4_POSICIÓN -DESPLAZAMIENTO-MECANISMOS

Análisis y Síntesis de Mecanismos

A NÁLISIS Y SÍNTESIS DE POSICIÓN Y

DESPLAZAMIENTO DE U N  MECANISMO

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Análisis y Síntesis de Mecanismos

INTRODUCCIÓN Una meta principal del análisis cinemático es la determinación de las posiciones, velocidades y las aceleraciones de todas las partes móviles del conjunto. La segunda ley de Newton establece que una fuerza dinámica  es proporcional a su aceleración. Para calcular los esfuerzos  en los componentes es necesario conocer las fuerzas dinámicas. El ingeniero de diseño se debe asegurar de que el mecanismo o máquina  propuesta no fallará en las condiciones reales de operación. De modo que los esfuerzos en los materiales deben mantenerse muy por debajo de los niveles admisibles. Para calcular los esfuerzos se necesita conocer las fuerzas estáticas y dinámicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinámicas es necesario conocer las aceleraciones. Para calcular éstas se deben encontrar las posiciones de todos los elementos del mecanismo (sus eslabones) para cada incremento en el movimiento de entrada, y luego derivar las ecuaciones de posición con respecto al tiempo para obtener las velocidades; las cuales también se derivan con el fin de obtener las expresiones de aceleración. Por ejemplo, es probable que en un eslabonamiento simple de cuatro barras de Grashof se desee calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones de los eslabones de salida (acoplador y balancín), quizá para cada dos grados (180 posiciones) de la posición de entrada de la manivela hasta completar una revolución de dicha manivela. Esto se puede efectuar por uno de varios métodos. Se podría usar un procedimiento gráfico  para determinar la posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida para las 180 posiciones de interés, o bien se podrían deducir las ecuaciones generales  de movimiento para una posición, derivar matemáticamente para determinar velocidad y aceleración, y después resolver estas expresiones analíticas  para las 180 (o más) ubicaciones de la manivela. Una computadora hará esta última tarea mucho más fácilmente. Si se elige el método gráfico de análisis se tendrá que efectuar una resolución gráfica independiente para cada una de las posiciones de interés. Nada de la información obtenida gráficamente para la primera posición será aplicable a la segunda o a cualesquiera otras. Por el contrario, una vez que se llega a la solución analítica para un mecanismo en particular, se puede resolver rápidamente (con una computadora) para todas las posiciones. Si se desea información para más de 180 de ellas, esto sólo significa que se tendrá que esperar más tiempo para que la computadora genere esos datos. Las ecuaciones deducidas son las mismas.

3.1 SISTEMAS DE COORDENADAS Sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas para especificar la  posición de un punto en la superficie de la Tierra. Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas más usadas. En dos dimensiones, están formadas  por un par de rectas en una superficie plana, o plano, que se cortan en ángulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina x e y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas coordenadas son (2,3) está situado dos unidades hacia la derecha del eje x y tres unidades por encima del eje  y, como se muestra en la  figura 3.1.  En coordenadas cartesianas de tres dimensiones, se agrega el eje z  de manera que tenemos tres ejes todos ellos perpendiculares entre sí. En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,θ ) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha línea llamado polo. Para un punto cualquiera del  plano, la coordenada r  es la distancia del punto al polo, y θ e es el ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto, como se muestra en la  figura 3.2.  Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres dimensiones.

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F igura 3.1 Coordenadas cartesianas bidimensionales.

F igur a 3.2 Coordenadas polares.

El sistema de coordenadas cilíndricas circulares es una versi6n en tres dimensiones de las coordenadas  polares de la geometría analítica plana. En las coordenadas polares de dos dimensiones se localizaba un  punto en un plano dando su distancia p al origen y el ángulo φ entre la línea desde el punto al origen y un eje radial arbitrario, en el que se toma φ = 0.4 Un sistema tridimensional de coordenadas cilíndricas circulares se obtiene en forma similar especificando la distancia  z   del punto con respecto a un piano de referencia  z = 0 arbitrario, en donde es perpendicular a la línea  p = 0. Por comodidad, generalmente se refiere uno a las coordenadas cilíndricas circulares sencillamente como coordenadas cilíndricas. Ya no se utilizaran tres ejes como en las coordenadas cartesianas, sino que cada punto debe considerarse como la intersecci6n de tres superficies mutuamente perpendiculares. Estas superficies forman un cilindro circular ( p = constante), un piano (φ = constante) y otro piano ( z = constante). Esto correspondería a la localización de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas por la intersección de tres planos ( x  = constante,  y = constante y  z   = constante). Las tres superficies de las coordenadas cilíndricas circulares se muestran en la figura 3.3 . Obsérvese que las tres superficies pueden hacerse pasar por cualquier punto, a menos que este se encuentre sobre el eje  z , en cuyo caso es suficiente un plano. A diferencia del caso del sistema de coordenadas cilíndricas, no existe un sistema de coordenadas en dos dimensiones que pueda ayudarnos a entender el sistema de coordenadas esféricas en tres dimensiones. Pero en cierto modo pueden aplicarse los conocimientos con respecto al sistema latitud y longitud para localizar un lugar sobre la superficie de la Tierra, considerando solamente puntos sobre la superficie, y no puntos internos o externos a ella. Se empezará construyendo un sistema de coordenadas esféricas tomando como referencia tres ejes cartesianos ( Fig. 3.4). Se define primero la distancia r   desde el origen a cualquier punto. La superficie r  = constante es una esfera. La segunda coordenada es un ángulo θ  entre el eje z  y la línea trazada desde el origen  basta el punto considerado. La superficie θ  = constante es un cono, y las dos superficies, cono y esfera, son  perpendiculares en todas partes a 1o largo de su intersección, la cual es un circulo de radio r   sen θ . La coordenada θ  corresponde a la latitud, excepto que la latitud se mide desde el ecuador y θ  se mide desde el “Polo Norte”.

