4.Log Linear 2 Dimensi

BAB 4 LOG LINEAR 2 DIMENSI 4.1 Pendahuluan Diketahui Persamaan Regresi sebagai berikut ˆ i = βˆ0 + βˆ1 X 1i +... + βˆk X ki µ

( 4.1)

Dalam Modul 2, Tabel 2.1 (b) tidak terlihat secara jelas bagaimana peran A dan B dalam menentukan Pij. Jika info ini diperlukan, maka kita harus memodelkan Pij. Melihat pada kasus Tabel kontingensi 2 x 2 diketahui besarnya Pij sebagai berikut : Tabel 4.1 Tabel kontingensi 2x2 B1

B2

A1

P11

P12

A2

P21

P22

P2.









Ar

Total P1.

Pr1

P..=1

Pr2

Sebut Vij = ln Pij , dengan Pij tergantung pada A, B dan interaksi antara A dan B A

B

AB Model : Vij = µ + λ i + λ j + λ ij

µ

A

(i = 1,2 ; j = 1,2)

= rataan umum Ada 4 Pij akan digunakan untuk

λi A = kontribusi dari baris

menduga 4 parameter,

λi = kontribusi dari lajur B

Db sisa= 0 (jenuh)

λijAB = interaksi antara baris dan lajur

Model ini disebut

Loglinear. Model log linier adalah suatu model untuk

memperoleh model statistika yang menyatakan hubungan antara variabel dengan data yang bersifat kualitatif (skala nominal atau ordinal). Dengan menggunakan pendekatan log linier bisa diketahui model matematikanya secara pasti serta level atau kelas mana yang cenderung menimbulkan adanya hubungan atau dependensi. A B AB Agar µ , λi , λi , λij dapat diduga , maka

∑λ

i

i

A

= ∑λj = ∑λijAB = ∑λijAB = 0 B

j

i

( 4.2)

j

4-4

Sehingga:

∑λ ∑λ

A

= 0 → λ1 = − λ 2

B

= 0 → λ1 = −λ 2

i j

A

A

B

B

Berapa besarnya ke-4 parameter tadi?

∑v

= ∑µ + ∑λi + ∑λ j + ∑λij A

ij

i

i

i

B

i

i

Sehingga : B 1. vij = rµ + 0 + rλ j + 0

∑v

= cµ + cλi + 0 + A

ij

j

2. vi . = cµ + cλi

∑∑v

ij

i

A

= rcµ + 0 + 0 + 0

j

3. v.. = rc µ Didapat: 1. µ =

v.. = v.. rc

2. λi = vi . − v.. A

B 3. λ j = v. j − v..

4. λijAB = vij −v i. −v. j +v.. 5. v.. = ∑∑vij / rc vij / c 6. vi. = ∑ j

vij / r 7. v. j = ∑ i A B AB Jadi, jika Pij diketahui maka parameter µ , λi , λi , λij dapat ditentukan.

Dalam praktek, Pij tidak diketahui yang kita amati adalah nij, sehingga 4 parameter tadi hanya dapat diduga. Bagaimana menduga 4 parameter ini ?

4-4

Pada Tabel 2 x 2 :

λ1 = A

v11 + v12 − v 21 − v 22 4 B

λ1 =

λ11AB =

(4.3)

v11 − v12 + v 21 − v22 4

(4.4)

v11 − v12 − v21 + v22 4

µˆ =

(4.5)

v11 + v12 + v 21 + v 22 4

(4.6)

dimana : v1. =

v11 + v12 2v11 + 2v12 v + v + v 21 + v 22 = , v.. = 11 12 2 4 4

λ1A = v1. − v.. sehingga λ2A = v 2. − v..

(4.7) λ1B = v.1 − v.. sehingga λ2B = v.2 − v..

(4.8) misal yij = ln nij maka y ij = ln nij − ln n.. + ln n..

nij , dimana ni. = ∑∑ i j

Sehingga :  nij  y ij = ln   + ln n..  n..  = ln Pˆ + kons tan ta ij

ingat vij = ln Pij →ada hubungan antara yij dengan vij sehingga

yij bisa digunakan untuk menduga vij. Jadi untuk model : Vij = µ + λi A + λ j B + λijAB jika kita memperoleh pengamatan nij maka

( y + y − y 21 − y 22 ) A A λˆi = y i. − y.. → λˆ1 = 11 12 4

(4.9)

( y − y + y 21 − y 22 ) B B λˆ j = y. j − y.. → λˆ1 = 11 12 4

(4.10)

