5 Razred 6 - Stefanovski - Matematika

J OVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД

ДЕВЕТОГОДИШЊЕ ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ Skopqe, 2011

Драги ученичe! Ти си већ у шестом разреду и зашао си у тајне математике. Са математиком се сусрећеш свакодневно: у школи, кући, па чак и у твојим играма. Уз ову књигу ћеш научити нове, занимљиве ствари о бројевима. Стећи ћеш нова сазнања о геометрији. У теми Мере изучићеш мерне јединице о још неким величинама, као и математичке операције са њима. Књига је подељена на четири тематске целине. Тематске целине започињу њиховим садржајем, а наставне јединице у њима су нумерисане. У наставним јединицама су ознаке у боји, преко којих су исписане поруке, активности, обавезе и друге сугестије, и то : Podseti se!

A

,

...

B

1. 2. 3.

Наставне јединице започињу нечим што ти је познато. Треба да се потсетиш и да решиш дате захтеве. То ће ти користити код изучавања новогa у лекцијама.

...

Овим ознакама наставна јединица је подељена на делове (порције) који се односе на нове појмове.

Оваквим ознакама означене су активности, питања и задаци које ћеш решавати самостално или уз помоћ свог наставника. У овом делу учиш ново у лекцијама, зато треба да будеш пажљив и активан да би могао боље да научиш и разумеш. Најбитније је обојено жутом бојом.

Treba da zna{

Најбитније из лекције је издвојено у облику питања, задатака или тврђења. То треба да упамтиш и користиш у задацима и практичним примерима.

Овај део садржи питања и задатке помоћу којих можеш да провеProveri se?риш да ли већи део изученог наставног градива разумеш, да би могао да га примениш и користиш у свакодневном животу.

Zadaci

Problemi

Треба да решаваш ове задатке редовно и самостално. На тај начин ћеш боље разумети научено, а то ће ти бити од велике користи. Потруди се да решиш задатке и проблеме из овог дела. Тако ћеш знати више и бити богатији идејама.

Кад наиђеш на потешкоће док изучаваш математику не отказуј се, покушај поново, а твоја упорност ће ти донети резултат и задовољство. Радоваће нас ако са овом књигом заволиш још више математику и постигнеш одличан успех. Аутори

TEMA 1.

1. Скупови. Начин записивања 2. Број елемената. Коначни скупови 3. Еквивалентни скупови. Једнаки скупови. Подскупови 4. Пресек, унија и разлика скупова 5. Уређени пар. Декартов производ 6. Низ природних бројева 7. Декадни бројни систем 8. Читање и заокруживање природних бројева 9. Инструменти за прикупљање података 10. Сабирање 11. Одузимање 12. Зависност збира и разлике од промене компонената 13. Множење 14. Дељење

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ

4 7

9 12 15 17 20 23 26 27 29

31 34 37

15. Зависност производа и количника од промене компонената 16. Бројни израз. Једначине 17. Аритметичка средина 18. Дељивост природних бројева. Дељивост збира и разлике 19. Критеријуми дељивости бројевима 2и5 20. Критеријуми дељивости бројевима 3и9 21. Критеријуми дељивости бројем 4 22. Прости и сложени бројеви. Представљање сложеног броја као производ простих чинилаца 23. Заједнички делилац. Највећи заједнички делилац 24. Заједнички чинилац. Најмањи заједнички чинилац 25. Сликовит дијаграм. Стубичасти дијаграм 26. Учио си о природним пројевима. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ

3

40 43 47 48 51 53 55

57 60 63 66 68

1

4

СКУПОВИ. НАЧИН ЗАПИСИВАЊА

Podseti se! A

V

a b

g v

На цртежу су Веновим дијаграмом приказани скуп А и скуп В.

A

Нека је са D означен скуп свих дана у једној седмици.

1

Напиши све елементе скупа D! Елементи скупа А су цветови. Шта су елементи скупа В?

2

Да ли је месец април елемент скупа D? Колико елемената има скуп D?

Усмено представи један скуп А, а затим напиши његове елементе. Именуј два објекта која нису елементи твог скупа А. Да упамтим! Један скуп је одређен ако се зна који су сви његови елементи.

B

3

На цртежу је Веновим дијаграмом представљен скуп С. Који бројеви су елементи скупа С?

Скуп С може се написати и на табеларни начин (ређaњем елемената), односно у заградама се напишу сви бројеви скупа С, међусoбно одвојени зарезом, тј. С = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

4

1

7

2 6

3

4

S

5

Елементи скупа Р су бројеви: 10, 6, 2, 4 и 8. Представи скуп Р Веновим дијаграмом. Представи скуп Р на табеларни начин, тако да поређаш бројеве од најмањег до највећег. Представи скуп Р на табеларни начин, тако да поређаш бројеве од највећег до најмањег.

Код записивања скупова табеларним начином, редослед елемената није битан.

5

5

Представи скуп S чији су елементи сви самогласници у македонском језику. Прикажи скуп А на табеларни начин, а његови елементи нека буду слова из речи ЧАША. Да упамтим! Скуп { ч, а, ш, а } је правилно приказан са { ч, а, ш }. Исти елементи у једном скупу се записују само једном.

6

Породицу Ацковић сачињавају: отац Петар, мајка Биљана, син Драган и ћерка Ана. Нека са А је означен скуп чланова породице Ацковић.

Напиши скуп на табеларни начин. Ако слово x се употреби као замена за имена чланова породице Ацковић, скуп А се може записати као: A={x | x e је члан породице Ацковић}. За овако записан скуп кажемо да је представљен на описни начин.

7

Скуп S={x | x e је цифра од броја 2638} Напиши скуп: Веновим дијаграмом;

8

на табеларан начин.

На цртежу је представљен скуп Р Веновим дијаграмом. Напиши скуп Р на табеларан начин. Којим од следећих записа је скуп Р представљен описним начином? a) {x | x >19}.

11

b) {x | x је непаран број друге десетице}.

15

v) {x | x је природни број друге десетице}.

V 9

13

17

R

19

Разгледај скуп М записан Веновим дијаграмом. Елементи скупа М су слова речи клупа.

Кажемо: ,,Слово к је елемент скупа М, или к припада М“, ,, Слово а је елемент скупа М, или а припада М“, ,, Слово е није елемент скупа М, или e не припада М“,

Записујемо: k∈M a∈M e∉M

k

M

l a

u

p

Користећи знакове ∈ и ∉ напиши тачне исказе за слова и, с, л, у, ј, к, п и за скуп М.

6

a

10 На цртежу је представљена једна дуж а и тачке: А, В, C, N, L, K и М.

11

Напиши тачне исказе за тачке означене на цртежу и за дуж a, користећи знакове ∈ и ∉. Нацртај праву p и на њој означи тачке R, P, S и L тако да : R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

V

S

K

S L

N

A

Треба да знаш Proveri se! Да наведеш неколико примера скупова; Да представиш дати скуп Веновим дијаграмом, на описни и табеларни начин. Да правилно користиш знакове ∈ i ∉.

Када је један скуп одређен? Напиши скуп К чији елементи су бројеви: 1, 3, 5, 7 и 9: Веновим дијаграмом;

на табеларни начин;

на описни начин. Који број прве десетице је елемент, а који није елемент скупа К? Запиши то користећи знакове ∈ ili ∉.

Zadaci Напиши скуп А табеларним начином, а скуп В описним начином.

1. На цртежу су дати скупови А и В. A

Користећи знаке ∈ и ∉ напиши која од слова: е, у, б, к су елемент скупа В.

V u e p

b

k a

2.

Нацртај једну дуж и означи је словом a. Означи тачке M, N, C, D и S, тако да: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

Од којих слова је састављен скуп А?

3 Од слова, која су елементи скупа В, састави једну реч (име дрвета).

Веновим дијаграмом означи скупове А и В, тако да: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.

2

7

БРОЈ СКУПОВА. КОНАЧНИ СКУПОВИ

Podseti se! Скуп А је приказан Веновим дијаграмом.

A

B = {x | x је дан у седмици};

c b

Разгледај скупове А, В и С и одговори на питања.

A = {a, b, c};

A a

1

C = {x | x је природни број мањи од 100}.

d

Од којих елемената је састављен скуп А? Изброји елементе скупа А. Колико елемената има скуп А?

Упамти!

Од којих елемената је састављен сваки скуп? Колико елемената има сваки од скупова А, B и C ? Уочио сам! Скуп А има 3 елемената, В има 7 елемената и скуп С има 99 елемената.

Број елемената задатог скупа А назива се број скупа А и означава се δA. Колико елемената има скуп девојчица у твом разреду? Колико укупно ученика има скуп дечака из твог разреда? Колики је број свих ученика у твом разреду?

2

Уочи и упамти! Сваком од скупова одредили смо број елемената. Сви ови скупови су коначни скупови.

B

3

Највиша планина у Републици Македонији је Кораб. Врх Кораб је висок 2 764 метара. Колико елемената има скуп планина у Републици Македонији, виших од 3 000 метара?

4

Одреди број скупова А, В и С. A = {јун, јул, јануар} C = {x | x је месец у години чије име почиње словом л}.

V Maj

8

Запажаш да скуп планина из трећег задатка и скуп С из четвртог задатка немају ниједан елемент. Скуп који нема ниједан елемент назива се празан скуп и означава се симболом Ø. И празан скуп се убраја у коначне скупове. M = {x | x је планина у Р. Македонији виша од 3000 метара} = ∅. δ∅ = 0.

5

Наведи један пример за празан скуп.

Treba da zna{ Proveri se! Шта је број скупа; Да наведеш неколико примера за коначан скуп и неколико за празан скуп.

Напиши пример за: Коначни скуп С, тако да δS = 3; скуп S, тако да δY = 0.

Zadaci 1. Одреди број елемената свкаом од

скупова: L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x је ученик у разреду виши од 5m} K=∅ Твоји другови који су били на годишњем одмору на планети Марс.

2. Одреди број елемената сваком од скупова А и В који су представљени Веновим дијаграмом

A 1

2 4

3 6

5

V

7

3. Одреди број елемената свкаом од скупова A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x је природни бој и 8 ≤ x < 25}.

Problem Да ли је коначан скуп: Становника Прилепа; Звезда на небу; Зрна жита у једној врећи; Бројeва који се могу написати цифром 1?

3

ЕКВИВАЛЕНТНИ СКУПОВИ. ЈЕДНАКИ СКУПОВИ.ПОДСКУПОВИ

Podseti se!

A

Одреди број елемената скупа S и скупа Т?

1

Одреди број елемената датих скупова:

9

Y

A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9}

T

C = {10, 20, 30, 40, 50}. Шта примећујеш? Који од знакова треба да упишеш у кружић записа δT δY?

2

Напиши скуп A = {x | x је слово из речи ДЕБАР} и скуп B = {x | x је непарни број прве десетице} на табеларан начин. Одреди δA i δV, а затим их упореди. Напиши скуп С чији је број елемената једнак δA, односно δV. Скупове који имаји исти број елемената називамо истобројним скуповима или еквивалентним скуповима. Ако скупови А и В су еквивалентни, тада то означавамо са A ~ V.

3

Ш? СКУПОВИ ШТА СЕ БУНИ НИ. ЕКВИВАЛЕНТ

СУ

Одреди број сваког од скупова: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}. Напиши еквивалентне скупове користећи знак “~” Напиши еквивалентни скуп скупа G.

B 4

Напиши табеларним начином скуп А чији су елементи слова из речи мечка и скуп В чији елемнти су слова речи мачке.

Uo~i! Скупови А и В имају исти број елемената: δA = δV. Исто тако, скуп А је састављен од истих елемената као и скуп В.

Два скупа су једнака ако су састављена од истих елемената. Означавамо : А = В

10 5

Да ли су једнаки скупови A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}? За два скупа која нису једнака, пишемо: А≠В.

6

ali: {l, a, s, t, a} = {a, s, t, a,l}

Који од следећих скупова су међусобно једнаки: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

V 7

Разгледај цртеж! Елементи скупа М су руже, а елементи скупа С су црвене руже.

M S

Да ли је сваки елемент скупа С уједно и елемент скупа М?

За скуп С кажемо да је подскуп скупа М, ако је сваки елемент скупа С истовремено и елемент скупа М. Подскуп се означава са: S ⊆ M. Ако је скуп С подскуп скупа М и М има елементе који не припадују скупу С, онда кажемо да је скуп С прави подскуп скупа М. Прави подскуп означавамо са S ⊂ M.

8

Скуп S је задат Веновим дијаграмом. Да ли скуп Р је подскуп скупа S? Објасни свој одговор! Да ли скуп К је прави подскуп скупа S ? Објасни! Који од следећих исказа је тачан? P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?

Y 1

3 2

R

5

K 4

6

7

Uo~i! Сваки скуп је подскуп самог себе. A ⊆ A. Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, зато што је сваки елемент првог скупа такође и елемент другог скупа. Празан скуп је подскуп сваког скупа. ∅ ⊆ A.

Treba da zna{ Proveri se! Да наведеш примере за једнаке, односно за еквивалентне скупове;

11

Дат је скуп P = {5, 10, 15, 20}. Напиши скуп К који је еквивалентан скупу Р.

Да разликујеш еквивалентне скупове од једнаких скупова;

Напиши скуп L који је једнак скупу P.

Да знаш шта је подскуп и шта је прави подскуп; Напиши два подскупа скупа Р.

Да умеш да одредиш подскуп датог скупа.

Zadaci 1. На цртежу уочаваш скупове D и N. 7 3

2

скуп ученика шестог разреда, К је скуп ученика из твоје учионице, а елемент у си ти као ученик.

D

5

9

2. Нека U је скуп ученика твоје школе, Р је

1

6

8 4

10

Веновим дијаграмом представи скупове U, P, K и елемент y.

N

Напиши скуп D табеларним начином.

3.

Ако је y ∈ K i K ⊆ R, онда је y ∈ R. Да ли је тачно? Зашто?

4.

Напиши све подскупове скупа A = {a, b, c}.

Напиши скуп N описним начином. Да ли су скупови D и N еквивалентни? Зашто? Шта је тачно: D ⊆ N или N ⊆ D? Зашто?

Смицалица

I ovo je matemaika!

У једној продавници за металне производе, између купца и продавца водио се следећи разговор: „Колико новца је један?“, питао је купац. „Десет денара“, одгорио је продавац. „За колико новца могу купити дванаест?“, рекао је купац. „ Двадесет денара“, одговорио је продавац. „ Добро, дајте ми онда триста и дванаест“, рекао је купац. „То ће вас коштати, господине, тридесет денара“. Шта је купио купац ?

4

12

ПРЕСЕК, УНИЈА И РАЗЛИКА СКУПОВА

Podseti se A

S

Задати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.

1

A V

Представи скупове А и В Веновим дијаграмом. Скуп заједничких елемената скупова А и В именуј са С. Скуп С представи табеларним начином. Према датом цртежу А је скуп црвених фигура, В је скуп троуглова, а С је скуп црвених троуглова.

Уочи решење. C = {3, 4, 5}. C

A Заштоје скуп С пресек скупова А и В?

Скуп С је пресек скупова А и В. B

1

3

2

4 5

6

Пресек два скупа А и В је скуп С, формиран од елемената који су заједнички за А и В. Записујемо: C = A ∩ V и читамо: „ С је једнако А пресек В “. x ∈ A ∩ V, значи: x ∈ A и x ∈ V.

2

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}. Одреди скупове: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A. Да ли су скупови A ∩ B i B ∩ A еквивалентни? Да ли су различити? Представи скупове А, В и С Веновим дијаграмом тако да се могу одредити елементи њихових пресека.

B

3

На цртежу задати су скупови А, В и D. Напиши А, В и D табеларним записом.

Скуп D је унија скупова А и В.

D A

V

1

3

2

6

5

7

4

10

9

8

Унија скупова А и В је скуп D састављен од свих елемената та два скупа. Унија D се обележава на следећи начин: D = A ∪ V Читамо: „ D је једнако А унија В “ x ∈ A ∪ V, значи: x ∈ A или x ∈ V.

4

На цртежу су Веновим дијаграмом представљени скупови А, В и С. Табеларним записом представи скупове А, В и С.

V

C A

A, V и C.

1

2

13

12

3

C ∪ B, C ∪ A и B ∪ A.

14

11 9

A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A и A ∩ C.

V 5

13

Задати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5} и V = {2, 4, 6, 8}. Одреди скупове A ∩ V и V ∩ A. Да ли скупови A ∩ V и V ∩ A су различити? Одреди скупове A ∪ V и V ∪ A. Да ли су ови скупови једнаки?



Уочаваш да: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A За пресек два скупа важи комутативни закон. За унију два скупа важи комутативни закон.

6

Покажи да за пресек два скупа, односно за унију, два скупа В и С из 4 задатка, важи комутативни закон. Провери комутативни закон код њихове уније.

7

Uo~i!

Нека A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} и C = {1, 3, 5, 9}. Одреди A ∪ B, а затим (A ∪ B) ∪ C. Одреди B ∪ C, а затим A ∪ (B ∪ C). Дали (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Провери да ли важи: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Problem

За унију три скупа важи асоцијативни закон. За пресек три скупа важи асоцијативни закон.

Изабери три скупа A, V и S покажи да (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Ако се зна да x ∈ A ∪ B, дали важи и x ∈ B?

G

8

Разгледај цртеж. Веновим дијаграмом су представљени скупови А и В. Напиши табеларним записом скуп A и V.

A

1

6

5 2

7

8 B

3

9

Напиши табеларним записом скуп С чији су елементи они елементи скупа А, који нису елементи скупа В.

Скуп С = {1, 2, 5, 6} добијен на овакав начин је разлика скупа А и скупа В, односно S = A \ V.

14

Скуп С састављен од елемената која припадају скупу А, а не припадају скупу В, назива се разлика скупа А и скупа В. Записујемо: S = A \ V и читамо „С је једнако А минус В “. x ∈ A \ B значи: x ∈ A и x ∉ B.

9

Нека A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} и C = {3, 5, 7, 9, 11}. Напиши табеларним записом скупове: A \ B, B \ A, B \ C и A \ (B \ C). Дали A \ B = B \ A? ЈЕДНАКА ЧЕМУ ЈЕ ЗМЕЋУ? И А РАЗЛИК

Провери да ли је тачно: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C? За разлику скупова не важи комутативни закон, а ни асоцијативни закон.

10 Нека M = {x | x је природни број и x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} и P = {x | x је природни број из прве десетице}. Одреди: M ∩ Y.

Y ∪ R.

M ∪ (R \ Y).

P \ M.

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш пресек два скупа; Задати су скупови A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} и C = {b, c, e, 1}.

Да одредиш унију два скупа; Да одредиш разлику два скупа;

Напиши скупове:

Да за пресек, односно за унију, важе комутативни и асоцијативни закон.

Zadaci 1. На цртежу су Веновим дијаграмом

представљени скупови под а, б и в. Које операције представљају обојени делови ?

A ∩ B.

B \ C.

A ∪ B ∪ C.

Одреди δA и δM. Напиши табеларним записом A ∪ M, M ∩ A и M \ A. Одреди: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) и δ(M \ A).

3. Нека је Р скуп парних бројева, а Ѕ скуп непарних бројева прве десетице.

a)

b)

2. Задати су скупови

v)

A = {m, n, p, k} и M = {s, p, t, k, r}

Шта представља: а) унија Р и Ѕ; в) разлика Р и Ѕ; б) пресек Р и Ѕ; г) разлика Ѕ и Р? Образложи свој одговор за сваки од исказа под а, б, в и г.

5

УРЕЂЕН ПАР. ДЕКАРТОВ ПРОИЗВОД

15

Podseti se!

A 1 Дати су скупови {2, 3} i {3, 2}. Они су двоелементни скупови, односно састављени су од пара елемената. Да ли {2, 3} = {3, 2}? Za{to? У неким случајима, редослед елемената у пару има битан значај: пар рукавица, пар ципела и др.

На цртежу је предстваљена биоскопска дворана. Трећа столица у другом реду и друга столица у трећем реду су празне.

Ред и столица представљају један пар. Нека првим бројем пара означимо ред (2), а другим бројем означимо столицу (3). То записујемо са ( 2, 3) и кажемо да је то уређен пар.

Да ли уређени парови (2, 3) и (3, 2)означавају иста места у дворани? Они означавају различита места.

Пар (a, b) у коме се тачно зна који елемент је први, а који елемент је други, назива се уређени пар. У yређеном пару (a, b), a је прва компонента, док је b друга компонента.

Нека скуп A = {s, p, q}, а скуп B = {1, 2}.

2

Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа А, а друга компонента је елемент скупа В. Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа В, а друга компонента је елемент скупа А.

Da upamtim! Уређени пар (a, b) је једнак уређеном пару (c, d) ако a = c и b = d и записује се (a, b) = (c, d).

Да ли је уређени пар (s, 1) је једнак са (1, s)?

B

3

Нека A = {1, 2} и B = {a, b, c}. Састави скупове чији елементи су сви уређени парови коме је прва компонента из скупа А, а друга компонента је из скупа В.

Скуп коме елементи су сви уређени парови чија прва компонента је елемент скупа А, а друга компонента је из скупа В, назива се Декартов производ скупова А и В. Означава се A h V. Чита се А пута В. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

4

Задат је скуп S = {1, 2, 3} и Декартов производ S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Напиши скуп Р табеларним записом.

