4eso Solucionario Matemáticas académicas editex
Short Description
Descripción: solucionario editex...
Description
SOLUCIONARIO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ÍNDICE
UNIDAD 1: Los números reales ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... 8
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 12 ............................................................................................ 8 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 13 .......................................................................................... 8 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 14 .......................................................................................... 9 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 15 .......................................................................................... 9 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 16 ........................................................................................ 11 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 17 ........................................................................................ 11 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 18 ........................................................................................ 12 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 19 ........................................................................................ 13 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 20 ........................................................................................ 14 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 21........................................................................................ 14 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 22 ........................................................................................ 15 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 23 ........................................................................................ 15 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 26 -28...................................... ... 16 DESAFÍO PISA - PÁG. 29 .............................................................................................................. 32 UNIDAD 2: Logaritmos y porcentajes. Aplicaciones ............................................................................. 34
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 34 ........................................................................................ 34 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 35 ........................................................................................ 34 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 36 ........................................................................................ 35 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 37 ........................................................................................ 36 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 38 ........................................................................................ 37 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 39 ........................................................................................ 37 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 42 -44...................................... ... 38 DESAFÍO PISA - PÁG. 45 .............................................................................................................. 51 UNIDAD 3: Polinomios y fracciones algebraicas .................................................................................. 53
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 52 ........................................................................................ 53 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 53 ........................................................................................ 53 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 54 ........................................................................................ 54 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 55 ........................................................................................ 55 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 56 ........................................................................................ 56 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 57 ........................................................................................ 57 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 58 ........................................................................................ 58 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 59 ........................................................................................ 59 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 60 ........................................................................................ 62 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 61 ........................................................................................ 63 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 64 -66...................................... ... 63 DESAFÍO PISA - PÁG. 67 .............................................................................................................. 78 UNIDAD 4: Ecuaciones e inecuaciones ..................................... ...................... ...................... ............... 80
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 72 ........................................................................................ 80 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 73 ........................................................................................ 80 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 74 ........................................................................................ 81 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 75 ........................................................................................ 83 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 76 ........................................................................................ 84 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 77 ........................................................................................ 85 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 78 ........................................................................................ 88 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 79 ........................................................................................ 89 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 80 ........................................................................................ 91 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 81 ........................................................................................ 94 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 82 ........................................................................................ 95 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 83 ........................................................................................ 96 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 86 -88...................................... ... 99 DESAFÍO PISA - PÁG. 89 ............................................................................................................ 133 UNIDAD 5: Semejanzas, áreas y volúmenes ......................... ...................... ...................... ................. 135
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 96 ...................................................................................... 135 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 97 ...................................................................................... 135 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 98 ...................................................................................... 136 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 99 ...................................................................................... 136 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 100 ....................................................................................137 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 101 ....................................................................................137 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 102 ....................................................................................138 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 103 ....................................................................................140 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 104 ....................................................................................141 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 105 ....................................................................................142 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 106 ....................................................................................142 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 107 ....................................................................................143 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 11 0-112............................. ...... 144 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
DESAFÍO PISA- PÁG. 113 ........................................................................................................... 155 UNIDAD 6: Trigonometría en ángulos agudos ................................................................................... 158
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 118 ....................................................................................158 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 119 ....................................................................................159 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 120 ....................................................................................160 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 121 ....................................................................................161 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 122 ....................................................................................161 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 123 ....................................................................................161 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 124 ....................................................................................162 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 125 ....................................................................................163 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 12 8-130............................. ...... 163 DESAFÍO PISA - PÁG. 131 .......................................................................................................... 179 UNIDAD 7: Trigonometría en ángulos orientados .............................................................................. 181
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 136 ....................................................................................181 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 137 ....................................................................................181 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 138 ....................................................................................182 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 139 ....................................................................................183 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 140 ....................................................................................184 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 141 ....................................................................................185 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 14 4-146............................. ...... 186 DESAFÍO PISA - PÁG. 147 .......................................................................................................... 201 UNIDAD 8: Geometría Analítica......................... ...................... ...................... ...................... ............. 204
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 152 ....................................................................................204 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 153 ....................................................................................205 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 154 ....................................................................................205 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 155 ....................................................................................206 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 156 ....................................................................................207 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 157 ....................................................................................207 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 158 ....................................................................................208 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 159 ....................................................................................209 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 160 ....................................................................................210 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 161 ....................................................................................210 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 164 -166....................................... . 211 DESAFÍO PISA - PÁG. 167 .......................................................................................................... 227 UNIDAD 9: Estudio gráfico de funciones ...................................... ...................... ...................... ......... 229 4
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 174 ....................................................................................229 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 175 ....................................................................................229 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 176 ....................................................................................230 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 177 ....................................................................................231 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 178 ....................................................................................231 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 179 ....................................................................................232 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 180 ....................................................................................234 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 181 ....................................................................................235 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 182 ....................................................................................235 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 183 ....................................................................................235 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁG. 186-188.................................. ........ 237 DESAFÍO PISA - PÁG. 189 .......................................................................................................... 251 UNIDAD 10: Funciones algebraicas y trascendentes .......................................................................... 253
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 194 ....................................................................................253 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 195 ....................................................................................255 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 196 ....................................................................................257 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 197 ....................................................................................259 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 198 ....................................................................................260 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 199 ....................................................................................263 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 200 ....................................................................................265 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 201 ....................................................................................266 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 202 ....................................................................................268 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 203 ....................................................................................269 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 204 ....................................................................................271 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 205 ....................................................................................272 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 208 -210....................................... . 274 DESAFÍO PISA - PÁG. 211 .......................................................................................................... 300 UNIDAD 11: Estadística................................. ...................... ...................... ...................... ................. 302
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 218 ....................................................................................302 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 219 ....................................................................................302 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 220 ....................................................................................303 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 221 ....................................................................................303 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 222 ....................................................................................304 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 223 ....................................................................................305 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 224 ....................................................................................306 5
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 225 ....................................................................................307 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 226 ....................................................................................307 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 227 ....................................................................................308 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 230 -232....................................... . 309 DESAFÍO PISA - PÁG. 233 .......................................................................................................... 324 UNIDAD 12: Estadística Bidimensional.......................... ...................... ...................... ...................... .. 327
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 238 ....................................................................................327 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 239 ....................................................................................327 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 240 ....................................................................................328 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 241 ....................................................................................329 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 242 ....................................................................................330 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 243 ....................................................................................331 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 246 -248....................................... . 332 DESAFÍO PISA- PÁG. 238 ........................................................................................................... 348 UNIDAD 13: Combinatoria .................... ....................... ...................... ...................... ....................... . 350
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 256 ....................................................................................350 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 257 ....................................................................................350 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 258 ....................................................................................351 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 259 ....................................................................................351 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 260 ....................................................................................352 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 261 ....................................................................................354 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 262 ....................................................................................354 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 263 ....................................................................................355 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁG. 266-268.................................. ........ 355 DESAFÍO PISA - PÁG. 269 .......................................................................................................... 368 UNIDAD 14: Probabilidad......................... ....................... ....................... ...................... .................... 370
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 274 ....................................................................................370 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 275 ....................................................................................370 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 276 ....................................................................................371 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 277 ....................................................................................371 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 278 ....................................................................................372 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 279 ....................................................................................372 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 280 ....................................................................................373 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 281 ....................................................................................375 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 282 ....................................................................................376 6
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 283 ....................................................................................377 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 286 -288....................................... . 378 DESAFÍO PISA - PÁG. 289 .......................................................................................................... 393
7
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 1: Los números reales EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 12 1. Expresa como decimal las siguientes fracciones y c lasifica los números decimales obtenidos: 5
a)
7
0,714285 es un periódico puro.
5 3 1,6 es un decimal periódico puro. 11 c) 1,83 es un decimal periódico mixto. 6 10 d) 0,90 es un decimal periódico puro. 11 b)
2. Expresa como fracción los siguientes números decimales: 8 2 100 25 254 2 252 28 b) 2,54 99 99 1 1 38 3 35 7 c) 0,38 90 90 1 8 348 3 345 23 d) 0,348 990 990 66 39 3 36 e) 3,9 4 9 9 a) 0,08
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 13 3. Encuentra dos números racionales y dos irracionales comprendidos entre 3,41 y 3,4101. Números racionales: 3, 41 3, 41002 3, 41008 3, 4101 Números irracionales: 3, 41 3, 410010001 3, 410011000111
3, 4101
4. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a)
2,4
b)
3 2
c)
3,2 5
número racional ya que puede ser expresado como una fracción. número irracional, ya que
número racional por ser cociente de dos racionales.
4 2 9 3
d)
8
3 es irracional.
