5-Clase_Mov_Osc._Armonico

Movimiento Oscilatorio Armónico Lic. Alicia Corsini 2008

Cuando se separa al péndulo de su posición de equilibrio, y se suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad el movimiento es periódico y oscilatorio.

L T θ

m.g.cos θ

m.g.sen θ θ

m.g

 Lic. Alicia Corsini

La componente tangencial es la “fuerza de restitución ” que actúa sobre m, que tiende a hacer  regresar la masa a su posición de equilibrio

L T θ

m.g.cos θ

m.g.sen θ θ

m.g

 Lic. Alicia Corsini

η ) T - m . g . cos θ  = m . a η  τ ) − m . g . sen θ  = m . a τ  L

 siendo :

T

s = L . θ 

θ

ds dθ  v= = L. dt dt dv d s d θ  a = = =L. τ  dt dt dt  2

m.g.cos θ

2

2

2

m.g.sen θ θ

m.g

d θ  τ ) − m . g sen θ  = m . L . dt  2

2

 Lic. Alicia Corsini

• dirección radial v η ) T - m . g . cos θ  = m . L

2

L

v T = m . g cos θ  + m . L tensión mínima en los extremos 2

T θ

m.g.cos θ

m.g.sen θ θ

m.g

En la posición más baja : Si está en reposo : T = m . g cos θ  v Si está en movimiento : T = m . g cos θ  + m . L

2

 Lic. Alicia Corsini

 d  2θ  τ  ) - m.g.sen θ  = m  . L . 2 dt   d  2θ  2

+

dt 

 g  L

L

 sen θ  = 0

T θ

θ (grados)

Sen θ

θ (radian)

Difiere m.g.cos θ

1º

0,01745 0,01745

0%

m.g.sen θ θ

m.g 2º

0,03489 0,03490

0,02 %

5º

0,08715 0,08726

0,12 %  Lic. Alicia Corsini

 d  2θ  2

+

dt 

 g  L

 sen θ  = 0

 P a r a θ   p e q u e ñ o

L

 d  2θ  2

dt 

+

 g  L

θ 

T

= 0

θ

 Ecuación  diferencia l  del  movimiento m.g.cos θ

m.g.sen θ θ

θ ( t ) = θ (0 ) cos (ω  t + ϕ )

m.g

 Ecuación  horaria  del  movimiento  del  pendulo

 Lic. Alicia Corsini

 d  2θ  2

+

dt 

 g

= 0

θ 

 L

FRECUENCIA ANGULAR

ω  =

 g  L

=

 2.π 

T

T 

EXPRESION VALIDA UNICAMENTE PARA PEQUEÑAS AMPLITUDES

T  =  2.π 

L

 L  g

θ

m.g.cos θ

m.g.sen θ θ

m.g

 Lic. Alicia Corsini

Una bola de demolición de 2500 kg se halla suspendida del extremo de una grúa. La longitud del cable que cuelga es de 17,3 m. Hallar el “periodo ” de balanceo, suponiendo que el sistema pueda ser tratado como un péndulo simple.

 Lic. Alicia Corsini

T  =  2.π  T  =  2.π 

17,3 m 10  m  s

 L  g T  = 8,26   s

2

PENDULO SIMPLE ES UN “MODELO” IDEALIZADO PUEDEN “MODELARSE” COMO “PENDULOS SIMPLES”

●

“BOLA DE DEMOLICION EN EL CABLE DE UNA GRUA”

●

“PLOMADA DE UN TEOLODITO”

●

“NIÑO EN UN COLUMPIO”

 Lic. Alicia Corsini

Energía en el movimiento armónico simple Lic. Alicia Corsini 2008

 t

 x

v

a

 E cine.  E pot.

 Lic. Alicia Corsini

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL EN MAS

 E  =

1 2

2

mv x +

1 2

kx = 2

1 2

kA = constante 2

 Lic. Alicia Corsini

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL EN MAS

 E  =

1 2

2

mv x +

 x =  A 2 ⎛ dx ⎞ 2

2

2

1 2

kx = constante 2

. cos

2

(ω .t  + ϕ )

⎟ = [−  A.ω . sen(ω .t  + ϕ )] ⎝  dt  ⎠

2

v x = ⎜

 E  pot .MAX  =

1 2

kA

2

 E cinet .MAX  =

1 2

2

m.ω   A

2

 Lic. Alicia Corsini

 E  =

1 2

2

mv x +

1 2

kx = 2

1 2

kA = constante 2

 Lic. Alicia Corsini

 Lic. Alicia Corsini

Péndulo Simple

Sistema Masa - Resorte  frecuencia  angular ⇒

ω

k 

=

m

=

 g   L

L T

 frecuencia ⇒  f   =

ω

2π 

=

1

k 

2π 

m

θ

m.g.cos θ

 Periodo ⇒ T  =

1

 f  

=

2π  ω

= 2π 

m k 

m.g.sen θ θ

m.g

 Lic. Alicia Corsini

Movimiento armónico amortiguado

 Lic. Alicia Corsini

Movimiento armónico amortiguado r

∑ Fext. = m.a

r

( 

i

)

( 

i

) -  k  . x - b

 dx

 dx  dt

= m  . a

 2

 d   x = m  .  2 - k  . x - b  dt  dt  2

 d   x  dx + k  . x = 0  m  .  2 + b  dt  dt  Lic. Alicia Corsini

Movimiento armónico amortiguado m . d2x / dt

2

+

 b .

dx / dt +

K.

x

=0

Ecuación diferencial para el movimiento armónico amortiguado

X = A . e  – b.t/2m cos ( ώ.t + φo )

 Lic. Alicia Corsini

Movimiento armónico amortiguado

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Movimiento Oscilatorio Armónico Lic. Alicia Corsini 2008

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