16

5

Задат је скуп A = {a, b}. Одреди Декартов производ A x A.

Uo~i i zapamti! A h A је Декартов производ скупа А. Декартов производ АхА назива се Декартови квадрат, означава се А². Чита се „А на квадрат“.

6

Одреди Декартови производ скупа M = {5, p}.

Treba da zna{! Proveri se! Да разлукујеш двоелементни скуп од уређеног пара; Да одредиш све уређене парове за два задата скупа; Шта је Декартов производ;

Задати су скупови A = {a, b}, B = {5, 55} и C = {m, n}. Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа А, а друга компонента - елемент скупа С.

Да одредиш прву и другу компоненту уређеног пара;

Напиши скуп АхВ табеларним записом.

Шта је Декартов квадрат.

Напиши скуп В².

Zadaci 1. Напиши уређене парове коме је прва

компонента из скупа A = {2, 5}, а друга компонента из скупа В = {a, b, с}.

4.

Задат је скуп Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. Одреди скуп Ѕ. Одреди скуп Р.

2. Који број треба да стоји на месту  да би

Одреди Декартов квадрат скупа Ѕ.

уређени парови били једнаки: a) (5, ) = (5, 2); b) (, 6) = (8, 6); v) (, 3) = (7, )?

3. А је скуп имена: A = {Јован, Биљана, Драган}. В је скуп глагола: В = {пева, спава, учи}. Одреди Декартов производ A х В.

Уређени парови биће ми просте реченице. На пример: Јован пева.

6

17

НИЗ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА Prirodni brojevi!

Podseti se! 1

2

3

4

5

...

Колико клупа има у твојој учионици? Одреди број дечака у твом разреду? Прочитај бројеве: 23, 1005, 207, 987 000. Којим цифрама је написан број 813 265? Колико цифара се користи за записивање бројева? Које су то?

A 1

Цифрама напиши бројеве: сто педесет и шест ; деветстотина и један; један милион.

За сваког од тих бројева кажемо да је природни број.

Бројеви: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 99, 100, 101, 9 999, 10 000, ...називају се природни бројеви, а тако поређени један после другога образују низ природних бројева. Скуп природних бројева означава се са N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Број 0 се не рачуна за природни број. Зато 0 ∉ N. Скуп свих природних бројева и броја 0 се означава са N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

B 2

На цртежу уочаваш улицу и два реда кућа означених бројевима. Којим бројевима су означене куће са једне стране улице? Којим бројевима су означене куће са друге стране улице?

Бројеви: 1, 3, 5, 7, ... су непарни бројеви, a 2, 4, 6, 8, 10 ... су парни бројеви. Који од бројева: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 су парни, а који непарни?

3

V

4

a

Како ћеш да одредиш бројну праву? O

A

0

1

O

A

S

0

1

2

a

Ради према захтеву и следи цртеж. Нацртај праву a. На прави a означи две тачке О и А. Тачци О придружи број 0, а тачци А - број 1.

a

18

Дуж ОА узимамо за јединичну дуж, односно, OA = 1. На полуправи ОА, из тачке А, пренеси јединачну дуж ОА. Крању тачку означи са С и придружи јој број 2. Како ћеш одредити тачку која одговара броју 3?

Uo~i i upamti! На овај је начин одређена права на којој се могу представити природни бројеви. Та права се назива бројна права. Разгледај цртеж:

5

Који број је за 1 мањи од броја 6? Који број је за 1 већи од броја 6?

0

1

2

3

4

6

Број 5 је предходник броја 6, а број 7 је следбеник броја 6.

6

Који је предходник, а који је следбеник броја 100? Како се добија предходник, а како следбеник једног броја? Напиши један много већи природни број.

7

Додај број 1броју који си написао. Да ли има већег броја од броја који си добио?

Било ком броју могу да додам 1 и доби већи број.

Сваки број из низе природних бројева, осим 1, добија се када његовом предходнику додамо број 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Сваки природни број има свог следбеника. Природни бројеви су поређани по величини: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Не постоји највећи природни број. Има бесконачно много природних бројева. Скуп N од природних бројева је бесконачан скуп. Уочи други пример за бесконачан скуп.

 8

Скуп природних бројева чија цифра на месту јединица је 1, односно {1, 11, 21, 31, ...}. Који од следећих скупова је бесконачан? Скуп парних бројева.

Скуп непарних бројева.

Број становника Републике Македоније.

Број зрна песка на једној плажи.

9

Напиши подређене природне бројеве треће десетице у петој стотини.

Treba da zna{!

19 Ја сам следбеник!

Ја сам претходник!

Да разликујеш шта је цифра, а шта број; Да одредиш следбеник и предходник датог природног броја; Да представиш природни број на бројној прави; Да наведеш примере за бесконачне скупове.

Proveri se! Дате су цифре: 7, 4 и 0. Напиши све троцифрене природне бројеве користићи задане цифре. Поређај бројеве које си записао почевши од највећег броја. Напиши предходник и следбеник највећег броја којег си написао. Наведи пример за бесконачан скуп.

Zadaci 1.

На цртежу је књига са поцепаним странама.

2. 0

Који бројеви на бројној прави треба да се упишу у празна места? 10 20 30 40 50 60

100

120

140

160

Напиши речима број означен стрелицом.

0

Напиши бројеве страница књиге који су поцепане. Којим цифрама су написани бројеви страница? Напиши скуп А од парних бројева страница које недостају у књизи.

10

20

30

40

50

60

70

80

3.

Нацртај бројну праву и на њој означи парне бројеве од 0 до 20.

4.

Скуп Ѕ = {х | х је непарни природни број}, напиши табеларним записом. Који елемент је најмањи у скупу Ѕ ? Да ли скуп Ѕ има највећи елемент? Колико елемената има скуп Ѕ?

7

20

ДЕСЕТИЧНИ (ДЕКАДНИ) БРОЈНИ СИСТЕМ

012 34 56 7 8 9

Podseti se! Колико десетица има број 100? Колико хиљaда има број 3 865? Колико јединица има број 128 563?

1

A

Напиши цифрама број представљен у позиционој рачунаљки.

Напиши скуп С чији су елементи све цифре којима се записују природни бројеви.

Одреди δS.

SI

2

DI

JI

S

D

Има десет цифри.

Све природнe бројеве пишемо цифрама: 0, 1, 2, ....9. Бројеве записујемо у десетичном (декадном) бројном систему.

J

Разгледај табелу у којој је уписан број 7 143 528. Свака цифра броја је написана на одређеној позицији ( месту). Свака група од три цифре, полазећи с десна на лево, је записана у одређеној класи.

KLASA MILIONA SM

DM

KLASA HILJADA

KLASA JEDINICA

JM

SH

DH

JH

S

D

J

7

1

4

3

5

2

8

У класи милиона на позицији јединица милиона је записана цифра 7. Која је њена позициона вредност?

На којој позицији је записана цифра 2? Позициона вредност цифре 4 у броју 7 143 528 је четрдесет хиљаде. Која је позициона вредност цифре 3, а која цифре 8?

Сетио сам се!

7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

У запису бројева свака цифра показује број јединица или број десетица или број стотина итд., у сагласности са позицијом где је записана.

3

Разгледај табелу са подацима о броју 34 509.

21 Ми смо исте

34 509 Cifra

Klasa

Позиција у којој је записана цифра

Позициона вредност цифре

3

Хиљаде

DH

30 000

4

Хиљаде

JH

4 000

5

Јединице

S

500

0

Јединице

D

0

9

Јединице

J

9

Ја вредим више

2 20

Састави табелу о броју 2 628 и у њој упиши податке за сваку цифру.

4

Уочи ! За колико пута се увећала вредност цифре 3 почевши од позиције јединица?

Бројеви 1, 10, 100, 1000 итд. зову се декадне јединице (десетич-

JH

S

D

3

3

3 ⋅100 ⋅10

Напиши све декадне јединице до 10 000 000.

⋅1 000

5

B

Напиши број који садржи цифру 1, а иза ње су дописане: а) 3 нуле; б) 6 нуле; в) 9 нуле; г) 12 нула; д) 18 нула. Како се зове записани број под а, а како под б?

Upamti! Знам одговоре под а и б. Како ли се зову остали бројеви?

6

Број, записан као :

  

1 000 000 000, назива се једна милијарда; 1 000 000 000 000 је један билион; 1 000 000 000 000 000 је трилион.

Напиши цифрама број „педесет милијади осамстотина милиона и двеста хиљада“. Која је позициона вредност цифара 5, 8 и 2 у броју 50 800 200?

J 3

22

Treba da zna{!

Да одредиш класе вишецифрених бројева; Да одредиш позициону вредност сваке цифре датог броја; Да су цифре су знакови за писање бројева.

Proveri se!

Разгледај цртеж! Прочитај број предстаљен на позиционој рачунаљци. Која цифра је записана на позицији десетице хиљаде и која је њена позициона вредност?

JM

SH

DH

JH

S

D

J

Zadaci 3. Напиши цифрама број „осам билиона 1. Задат је број 5 203 478. За свакуод цифара 5, 2, 7, 0 одреди:

триста и две милијарди шездесет милиона четиристотине хиљада и петсто“

а) у којој се класи налази; б) која је њена позиција; в) која је њена позициона вредност.

2. Састави табелу од класе и позиције у

којој ћеш записати цифре броја 7 405 906.

4. Који ћеш број добити ако трилиону обришеш сваку другу нулу?

5. Како се чита број 5, а како цифра 5? 6. Како се зове број који има милион милиона?

Problem Седмоцифрени број почиње цифром 7. Како и да разместиш цифре тог броја, број се не мења. Који је тај број?

8

ЧИТАЊЕ И ЗАОКРУЖИВАЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

Podseti se!

A

1

Напиши речима број: 16; 23; 45; 125; 50; 200.

23

Напиши речима бројеве: a) 157; b) 216; v) 350.

Упореди твоје записивање са задатим. У којим од записаних бројева си употребио везник „и“ код изговарања?

а) сто педест и седам; б) двеста и шеснаест; в) тристотине и педесет.

Уочи читање бројева и употребу везника „и“. Везник „и“ се не користи ако је број састављен од једне речи (име класе се не рачуна).

У свакој класи: јединица, хиљада, милиона,...везник „и“ се користи између задње две речи, тј. два броја (име класе се не рачуна).

 15 - петнаесет;  700 – седамстотина  50 000 - педесет хиљада. и две хиљаде  302 413 - триста четиристотина и тринаест.  5 020 340 - пет милиона двадесет хиљада триста и четрнаест

Везник „и“ се користи и међу класама, ако задње две речи (бројеви) припадају различитим класама.

2

Напиши речима бројеве: 200 000;

B

4

 300 200 - триста хиљаде и двеста. милиона триста и две  8 302 100 - осам хиљаде и сто.

3

20 300 000;

70 112 500;

9 326 540 217.

На једној кошаркашкој утакмици репортер је рекао да утакмицу прати око 2 000 гледаоца. Репротер је рекао приближан Да ли је репортер је рекао тачан број број гледаоца. гледалаца?

Бројеви 32, 35 и 37 су представљени на бројној прави.

30



32

Које су суседне десетице представљених бројева? Одреди разлику сваког од бројева до суседних десетица. До које је суседне десетице ближи сваки од бројева?

35

37



40

24

Sagledaj odgovore

За дате бројеве број 30 је мања суседна десетица, а 40 је већа суседна десетица. 32 - 30 = 2;

40 - 32 = 8. Број 32 је ближи броју 30.

37 - 30 = 7;

40 - 37 = 3. Број 37 је ближи броју 40.

35 - 30 = 5;

40 - 35 = 5. Број 35 је тачно између бројева 30 и 40.

Ka`emo da Број 32 је приближно једнак броју 30. Записујемо 32 ≈ 30. Број 37 је приближно једнак броју 40. Записујемо 37 ≈ 40. Број 35 је тачно између бројева 30 и 40. По договору записујемо 35 ≈ 40. Ово записивање назива се заокруживање бројева на десетице.

5

Заокружи на десетице бројеве: 148, 243, 2 671, 3 585 и 74 598.

6

Бројеви: 3 435 и 3 468 су представљени на бројној прави.

3 400



3 435

3 468



3 500

Одреди разлику сваког од бројева до суседне стотице. До које суседне стотице је ближи сваки број? Заокружи сваки број на стотице. Сагледао си да је 3 435 је ближе до 3 400, а 3 468 - до 3 500. Бројеви зокружени на стотице су: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Када при заокруживању једног броја цифра на позицији стотина остаје иста, а када се увећава за 1? Цифра на позицији стотина остаје иста ако је цифра на позицији десетица број мањи од 5, а увећава се за 1 ако је цифра на позицији десетица 5 или број већи од 5.

7

Заокружи стотице код бројева: 1 372, 2 145, 1 653 и 4 898.

8

Заокружи на хиљаде бројеве: а)21 363; 47 612; 43 577. б)4 803; 13 501; 177 982.

Sagledaj re{ewe a)

25

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Увидео си да код заокруживања неког броја до одређене позиције ( десетица, стотица, хиљада....) поступаш на следећи начин:



Цифра на тој позицији остаје иста ако је после ње нека од цифри: 0, 1, 2, 3 или 4, а она се увећава ако после ње следи нека од цифри: 5, 6, 7, 8 или 9.



Све цифре десно од те позиције се замењују нулама.

9

Заокружи број 35 738 на: а) десетице, б) стотице; в) хиљаде; г) десетице хиљада.

Treba da zna{! Proveri se! Да правилно читаш природне бројеве, мање или веће од милиона;

Прочитај број: 5 200; 45 678 350.

Да заокружујеш природне бројеве на: десетице, стотице и хиљаде.

Заокружи на десетице, стотице и хиљаде број: а) 34 752; б) 224 750.

Zadaci 1. Напиши речима бројеве: 2 345; 250; 6 400 310.

2.

7.

Да ли постоји највећи природни број? Који је најмањи природни број?

Напиши цифрама број „Триста милиона двеста и пет хиљада и осам стотина“.

Напиши цену аутомобила речима.

3. Који од знакова треба да стоји у кружићу да би било тачно?

12 245

12 250;

12 245

12 245

12 200;

12 245

12 240; 12 300.

4. Да ли је број 24 375 ближе

1 216 358 den. Poku{aj da re{i{!

а) до 24 700 или до 24 600; б)до 24 000 или до 25 000?

5. Заокружи број 25 375 на: десетице; стотице; хиљаде.

6. Заокружи број 15 409 632 на хиљаде.

Не би имало смисла да кажеш број твог телефона, као заокружени број. Покушај да пронађеш два примера где не би имало смисла да заокружујеш бројеве.

a B R A D P O D A C I M A .

26

S A

9

ИНСТРУМЕНТИ ЗА САКУПЉАЊЕ ПОДАТАКА

Сакупљање података ради се на више начина: анкетирањем, посматрањем, мерењем, бројањем, узимањем из литературе и др. Инструменти (средства) за прикупљање података су: упитник, анкетни лист, објављени прегледи и други статистички подаци.

1

Анђела и Жаки су спровеле истраживање о ваннаставним активностима ученика из свог разреда. Питале су ученике у којим друштвима чланује свако од њих. Податке су прво записивале цртицама, а затим су их уредиле и направиле су табелу. Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)

Broj

Табела са цртицама

2

Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)

Broj

У табели је дат број података. Она се зове табела фреквенција.

9 13 15 3

Табела фреквенција

Колико је укупно ученика одговорило на питање? Образуј нову табелу фреквенција тако да податке уредиш према величини броја (почевши од највећег)

Илија је спровео истраживање о бојама бицикла које се најчешће срећу у његовом селу. Сакупио је податке тако што је посматрао децу са бициклима у школском дворушту и попунио је листу цртицама. Образуј табелу фрекфенција Boja Плава Zelena @uta Crna Crvena

3

Broj

Поређај податке почевши од најмањег. Колико бицикла је записао Илија? Која боја бицикла је најзаступљенија? Илијино посматрање је један од начина којим се могу сакупити подаци. Подаци се могу сакупити на различите начине: преко телефона, шаљући упитнике поштом, користећи книге, часописе и др.

Марија је сакупила податке о омиљеном годишњем добу својих саученика. Уочи листу: П -пролеће; Л -лето; Ј -јесен; З -зима. P P L Z Z J P L J Z Z P L J Z Z P P L L L J Z P J J Z Z P P P L J P P Z L J

Представи податке у табели фреквенција и поређај их почевши од најомиљенијег годишњег доба.

10

27

САБИРАЊЕ

Podseti se!

A

Израчунај: 14 + 35

353 + 168

47 + 803

98 796 + 14 534

Маре и Миле живе у Кочанима. Отишли су на одмор у Стругу, али су се један дан задржалеи код баке у Битољу.

1

Ko~ani

90 km Bitoq Struga

68 + 37 + 3 + 916 =

190 km

Колико километара су прешли Маре и Миле од куће до своје баке? Колико километара су прешли од Кочана до Струге?

B 2

Одреди број збира бројева 52 и 34.

Потсети се и уочи особине сабирања у скупу N0. Ако се промени место сабирка збир остаје непромењен. Промена места сабирака или комутативни закон сабирања. 52 + 34 = 86 sabirci

ili

zbir

34 + 52 = 86 sabirci

a+b=b+a

zbir

Три сабирка могу се групирати на два начина. Збир остаје непромењен. (71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) = 185

+ 16 = 201

71 +

130

= 201

Када је један од сабирака нула, онда збир је једнак другом сабирку.

Групирање сабирака или асоцијативни закон сабирања. a + (b + c) = (a + b) + c Зато се заграде могу изоставити: a + b + c. Нула при сабирању a+0=0+a=a

583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583

3

Израчунај! 17 + 36 + 13 + 44 =

Лакше је када се користе закони сабирања!

Primer

12 + 81 + 9 + 38 + 27 = 161 + 234 + 439 =

27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

28

Групирај податке на другачији начин и одреди збир:

4

45 + (45 + 56) =

5

V

( 1 207 + 101) + 269 =

Одреди збир бројева: 74, 33, 26, 48 и 57. Одреди збир бројева: 140, 310, 750, 360 и 290. Збиру бројева 124 и 139 додај збир бројева 261, 55 и 276. Одреди претходнике сваком од бројева 372, 126 и 319 и израчунај збир свих претходника.

Процени збир бројева заокруживањем на стотице. a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.

6

За колико се разликује приближни резултат од тачног збира бројева?

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш збир два или више бројева;

У табели су дати подаци о броју ученика у VI разреду у једној школи.

Да примениш законе сабирања у једноставним примерима;

Девојчице

VIa

17

14

VIb

14

17

VIv

9

22

Одреди број ученика VI а и VI б,а затим их упореди.

44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

Zadaci

27

Дечаци

Одреди укупни број ученика VI разреда те школе.

Да процениш резултат сабирања.

1. Израчунај:

Разред

171

+ 72

39

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

+ 16

4. Направи процену збира бројева 7 328 и 6 + 93

+ 39

2. У једном часопису пише:

„ На отварању фестивала присуствовало је 1 300 посетиоца. Наредног дана представу је гледало 726 посетиоца. Колико је посетиоца посетило фестивал у два дана?

3. Групирај сабирке и одреди њихов збир: 64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

435, заокружујући их на: хиљаде, стотице, десетице. За колико се разликују приближни резултати од тачнихг збирова бројева?

Problem! Број 2 је написан седам пута. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 Који је најмањи збир који може да се добије од седам двојки и два знака плуса?

11

29

ОДУЗИМАЊЕ

Podseti se! Израчунај: 475 - 232 -

2 685 518

1 852 - 800 -

A

9 840 189

Који број треба да стоји у квадратићу да би исказ био тачан? 47 -

= 19

28 +

= 47

Летње олимпијске игре 2000. године биле су у Сиднеју – Аустралији. Олимпијски комитет је потражио да буду резервисано 4 830 улазница за свечано отварање, али слободна су била 3 892 седишта. Колико људи је остало без улазница?

4 830 - 3 892 = Умањеник умањилац разлика

+ 19 = 47

2

1

Користи податке из табеле да би одговорио на питања.

Olimpijada 1992 Ekipa

Poeni

Italija

15 760

Amerika

15 649

Poqska

16 018

Колико поена више је освојила пољска екипа од италијанске екипе? Која је разлика између највећег и најмањег броја поена?

Да би могао да израчунаш разлику a - b бројева a i b у скупу N0 треба да је a > b ili a = b.

B 3

У једној пекари се сваког дана испеку по 5 000 хлебова. У табели су задати подаци о продатом хлебу у једној седмици. Колико укупно хлеба производи пекара за једну седмицу? Према подацима у табели израчунај колико укупно хлеба је остало непродато.

Dаn

Бр. хлебова

Ponedeqak

1 260

Utorak

4 205

Sreda

4 728

^etvrtak Petak

3 916 4 010

Subota

4 857

Nedeqa

1 376

30

4

Процени разлику бројева 457 и 165 заокружавајући бројеве на десетице и стотице. Упореди процене са тачном вредношћу разлике.

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш разлику два броја; Да израчунаш бројни израз са операцијама сабирање и одузимање са и без заграда; Да процениш разлику код одузимања.

Израчунај: (26 + 128) - 37 =

; 432 - (26 + 15) =

(439 - 195) + (270 - 36) =

;

.

Процени разлику бројева 2 376 и 1 289 заокружујући бројеве на стотине.

