5-8. Persamaan Navier Stokes

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

PERSAMAAN NAVIER-STOKES L. Muhammad Musafar K. Akan dibahas secara fenomenologis penurunan persamaan Navier-Stokes untuk menunjukkan alasan mengapa persamaan tersebut dapat berlaku valid untuk zat padat. Tinjau elemen kecil dari fluida yang volumenya adalah dx1dx2dx 3  dan kecepatannya adalah u( r  , t ) . Berdasarkan hukum ke-dua Newton persamaan gerak elemen fluida tersebut adalah r

r

du m = L  dt r

dimana m menyatakan massa elemen fluida dan L   adalah gaya total yang bekerja pada elemen fluida tersebut. Andaikan kerapatan massa fluida adalah ρ  dan terdapat dua buah gaya yang bekerja pada elemen fluida, yaitu: (1) gaya yang menghubungkan elemen fluida dengan lingkungan luar dan gaya interaksi antar elemen fluida berdekatan. Gaya tiap satuan volume terkait dengan kedua jenis gaya tersebut dinyatakan sebagai F 1  dan G . r

r

Oleh karena,

 = dx1dx2dx3 V  = maka m = ρ dx1dx 2dx3

dan r

= ( F 1 + G )dx1dx2dx3 r

L 

Dengan demikian, hukum kedua Newton dapat dituliskan menjadi du = ( F 1 + G )dx1dx2dx3  ρ dx1dx2 dx 3 dt r

r

r

du  ρ  = F 1 + G dt r

r

r

Oleh karena,

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

5-8-1

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

∂u( r  , t ) ∂u( r  , t ) du( r  , t ) = dt + dr  ∂t ∂r  r

r

r

r

r

r

du( r  , t ) ∂u( r  , t ) ∂u( r  , t ) dr  = + dt ∂t ∂r  dt r

r

r

r

r

r

du( r  , t ) ∂u( r  , t ) = + v ⋅ ∇u( r  , t ) dt ∂t r

r

r

r

r

r

r

r

maka

⎛ ∂u( r  , t ) + v ⋅ ∇u( r  , t ) ⎞ = F  + G  ρ ⎜ ⎟ 1 ⎝  ∂t  ⎠ r

r

r

r

r

r

r

r

⎛  ∂ + v ⋅ ∇ ⎞u( r  , t ) = F  + G   ⎟ 1 ⎝ ∂t  ⎠

 ρ ⎜

r

r

r

r

r

(5-104)

r

 Jadi pernurunan persamaan Navier-Stokes tereduksi menjadi sajian tertentu untuk G. r

Pilih sistem koordinat sedemikian sehingga elemen fluida yang ditinjau berbentuk kubus dengan tepi-tepinya terletak pada sumbu koordinat, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5-4. Enam permukaan kubus ini mengalami gaya interkasi dengan elemen fluida terdekat. Gaya pada permukaan kubus ini demikian pula arahnya ditentukan oleh arah normal terhadap permukaan. Gaya ini muncul dari tekanan hidrostatis dan viscous drag. Andaikan T i  adalah gaya tiap satuan luas yang bekerja pada permukaan yang arah normalnya di sepanjang sumbu xi . Jadi, gaya-gaya yang bekerja dua permukaan normal terhadap sumbu xi  adalah, r

dan

− T i + dT i )

dan

⎛  ∂T   ⎞ − ⎜⎜ T i + i dxi ⎟⎟   ⎝  ∂xi  ⎠

r

T i  

r

r

atau r

r

T i  

r

Atau, (1) Gaya disepanjang sumbu x adalah

⎛  ∂T   ⎞ − ⎜⎜ T x + x dx ⎟⎟ ∂x  ⎠ ⎝  r

r

T x  

r

dan

(2) Gaya disepanjang sumbu y adalah

⎛  ∂T   ⎞ − ⎜ T y + y dy ⎟ ⎜ ∂y  ⎠⎟ ⎝  r

r

T y  

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

r

dan

5-8-2

(5-105)

