5 GN Trigonometria
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Descripción: TRIGONOMETRÍA PARA 5TO DE SECUNDARIA...
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Índice UNIDAD I Medir ángulos...¡Qué fácil!. La constante "Pi" Capítulo 1 Sistemas de medición angular........................................................................................................... 5
UNIDAD II Relacionando lados y ángulos Capítulo 1 Razones trigonométricas de ángulos agudos..................................................................................... 14 Capítulo 2 Razones trigonométricas de ángulos notables................................................................................... 21 Capítulo 3 Propiedades de las razones trigonométricas..................................................................................... 30
UNIDAD III Calculando lados y distancias Capítulo 1 Resolución de triángulos rectángulos................................................................................................ 37 Capítulo 2 Ángulos verticales............................................................................................................................. 46
UNIDAD IV Ubicándonos en el plano Capítulo 1 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I.............................................................. 56 Capítulo 2 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II............................................................ 68 Capítulo 3 Repaso.............................................................................................................................................. 77
UNIDAD V Reduciendo es más fácil Capítulo 1 Reducción al primer cuadrante I....................................................................................................... 82 Capítulo 2 Reducción al primer cuadrante II..................................................................................................... 88
UNIDAD VI Conociendo los valores máximos y mínimos Capítulo 1 Circunferencia trigonométrica I........................................................................................................ 95 Capítulo 2 Circunferencia trigonométrica II...................................................................................................... 107
UNIDAD VII Todo ser humano tiene identidad Capítulo 1 Identidades trigonométricas de una variable.................................................................................... 114 Capítulo 2 Expresiones trigonométricas condicionales....................................................................................... 121
Trigonometría Capítulo 3 Identidades trigonométricas auxiliares.............................................................................................. 127 Capítulo 4 Repaso............................................................................................................................................... 132
UNIDAD VIII Sumando y restando variables Capítulo 1 Identidades de la suma y diferencia de variables I............................................................................ 136 Capítulo 2 Identidades de la suma y diferencia de variables II........................................................................... 142
UNIDAD IX Variables múltiples Capítulo 1 Identidades trigonométricas de variable doble.................................................................................. 149 Capítulo 2 Identidades trigonométricas de variable mitad.................................................................................. 153 Capítulo 3 Identidades trigonométricas de variable triple.................................................................................. 159
UNIDAD X Transformando, ¿por qué no? Capítulo 1 Transformaciones trigonométricas I.................................................................................................. 166 Capítulo 2 Transformaciones trigonométricas II................................................................................................. 172 Capítulo 3 Repaso............................................................................................................................................... 178
UNIDAD XI El hombre en función de la tecnología mundial Capítulo 1 Función trigonométrica real de variable real I.................................................................................. 181 Capítulo 2 Función trigonométrica real de variable real II................................................................................. 191 Capítulo 3 Función trigonométrica inversa I....................................................................................................... 199 Capítulo 4 Función trigonométrica inversa II..................................................................................................... 207
UNIDAD XII Verificar la mejor solución Capítulo 1 Ecuaciones trigonométricas............................................................................................................... 217
UNIDAD XIII Triangulación satelital GPS Capítulo 1 Resolución de triángulos oblicuángulos............................................................................................. 228 Capítulo 2 Repaso............................................................................................................................................... 235
UNIDAD I
= 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
El número p, la relación entre la circunferencia y el diámetro, es una constante que aparece innumerables veces en ecuaciones de la física y matemática. Su valor ha sido calculado empleando variadísimas técnicas. Entre otros resultados tenemos: Sistema binario:
11,00100100001111110110…
Sistema decimal: 3,14159265358979323846…
3+
Fracción continua:
1 7+
1 15 +
1 1+
S
1 292 + O
Medir ángulos... ¡Qué fácil! La constante "Pi"
eguramente al hablar de la constante π muchos solo recuerdan su valor aproximado (3,1416 ó 22/7) ahora como π es el resultado de una división, al inicio se pensó que habrían de existir dos números enteros cuya división diera como resultado su valor exacto, pero el registro más antiguo conocido para π data del año 165 antes de Cristo en el papiro de RHIND, escrito por un egipcio llamado AHMES, cuyos cálculos sugerían que: 256 , que es más o menos 3,14159265358979... p= 81 Ahora se conoce que π es la relación que existe entre la circunferencia y su diámetro, es decir: circunferencia p= diámetro
Comunicación matemática •
Realizar la conversión de un sistema a otro
Análisis y demostración •
Reconocer el sentido positivo y negativo de un ángulo trigonométrico.
•
Relacionar correctamente ángulos en diferentes sistemas.
Resolución de problemas •
Resolver problemas donde se relacionan los tres sistemas de medición de ángulos.
Trigonometría Razonamiento Matemático
Sistemas de medición angular
1
Conceptos básicos Mide: a)
c)
b) A
O
A
A
B
O
B
O
B
Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta llegar a una posición final (todo en el mismo plano).
A La
do
f
fin
al
O Vértice
Central: 619-8100
¡OJO! El rayo es un conjunto de puntos infinitos y colineales que tiene punto de inicio pero no de fin. Lado inicial
B
Unidad I
5
Sistemas de medición angular
Veamos los ejemplos gráficos: Definición
Figura
Observaciones B
Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj.
Observa que se mide en el sentido que indica la flecha. O O
Un ángulo es negativo si su sentido de giro coincide con las manecillas del reloj.
58° A A
– 47°
Observa que se mide en el sentido que indica la flecha. B
Relación entre los tres sistemas de medición angular Definición Un sistema de medida angular se define como el conjunto de unidades establecidas para medir ángulos. Existen tres sistemas: Sexagesimal (inglés); centesimal (francés) y radial o circular (internacional), los cuales se han definido en base a una división particular de la circunferencia.
Deducimos:
Importante: 1g < 1° < 1 rad Colegios
6
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Observación: Comparando los tres sistemas de medición angular se concluye: •
180° 200g p rad
•
9° 10g
Unidades para conversión
Nuestro método para la conversión de un sistema a otro: Factor de conversión:
Unidad que quiero Unidad que no quiero
Aplicación: a) 30° a radianes
b) 81° a centesimales
Unidad que quiero a =30° .
p rad 180°
Unidad que quiero
⇒a=
p 6
rad
b = 81° .
Unidad que no quiero
Unidad que no quiero d)
c) 60g a radianes Unidad que quiero q = 60g .
p rad 200g
⇒q=
Unidad que no quiero
10g ⇒ b = 90g 9°
p 30
rad a sexagesimales Unidad que quiero
3p rad 10
f=
p 30
rad .
180° p rad
⇒ f = 6°
Unidad que no quiero
Síntesis teórica
Central: 619-8100
Unidad I
7
Sistemas de medición angular
Problemas resueltos 1. Determinar "x" en función de "a" y "b" B
Resolución:
Ordenando el gráfico:
x
b
C
A
Resolución:
En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentes aparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico queda así: B
A Por lo tanto: – x = b – a ⇒ x= a – b
2. Indicar la relación que se cumple entre "a" y "b". C
A
a
Por lo tanto:
q – a +120°=360° ⇒ q – a=240°
Resolución:
Ordenando el gráfico:
A
a
Por lo tanto: a – b=90°
3. Indicar la relación que se cumple entre "a" y "q" A
q O
–120°
C Colegios
8
TRILCE
64
rad .
180° 45° p ⇒ rad = 16 64 p rad
A continuación dividimos como sigue: 45° 16
780' 16
13° 2° 3
12' 48' 3
13° ·
60' = 780' 1°
12' ·
60" = 720" 1'
Así, se verifica que:
Resolución:
Del enunciado:
x + y = 50°
x + z = 80g
a
p
720" 16 45" 3
p 64
rad = 2° 48' 45"
5. Se tiene tres ángulos, tales que sumados de dos en dos se obtiene respectivamente: 50°, 80g y p/6 rad. Calcular el menor de los ángulos en grados sexagesimales.
O
B
Convertimos:
•
C
Resolución:
•
B –b
p
Observación:
O
C
B
b
120°
–a
–a
b
O
rad en grados, minutos y segundos 64 sexagesimales.
B
4. Expresa
–x C
A
q
a
y+z=
p 6
rad
Luego: Convertimos cada uno de los valores dados al sistema sexagesimal, así: www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
• •
80g .
p 6
9° = 72° 10g 180° = 30° p rad
rad .
De donde:
x + y = 50° ... (1)
x + z = 72° ... (2)
y + z = 30° ... (3)
Sumando miembro a miembro:
2(x + y + z) = 152°
⇒ x + y + z = 76° ... (4)
Finalmente reemplazamos (1) en (4):
50° + z = 76° ⇒ z = 26°
En (2) resulta: x = 46° ∧ en (1) resulta: y = 4°
\ el menor mide: 4°
1
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar "x"
3. Reducir: A=
20g + 12°
p 36
q
x
rad
4. Reducir:
2. Hallar "x", si:
70° – x 50° + x
M=
3° 20' 10'
5. Calcular (a + b + c)° en radianes, si: 3p abc° = rad 4
Aprende más... 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos. B
a O
C
2. En el gráfico mostrado, hallar "x".
b) 180° + a c) 90° + a a) 90° – a d) 180° – a e) a – 90°
q
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
f
C
A
a) q + a + f = 360° b) q + a + f = –360° c) a + f – q = –360° d) a + f – q =360° e) a – f – q = 360°
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a
x
B
q
O
x
b) 90° + q a) 90° – q d) 180° – q e) q – 90°
A c) 180° + q
Unidad I
9
Sistemas de medición angular
4. Calcular: J =
30g + 9°
p 15
a) 1 d) 5 5. Hallar "x", si: a) 10 d) 12
10. Calcular: T =
rad
b) 4 e) 3
a) 60 d) 51
c) 2
b) 8 e) 15
a) 11 d) 14
c) 9
12. Si: 6. Del gráfico mostrado, hallar "x".
a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
a) 1 d) 4
b) 3 e) 5
c) 2
8. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden: (7x + 2)° y (8x)g. Hallar "x". a) 6 d) 10
b) 5 e) 12
c) 8
9. Del gráfico, calcular: M =
3y – 2x 10
5yg
p 17
b) 3 e) 5
a c–b
c) 2
rad = x° y' z''; obtener: M =
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
3
x+y–z
c) 3
14. Si un ángulo se expresa como ab° y también como (a + 1)0g, calcular: a + b. a) 3 d) 8
b) 5 e) 9
15. Calcular: F = a) 9 10 d) 9
a)
b) –6 e) 5
rad = 1a°b0'4c", calcular: J =
c) 7
T° + R° + I° + L° + C° + E° Tg + R g + I g + L g + C g + E g b) 10 9 e) 10
c) 90
16. Un ángulo mide: (x2 + 4x + 9)°; siendo esta medida la menor posible. ¿Cuál es su equivalente en el sistema radial?
3x°
a) 6 d) –3
13
c) 12
13. Siendo "x", "y" y "z" números enteros, que cumplen la igualdad:
7. En un triángulo, sus ángulos interiores miden: g pn (14n)°; c 160n m y rad. Calcular "n". 9 3
p
c) 61
2°55' 3g60m + 40m 25' b) 13 e) 16
a) 1 d) 4
(5x+18)°
120g
b) 71 e) 62
11. Calcular: P =
2p rad = (7x + 2)° 5
5° 5' 5'
c) 3
p rad
10
b)
p rad c) p rad 5
p rad e) p rad d) 36
40
72
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Para sintonizar el canal 4, una antena de conejo de televisión se despliega 50g y para sintonizar el canal 9 se reduce
p
36
rad. En el sistema sexagesimal, ¿con qué ángulo se
sintoniza el canal 9?
18. Al extender un abanico totalmente se forman 120° de extremo y después de cerrarlo se reduce solo a 20g. Determine la diferencia de ambas medidas en radianes. Colegios
10
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
¡Tú puedes! 1. Si: x° +
3p 17x g = ra d ("x" es positivo), hallar "x". 2x 9
a) 2 2. Si: a)
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
agbm a°b' b° a – = g ; calcular: m b b' a b
1 2
b)
1 3
c)
1 4
d)
1 5
1 6
e)
3. Señale el menor valor de "n", si se cumple: ng = 3' + 6' + 9' + 12' + 15' + ... a) 1
b) 2
c) 4
4. Del gráfico, calcular: M =
d) 5
e) 10
10x – 9y . p + 2z z rad yg x°
a)
150
b)
p
600
p
40s 5. Calcular: T = 3 + 1' a) 1,24
500 900 180 c) d) e)
p
p
p
1m 10"
b) 2,24
c) 2,16
d) 2,26
e) 2,40
18:10:45
Practica en casa 1. En el gráfico, señale la relación correcta:
3. Hallar "x": (9 – 2x)°
b
a
a) a + b= 180° c) b – a = 180° e) b – a = 90°
b) b + a = 360° d) a – b = 180°
(x + 3)°
4. Convertir a radianes 80g 5. Convertir a grados sexagesimales
2. Hallar "x" en el gráfico:
6. Convertir a grados centesimales 54°
x
q
7p rad 20
a
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Unidad I
11
Sistemas de medición angular
p rad + 110g + 9°
7. Calcular: E = 6
20g + 8. Calcular: K =
p rad
1°2' 2'
6x°
p rad
18
10. De la figura mostrada, hallar el valor de "x" en grados sexagesimales. x
80g O
11. En un triángulo, sus ángulos interiores miden: (20x)g; (17x)° y
Colegios
12
TRILCE
px rad. Calcular "x".
18
9y – 4x 15
2
9. Calcular "x", si: (3x – 2)° =
12. Del gráfico, calcular: M =
15yg
13. Un ángulo mide
p rad, pero en grados sexa-
10 gesimales mide ( 5x – 1 )°. Halle el valor de "x".
14. Si se sabe que 30 grados en un sistema "T" equivalen a 90°, ¿a cuántos radianes equivalen 5 grados "T"? 15. Un alumno al escribir 50° escribió 50g. Determina el error cometido en radianes.
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UNIDAD UNIDADIII II
El "Triángulo egipcio", de medidas 3, 4, 5.
Relacionando lados y ángulos Triángulo sagrado egipcio
E
l triángulo sagrado egipcio o Triángulo egipcio, es el nombre moderno de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan dichas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la antigüedad. El triángulo rectángulo semejante, de 15, 20, 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto y fue llamado Isíaco (de la diosa Isis).
Aprendizajes esperados Comunicación matemática •
Operar correctamente situaciones donde se relacionan razones trigonométricas.
Análisis y demostración •
Demostrar propiedades con las razones trigonométricas y triángulos rectángulos notables.
Resolución de problemas •
Resolver problemas con razones trigonométricas y operar correctamente las propiedades de estas.
•
Analizar y utilizar las propiedades de las razones trigonométricas.
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Razones trigonométricas de ángulos agudos Pitágoras Hoy aprenderemos la aplicación del Teorema de Pitágoras y también la manera correcta de obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos en el año 572 a.C. Fundó una secta religiosa llamada "Escuela Pitagórica" donde las matemáticas se enseñaban de manera libre y todo se basaba en la comunidad de bienes, donde la música y las matemáticas tenían un papel importante. Pitágoras fue el primero en cultivar el "amor a la sabiduría". El principal aporte que abordamos en nuestro hermoso curso es su teorema, que emplearemos en los siguientes capítulos.
Conceptos básicos Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Con respecto al ángulo "A" definimos las razones
Con respecto al ángulo "C" definimos las razones
Observación m∠A + m∠C = 90° (" complementarios") h: Hipotenusa (lado mayor)
Colegios
14
TRILCE
c.o.: Cateto opuesto. c.a.: Cateto adyacente.
lados menores
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B = 90°) reducir: L = senA . cscA + cosA . secA
Resolución: Graficando tenemos: A c B
Reemplazando:
b
L=
a b c b . + . ⇒ L =2 b a b c
C
a
2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 cm y 12 cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo.
Resolución: Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, por lo tanto se puede graficar:
132 = 122 + x2 ⇒ x = 5
b
13
Pitágoras:
x
a
12
Sabemos que al menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, por lo tanto el mayor ángulo agudo es "b". c.a. 5 Nos piden entonces: cosb = = H 13
2 3. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: cosq = ; determinar "senq". 3
Resolución: Interpretando la condición: Asumiendo que: c.a. = 2a ∧ h = 3a cosq =
3a
2 c.a. ⇒ = 3 h
x
q
Por Pitágoras: (3a)2 = (2a)2 + x2 ⇒ x = 5 . a senq =
2a
c.o. ⇒ senq = h
5 .a 5 ⇒ senq = 3a 3
4. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución: Sea (a > b) A
q c
b
Del dato: •
c–a=8⇒a=c–8
• •
c–b=9⇒b=c–9 Reemplazando:
B
a
C
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Además sabemos: a2 + b2 = c2
(c – 8)2 + (c – 9)2 = c2 ⇒ c2 – 34c + 145 = 0 (c – 29)(c – 5) = 0 ⇒ c = 29 ∧ a = 21 21 Por lo tanto: b = 20 ⇒ tanq = 20
Factorizando:
Unidad II
15
Razones trigonométricas de ángulos agudos
q
C
5. Calcular "tan " del gráfico: 2
5m+2
q
A
3m –1 B
4m + 3
Resolución: ABC: (5m + 2)2 = (3m – 1)2 + (4m + 3)2 ⇒ m = 3
q
Entonces la figura queda:
2
q 2
q
17
⇒ tanq = 8 = 1
8
17
2
32
4
15
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. En el gráfico, hallar: senq
1
2 4. Siendo "a" agudo, además: tana = , determi3 ne: E = 13 cosa + 1 5. En el gráfico, hallar: tana . tanq C
q
q
2
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "C", reducir: E = senA . secB + 2tanA . tanB 3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: E = cos2B + cos2C
A
a
3
D
B
2
Aprende más... 1. A partir del gráfico, calcular: cosq – senq
1 2. A partir del gráfico, calcular: A = 7tanq + . 3
3
3
q a) 0,1 d) 0,4 Colegios
16
q
4
TRILCE
b) 0,2 e) 0,5
c) 0,3
13
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), reducir:
1 10. Si: cotq = , calcular: tana 4
E = 3tanA . tanC + 2 a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
1
a
c) 5
2x 4. Si: tanb =
1 ("b" es agudo), calcular: 5
E = 26 senb + cotb a) 1 d) 7
b) 5 e) 9
q
x–3
x–1
7 6 12 a) b) c) 6 7 7 5 e) 1 d) 12
c) 6
2 5. Del gráfico, calcular: C = tana . tanb + . 3 11. Del gráfico, calcular "tanq", si: tanx =
A
a
B
q
2 3
C
x
B
a) 1 1 d) 2
b 1
D
b) 2 1 e) 3
2
C
c) 3
6. En un triángulo rectángulo "ABC" (recto en "B"), reducir: K = sen2A + sen2C – 1. a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
2 7. Si: senx = , calcular: J = (x: agudo) 3 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
2 tanx + 2 3 cosx
b) 3 e) 6
12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la ceviana AN ("N" en BC); tal que: CN = 3NB; ACB = a; NAB = q. Calcular: P = ctga . ctgq a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
13. Si "q" es un ángulo agudo, tal que: cosq =
c) 4
9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 5 y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. 10 11 14 c) a) b) 61 61 61 16 17 d) e) 61 61 Central: 619-8100
4 3 5 a) b) c) 3 4 3 5 4 d) e) 4 5
c) 4
R = 5 tanB + 6cosC a) 1 d) 5
D
E
c) 1
8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), se cumple: 3senC = 2cotB, calcular:
A
q
1 5
Calcular: K = tanq . tan + 3 2 a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se a – 2b = senA – tanB. Calcular: secB verifica: c 1 c) 2 3 a) 2 b) 2 2 3 d) 2 e) 3 Unidad II
17
Razones trigonométricas de ángulos agudos
17. En el gráfico: AP = BC, determine:
15. Del gráfico, calcular: P = tgq + ctgq
5ab
a
b a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
E = 2cosq + cotq ("O" centro) A B
q
P
c) 4
D
O
1 1 b) 3 2 d) 2 e) 3 a)
16. Si: AB = BC, calcular: M = ctga – cscf
q
C c) 1
A
B
5
f O
a) 2
2 d) – 2
a 3
b)
2 2
C c) – 2
e) 1
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Se desata un incendio en un edificio, un bombero coloca una escalera que llega hasta la azotea del mismo, formando un ángulo "q" con el piso. Si la escalera se encuentra a 16 m de la base del 17 edificio y además: cscq = . 15 • Hallar la longitud de la escalera. • Hallar la altura del edificio.
19. Un leñador corta un árbol a 1,5 m del piso; al caer, el extremo del 3 árbol forma con el piso un ángulo "a" (tana = ). Determinar la 4 altura inicial del árbol.
Colegios
18
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
¡Tú puedes! 1. Del gráfico, hallar: M =
secx + secy + secz , secx – secy + secz
B
R
AQ AR = si: AP = 2 3 11 1 1 c) a) b) 5 3 11 1 1 A d) e) 12 13 2. En el rectángulo ABCD, determinar: tgq + ctgq a2
+ ab ab
3 2 a
b2
3 2 b
a+b + b) c) 3 ab ab a2 + b 2 d) e) a+b ab a)
Q P x
y
z
B
C
q
b
a
A
D C
3. Del gráfico, calcular: tgq + ctgq a) –1 b) 1 5 d) 3 e)
C
q
c) 2
q
A 4. En la figura mostrada: AD = 6 y DC = 3. Calcular "cos2q". 2 2 3 a) b) c) 7 2 3 1 1 d) e) 3 7
B
D B
q
A
q
H
D
C
5. En un cuadrado ABCD, se traza BE y CF ("E" en CD y "F" en AD), tal que: FD=3AF y CE=ED; si: ∠BEC = a y ∠CFD = b. Calcular: J = 2ctga + 3tgb a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 18:10:45
Practica en casa 1. A partir del gráfico, calcular: secq + tanq.
13
q
Central: 619-8100
2. A partir del gráfico, calcular: 3cos2q – sen2q. 2
5
q
3 Unidad II
19
Razones trigonométricas de ángulos agudos
3. En el triángulo rectángulo ABC (B = 90°), dea b . terminar el valor de: K = – tanA cscC
11. Del gráfico mostrado, determinar el valor de "x"; si: tanq = 4 B 3
4. Si: cosa =
3 ("a" es agudo), calcular: cota. 4 x
q
5. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°), reducir: M = sec2A – cot2B.
6. En el gráfico, hallar: P = tana . cotq
12. Del gráfico mostrado; calcular: L = tga . tgq C
C
a
A
q
4
7. Del gráfico, hallar: E =
A
q
B
D 1
a
A
tana cotq
C
B
D
13. Calcular "tanq" en el gráfico mostrado: A C
q
A
a D
E a B
8. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: cosA = 2cosC, calcular: P = 5cos2A + 1
M
4
2a
3
q
B
C
14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se a – 2b verifica: = cosB – cotA. Calcular: cscA c 15. Del gráfico, calcular "tanq".
C
2 3 y cosb = ("a" y "b" son agudos), 3 7 6(seca – secb) calcular: M = 5
9. Si cosa =
5 10. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5. Determinar la suma de los senos de sus ángulos agudos.
Colegios
20
TRILCE
B
12
q
A
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Razones trigonométricas de ángulos notables F excsc cvs
cot A
sen
csc
tan
sen
q O
2
C senver
cos
1
E
exsec
D
sec
B En este capítulo aprenderemos: •
A trabajar con los triángulos notables más conocidos, además de derivar las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.
Conceptos básicos
30° 30° Si cortamos un triángulo equilátero trazando una altura obtenemos dos triángulos notables de 30° y 60°.
L 60° L 2
L
L 3 2
L 3 2
L 60° L 2
45° L 2
L
45°
Central: 619-8100
L
Y si lo hacemos con un cuadrado, obtenemos otro triángulo notable, el de 45°.
L Unidad II
21
Razones trigonométricas de ángulos notables
Triángulos notables Son aquellos triángulos rectángulos, cuya proposición entre sus lados se conoce a partir de la medida de sus ángulos agudos. Entre los ángulos notables más comunes tenemos: 8° , 15° , 16° , 30° , 37° , 45° , 53° , 60° , 74° , 75° , 82° , etc. Una combinación adecuada de estos ángulos, por suma o diferencia, permite calcular razones trigonométricas de algunos ángulos no notables. •
Entre los triángulos rectángulos notables más comunes tenemos: 53°
45° k 2
k
2k
45°
5k
k 3
60° k
k
30°
37°
3k
4k
El primero es un triángulo rectángulo isósceles, el segundo, se obtiene de dividir un triángulo equilátero y el tercero, es el famoso triángulo rectángulo pitagórico, cuyos lados son proporcionales a tres números naturales consecutivos.
•
Entre los menos comunes tenemos:
5 2k
53°/2 2k 75°
( 6 – 2 )k
7k
4k 15°
k
k 10 37°/2 3k
( 6 + 2 )k
25k
8°
5k
k
16°
24k
k 74° 7k
Tabla resumen R.T.
30°
60°
45°
37°
53°
16°
74°
Sen
1 2
2 2
Cos
3 2
3 2 1 2
Tan
3 3
3
1
Ctg
3
3 3
1
Sec
2 3 3
2
2
Csc
2
2 3 3
2
3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3
4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4
7 25 24 25 7 24 24 7 25 24 25 7
24 25 7 25 24 7 7 24 25 7 25 24
Colegios
22
TRILCE
2 2
37° 2
53° 2
10 10
5 5
3 10 10 1 3
2 5 5 1 2
3
2
10 3
5 2
10
5
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2
Síntesis teórica
Problemas resueltos 1. Si: f(x; y) = 4cosx + 3tgy + 2 3senx . ctgy, calcular: f(60°; 45°)
Resolución:
Reemplazando los correspondientes valores de "x" e "y" en la expresión dada, se obtiene:
f(60°; 45°) = 4cos60° + 3tg45° + 2 3sen60° . ctg45° = 4
\ f(60°; 45°) = 8
1 + 3(1) + 2 3 3 . (1) = 2 + 3 + 3 2 2
2. Si: tanq = csc30° – sen260°, calcula: senq
Resolución:
Reemplazando los valores correspondientes:
tanq = 2 –
3 2
2
⇒ tanq = 2 –
3 5 ⇒ tanq = 4 4
Dibujamos el triángulo rectángulo de la derecha: ⇒ senq = 5 41
41
5
q 4
3. Resolver: 3x . tan53° – 2tan45° = x + sec60° – 2sen30°
Resolución:
Se reemplaza cada razón trigonométrica de los ángulos notables por su valor numérico.
