4.Interpolacion de Lagrange

Inter Int erp p ola olaci´ ci´on on y aproxi aproximac maci´ i´ on polinomial on Karina Malla Buchhorsts UCN

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Teorema de aproximaci´ on de Weierstrass

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  Interpolaci´ on de Lagrange. Interpolaci´ on Lineal Ejemplo

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  Generalizaci´ on a un polinomio de grado n n-´esimo polinomio de interpolaci´on de Lagrange Teorema Ejemplo Cota de Error. Teorema

Teorema de aproximaci´ on de Weierstrass

Suponga que f   est´a definida y es continua en [a, b ]. Para cada ε > 0, existe un polinomio P (x ), con la propiedad de que |f   (x ) − P (x )| < ε,

∀x  ∈ [ a, b ]

Interpolaci´ on Lineal En esta Secci´ on encontraremos polinomios de aproximaci´ on con s´olo especificar determinados puntos en el plano por donde deben pasar. El problema consiste en encontrar un polinomio de primer grado que pasa por los puntos distintos (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ), lo que es equivalente al de aproximar una funci´ on f   , para la cual f   (x 0 ) = y 0 y f   (x 1 ) = y 1 por medio de un polinomio de primer grado que interpole los valores de f    en los puntos dados o que coincida con ellos. Primero definiremos las funciones L0 (x ) =

x  − x 1 x 0  − x 1

y

L1 (x ) =

x  − x 0 x 1  − x 0

y se define entonces P 1 (x ) = L0 (x )f   (x 0 ) +  L1 (x )f   (x 1 )

Ejemplo Determine el polinomio lineal de interpolaci´ on de Lagrange que pasa por los puntos (2, 4) y (5, 1) Soluci´ on P 1 (x ) = −x  + 6

Generalizaci´ on a un polinomio de grado Gr´afica de P n (x )

n

Generalizaci´ on a un polinomio de grado

n

Consideremos la construcci´ on de un polinomio de grado m´aximo n que pase por los n + 1 puntos (x 0 , f   (x 0 )), (x 1 , f   (x 1 )), . . . , (x n , f   (x n ))

(1)

Para cada i  = 0, 1, . . . , n  construimos una funci´on Li (x ) con la propiedad de que 0   cuando i  =  j  Li (x  j ) = 1   cuando i  = j 



Para ello, se requiere que el numerador de esta expresi´ on contenga el t´ermino (x  − x 0 )(x  − x 1 ) · · · (x  − x i −1 )(x  − x i +1 ) · · · (x  − x n )

(2)

Adem´as, (x  − x 0 )(x  − x 1 ) · · · (x  − x i −1 )(x  − x i +1 ) · · · (x  − x n ) Li (x ) = (x i  − x 0 )(x i  − x 1 ) · · · (x i  − x i −1 )(x i  − x i +1 ) · · · (x i  − x n ) Este polinomio de interpolaci´ on se denomina  n-´esimo polinomio de  interpolaci´  on de Lagrange  y est´ a definido en el siguiente Teorema.

Teorema Si x 0 , x 1 , . . . , x n son n  + 1 n´ umeros distintos y si f    es una funci´ on cuyos valores est´an dados en esos n´ umeros, entonces existe un u ´nico polinomio P (x ) de grado a lo m´as n, con la propiedad de que f   (x i ) = P n (x i )

i  = 0, 1, . . . , n

Este polinomio est´a dado por n

P n (x ) = f   (x 0 )L0 (x ) + f   (x 1 )L1 (x ) + . . . + f   (x n )Ln

 =  (

f   x i )Li  (3)

i =0

donde para cada i  = 0, 1, . . . , n Li (x ) =

(x  − x 0 )(x  − x 1 ) · · · (x  − x i −1 )(x  − x i +1 ) · · · (x  − x n ) (x i  − x 0 )(x i  − x 1 ) · · · (x i  − x i −1 )(x i  − x i +1 ) · · · (x i  − x n ) (4) n x  − x  j  Li (x ) = (5) x i  − x  j 



=i   j =0  j  ,

Ejemplo 1

Obtener el segundo polinomio interpolante de Lagrange para f   (x ) = 1/x , que pasa por los puntos (nodos) x 0 = 2, x 1 = 2.75, x 2 = 4

2

Usar este polinomio para aproximar f   (3) = 1/3.

Soluci´ on.

1 2 35 49 P 2 (x ) = x  − x  + 22 88 44 f   (3) ≈ P 2 (3) ≈ 0.32955

Gr´afica de la soluci´ on Gr´afica de la soluci´ on

Teorema (Cota de Error) Supongamos que x 0 , x 1 , . . . , x n  son n´ umeros distintos en el intervalo [a, b ] y que f   ∈ C n+1 [a, b ]. Entonces, para cada x  ∈ [a, b ] existe un n´ umero ξ (x ) en ]a, b [ con f   ( n+1) (ξ (x )) f   (x ) − P n (x ) = (x  − x 0 )(x  − x 1 ) · · · (x  − x n ) (n + 1)!

donde P n (x ) es el polinomio interpolante de Lagrange. Dem: Burden, p.111

Observaciones

Observaciones Los polinomios de Lagrange se emplean frecuentemente para deducir las diferenciaci´ on num´erica y los m´etodos de integraci´on. Las cotas de error de estas t´ ecnicas se obtienen aplicando la f´ormula del error de Lagrange. El uso espec´ıfico de esta f´ ormula de error se limita a las funciones cuyas derivadas tienen cotas conocidas.