4.Series de Fourier
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Series de Fourier...
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FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Producto interno de funciones: El producto interno de dos funciones f 1 y f 2 en un intervalo a, b es el número. b
f 1 , f 2 a f 1 ( x) f 2 ( x)dx Funciones ortogonales: Dos funciones f 1 y f 2 son ortogonales en un intervalo a, b sí. b
f 1 , f 2 a f 1 ( x) f 2 ( x)dx 0 Demostrar que las funciones son ortogonales en el intervalo indicado. indicado. 2 3 1. f 1 ( x) x y f 2 ( x) x [1,1] 2. f 1 ( x) cos x y f 2 ( x) sen2 x [0, ] Conjunto ortogonal: Un conjunto de funciones de valor real 0 ( x), 1 ( x), 2 ( x) se dice que es ortogonal en un intervalo a, b si b
m , n a m ( x)n ( x)dx 0
mn
Conjuntos ortonormales: la norma o longitud
u
términos del producto interno. La expresión u , u la norma es
u
de un vector u
2
u
, se puede expresar en
se llama norma cuadrada, por lo que
u , u . De igual modo la norma cuadrada de una función es 0
2
( x ) , y así la norma o su longitud generalizada es n ( x) n , n . En otras n
n
n
palabras la norma cuadrada y la norma de una función n en un conjunto ortogonal n ( x) son, respectivamente, 2
b
n ( x) 2n ( x)dx
y
a
n ( x)
b 2 n ( x)dx a
1. Demuestre que el conjunto 1, cos cos x, cos cos 2 x,... es ortogonal en el intervalo [, ] y encuentre las normas de cada función.
n
p
2. Demuestre que el conjunto sen
x con n 1,2,3, es ortogonal en el intervalo [0, p] y
encuentre las normas de cada función. Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
Página 1
Ejercicios. 11.1 Demuestre que las funciones son ortogonales en el intervalo indicado 1. f 1 ( x) x f 2 ( x) x 2 2,2 2. f 1 ( x) x3
f 2 ( x) x 2 1
1,1
3. f 1 ( x) e x
f 2 ( x) xe x e x
0,2
4. f 1 ( x) cos x
f 2 ( x) sen2 x
0,
5. f 1 ( x) x
f 2 ( x) cos 2 x
2 , 2
6. f 1 ( x) e x
f 2 ( x) senx
4 , 5 4
Demuestre que el conjunto dado de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la norma de cada función en el conjunto. 7. senx, sen3 x, sen5x,...
0, 2
8. cos x, cos 3 x, cos 5 x,...
0, 2
9. sennx con n 1,2,3,
0,
10. sen
p
n
n
n
11. 1, cos 12. 1, cos
0, p
x con n 1,2,3,
p
p
x con n 1,2,3,
x, sen
0, p
p
m
x con n 1,2,3, , m 1,2,3,
p, p
SERIES DE FOURIER La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo [ p, p] está dada por f ( x)
Donde
ao
an
bn
1
n n an cos x bn sen x p p 2 n 1
a0
p
p
p
p p
1
p p
1
p p
f ( x)dx
f ( x) cos
f ( x) sen
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
n p n p
xdx
xdx
Página 2
Desarrolle 1.
0, x 0 x, 0 x
f ( x)
Teorema: condición para la convergencia Sean f f ' continuas por tramos en el intervalo [ p, p] es decir, sean f f ' continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y con discontinuidades finitas sólo en esos puntos. Entonces la serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge hacia el promedio
f x
f x
2
En donde f x f x denotan el límite de f en x , por la derecha y por la izquierda, respectivamente.
Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición Ejercicios. 11.2 Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado.
0, x 0 1, 0 x
2. f ( x)
3. f ( x)
1, 1 x 0 x, 0 x 1
4. f ( x)
0, x 0 5. f ( x) 2 x , 0 x
2 , x 0 6. f ( x) 2 2 x , 0 x
7. f ( x) x , x
8. f ( x) 3 2 x, x
0, x 0 9. f ( x) senx x , 0
0, 2 x 0 10. f ( x) cos x, 0 x 2
0, 2 x 1 2, 1 x 0 11. f ( x) x 1 , 0 1 0, 1 x 2
0, 2 x 0 12. f (t ) x, 0 x 1 1, 1 x 2
1. f ( x)
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
1, x 0 2, 0 x
0, 1 x 0 x, 0 x 1
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1, 5 x 0 x x 1 , 0 5
2 x, 2 x 0 0 x 2 2,
13. f ( x)
14. f ( x)
15. f ( x) e x , x
16. f ( x)
x 0 0, x e 1, 0 x
SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS Funciones par e impar. f ( x) x 2 es par, ya que f ( x) x 2 x 2 f ( x)
x x
f ( x) x3 es impar, ya que f ( x)
3
3
f ( x)
Propiedades de funciones pares e impares a) El producto de dos funciones pares es par b) El producto de dos funciones impares es par c) El producto de una función par y una impar es impar d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar f) Si f es par, entonces
a
a
0
a
g) Si f es impar, entonces
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx a
f ( x)dx 0
Series de Fourier de cosenos y de senos. 1. La serie de Fourier de una función par en el intervalo p, p es la serie de cosenos. f ( x)
Donde
ao
an
a0
p 2 p
n
n 1
p
an cos
2 2
p
p
0
0
x
f ( x)dx n
f ( x) cos
p
xdx
2. La serie de Fourier de una función impar en el intervalo p, p es la serie de senos. f ( x)
n
b sen p x n
n 1
Donde
bn
2
p
p
0
f ( x) sen
n
Desarrolle f ( x) x Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
p
xdx
2 x 2 en una serie de Fourier. Página 4
Ejercicios del libro Ecuaciones diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. Séptima edición Ejercicios. 11.3 Desarrolle cada función dada en una serie adecuada de cosenos o de senos.
1, x 0 1. f ( x) 1, 0 x
1, 2 x 1 2. f (t ) 0, 1 x 1 1, 1 x 2
3. f ( x) x , x
4. f ( x) x, x
5. f ( x) x 2 , 1 x 1
6. f ( x) x x , 1 x 1
7. f ( x) 2 x 2 , x
8. f ( x) x3 , x
x 1, x 0 1 , 0 x x
x 1, 1 x 0 x 1, 0 x 1
9. f ( x)
10. f ( x)
1, 2 x 1 x, 1 x 0 11. f ( x) x x , 0 1 1, 1 x 2
, 2 x x 12. f (t ) x, , x 2
13. f ( x) senx , x
6. f ( x) cos x, 2 x 2
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios
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