número racional
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 14 5. Representa en la recta real los siguientes números: a)
5
b)
6
c)
10
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 15 6. Representa gráficamente y expresa mediante intervalos: a)
x :3 x1 3,1
b)
x : x3 , 3
9
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
x : 2 x 5 2, 5
d)
x :5 x1 5,1
e)
x : x 1 1,
f)
x : x1 1,
7. Representa gráficamente los siguientes conjuntos y exprésalos utilizando intervalos a) Los números reales menores que 5:
x
: x5 , 5
b) Los números reales mayores que 2 y menores que 7 o iguales a 7:
x : 2 x 7 2,7
c) Los números reales menores que -1 y mayores que -4:
x :4 x1 4,1
d) Los números reales mayores o iguales a -2:
x : x2 2,
10
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 16 8. Simplifica y expresa el resultado como potencia de exponente positivo: 52
23
a)
b)
c)
3 2
f)
2
3 2
4
10 2 6
9 2
9 2
2: 5
2 8
3 · 2 : 2 ·3
23: 3 4· 2
3
94
2·5
3 5
3 · 2 : 2 ·3 3 3 2 ·3
325 2·3 :3
34: 2 : 33
4 6
9 2
2: 5
2 3 5
2 4
e)
2
35 ·3 3 ·310 5 3 5 1 36 3 63 3 6
24: 25 :2210 21 : 1022 2 : 22 10 2 12 1 3 3 12 2 12 2 2 4 2· 23 3 23 6 22· 24 : 22 3 :2 2 · 23 : 2 2 · 22 18: 2 3 2 19 2 9 2 3 6 9 2· 2 2 9 2 19 2 10 2 23· 23 5 ·2 · 2 · 5 5 ·2 ·2 ·5 2 ·5 5 ·5 5 10 2
d)
5
3·3 ·3 3
2
3 3
65· 24 4: 2 :33 g) 2: 332
3
125
4
23
·3 2
9
55 4
23
1
22 5 3
5
2 2
b)
5
c)
4
32 42 5 2
d)
5
8 2
4 3
5
3
25
10. Expresa como radical las siguientes potencias: 3
a) 34 11
4 33
2
10 2 3 ·24 2·3 6 2 2·310 22 ·3 3 3 8 6 9 8 9 8 11 2 ·3 ·2 2 ·3 2 ·3 2
28: 36 · 2 2·3 · 2 : 2 : 3 2 ·3 · 2 :2 ·3
9. Expresa en forma de potencia de base 2:
3
3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 17
23: 3 8· 26
8
2 8 3 5 3 ·2 · 2 ·3 523 ·3 6 3 2·33 3 2 2 ·3 2
2
3 4 2·3 1 1 32 2 ·3 626·3 6 6
2
2·2
4 3 :32·3 4 26 3 : 2 ·3 2
a)
6 2
13
1
12 9
·3 2
23
5 54 2 ·3 ·2 ·212 ·39
·3 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
b)
5 3 3 52
c)
72 7
1
2
4 8
2 2 8
d) 4 8 2
2 2
1 2
2
4
e)
6 3 3 64
11. Simplifica los siguientes radicales: 6 6
a)
5
b)
1512
c)
60 36
d)
9
52 53 12
4
7 7 15 7
755 4
36
3
5 5 605
555 3 6
2
64 92 62 29 23
3
2
12. Da dos radicales equivalentes de cada uno:
3 4 32 6 33
a)
5 68 5 1612 5
b)
3 4
c)
5
42 5 2410 44
d)
5
64 2 5
6
215
18
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 18 13. Extrae factores de las siguientes expresiones simplificando cuando sea posible:
521 520·5
a) b) c)
3 6
217 3215· 22
5
43 7
2 ·3
3 ·2 718
33
2 ·3
8 14
16 24
d)
520· 5 5 · 105 215 ·3 22 25· 2 2 3 2·3 · 2 ·3
2
3 4
4
3 ·2 3 7
5 ·3·2 3
7
14. Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica si es posible: 2
a) 3 · 5
b) 3· 3 3 ·32 12
2
3·5
3
3
2 3 ·5
4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
3
54 3 512 3 58 1 c) 5 · 4 3 5 54 54 4
3
d)
3 3·82 3· 22 3 32 3· 2 · 8 2 2 4 4 222 2
e)
23 33 · 34
2·3 9 2 3 3 2 3· 2 3
2
3 4
7 3
2
15. Ordena de mayor a menor los siguientes números: Expresando todos los radicales con el mismo índice, tenemos:
3 4 3 22 12 28 4 175 12175 3 6 256 62 8 212 14 5 12 56
3
6 4 5 256
4 175
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 19 16. Opera y simplifica: a)
3 6 2· 5 4·5 6 2· 2· 5 4· 125 5 4· 5
b) 4· 5 2· 2 5 4· 5 32
d)
g)
5
2· 2
4
6
3
8· 2· 2 8 4
3
4
22 5
23
3
23 4
h)
2 · 2
6 6 5 26
3
3· 9
4
2
3 5
3
6
32
32
2· 5
6 7 7
2 2· 2
3 1 18 2 · 2· 62 4 22· 2122· 2129 1229 2
23 23
9· 33
46
4 64 810
3· 3
34
3
13
5
4
4
3·3 3 3 3· 3 4 3 3
3 · 23 3 34 34 3 33
2 ·5 212
210 15 7 2 23
2· 24 2 8 2 2 23
j)
2
1
2· 44
i)
6 6
3
2· 5
6· 5
5 5· 5
6 3 6 4
5· 5 6
e) f)
5 · 5
3 2
c)
32
3
24 ·22 2 8 26 1 6 1 1 8 12 8 6 32 2 2
36 ·3 337 637 37 34 334 3
1 61 38
3
4
2
4
6
3
6
3
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 20 17. Racionaliza y simplifica cuando sea posible: a)
5
5 b)
c)
d)
e)
5· 5
5· 5
5· 5
5
5
4·1 3 4·1 3 4·1 3 4 1 3 2 1 3 1 3· 1 3 6 3
3
6· 33 2 6·3 23 33 3· 23 3 3 3
32 6· 3
44·5 3 44 5 3 5 3· 5 3 4
2·1
2
2· 3 32
3
44· 5 3 44· 5 3 25 3 22
4 4 10 410 · 10 10 · 10 10 10 10 · 10
3
104 10
f)
12· 11 2 12 11 2 11 2· 11 2
g)
35 35 243 35
h)
2 · 2 5 2 2 5 2 5·2 5
35 35· 3 3 ·2 3 3 · 3·2 3
2·5
3
3
12· 11 2 2 12· 11 11 2 9
4· 11
2
3
35· 3 35· 3 35· 3 2 3·3 3 3 27
2 · 2 5 210 210 52 3 3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 21 18. Aproxima por exceso y por defecto los siguientes números hasta las milésimas: a) 3,568 3,568930 3,569 b) 2,349 2,34928 2,35 c) 0,013 0,0134 0,014 d) 3,599 3,599124 3,6 19. Redondea hasta las milésimas los números del ejercicio anterior y calcula el error absoluto cometido en cada aproximación:
a) 3,568930 3,569 b) 2,34928 2,35 c) 14
Ea 3,568930 3,569
0,00007
Ea 2,34928 2,35 0,00072
0,0134 0,013 Ea 0,0134 0,013 0,0004
Matemáticas 4º ESO Académicas
d) 3,599124 3,599
SOLUCIONARIO
Ea 3,599124 3,599 0,000124
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 22 20. Escribe en notación científica los siguientes números: a)
653000000 6,53·108
4000000 4·10 6 4 cienmilésimas 0,00043 4,3·10
b) 4 millones c)
43
e)
0,043 4,3·102 0,00000567 5,67·106
f)
35 billones
d) 43 milésimas
35000000000000 3,5·1013
21. Los siguientes números están mal expresados en notación científica. Corrígelos: a)
32,4·105 3,24·106
4,8·108
4
b) 48000·10
5
8
c) 0,0095·10 9,5·10 3 d) 3200·10 3,2 8
e) 0,0345·10 f)
3,45·106
23,45·105 2,345·104
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 23 22. Realiza las siguientes operaciones en notación científica: a)
9 2,3·108 9·10
0,23·10 9 99·10
9
b) 3,5·10 0,5·10 · 3·10 5
c) d)
9
4,2 ·10 : 7·10 7
4
8
2,8·10
9
9·10
3
5
0,6 ·10 11
9
9
6 5
12
9,23·10
5 3,5·10 1,5·10
9
3,5·10
6·10
0,28·10
5
9·10
8,72·10
23.Realiza las siguientes operaciones utilizando la calculadora: a)
15 3,65·10 8 4,3·10 7 · 8,46·10
b)
2,58·10
15
7
3
25 : 2,5·10
7
4,0028·10
4 6,8694·10
0,15·10
3,35·10
Matemáticas 4º ESO Académicas
6 3 5, 2·1012 4,3·10 · 2,5·10
c)
18
3, 2·10
2
SOLUCIONARIO
2,1675·1013 6,7734·10 6 18 3, 2·10
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 26 -28 NÚMEROS RACIONALES 1. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones: 5 1, 25 4 4 b) 0,26 15 7 c) 0,2916 24 a)
2. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: a)
2,48
248
100
62 25
76 7 69 23 9 9 3 236 23 213 71 c) 2,3666 90 90 3 0 347 34 313 d) 0,3477 900 900 56 e) 0,56565656 99 4821 48 4773 1591 f) 0,48212121 9900 9900 3300 b) 7,666
3. Encuentra tres ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea un número decimal exacto, un número periódico puro y un número periódico mixto. 2
15
9
0,45 20 265 20 Periódico puro: 0,333 ; 1,818181 ; 0,795795795... 3 333 11 1 44 2531 Periódico mixto: 0,1666 ; 2,5565656 1, 4666 ; 6 30 990 Decimal exacto:
5 1
0, 4 ;
1,875 ;
8
4. Realiza las siguientes operaciones. Si no puedes realizar la operación, pasa primero los números decimales a fracción, luego efectúa las operaciones y termina pasando el resultado de nuevo a número decimal: 16
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
253 25 138 13 228 125 353 3,92 90 90 90 90 9 0
2,531, 38
SOLUCIONARIO
b) 5,35· 0,3 1 ,65
535 1 149 1605 1490 · 100 3 90 900 900
115 900
23 180
NÚMEROS REALES 5. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica la respuesta: a) Hay números racionales que tienen una expresión decimal infinita. VERDADERO, ya que todos los decimales periódicos cumplen esa condición. b) Los números enteros son aquellos que tienen una expresión decimal exacta. FALSO, ya que hay decimales como el 2, 5 que, no siendo enteros, tienen una expresión decimal exacta. c) Un número irracional se puede expresar como una fracción. FALSO, ya que si fuera posible entonces pertenecería, por definición, al conjunto de los números racionales. d) Hay fracciones que tienen una expresión decimal infinita no periódica. FALSO, ya que en tal caso sería un número irracional. e) Existen números irracionales que no son números reales. FALSO, ya que el conjunto de los números reales está formado, por definición, por los racionales y los irracionales. f) Existen números enteros que no son racionales. FALSO, ya que todos ellos se pueden expresar como una fracción con denominador igual a la unidad. 6. Clasifica los siguientes números según sean racionales o irracionales. a)
121 11
b)
81 9 16 4
c) d) e) f)
ya que es un número entero. número racional.
0,56888
1 15 12
número racional ya que puede ser expresado como una fracción.
número irracional ya que es una raíz cuadrada no exacta. número irracional ya que es una raíz cuadrada no exacta.
6 2· 3
por ser
3 un número irracional.
7. Escribe dos números irracionales comprendidos entre 2,5 y 2,501.
2,5 2,5003 2,5007 2,501 8. Representa de forma exacta en la recta real
50
17
50 , 26 y 17 .
