4._intgrale_1-2016.

Lycée pilote de Tunis 

Mr Ben Regaya. A

www.ben-regaya.net 

Exercice 1

les courbes des fonctions f et g définies par :  f ( x) 

1. Calculer les intégrales suivantes: 0

3



a) ( x 3  2 x ²  1)dx ; b) 3



2

(cos x  1)

2

2

 (3u  1)² du

2



dx ; d)

 f )

;

 g )



1

t 1  t2 dt  ; 

  

i)



2



  



h)

2

1  x

1



2

3

 et x =1.

l’aire du domaine limité par les deux courbes, les droites x = 1 et x = t .

dx

1

 1  2x 

2

Peut-on trouver t tel que a  t  = A ? Expliquer.

dx

y 

  

u  du ; 2

1  tan 2 

2

2 x  1

0

2

2. Soit t un réel strictement supérieur à 1 et a  t 

1



x.

courbes , les droites d’équations  x  

(2 x 3  x  1)dx  ;

4



 j)

3 0

 sinx cos 3 xdx .

2

2. En intégrant par parties Calculer les intégrales :

a)



1

0

t 2 sint dt ;

b)



 z 

1

0



2

0

1

 x  1 sin(3x) dx ; d ) 0

1

x x  1 dx . (C')

3. Les fonctions f et g sont définies sur ℝ par : 1 .  f ( x )  1  x 2 et  g ( x )  2 1   x a) Montrer que f et g sont dérivables sur ℝ et

0

1

 x3

0

1   x  2

3

un 

1

1

0

 x  1



maximum de  f ( x) pour x ∊  0,1 . Montrer que

3 2

M  .

Soient a et b deux réels tels que a

b , et f une fonction continue sur  a, b  telle qu’il existe  x1 ∊  a, b  tel que

 x2 ∊

0 , et

x=t

dx .



1



1

 x n

0

 x n  1

1. Calculer 

1  un 

0

pour n  1: dx puis établir que pour

dx

2. Montrer que pour n  1: 0  1  un



1 n 1

.

3. Déduire que (un ) converge et calculer sa limite. Exercice 6

Soit un entier naturel non nul n.

Exercice 3

 f  x1 

n

dx

Soit f une fonction continue sur  0,1 . On note M le

0   f ( x)  x f (1  x)  dx 

x 

Soit la suite (un ) définie pour n  1  , par :

Exercice 2

1

2

Exercice 5

 b) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties



1

x=2/3

calculer leurs fonctions dérivées.

que l’on justifiera, l’intégrale

(C)

dz  

  1  z  

  

c)

 x 2

1. Calculer l’aire A du domaine limité par les deux

2

1

1

et  g ( x ) 

dx

2 x  3 0

 sinx cosx 2

0

e)

 0

  

c)

5

1



b

a

 f ( x)dx  0 . Montrer qu’il existe

 a, b tel que  f  x2 

On considère la suite numérique (un ) définie par :

un  n 1.



  

1

 sinx  x n

dx

A l’aide d’une intégration par parties, montrer

n  que : un   sin1  n 1

0.

Exercice 4 2.

On a représenté r eprésenté ci-dessous ci-dessous dans un repère orthonormé

Démontrer que





1



cosx  x

n1

  

1

cosx  dx  x n1 

dx 



  

1

dx x n1

dx

 En déduire que lim  n  

3.



  

cosx  x n

1

1

Exercice 10

 dx   0 . 

Soit la suite  I n  définie sur ℕ par :  I 0

Déterminer lim un  . n 

naturel non nul,

On considère la suite u définie sur ℕ par :

un 



0

x

sin(  x ) dx . .

3. Montrer que pour tout n ∊ℕ : 0  un



1



 2n  2  2n  3 2

  

2( n  1)

.

  

 I 

 x 0

3

A l’aide d’une intégration par parties démontrer que (n  1) I n1

n  1 , n I n I n   1 



Exercice 8



t

n

0

2

.

1  tdt  et  I 0 

0.

5. a) Démontrer que pour tout naturel n  1



Soit pour nℕ*  I n

  

4. Démontrer que pour tout naturel n , I n

 2 x  1 sin(  x) dx . 1

 n I n 1 .

3. Démontrer par récurrence que pour tout naturel

un

5. Calculer alors l’intégrale 1

0

sin n x dx .

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Déduire la limite de u. 4. A l’aide d’une double intégration par parties, montrer que pour tout naturel n on a :

1

2

n  1, n I n2  nI n I n1  n I n2 1 .

  

2. Montrer que la suite u est décroissante.

un1 



 I n 

décroissante.  b) En déduire que : Pour tout naturel

1



et pour n

1. a) Démontrer que la suite  I n  est positive et

2 n 1

1. Montrer que u0

2

  

Exercice 7 1

  





1

0

2(n  1)

1  t dt .

 b) Déduire lim

.

2n n I n  .

n

1. Calculer I 0 et I 1.

  

  I n 

Exercice 11

2. Montrer que la suite ( I n) est décroissante. 3. Montrer que pour tout naturel n on a :

1

  I n 

n 1

2 n 1

.Déduire la limite de ( I n).

4. Montrer que pour tout t ∊ [0,1] ;

0  2  1 t 

1 2

1  t  . En déduire la limite

de la suite  nI n  .



0





  

0

cos 4 ( x ) dx et

0

1   x ²

dx .

1. Montrer que pour tout nℕ on a :

un1  un 

sin ( x ) dx .

1. a) Montrer que l’intégrale  I  peut s’écrire :

2(n  1)

.  En déduire

u1 et u2

en



  

0

Déduire que  un  est convergente.

cosx(cosx  cosx sin 2 x) dx .

1

4(n  1)

que :  I





sin xdx  2

0

J 

3



0

 J  

. Calculer alors la

 un 

1 4n

.

4. Soit la suite  vn  définie par vn



4

.

 b) Montrer que J - I = 0. En déduire les intégrales I et J .

a) Montrer que  1

n 1

(  1)k 

 2(k   1) . k 

3  

 un 1 .

n

1 cos2 xdx  I  . 3

2. a) Montrer que  I

2n  2

En déduire la convergence de la suite (n un ) .

c) Montrer de même que :   

1

3. a) Justifier que un1  un  2un  un  b) En déduire que pour tout n ∊ ℕ :

1

  



limite de  un  .

 b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer

 J 

1

 b) Montrer que un

4

 I 



 x 2 n1

2. a) Montrer que  un  est décroissant et positive.

On considère les intégrales :  I

 J 

un 

1

fonction de u0

Exercice 9

  

On considère la suite  un  définie sur ℕ par

0

un1  u0  vn .

 b) Déduire la limite de la suite  vn  .