и 14 једнак првог броја. 3 6 85

8. Шта је веће: 2 4 2 4 а) ⋅ или : ; 7 5 7 5

2 7 2 7 б) ⋅ или : ; 7 5 7 5

2 2 2 2 в) 1 ⋅3 или 1 : 3 . 3 5 3 5

9. Упореди следеће количнике: 4 5 1 4 а) : и : ; 9 17 2 19

1 5 1 3 б) 3 : и 3 : ; 5 4 6 2

3 2 5 8 в) 4 : 2 и 6 : 3 . 4 3 6 9

10. Који број треба помножити са 3

3 1 да би добијени производ био 1 ? 10 2

3 11. Украсну траку Маша је поделила на два дела. Један део је целе траке, а други је дуг 5 1 18 cm . Колико је била дуга цела трака? 2 12. Ако је Никола 750g јагода платио 135 динара, колика је цена јагода?

152

;

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА 1. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака, израчунај производе: 11 22 75 3 2 8 ⎛ 7 15 ⎞ 16 3 ⎛ 11 4 ⎞ а) ⋅⎜ ⋅ ⎟; б) ⎜ ⋅ ⎟⋅ ; в) г) 2 ⋅ ⋅ . ⋅ ⋅ ; 45 89 33 16 5 35 ⎝ 8 17 ⎠ 49 4 ⎝ 17 3 ⎠ 2. Израчунај: 6 ⎛ 7 15 ⎞ а) :⎜ ⋅ ⎟; 13 ⎝ 26 28 ⎠

⎛ 6 7 ⎞ 15 б) ⎜ : ⎟⋅ ; ⎝ 13 26 ⎠ 28

⎛ 16 22 ⎞ 55 в) ⎜ : ⎟: ; ⎝ 45 27 ⎠ 72

г)

16 ⎛ 22 55 ⎞ :⎜ : ⎟. 45 ⎝ 27 72 ⎠

3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање, израчунај следеће бројевне изразе: ⎛7 13 16 29 13 3 16 14 22 15 ⎛ 1 1 ⎞ 7 ⎞ 15 а) ⋅⎜1 +1 ⎟; б) ⎜ − ⎟⋅3 ; в) ⋅2 + 3 ⋅ ; г) 1 ⋅2 + ⋅ . ⎝ 12 15 ⎠ 28 19 45 45 19 11 25 11 25 2 ⎝ 5 3⎠ 4. Израчунај: 1 2 2 1 5 2 а) ⋅ + ⋅ + ⋅ ; 6 5 5 3 6 5 3 3 1 3 3 1 в) 3 ⋅ − ⋅ − ⋅1 ; 4 7 4 7 7 2

⎛ 3 5 1 2⎞ 7 б) ⎜15 + 4 +1 +14 ⎟⋅ ; ⎝ 4 7 4 7⎠ 4 ⎛ 13 1 2 ⎞ 17 г) ⎜ 6 + 2 −1 ⎟: . ⎝ 18 2 3 ⎠ 45

5. Како се мења производ два броја ако се: 4 а) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 5 5 б) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 4 1 в) један чинилац помножи са , а други са 2 ; 2 5 4 г) један чинилац помножи са , а други са ; 4 5 7 7 д) један чинилац помножи са , а други са ; 8 6 9 4 , а други са . ђ) један чинилац помножи са 14 3 6. Како се мења количник два броја ако се: 2 а) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 3 3 б) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 2 3 в) дељеник и делилац помноже са ; 7 5 4 г) дељеник помножи са , а делилац подели са 1 ; 9 5 5 4 д) дељеник подели са , а делилац помножи са 1 ; 9 5

153

5 4 , а делилац помножи са 1 ; 9 5 5 4 е) дељеник подели са , а делилац подели са 1 ; 9 5 3 1 ж) дељеник помножи са , а делилац помножи са . 11 4

ђ) дељеник помножи са

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Попуни таблицу како је започето: ⋅

10

0,56943278

5,6943278

100

1000

10000

100000

12,004563 0,000019804 67,2

6720

95,003 2. Попуни таблицу како је започето: ⋅

0,067

0,67

0,2

6,7

67

13, 4

1,7

34,57 50,019 3. Израчунај: а) 5⋅0,5 ; д) 3, 4⋅5,88 ;

б) 0,77⋅8 ; ђ) 56,89⋅8,9 ;

в) 0,6⋅0,9 ; е) 3,098⋅1,01 ;

г) 1,7⋅0, 4 ; ж) 0,0071⋅4005,2 .

4. Израчунај производе и заокругли их на 2 децимале: 1 7 б) 4 ⋅8,33 ; в) (3, 42 + 0,766)⋅0,8 ; а) 0,3⋅ ; 4 20 ⎛ ⎛ 3 ⎞⎛ 9⎞ 13 ⎞ д)⎜ 0,67 +13 ⎟⋅0,97 ; ђ) ⎜10 −7,87⎟⎜ г) 1,1⋅(0,904 − 0,094) ; ⋅ 0,066 + ⎟. ⎝ ⎝ 4 ⎠⎝ 25 ⎠ 125 ⎠ 5. Упореди следеће производе: а) 5,6⋅0,02 и 0,25⋅0, 4 ;

154

б) 0,8⋅4,08 и 0,7⋅4,67 ;

в) 3,88⋅0,36 и 9,7⋅0,144 .

6. Димитрије је купио 2,5kg кајсија по цени од 74,9 динара по килограму и 1,75kg јабука по цени од 49,9 динара по килограму. Колико је укупно платио то воће? 7. Спортска дворана има димензије 51,5m, 20,8m и 6,44m. Колико клима уређаја треба купити за ту дворану ако један покрива простор од 100m3 ? 8. Пешак се креће брзином од 4,5km/h. Колико колометара ће прећи за 2 сата и 15 минута?

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. Попуни таблицу како је започето: :

10

100

1000

10000

639732,54 1987,06 15,001 7,5

0,0075

0,03 2. Попуни таблицу како је започето: :

0,087

0,87

8,7

87

0,87 1,74

19,227

0,221

263,61 3. Израчунај: а) 0,77 : 9 ;

б) 0,76 : 0,3 ;

в) 9,7 : 0, 44 ;

г) 0,0058 : 0,25 ;

д) 6,09 : 0,0609 .

155

4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале: 3 11 б) 6, 4 : 44 ; а) 1 : 0,008 ; 5 125 1 д) 5,2 : (3 + 2,6) ; г) (16,8 + 0,7) : 0,025 ; 4

в) 7,2 : (3,65 − 2,6) ; 1 ђ) (1 − 0,7) : 2, 4 . 2

5. Упореди следеће количнике: а) 0,0505 : 0,05 и 123,25 : 120,75 ; б) 1,326 : 0,5 и 0,7 : 0,307 ; в) 7,6836 : 1,14 и 2,359 : 0,35 . 6. Шта је веће, и за колико: количник бројева 0,2727 и 2,7 или разлика бројева 0,2727 и 0,1727 ? 7. Попуни дате шеме. У ком случају је производ мањи од чинилаца? Зашто? 1)

2) 80

0,013

1,22

0,22 5,7

8,45

8. Попуни „пирамиде” поштујући правило да је производ два суседна поља уписан у поље изнад та два поља. 0,06655 12,1

2,25 0,11

1,5 2

3,1

1,1

9. Површина правоугаоног дворишта је 3,7485a, а ширина тог дворишта је 15,3m . Колико плетене жице треба купити да би се то двориште оградило? 10. Површина правоугаоног дворишта је 3,1104a, а дужина тог дворишта је 21,6m. Колико вертикалних делова има у огради тог дворишта ако је растојање између свака два таква дела 0,2m ? 11. Којом брзином треба да вози тракториста да би 45,5km прешао за 1 сат и 24минута?