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
26
17
TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL 9. Representa gráficamente y escribe el intervalo y el conjunto de todos los números reales que s ean: a) Mayores que -1 y menores que 2 o iguales a 2. x :1 x 2 1,2
b) Menores que -2 o iguales a -2 y mayores que -4. x :4 x2 4,2
c) Mayores o iguales que -3. x : x 3 3,
d) Menores que 5. x : x5 , 5
18
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
e) Mayores que -5 o iguales a -5 y menores que -1 o iguales a -1. x :5 x1 5,1
10. Representa gráficamente y escribe el intervalo que representa los s iguientes conjuntos: a)
x :2 x3 2, 3
b)
x :1 x4 1,4
c)
x :2 x1 2,1
d)
x
: x 2 ,2
e)
x
: x 3 3,
f)
x
: x3 , 3
11. Escribe el conjunto que representan los siguientes intervalos y represéntalos gráficamente: a)
1, 3 x
: 1 3x
b)
x 2, 7
: 2 7 x
19
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
2, 1 x :2 1 x
d)
,1 x:
e)
1, 6
f)
x
1 x
x :1 6
x 3,
: 3x
12. Definimos el valor absoluto de un número, x , de la siguiente forma:
x si x 0 x si x 0
x Representa gráficamente el conjunto x
: x 3 .
¿Existe algún número real que tenga valor a bsoluto negativo? Razona la respuesta.
x
: x 3
No existe ningún número real x con valor absoluto negativo ya que: Si x 0 entonces su valor absoluto es él mismo y por tanto no negativo. Si x 0 entonces su valor absoluto es su opuesto y por tanto positivo.
13. Representa gráficamente los conjuntos: a)
x
: x 4
b)
x
: x 2
c)
x
: x 3
20
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
x
: x 0
14. Representa gráficamente los conjuntos: a)
x
: x 1 3
b)
x
: x 1 4
LAS RAÍCES: PROPIEDADES Y OPERACIONES 15. Ordena los siguientes radicales de mayor a menor:
4 2; 4 2 3; 5; 46
Expresando todos los radicales con el mismo índice, tenemos que:
4
2 122
6
12 64
2 2
9
512
3
4 6
12
5 5 12
4 124
3 2
12
12 125 12 16
6
4 2 5 2
16. Encuentra dos radicales equivalentes: a)
3
4 6 42 9 43
b)
4
8 16 84 20 58
c)
3
12 612 2 12 12
4
50 450
3
d)
2
6 50
17. Simplifica los siguientes radicales: a)
5
128 5 2 7
b)
4
316 34
c)
30
d)
6
21
218 5 23
125 65
3
5
4
4
3
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
18. Introduce los factores dentro de la raíz: a)
2 3 2 ·32
b) 2· 34 23 · 43
332 2·2
5
c)
2 2 2·62 2· 2·3 · 6 2 3 33 3
d)
4 5 5 4 4 · 4 2 2
2 3 2 2
3
19. Extrae todos los factores que sea posible: a)
4
4 58·319 25 ·3 · 3 34
b)
4
2 212· 39 23 ·3 · 34
c)
6
315·525· 84
d)
5
56·3 7 5·3 55·3 2 ·2 212 2 2
25 12 15 36 ·5 ·2
2
34·52 · 2 ·3 3 ·56
2
20. Expresa en una sola raíz: 4
5
45
2 4
52
4 5 22
a) b)
2 · 6 2 · 6 2 ·6 8 8· 425 238· 210 8 23·2 10 8
c)
6
2 ·65 22· 23
3 25· 4· 24
63 4
d) e)
6· 6· 6· 6
5· 5
2·
2
6 8 669
2 26·4 ·2 2· 23 4
4
3
8 4 6 ·6 ·6 ·6 2
3
2· 3 4· 2 3
2410· 12 28 · 3212
5· 5 5· 5 5
34
3
f)
7 24
4
2 ·2 ·3 13 2 8
2 ·3 21 1 2
12
2
5 61615
2 12·2 6·2124 11 2·4323 7 2
11
2
28 3
21. Opera y expresa como potencia de exponente racional: 7 3
42
4
2· 8
4
b)
c)
9 3 34
22
4 3
7
2 32
a)
2
2
42 2·8
2
11
32 3 4 3
2
7
4 2 1 3 2·2 2
28 3
22
31 24 2 2
3
1 32
7 2 4 2 23 3
2
2 7
2
3
4 3
17
12
2 2
12
1 2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
45 23
2
2
10
9
e) f)
4 3 312
6
2
33 32 27 · 3
7
2 3 2
2
2 2
2
22
9
9 4
7 4 7·9 3 3 123 3 12·4
7
5
2 23
21 16
7·3 4·4
2
1 33 332 32 3 3· 3
2
2 3
2
3
4 3
3
22. Opera y extrae factores: a)
4
208 3 45 8 4 4 10 ·8 2 ·2 223 228· 27
2· 2 3· 264 56 26 ·6328 ·56 2 26162 2 · 3422
b)
2· 316·
3 32
c)
a·
d)
3 312 3 4 3 3 6 4 3 6 23· 4 · · · 29 2 3 2 3 3 22·3
e)
a · a4
f)
x· · x
a3 a a a 43
43
a a42
a3 4 ·
9 96 12 12 6
a
a
a
a·
8
12
· a5 a a
34
34
3
6
·x·
x · 12
12 9
x
2
·
12
7
12
a8
a 32
2 2· 2
3·23 4 6 6 3·2 2·3 3 2
6
6
6 32
·4
2 4
8
x·
2 12
· x
x212·
11
2 22
x 3
12 10
x365
x
x
x
x
23. Opera y simplifica: a) 3· 2 4 2· 54 216 3· 2 ·33 2· 2 ·3 3
3
2 ·3
2·3 2·3· 2·3· 2·3 2·3· 2·3 2·3· 2·3 6 6 b)
96 150 486
2 ·35 2·3·5
2
5
2·3
5 2·3 3 2 ·3 0 2 2·3 c)
512 72
200
32 2 9 2 ·3
322 ·54 2 · 22 ·3· 2 2 ·5· 2
16 2 6 2 10 2
20 2
RACIONALIZACIÓN 24. Racionaliza y simplifica a)
b)
23
8
8· 6
6
2 2 2
6· 6
8· 6 4· 6 6 3
2 2·2 2 2· 2 2
2· 2
2 2·2 42
2
2
2
2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
4
a)
6
4 2 4 24 4 2 2· 2 6 3 8 2 2 2·2
2
b)
6
e)
f)
3
3
3 2
23 6 2 2 · 2 1 6
2· 21
2 5
6· 10· 2 5 2 5· 2 5
3
2
6 12 63 23 26 63
5
6
2
2 2·1121
24 182632 83 6
2 3· 3 2 · 2 3 2 1 3 2· 3 2· 3 6 6
6· 10
4
8 3· 8 3
2
2
2· 3 6 2 3 63 6· 3 6 6· 8 3
8
d)
3·1 2
c)
24 2
2· 2
6 6
2· 2 1
3
3
2·6 2 1
2 1
6 6
6· 6
6· 10· 2 5 6· 20 25
50
3
510 2 2· 2 5 5 2 4
APROXIMACIONES 27. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las centésimas los siguientes números: a) Redondeo: 2,36782354701 2,37 Truncamiento: 2,36782354701 2,36 Aproximación por exceso: 2,36782354701 2,37 b) Redondeo: 0, 065792836 0, 07 Truncamiento: 0, 065792836 0, 06 Aproximación por exceso: 0,065792836 0, 07 c) Redondeo:
8 2,83
Truncamiento:
8 2,82
Aproximación por exceso: 8 2,83 d) Redondeo: 2,89635433 2,9 Truncamiento: 2,89635433 2,89 Aproximación por exceso: 2,89635433 2,9 e) Redondeo: 3,18490986 3,18 Truncamiento: 3,18490986 3,18 Aproximación por exceso: 3,18490986 3,19 f)
Redondeo: 12,125 12,13 Truncamiento: 12,125 12,12 Aproximación por exceso: 12,125 12,13
25
SOLUCIONARIO
6
2· 2 1
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
28. Redondea, trunca y aproxima por exceso a las diezmilésimas los números del ejercicio anterior: a) Redondeo: 2,36782354701 2,3678 Truncamiento: 2,36782354701 2,3678 Aproximación por exceso: 2,36782354701 2,3679 b) Redondeo: 0,065792836 0,0658 Truncamiento: 0,065792836 0,0657 Aproximación por exceso: 0,065792836 0,0658 c) Redondeo: 8 2,8284 Truncamiento:
8 2,8284
Aproximación por exceso: 8 2,8285 d) Redondeo: 2,89635433 2,8964 Truncamiento: 2,89635433 2,8963 Aproximación por exceso: 2,89635433 2,8964 e) Redondeo: 3,18490986 3,1849 Truncamiento: 3,18490986 3,1849 Aproximación por exceso: 3,18490986 3,185 f)
Redondeo: 12,125 12, 1251 Truncamiento: 12,125 12, 1251 Aproximación por exceso: 12,125 12, 1252
29. Calcula el error absoluto y el error relativo para las aproximaciones del ejercicio anterior: a) Redondeo: 2,36782354701 2,3678
5 10 Error absoluto: Ea 2,36782354701 2, 3678 0,000 023 47
0,00002354701 9,945·106 2,36782354701 Truncamiento: 2,36782354701 2,3678
Error relativo: Er
5 10 Error absoluto: Ea 2,36782354701 2, 3678 0,000 023 47 0,00002354701 9,945·106 2,36782354701 Aproximación por exceso: 2,36782354701 2,3679 Error relativo: Er
3 Error absoluto: Ea 2,36782354701 2,3679 0,00007645
0,000076453 3,229·105 2,36782354701 b) Redondeo: 0,065792836 0,0658 Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 0,065792836 0, 0658 0,00007164