( y − y − y 21 + y 22 ) λˆijAB = y ij − y i. − y. j + y.. → λˆ11AB = 11 12 4

(4.11)

4-4

Contoh: Tabel 4.2 Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Jenis Kelamin

buruh 222 240 462

Laki Perempuan Total　

Partai konservatif 115 185 300

Total　 　 337 425 762

Penyelesaian: Model log linear : A

B

vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB (i = 1,2 ; j = 1,2) Keterangan: vij

= logaritma natural dari peluang sel (i, j)

µ

= rataan umum

λi A

= kontribusi jenis kelamin

λj B

= kontribusi partai

λijAB

= interaksi

(menunjukkan bebas tidaknya A dan B dalam membentuk Pij)

ln nij : Tabel 4.2 ln nij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Jenis Kelamin Laki Perempuan

buruh 5.4 5.48

Partai konservatif 4.74 5.22

Sehingga:

4-4

5.4 + 4.74 − 5.48 − 5.22 λˆ1 A = = −0.14 → λˆ2A = 0.14 4 5.4 − 4.74 + 5.48 − 5.22 B B λˆ1 = = 0.23 → λˆ2 = −0.23 4 5 . 4 − 4 . 74 + −5.48 + 5.22 AB AB λˆ11 = = 0.10 → λˆ12 = −0.1 4 λˆ21 AB = −0.1 λˆ AB = 0.1 22

µˆ = 5.21 AB ˆ + λˆ1 A + λˆ1B + λˆ11 vˆ11 = µ

5.40 = 5.21 − 0.14 + 0.23 + 0.1 ← jenuh A B vˆ = µˆ + λˆ + λˆ + λˆAB 21

2

1

21

5.48 = 5.21 + 0.14 + 0.23 − 0.1

Jika diinginkan menilai bebas / tidaknya A dan B, maka ujilah λijAB Hipotesis: H0 : A dan B bebas ( Pij = Pi . P. j

, ∀ij )

Kalau H0 benar maka : A B (1) vij = µ + λi + λ j

(i = 1,2 ; j = 1,2)

(2) Frekuensi harapan sel (i, j) adalah eij = ( Pi . P. j ) ∗ f ..

=

ni . n. j n..

Sehingga apabila H0 benar maka isi sel (i, j) : Tabel 4.3 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas Jenis Kelamin Laki

buruh 204.32

Partai konservatif 132.68

Perempuan Jenis Kelamin

257.68 (a)

167.32 Partai

4-4

buruh 5.32

Laki

konservatif 4.89

Perempuan

5.55 (b)

5.12

5.32 + 4.89 − 5.55 − 5.12 A = −0.116 → λˆ2 = 0.116 4 5.32 − 4.89 + 5.55 − 5.12 B λˆ1 B = = 0.216 → λˆ2 = −0.216 4 5.32 + 4.82 + 5.55 + 5.12 µˆ = = 5.22 4

λˆ1 A =

AB Evaluasi λˆij dilakukan dengan cara membandingkan model A B vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB dengan model vij = µ + λi A + λ j B

Dengan kriteria pembandingan nisbah kemungkinan (likelihood ratio).  nij  G 2 = 2∑nij ln   e   ij  = 2[ 222 ( 5.40 − 5.32 ) + ... + 185 ( 5.22 − 5.12 ) ] = 6.9

χ 2 (1) 0.05 = 3.841 AB H0 : A dan B bebas ditolak karena penghapusan λˆij dalam model

A

B

vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB signifikan menurunkan kecocokan model. Sehingga, Pemilihan partai berkaitan dengan jenis kelamin Hipotesis lainnya •

Peluang kategori B sama H0 : Peluang kategori B sama (Model vij = µ + λi A ) H1 : Peluang kategori B tidak sama (Model vij = µ + λi A + λ j B ) dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e1. e21 = e22 = e2.