La tercera coordenada  ρ es también un ángulo y es exactamente igual que el ángulo  ρ de las coordenadas cilíndricas. Este es un ángulo entre el eje  x y la proyección en el plano  z   = 0 de la línea trazada desde el origen hasta el punto. Este corresponde al ángulo de longitud, sólo que el ángulo  ρ aumenta hacia el “este”, La superficie  ρ = constantes un plano que pasa a través de la línea ρ = 0 (el eje z).  Nuevamente se considera cualquier punto como la intersección de tres superficies mutuamente  perpendiculares -una esfera, un cono y un plano cada una orientada en la forma descrita anteriormente.

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F igura 3. Superficies con coordenadas cilíndricas.

. Coordenadas esféricas. F igura 3.4 

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3.2 POSICIÓN DE UN PUNTO Posición La posición de un punto en el plano se puede definir mediante un vector de posición, como se indica en la figura 3.5. La elección de ejes de referencia  es arbitraria y se escoge de modo que se adapte al observador. Un vector bidimensional tiene dos atributos, los cuales se pueden expresar en coordenadas  polares o cartesianas . La forma polar proporciona la magnitud y el ángulo del vector. La forma cartesiana aporta las componentes X y Y del mismo. Cada forma es directamente convertible en la otra como sigue: Y A

Forma polar : |R A| @  

R A

R y

Forma cartesiana: R x , R y

θ  X R x

Figura 3.5 Un vector de posición en el plano Por el teorema de Pitágoras:  R A   R x  R y   2

2

(3.1)

Por trigonometría:    arctan

 R y  R x

 

(3.2)

Hay muchos modos de representar vectores. Éstos se pueden representar en coordenadas polares, por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas mediante las componentes x y y. Estas formas, se pueden convertir fácilmente de una a la otra utilizando las ecuaciones (A). En la figura 3.6 se muestra la notación con vectores unitarios en el caso de un vector de posición. Y A R A

Forma polar: |R A| @  

R senθ j

 j

θ 

i

Forma cartesiana: Rcos θ i, Rsenθ j X

R cosθ i 

Figura 3.6  Notación de vectores unitarios para vectores de posición. En la figura 3.7 se representa la notación con números complejos; en este caso la componente en dirección X  se denomina  parte real , y la componente en la dirección Y , parte imaginaria

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Imaginaria  j

A

Forma polar: R e j R A

Forma cartesiana: Rcos θ + j Rsenθ

R senθ θ  Real R cosθ

Figura 3.7 Representación con números complejos de vectores en el plano. 3.3 ANÁLISIS GRÁFICO DE LA POSICIÓN DE MECANISMOS PLANOS. Construcción de los planos de un mecanismo La posición reciproca de los elementos de un mecanismo en movimiento varia constantemente, pero en cada instante la posición de éstos es completamente determinada. La representación de la posición reciproca de los elementos que corresponde a un movimiento dado, se denomina plano de un mecanismo. Una serie sucesiva de planos de un mecanismo, para momentos consecutivos, permite seguir claramente el movimiento de dicho mecanismo. La construcción del plano de un mecanismo se empieza representando gráficamente aquel elemento cuya  posición, para un momento determinado se conocen (movimiento giratorio y movimiento de traslación rectilíneo de un elemento)



Determinación de las posiciones extremas de mecanismo de cuatro barras

En un mecanismo de cuatro articulaciones (figura 3.8), el elemento CD es balancín, es decir, no realiza un giro completo. En cualquier posición de la manivela AB, el balancín CD siempre se encentra entre las  pociones CD” y CD´. La posición de un ele mentocto desde la cual puede moverse sólo en una dirección, se denominan posiciones extremas del eslabón. Por esto, las posiciones CD” y CD´ son las posiciones extremas del balancín CD. Para determinar las posiciones extremas del balancín circunscribamos ardedor del punto A circunferencias de radio (l +r ) y (l  – r)  ; y alrededor del punto D, una circunferencia de radio b. La intersección de estas circunferencias tiene lugar en los puntos extremos C´y C”. Los puntos B´ y B” correspondientes, se encuentran en las rectas que unen a los puntos C´y C” con el punto A.

