5 Exercices Plasticite 1

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UVSQ - Master SPI - M1ME220

Modèles Avancés en Mécanique des Solides

Critères de limite d’élasticité Exercice 1 Critères de Tresca et de Von Mises. Dans la zone la plus sollicitée d’une pièce chargée, on relève l’état de contrainte suivant : σxx = 200M pa, σyy = −100M pa, σzz = 200M pa, σxy = 50M pa, σxz = 0M pa et σyz = 0M pa. La limite élastique est identifiée sur la courbe de traction présentée ci-dessous (contrainte à 0.2% de déformation résiduelle). σ σ0=270MPa

ε 0.2%

1. Comparer les contraintes principales à la limite élastique. 2. Appliquer le critère de Tresca. 3. Appliquer le critère de Von Mises. Exercice 2 Facteur de sécurité. Dans la zone la plus sollicitée d’une pièce en état de contraintes planes, on relève l’état de contrainte suivant : σxx = 30M pa, σyy = −50M pa, σxy = 30M pa. La limite élastique est σ0 = 300M P a. Quels sont les facteurs de sécurité vis-à-vis des critères de Tresca et de Von Mises. Exercice 3 Facteur de sécurité. On sollicite dans la direction z une pièce en état de contraintes planes sur laquelle on mesure, dans la zone la plus sollicitée, l’état de contrainte suivant : σxx = 50M pa, σyy = 50M pa, σxy = 80M pa. La limite élastique est σ0 = 600M P a et on prend un coefficient de sécurité de 1, 8. Quelles sont les limites admissibles pour σzz au regard des critères de Tresca et de Von Mises. Exercice 4 Effort sur une vis. On utilise une perceuse capable d’appliquer un couple de 100N m pour visser une vis de 4mm de diamètre. Lors du vissage, on applique en plus un effort de 400N sur la vis. La vis est constitué d’un matériau dont la limite élastique est σ0 = 300M P a. Lorsque la vis est bloquée, vérifier si elle plastifie, en utilisant les critères de Tresca et de Von Mises.

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Modèles Avancés en Mécanique des Solides

Comportement élasto-plastique parfait Exercice 1 Comportement élasto-plastique d’une barre. Une barre de section S et de longueur L est constituée d’un matériau élasto-plastique parfait de module d’Young E et de limite élastique σe . Préciser la forme de l’état de contrainte dans la barre. Exprimer le comportement reliant l’effort normal N et l’allongement ∆L. Exercice 2 Comportement d’un assemblage isostatique de deux barres élasto-plastiques. Deux barres de même longueur L et de même section S sont assemblées comme présenté sur la figure et soumise à un chargement de traction par un effort F . Les deux barres sont constituées de deux matériaux élastoplastiques parfaits de modules d’Young respectifs E1 et E2 et de limites élastiques σe1 et σe2 . E 1 , S, L,σe1

E 2 , S, L,σe2

           













































                                  













































                                    













































                                                                













































  

F

Déterminer le comportement élastoplastique de l’assemblage. Exercice 3 Comportement d’un assemblage hyperstatique de deux barres élasto-plastiques. Deux barres de même longueur L et de même section S sont assemblées comme présenté sur la figure et soumise à un chargement de traction par un effort F . Le chargement est appliqué par l’intermédiaire d’une plaque indéformable qui ne peut que se déplacer que dans l’axe des barres. Les deux barres sont constituées de deux matériaux élastoplastiques parfaits de modules d’Young respectifs E1 et E2 et de limites élastiques σe1 et σe2 . E 1 , S, L,σe1

























































































































































































































































                                                                                                                                                                                                                

F

E 2 , S, L,σe2

Déterminer le comportement élastoplastique de l’assemblage. Exercice 4 Comportement élastoplastique d’une poutre en flexion. On considère une poutre élastoplastique formée d’un cylindre de section rectangulaire de taille a × b. Elle est soumise à un moment de flexion uniforme M. 1. Donner la répartition de contrainte normale dans une section droite dans le cas d’un comportement élastique. Définir la zone la plus sollicitée. La contrainte limite en traction est σe . Définir le moment maximal admissible de manière à ce que la poutre reste élastique. 2. On augmente la valeur du moment appliqué. Définir la zone plastique. Définir le moment maximal admissible avant la ruine de la structure. 3. Tracer l’évolution du moment de flexion en fonction de la courbure χ. Exercice 5 Comportement élastoplastique d’une poutre en torsion. On considère une poutre élastoplastique formée d’un cylindre de section circulaire de rayon a. Elle est soumise à un moment de torsion uniforme M. 1. Donner la répartition de contrainte tangentielle dans une section droite dans le cas d’un comportement élastique. Définir la zone la plus sollicitée. La contrainte de cisaillement limite est τe . Définir le moment maximal admissible de manière à ce que la poutre 2 reste élastique. 2. On augmente la valeur du moment appliqué. Définir la zone plastique. Définir le moment maximal admissible avant la ruine de la structure. 3. Tracer l’évolution du moment de torsion en fonction de l’angle unitaire de torsion γ.

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