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CALCULO I

UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

2

Índice general

I ABP

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Incrementos 1.

El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40 cm aproximadamente, con un error en la medición de  0 ,15cm. Utilizando diferenciales, estime el error máximo en el cálculo del área de un lado de la tapa. Calcule el error medio y el error porcentual.

2.

El lado de una baldosa cuadrada mide  30 cm con un error en medición de  0 ,15cm. Use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área. Calcule el error medio y el error porcentual.

3.

Emplee diferenciales para estimar el incremento de en volumen de un cubo cuando sus lados cambian de  10  a  10 ,1cm. ¿Cuál es el incremento exacto del volumen?

4.

Un globo esférico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incremento del área de la superficie del globo cuando el diámetro varía de  60 cm a  60 ,6cm.

5.

Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo equilátero. La base mide  48 pie con un error máximo en la medición de  1 pulg. Calcule el área del lado y use diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo. Evalúe el error medio y el error porcentual.

6.

La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya altura es siempre igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10cm.

4

7.

Demuestre que el incremento en F  es alrededor de cuatro veces el incremento en R . a) ¿Cómo afectará un aumento del  5 % en radio al flujo de sangre?

8.

La medida de la base y de la altura de un rectángulo han dado 36cm y  50 cm con una cota de error en las medidas de  0 .25cm. Aproximar usando diferenciales la cota de error propagada al calcular su área.

9.

La medida de radio de la base de un tronco de 14  pulgadas con una cota de error de  0 .5 pulgadas. Estime la cota de error propagado al calcular el área de la base de ese tronco.

10.

En la figura se muestra la gráfica de posición contra el tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje z. Determine los intervalos de tiempo donde

a) El vehículo esta avanzando b) El vehículo esta en reposo 11.

La teoría de la relatividad de Einstein afirma que la masa m  está relacionada con la velocidad  v  por medio de la fórmula m =

m0

  − 1

v2 c2

Aquí ,  m 0  es la masa en reposo y c  es la velocidad de la luz. Utiliza diferenciales para determinar el aumento porcentual en la masa de un objeto, cuando su velocidad aumenta de  0 .9c a  0 .92c 12.

Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. La altura del cilindro es de  50  pies. Suponer que la circunferencia de la base mide  30  pies con un error máximo en la medición de  6  pulgadas. Calcular el volumen del silo a partir de estas medidas y usar diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo. Determinar el error relativo y el error porcentual.

13.

Calcule las diferenciales de las funciones

a) y =  x 2 sen (2x) b) y =  e −u cosu

c al cu lo i

c) y  =

√ 

1 + ln x

d) y =  e tan π t 14.

Calcule las diferenciales de dy  y evalúe  dy  para los valores dados de x  y  dx . a) y =  e x/10 , x  =  0,  dx  =  0,1 b) y =

1 x+1 ,  x  =  1,  dx  =

−0,01

Calcule ∆ y y  dy  para los valores dados de  x  y  dx = ∆ x, luego elabora un esquema como el de la figura adjunta

15.

en los que se muestra los segmentos lineales con longitud dx, dy  y ∆ y. a) y =  2 x − x2 , x  =  2, b) 16.

∆

√  y = x, x  =  1, ∆x  =  1

x  = −0,4

Aplique diferenciales para estimar en número dado

a) (2,001)5 b) e−0,015 c)

√ 99,8

17.

Se encontró que la arista de un cubo es de 30 cm, con un error posible en la medición de  0 .1cm. Utilice diferenciales para estimar el error posible máximo, error relativo, y el porciento de error al calcular a) El volumen del cubo b) el área superficial

18.

a) Aplique diferenciales para determinar una fórmula para el volumen aproximado de un cascarón cilíndrico de altura  h . radio interno r  y espesor  ∆ r.

5

6

b) ¿Cuál es el error que hay al utiliza la fórmula del inciso a)? 19.