De la figura se ve que el desplazamiento del balancín de la posición DC´ a la posición DC” transcurre durante el tiempo en que el punto B de la posición B” pasa a la posición B´, es decir mientras que la manivela r  gira un ángulo de (180° + θ). El regreso de balancín a la posición DC”, transcurrirá en el tiempo durante el cual la manivela gira un ángulo de (180° - θ). Las velocidades medias del balancín durante su movimiento en sentido directo e inverso, serán inversamente proporcionales a los ángulos (180° + θ)  y (180° + θ). La relación de las velocidades medias de un eslabón durante su tiempo de movimiento en sentido

directo e inverso, se denomina coeficiente de variación de la velocidad media del eslabón. Designando a este coeficiente por c, obtenemos para el balancín la siguiente relación: c

180    180   

 

(3.3)

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De este modo, la determinación de las posiciones extremas permite encontrar el ángulo de amplitud del  balancín Φ y el ángulo θ , el cual puede servir para determinar el coeficiente de variación de la velocidad media del balancín. C C´

C”

l B

b

θ 

Φ

B´

r

l-r

D l+r

A

B”

Figura 3.8 Determinación de las posiciones extremas y el ángulo de oscilación del balancín



Determinación de las posiciones extremas y de la carrera de la corredera en un mecanismo de biela-manivela-corredera.

Para determinar las posiciones extremas de un mecanismo biela-manivela-corredera excéntrica (figura 3.9), se procede de la siguiente manera. Desde el punto A se hacen intersecciones con los radio (l +r ) y (l – r)  en la recta D-D, por el cual se mueve el punto C. las rectas que unen a los puntos C´y C” con el punto A, cruzan la circunferencia que describe el punto B en los puntos correspondientes B´y B”.

B”

B r l

A

B´

l+r θ 

e

D

l  –  r C

C”

C´

D

 H

Figura 3.9 Determinación de las posiciones extremas y de la carrera de la corredera en un mecanismo de  biela-manivela-corredera. Por la posiciones extremas de la corredera (punto C), encontramos la carrera  H, que siempre será mayor de 2r , además, se determina el anglo θ   y el coeficientede variación de la velocidad media c de la corredera [ecuación (1)]. Al girar la manivela r  en el sentido de las agujas del reloj, la corredera se desplazará hacia la derecha más lentamente que hacia la izquierda. Es imposible poner en movimiento al mecanismo a partir de la corredera encontrándose ésta en sus posiciones extremas. Estas posiciones serán las posiciones del  punto muerto de la corredera.

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En un mecanismo axial de corredera y manivela, la excentricidad es e = 0. Por esto, los puntos A, C´y C” se encuentran en la línea D-D, el ángulo θ = 0 , el coeficiente c = 1 y la carrera de la corredera  H = 2r.

CONDICIONES LÍMITE Una prueba importante que se aplica en los procedimientos de síntesis que se describen a continuación. Se necesita comprobar que el eslabonamiento puede, en realidad, alcanzar todas las posiciones de diseño especificado sin encontrar una posición límite o de agarrotamiento, también llamada configuración estacionaria. Con frecuencia los métodos de síntesis de eslabonamiento sólo permiten obtener las posiciones  particulares especificadas. No indican nada acerca del comportamiento del eslabonamiento entre esas  posiciones. En la figura 3.10, se muestra un eslabonamiento de cuatro barras de no Grashof en una posición arbitraria CD (con trazo punteado) y también en sus dos posiciones de agarrotamiento , C 1 D1 y C 2 D2.  Las  posiciones de agarrotamiento se determinan mediante la colinealidad    de dos de los eslabones móviles. Un mecanismo de doble o triple balancín de cuatro barras tendrá por lo menos dos de estas posiciones de agarrotamiento en las que el eslabonamiento adquiere una configuración triangular. Cuando se llega a una  posición triangular (agarrotamiento) no se permitirá movimiento de entrada adicional en una dirección, a  partir de uno de sus eslabones de balancín (del eslabón 2 a partir de la posición C 1 D1, o del eslabón 4 a partir de la posición C2D2) El otro balancín tendrá que impulsarse luego para retirar el eslabonamiento de la  posición de agarrotamiento. Un eslabonamiento de manivela-balancín de cuatro barras de Grashof asumirá también dos posiciones de agarrotamiento, como se muestra en la figura 5b), cuando el eslabón más corto (manivela 02C) es colineal con el acoplador CD (eslabón 3) ya sea colineal prolongada  (0 2C2D2) o colineal traslapado (02C1D1). No puede ser impulsado hacia atrás  desde el balancín 04D (eslabón 4) a través de estas  posiciones colineales, pero cuando la manivela 02C (eslabón 2) recibe impulso, lo llevará a través de ambos agarrotamientos debido a que es de Grashof. Observe que estas posiciones de agarrotamiento también definen los límites de movimiento del balancín impulsado (eslabón 4), en los cuales su velocidad angular  pasará por cero.