3x .
4 1 –2(1) = x + 2 – 2 ⇒ 4x – 2=x+2 – 1 → 3x=3 → x = 1 3 2
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Unidad II
23
Razones trigonométricas de ángulos notables
4. En el gráfico mostrado, hallar: tanq. B 135°
2 2
6
q
A
Resolución:
Prolongamos CB y trazamos la perpendicular AQ.
C
Q
2 B 45° 2 135° 2 2
6
q
A
AQC: tanq =
Del gráfico:
2 1 ⇒ tanq = 8 4
C
5. Si: AM = MC, calcular: senx . cscy B y
x
53°
A
30°
M
C
Resolución: B P 6a A
y
x
N
b
5
8a
53° 10a
37°
5a M
3a 30°
10a
C
Hacemos AM= MC = 10a, trazamos MN ⊥ BC y MP ⊥ AB, determinándose dos triángulos rectángulos notables, de la misma forma hacemos BM = b. En los triángulos rectángulos BPM y BNM, calculamos:
senx . cscy =
8 8a b . ⇒ senx . csc y = b 5a 5
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos (V) ó falsos (F):
sen30° > sen37° tan53° > sec60°
( (
5. En el gráfico, hallar: tanb
b
) )
37°
2. Calcular: E = 3 csc60° + tan45° 3. Calcular: P = [tan60°]sec60° – [8cos60°]sen30°
45°
4. Si: tana = sen30°, calcular: 5 seca – 1 Colegios
24
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2
Aprende más... 1. Calcular el valor de: sec60° + csc30° 3 a) 2 3 b) d) 4 e) 0
8. Del gráfico, hallar "x"
c) 2
2. Calcular el valor de:
60°
x 30°
E = sen45° –
csc45° (tan30° + 2) 2
a) 1 d) 2
b) – 1 e) – 2
6 3
a) 10 d) 8
c) 0
b) 6 e) 16
c) 12
9. En el gráfico mostrado, calcular "tanq". 3. Calcular el valor de:
8
M = tg45° + 7ctg45° + 5csc30° a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
a)
4. Hallar "x" en:
3x . sec53° – tan45° = sec245° – x + cot45° 3 2 1 d) 6
a)
q
b) 1
c)
e) 3
p
15
4 11
b)
3 3 11
e)
d)
p
b) 21 e) 22
17 2 23 d) 2
19 3 25 e) 2 b)
c) 23
c)
21 2
7. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = 2sen37° + sen53°
P 2
a)
3 2
b)
3 7
e)
d)
c)
3 4
3 11
2 3 A
a) 5 d) 20
d)
Central: 619-8100
3 3
C
11. Del gráfico mostrado, obtenga "tanq". B
a)
c) 15
q
A
5 Calcular: M = 2csc2q + sec2q 2 b) 10 e) 25
2 3 11
3
p
6. Sabiendo que "a" es agudo y además: tana = sen45°, calcular: A = 4sec2a + sen2a a)
c)
2 3 10. Del gráfico, obtenga "tanq", si el triángulo ABC es equilátero. B
Calcular: f(2) a) 20 d) 24
4 3 11
11 4
5. Si: f(x) = csc + tan + 2cos 3x 2x x+1
60°
150°
4
q
C
3 7
b)
2 3 9
e)
3 5
c)
2 3 7
3 6 Unidad II
25
Razones trigonométricas de ángulos notables
12. Del gráfico mostrado, calcula "tanq"
15. Calcular "cotq", a partir del gráfico mostrado ("O" centro).
53°
1 45°
2
q
2 a) 7 5 d) 7
3 b) 7 6 e) 7
a)
13. Si ABCD es un cuadrado, calcula "tanx". F A B E
q
A
4 c) 7
3 3
3 d) 2 3
O b)
3
B
c) 2 3
e) 1
16. En el gráfico, calcular "tanx", si "O" es centro de la semicircunferencia. D x C
x
37°
D
C 11 13 9 a) b) c) 9 16 11 13 16 d) e) 6 13
A
37° O
B
3 a) 2 b) 1 c) 3 1 d) e) 4 2
14. En el gráfico mostrado, calcula "tanq"
37°
1 6 6 d) 17
a)
1 17 17 e) 6 b)
q c)
2 3
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Un alumno de Trilce le hace la siguiente pregunta a su profesor de trigonometría: Si la pizarra tiene forma rectangular, trazamos la diagonal y dividimos al ángulo recto en dos ángulos de 37° y 53° y su diagonal mide 3,5 m. Calcule: ¿cuánto mide el área de la región rectangular?
Colegios
26
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18. La Torre de Pisa es el campanario de la catedral de París. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La inclinación que registra es de 4° con respecto a la vertical y su altura es aproximadamente 60m. Si la inclinación se duplica, determine la proyección de la torre en el piso.
2
¡Tú puedes! 3 1. En un triángulo isósceles ABC (AB = AC) se tiene: cosA = . Calcular: tanB. 5 1 2 3 a) b) c) 2 d) 5 5 2 2. Del gráfico, calcular: M = 2 3 cotb – 5tana, si: CD se B dibuja con centro en "E". b) 5 e) 10
C
a
c) 7 P 60°
A
3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro, obtener el valor de A "tanq". 6 + 2 a) 3 + 3 b) d) 3 6 + 2 e) 2 – 3
b
c) 3 + 6
M
q
O
N
4. Si el triángulo ABC es equilátero, "M", "N" y "P" son puntos medios de AB, BC y AC respectivamente; además: NQ = 2QP. Calcular: b) 4 e) 14
b
c) 6
M
N Q
A
Central: 619-8100
B
B
K = (5tanq + 7tana)cotb. a) 3 d) 8
D
E
30°
a) 3 d) 8
Q
e) 3
a
P
q
C
Unidad II
27
Razones trigonométricas de ángulos notables
5. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx . coty b) 6 e) 16
c) 9
C
y
x
37 °
a) 3 d) 12
E
B
A
D 18:10:45
Practica en casa 1. Calcular: P = [(sen30°)cos60°]2 3 tan30°
10. Del gráfico, calcular "tanq".
2. Calcular:
q
M = (4sen45° + 8sec45°)3cos60°+sen30°
2cos53°
sen230° + cos260° 3. Reducir: E = 5tan45°
2tan37°
4. Calcular:
M = (5sen37° + 4tan37°)sen245°
5. Calcular "x", si: 37x. tan230° – 5x . sec230° = 7tan45° + 5sec60°
11. Del gráfico, obtenga "tanq"; si el triángulo ABC es equilátero. B
6. Si "q" es un ángulo agudo y además: tanq = tan230°, calcular: csc2q.
7 D 4
7. Siendo "b" un ángulo agudo, tal que: 1 senb = cos60°, calcular: 2cot2b + 1. 2
8. Del gráfico, hallar "x".
12. En el gráfico mostrado, calcular "cotq". B
A
q
C
6 x
2 3
60°
A
q
30° 15 3
C
13. Hallar "x" del gráfico: B
9. En el gráfico, hallar "tanq"
C
C
q
8 2 3
A
Colegios
28
TRILCE
45° 2
D
B
A
E
x
D www.trilce.edu.pe
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14. En el gráfico mostrado, hallar "x", si: DC=10 B
15. Calcular "tanq" del gráfico: C
23
º
D
A
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53º
x 37º
C
2
A
q
N
M B
Unidad II
29
Propiedades de las razones trigonométricas
Propiedades de las razones trigonométricas ABC = 56
0
100
110
0 12
90
80
70
60
50
0
80
90
100 1 10
0
20
C
0
30 20 10
170 180
B
10
160
0
13
0
160
0
15
170
12
0 14
40
15
70
30
50
60
40
14 0
13
180
A
En este capítulo aprenderemos: •
A utilizar las propiedades de las razones trigonométricas en diferentes problemas y demostraciones.
•
Una aplicación del programa Descartes, el Applet referido a la modificación de los lados o de los ángulos de un triángulo rectángulo.
•
Que si se mantienen constantes los ángulos se puede modificar la longitud de los lados donde el valor de las razones trigonométricas se mantiene constante.
Conceptos básicos Razones trigonométricas recíprocas Una razón trigonométrica es recíproca de otra si su valor es el recíproco (inverso) de aquel. Sea x una razón y y trigonométrica, entonces su recíproca es , tal que: x x .y =1 y x Aplicando esta definición en cualquier triángulo rectángulo, tal como el de la B figura adjunta, se cumple: a C Colegios
30
TRILCE
c
b
a
A
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Estas relaciones nos permiten plantear la siguiente propiedad general:
3
Observación Los ángulos deben ser iguales.
Ejemplos:
Las siguientes son aplicaciones de las razones recíprocas:
sen20° . csc20° = 1
cos32° . sec32° = 1
tan48° . cot48° = 1
Razones trigonométricas de ángulos complementarios Para las razones trigonométricas seno, tangente, secante, se definen respectivamente, sus co–razones: coseno, cotangente, cosecante, una de ellas es la razón trigonométrica de un ángulo y la otra es la co–razón del ángulo complementario. Se verifica que la razón de un ángulo y la co–razón del ángulo complementario tienen valores iguales. Podemos visualizar esta relación en el siguiente triángulo rectángulo. C
b b
a B
c
a
A
Razón(a) = Co–razón(b) sena = cosb = a b sena = cosb tana = cotb = a ⇒ Si: a + b = 90° ⇒ c tga = ctgb seca = cscb = b seca = cscb c
Ejemplos:
Las siguientes son pares de razones trigonométricas complementarias:
sen25° = cos65° tan42° = cot48°
sec(40° + q) = csc(50° – q)
Observación Observa que en todos los casos, la suma de los ángulos es 90°.
Síntesis teórica
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Unidad II
31
Propiedades de las razones trigonométricas
Problemas resueltos 1. Determine: J = tan40°. cot40° +
5sen44° . csc44° cos47° . sec47°
Resolución:
Recordar las propiedades de R.T. recíprocas. 1 6447448 5sen44° . csc44° J = tan40° . cot40° + ⇒J=1+5→J=6 cos47° . sec47° 1442443 1442443 1 1 3
3
2. Simplificar la expresión: E = tan25° . tan65° + sen40° . sec50°
Resolución:
Transformamos cada razón a su co–razón:
tan65° = cot25° sec50° = csc40°
Reemplazamos en la expresión: 3
3
E = tan25° . cot25° + sen40°. csc40° = 1 + 1 ⇒ E = 2 1442443 1442443 1 1 3. Si: senx = cos56°, calcular el valor de: Q = 3tan2(x – 4°) – sec(x + 26°)
Resolución:
De: senx = cos56°
Se cumple: x + 56° = 90° ⇒ x = 34°
Reemplazamos el valor de "x" en la expresión:
2 Q = 3tan2(x – 4°) – sec(x + 26°) = 3tan230° – sec60° = 3 3 – 2 ⇒ Q = –1 3
4. Reducir: M =
sec70°cos25°sen50° csc20°sen65°cos40°
Resolución: Aplicando razones trigonométricas de ángulos complementarios. • sec70° = csc20°
Por lo tanto: M =
•
cos25° = sen65°
•
sen50° = cos40°
csc20° sen65° cos40° ___________________ ⇒M=1 csc20° sen65° cos40°
5. Si: seca = csc2f, calcula: R = tan
a + f + sec(330° – 3a – 6f) 2
Resolución: seca = csc2f ⇒ a +2f = 90° Ordenando y reemplazando: R = tan
a + 2f + sec(330° – 3(a + 2f)) = tan 90° + sec(330° – 3(90°)) 2
2
R = tan45° + sec60° ⇒ R = 3 Colegios
32
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Trigonometría Razonamiento Matemático
10 x 5 50
3
Aplica lo comprendido 4. Hallar "q", si: tan(5q + 20°) = ctg(q – 50°)
1. Reducir:
E = sen40° . sec50° + 2tan10° . tan80°
2. Reducir: M=(sec25° + csc65°) cos25°
5. Si: cosx = seny, calcular:
E = tan
x+y x+y + csc 2 3
3. Hallar "x", si: sen(3x + 10°) = cos(20° – x)
Aprende más... 1. Hallar "x", si: cos4x . sec(2x + 16°) = 1 a) 4° d) 12°
b) 8° e) 16°
c) 6°
8. Si:
sen4x . csc(y + 45°) = 1 tan3x . cot2y = 1
Calcular: M = sen(x + y – 15°)
2. Si: tan3x . cot(x+20°) = 1, calcular:
a) 1 b) 2 c)
d) 2,5
T = tan6x . tan(4x + 5°) a) 2 b) 3 c) d) 3
3 3
e) 1
3. Calcular "x", si: sen4x = cos(x + 10°) a) 2° d) 24°
b) 8° e) 30°
a) 4 d) 7
b) 5 e) 3
9. Si: tan7x = cot(2x + 9°) sen4x . csc3y=1
c) 6
10. Si: sen20° . cos4x = cos70°.sen5x
b) 2 e) 5
c) 3
T = (4csc40°+3sec50°)sen40° a) 12 d) 6
b) 8 e) 10
Calcular: 2x – 5y a) 40° d) 32° Central: 619-8100
b) 20° e) 36°
e) 3
c) 24°
4sen3a 5sen3b + cos3b cos3a
a) 4 d) 11
c) 7
7. Si: tan(2x + y) . cot40° = 1 sen(x – y) = cos70°
3 3
b) 3 c) 3 4
11. Si: sen(2a + b) = cos(a + 2b), calcular:
6. Determine:
d)
E = sen42° . csc42° + 2tan70° . tan20° a) 1 d) 4
Calcular: tan6x a) 1
5. Determine:
Calcular: J = cos5x.tan(3y + x) 3 a) 1 b) 2 c) d) 3 e) 2 2 2
c) 16°
4. Si: sen3x = cos2x, calcular: K = 4tan(2x + 1°)
e) 1 2
3 2
b) 7 e) 12
c) 9
12. Si: sen4x . sec6y = 1; calcular el valor de:
E=
cos(3x + 2y) tan(5x + y) + sen(x + 4y) cot(5y – x)
a) 0,5 d) 2
b) 1 e) 2,5
c) 1,5
Unidad II
33
Propiedades de las razones trigonométricas
15. Siendo: sen(40° – x) . sec(5x+10°)=1.
13. Si se cumple que:
tan3x = sen(x + 50°) . sec(40° – x)
Calcular el valor de la siguiente expresión:
A = sec4x + ctg22x a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
Calcular: E =
c) 4
tan(kx)
16. Siendo "x" un ángulo, tal que:
tan(50° – x) = tan(y + 20°) . cot(x + 40°)
Calcular el valor de:
sec(35° + y)tan(x + y + 50°) cot(y – x – 10°) b) 2 d) 3 e) 2 2
k=1
3 a) 1 b) 2 c) 2 d) e) 3
14. Si se cumple:
a) 1
8
P
tan(x – 15°) =
89
P
k=1
cotk°
x 3x Calcula el valor de: A = sen + tan + secx 2 4
a) 1,5 d) 4,5
c) 2
17. Si: sen
b) 2,5 e) 6,5
c) 3,5
ap p bp = 3 tanp . sec – 3 2 3 6
Además: a = cscq . csca y b = secq . seca
q+a calcular el valor de: 2 sec 2 a) 4 d) 8
b) 2 e) 10
c) 6
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Se tiene un jardín de forma triangular donde los ángulos internos son "a", "b" y "q". Si se cumple: sen(2q + a) = cos(q – a – 90°) tg(a – 50° + b) . cot(70° – a + b) = 1
Se desea saber qué tipo de triángulo tiene este jardín triangular.
¡Tú puedes! 1. Siendo: tanx . tany = sec245° – 2sen30°, calcular: M = cot a) 2 + 3
b) 2 3 + 1
c) 3 + 2 3
2. Si en el gráfico: tan(3q – 10°) . tan(2q + 20°)=1. Calcular: tanf. 2 3 3 a) b) c) 3 2 8 3 1 e) d) 6 16 Colegios
34
TRILCE
x+y x+y x+y cot cot 2 3 6
3+1 d) 1 + 2 3 e) C °
1 3q –
f
2
A
2q – 2°
D
M
B
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Trigonometría Razonamiento Matemático
3. Siendo: sen(2x + y)sen(x – y + 10°) = cos(x + 2y)cos(80° – x + y), calcular:
J = ctg(x + y) ctg(5x – 2y) ctg(5y – 2x) a) 1 b) 2 c) 3 d)
4. Si:
e) 3 3
cos(x + y) + cos(4y – 10°) =2 sen(100° – 4y)
Calcular: P =
sec2(x + 10°) + sec23y cos(x + y – 10°)
a) 4
b) 8
5. Sabiendo que:
c) 16
d) 24
e) 32
tan(40° + x) sen(50° – x) = cos(10° + x)
3
tg(x +10°) + tg(y + 10°) = ctg(x + 10°) + ctg(y + 10°)
3
tan(2x – 5°) tany = tan1° tan2° tan3° ... tan89°
Calcule: J =
sec2(2x
a) 3
+ 5°) + tan2(y + 5°) + csc2(y – x – 5°)
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
18:10:45
Practica en casa 1. Si: sen5x . csc80° = 1, determinar "x". 2. Si: tan42° . cot7x = 1, hallar: cos10x 3. Si: tan3q = cot(2q + 40°), hallar "q" 4. Si: sec(2x + 15°) = csc(3x + 25°)
Hallar: sen(x + 20°)
5. Relacione correctamente las razones que tienen el mismo valor: sen36°
sen22°
sen13°
cos54°
cos68°
cot49°
tan41°
cos77°
6. Reducir: P =
sen24° tan50° +5 cos66° cot40°
7. Simplificar: J =
cos42° + 3tan25° . cot65° sen48°
8. Reducir: M=
cos40°+sen50° 3tan44°+2cot46° + sen50° tan44°
Central: 619-8100
9. Si: tan(5x – 12°) . cot(x+16°)=1
tan(3y – 40°) = cot(2y + 10°)
Hallar "y – x"
10. Reducir: Q = (7cos42° + 3sen48°)sec42° 11. Calcular "x" (agudo)
tan
9x + 1° x + 7° . cot =1 5 2
12. Reducir: M=
sen1° sen2° sen3° ... sen89° + 8tan1° . cot1° cos1° cos2° cos3° ... cos89°
13. Hallar "x", si:
tan26° . sen3x = cot64° . cos(x + 10°)
14. Si se cumple que: tanx . tany = 1
Calcular: P = sec
x+y x+y . tan 2 3
15. Sabiendo que: sen(2a + b) . sec(12° – 2c) = cos(a – 2b) . csc(78° + 2c)
Calcular: M = tan(2a + b + c) . tan(a – 2b – c) Unidad II
35
UNIDAD III
Calculando lados y distancias
E
Teodolito moderno
l teodolito es un instrumento de medición mecánico – óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles. Es portátil y manual; está hecho para fines topográficos e ingenieros, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede medir distancias. Un equipo más moderno y sofisticado es el teodolito electrónico, y otro instrumento más sofisticado es la estación total. Básicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trípode, con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, para medir los ángulos con ayuda de lentes.
Aprendizajes esperados Comunicación matemática •
Graficar correctamente situaciones con ángulos verticales.
Análisis y demostración •
Reconocer las posiciones de un lado con respecto a un ángulo agudo.
Resolución de problemas •
Resolver problemas de aplicación con ayuda de triángulos rectángulos.
Trigonometría Razonamiento Matemático
Resolución de triángulos rectángulos
1
Triángulos En este capítulo aprenderás a encontrar los elementos de un triángulo rectángulo (lados y ángulos) en función de otros elementos dados.
Central: 619-8100
Unidad III
37
Resolución de triángulos rectángulos
Conceptos básicos Cálculo de lados Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y un ángulo agudo también conocido.
Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.
Se conoce un ángulo agudo y su cateto adyacente
Se conoce un ángulo agudo y su cateto opuesto
Se cumple
Se cumple
Se cumple
Observación Para hallar el lado desconocido, solo hay que dividir:
Lo que quiero = Rt(ángulo conocido) Lo que tengo
Área de un triángulo B
El área de un triángulo cualquiera se puede calcular como el semiproducto de dos de sus lados, multiplicados por el seno del ángulo que forman dichos lados.
c A
S b
S = bc senA 2 S = ac senB 2
a C
S = ab senC 2
Problemas resueltos 1. En la circunferencia de radio "R", calcula el lado desigual del triángulo isósceles, en términos de "q" y "R". A
q R B
C
Colegios
38
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Resolución:
A
Introduciendo los datos dados en el gráfico original y trabajando en el triángulo rectángulo OMC.
q
Del gráfico: MC = R senq (por ser cateto opuesto).
O
Finalmente: BC = 2MC = 2Rsenq →\ BC = 2Rsenq
q B
M
q
1
R C
2q 2. En un rectángulo, la diagonal de longitud "d" forma con la base un ángulo "q". Calcular el área de dicha región rectangular.
Resolución: En la figura, aplicando el primer teorema de resolución, calculamos: d
q
m = dcosq ∧ n = d senq
n
m
Entonces: A
= m . n = d cosq . d senq
A
= d2 senq cosq
3. En la siguiente figura, calcular "OB", si: OA = 2 3 y AC =
27 . 16
A
C
q F
q q
O
q
q
E
D
B
Resolución:
Si hacemos: OA = m y aplicamos sucesivamente el teorema (1) de resolución en cada triángulo numerado, obtendremos: C
A (5) m
O
q
=
2
q
3
(4)
F
q (1)
(3)
(2)
q
q B
E
En el
(1): AB = msenq
En el
(2): AD = AB senq ⇒ AD = m sen2q
En el
(3): AE = AD senq ⇒ AE = m sen3q
En el
(4): AF = AE senq ⇒ AF = m sen4q
En el
(5): AC = AF senq ⇒ AC = m sen5q
D
Reemplazando datos:
27 = 2 3 sen5q ⇒ senq = 3 ⇒ q = 60° 16 2 1 Luego: OB = mcosq = 2 3 cos60° = 2 3 . ⇒ OB = 3 2
Central: 619-8100
Unidad III
39
Resolución de triángulos rectángulos
4. Del gráfico, calcular "OB", si: OA = x ∧ AC = y C
Resolución:
C
Reemplazando los valores de OA y AC en el gráfico y construyendo el ODA y el CEA, tendremos:
q y
ODA: OD = xcosq
B
AEC: AE = ysenq ∧ AE = DB
D
Y como: OB = OD + DB = OD + AE O
q
q
O
\ OB = x cosq + y senq
A
B E
A
x
5. Calcular la longitud "AB" en términos de "a". A
A Sec tan a a
a B
Resolución:
1
Trabajando en el gráfico, tendremos: AB = AO – OB ⇒ AB = seca – tana
O
a B
1
O tana
10 x 5 50
Aplica lo comprendido De los gráficos, determinar el valor de "x":
4.
1.
4 m
x
20°
x
q 5.
2. x
b
3
a
50°
x
3. b
q
Colegios
40
TRILCE
x
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Aprende más... 1. En el gráfico, determine "x"
7. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "m" y el ángulo desigual mide "q". Halle el lado desigual.
4
x
a) msen
q
a) 4senq d) 4cscq
q 2
d) 2msenq b) 4cosq c) 4secq e) 4(senq + cosq)
q
b) 2msen 2 e) 2mcos
a) msen2a c) msena . cosa e) mcsc2a
b) 7csca c) 7tana e) 7sena . cosa
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: BC = n y ∠BAC = a. Hallar el área del triángulo. n2 n2 n2 cosa a) b) sena c) ctga 2 2 2 n2 n2 d) tga e) seca 2 2 4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = m y ∠CAB = q. Hallar el perímetro del triángulo.
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = n y ∠ACB = b. Hallar el perímetro del triángulo. a) n(senb + cosb + 1) b) n(cosb + secb + 1) c) n(ctgb + secb + 1) d) n(ctgb + cscb + 1) e) n(tgb + ctgb + 1) 6. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "L" y los ángulos congruentes miden "a". Halle la medida del lado desigual. L b) Lcosa c) cosa a) 2Lcosa 2 d) 2Lseca e) Lseca
b) mcos2a d) msec2a
9. En el gráfico, determine "x"
b b
x
m
a) mcos2b c) mcscb . secb e) msenb . cosb
b) msen2b d) mcsc2b
10. En el gráfico, hallar "x"
a) m(senq + cosq + 1) b) m(secq + tgq + 1) c) m(cscq + ctgq + 1) d) m(cosq + tgq + 1) e) m(senq + tgq + 1)
Central: 619-8100
2
x
a a) 7seca d) 7cota
2
aa x
m
q
q
8. En el gráfico, determine "x"
2. En el gráfico, determine "x" 7
c) 3msen
q 5 x
a) 5senq d) 5cotq
b) 5cosq c) 5tanq e) 5secq . cscq
11. En el gráfico, hallar "x" m
x q
a) 2msenq d)
m cosq 2
b) 2mcosq e)
c)
m senq . cosq 2
m senq 2
Unidad III
41
Resolución de triángulos rectángulos
12. En el gráfico, hallar "x" q
14. Del gráfico, hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es "L". Además: BQ = BR B
m
Q
L
R
x
a) msenq d) msecq
b) mcosq e) mctgq
c) mtgq
m
a
a) msena . cotq c) mtana . tanq e) mseca . cotq
q b) mcota . tanq d) msena . tanq
S
P
L a) Lsenq + cosq 2 L c) Lsecq + cscq 2 L e) Ltanq + cotq 2
13. Del gráfico, hallar "x" x
A q
C
L senq + Lcosq 2 L d) secq + Lcscq 2
b)
15. Del gráfico, hallar "tanf" en función de "q" A
f B
2secq – senq cosq 2cscq – senq c) cosq 2cotq – cosq e) senq
a)
M
q
C
2secq – cosq senq 2cscq – cosq d) senq b)
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Un pintor coloca su escalera de longitud "L" apoyada en una pared formando un ángulo "q" con esta. Determine la distancia del pie de la escalera a la base de la pared.
17. Desde el punto de penal (a 12 m aproximadamente del arco) se dispara el balón con tal fuerza que describe una trayectoria recta y choca con el travezaño. Si el ángulo formado por esta trayectoria y el piso es "a", hallar la altura del arco.