Zadaci

1.

Броју 836 додај разлику бројева 299 и 173. Разлику највећег четвороцифреног броја и најмањег троцифреног броја увећај за 1 216.

2. Воз је кренуо из Битоља за Скопље са 489 путника. У Прилепу је из воза сишло 120 путника, а попело се 70 путника. У Велесу су сишла 42 путника, а попела се 98. Са колико путника је воз стигао у Скопље?

3.

Весна има 2 725 денара. Маја има 210 денара више од Весне. Ана има 385 денара мање од Весне и Маје заједно. Колико денара има Маја? Колико денара има Ана?

4.

Асан је имао 1 350 денара. Да би купио патике потребно му је 3 120. Асан је заокружио паре на стотице. Помози Асану да одреди још колико му новца недостаје. Израчунај тачно колико новца недостаје Асану.

Poku{aj!

Ако замислиш било која три природна броја, да ли ћеш увек између њих имати број који је паран?

12

ЗАВИСНОСТ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ КОМПОНЕНАТА

Podseti se!

A

1

Дати су збир 320 + 150 = 470 и разлика 250 - 120 = 130.

31

Ујутру, на „Дан дрвета“ донето је 2 600 зимзелених садница и 3 100 листопадних. а) Коликоје укупно садница донешено тог јутра?

Који број треба да стоји у квадратићу да би једнакост била тачна? (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 ; (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

б) Поподне је донето још 400 зимзелених садница. За колико ће се увећати број садница донетих тог јутра?

Упореди твоје решење са датим. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; Тог јутра донето је 5 700 садница. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Број садница донетих тог јутра увећао се за 400.

2

Познато је да a + b = 200. Нека се један од сабирака увећа за 300. Израчунај збир a + (b + 300).

3

Како ће се променити збир 340 + 620 = 960, ако се: а) један сабирак умањи за 60; б) један сабирак умањи за 60, а други се увећа за 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = = 900 = 960 - 60;

a) Збир се умањио за онолико за колико се умањио и један од сабирака.

Uo~i da b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; збир се није променио.

Uo~i uop{teno o zbiru a + b = c Ако се један сабирак увећа за одређени број, а други остане исти,  онда ће се и збир увећати за исти тај број.

(a + m) + b = c + m

 Ако се један сабирак умањи за одређени број, а други остане

(a - m) + b = c - m

исти, онда ће се и збир умањити за исти тај број.

Збир се неће променити, ако се један сабирак умањи за одређе ни број, а други сабирак се увећа за исти тај број.

(a - m) + (b + m) = c

32

B

4

4.) Задата је разлика 750 - 430 = 320. Израчунај и уочи како се мења разлика ако се умањеник: а) увећа за 50; б) умањи за 50.

Свакако си уочио: a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = = 370 = 320 + 50.

Разлика се увећала за 50, тј. за исто онолико за колико је умањеник увећао.

б) Разлика ће се умањити за 50

5

Дата је разлика 2 480 - 560 = 1 920. Како ће се променити разлика ако се умањилац: а) умањи за 30; б) увећа за 30? Разлика ће се:

6

а) увећати за 30;

б) смањити за 30.

Израчунај разлику 6 354 - 2 314. Како ће се променити разлика ако се умањеник и умањилац: а) увећају за 120;

б) умање за 120?

Уочи да разлика остаје иста.

Uo~i uop{te o razlici a - b = d се умањеник увећа (односно, умањи се) за одређени број, а  Ако умањилац остане исти, онда ће се и разлика увећати (односно, умањити ) за исти тај број. се умањилац увећа за одређени број, а умањеник остане  Ако ист, онда ће се и разлика умањити за исти тај број. Ако се умањилац умањи за одређени број, а умањеник остане исти, онда ће се и разлика увећати за исти тај број.

 Разлика неће се променити ако умањеник и умањилац се увећају или умање за један исти број.

7

(a + m) - b = d + m (a - m) - b = d - m a - (b + m) = d - m a - (b - m) = d + m (a + m) - (b + m) = d (a - m) - (b - m) = d

Како ће се променити разлика, ако се умањеник увећа за 10, а умањилац се умањи за 10?

Treba da zna{! Како се мења збир два броја, ако се један сабирак:

Како се мења разлика два броја, ако се: умањеник увећа, односно умањи за неки број; умањилац умањи или увећа за неки број;

увећа за неки број; умањи за неки број; увећа за неки број, а други сабирак се умањи за тај број?

и умањилац и умањеник увећају, односно умање, за исти тај број.

33

Proveri se! Збир два броја износи 3 540. Колико износи збир ако се један од сабирака умањи за 140?

Разлика два броја је 270. Колико износи разлика ако се: а) умањеник умањи за 27? б) умањилац увећа за 27? Израчунај 460 – 120. Одреди x у једначини: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Zadaci

1.

Како ће се променити збир ако један од сабирака се увећа за 234?

2.

Ако је 1 230+670 = 1 900, колико је онда (1 230- 350) + 670?

3.

Задата је разлика 6 543 - 2 732 = 3 811. За коју вредност x је тачна једнакост 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

4.

Ако увећаш умањилац за 25, шта треба да се уради са умањеником да би разлика остала непромењена?

5.

Ako a - b = 100, izra~unaj: a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30); v) (a - 10) - (b + 10); g) (a + 5) - (b - 5);

6.

Једног јутра Милица је добила извесну суму новца од свог оца и извесну суму новца од своје мајке. Од мајчиног новца је потрошила 100 денара. То вече, отац јој је дао још 200 денара и она је утврдила да има 700 денара. Колико денара је укупно тог јутра добила Милица од свог оца и своје мајке?

Problem Размисли и покушај да израчунаш усмено. Колика је разлика између збира првих сто парних бројева и збира првих сто непарних бројева?

13

34

МНОЖЕЊЕ

Podseti se! 35 ⋅ 5 =

480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 =

4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 =

2

1

A

Израчунај

Један аутомобил троши 7 литара бензина ако прође пут од 100 километара. Колико бензина ће потрошити аутомобил за 400 километара?

(3 ⋅ 5) ⋅ 200 =

Драган је путовао 5 дана са својим бициклом и сваког дана је пролазио по 9 километара. Зоран је путовао 6 дана са својим бициклом и сваког дана је пролазио по 8 километара. Колико је километара више прешао Зоран од Драгана? Потсети се и уочи особине множења у скупу N0.

Ако се промене места чиниоца производ остаје непромењен.



4 ⋅ 6 = 24

чиниоци

ili

производ

6 ⋅ 4 = 24 чиниоци

10 ⋅ 30

3

= =

2 ⋅

a⋅b=b⋅a

производ

Три чиниоца се могу груписати на два начина. Производ остаје непромењен. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)



Комутативна особина множења.

15

30

Ако је један од чиниоца број 1, онда је производ једнак другом чиниоцу. 468 ⋅ 1 = 468

Асоцијативна особина множења. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Зато се заграде могу изоставити: a⋅ b⋅ c. Множење бројем 1 a⋅1= a

Ако је један од чиниоца нула, ондаје производ једнак нули. Множење бројем 0 0 ⋅ 235 = 0

0⋅a= 0

Када се користе особине множења, много је лакше!

Израчунај

3

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

35

Primer

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

50 ⋅ (4 ⋅ 8) = Израчунај

4

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

40 + (130 ⋅ 10) = (280 + 32) ⋅ 8 =

Тачке иду испред цртица

Израчунај

5

40 ⋅ (25 + 5) =

Али, прво у заградама!

i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

Какве су вредности бројних израза? Провери да ли је тачно? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Како се образују изрази које упоређујеш? Уочи да:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c);

(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

Овим једначинама је исказана је:

 дистрибутивна особина множења у односу на сабирање;  дистрибутивна особина множења у односу на одузимање. Процени производ 324 • 48, заокружујући чиниоце на десетице. За колико се разликује добијена приближна вредност од тачне?

6

320 • 50 = 16 000; 324 • 48 = 15 552; процена је за 448 већа од тачне вредности.

B

7

Јован је пешачио 4 седмице, по 4 дана седмично, по 4 километара дневно. Колико километара је прешао Јован?

Sagledaj! Производ бројева 4 • 4 • 4 кратко се записује 4³, а чита се : четири на три. Запис 4³ назива се степен са основом 4 и степеновим показаоцем 3.

Da upamtim: Производ једнаких чиниоца кратко записан назива се степен.

36

STEPENOV POKAZATEQ

4 3

  STEPEN

Кратко напиши множење и производ.

OSNOVA

Множење

Кратки запис

4⋅4⋅4 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3

43

Вредност 64

6⋅6 8⋅8⋅8⋅8

Шта показује основа степена?

Шта показује степенов показатељ? Напиши 108 у облику множења. Одреди вредност 14. По договору: 51 = 5; a1 = a.

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш производ два или више броја; Да примењујеш особине множења; Да процениш производ множење два броја; Да одредиш вредност степена.

Илија и Јован купили су 8 пакета, у којим је имало по 8 бомбоњера са по 8 бомбона у свакој. Колико пакета су купили Јован и Илија заједно? По колико бомбоњера је имао сваки од њих? Колико бонбона је имао Јован? Напиши број Јованових бонбона у облику степена.

Zadaci 1.

3.

Полупречник Земље износи 6 370 километара. Растојање од Земље до Месеца је веће око 60 пута од полупречника. Одреди растојање од Земље до Месеца.

4.

Процени производ 127 • 268 заокружујући на а) стотине; б) десетице. Одреди разлику тачног и процењеног производа.

Израчунај! 186 ⋅ 35 = (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = 73 = 42 + 4 + 34 - 25 =

2.

У једном збиру број 245 јавља се као сабирак 48 пута. Израчунај тај збир.

439 ⋅ ∗7

5. Које цифре треба да се

запишу на место *, да би множење било тачно израчуна

3∗73 +

∗756 2∗633

14

37

ДЕЉЕЊЕ

Podseti se! Израчунај! 14 : 7 =

22 : 2 =

396 : 3 =

20 : 10 =

88 : 22 =

A 1

1 200 : 60 =

Провери добијене резултате!

Ученици су добили 1 300 денара да купе лопте. Свака лопта коштала је по 325 денара. Колико су лопти купили? 1 300

2

Укупно 84 ученика пријавило се на турнир одбојке. За тренера екипе се пријавило 6 наставника.

:

325

Дељеник делилац

= количник

Ако је свака екипа састављена од 12 ученика, да ли је број наставника тренера довољан?

Потсети се и уочи особине дељења у скупу N0. Ако је делилац број 1, онда је количник једнак дељенику.

Дељење бројем 1 a:1=a

23 765 : 1 = 23 765 Ако је дељеник једнак делиоцу, онда је количник 1. 762 : 762 = 1 Ако је дељеник је број 0, онда је количник увек 0. 0 : 16 = 0 Број 0 не може да буде делилац.

3

Дељење броја самим собом. a : a = 1, a ≠ 0 Дељење броја бројем 0. 0 : a = 0, a ≠ 0 2:0

нема смисла!

Израчунај: (28 + 32) : 1 =

432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 = 108 : 18 + 3 485 : 85 = Одреди дељеник, ако је делилац 72, а количник број 102. Којим бројем треба да се подели број 18 712 да би се добио број 1? 76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

Увек сам ја први

n a

Тачке иду пре цртица

38

B 4

Ивана, Бојана и Бети сакупљају поштанске марке. Сакупиле су 71 марку и хтеле су да их поделе подједнако. По колико поштанских марака је добила свака? Колико поштанских марака је остало неподељено?

Уочи да 71 = 23 ⋅ 3 + 2. Удељењу 71:3, број 23 је количник, а број 2 остатак.

Ако је у дељењу a : b, број q количник, а r је остатак, онда: a=q⋅b+r

Ako a = 77 i b = 5, одреди количник a : b и остатак r.

5

Напиши број a у облику a = b ⋅ q + r.

Одреди количник q и остатак r код дељења a : b и запиши број у облику a = b ⋅ q + r.

6

16 : 3;

50 : 15;

125 : 11.

Razmisli i odgovori! Код дељења у коме је делилац број 8, остатак може да буде: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Зашто остатак не може да буде број 8?

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш количник два броја.

Израчунај количник бројева: 1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

Да представиш дељеник уз помоћ количника, делилоца и остатка.

Израчунај 1 510 : 125 = Дељеник представи уз помоћ количника, делиоца и остатка.

Zadaci :3

1.

Подели први број, а затим добивени резултат подели другим бројем.

:6

:7

18

42

54

84

108

98

:2

2. Који број треба да се упише у квадратић да би дељење било тачно?

72

:9 : 19 : 19

63 9

600

4

169

:

9 :

5.

Једно јато ласта прелетело је 39 око 10 000 километара док је трајала сеоба. Највећа брзина коју је достигло јато била је 40 километара на сат. Колико је најмање часова летело јато?

50

:

13 Један пуж својом највећом брзином прешао је 12 метара за 4 сата. Колико центиметара је прешао пуж за 1 минут?

Присећам се: :

:5

4 10 ⋅5

2 = 10 : 2

3. Напиши израз и израчунај његову вредност.

6. Које цифре треба да се ставити уместо *, да би дељење било тачно?

Одреди збир броја 85 и производа бројева 4 и 15. Количнику бројева 210 и 30 додај број 700. Који број је разлика између производа бројева 120 и 6 и њиховог количника?

1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗ ∗∗∗ - ∗∗∗ 0

7. Два ученика су делила један исти број: 4. У квадратић упиши број да би важила јед-

први са 16, а други са 19. Први је добио количник 22 и остатак 9. Који количник је добио други ученик?

накост:

a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + b) 2 100 = 261 ⋅

+ 12.

;

8. Збир два броја је 660. Ако већем броју

обишемо једну нулу с десна, онда ће бројеви постати исти. Који су то бројеви?

40

15

ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА ОД ПРОМЕНЕ КОМПОНЕНАТА

Podseti se!

A 1

Према којој особини је тачна једнакост: a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10; b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)? Задато је 80•5 = 400. Упиши одговарајући број у квадратић, да би једнакост била тачна. a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ; v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) =

; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 =

.

ДЕЉЕНИК

ДЕЛИЛАЦ

Упореди твоје решење са следећим. 15 ⋅ 6 = 90; a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2. Задати производ се 2 пута увећао.







96 : 24 = 4

Израчунај производ 15•6. Затим увећај први чиниоц : а) 2 пута; б) 3 пута; в) 7 пута и провери колико пута се увећао производ. Шта уочаваш?

КОЛИЧНИК

КОМПОНЕНТЕ Дељење a : b има смисао за b ≠ 0.

Увидео си да се дати производ увећао б) 3 пута; в) 7 пута.

2

Нека a ⋅ b = 50. Израчунај: a) (a ⋅ 3) ⋅ b;

3

Израчунај производ 40 • 9. Затим, први чиниоц умањи за: а) 2 пута; б) 4 пута; в) 5 пута и упореди добијен производ са задатим. Шта примећујеш? Упореди твоје решење са задатим. 40 ⋅ 9 = 360; a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.

b) a ⋅ (b ⋅ 10).

Један чинилац је умањен 2 пута и дати производ је умањен 2 пута.

Производ је умањен: б) 4 пута; в) 5 пута.

4

Ako a ⋅ b = 120, израчунај колико износи:

a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).

5

Задато је 15•16=240. Израчунај производе: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5), а затим упореди добијене производе са датим производом. Уочи да први чинилац је увећан за 2 пута, односно 5 пута, а други чинилац је умањен 2 пута, односно 5 пута. Производ се није променио.

41

Op{te o proizvodu a ⋅ b = p Ако се један чинилац увећа за одређен број пута, а други чини лац остане непромењен, производ ће се увећати за исто толико пута.

(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

Ако се један од чинилаца умањи за одређен број пута, а други  чинилац остане непромењен, онда и ће се производ умањити за исто

(a : m) ⋅ b = p : m

толико пута.

 Производ се не мења када се један чинилац умањи за одређен број пута, а други се увећа за исто толико пута.

B 6

Познато ти је да 72 : 12=6. Израчунај: a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = v) (72 : 4) : (12 : 4) =

;

b) 72 : (12 ⋅ 3) =

; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) =

(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

; 72 : (12 : 3) =

.

Уочи колико пута је увећан, односно умањен: дељеник у: а) делилац у б); дељеник и делилац у в). Упореди добијене количнике, датим количником. Шта примећујеш? Упореди решење са следећим: a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2; (72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

Дељеник је увећан два пута, односно умањен 2 пута и количник је увећан 2 пута, односно умањен 2 пута.

Увидео си у б) да делилац је увећан (умањен) 3 пута, а количник је умањен (увећан) 3 пута. Количник у в) се није променио.

7

Познато ти је да a : b = 30. Израчунај a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3);

v) (a : 5) : (b : 5).

Op{te o koli~niku a : b = q се дељеник увећа (односно умањи) одређен број пута, а  Ако делилац остане непромењен, количник ће се тада увећати (односно умањити) за исто толико пута. Ако се делилац увећа (односно умањи) за одређен број пута, а  дељеник остане непромењен, количник ће се тада умањити (односно увећати) за исто толико пута.

 Количник се не мења ако се и дељеник и делилац истовремено увећају (односно умањују) за исти број пута.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m (a : m) : b = q : m a : (b ⋅ m) = q : m a : (b : m) = q ⋅ m (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q (a : m) : (b : m) = q

;

42

Treba da zna{! Proveri se!

Како се мења производ два броја у зависности од промене чинилаца.

Одреди непознате бројеве p i m, ako: a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9; b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

Како се мења количник два броја у зависности од промене дељеника, односно делиоца.

Знаш да је 600:30=20. Израчунај: a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4); v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).

Zadaci 1.

2.

3.

Задат је производ a ⋅ b = 60. Израчунај: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7); v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6). Задат је количник a : b = 90. Израчунај: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6); v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12). Задато је a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Израчунај: a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

4.

У фабрици чоколаде, две екипе су паковале чоколаду од по 100 g у једнаким кутијама. Друга екипа је спаковала укупно 1 680 чоколаде, а то је 3 пута мање кутија него што је прва екипа спаковала. Колико чоколада је спаковала прва екипа?

5.

Израчунај количник 7 680 : 240, али га пре тога сведи на дељење са једноцифреним дељитељем, користећи особине непроменљивости количника.

Zanimqiv problem!

Једна жена донела је на пијац корпу са јајима. Првом купцуи је продала половину свих јаја и пола јајета, другом купцу половину од преосталих јаја и пола јајета, трећем половину јаја од остатка и пола јајета и четвртом половину преосталих јаја и пола јајта. Када је пети купац купио половину од остатка и пола јајета, констатовало се да су сви купци већ купили цела јаја и да је жена продала сва јаја. Колико је јаја жена донела на пијац?

16

БРОЈНИ ИЗРАЗ. ЈЕДНАЧИНЕ.

Podseti se!

A 1

Израчунај! a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3; b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23. Збир два броја је 200, а један сабирак је 120. Који је други сабирак?

120

Израчунај бројни израз.

Uporedi svoje re{ewe sa zadatim

⋅ x

200

x

64

128

x

− 120

: 64

64 ⋅ x = 128 x = 128 : 64 x=2

120 + x = 200 x = 200 - 120 x = 80

Дарко је имао 120 денара. Мајка му је дала 300 денара да их подели подједнако са сестром. У књижари је купио 4 свеске од по 35 денара и шестар за 50 денара. Колико денара је остало Дарку? Састави израз од података и одговарајуће операције.

Производ два броја је 128, а први чинилац је 64. Колико износи други чинилац? +x

43

120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 = = 270 - 190 = 80. Изарз који си поставио назива се бројни израз. Резултат по извршењу свих операција у њему назива се вредност бројног израза.

Uo~i i zapamti Изрази су следећи записи: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25). Нису изрази: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

2

Одреди вредност бројног израза: a) 85 + 15 -30;

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.

По ком редоследу ћеш извршавати операције?

Прво ћеш извршавати операције множења и дељења, а затим сабирања и одузимања; али пре свега радиш операције у заградама.

Сабирање и одузимање називају се операције првог реда, а множење и дељење операције другог реда.

44

   3

Опште о редоследу операција у извршавању Операције истог реда извршавају се редоследом како су записане у бројном изразу.

Прво се извршавају операције другог реда, а затим операције првог реда. Ако у бројном изразу има заграда, онда предност има извршавање операција у заградама.

Израчунај вредност бројног израза: a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6;

B 4

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.

Рифат је замислио један природан број, који, сакупљен са највећем троцифреним бројем даје број 1 234. Који је то број?

Уочи поступак и поступи по захтевима Најпре, тражени број означи словом, на пример x.

x

+ 999 = 1 234

Броју x додај највећи троцифрени број, а то је 999; тако ћеш добити збир x+999. Према условима задатка, збир x+999 је једнак броју 1 234, па x+999= 1 234. Како ћеш да одредиш непознати сабирак ове једначине?

Сабирак x ћемо одредити тако што ћемо од збира 1 234 одузети други сабирак 999. Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235. Једнакост x + 999= 1 234 којом си одредио непознати број x назива се једначина. Непознати број x зове се непозната. Одређивање непознатог броја зове се решење једначине.

5

Реши једначину: a) (x + 1) + 300 = 702;

b) 1 432 + x = 3 200 + 17.

6

Дата је једначина: a) x - 1 270 = 2 380;

b) 8 226 - x = 1 149.