Cuando la sangre fluye por un vaso sanguineo, el flujo  F  (el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio  R  de ese vaso: F  =  kR4

(Esta se conoce como ley de Poiseuille) Una arteria parcialmente obstruida se puede expandir por medio de una opración llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un globo en la punta se infla dentro del vaso con el fin de ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal. demuestre que el cambio relativo en  F  es alrededor de cuatro veces el cambio relatico en R. ¿Cómo afectará un aumento del  5 % en radio al flujo de sangre? 20.

Para ángulos pequeños , el valor de θ  en radianes está muy cercano del valor de  sen (θ ) , difieren menos que 2 % hasta alrededor de 20º. Compruebe tal afirmación.

21.

Se da que el radio de un disco circular como de  24 cm, con un error máximo en la medición de  0 .2 cm a) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del disco. b) ¿Cuál es el error relativo?¿Cuál es el error en procentaje?

22.

Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de  0 .05cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un diámetro de  500 m.

Figura  1 : Domo semiésferico

23.

Se conoce el lado de un triángulo rectángulo de 20  cm de longitud y se mide el ángulo opuesto  θ =  30° con un error posible de ±0,1° a) Use diferenciales para estimar el error en el área superficial calculada. b) ¿Cuál es el error promedio o medio porcentual aproximado al calcular su área?

24.

Se tiene que un tronco de un árbol de forma cilíndrica de 32  cm de diámetro y  10 m de alto. Durante el mes siguiente, el diametro aumento en  0 .1cm y su altura permaneció constante. ¿Alrededor de cuanto se incrementó el volumen del árbol? Aproximadamente, ¿cuánto creció el área de la sección transversal?

Figura  2 : Error en el triángulo θ

20

c al cu lo i

Razón de cambio 1.

Se tiene un reloj de arena de  3 cm de radio y  6  cm de altura. Se pasa la arena a un solo lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2 cm3 /s Suponga que la arena en la parte inferior forma una tronco de cono. Cuál es la velocidad de aumento de h 2 para una altura de  2  cm. ( Volumen de un cono  V  = π  3 π h( R + r2 + R · r) ).

2.

Un puente levadizo con dos partes móviles está siendo elevado a razón de  2  radianes por minuto. Ver figura. ¿Con que rapidez está aumentado la distancia de los extremos de cada una de las partes móviles cuando se tiene una elevación de radianes?

3.

Un deposito para agua tiene la forma de una cono circular invertido; el radio de la base es de  2 m y la altura es de  4 m. Si el agua se  bombea hacia el depósito a una razón de 2m3 /min . Determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene  3 m de profundidad.

4.

Un depósito apoyado sobre una pared es llenado a razón de  0 ,2 litros/seg. , siendo el borde superior un rectángulo de  3 m de largo por  1 m de ancho, y la altura del depósito igual a  1 ,5m. Se pide calcular la rapidez con que sube el nivel de agua en el instante que el agua alcanza una altura de  75 cm.

5.

Un lado de un rectángulo está creciendo a una tasa de  7  pulgadas por minuto y el otro lado está creciendo a una tasa de  5  pulgadas por minuto. En un cierto momento las longitudes de estos dos lados son  10  pulgadas y  7  pulgadas, respectivamente. Halle la variación de cambio del área en ese instante. ¿Qué interpretación tiene su signo?

6.

Se entrega graba por medio de una cinta transportadora a razón de  30  pies cúbicos por minuto; las dimensiones de sus fragmentos permiten formar una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura

Figura  3 : Reloj de arena

Figura  4 : Puente levadizo

Figura 5 : Tanque cónico

7

8

son siempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la   pila cuando ésta mide  10  pies de alto? 7.

Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la onda exterior aumenta a una velocidad de  4  m por segundo, cuando el radio es de  10  m. ¿A qué velocidad aumenta el área del círculo de agua perturbada?

8.

Un hombre corre a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de  3 m/s. Un faro está situado sobre el nivel de la tierra a  20 metros de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con que rapidez el faro gira cuando el hombre está a  15  m del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz?