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

(3) Gaya disepanjang sumbu z adalah

⎛  ∂T   ⎞ − ⎜⎜ T z + z dz ⎟⎟ ∂z  ⎠ ⎝  r

r

r

T z  

dan

Total gaya yang bekerja pada kubus melalui interaksinya dengan elemen fluida disebelahnya adalah r

G dx1dx2 dx 3 = dx1dx2 dx3

3  ⎞ T i 1 ⎛  ⎜⎜ T i + ∂T i dxi ⎟⎟ + dx1dx2 dx3 − dxi dxi ⎝  ∂xi  ⎠ i =1 r

3

∑ i =1

r

∑

r

 ⎞ 1 1 ⎛  ⎜⎜ T i + ∂T i dxi ⎟⎟ G dx1dx2 dx3 = dx1dx2 dx3 T i − ∂xi  ⎠ dxi ⎝  i = 1 dxi r

3

∑

r

r

r

r

1 ∂T i G dx1dx2 dx3 = −dx1dx2 dx3 dxi i = 1 dxi ∂xi 3

∑

r

⎛  1 ∂T 1  ⎞ 1 ∂T 2 1 ∂T 3 G dx1dx2 dx 3 = −⎜⎜ dx1 + dx2 + dx3 ⎟⎟dx1dx2 dx3 dx2 ∂x2 dx3 ∂x 3 ⎝ dx1 ∂x1  ⎠ r

r

r

r

⎛ ∂T  ∂T  ∂T  ⎞ G dx1dx2 dx3 = −⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟dx1dx2dx3   ⎝ ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ⎠ r

r

r

r

r

r

(5-106)

r

Andaikan komponen vektor T 1 , T 2  dan T 3  adalah T 1 = (P11 , P12 , P13 ) r

karena tekanan adalah gaya per volume

T 2 = (P21 , P22 , P23 ) r

T 3 = (P31 , P32 , P33 )   r

(5-107)

maka dari (5-106),

⎛ ∂T  ∂T  ∂T  ⎞ G = −⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟ ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3  ⎠ r

r

r

r

sehingga

⎛ ∂P ∂P ∂P  ⎞ G1 = −⎜⎜ 11 + 21 + 31 ⎟⎟ ⎝  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3  ⎠

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

5-8-3

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

⎛ ∂P ∂P ∂P  ⎞ G2 = −⎜⎜ 21 + 22 + 23 ⎟⎟ ⎝  ∂x1 ∂x2 ∂x3  ⎠ ⎛ ∂P ∂P ∂P  ⎞ G3 = −⎜⎜ 31 + 32 + 33 ⎟⎟ ⎝  ∂x1 ∂x 2 ∂x3  ⎠ Dengan demikian, secara umum dapat dituliskan sebagai, Gi = −

∂Pij   ∂x j

(5-108)

atau dalam bentuk vektorial dituliskan sebagai r

G = −∇ ⋅ P   t

r

(5-109)

Dengan demikian, persamaan (5-104) dapat dituliskan menjadi

⎛  ∂ + v ⋅ ∇ ⎞u( r  , t ) = F  + G ⎟ 1 ⎝ ∂t  ⎠ r

r

 ρ ⎜

r

r

r

r

⎛  ∂ + v ⋅ ∇ ⎞u( r  , t ) = F  − ∇ ⋅ P   ⎟ 1 ⎝ ∂t  ⎠ r

r

 ρ ⎜

r

r

r

t

(5-110)

r

Persamaan ini sama dengan persamaan (5-22) jika ditentukan bahwa r

F 1 = r

 ρ F 

m

r

dimana F  adalah gaya eksternal yang dialami oleh tiap molekul dan m menyatakan massa molekul. Untuk menurunkan persamaan Navier-Stokes kita hanya perlu mendeduksi secara eksplisit bentuk tensor tekanan Pij .  Andaikan bahwa persamaan (5110) berlaku valid dalam koordinat manapun dan Pij  merupakan sebuah tensor.