Eslabón 3 Eslabón 3 Eslabón 4 Eslabón 4

Eslabón 2

Eslabón 2 Eslabón 1

a) Posiciones de agarrotamiento de un doble balancín

Eslabón 1

 b) Posiciones de agarrotamiento de una manivela-balancín

Figura 3.10 Eslabonamiento en agarrotamiento Además de los puntos muertos (posiciones de agarrotamiento) posibles en el mecanismo de cuatro barras articuladas, es necesario tener en cuenta el ángulo de transmisión. El ángulo de transmisión γ se define como el ángulo entre el eslabón de salida y el acoplador.  (Mecanismo de cuatro barras de Grashof). Generalmente se toma como el valor absoluto del ángulo agudo del par de ángulos en la intersección de los dos eslabones; y varía continuamente desde un valor mínimo hasta un máximo, a medida que el eslabonamiento pasa por su intervalo de movimiento. Es una medida de la calidad de la transmisión de fuerza en la junta.

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Valores extremos del ángulo de transmisión Para un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-balancín de Grashof, los valores extremos del ángulo de transmisión ocurrirán cuando la manivela sea colineal con el eslabón de fijo, como se muestra en la figura 6. Los valores del ángulo de transmisión en estas posiciones se calculan fácilmente usando la ley de los cosenos, puesto que el eslabonamiento tiene entonces una configuración triangular. Los lados de los dos triángulos son el eslabón 3, el eslabón 4 y la suma o diferencia de los eslabones 1 y 2. Un solo valor extremo del ángulo de transmisión se tiene cuando dichos eslabones son colineales y no traslapados como se muestra en la figura 3.11a). El otro ángulo de transmisión extremo ocurre cuando los eslabones 1 y 2 son colineales y traslapados como se ilustra en la figura 3.11b). a = eslabón 2;

b = eslabón 3;

c = eslabón 4

d = eslabón 1

Para un ángulo de transmisión extremo la ley de los cosenos da:  b 2  c 2  (d   a) 2   1  cos    2 bc   1

(3.4a)

y para el otro ángulo de transmisión extremo  b 2  c 2  (d   a) 2   2  cos    2 bc   1

(3.4b)

γ2 γ1 δ

a) Extendido

b) Traslapado

Figura 3.11 Ángulos de transmisión externos en el eslabonamiento de cuatro barras de Grashof RAZON DE TIEMPO Muchos mecanismos que producen movimiento reciprocante se diseñan para genera movimiento simétrico, es decir, las características del movimiento de la carrera hacia fuera son idénticas a las de la carrera hacia adentro. Con frecuencia tales mecanismos realizan trabajo en ambas direcciones. El mecanismo de un motor de gasolina y de los limpiadores del parabrisas son ejemplos de mecanismos equilibrados cinéticamente. Sin embargo, otras aplicaciones de diseño de maquinas requieren una velocidad promedio diferente entre la carrera de avance y la carrera de retorno. Estas máquinas normalmente producen trabajo solamente en la carrera de avance, de modo que la carrera de retorno necesita ser tan rápida como sea posible, para que el mayor tiempo de operación esté disponible para la carrera de trabajo. Las máquinas cortadoras y empaquetadoras son ejemplo de estos mecanismos de retoro rápido. Una medida de la acción de retorno rápido de un mecanismo es la r azón de tiempo (R.T.), la cual se define como:

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 R.T. 

Tiempode la carrera más lenta

1

Tiempode la carrera más rápida

El ángulo de desequilibrio θ  es una propiedad que relaciona la geometría de un mecanismo específico con el

tiempo de la carrera. Dicho ángulo se relaciona con la razón de tiempo de la manera siguiente:  R.T . 

180    180   

Por consiguiente, en la síntesis dimensional de un mecanismo, la razón de tiempo deseada se convierte en una restricción geométrica necesaria a través del ángulo de desequilibrio θ. El tiempo total del ciclo de movimiento del mecanismo es: ∆tciclo = Tiempo de la carera más lenta + tiempo de la carrera más rápida

Para mecanismos que son impulsados a velocidad constante por una actuador que gira, la velocidad requerida de la manivela, se relaciona con el tiempo del ciclo de la siguiente manera: ωmanivela  = (∆tciclo) -1

Construcción de un mecanismo de cuatro articulaciones según el coeficiente de variación de la velocidad media y el ángulo de transmisión. El coeficiente de variación de la velocidad media c del balancín de un mecanismo manivela-balancín está relacionado con el ángulo θ, por medio de la ecuación 3.3. c

180    180   

 

(3.3)

Si el coeficiente c ha sido dado, entonces de la ecuación anterior se tiene que:    180

1  c    1  c 

(3.5)

Suponga que para el mecanismo manivela-balancín (figura 3.12), además del coeficiente c,  se ha dado también el largo del balancín y su ángulo de amplitud  β .  Siendo conocidos estos parámetros se pueden definir las posiciones de  B” B´.