9.

En una reacción química se combinan dos sustancias distintas para formar una tercera sustancia. La cantidad  y  en gramos , que se forma de la tercera sustancia después de  t  minutos es  y  =  18 t − 3t2 . Calcula, e interprete, la razón en gramos por cada minuto a la que se forma la tercera sustancia después de

Figura  6 : Cinta transportadora

Figura  7 : Ondas de agua

a) 2  minutos b) 3 minutos c) 4 minutos

Figura  8 : Seguimiento de un faro

10.

Un triángulo rectángulo variable tiene un vértice en el origen otro vértice sobre el eje  Y   y el tercero sobre la parábola y  =  2 x2 + 1. El ángulo recto está en el segundo vértice comienza en el punto (0, 1) y se mueve hacia la derecha a razón contante de  2  unidades por cada segundo. ¿a que razón aumenta el área del triángulo cuanto t  =  4?

11.

Un depósito apoyado sobre una pared es llenado a razón de  0 ,2 litros/seg. , siendo el borde superior un rectángulo de  3 m de largo por  1 m de ancho, y la altura del depósito igual a  1 ,5m . Se pide calcular la rapidez con que sube el nivel de agua en el instante que el agua alcanza una altura de  75 cm.

Figura  9 : Estanque piramidal

12.

Una piscina tiene 12  m de longitud,  6 m de ancho y un m de profundidad en un extremo y  3  m en el otro extremo (ver figura). Se está bombeando agua a razón de ¼ de metros cúbicos por cada minuto. Sabiendo que existe un metro de agua de profundidad. ¿Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando la altura es de  2  m?

13.

En la figura (11) se muestra la gráfica de posición conta el tiempo para una articula que se mueve a lo largo del eje z. Determine los intervalos de tiempo o los instantes donde

Figura 10 : Piscina en ascenso

c al cu lo i

a) El vehículo esta avanzando b) El vehículo esta en reposo c) El vehículo esta en desacelerando 14. (3  Puntos) Un canalón mide  12 pies

(ft) de largo y sus extremos tienen la forma de un triángulo isóceles; el ancho del canalón es de  3  pies lo que sería la base del triángulo, y la altura es de  1 pie. Si el canalón se llena con agua a razón de  2  pies cúbicos por minuto, ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de  6  pulgadas?

15. El ángulo de elevación del sol disminuye a una velocidad de 0,25  radianes por hora. ¿Qué tan rápido aumenta la sombra de

un edificio de  400  pies de alto en el momento en que el sol tiene ángulo de elevación de  π /4?

16.

El brazo del nao trata de seguir un determinado objeto que se mueve a lo largo de una curva circular a una altura de  30 cm sobre el nivel del piso. Si el NAO mantiene el brazo estirado con que tan rápido tiene que levantar la mano para darle el alcance.

17.

Cierto cuerpo que pesa 0 ,5 toneladas es elevado verticalmente utilizando un cable de acero que pasa por una polea colocada a  20 m de altura, como indica la figura. Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por un vehículo que se mueve hacia la derecha con velocidad v= 20 km/ hora y a una altura del piso de  1 .50 m. El cable tiene una longitud de  50  m..

¿ Cuál es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h=  6  m? Sol: 0,7 m/seg .

Figura 12 : Canalón

9

10

18.

Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire , en partes por millón (ppm) , en una ciudad , está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión C( p) =

 

 p2 + 17 2

El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por la relación siguiente:  p (t) = 3,1 + 0,1t2 en miles de habitantes. ¿ Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de  3  años? Sol : 0.24ppm/año. 19.

Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base. Cuando la altura es de  1 m. ella está aumentando a razón de  25  cm / minuto. ¿ Con qué rapidez está cambiando en ese instante el volumen V de arena? Sol: 0,75 π m3 /min

20.