Error relativo: Er
26
0,00007164 1,089·104 0,065792836
Matemáticas 4º ESO Académicas
Truncamiento: 0,065792836 0,0657 Error absoluto: Ea 0,065792836 0, 0657 0,000092836
0,000092836 1, 411·103 0,065792836 Aproximación por exceso: 0,065792836 0,0658 Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 0,065792836 0, 0658 0,00007164
0,00007164
4
Error relativo: Er 0,065792836 1,089·10
c) Redondeo:
8 2,8284
Error absoluto: Ea
Error relativo: Er Truncamiento:
8 2,8284 8 2,8284 8
8 2,8284
Error absoluto: Ea
Error relativo: Er
8 2,8284 8 2,8284 8
Aproximación por exceso: Error absoluto: Ea
Error relativo: Er
9,59·106
9,59·106
8 2,8285
8 2,8285 8 2,8285 8
2,577·105
d) Redondeo: 2,89635433 2,8964 Error absoluto: Ea 2,89635433 2, 8964 0,00004567
0,00004567 1,577·105 2,89635433 Truncamiento: 2,89635433 2,8963
Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 2,89635433 2, 8963 0,00005433
0,00005433 1,876·105 2,89635433 Aproximación por exceso: 2,89635433 2,8964 Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 2,89635433 2, 8964 0,00004567
0,00004567 1,577·105 2,89635433 e) Redondeo: 3,18490986 3,1849 Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 3,18490986 3, 1849 0,00000986
Error relativo: Er
27
0,00000986 3,096·106 3,18490986
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Truncamiento: 3,18490986 3,1849 Error absoluto: Ea 3,18490986 3, 1849 0,00000986
0,00000986 3,096·106 3,18490986 Aproximación por exceso: 3,18490986 3,185 Error relativo: Er
Error absoluto: Ea 3,18490986 3, 185 0,00009014
0,00009014
5
Error relativo: Er 3,18490986 2,83·10
f)
Redondeo: 12,125 12, 1251
0, 000 0251 Error absoluto: Ea 12,125 12,1251
Error relativo: Er
0,0000251 12,125
2,072·106
Truncamiento: 12,125 12, 1251
0, 000 0251 Error absoluto: Ea 12,125 12,1251
Error relativo: Er
0,0000251 12,125
2,072·106
Aproximación por exceso: 12,125 12, 1252
0, 000 0748 Error absoluto: Ea 12,125 12,1252
Error relativo: Er
0,0000748 12,125
6,175·106
30. Completa la siguiente tabla: Orden de aproximación Milésimas Diezmilésimas
Cota de error absoluto Truncamiento
0,0005
0,001
0,0001
0,00005
0,0001
Cienmilésimas
0,00001
0,000005
0,00001
Millonésimas
0,000001
0,0000005
0,000001
Diezmillonésima
0,0000001
0,00000005
0,0000001
31. Expresa con todas las cifras los siguientes números:
28
Apro xi mac ió n p or exceso
0,001
NOTACIÓN CIENTÍFICA
a)
Redondeo
2,3·103 2300
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
5 b) 8,34·10 834000
c)
4,35·106 4350000
3 d) 3,65·10 0,00365
8 e) 1,24·10 0,0000000124
6
f) 5·10 0,000005 32. Expresa en notación científica los siguientes n úmeros: a) b) c) d) e) f)
25000000 2,5·107 0,000000458 4,58·10 7 0,0000004529 4,529·107 45600000000 4,5·1010 0,0000756 7,56·105 60000000000 6·1010
33. Los siguientes números no están expresados correctamente en notación científica. Corrígelos: a) 18,5·10 1,85·10 4
5
b) 345, 2·10 3, 452·10 6
c)
4
0,00047·10 4,7·10 9
7
5
10
d) 2340·10 2,34·10 8 12 e) 0,0004·10 4·10 f)
2300·107 2,3·10 4
34. Realiza las siguientes operaciones sin utilizar la calc uladora: a)
8 2,3·107 3,2·10
5
6
b) 0,8·10 2,5·10
8
8 8 0,23·10 3,2·10
5
5
5
0,8·10 0,25·10
2,97·10 1,05·10
35. Realiza las siguientes divisiones sin utilizar la calculadora: 12 a) 6·1014 :3·10 6:3 ·10 1412
8 3 b) 1,5·10 :3·10 4
3
11 0,5·10
22·10 12
5·10
76
:5·109 0,5·10 5·10 c) 2,5·10 2 7 d) 2,7·10 :3·10 0,9·10 9·10 90
36. Comprueba con la calculadora los resultados obtenidos en los tres ejercicios anteriores. Utilizando la tecla EXP de la calculadora para realizar las operaciones se comprueba el resultado.
29
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
37. Realiza las siguientes operaciones utilizando la calculadora: a) b)
10 8 2,3·107 5,4· 10 · 172·10 7 2,3·10
2·10 3
3
10 9 1,8·10 8·10 101,8·10
1, 2·10 : 3·10 2
c)
2·10
6
4
4·10
10
8 1,08·10
1,31·10
2,7 ·10
3
2·10
6
2·103
PROBLEMAS 38. En la siguiente tabla se muestran la masa y la densidad de algunos cuerpos celestes de nuestro m sistema solar. Sabiendo que d , calcula el volumen de cada uno de los cuerpos celestes de la V tabla.
Densidad g/cm 3
Masa (kg · 10 23)
La Tierra
5,52
59,7
Luna
3,34
0,734
Marte
3,93
6,4
Venus
5,25
48,7
Mercurio
5,41
3,3
m m , tenemos que V . Para poder operar debemos expresar ambas d V magnitudes en la misma unidad de masa (kg) y, puesto que hablamos de volúmenes de planetas, elegimos como unidad de volumen el kilómetro cúbico: g kg 3 15 kg 12 kg 1 3 10 33 10 10 ·10 3 3 cm cm km km De este modo, podemos calcular el volumen de los cuerpos celestes: m 59,7·1023 VTierra Tierra 1,08·1012 km3 12 Tierra d 5,52·10 mLuna 0,734·1023 VLuna 2,2·1010 km3 d Luna 3,34·1012 Despejando V en d
VMarte
VVenus
30
mMarte d Marte mVenus dVenus
6,4·1023 1, 63·1011 km3 3,93·1012
48,7·1023 9,28·1011 km3 5,25·1012
Matemáticas 4º ESO Académicas
VMercurio
mMercurio d Mercurio
SOLUCIONARIO
3,3·1023 6,1·1010 km3 5,41·1012
39. La masa de un electrón es de 9·10
31
kg. Las masas de un protón y de un neutrón son
27
aproximadamente de 1,67·10 kg. Determina la masa de una molécula de agua (H 2O) sabiendo que un átomo de hidrógeno contiene un protón y un electrón, y que un átomo de oxígeno tiene 8 electrones, 8 protones y 8 neutrones.
mH 2O 2m H
mO 2· 9·10
1, 67·10
31
27
31 8· 9·10
1, 67·10 27
27 1,67·10
27 26 2·1,6709·1027 8·3,3409·10 3,0069·10 kg
26
La masa de una molécula de agua es de aproximadamente 3,0069·10
kg.
40. La distancia de la Tierra al Sol es de 1,4 · 108 km. La velocidad de la luz es de 3 · 10 8 m/s. ¿Cuánto e tiempo en minutos tardará en llegar a la Tierra un rayo de luz solar? Recuerda que v . t
e : v 1,4 ·108 km 1,4 ·10 11 m t 466,6 s 7,7 min 3·108 m 3·10 8 m s s Por tanto, un rayo de luz solar tarda 7,7 minutos en llegar a la Tierra desde el Sol. Despejando t en v
e t
tenemos que t
41. La velocidad media del sonido en el aire es de 340 m/s. Si se produce un accidente en la autovía, ¿cuánto tardaremos en escuchar el siniestro desde que se ha producido si estamos a 1,4 km?
e , tenemos: v 1,4 km 1,4 ·10 3 m t 4,12 s 340 m 340 m s s Tardaremos en escuchar el siniestro 4,12 segundos. Teniendo en cuenta que t
42. Desde que vemos un relámpago hasta que oímos el trueno pasan 7 segundos. ¿A qué distancia se ha producido el fenómeno meteorológico?
e tenemos que e v · t y como v 340 m : e 340 m ·7 s 2380 m s s v El fenómeno meteorológico se ha producido a 2,38 kilómetros. Despejando en t
43. La velocidad de propagación del sonido en el agua es de 1,6 · 10 3 m/s. Si un submarinista escucha una explosión que está a 24 km de él, ¿cuánto habrá tardado en llegar el sonido hasta allí?