45

Одговори на питања и израчунај једначине. a)  Шта је непознати број x, а шта су познати бројеви 1 270 и 2 380?  Како се одређује непознати умањеник код датих умањилаца и разлике? Умањеник x ћу одредити тако што ћу на разлику 2 380 додати познати умањилац 1 270.

b) Kако ћеш одредити непознатог умањиоца x у једначини где су познати умањеник 8 226 и разлика 1 149? Умањилац ћу одредити тако што ћу од умањеника 8 226 одузети разлику 1 149.

7

Реши једначине:

a) x - (1 300 + 78) = 2 630;

b) 5 273 - x = 3 700 - 37.

Опште о једначинама у којима се одређује непознати сабирак, умањеник или умањилац. Непознати сабирак се, ако су познати збир и други сабирак,  одређује тако што се од збира одузима познати сабирак.

x + b = c; x = c - b (b i c су познати бројеви)

умањеник се, ако су познати разлика и умањилац,  Непознати одређује тако што се разлици додаје познати умањилац.

x - b = d; x = d + b (b i d cу познати бројеви)

 Непознати умањилац се, ако су познати разлика и умањеник, одређује тако што се од умањеника одузима разлика.

8

a - x = d; x = a - d (a i d cу познати бројеви)

У једној винарској визби треба да се спакује 1 392 флаша у кутије, а у свакој кутији треба да буду по 16 флаша. Колико је кутија било потребно? Ако са k означиш број потребних кутија, а у њима има по 16 флаша, онда је 16 ⋅ k = 1 392. Број 1 392 је производ чиниоца 16 и k. Како ћеш да одредиш чинилац k? Чинилац k ћу одредити тако што ћу производ 1 392 поделити са чиниоцем 16.

k = 1 392 : 16; k = 87. Флаше су биле упаковане у 87 кутија.

9

Израчунај једначину:

a) 17 ⋅ y = 595;

b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.

46

10

Како можеш да прочиташ једначину x : 25 = 47, тј. шта су познати бројеви 25 и 47, а шта је непозната x?

Затим образложи закључак да x = 47 ⋅ 25. Који број је решење? Провери своје тврђење.

11

Прочитај једначину 1 120 : x = 35 и образложи закључак x = 1 120 : 35.

12

Израчунај једначину a) x : 7 = 63;

b) (z + 4) : 10 = 8;

v) 1 080 : x = 24;

g) 50 : (x + 2) = 10.

Опште о једначинама у којима се одређују непознати чинилац, дељеник или делилац. Непознати чинилац, кад су познати производ и други чинилац,  одређује се тако што се производ подели познатим чиниоцем.

a ⋅ x = p; x = p : a (a i p су познати бројеви)

 Непознати дељеник, кад су познати делиоц и количник, одређује се тако што ће се количник помножити са делиоем.

x : b = q; x = q ⋅ b (b i q су познати бројеви)

Непознати делилац, кад су познати дељеник и количник, одре ђује се тако што ће се дељеник поделити са количником.

a : x = q; x = a : q (a i q су познати бројеви)

Treba da zna{! Proveri se! Да одређујеш вредност датог бројног израза;

Одреди вредност бројног израза: 17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

Које операције у бројном изразу имају предност при њиховом извршавању;

Израчунај једначине: a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63; v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15; d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

Да решаваш једначине према особинама аритметичких операција.

Zadaci 1.

2.

3.

У једној фирми су напунили 1 360 гајби са јабукама, од којих 420 сортом делишес, 635 ајдарет, а преостале гајбе сортом тетовска јабука. Колкико гајби је било са тетовском јабуком?

4.

Ана има 11 година. Пре 3 године њена мама је имала 4 пута више од Ане. Колико година има сада Анина мама?

5.

Јана и Јован имају исти број ораха. Зна се да би заједно имали 140 ораха, када би Јана имала 2 пута више, а Јован 5 пута више. По колико ораха имају Јана и Јован?

Одреди вредност бројног израза: a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16); b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13). Израчунај једначине: a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120; v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40; d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.

S A

R A B R A D P O D A C I M A

17 1

47

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

Саша је власник видеоклуба и издаје видеокасете. Податке о издатим касетама записује у табели. Дан

Број касета

Понедељак

12

Уторак

9

Среда

15

Четвртак

6

Петак

23

Кога дана је Саша издао највише касете? Колико више касета је било издато у петак од уторка? Колико је укупно касета било издато? Сашу је интересовало колико касета је издавао просечно на дан, а за то је било потребно да израчуна аритметичку средину бројева са табеле.

Uo~i! Укупно издатих касета Просечно издате касете сваког дана

12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65 65 : 5 = 13

У току пет радних дана у седмици Саша је издавао просечно по 13 видео касета дневно.

Број 13 је аритметичка средина бројева 12, 9, 15, 6 и 23.

Број дана

Да упамтим: аритметичка средина два или више броја је количник збира тих бројева и броја сабирака.

2

Израчунај аритметичку средину бројева: 24, 36, 42;

3

657, 890, 1 240, 121, 3 522.

На тестовима из математике Агим је постигао следеће резултате: на тесту 1 је освојио 89 поена, на тесту 2 освојио је 91 поен, на тесту 3 је освојио 100 поена и на тесту 4 је освојио 80 поена. Представи податке у табели. Колико поена просечно је освојио Агим на тестовима из математике?

18

48

ДЕЉИВОСТ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА. ДЕЉИВОСТ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ

Podseti se!

A

Осамнаест ученика из VI разреда се припрема за Дан школе. Желе да наступе тако што ће се поређати у редове са једнаким бројем ученика.

1

Израчунај: 24 : 6 = 139 : 2 =

На колико различитих начина могу да се поређају ученици? Допуни табелу са подацима о ређању ученика.

265 : 5 = 2 785 : 8 =

На колико начина може да се добије број 18 као производ два броја? Којим бројевима може се поделити број 18 тако да остатак код дељења буде број 0 (без остатка)?

У којим од дељења остатак је 0?

Broj redova

Broj u~enika u svakom redu

Ukupan broj u~enika

1

18

1 ⋅ 18

2

9

2⋅9

Да упамтим: Број 18 дели се са бројевима 1, 2, 3, 6, 9 и 18 без остатка.

3⋅6

3 3 9

1 ⋅ 18

2

Каже се: 18 је дељив са бројевима 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Ови бројеви називају се делиоци броја 18. Записује се: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Дељењем провери да ли је:

Ја сам дели лац!

број 6 делилац броја 24; број 31 дељив бројем 5; број 42 дељив бројем 6.

3

Одреди скуп D14 свих делиоца броја 14.

Уочи да, да би одредио све делиоце броја 14, треба поступно да делиш са 1, 2, 3, 7.

4

Број 4 је делилац броја 8 (4 • 2=8 или 8 : 4 = 2 и остатак 0). Напиши 5 броја који су дељиви бројем 4.

-

Сви бројеви који су дељиви бројем 4 називају се садржаоци броја 4.

49

Скуп свих садржаоца броја 4 означавамо са S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}. број b је делилац природног броја a, или је a дељив са b, ако је остатак при  Природни дељењу a са b 0. 10 = 5 ⋅ 2

10 : 5 = 2 ДЕЛИЛАЦ БРОЈА 10

Записујемо: 5| 10. Читамо 5 је делилац броја 10.

број b је делилац природног броја a, ако  Природни Записујемо: b | a. Читамо: b је делилац броја a.

a = b ⋅ k за неки природни број k.

 Природни број a је садржалац природног броја b, ако је b делилац броја a. 35 је садржалац броја 5, пошто 5|35.

собом.  Сваки природни број је дељив са101 и: 1са=самим 10 i 10 : 10 = 1 a:1=a i a:a=1

5

B

Провери да ли су дељиви са 7:

28, 42 i 28 + 42;

14, 18 i 14 + 18.

Провери да ли су дељиви са 3:

9, 24 i 24 - 9;

15, 22 i 22 - 15.

Провери да ли су дељиви са 4:

12, 15 i 12 ⋅ 15;

10, 15 i 15 ⋅ 10.

Uo~io sam u zadatku! Збир је дељив бројем 7 ако су два сабирка дељива са 7. Разлика је дељива са 3 ако су и умањеник и умањилац дељиви са 3. Производ је дељив са 4 ако је један од чиниоца дељив са 4.

Op{te Ако је број a дељив бројем m и број b је дељив бројем m, онда је и збир (a + b) дељив бројем m. 5 | (15 + 35) 5 | 15 i 5 | 35



Дељивост збира m|a i m|b m | (a + b)

 Ако је број a је дељив бројем m

Дељивост разлике m|a i m|b m | (a - b)

и број b дељив бројем m, онда је и разлика (a - b) дељива са m. 3 | (21 - 9) 3 | 21 i 3 | 9

 Акоје број m делилац бар једног од бројева је m делилац и производа (a ⋅ b). 2 | 8 i 2 | 15

2 | (8 ⋅ 15)

a или b, онда

Дељивост производа m | a ili m | b m | (a ⋅ b)

50

6

Од бројева: 15, 18, 25 и 28 одреди два броја, тако да је: збир дељив са 5;

разлика дељива са 3;

производ је дељив са 7, а није дељив са 5. Провери да ли су збир 12+8, односно разлика 24-9, дељиви са 5.

7

Уочи да ниједан од сабирака, односно и умањеник и умањилац нису дељиви са 5, а збир односно разлика су дељиви са 5.

Treba da zna{! Када је један природан број дељив другим природним бројем;

Proveri se! Задати су бројеви: 5, 8, 30 и 56. Који од тих бројева је дељив са 6?

Да одредиш делиоце и садржаоце задатог природног броја;

Напиши све делиоце броја 30.

Примерима да покажеш дељивост збира, разлике и производ природних бројева.

Да ли је број 5 дељив са 58?

Напиши три садржаоца броја 5. Провери без рачунања да ли је тачно: 4 | (8 + 36);

5 | (56 - 30);

5 | (30 - 5);

5 | (30 ⋅ 6).

Zadaci 1.

Који од бројева 1, 2, 3, 5 или 7 су делиоци броја 70? Одреди све делиоце броја 64.

3.

Без рачунања збира, односно разлике, одреди да ли су дељиви са 5. a) 40 + 25;

b) 27 + 20;

v) 50 - 15;

g) 35 - 29.

Провери да ли 4|12; 3|36; 10|1 000. Напиши 7 садржаоца броја 3. Колико садржаоца има број 3?

2.

4.

Напиши по један пример да би показао дељивост:

Без рачунања производа, утврди који од њих је дељив са 3, а који са 7. a) 9 ⋅ 5;

b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

v) 5 ⋅ 12;

g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

Збира 4 природна броја бројем; Разлику 2 природна броја бројем; Производ 3 природна броја бројем.

5.

Нека А={6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. Напиши табеларним записом скуп В={х | х је А и 4 | х}.

19

КРИТЕРИЈУМИ ДЕЉИВОСТИ СА 2 И 5

Да би утврдио да ли је један број дељив другим бројем, довољно је да одредиш њихов количник. Дељивост може да се утврди и ако се не изврши дељење. То радимо уз помоћ правила за проверу дељивости или такозваним критеријумима дељивости.

Podseti se!

A Један природни број је дељив другим природним бројем ако је остатак при дељењу 0. Одреди који од бројева: 37, 64 и 310 су дељиви са 2. Који од бројева: 65, 800 и 237 су дељиви са 5?

1

51

Провери да ли су бројеви: 10, 70 или 270 дељиви са 2.

Mogu da uo~im!

Uo~i postupak

 10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10.  70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70.  290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

Број који завршава нулом, може се записати као производ у коме је један чинилац 10. Тај производ је дељив са 2. Сваки број коме је цифра јединица 0, дељив је бројем 2.

Uo~i postupak 2

Који од бројева: 132, 254 и 365 су дељиви са 2?

 132 : 2 = (130 + 2) : 2;  254 : 2 = (250 + 4) : 2;  365 : 2 = (260 + 5) : 2;

2 | 132, зато што 2 | 130 i 2 | 2. 2 | 250, зато што 2 | 250 i 2 | 4. 2 | 365, зато што 2 | 360 i 2 | 5.

Могу да уочим! Да ли је један број је дељив са 2 или не, зависи од цифре јединица тог броја.

Upamti! Један број је дељив са 2, ако је цифра јединица тог броја 0, 2, 4, 6 или 8. Овај исказ назива се критеријум дељивости са 2.

3

Који од бројева: 530, 738, 1 336, 1 112 и 2 243 је дељив са 2?

52

B

Провери да ли су бројеви: 10, 70 и 360 дељиви са 5.

4

Uo~i postupak

 10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 зато што 5 | 2 i 5 | 5.  70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 зато што 5 | 10 i 5 | 7.  360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 зато што 5 | 10 i 5 | 36.

Mogu da uo~im! Број чија је цифра јединица 0 може се записати као производ где је један чинилац 10. Тај природни број је дељив са 5. Сваки природни број коме је цифра јединица 0, дељив је са 5.

Uo~i postupak 5

Који од бројева : 65, 105 и 263 су дељиви са 5?

 65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, зато што 5 | 60 i 5 | 5.  105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, зато што 5 | 100 i 5 | 5.  263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, зато што 5 | 260 i 5 | 3. Upamti!

Mogu da uo~im! Број, чија је цифра јединица 5, дељив је са 5.

Један број је дељив са 5, ако је цифра јединица тог броја 0 или 5.

Овај исказ зове се критеријум дељивости са 5.

6

Који од бројева: 180, 243, 525, 420 i 1 275 су дељиви са 5?

Treba da zna{!

Proveri se!

Да провериш да ли је неки природни број дељив са 2, односно са 5, а да не извршиш дељење. Да примениш критеријум дељивости са 2, односно са 5, у задацима.

Zadaci 1. Покушај да провериш дељивост са 2, а да не поделиш бројеве: 28, 70, 96, 797, 2 001 и 25 000.

2. Дефиниши критеријум дељивости са 5. 3. Који од бројева: 102, 275, 400, 876 и 995 су дељиви са 5?

Који од бројева: 13, 24, 15, 57, 155, 850 и 1 000 је дељив са 2;

дељив са 5;

дељив са 2 и са 5?

4.

Ана је имала више од 60, а мање од 70 бонбона. Она је поделила бонбоне својим 5 другарицама подједнако. Колико бонбона је имала Ана?

20

КРИТЕРИЈУМИ ДЕЉИВОСТИ СА 3 И 9

Podseti se!

A 1

Одреди који од бројева 9, 66, 171 и 231 су дељиви са 3. Који од бројева 18, 999, 1062 и 11 000 су дељиви са 9?

Напиши три броја чији је збир цифара дељив са 3.

2

53

Који од бројева72, 84, 297 и 373 су дељиви бројем 3? Одреди збир цифара сваког задатог броја. Утврди код којих од бројева је збир његових цифри дељив са 3. Утврди који бројеви су дељиви са 3 и код којих је бројева збир цифара дељив са 3. Шта закључујеш?

Провери да ли су бројеви које си записао дељиви са 3. Могу да уочим! Када је jедан број је дељив са 3, онда је и збир његових цифара дељив са 3.

Upamti! Један број је дељив са 3, онда када је збир цифара којима је написан дељив са 3.

Овај исказ зове се критеријум дељивости са 3. Који од бројева 111, 292, 1112 и 1 236 су дељиви са 3?

3

B

4

Који од бројева 78, 117, 348, 486 и 1 567 су дељиви са 9? Одреди збир цифара сваког броја. Утврди који од бројева има збир цифара дељив са 9. Могу да уочим! Када је један број је дељив са 9, онда је и збир његових цифара дељив са 9.

Upamti! Један број је дељив са 9, ако је збир цифара којима је написан дељив са 9.

Овај исказ се зове критеријум дељивости са 9.

5

Покушај да без дељења одредиш који од бројева: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 и 7 235 су дељиви: са 3;

са 9;

са 3 i са 9.

Могу да уочим! Бројеви 459, 774 и 6 327 су дељиви са 3 и са 9.

54

Treba da zna{!

Upamti! Сваки број који је дељив са 9, дељив је и са 3.

Proveri se!

Који број је дељив са 3;

Који од бројева: 75, 94, 258 и 347 су дељиви са 3? Која цифра треба да стоји уместо * у броју 56*3, да би се добио број дељив са 9? Напиши један број који је дељив са 3 и са 9.

Да одредиш да ли је задати број дељив са 9; Сваки природни број који је дељив са 9, дељив је и са 3.

Zadaci 1. Који од бројева 348, 512, 1 245 и 6 123 су

4.

дељиви са 3?

Замени * цифром, тако да добивени број буде дељив са 9: 3∗8;

6 ∗74;

1 8∗3;

35∗12.

2. Који од бројева 4 279, 9 126 и 540 су дељиви са 9?

5.

3. Која цифра треба да се упише уместо *, да

Која цифра треба да се упише на уместо * у броју 27 55*, да би број био дељив са 2 и 3?

би се добио број дељив са 3? 1 3∗7;

6 53∗;

3 ∗25;

24 ∗62.

Ако желиш да знаш више! Зашто је један број дељив са 9 када је збир његових цифара дељив са 9? Уочи следећи пример: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);

 Израз 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 је дељив са 9 према правилу дељивости производа и збира.  Из вредности израза 4 + 8 + 6 зависи да ли је број 486 дељив са 9. 4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, зато што 9 | 18. На сличан начин покажи дељивост броја 123 са 3.

Покушај да закључиш! Милица је ушла у продавницу у купила један сладолед и три чоколаде. Знала је да сладолед кошта 60 денара. Продавац јој је рекао да треба да плати 220 денара. Она је рекла да рачун није тачан. Продавац је поново израчунао и извинио јој се. Како је Милица знала да рачун није тачан, а није знала цену чоколаде?

21

КРИТЕРИЈУМ ДЕЉИВОСТИ СА 4

A 1

Podseti se! Који од бројева: 96, 300, 2 718 и 3008 су дељиви са 4?

55

Провери да ли су бројеви: 100, 500 и 1 300 дељиви са 4.

Уочи поступак

  

100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, зато што 4 | (25 ⋅ 4). 500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, зато што 4 | (100 ⋅ 5). 1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, зато што 4 | (100 ⋅ 13).

Могу да уочим! Број коме су цифре јединице и десетице нуле, може се записати и као производ у коме је један од чинилаца 100. Тај производ је дељив са 4. Сваки број коме су цифра јединице и цифра десетице 0, дељив је са 4.

2

Који од бројева 132, 916 и 283 су дељиви са 4?

Уочи поступак : 4 = (100 + 32) : 4;  132 916  : 4 = (900 + 16) : 4;  283 : 4 = (200 + 83) : 4;

4 | 132, зато што 4 | 100 i 4 | 32. 4 | 916, зато што 4 | 900 i 4 | 16. 4 | 283, зато што 4 | 200 i 4 | 83.

Могу да уочим! Да ли неки број је дељив бројем 4 или не, зависи од двоцифреног броја састављеног од цифре јединице и цифре десетице тог броја.

Upamti! Задати број је дељив бројем 4, ако је његов двоцифрени завршетак дељив са 4. Овај исказ се назива критеријум дељивости са 4.

56

3

Утврди који од бројева: 48, 108, 135 1 240, 7 732 и 9 006 је дељив са 4.

Treba da zna{!

Proveri se!

Да одредиш да ли је неки природни број дељив са 4, без претходног дељења.

Напиши број 9 996 као збир, одакле ћеш утврдити да ли је дељив са 4. Напиши два броја која су дељива са 4.

Zadaci 1. Цифрама 1, 2, 3 и 4, без њиховог понављања, напиши све четвороцифрене бројеве који су дељиви са 4.

2. Која цифра треба да се напише на месту

означеном са *, да би се добио број дељив са 4? 362∗; 4 71∗;

3. Напиши три природна броја која су дељива са 4 и 5.

4.

Напиши број из друге десетице четврте стотице који је дељив са 2, 3 и 4.

5 4∗2; 52∗0.

И ово је математика! На столу се налазило 50 зрна пасуља. Два играча наизменично узимају по једно, или по два или по три зрна пасуља. Побeђује онај играч који узима задње зрно. Колико зрна пасуља треба да узме играч који почиње први да би са сигурношћу победио? Направи победничку стратегију за играча који први узима. Направи победничку стратегију за играча који узима други, ако на столу има 20 зрна пасуља. Направи победничку стратегију ако на столу има који било број зрна пасуља и ако играчи наизменично узимају 1 до 4 или 1 до 5 зрна итд. Ако не,могу да решим овај тежак задатак, пробаћу са сличним, лакшим. Пробаћу са 10 зрна пасуља, а затим са 20 итд.

22

ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ. ПРЕДСТАВЉАЊЕ СЛОЖЕНОГ БРОЈА КАО ПРОИЗВОДA ПРОСТИХ ЧИНИОЦА

57

Podseti se!

A 1

Сваки природни број је дељив са 1. Сваки природни број је дељив самим собом.

Напиши три броја који имају само два делиоца. Напиши три броја који имају више од два делиоца.

Напиши све делиоце бројева: 3, 17 и 53. Одреди све делиоце бројева: 6, 12 и 15.

2 Broj

Delilac broja

1

1

2

1, 2

3

1, 3

4

1, 2, 4

5

1, 5

6

1, 2, 3, 6

Ја сам сложен!

А ја?

