4.S3 SOL La Derivada 2017-1(2)

FACULTAD DE INGENIERIA Curso: Cálculo 1

SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N° 03 Sesión N°3: Derivada de una función  – Interpretación geométrica 1.

Calcular la derivada de las siguientes funciones: 6

5

2

a)  f  ( x)  4 x  3 x  10 x  5 x  16

Solución:  f  ( x)  24 x 5

3

b)  f ( x) 

3

 15 x

x2

2



18 7

4

 20 x  5

x. 6 x 

9 5

x 3 x2

6



13

x 2. 6 x

Solución: Primero reescribimos la función:

3

 f ( x ) 

2

2

.x



2

3

 f ( x ) 

3

x

2

3



1

18

x. x

7

6

7

18 18

x

7

6



9



5

2

x. x

5

9

x

5

3



3



6 13

1 2

x . x6

13

6 13

x6

 Ahora derivamos derivamos la función usando usando la la regla de potencias potencias d  dx 2

 f '( x) 

3 2 3 1 ( x ) 2 3

 f '( x)  x

 f '( x) 

7

18 7 6 1 ( x ) 7 6



1

1

2

3

6

3



1 3

 x

3x



3



6

3x

x



( x n )



nx

5



9 5 3 1 ( x ) 5 3

n

1



13



6 13 6 1 ( x ) 13 6

7



x6

3

3

x2



6

x7

1

Derivada de una función

c)  f ( x) 

8 5 x

5

Cálculo 1

3



x

2



4

x

1



3

2x2

Solución: Reescribiendo la función dada, usando la ley del exponente negativo: 1  x

 f ( x ) 

8 5

x

5





3x

4



2x



3





 x



n

 x



n

2



2

Derivamos la función usando: d  dx

 f ( x) 

8 5

( 5 x

 f ( x)  8 x 6

d)  f  ( x)



( x 5



51

)

 12 x

3 x 2

3 ( 4 x



5

)



2 ( 3 x



nx

31

)

n

1





(

2 x

2 1

2

)

6 x 4  x 3



1)( x 3



41

( x n )

2)



Solución:  Aplicando la regla regla del producto: producto:

 f  ' ( x)  ( x 5



 f  ' ( x)  (5 x 4

3 x 2





1)' ( x 3

6 x)( x 3 3

e)   f ( x)  ( 3 x  5) . ( x





3



( f   g )'   f  ' g    f   g '

2)  ( x 5

2)  ( x 5





3 x 2

3 x 2





1)( x 3



2)'

1)(3 x 2 )

x)

Solución: Derivamos usando la regla del producto

( f . g )  f g  1 3

 f ( x)  ( x  5) ( x

3



1

 f ( x)  ( x

3



5) (3 x

2



x )  ( x

3

g f  

1

3

1



3



3

(x

3

x) ( x3

2

3

x )

1





3

x )(



5) 

1

2

3

x3) 2

Derivada de una función

7

 f ( x )  3 x

 f ( x) 

3



1

1



x

3

7

10

x

3

3

3

2



 f ( x)  15 x 2 

f)  f  ( x )

Cálculo 1

3

10



15 x

1

5

x

3

3

x7

3



2

3





2

5

x

3

3



7

1

x

3

3



1 3

1

x3

2

x3

15 x 2



2



3 3  x

5 3 3 x2

 x  x  1

Solución:  Aplicando la la derivada del cociente: cociente: '

  f     f  ' g    f   g '    2  g    g    f  ' ( x) 

 f  ' ( x) 

 f  ' ( x ) 

g)  f  ( x )



( x)' ( x  1)  ( x)( x  1)' ( x  1) 2

(1)( x  1)  ( x)(1)' ( x  1) 2  x  1   x ( x  1)

 x 3



 x 4

2

2 x 2



 x 3



 

1 ( x  1) 2

7

 x

Solución: Derivamos usando la regla del cociente:

  f  gf   fg     g 2   g   f

( x) 

( x

 f ( x) 

4



x 3  x)( x 3  2 x 2  7)  ( x 3  2 x 2  7)( x 4  x 3  x)  ( x

( x

4



4



x 3  x) 2

x 3  x)(3 x 2  4 x)  ( x 3  2 x 2  7)(4 x 3  3 x 2  1) ( x

4



x3  x) 2

3

Derivada de una función

 f ( x) 

(3 x 6

5

5

4

3

2

6

( x

 f ( x)