En una población de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagación de un rumor. Se adopta para ello un modelo matemático que indica que el número N de personas que en un instante t han oído el rumor puede expresarse por la relación: N (t) =  P (1–e−K .t )

con:  K   cte.,  K  > 0, t  en horas y  K  en (  1  / hora ) a) Si  K  =  0,1, calcula el tiempo transcurrido para que el  60 % de la población conozca el rumor, y la velocidad de propagación del mismo en ese momento. Sol :  0 .04P hab/año b) Grafica N (t) para t ≥0 e indica en qué momento la velocidad de propagación del rumor es máxima. c) Demuestra que el modelo matemático adoptado consistió en suponer que la velocidad de propagación del rumor fue proporcional al número de personas que en un instante t todavía no lo habían oído.

L’Hospital 1.

Calcular el siguiente limite e x − 1 − x − 21 x2 x →0 x3

a) l´ım

calculo i

b) c) d) e)

ex + e−x − 2 l´ım x→0 1 − cos 2 x ln x l´ ı m x → ∞ x2 x √  l´ım x →0 1 − 1 − x e x − e− x l´ım x→0 sen x

11

12

 Máximos y mínimos 1.

Halle los extremos locales de: f (x ) = − x2 + 8x − 5

2.

Halle los extremos locales de: f (x ) = x3 + 3x2 − 9x − 1 , sobre .[ −3, 2]

3.

Halle los extremos locales de: f (x ) = x3 + 3x2 − 24x − 5 sobre [−4; 2]

4.

Graficar la siguiente función f ( x) = x 3 − 3x2 + 4,

5.

Halle los extremos locales de: f (x ) = 3 x5 − 45x + 15

6.

Respecto a la grafica de la función

−1 ≤ x ≤ 4

 f ( x) =  x 3 − 7x2 + 10x

determine los puntos críticos y puntos de inflexión. Sol: pi:  7 /3 7.

Construir la gráfica determinando los puntos criticos los extremos relativos los intervalos de crecimiento y decrecimiento los puntos de inflexión y la dirección de su concavidad de la siguiente función 1  f (x ) = 3x5 − 20x3 + 16 8 8. Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50  céntimos la unidad, vende una media de  200  helados diarios. Por cada  5 céntimos que aumenta el precio, vende cinco helados menos cada día. Si el costo por unidad es de  40  céntimos, ¿A qué precio de venta es el máximo el beneficio total que obtiene el heladero?



9.



De todos los rectángulos de 20 cm2 de superficie, ¿cuál es el que tiene menor perímetro?.

10.

Entre todos los conos de revolución de generatriz a=10 determina el de volumen máximo.

11.

De todos los triángulos isósceles cuyos lados miden 12 cm, ¿cuál es el que tiene área máxima?.

12.

Determine el triángulo isósceles de área máxima y perímetro 30cm.

13.

De los trapecios que tienen una base de longitud 6 cm. y los lados de longitud  10 cm, determine el de área máxima.

14.

De todos los rectángulos inscritos en una semicircunferencia, de radio  25 cm., ¿cuál es el de mayor área?, ¿y el de mayor perímetro?.

15.

Hallar dos números que sumen 30  y cuyo producto sea máximo.

calculo i

16.

Si dos números positivos suman 20 , , ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión ?, ¿y el máximo?.

17.

La suma de tres números en progresión geométrica es 12 , ¿cuál es le máximo de su producto?, ¿y el mínimo?.

18.

Se quiere construir un depósito en forma de prisma recto de  base cuadrada abierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de  8 m3, ¿qué dimensiones hay que darle para que el material necesario para construir sea mínimo?.

19.

De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de radio  4 m, halla el de volumen máximo y el de área total máxima.

20.

Repetir el cálculo del ejercicio anterior, para un prisma de base triangular equilátero.

21.

Repetirlo igualmente, si la base del prisma es un hexágono regular.

22.

A la vista del resultado de los apartados previos, ¿qué tipo de envase necesita menos cartón?.

23.

Se quiere construir una caja de hoja de cartón de  12 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. Halle la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen sea máximo.