156

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ 1. Израчунај вредност израза: ⎞ 1 ⎛3 1 3 а) 3 ⋅⎜ + 6,6 ⎟; б) 3 ⋅ + 6,6 ; ⎠ 3 ⎝5 3 5 ⎛ 2 ⎞ 2 д) 15,6⋅⎜1 −1,607⎟; ђ) 15,6⋅1 −1,607 ; ⎝ 3 ⎠ 3

⎛ 3 ⎞7 3 7 в) ⎜ 4 + 0,37⎟⋅ ; г) 4 + 0,37⋅ ; ⎝ 4 ⎠8 4 8 ⎛ 3 ⎞ 3 е) ⎜ 4 − 3,83⎟⋅0, 44 ; ж) 4 − 3,83⋅0, 44 . ⎝ 10 ⎠ 10

2. Израчунај вредност израза и резултате заокружи на две и на четири децимале: ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎛3 1 3 3 а) 3 :⎜ + 6,6 ⎟; б) 3 : + 6,6 ; в) ⎜ 4 − 3,83⎟: 0, 44 ; г) 10 − 3,83 : 0, 44 . ⎠ ⎝ 10 ⎠ 3 ⎝5 3 5 10 3. Израчунај вредност израза: ⎛1 ⎞⎛ 2 ⎞ а) ⎜ − 0, 4 ⎟⎜ ⋅ + 0, 4 ⎟; ⎝2 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎛ 2 ⎞ в) 3,5 + 3 :⎜5 − 3,9 ⎟; ⎝ 3 ⎠

⎛ 2 ⎞⎛ 4⎞ б) ⎜ 4 − 2 ⎟⎜ : 3 −1 ⎟; ⎝ 5 ⎠⎝ 5⎠ ⎛ 1 3 ⎞ г)⎜5 ⋅ + 2,2⎟: 0,8 − 0,133 . ⎝ 3 4 ⎠

4. Израчунај вредност израза: 3 ⎛ 2 1⎞ 5 7 а) 1 :⎜ + ⎟+ : ; б) 2 1 ⋅0,8 − 1 : 1 +1, 4 : 0,8 ; в) 12, 4⋅0,21+ 3,2⋅10 − 0,15⋅4 ; 4 ⎝ 5 2 ⎠ 6 11 4 10 4 1 3 1 3⎛ 1⎞ д) 2 : − ⋅1 ⋅⎜ 0,75 + ⎟; г) 8 : 0,2 −18,06 : 0,7 +7,5 : 0,05 ; 4 4 4 5⎝ 4⎠ 3 4 + 0,08⋅25 0,75⋅8 1 0,64 : 0,8 3 ђ) е) 7 ; ж) 4,5 − : ; : . 3 2 9 0, 4⋅5 4 0,2 ⋅ 20 5 2 −3 ⋅ 7 9 14 5. Сваки од бројева 6 ,

4 7 1 5 , , 1 , 2 и 0,99 представи као збир два једнака сабирака. 5 11 3 7

6. Сваки од бројева 10 ,

5 4 5 , , 2 и 0,68 представи као збир пет једнаких сабирака. 11 5 7

7. Израчунај a⋅b⋅c ако је: 5 1 а) a = , b = 0,8, c =1 ; 6 5

3 5 б) a =1 , b = 0,5, c = ; 4 8

1 в) a = , b = 0,9, c = 6,7 . 3

8. Израчунај бројевну вредност израза 3a +7b ако је: 1 2 7 3 5 а) a = , b = ; б) a = 3 , b = 2 ; в) a =1 , b = 6,3 ; 5 7 8 4 9

г) a = 0,09, b = 90,08 .

157

1 1 9. Израчунај бројевну вредност израза 6 m − 3 n ако је: 5 9 5 9 23 1 а) m = , n = б) m = 3 , n = 2 в) m =1,27, n = 0,09 7 14 24 4 5 10. Израчунај бројевну вредност израза 96,9 : x − 2 y ако је: 7 1 7 3 б) x = 5, y = 0,77 в) x = 0,12, y = 5 а) x = , y = 3 19 5 ⎛ 1 ⎞ 28 35 11. Израчунај бројевну вредност израза ⎜1 a − b ⎟: a ако је a = , b = . ⎝ 3 ⎠ 37 111 ⎞ 2 ⎛1 6 1 12. Израчунај бројевну вредност израза 5 a +⎜ b − 0,3a ⎟: c ако је a = , b = 7,8 и c =1 . ⎠ 3 ⎝4 25 4 13. Израчунај

⎛ 3 1 2 1 1 6⎞ a : b ако је a =1+ 3 : 1 − ⋅1 и b =⎜2 − 2 ⋅ ⎟: 4 . ⎝ 5 5 5 4 3 7⎠ 10

⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 1 1 14. Израчунај вредности израза A =⎜1 + 3,6 ⎟: 0.25 − ⋅1,5 , B =1 + 3,6 :⎜ 0.25 − ⋅1,5⎟, ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 5 5 ⎛ 2 1⎞ 2 1 C =1 + 3,6 : 0.25 − ⋅1,5 и D =⎜1 + 3,6 : 0.25 − ⎟⋅1,5 , па их упореди. ⎝ 5 5⎠ 5 5 ⎛2 ⎞ 5 2 5 15. Израчунај вредности израза A =⎜ +1,6 ⎟: 0,5 − 0,2⋅ , B = +1,6 : 0,5 − 0,2⋅ и ⎝5 ⎠ 4 5 4 ⎛2 ⎞5 C =⎜ +1,6 : 0,5 − 0,2⎟⋅ , па их упореди. ⎝5 ⎠4 16. Од производа бројева 5

3 и 1,25 одузми њихову разлику. 5

17. Збир бројева 15,85 и 2

7 подели њиховом разликом. 20

18. Разлику бројева 3,75 и

3 подели њиховим збиром. 4

19. Од производа бројева 3,82 и 5 одузми количник бројева 2,25 и 20. За колико је производ бројева 3

158

5 . 21

3 5 и мањи од њиховог количника? 8 6

21. Одреди број који је: 1 1 1) за 3 већи од 4 3 4 3) пет пута мањи од 3 22. Израчунај разлику

3 1 броја 1 4 3 1 2 4) од броја 15. 3 5 2)

1 3

5 2 опруженог угла и правог угла. 6 3

2 23. Израчунај обим правоугаоника ABCD површине 24cm2 , ако је AB = 2 cm. 5 4 24. У једном одељењу петог разреда има 35 ученика. Дечаци чине одељења. Колико има 7 девојчица у том одељењу? 25. Бака је Владу послала у продавницу да купи 2,5l млека, векну хлеба од 800g и 250g маргарина. Дала му је 250 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје 31,3 динара, килограм хлеба 25 динара, а 125g маргарина 44,2 динара, да ли ће Влада моћи да купи своју омиљену чоколаду од 56,2 динара? 2 26. У књижари је било 1200 књига. Продавац је прве недеље продао књига, а следеће 5 1 недеље преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари? 3 1 5 27. Из магацина у коме је било 16 t шећера, једног дана је продато укупне количине, 4 13 4 а другог дана остатка. Колико је шећера остало? 5 1 1 каде, а само врућом каде. Ако су обе 12 18 славине отворене, који део каде се напуни за 6 минута? Ако се после 2 минута пуњења 1 отвори сливник, кроз који у минуту истекне воде која стаје у каду када је она пуна, 24 да ли ће се после 10 минута када прелити?