 B” 

l

B´ l

(90° -  θ  )

γ

θ 

A 2  r

A´

0 r

b A 1 

M  β 

 A” 

R C

Figura 3.12 Construcción de un mecanismo manivela-balancín si está dado el coeficiente de variación de la velocidad media, el ángulo de transmisión y la amplitud de oscilación del balancín.

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Ya que el ángulo encontrado θ  se apoya en el segmento  B”B´ , entonces el lugar geométrico del punto 0 será una circunferencia, descrita con un radio  R =  MB" y  MB´   alrededor del punto  M . Para determinar la  posición del punto M , trace por el punto B” un segmento que posea un ángulo de (90° -θ) con la línea B”B´  y se encuentra el punto de intersección de este segmento con la bisectriz del ángulo β. El punto 0 se puede tomar en cualquier lugar de la circunferencia de radio  R, la cual se muestra con la línea punteada. Una de las características que determinan la calidad de transmisión del movimiento en un mecanismo, es el ángulo de transmisión γ. En el mecanismo manivela-balancín, el ángulo de transmisión es el ángulo formado por la dirección de la biela (línea AB) y la dirección del balancín (línea CB). Realmente, si se supone que la fuerza de la biela se transmite al balancín a lo largo de la biela, entonces el ángulo más propicio par transmitir el movimiento será el ángulo un ángulo de transmisión igual a 90°. Durante el funcionamiento del mecanismo, el ángulo de transmisión continuamente cambia su magnitud. Las dimensiones del mecanismo se deben elegir de forma que el ángulo de transmisión no sobrepase los límites 45° ≤ γ ≤ 135°.  No es difícil comprender que el ángulo mínimo de transmisión se obtiene para el instante en que el punto A ocupa la posición A1. En la línea 0C  y el ángulo máximo se obtiene cuando ocupa la posición  A2. Realmente en la posición  A1 la distancia entre los puntos A y C   es la menor, y en la posición  A2, la mayor. En muchos casos el ángulo de transmisión tiene un significado esencial sólo durante la carrera directa (de trabajo), es decir en el tramo  A”A2 A´   para el punto A y en el tramo  B”B´  para el punto  B. En este tramo los ángulos de transmisión más pequeños se obtienen en las posiciones extremas del balancín, es decir en los puntos  B” y  B´ . Es fácil demostrar que si β > θ, entonces el ángulo de transmisión más pequeño será en el punto B´ , y si β  < θ entonces este se encontrará en el punto B”. En la figura 3.12, el ángulo β > θ. Por esto, tomando el menor ángulo de transmisión permitido γ, se traza por el punto  B´  un segmento que forme un ángulo γ con la línea CB´   y se encuentra el punto de intersección de este segmento con la circunferencia de radio R en el punto 0. Luego, del las igualdades es evidente que: l + r = 0 B´ r  

Encontramos.

1 2

0 B´0 B"

l  

y

l - r = 0 B"

y

1 2

0 B´0 B"  

(3.6)

De un modo similar encontramos las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera (figura 3.13), si se dan la carrera de la corredera  H , el coeficiente c y el menor ángulo de transmisión γ en el tramo de la carera de trabajo. Se debe sólo tener en consideración que el ángulo de transmisión aquí es el ángulo entre la dirección de la biela y la línea perpendicular a la dirección del movimiento de la corredera. A 2 

e

 B” 

A´

r

0

B´

l

(90° -  θ  )

γ

r

H

 A” 

θ 

A 1 

R M

Figura 3.13 Construcción de un mecanismo manivela-corredera si esta dado el coeficiente de variación de la velocidad media, el ángulo de transmisión y la carrera de la corredera.

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Los ángulos máximos y mínimos de transmisión se obtienen cuando el punto  A  se encuentra en la línea trazada a través del punto 0  perpendicular a la dirección del movimiento de la corredera. Durante la carrera de trabajo, el ángulo más pequeño de transmisión γ siempre será el del punto B”. Por esto la línea a la cual debe encontrase el punto 0 ha sido trazada a través del punto B” Puesto que en el mecanismo de manivela corredera se tiene un par (junta de unión) de traslación, entonces las pérdidas debido al ro ce son mayores y el ángulo de transmisión deberá mantenerse entre los limites 60° ≤ γ ≤ 120°. Después de determinar las dimensiones r y l, a base de la ecuación 3.6, es fácil calcular la magnitud de la excentricidad e = (l – r)cosγ).