5

x3



2

 4 x  3 x  4 x  3 x  4 x  (4 x  3 x 



4



x

3

x)

5

4

2

3

 8 x  6 x  2 x  28 x 

21x2



7)

 x 6  4 x5  2 x 4  26 x 3  19 x 2  7

 f ( x)  

h)

Cálculo 1

( x 4  x3  x) 2

x(senx 3 cos x) 

Solución: Derivamos usando la regla del producto: ( f .g )  f g   gf  

  f ( x)  x ( sen x

3 cos x)



( sen x



3 cos x) x

  f ( x)  x (cos x



3 sen x)



( sen x  3 cos x).1

  f ( x)  x co cos x



3 x sen x



sen x

 f ( x)  ( x  3) cos x

i)





(3x



3 cos x

 1) sen x

 f ( x)   xsenx  1  2 x cos x  5

Solución:   f ( x)  ( x sen x  1) (2 x cos x   f '( x)  2( x sen x   f '( x)  2( x sen x



1) ( x cos x) '





(2 (2 x cos x

 5 ) ( x se n x  1)

(2 (2 x cos x  5) ( x sen x) '



(2 x cos x  5) ( x cos x

x sen x cos x  x sen x  cos x )



sen x)

2x 2 cos 2 x  2x sen x cos x





5 x cos x  5 sen x

2 x sen x cos x  2 x sen x  2 cos x  2 x2 cos 2 x 2 x sen xcos x  5 xcos x 5 sen x

 f '( x)  2 x 2 cos 2 x  2 x 2 sen2 x 2



1) ( x sen x  cos x)

 f '( x)  2( x 2 sen2 x  f '( x)   2 x 2 sen2 x



 5) ' 

2



4 x sen x cos x  2 x sen x

2

2

 f '( x)  2 x co cos x  2 x (1  cos x)



 f '( x)  2 x 2 cos 2 x  2 x 2  2 x 2 cos 2 x  f '( x)  4 x 2 cos 2 x



(4 x sen x

(4 x sen x 



(4 x sen x

2) cos  5 x  2)



5 xcos x  2 cos x  5 sen x

5 x  2) cos x  (2 x  5) sen x  5 x  2) cos

5) sen x x  (2 x  5)



x  (2 x  5) sen x 2 x2

4

Derivada de una función

 j)

 f ( x ) 

Cálculo 1

 x  senx 1  tgx

Solución: Derivamos usando la regla del cociente

  f  gf   fg     g    g  2

Primero reescribir la función, usando la identidad:  sen x

tan  x



cos  x

Entonces:

 f ( x )

 f '( x) 

 f '( x) 

 f '(x) 

( sen x





 x  senx  sen x 1 cos x



x sen x cos x cos x  se sen x

cos x)( x sen x cos x) '  ( x sen x cos x)( sen x ( sen x

( sen x



cos x)( sen x cos x







cos x)( sen x cos x



cos x ) '

cos x)2

x (sen x cos x) ' )  ( x sen x cos x )(cos x ( sen x

( sen x





cos x)



sen x )

2

x (cos x cos x  sen x sen x) )  ( x sen x cos x)(cos x  sen x)  sen2 x



2sen x cos x



cos2 x

usando la identidad: sen 2  x  + cos2  x  =  = 1

 f '( x) 

 f '(x) 

k)

( sen x



cos x)( sen x cos x



x cos 2 x  x sen 2 x )  ( x sen x cos x )(cos x



sen x )

1  2 sen x cos x  sen2 x cos x



x sen3 x



sen x cos2 x  x cos3 x

1  2 sen x cos x

  f ( x)  x ln x  x

Solución: Recordar que la derivada del logaritmo natural es:

d  dx

(ln  x ) 

1

x 5

Derivada de una función

 f '( x)  ( x ln x  f '( x)



 f '( x)  ln ln x

l)

 f ( x)

x) '



( x ln x) '

  f '( x)  ( ln x

 f '( x)

Cálculo 1



x.