28. За 1 минут само хладном водом се напуни

29. Иван се бави атлетиком и најбоље резултате постиже у тркама на кратке стазе. На једном од својих тренинга прво је 50m истрчао за 9s. Тим временом није био задовољан 1 и други пут је успео да време скрати за , док га је у трећем покушају умор савладао и 6 13 постигао је време које је другог резултата. За колико је последњи резултат слабији 10 од првог? 30. Никола скупља маркице. Прве године је скупио 72 маркице, а друге године за трећину више маркица, док се треће године укупан број маркица увећао за две трећине. Колико маркица има Никола после те три године?

159

1 2 књиге, другог дана остатка књиге, а трећег дана 4 5 је прочитавши последњих 36 страна завршила читање. Колико страна има књига коју је Марија читала?

31. Марија је првог дана прочитала

32. Попуни дате шеме: 1)

2) 82

97,2 26

3,53

9,16

2,1

ЈЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1. Доврши започето решавање једначина: а)

б) 0,73⋅ x =1,241

2 8 ⋅x = 9 15 8 2 x= : 15 9 x= x=

⋅

x =1,241: x= 9

: 73

x=

12

x= Провера: _____________________ 2. Доврши започето решавање једначина: а)

6 8 x : =2 7 27 8 6 x =2 ⋅ 27 7 x=

27

⋅

Провера: _____________________

б)

0,567 : x = 31,5 x = 0,567 : x=

: 315

x= 7

x= x= Провера: _____________________

160

Провера: _____________________

3. Попуни празна поља одговарајућим разломцима. ⋅

2 3

:

0,04

3 7

0,073

9,6 16 1 21

7 18

0,704

0

5,61

0 16 1 35

4. Реши једначине: 7 а) ⋅ x = 2,1; 20

0

0

3 б) 0,5⋅ x + = 3,76 ; 5 1 3⎛ 7⎞ д) + ⋅⎜3⋅ x − ⎟= 2 ; 2 4⎝ 15 ⎠

2 г) 1 ⋅( x −1,5)= 7,5 ; 3 5. Реши једначине: 1 11 а) 9 : x = 2 ; 2 12 3 ⎛ 4 2⎞ 5 г) 8 :⎜1 ⋅ x −1 ⎟= 2 ; 4 ⎝ 11 3⎠ 8

3 2 б) 5 : x = 2 ; 5 15 7 1 д) x : 1 + 5,5 = 9 ; 25 4

5 7 − x ⋅1 = 2,75 ; 12 9 ⎛3 1⎞ ђ) 2,7⋅⎜ ⋅ x −1 ⎟= 0 . ⎝5 4⎠

в) 5

⎛ 1⎞ 3 в) ⎜ x + ⎟: 2,5 =1 ; ⎝ 4⎠ 7 5 7 ђ) 5 −1 : x = 2,75 . 12 9

1 3 7 6. За коју вредност а израз 2 a+ 3 узима вредност 6 ? 3 4 24 7. За коју вредност m израз

4⎛ 2 5 ⎞ 2 ⋅⎜16 − m⎟+ 0,35 : 0,25 узима вредност 8 ? 9⎝ 7 4 ⎠ 5

8. Којим бројем треба: 1) помножити; 2) поделити; 2 разлику бројева 4 и 3,5 да се добије количник истих бројева. 3 9. Милица је замислила један број, па га је увећала 2,5 пута. Затим је од тако добијеног производа одузела 9,8 и добила 7,7 . Који број је Милица замислила? 1 10. Одреди број који помножен збиром бројева 0,75 и 1 даје двадесети део броја 17 . 14 11. Који број треба поделити збиром бројева 0,5 и

3 5 да количник буде 4 ? 14 11

161

12. Којим бројем треба поделити разлику бројева 4 и

4 1 да би количник био + 0,2 ? 15 7

13. Цена килограм јагода је 128,25 динара, а трешања 85,5 динара. Ако је Марина купила 800g јагода више него трешања, а рачун је износио 530,1 динар, колико трешања је купила Марина? 14. Ненад је прво пешачио 3 сата и 20 минута, а затим је 2,25 сата возио бицикл, и тако прешао 44,75km. Брзина којом се кретао док је возио бицикл за 5km/h је већа од оне када је пешачио. На основу ових података одреди обе брзине којима се Ненад кретао. 15. Отац је 25 година старији од ћерке, а ћеркине године чине

2 очевих година. Колико 7

свако од њих има година? 16. Јанко и Јована имају заједно 51 бомбону. Ако је

2 3 Јованиних бомбона исто што и 3 4

Јанкових, колико бомбона има свако од њих? 4 17. Александар, Јелена и Борис имају укупно 3000 динара. Када Александар потроши 9 6 свог новца, Јелена свог дела, а Борис 500 динара остану им једнаке суме. Колико 11 новца је имао свако од њих? 18. Именилац једног разломка је за 9 већи од бројиоца истог разломка. Ако се бројиоцу 2 тог разломка дода број 2, а имениоцу одузме број 2, добија се разломак . Који је то 3 разломак? 19. Бројилац једног разломка је за 2 мањи од имениоца истог разломка. Када се од 1 1 10 . бројиоца одузме разломак , а имениоцу дода разломак , добија се разломак 2 4 21 Који је то разломак? 1 књига са прве полице 5 пребаци на другу, на њој ће бити 5 књига мање него на првој полици. Колико је било

20. На првој полици има 2 пута више књига него на другој. Када се

књига на свакој од ове две полице?

162

НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1. Доврши започето решавање неједначина: б) x ⋅ 31,5 ≥ 56,7

2 13 ⋅x < 3 18 13 x< : 18 3 3 x< ⋅ 18

а)

x<

x ≥ 56,7 : ____ x ≥ 567 : ____ x ≥ _____

12

x<

0 в)

1

0

3 x⋅10,5 − ≤1,5 5 3 x⋅10,5 ≤1,5 + 5 x⋅10,5 ≤1,5 + 0,6

2,8⋅( x +1) > 4

г)

x +1>

: 10,5

x≤

: 105

3

2 2 3

:

x +1> :

x⋅10,5 ≤ x≤

1

x+ > ⋅ 3 14 5 x+ > 3 x > −1

x≤

x>

0

1

0

1

2

2. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 1 а) 0, 4⋅ x < 3 б) x⋅3 ≥ 3 2 4 8 2 1 2 7 77 в) 8,25 − 4 ⋅ x >1 г) ⋅ x + ⋅0,8 > 3 4 9 8 90 3⎛ 2 ⎞ 11 8 ⎛ 1 1 ⎞ 1 7 д) ⋅⎜ x − ⎟≤ ђ) ⋅⎜2 +1 ⋅ x ⎟+1 ≤1 4⎝ 3 ⎠ 20 101 ⎝ 3 2 ⎠ 4 12

163

3. Доврши започето решавање неједначина: 3 1 x : 0, 45 + 0,25

x:

>

x>

0

г) 1,7 : x > 2

:3

6 6

⋅ 10 28

− x ≥ 2,1:

⋅2,5

−x≥

x>

: 0,7

4, 4 − x ≥ ;

x ≤ 4, 4 −

0

164

1

2

3

0

1

x≤

2

4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 3 1 37 б) 4,2 : x ≥ ; в) x : 0,875 − > ; а) x : 2 ⋅ ; 9 21 3 5

1 5 3 7 б) 3 ⋅ > 2 ⋅ ; 4 3 5 15

1 1 1 1 в) 4 ⋅4 > 8 ⋅2 . 2 3 2 5

9. Како је

5 4 55 7 6 13 42 5 4 7 6 ⋅2 = , а ⋅1 = = , закључујеш да је од 2 веће од од 1 . 8 9 36 9 7 9 36 8 9 9 7

1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 10. Како је ⋅ = и − = − = , следи да је ⋅ = − . 2 3 6 2 3 6 6 6 2 3 2 3 3 5 95 3 5 74 3 5 11. Како је 2 ⋅ = , а 2 − = , закључујеш да је производ бројева 2 и већи од 8 6 48 8 6 48 8 6 95 74 21 7 њихове разлике за − = = . 48 48 48 16 12. Већи је производ тих бројева за 3

31 . 35

4 13. Запремина собе је 46 m3, а за под треба купити 18 m2 ламината. 5 800 4 14. Прво треба да уочиш да је 1800 g =1 kg =1 kg, па стога 1800 грама треба платити 1000 5 4 55⋅1 = 99 динара. 5

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА 1 1 1 1 1. а) =1 , , , ; 1 4 10 101 4 15 100 22 г) , , , . 5 43 109 485

б) 2 , 16 , 105 , 997 ;

в)

5 1 67 1 7 24 ; =2 , =2 , , 2 2 33 33 9 137

1 3 4 1 7 6 2 1 2 2⋅7 14 2 ; б) 1: = =1 ; в) 1: = ; г) : = ⋅7 = = =4 ; 11 4 3 3 6 7 3 7 3 3 3 3 13 1 13 13⋅9 117 2 2 1 20 1 20 20⋅4 80 8 ђ) 2 : = : = ⋅4 = д) : = ⋅9 = = = 23 ; = =8 . 5 9 5 5 5 5 9 4 9 4 9 9 9 9

2. а) 1: 11=

2 3 2 5 2⋅5 10 : = ⋅ = = ; 7 5 7 3 7⋅3 21 11 4 11 5 11⋅1 11 в) : = ⋅ = = ; 15 5 15 4 3⋅4 12 5 6 21 7 7⋅7 49 1 д) 2 : = ⋅ = = =3 ; 8 7 8 6 8⋅2 16 16

3. а)

б)

7 6 7 13 7⋅13 91 25 : = ⋅ = = =1 ; 11 13 11 6 11⋅6 66 66 5 3 5 2 5⋅1 5 г) : = ⋅ = = ; 8 2 8 3 4⋅3 12 5 1 11 21 11 4 11⋅2 22 ђ) 1 : 5 = : = ⋅ = = . 6 4 6 4 6 21 3⋅21 63

4. Израчунај количнике: 1 а) 1 ; 5

3 б) 1 ; 4

в) 1

49 ; 50

г)

16 ; 33

д) 7

13 ; 16

ђ)

4 ; 9

13

3 ; 14

ж)

5 . 7

171

5 5. а) 1 ; 12 6. а)

4 б) 2 ; 9

63 92

б)

в)

21 ; 88

23 35

в)

г) 2

1 . 6

235 378

2 1 17 6 2 6 2 6 17 2 2 7. Како је 5 : 14 = ⋅ = и ⋅5 = ⋅ = , следи да је количник бројева 5 и 3 6 3 85 5 85 3 85 3 5 3 1 6 првог броја. 14 једнак 6 85 8. а) Како је

4 : (јер је >1) в) 1 ⋅3 > 1 : 3 (јер је 3 >1 ) 7 5 7 5 5 3 5 3 5 5 9. а) Како је

4 1 5 4 4 5 1 4 < , > , не рачунајући количнике закључујемо да је : < : . 9 2 17 19 9 17 2 19

1 1 5 3 1 5 1 3 б) Како је 3 > 3 , а < , не рачунајући количнике закључујемо да је 3 : > 3 : . 5 6 4 2 5 4 6 2 3 2 19 3 57 25 5 8 41 9 41 3 123 53 25 53 в) Како је 4 : 2 = ⋅ = =1 , а 6 : 3 = ⋅ = ⋅ = =1 и > 4 3 4 8 32 32 6 9 6 35 2 35 70 70 32 70 3 2 5 8 закључујемо да је 4 : 2 > 6 : 3 . 4 3 6 9 10.

5 11

1 11. 46 cm 4

12. 180 динара

СВОЈСТВА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА РАЗЛОМАКА 11 ; 17

б)

30 ; 119

в)

110 ; 801

г)

1 . 5

1 2. а) 3 ; 5

б)

45 ; 49

в)

1728 ; 3025

г)

1 . 3

3. а) 19 ;

б)

33 ; 80

в) 4

1. а)

4. а)

172

8 ; 15

б) 63 ;

в)

2 ; 19

6 ; 7

г) 4

12 . 25

г) 20.

5. а) Ако чиниоце означиш са a и b, а производ са P ( P = a⋅b ), тада је нови производ једнак 4 4 P1 = ab = P , тј. мањи је за четвртину производа P. 5 5 5 б) Нови производ је једнак P2 = P , тј. већи је за четвртину производа P. 4 1 в) Нови производ је једнак P3 = a⋅2b = P , тј. једнак је производу P. 2 5 4 г) Нови производ је једнак P4 = a⋅ b = P , тј. једнак је производу P. 4 5 7 7 49 1 д) Нови производ је једнак P5 = a⋅ b = P =1 P , тј. већи је за четрдесет осми део 8 6 48 48 производа P. ђ) Нови производ је једнак P6 =

9 4 6 a⋅ b = P , тј. мањи је за седмину производа P. 14 3 7

a 6. а) Ако дељеник означиш са a, делилац са b, а количник са Q ( Q = a : b = ), тада је нови b 2 a 2 a 2 количник једнак Q1 = 3 = ⋅ = Q , тј. мањи је за трећину количника Q. b 3 b 3 3 a 3 a 3 б) Нови количник је једнак Q2 = 2 = ⋅ = Q , тј. већи је за половину количника Q. b 2 b 2 3 a a в) Нови количник је једнак Q3 = 7 = = Q , тј. једнак је количнику Q. 3 b b 7 5 5 a a a г) Нови количник је једнак Q4 = 9 = 9 = = Q , тј. једнак је количнику Q. 4 5 b b :1 b⋅ 5 9 5 9 a⋅ 9 = 5 = a = Q , тј. једнак је количнику Q. д) Нови количник је једнак Q5 = 4 9 b 1 ⋅b ⋅b 5 5 a:

5 5 a⋅ 25 a 25 ђ) Нови количник је једнак Q6 = 9 = 9 = ⋅ = Q , тј. мањи је за педесет шест 4 9 81 b 81 b⋅1 b⋅ 5 5 a⋅

осамдесет првих делова количника Q.

