5-Flujo

Modelado de Sistemas de Potencia

Flujo de carga en Sistemas de Potencia.

CONTENIDO: • Conceptos básicos.

• Planteo del problema del flujo de carga. • Solución del flujo de carga. • Método de Newton Raphson para la resolución del flujo de carga. • Método Desacoplado rápido. •Método de Gauss-Seidel.

PROPÓSITO DEL FLUJO DE CARGA:

Determinación de voltajes, intensidades y potencias activas y reactivas en distintos puntos de una red eléctrica.

HIPÓTESIS DE TRABAJO:

Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales, sin anomalías.

Importancia de los flujos de carga • Permite determinar los flujos de potencia activa y reactiva en una red eléctrica. • Permite determinar los voltajes en las barras de una red eléctrica. • Permite calcular las pérdidas en una red eléctrica. • Permite estudiar las alternativas para la planificación de nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes. • Permite evaluar los efectos de pérdidas temporales de generación o de circuitos de transmisión.

Importancia de los flujos de carga • Permite evaluar los efectos de reconfigurar los circuitos de un SEP (por ejemplo ante la pérdida de una línea de transmisión). • Permite evaluar las mejoras que se producen ante el cambio en la sección de los conductores de un SEP.

Conceptos básicos

Problema del flujo de carga Ejemplo: Problema de flujo de carga para una red eléctrica de dos barras: Vs0º

Vr  ?

Vs -dado jX

Pr, Qr - dado G

Ps, Qs = ?

(carga)

Conceptos básicos

Potencia compleja

Potencia compleja constante entregada a la carga.



V

I I V

Carga

P&Q constantes.

S  V Iˆ

S  P  jQ  VI cos  jVI sen

Q = P tan 

Conceptos básicos

Problema de flujo de carga Vs 0

Vr  ? jX

Pr, Qr - dado G

Ps, Qs = ?

I

(carga)

V s  Vr  jXI S  V Iˆ Pr  jQ r V s  Vr  jX Vˆ r

Relación no lineal!

Conceptos básicos

Problema de flujo de carga Solución Analítica: (posible solo para casos muy simples)

Vs  Vr  jX 

Pr  jQr Vr

(Vs  Vr ) Vˆr  jX  ( Pr  jQr )

VsVr (cos  j sen )  Vr  jXPr  XQ r 2

VsVr cos  Vr  XQr 2

VsVr sen   XPr

Conceptos básicos

Problema de flujo de carga VsVr cos  Vr  XQr 2

VsVr sen   XPr

Vs Vr (cos2   sen2  )  (Vr  XQr )2  ( XPr )2 2

2

2

Vr  (2 XQr  Vs ) Vr  X ( Pr  Qr )  0  Vr 4

2

2

2

2

VsVr Pr   sen   X

2

Conceptos básicos

Problema de flujo de carga Vr  (2 XQr Vs ) Vr  X 2 (Pr  Qr )  0 Pr   4

2

Datos:

2

2

2

 Pr  jQr  0.8  j 0.4( pu ) X  0.1( pu ) Vr  0.92  Vr  0.008  0 4

2

H  Vr  H 2  0.92  H  0.008  0 2

 H1  0.9112 H 2  0.008779

VsVr sen X

Posibles soluciones Vr



+0.9545

-4.807

buena

+0.0937

-58.93

mala

-0.9545

+4.807

mala

-0.0937

+58.93

mala

comentario

Número de soluciones posibles:

2

2 !

Un procedimiento iterativo (Gauss Seidel) Vs  Vr  jX 

Pr  jQr Vˆ r

El algoritmo: 1. Fijar el índice de iteración i en 0. 2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y fase - usualmente V=1 =0)

3.Calcular

Vs  Vr  jX 

Pr  jQr Vˆ ( i ) r

4. Calcular nuevo

Vˆr ( i  1)

5. Calcular Vr (i  1)  Vr (i)  

6. Si el criterio de convergencia no es satisfecho, fijar i=i+1 e ir a 3.

Cálculo de las potencias de entrada Ps, Qs = ? Vs 0

Vr  jX

Pr, Qr - dado G

Ps, Qs = ?