1 4 7

3

Разгледај табелу.

Који број има само једног делиоца? Који од бројева у табели имају само два делиоца? Који од бројева у табели имају више од два делиоца?

Upamti!

Ја сам прост!

Бројеви који имају само 2 делиоца, зову се прости бројеви. Бројеви који имају 3 или више делиоца зову се сложени бројеви. Број 1 није ни сложен, ни прост број.

Бројеви 2, 3 и 5 у табели су прости. Бројеви 4 и 6 у табели су сложени.

Напиши табеларним записом скупове: A = {x | x ∈ N i x < 20}; B = {x | x ∈ A i x e prost broj}; C = {x | x ∈ A i x e slo`en broj}.

B 4

Одреди производ простих бројева: 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.

58

Представи као производ сваки од бројева: 42, 50 и 75.

5

Упореди твоје решење са датим.

  

42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2

Могу да уoчим! Сложени број могу представити као производ простих бројева.

50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52 75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52

Upamti! Сваки сложени природни број може се записати као производ простих бројева, тј. може се разложити на просте чиниоце.

6

Број 36 напиши као производ простих чиниоца.

7

Разложи број 120 на просте чиниоце. Уочи поступак разлагања датог броја на просте чиниоце.

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5



Прво повлачимо вертикалну црту уз број 120. Вертикалну праву замишљамо као знак дељења, а количнике записујемо испод дељеника.



Дељење почињемо са најмањим простим делиоцем датог броја и настављамо тим делиоцем, све док је могуће дељење (у овом случају, са бројем 2).



Поступак настављамо са сваким количником све док количник не буде 1.

120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 Користећи исти поступак разложи на просте чиниоце бројеве: 36, 140, 600 и 10 000.

Уочи разлагање броја 1 164.

1 164 582 291 97 1

2 2 3 97

1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97

 

Последњи количник 97 није дељив ни са 3, ни са 5.



Нема потреба да проверавамо за наредни прости број пошто 112 > 97.



Значи, 97 је прост број.

Проверили смо и утврдили да није дељив ни са простим бројем 7.

Treba da zna{! Који бројеви су прости, а који сложени. Да разложиш задати број на просте чиниоце.

Proveri se!

59

Који од бројева 91 и 97 је сложени број? Образложи! Разложи број 152 на просте чиниоце.

Zadaci 1. Разложи на просте чиниоце

бројеве:15, 42, 38, 75 и 11 115.

3. Једна породица има непаран број деце,

прости број домаћих љубимаца, парни број аутомобила и сложени број спаваћих соба. Збор свих ових бројева је 10. Који су то бројеви?

2. Сашин број година је сложени број

мањи од 30, а већи од 20 и може да се представи као производ три једнаких простих чиниоца. Колико година има Саша?

4.

Покушај да запишеш парне бројеве веће од 2 као збир два проста броја. Пример: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11. Напиши као збир простих бројева број: 14, 52.

Istra`i sam! У једном хотелу има 100 сијалица. На једној табли било је прекидача за сваку сијалицу и они су били означени бројевима од 1 до 100. Ако се прекидач притисне једном, сијалица се упали, а ако се притисне по други пут она се угаси. Све сијалице су биле погашене. Домар је првог дана притиснуо све прекидаче, т.ј, упалио све сијалице. Да би уштедео електричну енергију, он је другог дана притиснуо сваки други прекидач, трећег сваки трећи и на тај начин је стотог дана притиснуо само стоти прекидач. Које сијалице, тј. сијалице са којим бројевима ће светлети након стотог дана?

Могу сам да истражујем и да решим проблем. Размислићу прво у случају са 10 сијалица, затим за 20, затим за 30 и тако ћу да закључим за све 100 сијалице.

60

23

ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ. НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ

Podseti se! Одреди све делиоце броја 18. Скуп делиоца запиши табеларним записом и означи са D18. Одреди све делиоце броја 24. Скуп делиоца напиши табеларним записом и означи са D24. Одреди заједничке делиоце бројева 18 и 24, тј. одреди D18 ∩ D24.

A

1

Мимоза је купила бонбоне за 28 денара, а Иван је купио исте бомбоне за 42 денара. Која би могла да буде цена једне бомбоне? Која би могла да буде највиша цене једне бомбоне?

Уочи поступак и закључи!

 Сви делиоци броја 28  Сви делиоци броја 42  Заједнички делиоци бројева 28 и 42

D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}

Уочавам да: Ако је D28 скуп делиоца броја 28, а D42 скуп делиоца броја 42*, онда је D28 ∩ D42 скуп заједничких делиоца бројева 28 и 42.

Uo~i da:

  

Цена једне бомбоне би могла да буде: 1, 2, 7 или 14 денара. Највиша цена би могла да буде 14 денара. Број 14 је највећи заједнички делилац бројевима 28 и 42.

Upamti! Упамти! највећи од свих делилаца, бројева n и m назива се највећи заједнички делилац бројева m и n. Означава се: NZD(m, n).

2

Одреди скуп заједничких делиоца бројева 30 и 45. Одреди НЗД (30, 45).

61

Одреди највећи заједнички делилац бројева: a) 24 i 30; b) 9 i 14.

3

Uo~i! Заједнички делитељ бројева 9 и 14 је 1, а он је и њихов највећи заједнички делилац, тј. НЗД (9,14)=1

Upamti! Ако НЗД (a, b) =1, тада за бројеве a и b кажемо да су узајамно прости бројеви. Одреди НЗД(168, 180).

B 4



Уочи поступак и ради према захтевима.



Разложи бројеве 168 и 180 на просте чиниоце.



Представи бројеве 168 и 180 као производ простих бројева.

168 84 42 21 7 1

2 2 2 3 7

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Uo~i! Производ заједничких простих делитља бројева 168 и 180 је њихов највећи заједнички делилац, тј. НЗД(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

5

Одреди НЗД(120,150) и НЗД(42,63,84). Уочи скраћени поступак за одређивање НЗД.

 

Одреди најмањи прости број који је делилац два броја. Одреди најмањи прости број који је делилац два добивена количника.



Поступак настављаш све док добивени количници не постану узајамно прости бројеви.



Производ заједничких простих делиоца је највећи заједнички делилац, тј.

6

NZD(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.

Odredi a) NZD(72, 90);

b) NZD (150, 180, 240)

120, 150 60, 75 20, 25 4, 5

2 3 5

42, 63, 84 14, 21, 28 2, 3, 4

3 7

62

Treba da zna{!

Proveri se!

Да одредиш заједнички делилац два броја.

Разложи бројеве 36 и 60 на просте чиниоце, а затим одреди њихов НЗД.

Који су бројеви узајамно прости;

Дате су две жице од 8 m и 12 m. Која је највећа дужина којом се могу поделити ове две жице на једнаке делове?

Да одредиш највећи заједнички делилац два или више бројева, скраћеним поступком.

Zadaci

1. Одреди скуп заједничких делитоца броја

Покушај да решиш!

30 и 36.

6. Колико највише једнаких пакетића могу

да се направе од 48 чоколада, 72 бајадере и 120 бонбона, тако да у сваком пакетићу има једнаки број комада истог производа и да сви производи буду употребљени?

2. Одреди: a) NZD(12, 18);

v) NZD(60, 90, 120);

b) NZD(48, 72);

g) NZD(240, 300, 600).

3. Одреди: a) NZD (16, 25);

Користећи дате мреже, одреди и напиши одговарајуће тачке делиоца бројева: а)36 и 54; б) 28, 42 и 98.

7. b) NZD(36, 72).

Према мрежама одреди: НЗД(36, 54) и НЗД(28, 42, 98).

4. Колико највише једнаких букета могу да се направе од свих 49 белих и свих 72 црвених каранфила, тако да у сваком букету буде исти број каранфила исте боје?

28 42 98 36



2

5. Дате су две жице. Једна је дугачка 96 m, а

друга 180 m. Колико метара је највећа дужина којом се могу измерити ове жице?

NZ

D



54 2

1

3

3 1

NZ

7

D

24

ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ. НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ

Podseti se!

A 1

Скуп садржаоца броја 3, напиши табеларним записом и означи са S3.

63

Два друга су се сусрела у библиотеци. Један иде у библиотеку сваког четвртог дана, а други сваког шестог дана. После колико дана ће се поново срести у библиотеци?

Скуп садржаоца броја 4 напиши табеларним записом и означи са S4. Напиши скуп заједничких садржаоца бројева 3 и 4, тј. одреди S3 ∩ S4.

Уочи поступак и закључи!

  

Скуп саджаоца броја 4.

S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

Скуп саджаоца броја 6.

S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}

Скуп заједничких саджаоца бројева 28 и 42.

S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}

Uo~i!

  

Два друга ће се срести у библиотеци после 12 дана, после 24, после 36 дана итд. Први пут ће се срести после 12 дана. Број 12 је најмањи заједнички садржалац бројева 4 и 6.

Upamti! Најмањи природни број n који је садржалац природних бројева a и b зове се најмањи заједнички садржалац. Означава се НЗС (a, b) = n.

2

B

Одреди скуп заједничких садржаоца бројева 3 и 5. Одреди НЗС(3, 5).

3

Одреди НЗС(12, 45). Уочи поступак за одређивање НЗС. Разложи бројеве 12 и 45 на просте чиниоце.

12 6 3 1

2 2 3

45 15 5 1

3 3 5

64

  

Број 12 разложен на просте чиниоце је производ бројева 22 ⋅ 3.



Најмањи заједнички садржалац је њихов производ ,тј. NZS(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.

Број 45 разложен на просте чиниоце је производ 32 ⋅ 5. Сви прости чиниоци бројева 12 или 45 су 2, 3 и 5. Они се појављују са највећим степеном као: 2², 3² и 5.

4

Одреди НЗС(m, n), ако је познато да: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.

5

Одреди НЗС(60, 72, 90). Уочи скраћени поступак одређивања НЗС помоћу вертикалне црте. Одреди просте делиоце, почевши од најмањег, једног или више задатих бројева.

 

Поступак настави са добивеним количницима и осталим преписаним бројевима који немају одговарајућег простог делиоца. Производ добивених простих делиоца је најмањи заједнички садржалац датих бројева, тј.



NZS(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360. Одреди НЗС бројева: a) 14 i 15;

6

b) 20 i 40;

60, 72, 90 30, 36, 45 15, 18, 45 15, 9, 45 5, 3, 15 5, 1, 5 1, 1, 1

2 2 2 3 3 5

v) 60, 90 i 120.

Uo~i!



Ако су два броја узајамно проста, онда је НЗС тих бројева њихов производ, тј. NZS(14, 15) = 14 ⋅ 15 = 210;



Ако је од два броја један садржалац другог, онда је НЗС тих бројева већи број, тј. НЗС(20, 40)=40

Treba da zna{! Да одредиш скуп заједничких садржаоца два броја; Да одредиш најмањи заједнички садржалац два или више броја скраћеним поступком.

Proveri se! Представи сваки од бројева 9 и 12 као производ простих бројева, а затим одреди њихов најмањи заједнички садржалац. На школској забави су се додељивале награде на следећи начин: Значку је добијао сваки 10 посетилац; Сок је добијао сваки 15 посетилац; Капу је добијао сваки 20 посетилац. Који је први посетиоц који је добио све три награде?

65

Zadaci

1. Одреди скуп садржаоца бројева: 10 и 15, а затим одреди НЗС(10, 15).

2. Одреди: a) NZS(8, 10);

5. Милан је имао мање од 30 коцака. Ако их

ређа по 3 у једном реду, једна му остаје. Ако их ређа по 4, исто тако му остаје једна, али ако их ређа по 5, не остаје му ниједна коцка. Колико коцки је имао Милан?

v) NZS(80, 120);

b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).

3. Са једне станице у исто преме пошла су

три аутобуса. Први се враћа на станицу сваких 50 минута, други сваких 60 минута, а трећи сваких 75 минута. За колико најмање минута ће се наћи заједно сва три аутобуса на почетној станици?

6. Три светиљке различитих боја укључене су

у исто време. Црвена се гаси сваких 5 секунди, плава светиљка се гаси сваких 4 секунди, а жута се гаси сваких 6 секунди. После колико секунди ће се угасити све три светиљке?

4. Два брода полазе истовремено са приста-

ништа. Први се враћа у пристаниште сваких 20 дана, а други сваких 24 дана. После колико најмање дана ће се бродови наћи у истом пристаништу?

Istra`i sam! По чему су слични, а по чему различити бројеви 12 и 16?

Poku{aj da izra~una{! Најмањи заједнички садржалац неког броја и броја 12 је број 24. Који је тај непознати број?

Zanimqiv problem! Два брата су хтела су да купе карте за „Забавни парк”. Прорачунали су се и једном од њих је недостајало 20 денара за две карте, а другом је за две карте недостајао један денар. Утврдили су да и њихов укупни новац није довољан за две карте. Колико је коштала једна карта за „Забавни парк” и колико денара је имао сваки од њих?

66

R A B R A D P O D A C I M A

S A

25

СЛИКОВНИ ДИЈАГРАМ. СТУБИЧАСТИ ДИЈАГРАМ

Сликовни дијаграм је начин представљања података коришћењем слика или симбола.

Продаја мајица Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3

1

Sedmica 4

У једној продавници записивана је продаја мајица током 6 седмица. Подаци су представљени сликовним дијаграмом. Разгледај дијаграм.

Sedmica 5 Sedmica 6 Znak

Представи податке у табели.

predstavqa 10 majica, a

У којој седмици је продато највећи број мајица?

5 majica.

Колико више мајица је продато у другој седмици него у првој? Колико укупно мајица је продато за шест седмица?

2

Ученици VI разреда прикупили су податке о томе када људи највише воле да слушају музику.

Када

У шетњи

Broj

30

Код куће При учењу При спортовању

50

20

25

Представи податке у табели користећи симбол Један симбол

На послу

Друго

15

40

(слушалице).

представља 10 одговора.

Када људи најчешће слушају музику? Колико укупно су одговорили на питање?

3

Уочи табелу о броју позајмљених књига из градске библиотеке. Представи податке у сликовном дијаграму ако симбол представља 50 књига. Напиши три питања у вези података и одговори их.



Дан

Бр. књига

Понедељак

350

Уторак

400

Среда

150

Четвртак Петак

100 50

4

67

Око нашег Сунца окрећу се 9 планете. Седам од планета имају своје сателите (месеце). У табели су дати подаци о броју сателита откривених до 1992 године.

Планета

Број месеца

Zemja

1

Mars

2

Jupiter

16

Saturn

18

Uran

15

Neptun

8

Pluton

1

Да би се подаци представили на стубичастом дијаграму потребно је:

  

Да се нацрта хоризонтална оса и да се напишу имена која се односе на податке;

 

Да се нацртају стубови.

Да се нацрта вертикална оса и да се напише врста јединице мере. Да се одлучи о величини јединачне мере на стубовима, тако да се сви подаци представе и да се направи стуб.

Да се напише наслов стубичастог дијаграма.

18 16 14 12 10 8 6 4 2

Z

M

J

S

U

N

P

Планете Уочи избор стуба. Зашто није практичније да се користи стуб са јединичном мером 5 или 10 у овом примеру?

20 15 10 5 0

Број месеца

0

Зашто је боље да се подаци представљају стубичастим дијаграмом него у табели? Представи податке на стубичастом дијаграму тако да стубови буду нацртани хоризонтално.

Број месеца

Број месеца

Mесеци планета

20 10 0

68

26

УЧИО СИ О ПРИРОДНИМ БРОЈЕВИМА. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ

Дати су скупови A = {x | x је непарни број друге десетице}, В = {x | x је прост број друге десетице} и C ={x | x ∈ N и 15 < x ≤ 19} а) Представи А, Б и С табеларно. б) Представи Б и С Веновим дијаграмом и напиши В∩С табеларним записом. в) Одреди који од скупова А, В, С, В∩С и В\С су еквивалентни.

1.

9.

Један коњ и један магарац носили су терет.

Ако од броја килограма који носи магарац одузмеш 9kg, добићеш 19 kg. Ако три пута умањиш број килограма које носи коњ, добићеш 13kg. Колико килограма терета носе коњ и магарац заједно?

Дати су скупови A = {a, b, cи В = {1, 5}. Одреди Декартов производ А х В и Декартов квадрат В².

2.

Задате су цифре 9, 1 и 0. а) Образуј све троцифрене бројеве користећи све три задате цифре. б) Поређај према величини бројеве које си добио, почевши од најмањег. в) Напиши претходник и следбеник најмањег добијеног броја.

3.

10. Пронађи аритметичку средину бројева: 427, 586, 386 и 485.

11. Који од бројева 105, 372, 801, 930 и 254 су дељиви са: a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?

12. Коју цифру треба да упишеш на месту 4. Напиши број: „двадесет милијарди триста педесет милиона пет хиљада и седамдесет”. У којој класи и на којој позицији је цифра 3 у том броју? Која је позициона вредност цифре 3? Заокружи бројеве 6 485 и 2 539 на стотине и пронађи збир заокружених бројева. За колико се разликује тај збир од тачног збира?

5.

Како ће се променити разлика 35 648 – 18 719 ако се умањилац умањи за 300, а умањеник остане исти?

са 4:

означеном са * да би број био дељив а) 573*; б)74*2.

13. Разложи број 315 на просте чиниоце. 14. Одреди скуп D68, тј. скуп свих делиоца броја 68.

15. Одреди НЗД и НЗС бројева 18 и 24.

6.

Из две цеви тече вода у базен, при чему се у једној секунди кроз једну цев улива 9ℓ, а кроз другу 6ℓ. Колико литара воде ће се улити у базен из две цеви за 15 минута?

7.

Ана и Бојан делили су један исти број: Ана са 14, а Бојан са 18. Ана је добила количник 23 и остатак 2. Који количник је добио Бојан?

8.

16. Колико највише екипа са једнаким бројем ученика могу да се саставе од свих 12 девојчица и свих 20 дечака, тако да свака екипа има исти број девојчица и исти број дечака?

17. На једној телефонској линији стубови су били постављени на растојању од 30 m. Стубове треба разместити на растојање од 50 m. Који ће стубови телефонске линије остати на истом месту?

TEMA 2.

ГЕОМЕТРИЈСКЕ ФИГУРЕ У РАВНИ

1. Тачка и права. Основна својства праве 2. Узајамни положај правa 3. Растојање између две праве 4. Полуправа. Дуж. Дужина дужи 5. Преносење дужи 6. Изломљена линија 7. Основни и изведени појмови 8. Кружница и круг 9. Узајамни положај кружнице и тачке. Узајамни положај кружнице и праве 10. Узајамни положај две кружнице 11. Полураван и угао 12. Упоређивање углова. Врсте углова 13. Суседни, упоредни и унакрсни углови

70 73 75 77 80 83 87 89

92 94 97 100 103

14. Централни угао. Конструкција угла 15. Графичко сабирање и одузимање углова 16. Мерење углова. Угломер 17. Аритметичке операције са угловима 18. Узајемно нормалне праве. Растојање од тачке до праве 19. Симетрала дужи. Симетрала угла 20. Комплементни и суплементни углови 21. Вишеугаоник 22. Неке врсте вишеугаоника 125 23. Обим вишеугаоника 127 24. Учио си о геометријским фигурама у равни. Провери своје знање

69

105 108 110 113 116 118 120 122

130

1

70

ТАЧКА И ПРАВА. ОСНОВНА СВОЈСТВА ПРАВЕ

Podseti se! G

B

a F

D A

C

H

A

На цртежу је представљена права a и неколико тачака: Тачке: А, D и F припадају правој a. Тачке: В, С, Н и G не припадају прави a. На прави a има пуно других тачака.

1

Разгледај цртеж и упамти исказ. p

M

N

Нацртај праву b и на њој означи неколико тачака. Означи тачке које не припадају b.

Можемо рећи да права је скуп тачака.

Како замишљаш праву?

За тачку М кажемо да припада прави p или да права p пролази кроз тачку М; кратко записујемо М ∈ p.

Тачка N не припада, тј. не лежи на прави p, а може се рећи и да N лежи изван праве p. Кратко записујемо N ∉ p. Да упамтим! Тачка лежи на прави или тачка не лежи на прави.

2

Нацртај једну праву и означи је са m. Онда означи тачке А, В, С, М и N тако да: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m i N ∈ m. Искажи речима кратке записе: A ∈ m i B ∉ m.

3

Uo~i!

На цртежу су означене права d и тачка : A ∈ d, B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d i G ∉ d. На прави лежи бесконачМожеш ли да означиш и друге тачке које припадају но много тачака, али има и прави d? Колико? тачака које не леже на тој Можеш ли да означиш и друге тачке које не припадају прави. прави d? Колико? d Ово упамти као прво основно својство праве. C F E D A G B

Уочи које од означених тачака на цртежу леже на истој прави.

4

B

a

D

b

C

E

A

71

Uo~i i upamti!

За тачке које леже на истој прави кажемо да су колинеарне. На цртежу су тачке А, С и Е колинеарне тачке; и тачке В, С и Е су колинеарне тачке. Тачке А, В и D не леже на истој прави, па су оне неколинеарне.

Према цртежу утврди да ли су тачке колинеарне:

5

a) A, R i V;

g) M, Y i B;

b) M, Y i N;

d) A i V;

v) A, R i N;

|) N, P, S, M.

q

B

Записујемо: A ≡ V и кажемо „Тачке А и В се подударају“. Слова p и q на цртежу означавају исту праву. Записујемо p ≡ q и кажемо „Праве p и q се подударају”.

