4impacto de Chorro Sobre Alabes

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OBJETIVOS

•

Obtener la fuerza producida por el impacto de un chorro hidráulico proveniente de una tobera sobre una superficie (semiesférica y plana) por los métodos del momento y del impulso respectivamente.

•

Estudiar el procedimiento experimental para medir la fuerza de impacto de chorro sobre una placa fija, ya sea plana o semiesférica, y ver sus resultados.

•

Calcular mediante la ecuación mediante la ecuación de movimiento lineal para un volumen de control, la fuerza generada por el chorro sobre la placa, y compararla con aquella medida experimentalmente.

•

Comprender la aplicación del principio, en las turbo máquinas.

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FUNDAMENTO TEORICO: FLUJO DE FLUIDOS RAPIDEZ DE FLUJO DE FLUIDO: La cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar mediante los tres términos que definimos a continuación. • Q: La rapidez de flujo de volumen, es el volumen del flujo de fluido que pasa por una sección por unidad de tiempo. • W: La rapidez de flujo por peso, es el peso de fluido que fluye por una sección por unidad de tiempo. • M: La rapidez de flujo de masa de fluido, que fluye por una sección por unidad de tiempo El más importante de estos tres términos es la rapidez de flujo de volumen Q, que se calcula con la ecuación:

Donde A es el área de la sección y v es la velocidad promedio del flujo. Las unidades de Q se pueden derivar de la manera siguiente, utilizando unidades SI como ejemplo:

La rapidez de flujo de peso, W, está relacionada con Q mediante la ecuación:

En la que

es el peso específico del fluido. Las unidades de W son entonces:

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La rapidez de flujo de masa, M, está relacionada con Q mediante la ecuación:

TABLA A

En la tabla A se resumen estos tres tipos de rapidez de flujo de fluido y en ellas se dan las unidades estándar tanto en el sistema internacional como en el Británico de Unidades. Debido a que los metros cúbicos por segundo y los pies cúbico por segundo son cantidades muy grandes para la rapidez de flujo, con frecuencia se utilizan otras unidades, como los litros por minuto (L/min) y galones por minuto (gal/min o gpm). Algunas conversiones de utilidad son:

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En la tabla B se da una lista de rapidez de flujo de volumen típica para diferentes tipos de sistemas

TABLA B

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El método para calcular la velocidad de flujo de un fluido en un sistema de conductos cerrado, depende del principio de continuidad. Considere el tubo de la siguiente figura 1:

FIGUR AI

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Un fluido fluye de la sección 1 a la sección 2 con una rapidez constante. Esto es, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado es constante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante. Ahora bien, si no se agrega fluido, se almacena o se retira entre la sección 1 y la sección 2, entonces la masa de fluido que pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:

, tenemos:

o, puesto que

………. (I) La ecuación (I) es un planteamiento matemático del principio de continuidad y se le conoce como ecuación de continuidad. Se utiliza para relacionar la densidad del fluido, el área de flujo y la velocidad de flujo en dos secciones de un sistema en el que existe un flujo estable. Es válida para todos los fluidos, ya sean gases o líquidos. Si el fluido que se encuentra en el tubo de la figura I es un líquido que puede ser considerado incompresible, entonces los términos de

y

de la ecuación (I) son iguales. La ecuación

entonces queda:

……………..(II) O, puesto que

, tenemos:

La ecuación II es la ecuación de continuidad aplicada a líquidos; establece que para un flujo estable, la rapidez de flujo de volumen es la misma en cualquier sección. También se le puede utilizar, con un error pequeño, para gases a baja velocidad, es decir, menos que 100 m/s. VELOCIDAD DE FLUJO RECOMENDADA EN CONDUCTOS Y TUBERÍAS Los factores que afectan la elección de una velocidad de flujo satisfactoria en los sistemas de fluidos son numerosos. Algunos de los más importantes son el tipo de fluido, la longitud del MECANICA DE FLUIDOS - IMPACTO DE CHORRO SOBRE ALABES