I

(carga)

Pr  jQr ˆ ˆ Ps  jQ s  Vs I  Vs Vr 0.8  j 0.4 0.9545cos(4.807)  j sen(4.807) Ps  jQ s  0.8  j 0.4878 Ps  jQ s 

Transporte de potencia activa (Qr=0) Vs 0

Vr  jX Pr Ps,Qs



Pr

Vr

Ps

Qs

0.5

0.999 -2.87 0.5

0.025

1

0.995 -5.77 1

0.1

1.6

0.987 -9.33 1.6

0.26

Transporte de potencia reactiva (Pr=0) Vs 0

Vr  jX Qr Ps,Qs

Qr

Vr

0.5



Ps

Qs

0.947 0

0

0.53

1

0.887 0

0

1.127

1.6

0.8

0

2

0

Control de potencia activa y reactiva VsVr cos  Vr  XQr 2

VsVr sen   XPr VsVr Pr   sen X VsVr Pr  ( s   r ) X

La potencia activa depende en forma proporcional de la diferencia entre los ángulos de fase de los voltajes de las barras.

Vr Qr  (Vs cos  Vr ) X Vr Qr  (Vs  Vr ) X

La potencia reactiva depende en forma proporcional de la diferencia entre los módulos de los voltajes de las barras.

Ejercicio Realizar el cálculo de flujo de carga para el sistema de dos barras: Vs 0

Vr  ? R+jX

Ps,Qs=?

Pr,Qr dados

Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu (Vr=0.9677 -2.99º)

Flujo de carga para dos barras interconectadas mediante una línea de transmisión. V1

V2 = 110kV

Línea de transmisión de 110kV

P1,Q1=?

20MW 10MVar

Long. de linea 1-2

Resistencia r’[/km]

Reactancia x’[/km]

Susceptancia Shunt b’ [S/km]

60km

0.200

0.430

2.60

Modelo de línea de transmisión.

i

jBs 2

Rik  jX ik

k

jBs 2

Balance de Potencia. P1

Q1

P1 ' Q1 '

P2 '

Rik  jX ik

P2 Q2 ' P2

1

V1

2

Q10

P10

P20

G+T

Q20

V2 L

ys / 2

ys / 2

Parámetros de líneas de transmisión. R  r '* L  0.2 * 60  12 X  x'* L  0.43* 60  25.8 B  b'* L  2.6 * 60  156S

R 12 r   0.099174 Z b 121 X 25 .8 x   0.. 21322 Z b 121

Vb  110kV Sb  100MVA

2

Vb 1102 Zb    121 Sb 100

b  B  Z b  156 10 6 121  0.01888

Cálculo de balance de Potencia. P2  0.2

Demanda de Carga

Q2  0.1

P2 ' Q2 '

b 0.01888 Q20  V2   1   0.00944 2 2 Q20  0.944MVAr

P2 P2

2

P2 '  P2  0.2 Q2 '  Q2  Q20  0.1  0.00944  0.09056

P20

Q20

2

V2

Cálculo de caída de tensión. P2 ' r  Q2 ' x P2 ' x  Q2 ' r V1  V2  V  j  V2 V2 V  (0.2  0.099174 0.09056 0.21322)  j (0.2  0.21322  0.09056 0.099174) V  0.03914  j 0.033663

Voltaje de entrada V1  V2  V  1  0 j  0.03914  j 0.033663  1.03914  j 0.033663  V1  114.37

 1  1.86º

Cálculo de las pérdidas en la línea  Vˆ S se  V  Iˆ se  V    Zˆ  se

 V   ˆ Z se  2

0.03914 j 0.033663 ˆ S se  0.099174 j 0.21322 Sˆ  0.0048  j 0.0103 se

Sˆ se  0.48MW  j1.03MVAr

2

Generación. P1

S se  0.0048  j 0.0103

Q1

P2 '  0.2

P1 ' Q1 '

1

Q2 '  0.09056

V1

Q10

P10

G+T

P1 '  0.2048 Q1 '  0.10086

ys / 2

Generación. P1

Q1

V1  1.03914  j 0.033663 V1  1.0397

1

b 0.01888 Q10  V1   1.0397   0.0102 2 2 2

P1  P1 '  0.2048 Q1  Q1 'Q10  0.10086  0.0102  0.09065

P1 ' Q1 '

V1

Q10

P10

G+T

ys / 2

Resumen del balance de potencia P1

Q1

P1 ' Q1 '

P2 '

Rik  jX ik

P2 Q2 ' P2

1

V1

2

Q10

P10

P20

Q20

G+T

V2 L

ys / 2

P1  0.2048

ys / 2

Ploss  0.0048

Q1  0.09065 Qloss  0.00944

P2  0.2 Q2  0.1

Carga, generación y modelado de la red en análisis de flujo de carga.