Colegios
42
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
¡Tú puedes! 1. En la figura mostrada, calcular: E = tanx . coty; si: AB = AD = 1 y DC = 2 1 1 a) b) c) 2 2 3 1 e) 1 d) 4
B
x y
A
2. Del gráfico adjunto, hallar "tgq + ctgq", si PQRS es un cuadrado de lado 1 a) 7 d) 6
b) 8 e) 5
B
3. De la figura; determinar el valor de: b) 8 e) 25
P
9
q
S
C
D
37
A
P = 25tan2q + 24tanq, si: OA = OB a) 7 d) 16
R
Q
c) 9
A
C
D
°
C
c) 9
q B
O
4. En la semicircunferencia mostrada, halle: T = sen2α sen2β 1 1 a) 1 b) c) 3 2 1 d) 4 e) 4
Q 3
A
a
C 1 B
b O
5. En la figura, hallar "x" a) msec5qsenq c) msec5qsenq e) mtanqcos6q
b) mcotqsec7q d) msec6qtanq
x
q m
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Unidad III
43
Resolución de triángulos rectángulos
18:10:45
Practica en casa 1. En el gráfico, determine "x".
8. Del gráfico, determine "x"
m
q
m
x
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), donde: AB = m y CAB = a, calcular "BC"
x
a a
9. En el gráfico, determine "x"
3. Determine el perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
q m
m
4. Del gráfico, determine "x".
a
x
10. Determine el lado del cuadrado ABCD. B A
x
m
a
q
m
q
5. En el gráfico, hallar "x".
m
a
D
q
11. En el gráfico, determine "x".
x
C
m
6. Hallar "x"
q x 4
b x
7. Del gráfico, determine "x"
q
12. Si la figura inscrita es un cuadrado de lado "L", hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. B
a
a
C
x Colegios
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A
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
13. Del gráfico, hallar "x"
15. En el gráfico, hallar: AC B h
1
r
q
a x
A
2q
2a
C
14. Hallar "x" A
q
q d
B
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D
x
C
Unidad III
45
Ángulos verticales
Ángulos verticales En este capítulo aprenderás a calcular alturas y distancias utilizando razones trigonométricas. ¿Te imaginas? Solo con trigonometría poder calcular la distancia entre el lugar donde estamos y cualquier parte. Por ejemplo, desde New York hasta la estatua de la libertad. ¡Sí se puede!
Conceptos básicos Los ángulos verticales: son aquellos ángulos agudos, que se caracterizan porque uno de sus lados se ubica sobre la línea horizontal y el otro lado, llamado línea visual, en el mismo plano vertical. Cuando la línea visual se ubica por encima o por debajo de la horizontal, forma ángulos que se llamarán ángulos de elevación o ángulos de depresión, respectivamente. En las figuras se presentan tres casos de ángulos verticales.
Colegios
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TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1. Ángulo de elevación
2. Ángulo de depresión
2
b Línea horizontal l
ua
is av
e Lín
Lín
ea
vis
a Línea horizontal
ua
l
3. Ángulo de observación
ea
Lín
Observación
l
a visu
a: es la medida del ángulo de elevación b: es la medida del ángulo de depresión q: es la medida del ángulo de observación
q Línea
visual
Por ejemplo, si una persona de estatura 2 m divisa lo alto de un edificio de altura “H” con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40m de su base, el gráfico sería:
20° H
2m
40 m
Otro ejemplo: desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°.
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40 m
40°
Unidad III
47
Ángulos verticales
Síntesis teórica
Problemas resueltos 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación igual a 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste? (cot24° = 2,246)
Resolución: Graficando:
x = 20cot24° ⇒ x = 20(2,246) ⇒ x = 44,92m
20 m 24° x
2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión "a" y "b" (a > b). Si la altura del edificio es "H", halle la distancia que separa a los objetos. Resolución:
b
a Del gráfico:
H
Hcotb – Hcota = x ⇒ x = H(cotb – cota)
a Hcota Colegios
48
TRILCE
b Hcotb
x
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Trigonometría Razonamiento Matemático
3. Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 60° y 30° respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.
Resolución:
Elaboramos la gráfica del problema indicado, según los datos: x 3 3
Del gráfico:
x 3
30° x
2
x 3–
36 m
x 3 = 36 ⇒ x = 18 3 3
Luego: h=altura del edificio = (18 3 )( 3 )=54 m
60° x
4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto “C” en un borde del río y visualizando un punto “A” situado en el otro borde (véase la figura). Después de girar un ángulo de 90° en “C”, se desplaza 200 metros hasta el punto “B”. Aquí mide el ángulo de 20°, ¿cuál es el ancho del río? (Usar: tan20° = 0,36397). Resolución: Buscamos la longitud “b”: tanB =
Reemplazamos los datos, tenemos:
tan20° =
b
C
b a
A
20° a = 200 m
B
b ⇒ b = 200tan20° 200
b = 200(0,36397) = 72,794 m ⇒ el ancho es 72,794 m
5. A 20 m de la base de una torre, un hombre observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación "a". Se aleja en línea recta otros 20 m y ahora la ve con un ángulo de elevación "b".
Si: tana + tanb = 0,75 y el hombre mide 1,7 m; calcula la altura de la torre.
Resolución:
Graficando el enunciado, tendremos: Altura de la torre: x + 1,7 m x
1,7 m
20 m
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tana + tanb = 0,75 ⇒
a 20 m
1,7 m
b
Pero, además sabemos que: x x 3 + = = ⇒ x = 10 20 40 4
Finalmente: Altura de la torre = 10 m + 1,7 m = 11,7 m
Unidad III
49
Ángulos verticales
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Graficar: un alumno Trilce observa un edificio de altura "H", con un ángulo de elevación "q". Además la altura del alumno es "h".
4. Del gráfico, calcular “tanq”
2. Graficar: desde lo alto de un edificio de altura 15 m, se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión 70°.
14,5 m
q 1,5 m
3. Del gráfico, calcular la longitud de la línea visual.
8m
30°
5m
2m
5. Desde un punto en el suelo se observa lo alto de un poste de altura 20 m con un ángulo de elevación de 53°. Calcular la distancia del punto al pie del poste.
Aprende más... 1. Desde un punto en tierra se observa lo alto de una torre de 40 m, con un ángulo de elevación de 45°. Determina la distancia de la línea visual. b) 40 2 e) 44 2
a) 40 m d) 45 2
4. Determinar el ángulo de depresión en el gráfico:
f
c) 50 2 36
2. Desde lo alto de un edificio de 36 m de altura se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión de 37°. Determinar la distancia de separación del punto al pie del edificio. a) 24 m d) 96
b) 48 e) 12
c) 36
3. Determinar el ángulo de elevación "b" en el gráfico.
48 a) 30° d) 60°
b) 37° e) 45°
c) 53°
5. Determinar el ángulo de elevación "f" del gráfico.
2m
7m
27 m
b
f
45° 17 m
25 a) 30° d) 37° Colegios
50
TRILCE
b) 45° e) 53°
c) 60°
a) 16° d) 15°
b) 30° e) 32°
c) 37°
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Trigonometría Razonamiento Matemático
6. Desde el piso se observa con un ángulo de elevación "q" la parte alta de un poste. Si la visual mide "k", hallar la altura del poste. a) ksenq d) ksecq
b) kcosq e) kcscq
c) ktanq
7. Desde lo alto de un acantilado de altura "h" se observa una embarcación con un ángulo de depresión "b". ¿A qué distancia se encuentra la embarcación del acantilado? a) hsecb d) hcotb
b) hcscb c) htanb e) hsenb . cosb
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de altura "h" con un ángulo de elevación "a". Si nos acercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es "b". Hallar "D" a) h(tanb – tana) c) h(cosa – cosb) e) h(secb – seca)
b) h(cota – cotb) d) h(senb – sena)
9. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión "a" y "b". Si la altura del faro es "h", halle la distancia que separa los barcos. a) h(cosa+cosb) c) h(tana+tanb) e) h(seca+secb)
b) h(sena+senb) d) h(cota+cotb)
10. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura se ve las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 19 m d) 23
b) 20 e) 29
c) 21
11. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja de un muro con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mide el muro? a) 2 m d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
12. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación "q". Si nos acercamos una distancia igual a la altura del edificio, el alto del edificio se observa nuevamente pero con un ángulo de elevación de 45°. Calcular: secq.
2
5 c) 5 3 2 5 5 d) e) 4 7 a) 5 b)
13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos alejamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es "90° – a". Calcular: K = tan2a + cot2a a) 1 d) 4
b) 2 e) 8
c) 3
14. Desde lo alto de un faro se divisa dos barcos con ángulos de depresión "a" y "90° – a"; a distancias de su base iguales a 90 m y 40 m respectivamente. Calcule "tana". 1 3 3 d) 2
a)
b) 3 e)
4 3
c)
2 3
15. Un niño de 1 m de estatura divisa los ojos de su padre, de 1,8 m de estatura con un ángulo de elevación "a" y divisa sus pies con un ángulo de depresión "b". Calcular: P = tana . cotb a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 0,9
c) 0,6
16. Un turista observa la parte más alta de la catedral de Lima con un ángulo de elevación "q". Al avanzar una distancia igual al doble de la altura de la catedral en dirección a ésta, observa el punto anterior con un ángulo de elevación "a". Calcular: M = cotq – cota a) 0,5 d) 2
b) 1 e) 3
c) 1,5
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. El frontón, también conocido como la Isla del Muerto, fue usada por los nativos, españoles y piratas pero en menor grado que San Lorenzo. En su etapa republicana ha sido usada principalmente como presidio. Ahí se encontraban ladrones, criminales avezados, presos políticos y otros. Famosos presos del penal del frontón fueron el ex–presidente del Perú, Fernando Belaunde Terry; el ya fallecido Pedro G. Beltrán quien fuera director del ya desaparecido diario LA PRENSA; el desaparecido literato Sebastián Salazar Bondy; y el ya fallecido Guido Monteverde, personalidad de la televisión y farándula peruana. Central: 619-8100
Unidad III
51
Ángulos verticales
El penal ha sido clausurado y reabierto varias veces. Luego de los motines de junio de 1986, el penal fue definitivamente clausurado. En ese entonces la vigilancia del penal era realizada por helicópteros a 900m sobre el nivel del mar y con ángulos de depresión de 45° y 37° respectivamente al puerto del Callao y el frontón. Determinar la distancia de separación del Puerto y el Frontón
18. El Cerro San Cristóbal está ubicado a 400 m sobre el nivel del mar y brinda a sus visitantes la posibilidad de contemplar Lima de una sola mirada. De noche impresiona la cruz iluminada de 20 m de altura que, imponente, custodia a los limeños hace 71 años. Desde este mirador maravilloso podemos ver las playas de Chorrillos ubicadas a 20 km aproximadamente con un ángulo de depresión “a”. Determinar la medida aproximada de “a”.
¡Tú puedes! 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos acercamos una distancia "x" y el ángulo de elevación es ahora de 45°, pero si nos acercamos una distancia "y" x adicional, el ángulo de elevación es ahora el complemento de "a". Hallar: y a) tana
b) cota
c) tan2a
d) cot2a
e) seca . csca
2. Se tiene un terreno en forma de un triángulo rectángulo. Si denotamos los vértices por "A", "B" y "C" (B = 90°), se observa que desde "A", "M" y "C" (AM = MC) los ángulos de elevación para un poste cot2a + cot2q vertical levantado en "B" son "a", "b" y "q, respectivamente. Calcular: L = ; si: "A", "M" cot2b y "C" son colineales. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 3. Desde un punto del suelo se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "90° – a". De esa ubicación nos alejamos subiendo una pendiente de 45°, hasta ubicarnos a una altura "h" del suelo; de donde divisamos lo alto de la torre con un ángulo de elevación " a". Si la altura de h la torre es "H"; hallar: . H a) 1 + tana
b) 1 – tana
c) 1 + cota
d) cota – 1
e) cota + tana
4. Una hormiga ubicada en el suelo de un cuarto de forma paralelepípeda divisa las partes superiores de una de las paredes con ángulos de elevación "q" y "90° – q"; notándose además que las horizontales trazadas para dichas observaciones forman un ángulo "f". Si la base de la pared es 2 veces la altura tanq + cotq de la pared, hallar: L = 2 + cosf . a) 2 Colegios
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TRILCE
b) 2
c) 2 2 d)
2 2
e) 4 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
5. Se tienen dos postes AB y CD ("A" y "C" en el piso) y una persona entre ellos, divisa "B" y "D" con ángulos de elevación complementarios y "A" y "C" con ángulos de depresión "a" y "b", respectivamente. Si el ángulo de elevación de la persona hasta "B" es "q" y además AB = b, CD = c y la persona mide "a", hallar: L = (cota + cotq)(cotb + tanq) 2 2 a) ab b) ac c) bc d) bc2 e) b c c b a a a
2
18:10:45
Practica en casa
2. Desde lo alto de una torre de 24 m de altura se divisa un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45°. Determinar la distancia de separación del punto al pie de la torre.
8. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en las mismas direcciones, con ángulos de depresión "a" y "b". Si la altura del faro es "h", halle la distancia que separa a los barcos.
3. Determinar el ángulo de elevación en el gráfico.
9. Desde un helicóptero que se encuentra a una altura "H" se observan dos puntos en tierra, "A" y "B" con ángulos de depresión "a" y "b" respectivamente. Determinar la distancia entre "A" y "B", si además dichos puntos están a distintos lados respecto al helicóptero, pero en el mismo plano vertical.
45 ec 2s
2tan45°
7. Desde lo alto de un acantilado de altura "H", se observa una embarcación con un ángulo de depresión "b". ¿A qué distancia se encuentra la embarcación del acantilado?
°
1. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste de 15 m de altura, con un ángulo de elevación de 37°. Determinar la distancia de la línea visual.
10. Determinar el ángulo de depresión del gráfico.
q
f
4. Determinar el ángulo de depresión en el gráfico.
b
24
45 m 25 60 m
5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53° y luego se ve su parte baja con un ángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? 6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja de un árbol con ángulos de depresión de 45° y 53° respectivamente. Si la altura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol. Central: 619-8100
11. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°. Al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro. 12. Dos edificios de alturas "H" y "h" (H > h) están separados una distancia "d". Desde el punto más alto del edificio de altura "H", se observa la parte más alta y más baja del otro edificio con ángulos de depresión de 30° y 60°, respectivaH+h mente. Halle: H–h Unidad III
53
Ángulos verticales
13. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él con un ángulo de depresión "a"; después de que el móvil recorrió "L" está ubicado al otro lado del poste y ahora el ángulo de depresión es "b". Hallar la altura del poste.
Colegios
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TRILCE
14. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Al avanzar una distancia igual a su altura nuevamente se observa al edificio con un ángulo de elevación 45° y si avanzamos ahora 2/3 de la altura del edificio por última vez se observa al edificio con un ángulo de elevación "q". Calcular "tanq".
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UNIDAD IV
Ubicándonos en el plano
R
René Descartes
ené Descartes (La Haye, Francia 1596–Estocolmo, Suecia 1650) Escritor, matemático y filósofo del famoso “Discurso del método”. Es quien en forma definitiva introduce el empleo de las últimas letras del alfabeto (x, y, z) para representar las incógnitas, y las primeras letras del alfabeto (a, b, c, ...) para representar las cantidades conocidas, en su inmortal “Geometría” (1637). En este libro considera ya el uso de los exponentes como índices superiores. Pero hay otra contribución invalorable, que ha dado a Descartes, una magnitud muy especial en la construcción del edificio matemático: El plano cartesiano empleado para representar puntos, funciones y demás paradigmas matemáticos de gran importancia como las funciones trigonométricas.
Comunicación matemática •
Reconocer la ubicación de un ángulo en un determinado cuadrante e identificar los signos de las razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
Análisis y demostración •
Demostrar el modo de calcular las razones trigonométricas de ángulos en posición normal y cuadrantales.
Resolución de problemas •
Resolver problemas con pares ordenados y situaciones con signos en los cuadrantes.
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
En este capítulo aprenderás a ubicar ángulos en diferentes cuadrantes y trabajos con el signo y valor numérico de sus razones trigonométricas.
Signos más y menos Los signos más (+) y menos (−) son usados para identificar números positivos o negativos, respectivamente. Además son los que representan la adición y la sustracción. Más proviene de maes, y menos del latín minus.
Historia Aunque los signos son similares al alfabeto o a los números hindo–arábicos, no son de gran antigüedad. Por ejemplo, los signos de adición y sustracción de los jeroglíficos egipcios eran similares a dos piernas. El símbolo al revés indicaba sustracción:
o Por otro lado, durante el siglo XV eran utilizados en Europa las letras P y M (por los términos en latín plus y minus). Colegios
56
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Los inicios de los símbolos actuales provienen, al parecer, del libro "Behende und hüpscheenung auff allen Kauffmanschafft" (Aritmética Mercantil) escrito por Johannes Widmann en 1489, utilizado para indicar excesos y déficit, aunque de acuerdo al sitio web Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Los usos más tempranos de varios símbolos matemáticos, en inglés), un libro publicado en 1518 por Henricus Grammateus usaría por primera vez los signos + y −.
1
El + es una simplificación del latín "et" (comparable con &), mientras, se cree, que el − proviene del tilde que era escrito sobre la letra m al utilizar muchas veces este símbolo para indicar sustracción. Robert Recorde, el creador del signo igual, introdujo los signos más y menos a Reino Unido en 1517 por medio de su libro The Whetstone of Witte, donde escribió: "Hay otros dos signos que pueden ser usados: +, utilizado en la adición, y −, ocupado en la sustracción"
Sabías que... Las operaciones que se realizan con el signo (+ ó –) tienen muchas observaciones y a veces debemos cuidarnos de no equivocarnos, aunque sus operaciones parecen tan simples, lo más conocido de estas operaciones son: (+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–) (+) + (+) = (+) (–) + (–) = (–) (+) + (–) = ?
Observamos que al multiplicar números de un mismo signo el resultado siempre es positivo pero si tienen diferentes signos el resultado siempre es negativo.
¿Podrías decir qué sucede en estos casos? ¿Cómo podríamos determinar el signo en el último caso?
Conceptos básicos Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud I Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se puede determinar de forma aproximada, dibujando el ángulo en una posición tal que su vértice esté en el origen de coordenadas y uno de sus lados coincida con el eje de abscisas positivas. Esta posición se llama normal y para dibujarla solo se requiere utilizar una regla, un compás y un transportador. En virtud al concepto de un ángulo en posición normal, la trigonometría se anexa al cálculo superior.
Posición de un punto en un plano cartesiano Un punto se determina en el plano cartesiano mediante dos valores (x;y) que son distintos a los ejes. Las distancias se conocen hoy con el nombre de coordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendiculares entre sí reciben el nombre de ejes. Al eje horizontal se le conoce como eje “X”, al eje vertical como eje “Y” y su punto de intersección como origen. Dichos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes.
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y
Cuadrante II
Cuadrante I
x
O Cuadrante III
Cuadrante IV
Unidad IV
57
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
Observación Los cuadrantes se enumeran siempre en el sentido antihorario. y abscisa de P abscisa de Q
ordenada de P
Las medidas se consideran negativas cuando se toman hacia la izquierda del eje horizontal o hacia abajo del eje vertical.
P
R
ordenada de S
Q
ordenada de R
•
Las medidas se consideran positivas cuando se toman hacia la derecha del eje horizontal o hacia arriba del eje vertical.
ordenada de Q
•
abscisa de S
x
S
abscisa de R
En un sistema de coordenadas rectangulares el origen es el punto de intersección de los ejes. •
En la siguiente figura se muestra un sistema de coordenadas rectangulares en donde se visualizan las rectas "x" e "y", que definen un plano geométrico de puntos. y
y
y
4 3 2 –2 –1
1
1
2
3
0 –1
–2
abscisa P(x; y)
4
ordenada
2
(2; 4) (4; 2)
4 x
x
0
2
4 x
origen
Radio vector El radio vector se define como el segmento de recta que tiene por extremos al origen "O" y un punto "P" del plano cartesiano.
Colegios
58
r2 = x 2 + y 2 r
O
TRILCE
P(x; y)
y
x
⇒ r = x2 + y 2
y x
(r > 0)
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Ejemplo:
•
1
Calcular la longitud del radio vector del punto A(–2; 3). Resolución: rA =
(–2)2
+
32
y
⇒ rA = 13
3
A(–2; 3)
rA x
–2
Ubicación de un ángulo en posición normal (canónico o estándar) – Su lado inicial coincide con el semi–eje positivo de abscisas. – Todo ángulo en posición normal está ubicado en el cuadrante donde se posiciona su lado final. lado final de "a" y a ∈ IIC
a Lado final de "b" b ∈ IIIC
lado inicial x
b
•
El lado final de "a" se posiciona en el IIC por lo tanto "a" también se ubica en el segundo cuadrante.
•
El lado final de "b" se posiciona en el IIIC por lo tanto "b" también se ubica en el tercer cuadrante.
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal Sea "q" un ángulo trigonométrico en posición normal, (x; y) un punto de su lado final y "r" (r > 0) la longitud de su radio vector, entonces las razones trigonométricas de "q"; se definen como sigue: y (x; y)
y
r
y r
cscq =
r y
cosq =
x r
secq =
r x
tanq =
y x
cotq =
x y
q x
Central: 619-8100
senq =
x
Unidad IV
59
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
Ejemplo:
•
A partir del gráfico, calculemos todas las R.T. de "q". y
(–5; 12)
x
(–5; 12) 13
y
y r
q
q x
x
•
senq =
y 12 = 13 r
•
cotq =
5 x =– 12 y
•
cosq =
5 x =– 13 r
•
secq =
13 r =– 5 x
•
tanq =
12 y =– 5 x
•
cscq =
13 r = y 12
Signos de las razones trigonométricas Un estudio de las distintas combinaciones de signos entre la abscisa "X" y la ordenada "Y" para determinar las razones trigonométricas de los ángulos en posición normal, permite descubrir un conjunto de regularidades. –+ (x; y)
y + r
+ r
x – – (x; y)
+ r
+ r
y
++ (x; y) sen; csc (+)
Todas las R.T. (+)
tan; cot (+)
cos; sec (+)
x
+– (x; y)
IC IIC IIIC IVC
sen cos tan cot sec csc + + + + + + + – – – – + – – + + – – – + – – + –
Analizando este cuadro se puede comprobar que la R.T. y su R.T. recíproca poseen signos iguales en un mismo cuadrante. Ejemplos:
1. Determinemos los signos de algunas razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 40° ∈ IC ⇒ cos40° es (+)
b) 100° ∈ IIC ⇒ tan100° es (–)
c) 250° ∈ IIIC ⇒ cot250° es (+)
d) 310° ∈ IVC ⇒ sec310° es (+)
sen111° . cos222° ? tan333°
2. ¿Qué signo tiene M = • sen111° es (+)
Reemplazando: M =
Colegios
60
TRILCE
• cos 222° es (–)
• tan 333° es (–)
(+) . (–) =+ (–)
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Síntesis teórica
Problemas resueltos 1. Si el punto P(–3; 2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "q", calcular: A = senq . cosq
Resolución: Graficando: Se observa que:
y 2
P(–3; 2) r
x = –3 y=2
q
⇒A= –3
x
2 13
⇒ r = 13 –3 ⇒A= –6 13 13
2. Si: senb > 0 ∧ cosb < 0; entonces "b" pertenece al:
Resolución:
senb > 0 ∧ cosb < 0 ↓ ↓ (+) (–) ↓ ↓ b ∈ IC ó IIC ∩ b ∈ IIC ó IIIC
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⇒ b ∈ IIC Unidad IV
61
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
3. Si: cosb =
Resolución: cosb =
1 ("b" ∈ IVC), calcular: tanb. 3
Por lo tanto: tanb =
x=1 ⇒ y = –2 2 r=3
y 2 =–2 = –2 2 1 x
4. Señala el signo de: Q =
x (+) y (–) ⇒ r (+)
1 x = ("b" ∈ IVC) 3 r
tan200° . tan280° sen190° . cot350°
Resolución: i) 200° ∈ IIIC ⇒ tan200° es (+) ii) 280° ∈ IVC ⇒ tan280° es (–) iii) 190° ∈ IIIC ⇒ sen190° es (–) iv) 350° ∈ IVC ⇒ cot350° es (–) Por lo tanto: Q =
(+)(–) → ∴ Q= (–) (–)(–)
5. Si: tanq = 2 + 2 + 2 + ... (p < q <
3p ), calcular: K = 5 secq + tanq 2
Resolución:
En la condición: tanq = 2 + 2 + 2 + ... : tan2q = 2 + 2 + 2 + ... ⇒ tan2q – tanq – 2 = 0 1442443 tanq
Eliminando el 1er.