24.

Una isla está a 6 km de una playa B recta, sobre la playa a  7 km de B se encuentra una tienda C. Si un hombre rema a  4 km/h y camina a  5 km/h, ¿en qué punto debe desembarcar para emplear el tiempo mínimo para ir de A a C?.

25.

El perímetro de un triángulo isósceles es 14 m. ¿Cuánto deben medir sus lados para que el volumen del cuerpo generado por la rotación del triángulo en torno a su base sea la mayor posible?.

26.

Una ventana Norman tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana tiene  30  pies, calcula las dimensiones de esa ventana, con el fin de admitir la cantidad máxima de luz posible.

27.

Un jardinero ha de construir un sector circular con un perímetro de  20 m. ¿Cuál será el radio asociado al área máxima?, ¿Cuál será la amplitud del sector en radianes?.

28.

Se quiere construir un depósito en forma de prisma recto de  base cuadrada abierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de  8 m3, ¿qué dimensiones hay que darle para que el material necesario para construir sea mínimo?.

13

14

29.

Unos paquetes de cartón para envasar leche tienen forma de prisma cuadrado de  1000cm3 de capacidad, con doble espesor de material en la tapa y en la base, ¿para qué dimensiones la cantidad de cartón será mínima?.

30.

La esquina superior izquierda de un hoja de papel de  8 pulgadas de ancho por  12  de longitud se dobla hasta llegar a la orilla derecha. ¿Cómo la doblarías para minimizar la longitud del doblez?.

31.

El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24  de abril de  1990  por el transbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del transbordador durante su misión desde el lanzamiento en t  =  0 hasta que los cohetes auxiliares de combusti ble sólido se despenden en el instante t  =  126 está dada por v(t) = 0,001302t3 − 0,09029t2 + 23,61t − 3,083

(en pies por segundo) Usando este modelo estime los valores máximo y mínimos absolutos de la aceleración del transbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. 32.

ABP. Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide 40x30cm. Con este material se va fabricar una caja sin tapa, para ello se recortarán cuatro cuadrados , uno en cada esquina y se doblará la pieza resultante. a) ¿Cuánto debe medir los cuadrados que se recortaran para que el volumen de la caja resultante sea el máximo posible? b) ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja: largo, ancho y alto? c) ¿Cuánto es el volumen máximo?

33.

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de  80  cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta  1 €/cm2 y para la base se emplea un material un  50 % más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

34.

Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de 45 m3 de volumen con la parte superior abierta. El

calculo i

largo del rectángulo base debe ser el doble del ancho. El material de la base tiene un costo de $100/ m2 y el de las paredes de $80/ m2 . Hallar las dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales sea mínimo, así como el correspondiente precio del tanque. 35.

En una colmena cada celda es un prisma hexagonal regular abierto en uno de sus extremos y con un ángulo triedro en el otro como en la figura.Se cree que las abejas forman sus celdas de manera que se minimice el área superficial para un volumen dado, usando de esta forma la menor cantidad de cera en la construcción de las mismas. El examen de estas celdas ha hecho ver que la medida del ángulo  θ  es sorpredentemente coherente. Con base en la geometría de la celda, se puede demostrar que el área superficial  S se expresa con

 √  

3 3 2 S  =  6 sh − s2 cot θ + 3 s  csc θ 2 2 donde s , la longitud de los lados del hexágono, y  h  la altura, son constantes. dS dθ b) ¿Cuál ángulo deben preferir las abejas? a) Determine

c) Determine el área superficial mínima de la celda (en términos de s  y  h ).

Nota: Se han hecho medidas reales del ángulo  θ en las colmenas y las medidas de estos ángulos rara vez difieren del valor calculado en más de  2 °.

cot  ( x) = −csc ( x), csc  ( x) = −csc x cot x

15

16

36.

Encuentre a que distancia de A se debe colocar un punto P de tal forma que el ángulo sea máximo.

37.