Modelado de los componentes del sistema. • Líneas de transmisión - circuito Pi

• Transformadores - impedancia • Generadores - Potencia activa constante con capacidad de control (limitado) de voltaje del primario (P = cte, V= cte).

• Cargas - Potencia compleja constante (P = cte, Q= cte).

Línea de transmisión. i

Rik  jX ik

jBs 2

jBs 2

i

jBs 2

k

Yik

k

jBs 2

Generadores y Cargas. •Generadores Potencia Activa - inyección constante Potencia reactiva - regulación de voltaje

•Demanda de carga Inyección constante de potencia activa y reactiva

Flujo de carga & Balance de potencia 1

S gi

i

S i1 S ik

Si

Sdi

k

S in

Carga n

Análisis Voltaje - Corriente versus Análisis voltaje - potencia. k n

I i  I gi  I di   I ik

1

k 1

I gi

i

I i1

k

Ii

I di

I in

Carga n

Análisis Voltaje - Corriente y la Matriz Ybus k n

I i  I gi  I di   I ik

1

I gi

k 1

I   Y  V  inj

i

bus

y ii   Yik   Yi

k

Ii

y ik  Yik , i  k n

I i1

shunt

I di

i 1

V   Ybus 1  I inj 

I in

Carga

n Sistema de ecuaciones lineales Vtierra=0

Análisis Voltaje - Potencia Inyección en la red 1

k n

S i  S gi  S di   S ik

S gi

k 1

i

S i1

S ik

G

k

S i  Vi  Iˆ i S di

*

k n   S i  Vi    y ikVk   Vi   yˆ ikVˆk k 1  k 1  k n

S in

Sistema de ecuaciones no lineales

n

Forma de las ecuaciones de flujo de carga. k n

S i  Vi   yˆ ikVˆk k 1

Voltaje en forma polar

Vi  V i e

Voltaje en forma rectangular

j i

Vi  Vi re  jVi im

Admitancia en forma polar

y ik  y ik e

j ik

Admitancia en forma rectangular

yik  gik  jbik

Forma polar de las ecuaciones de flujo de carga k n

S i   Vi  Vk  e j ik  ( g ik  jbik ) k 1

k n

S i   Vi  Vk  (cos ik  j sen ik )  ( g ik  jbik ) k 1

El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras que la admitancia está expresada en coordenadas rectangulares.

Balance de potencia activa y reactiva. k n

k n

Pi  Pgi  Pdi   Pik

Qi  Qgi  Qdi   Qik

k 1

k 1

1

1

Pgi

i

Pi1

Pik

G

Pdi

Qgi k

Pin

Qik

k

G

Qdi

n

i

Qi1

Qin

n

Ecuaciones de flujo de carga k n

Pi calc   Vi  Vk  ( g ik cos ik  bik sen ik ) k 1

k n

Qicalc   Vi  Vk  ( g ik sen ik  bik cos ik ) k 1

i=1,2,3...n

Pi sp  Pi calc especificado

Qisp  Qicalc balance de pot. activa y reactiva

funciones de voltajes complejos desconocidos

Ecuaciones de flujo de carga Pi sp  Pgi  Pdi

Pi sp  Pi calc

Qisp  Qgi  Qdi

Qisp  Qicalc

Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es especificada, la ecuación de balance de energía no puede ser definida. (si la barra i no tiene generación o carga, la potencia especificada es igual a cero.)