173

5 9 a⋅ 9 = 5 = 81⋅ a = 81 Q , тј. већи је за педесет шест е) Нови количник је једнак Q7 = 4 5 25 b 25 b :1 b⋅ 5 9 двадесет петих делова количника Q. a:

3 12 a 12 ж) Нови количник је једнак Q8 = 11 = ⋅ = Q , тј. већи је за један једанаести део 1 11 b 11 b⋅ 4 количника Q. a⋅

МНОЖЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. ⋅

10

100

1000

10000

100000

0,56943278

5,6943278

56,943278

569, 43278

5694,3278

56943,278

12,004563

120,04563

1200, 4563

12004,563

120045,63

1200456,3

0,000019804

0,00019804

0,0019804

0,019804

0,19804

1,9804

67,2

672

6720

67200

672000

6720000

95,003

950,03

9500,3

95003

950030

9500300

2. ⋅

0,067

0,67

6,7

67

0,2

0,0134

0,134

1,34

13, 4

1,7

0,1139

1,139

11,39

113,9

34,57

2,31619

23,1619

231,619

2316,19

50,019

3,351273

33,51273

335,1273

3351,273

3. а) 2,5 ; д) 19,992 ; 4. а) 0,075 ≈ 0,08 ;

б) 6,16 ;

в) 0,54 ;

г) 0,68 ;

ђ) 506,321;

e) 3,12898 ;

ж) 28, 43692 .

б) 36,2355 ≈ 36,24 ; в) 3,3488 ≈ 3,35 ;

г) 0,891≈ 0,89 ;

д)13,6091≈ 13,61; ђ) 0, 4896 ≈ 0, 49 . 5. а) 5,6⋅0,02 > 0,25⋅0, 4 ; б) 0,8⋅4,08 < 0,7⋅4,67 ; 6. 274,575 динара.

174

в) 3,88⋅0,36 = 9,7⋅0,144 .

7. Треба купити 69 клима уређаја. 8. 10,125 km.

ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ЗАПИСАНИХ У ДЕЦИМАЛНОМ ЗАПИСУ 1. :

10

100

1000

10000

639732,54

63973,254

6397,3254

639,73254

63,973254

1987,06

198,706

19,8706

1,98706

0,198706

15,001

1,5001

0,15001

0,015001

0,0015001

7,5

0,75

0,075

0,0075

0,00075

0,03

0,003

0,0003

0,00003

0,000003

:

0,087

0,87

8,7

87

0,87

10

1

0,1

0,01

1,74

20

2

0,2

0,02

19,227

221

22,1

2,21

0,221

263,61

3030

303

30,3

3,03

2.

3. а) 0,08(5);

в) 22,0 ( 45) ;

б) 2,5(3) ;

г) 0,0232 ;

д) 100 .

4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале: а) 200 = 200,00 ; г) 700=700,00;

б) 0,1451... ≈ 0,15 ; д) 0,888... ≈ 0,89 ;

в) 6,857... ≈ 6,86 ; ђ) 0,333... ≈ 0,3 .

5. а) 0,0505 : 0,05 < 123,25 : 120,75 ; в) 7,6836 : 1,14 = 2,359 : 0,35 .

б) 1,326 : 0,5 > 0,7 : 0,307 ;

6. Количник бројева 0,2727 и 2,7 је за 0,001 већи од разлике бројева 0,2727 и 0,1727 . 7.

1)

2) 100

80

0,01

0,013

1,22

0,976

0,22

0,286

7,125

5,7

6,5

8,45

175

8. 20,925 2,25 1,5 2

0,06655

9,3 1,5

0,75

0,0055 6,2

2

0,05 3,1

0,5

12,1

0,11 0,1

110 1,1

100

9. 79,6 m. 10. 360 . 11. 32,5 km/h.

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ 1. а) 24 ; 2327 д) ; 2500

б) 8,6 ;

в) 4, 48 ;

г) 5,07375 ;

ђ) 24,393 ;

е) 0,2068 ;

ж) 2,6148 .

2. а) 0, 463... ≈ 0, 46 ; 3. а)

2 ; 25

4. а) 3

1 б) 1 ; 3

б) 12,155... ≈ 12,16 ; в) 5

21 ; 106

в) 1,068... ≈ 1,07 ;

г) 1,595... ≈ 1,60 .

г) 7,617.

16 3 ; б) 3 ; в) 34,004 ; г)164,2 ; д) 2,6 ; ђ) 12 ; 63 20

е) 18 ;

ж) 4

1 . 6

4 2 2 7 7 7 = + ; = + ; 5 5 5 11 22 22 1 2 2 5 5 5 0,99 = 0, 495 + 0, 495 . 1 = + ; 2 =1 +1 ; 3 3 3 7 14 14 5 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 6. 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = + + + + = + + + + 11 11 11 11 11 11 5 25 25 25 25 25 5 19 19 19 19 19 0,68 = 0,136 + 0,136 + 0,136 + 0,136 + 0,136 2 = + + + + 7 35 35 35 35 35 35 в) 2,01 7. а) 0,8 б) 64 3 5 8. а) 6 б) 25 в) 49,725 г) 630,83 5 36 3 23 9. а) 2 б) 17 в) 7,594 7 24 10. а) 289,7 б) 17,29 в) 792,3 5. 6 = 3 + 3 ;

11.

176

11 12

12. 2 13. 2

539 625

14. Како је A =19,95 , B =19, 4 , C=15,75, D=23,65, следи да је C < B < A < D . 15. Како је A=3,75, B = 3,35 , C = 4,25 , следи да је B < A < C . 13 20 47 17. 1 135 2 18. 3 19. 9,65 16. 2

3 5 19 и мањи је од њиховог количника за 1 . 8 6 80 2 б) 1 в) г) 2 3

20. Производ бројева 3 21. а) 7

7 12

22. 90 0 23. 24,8cm 24. 15 25. Како је 250 −(2,5⋅31,3 + 0,8⋅25 + 2⋅44,2) = 73,35 > 56,2 , Влада може да купи чоколаду. 26. 480 27. 2t 5 каде. Ако се после 2 минута 6 пуњења отвори сливник, после 10 минута када ће преливати.

28. Ако су обе славине отворене за 6 минута се напуни

29. Последњи резултат је за 75 стотинки слабији од првог. 30. 156 31. 80 32. Попуни дате шеме. a) 82

б) 123

128,4

11 15

20,6

26

9,16

13,74

19,14

13

129,6

97,2

96,87

11 75

3,86

3,53

2,8

2,1

1,77

5

177

JЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.

а)

Провера: 2.

а)

б) 0,73⋅ x =1,241

2 8 ⋅x = 9 15 8 2 x= : 15 9 8 9 x= ⋅ 15 2 12 x= 5 2 x =2 5

x =1,241: 0,73 x =124,1: 73 x =1,7

Провера: 0,73⋅1,7 =1,241

2 12 8 ⋅ = 9 5 15

Провера: 1 3.

x = 0,567 : 31,5 x = 5,67 : 315 x = 0,018 Провера: 0,567 : 0,018 = 31,5

61 6 124 7 62 8 : = ⋅ = =2 63 7 63 6 27 27

7 18

0

0

0

0

0

0

0

0

5,61

3,74

16 1 35

0

0

0

0

0

4. а) x = 6 ;

2 3

9 37 16 1 21

20 77 219 7700 5 33

⋅ 219 2000 7 12

0,073

0 0 0

1 в) x =1 ; 2 5 б) x = 2 ; 8

б) x = 6,32 ;

9 ; 35 2 г) x = 3 ; д) x = 4,8 ; 3 1 3 7 5 6. 2 a+ 3 = 6 ; a=1 . 3 4 24 56

5. а) x = 3

178

0,567 : x = 31,5

б)