( x) ' 1

 x

)



1

1 1



ln x



 x ln x 



 x

3



ln x

Solución:  f '(x)

( x3



ln x) ( x ln ln x) '



( x3



ln x) ( ln x



( x3



ln x) ( ln x



( x  x3

 f '(x) 

 f ( x)

ln 2 x

( x3

 f '(x)  

m)



e x 

ln 2  x





( x3



( x ln x) ( x3



ln x ) '

ln x)2

1 x . )  ( x ln x) (3x 2  x 3 ( x  ln x)2

( x3  f '(x) 

 f '( x) 







3



1)



ln x)

3x 3 ln x





1 x

)

ln x

2

2 x 3 ln x

ln x) 2

2 x3 ln x  x 3 

ln x)2

cos x

ln  x

Solución:  f '( x) 

(e x



cos x) ' ln x

 (ln

x) '( e x



cos x)

(ln  x) 2

6

Derivada de una función

(e x



Cálculo 1

1 ( )(e x  x (ln x )2

sen x) ln x

 f '(x) 

 f '( x) 

n)

  f ( x)

(e x  sen x)



cos x )

(e x  cos x)



ln x



x(ln x)2

x arctgx arctgx





Solución:   f '( x)  ( x ) ' arctg arctg x

 f '(x) 

o)

arctg x 2  x



x 1   x 2

 f  ( x)   x 2 ln  x  e x 2

x (arctg arctg x) '



 f  ( x)   x ln  x  e



x

3



x x

1/ 3

Solución:  f  ' ( x)  ( x 2 )' ln  x   x 2 (ln (ln  x)'(e x )'( x1 / 3 )'  f  ' ( x)  2 x ln  x   x 2

1

 x



 f  ' ( x)  2 x ln  x   x  e x

2.

ex





1 3

x



2/3

1 3  3  x 2

En el instante t 0 , un saltador se lanza desde un trampolín que está a 16 metros sobre el nivel del agua de la piscina. La posición del saltador en el momento t, está dada por 

2

s(t)   8t



8t  16 16 ; con  s  en metros y t  en  en segundos.

a) ¿En qué momento el saltador hace contacto con el agua? b) ¿Cuál es su velocidad en ese momento? Solución a) Saltador entra al agua significa que s(t) = 0. Es decir: 2

s(t)   8t



8t  16 16



2

0   8(t



t  2) 2)  8(t  2) 2)(t  1) 1)



t = 2 segundos

Respuesta: El saltador hace contacto con el agua en 2 segundos 7

Derivada de una función

Cálculo 1

b) La velocidad es la derivada de la posición. Es decir: s '(t)   16t  8



s '( '(2)   16(2)  8  24

Respuesta: El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s

3.

Un cohete se desplaza según la función d (t )  100  en km y t  en  en horas. 100t   2000t 2 , con d  en a) Calcula la función velocidad b) Calcula la función aceleración (así como la función velocidad se obtiene derivando la función distancia, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad) c) ¿Cuál es la velocidad velocida d inicial? ¿y la aceleración acelerac ión inicial?

Solución a) La función velocidad es la derivada de la función desplazamiento:

100  4000t  d ´'(t )  v(t  )  100 b) La función aceleración es la segunda derivada de la función desplazamiento d  ' ' (t )



a(t )



4000

c) La velocidad inicial sucede cuando (t = 0) v0



100 100 km / h

Y la aceleración inicial, será a0

4.



4000 km / h

2

Movimiento rectilíneo. La posición de un auto en una autopista en el momento t , está dada por:  s(t )  t 

3



6t  2



9t   5

con s en km y t  en  en horas  = 0 y 0 y t  =  = 4. a) Halla la velocidad del auto y analiza su movimiento entre t  = b) Halla la distancia total recorrida por el auto entre t  =  = 0 y 0 y t  =  = 4. c) Halla la aceleración y determina cuando se acelera y desacelera.

Solución a) Para obtener la velocidad derivamos la posición s(t): d ' (t )



v(t )



3t 2



12t   9

Para analizar el movimiento, debemos encontrar en qué momentos el auto se detiene, es decir, cuando su velocidad es cero:

3t 2  12t   9  0

3(t   1)(t   3)  0 8

Derivada de una función

Cálculo 1 v

        









t

 















 

Observamos que, el auto se detiene en los momentos t = 1 y t = 3; en el intervalo 0 < t < 1 el auto se mueve hacia adelante (v > 0), en el intervalo 1 < t < 3 el auto se mueve hacia atrás (v < 0), en el intervalo 3 < t < 4 en auto se mueve hacia adelante (v > 0).  = 0 y 0 y t  =  = 4 b) Halla la distancia total recorrida por el auto entre t  = Intervalo Velocidad Movimiento Distancia recorrid recorrida a 0