B

7

Кроз тачке М и N на цртежу пролази права p. Да ли можеш да повучеш неку другу праву која пролази кроз тачке М и N?

N M

8

p

m

B

S P

Слова А и В на цртежу означавају исту тачку. p A

6

M

A

n N

Uo~i i upamti! Када кажемо „означи две тачке”, „задате су две праве”, подразумевамо да су те две тачке, тј. две праве различите. Њих означавамо различитим словима.

Uo~i i upamti! Кроз две тачке М и N пролази тачно само једна права. Ово упамти као друго основно својство праве. Да упамтим! Од другог основног својства произлази да две тачке одређују једну исту праву. Зато права може да се означи и са две њене тачке и да се каже:„ права МN“ уместо „права p ”.

Означи две тачке А и В и провуци праву p која је одређена тим тачкама. Онда изабери тачку С која не лежи на прави p. Колико је правâ одређено тим трима тачкама? Напиши те праве уз помоћ тачака.

72

Uo~i i upamti!

Разгледај цртеже, размисли и закључи према захтеву.

9 a b

A

N

M c

Кроз једну тачку пролази бесконачно много правих.

Уочаваш да су повучене три праве које пролазе кроз тачку М и пет које пролазе кроз N.

За такву тачку А, као на цртежу, каже се да је заједничка тачка свих прави које пролазе кроз њу.

Можеш ли да повлачиш и друге праве тако да пролазе кроз праву М? Колико? А колико кроз тачку N?

10 Означи једну тачку Р. Нацртај три праве a, b и c, тако што ће тачка Р бити њихова заједничка тачка.

Treba da zna{!

Proveri se!

Да одредиш узајамни однос тачке и праве;

Нацртај праву а и означи тачке А, В, М и Р које леже на правој а и тачке С, D, F и N које не леже на правој a.

Да искажеш и објасниш прво и друго основно својство праве.

Означи три колинеарне тачке А, В и С.

Да разликујеш да ли су три или више тачака колинеарне или су неколинеарне.

Означи тачку М и повуци праве a, b, c и d које пролазе кроз тачку М. Колико прави можеш да повучеш, а да пролазе кроз тачку М?

Zadaci 1.

Нацртај две праве a и b и на свакој од њих означи по три тачке.

2.

Означи тачке А, В и С и нацртај три праве a, b и c, тако да права а пролази кроз тачке А и В, b кроз тачке С и В и права c кроз тачке А и С. Која је заједничка тачка правa a и c?

3.

Које од тачака на цртежу су а)колинеарне; б)неколинеарне. A

b

E D

B

a C

4.

На правој p означене су тачке М, N и Р. Како може другачије да се именује права p?

5.

Тачке А, В, С и D распореди тако да између њих нема тачака које су колинеарне. Колико прави одређују те тачке? Покажи то цртежом.

2 Podseti se!

A

a P

b

Праве a i b на цртежу имају заједничку тачку Р. Да ли могу две праве да имају више од једне заједничке тачке? Зашто?

1

73

УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ ДВЕ ПРАВИ

Напиши скраћено: a) Праве a i b се секу у тачци М. b) Пресечна тачка правa c i d је тачка L. v) Заједничка тачка правa m i n је тачка Ѕ.

2

Две праве могу да имају највише једну заједничку тачку. За праве које имају једну заједничку тачку каже се да се секу у тој тачци. Заједничка тачка назива се тачка пресека тих права. На цртежу праве a и b се секу и њихова тачка пресека је тачка Р. То се кратко записује a ∩ b = {P}

Према цртежу одреди шта је тачно. a) a ∩ b = {A}.

v) b ∩ c = {B}.

b) a ∩ c = {B}.

g) a ∩ c = {C}. c C

a

b A

B 3

Две праве могу и да немају заједничку тачку. Такве су праве a и b на цртежу.

a b То практично значи: колико и да их „продужавамо”, оне се неће сећи.

4

B

Две праве које немају заједничку тачку називају се паралелне праве. Праве a и b на цртежу су паралелне. То укратко записујемо a || b.

Узајамни положај права a, b i c на цртежу је следећи: a i b су паралелне, т.ј, a || b. a i c сe секу, t.e. a || c. b i c сe секу, t.e. b || c.

c

b a

74

Uo~i i zapamti!

Две праве или се секу; или су паралелне. За праве a i b којима су све тачке заједничке кажемо да се подударају.

a b

Када се неке праве подударају, то се сматра специјалним случајем паралелности, па зато може да се каже да је свака права паралелна себи самој. тј. a || a.

Treba da zna{!

За које две праве кажемо да се секу; Које се праве се називају паралелним; Да су праве, које се подударају, и паралелне.

Proveri se! Нацртај праву a и означи тачку R ∉ a. Кроз тачку Р повуци праву b која сече праву a. Нацртај три праве a, b i c тако да, пар за паром, немају заједничке тачке. Напиши са симболима заједничке положаје тих прави. Нацртај три праве a, b i c тако да a || b i b ∩ c = {M}.

Zadaci 1.

Нацртај три праве које имају једну заједничку тачку.

4.

Нацртај праву a, а затим нацртај праву b, тако да a || b.

5.

Нацртај праву m. Затим нацртај праве n i p тако да n || m i p || m. У каквом су узајамном положају праве n i p?

2. Да ли три праве АВ, ВС и ВD имају

заједничку тачку? Која је то тачка? Представи то цртежом.

3.

Задате су тачке А, В и С. Колико прави одређују ове тачке? Разгледај све могуће ситуације у зависности од положаја точки.

3

75

РАСТОЈАЊЕ ИЗМЕЂУ ДВЕ ТАЧКЕ Разгледај цршеж и уочи исказе!

Podseti se!

A До сада си више пута одређивао растојање од једног до другог места, од једног објекта до другог, од једне тачке до друге. То растојање исказивао си одређеним бројем центиметара (cm), метара (m), километара (km) и сл. B A На пример, растојање између тачке А и тачке В је 5 сm, растојање од Скопља до Велеса је 55km и сл. Измери растојање између тачке С и тачке D у милиметрима и напиши кратко. C

D

a

D C B A

Растојање од једне тачке А до друге тачке В је број већи од нуле или једнак нули, тај број означавамо са АВ. Значи АВ>0. Број АВ је већи од нуле када су тачке различите и једнак је нули када се тачке подударају. Према цртежу: AB = 4 cm; AB > 0;

BD = 3 cm; BD > 0;

BC = 0 cm, зато што се тачке В и С подударају.

1

2

B

A

Одреди растојање MN и NM, а затим их упореди. Напиши то симболима.

M

3

C

У вези цртежа одреди растојање AB, BC i CD.

B

D

Уo~i! Уочи: За које било две тачке А и В, растојање од А до В је једнако растојању од В до А, т.ј. АВ = ВА.

N

Ако је растојање СD= 28 cm, колико је онда растојање DС?

4

d

C

На цртежу су дате неколинеарне тачке А, В и С. Измери растојање АВ, АС и СБ. Упореди: AB so AC + CB;

A

BC so BA + AC;

Закључио сам да AB < AC + CB;

AC so AB + BC;

BC < BA + AC i AC < AB + BC.

Шта примећујеш?

B

76

5

Тачке М, N и Р на цртежу су колинеарне. Измери растојање MP, MN, NP и MP и упореди са MN + NP. Шта си закључио?

M

N

P

Закључио сам да MP = MN + NP.

За било које три тачке А, В и С, растојање од А до С је мање или једнако од збира растојања од А до В и од В до С, тј. AC < АВ + ВС. Растојање између две тачке А и В је број АВ са следећим особинама: 1) АВ > 0; 2) АВ = ВА; 3) за било коју тачку С важи: AC < АВ + ВС. Ако за три тачке М, N и Р ваши једнакост MP = MN + NP, онда те три тачке леже на истој прави. У том случају кажемо да тачка N лежи између тачака М и Р.

6

Одреди да ли тачке A, В и С леже на истој прави, ако: AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

Treba da zna{!

Proveri se!

Растојање између две тачке је број већи од нуле ако тачке су различите, а једнак је нули ако се тачке подударају;

Да ли тачке А, В и С леже на истој прави ако AC = 56 mm, AB = 3 cm и BC = 26 mm ? Зашто?

За било које тачке А и В, АВ = ВА;

Тачке M, N и Р нису колинеарне, при томе

за било које три тачке A, В и С, AC < AB + BC.

MN = 3 cm и NP = 5 cm. Може ли MP да буде 95 mm?

Zadaci 1. Тачке А, В и С су колинеарне, при чему је тачка В између тачака А и С. Израчунај растојање између тачке А и В, ако AC = 7 cm и BC = 42 mm

2. Да ли су колинеарне тачке K, L и M ако KL = 3 cm, LM = 52 mm и KM = 82 mm?

3. Нацртај праву m и на њој означи тачке М,

N, Р и Ѕ, тако да N лежи између М и Р и да М лежи између N и Ѕ.

4. Тачке А, В и С леже на истој прави, при томе АВ=35mm и ВС=48mm. Колико износи АС?

5. На правој p тачка Р лежи између тачака М и Ѕ. МР је три пута мања од РЅ и МЅ=12. Израчунај МР И РЅ.

4

77

ПОЛУПРАВА, ДУЖ, ДУЖИНА ДУЖИ

Podseti se! a

A

O

На цртежу је дата права a и тачка О која лежи на правој. На колико делова је права a подељена тачком О? a

A B

O

C

D

Које од означених тачака леже на истој страни тачке О? Означи две тачке на правој a, између којих ће лежати тачка О.

Разгледај цртеж, уочи и запамти! p

O

V

A Права p са тачком О подељна је на два дела, тако да ни један од тих делова не садржи тачку О. За тачку О се каже да је гранична тачка сваком од делова. Сваки од делова праве, заједно са граничном тачком зове се полуправа. Гранична тачка зове се почетна тачка полуправе.

На цртежу је нацртана полуправа. Ако је тачка О почетна тачка, а М било која тачка на полуправи, онда кратко записујемо: полуправа ОМ.

M

N

O

1

Нацртај праву a и на њој означи две тачке А и В. Колико је полуправа означено на тај начин? Напиши скраћено те полуправе.

2

Уз помоћ тачака М и N на цртежу, напиши скраћено полуправе на које је подељена права m тачком О.

m

M

O

N

Uo~i! Полуправе ОМ и ОN образују једну праву. Такве полуправе називају се саставне полуправе.

3

Означи две тачке М и N. Нацртај полуправу тако да М буде њена почетна тачка, а N тачка која припада полуправи.

4

Колико је полуправа са почетном тачком О означено на цртежу? Које су од њих саставне полуправе? m A O B C

B

Права и полуправа су скуп тачака. Сваку скуп тачака назива се још и геометријска фигура.

78

C

Именуј геометријске фигуре на цртежу.

5

a p

6

M

P

Имеђу којих тачака лежи тачка Р? Постоје ли и друге тачке на правој p које леже између тачака М и N? Именуј дужи на цртежу испод а) и б). V a)

A

b)

8

D

A

N

Uo~i i zapamti!

На цртежу су означене права p и тачке М, N и Р.

7

B O

S

M

X

M

Геометријска фигура која садржи тачке М и N и све тачке које леже између њих назива се дуж. Тачке М и N називају се крајње тачке дужи MN. Тачка Х на цртежу б) и све друге тачке које леже између М и N називају се унутрашње тачке дужи MN.

N

Измери растојање између тачки А и В на цртежу и то напиши симболично.

Uo~i i zapamti! M

A

N

B

m

N

Растојање између крајних тачака М и N дужи МN назива се дужина те дужи и означава се са МN. МN=5cm.

Да упамтим! Једна дуж може се означити и малим словом. Истим словом означава се и дужина те дужи. На цртежу је дуж означена МN словом m и m = 5cm.

Uo~i i zapamti! 9

На цртежу је задата дуж АВ и на њој тачка D. Измери растојање између тачаки А и D и између тачки D и В. Шта примећујеш?

A

10

D

На цртежу AD = DB. Значи тачка D је подједнако удаљена од крајних тачака А и В дужи АВ. Таква тачка назива се средишња тачка или средина дужи.

B

Нацртај дуж РЅ и одреду њени средишњу тачку О.

11

Измери дужину дужи АВ, СD, ЕF и GH и упореди их. Које од задатих дужи имају једнаке дужине? A

79

Uo~i i zapamti!

Из упоређивања дужи на цртежу, можемо да утврдимо да: AB = EF i CD = GH

B

C

За две дужи које имају једнаке дужине кажемо да су једнаке или складне дужи.

D F E

G

H

12

ацртај дуж СD која је једнака дужи АВ са цртежа. A

B

Treba da zna{! Proveri se! да нацрташ и да означиш полуправу; Шта је полуправа;

Које од означених тачака на цртежу припадају дужи АВ? D

Да објасниш шта је дуж; Шта је дужина дужи; За које две дужи се каже да су једнаке или складне.

A

C

F

B

G

E Нацртај једну дуж АВ, а затим нацртај дуж СD која је једнака дужи АВ.

Zadaci 1. Шта је полуправа? 2. Означи три неколинеарне тачке О, А и В, а затим нацртај полуправе ОА и ОБ. Нацртај полуправу ОС која је састављена од полуправе ОВ.

3. Нацртај праву p и на њој означи две тачке М и N. На правој p означи тачке Р и Ѕ које припадају дужи МN и тачке К и L које не припадају тој дужи.

5. Које две дужи су складне дужи? 6. Означи три неколинеарне тачке А, В и С. Колико дужи одређују те тачке? Именуј дужи.

7. Означи три колинеарне тачке Е, F и G.

Колико дужи одређују те тачке? Именуј их.

8. Дужи АВ и СD су складне. Колика је дужина дужи СD, ако

4. Шта је дужина дужи АВ?

AB = 4 cm?

5

80

ПРЕНОШЕЊЕ ДУЖИ

Podseti se! O

1

A A

M

На цртежу је дата полуправа ОМ и означена је тачка А. Измери растојање између тачке О и тачке А.

Поступи према захтевима и проучи исказано. Нацртај полуправу ОМ и на њој одреди две тачке А и В, тако да OA = 1 cm i OB = 3 cm.

Да ли постоји друга тачка Аa1, осим тачке А, тако да OA1 = 1 cm? Ако је n број већи од нуле, онда полуправа

Да ли на полуправој ОМ можеш да одредиш и другу тачку која је удаљена од тачке О исто толико колико и тачка А?

ОМ лежи само на једној тачци А која је на растојању n од тачке О. Тј. OA = n. Уочи ово као једно својство тачке са полуправом.

То својство тачке са полуправом може се искористити за цртање једнаких дужи само уз помоћ лењира и шестара. Цртеж направљен само уз помоћ лењира и шестара назива се конструкција.

2

Конструиши дуж која је једнака дужи АВ.

Re{ewe: A

B O

M

S

Разгледај задато решење и ради према упутствима и цртежима. Нацртај полуправу ОЅ (цртеж а). Отвори шестар, тако да његов отвор буде једнак дужини дужи АВ, тј. „узми” дуж АВ (цртеж б).

O

Y

a)

Убоди шестар у почетак полуправе ОЅ и истим отвором означи тачку М (цртеж).

Дужи АВ и ОМ су једнаке. Овај поступак назива се још и графичко преношење дужи на датој полуправи.

v)

b) A

V

O

M

Y

3

Нацртај дуж MN и полуправу ОР. Пренеси дуж MN на полуправу ОР.

4

Дуж m ( тј. КL) и n (тј. МN) су пренесене на полуправој ОТ(на цртежу десно) тако да OP = KL и PS = MN.

81

m

n

K

L

M

N

n

m

Колика је дужина ОЅ? P

O

B

5

Одреди на графички начин, збир дужи a i b са цртежа.

Ради према упутствима и следи цртеже

a)

Пренеси дуж b на полуправој ОТ, са почетном тачком Р и крајњом тачком Ѕ (цртеж в). Дуж ОЅ представља графички збир дужи a i b, који се означава са a + b (цртеж г).

6

T

a

b

A

B

C

O

D

T a

Нацртај полуправу ОТ(цртеж а). Пренеси дуж а на полуправој ОТ (цртеж б).

S

b)

O

P a

v)

T b

O

P

S

T

S

T

a+b g)

На цртежу су дати дужи КL и МN и полуправа ОТ. Дужи КL и МN су пренешене на полуправу ОТ. На тај начин је на полуправој ОТ добивена дуж ОЅ. Колика је дужина дужи ОЅ?

O m K

L

n M

N m

7

Одреди на графички начин разлику дужи m = KL i n = MN.

O

S

n

P

T

Ради према поступку Нацртај полуправу ОТ. На полуправи ОТ пренеси дуж КL = m тако да ОР = n. Дуж МN = n пренеси на полуправој ОТ са почетком у тачци Р, према тачки О. Тако ћеш добити дуж РЅ, тако да РЅ = n. Дуж ОЅ је разлика дужи KL и MN, тј. OS = m – n.

82

Нацртај дужи a = 62 mm и b = 3 cm, = 3 cm, а затим конструиши дужи a + b i a - b.

8

Treba da zna{!

Proveri se!

За сваки број n већи од нуле, на полуправој ОЅ лежи само једна тачка А која је на рас-

Нацртај дуж АВ = 48mm и полуправу ОЅ. Пренеси дуж АВ на полуправу ОЅ.

тојању n од тачке О, тј. ОА = n; Конструиши дужи ОМ = a + 2b и Како се преноси дуж преко полуправе;

ON = 2a – b, ако a = 3 cm и b = 2 cm.

Како се графички одређује збир, односно разлика две дужи;

Zadaci 1. Нацртај полуправу ОЅ и на њој означи

4. Конструиши дужи: 2a + b и a + 2b, ако a = 25 mm и b = 22 mm.

тачке А и В, тако да ОА = 4 cm и АВ = 2 cm.

2. За који цртеж кажемо да је конструкција?

5. Конструиши дужи: a - b и a - 2b, ако

3. Конструиши дужи: ОМ = 2a и ON = Зa,

6. Конструиши дуж: a + b - c, ако a = 5 cm,

ако a = 3 cm.

a = 72 mm и b = 2 cm.

b = 3 cm и c = 4 cm.

Провери своју способност уочавања. Провери путем бројања. 1. Колико квадрата има фигура на цртежу а? 2. Колико правоугаоника има фигура на цртежу б? 3. Колико једнакостраних троуглова има фигура на цртежу в?

a)

b)

v)

6

83

ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА

Podseti se! A

За две дужи које имају заједничку само крајњу тачку кажемо да су суседне дужи.

A

B

Тачке А и В су крајње тачке дужи АВ.

P M

Шта имају заједничко дужи АВ и ВС на цртежу? A Са цртежа уочаваш да АВ и ВС не леже на истој прави. B

Дужи MN и NP на цртежу су суседне дужи. Одговори на питања.

C

На цртежима а) – д) дате су дужи АВ, ВС, CD и DE, које се надовезују једна на другу на разне начине.

На ком од цртежа две суседне дужи леже на истој прави? На ком од цртежа нема суседних дужи које леже на истој прави?

a)

C C

A

B

C

A

B

g)

A

A

D

E

d) C

B D

E

B

D

E

D

C b)

B v)

N

A

E

Upamti!

D

Ако при надовезивању дужи било које две суседне дужи леже на истој прави, онда се овако добивена геометријска фигура назива изломљена линија. Геометријске фигуре под б, г и д су изломљене линије, а под а и в - нису. Зашто?

1

Које од фигура на цртежу су изломљене линије? H

M

G

T

N

E A

B

L

C F

a)

b)

K

I v)

P

R

S g)

На цртежу је дата изломљена линија. Дужи АВ, ВС и CD називају се стране изломљене линије, а њихове крајне тачке темена.

84

D S

Са којом дужи је суседна дуж АВ, а са којом дуж ВС? Суседне дужи изломљене линије називају се суседне стране. На пример, суседне стране изломљене линије на цртежу су АВ и ВС, као и ВС и СD.

A

V

Које стране изломљене линије на цртежу нису суседне? D На цртежу је дата изломљена линија.

2

Које су суседне стране страни ВС?

A

Разгледај цршеж и проследи исказивање

B

D

a)

b)

S

E

Које стране нису суседне страни СD?

V

Uo~i i zapamti!

D За изломљену линију код које се крајње тачке подударају кажемо да је затворена.

S

E A

V

S

A≡E

B

Са цртежа а можеш да уочиш да се крајње тачке А и Е изломљене линије АВСDЕ не подударају. Крајње тачке А и Е код изломљене линије б се не подударају са тачком А.

3

Стране троугла образују затворену изломљену V линију.

S A

Које од изломљених линија на цртежу немају суседне стране које се секу? Која од изломљених линија је затворена и нема несуседне стране које се секу?

a)

b)

v)

g)

d)

ђ)

85

Uo~i!

Изломљене линије а, б и ђ немају несуседне стране које се секу. Таква линија назива се проста изломљена линија. Изломљене линије б и ђ су затворене и немају суседне стране које се секу.

Upamti!

Стране четвороугла АВСD образују полигоналну линију. C D

Затворена проста изломљена линија назива се полигонална линија.

A

V

4

Израчунај збир дужина страна изломљене линије на цртежу.