Luego de la ingestión de una pldora de penicilina, la concentración, C , de penicilina en la sangre es aproximada por la función C(t) = 5 e−0,2t − 5e−0,3t

µ g

ml

donde t  es medido en horas

¿Cuál es la máxima concentración de la penicilina? Sol: 38.

Supongase que se tiene un cubo de base cuadrada y cerrada en la parte superior e inferior, cuyo volumen es de  8  metros cúbicos. ¿cuáles son las dimenciones que minimiza el área superficial? Sol x=2, y= 2

VF 1.

Si f”(x)< 0 para toda x en el intervalo (a,b), entonces la gráfica de f  es cóncava hacia abajo sobre el intervalo. SOl: V

2.

Si f(x) es un mínimo relativo , entonces f”(x)>0 V

3.

Un límite de la forma ∞ − ∞ siempre tiene el valor de  0 . F

4.

Para una forma indeterminada, la regla de L’Hospital establece que el límite de un cociente es lo mismo que la derivada del cociente.

Parte I

ABP

calculo i

 Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio 1.

Especificaciones Nivel de Grado 11-12

Tema clave diferenciación Grado de dificultad: Moderado Cálculo Moderado Profesor Tiempo de preparación 15  minutos problema Temas del curso derivados: - Concepto de la Derivada - derivada en un punto - Aplicaciones de Derivados - Cálculo de los Principios y Derivatives NCTM Normas - Álgebra - Geometría - Resolución de problemas - Conexiones 1.

Objetivos didácticos Los estudiantes van a derivar la fórmula para calcular la distancia de línea de vista a un punto del horizonte tangente ; derivar la distancia a lo largo de una superficie a un punto tangente ; Anduse derivados para encontrar las tasas de variación de dos o más variables que están cambiando con respecto a la distancia .

2.

Grado de dificultad Este problema es difícil porque los estudiantes tienen que recordar y aplicar los conceptos matemáticos de Algebra I , Geometría y Trigonometría. Para el estudiante promedio de Cálculo AP AB / BC el problema es moderadamente difícil.

3.

Background Este problema es parte de una serie de problemas que se aplican las matemáticas y la ciencia para la exploración espacial de la NASA. La exploración proporciona la base de nuestros conocimientos , la tecnología , los recursos y la inspiración. Busca respuestas a preguntas fundamentales sobre nuestra existencia, responde a recientes descubrimientos y pone en marcha las técnicas y capacidades revolucionarias que inspirar al mundo , y la próxima generación . A través de la NASA , tocamos lo desconocido , aprendemos y entendemos . Como damos nuestros primeros pasos hacia el mantenimiento de una presencia humana en el sistema solar , podemos mirar hacia adelante a las visiones lejanas del pasado convirtiéndose en realidades del futuro . Conceptos

19

20

Outpost están siendo diseñados y estudiados por ingenieros, científicos y sociólogos para facilitar larga duración misiones humanas a la superficie de la Luna o de otros cuerpos planetarios (Figura  1  ) . Tales puestos incluirán módulos de hábitat, módulos de laboratorio , sistemas de energía , el transporte, los sistemas de soporte de vida , y la protección del medio ambiente. Figura  13 : Habitat marciano

