5.5 Calculo de Aproximaciones Usando La Diferencial.

5.5. Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente. Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función. Ejemplos: 1. Sea la función y = x4 Su primera derivada es y′ = 4x3 Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx 2. Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Δx = 0.2 y′ = 6x Sustituyendo d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8 Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes: Df(x) f′(x) y′ dy dx

Cauchy Lagrange Lagrange Leibniz

Por lo tanto: Derivada:

dy ∆y = lím = Df ( x ) = f ′( x) = y′ dx ∆x →0 ∆x

Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:

dy = f ′(x ) . Si dx

dy = f ′( x) dx

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

Definición: Sea y = f (x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es. dy = f ' ( x ) dx

En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como aproximación del cambio en y. Es decir. ∆y ≈ dy

o

∆y ≈ f ' ( x ) dx

Interpretación Geométrica.

Cuando se usa la recta tangente a f en el punto (c, f (c)) FIGURA 3.64 Cuando ∆x es pequeño, ∆y = f(c+∆x) – f(c), viene dado aproximadamente por f’(c) ∆x.

y = f (c) + f ' (c)( x − c )

Recta tangente

(c, f (c))

como aproximación de la gráfica de f, la cantidad x – c se llama el cambio en x, y se denota por ∆x (Figura 3.64). Cuando ∆x es pequeño, el cambio en y (denotado ∆y) se puede aproximar como sigue. ∆y = f (c + ∆x ) − f (c ) ∆y ≈ f ' (c ) ∆x

Cambio aproximado de y

En tales aproximaciones, la cantidad ∆x se suele denotar por dx y se llama diferencial de x. La expresión f ' ( x) dx se denota por dy y se llama diferencial de y. La Diferencial como aproximación del incremento. Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de ∆y de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + ∆x representa el valor exacto, entonces ∆x es el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre f ( x + ∆x ) y f (x ) es el error propagado.

Error de medida

Error propagado

  f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆y     Valor Exacto

Valor medido

Ejemplo 1. Estimación del error La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error propagado en el volumen de la bola. 4 3

3 Solución: La fórmula para el volumen de una bola es V = πr , donde r es el

radio. Así pues, podemos escribir r = 0,7

Radio medido

y -0,01 ≤ ∆r ≤ 0,01

Posible error

Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que se obtiene dV/dr = 4 π r 2 y escribimos ∆V ≈ dV

Aproximar ΔV por dV

= 4πr 2 dr = 4π(0,7) 2 ( ±0,01) ≈±0,06158

Sustituir r y dr

Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas. Ejemplo 2. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 . Solución: Fórmula del área de un cuadrado: A = l 2 l=5m Δl = 0.002 m dA = 2l ∙ dl dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 Incremento = 0.020 m2

Ejemplo 3. Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2 m al aumentar el lado 0.003 m Fórmula del volumen del cubo: V = l 3 l=2m Δl = 0.003 m dv = 3l2 dv = 3(2)2(0.003) = 0.036 m3 Incremento = 0.036 m3 Ejemplo 4. Si

36 = 6 ,

calcular el valor aproximado de

Función:

y =

38 .

x

36 = 6

Δx = 38 – 36 = 2 y =

dy =

x

dx 2 1 = = = 0.166 2 x 2 36 6

38 = 6 + 0.166 = 6.166 38 = 6.166

Aproximaciones por recta tangente. El método de Newton es un ejemplo del uso de una recta tangente a una gráfica para aproximar la gráfica. En esta sección se estudiaran otras situaciones en las cuales la gráfica de la función puede aproximarse mediante una línea recta. De inicio considerar una función ƒ que es derivable en c, la ecuación para la recta tangente en el punto (c, ƒ (c)) está dada por y – ƒ (c) = ƒ’ (c) (x – c) y = ƒ (c) + ƒ’(c) (x - c) y es llamada aproximación por medio de una recta tangente (o aproximación lineal) de ƒ en c. Como c es una constante, y es una función lineal de x. Además, restringiendo los valores de x de modo que sean suficientemente cercanos a c, los valores de y pueden utilizarse como aproximaciones (hasta cualquier precisión

deseada) de los valores de la función ƒ. En otras palabras, cuando x > ̶ c, el límite y es ƒ(c). Ejemplo 1. Utilización de la aproximación por medio de una recta tangente. Determinar la aproximación por medio de una recta tangente de f(x) = 1 + sen x en el punto (0,1). Utilizar una tabla para comparar los valores y de la función lineal con los de ƒ(x) en un intervalo abierto que contenga a x = 0. Solución. La derivada de ƒ es ƒ’(x) = cos x. De tal modo, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (0,1) es. y- ƒ(0) = ƒ’(0) (x – 0) y - 1 = (1) (x – 0) y = 1 + x. Cuando la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c)) y = ƒ(c) + ƒ’(c) (x – c) se usa como una aproximación de la gráfica de ƒ, la cantidad x – c recibe el nombre de cambio de x, y se denota mediante Δx. Cuando Δx es pequeña, el cambio en y (denotado por Δy) puede aproximarse como se muestra. Δy = ƒ (c + Δx) – ƒ (c)…………………………………………. Cambio real en y. ˷ ƒ’(c) Δx …………………………………………… Cambio aproximado en y. Para una aproximación de este tipo, la cantidad Δx tradicionalmente se denota mediante dx, y recibe el nombre de la diferencial de x. La expresión ƒ’(x) dx se denota por dy, y se denomina la diferencias de y.

Calculo de diferenciales. Cada una de las reglas de derivación que se estudiaron se pueden escribir de forma diferencial. Por ejemplo suponer que u y son funciones derivables de x. A partir de la definición de diferenciales, se tiene du = u ’ dx dv = v ’ dx De tal manera, se puede escribir la forma diferencial de la regla del producto como se muestra a continuación. d[uv] =

d [uv] dx dx

= [uv ‘ + vu ‘] dx = uv ‘ dx + vu ‘dx = udv + vdu Ejemplo 1. Determinación de diferenciales. Función. y = x2 y = 2 sen x y = x cos x y=

1 x

Derivada. dy = 2x dx dy = 2 cos x dx dy = - x sen x + cos x dx dy 1 = dx x2

Diferencial. dy = 2xdx dy = 2 cos xdx dy = (-x sen x + cos x) dx dy= -

dx x2