6 8 x : =2 7 27 8 6 x =2 ⋅ 27 7 62 6 x= ⋅ 27 7 124 x= 63 61 x =1 63

: 3 7 72 185

г) x = 6 ; 9 ; 28 2 ђ) x = . 3 в) x = 3

0,04 5 7 27 9 37

10

д) x =

1,6

37 ; 45

9,6 5 112 3 74

ђ) x = 2

1 . 12

3 4⎛ 2 5 ⎞ 2 ⋅⎜16 − m⎟+ 0,35 : 0,25 = 8 ; m= . 7 9⎝ 7 4 ⎠ 5 1 7 б) x = . 8. а) x =1 ; 7 8 9. 2,5⋅ x − 9,8 = 7,7 ; x = 7 . ⎛ 1⎞ 1 7 10. x⋅⎜ 0,75 +1 ⎟= ⋅17 ; x = . ⎝ 14 ⎠ 20 15 ⎛ 3⎞ 5 2 11. x :⎜ 0,5 + ⎟= 4 ; x = 3 . ⎝ 14 ⎠ 11 11 ⎛ 4⎞ 1 8 12. ⎜ 4 − ⎟: x = + 0,2 ; x =10 . ⎝ ⎠ 15 7 9 7.

13. Ако са x означиш број килограма купљених трешања, задатку одговара следећа једначина ( x + 0,8 )⋅128,25 + x ⋅85,5 = 530,1, чије решење је x = 2. Дакле, Марина је купила 2kg трешања. 14. Ако са x означиш брзину (број километара по једном сату) којом се Ненад кретао када је 1 пешачио, задатку одговара следећа једначина 3 ⋅ x +( x + 5)⋅2,25 = 24,65 , чије решење је 3 x = 6. Дакле, Ненад је пешачио брзином од 6km/h, док је бицикл возио брзином од 11km/h. 2 15. Ако са x означиш ћеркине године, задатку одговара следећа једначина ⋅( x + 25) = x , 7 чије решење је x = 10. Дакле, ћерка има 10 година, а отац 35 година. 16. Ако са x означиш колико Јована има бомбона, задатку одговара следећа једначина 2 3 ⋅ x = ⋅(51− x ) , чије решење је x = 27. Дакле, Јована има 27, а Јанко има 24 бомбоне. 3 4 17. Ако са x, y, z означиш суме које имају Александар, Јелена и Борис, тим редом, тада услове 5 5 задатка записујеш са следећим једначинама x + y + z = 3000 и x = y = z − 500 . 9 11 9 11 На основу последњег добијаш да је x = ( z − 500 ) и y = ( z − 500 ) . Када то примениш 5 5 9 11 из прве једначине, добијаш ( z − 500 ) + ( z − 500 ) + z = 3000 , одакле је z =1000 , 5 5 x = 900 , y =1100 .

18. Нека је a бројилац траженог разломка. Тада је, по услову задатка, именилац једнак a+ 9 , и важи

a +2 2 2 2 2 = . Одакле добијамо да је a + 2 = ⋅(a +7) , односно, a + 2 = ⋅a + ⋅7 . (a + 9)− 2 3 3 3 3

2 14 2 1 14 8 Дакле, a + 2 = ⋅a + . Како је a = a + a и = 2 + , закључујемо да је 3 3 3 3 3 3 2 1 2 8 1 8 8 1 8 ⋅a + 2 + ⋅a = ⋅a + 2 + , односно ⋅a = . Дакле, a= : = 8 . Тражени разломак је . 3 3 3 3 3 3 3 3 17

179

19. Ако именилац тог разломка означиш са b, задатку одговара једначина 3 чије решење је b = 5. Дакле, тражени разломак је . 5

1 2 = 10 , 1 21 b+ 4

(b − 2) −

20. Ако са x означиш број књига на другој полици, задатку одговара једначина 1 1 2⋅ x − ⋅2⋅ x = x + ⋅2⋅ x + 5 , чије решење је x = 25. Дакле, на првој полици је 50, а на 5 5 другој 25 књига.

НЕJЕДНАЧИНЕ У ВЕЗИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.

2 13 ⋅x < 3 18 13 2 x< : 18 3 13 3 x< ⋅ 18 2 13 x< 12 1 x 4

г)

x ≤ 2,1: 10,5 x ≤ 21: 105

x ≤ 0,2

180

0,2

1,8 2 2 3

2 x +1> 4 : 2,8 3 14 14 x +1> : 3 5 14 5 x +1> ⋅ 3 14 5 x +1> 3 5 x > −1 3 2 x> 3

x⋅10,5 ≤ 2,1

0

1

1

0

2 3

1

2

5 б) x ≥ ; 6

2. а) x < 8,75 ; 3.

3 1 x : 2

1 д) x : 2,5 − > 0, 45 4 1 x : 2,5 > 0, 45 + 4 x : 2,5 > 0, 45 + 0,25

0

1 ђ) x ≤1 . 4

0

1

1,4

2

181

5 4. а) x < 2 ; 6

б) x ≤ 7 ;

3 в) x > ; 5 5 ђ) x > . 6

1 д) x ≥1 ; 4 2 5 3 1 3 5. а) 0,3⋅ x >1 ; x > 5 ; б) x : ≥ ; x ≥ ; 3 9 5 4 20 6. За које вредности променљиве a је: г) x ≥1;

1 6 1 в) 3⋅ < ; x > 3 . x 7 2

1 4 3 29 5 3 38 б) + ⋅a > 2,2⋅1,8 ; a> 4 ; а) 1 ⋅a⋅ . ⎝ 3⎠ 3 12 7. Најмања новчаница коју Ана има јесте она од 100 динара, а како су све веће новчанице дељиве са 100, закључујемо да Ана поседује цео број стотина динара, и означимо са x ( x ∈ N ) тај број стотина. Тада задатку одговарају неједнакости 7⋅50 ≤100⋅ x −(1354,75 + 45,8) < 8⋅50 , одакле добијаш да је 1750,55 ≤100 x 2⋅90 . Дакле, мајка треба да да Јовану бар 399 динара.

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА 1 1 + 2,3 1. а) a = 5 2 1 4 0,3 + +1 3 5 б) a = 3 7 5 и 9 12 7 5 10 + a = 9 12 2 388 15 + 36 36 a= 2 403 a= 36 2 403 a= 72 43 a= 5 72

в) 10

182

a=

1,2 + 2,3 3,5 a=1,75 a= 2 2 9 +10 + 54 73 30 a= a= 3 90 г)

1 3 3 , 3 , , 6 и 1,75 2 7 4 1 3 3 + 3 + + 6 +1,75 7 4 a= 2 5 1 24 3 6 7 + + + + 2 7 4 1 4 a= 5 14 96 21 168 49 + + + + a = 28 28 28 28 28 5 87 a= 35 17 a= 2 35

2. Књига има 230 страна, а Нина је читала у просеку 46 страница на дан. 3. 13,6km/h 4. 23,9 C 1 5. 3 3 3 x+ 4 =1,75 ; 6. 2

x = 2,75

7 7. Тачки S одговара број 1 . 12 1 8. Тачки N одговара број 5 . 5 5 9. Тачки D одговара број 6 10. Збир три Николине оцене из математике мора бити 3⋅4 =12 , па Николине оцене чине један од скупова: {2,5,5}, {3, 4,5}, {4, 4, 4} .