31
Matemáticas 4º ESO Académicas
t
e v
3 24·10 m 3 m 1,6·10
km 24
1,6 ·103 m
s
SOLUCIONARIO
15 s . El sonido habrá tardado 15 s en llegar. s
44. Calcula la velocidad a la que transita un automóvil de 1500 kg de peso sabiendo que tiene una energía 1 cinética de 468 750 J. (Recuerda: Ec mv 2 ). 2 2
Recordemos que 1 J 1 kg ·2m .Despejando en Ec 1 mv 2 tenemos que: 2 s 2Ec 1 2 2 Ec mv 2E mv v2 c 2 m y por tanto
2 Ec
v
25·10 km k m 90 . s 3600 h h La velocidad del coche es 25 m/s o, lo que es lo mismo, 90 km/h. Así, v
2·468750 1500
m 3
625 25 m
DESAFÍO PISA - PÁG. 29 EL SISTEMA SOLAR Los planetas del sistema solar tienen tamaños muy distintos unos de otros y están compuestos de materiales que los hacen únicos, de forma que la densidad de cada uno de los planetas no es igual a la de otro planeta. La luz solar tarda más de 8 minutos en llegar a nuestro planeta, concretamente 8 minutos y 19 segundos, 8
a una velocidad de 3·10 m s . Como e v · t , la distancia de la Tierra al Sol es de 149700000 km. En la siguiente tabla se presentan el Sol y los planetas de nuestro sistema solar:
La densidad de un cuerpo nos permite poder calcular la masa de dicho cuerpo de una manera más sencilla, ya que la densidad es el cociente entre la masa y el volumen de ese cuerpo. Como se muestra en 3
la tabla, la densidad se mide en g cm . 32
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Actividad 1. Ordenando de mayor a menor los planetas, ¿qué lugar ocuparía la Tierra en ese orden? A: 5, por detrás de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. 3
Actividad 2. Obtén la densidad de la Tierra en kg km . C: 5,52·10
12
ya que 5,52·10
12
5,52
3 g 5,52·10kg 15 3 3 cm 10 km
kg 12 km
5,52·10 3
Actividad 3. ¿Cuántas veces es el Sol mayor que la Tierra? A: 106 ya que al dividir sus volúmenes hallamos una cifra de ese orden de magnitud. Actividad 4. Calcula la masa de la Tierra. 24
3
B: 5,9·10 , que se obtiene al multiplicar su densidad (en kg km ) por su volumen (en km3 )
5,52·10 ·1,08678·10 5,9 ·10 12
12
24
Actividad 5. ¿Qué distancia hay entre la Tierra y Marte? 7
C: 7,84·10 , que se obtiene restando sus respectivas distancias al Sol. Actividad 6. ¿Cuánto tardará la luz del Sol en llegar a Júpiter? B: 43min16seg , que se obtiene dividiendo la distancia al sol entre la velocidad de la luz:
7,787·108 2596seg 43min 16seg 3·105
33
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 2: Logaritmos y porcentajes. Aplicaciones EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 34 1. Determina los siguientes logaritmos sabiendo que log 2 0,301 y log3 0, 477 (valores aproximados): a) log6 log 2·3 log2 log3 0,301 0,477 0,778 b) log 4 log4 log3 log2
2
3
log3 2log2 log3 2·0,301 0,477 0,125
1 3 2
1 0,301 3·0, 477 ·log 0,866 3 2 3·log 2·3 3 · log 2 2 2 d) log600 log 2·3·102 log2 log3 log10 2 0,301 0,477 2 2,778 c)
log 54 log 2·3
1
20 10 log log 12 23 3 0,477 1 0,7615 2
e) log
20
1
log10 log 3 1 log3
log3 12
2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 35 2. Calcula los siguientes logaritmos utilizando las propiedades de logaritmo y del cambio de base: 4 a) log3 81 log 33 4
b) log 4 8 c)
log5
d) log4
log 2 8 3 log2 4 2
1 log 55 125
3
3
1 1 log2 32 log2 2 5 5 32 log 42 log 2 2 2 2
3. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la calculadora: a) log100 5
log100 2 2,861 log5 0,699
b) log3 243 log 33 5 5 log 0,000243 6, 0034 c) log40, 000243 log4 4. Calcula sin utilizar la calculadora: a) log35·log 35 34
log 5 log 3 · 1 log3 log5
Matemáticas 4º ESO Académicas
b) ln 7·log7 e c)
SOLUCIONARIO
log 7 log e · 1 log e log7
log38·log 43
log8 log3 log8 log2 · log3 log4 log4 log2
3 2
3·log2 2·log2
3 2
5. Sabiendo que log 2 0,301 y que log3 0,477 , calcula los siguientes logaritmos: 2
a) log43 log4
log2 log3
2log2 1, 262 2·0,301 log3 log3 0,477 10 b) log5 log log10 log2 1 l og2 1 0 ,301 0,699 2 log10 1 1 1 106 1, 285 c) log log6 log 2·3 log2 log3 0,301 0,477 1
d) log6
2 log 5 log5 5 log6 log2·3
1 log5 2 log2 log3
1 0,301 0,449 2· 0,301 0, 477
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 36 6. Calcula los siguientes porcentajes:
15 15·160 · 160 24 100 100 b) 2,5% de 30 0,025·30 0,75 c) 130% de 120 1,3·20 26 a) 15% de 160
7. Expresa en tanto por uno los siguientes porcentajes: a) b) c) d)
12% 0,12 30% 0,3 2,8% 0,028 145% 1, 45
8. Expresa en porcentaje los siguientes tantos por uno: a) b) c) d)
35
0,065 6,5% 0,03 3% 0,686 68,6% 1, 2 120%
10 log 2 2· log2 l og3
log10 log 2 2· log2 l og3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
9. De entre los 135 perros de una perrera, 54 son perros de presa. ¿Qué porcentaje de perros de presa hay en la perrera?
54 0,4 En la perrera hay un 40% de perros de presa 135 10. ¿Qué porcentaje hay que aplicarle a 5500 para obtener 1540?
1540 5500 0,28 Hay que aplicar el 28%. 11. El 5,3% de una cantidad es 83,74. ¿Cuál es esa cantidad?
5,3% de x 83, 74
0, 053· x83,74
x
83,74 1580 0,053
La cantidad buscada es 1580.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 37 12. Julián compra unos pantalones en una tienda que marcan 37 €. Si le hacen el 40% de descuento, ¿cuánto pagará por los pantalones? Como el descuento es del 40%, el porcentaje a pagar es el 60%. Por tanto: 60% de 37 0,6· 37 22,20 €. Tendrá que pagar 22,20 €.
13. En unos grandes almacenes están de rebajas al 15%. Si Ana ha comprado una blusa y le ha costado 45,90 €, ¿cuánto costaba la blusa antes de las rebajas?
Como le han rebajado un 15%, habrá pagado un 85% del precio srcinal. Por tanto: 45,90 85% de x 45,90 0,85· x 45, 90 x 54 € 0,85 La blusa costaba 54 € antes de las rebajas.
14. Por un frigorífico que costaba 375 € he pagado 318,75 €. ¿Qué porcentaje de descuento me han aplicado en el establecimiento?
318,75
·100 0,85·100 85% 375 El descuento aplicado ha sido del 85%. 15. Un empleado gana al mes 1548 €, a primeros de año le aplican una subida del 3,8 %. ¿Cuánto ganará al mes el empleado?
1,038·1548 1606,824 El empleado cobrará ahora 1606,82 €. 16. Una barra de pan que costaba 60 céntimos cuesta ahora 0,75 €. ¿Qué porcentaje ha aumentado el
precio del pan? 36
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Puesto que el precio ha aumentado en 15 céntimos, hay que calcular qué porcentaje representan esos 15 céntimos respecto del precio srcinal de 60 céntimos.
15 ·100 0, 25·100 25% 60 El precio del pan ha aumentado un 25%.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 38 17. Nuria ingresa 35000 € al 8,5%. Calcula: a) El interés obtenido al cabo de 12 años. C · r · t 35000·8,5·12 i 35700 €
100
100
b) El interés obtenido al cabo de 30 meses. Puesto que 30 meses es igual a 1,25 años, tenemos que: C · r · t 35000·8,5·1, 25 i 3718,75€
100
100
c) El interés obtenido al cabo de 300 días. Convertimos 300 días en años dividiendo entre 365 y tendremos: 300 C · r · t 35000·8,5· 365 2445,21 € i 100 100 d) El interés obtenido al cabo de 1 año 2 meses y 7 días. 2 7 Teniendo en cuenta que 1 año 2 meses y 7 días es igual a 1 1,1858 años: 12 365 C · r · t 35000·8,5·1,1858 i 3527,89 €
100
100
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 39 18. Calcula el capital que obtendríamos a los 5 años de invertir un capital de 10000 €, sin retirar los intereses cada año, con un interés del 6%. t
r 10 C C0·1 000· 1 100
6 100
5
13382, 26 €
19. Calcula el capital que obtendríamos a los 20 años de invertir un capital inicial de 54.000€ haciendo una aportación adicional a los 10 años de 30.000€. Calculamos el capital obtenido durante los primeros diez años, suponiendo el mismo interés que en el ejercicio anterior: t
r C C0·1 54 000· 1 100
6 100
10
96 705, 78 €
Le sumamos la aportación de 30.000 € y calculamos el capital que obtendremos pasados ot ros diez
años: 37
Matemáticas 4º ESO Académicas
10
C 96 705,7 8 30 000 · 1
SOLUCIONARIO
10
6 6 705,7 100 126 8· 1 100
226 910,7 5€
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 42 -44 LOGARITMO EN BASE 10 1. Sabiendo que log 2 0,301 , calcula los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
log2 2 2·log2 2·0,301 0,602 3 3·log 2 3·0,301 0,903 b) log8 log2 a) log4 c)
log20 log 2·10 log2 log10 0,301 1 1,301 1 4
d) log0,25 l og log1 log4
log2
2
2·log2
0,602
1 log1 log400 log4·100 log4 2 400 log 2000 log 2·1000 0,301 3 3,301 log2 log1000
e) log0,0025 log f)
2,601
2. Sabiendo que log 2 0,301 y que log3 0,477 , calcula los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log6 log 2·3 log2 log3 0,301 0,477 0,778
2 log2 log3 0,301 0,477 0,176 3 1 1 1 c) log 2 log2 2 ·log2 ·0,301 0,1505 2 2 10 d) log5 log log10 log2 1 0,301 0,699 2 3 e) log2 4 log 2 ·3 log2 3 log3 3·log2 log3 3·0,301 0,477 1,38 b) log