(tanq – 2)(tanq + 1) = 0
Pero: q ∈ p;
i) tanq = 2 ii) tanq = –1
–2 y 3p ⇒ q ∈ IIIC ∧ tanq es (+) ⇒ tanq = 2 = = –1 x 2
Graficando: y
y=–2
x=–1
Colegios
62
TRILCE
q
5
x
Nos piden: K = 5 secq + tanq = 5
5 +2→K=–5+2⇒K=–3 –1
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Trigonometría Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica lo comprendido 1. Del gráfico, calcula "senq"
3. Del gráfico, calcula "tanq" y
y
(–3; 6)
q
x
q (5; –1)
2. Del gráfico, calcula "cosq"
x 4. Del gráfico, calcula "cotb" y
y
(4; 7) x
b
q
x
(–3; –4)
5. Indica a qué cuadrante pertenece cada ángulo: •
Si: cosq > 0 ∧ senq < 0
q∈
•
Si: secb > 0 ∧ cscb > 0
b∈
Aprende más... 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = csca + cota
2. Del gráfico mostrado, calcular: E = secq + tanq y
y
a x
(x; 5) 13
q x
(–7; –24)
3 4 4 d) – 3
a)
Central: 619-8100
3 b) – 4 3 e) – 2
c)
4 3
3 2 3 d) – 4
a)
3 b) – 2 4 e) – 3
c)
3 4
Unidad IV
63
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
3. Si el punto P(– 4; 1) pertenece al lado final de un ángulo canónico "q", calcular: M = 17 senq + 8tanq. a) 1 d) 2
b) – 1 e) 4
q
b) 0 e) –2
(k + 1; –3)
a) –5 d) –4
b) –7 e) –6
c) –9
c) –4 9. Señale el signo de:
25 a) –1 b) –2 c) – 24 25 7 e) – d) 24 7
a) (+) d) (+) y ( – )
sen140° – cos200° tan110°
b) ( – ) c) (+) ó ( – ) e) No se puede precisar
11. Señala el signo de:
2
a 0
b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede determinar
10. Señala el signo de: J =
6. Del gráfico, halle: M = 13 cosa – 6tana. y
M = sen140° . cos224° cot 340° a) (+) d) (+) ó (–)
J = (tanq + cotq) senq
–3
x
(k + 3; –2)
5. Si el punto P(– 24; 7) pertenece al lado final de un ángulo canónico "q", calcular:
y
c) – 2
4. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal "q" pasa por el punto M(– 1; 2), hallar el valor de: E = 5 senq + tanq a) 4 d) 2
8. Del gráfico mostrado, calcula “k”
P=
sen112° . cos325° tan44° . sen448° + tan348° cot102°
a) + d) (–) y (+)
x
b) – c) (+) ó (–) e) No se puede determinar
a) 0 d) –2
b) –1 e) 2
c) 1
7. Del gráfico mostrado, calcular: tanq + cotq y
a) IC d) IVC
2 5
q x 5 2 3 d) – 2
Colegios
64
TRILCE
5 b) – 2 1 e) – 2
c)
a) IC d) IVC
b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal
13. Si: tanq < 0 y cosq > 0, ¿en qué cuadrante está “q”?
(a + 1; 1 – a)
a)
12. Si: cscq > 0 y secq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"?
3 2
b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal
14. Si "q" pertenece al tercer cuadrante y "a" pertenece al cuarto cuadrante, determinar el signo csc θ sec θ ctgα de: senα + tgα a) (+) d) (+) y (–)
b) (–) e) Absurdo
c) (+) ó (–)
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Trigonometría Razonamiento Matemático
15. En el gráfico: AB = BC, calcula "cota" y
16. Del gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcular: tanq + cotb.
q B
C
A
a
b x
B
a) tan2q d) tanq + 1
y
D
A
C
b) 1 – tanq e) –1 – cotq
1
c) 1 + cotq
a) –1 1 d) 2
x
q
b) 2 1 e) – 2
c) –2
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Las medidas de la cancha del Estadio Monumental son de 70 m × 105 m. Si lo llevamos a un plano cartesiano y trazamos un ángulo canónico que pase por el punto del córner de la tribuna norte llamado “q”, hallar: tanq
Norte y
q x
Sur 18. Un profesor en su trabajo de investigación invita a trabajar a Danielito el alumno más aplicado y le dice que vaya avanzando con el siguiente esquema. Coloca en los recuadros de la izquierda en qué cuadrantes la expresión es menor que cero, y a la derecha en que cuadrantes la expresión es mayor que cero. A lo cual Danielito acató. Llenar el siguiente recuadro tal y como lo hizo Danielito.
Cuadrante
Expresión
Cuadrante
senx(1 – cosx)
¡Tú puedes! 1. Siendo "q" un ángulo en posición normal del IIC, calcular el valor de: P = 2senq – 3 secq, sabiendo que se cumple: 3 1 –1,5secq = + 2 1 4+ 1 3+ 1 4+ 3+ (∞ términos) a) –2 Central: 619-8100
b) –3
c) 2
d) 3
e) 4 Unidad IV
65
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I
2. Si: (cosq)– 1 = – 3,6666... y cotq > 0, hallar el valor de: M = 3tanq + 11senq 2 11 a) 0 b) 1 c) d) e) 4 7 3 3 3. Con los datos de la figura, calcular: cot–1b – csca. y
(–8; 6)
b x
a
a) –4
b) 2
c) 3
d) –5
1 2
e)
4. Sabiendo que en la condición: tanf = tanq + 4cotq (q ∈ IIC), "tanf" adopta su máximo valor posible (f ∈ IVC), calcular el valor de: L = 17senf – 5 senq. a) 4
b) –4
c) 6
d) –6
e) –8
5. Del gráfico, calcular: M = tana – tanb + tana . tanb y
a
b
x
a) 1
b) –1
c) 2
d) –2
e) – 2 18:10:45
Practica en casa 1. Indica qué ángulo se encuentra en posición normal. y I.
y x
y III.
Colegios
66
TRILCE
x
II.
2. Si el punto (– 1; 3) pertenece al lado final del ángulo canónico "a", calcular:
x
M = 10 seca – tana
3. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo canónico "a", calcular el valor de: E = 5cosa + 6 tana. 4. Si el lado final de un ángulo canónico "q" pasa por el punto (–3; 5), calcular: J = 5cotq + 34 cosq www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
5. Si el punto P(– 1; – 7) pertenece al lado final del ángulo en posición normal "a", calcular:
Q = sena . tana . seca
6. Del gráfico mostrado, calcule el valor de: W = senq . cosq y
q
0
x 6 (a; –a 2)
7. Del gráfico mostrado, calcular: M = secb – tanb y
10. Señala el signo de:
M = sen140° . cos220° – tan190°
11. Si "q" pertenece al tercer cuadrante y "a" pertenece al cuarto cuadrante, determinar el signo senθ cos θ tgα de: csc α + ctgα 12. Si: secq > 0 ∧ tanq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"? 13. Si: senq < 0 ∧ ctgq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"? 14. Del gráfico, calcular: tanq (AB = BC). y A
b
C 45°
x 15 (a; – 9)
8. Señale el signo de:
M=
B
y
sen340° . cot124° cos316° 37°
A = (tan250° – cos100°)csc340°
Central: 619-8100
x
q
15. Del gráfico mostrado, calcule "tanq"
9. Señale el signo de:
1
q
x
Unidad IV
67
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II
En este capítulo aprenderás a trabajar con ángulos múltiplos de 90° llamados cuadrantales y también con ángulos coterminales.
Operaciones matemáticas con el cero El cero se representa en matemáticas con el símbolo "0". Desde el siglo XX, con el desarrollo de la informática, es frecuente que el 0 aparezca borrado, es decir, con una raya que lo cruza para evitar confundirlo con la letra "o". Por contrapartida, cuando la letra "o" se escribe entre números es pertinente acentuarla: "ó", para evitar confundirla con el signo del número 0. En el conjunto de los enteros Z, el 0 es un número par. Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e. Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler: e ip + 1 = 0
Cero en la suma En la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número sumado con 0 resulta el mismo número. Ejemplo: 25 + 0 = 25
Cero en la multiplicación En el producto, el cero es el elemento «absorbente»; cualquier número operado con 0 da 0. Colegios
68
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Ejemplo: 25 × 0 = 0
2
División por cero En matemática la división por cero es aquella en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y en álgebra, es considerada una indefinición que puede originar paradojas matemáticas. En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee valor definido, debido a que para todo número "n", el producto n . 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor. El problema empezó en la India allá por los años 650, cuando se popularizó el uso del cero, y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara, n quien escribió en el siglo VII que = ∞. 0 •
¿El cero tiene inverso multiplicativo?
•
¿Quién fue el matemático que escribió:
n = ∞? 0
Conceptos básicos Ángulo cuadrantal El ángulo cuadrantal es un ángulo trigonométrico en posición normal cuyo lado final coincide con un semieje. Por definición un ángulo cuadrantal no pertenece a cuadrante alguno. Además, la medida de un ángulo cuadrantal es un múltiplo de la medida de un ángulo recto (90°). Si "q" es cuadrantal ⇒ q = 90°.n; "n" ∈ y
y
0°
x
x
–9
0° 36
0°
0 +9
0°
°
–63
–36
80
°
x
–1
270
0°
0°
7
–2
° 90
°
0 18
y
Observación Los ángulos cuadrantales pueden ser positivos, negativos o de más de una vuelta. En cualquiera de estos casos las medidas de los ángulos verifican la relación anterior.
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales Las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales tienen valores característicos como cero, uno o indeterminado (no determinado = ND), independiente de la longitud del radio vector. Central: 619-8100
Unidad IV
69
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II
Ejemplos:
1. Calculemos las R.T. de 90° y por simplicidad haremos que el radio vector mida 1. El siguiente gráfico muestra un punto perteneciente al lado final del ángulo cuadrantal. y •
(x; y) = (0; 1)
•
r=1
•
x
y 1 = =1 • r 1 x 0 • cos90° = = = 0 r 1 y 1 No tan90° = = = • definido x 0
r 1 No = = definido x 0 r 1 csc90° = = = 1 y 1 x 0 cot90° = = = 0 y 1
sen90° =
sec90° =
Análogamente, se calculan las R.T. de los ángulos cuadrantales cuyas medidas son 0°, 180°, 270° y 360°. Tales valores se muestran en la siguiente tabla: 0°
2. Calculemos el valor de: E =
90° 180° 270° 360°
sen
0
1
0
–1
0
cos
1
0
–1
0
1
tan
0
ND
0
ND
0
cot
ND
0
ND
0
ND
sec
1
ND
–1
ND
1
csc
ND
1
ND
–1
ND
2sen90° – cos180° tan360° – csc270°
Utilizando la tabla anterior, tenemos: E =
2(1) – (–1) 3 = =3 0 – (–1) 1
Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales o cofinales, si sus lados finales coinciden. Ejemplos:
y
y
b
q x
a
"a" y "b" son coterminales
x
"f" y "q" son coterminales y
y
120°
50° x 410° 410° y 50° son coterminales
Colegios
70
TRILCE
f
–240°
x
120° y –240° son coterminales www.trilce.edu.pe
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Propiedad
2
La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas. Si: "a" y "b" son coterminales tal que: a > b entonces se cumple:
a – b = 360.k; "k" ∈ Ejemplos:
1. 750° y 30° son coterminales porque: 750° – 30° = 720° = 2 vueltas 3 2. 2200° y 40° son coterminales porque: 2200° – 40° = 2160° = 4 vueltas 3 3. 500° y (–90°) no son coterminales porque: 500° – (–90°) = 590° ≠ # vueltas 7
Razones trigonométricas de ángulos coterminales Si "a" y "b" son coterminales, entonces se cumple: y y • sena = ∧ senb = ⇒ sena = senb r r •
cosa =
x x ∧ cosb = ⇒ cosa = cosb r r
•
tana =
y y ∧ tanb = ⇒ tana = tanb x x
Análogamente: •
ctga = ctgb
•
seca = secb
•
csca = cscb
Ejemplos:
1. 750° y 30° son coterminales ⇒ sen750° = sen30° 2. 80° y −1000° son coterminales ⇒ cot80° = cot(–1000°) 3. 400° y 20° no son coterminales ⇒ sec400° ≠ sec20° Propiedad Si "a" y "b" son coterminales se cumple que: Rt(a) = Rt(b)
también
Rt(360º.k + b) = Rt(b)
Ejemplos:
•
sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° = 2 2
•
tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0
•
sen125p = sen(124p + p) = senp = 0
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Unidad IV
71
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II
Síntesis teórica
Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E = (cos270°)sen90° –
tan360° + (sec180°)cot270° cos0°
Resolución:
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. 0 E = (0)1 – + (– 1)0 ⇒ E = 1 1
2. Calcular el valor de: M = tan sen cos
p 2
– cos(tan(senp))
Resolución:
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
M = tan[sen0°] – cos[tan0°] = tan0° – cos0° ⇒ M = 0 – 1 ⇒ M = – 1
3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 2480° y el menor de ellos está comprendido entre 304° y 430°.
Resolución:
Como son ángulos coterminales, entonces: a – b = 360°n por condición.
a + b = 2480° ..... (1) a – b = 360°n . ..... (2)
Entonces: 304° < 1240° – 180°n < 430° ⇒
Reemplazando en (1) y (2): a = 2140° Colegios
72
restando: 2b = 2480° – 360°n ⇒ b = 1240° – 180°n
TRILCE
– 810° – 936° b > q), calcular: L = sen a) 2 b) 1 c)
a
3
+ cos
3 2
d)
b
3
+ sen
2
q
3
1 2
e) 3
3. De la figura, calcular: cotb – cscb y (–8; 6)
x
b
a) – 4
b) 2
4. Del gráfico, calcular: K =
c) 3
d) –5
e) –3
(4sena + |senq|)(2|csca| + cscq) (3|tanb| + tanf)(3|cotf|+ 2cotb) y
a q
b
x
f
a) 1
b) 1,5
c) –1
5. Si "a" es agudo y "b" ∈ IIIC; también: sena =
d) –1,5
e) –2
tanb , además "sena" asume su máximo valor. tan2b + 2
Calcular: K = cot2a – 3 secb a) – 3
b) – 2
c) 3
d) 4
e) 10
18:10:45
Practica en casa 1. Indica si son verdaderos (V) o falsos (F) las siguientes proposiciones: •
sen180° = – 1.................................. (
)
•
cos90° = 0 ...................................... (
)
•
tan2p = 1.......................................... (
)
•
csc270° = – 1.................................. (
2. Calcular: R = Central: 619-8100
sen90° – cos180° + 2sec0° cos360°
)
sec2p – sen 3. Calcular: R =
4. Si: x =
p 2
p
3p + cos0° 2
tan – cosp 4
rad, hallar: M = 3sen3x + 4cos2x
5. Calcular: J =
cos360° + sen90° – 0,5sen270° sen270° – cos270° + 4cos90° Unidad IV
75
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II
6. Reducir:
M=
(a +
b)2sec360°
b)2cos180°
+ (a – 2ab.csc270°
7. ¿Cuántos ángulos cuadrantales hay en el intervalo de 1020° a 2150°?
12. Sabiendo que "a" y "b" son coterminales, simplificar: senb + cotb . tana R= sen(360° + a) 13. Del gráfico, calcular: cos a – b + 5sena 2 y
8. Señale el valor de: 3π 2 π 2 `2 cos π - sen 2 j + `3 cos π - sen 2 j Q= 2senπ - cos 2π
a
9. Si: f(x) = cos4x – sen2x + sec8x
b
calcular: f( p ) 4
10. Dos ángulos coterminales suman 960°, siendo positivos, determine el mayor valor que puede tomar uno de ellos, si es menor de una vuelta. 11. Del gráfico, hallar el valor de:
x
P = cota – cotb – cot a – b 4
(– 3;– 4)
14. Si "a" y "b" son ángulos coterminales que están en la relación de 6 a 4 y que el mayor ángulo está comprendido entre 1600° y 2500°, calcular el menor ángulo. 15. Calcular: M = senx + cosx – 1
y
(-12; 5)
a x
b
Colegios
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Repaso
3
Aprende más... 1. De acuerdo al gráfico, calcule "x"
6. Sabiendo que: (7x + 7)g = 7x°, calcule:
C = sen5x° . tan8x° . tan2x° a) 1
a
x
d)
q
a) 90° – a – q c) – 90° – a – q e) 90°+a+q
b) 90°+a – q d) – 90°+a – q
b)
2 2
1 2
e)
c)
3 2
6
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C"), se cumple que: tanA = 4tanB. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. 5 b) 2 2 5 1 1 d) e) 2 4
2. De acuerdo al gráfico, calcule: tan(2x – 3y)°
c) 1 5
a)
5yg 8. Si: sec37° + tan260° = 2secq
3x°
a) 1 b) –1 d) – 3 e) 3 3 3. Determine: sen 1 2 d) 3 2
a)
p
c) 3
1 2 a) b) 3 3 4 5 e) d) 3 3
rad + 10g
5
b) 1
calcular: P = cscq + cotq
c)
3 5
2 2
9. Del gráfico, calcular: tanx . tany D
e)
y
4. Determine: tan 2p rad + 2° + 20g 9 a)
b) 1
3
24 d) 7
c)
4 3
7
e)
b) 3 c) 3
Central: 619-8100
e) 2 –
C
3 3
5. Sabiendo que: (x + 1)° = (x + 2)g, calcule: tan(2x – 1)° a) 1 d) 2 +
c) 1
3 3
A
x
a) 15 b) 15 e) d) 2 15 15
3 5 5 15 3
B c) 2 5 5
3 Unidad IV
77
Repaso
•
10. En el gráfico, hallar "x"
Completar:
14. Se denomina ángulo cuadrantal a aquel ángulo en cuyo lado final se eny se escribe de la forma cuentra en donde "K" ∈ .
m
15. La diferencia de dos ángulos coterminales es siempre de la forma x
q
a) m tanq senq c) m tanq secq e) m senq cosq •
16. El seno y el coseno tienen el mismo signo en y .
b) m cotq cosq d) m cotq cscq
17. Según el gráfico, podemos afirmar:
Indicar si el siguiente enunciado es verdadero (V) o falso (F), según lo siguiente:
•
sena=
•
a – b=
•
cota – cotb= y
11. x – y = m(secq – cscq) ...........................( )
b x
a m
x
q
y
12. El área del triángulo mostrado es:
S=
18. Complete para un ángulo en posición normal "g" que pasa por el punto Q(x; y)
m2 tanq ............................................ ( ) 2
q m
•
seng=
•
tang=
•
secg=
19. Demostrar que: cota = –
b a
y 13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del piso 8 de un edificio con un ángulo de elevación "a"; mientras que la parte baja del piso 5 es divisada con un ángulo de elevación "90° – a". Calcular: tana. 2 a) 1 b) 2 c) 3 2 d) e) 2 3
a x (a; b)
20. Demostrar que:
m2Senp + 2mnCos3p – n2Cscp 2 2 2 mCos0° + mnTgp + nSecp
Colegios
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=m+n
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3
¡Tú puedes! 1. Del gráfico, hallar "x", en función de "L" y "q" B
q x 45°
A
D
C
L
a) L (senq + cosq)–1 2
b) L (senq + cosq)–1 2
d) L(senq + cosq)–1
e) L 2(senq + cosq)–1
c) L (senq - cosq)–1 2
S 2. Del gráfico, hallar 1 , en función de "q" S2
C S1
q q
A
a) sen2q
b) cos2q
D S2
c) tg2q
B
d) ctg2q
e) sec2q
3. Determinar el signo de "S" en cada uno de los cuadrantes (I, II, III, IV). S = cotx + senx – cscx.
IC
IIC
IIIC
IVC
a)
+
+
+
+
b)
+
–
+
+
c)
+
–
+
–
d)
–
+
–
+
e)
+
+
–
–
p2 – q 2 4. Dado: cosx = – 2 (p > q > 0). p + q2
Calcular "tanx", estando "x" en el segundo cuadrante. 2pq a) – 2 q – p2
b)
2pq 2 2 q –p
2 pq c) – 2 q + p 2
d)
2 pq q2 + p 2
q2 – p 2 2 2 q +p
e)
5. Si "a" es un ángulo del tercer cuadrante, tal que: 1 + cot2a = 8, calcular: (8seca)3. a) 83 63
Central: 619-8100
b) –
83 83 c) 63 63
d) –
83 3 63
e) –
84 63 63 Unidad IV
79
Repaso
18:10:45
Practica en casa 9. Hallar "x", si: tan(3q + 10°) = cot(2q + 5°)
p rad + 100g + 720° 1. Reducir: P =
2
p rad – 6° 5
2. Reducir: N =
20 x
5a°2a' 4a'
3. Del gráfico, calcular: J = 5cosf + 6cosb
q
10. Hallar "x" en el gráfico:
5
6
m A
b
a x
f 9
b
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C"), ¿a qué es igual: E = a.tanB + b.secA – c.cosA? 5. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). Calcular: P = a . tanC – c . senA . cscC + a 6. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo. 2x
x
+
7. Dado que: senq =
2
tan45° ∧ q ∈ 〈0°; 90°〉. 2
Calcular: M = 2cosq + 3 8. De la figura tanq + 3tana.
a
Colegios
TRILCE
que
C
11. Si el punto P(– 5; 12) pertenece al lado final del ángulo canónico "q"; calcular: K = secq – tanq 3 (f ∈ IIC), calcular: 5 K = secf + tanf
12. Si: senf =
13. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ángulos congruentes miden "q" cada uno. Halle uno de los lados congruentes.
3x – 2
80
B
se
muestra,
45°
q
calcular:
14. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7, si su diferencia está comprendida entre 1200° y 1500° 15. Subiendo por una colina inclinada un ángulo "a" respecto a la horizontal se divisa lo alto de una torre de altura "h" con un ángulo de elevación "2a". Si avanzamos una distancia "2h" y el ángulo de elevación es "3a", hallar "sena"
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UNIDAD UNIDADIII V
¡Reduciendo es más fácil...! Al comparar un taxi y un bus se observa que el tamaño es importante para facilitar un buen desplazamiento. Si se reduce el parque automotor sería más fácil evitar la congestión vehicular en las principales avenidas de Lima. De igual modo, al reducir la magnitud de los ángulos es más fácil encontrar el valor de sus razones trigonométricas. Comunicación matemática •
Reconocer y relacionar los valores numéricos de las R.T. de ángulos no agudos.
Resolución de problemas •
Resolver problemas donde se aplican todos los casos de reducción.
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas •
Demostrar expresiones donde se debe reducir ángulos al primer cuadrante.
Reducción al primer cuadrante I
Reducción al primer cuadrante I Conceptos básicos Definición Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo no agudo, en función de un agudo. R.T.(a) "a": no agudo
R.T.(b) "b": agudo
Casos 1. Ángulos positivos mayores de 90º y menores que 360º
Si tenemos que calcular: R.T.(q), usamos el siguiente criterio: Si: q ∈ IIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(180º – q) Si: q ∈ IIIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(q – 180º) Si: q ∈ IVC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(360º – q) El signo (±) dependerá del ángulo original "q" y de la R.T. pedida. Por ejemplo, calculemos: •
⇒ sen120° = 3 sen 120º 123 = + sen(180º – 120º) = sen60º 2 IIC
•
3 tan 240º 123 = + tan(240º – 180º) = tan60º ⇒ tan240° = IIIC
•
3 tan 300º 123 = – tan(360º – 300º) = – tan60º ⇒ tan300° = – IVC
•
1 sen 210º 123 = – sen(210º – 180º) = –sen30º ⇒ sen210° = – 2 IIIC
•
3 cos 150º 123 = – cos(180º – 150º) = –cos30º ⇒ cos150° = – 2 IIC
•
2 sec 225º 123 = – sec(225º – 180º) = – sec45º ⇒ sec225° = – IIIC
•
cos 315º 123 = + cos(360º – 315º) = cos45º IVC
⇒ cos315° = 2 2
2. Ángulos mayores que 360º
Si tenemos que calcular: R.T. (q) > 360º, usamos el siguiente criterio: R.T.(q)
R.T.(a)
q
α
↓
Residuo: a
Esto es posible porque "q" y "a" van a resultar ángulos coterminales. Colegios
82
360° q
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Por ejemplo, calculemos: •
sen 1500º = ?? 1500° 360° 1440° 4 60°
•
1
sen1500º = sen60º ⇒ sen1500° = 3 2
cos1200º = ?? 1200° 1080° 120°
360° 3
cos 1200° = cos120º = – cos(180º – 120°) 1 ⇒ cos 1200° = – cos60° ⇒ cos 1200° = – 2
3. Ángulos negativos En este caso aplicamos:
sen(–q) = – senq
csc(–q) = – cscq
cos(–q) = cosq
sec(–q) = secq
tg(–q) = –tgq
ctg(–q) = – ctgq
Por ejemplo: 1 2
•
cos(– 60°) = cos60° =
•
sen(– 30°) = – sen30° = –
•
tan(– 45°) = – tan45° = –1
1 2
Síntesis teórica
Central: 619-8100
Unidad V
83
Reducción al primer cuadrante I
Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E =
sen300° tan315°
Resolución: IVC 678 sen 300° = – sen(360º – 300º) = – sen60° = – 3 2
Además:
IVC 678 tan315º = – tan(360º – 315º) = – tan45º = – 1
– 3 2 ⇒E= 3 Reemplazando: E = –1 2
2. Si: cos10º = a, ¿a qué es igual: E = sen100º.cos190º?
Resolución: IIC sen 100° = sen(180º – 100º) = sen80° = cos10° = a 678
IIIC cos 190° = –cos(190º – 180º) = – cos10° = – a 678
Reemplazando: E = (cos10º)(– cos10º) ⇒ E = – a2
3. Simplificar: E = (k – 1) sen450º + (k + 1)cos900º
Resolución: 450° 360°
360° 1
90° Residuo
⇒ sen450º = sen90º = 1 Reemplazando en "E":
E = (k – 1)(1) + (k +1)(–1) ⇒ E = k – 1 – k – 1 ⇒ E = – 2
360° 2
180°
Residuo
⇒ cos900º = cos180º = – 1
4. Calcular: E =
900° 720°
sen(– 120°) tan(– 135°)
Resolución: IIC sen(– 120°) = – sen 120° = – sen(180º – 120º) = – (+ sen60°) = – 3 2 678
IIC tan(– 135°) = – tan 135° = – tan(180º – 135º) = – (– tan45°) = + 1 678
– 3 2 ⇒E=– 3 Reemplazando: E = 1 2 Colegios
84
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica lo comprendido 1. Calcular: sen150º
4. Calcular: sen1830º
2. Calcular: cos240º
5. Hallar "x" en:
3. Calcular: C = 2sec(– 60º) . csc(– 53º)
3x.sec233º + tan315º=x.cot(– 45º) + 3 sec1860º
Aprende más... 7. Calcular: cos2400º
1. Calcular: sen150º 1 a) 2 d) – 3 2
1 3 b) – c) 2 2 e) 1
3 b) – 3 c) 3 e) –1
3. Señala el valor de: K = tan315º . sec300º 1 1 a) b) – c) 2 2 2 d) – 2 e) 2 2 4. Señala el valor de: K = tan150º . sen315º 6 4 d) – 6 6
a)
5. Calcular: E = a) 0 d) 2
1 d) – 2
1 b) – 3 c) 2 2 3 e) 2
8. Calcular: D = sec1860º . tan3645º
2. Calcular: tan300º a) 3 3 d) – 3
a) 1
b) – 6 4 e) – 2 4
c) 6 6
sen120° + cos240° + tan150° cot240° – sen210° – cos330° b) 1 e) – 2
c) –1
a) 0 d) 2
b) 1 e) –2
c) –1
9. Calcular: sec(–30º) a) 2
b) – 2
d) – 3 3 2
e) – 2 3 3
c) 2 3 3
10. Calcular: M = tan(– 45º) + sec(– 60º) a) 0 d) 2
b) 1 e) – 2
c) – 1
11. Calcular: L = tan(– 120º) . cos(– 300º) a) 3 2 d) – 3 2 12. Calcular: E = 3 2 d) – 3 2 a) –
1 1 b) – c) 2 2 e) – 2 2 cos240° + sen150° – tan217° tan120° – cot(– 30°) – sen300° b) 1
c) –1
e) –2
6. Calcular: tan1485º a) 1 d) –
1 2
Central: 619-8100
b) –1 2 2
e)
c)
1 13. Si: cos20º = a, ¿a qué es igual "P"? 2 P = cos200º . sen290º a) a d) – a2
b) – a e) – 2a2
c) a2 Unidad V
85
Reducción al primer cuadrante I
14. Simplificar: sen(– 120°).cos(– 210°) + sec(– 300°) E= tan(– 135°) + sec(– 225°) + sec(– 315°) a) –2 d) 2,75
b) –3 e) –1
H = cos
p 30
+ cos
a) –2 d) 2
c) 1
2p 3p 29p + cos + ... + cos 30 30 30
b) 0 e) –1
c) 1
18. Calcular:
15. Reducir: F = cos(cos40º + cos140º) + sen(sen70º + sen290º) a) 1 1 d) 2
17. Calcular:
b) –1 1 e) – 2
c) 0
H = sen
p 30
+ sen
a) –2 d) 2
2p 3p 59p + sen + ... + sen 30 30 30
b) 0 e) –1
c) 1
16. Reducir: F = cos(cos20º + cos160º) + sec(tan20º + tan160º) a) 1 d) 2
b) –1 e) –2
c) 0
¡Tú puedes! 1. Señala el equivalente de tan2001º, utilizando un ángulo del IVC. a) tan321º
b) tan339º
c) – tan339º
d) tan(– 39º)
e) tan291º
2. Calcular: E = cos51º + cos52º + cos53º + ... + cos5179º + cos5180º 1 a) 1 b) 0 c) –1 d) – 2
1 2
e)
2014
3. Calcular: C = S {sen(– 1)kq} k=1
a) 2010
b) 2010senq
c) 2014senq
d) – 2014senq
a–b + sena + senb 3 4. Del gráfico, determine: P = a–b + cosa + cosb 6cos 6
e) 0 y
3sen
b
a) –
1 2
b) –
1 3
c) –
1 4
d)
1 2
a
x
1 3
e)
f 5. Si: f(n) = sen40nº . cos60nº + tan20nº, determine: (3) f(6) a)
1 2
Colegios
86
TRILCE
b) –
1 2
c)
1 3
1 d) – 3
1 e) – 6 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
18:10:45
1
Practica en casa 1. Calcular: csc210º
10. Calcular el valor de: M =
2. Calcular: cot330°
11. Simplificar: sec(– 120°).sen(– 210°) + sec(– 240°) E= cot(– 135°) + sen(– 225°) + sen(– 135°)
3. Calcular: sen1830º 4. Calcular: cot3990º
12. Calcular: tan1920° . cot36135º
5. Calcular: cos(–45º) 6. Calcular: tan(–240°) 7. Calcular el valor de: E =
sen(– 120°) tan(– 135°)
8. Calcular el valor de: E = sec135º . csc150º 9. Calcular el valor de: E = cos150º – sen240º + tan300º
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2cos300° – sen2120° 2tan135°
13. Si: cos50º = k, ¿a qué es igual "E"? sen140°cos130° E= csc320° 4
14. Reducir: P= S {n.cos[(– 1)nq]} n=1
7
15. Hallar: L = S {sen[(– 1)nq]} n=1
Unidad V
87
Reducción al primer cuadrante II
Reducción al primer cuadrante II Conceptos básicos Definición En este capítulo se resolverán casos más genéricos que en los capítulos anteriores, en los que solo nos limitamos a calcular valores en los diferentes cuadrantes. 1. Reducción de: R.T. ap ; a > 2b b
Se procede de la siguiente manera: Residuo ap R.T. b
R.T. a r
↓ rp b
2b q
↓ Residuo
Ejemplos:
Calculemos: •
sen
1743p 2 1743 14 23 3
•
cos
4 435
3273p 4 3273 73 1
1743p 3p sen = sen =–1 2 2
cos
8 409
3273p 1p = cos = 2 4 4 2
2. Reducción de: R.T. (90º . n ± q), n ∈ .
Vamos a distinguir cuatro situaciones básicas: • •
n = 1: R.T. (90º ± q) n = 3: R.T. (270º ± q)
• •
n = 2: R.T. (180º ± q) n = 4: R.T. (360º ± q)
Apliquemos el siguiente criterio: 90°
R.T.(270° ± q) = ± Co – R.T.(q)
180°
R.T.(360° ± q) = ± R.T.(q)
El signo ( ± ) dependerá de la R.T. pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original. Colegios
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Ejemplos:
•
sen (90º + q) = + cosq 14243 IIC
•
cos (180º – q) = – cosq 14243 IIC
•
tan (270º + q) = – cotq 14243 IVC
•
cot (360º – q) = – cotq 14243 IVC
•
sec (270º – q) = – cscq 14243 IIIC
•
sen (360º + q) = + senq 14243 IC
•
cot (90º + q) = – tanq 14243 IIC
•
csc (p + q) = – cscq 123 IIIC
•
tan
•
tan (180º + q) = + tanq 14243 IIIC
p
2
¡Ojo!: siendo "q" agudo
+ q = – cotq 2 123 IIC
90º + q 180º – q 180º + q 270º – q
90º – q 360º + q 270º + q 360º – q
Problemas resueltos 1. Simplificar: E =
tan(270° + x) cot(180° + x)
Resolución: tan (270º + x) = – cotx; además: cot (180º + x) = + cotx 14243 14243 IVC IIIC
Reemplazando: E = tan
2. Simplificar: A =
– cotx ⇒E=–1 + cotx
p 2
– x sec(p – x)sen
3p +x 2
cot(2p – x)
Resolución:
Recordar que: p 180º
Luego: tan
p
– x = + cotx 2 123 IC 3p + x = – cosx sen 2 123 IVC Central: 619-8100
sec (p – x) = – secx 123 IIC cot (2p – x) = – cotx 123 IVC Unidad V
89
Reducción al primer cuadrante II
Reemplazando:
1 6447448 (cotx)(– secx)(– cosx) (cotx)(– secx)(– cosx) A= ⇒ E = –1 = (– cotx) – cotx
3. En un triángulo ABC, reducir: E = tan(A + 2B + C).cot(A + C)
Resolución:
Por ser triángulo ABC ⇒ A + B + C = 180º
Luego: tan(A + 2B + C) = tan(A + B + C + B) = tan(180º + B) = + tanB
cot(A + C) = cot(A + B + C – B) = cot(180º – B) = – cotB
Reemplazando: E = (+ tanB) (– cotB) ⇒ E = – 1
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar el equivalente de: sen(180° + q)
4. Reducir: M = tan(180° – x) . sen(90° + x)
2. Hallar el equivalente de: tan(270° – x)
5. Si: a + q = p, simplificar: A = sena . cscq
3. Reducir: E = sen(180° + x) + sen(180° – x) + tan(90° + x)
Aprende más... 1. Calcular: sen a)
1 2
d) – 2 2
47p 4 b) –
5. Reducir: E = sen(180° + x) + cos(270° + x) 1 2
c)
2 2
1 2
d) – 3 2
1 2 2 e) 2
b) –
a) 1 d) – tan2x c)
3 2
3. Señale el equivalente de: sen(360° – x). a) – secx d) senx
b) secx e) – cosx
c) –senx
4. Señale el equivalente de: cot(90° + x). a) – cotx d) – tanx Colegios
90
TRILCE
b) cotx e) cosx
b) 2senx e) 2cosx
6. Simplificar: M =
e) 1
209p 2. Calcular: cos 6 a)
a) – 2senx d) – 2cosx
c) tanx
c) 0
tan(p + x) . cos(p – x) sen(2p – x)
b) – 1 e) cot2x
c) tan2x
7. Reducir: sec(180° + q) sen(270° + f) M= + csc(90° + q) cos(360° – f) a) – 2 d) 1
b) 2 e) – 1
8. Simplificar: Q = a) 0 d) tanx
c) 0
sen(270° + x) + cos(90° + x) cos(360° + x) + sen(180° – x)
b) – 1 e) cotx
c) 1
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Trigonometría Razonamiento Matemático
14. Del gráfico, calcular: tana
9. Reducir:
2
K = tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q) a) tanq d) – tan3q
b) – tanq e) – tan2q
c) tan3q
10. Si: x + y = 180º; y + z = 270º (y ≠ 90°; z ≠ 90°) senx tany Calcular: A = + seny cotz a) 0 d) 2
b) 1 e) – 2
c) – 1
11. Si: x + y = 180° (x ≠ p; y ≠ p), simplificar: senx 3csc2y D= + seny csc2x a) 4 d) – 2
b) 1 e) – 1
c) 2
45º 1
a) 3 d) –
b) –1 e) –2
c) 0
13. En un triángulo ABC, reducir:
E = senA + sen(B + C) + sen(A + B + C) a) 0 d) – 1
b) 2senA e) 1
c) – 2senA
b) –3
3 2
e) –
2 3
2 c)
3 2
15. Del gráfico, hallar: tanq. (ABCD es un cuadrado) A B
q
12. En un triángulo ABC, simplificar: sen(A + B) D= + tan(A + B + 2C).cot(A + B) senC a) 1 d) 2
a
D
1 a) 2 1 d) 4
37º b) 4
C 1 c) – 4
e) – 4
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Un profesor de trigonometría realiza una sana competencia entre sus seis alumnos más destacados y les pide a cada uno que sume las razones trigonométricas de los ángulos (90º + x), (180º + x), (270º + x) y (360º + x). Al primer alumno le pidió sumar los senos, al segundo los cosenos, al tercero las tangentes y así sucesivamente.
¿Obtuvieron los mismos resultados?
¿Cuántos no obtuvieron el mismo resultado?
¡Tú puedes! p
1. Simplificar: C =
a) 1 Central: 619-8100
sen(133p + q)cot 145 – q 2
p
tan(321p + q)cos 1351 + q 2 b) –1
c) senq
d) tan2q
e) – tan2q Unidad V
91
Reducción al primer cuadrante II
2. Siendo: x – y = p; reducir: C = a) 1
1 + sen(senx) + sen(seny) 1 – cos(cosx) + cos(cosy)
b) 0
3. Reducir: C =
4
c) –1
d) 2
e)
1 2
p
nsen n + q 2 n=1
S
a) senq + cosq
b) 2(senq + cosq) c) 2(senq – cosq) d) 4(senq – cosq) e) 0
n 5 np 4. En el análisis matemático se define: P ak = a1. a2 . a3 ... . an . Reducir: C = P ntan 2 + x k=1 n=1
a) 120
b) 120tanx
c) – 120tanx
d) 120cotx
5. Si se sabe que el área "S" de un triángulo está determinado por: mn senq S= 2
e) – 120cotx
B m A
S
q
n
En el cuadrado ABCD, señala el equivalente de: senb J= senq
C
A
B
a
b
q
C
D a) sena
b) –sena
c) cosa
d) –cosa
e) csca
18:10:45
Practica en casa 1. Calcular: tan251p 3 2. Calcular: sec5417p
6. Señale el equivalente de: cos(270° + x) 7. Señale el equivalente de:
C = 2sen(270º + x) + cos(180º – x)
3. Calcular: cos327p 4
8. Reducir: M = cos(90° – x) . csc(180° + x)
4. Señale el equivalente de: sen(360° + x)
9. Reducir: M =
sen(180° + x) tan(360° – x) + cos(270° + x) cot(90° – x)
5. Señale el equivalente de: sec(360° – x)
Colegios
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Trigonometría Razonamiento Matemático
10. Reducir:
14. En un triángulo ABC, simplifique:
A = sen(90° + b) . sec(180° + b) . tan(270° – b)
11. Simplificar: E =
tan(270° + x) + cot(90° + x) cot(180° + x) + tan(360° + x)
M=
2
senA + sen(B + C) csc(2A + B + C) cos(B + C)
15. Del gráfico, calcular: tanq C
12. En un triángulo ABC, reducir:
E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C)
13. Si: x + y = 180º, reducir:
A = senx.cscx + 4 tanx.coty
A
Central: 619-8100
37º 3
1
q
B
Unidad V
93
UNIDAD VI III
Conociendo los valores máximos y mínimos Padre de la Trigonometría moderna y creador de la circunferencia trigonométrica. Leonhard Euler (1707–1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna e introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas. También popularizó el uso de la letra griega p, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría. Comunicación matemática •
Reconocer el valor máximo y mínimo valor de las líneas trigonométricas.
Resolución de problemas •
Resolver problemas en la circunferencia trigonométrica y demostrar expresiones con las líneas trigonométricas.
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas •
Representar las líneas trigonométricas en la circunferencia trigonométrica.
Trigonometría Razonamiento Matemático
Circunferencia trigonométrica
1
Conceptos básicos Conceptos previos 1. Arco orientado
Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo. Q
b P
A
a B Para "a": B ⇒ origen A ⇒ extremo
P ⇒ origen Para "b": Q ⇒ extremo
2. Circunferencia canónica
Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma: x2 + y 2 = r 2
Donde "r" es el radio de la circunferencia. Ejemplos:
•
Completar:
y
y (0; 3)
( ; )
3 (3; 0)
(–3; 0)
x
( ; )
( ; )
x
2 ( ; )
(0; –3) x2 + y 2 = 9
x2 + y 2 = 4
3. Arco en posición normal
Son arcos orientados determinados en una circunferencia canónica; con origen en el semieje positivo de las abscisas como el punto "A", mostrado en el gráfico adjunto. Los arcos en posición normal pueden ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos). Central: 619-8100
Unidad VI
95
Circunferencia trigonométrica I
Ejemplo:
M
• "a": positivo; "q": negativo.
B
a
"a" ∧ "q" son arcos en posición normal.
•
y
"M" y "N": extremos de los arcos "a" y " q", respectivamente.
• A
A' r
x
q N
B'
Circunferencia trigonométrica Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual a la unidad del sistema. Se pueden notar las siguientes características: y B(0; 1)
C.T.
M
M ∧ N: Extremos de arcos
q (– 1; 0) A'
O
q rad
A: Origen de arcos
A(1; 0)
x
a N B' (0; – 1)
θ: (+ ) ) α: (−)
B: Origen de complementos de arcos
A': Origen de suplementos de arcos
B': Anónimo.
Además; se cumple que: ∠AOM (en rad) = AM (numéricamente); y debido a esta observación se cumple: R.T.(q rad) = R.T.(q)
p
p
sen rad = sen 2 2 tan2rad = tan2
Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier número real, siempre y cuando esta se encuentre definida.
Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica. 1. L. T. Seno
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de abscisas. Colegios
96
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Trigonometría Razonamiento Matemático
En el gráfico, tenemos que: y
b
MR = sena (+) B
NT = senb (+) M
N A'
PS = senq (–)
a S
O
T
1
A
R
x
Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ senq ≤ 1
q
C.T.
(senq)máx = 1
P
B'
(senq)mín = – 1
2. L. T. Coseno
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.
En el gráfico, tenemos que: y
b N
MS = cosa (+) B
NR = cosb (–)
R
A'
PT = cosq (–)
M
S
a A
O
x
Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ cosq ≤ 1
C.T. P
(cosq)máx = 1
T B'
q
(cosq)mín = – 1
Observación: En algunos casos habrá necesidad de ubicar arcos cuya medida sea un número entero y se recomienda, en esos casos, tener en cuenta la siguiente C.T.:
También, si queremos representar de manera genérica los arcos que se ubican en "A", "B", A' o B' tendremos: y p B (4n + 1) 2
y 2
1,57 1
3 3,14
x 0 6,28
(2n + 1)p A'
A 2np
6
4
B' 4,71
5
(4n + 3)
x
p 2
Ubicados en: ("n" ∈ ) A: 2np B: (4n + 1)
Central: 619-8100
p 2
A': (2n+1)p B': (4n + 3)
p 2 Unidad VI
97
Circunferencia trigonométrica I
Ejemplo:
Si nos preguntasen para que valor de "q" se cumple senq = 0; tendríamos que decir: y B Para que: senq = 0
q
senq A'
A
x
"q" debe ser arco en posición normal ubicando su posición terminal en A o en A', luego:
q = np, (n ∈ ) B' 3. L. T. Tangente
Para determinar la línea trigonométrica tangente se traza una recta numérica tangente a la C.T. justo en el origen de arcos, luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. El segmento que va desde "A" hasta el punto de corte anterior, se llama tangente del arco considerado.
En el gráfico, tenemos que: AT = tanq(+) AS = tana(–) AQ= tanb (–)
y
b
B M T
q
A'
a
A S
B'
Q
Note que para arcos con extremos en B' y B la L.T. tangente no está definida; por eso la tangente no se define para arcos de la forma:
p
x
(2n + 1) ; n ∈ 2 Además: – ∞< tanq < + ∞ No tiene máximo ni mínimo conocido.
Colegios
98
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Síntesis teórica
y B
T M
q
C
A'
O
A
S
x
B'
MS = sena
CM = cosq
AT = tanq
[– 1; 1]
[– 1; 1]
IR
Problemas resueltos 1. Con la ayuda de una circunferencia trigonométrica, señala la expresión de mayor valor: a) sen50º
b) sen70º
c) sen140º
d) sen210º
Resolución: Graficamos una C.T. y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno de ellos y notamos que:
e) sen300º y
140º
70º 50º
x
sen210º y sen300º: (–) sen 50º; sen70º y sen140º: (+) Como piden el mayor, solo comparamos entre los positivos (el ¿por qué? es obvio), y notamos que el mayor es sen70º. Central: 619-8100
210º C.T.
300º
Unidad VI
99
Circunferencia trigonométrica I
2. Con la ayuda de una C.T., señala la expresión de menor valor: a) sen20º
b) sen110º
c) sen220º
d) sen250º
e) sen340º
Resolución:
Graficamos una C.T. y ubicamos los arcos mencionados, luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno y notamos que:
sen20º y sen110º: (+)
sen220º; sen250º y sen340º: (–)
Como piden el menor, comparamos entre los negativos; y notamos que el más negativo es "sen250º", por lo tanto el menor es: sen250º. y 110º 20º x
220º
Observación: note que sen110º con sen250º; y sen20º con sen340º son simétricamente opuestos.
340º
250º
3. Señala la expresión de mayor valor entre: a) cos10º
b) cos50º
c) cos140º
d) cos240º
e) cos300º
Resolución:
Graficando en la C.T. y ubicando los arcos correspondientes, notamos que las líneas trigonométricas coseno de estos arcos cumplen: cos10º; cos50º y cos300º: (+)
cos140º y cos240º: (–)
Comparando entre los positivos, notamos que el mayor es: cos10º y
140º
50º 10º A
240º
Colegios
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Observación: note que x simétricamente opuestos.
cos240º
y
cos300º
son
300º
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Trigonometría Razonamiento Matemático
4. Señala la expresión de menor valor entre: a) cos70º
b) cos130º
c) cos160º
d) cos220º
1
e) cos310º
Resolución: Graficando en la C.T. los arcos mencionados, trazamos las líneas trigonométricas coseno correspondiente y notamos que:
y 70º
130º
cos70º y cos310º: (+) cos130º; cos160º y cos220º: (–) Comparando entre los negativos, notamos que el más negativo, es decir, el menor es: cos160º.
160º A 220º
x
310º
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 4. Hallar: AP
1. Representar: sen140º y
y
B
q
A'
A'
A
B'
5. Hallar: BQ
2. Representar: cos220º y
y
B A
A'
B
A'
A x
x
B'
a
Q
C.T.
C.T.
x
C.T.
B'
A
P
x C.T.
B
B'
6. Hallar: MN
3. Representar: tan310º y
y
B
A'
C.T.
B
A'
A
A x
x C.T.
Central: 619-8100
M B'
q
B'
N
Unidad VI
101
Circunferencia trigonométrica I
Aprende más... 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
7. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
I. sen40° < sen100° II. sen200° > sen290° a) VV d) FF
I. |cos200º| > |sen200°| II. |sen100º| > |cos100º| III. |cos300º| = |sen300º|
b) VF c) FV e) No se puede precisar
2. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) VVV d) FVF
3p , indique si es verdadero 2 (V) o falso (F) según corresponda. I. senx1 > senx2 II. cosx1 > cosx2 III. tanx1 < tanx2
b) VF c) FV e) No se puede precisar
a) VVV d) FFV
3. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. tan40° > tan260° II. tan160° < tan330° a) VV d) FF
b) VFV e) VFF
y
b) VF c) FV e) No se puede precisar
M
q
B P A x
A’
I. sen10º > cos10º II. sen200º > cos200º b) VF c) FV e) No se puede precisar
B’ a) 1 + senq b) 1 – senq d) 2senq – 1 e) 1 – cosq
5. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
B
b) FF c) VF e) F; no se puede precisar
6. Indica con "V" lo verdadero y con "F" lo falso, según corresponda: I. |sen200º| > |sen290º| II. |cos100º| > |cos250º| III. |tan100º| < |tan340º| a) VVV d) FFV Colegios
102
TRILCE
b) VFV e) FFF
c) senq – 1
10. En la C.T. mostrada, hallar: PA'
I. sen160º – cos160º < 0 II. sen160º + cos160º > 0 a) VV d) FV
c) FVF
9. En la C.T. mostrada, hallar: PB.
4. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) VV d) FF
c) VVF
8. Si: p < x1 < x2 <
I. cos70° > cos340° II. cos100° < cos190° a) VV d) FF
b) VFF e) FFF
c) VFF
A’
y
P
q
A
x
B’
a) 1 – cosq d) 1 + senq
b) 1 + cosq c) cosq – 1 e) 1 – senq www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángulo sombreado. y
a
14. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B
1
q O
A x
A’
x
B’
a) sena 2 d) – cosa 2
1 1 senq(1 + cosq) a) senq(1 – cosq) b) 2 2 1 1 d) – cosq(1 – senq) c) cosq(1 – senq) 2 2 1 e) – senqcosq 2
b) – sena c) cosa 2 2 sen a + cos a e) 2
12. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. B
15. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B q M
A
A’
A x
A’
q B’ a) – d)
3 senq 2
b) –
3 3 senq c) cosq 4 2
senq 1 senq 1 senq b) c) 2 1 + cosq 2 1 – cosq 1 + cosq senq – cosq e) d) 1 – cosq 1 + secq a)
3 3 (cosq – senq) cosq e) 4 2
13. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada.
q
y B
q
B’ 1 1 a) senq(1 + 2cosq) b) senq(1 + cosq) 2 2 1 1 c) senq(1 – 2cosq) d) senq(1 – cosq) 2 2
Central: 619-8100
16. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. y B
A’
A x
A’
1 e) senq(cosq – 1) 2
B’
O
B’
A
x
T
a) senq – tanq b) cosq – tanq c) senq + tanq 2 2 2 cos q + tan q sen q + cos q – tan q e) d) 2 2 17. Señale la expresión de menor valor: a) sen1 d) sen4
b) sen2 e) sen5
c) sen3
Unidad VI
103
Circunferencia trigonométrica I
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En una exposición sobre la circunferencia trigonométrica un alumno expuso acerca de la representación de la línea seno y otro sobre la línea coseno. Al escuchar la explicación y el análisis de los alumnos, el profesor quedó impresionado y los premió con 20 de nota. Pero en ese instante, un alumno llamado "Starky" formuló dos preguntas: • •
¿En qué cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo? ¿En qué cuadrante el seno y el coseno son crecientes?, justifícala.