Potenciales variables desconocidas:

Pi , Qi ,Vi , i

Tipos de barras • Barras de carga (PQ): • No hay generación

Pi sp   Pdi

• Potencia activa y reactiva

Qisp  Qdi

especificada

• Barras de generación (PV): • Voltaje constante y especificado • Potencia activa especificada

Pi sp  Pgi  Pdi Vi  Vi sp

Número de incógnitas y número de ecuaciones • Hipótesis: Sistema de n barras Ng -

cantidad de barras de generación y voltaje controlado

Nd -

cantidad de barras de carga

n = Ng + Nd

Número de incógnitas y número de ecuaciones • Para cada barra de generación tengo:

• una ecuación de balance de potencia activa Pi sp  Picalc • el voltaje de la barra especificado

Vi  Vi sp

• Para cada barra de carga tengo: • una ecuación de balance de potencia activa Pi sp  Picalc

• una ecuación de balance de potencia reactiva Qisp  Qicalc

Número de incógnitas y número de ecuaciones • Cuatro variables por cada barra: Pi , Qi ,Vi , i Qisp  Qicalc

N d ecuaciones

Pi sp  Picalc

n ecuaciones

i

n incógnitas

Vi N d incógnitas Las potencias reactivas Qi de las barras de generación pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes de las barras (módulos y fases)

Barra flotante • ¿Es posible especificar la potencia activa inyectada por todos los generadores y la potencia activa consumida por las cargas en forma independiente?

Ppérdidas   Pgi   Pdi Las pérdidas RI2 no son conocidas inicialmente

Barra flotante Una barra del sistema puede realizar el balance de potencia activa demandada y potencia activa consumida (BARRA FLOTANTE) •

• ¿Es este criterio razonable?

• La potencia activa se transmite “bien” a través del sistema

Barra flotante ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en el sistema? •

• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el balance de reactiva en el sistema?

• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través del sistema (produce caídas de tensión importantes) • Cada barra PV realiza el balance de reactiva en forma local

Modelado de sistemas de potencia.

Resolviendo el problema de flujo de carga.

Ejercicio: Ecuaciones de flujo de carga. • Formar Matriz Ybus del sistema. • Determinar tipos de barras. • Listar variables conocidas y desconocidas.

• Escribir las ecuaciones de flujo de carga. P=0.5 V=1

j0.1 1.5+j0.8 2

1 j0.2

3

j0.25

P=1, V=1

Ybus.

j5   j15 j10   Y  G  jB   j10  j14 j 4   j 5 j 4  j 9

Tipos de barras. Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados) Barra 2: Barra PQ (V2 y 2 desconocidos) 2 ecuaciones - balance de

P=0.5 V=1

j0.1 1.5+j0.8 2

1 j0.2

3

j0.25

potencia activa y reactiva. P=1, V=1 Barra 3: Barra PV - 3 desconocido (V3 especificado)

1 ecuación: balance de potencia activa.

Ecuaciones. k n

P2   V2  Vk b2 k sen 2 k k 1

 1.5  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 ) k n

P3   V3  Vk b3k sen 3k k 1

1  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 ) k n

Q2   V2  Vk b2 k cos 2 k k 1

 0.8  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 )

Métodos para resolver las ecuaciones de flujo de carga. • Ecuaciones de flujo de carga: Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.

• Métodos: Método de Gauss-Seidel. Método de Newton-Raphson. Algoritmo de desacoplado rápido de flujo de carga.

Método de Newton Raphson. Idea básica. f ( x)  x 2  5x  4  0,

x0  6

f ( x)  0, x  ?

1

4

6

Método de Newton - Raphson. Ejemplo f ( x)  x 2  5 x  4  0,

df ( x) f ( x  x)  f ( x )  dx r

x0  6

 x  0

r

x xr

df ( x)  2x  5 dx df ( x) f (6  x)  f (6)   x  10  7x dx x 6 ¿Qué tan buena es esta aproximación?

Método de Newton Raphson. Ejemplo df ( x) f (6  x)  f (6)   x  10  7x  0 dx x 6 x  10 / 7  1.43 x new  x old  x  6  1.43  4.57 f (4.57  x)  f (4.57) 

df ( x)  x  2.04  4.14x  0 dx x  4.57

x  2.04 / 4.14  0.49 x new  x old  x  4.57  1.49  4.08

Método de Newton Raphson. Ejemplo df ( x) f (4.08  x)  f (4.08)   x  0.24  3.16x  0 dx x  4.08 x  0.24 / 3.16  0.08 x new  x old  x  4.08  0.08  4 f (4)  0

Método de Newton-Raphson. Ejemplo f ( x)  x 2  5 x  4  0,

x0  6

df r x f ( x) x x r 1 dx 1 6.000 10.00 7.000  1.429 4.571 r

2 4.571 2.039 4.142  0.492 4.079 3 4.079 0.242 3.157  0.077 4.002 4 4.002

0.06

3.004  0.002 4.000

Método de Newton-Raphson. Resumen El caso de una dimensión: x0  6

f ( x)  x 2  5 x  4  0,

df ( x) f ( x  x)  f ( x )   x  0 dx x  x r r

r

 df ( x)   x   f ( x )    dx x  x r  x r 1  x r  x r

1

Sistemas de ecuaciones no lineales. Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.