Síntesis de mecanismos de manivela y oscilador. Las posiciones extremas del oscilador, en un mecanismo de manivela-balancín, están identificadas por los  puntos B1 y B 2 en la figura 3.14. Nótese que estas posiciones se encuentran de la misma manera que para el eslabonamiento de manivela-corredera. Observe también que la manivela y el eslabón acoplador quedan en una sola recta en cada posición extrema. En este caso particular, la manivela describe el ángulo ψ   mientras que el balancín se mueve de B 1 a B2 describiendo el ángulo  β . Se observará que, en la carrera de retorno, el balancín va de B 2 de regreso a B1, recorriendo el mismo ángulo β ; pero la manivela recorre el ángulo 360° - ψ. Hay muchos casos en que el mecanismo manivela-balancín es superior a un sistema de leva y seguidor. Entre las ventajas que se tienen sobre este último sistema están las fuerzas menores que intervienen, la eliminación del resorte de retención y las holguras menores en virtud del uso de pares de revoluta. Si ψ > 180° en la figura 3.14, entonces θ = ψ  -180°, en donde se puede obtener α partiendo de la ecuación correspondiente a la razón de tiempos: R T =

180 o    180 o   

 

(3.7)

De los movimientos de avance y retorno del balancín. El primer problema que se presenta en la síntesis de los eslabonamientos de manivela-balancín es cómo obtener las dimensiones o la geometría que haga que el mecanismo genere un ángulo de salida especificado β , cuando también se especifica la razón de tiempos.

2r 2 

r 3 + r 2 

B 2 

B 1 

r 3 - r 2  θ 

ψ 

0  2 

r 2 

r 3 

r 4 

 β 

δ

 

A 1  r 1 

0  4 

A 2 

Figura 3.14 Posiciones extremas del mecanismo de manivela y balancín (oscilador)

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Para sintetizar un mecanismo de manivela-balancín, para los valores especificados de  β  y α localícese el  punto 04 en la figura 4 y elíjase cualquier longitud deseada del balancín, r 4. Luego trácense las dos posiciones 04B1 y 04B2 del eslabón 4, separadas por el ángulo de amplitud de oscilación β. Trácese cualquier recta X que  pase por el punto B1. Entonces trácese la recta Y   que pase por B2 formando un ángulo α co n  X . La intersección de estas dos rectas define la ubicación del pivote de la manivela, 02. Puesto que originalmente se eligió cualquier recta X , existe un número infinitos de soluciones para este problema. A continuación, como se observa en al figura 3.15a y 3.15b, la distancia B2C es 2r 2, el doble de la longitud de la manivela. Por lo tanto, bisécta esta distancia para encontrar r 2. Entonces la longitud del acoplados es r 3 = 02B1 – r2   . C 2r 2  B 1 

B 2

r 3 

r 4 

A 1 

X

0  2  0  4 

0  2 

β

θ  β

B 1 

r 4 

Y θ 

B

B 2 

0  4 

r 2 A

A2 (a)

(b)

Figura 3.15 Síntesis de un eslabonamiento de cuatro barras para generar el ángulo del balancín. 3.5 ROTACIÓN Y TRASLACIÓN. Cuando todas las partículas de un cuerpo rígido se mueven a lo largo de trayectorias equidistantes a un plano fijo se dice que el cuerpo tiene movimiento en el plano. Hay tres tipos de movimiento plano que en orden de complejidad creciente son. 1. Traslación. Este tipo de movimiento ocurre si cada segmento de línea sobre el cuerpo permanece paralelo a su dirección original durante el movimiento. Cuando las trayectorias de movimiento para dos partículas cualesquiera del cuerpo son a lo largo de líneas rectas equidistante s, el movimiento se llama traslación rectilínea, figura 3.17a. Sin embargo, si las trayectorias de movimiento pasan por líneas curvas que son equidistante s, el movimiento se llama traslación curvilínea, figura 3.17b. 2. Rotación con respecto a un eje fijo. Cuando un cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo, todas las  partículas del cuerpo, excepto aquellas que se encuentran sobre el eje de rotación, se mueven por trayectorias circulares, figura 3.17c. 3~ Movimiento plano general. Cuando un cuerpo está sometido a movimiento plano general, experimenta una combinación de traslación y rotación, figura 3.17d. La traslación ocurre dentro de un plano de referencia, y la rotación se efectúa con respecto a un eje perpendicular al plano de referencia.

Trayectoria de traslación rectilínea a

Trayectoria de traslación curvilínea (b)

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Movimiento plano general (c)

Rotación con respecto a un eje fijo (d)

Figura 3.17. Tipos de movimiento en el plano 3.6 DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO. El desplazamiento de un punto es el cambio en su posición y se puede definir como la distancia rectilínea entre la posicion inicial y final de un punto que se ha movido dentro del marco de referencia.