Anggap bahwa fluida yang ditinjau bersifat isotropik, sehingga tidak ada perbedaan arah intrinsik pada sumbu-sumbu sistem koordinat. Jadi, P11 = P22 = P33 = P  

(5-111)

dimana P adalah tekanan hidrostatis. Jadi, tensor tekanan dapat dituliskan sebagai, Pij = δ ij P + Pij′  

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

(5-112)

5-8-4

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

dimana Pij′  adalah komponen non-diagnonal (traceless) tensor Pij . Yaitu,

⎛ P 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ δ ij P = ⎜ 0 P 0 ⎟ ⎜ 0 0 P⎟ ⎝   ⎠ dan

⎛  0 P12 P13 ⎞ ⎜ ⎟ Pij′ = ⎜ P21 0 P23 ⎟ ⎜P P ⎟ ⎝  31 32 0  ⎠ Sehingga, 3

∑ P′ = 0   i =1

(5-113)

ii

 Jadi, persamaan (5-113) benar untuk semua sistem koordinat karena trace  dari sebuah tensor tidak bergantung pada sistem koordinat. Selanjutnya akan dibangun alasan fisis yang masuk akal bagi asumsi untuk elemen fluida yang ditinjau saat ini, yaitu bahwa sesungguhnya elemen fluida tersebut berupa sebuah titik dalam fluida yang tidak memiliki momentum sudut intrinsik. Asumsi ini mengimplikasikan bahwa Pij  maupun Pij′  adalah tensor simetri yaitu, Pij′ = P ji′

Penjelasan mengenai hal ini ditunjukkan dalam Gambar 5-5a dimana komponen P12′ . Andaikan bahwa sumbu-1 adalah x dan sumbu 2 adalah y. Ini berarti bahwa P12′ = Pxy′  bekerja pada bidang xy dan komponen tensor P21′ = Pyx′  juga bekerja pada bidang xy. Dengan demikian jelas bahwa P12′ = P21′ . Selanjutnya akan dibahas hubungan empiris antara Pij  dan  gaya geser yang dialami elemen fluida, dan besar deformasi elemen fluida yang sama. Gaya geser F ′   tiap satuan luas bekerja sejajar permukaan kubus dari elemen fluida tersebut sehingga menyebabkan kubus tersebut tertarik membentuk  paralel-epipedum pada suatu nilai yang diberikan oleh dφ  ⎞ R′ = μ ⎛  ⎜ ⎟ ⎝  dt  ⎠

seperti ditunjukkan dalam Gambar 5-5b dimana μ adalah koefisien viskositas.

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

5-8-5

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

Selanjutnya, tinjau efek P12′   pada satu elemen fluida. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 5-5c dimana P12′   memiliki arah positif berdasarkan persamaan (5-105), sehingga

⎛ ∂u ∂u  ⎞ dφ  dφ   ⎞ P12′ = − μ ⎛  ⎜ 1 + 2 ⎟ = − μ ⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟   ⎝  dt dt  ⎠ ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠

(5-115)

atau secara umum dapat dituliskan,

⎛ ∂ui ∂u j  ⎞ ⎟ ⎜ ∂x j + ∂xi ⎟   ⎝   ⎠

Pij′ = − μ ⎜

untuk i ≠  j  

(5-116)

Agar Pij′ traceless maka

⎡⎛ ∂ui ∂u j  ⎞ 2 ⎤ ⎟ − δ ij ( ∇ ⋅ u )⎥   + ⎢⎣⎜⎝ ∂x j ∂xi  ⎠⎟ 3 ⎥⎦

Pij′ = − μ ⎢⎜

r

(5-117)

r

Dengan demikian, persamaan (5-112) dapat dituliskan menjadi

⎡⎛ ∂ui ∂u j  ⎞ 2 ⎤ ⎜ ⎟ Pij = δ ij P − μ ⎢ + − δ ij ( ∇ ⋅ u )⎥   ⎢⎣⎜⎝ ∂x j ∂xi  ⎠⎟ 3 ⎥⎦ r

r

Persamaan ini memiliki bentuk identik dengan persamaan (5-75).

L. Muhammad Musafar K. 302 10 009

5-8-6

(5-118)