f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.

 f1 ( x1 ,...,xn )  0  f ( x ,...,x )  0  2 1 n  .........   f n ( x1 ,...,xn )  0  f1  f  F   2  ...     fn 

F ( x)  0

 x1  x  x   2  ...     xn 

Método de Newton-Raphson Aproximación lineal por Taylor:

f1 ( x) f1 ( x) f1 ( x  x)  f1 ( x)  x1  .... xn x1 xn f 2 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x  x)  f 2 ( x)  x1  .... xn x1 xn ............... f n ( x) f n ( x) f n ( x  x)  f n ( x)  x1  .... xn x1 xn

Método de Newton-Raphson Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr

f1 ( x) f1 ( x) f1 ( x  x)  f1 ( x )  x1  .... xn  0 x1 x  x r xn x  x r r

r

f 2 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x  x)  f 2 ( x )  x1  .... xn  0 x1 x  x r xn x  x r r

r

............... f n ( x) f n ( x) f n ( x  x)  f n ( x )  x1  .... xn  0 x1 x  x r xn x  x r r

r

Método de Newton-Raphson Estimación del error x:

 f1 ( x)  f1 ( x r )   x1  f 2 ( x) r   f ( x )  2   ...   x1 ...  r   f n ( x )  f n ( x)   x1

f1 ( x) f1 ( x)  ... x2 xn   x1   0   f 2 ( x) f 2 ( x)  x   0  ... 2    x2 xn    ...  ...  ... ... ...      f n ( x) xn   0  ... ...  xn 

Método de Newton-Raphson Matriz Jacobiana

 f1 ( x)  x 1  f 2 ( x)  J ( x r )   x1  ...  f ( x)  n  x1

f1 ( x) f1 ( x)  ... x2 xn   f 2 ( x) f 2 ( x)  ... x2 xn  ... ... ...  f n ( x)  ... ...  xn  estimador lineal del error

Vector de apartamiento

 f1 ( x r )   r  f ( x ) F (xr )   2  ...   r   f n ( x )

 x1   x  x   2   ...     x n 

Método de Newton-Raphson  f1 ( x)  x  x1  1  x  f 2 ( x)   2     x 1  ...   ...    f ( x) xn   n  x1 estimador lineal del error

1

f1 ( x) f1 ( x)  ... x2 xn   f1 ( x r )    f 2 ( x) f 2 ( x)  r  f 2 ( x ) ...  x2 xn    ...   ... ... ...  r   f n ( x)  f n ( x ) ... ...  xn 

Método de Newton-Raphson  x1r 1   x1r   x1   r 1   r     x x x  2    2   2  ...   ...   ...   r 1   r     xn   xn  xn 

Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia

Elegir las variables de estado (x): (a) Para barras PQ, elegir la magnitud del voltaje de barra y su ángulo de fase asociado. (b) Para barras PV, elegir el ángulo de fase (la magnitud del voltaje es fija) Para barra flotante (referencia), tanto magnitud de voltaje como ángulo de fase son cantidades especificadas.

  x  V 

PQ&PV PQ

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia Pi sp  Pi ( x)

especificado

Q  Qi ( x) sp i

funciones de x desconocidas

 P( x)  P sp  F ( x)   0 sp  Q( x)  Q  k n

Pi  Pi   Vi Vk ( g ik cos ik  bik sen ik ) sp

k 1

k n

Qi  Q   Vi Vk ( g ik sen ik  bik cos ik ) sp i

k 1

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia r   P ( x ) r F ( x )   0 r  Q( x )

F ( x r )  J ( x r )  x  0  J ( x r )  x   F ( x r )

    P( x r )  J      r   V   Q( x ) H r  r M

PQ&PV PQ

N r      P( x r )      r   L  V / V  Q( x r )

PQ&PV PQ

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia

H ii 

  Pi   Vi  i

k n

V k 1 k i

k

(bik cos ik  g ik sen ik )