¡Tú puedes! 1. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. cos(cos20º) > cos(cos50º) II. cos(cos100º) > cos(cos130º) a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede determinar 2. En la C.T. mostrada, hallar: B'Q. a) 1 + senq – cosq c) 1 – senq + cosq e) senq – cosq
q
b) 1 – senq – cosq d) 1 + senq + cosq
y B
45º x
A
A’
Q
B’
3. Señala "V" o "F", según corresponda: I. Si:
1 1 1 1 < a < b < ⇒ sen > sen 3 2 a b
II. Si: –
p 2
III. Si: 0 < a < a) FFF
|
< a < b < 0 ⇒ cos |a|+
p 4
p > |cos |b|+ | | 2 2
p
⇒ |sena – cosa| = cosa – sena b) VVV
c) FVF
d) FVV
4. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada: a) senq(1 – cosq) b) senq(1 – cosq) 2 cos q (1 – sen q ) c) cosq(1 + senq) d) 2 A’ cos q (1 + sen q ) e) 2
e) FFV y B N A
x
q B’
Colegios
104
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18:10:45
1
Practica en casa 1. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. sen20º > sen70º II. sen200º > sen250º
9. En la C.T. mostrada, hallar BP. y B
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A
A’
I. cos10º > cos50º II. cos230º < cos260º
P
3. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. tan70º > tan50º II. tan140º > tan160º
B’
q
I. sen20º > cos20º II. cos250º < sen250º
B
A x
A'
5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
6. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
q
10. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y
4. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. sen100º < cos100º II. cos300º > sen300º
x
B' 11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángulo sombreado. y
I. sen290º – cos290º > 0 II. sen290º + cos290º < 0 7. Si: 3p < x1 < x2 < 2p, indique si es verdadera 2 (V) o falsa (F) según corresponda: I. senx1 > senx2 II. cosx1 < cosx2 III. tanx1 < tanx2
12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B
8. En la C.T. mostrada, hallar PA. y B
A'
P
a
Central: 619-8100
x
b
A
A'
x
A x
b B'
B'
Unidad VI
105
Circunferencia trigonométrica I
13. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del segmento "PD". y P
a
14. ¿Cuál es el menor número?
sen1; sen2; sen3; sen4; sen5
15. ¿Cuál es el mayor número?
cos1; cos2; cos3; cos4; cos5
O
D
Colegios
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Circunferencia trigonométrica II
2
Conceptos básicos Resumen teórico (representación de las líneas seno y coseno) y
y
B
q2
B M
1
q1
senq
A’
q2
A
P
A'
x
Q
M
cosq
–1
q1 A
1
x
–1
q3 q3
q4
q4
B’
B'
MP = senq
MQ = cosq
Variaciones q→
0→
p
p
2
2
→π
p→
3p 2
3p → 2p 2
senq
0→1
1→0
0→–1
–1→0
cosq
1→0
0→–1
–1→0
0→1
De donde: –1 ≤ senq ≤ 1 ∧ –1 ≤ cosq ≤ 1
–1 Central: 619-8100
0
1
x Unidad VI
107
Circunferencia trigonométrica II
Problemas resueltos 1. Señale la variación de: C = 2senx + 3 (x ∈ a) [1; 5]
)
c) [1; 5〉 d) 〈1; 5〉 e) 〈1; 5]
b) [2; 6]
Resolución:
En este caso, notamos que x ∈
: – 1 ≤ senx ≤ 1, tratemos de formar la expresión: C = 2senx + 3
Como:
– 1 ≤ senx ≤ 1
– 2 ≤ 2senx ≤ 2
(multiplicando × 2)
1 ≤ 2senx + 3 ≤ 5 14243 C
(sumando 3)
\ 1 ≤ C ≤ 5 ó C ∈ [1; 5] 2. Señale la extensión de: C = 4 – 3cos b (b ∈ b) 〈1; 7]
a) [1; 8]
)
c) [1; 5]
d) [1; 7]
e) 〈0; 6]
Resolución: En la expresión: C = – 3cosb + 4 Como: – 1 ≤ cosb
3 ≥
– 3cosb
≤ 1
(b ∈
≥ – 3
(multiplicando × (– 3))
7 ≥ – 3cosb + 4 ≥ 1 14243 C
)
(sumando 4)
\ C ∈ [1; 7] 3. Sabiendo que: q ∈ IIC; señale la variación de: L = 3senq – 1 a) 〈0; 3〉 b) 〈– 1; 3〉 c) 〈– 1; 2〉 d) 〈0; 2〉 e) 〈– 1; 1〉 Resolución: y
Como:
q ∈ IIC
1 0
x
⇒ 0 <
senq
0
2 + 3 > 2 – 3cosq > 2 + 0 14243 M
0
cosq
5 >
M
>2
\2 sen130º II. sen260°> sen300º III. sen160° > sen260º
x
q M
B’ Central: 619-8100
Unidad VII
133
Repaso
8. Si: q ∈ IIIC y cosq =
11. Ordenar en forma creciente:
3k + 2 7
Entonces la extensión de "k" es:
12. Siendo: x – y = p, reducir:
9. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del segmento A'P y
C=
1 + sen(senx) + sen(seny) 1 + cos(cosx) - cos(cosy)
13. Indica si es verdadero (V) o falso (F)
B
b A’
cos80°; cos100°; cos250°; cos280°
P
Si: p < x1 < x2 < p 2 I. cosx1 = cosx2 II. cosx1 > cosx2
A x
III. cosx1 < cosx2 14. Si: 3senx + 4cosx = 5
B’
15. Sabiendo que: tanx =
10. Si "A" es el máximo valor y "B" es el mínimo valor de la función: Y = 2 – 3senx, hallar: A – B
Colegios
134
Calcular: E = 3senx – 4cosx
C.T.
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Calcular: R =
3 7
7senx – 3cosx 3senx + 7 cosx
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UNIDAD VIII
D
H
Sumando y restando variables Debemos tener mucho cuidado al operar sumas en variables afectadas por operadores trigonométricos puesto que no es como sumar o multiplicar cualquier variable algebraica, por ejemplo es fácil operar esto: A(X + Y) = A . X + A . Y; pero en variables afectadas por operadores trigonométricos no es posible esto: sen(X + Y) = sen X + senY, esta operación es incorrecta puesto que el operador "sen" indica una determinada operación a realizar que no es la multiplicación por sus variables, así en este capítulo encontraremos fórmulas especiales para este tipo de expresiones. Comunicación matemática •
Identificar la aplicación de fórmulas especiales para suma de variables.
Análisis y demostración •
Demostrar expresiones de sumas y diferencia de variables.
Resolución de problemas •
Resolver problemas de simplificación sobre suma y diferencia de variables.
Sistemas de medición angular
Identidades de la suma y diferencia de variables I Conceptos básicos Fórmulas básicas 1. Para la suma de variables
sen(x + y) = senx . cosy + seny . cosx
cos(x + y)=cosx . cosy – senx . seny
tan(x + y) =
tanx + tany 1 – tanx . tany
Ejemplos:
Completa las fórmulas siguientes: •
sen(a + b) = sena . cosb +
•
sen(70° + a) = sen70° . cosa +
•
cos(20° + a) = cos20° . cosa –
•
cos(a + 10°) =
•
tan(a + 10°) = tana + 1–
•
tan(45° + b) =
2. Para la diferencia de variables
sen(x – y) = senx . cosy – seny . cosx
tan(x – y) =
cos(x – y)=cosx . cosy + senx . seny
tanx – tany 1 + tanx . tany
Ejemplos:
Completa las fórmulas siguientes: •
sen(a – b) = sena . cosb –
•
sen(20° – q) =
•
cos(70° – x) = cos70° . cosx +
•
cos(30° – x) = cos30° . cosx +
•
tan(x – 20°) =
•
tan(60° – b) = __________________
Problemas resueltos 1. Demostrar que:
sen(a – b) = tana – tanb cosa . cosb
Resolución: Desarrollando en el primer miembro: sen(a – b) = tana – tanb cosa . cosb Colegios
136
TRILCE
⇒
sena . cosb – senb . cosa = tana – tanb cosa . cosb www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
Desdoblando en fracciones homogéneas:
1
sena . cosb senb . cosa – = tana – tanb cosa . cosb cosa . cosb
sena senb Reduciendo: – cosa cosb 123 123 demostrado: tana – tanb
= tana – tanb = tana – tanb
2. Reducir: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) Resolución: Desarrollando los dos miembros: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) = cos60° . cosx – sen60° . senx + cos60° . cosx + sen60° . senx Reduciendo: C = 2cos60° . cosx → pero: cos60° = 1 2 C=2
1 . cosx ⇒ C = cosx 2
3. Reducir: C = tana + tanb + tana . tanb; si: a + b = 45° Resolución:
a + b = 45° ⇒ tan(a + b) = tan45° tana + tanb Desarrollando: = 1 → tana + tanb = 1 – tana . tanb 1 – tana . tanb
Como:
tana + tanb + tana . tanb = 1 ⇒ C = 1
Trasladando términos:
4. Siendo: sena = 3 ∧ senq = 2 ("a" y "q" agudos), calcular: tan(a – q) 10 5 Resolución: Como:
sena = 3 10
3
10
senq = 2 5
⇒ tana = 3
1 Entonces: tan(a – q) =
⇒ tanq = 2
q
a
2
5
1
tana – tanq ⇒ tan(a – q) = 3 – 2 ⇒ tan(a – q) = 1 1+3.2 7 1 + tana . tanq
5. Del gráfico mostrado, calcular "tanq". A
1 B
q
4
D
Central: 619-8100
5
C Unidad I
137
Sistemas de medición angular
Resolución: Luego: q = x + y ... (prop. geométrica)
Del gráfico: 1 A x B
tanq = tan(x + y) ⇒ tanq =
q
4
D
5
y
C
Sea: ABD = x; ACD = y
DAB:
tanx = 4
ADC:
tany =
tanx + tany . ..... (1) 1 – tanx . tany
4 5
4 24 5 5 24 En(1): tanq = = 4 11 ⇒ tanq = – 11 1–4. – 5 5 4+
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Reducir: M =
sen(x + y) – senx . cosy cosx . cosy
2. Si: tanx = 5 ∧ tany=3, calcular: tan(x – y) 3. Simplificar:
E = sen20° . cos25° + sen25° . cos20°
4. ¿A qué es igual:
P = cos40°. cos20° – sen40°. sen20° ?
5. Reducir: M = sen4x – cos3x . senx sen3x
Aprende más... 1. Reducir:
4. Si: senx + cosx = 3 , calcular: 4
sen(a + b) – senb . cosa cosa . cosb
P=
a) tanb d) cotb
b) tana e) 1
6 2 d) 3 8
c) cota
a)
2. Reducir:
M=
sen(a – q) + senq . cosa cos(a – q) – cosa . cosq
a) tanb d) cotq
b) tanq e) 1
J=
c) cota
Colegios
138
TRILCE
b) 2 2 e) 2 2 cotx
c) cotx
c)
3 4
c)
1 4
1 4
Calcular: A = sen(x – 60°) 3 8 1 d) 2
a)
cos(45° + x) + cos(45° – x) senx
a) 2 d) 2 cotx
6 4 e) 6 8 b)
5. Si: senx – 3cosx =
3. Reducir:
A = sen(45° + x)
6. Reducir: J =
3 4 1 e) 8 b)
sen(x + y) sen(z – x) + cosx . cosy cosz . cosx
a) tanx b) tanz c) tany d) tanz – tany e) tanz+tany www.trilce.edu.pe
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7. Reducir:
J=
sen(x – y) sen(y – z) sen(z – x) + + cosx . cosy cosy . cosz cosz . cosx
a) 1 c) 0 e) tanx . tany . tanz
14. Del gráfico, calcular "tanf" B
b) tan2x e) tan5x
c) 1
2
5
5 13 12 d) 13
b)
c)
f
cos7x . cos4x + sen7x . sen4x A= sen4x . cosx – senx . cos4x a) cotx d) tan3x
b) tanx e) 1
c) cot3x
A
M B
N
9 13 7 d) 13
5 13 8 e) 13
a)
10. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que:
11 13
15. Del gráfico, calcular "tanf", si: AB = 6 y BC = 4 C
9. Simplificar:
D
E 1
9 13 7 e) 13
a)
sen5x . cos3x – sen3x . cos5x cos4x . cos2x + sen4x . sen2x
a) tanx d) tan3x
A
8. Simplificar A=
C
f
b) 2 d) tanx + tany + tanz
1
b)
c)
6 13
csca = 10 ∧ cscb = 13 , calcular: tan(a + b) 2 7 9 9 d) 7
a)
5 9 4 e) 3 b)
16. Del gráfico, calcular "tanf", si ABCD es un cuadrado: BQ = QN; BN = NC ; AP = 3PD y AM=MB 9 c) Q N 5 B C
f M
11. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que: seca = 5 ∧ secb = 17
Calcular: tan(b – a) 1 9 4 d) 9
a)
1 3 5 e) 9 b)
c)
2 9
Calcular: C = tanx . coty a) 1 1 d) 2
b) 2 1 e) 3
Central: 619-8100
b) 0,4 e) 0,8
d) – 2
c) 5
a
121 37 141 d) 37
c) 0,6
F
D
A a)
Calcular: C = tanx . tany a) 0,2 d) 0,7
b) – 3 5 e) 3
c) 3
13. Si: cos(x – y) = 4cos(x + y)
a) 3
D
P
17. Del gráfico, calcular "tana", si ABCD es un cuadrado y además: BC = 3CE. C E B
12. Si: sen(x + y) = 3sen(x – y)
A
81 37 156 e) 37 b)
c)
136 31
Unidad I
139
Sistemas de medición angular
¡Tú puedes! 1. Siendo:
senx + seny = senz
cosx + cosy = cosz
Calcular: cos(x – y) a)
1 2
b)
1 c) – 2
3 2
d) – 3 2
e) – 2 2
5
5
5
5
i=1
i=1
i=1
i=1
1 2
e) –
2. Sabiendo que: S senqi = 0 ; S cosqi = 0 , determine: C = S sen(qi + x) + S cos(qi + x) a) 2
b) –1
c) 0
d)
3. En el gráfico mostrado, hallar el área del trapecio ABCD. a) sen(q + a) . sen(q – a) c) sen(q + a) . cos(q – a) e) 2sen(q + a) . cos(q – a)
A
b) cos(q + a) . cos(q – a) d) sen(q – a) . cos(q + a)
a q
1 2
2 D
B
C
P
4. Si: x + y + z = 90°, hallar el equivalente de: T = (cotx – tany)(coty – tanx)(cotx – tanz) a) senx . seny . senz d) secx . secy . secz
b) cosx . cosy . cosz e) – secx . secy . secz
c) cscx . cscy . cscz
BY M a
5. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar la distancia entre "M" y "N" 2vers(a – b) a) vers(a – b) b) cov(a – b) c) d) 2cov(a – b) e) 2 vers(a – b)
X A
O
A' N
b B' 18:10:45
Practica en casa 1. Reducir: A=
sen(a + b) – senb . cosa sena . senb
4. Reducir: M=
2. Reducir: P=
cos(a + b) + senb . sena sena . cosb
5. Simplificar: C =
3. Demostrar que: sen(45° + x) = 2 (senx + cosx) 2 Colegios
140
TRILCE
6. Reducir: C =
cos(60° + x) + cos(60° – x) senx sen(x + y) – tanx cosx . cosy
cos(x – y) – cotx senx . cosy www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
7. Reducir la expresión:
M=
1 12. Si: x + y = 45° ∧ tanx= , calcular: tany 6
sen40°.cos20° + cos40°.sen20° cos20°.cos10° – sen20°.sen10°
13. Si: ABCD es un cuadrado, hallar "tanq" Q 3 B A 1 P 2
8. Si: sen(a + b) = 4sen(a – b)
Calcular: Q =
tana tanb
9. Sabiendo que "a" y "q" son agudos, tales que: 2 2 , calcular: tan(a + q) ∧ cosq = cosa = 29 13 10. Sabiendo que "a" y "b" son agudos, tales que: 3 1 ∧ senb = , calcular: tan(a – b) sena = 13 5
q A
Central: 619-8100
5
N
q
6
C 2 M 2 B
C
D
14. Calcular: Q =
11. Del gráfico, calcular "tanq".
1
tan50° +1 tan70° – tan20°
15. Si: tan(a + b + c) = 5 y tan(a + b) = 3
Calcular: cot(45° + c)
Unidad I
141
Sistemas de de Identidades medición la sumaangular y diferencia de variables II
Identidades de la suma y diferencia de variables II Conceptos básicos Propiedades Si: K = A senx ± Bcosx ⇒
I.
Kmáx = A2 + B2 Kmín = – A2 + B2
Ejemplos:
•
E = 3senx + 4cosx ⇒
•
E = 2senx – cosx ⇒
Emáx = Emín = –
32 + 4 2 = 5 32 + 4 2 = – 5
Emáx = Emín =
II.
tana + tanb + tana . tanb . tan(a + b) = tan(a + b)
III.
tana – tanb – tana . tanb . tan(a – b) = tan(a – b) Ejemplos:
• tan12° + tan14° + tan12° . tan14° . tan26° = tan26° 123 12° + 14° tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = ??
•
Note que: 3 =tan60°, luego la expresión sería: tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . 3 123 tan60°
tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . tan60° = tan60°= 3 123 20º + 40°
Si: a + b + q = np ó 180° . n; n ∈
IV.
⇒
tana + tanb + tanq = tana . tanb . tanq cota . cotb + cotb . cotq + cotq . cota = 1
Ejemplos:
•
tan40° + tan80° + tan60° = tan40° . tan80° . tan60° (ya que: 40° + 80° + 60° = 180°)
•
tan34° + tan66° + tan80° =
•
cot20° . cot60° + cot60° . cot100° + cot100° . cot20° = 1 (ya que: 20°+60°+100°=180°)
•
cot50° . cot70° + cot70° . cot60° + cot60° . cot50° =
Colegios
142
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Si: a + b + q = (2n + 1)p ó (2n + 1) . 90°; n ∈ 2
V.
⇒
21
cota + cotb + cotq = cota . cotb . cotq tana . tanb + tanb . tanq + tanq . tana = 1
Ejemplos:
•
cot20° + cot60° + cot10° = cot20° . cot60°. cot10°
(ya que: 20° + 60° + 10° = 90°)
•
tan20° . tan42° + tan42° . tan28° + tan28° . tan20° = 1 (ya que: 20° + 42° + 28° = 90°)
Síntesis teórica
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Unidad Unidad VIIII
143
Sistemas de de Identidades medición la sumaangular y diferencia de variables II
Problemas resueltos 1. Calcular la suma del máximo valor de: C = 3senx + 4cosx + 5, con el mínimo valor de:
L = senx + 3 cosx + 1 a) 3
b) 7
Resolución:
Analizando cada expresión:
c) 9
d) 11
e) 12
I. C = 3senx + 4cosx + 5, para que: C: máx ⇒ a: máx 1442443 a como: a = 3senx + 4cosx ⇒ amáx = 32 + 42 = 5, luego: Cmáx = 5 + 5 ⇒ Cmáx = 10 II. L = senx + 3 cosx + 1, para que: L : mín ⇒ b: mín 1442443 b 2 como: b = 1 . senx + 3 cosx ⇒ bmín = – 12 + 3 = – 2
Luego: Lmín = – 2 + 1 ⇒ Lmín = – 1
III. Piden calcular: Cmáx + Lmín = 10 + (–1) ⇒ Cmáx + Lmín = 9 2. Señale la variación de: L = 2 2 sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 a) [– 1; 3]
b) [– 2; 4]
c) [– 3; 5]
d) [– 4; 6]
e) [– 5; 5]
Resolución: En este caso, primero, desarrollaremos la expresión: L = 2 2 sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2 (senx. cos45° + sen45° . cosx) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2 senx .
1 1 + . cosx + senx + 2cosx + 1 2 2
Reduciendo: L = 2senx + 2cosx + senx + 2cosx + 1 ⇒ L = 3senx + 4cosx + 1 Pero, note que:
3senx + 4 cosx
máx = 5 mín = – 5
⇒
Lmáx = 5 + 1 = 6 Lmín = – 5 + 1 = – 4
⇒ L ∈ [–4; 6]
3. Reducir: L = tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26° tan33° + tan12° + tan33° . tan12° a) 1
b) 3 c)
3 3
d) 2
e) 2 3
Resolución: En el numerador: tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26°= tan34° + tan26° + tan34° . tan26° . tan60° = tan60°= 3 En el denominador: tan33° + tan12° + 1 . tan33° . tan12° = tan33° + tan12° + tan33° . tan12° . tan45° = tan45° = 1 Colegios
144
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Trigonometría Razonamiento Matemático
En la expresión:
21
L = tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26° ⇒ L = 3 ⇒ L = 3 tan33° + tan12° + tan33° . tan12° 1 4. En un triángulo ABC: tanA = 2 y tanB = 4. Calcular "tanC" a)
3 7
5 3 6 2 d) e) b) c) 6 4 7 3
Resolución:
Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180°, se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC
(tanA = 2 y tanB = 4)
Reemplazando: 2 + 4 + tanC = 2 . 4 . tanC 6 + tanC = 8tanC ⇒ 6 = 7tanC ⇒ tanC =
6 7
5. En un triángulo ABC: tanA + tanB = 5tanC. Calcular: L = tanA . tanB a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 15
Resolución: Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180° Se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC 14243 14243 5tanC L Luego: 5tanC + tanC = L . tanC ⇒ 6tanC = L . tanC ⇒ L = 6
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Indicar si es verdadero "V" o falso "F" • tan5x + tan10x + tan5x . tan10x . tan15x = tan 30x
(
)
• tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = 3
(
)
a) El máximo valor de: E = 2 senx – 7 cosx; es 3
(
)
b) El máximo valor de: E = 3sen20° + 4 cos20°; es 5
(
)
2. Indicar si es verdadero "V" o falso "F"
3. El mínimo valor de: Q = 5senx + 12cosx + 3; es: 4. En un triángulo ABC, reducir: K = 5. Simplificar: U =
Central: 619-8100
tanA + tanB + tanC tanB . tanC
cot20° + cot60° + cot10° cot20° . cot10°
Unidad Unidad VIIII
145
Sistemas de de Identidades medición la sumaangular y diferencia de variables II
Aprende más... 1. Señale el máximo valor de: H = 3senx – 2 cosx
10. En un triángulo ABC: 1 1 cotA . cotB = ; cotB . cotC = 4 5
7 c) 11 a) 13 b) 17 d) 15 e)
Calcular: P = cotA . cotC
2. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de:
11 15 11 d) 20
a) 6 d) – 2
b) – 4 e) 4
c) 10
3. Señale el máximo valor de: c) 3
K=
b) [– 14; 14] e) [– 13; 13]
c) [– 12; 14]
5. Reducir: tan10° + tan12° + tan10° . tan12° . tan22° C= tan15° + tan7° + tan15° . tan7° . tan22° a) 1 d) tan222°
b) 2 e) 2tan22°
c) tan15°
c) 6°
b) 6 e) 10
b) 18 e) 12
Calcular "tanC" 5 7 a) b) 7 11 8 4 e) d) 9 11
c)
Hallar: L = sec2x + sec2y + sec2z a) tan2a b) seca d) tan2a + 2 e) tan2a – 1
tanA + tanB + tanC = 7tanC
Calcular: tanA . tanB a) 7 d) 4 Colegios
146
TRILCE
b) 6 e) 3
q
A
20 3 3 d) 29 a)
9. En un triángulo ABC; se cumple:
c) 5
c) sec2a
14. Del gráfico, calcular "tanq" B
6 11
8. En un triángulo ABC: tanA = 4 y tanC = 5. Calcular "tanB" 9 9 9 a) b) c) 20 19 7 7 7 e) d) 19 20
c) 19
13. Si: x + y + z = 90°; tana = tanx + tany + tanz
7. En un triángulo ABC: tanA = 3 y tanB = 4.
c) 7
ctgx + 7tgy ctgy + 6tgz ctgz + 5tgx + + tgy tgz tgx a) 17 d) 21
1 tan2x + tan3x + tan2x . tan3x . tan5x = sec5x 2 b) 4° e) 12°
7 20
12. Si: x + y + z = 180°, calcular:
6. Señale un valor agudo de "x", si:
a) 2° d) 10°
c)
cotA + tanB cotB + 3tanC cotC + 2tanA + + tanB tanC tanA a) 5 d) 8
4. Señale la variación de: E = 5senx – 12cosx + 1 a) [– 12; 13] d) [– 11; 13]
b)
11. En un triángulo ABC, reducir:
A = 2sen(x + 30°) + 3cosx b) 4 a) 17 21 d) 19 e)
7 15 13 e) 20
a)
Q = 3senx – 4cosx + 2
1 D
3 29 15 108 e) 77 b)
37º E 2 c)
C
29 45
15. En un triángulo acutángulo ABC; reducir: L=
csc2A + csc2B + csc2C – 1
a) tanA + tanB + tanC b) cotA + cotB + cotC c) tanA . tanB . tanC d) cotA . cotB . cotC e) cscA . cscB . cscC
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Trigonometría Razonamiento Matemático
21
¡Tú puedes! 1. En un triángulo ABC, calcular: K = a) 1
tanA + cotB tanB + cotC tanC + cotA + + tanA tanB tanC
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2. Señale el máximo valor de: A = a(senx – cosx) + b 2 cos(45° – x) 2(a2 + b2) c) a2 + b2 a) 2 a2 + b2 b)
2ab d) 3 a2 + b2 e)
3. Si: x + y + z = p, determine el equivalente de: M=(cotx + coty)(coty + cotz)(cotz + cotx) a) secx . secy . secz d) – cscx . cscy . cscz
b) – secx . secy . secz e) – senx . seny . senz
c) cscx . cscy . cscz
4. En el gráfico, calcular: K = a2 + b2 + c2 + abc a) 2 d) 8
b) 3 e) 6
C
c) 4
B a A
5. Si: a + b + q = 90°, calcular: L = a) 1
b c
1
D
O
cos(a – b) cos(b – q) cos(q – a) + + cosa . cosb cosb . cosq cosq . cosa
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
18:10:45
Practica en casa 1. Indicar V ó F, según corresponda:
5. Reducir:
I. El máximo valor de: 13 senx + 3 cosx, es 4
tan13° . tan27° + tan27°.tan50° + tan13°.tan50° (
)
(
)
II. El mínimo valor de:
12 senx – 5cosx, es –7
III. El máximo valor de: 7 senx + 2 cosx, es 3
(
)
2. Señale el máximo valor de: G = 2 sen(x + 45°) + senx 3. Determinar el máximo valor de: E = 3cos(60° + x) + 3 senx 4. En un triángulo ABC, reducir: P = (tanA + tanB + tanC) . cotA . cotB . cotC Central: 619-8100
6. En un triángulo ABC, si: 2tanA + 2tanB = 3tanC Calcular: E = tanA . tanB 7. Si: x + y + z = p; además: cotx + coty = 2cotz 2
Calcular: P = cotx . coty
8. Reducir:
E = tan7x + tan2x + tan9x . tan7x . tan2x
9. Calcular:
E = tan20° + tan40° + 3 tan20° . tan40°
10. Calcular: E = ( 3 + tan10°)( 3 + tan20°) Unidad Unidad VIIII
147
UNIDAD IX III
Variables múltiples El milagro de los Partos múltiples se da por diversos factores que contribuyen a que ocurran los Partos múltiples, algunas de las posibles características por las cuales existen los partos múltiples: Herencia: cuando una mujer tiene antecedentes familiares de partos múltiples tiene más probabilidades de la presentación que exhibe un embarazo de este tipo.
y a las técnicas de la reproducción atendida de las cuales la transferencia de los embriones al múltiplo del útero (como la fertilización in vitro) aumenta considerablemente las probabilidades de tener un parto múltiple. Comunicación matemática
Raza: las mujeres de la raza negra tienen más probabilidades de tener partos múltiples.
•
Número de embarazos anteriores: el tener un embarazo múltiple la primera vez aumenta más la probabilidad de tener otro embarazo de este tipo.
Resolución de problemas
Embarazo retrasado: las mujeres de más edad tienen más posibilidades de tener partos múltiples.
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
Tratamiento de fertilidad: las medicinas que se administran para favorecer la fertilidad, de que estimulan a los ovarios para producir partos múltiples,
•
•
Identifica las diferentes variables múltiples afectadas por operadores trigonométricos. Resolver problemas combinando problemas de variable múltiple.
Demostrar fórmulas de simplificación para problemas de variable múltiple.