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sistema de flujo, el tipo de conducto o de tubo, la caída de presión que se puede tolerar, los dispositivos (como bombas, válvulas, etc), que se pueden conectar al conducto o a la tubería, la temperatura, la presión y el ruido. Cuando analizamos la ecuación de continuidad anteriormente, aprendimos que la velocidad de flujo aumenta a medida que disminuye el área de la trayectoria de flujo. Por consiguiente, los tubos más pequeños producirán altas velocidades, y, al contrario, los tubos más grandes proporcionarán bajas velocidades. Una velocidad de flujo razonable para sistemas de distribución de fluido es de aproximadamente 3 m/s (alrededor de 10 pies/s). Esto se puede aplicar a agua, aceite y otros líquidos de uso común en conductos, fuera de las salidas de las bombas. Un desempeño apropiado de una bomba requiere velocidades más bajas en su entrada, aproximadamente 1 m/s (alrededor de 10 pies/s). En la tabla C se presentan lineamientos generales para las velocidades de flujo en sistemas hidraúlicos de aceite de potencia de fluido.

TABLA C

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA – ECUACIÓN DE BERNOULLÍ El análisis de un problema de línea de conductos como el que se iustra en la figura 6.1, toma en cuenta toda la energía del sistema. En física se aprendió que la energía no puede ser creada i destruida, sino que puede ser transformada de un tipo a otro. Éste es el enunciado de la ley de conservación de la energía.

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Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, existen tres formas de energía que siempre hay que tomar en consideración. Tome un elemento de fluido, como el que se muestra en la figura II, que puede estar dentro de un conducto de un sistema de flujo. Puede estar localizado a una cierta elevación z, tener una cierta velocidad v y una presión p. El elemento de fluido tendrá las siguientes formas de energía: Energía potencial. Debido a su elevación, la energía potencial del elemento con respecto de algún nivel de referencia es:

En la que w es el peso del elemento. Energía cinética: Debido a su velocidad, la energía cinética del elemento es:

Energía de flujo. En ocasiones conocida como energía de presión o trabajo de flujo, está representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión p. La energía de flujo sed abrevia FE (Flow Energy) y se calcula a partir de la ecuación:

……….(III) FIGURA II: Elemento de fluido en un conducto

La ecuación III puede ser derivada de la manera siguiente. En la figura III se muestra el elemento de fluido en el conducto que se traslada a través de una sección. La fuerza que actúa MECANICA DE FLUIDOS - IMPACTO DE CHORRO SOBRE ALABES

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sobre el elemento es P/ A, en la que p es la presión en la sección y A es su área. Al trasladar el elemento a través de la sección. La fuerza se mueve una distancia L igual a la longitud del elemento. En consecuencia, el trabajo hecho es:

En donde V es el volumen del elemento. El peso del elemento w, es:

En la que

es el peso específico del fluido. Entonces, el volumen del elemento es:

Y tenemos:

Al cual se le llama energía de flujo en la ecuación III. FIGURA III: Energía de flujo

La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma, representada con E:

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Cada uno de estos términos se expresa en unidades de energía. Newton metro (N.m) en el Sistema Internacional o en pies-libra (pie/lb) en el Sistema Británico de Unidades. Considere ahora el elemento de fluido de la figura IV, que se mueve de la sección 1 a la sección 2. Los valores de p,z y v son diferentes en las dos secciones. En la sección 1 la energía total es:

En la sección 2 la energía total es:

FIGURA IV: Elementos de fluido utilizados en la ecuación de Bernoulli

Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere que:

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El peso del elemento, w, es común a todos los términos y se le puede cancelar. La ecuación, entonces, se convierte en

A ésta se le conoce como ecuación de Bernoullí APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLÍ TANQUES, RECIPIENTES Y BOQUILLAS EXPUESTAS A LA ATMÓSFERA En la figura V se muestra un sistema de flujo de fluido en el que un sifón saca fluido de un tanque o recipiente y lo arroja a través de una boquilla colocada al final del conducto. Observe que la superficie del tanque (punto A) y la corriente libre del fluido que sale por la boquilla (Sección F) no están confinadas por fronteras sólidas, sino que están expuestas a la atmósfera prevaleciente. Por consiguiente, la presión manométrica en estas partes es cero.