4-4

Tabel 4.4 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori B sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori B sama Jenis Kelamin Laki Perempuan

λ1 A =

buruh 168.5 212.5 (a)

Partai konservatif 168.5 212.5

Jenis Kelamin Laki Perempuan

buruh 5.12 5.36 (b)

Partai konservatif 5.12 5.36

1 ( 5.12 + 5.12 − 5.36 − 5.36 ) = −0.12 4

4-4

•

Peluang kategori A sama B H0 : peluang kategori A sama (Model vij = µ + λi ) A B H0 : peluang kategori A tidak sama (Model vij = µ + λi + λ j )

dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e.1 e 21 = e 22 = e.2

Tabel 4.5 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama Jenis Kelamin Laki Perempuan

λ1 = B

•

Partai buruh 231.0 231.0 (a)

konservatif 150.0 150.0

( 5.36( 2) − 5.01( 2) ) 4

Jenis Kelamin Laki Perempuan

Partai buruh 5.36 5.36 (b)

konservatif 5.01 5.01

= 0.215

Peluang kategori (i,j) sama H0 : peluang kategori A sama (Model vij = µ) dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e21 = e.. Tabel 4.6 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama

Jenis Kelamin Laki Perempuan

buruh 190.5 190.5 (a)

Partai konservatif 190.5 190.5

Jenis Kelamin Laki Perempuan

buruh 5.25 5.25 (b)

Partai konservatif 5.25 5.25

G 2 = 2∑ nij ( ln nij − ln eij ) = 51 .4

8

Rekapitulasi : Tabel 4.7 (a), (b) Rekapitulasi untuk model log linear Model

Parameter

Jenuh

µ , λ A, λ B , λ

A, B bebas

µ , λ A, λ

Peluang B sama Peluang A sama Peluang A, B sama

µ ,λ µ ,λ µ

db sisa

AB

B

A B

y2

0

0

1

6.9

2 2 3

42.72 17.04 51.4

(a) Model

Parameter

A, B bebas

µ , λ A, λ

Peluang B sama

µ ,λ

y2

db sisa

B

A

Perubahan y2

1

6.9

35.82

2

42.72

35.82

(b)

Jika didalam model ada µ dan λ

A

maka penambahan λ

B

menurunkan y2 = 35.82

G 2 ~ χ 2 ( 2−1) 0.05 = 3.841, λ

B

nyata

→ H0 : peluang kategori B sama, ditolak Tabel 4.8 Rekapitulasi untuk model log linear untuk Penurunan y2 Parameter µ µ ,λ

A

µ , λ A, λ B µ , λ A, λ B , λ

AB

y2

db

Penurunan y2

χ 2 ( 1) 0.05

3

51.4

2

42.72

8.68*

3.841

1 0

6.9 0

35.82*

3.841

6.9*

3.841

Model loglinear yang dibahas tadi adalah jenis hierarkhi, yaitu model jika komponen AB ada dalam model maka semua komponen penyusun AB adapula didalam model. Maksudnya jika λ

AB

ada, maka λ

A

,λ

B

juga ada. Secara umum

jika λx1 ... xk ada didalam model maka λx1 , λx2 , , λxk , λx1x2 , , λx1 xk ada pula dalam model. •

Kategori Non Hierarki

9

vij = µ + λijAB ← bukan hierarki vijk = µ + λiA + λBj + λCk + ↓

ABC λijk 

← bukan hierarki

↓

↓ λAC λBC

λAB

Tabel 4.9 Rekapitulasi untuk model log linear non hierarki Model

Lambang

vij = µ + λiA

(A)

vij = µ + λ + λ A i

B j

(A,B)

vij = µ + λ + λ + λ

(AB)

vij = µ + λ

(B)

A i

B j

AB ij

B j

Model loglinear untuk tabel 2 arah/dimensi dapat dikembangkan untuk Tabel berdimensi lebih tinggi, misal Tabel 3 arah, 4 arah dan seterusnya. Hanya saja, semakin tinggi dimensi dari Tabel, semakin banyak kemungkinan model selain model jenuhnya. 4.2 Latihan Soal 1. Dalam suatu penelitian perusahaan, sejumlah data dikumpulkan untuk menentukan apakah proporsi barang yang cacat (A) yang dhasilkan oleh karyawan sama untuk giliran shift pagi, sore atau malam (B). data berikut menggambarkan barang yang diproduksi yang cacat untuk shift pagi, sore atau malam. Tabel 4.10 Hubungan antara Shift dengan Proporsi cacat shift cacat tidak cacat

pagi 45 905

sore 55 890

malam 70 870

AB Tentukan dugaan parameter log linear λij untuk i =1,2 dan j =1,2,3

2. Pada data nomer 1 buat model log linearnya kemudian isikan Tabel di bawah ini Tabel 4.11 Rekapitualasi Model 1

Peluang A, B sama

2

Peluang A sama

Parameter

µ µ , λA

db

y2

Penurunan y 2

10

3

Peluang B sama

4

A, B bebas

5

Jenuh

µ , λB µ , λA , λB µ , λA , λB ,

λAB

11