Trigonometría Razonamiento Matemático
Identidades trigonométricas de variable doble
1
Conceptos básicos Fórmulas básicas 1. Para el seno del ángulo doble: (sen2q)
2. Para el coseno del ángulo doble: (cos2q)
sen2a = sen2q = 2senq . cosq
sen40° =
cos2f = cos2q = cos2q – sen2q
sen8b = 3. Para la tangente del ángulo doble: (tan2q) tan2q =
2tanq 1 – tan2q
cos40° = cos4b =
Fórmulas de degradación
tan2a = ——————
2sen2q = 1 – cos2q
2sen220° =
tan20° = ——————
2cos2q = 1 + cos2q
2cos25x =
Problemas resueltos 2 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = ; calcular "sen2q" 3
Resolución: De la condición: tanq =
2 3
En un triángulo rectángulo: 13
2
Luego: sen2q = 2senq . cosq 12 sen2q = 2 . 2 . 3 ⇒ sen2q = 13 13 13
q
3
2. Simplificar: C = 4senq . cosq . cos2q Resolución: Recuerde que: 2senq.cosq = sen2q En la expresión: C = 4senq . cosq . cos2q = 2 . 2senq . cosq . cos2q ⇒ Luego: C = 2sen2q . cos2q ⇒ C = sen4q 14243 1442443 sen2q sen4q 3. Simplificar: C =
1 – cos2q 1 – cos2q
Resolución:
En la expresión: 64748 1 – cos2q 1 – (cos2q – sen2q) 1 – cos2q + sen2q sen2q + sen2q 2sen2q = ⇒C=2 C= = = = 2 2 2 2 sen q 1 – cos q sen q sen q sen2q
Central: 619-8100
Unidad IX
149
Identidades trigonométricas de variable doble
4. Siendo: senq + cosq =
5 , calcular "sen2q" 4
Resolución: Recuerde que: sen2q = 2senq . cosq En la condición, elevando al cuadrado: (senq + cosq)2 =
5 2 → 1 + 2senq.cosq = 5 ⇒ 1 + sen2q = 5 ⇒ sen2q = 1 14243 4 4 4 4 sen2q
5. Del gráfico, calcular "x"
C q x
Resolución:
Completamos el gráfico (a la derecha):
Por Pitágoras:
Ahora:
DBC:
ABC:
A
BC = 5
cos2q = 5 x
3
D
B
2
......... (1) C
Pero: cos2q = cos2q – sen2q
q
5 y senq = 2 DBC: cosq = 3 3 5 4 1 Luego: cos2q = – = 9 9 9
Y en el
En (1):
q
x
5
3
D
A
1 = 5 ⇒x=9 5 9 x
q
B
2
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Demostrar: (senx – cosx)2 = 1 – sen2x
4. Hallar "n" en la igualdad: cotx + tanx =
2. Reducir: P = cos2x + sen2x 3. Reducir: E = tan2q . cotq . (1 – tan2q)
5. Reducir: M =
n sen2x
1 + sen2q – senq
Aprende más... 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: cotq = 4, calcular: sen2q. 4 15 8 d) 17 a)
Colegios
150
TRILCE
4 17 15 e) 17 b)
c)
8 15
2 2. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: tana = , 5 calcular: sen2a. a)
21 29
b)
17 29
e)
d)
20 29
c)
10 29
19 29 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
3. Si "q" es un ángulo agudo; tal que: 1 cosq = ; calcular: A = 2 tan2q + 1 3 1 7 4 d) 7
2 7 1 e) – 7
a)
b)
c)
12. Hallar un valor agudo de "x" tal que cumple:
3 7
a) senx d) 2cosx
b) 2senx e) 0
b) senx e) 4senx
b) 10° e) 25°
13. Reducir: Q = a) senx d) 4senx
c) cosx
5. Simplificar: P = 1 – cos2x + tanx . cosx senx a) 1 d) 3senx
senx . cosx . cos2x = 3 8 a) 5° d) 20°
4. Reducir: D = sen2x . secx – tanx . cosx
c) 15°
1 – cos4x (0 < x < p ) 4 1 + cos2x b) 2senx e) sen2x
c) 3senx
14. Del gráfico, calcular "cosq". C
c) 2senx
3
6. Reducir: A = 2cot2x . tanx + tan2x a) 1 d) cosx
b) tanx e) senx
D
b) cosx e) 2cosx
8. Si: senx + cosx = a) 0,6 d) – 0,6
c) senx
1 ; calcular: sen2x 5
b) 0,8 e) – 0,4
c) – 0,8
A
a)
d)
3 5 4 5
b) e)
d) 2cos22x
b) cos2x 1 e) cos2x 2
b) – 1 e) 4
c) 2cosx
c) 2
11. Reducir: C = 8senx . cosx . cos2x . cos4x a) sen2x d) 2sen4x
b) sen4x e) 4sen4x
2 3 6 7
c) sen8x
c)
5 6
15. Del gráfico, calcular "tan q" D B
A
a) 1 2 d) 3 4
q
E 2
2q
C b) 2 e) 2 4
c) 2 3
16. Reducir: Q = cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x a) tan8x d) 4cot8x
b) 2tan8x e) 8cot8x
c) cot8x
17. Si: tanx + tan2x + tan3x = 1, calcular: C = cos2x + cos22x + cos32x a) 1 d) –1
Central: 619-8100
B
3
8 8 10. Reducir: L = cos x – sen x + 2sen2x . cos2x cos2x
a) 1 d) – 2
9. Reducir: C = cos4x – sen4x a) cos22x
2
q q
c) tan2x
7. Simplificar: A = (2senx – sen2x) cotx 1 – cosx a) 2 d) 2senx
1
b) 2 e) –2
c) 0
Unidad IX
151
Identidades trigonométricas de variable doble
¡Tú puedes! 1. Del gráfico, calcular "cosq ", si: CP = 3 y DQ = 5 2 a) 3 5 d) 12
3 b) 5 1 e) 6
A
D
5 c) 6
C q O
q
B
P
Q
2. Demostrar que: sec2x + csc2x + 4sec22x = 16csc24x 3. Si: tanx . tan2x + tany . tan2y + tanz . tan2z = 6, calcular: C = cotx . tan2x + coty . tan2y + cotz . tan2z a) 3
b) 6
c) 9
4. Si: tanq = 2senf, se comprueba que: sen2q = a) 6
b) 5
d) 12
e) 15
asenf . Calcular: Q = a – b + c bcos2f + c
c) 7
d) 3
e) 9
5. Reducir: Q = cos2x + cos2(15° + x) + cos2(15° – x) a) 3 + d)
3 + 1 . cos2x 2
3 + ( 3 + 1)cos2x 2
3 3 + 3 cos2x c) + 3 + 1 . cos2x 2 2 2 1 e) + ( 3 + 1)cos2x 2
b)
18:10:45
Practica en casa 2 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = , 3 Calcular: sen2q
10. Reducir: C = 1 – cos2x 1 + cos2x
2. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = 1 , 6 Calcular: cos2q
11. Siendo: tanx + cotx = 4, calcular: sen2x
3. Demostrar que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
1 12. Siendo: senx – cosx = , calcular: sen2x 2
4. Demostrar que: tanx + cotx = 2csc2x 5. Demostrar que: cos4x – sen4x = cos2x 6. Demostrar que: 1 – cos2x = 2sen2x 7. Demostrar que: cotx - tanx = 2cot2x 8. Simplificar: C = 8senq . cosq . cos2q
Colegios
152
9. Simplificar: C = senx . cos3x – sen3x . cosx
TRILCE
13. Simplificar: M = 1 + cos2x 2cosx 14. Reducir:
P = [(senx – cosx)2 + cos2x – 1]2 + sen4x
15. Reducir: K =
cos2q – sen2q 2 + tan45°. 2senqcosq
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Identidades trigonométricas de variable mitad
2
Conceptos básicos Fórmulas básicas x ⇒ x
2
Fórmulas especiales o racionalizadas
x sen = ± 2
1 – cosx 2
x tan = cscx – cotx 2
x cos = ± 2
1 + cosx 2
x cot = cscx + cotx 2
x tan = ± 2
1 – cosx 1 + cosx
En cualquiera de los tres casos, el signo a emplear (±) dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo "x/2" y de la R.T. que se va a calcular. Ejemplos:
•
sen40°
x = 40° ⇒ x = 80°, además: sen40° es (+) → sen40° = + 2
•
cos100°
x = 100° ⇒ x = 200°, además: cos100° es (–) → cos100° = – 2
•
tan96°
x = 96° ⇒ x = 192°, además; tan96° es (–) → tan96° = – 2
1 – cos80° 2 1 + cos200° 2
1 – cos192° 1 + cos192°
Problemas resueltos 1 1. Sabiendo que: 0° < a < 90° ∧ cosa = , calcular "sen a " 5 2 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 a) 0,1 b) Resolución: 1 Tenemos que: cosa = ; como: 0º < a < 90º → 0° < a < 45° ⇒ a ∈ IC, sen a es (+) 5 2 2 2 Luego: sen a = + 2
Central: 619-8100
1 – cosa = + 2
1 – (1/5) = + 2
4 ⇒ sen a = 0,4 2 10
Unidad IX
153
Identidades trigonométricas de variable mitad
3 2. Sabiendo que: 90° < a < 180° ∧ cosa = – , calcular "cos a " 4 2 a)
1 3
b)
1 6
c)
1 5
d)
1 7
e)
1 8
Resolución: Tenemos que: 90º < a < 180º ⇒ 45° < a < 90° ⇒ a ∈ IC, cos a es (+) 2 2 2 Luego: cos a = + 2
1 + cosa ; pero: cosa = – 3 ⇒ cos a = + 4 2 2
1 – (3/4) ⇒ cos a = 2 2
1 8
3. Si: 180° < q < 270° ∧ senq = – 5 , calcular "cos q " 2 3 a) –
1 3
b) –
1 4
c) –
1 6
d) –
1 8
e) –
1 2
Resolución: Note que: 180° < q < 270° ⇒ 90° < q < 135° ⇒ q ∈ IIC ⇒ cos q es (–) 2 2 2 Luego: cos q = – 2
1 + cosq ... (1) 2
q
Pero, no conocemos "cosq", sino: senq = – 5 (q ∈ IIIC) 3
x 3
y Como: senq = – 5 = ; y = – 5 ; r = 3 ⇒ x = – 2 (ya que: x2 + y2 = r2) r 3 Luego: cosq = cos q = – 2
(– 2; – 5 )
x 2 = – ⇒ en (1): r 3
1 + cosq = – 2
y
1 + (– 2/3) ⇒ cos q = – 2 2
1 – 2/3 ⇒ cos q = – 2 2
1 6
4. Reducir: cscx + csc2x + csc4x + csc8x a) cotx – cot8x
b) cotx – cot16x
x c) cot – cot16x 2
x d) cot – cot8x 2
e) cotx + cot8x
Resolución:
En los casos de sumas de cosecantes de ángulos que se van duplicando; se recomienda sumarle y restarle la cotangente del mayor ángulo, así: C = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + cot8x – cot8x = cscx + csc2x + csc4x + cot4x – cot8x 1442443 1442443 cot4x cot2x Hemos aplicado: cscq + cotq = cotq 2 C = cscx + csc2x + cot2x – cot8x = cscx + cotx – cot8x 1442443 1442443 x cotx cot 2 Colegios
154
TRILCE
⇒ C = cot x – cot8x 2
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Trigonometría Razonamiento Matemático
5. Siendo: csc2x + csc2y + csc2z = cot2x + cot2y + cot2z, calcular: C = tanx + tany tanz a) 1
b) 2
c) –1
d) –2
e) –
2
1 2
Resolución:
De la condición:
csc2x + csc2y + csc2z = cot2x + cot2y + cot2z
csc2x + csc2y + csc2z – cot2x – cot2y – cot2z = 0
Ordenando: csc2x – cot2x + csc2y – cot2y + csc2z – cot2z = 0 1442443 1442443 1442443 tanx tany tanz
Quedando: tanx + tany + tanz = 0 ⇒ tanx + tany = – tanz Piden: C = tanx + tany = – tanz ⇒ C = – 1 tanz tanz
6. Reducir: C =
sec40° – tan40° cot65°
3 a) 1 b) 2 c)
1 d) 2 3 e) 2
Resolución: En la expresión: C = Recuerde que: Luego: C =
sec40° – tan40° cot65°
sec40° = csc50° tan40° = cot50°
ángulos complementarios
csc50° – cot50° cot65°
Pero: cscx – cotx = tan
x 2
⇒C=
tan25° , además: tan25° = cot65° (suman 90°) \ C = 1 cot65°
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Si: cosq = – lar: sen q 2
2 , además: q ∈ p ; p . Calcu7 2
1 2. Si: cosa = , además: a ∈ 3p ; 2p . Calcu5 2
4. Siendo "q" agudo y además: cosq = mine: cot q 2
m , detern
5. En el gráfico, hallar "cot q ", si el perímetro es 2 b cm.
lar: tan a 2
a cm
3. Hallar "A . B", si:
A . cotBx = cscx + csc2x + cot2x
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q
Unidad IX
155
Identidades trigonométricas de variable mitad
Aprende más... 1. Si: cosq = a)
d)
1 (0° < q < 90°), calcular "sen q " 6 2
5 6 5 12
b)
e)
1 6 7 12
c)
1 b) – 7 3 e) – 7
c)
2 7
d) –
b) – e)
1 5
1 4
c) –
1 5
0,8 b) – 0,6 c) e) – 0,4
156
S = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + csc16x x b) cot – cot16x 2 d) cotx – cot16x
b) cot20° e) cot10°
c) tan25°
a) cot10° d) tan40°
b) cot20° e) tan20°
c) cot40°
csc2a + csc2b + csc2q = cot2a + cot2b + cot2q
a) ± ab
b) ±
a 2b
e) ±
Colegios
c) cos20°
13. ¿A qué es igual: H = sec10° + tan10°?
1,4 b) – 1,2 c) e) – 1,6
a–b , hallar "tan(45° + q )" 7. Si: senq = a+b 2
TRILCE
b) sen10° e) – cot10°
14. Si:
1 6. Si: senq = , calcular "tan(45° – q )" 3 2 1 1 1 b) ± c) ± a) ± 3 2 2 1 1 d) ± e) ± 5 6
d) ±
c) 2senx
S = csc20° + csc40° + csc80° – cot10°
a) tan20° d) cot25°
calcular "tan f " 2 a) 1,2 d) – 1,4
b) cos2x e) cosx
12. ¿A qué es igual: M = sec40° – tan40°?
1 5. Si: cosf = – (180° < f < 270°), 6
x 2
e) tanx
a) cot x +cot16x 2 c) cotx + cot16x x e) tan – cot16x 2
calcular "tan q " 2 a) 0,6 d) – 0,8
c) 2tan
10. Simplificar:
4. Si: secq = 9 (270° < q < 360°),
a) sen2x d) 2cosx
2
1 3 1 6
x 2
11. Simplificar:
calcular "cos q " a) –
b) cot
9. Reducir: S = (csc2x + csc4x + cot4x)senx
a) tan10° d) –tan10°
3. Si: tanq = 5 (180° < q < 270°), 2
x 2 x d) 2cot 2
a) tan
1 12
1 (270° < b < 360°), calcular 2. Si: cosb = 7 "cosb" 2 1 a) 7 2 d) – 7
8. Reducir: S=cscx+csc2x+cot2x
a b b 2a
c) ±
b a
Hallar: H = a) 1 d) – 3
tan3a + tan3b + tan3q tana . tanb . tanq b) 2 e) 9
c) 3
15. Si: cscx + cscy + cscz = 2(cotx + coty + cotz)
Calcular "n" en la igualdad: tan x + tany + tanz = n(cotx + coty + cotz) 2 2 2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
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Trigonometría Razonamiento Matemático
2
¡Tú puedes! 1. Del gráfico, calcular "tan q " 2 6 c) a) 5 b) d) 6 6
e) 6 5
5 5
5
1
q a–b , hallar "tan( p + q )" a+b 2 2
2. Si: cosq = a) ±
a b
b a
c) ±
1 – sen70° +
1 + sen70°
b) cos35°
c) 2
b) ±
3. Reducir: M = a) sen35°
1 a
1 b
d) ±
e) ab
d) 2sen35°
e) 2cos35°
d) –3
e) 0
d) a . b . c
e) 2a . b . c
4. Si: csc2a + csc2b + csc2q + cot2a + cot2b + cot2q = 0
Calcular: C = a) – 1
b) 1
5. Si: cosa =
cota + cotb cotb + cotq cotq + cota + + cotq cota cotb c) 3
c b a ; cosb = ; cosq = a+b c+a b+c
Hallar: P = tan2 a + tan2 b + tan2 q 2 2 2 a) 0
b) 1
c) a + b + c
18:10:45
Practica en casa 1. Demostrar: sen q = ± 2 2. Complete: cos140° = 3. Complete: tan50° =
1 – cosq 2 1 + cos 2 1 – cos 1 + cos
4. Si: cosf = –
calcular: tanf 2 5. Si: tanq = 5 (180° < q < 270°), 2
Central: 619-8100
1 (180° < f < 270°), 6
calcular: tan q 2 Unidad IX
157
Identidades trigonométricas de variable mitad
6. Si: sena = – 15 (270° < a < 360°), 4
calcular "tan a "
13. Simplificar:
calcular: sen q 2
1-
E=
x 8. Si se cumple: sen = + 5 (270° 0, determina su rango.
11. Sea la función: f(x)=arctan
12. Determine el rango de la función "f" definida por:
5. Determine el rango de la función:
f(x) = arccot
x2 1 + x2
13. En la figura se muestra la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es:
f(x) = A arcsen(Bx + C) + D, con: A > 0
Calcule: M = B + C + AD π 3π `3, 2 j
f(x) = arcsen(x) + arccos(x) + arcsen(– x) – arccos(– x); x ∈ [– 1; 1]. 8. Determine el rango de la función "f", definida por:
f(x) = arccos(x2 + 1)
9. Determine el rango de la función "f", definida por:
f(x) = [arcsenx]2 + [arccosx]2
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4
π ` - 1, - 2 j
0
14. Señale el rango de: h (x) = 1 arcctg (cos x) + 2π 3 3 15. Calcule: B = arccos(cos2) + arccos(cos4)
Unidad XI
215
UNIDAD XII III
Pantalla de un applet de Java, explicando la medida con un micrómetro
U
Verificar la mejor solución
n applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un programa anfitrión, mediante un plugin (complemento), o en aplicaciones como teléfonos móviles que soportan el modelo de programación por 'applets'. Un Java applet es un código JAVA que carece de un método main, por eso se utiliza principalmente para el trabajo de páginas web, ya que es un pequeño programa que es utilizado en una página HTML y representado por una pequeña pantalla gráfica dentro de ésta. Comunicación matemática •
Reconocer y utilizar todas las fórmulas de identidades trigonométricas.
Análisis y demostración •
Definir las ecuaciones e identificar las primeras soluciones básicas y su aplicación.
Resolución de problemas •
Resolver problemas que involucren las soluciones básicas.
•
Resolver problemas de contexto y solución general.
•
Identificar las ecuaciones, valor principal y estrategias para la resolución de problemas.
Trigonometría Razonamiento Matemático
Ecuaciones trigonométricas
1
Conceptos básicos Definición Son aquellas ecuaciones, donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos, como toda igualdad condicional se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita) presente, denominándose a estos valores soluciones de la ecuación trigonométrica. Ejemplos:
•
senx + cosx = 1 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
•
tanx + sec2x = 3 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
•
3x + tanx = 2 ⇒ No es ecuación trigonométrica
¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica? Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita, que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las funciones trigonométricas; no solo se encontraron una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual, se hace necesario el uso de fórmulas que permiten encontrar el conjunto global de las soluciones de la ecuación trigonométrica, llamada solución general de la ecuación trigonométrica. Ejemplos:
1 → x = 30°; 150°; ... 2
•
Si tuviésemos que resolver una ecuación sencilla como: senx =
estas son solo dos soluciones, pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo tendríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a las ya indicadas.
Esto es: +360°
+360°
x = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°, ...
+360°
+360° También: – 360°
– 360°
x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30°, 150° –360°
–360°
Es decir: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30° , 150°, 390°, 510°, 750°, ...
Estás son algunas soluciones particulares de la ecuación trigonométrica, y en lo sucesivo tendremos que aplicar este criterio para determinarla (la explicación es por que los ángulos a obtener son coterminales con los primeros).
¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica? Ecuaciones trigonométricas elementales (E.T.E.) R.T.(x) = n Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones, y se les va agregando o restando múltiplos de 360°, como en el apunte anterior. Central: 619-8100
Unidad XII
217
Ecuaciones trigonométricas
Ejemplos:
senx = 2 2
•
+360°
+360°
x = 45°, 135°, 405°, 495°, 765°, ... + 360°
– 360°
– 360°
x = – 585°, – 315°, – 225°, 45°, 135°, ... – 360°
+ 360°
Pero la pregunta evidente es: ¿Cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio. a) Si la ecuación trigonométrica es:
R.T.(x) = n; n > 0
Normalmente habrá una solución para x ∈ IC, aguda, si esta es "q" entonces la otra solución dependerá del cuadrante en el que se ubique este. Si la solución aguda es: x = q.
Y si hubiera otra en el: IIC ⇒ sería: x = 180° – q
IIIC ⇒ sería: x = 180° + q
IVC ⇒ sería: x = 360°– q
Ejemplos:
I. tanx = 3 ⇒ x = 60°
Como "tanx" es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
Luego: x = 60°, 240°, ... aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°.
II. cosx = 1 ⇒ x = 60° 2 Como "cosx" es positivo, la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360° – 60° ⇒ x = 300° +360° Luego:
x = 60°, 300°, 420°, 660°, ... +360°
III. cotx = 3 ⇒ x = 30° La otra solución debe ser del IIIC (ya que "cotx" es positiva), es decir: x = 180° + 30° ⇒ x = 210°
+360° Luego:
x = 30°, 210°, 390°, 570°, ... +360°
b) Si la ecuación trigonométrica elemental es: R.T.(x) = n; n < 0
En este caso, resuelva a modo de ayuda, la ecuación R.T.(x) = |n|, y calcule la ecuación aguda de dicha ecuación, con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, solo que ahora la R.T.(x) es negativa. Ejemplos:
I. senx = – 3 2 Colegios
218
Resolvemos: senx = 3 ⇒ x = 60° 2
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego:
IIIC: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
IVC: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°
1
Luego: +360° x = 240°, 300°, 600°, 660°, ...
+360°
II. cosx = – 2 2
Resolvemos: cosx = 2 ⇒ x = 45° 2
Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos:
IIC: x = 180° – 45° ⇒ x = 135° IIIC: x = 180° + 45° ⇒ x = 225°
Luego: +360°
x = 135°, 225°, 495°, 585°, ... +360°
III. tanx=– 3 3
3 ⇒ x = 30° 3 Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos: IIC: x = 180° – 30° ⇒ x = 150°
Resolvemos: tanx =
IVC: x = 360° – 30° ⇒ x = 330°
Luego: x = 150°, 330°, 510°, 690°, ...
Ecuaciones trigonométricas no elementales Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea de simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple, así como transformaciones trigonométricas y teoría de funciones trigonométricas inversas), reduciendo a la forma elemental o quizás de la forma: R.T.(Bx + q) = n para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental. Ejemplos:
•
Resolver e indicar algunas soluciones de:
I. tan2x (1 – sen2x) cscx =
1 2
Por identidades trigonométricas, reducimos:
note que: cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ 0
sen2x 1 1 1 . cos2x . = ⇒ senx = cos2x senx 2 2
Luego: x = 30°, 150°, 390°, ... 180° – 30° Central: 619-8100
Unidad XII
219
Ecuaciones trigonométricas
II. sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
Luego: sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
sen(3x – 2x) = 1 ⇒ senx=1 ⇒ x = 90°, 450°, ...
a
b
b
a
III. sen(3x–15°)= 3 2 En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuelve de manera similar, pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita. + 360° 3x – 15° = 60°, 120°, 420°, 480°, ... + 360°
3x = 60° + 15°, 120° + 15°, 420° + 15°, 480° + 15°, ...
x=
75° 135° 435° 495° ; ; ; ; ... 3 3 3 3
x = 25°, 45°, 145°, 165°, ...
IV. senx . cosx . cos2x = 3 8
Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq . cosq
Tenemos:
2senx cosx cos2x = 3 . 2 8 sen2x . cos2x = 3 4
(otra vez × 2)
2sen2x . cos2x = 3 . 2 ⇒ sen4x = 3 4 2
Luego:
4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
(multiplicando × 2)
x = 15°, 30°, 105°, 120°, ...
Nota: Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver, con el perder soluciones o agregar soluciones, se mantienen, así que debemos tener cuidado con las simplificaciones de términos que contienen a la incógnita.
V. 1 + sen2x = senx + cosx
En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
Luego la ecuación, quedaría así:
Cancelando: (senx + cosx):
Colegios
220
TRILCE
(senx + cosx)2 = senx + cosx
senx + cosx = 1 (multiplicando por: 2 / 2 ) 2 (senx . 1 + cosx . 1 ) = 1 2 2 cos45° sen45°
2 (senx . cos45° + cosx . sen45°) = 1 144444424444443 2 sen(x + 45°) = 1 → sen(x + 45°) = 1 . 2 = 2 2 2 2 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
+ 360° Luego: x + 45° = 45°, 135°, 405°, 495°, ... + 360°
x = 0°, 90°, 360°, 450°, ...
Pero, para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0); esto es:
senx + cosx = 0 ⇒ senx = – cosx ⇒
Recuerde que primero resuelva: tanx = 1 ⇒ x = 45°
Luego las soluciones serían:
1
senx = – 1 ⇒ tanx = – 1 (x ∈ IIC ∧ IVC) cosx
IIC: x = 180° – 45° = 135° IVC: x = 360° – 45° = 315° ⇒ x = 135°, 315°, ...
VI. senx + cos2x = 1
En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una misma variable(x), para ello recuerda que: cos2q = 1 – 2sen2q.
Luego, quedaría así:
senx + cos2x = 1 ⇒ senx + 1 – 2sen2x = 1 ⇒ senx = 2sen2x
Cancelando: 1 = 2senx ⇒ senx =
1 ⇒ x = 30°, 150°, 390°, ... 2
Pero, como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es: senx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, ...
Obtención de la solución general Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales, así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental, para ello es bueno recordar: 1. Es preferible una sola variable a diferentes variables 2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T. 3. Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones. 4. Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable, hay una posibilidad de aplicar transformaciones trigonométricas para reducirlo. 5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable de la solución general, se aplicará la notación de F.T. inversas. Donde: Vp → Valor principal.