FIGURA V

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Cuando estos puntos se utilizan como puntos de referencia en la ecuación de Bernoullí, los términos correspondientes a la cabeza de presión serían cero y se pueden cancelar. Se puede suponer que el tanque del cual se saca fluido es bastante grande comparado con el tamaño del área de flujo dentro del conducto. Ahora bien, debido a que

, la velocidad

en la superficie de dicho tanque será muy pequeña. Además, cuando utilizamos la velocidad para calcular la cabeza de velocidad,

, elevamos al cuadrado la velocidad. Por estas razones,

consideramos que la cabeza de velocidad en la superficie del tanque o recipiente es muy Cercana a cero, y la eliminamos de la ecuación. CUANDO AMBOS PUNTOS DE REFERENCIA ESTÁN EN EL MISMO CONDUCTO Observe también en la figura V, que varios puntos de interés (puntos B,C,D y E) se encuentran dentro del conducto, que posee un área de flujo uniforme. En las condiciones de flujo estable supuestas para estos problemas, la velocidad será la misma a lo largo de todo el conducto, Entonces, si los dos puntos de referencia necesarios para aplicar la ecuación de bernoullí estuvieran dentro del conducto los términos correspondientes a la cabeza de velocidad en ambos lados de la ecuación serían iguales y se cancelarían. CUANDO LA ELEVACIÓN ES LA MISMA EN AMBOS PUNTOS DE REFERENCIA Si la elevación en los dos puntos de referencia usados en la ecuación de Bernoullí es la misma, estos términos se cancelan. Las observaciones hechas permiten la simplificación de la ecuación de Bernoullí y hacen que la manipulación algebraica sea más fácil.

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TEOREMA DE TORRICELLI En la figura VI muestra que el fluido esta fluyendo del lado de un tanque por una boquilla lisa y redonda. Para determinar la velocidad de flujo que se obtiene en la boquilla, escribimos la ecuación de Bernoullí entre un punto de referencia en la superficie del fluido y un punto en el chorro que se obtiene de la boquilla:

FIGURA VI: FLUJO DE UN TANQUE

Pero

y

es aproximadamente cero entonces resolviendo para

se obtiene:

……….(IV) La ecuación IV se conoce como teorema de Torricelli en honor a Evangelista Torricelle, quien la desarrolló en el año 1645, aproximadamente.

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Otra aplicación importante del teorema de torricelli se muestra en la figura VII en la que un chorro de líquido es lanzado hacia arriba. FIGURA VII: CHORRO VERTICAL

Si no se presentan pérdidas de energía, el chorro alcanzará una altura igual a la elevación de la superficie libre del fluido en el tanque. Y desde luego. a esta altura, la velocidad de la corriente es cero. Lo anterior se puede demostrar utilizando la ecuación de Bernoullí. Primero obtenga una expresión para la velocidad del chorro en el punto 2.

Ésta es una situación idéntica a la que encontramos en el desarrollo inicial del teorema de Torricelli. Entonces, como en la ecuación IV.

Ahora escriba la ecuación de Bernoullí entre los puntos 2 y 3 en el nivel de la superficie libre del fluido, pero en la corriente de fluido.

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Pero,

Pero

. Entonces, resolviendo para

tenemos.

, por lo tanto:

Velocidad del chorro en el punto 3

Para hacer que un chorro alcance mayor altura (como se hace con algunas fuentes de ornato, por ejemplo), se puede desarrollar una mayor presión por encima del fluido en el recipiente, o se puede utilizar una bomba para obtener una mayor presión. ANÁLISIS INTEGRAL DE LA ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONSIDERACIONES PREVIAS: ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE REYNOLDS Es una ecuación que nos permite relacionar los puntos de vista del sistema y volumen de control (alternativamente, los métodos Lgrangianos y Eulerianos) en un nivel global de detalle.