H ii  Qir  biiVi 2

H ik 

  Pi   Vi Vk ( g ik sen ik  bik cos ik )  k

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia

M ii 

  Qi   Vi  i

k n

V k 1 k i

k

( g ik cos ik  bik sen ik )

M ii  Pi r  g iiVi 2

M ik 

  Qi    Vi Vk ( g ik cos ik  bik sen ik )  k

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia

( Pi ) N ii  Vi  Pi r  g iiVi 2 Vk N ik

(  Pi )  Vk   M ik Vk

Lii  Vi

(  Qi )  Qir  biiVi 2 Vi

(  Qi ) Lik  Vk  H ik Vk

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia H r  r M

N r      P( x r )      r   L  V / V  Q( x r )

    H V / V    r   M

N   P( x r )   r  r  L  Q( x )

r

x

r 1

1

PQ&PV PQ

r

    x   V  r

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de potencia Características del método:

1. Velocidad de convergencia ‘cuadrática’ (el número de cifras significativas se duplica luego de cada iteración) 2. Confiable, no sensible a la elección de la barra flotante. 3. Solución precisa obtenida luego de 4-6 iteraciones. 4. J debe ser re-calculada e invertida luego de cada iteración. (J es una matriz esparsa, tiene estructura simétrica, pero los valores no son simétricos)

Método de Newton Raphson Ejemplo Resolver el problema de flujo de carga usando el método de NR: V=1, =0

j0.1 1.5+j0.8 2

1 j0.2

3

j0.25

P=1, V=1

Método de Newton-Raphson Ejemplo Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados) Barra 2: Barra PQ (V2 y 2 desconocidos) 2 ecuaciones - balance de potencia activa y reactiva. Barra 3: Barra PV - 3 desconocido (V3 especificado)

1 ecuación: balance de potencia activa.

V=1, =0

j0.1 1.5+j0.8 2

1

j0.2

3

j0.25 P=1, V=1

Método de Newton-Raphson Ejemplo j5   j15 j10 Y  G  jB   j10  j14 j 4   j 5 j 4  j 9

 2  3 V2

J

P2 P3 Q2

 H 22 H  32  M 22

H 23 H 33 M 23

N 22  N 32  L22 

Método de Newton-Raphson Ejemplo k n

P2   V2 Vk b2 k sen 2 k  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 ) k 1

k n

P3   V3 Vk b3k sen 3k  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 ) k 1

k n

Q2   V2 Vk b2 k cos 2 k  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 ) k 1

Método de Newton-Raphson Ejemplo V10  1, V20  1, V30  1,10  0, 20  0, 30  0 P2  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 )  110 1sen 0  4 1sen 0  0 P3  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 )  15 1sen 0  4 1sen 0  0 Q2  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 ) 

14 1  110 1cos0  4 1cos0  0

Método de Newton-Raphson Ejemplo k n

Pi  Pi   Vi Vk ( g ik cos ik  bik sen ik ) sp

k 1

k n

Qi  Q   Vi Vk ( g ik sen ik  bik cos ik ) sp i

k 1

 P2    1.5  0    1.5   P    1.0  0    1.0   3     Q2   0.8  0  0.8

Método de Newton-Raphson Ejemplo 2

P2 J P3 Q2

V2    Q2  14V22  4V2V3 cos( 2   3 ) P2   2  4 V V cos(    )  Q  9 V  4 V V sen(    ) 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3   2   P  4 V V sen(    ) Q  14 V 2 2 3 2 3 2 2  

 2 ........  3 ........ V2

P2 J P3 Q2

3

 14.000  4.000 0.000     4 . 000 9 . 000 0 . 000    0.000 0.000 14.000

Método de Newton-Raphson Ejemplo 0.0818 0.0364 0.0000 J 1  0.0364 0.1273 0.0000 0.0000 0.0000 0.0714

  2  0.0818 0.0364 0.0000   1.5      0.0364 0.1273 0.0000   0  3       V2 / V2  0.0000 0.0000 0.0714  0.8   2   0.0864      0.0727  3     V2 / V2    0.0571

Método de Newton-Raphson Ejemplo

     2  0  0.0864  0.0864 1 2

0 2

 31   30   3  0  0.0727  0.0727 V2 V  V V  1  1 0.0571  0.9429 V2 1 2

0 2

0 2

Esto completa la primer iteración. Ahora re-calculamos las potencias de la barra con los nuevos valores de las variables de estado:

Método de Newton-Raphson Ejemplo V11  1, V21  0.9429 , V31  1,11  0, 21  0.0864 , 31  0.0727 P2  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 )  1.4107 P3  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 )  0.9608

Q2  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 )  0.6715

 P2    1.5  1.4107   0.0893  P    1.0  0.9608    0.0392   3     Q2   0.8  0.6715  0.1285

Método de Newton-Raphson Ejemplo 2

P2 J P3 Q2

V2    Q2  14V22  4V2V3 cos( 2   3 ) P2   2  4 V V cos(    )  Q  9 V  4 V V sen(    ) 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3   2   P  4 V V sen(    ) Q  14 V 2 2 3 2 3 2 2  

2

P2 J P3 Q2

3

3

V2  13.1172  3.7238  1.4107    3 . 7238 8 . 7106 0 . 5975     1.4107 0.5975 11.7742 

Método de Newton-Raphson Ejemplo 0.0086  0.0876 0.0369 J 1  0.0369 0.13707  0.0022 0.0086  0.0022 0.0861 

0.0086   0.0893   2  0.0876 0.0369     0.0369 0.13707  0.0022   0.0392  3       V2 / V2  0.0086  0.0022 0.0861   0.1285   2    0.075       0.021  3     V2 / V2   0.0119

Método de Newton-Raphson Ejemplo

     2  0.0864  0.0075  0.09385 2 2

1 2

 32   31   3  0.0727  0.0021  0.07485 V2 V  V V  0.9429  0.0119  0.9429  0.9316 V2 2 2

1 2

1 2

Esto completa la segunda iteración. Ahora re-calculamos las potencias de la barra con los nuevos valores de las variables de estado:

Método de Newton-Raphson Ejemplo V12  1, V22  0.9316 , V32  1,12  0, 22  0.09385 , 32  0.07485 P2  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 )  1.4987 P3  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 )  0.9995

Q2  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 )  0.7979

 P2    1.5  1.4987   0.0013  P    1.0  0.9995    0.0005   3     Q2   0.8  0.7979   0.0021

Método de Newton-Raphson Ejemplo 2

P2 J P3 Q2 P2 J P3 Q2

3

V2    Q2  14V22  4V2V3 cos( 2   3 ) P2   2  4 V V cos(    )  Q  9 V  4 V V sen(    ) 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3   2   P  4 V V sen(    ) Q  14 V 2 2 3 2 3 2 2   2 3 V2  12.9488  3.7736  1.4987    3 . 6736 8 . 6596 0 . 6257     1.4987 0.6257 11.3529 

Método de Newton-Raphson Ejemplo 0.0097  0.0888 0.0370 J 1  0.0370 0.1313  0.0024 0.0097  0.0024 0.0895 

0.0097   0.0893   2  0.0888 0.0370     0.0370 0.1313  0.0024   0.0392  3       V2 / V2  0.0097  0.0024 0.0895   0.1285   2   0.00012      0.00002  3     V2 / V2   0.00020

Método de Newton-Raphson Ejemplo

     2  0.09385  0.00012  0.09397 3 2

2 2

 33   32   3  0.07485  0.00002  0.7486 V2 V  V V  0.9316  0.0002  0.9316  0.9314 V2 3 2

2 2

2 2

Esto completa la tercera iteración. El método ha convergido ya que el vector de apartamiento es casi cero.

Método de Newton-Raphson Ejemplo V13  1, V23  0.9314 , V33  1,13  0, 23  0.09397 , 33  0.07486 P2  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 )  1.5 P3  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 )  1

Q2  14V22  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 )  0.8

 P2  0  P   0  3   Q2  0

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD) Desacoplando las ecuaciones

H  M

N      P     L  V / V  Q 

H    N  V / V  P  H M    L  V / V  Q  LV / V

PQ&PV PQ

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD) Desacoplando las ecuaciones

H     P  L V / V   Q

PQ&PV

PQ

Las ecuaciones están desacopladas pero los coeficientes de las matrices H y L son interdependientes: H depende del módulo del voltaje, L depende del ángulo de fase. Este esquema requiere evaluación de las matrices en cada iteración.