РАЗМЕРА 12 4 4 1 18 2 б) 4 : 16 = = в) 18 : 27 = = = =4 3 1 16 4 27 3 1 2 11 2 25 1 1 49 г) 5,5 : 110 = д) 3,5 : 0,21=16 ђ) е) 2 : 5 = : =2 20 3 13 7 26 3 7 108 24 2 14 2 2. а) Како је 24 : 36 = = и 14 : 21= = , дате размере су једнаке. 36 3 21 3 3,7 37 12 3 2 3 5 15 1 = =1 и : = ⋅ = =1 , дате размере нису једнаке. б) Како је 3,7 : 2,5 = 2,5 25 25 7 5 7 2 14 14 1. а) 12 : 3 =

3 4 7 7 49 1 2 3 5 5 25 7 в) Како је 1 : = ⋅ = = 3 и 1 : = ⋅ = = 2 , дате размере нису једнаке. 4 7 4 4 16 18 3 5 3 3 9 9 410 410 г) Како је 4,1: 0,07 = и 14,35 : 0,245 = , дате размере су једнаке. 7 7 391 40 3. P1 : P2 = ; O1 : O2 = . 462 43 4. а) 280m, 1m;

б) 5,6km, 5cm.

5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери: а) 4,5cm и 4,5cm;

б) 2,25cm и 6,75cm;

в) 6cm и 3cm;

г) 7cm и 2cm.

183

6. Јана ће добити 2000, а Немања 1500 динара. 7. У бокал треба додати 375ml воде, а од 2,1l сока. 10 8. а) x =1 ; 11

б) x = 6,12 ;

2 в) x =1 . 5

ПРОЦЕНТИ 1. а) 20

б) 2

в) 200

г) 1

2. а) 20

б) 20

в) 20

г) 20

3. а) 30

б) 13,5

в) 5,4

г) 141,45

4. У том одељењу има 8 одличних ученика и 18 девојчица. 5. У том одељењу има 8 одличних ученика, а од њих 3 су девојчице. 1 6. 0, 45⋅ x − 0,34 = ; 5

x =1,2

4 7. 0,35⋅1 + 0,25⋅r =1; r =1, 48 5 8. 743,75 динара 9. Ако са c означиш цену карте пре поскупљења, онда важи 1,2⋅c = 660 . Дакле, цена карте је била 550 динара, тј. карта је поскупела 110 динара. 10. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 1,2⋅c ⋅0,8 = 0,96⋅c , тј. производ је сада јефтинији. 11. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 0,9⋅c ⋅1,1= 0,99⋅c , тј. производ је сада јефтинији.

184

ОСНА СИМЕТРИЈА

1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву.

2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.

3. Ево како су Милица и Јана конструисале тачку А1 која је осносиметрична тачки A у односу на праву s. Миличина конструкција је приказана на слици лево, а Јанина на слици десно.

Ево како су оне описале своје конструкције. Допиши шта недостаје. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и ___. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су

185

центри тачке ___ и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p( A, N ) означила сам са n. Права n је нормала на праву ___ из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са ___. Најзад, конструисала сам лук k 4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж ___. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k 4 и праве ___.’’ Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук l1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и ___. Затим сам конструисала лукове l2 и l3 кружница чији су центри редом тачке ___ и N и полупречници дужи MA и NA . Једна тачка пресека ових лукова јесте тачка ___, а друга је тражена тачка A1 .’’ Обе конструкције су исправне! Која је једноставнија? 3. Дате су три неколинеарне тачке A, B , C . За сваку од њих конструиши тачку симетричну у односу на праву одређену преосталим двема тачкама.

4. Нађи слике полуправих Aa , Bb , Cc при осној симетрији у односу на праву s.

5. Нађи слику угла на праву s.

xOy при осној симетрији у односу

6. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.

186

7. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p. 1) 2)

8. Нацртај туп угао xOy и на краку Ox изабери тачку S различиту од O. Нацртај затим нормалу s на крак Ox и конструиши угао x1O1y1. осносиметричан углу xOy у односу на праву s. Одреди пресек угаоних линија xOy и x1O1y1 и обоји пресек углова xOy и x1O1y1. 9. Нацртај троугао ABC пресликај га осном симетријом у односу на праву p(B , C ) . 10. Нацртај конвексан четвороугао ABCD а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву p( A, C ) . 11. Нацртај троугао ABC и нормалу n из тачке A на праву p(B , C ) . Пресликај троугао ABC осном симетријом у односу на праву n. 12. Нацртај кружницу k(O,2cm) и праву s која је: 1) не сече; 2) додирује; 3) сече. Пресликај ову кружницу осном симетријом у односу на праву s. 13. Нацртај троугао ABC и праву s која сече странице AB и BC. Пресликај троугао осном симетријом у односу на праву s. 14. Осном симетријом у односу на праву s тачка A се пресликава у тачку B. Нека је S пресек праве s и дужи AB и нека је C произвољна тачка праве s различита од S. Осном симетријом у односу на праву s: 1) слика дужи AC јесте дуж _____; 2) слика дужи AB јесте дуж _____; 3) слика дужи AS јесте дуж _____; 4) слика дужи CS јесте дуж _____; 5) слика угла ACS јесте угао _____; 6) слика угла ASC јесте угао _____; 7) слика угла CAS јесте угао _____.

187

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ 1. 1) Колико оса симетрије има полуправа? 2) Колико оса симетрије има права? 3) Колико оса симетрије има затворена изломљена линија приказана на наредној слици? Нацртај их!

4) Колико оса симетрије има следећа фигура? Нацртај их!

2. Која од датих слова су осносиметрична? Колико оса симетрије има свако од слова? Наведи још нека ћирилична и нека латинична слова која су осносиметрична.

3. Нацртај све осе симетрија следећих фигура.

4. Нацртај бар један троугао који је осносиметричан. 5. Нацртај бар један четвороугао који је осносиметричан. 6. Нацртај дуж AB = 5cm. Да ли су фигуре K(A,2cm)∩K(B,4cm) и K(A,2cm)∪K(B,4cm) осносиметричне? Колико оса симетрије имају ове фигуре? 7. Да ли је полуправа осносиметрична фигура? Да ли је полураван осносиметрична фигура? 8. Дат је квадрат ABCD. Тачке P , Q , R , S су, тим редом, средишта страница AB , BC , CD , DA . На одговарајућа места упиши шта је потребно. а) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(__, __), p(__, __) . б) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, ____, ____ . в) Тачне су једнакости: OA = OB = ____ = ____ AC = ____

188

OP = OQ = ____ = ____

AB = BC = PR = ____ = ____ = ____ .

СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Нацртај неку дуж и подели је на осам једнаких делова? 2. Конструиши дуж чија је дужина једнака

3 дужине дужи коју си произвољно изабрао. 4

3. Изабери две тачке А и B. Конструиши праву p, тако да се тачка A пресликава у тачку B при осној симетрији у односу на праву p. 4. Одреди тачку праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B.

5. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљенe од тачака A и B. 1) 2)

6. Изабери три неколинеарне тачке и означи их са O, A, B. Конструиши затим кружницу са центром у тачки O тако да постоји тачно једна тачка те кружнице која је подједнако удаљена од тачака A и B. 7. Дати су троугао ABC и тачка B’. Пресликај дати троугао осном симетријом ако знаш да је при тој симетрији слика тачке B тачка B’.

8. Одреди тачку која је подједнако удаљена од тачака A и B и чије је растојање од тачке T једнако 3cm. Колико има таквих тачака? 9. Треба конструисати нормалу на праву p из тачке A која не припада овој правој. Како је Лазар поступио, приказано је на слици лево, а како је Милош, на слици десно.

