5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 1) Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600000, determine el número de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

SOLUCIÓN: Precio de venta unitario

: $ 20

Costo unitario

: $ 15

Costo fijo

: $ 600000

Sea x el número de unidades vendidas.

Ingreso

: R = 20x

Costo total

: C = 15 x + 600000

Utilidad

:U=R–C = 20x – (15x + 600000) U = 5x – 600000

Como U > O  5x – 600000 > 0 5x > 600000 X >120000

Luego de la compañía obtiene utilidades si vende como mínimo 120001 unidades.

2) A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra terminada. El salario que reciben pueden afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $ 8,50 la hora, o por $ 300 más $ 3,00 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, para que valores de t el salario

por hora es mejor?

SOLUCIÓN: Primera modalidad: $ 8,50 por hora Salario = 8,50 t 

Segunda modalidad: salario = 300 + 3 (40 - t); t < 40 = 420 – 3 t 

Como

8,50 t > 420 – 3t  11,50 t > 420 t > 36,5

Luego el salario por hora es mejor para 36,5 < t 40 horas 3) En 1998, una compañía de telefonía de cierto país cobraba $ 0,15 por el primer minuto más $ 0,14 por cada minuto adicional (o parte de un minuto) en su servicio de larga distancia nacional. ¿Cuántos minutos podía una persona hablar por no más de $ 2,000?

SOLUCIÓN: Sea x el tiempo en minutos. 1er minuto: $ 0,15 Tiempo adicional: Costo adicional: $ 0,14 Como 0,15 + 0,14 (x-1) ≤ 2,00 0,15 + 0,14 – 0,14 ≤ 2,00 0,14x ≤ 1,99 x ≤ 14,21 Luego la persona podía hablar hasta 14 minutos.

4) Se desea sembrar un terreno en forma de una corona circular. El área del terreno no debe ser menor a 200m2 ni mayor a 300m2. ¿cuál es la distancia al centro del círculo a la que se encuentra cualquier punto del terreno?

SOLUCIÓN: El área de un círculo de radio R esta dado por A = ∏R 2.

Como 200 ≤ A ≤ 300

 200 ≤

∏R2 ≤ 300

63,7 ≤ R2 ≤ 95,5 7,98 ≤ R ≤ 9,77

Luego el punto se encuentra a una distancia: 7,98m ≤ d ≤ 9,77m

5) Un tablero debe cortarse de tal manera que sea un triángulo equilátero. Sabiendo que el lado del triángulo debe estar comprendido entre 60cm y 80 cm, ¿Cuál es el área del triángulo que se puede obtener?

SOLUCIÓN: Para un triángulo equilátero:

   √   Además 60 cm ≤ L ≤ 80 cm



3600 ≤ L2 ≤ 6400

√  ≤ √ L ≤ √  x 6400   

3600

2

1559 ≤ A ≤ 2771

Luego el área del tablero está comprendido entre 1559cm 2 y 2771cm2.

3 EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES POLINOMIALES

1) Resolver: x5 - 5x4 + 2x3+ 14x2 – 3x – 9 ≤ 0

SOLUCION: Usando Ruffini: 1

-5 1 -4 -1 -5 3 -2 3 1 -1 0

1 1 1 1 1

2 -4 -2 5 3 -6 -3 3 0

14 -2 12 -3 9 -9 0

(x-1) (x + 1)2 (x-3)2 ≤ 0 Pc: 1; -1; 3 -1

+ 1

+ 3

cs = u 0

3

3

1

-1

1

-3

2

-1

-2

1

0

(x + 1) (3x2 – 2x + 1) > 0 (-2)2 – 4(3)(1) = -8 < 0



(x + 1) > 0

x > -1

cs =



3x2 – 2x + 1 > 0

-1

INECUACIONES RACIONALES

1) Resolver:

   

SOLUCIÓN:

                   Pc: 2/3; - ½

+

-

+

-1/2

2/3

Cs = U [ 2/3; +α >

2) Resolver:

   

SOLUCIÓN:

          Pc: 0; 5; 7 -

+ -7

Cs =

0

+ 5

3) Resolver:

                       Pc: -5; 4 +

-5

Cs = U

+ 4

ECUACIONES EXPONENCIALES 1) Formular una ecuación cuadrática de tal modo que sus raíces son las solución de la ecuación. 5(5x + 5-x) = 26

SOLUCIÓN:



5(

+

)= 26          

Si m = 5x

 ()  

5m2 + 5 = 26 m 5m2 – 26m + 5 = 0 (5m-1)(m-5) = 0 m = 1/5; m = 5

Si m = 5x



 

5x = = 5-1 5x = 5

 

x = -1 x=1

Luego: x = {-1; 1}

Formulando la ecuación cuadrática: (x - -1) (x - 1) = 0 (x + 1) ( x - 1) = 0 x2 - 1 = 0

2) Si 4x – 10x + 25x = 10x, x



Calcular el valor de:

         SOLUCIÓN: (22)x – (2 x5)x + (52)x = (2x5)x 22x – 2x . 5x + 52x – 2x . 5x = 0 2x (2x-5x) +5x (5x-2x) = 0 2x (2x-5x) -5x (2x-5x) = 0 (2x – 5x) (2x – 5x) = 0 (2x -5x)2 = 0 2x – 5x = 0 2x = 5x 

Luego:

x=0

     =

E=1

 

3) Evaluar: W = k 2 + k + 7, si se verifica que:

      SOLUCIÓN: 4k+4 + 1 = 8 . 2k  . 22 (22)k+4+1 = 32 .2k  22k+8 +1 = 32.2k  22k  . 28 + 1 – 32.2k  = 0 256 . 22k  - 32.2k  + 1 = 0

Si m = 2k   256m2 – 32m + 1 = 0 (16m-1)2 = 0  16m – 1 = 0 m = 1/16

Como m = 2k   2k  =

    

2k  = 2-4 K = -4 

W = k 2 + k + 7 = (-4)2 – 4 + 7 = 16 – 3 W = 19

4) Una esfera tiene un radio igual a la solución de la ecuación: 9x + 3x+1 = 810. Encontrar el volumen de la esfera, suponiendo que el radio se expresa en metros.

SOLUCIÓN:

(32)x + 3x . 3 = 810 (3x)2 + 3. 3x – 810 = 0

Si m = 3x



m2 + 3 m – 810 = 0 (m-27)(m+30)= 0 m = 27; m = -30

Como

m = 3x



  

3x = 27 = 33 3x = -30

Luego: x = 3

Para una esfera, el volumen esta dado por:

              V = 113,1m3

5) Las dimensiones de un terreno rectangular son las soluciones de la ecuación: 4x+1 + 512 = 9 . 2x+4

Hallar el perímetro del terreno

SOLUCIÓN: (22)x+1 + 512 = 9 . 2x . 24 22x . 22 + 512 = 144 . 2x 4 . 22x + 512 – 144.2x = 0 (2x)2 – 36.2x + 128 = 0

Si m = 2x



m2 – 36m + 128 = 0

(m - 4)(m-32)= 0 m = 4 ; m = 32



m=2x = 4 = 22





2x = 32 =25

x=2



x=5

Luego se tiene:

2

5

Perímetro = 2(5 + 2) = 20