Uo~i i zapamti! Збир дужина свих страна изломљене линије назива се обим изломљене линије и означава се са L.

45 m m

2c m

D

B

C

Обим изломљене линије са цртежа је: L = AB + BC + CD + DE

4

cm

E

A

32 mm

B

L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e. L = 137 mm.

5

Израчунај обим изломљене линије KLMNP, ако KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm и PK = 6 cm.

Treba da zna{! Да објасниш шта је затворена изломљена линија; Шта је затворена изломљена линија, тј. полигонална линија; Шта је обим изломљене линије.

Proveri se! Нацртај затворену изломљену линију АВСD. Израчунај обим затворене изломљене линије ABCDE, ако AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DE = 4 cm i EA = 7 cm.

86

Zadaci

1. Означи четири тачке А, В, С и D, да нема три тачке које леже на истој прави. Нацртај просту затворену изломљену линију са теменима А, В, С и D.

4. Шта је обим изломљена линије?

5. Дворна ограда АВСD има обим L = 21m. Израчунај дужину стране АВ, ако BC = 5 m, CD = 720 cm, DA = 630 cm.

2. Колико темена и колико страна има изломљена линија на цртежу? Именуј темена и стране.

6. Израчунај обим изломљене линије прика-

D

зане на цртежу. C

E

D

35 mm

28 mm

E

C A

B 25 mm

3 cm

3. Нацртај просту изломљена затворену

A

4 cm

линију са седам темена.

Poku{aj! 1. Без подизање врха оловке са хартије, покушај да нацрташ изломљену линију, којом ћеш дату фигуру а поделити на шест правоугаоних троуглова. 2. Нацртај фигуру (затворену, изломљену линију) гледајући цртеж б „једним потезом”, без подизања оловке са хартије и без поновног проласка преко већ нацртане линије. Да ли је то могуће направити са фигуром под в?

a)

b)

v)

B

7

ОСНОВНИ И ИЗВЕДЕНИ ПОЈМОВИ

87

Podseti se!

A

Изучавајући математику, до сада си учио о: броју, збиру два броја, дужи, кружници, површини правоугаоника и сл. Наведи још неколико ствари о којима си учио.

1

Upamti!

Број, збир два броја, дуж, кружница, површина правоугаоника и преломљена линија су математички појмови.

Уочи и потсети се следећих појмова које си учио: тачка;

растојање;

полуправа;

средина дужи;

права;

раван;

дуж;

преломљена линија.

Потсети се неких од ових појмова а) Геометријска фигура која садржи тачке А и В и све тачке које леже између њих назива се дуж. б) Тачка дужи која је подједнако удаљена од њене крајње тачке назива се средина дужи. в) Геометријска фигура надовезаних дужи, таквих да било које од две суседне дужи не леже на истој прави, назива се преломљена линија.

Шта исказују реченице од а до б? Реченицом под а се одређује каква је геометријска фигура дуж, тј. даје се одговор на питање „Шта је дуж?”. За реченицу под а кажемо да је то дефиниција појма дуж. Реченица под б)је дефиниција појма средишње тачке. Реченица под в је дефиниција појма преломљене линије.

2

Како се дефинише појам колинеарне тачке?

Uo~i! У дефиницији појма преломљене линије су употребљени појимови суседне дужи и праве. За дефинисање појма средишње тачке употребљени су појмови тачке и праве.

Појмове тачке и праве не дефинишемо другим појмовима. Њих само објашњавамо.

88

Прихваћено је да се узму за почетне и они се називају основни појмови. Основни појмови се не дефинишу.

Upamti! За основне појмове у геометрији узимају се: тачка, права, раван и растојање. За све остале појмове даје се дефиниција и оне се називају изведени појмови. Тако на пример, од геометријских појмова које си до сада изучавао, изведени појмови су: дуж, средишња тачка, преломљена линија, проста преломљена линија, обим преломљене линије и др.

3

Искажи дефиницију за полуправу. Који основни појмови су употребљени при дефинисању полуправе?

Treba da zna{! Proveri se! Тачка, права и раван су основни појмови у геометрији. Основни појмови се не дефинишу,

Који основни и који изведени појмови се употребљавају код дефинисања појма затворена преломљена линија?

Изведени појмови се дефинишу; Полуправа, дуж, средина дужи, преломљена линија су изведени појмови.

Zadaci 1. Наброји основне појмове у геометрији.

3. Искажи дефиницију за: а) дужину дужи; б) обим преломљене линије.

2. Који од наведених појмова су изведени појмови: тачка, права, дуж, полуправа, геометријска фигура, растојање?

4. Који појмови су употребљени за дефинисање појма геометријска фигура?

8

89

КРУЖНИЦА И КРУГ

Podseti se! Више пута до сада си цртао кружницу уз помоћ шестара. Да би нацртао кружницу, потребно је да знаш где да убодеш иглу и колико да „отвориш” шестар.

Уочио сам! Кружница је скуп тачака и све те тачке су на једнаком растојању од тачке О.

A

На цртежу је дата кружница к и на њој су означене тачке A, В, С, D, Е и F. Разгледај цртеж и поступи према захтевима.

1

Још колико тачака можеш да означиш на кружници?

E D

F

C

На каквом растојању су тачке на кружници од тачке О?

A

O B

Скуп свих тачака у равни које су на једнаком растојању од једне одабране тачке у тој равни назива се кружница. Изабрана тачка назива се центар кружнице и најчешће се означава са О.

2

Нацртај кружницу са центром О и отвором шестара од 25 mm. На кружници означи тачке А, В и С и сваку од њих повежи са центром О. C

Разгледај цртеж и одговори на питања:

r

B

Где леже крајње тачке дужи OA, OB и ОС?

O

Какве су те дужи међусобно по дужини? A

Дужи OA, OB и ОС повезују центар кружнице са тачкама кружнице и једнаке су међусобно.

Свака дуж која повезује центар са било којом тачком кружнице назива се полупречник или полупречник кружнице; и њена дужина се зове полупречник кружнице. Полупречник се најчешће означава малим словом латинице r. D

3

C

На цртежу је дата кружница k и дужи OA, OB, ОС и OD. A

Која од задатих дужи је полупречник кружнице? Зашто дуж ОС није полупречник кружнице?

O B

k

90

4

Нацртај кружницу центра О и полупречника r = 2 cm. Колико кружница можеш да нацрташ са центром у тачки О и полупречником од 2 cm?

Са датом тачком за центар и датим полупречником може да се нацрта само једна кружница. Једна кружница је потпуно одређена ако су познати њен центар и њен полупречник. Кружница k са центром О и полупречником r означава се са k (O; r). Нацртај кружницу k (O; 2 cm).

5

B 6

D

k

На цртежу је дата кружница k (O; r) и тачке А, В, С и D.

A O

C

B

Разгледај цртеж и одговори на питања. На колико делова је подељена раван кружницом k?

Можемо да кажемо да су тачке В и D изван кружнице k. Ком делу равни припадају тачке А и С? Кружница k дели раван на два дела (две области) – унутрашњи део (унутрашња област) и спољни део (спољна област). Геометријска фигура састављена од једне кружнице и њене унутрашне области назива се круг. Центар и полупречник кружнице k називају се центар и полупречник круга. Круг са центром О и полупречником r означавамо са К(О; r). Нацртај круг К(О;22 mm).

7

V

8

D

На цртежу је дата кружница k и на њој су означене тачке A, В, С и D и повучене су дужи АВ и СD.

Разгледај цртеж и одговори на постављена питања. Где леже крајње тачке дужи АВ и CD? Која од датих дужи пролази кроз центар О? На колико полупречника је једнака дуж АВ?

C A

d

B O k

Uo~i i zapamti! Дуж чије крајње тачке припадају кружници назива се тетива кружнице. Дуж АВ је тетива која пролази кроз центар. Тетива која пролази кроз центар назива се пречник или пречник кружнице. Пречник кружнице најчешће се означава са d и d = 2r.

9

91

Нацртај кружницу k (О;25cm). Израчунај пречник кружнице.

10 Нацртај кружницу k (О; r) и на њој означи две тачке

A

B

А и В. На колико делова је подељена кружница тачкама А и В?

O k C

Upamti!

Тачкама А и В кружница је подељена на два дела. Сваки од тих делова заједно са тачкама А и В назива се кружни лук и означава се са АВ, ако је то мањи кружни лук. Већи кружни лук означава се са три слова тј. АСВ. Нека тетива на кружници представља пречник. Сваки од добивених кружних лукова назива се полукружница.

11 Нацртај кружницу k (О; r), тетиву АВ и пречник CD. Које од тачака А, В, С и D одређују кружницу.

Treba da zna{! Proveri se! Да објасниш шта је кружница; Шта је кружни лук и како се означава; Шта је центар, а шта полупречник кружнице; Чиме је дефинисана кружница; Да објасниш шта је тетива кружнице и која се тетива зове пречник; Која се геометријска фигура зове круг.

Које од означених тачака на цртежу: а) припадају кружници k? б) припадају кругу К? в) су крајње тачке полупречника кружнице? E B Коликијерадијус кружнице са дијаметаром d = 32 mm?

k A

D O C

Zadaci 1.

Нацртај кружницу k (О; 2 cm). Да ли је центар О тачка кружнице?

2.

Шта је полупречник кружнице?

3.

Нацртај кружницу k дијаметра d = 4 cm и на њој тетиву АВ = 3 cm.

4.

Нацртај кружницу k(О,25mm) и на њој означи кружни лук АВ, тако да се добије тетива АВ = 3 cm.

5.

Израчунај пречник кружнице к са полупречником r = 28mm.

6.

Израчунај полупречник кружнице са пречником d = 5 cm.

92

9

УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ КРУЖНИЦЕ И ТАЧКЕ. УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ КРУЖНИЦЕ И ПРАВЕ

Podseti se!

A

B k A

F

B r

O E

C

D

a

E H

A

D O

C

G

G

На кружници k на цртежу означено је неколико тачака, а означене су и тачке које не леже на кружници. Које од означених тачака леже на кружници k? Које од означених тачака леже у унутрашњој области кружнице k? Које од означених тачака леже у спољашњој области кружнице k? Које тачке су заједничке за кружницу k и за праву a?

F

1

На цртежу су дате: кружница k(О; r) и тачке A, В, С, D, Е, F и G. Мерењем и упоређивањем утврди да су тачни дати искази: a) OA = r i OD = r; b) OB = r i OE = r; v) OC = r i OF = r.

Uo~i! Тачке А и D леже на кружници. Њихово растојање до центра О једнако је растојању r.

Тачке В и Е леже у унутрашњости кружнице k. Оне су унутрашње тачке. Растојање од тих тачака до центра О је мање од r. Тачке С, F и G леже у спољнем делу кружнице k. Оне се називају спољне тачке. Растојање између њих и центра О је веће од r.

2

Која од A, В, С, D и Е леже на кружници к О, 35 mm), ако AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

3

Која од тачака K, L, M, N и P јe спољна, a која унутрашња тачка кружнице k (O, 3 cm), ако OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?

B 4

b

На цртежу је дата кружница k и праве a, b i c. Разгледај цртеж и одговори на питања. Колико заједничких тачака има права а са кружницом k? Која од прави има само једну заједничку тачку са кружницом k? Која од прави нема заједничке тачке са кружницом k?

S k O a c

V A

93

Uo~i i zapamti!

Права a и кружница k имају две заједничке тачке. Кажемо да је права a пресечна или секанта кружнице k. Права b и кружница k имају само једну заједничку тачку. Кажемо да је права b додирна или тангента кружнице k. Права c нема ни једну заједничку тачку са кружницом k.

5

Нацртај кружницу k и на њој означи тачку R. Нацртај праву t која додирује кружницу у тачци R.

Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш тачку која лежи на датој кружници, у кружници или изван ње;

У каквом су узајамном положају тачка А и кружница k (О, r), ако OA = r?

Када једна права је секанта датој кружници;

У каквом су узајамном положају права m и кружница k (О, r), ако права m пролази кроз центар кружнице?

Када једна права је тангента датој кружници.

Zadaci 1.

2.

Која од тачака А, В, С и D је унутрашња тачка кружнице k (O; 3 cm), ако су OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm i OD = 2 cm?

5.

У каквом узајамном положају могу да буду права и кружница?

6.

Која од прави на цртежу је тангента кружнице k? a

У каквом узајамном положају могу да буду тачка и кружница?

b c O

3.

Нацртај кружницу k (О; 8 mm) и праву a која сече кружницу.

7. 4.

Шта је танганта кружнице?

Нацртај кружницу k и на њој означи тачку А. Нацртај тангенту t која кружницу додирује у тачци А.

10

94

УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ ДВЕ КРУЖНИЦЕ

Podseti se! 1

A C

A D

r1

r

k

O

На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) i k2(O2; r2).

k1

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{aweto. Dali kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki to~ki?

O1

B На цртежу су дате кружнице k(O; r) i k1(O1; r1). Тачка О је центар кружнице k(O; r), а дуж ОD је полупречник те кружнице. Именуј центар и полупречник кружнице k1. Које од означених тачака припадају кружници k и кружници k1?

k1

k2

r2 r1 O2

O1

Uo~i! Кружнице k1 и k2 немају заједничке тачке. Једна кружница је у спољашној области друге кружнице.

Upamti! Растојање О1О2 између центара О1 и О2, двеју кружница k1 и k2 називамо централно растојање, које најчешће означавамо са c; c = О1О2.

2

Разгледај кружнице k1 и k2 и одговори на питања. Да ли кружнице k1 и k2 имају заједничке тачке? У којој области кружнице k1 лежи кружница k2?

k1

k2 r1

r2 O1

Uo~i! Кружнице k1 и k2 немају заједничке тачке. Једна кружница је у унутрашњој области друге кружнице.

3

На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) и k2(O1; r2). Разгледај цртеж и одговори на питања. Шта имају заједничко кружнице k1 и k2? Имају ли кружнице k1 и k2 заједничке тачке?

k1 r1

k2 r2 O1

O2

Uo~i i zapamti!

95

Кружнице k1 и k2 имају заједнички центар и немају заједничке тачке. За њих кажемо да су концентричне кружнице.

4

Нацртај две концентричне кружнице k1 и k2 са полупречницима r1= 3 cm и r2= 2 cm.

B 5

На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) и k2(O2; r2). r1

Разгледај цртеж и одговори на питање:

r2 M

O1

O2

Шта имају заједничко кружнице k1 и k2?

Uo~i i zapamti! Кружнице k1 и k2 имају само једну заједничку тачку. Каже се да се кружнице k1 и k2 додирују споља.

На цртежу су дате кружнице k1(O1; 2 cm) и k2(O2; 3 cm) које споља се додирују.

6

Разгледај кружнице k1(O1; r1) и k2(O2; r2) и одговори на питање:

7

r1 k1 c

Шта имају заједничко кружнице k1 и k2?

O1

r2 O2

k2

Uo~i i zapamti! Кружнице k1 и k2 имају само једну заједничку тачку. Каже се да се кружнице k1 и k2 додирују изнутра.

V

8

Разгледај цртеж и ради по упутству.

Нацртај кружницу О1О2= 4 cm. Нацртај кружницу k1(O1; 25 mm) и k2(O2; 22 mm). Означи заједничке тачке кружница k1 и k2 са A и B. Повуци полупречнике r1= O1A и r2= O2A.

A

O1

O2 V

R

Uo~i i zapamti!

96

Кружнице k1 и k2 имају две заједничке тачке А и В, односно кружнице се секу.

9

Нацртај кружнице k1 и k2 које се секу.

Treba da zna{!

Proveri se!

У којим узајамним положајима се могу наћи две кружнице;

Могу ли две кружнице да су концентричне и да се секу?

Да препознаш то на цртежу;

Две кружнице са полупречницима r1 и r2 додирују се споља. Чему је једнако њихово централно растојање?

Када две кружнице немају заједничке тачке; Када се две кружнице додирују, Када се кружнице секу.

Zadaci

1.

Нацртај две кружнице k1 (O1; 18 mm) и k2 (O2; 22 mm) које немају заједничке тачке. Колико могућности има?

2.

Нацртај две кружнице k1 (O1; r1) и k2 (O2; r2) које се додирују споља.

3.

У каквом узајамном положају су кружнице k1 (O1; 3 cm) и k2 (O2; 2 mm), ако се тачке O1 и O2 подударају?

4.

Нацртај две концентричне кружнице k1 (O1; 2 cm) и k2 (O2; 15 mm).

5.

Нацртај две кружнице k1 (O1; 25 mm) и k2 (O2; 15 mm), које се додирују изнутра.

6.

Кружнице k1 (O1; 3 cm) и k2 (O2; 18 mm) се додирују изнутра. Израчунај растојање између њихових центара.

11

97

ПОЛУРАВАН. УГАО

Podseti se!

A

На цртежу су означене права p и тачке А, В, С, Е и F које не леже на њој.

1

Које од означених тачака леже на правој p, а које не леже на њој? M p

T Q

N

У каквом су узајамном положају права p и дуж МN? Шта је тачка Q за праву p и дуж МN?

F

B

A p C

E

D

Да ли дуж АВ има заједничку тачку са правом p? Какав узајамни положај имају права p и дуж EF?

Уочи да дуж АВ нема заједничку тачку са правом p, а дуж EF сече праву p. За тачке А и В кажемо да се налазе (леже) на истој страни, а тачке Е и F на различитој страни праве. Објасни зашто тачке С и D леже на истој страни праве p, а тачке В и D су на различитој страни праве. Има ли других тачака које леже на истој, односно на различитој страни праве p? Могу да уочим да на истој страни праве p има бесконачно много тачака.

Upamti! Скуп свих тачака у равни које леже на истој дате праве p , заједно са тачкама те праве, назива се полураван. Права р назива се ивица или гранична права полуравни.

p

Помоћу праве р на цртежу формиране су две полуравни, од којих једна је обојена.

2 Које од означених тачака на цртежу леже у истој полуравни са тачком Ѕ?

M

p

S

K

P N

T L

98

Y

B

3

Нацртај две полуправe ОХ и ОY, као на цртежу.

II I

Шта имају заједничко полуправе ОХ и ОY? На колико делова је подељена раван овим полуправима?

O

X

Две полуправе са заједничким почетком деле раван на два дела.

Геометријска фигура састављена од две полуправе са заједничком почетном тачком и једним делом равни, одређеним њима, назива се угао. На цртежу су представљена два угла који су формирани полуправама ОХ и ОY. Сваки од ових углова је састављен од полуправе и обојеног дела равни.

Y

Y

X

O

X

O

Полуправе ОХ и ОY називају се краци угла, а заједнички почетак назива се теме угла.

X

O

Углови могу да се означавају:

   4

њ аш

област

B

великим словом латинице којим је означено теме угла и симболом испред слова; на пример, ∢O.

α A

O

малим словом грчке азбуке, које се записује у области угла; осим α, употребљавају се и слова: β (beta), γ (gama), δ (delta) i dr.; са три велика слова латинице, где се слово које означава теме пише се у средини; на пример ∢AOB. На цртежу је представљен угао α и означене су тачке: О, A, В, С, D, Е.

Које од тих тачака припадају углу α? Које од тих тачки су унутрашње за угао α?

5

Y X

O

Uo~i da!



а

шњ трааст у Ун бл ао

ољ

Y

Сп

Део равни који припада углу, без кракова, назива се унутрашња област (или, краће, област) угла. Унутрашни део угла обележава се кружним луком. Тачке које припадају унутрашњој области називају се унутрашње тачке угла.

D E C

α O

B A

Нацртај угао са теменом Ѕ и крацима ЅР и ЅR и означи га кружним луком. Како ћеш записати симболима угао који си нацртао?

6

S

Именуј сваки од углова на цртежу.

β P

V

7

99

2

M

R

На цртежу су дати су:∢ MON са тачкама A, В, С, D из његове области и ∢ SQT са тачкама Е, F, G, Н из његове области.

Све тачке дужи АВ леже у области угла ∢ MON. Где леже дужи BC, BD, AC?

N

D C

A

B

G F Q

S H E

M

O

T

Дуж EF има тачке које припадају области и тачке које не припадају области угла ∢ SQT. Где припадају тачке дужи EG, FH, HE?

Uo~i i zapamti! За један угао кажемо да је конвексан ако за било које две тачке А и В из његове области, све тачке дужи АВ припадају тој области. На цртежу је угао MON конвексан, а угао ∢ SQT је неконвексан.

8

Нацртај један конвексан угао α и угао β који је неконвексан.

Treba da zna{! Proveri se! Шта је полураван;

Која фигура на цртежу је угао?

Шта је угао;

Која од фигура на цртежу је конквесан угао?

Шта је унутрашња област угла;

V

Zadaci

S

O

1. Који од означених тачака на цртежу

C

B

R

R

M

L

и МN. Именуј тај угао.

4. Нацртај један конквесан угао α и један β угао који није конвесан.

H

a

A

3. Нацртај угао са теменом М и крацима МР

леже у истој полуравни са тачком А?

A

K

T

Који угао је конквесан;

E D F

2. Именуј теме и краке угла на цртежу. Који од означених тачака припадају углу, а који области угла?

5.

G C

V

D

Колико углова се могу формирати са полуправама: ОА, ОВ и ОС и кружним луковима на цртежу? Именуј те углове.

E O

A

V

S O

A

12

100

УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. ВРСТЕ УГОЛОВА

Podseti se!