Simplificaciones de Stott & Alsac 1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema son usualmente pequeñas:

cos( i   k )  1

sen( i  k )   i  k

2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las conductancias de línea Gik:

Gik sen( i   k )  Bik cos( i   k ) 3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa barra se corticircuitaran al neutro del sistema: 2

Qi  Vi Bii

Elementos Jacobianos Potencia activa

H ii  Qir  biiVi 2 H ii   Vi  bii  Vi H ik  Vi  Vk  ( g ik sen ik  bik cos ik ) H ik   Vi  bik  Vk

Elementos Jacobianos Potencia reactiva

Lii  Qir  biiVi 2 Lii   Vi  bii  Vi Lik  Vi  Vk  ( g ik sen ik  bik cos ik ) Lik   Vi  bik  Vk

Modificaciones posteriores

 V  B'V     P   V  B' 'V  V / V   Q   B'V     P / V   B' 'V  V / V   Q / V 

PQ&PV

PQ

PQ&PV

PQ

Modificaciones posteriores

 B'V     P / V   B' 'V  V / V   Q / V 

PQ&PV

PQ

Desacoplado rapido de las ecuaciones.

 B'    P / V   B' ' V   Q / V 

PQ&PV

PQ

Método de desacoplado rápido Características  B'    P / V   B' ' V   Q / V 

PQ&PV PQ

1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales. 2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con gradiente constante. (El resultado final es el correcto!) 3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución se puede obtener mucho más rápido. 4. FD es más robusto que NR (puede encontrar soluciones donde NR falla) 5. Problemas potenciales en redes con R>X.

Método de desacoplado rápido Ejemplo Resolver el problema de flujo de carga usando el método FD: V=1, =0

j0.1 1.5+j0.8

2

1 j0.2

3

j0.25

P=1, V=1

Método de desacoplado rápido Ejemplo Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)

j0.1 1.5+j0.8

Barra 2: Barra PQ (V2 y 2 desconocidos) 2 ecuaciones - balance de potencia activa y reactiva. Barra 3: Barra PV - 3 desconocido (V3 especificado)

1 ecuación: balance de potencia activa.

2

1

j0.2

3

j0.25 P=1, V=1

Método de desacoplado rápido Ejemplo

j5   j15 j10   Y  G  jB   j10  j14 j 4   j 5 j4  j 9 b22 P2 / V2       P3 / V3  b32

b23   2    b33    3 

Q2 / V2   b22  V2 

Método de desacoplado rápido Ejemplo b22 b23   2  P2 / V2         P / V    3 3 b32 b33   3  P2 / V2   14  4  2          4 9    3   P3 / V3   2  0.0818 0.0364 P2 / V2          P / V 0 . 0364 0 . 1273   3 3  3 

Método de desacoplamiento rápido Ejemplo V10  1, V20  1, V30  1,10  0, 20  0, 30  0 P2  V2 10V1 sen 2  4V3 sen( 2   3 )  110 1sen0  4 1sen0  0 P3  V3 5V1 sen 3  4V2 sen( 3   2 )  15 1sen0  4 1sen0  0 P2 / V20   1.5    0 1   P3 / V3  

Apartamiento de potencia activa

Método de desacoplado rápido Ejemplo  2  0.0818 0.0364  1.5         3  0.0364 0.1273  1   2   0.08636      0 . 07273   3 

 21   20   2  0  0.08636  0.08636  31   30   3  0  0.07273  0.07273

Método de desacoplado rápido Ejemplo

Q2 / V2   b22  V2  Q2 / V2   14 V2  V2   0.0714 Q2 / V2  2 Q2  14V2  V2 10V1 cos 2  4V3 cos( 2   3 )  0.0878 Q2 / V2   (0.8  0.0878) / 1  0.8878 V2   0.0714 0.8878  0.06341 V  V  0.06341  0.9366 1 2

0 2

Apartamiento de potencia reactiva

Método de desacoplado rápido Ejemplo V11  1,V21  0.9366,V31  1, 11  0, 21  0.0864, 31  0.0727 P2  1.500  0.09864  0.00827  0.00070  0.00006

P3 1.00 0.04319 0.00582 0.00057 0.00005

2

3

 0.08636  0.09341  0.09392  0.9396  0.09397

0.07273 0.07439 0.07481 0.07486 0.07486

Q2 V2  0.8878 0.9366  0.06197 0.93186  0.00507 0.093147  0.00042 0.93144  0.00004 0.93144