Central: 619-8100
xg → es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita de donde se despeja. Encontramos
Hacemos
Donde
senxg = a
xg = np +(–1)nVp
– p ≤ Vp ≤ p 2 2
cosxg = a
xg = 2np ± Vp
0 ≤ Vp ≤ p
tanxg = a
xg = n p + V p
– p < Vp < p 2 2
Unidad XII
221
Ecuaciones trigonométricas
Ejemplos:
Resolver y dar la solución general. I. sen2x =
1 2
1 Tenemos: Vp = arcsen = 30° p ⇒ xg = 2x 2 6
xg = np + (– 1)nVp ⇒ 2x = np + (– 1)n . p ⇒ x = np + (– 1)n . p 6 2 12 II. cos3x = 1
Tenemos: Vp = arccos1 = 0 ⇒ xg = 3x
Luego: xg = 2np ± Vp ⇒ 3x = 2np ± 0 ⇒ x = 2np 3
III. tan5x = 1
Tenemos: Vp = arctan1 = 45° p ⇒ xg = 5x 4 Luego: xg = np + Vp ⇒ 5x = np + p ⇒ x = np + p 4 5 20
Síntesis teórica
Colegios
222
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Problemas resueltos 1. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
a) 180°
b) 120°
c) 200°
d) 240°
e) 360°
Resolución:
Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así:
1 + cosx = 2sen2x ⇒ 1 + cosx = 2(1 – cos2x)
Factorizando:
1 + cosx = 2(1 + cosx)(1 – cosx)
Cancelando "1 + cosx" quedaría:
1 = 2(1 – cosx) cosx =
1 ⇒ x = 60°, 300° 2
Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones: 1 + cosx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ x = 180°, 540° Las dos primeras soluciones positivas son 60° y 180° ⇒ suma = 240° 2. Resolver: sec2x = 3 tanx + 1, indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolución:
Recuerde que: sec2q = 1 + tan2q En la ecuación: sec2x = 3 tanx + 1 ⇒ 1 + tan2x = 3 tanx + 1 quedaría: tan2x = 3 tanx cancelando "tanx", queda: tanx = 3
⇒ x = 60°, 240°, 420°, 600°, ...
Pero el factor cancelado: tanx = 0
⇒ x = 0°, 180°, 360°, 540°, ...
Pero piden soluciones positivas y menores que una vuelta, las cuales son: x = 60°, 180°, 240°
\ Rpta.: = 3 3. Resolver: senx – 3 cosx = 1, indicando el menor valor positivo que cumple. a) 30°
b) 60°
c) 90°
d) 135°
e) 180°
Resolución:
En la expresión: senx – 3 cosx = 1 B Recuerde que: Asenx – Bcosx = A2 + B2 sen(x – q), tanq = A Luego: senx – 3 cosx = 1 ⇒ 2sen(x – 60°) = 1, ya que: tanq = 3 ⇒ q = 60° Central: 619-8100
sen(x – 60°) =
1 ⇒ x – 60° = 30°; 150°, ... 2
x = 90°, 210°, ... ⇒ xMenor(+) = 90° Unidad XII
223
Ecuaciones trigonométricas
4. Resolver: sen5x + senx = sen3x, señalando un conjunto solución (n ∈ Z). a) np 6
np b) np ± p c) 6 3
d) a ∪ b
e) b ∪ c
Resolución: En la ecuación recuerde:
sena + senb = 2sen a + b cos a – b 2 2
sen5x + senx = sen3x
2sen3x . cos2x = sen3x
Cancelamos "sen3x", quedaría: 2cos2x = 1 ⇒ cos2x =
1 ⇒ Vp = arccos1 = p ⇒ xg = 2x 2 2 3
Luego: 2x = 2np ± p ⇒ np ± p 3 6 Pero el factor cancelado se iguala a 0, esto es: sen3x = 0 ⇒ Vp = arcsen0 = 0 ⇒ xg = 3x
3x = np + (– 1)n . 0 ⇒ 3x = np ⇒ x = np 3
\ x = np p ; n ∈ Z ∪ np ; n ∈ Z 6
3
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Resolver e indicar las dos soluciones básicas de las siguientes ecuaciones: 1 1. senx = 2
⇒
Indicar el valor principal de cada ecuación:
x=
4. senx = 3 2
⇒ Vp =
5. cosx = 2 2
⇒ Vp =
6. tanx = – 1
⇒ Vp =
2. cosx = – 2 2
⇒
x=
3. tanx = 3
⇒
x=
Aprende más... 1. Resuelve: 2senx = 1, si: 0 < x < 180° a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 144° d) 30°; 150° e) 40°; 140° 2. Resuelve: 2cosx = 3 , x ∈ 〈0; 360°〉 a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 324° d) 30°; 150° e) 30°; 330°
Colegios
224
TRILCE
3. Resuelve: tanx – 3 = 0; x ∈ 〈0; 180°〉 a) 60° d) 30°
b) 45° e) 22°30'
c) 36°
4. Resuelve la ecuación: tan4x = – 3 , calcular la segunda solución positiva. a) p 6 11 p d) 12
b) 5p c) 7p 12 12 9 p e) 12 www.trilce.edu.pe
Trigonometría Razonamiento Matemático
5. Resuelve: 4cos2x – 3 = 0; si: 0 < x < 360° a) 30°; 150°; 210°; 330° b) 60°; 120°; 210°; 350° c) 30°; 60°; 150°; 210° d) 30°; 45°; 150°; 315° e) 30°; 150°; 210°; 240° 6. Sume las tres primeras soluciones positivas de: 1 cos3x = 2 a) 170° d) 260°
b) 240° e) 270°
b) 360° e) 135°
a) 0 d) 3
c) 90°
b) 75° e) 180°
c) 135°
c) np + (–1)n p 6 e) np + (–1)n p 5
3 2 1 d) – 2
b)
a)
1 2
c) 1
e) – 3 2
a) 2np ± p 6
d) 2np ± p 5
sen2x
–
cos2x
– cosx = 1; si: 0 < x < p
a) p; p 4 2 p d) ; 3p 2 4
b) 2np ± p 4 e) 2np ± p 3
c) np ± p 8
14. Señale la solución general de la ecuación: secx . cscx – ctgx = 1 a) np + p 3
b) np + p 4
e) np + p 12
c) np + p 6
15. Resolver: 3sen2x = cosx a) 2np ± p 2
10. Resuelve:
d) np + (–1)n p 8
5senx . cotx – 3 = 3cosx
d) np + p 10
Calcular: sen(x1 – x2), si: x1 < x2
b) np + (–1)n p 3
13. Señale la solución general de la ecuación:
9. Si: "x1" y "x2" son los dos primeros valores positivos de "x" que verifican: 2sen2x + cosx = 1
c) 2
5tanx . cosx + senx = 3 2 a) np + (–1)n p 4
8. Sume las dos primeras soluciones positivas de: tan5x = 1 a) 45° d) 145°
b) 1 e) 4
12. Señale la solución general de la ecuación:
c) 300°
7. Sume las dos primeras soluciones positivas de: 1 sen2x – = 0 2 a) 180° d) 270°
11. Resuelve: 3senx + 2 = cos2x, indica el número de soluciones en el intervalo [p; 2p].
1
c) 2np ± p 4
b) np+ (–1)narcsen 1 6 d) a y b
e) b y c
b) p; p c) p; 2p 3 4 2 3 p 5 p e) ; 2 6
¡Tú puedes! 1. Resuelve la ecuación: 2 + tanx + a) 30°
b) 45°
2 – tanx = 2 tanx c) 53°
2. Si "q" es un parámetro, resuelve el sistema: senx + seny = a) x = 2q Central: 619-8100
b) x = 0
c) x = q +30º 2
d) 60°
e) 3p
cos2q 1 cscq – 2 senq d) x = 90°
e) x = q Unidad XII
225
Ecuaciones trigonométricas
5 12 3. Resuelve: arcsen + arcsen = p x x 2 a) 5
b) 4
c) 3
d) 12
e) 13
4. Resuelva el sistema: senx = cos2y ∧ sen2x = cosy a) x = y = 30°
b) x = y = 45°
c) x = 2y = 60° d) x = 3y = 60° e) x = y = 60°
5. Resuelve la siguiente ecuación e indica la suma de soluciones en 〈0; 2p〉 x 3x sen + sen = senx 2 2 a) 13p 3
b) 5p c) 7p 3 3
d) 11p 3
e) 8p 3 18:10:45
Practica en casa 1. Resuelve: sen2x = sen3x 2. Resuelve: tanx = tan6x
10. Determine la suma de soluciones de la ecuación: sen x . cos x = 2 , en el intervalo de [0; 2p] 2 2 4
3. Resuelve: cos3x = cos5x
11. Determine la suma de soluciones de la ecuación: tanx + 3
4. Resolver:
(sen4x + cos4x)(senx + cosx) = 1 + sen5x
Indicando la suma de los tres primeros valores positivos de "x".
= 4, en el intervalo de [0; 2p]
12. Resolver: sen3x . cscx + cos3x . secx = 2
5. Resolver: sen5x + senx = 0
13. Resolver:
6. Resolver: senx + cos2x = 1
(4sen3x + sen3x)(4cos3x – cos3x) =
7. Resolver: sen3x – 2senx = 1 tanx 2
14. Resolver la ecuación:
8. ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación?
1 sen8x + cos8x = ; n ∈ Z 8
2senx – 1 = x2
9. Resolver: 1 1 1 1 + + + =5 2 2 2 1 + tan x 1 + cot x 1 – sen x 1 – cos2x
indicando el número de soluciones en 〈0; 2p〉
Colegios
226
tan x + p 3
TRILCE
9 (n ∈ Z) 4
15. Resolver el sistema de ecuaciones: senx + seny = sen(x + y)
| x| + | y| = 1
Señale el número de soluciones.
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UNIDAD UNIDADXIII III
Triangulación satelital GPS
A
ctualmente es común encontrar unidades de rastreo GPS instaladas en autos. En algunos países se encuentran sistemas de emergencia a los costados de las rutas que permiten a las personas precisar ayuda, al presionar un botón transmite su ubicación geográfica a la policía.
Comunicación matemática • •
Reconoce y utiliza diferentes formas de representación del triángulo. Utiliza fórmulas de ley de senos, ley de cosenos.
Funcionamiento del rastreo satelital:
Análisis y demostración
•
Triangulación: La base del GPS es la "triangulación de la señal" desde los satélites.
•
•
Distancias: Para "triangular", el receptor de GPS mide distancias utilizando el tiempo de viaje de las señales de radio.
Resolución de problemas
•
Tiempo: Para medir el tiempo de viaje de estas señales, el GPS necesita un control muy estricto del tiempo.
•
•
Posición: Además de la distancia, el GPS necesita conocer exactamente donde se encuentran los satélites en el espacio.
•
Corrección: El GPS debe corregir cualquier demora en el tiempo de viaje de la señal, pues esta puede sufrir retrasos mientras atraviesa la atmósfera.
•
Define los triángulos e identifica las fórmulas a utilizar. Resuelve problemas que involucren la ley de senos y cosenos. Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.
Resolución de triángulos oblicuángulos
Resolución de triángulos Oblicuángulos Conceptos básicos Objetivo El objetivo del presente capítulo es determinar las medidas de los elementos básicos de un triángulo, es decir sus tres lados y tres ángulos, a partir de ciertos datos conocidos, utilizando propiedades geométricas y otras que son propias del curso, tales como:
B
a
Teorema de senos
c
En todo triángulo se cumple que sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos al cual se oponen, siendo la constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
C R
En el triángulo ABC del gráfico se cumple:
A
b
R: circunradio
a b c = = = 2R senA senB senC Donde: a = 2RsenA ⇒ senA =
a 2R
b = 2RsenB ⇒ senB =
b 2R
c = 2RsenC ⇒ senC =
Teorema de cosenos
B
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicados por el coseno del ángulo que forman.
a c
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB
c 2R
2 2 2 → Ojo: cos A = b + c - a
c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
C
2 bc
b
A
Teorema de las proyecciones
B
En todo triángulo se cumple que un lado es igual a la suma de los productos de cada uno de los otros lados con el coseno del ángulo que forman con el primer lado.
c
a = b . cosC + c . cosB
a
b = a . cosC + c . cosA c = a . cosB + b . cosA Colegios
228
TRILCE
A
b
C
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
Síntesis teórica
B a c C
R b A
"senos"
"proyecciones"
"cosenos"
Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC: A = 30°; b = 4; ]B = 45°, calcular "a" b) 2 2
a) 2
c) 3 2
d) 4 2
e) 2 6
Resolución: Graficando el problema, tenemos: C
Por el teorema de senos:
a b = senA senB
a 4 ⇒ a = 4sen30° = sen30° sen45° sen45° 4
A
a
30°
45°
B
2. En un triángulo ABC, simplificar: M = a) 3
Central: 619-8100
b) 1 3
1 2 ⇒a= 1 ⇒a=2 2 2 4
a . senB + b . senA ; si: b = 3c a . senC + c . senA c) 6
d) 1 6
e) 9
Unidad XIII
229
Resolución de triángulos oblicuángulos
Resolución: Por propiedad:
a . senB = b . senA bsenA + bsenA 2b . senA b M= = ⇒M= a . senC = c . senA csenA + csenA 2c . senA c
Pero: b = 3c ⇒ M =
3. En un triángulo ABC: a) 60°
3c =3 c a b c = = , calcular "]C" 3 5 7
b) 120°
c) 135°
d) 30°
e) 45°
Resolución: B
Graficando:
Aplicando el teorema de cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab . cosC
c = 7k
A
a = 3k b = 5k
C
⇒ 49k2 = 9k2 + 25k2 – 30k2 . cosC 49 = 9 + 25 – 30cosC
⇒ cosC = – 1 ⇒ C = 120° 2
a2 + b 2 – c 2 4. En un triángulo ABC, reducir: M = 2 a + c2 – b2 a)
tanA tanA tanC tanB tanB b) c) d) e) tanB tanC tanA tanC tanA
Resolución: Del teorema de los cosenos:
c2 = a2 + b2 – 2ab . cosC ⇒ 2ab . cosC = a2 + b2 – c2
b2 = a2 + c2 – 2ac . cosB ⇒ 2ac . cosB = a2 + c2 – b2
a2 + b 2 – c 2 b cosC En la expresión: M = 2 = 2a b cosC ⇒ M = a + c2 – b2 c cosB 2a c cosB Pero, por el teorema de los senos: b = 2R sen B En la expresión: M =
c = 2R sen C 2R sen B cosC senB cosC tanB = = tanB . cotC ⇒ M = . 2R sen C cosB cosB senC tanC
5. En un triángulo ABC, reducir: J =
a – b cosC b – c cosA c – a cosB , si su perímetro es 20 cm. + + cosB cosC cosA
a) 10 cm b) 20 c) 40 d) 8 e) No se puede determinar Resolución: Como: a = b . cosC + c . cosB ⇒ a – b . cosC = c . cosB b = a . cosC + c . cosA ⇒ b – c . cosA = a . cosC c = a . cosB + b . cosA ⇒ c – a . cosB = b . cosA c cosB a cosC b cosA Luego: J = + + = c + a + b ⇒ J = 20 cm cosB cosC cosA 14243 perímetro Colegios
230
TRILCE
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Trigonometría Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica lo comprendido 4. Determinar "x"
1. Determinar: a/b. C
60°
B
53°
x
4
b
a
A
60°
2. Determine: a/b. C
5
5. Calcular "cosx".
13 5
b a
x
120°
30°
B
A
12
3. Calcular el valor de "x"
2
x 45°
60°
Aprende más... 1. En un triángulo ABC: BA = 30°, BB = 45° y b = 2 2 . Calcular "a" a) 2 d) 1
b) 2 e) 4 2
c) 4
2. En un triángulo ABC, reducir: (R = 6: circunradio)
a+b+c +1 P= senA + senB + senC a) 6 d) 14 Central: 619-8100
b) 8 e) 13
c) 12
3. En un triángulo ABC, reducir: (R: circunradio) M=
a(senB – senC) + b (senC – senA) + c (senA – senB) asenA + bsenB + csenC
a) R d) R 8
b) 2R e) 0
c) R 4
4. Hallar el lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: b = 2; c = 3 y BA = 120°. a) 4 19 d) 19
b) 3 19 e) 5 19
c) 2
Unidad XIII
231
Resolución de triángulos oblicuángulos
5. En un triángulo ABC:
b – a cosC 1 a – b cosC = y = 2. c 2 c 2 b) 30° e) 135°
c) 60°
6. En un triángulo ABC de perímetro 20 cm, calcular: b) 20 e) 50
c) 30
7. En un triángulo ABC: BA = 60°, BB = 15° y b = 5( 6 – 2 ), calcular "a" a) 6 3 d) 9 3
b) 7 3 e) 10 3
c) 8 3
8. En un triángulo ABC, reducir (R = 7, circunradio) Q=
a) 5 d) 1
b) 14 e) 20
c) 16
9. En un triángulo ABC: a = 7 y c = 5, calcular:
b) 18,5 e) 21,5
c) 19,5
c) 3
13. Los lados de un triángulo cumplen la relación: a = b2 + c2 + bc . ¿Cuánto mide el ángulo "A"? a) 50° d) 60°
b) 30° e) 120°
c) 59°
14. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo formado por ellos es 60°. Calcular los otros ángulos del triángulo. a) 30° y 90° b) 45° y 75° c) 53° y 67° d) 110° y 10° e) 60° y 60°
2senA + 5senC P= senA – senC a) 17,5 d) 20,5
b) 2 e) 4
12. Hallar el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son proporcionales a 4; 5 y 6 1 1 1 a) arccos b) arccos c) arccos 5 6 7 1 1 e) arccos d) arccos 8 9
a + b + 3c +2 senA + senB + 3senC
a) 12 d) 18
11. Hallar el lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: b = 4; c = 21 y ]C = 120°
M = (a + b)cosC + (b + c)cosA + (c + a)cosB a) 10 cm d) 40
1 a) 4 b) 8 c) 8 d) 1 e) 2 4
Hallar "BC" a) 15° d) 175°
10. En un triángulo ABC, simplificar: asenB + bsenA ; si: b = 8c J= asenC + csenA
15. Los lados "a" , "b" y "c" de un triángulo ABC verifican la relación: a+b a+c b+c , hallar "secA" = = 13 12 11 a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Si se mira a un objeto desde dos lugares diferentes, la dirección de la visual es distinta en ambos casos. Así, por ejemplo, si un observador es colocado en A mira a un objeto P y la dirección es AP. Si el observador se traslada a B, la dirección en la que se observa al objeto P es ahora BP. La diferencia entre las dos direcciones AP y BP es el ángulo APB, este ángulo recibe el nombre de Paralaje de P. Si A es una posición de la tierra en su trayectoria anual, alrededor del sol (s) B es la posición que ocupa seis meses después (vuelve otra vez a A en un año) y P es una estrella, el ángulo APB se llama Paralaje Anual de la Estrella.
En un instante determinado el ángulo SOL–Tierra– Estrella de una cierta estrella es de 120° y seis meses más tarde mide 53°. Calcule la paralaje anual de la estrella a la distancia a la que se encuentra de la tierra en la primera posición, si la distancia de la primera a la segunda posición es 298 000 000 km.
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P
sol A
B
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Trigonometría Razonamiento Matemático
1
¡Tú puedes! B
1. Del gráfico, calcule "x" 30° x
A a) 12°
b) 16°
30°
D
c) 18°
d) 24°
C
e) 36°
2. En un nABC, cuyos lados miden: a = 4 cm, b = 6 cm y m]C = 60°. Determine: E = c , siendo VC VC, bisectriz interior del ángulo "C". 5 21 c) 5 21 d) 5 21 e) 5 21 a) 5 21 b) 2 4 18 16 32 3. En un triángulo ABC de lados "a", "b" y "c" se verifica que: b = 4c ∧ tan calcule: a)
cosB cosC
5 8
7 9 b) c) 8 8
4. Calcule "b"
B+C B–C + tan = 8, 2 2
7 d) – 8
e) –
9 8
B 90° + b 2b A
a) 8°
b) 10°
c) 15°
b
C d) 18°
e) 12°
5. En un triángulo ABC de lados "a", "b" y "c": m]A = π , m]B = 2π y m]C = 4π , determine el 7 7 7 1 1 equivalente de: W = + b c a)
2 a
b)
1 a 1 a c) d) e) 2a b+c a b–c 18:10:45
Practica en casa 1. En un triángulo oblicuángulo, el lado opuesto al ángulo "A" mide 4 m. Si: senA = 3 sen B, ¿cuánto mide el lado opuesto al ángulo "B"?
3. ¿En qué tipo de triángulo se cumple que:
2. Calcule la medida del lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: m]A = 2m]C; c = 4 m y además: cosC = 0,75.
4. En un triángulo ABC se cumple que:
Central: 619-8100
a b c ? = = cosA cosB cosC
b + c = a 2 ∧ B – C = 90°.
Calcule la medida de los ángulos del triángulo ABC. Unidad XIII
233
Resolución de triángulos oblicuángulos
5. En un triángulo ABC se cumple que: a2 = b2 + c2, calcula la medida del ángulo "A". 6. Del triángulo mostrado, calcula "a" B a 2-1
C
2+1
(b – c)2 + (bcotB + ccotC)2 = 4R2
donde R: circunradio. Calcule la medida del ángulo "A".
11. En un cubo de vértices ABCDA'B'C'D', se toma el punto "N" de la arista AA', de modo que AN = 3NA'. Si q = m]BNC', calcule: 33 cosq.
127° A
10. En un triángulo ABC de lados, "a", "b" y "c", se cumple:
7. Calcule la medida del menor ángulo interno de un triángulo cuyos lados son: 2; 2 y 1 + 3 .
12. Con los elementos de un triángulo ABC, la siguiente expresión:
8. En un triángulo ABC: a = 5, b = 5 3 , c = 5. Determina dos de sus ángulos.
9. En el siguiente triángulo AM es mediana relativa a BC. Determine el valor de "x". A x
a(b2 + c2)cosA + b(a2 + c2)cosB + c(a2 + b2)cosC
a) abc d) 4abc
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30°
TRILCE
M
15°
b) 2abc e) 8abc
c) 3abc
13. Si el circunradio de un triángulo mide 4, determina el valor de la siguiente expresión:
B
Es equivalente a:
M = a (cos B + cos C) + (b + c) cos A senB + senC
C
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Trigonometría Razonamiento Matemático
Repaso
2
Aprende más... 7. Indicar el rango de la función: g(x) = 3 – 2senx
1. Indicar el dominio de la función: 1 1 1 f(x) = sen + 5 x 6 a) R d) R – {1}
a) [2; 5] d) [4; 5]
b) R – {np} c) R – {0} e) R – {(2n + 1)p}
f(x) = 4tanx + 9cotx a) R – 〈– 1; 1〉 b) R– 〈–12; 12〉 c) R–[–12; 12] d) R e) R – 〈– 3; 3〉
g(x) = 2cos(px) + 4 b) R – {p}
d) R – {np}
e) R
c) R –
1
p
d) R – np 3
e) R – np + (– 1)n p 6
4. Indicar el dominio de la función: 3 + cosx f(x) = 3 – cosx
e) R
d) R – (4n + 1)p 2
b) R – {np}
d) R – {(4n + 1) p } 2
a) [0; 3] d) [– 2; 6]
a) [1; 5] d) [3; 7]
b) [0; 4] e) [– 3; 4]
c) [– 1; 3]
b) [2; 5] e) [2; 7]
c) [2; 6]
12. En un triángulo ABC, simplifique: M = (a + b)2(1 – cosC) + (a – b)2(1 + cosC) b) 2a2 e) c2
c) 3b2
13. Del gráfico mostrado, calcule "tana" B 2 P 3
2 senx
b) R – (4n + 1)p 2 n p c) R – {np} d) R – 4 e) R – {(2n + 1)p}
Central: 619-8100
f(x) = sen2x + 2senx
a) 2c2 d) 2b2
c) R – {2np} e) R – np 2
6. Indicar el dominio de la función: h(x) = 1 – a) R
g(x) = cos2x – 2cosx + 3
5. Indicar el dominio de la función: 1 + senx g(x) = 1 – senx a) R
c) [3; 5]
11. Indicar el rango de la función:
b) R – {np}
c) R – {(2n + 1)p}
b) [0; 2] e) [0; 1]
10. Indicar el rango de la función:
b) R – {2np} c) R – np 6
a) R – {0}
9. Indicar el rango de la función: g(x) = 1 – |cosx| a) [– 1; 0] d) [0; 3]
3. Indicar el dominio de la función: 1 h(x) = 2senx – 1 a) R – {np}
c) [3; 5]
8. Indicar el rango de la función:
2. Indicar el dominio de la función: a) R – {0}
b) [1; 5] e) 〈1; 5〉
A
30º 30º
a) 2 3 b) 3 /3 d) 3 e) 3 /2
a
C
c) 3 3
Unidad XIII
235
Repaso
14. Sea "f" la función definida por:
a) 1
1– ; x ∈ – p; 0 f(x) = 3 – 2cos2x 2 3sen2x
d) 0
Entonces el rango de "f" es: a) – ∞; – 2 b) – 1 ; 1 3 4 d) – 2 ; 1 3
c) – 2 ; + ∞ 3
e) – 1; 2 3
15. Señale el dominio de la función: g(x) =
tan4x 2csc4x – 1
3 2 e) – 2 b)
c) 2
2 18. Señale el valor de: M=sen(2arccos ) 3 5 9 d) 4 5 9
a)
b) 2 5 9 e) 5 5 11
c) 3 5 4
7 9 19. Calcule: f = arctan + arctan 2 5
a) (2n + 1) p ; n ∈ Z b) (4n + 1) p ; n ∈ Z 8 8 n p n p d) c) ;n∈Z ;n∈Z 8 4 e) (2n + 1) p ; n ∈ Z 4
p a) p b) – p c) 4 4 2 3 p 2 p d) e) 4 3 20. Si: cos4a + 2sen2a = 0 y cos2a ≠ 0
2 x2 – 3 16. Señale el dom g, si: g(x) = arcsen 7 2 a) [1; 5 ] b) [0; 5 ] c) [– 5 ; 5 ] d) [– 5 ; – 1] ∪ [1; 5 ] e) [– 2; – 1] ∪ [1; 2]
Calcule: cos2a 1 12 3 d) 4
a)
1 2 b) c) 3 9 1 e) 8
17. Si la regla de correspondencia de la gráfica adjunta es: f(x) = a . arccos(bx + c) + d y π 2 f(x)
2
x
Halle el valor de: R=cos(dcp)+tan pa b
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