Углови, као и дужи, могу се упоређивати.

A

На цртежу је дат један угао. N

P

Ради према захтевима, уочи, запамти и одговори.

1

На прозирној хартији нацртај два угла: α = ∢АОВ и β = ∢СЅD као на цртежу, а затим их исеци. D B

M

Именуј тај угао. Именуј краке и теме угла.

β

α O

S

A

C

Постави исечени угао више другог угла, на пример α више β, тако да се О подудара са теменом Ѕ, а крак ОА са краком ЅС, као на цртежу.

D

α O≡S

У којој области се налази се крак ОВ? Крак ОВ( крак угла α) лежи у области угла β.

B β A C

Uo~i! Постоје три могућности положаја крака ОВ угла α=∢АОВ у односу на угао β=∢СЅD, када су α и β постављени један преко другога. 1.) Крак ОВ се подудара са краком ОD - тада кажемо дасу угови α и β једнаки (складни).

2.) Крак ОВ се налази у унутрашњој области угла β - тада кажемо да је угао α мањи од β. D

D

3.) Крак ОВ се налази у спољашној области угла β - тада кажемо да је угао α мањи од β. B

B

D

B α O≡S

B

2

β A C

α O≡S

β A C

Разгледај угао АОВ са цртежа, размисли и одговори. Шта образују краци угла АОВ?

β O≡S

A

α A C

O

B

Uo~i i zapamti!

101

Угао чији краци образују једну праву назива се равни угао. Било која два равна угла су једнаки.

3

Нацртај раван угао MON, обележи луком и означи тачке А, В, С, D у његовој области. Које од дужи AB, AC, BC и BD потпуно леже у области угла ∢ MON? Да ли је ∢MON конквесан или неконквесан угао?

4

C

Ради према захтевима, уочи упамти и одговори. На прозирној хартији нацртај раван угао АОВ. Савиј лист у темену О, тако да се краци ОА и ОВ подударају. Онда исправи лист.

A

O

B

Уочаваш да је линија савијања равни угао поделила на два складна, односно једнака дела. Сваки од тих делова је прави угао.

Uo~i i zapamti! Угао који износи половину равног угла назива се прави угао. Угао АОС на цртежу је прави угао. Запиши други прави угао. Уочи праве углове на твом лењиру.

5

Разгледај цртеж и одговори према захтеву.

V

Нацртај полуправу ОА. Теме правог угла постави у тачку О, тако да се један од крака правоуглог лењира подудара са полуправом ОА. По другом краку правог угла троуглог лењира повуци полуправу ОВ. На тај начин си нацртао прави угао АОВ.

6

7

O

A

γ β

Измери правим углом правоуглог лењира који је од углова на цртежу прави.

α V

Разгледај углове АОВ и МРN на цртежу и упореди са правим углом. Који је од датих углова мањи од правог угла, а који је већи од правог угла?

α O

A

Uo~i i zapamti!

102

8

N

Угао који је мањи од правог угла назива се оштар угао. Угао који је већи од правог угла, а мањи од равног, назива се тупи угао.

Процени који од углова на цртежу су оштри, а који тупи, а затим провери са правим углом лењира да ли су проценио тачно.

V

9

α

Какав је узајамни положај две полуправе ОА и ОВ, ако тачка В припада полуправи ОА, као на цртежу?

β

V

Да ли полуправе ОА и ОВ деле раван на два дела?

10

γ

δ

Један је састављен од полуправа ( које се подударају) и преосталог дела равни - тај угао се назива пуни угао.



Други угао је састављен од полуправа ( које се подударају), а његова област је празан скуп -тај угао се назива нулти угао (нула угао).

Да ли је пуни угао конквесан? Образложи твој одговор.

A O

V N

P

M

Proveri se!

Који угао се назива: Равни угао?

Прави угао?

Оштри угао?

Тупи угао?

Пуни угао?

Нулти угао?

Zadaci

Које врсте углова можеш да препознаш на цртежу? Именуј те углове.

B C

Поређај према величини, почевши од најмањег, углове: α, β, γ и δ, ако је α равни угао, β прави угао, γ оштри угао и δ -тупи угао.

1. Који угао се назива раван угао? 2. Какав угао представља половину правог угла?

M



На цртежу је представљен пуни угао АОВ и нулти угао NPM.

Treba da zna{!

R

Прихватићемо да подударне полуправе одређују два угла.

A O

β

O

A

3. Какав угао образују стрелице часовника у: а) 14 часова ; б) 15 часова; в) 17 часова; г) 18 часова?

6. Нацртај тупи угао МОN и оштри

4. Нацртај оштри угао АОВ и тупи угао МРN.

103

угао NОР, тако да је ∢ МОР раван угао.

5. Нацртај три полуправе ОА, ОВ и ОС тако да је: ∢АОВ прави угао, а ∢ВОС оштри угао. Ком типу припада угао ∢АОС?

13

СУСЕДНИ, УПОРЕДНИ И УНАКРСНИ УГЛОВИ На цртежу у „потсети се” углови α и β имају заједничко теме О и заједнички крак ОВ.

Potseti se!

A C

B β

Два угла са заједничким теменом и једним заједничким краком, а без заједничких унутрашњих тачака, зову се суседни углови.

α

O

A

На цртежу у су углови α и β. Именуј краке и темена углова α и β.

1

Шта имају заједничко углови α и β?

Који од углова на цртежу су суседни углови? Образложи одговор. H

B

D

A

O C a)

B

2

G

S

N M

P

F

b)

E v)

На правој АС на цртежу је изабрана тачка О и повучена је полуправа ОВ. Шта имају заједничко углови ∢АОВ и ∢ ВОС?

V

Како називамо такав пар углова? Какав угао образују кракови ОА и ОС? A

O

S

Можеш да уочиш да су углови АОВ и ВОС суседни и да образују раван угао.

Upamti! Два суседна угла која образују раван угао називају се упоредни углови.

3

Нацртај један оштар угао МРN, а затим нацртај угао NРЅ упоредан углу МРN. Ког типа је угао NРЅ?

4

Нацртај прави угао α, а затим нацртај угао β који је напоредан углу α. Ког типа је угао β ?

104

V

Праве АС и ВD на цртежу се секу у тачци О. Тако се образују углови α, β, γ и δ. Кракови ОС и ОD угла γ су наставци кракова ОА и ОВ угла α. За такве углове кажемо да се унакрсни углови.

B

C γ

β

α

δ

A

O

D Унакрсни углови су углови β и δ на цртежу.

Нацртај оштар угао АОВ, а затим нацртај угао МОN, тако да та два угла буду унакрсна.

5

G

6

Два угла која имају заједничко теме, а кракови једног угла су наставци кракова другог угла преко темена, називају се унакрсни углови.

Нацртај на хартији или картону унакрсне углове као на цртежу. Исеци пажљиво унакрсне углове и постави их један преко другог. Уочићеш да се унакрсни углови при постављању један преко другога подударају. Због тога можемо рећи да су унакрсни углови и складни углови. На цртежу ∢AOD = ∢ВОС и ∢АОВ = ∢COD.

C

D

O

B

A

Нацртај прави угао MPN, а затим нацртај његов унакрсни угао ЅРR. Ком типу припадају углови МРЅ и NPS?

Treba da zna{! Proveri se! Да препознаш и да објасниш који углови су суседни углови;

Да ли могу и углови АОВ и ВСD да буду суседни?

Да препознаш и да објасниш који углови су упоредни углови;

Углови АОВ и ВОС су упоредни углови. Ако је ∢ АОВ прави угао, онда ком типу припада угао ВОС? Угао МРN је тупи угао. Ког типа је унакрсни угао МРN?

Да препознаш и да објасниш који углови су унакрсни углови.

Zadaci 1.

Именуј суседне углове цртежа. Буди пажљив, има четири пара суседних углова!

2.

Који од углова на цртежу је упоредан углу α? Која друга два угла су упоредна?

Нацртај тупи угао α, а затим нацртај његов упоредни угао β. Ком типу припада угао β?

4.

За која два угла кажемо да су унакрсни углови?

5.

Одреди парове унакрсних углова на цртежу.

B

C

D

3.

O

β α γ δ

A

1 4 5 8

7

6

3

2

14 Podseti se!

A 1

V На цртежу је дата кружница k, k центар О и на њој су означене тачке А и В. На колико делова је подељеO на кружница k тачкама А и В? Како се зове сваки од тих делова? Како се означава мањи од два кружна лука? Како се зове дуж АВ?

2

105

ЦЕНТРАЛНИ УГАО. КОНСТРУКЦИЈА УГЛОВА

Који од углова α, β и γ на цртежу је централни угао? Зашто угао γ није централни? β

3

На цртежу је дата кружница k са центром О и угловима α и β. C

A

D k

V

β

α O

A

Где се налази теме угла: α; β? Угао чије теме се налази у центру задате кружнице назива се централни угао.

Кракови угла α (на цртежу) секу кружницу k у тачке А и В.

α

γ O

Напиши кружни лук који образују кракови угла α и који лежи у том углу. Напиши кружни лук који образују кракови угла α и који не лежи у том углу.

V

k

α C

O

A

Upamti! Сваки централни угао у датој кружници одређује тачно један кружни лук који лежи у том углу.

За угао и за лук кажемо да су одговарајући или одговарају један другоме.

4

На цртежу је дата кружница k и центар кружнице О и два централна угла, која су складна. Замисли да се угао α окреће око тачке О у правцу кретања стрелица часовника, све док тачно не покрије угао β. Где би пала тачка А, а где тачка В? Са којим луком би се подударао лук АВ?

Уочавам да би се лук АВ подударио са луком СD.

106

Складним централним угловима у истој кружници или у различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају складни кружни лукови.

На исти начин можеш уочити да важи и обрнуто: Складним луковима у истој кружници или различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају централни углови.

5

Централни углови α и β на цртежу су складни. Какви су одговарајући лукови АВ и СD? Тетива АВ припада углу α, а тетива СD углу β. Како ћеш закључити да су ове тетиве складне (једнаке)? Могу да замислим да ће се угао α, кретањем око тачке О, подударити са углом β. Тетиве АВ и СD подудариће се, т.ј,. биће једнаке.

Va`i op{to! Складним централним угловима у кружници или у различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају складне (једнаке) тетиве.

6

Тетиве АВ и СD у кружници k1 и k2, са једнаким полупречницима су једнаке. Да ли је централни угао α складан са централним углом β? Уочи да је α мањи од равног угла, а β је већи од равног угла.

Uo~i da Једнаким тетивама у истој кружници или у различитим кружницама једнаких полупречника одговарају складни централни углови само онда када тетиве: или обе припадају или обе не припадају одговарајућим угловима.

7

На цртежу су задате кружнице k1 и k2, са једнаким полупречницима. У свакој од кружница означене су тетиве: AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me|u sebe? Zo{to?

B k1 A C

L

k2

α

δ

β

M

γ

D

K N

Знаш да једнаким централним угловима у кружници са једнаким полупречницима одговарају једнаки кружни лукови (односно, тетиве). То можеш да искористиш да конструираш угао, једнак датом углу, само уз помоћ лењира и шестара. Како се то ради? Погледај следећи задатак.

B 8

107

L

Задат је угао α = ∢КОL (цртеж а). Конструиши угао једнак углу α.

a)

α

Прати поступак корак по корак.

K

O

  

9

Нацртај полуправу РТ (цртеж б).

b)

Прроизвољно отвореним шестаром, датом углу а, нацртај део кружнице са центром у тачци О, тако да она пресече кракове ОК и ОL. Тако ћеш добити тетиву АВ која одговара углу АОВ (цртеж в). Истим отвором шестара као код цртежа в, нацртај део кружнице са центром у тачци Р (цртеж г).



Отвори шестар и “пренеси” њиме растојање АВ са цртежа в.



Убоди шиљак шестара у тачку М и другим краком пресеци претходно нацртани лук на цртежу г; тако ћеш да добијеш тачку N.



Нацртај полуправу РЅ која пролази кроз тачку N (цртеж д); тиме ћеш добити да ∢TPS = α .

P

T L B

v) α O

A

K

M

T

N

Нацртај тупи угао, а онда конструиши угао β једнак углу α.

g) P S N d)

Treba da zna{! Да објасниш који угао се назива централни угао; Какав је однос између централних углова и одговарајућих кружних лукова;

P

M

Proveri se! N

A У кружници k на цртежу, АВ = МN и АВ >СD.

Да једнаким централним угловима одговарају једнаке тетиве.

T

Који од означених углова су једнаки међусобно?

O M

B C

D

Zadaci 1. Који угао се назива централни угао? 2. Нацртај кружницу k(О; 3 cm) и једну њену тетиву АВ = 35mm. Нацртај центрлани угао α у коме лежи тетива АВ.

3. Нацртај оштри угао α, а затим конструиши угао β једнак углу α.

4. Нацртај прави угао АОВ, а затим нацртај угао МРN једнак углу АОВ.

15

108

ГРАФИЧКО САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ УГЛОВА

Podseti se!

A 1

Како ћеш конструирати угао β једнак задатом углу α!

Дати су углови α и β. Одреди графички њихив збир.

На цртежу је дат угао α и полуправа ОА.

α

O

α

β

Разгледај цртеж и ради према поступцима. C B

A

Конструиши угао АОВ једнак углу α.

β

Нацртај два угла α и β и полуправу ОА. Истим отвором шестара нацртај кружни лук углу α, углу β и полуправи ОА. Конструиши угао АОВ једнак углу α. Конструиши угао ВОС једнак углу β. Коју операцију си извршио са угловима α и β? Чему је једнак угао АОС? Напиши то симболички.

2

α

O

Из предходних активности можеш да уочиш како се графички (конструктивно) сабирају углови. Описаним поступком добили смо угао АОС, који је једнак збиру углова α и β, тј. ∢АОС=α+β. Овај поступак назива се графичко сабирање или конструкција збира два угла.

Нацртај оштри угао α и прави угао β, а затим одреди графички њихов збир.

B 3

Дати су углови α и β. Одреди графички њихову разлику. Разгледај цртеж и ради према поступцима. R N α

β

A

O

M

 Нацртај тупи угао α, оштри угао β и полуправу ОМ.  Истим отвором шестара нацртај кружни лук угловима α и β и полуправој ОМ.  Конструиши угао МОN једнак углу α.  Конструиши угао NОР једнак углу β тако да крак ОР да буде у области угла МОN.



Тако си добио угао МОР.

109

Шта представља угао МОР за углове α и β? Коју операцију си извршио са угловима α и β?

Описаним поступком добили смо ∢ МОР = α - β, њиме је извршено графичко, тј. конструктивно одузимање углова α и β.

4

Нацртај прави угао α и оштри β, а затим одреди графички њихову разлику.

Treba da zna{! Да одредиш грфафички: збир два угла;

Proveri se! У вези са цртежом напиши симболички:

разлику два угла.

B

C

Шта представља угао АОС за углове АОВ и ВОС?

O

A

Шта представља угао АОВ за углове АОС и СОВ?

Zadaci 1. Нацртај два оштра угла α и β и конструи-

4. Нацртај један тупи угао α и један оштри угао

2. Нацртај оштар угао α и конструиши угао

5. Нацртај тупи угао α и један прави угао β и

β и конструиши њихову разлику.

ши њихов збир.

конструиши њихову разлику.

2α(2α= α+α).

6. Нацртај оштри угао α и оштри угао β, β је

3. Нацртај три оштра угла α, β и γ, а затим

мањи од α, а затим конструиши 2α-β.

конструиши угао α+β + γ.

Poku{aj! Колико углова (означених луком) има на цртежу? Који пар углова су суседни?

C B

Тачка О лежи на правој АЕ.

D

Који пар углова су упоредни? A

O

E

110

16

МЕРЕЊЕ УГЛОВА . УГЛОМЕР

Podseti se!

A

И углови могу да се упоређују, па према томе, могу и да се мере.

Са којом направом се мери дужина дужи?

1 A

V

Какви су међусобно централни углови α, β и γ?

Наброји (бар три) мерне јединице за дужину.

Угао АОD је збир углова α, β и γ који су међусобно складни. Колико пута угао α је садржан у углу АОD?

Нацртај угао α и угао β који је већи од угла α. Какви су међусобно два централна угла чији су одговарајући лукови складни?

2

Лукови АВ, ВС, СD, DЕ и ЕF на цртежу су складни. Који је мерни број угла: а) АОF; б) АОС у односу на угао α?

На цртежу, лукови АВ, ВС и СD су складни.

Каже се и мерни број угла АОD у односу на угао α.

3

Разгледај на цртежу равни угао АОВ и одговарајући лук - полукружницу.

Уочи да је полукружница подељена на 180 дела. Који део равног угла је централни угао који одговара једном 180-том делу полукружнице. Угао који је 180-ти део равног угла узима се за основну јединицу меру за углове. Његова величина зове се угаони степен или кратко степен. Означава се: 1°; чита се “ један степен“. Уочио сам да се, ако раван угао се подели на 180 дела, добија угао величине 1°.

4

Колико степена има раван угао? Колико степена има прави угао?

Направа за мерење углова зове се угломер.

111

B Угломер је приказан на цртежу. Угломер може да буде направљен од танке металне плочице, од картона или од пластике. 0

Он има облик полукруга који је подељен на 180 једнаких делова и сваки део означава један степен.

На скали су означени бројеви од 0 до 180, а центар полукружнице је означен са О

5

S

Разгледај цртеж на коме је приказано мерење угла ВАС и одговори: Где је постављена тачка угломера О? Где лежи крак АВ угла ВАС? Прочитај на угломеру колико степени има ∢ВАС?

6

A 0

V

Колико степени има сваки од углова на цртежу? K

S

A

V

N

M

0

0

a)

7

b)

Уз помоћ угломера, нацртај ∢МРN = 105°.

R

M

полуправу РМ са почет Нацртај ном тачком Р. угломер тако да се тачка  Постави О подудара са почетном тачком Р N

полуправом РМ.



P Означи тачку N на месту где скала угломера показује 105°.

 Повуци полуправу РN.



M 0

R

M

На тај начин, уз помоћ угломера, нацртао си ∢МРN = 105°.

112

V

8

Уз помоћ угломера нацртај угао од:

а) 48°;

б) 115°.

Мање јединице за мерење углова од степена су углов минут или кратко минут (означава се 1') и углов секунд или кратко секунд (означава се 1''). Један степен има шестдесет минута, а један минут има шестдесет секунди. 1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.

Ако један угао има 25 степена, 38 минута и 42 секунде, то се записује овако: α=25° 28'42''.

Претвори у минуте:

9

а) 5°;

б) 12°45';

Претвори у секунде: а)4°;

б)10°15';

в) 45°15'.

a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.

10

в)20°20'20''.

Treba da zna{! Proveri se! Која је основна јединица мере за угао; Које су мање јединице (величине) од степена; Шта је угаони степен;

Ког типа је угао који има 90°? Ком типу припада угао који има 124°? Претвори у минуте 35°17'.

Колико минута има 1°;

Претвори у секунде 15°2'13''.

Колико секунди има 1'.

Zadaci 1.

Колико степена има свакио од углова: ВОС, ВОD, СОD, ВОМ и МОN на цртежу?

2.

Измери углове на цртежу: α и β.

M

D

C

B

N O

α

β

3.

Нацртај угао од:

а) 47°;

4.

Представи у минутама: а) 25°; б) 30°15'.

б) 126°.

5.

Поређај према величини, почевши од најмањег, углове: α = 71°35'; γ = 62°58'30''; γ = 96°45'; δ =84°35'40''.

17

113

АРИТМЕТИЧЕКЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА УГЛОВИМА

Podseti se!

A 1 Основна јединица за мерење углова је степен.

Израчунај збир углова α = 85°36'25'' и β = 32°12'20''.

Уочи поступак код решавања.

Мање јединице од степена су минут и секунда.

1. Сабери секунде: 25" + 20" = 45" 2. Сабери минуте: 36' + 12' = 48'

1° = 60'; 1 '= 60'', 1° = 3 600''.

3. Сабери степене: 85° + 32° = 117°

Претвори у степене: а) 120'; б)180'. Претвори у степене и минуте: а)86'; б) 145'

85o

36’ 25’’

32o

12’ 20’’

117o

48’ 45’’

+

2

Израчунај збир углова α = 48°32'15'' и β = 60°8'18''.

3

Израчунај разлику углова α = 78° 38' 42" и β = 26° 15' 18".

α + β = 117o 48’ 45’’.

Уочи поступак 1. Одузми секунде: 42" - 18" = 24"

78o

38’ 42’’

2. Одузми минуте: 38' - 15' = 23'

26o

15’ 18’’

52o

23’ 24’’

-

3. Одузми степене: 78° - 26° = 52°

4

Израчунај разлику углова α= 108° 52' 36" и β= 42° 24' 15".

5

Израчунај збир углова α= 84° 36' 30" и β= 35° 42' 50".

α - β = 52o 23’ 24’’.

Уочи поступак 1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’

84o

36’ 30’’

2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’

35o

42’ 50’’

120o

19’ 20’’

3. 84o + 35o + 1o = 120o

6

+

Израчунај збир углова α = 68° 35' 26" и β = 46° 42' 52".

α + β = 120o 19’ 20’’.

114

Израчунај разлику углова α= 90° 25' 18" и β= 28° 36' 35".

7

B

Уочи поступак 1. 18''