Para volúmenes de control que se mueven con velocidad constante. Donde: B= una propiedad extensiva cualquiera del fluido b= B/m es la correspondiente propiedad intensiva Por ejemplo: Si B=m, masa del fluido y b=B/m=m/m=1, entonces:

Ecuación de Continuidad MECANICA DE FLUIDOS - IMPACTO DE CHORRO SOBRE ALABES

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ANÁLISIS INTEGRAL DE LA ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Se emplea para calcular las interacciones de fuerzas entre un fluido en movimiento y objetos sólidos en contacto con él.

La segunda ley de Newton establece que:

Donde:

se denominda cantidad de movimiento lineal de la fuerza

Luego:

Ec. de cantidad de Movimiento Lineal Utilizando la ecuación de transporte de Reynolds, para

y

, se

tiene:

Luego, puesto que el sistema y el volumen de control coinciden en el instante t0 , entonces:

Y por tanto:

Ecuación integral de cantidad de movimiento para un volumen de control que no se acelera y para un sistema de referencia inercial situado en el volumen de control (1)

Donde: = Rapidez de cambio sobre la masa del fluido contenido en el

= Flujo neto de cantidad de movimiento.

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APLICACIONES DE LA EXPERIENCIA A REALIZARSE TURBINAS HIDRAÚLICAS Es una turbo máquina motora hidráulica, que aprovecha la energía de un fluido que pasa a través de ella para producir un movimiento de rotación que es transferido mediante un eje el cual mueve, generalmente, a una máquina o bien un generador que transforma la energía mecánica en energía eléctrica, así son el órgano fundamental de una Central hidroeléctrica Los tipos más importantes son: TURBINA FRANCIS

Se trata de una turbo máquina motora a reacción y de flujo mixto. Son turbinas hidráulicas que se pueden diseñar para un amplio rango de saltos y caudales, siendo capaces de operar en rangos de desnivel que van de los diez metros hasta varios cientos de metros. Esto, junto con su alta eficiencia, ha hecho que este tipo de turbina sea el más ampliamente usado en el mundo, principalmente para la producción de energía eléctrica mediante centrales hidroeléctricas.

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APLICACIONES: Son muy costosas de diseñar, fabricar e instalar, pero pueden funcionar durante décadas. Además de su aplicación para la producción de electricidad, pueden usarse para el bombeo y almacenamiento hidroeléctrico, donde un embalse superior se llena mediante la turbina (en este caso funcionando como bomba) durante los períodos de baja demanda eléctrica, y luego se usa como turbina para generar energía durante los períodos de alta demanda eléctrica. VENTAJAS Y DESVENTAJAS: Ventajas:  Su diseño hidrodinámico permite bajas perdidas hidráulicas, por lo cual se garantiza un alto rendimiento.  Su diseño es robusto, de tal modo se obtienen décadas de uso bajo un costo de mantenimiento menor con respecto a otras turbinas. Desventajas:  No es recomendado para alturas mayores de 800 m, por las presiones existentes en los sellos de la turbina.  Hay que controlar el comportamiento de la cavitación  No es la mejor opción para utilizar frente a grandes variaciones de caudal, por lo que se debe tratar de mantener un flujo de caudal constante previsto, antes de la instalación. TURBINA PELTON

Turbina Pelton de la hidroeléctrica

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de Walchensee en Alemania. Consiste en una rueda (rodete o rotor) dotada de cucharas en su periferia, las cuales están especialmente realizadas para convertir la energía de un chorro de agua que incide sobre las cucharas. Están diseñadas para explotar grandes saltos hidráulicos de bajo caudal. FUNCIONAMIENTO: •

La tobera o inyector lanza directamente el chorro de agua contra la serie de paletas en forma de cuchara montadas alrededor de la rueda, el doble de la distancia entre el eje de la rueda y el centro del chorro de agua se denomina diámetro Pelton. El agua acciona sobre las cucharas intercambiando energía con la rueda en virtud de su cambio de cantidad de movimiento, que es casi de 180°.