f)
log0,004 log
4 log4 l og1000 log2 2 3 2·log2 3 1000
2·0,301 3
2,398
3. Calcula los siguientes logaritmos sabiendo que log 2 0,301 ; log3 0,477 y log 7 0,845 :
0,477 2 2,477 a) log300 log 3·100 log3 log100 4 b) log0,0006 log 6·10 4 log6 log10 log2·3 4 log2 log3 4
0,301 0,477 4 c)
3,222
log1400 log 14·100 log14 log100 log 2·7 log100 log 2 log7 2 0,301 0,845 2 3,477
d) log42000 log 42·1000 log 42 log1000 log 2·3·7
log2 log3 log7 3 0,301 0,477 0,845 3 4,623 38
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
e) log0,00032 log 32·10 5 log2 f)
1 2
log 14 log14
5
5 log10 5log2 5 5·0,301 5
1 1 ·log 2·7 · log2 l og7 2 2
1 · 0,301 0,845 2
SOLUCIONARIO
3,495 0,573
4. Utiliza las propiedades de los logaritmos para expresar c omo un solo logaritmo:
3·5
a) log3 log5 log4 log
15
log
4 4 9 log3 2 log4 log9 log4 log 4 1 1 3 2 15 2 log15 2log5 log15 log2 log5 log2 log 2 5· 2
b) 2log3 log4 c)
log
3· 2
3· 2 3· 2 log log 5· 2 10
5· 2· 2
1 d) 3log5 log2 4 4
log
5 4
2
1 log2 5 log5 2
4 3
log
log 5· 2
2
4
5· 2
4 3
2· 4 23
4
3
1
1 4
log2 log2 5 2 log5
54
3
log 2 4 log5 log
4
4
5· 2 log
2
5. Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones: 1
x a 2 logx log a log b3 log x log a3log log b b3 1 a3b 2 c b c3log log a3 log b log a 3log b c log a log b) log c a) log
c)
a4c log x 2 3 2 log x log a32l og b 1 2log x log a log c 3log b 4
clog
blog log x
3
6. Calcula los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log3 27 log 33 3 3
b) log2128 log 22 7 7
c)
log 2 8 2log 82
d) log50,008 log 39
5
b
1 4
LOGARITMO EN BASE a
1 2
1 xlog 3log a 2 1 log log 2
1
log 22 3 2log 2
8 1 3 log 5 1000 125
3 2
3 2
a l og
c4 log
b
2
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 log 44 64
e) log4
3
3 1
f)
1 5 log5 0 ,008 log 5 log55 125
5
3 5
3 5
7. Determina los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: 1
a) log3 3 27 log 27 3
2
2
3 2
1 log 2 1 8 3 8 log 216 4
b) log16
3 2 3 2 4
3
c)
3
1 3 2 log 3 3 log 3
log 4 8 log 42
3 2
log 22 2 log24
1 log2 1 2 1 d) log 4 2 log 24 4
81
e) log3 f)
4
3
3 3log
4
log 3 3
34
3 log3 27 3 log9 27 log 9 2 3
1
11 3log 3
4
11 3
3
8. Determina los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
1 log5 5 1 5 2 log525 2 4
a) log25
1 log5 1 3 125 b) log 25 0,008 log 25 125 log 525 2 c)
log25 0, 008 log 25 4
1 125
1 4
1 log 25 4
1 1 3 3 · 125 4 2
8
1 d) log
6
e) log9 f) 40
log 25
1 log6 36 2 4 1 36 log 6 6 2 1 log3 3 1 3 2 log39 2 4 5 3 5 log 5 log 25 25 3125 52
125
5 1 12 11 2 log 5 25 log 5 · 25 2
3
22 4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
g)
3 3 9log 9 1 log 9 3 3 32
27
log9
3 9
1 2
5
5 15 log 3 2log 3 2 5
h) log
3 1
32 log 12
2
2
5 3
SOLUCIONARIO
5
log22 3 log 2 2 3 1 1 log2 log 22 2 2
·
22 4
5 3 10 1 2
3
9. Utiliza el cambio de base para expresar los siguientes logaritmos en base 10 y calcula su valor utilizando la calculadora:
log8 1, 292 log5 log5 b) log35 1, 465 log3 3 log 3 4 0, 415 c) log0,5 4 log0,5 log100 2 d) log3100 4,192 log3 log3 a) log58
10. Utiliza el cambio de base para expresar los siguientes logaritmos en base e y calcula su valor utilizando la calculadora: a) log10000
ln10000 4 ln10
ln5 1,161 ln 4 2 ln e 2 c) log e2 0,869 ln10 ln10 ln32 d) log232 5 ln 2 b) log 45
11. Utilizar las propiedades de los logaritmos para calcular las siguientes expresiones sin utilizar la calculadora: 3 24 2·3 3 3 3 3 33 3 3 2log 23log 3 1 a) log 24 3 log 2 log 24 l og 2 log 3 22·3·3 12· 27 log 27 log log b) log2 12 2 2 9 log 2 2 2 log 2 9 3 2 2·3 log2 2 log 22 1 3 log4 log2 c) 2log24 log 4·log 2 ·2 · 4 1 5 2 4 2 log2 log4 3
41
24
2 ·3 32
Matemáticas 4º ESO Académicas
PORCENTAJES 12. Expresa en tanto por uno los siguientes porcentajes:
23 0, 23 100 12,5 b) 12,5% 0,125 100 124 c) 124% 1, 24 100 a)
23%
13. Expresa en tanto por ciento los siguientes tantos por uno:
23 23% 100 34,5 b) 0,345 34,5% 100 2,5 c) 0, 025 2,5% 100 a) 0, 23
14. Calcula los siguientes porcentajes utilizando el tanto por uno: a) b) c) d)
2,5% de 485 0, 025·485 12,125 3% de 34 0,03·34 1,02 48% de 9800 0,48·9800 4704 0,5% de 35000 0,005·35000 175
15. Calcula la incógnita en las siguientes expresiones:
10,5 ·100 3% 350 400 ·100 32% b) x% de 1250 400; x 1250 0,54 c) x% de 45 0,54; x ·100 1, 2% 45 8 d) x% de 40 8; x ·100 25% 40 1,96 ·100 3,5% e) x% de 56 1,96; x 56 990 ·100 90% f) x% de 1100 990; x 1100 16. Calcula la incógnita en las siguientes expresiones: a)
x% de 350 10,5;
x
a) El 5% de x es 25 42
x 25: 0,05 500
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
b) El 2,8% de x es 4, 2 x 4, 2 : 0, 028 150 c) El 35% de x es 241,5 x 241,5 :0,35 690 d) El 125% de x es 450 x 450 :1, 25 360 17. Calcula los siguientes porcentajes: a) El 7% del 5% de 150 0, 07·0,05 ·150 0,525 b) El 5% del 7% de 150 0, 05·0,07· 150 0,525 c) d) e) f)
El 12% del 53% de 1250 0,12·0,53·1250 79,5 El 53% del 12% de 1250 0,53·0,12·1250 79,5 El 24% del 35% de 3500 0, 24·0,35·3500 294 El 35% del 24% de 3500 0,35·0,24·3500 294
18. A la vista del ejercicio anterior, ¿qué es mejor, el 50% del 3% de 18 000 o el 3% del 50% de 18 000? Razona tu respuesta. Ambas cantidades son iguales ya que, si efectuamos la operación utilizando tantos por uno se trata de una multiplicación de tres factores. La propiedad conmutativa nos asegura que no importa en qué orden se haga esa operación: 0,50·0,03·18000 0,03·0,50·18000 270 . 19. Calcula los siguientes porcentajes: a) El 12% del 20% del 10% de 1200 0,12·0, 2·0,1·3500 2,88 b) El 2% del 5% del 3% de 2300 0,02·0,0 5·0,03·2 300 0,069 PORCENTAJES DE DESCUENTO Y AUMENTO 20. Si le hace un descuento del 15% a un artículo que cuesta 35 €, ¿cuánto te descuentan? Si se aplica un 15% de descuento, la cantidad descontada es: 0,15·35 5, 25€ . 21. En un establecimiento están haciendo el 12% de descuento. ¿Cuánto tendremos que pagar por un artículo que costaba 42€?
Existen dos formas de calcular el precio final: Podemos calcular el descuento como el 12% de 42 0,12·42 5,04 € y sustraerlo del precio srcinal, por lo que el precio final sería de 42 5,0 4 36,96 € . Alternativamente, podemos razonar que si descuentan el 12% la cantidad pagada será el 88% del precio srcinal, por lo que el precio final sería de 0,88·42 36,96€ . 22. Por un artículo que costaba 43 € he pagado 36,12 €. ¿Qué porcentaje de descuento me han aplicado? La cantidad descontada ha sido de 43 36,12 6,88€ y por tanto el porcentaje de rebaja ha sido: 6,88 ·100 16% 43 Alternativamente, podemos calcular el porcentaje que corresponde a la cantidad pagada: 36,12 ·100 84% 43 43
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
y, por tanto, el porcentaje de descuento ha sido del 100 84 16% . 23. Me han hecho el 12% de descuento por un artículo y he pagado 36,96 €. ¿Cuánto costaba el artículo sin rebajar? Puesto que el descuento ha sido del 12% , la cantidad pagada se corresponde con el 88% del total. Por tanto, el artículo sin rebajar costaba: 36,96: 0,88 42 €
24. Un empleado cobra 1 240 € al mes. Si le suben un 12% el salario, ¿cuánto cobrará ahora al mes? Podemos calcular directamente el resultado teniendo en cuenta que si le suben un 12% pasará a cobrar un 100 12 112% de lo que cobraba antes. Por tanto, su nuevo salario será: 112% de 1240 1,12·1240 1388,80 € . 25. Un empleado que cobraba 2 100 € al mes cobra ahora 2 247€. ¿Qué porcentaje ha subido s u salario? Puesto que
2247 ·100 107% , su nuevo salario es un 107% del anterior, por lo que la subida ha sido 2100
de un 7% . 26. Me han subido el 4,2%. Si ahora cobro 1 823,5 €, ¿cuánto cobraba antes de la subida? Puesto que el nuevo salario es el 104,2% del salario anterior, antes cobraba: 1823, 5 :1, 042 1750€ 27. Un artículo que cuesta 12 € lo subimos un 5% para después volver a rebajarlo un 5%. ¿Cuánto cuesta ahora el artículo? Para realizar la subida calculamos el 105% del precio srcinal y para la rebaja el 95% del resultado. Por tanto, debemos calcular el 95% del 105% de 12 : 95% del 105% de 12 0,95·1, 05·12 11,97 € . 28. A un artículo que costaba 36 € se le aplica un descuento del 15 % y luego lo subimos un 15 %. ¿Cuánto cuesta ahora el artículo? Para realizar la rebaja calculamos el 85% del precio srcinal y para la rebaja el 115% del resultado. Por tanto, debemos calcular el 115% del 85% de 36 : 115% del 85% de 36 1,15·0,85·36 35,19 € .
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 29. Calcula el interés simple que genera un capital de 2 000 € al 2,7 % de rédito durante 3 años. Aplicando la fórmula del interés simple, tenemos que: i