189

10. У равни је дата права t и тачка T која јој припада. Конструиши све кружнице полупречника 3cm које додирују праву t у тачки T. 11. Конструиши квадрат ABCD ако су дати теме A и права p којој припадају темена B и D.

12. Конструиши квадрат ABCD ако су дата његова темена A и C.

13. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових страница. Шта запажаш? 14. Дате су три неколинеарне тачке. Нађи тачку која је подједнако удаљена од ових тачака. 15. Нацртај троугао и одреди средишта сваке од његових страница. Нацртај затим дужи које спајају теме са средиштем наспрамне странице. Шта запажаш?

16. Нађи центар кружнице приказане на слици десно.

17. У равни је дата права t, тачка T која јој припада и тачка A која не припада овој правој. Конструиши кружницу која садржи тачку A и праву t додирује у тачки T.

СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Нацртај неки туп угао и подели га на на осам једнаких делова. 2. Конструиши (без употребе угломера) угао чија је мера:  а) 45 ; б) 2230 ’ ; в) 1115 ’ ; г) 135 ; д) 225 ; ђ) 315 . 3. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљена од кракова угла xOy.

190

4. Нацртај круг и конструиши централни угао који је једнак шеснаестини пуног угла.

5. Дат је оштар угао xOy и на његовом краку Ox тачка A. Одреди тачку угла xOy која је подједнако удаљена од тачке A и крака Oy.

6. Дат је угао xOy и на краку Ox тачка P. Конструиши кружницу која додирује краке угла и садржи тачку P. 7. Нацртај два упоредна угла и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два упоредна угла? 8. Нацртај два комплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два комплементна угла са заједничким краком? 9. Нацртај две паралелне праве и једну њихову трансверзалу. Конструиши кружницу која додирује све три праве. Колико таквих кружница можеш конструисати? 10. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових унутрашњих углова. Шта запажаш?

191

ОСНА СИМЕТРИЈА  РЕШЕЊА

1. Осно симетричне фигуре приказане су на сликама под а) и В). 2.

3. Милица: ‘’Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и Q. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке P и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p(A,N) означила сам са n. Права n је нормала на праву s из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са S. Најзад, конструисала сам лук k4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж SA. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k4 и праве n.’’ Јана: ‘’Најпре сам конструисала лук I1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и N. Затим сам конструисала лукове I2 и I3 кружница чији су центри редом тачке M и N и полупречници дужи MA и NA. Једна тачка пресека ових лукова је тачка A, а друга је тражена тачка A1.’’ 3.

4.

193

5. Нека је X произвољна тачка на краку Ox и Y тачка пресека крака Oy и праве s. Ако су O ' и X ' слике редом тачака O и X при осној симетрији у односу на праву s, онда је угао x’Oy’ слика угла xOy при тој осној симетрији. 6.

7. 1)

2)

8.

9.

∠xOy ∩∠x1O1 y1 = OO1 14. 1) слика дужи 3) слика дужи 5) слика угла 7) слика угла

194

AC је дуж BC; 2) слика дужи AB је дуж AB; AS је дуж SB; 4) слика дужи CS је дуж CS; ACS је угао BCS ; 6) слика угла ASC је угао CAS је угао CBS .

BSC ;

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ 1. 1) Полуправа има једну осу симетрије. То је права на којој се она налази. 2) Права има бесконачно много оса симетрије. Поред те праве осе симетрије су и све праве које су нормалне на њу. 3) Приказана фигура има две осе симетрије. 4) Фигура има четири осе симетрије.

2.

3. Унутар сваке фигуре уписан је број њених оса симетрије.

4. Ево три осносиметрична троугла.

5. Ево два осносиметрична четвороугла.

6. И пресек K ( A,2cm) ∩ K (B , 4 cm) и унија K ( A,2cm) ∪ K (B , 4 cm) су осносиметричне фигуре и имају по једну осу симетрије – праву која спаја центре ових кружница.

195

7. Полуправа је осносиметрична фигура и има само једну осу симетрије – праву на којој се налази. Полураван је осносиметрична фигура и има бесконачно много оса симетрије; свака права нормална на граничну праву те полуравни је њена оса симетрије. 8. 1) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(B , D ), p(Q , S ) . 2) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, BD, QS.. 3) Тачне су једнакости: OA = OB = OC = OD , OP = OQ = OR = OS , AC = BD , AB = BC = PR = CD = DA = QS .

СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Дуж најпре поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину дужи поделити на пола. Најзад, добијене четвртине дужи поново поделити на пола. 2.

3. Права p, коју треба конструисати, је симетрала дужи AB . 4. Тачка праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B је пресек праве p и симетрале дужи AB . 5. Тачке које треба одредити су тачке пресека кружнице и симетрале дужи AB . У првом случају (а) постоје две такве тачке, док у другом (б) такве тачке не постоје. 6. Треба конструисати кружницу са цетром у тачки O која додирује симетралу дужи AB . 7. Троугао ABC треба пресликати осном симетријом у односу на симетралу дужи BB ' . 8. Тражене тачке су тачке пресека симетрале дужи AB и кружнице k (T ,3cm) . 9. Правилније је поступио Милош. Лазар је нацртао нормалу, док ју је Милош конструисао! 10. На нормали праве t у T треба одредити тачке O1 и O2 које су на растојању 3cm од T . Кружнице k (O1 ,3cm) и k (O2 ,3cm) су тражене кружнице. 11. Тачка C је симетрична тачки A у односу на праву p. Темена B и D припадају правој p и кружници чији је пречник дуж AC. 12. Конструиши најпре симетралу дужи AC и означи на пример са O средиште ове дужи. Темена B и D припадају конструисаној симетрали и кружници k (O , OA) . 13. Симетрале страница троугла секу се у једној тачки. 14. Тражена тачка је пресечна тачка симетрала дужи које су одређена двема од ове три тачке. 15. Дужи које си нацртао секу се у једној тачки.

196

16. Нацртај две тетиве које нису на паралелним правама. Симетрале ових тетива секу се у центру кружнице. 17. Нацртај нормалу n на праву t у тачки T. Пресечна тачка O симетрале дужи AT и праве n је центар тражене кружнице. Тражена кружница је k (O , OT ) .

СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Угао најпре треба поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину угла треба поделити на пола. Најзад, добијене четвртине угла треба поново поделити на пола. 2. Угао чија је мера 45 је половина правог угла; дакле, прав угао треба поделити на два  половина угла од једнака дела. Угао од 2230' је половина угла од 45 , док је угао 1115'   22 30' . Угао чија је мера 135 можеш конструисати као збир правог угла и угла од 45 или као разлику опруженог угла и угла од 45 . Угао од 225 је збир опруженог угла и угла од 45 . Угао од 315 је разлика пуног угла и угла од 45 . 3. Тражене тачке су пресечне тачке дате кружнице и симетрале угла xOy. 4. Тражени централни угао има меру 2230' . 5. Тражена тачка је пресек нормале на крак Ox у тачки A и симетрале угла  xOy . 6. Центар O тражене кружнице је пресек нормале на крак Ox у тачки P и симетрале угла xOy , док је њен полупречник дуж OP . 7. Симетрале два упоредна угла су међусобно нормалне. 8. Симетрале две комплементна угла са заједничким краком секу се под углом од 45 . 9. Постоје две такве кружнице.

10. Симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки.

197