Observe que el desplazamiento no necesariamente es igual a la longitud del trayecto que el punto haya recorrido al ir de su posición inicial a la final. En la figura 3.18a, se muestra un punto en dos posiciones, A y B. La línea curva señala el recorrido del punto. El vector de posición R B/A representa el desplazamiento del  punto B con respecto al punto A. En la figura 3.18b, se define esta situación más rigurosamente y en relación con un marco de referencia global  XY. El símbolo R  denota siempre un vector de posición. Así, los vectores R A y R B señalan, respectivamente, las posiciones absolutas de los puntos A y B con respecto a este marco de referencia  global   XY. El vector R B/A, denota la diferencia de posición, o desplazamiento, entre A y B. Lo anterior se puede expresar como la ecuación de diferencias de posición: R B/A

Y

R B/A

B

B

A

A

Trayectoria

Trayectoria R A

R B

0 (a)

X (b)

Figura 3.18. Diferencia de Posición y Posición Relativa R B/A = R B  –  R A

(3.30)

Esta expresión se lee: La  posición de B con respecto a A es igual a la posición (absoluta) de B menos la posición (absoluta) de A,   donde el calificativo absoluta  indica que se expresan con respecto al origen del marco de referencia global .

Trayectoria: Lugar geométrico de las sucesivas posiciones que un móvil va ocupando en el espacio  R B /  A  representa el desplazamiento del punto B con respecto al punto A.  R B  y  R A representa las posiciones absolutas de los puntos A y B con respecto al marco de referencia 





El vector  R B /  A   denota la diferencia de posición, o desplazamiento entra A y B. Lo anterior se puede expresar como la ecuación de diferencias de posición: 

14

Análisis y Síntesis de Mecanismos

 R B /  A   R B  R A 





En la ecuación (3) solo se despeja para estar en términos de un vector absoluto, del punto B, se deriva para obtener su velocidad y aceleración del punto B:  R B   R A  R B /  A  

(3.31)

r  B  r  A  r  B /  A  

(3.31)



o











EJEMPLOS POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO Ejemplo 1. Una partícula se mueve a lo largo de un arco de 6.5 cm de radio. El centro del citado arco está en el origen de un sistema de coordenadas. Cuando la partícula se encuentra en la posición A su vector de  posición establece un ángulo de 45° con el eje x. En la posición B donde su vector forma un ángulo de 75° con el eje x. Escriba: a) Una expresión para el vector de posición de la partícula en la posición A por medio de la notación de números complejos en la forma polar y cartesiana.  b) Una expresión para el vector de posición de la partícula en la posición B por medio de la notación de números complejos en la forma polar y cartesiana. c) Una ecuación vectorial para la diferencia de posición entre los puntos B y A. Introduzca la notación de números complejos para los vectores en esta ecuación, y resuelva para evaluar numéricamente la diferencia de posición Ejemplo 2. Una partícula tiene como posición inicial el punto A con coordenada (7, 2) y se desplaza al  punto B con coordenada (-3, 6). Determine: a ) la magnitud del vector de posición inicial y final absoluto de la partícula en un sistema de coordenadas cartesiano y su orientación con respecto al eje x y b) la magnitud del vector relativo de B con respecto A y su orientación con respecto al eje x. Ejemplo 3. Suponga que un vector de posición se define con una magnitud igual a su estatura en cm. La tangente de su ángulo se define como el valor numérico de su masa en kg entre su propia edad en años. Calcule los datos para este vector. a) Escriba una expresión para el vector de posición en la que se utilice la notación de vectores unitarios.  b) Formule una expresión para el vector de posición mediante la notación de números complejos, en la forma polar y cartesiana. Ejemplo 4. Para el mecanismo biela-manivela-corredera descentrado mostrado en la figura 4. Calcule el desplazamiento de la corredera y la relación de tiempos. Ejemplo 5 Encuentre el máximo desplazamiento angular posible para el eslabonamiento de pedal en el cual se aplica la fuerza F. Determine también la relación de tiempos de la figura 5. B A

B r l

r  = 3 pulg l = 7 pulg e = 2 pulg

F

A

r AB = 130 mm r BC = 750 mm r CD = 600 mm r AD = 900 mm

C

e C

D

Fig. E4

Fig. E5

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Análisis y Síntesis de Mecanismos

Ejemplo 6. Calcule la longitud de la biela y la manivela para el mecanismo biela manivela corredera excéntrica que satisfaga las condiciones de la figura 5. Centro de la manivela

A

e = 5 pulg

Figura E6

8 pulg

Carrera = 12 pulg 

Ejemplo 7 Para el mecanismo del torno cepillador mostrado en la figura, determine la carrera del eslabón 6, dadas las distancias constantes de los eslabones y la relación de tiempos. carrera D”

C

C”

6

D

D´

5 C´

3 α

2

B 02B = 16 mm 0204 = 51 mm 04C = 80 mm CD = 75 mm

02 B”

B´

 β  4

Figura E7.