C · r· t
100
2000·2,7 ·3 162€ 100
30. Calcula el interés simple que genera un capital de 3 500 € al 8,4% de rédito durante 5 años. 44
Matemáticas 4º ESO Académicas
i
SOLUCIONARIO
C · r· t 3500·8,4 ·5 1470€ 100 100
31. Calcula el interés simple que genera un capital de 12 000 € al 4,5% durante 7 meses.
7 C· r ·t En este caso, t años. Por tanto: i 100 12
12000·4,5· 100
7 12 315€
32. Calcula el interés simple que genera un c apital de 34 000 € al 5,8% durante 15 meses. Hay que tener en cuenta que, en este caso, t
i
15 1, 25 años. Por tanto: 12
C · r · t 34000·5,8·1,25 2465€ 100 100
33. Calcula el interés simple que genera un capital de 450 € al 16% durante 20 meses. Hay que tener en cuenta que, en este caso, t
C · r ·t i 100
450·16· 100
20 5 años. Por tanto: 12 3
5 3 120 €
34. Calcula el interés simple que genera un capital de 23 900 € al 5,7% durante 300 días. Expresamos el tiempo en años: t
C · r ·t i 100
23900·5,7· 100
300 y aplicamos la fórmula del interés simple: 365
300 365 1119,70 €
35. Calcula el interés simple que genera un capital de 4 850 € al 7 ,2% durante 710 días.
i
C · r ·t
100
4850·7,2·
100
710 365 679,27 €
36. Calcula el interés simple que genera un capital de 3 200 € al 5,3% durante 10 mes es y 12 días. 10 12 Expresamos el tiempo en años: t y aplicamos la fórmula del interés simple: 12 365 10 12 3200·5,3· C · r ·t 12 365 146,91€ i 100 100 37. Calcula el interés simple que genera un capital de 12 000 € al 2,8% durante 2 años 6 meses y 10 días. 45
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
6 10 y aplicamos la fórmula del interés simple: 12 365 6 10 12000·2,8· 2 C · r ·t 12 365 849,21€ i 100 100
Expresamos el tiempo en años: t 2
38. Si un capital al 3,5% genera 175 € en 2 años, ¿qué cantidad de dinero es el capital invertido? Despejando en la fórmula del interés simple, tenemos que: i Crt· ·
100
C
i ·100 r·t
iC ·100 . Por tanto: ·r t
175·100 2500€ 3,5·2
39. Calcula el capital que obtendríamos a los 5 años y 7 meses e invertir un c apital de 35 000 € sin retirar los intereses cada año, con un interés del 8%. Puesto que no retiramos los intereses cada año, se trata de un interés compuesto, por lo cual:
r C C0·1 100
t
35000· 1
8 100
5
7 12
53787,83 €
40. ¿Durante cuánto tiempo tendremos que tener 5 000 € en el banco al 12% sin retirar beneficios para alcanzar una cifra de 6 272 €? El primer año obtenemos unos intereses del 12% de 5000 0,12·5000 600 € , por lo que pasaremos a tener un capital de 5600€ . Al finalizar el segundo año, los intereses son del 12% de 5600 0,12·5600 672 € , por lo que el capital acumulado es de 5600 672 62 72€ . Por tanto el tiempo que debe pasar para alcanzar ese capital es de dos años. Existe una forma de resolver este problema directamente aplicando la fórmula del interés compuesto: t
12 t 6 272 5000·1 6 272 1 0,12 1,12 1,t 2544 5000 100 Para resolver esta ecuación, calculamos el logaritmo en ambos términos: log1, 2544 log1,12t log1,2544 t·log1,12 log1,2544 t 2 log1,12
años.
Por tanto, tendríamos que tener los 5 000 € en el banco durante 2 años.
41. Cierta cantidad de dinero ha estado al 8% durante 6 años y medio; en la actualidad la cantidad asciende a 44 526 €. ¿Qué cantidad se invirtió inicialmente?
Aplicando la fórmula del interés compuesto, tenemos que:
C0 ·1
PROBLEMAS 46
6,5
8 44 526 100
C ·1, 0 08
44 526
6,5
44526 C0 1, 08
26999, 72€
6,5
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
42. Un vendedor recibe una comisión del 7% de las ventas. Si un mes obtuvo de comisiones 1 624 €, ¿cuál fue el importe de las ventas? 1624: 0,07 23200 € . El importe total de las ventas fue de 23 200 €.
43. Compramos una batería para el coche cuyo precio es de 76,26 €. Si nos han rebajado 16,74 €, ¿qué porcentaje de descuento nos han a plicado? Si hemos pagado 76,26 €, entonces el precio srcinal era de
76,26 16,74 93€ . Por tanto, el
16,74 descuento aplicado ha sido de: ·100 18% 93 44. En un comercio en el que se hace un descuento del 20% se han pagado 569,6 € por un televisor. ¿Cuál era el precio del televisor si descuento? Puesto que el descuento es del 20% , la cantidad pagada supone un 100 20 80% del precio srcinal. Por tanto, éste era de: 569,6 : 0,8 712 € . 45. Una entidad financiera cobra para cancelar los préstamos el 1,5% de la cantidad adeudada. Si queremos cancelar un préstamo de 15 000 €, ¿cuánto nos constará la cancelación?
Cancelar el préstamo costará el 1,5% de 15000 0,015·15000 225 € . 46. El día del espectador rebajan en el cine un 20% del precio de las entradas. Si el precio ordinario es de 3,6 €, ¿cuánto cuesta una entrada el día del espectador?
La rebaja es del 20% de 3,6 0,2· 3,6 0,72€ . El precio de la entrada es: 2 0,72 1,2 8€ . 47. Al comprar un frigorífico nos rebajaron 82,89 € y pagamos por él 469,71 €. ¿Qué tanto por ciento nos rebajaron?
82,89 ·100 15% 552,6 48. En un incendio se perdió el 75% de los sacos de cereales que había en el almacén y quedaron 450 sacos sin quemar. ¿Cuántos sacos había antes del incendio? El precio srcinal era 82,89 469,71 552,60€ . Por tanto, el descuento es:
Puesto que los sacos sin quemar se corresponden con el 100 25 75% del total de sacos, antes del incendio había 450: 0,75 600 sacos sin quemar. 49. Por un libro que costaba 23,75 € he pagado 19 €. ¿Qué porcentaje de descuento me han a plicado? La cantidad rebajada ha sido de: 23,7 5 19 4,7 5€ . Por tanto, el porcentaje de descuento aplicado 4,75 ·100 20% ha sido: 23,75 50. Una fruta contiene el 75 % de agua y el resto de azúcar. Averigua el peso de agua y de azúcar que hay en 400 g de fruta. 47
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Agua: 75% de 400 0,75·400 300 g. Azúcar: 25% de 400 0,25·400 100 g. 51. Un empleado gana al mes 1 083,6 € después de haberle descontado el 14%. ¿Cuánto cobraría si no tuviera descuentos? La cantidad cobrada representa el 100 14 86% del salario sin descuentos. Por tanto, si no los tuviera el salario sería de 1083, 6 : 0,86 1305,54 € . 52. Un empleado cobra el 16% del importe de las ventas realizadas. Calcula el importe de las ventas que ha de hacer para ganar 4 075,2 €.
16% de V 4075,2€
V
4075,2:0 ,16
25470€ .
53. En un rebaño el 32% de las ovejas son negras. Sabiendo que hay 48 ovejas negras, ¿de cuántas ovejas se compone el rebaño?
32% de Ovejas 48 O 48: 0,32 150 . Hay 150 ovejas en el rebaño. 54. Una tela, al lavarla, pierde el 6% de su longitud. Si después de lavarla mide 37,6 m, ¿cuántos metros medía antes? Después de lavarla mide el 100 6 94% de su longitud srcinal. Por tanto, antes medía: 37,6 : 0,94 40 m. 55. Al lavar una bufanda de lana, se estira y pasa de medir 85 cm a medir 88,4 cm. ¿Qué porcentaje ha aumentado la longitud de la bufanda? La bufanda ha aumentado 88,4 85 3,4 cm. Por tanto, el porcentaje de aumento ha sido: 3, 4 ·100 4% 85 56. Un litro de gasolina que costaba 1,02 € cuesta ahora 1,071 €. ¿Qué porcentaje ha subido el litro de gasolina? El aumento ha sido de 1,071 1,02 0,051€ , lo que se corresponde con un:
0,051 ·100 5% . 1,02
57. Un inversor compra unas acciones a 20,5 €. Al mes siguiente pasan a cotizarse a 21,73 €. ¿Cuál es el porcentaje de revalorización de esas acciones? El precio actual representa, en porcentaje, un
21,73 ·100 106% del valor srcinal. Por tanto, la 20,5
subida ha sido del 6% . 58. Unos pantalones cuestan 31,32 € (IVA incluido). ¿Cuánto cuestan los pantalones sin impuestos? 48
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
El precio de los pantalones es el resultado de aumentar el IVA del 21% al precio srcinal. Por tanto, 31, 32 € corresponden al 121% del precio sin IVA, que es igual a 31,32 :1, 21 25,88 € . 59. Un banco presta dinero al 5%. Si conseguimos un préstamo de 1200 €, ¿cuántos intereses tendremos que pagar al cabo de un año? Tendremos que pagar el 5% de 1200 0,05 ·1200 60 € . 8 900 € al 5,2 %. Al cabo de 10 meses y 8 días tenemos que retirar el ingreso. ¿Cuántos 60. Ingresamos intereses habrá generado el capital en este tiempo?
10 8 . 12 365 10 8 8900·5,2· C · r ·t 12 365 395,81€ Aplicando la fórmula del interés simple: i 100 100 En primer lugar debemos expresar el tiempo en años: t
61. Compramos un vehículo que cuesta 27500 €; y el concesionario nos ofrece pagarlo en 60 mensualidades de 541,1 € al mes. ¿Qué porcentaje de rédito pagaremos cad a año? Al finalizar el pago, habremos pagado un total de 60·541,1 32466 € . Si suponemos un interés simple y tenemos en cuenta que 60 meses son 5 años, entonces el interés pagado habrá sido de 32466 27500 4966 € . Despejando en la fórmula tenemos que
i Cr·t ·
ir ·100 y por tanto: 100 C · t i ·100 4966·100 r 3,6% 27 500·5 C·t
62. Raúl ingresa cierta cantidad de dinero en el banco al 5 %. Al cabo de 3 años ha conseguido 735 € de intereses. ¿Qué capital ingresó en el banco? Crt· · i ·100 C Si suponemos un interés simple, tendremos que: i . Por tanto: 100 ·r t
C
i ·100 r·t
735·100 4900€ 5·3
Luego la cantidad ingresada fue de 4 900 €.
63. Ana ingresa 4 500 € en el banco al 5,6%. Si obtiene unos intereses de 1 260 €, ¿cuánto tiempo tuvo el dinero en el banco? Suponiendo un interés simple y despejando en la fórmula, tenemos: i tanto el tiempo que se tuvo el dinero en el banco fue de: i ·100 1260 ·100 t 5 años. C · r 4500 ·5,6
49
Cr·t ·
100
i ·100 t y por C · r
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
64. A un empleado le descuentan el 2,5 % de su sueldo por error. Si le vuelven a subir un 2,5 % el sueldo, ¿sigue ganando el mismo salario? No, ya que cuando vuelven a subirle el sueldo el salario ha cambiado y por tanto el 2,5% ya no equivale a la misma cantidad sino a una menor. Utilizando los tantos por uno, podemos razonar que al bajarle el sueldo pasó a cobrar un 97,5% del salario inicial. La subida posterior le llevó a cobrar un 102,5% del salario después de la bajada. Por tanto, ahora cobra un 102,5% del 97,5% , esto es: 102,5% del 97,5% 1,025·0,975 99,9375% del salario inicial. 65. Si tenemos 3 500 € invertidos, con un rédito del 3 % mensual, ¿qué capital tendremos pasados 2 años? t
r Como 3 años son 36 meses, tenemos que: C C0 ·1 3500· 1 100
3 100
36
10143, 97 €
66. Si realizamos una inversión de 250 €, con un rédito del 5 % anual, sin retirar los intereses, ¿cuá ntos años pasarán para tener un capital de 289,41 €?