Estas misiones de larga duración también requerirán comunicaciones robustas y fiables. Será importante mantener una comunicación constante con la Tierra. Así las  24  horas al día ,  7  días por semana la cobertura del puesto de avanzada podría ser un requisito. Es probable que se logré mediante una combinación de satélites de comunicaciones en órbita alrededor del cuerpo y el equipo de comunicación planetaria en la superficie . El hábitat ( Figura i13) en la superficie tendrá la capacidad de enlace descendente de vídeo a la Tierra . Además de los requisitos de comunicación entre la superficie del planeta y la Tierra , sino que también será importante para mantener una comunicación constante entre los miembros de la tripulación de superficie , independientemente de su distancia desde el puesto de avanzada. Las comunicacione superficie a superficie implica comunicación entre los astronautas , robots , los hábitats, las centrales eléctricas y los experimentos científicos , así como la comunicación dentro de los hábitats. Para los sistemas de comunicación basados en la superficie, hay una línea de limitación de vista de la comunicación móvil con el hábitat . Los astronautas deben tener, ya sea el hábitat o el explorador en línea de visión para mantener comunicaciones con la Tierra. El sistema de comunicaciones debe ser fácilmente ampliable. Las futuras misiones no querrán abandonar el equipo existente , pero en su lugar deben incorporar los equipos existentes a una red de comunicaciones en expansión. Estos planes le dan a la NASA una gran ventaja para llegar a Marte. Ya tendremos cohetes capaces de transportar cargas pesadas , así como una cápsula versátil de tripulación. Un puesto de avanzada dentro de unos pocos días de viaje desde la Tierra nos dará la práctica necesaria de "vivir de la tierra " a distancia de nuestro planeta , antes de hacer el viaje más

calculo i

largo a Marte. 4.

Temas del curso AP a) Concepto de la derivada 1)

Derivado interpretarse como una tasa de cambio instantánea

b) Derivada en un Punto. 1)

La recta tangente a una curva en un punto y la aproximación lineal local,

c) Aplicaciones de derivados 1)

Modelado de las tasas de cambio, incluyendo problemas relacionados a tasas 2) Interpretación de la derivada como una tasa de cambio en variados contextos aplicada , incluyendo velocidad , rapidez, y aceleración d) Los cálculos de los derivados de : 1) 5.

Regla de la cadena y la diferenciación implícita

El problema Al depender la comunicación de la superficie es importante entender la visión linea otra la comprensión de la vista es fundamental. En consecuencia , una medida importante en la exploración planetaria es la distancia hasta el horizonte . Esto depende del diámetro del planeta y la altura del observador por encima de la superficie . Geometría puede determinar la altura de una antena de transmisión requerida para asegurar una recepción adecuada dentro de una distancia especificada . Utilice el diagrama de la Figura  2  para contestar las siguientes preguntas.

El diagrama es exagerado para mostrar los puntos de relación y de referencia.

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a) Si el radio de la Luna está dada por r , y la altura de la torre por encima de la superficie viene dada por h , el uso de la figura  2  para derivar la fórmula para la línea de la distancia de visibilidad , s , para el punto del horizonte tangente . b) En términos de r y h , derivar la fórmula para la longitud del arco , a, que es la distancia a lo largo de la luna hasta el punto de tangencia. c) En la Tierra, una estación de radio puede tener una torre de antena de  50  metros (m) de altura. ¿Cuál sería la distancia s de recepción, al metro más cercano , si esa misma torre estaban en la Luna? El radio de la Luna es  1 .738 kilometros ( km). d) Grafica la ecuación de la recta de la distancia de visibilidad de la pregunta A en el intervalo  0  ,  60 . ¿Qué sucede cuando la altura de antena se incrementa ? Para el metro más cercano, encontrar la velocidad de cambio de la línea de lunar de la vista con respecto a la altura de la antena o ds / dh en h =  50  m . En términos prácticos, ¿qué significa esto ? e) Uso aproximación lineal local para predecir la distancia de una antena de  51  metros . ¿Cómo se compara esto con el cálculo real utilizando la ecuación de la pregunta A? ¿Sería aproximación lineal local de ser lo más preciso en la predicción de la distancia para una altura de antena de  11  metros ? Explique su razonamiento.  f ) ¿Cuál es la tasa de cambio de la distancia , a, a lo largo de la superficie lunar a la torre lunar en la línea de la posición de la vista cuando h =  50  m ? Exprese su respuesta como un número entero .  g) Under qué condiciones la línea de fórmula vista (pregunta D) y la fórmula de la longitud del arco (pregunta E) da significativamente diferentes respuestas? Cuándo utilizar la fórmula de longitud de arco en la Luna o en algún otro cuerpo del sistema solar ?.