•

El estudio analítico de la interacción agua-pala puede ser sumamente complicado debido al desplazamiento relativo entre la pala y el chorro de agua. Por otro lado se simplifica el estudio de las turbinas Pelton a la sección cilíndrica del diámetro Faubert.

APLICACIONES: •

Las turbinas Pelton más pequeñas, solo de unos pocos centímetros, se usan en equipamientos domésticos.

•

En general, a medida que la altura de la caída de agua aumenta, se necesita menor caudal de agua para generar la misma potencia. La energía es la fuerza por la distancia, y, por lo tanto, una presión más alta puede generar la misma fuerza con menor caudal.

•

Cada instalación tiene, por lo tanto, su propia combinación depresión, velocidad y volumen de funcionamiento más eficiente.

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CARACTERISTICAS DE EQUIPOS E INSTRUMENTOS DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO • El equipo consta de una bomba centrífuga que impulsa el agua hacia una tobera encerrada en un recipiente cilíndrico de acrílico transparente. • Esta tobera dirige verticalmente hacia arriba el chorro de agua al cual impacta sobre un álabe de superficie semiesférica, situada a una altura h conocida. Ver figura. • El agua después del impacto, se drena por la base inferior del cilindro de acrílico hacia un depósito graduado para la determinación del caudal volumétrico Q= /t. • El álabe está unido rígidamente a un brazo nivelable y convenientemente graduado por una regla milimétrica, y por cuya cara superior desliza libremente un peso conocido. • El brazo está restringido en su movimiento de vaivén por un resorte débil cuya misión es la de permitir que con la pesa deslizante en la posición cero, el brazo se mantenga en posición horizontal comprobado adicionalmente por un nivel de burbuja incorporado por el pin que cuelga libremente del extremo del brazo Bosquejo del montaje utilizado en el laboratorio:

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TERMÓMETRO DE ALCOHOL • Marca:

B&C Germany

• Precisión: 10 ml • Rango:

-2 a 150 °C

JUEGO DE PESAS • 26 gr • 90 gr • 150 gr • 201 gr • 203 gr • 303 gr

VASO DE PRECIPITADO • Marca:

PYREX

• Capacidad: 1000 ml • Precisión:

200 ml

UN CRONOMETRO • Marca: NOKIA

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PROCEDIMIENTO:

• Nivelamos primero la canaleta pivotante, para un cálculo mas preciso.

• Medimos la temperatura del agua de acuerdo a esto de tablas obtenemos el valor de la densidad. • Hacemos circular un chorro de agua muy débil que impacte en el alabe, luego verificamos la nivelación desplazando la pesa sobre el brazo pivotante. Anotamos el desplazamiento X desde la pesa hasta el alabe. La salida del chorro de agua del alabe debe ser simétrica al eje del chorro.

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• Medimos el tiempo en que se llena la probeta graduada de 500ml y estableceremos el caudal volumétrico circulante.

• Incrementaremos el flujo gradualmente restableciendo en cada caso el equilibrio mediante el corrimiento de la pesa deslizante y anotando para cada caso el desplazamiento desde el origen.

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TABULACION DE DATOS: En el laboratorio pudimos comprobar los siguientes datos: •

DTOBERA = 0.01 m

•

K=0.9

•

ρAGUA(21℃): 998.08 kg/m3

•

X = 0.17 m

Alabe Semiesférico h=0.03m

Nº 1 2 3 4

Vol(ml) 680 690 780 770

Tiempo(seg) 1,83 1,99 2,09 2,92

ΔX (cm) 6,5 8,5 9 9.3

W pesas de hierro (g-f) 229 203 250 203

Temperat(ºC) 21,5 22 22 21,7

Haciendo los cambios al sistema internacional usando las siguientes conversiones:

•

1m = 100cm (h y ∆X)

•

1m3 = 106 ml (Para el volumen) MECANICA DE FLUIDOS - IMPACTO DE CHORRO SOBRE ALABES