04

Ejemplo 8. Para el mecanismo mostrado en la figura determine el ángulo de oscilación del brazo rociador (eslabón 4) Ejemplo 9. Para el mecanismo de cuatro barras, manivela-balancín mostrado en la figura con L2 = 3 pulg, L3 = 8 pulg, L4 = 6 pulg, L1 = 7 pulg. Determine el ángulo de transmisión γ y el ángulo de salida Ф, cuando θ = 60°. Determine también el ángulo de transmisión mínimo y máximo y Brazo rociador D

Tobera 4

2

Fig E8

L3

C 3

A

C

AB = 3.75 pulg BC = 10 pulg CD = 15 pulg AD = 12 pulg

B θ

x

γ

B

L4 L2

θ 

Ф

D

A

L1

Fig. E9

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Análisis y Síntesis de Mecanismos

Ejemplo 10. Para el mecanismo de retorno rápido mostrado en la figura, obtenga una expresión para el desplazamiento de  x  de la corredera en función solamente de θ   del eslabón motriz y de las distancias constantes mostradas. Ejemplo 11. En la figura se muestra un mecanismo de una sierra mecánica, un motor hace girar el disco montado en A dando a la sierra un movimiento de traslación oscilatorio. (la sierra esta soportada por una ranura horizontal de manera que el punto C  se mueve horizontalmente). El radio AB es de 4 pulg y el eslabón  BC   de 14 pulg de largo. Si el disco tiene una velocidad angular constante de una revolución por segundo sentido antihorario. Determine el tiempo de la carrera de avance y el tiempo de la carrera de retorno. El eslabón BC  está en posición horizontal cuando θ  = 45°. x D

c r

B

θ  A

h

C

Figura E10.

Figura E11.

Ejemplo 12. El mecanismo de retorno rápido Whitworth mostrado en la figura es una variante de la primera inversión de la biela-manivela-corredera en que la manivela se mantiene fija. El eslabón 2 como el 4 giran revoluciones completas. Determine la carrera del eslabón 6; si la longitud del eslabón 2 es de 15 mm, del eslabón 5 de 58 mm y 0402 de 8 mm. También calcule la relación de tiempos.  β  C 04

 B´

2

 B”

6  D´  D

C´

4

C ”

5  D”

carrera 02

 B 3

γ

Figura E12.

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Análisis y Síntesis de Mecanismos

Ejemplo 13. En la figura se muestra un mecanismo de yugo escocés modificado en el que la guía del yugo es un arco circular de radio  R y la manivela con radio r (eslabón 2). Obtenga una expresión para determinar el desplazamiento de x del yugo (eslabón 4) en función de θ. r y R. Indique en la figura el desplazamiento de x. Ejemplo 14. El seguidor radial de cara plana mostrado en la figura E15 recibe un movimiento reciprocante  por la acción de una leva de disco circular que gira alrededor del eje 0. Obtenga expresiones para el desplazamiento h del seguidor y para la distancia l al punto de contacto en función de ángulo θ  de la leva, el radio r de la leva y la distancia b de descentramiento.

1 l

r

3

 R

2

3

θ  1

4 1

h

0 θ  A

Figura E13.

r 2

b

Figura E14

Ejemplo 15. Determine la longitud de los eslabones de una manivela-balancín de Grashof de cuatro barras  para dar un giro de 45° del balancín con una longitud de 15 cm con una relación de tiempo de 1:1.25, a  partir de una entrada del motor de velocidad constante. Ejemplo 16. Determine la longitud de los eslabones de una manivela-balancín de Grashof de cuatro barras  para dar un giro de 45° del balancín con una longitud de 15 cm, con el mismo tiempo hacia delante y hacia atrás, a partir de una entrada del motor de velocidad constante. CUESTIONARIO 1. Defina posición 2. Defina desplazamiento lineal y angular 3. Defina trayectoria 4. Mencione los sistemas de coordenadas en la que se pude ubicar la posición de un cuerpo 5. Defina que es una cantidad escalar y un vector y de 5 ejemplos de cada concepto 6. ¿Cómo se puede expresar un vector bidimensional (en el plano)? 7. ¿Cómo se representa un vector de posición, utilizando vectores unitarios y con números complejos? 8. Defina posición relativa de un vector 9. ¿Qué es el ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras (manivela-oscilador)? 10. ¿Cómo de determinan las posiciones extremas de un mecanismo de 4 barras? 11. ¿Qué es la razón de tiempo? 12. ¿Qué es el ángulo de desequilibrio en un mecanismo de 4 barras? 13. ¿Qué es el coeficiente de variación de la velocidad media? 14. ¿Qué es una posición limite o de agarrotamiento en un mecanismo de 4 barras? 15. ¿Qué características tienen los tipos de movimiento en el plano?

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