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•

1 g-f = 0.009806 N (Para W)

Tenemos:

Alabe

Nº

Vol(m3)

Tiempo(seg)

ΔX (m)

Semiesférico h=0.03m

1 2 3 4

0,00068 0,00069 0,00078 0,00077

1,83 1,99 2,09 2,92

0,065 0,085 0,09 0,093

Wpesas de hierro (N) 2,2456 1,9906 2,4515 1,9906

Temperat(ºC) 21,5 22 22 21,7

Obteniendo: •

ATOBERA = 7.8539x10-5 m2

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SECUENCIA DE CALCULOS: a) Determinación de la fuerza de impacto experimental Equilibrio inicial:

Equilibrio final:

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Para el primer juego de datos:

En forma análoga para los otros datos:

b) Determinación del caudal volumétrico de chorro del agua:

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Para el primer juego de datos:

En forma análoga para los otros juegos de datos:

c) Determinación de la velocidad de salida del chorro de agua de la tobera (Vo)

Para el primer juego de datos:

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En forma análoga para los otros juegos de datos:

d) Determinación de la velocidad de entrada del chorro al álabe (VE )

Aplicando la ecuación de la energía entre las posiciones (o) y (e) se tiene:

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Donde:

Entonces: VELOCIDAD DE ENTRADA DEL CHORRO AL ÁLABE

Para el primer juego de datos:

En forma análoga para los otros datos:

e) Determinación de la fuerza de impacto teórico.

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La fuerza ejercida por el fluido sobre el alabe mostrado en la Fig. (a) está dado por:

Donde, por lo general, la velocidad de salida es menor que la velocidad de entrada debido a los efectos de rozamiento entre el fluido y la superficie del alabe:

Reemplazando la fórmula de velocidad de entrada de chorro de aire al álabe:

en la ecuación se tiene:

Para la superficie semiesférica Fig. (c) se tiene

y

, entonces:

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Para el primer juego de datos:

En forma análoga para los otros juegos de datos:

d) Determinación del porcentaje de error:

Para el primer jugo de datos:

En forma análoga para los otros datos:

TABULACION DE RESULTADOS: MECANICA DE FLUIDOS - IMPACTO DE CHORRO SOBRE ALABES

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Alabe

Semiesférico h=0,03 m

Nº

V0 (m/s)

Ve (m/s)

1

0.4731

2

F (N)

%error

Exp.

Teorico

4.6686

8,586

3.2898

73.90

4,4148

4,3477

9,953

2,587

65.18

3

4,7519

4,6896

1,2979

3,2903

60,55

4

3,3576

32688

1,089

1,6346

33,38

CONCLUSIONES:

•

La superficie semiesférica es más efectiva que la plana porque la fuerza de impacto de

chorro es mayor, por eso se entiende la forma que tienen los alabes de las turbinas, con una forma curva se entrega más fuerza y por ende más potencia.

•

A través de los cálculos efectuados mediante el método de momento e impulso

observamos que en el método de impulso la fuerza producida por el impacto es menor comparado por el método de momento. Esto se debe a que en el cálculo de la fuerza por el método de momento no se considera los efectos de fricción producido en el punto donde se toma momentos.

• Se notó también que cuando se estimo el porcentaje de error fue más del 50% esto se debe a factores externos que vienen a ser el funcionamiento del equipo, la precisión de toma de datos del alumno y la precisión de las herramientas la cual se utilizan para la experiencia.

APENDICE: • Cálculo de la Fuerza de Impacto Experimental:

FY =W

∆ X X

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• Cálculo de la Fuerza de Impacto Teórico:

2 FY =Q ρ V− gh +2 k 1( o

)

• Calculo de k:

V K= S Ve

• Calculo de Ve:

Ve = Vo −2 gh 2

• Calculo de Vo:

V0 =

4Q

π( D ) 2

• Calculo del Porcentaje de Error:

% Error =

FTeor −FExp x100 FTeor

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