El primer año obtenemos unos intereses del 5% de 250 0,05 ·250 12,5 € , por lo que pasaremos a tener un capital de 262, 50 € . Al finalizar el segundo año, los intereses son del 5% de 262,50 0,05·262,5 13,125 13,13 € , por lo que el capital acumulado es de 262,5 13,13 275,63 € . El tercer año los intereses ascienden al 5% de 275,63 0,05· 275,63 13,7815 13,78 € por lo que el capital alcanza los 275,63 13,78 289, 41€ . Por tanto el tiempo que debe pasar para alcanzar ese capital es de tres años. Existe una forma de resolver este problema directamente aplicando la fórmula del interés compuesto: t
5 t 289, 41 t 250· 1 289, 1,05 1,15764 41 1 0, 05 250 100 Para resolver esta ecuación, calculamos el logaritmo en ambos términos: log1,15764 log1,05t log1,15764 t ·log1,05 t 3 años log1,15764 log1,05 Por tanto, tendríamos que tener los 250 € en el banco durante 3 años.
67. Realizamos una inversión de 3 000 €, sin retirar los intereses. Si al cabo de 5 años tenemos un capital de 4 207,66€, ¿a qué rédito hemos realizado la inversión?
Utilizando la fórmula del interés compuesto, tendremos que: 5
5
4207,66 r r 3000·1 4 207, 66 1 1 3000 100 100 Tomando raíces en ambos términos de la ecuación: r r 1 51, 403 1 1, 07 r1, 07 1·100 100 100
50
5
100
7%r
r 1, 403
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
68. Un inversor tiene un capital durante 10 a ños sin retirar los intereses con un rédito del 4 %. Si al cabo de estos 10 años tiene un capital de 6 661,10 €, ¿qué capi tal invirtió inicialmente el inversor? Utilizando la fórmula del interés compuesto, tendremos que:
10
4 6 661,10 10 ·1,0 04 6 661,10 4 500 € 6 661,10 C C0 10 100 1,04 Tomando raíz quinta en ambos términos de la ecuación: r r r1, 07 1 51, 403 1 1, 07 1·100 7%r 100 100 C0 ·1
DESAFÍO PISA - PÁG. 45 LLAMADAS INTERNACIONALES La compañía de teléfonos tiene tarifas especiales para las llamadas internacionales. Para conocer estas tarifas, dividen el mundo en varias zonas y en cada zona tienen cuotas de establecimiento de llamada distintas y cuotas al minuto que varían en función del país. A todo esto hay que añadirle los impuestos, que también varían en función del país al que se realiza la llamada, con lo que queda el resumen que se muestra en la siguiente tabla.
De esta forma, el cálculo de lo que cuesta una llamada se puede conocer realizando unos sencillos cálculos. Actividad 1. El establecimiento de llamada en la zona 2 es un B: 150% ya que
3,5 1,4
% más que en la zona 1.
1,5
1, 4 Actividad 2. Oferta de noviembre: el establecimiento de llamadas a la zona 7 baja un 10%. ¿Cuánto cuesta ahora? A: 6,885 ya que 90% de 7,65 0,9·7,6 5 6,885 Actividad 3. Una llamada de 5 minutos a un país de la zona 4 cuesta:
51
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
B: 3,60€ ya que 2,70 0,036·5 ·1, 25 3,60 Actividad 4. En la zona 3 están de oferta: tarifa plana para llamadas inferiores a 15 minutos a 2,50€.
¿Cuántos minutos tendremos que hablar al menos para que nos interese? C: 8 minutos; ya que, si dividimos entre 1,2 para hallar el importe de la llamada sin impuestos, restamos el establecimiento de llamada y dividimos entre el precio por minuto obtenemos
2,50:1, 2 1,95 :0,0185 7, 2
minutos.
Actividad 5. Pablo ha llamado a su ma dre, que está de viaje en la zona 7, y le ha costado la llamada 9,66€.
¿Cuántos minutos duró la llamada aproximadamente? C: 12 minutos; ya que, si dividimos entre 1,15 para hallar el importe de la llamada sin impuestos, restamos el establecimiento de llamada y dividimos entre el precio por minuto obtenemos
9,66 :1,15 7, 65 :0,06 25 12
minutos.
Actividad 6. Juan ha efectuado una llamada internacional por equivocación, por lo que le han facturado el mínimo, que ha sido 5,12€. ¿A qué zona llamó?
C: Zona 5, ya que el precio mínimo es la suma del establecimiento de llamada más el precio de un minuto (o fracción, en este caso) más impuestos: 4,10 0, 0265 ·1, 24 5,11686 5,12 €
52
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 3: Polinomios y fracciones algebraicas EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 52 1. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios: a) b)
2,8 x 2 y 1
xy
3
Coeficiente: 2,8 Coeficiente:
3 c)
x5
2 d) 2
1
Parte literal:
2
x y
Grado: 3
3
Grado: 4
Parte literal:
xy
Parte literal:
x5
3 Coeficiente:
1 2
Coeficiente: 2
Grado: 5
Parte literal: No tiene Grado:
0
2. Escribe tres monomios de grado 4 con indeterminadas x e y con la parte literal distinta. Podemos escribir monomios con cualquier coeficiente y de modo que la suma de los exponentes de las 2 2 3 x y indeterminadas x e y sea 4. Por ejemplo: 3 xy ; ; 2 x3 y
6
3. Calcula: a)
2 2 2 3 0 2 15 2 3 2 8 22 xy z xy 2z xy z xy xy z z xy z 5 4 20 20 20 20
5 3 22 x 3 · ·4x y 6
b)
xyz 63
3
x y z
x43 6y x y 12 3 d) 123x24 y z 3:16 xyz3 316x y 4 x y c)
3 x 2·y12
xy 36
60 63 10x y z 6
xy z
3
43
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 53 4. Indica el grado y nombra todos los coeficientes del polinomio P)x( Polinomio
53
P)x(
x3 4x6 5x x4 3x3
x3 4x6 5x x4 3x3
Grado
6
Coeficiente líder Coeficiente de grado 5
-1 3
Coeficiente de grado 4
-4
Coeficiente de grado 3
1
Coeficiente de grado 2
0
Coeficiente de grado 1
-1
Término independiente
-3
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
5. Escribe un polinomio de grado 5 que tenga por término independiente 3 y cuyo coeficiente de grado 2 es -5. Podemos escribir cualquier polinomio de la forma: )P(x ax bx 5cx
3x dx
5432
y a 0 . El ejemplo más sencillo es: Px() x 5x 3 5
a,b c, d,
2
con
.
6. Escribe un polinomio completo de dos variables de grado 3. Para que el polinomio sea completo debe contener al menos un monomio de grado 3, otro de grado 2, 2 y otro de grado 1 y término independiente. Por ejemplo: P(x) xy 5 xy6 2
x 7. Evalúa el polinomio Px() 23
x4 x 23x 5 2
en:
x 1 P(1) 2312 5 3 x 1 P(1) 2 31 25 13
x 2 P(2) 2·2
4
2 3·2 32 2·2 5 4
32 24 4 4 5
3
13
2
x 2 P ( 2) 2· 2 3· 2 24 4 4 5 69 2 2· 2 5 32
x 3 P(3) 2·3 4 3·3 33 22·3 5 162 81 9 6 5 x 3 P ( 3) 2·3 3·3 3 4
3
89
2· 81 9 9 5 3 5 162 2
266
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 54 8. Dados los polinomios Px( ) x2 x 2
a)
, Qx()
x 2x3 3x 2
4x y R()x2 x 2
2 x x22x x x 2 x2 x 4 2 2 x4 4
2 Px)( R()x
2 x 2 x 3 x3 22 x x·2 x x2 4
b) Qx()P (x)·R(x)
x 2x3 4x42 38x22 32x x 44 3x425 x 11x 7 x Rx() x 2 x 3 x3 ·22x x 4 2 c) Qx()· 3
, calcula:
2
x
x
x
3 x8 3 152x4 23x2 5 1x2 1 x1 12x 2 x5 4x 3 44 x43 22 2x 6 x
x
x
9. Realiza las siguientes operaciones de polinomios: a)
2x ·x 2
3 2x2 2 x3 22 5 1x x
x
4 3 x 225 x5 x3 23x 4 x2 x 2x 4 x4 2 4 x3 2 x 4 10 2 2 23 2 b) 2x x·3 2 x 3·3 1x 6 4 x3 2 x3 x 9 3x x 5
4
2 2 6 x3 4 x 3 22x 3 x x93 3x26 x10 12 x 3 x 4 3 2 x2 2 22 x3 2 2x4 33x 29x4 64 43x 2 x c) 2 x 3 x3 3
8 x x 4
3
9x
2
2 2 d) 3x2 2 x 3 2x x25 x 2 x x 5 4 32
54
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
4 x4 2 12 x03 5x5 43x3 42 x9 1 0 x 3x5 2 4x65 44x 3
x
x
SOLUCIONARIO
x
10. Opera: a) b) c)
2
3x 2 3 2x·3 2 9x 6 6 x 24 9 x 12x 4
x2
x
2x x 2 2x· x 4 x2 2 x x4 4 x x x x 2x x2 ·x2 · x2 x x2 2x 4 · x2 x
x
2
2
2
3
2
2
2
x2 34 x 44 · x2
4
2
2
3
2
3 2
4
2 3 3
3 2
4
2
3 x x3 4x 45 x44 52x6 8 86x 58 x 4 12 6 x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 55 11. Realiza las siguientes divisiones de polinomios: a)
6x
b)
3x
c)
6x
55
3
25 : 3 19 x 2 5x
4 x3 x3 3 2:3x 2
5 3 2
5
x
x
2 104 3x7 x5 3x52 :3x 2
x
x
x x
x x x
x x
x
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
6x
7
5 3 2 : 3x 2 1 36 x 4x 10 12 x 3 x 83 x3
x
SOLUCIONARIO
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 56 12. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas utilizando las identidades notables: a) b) c) d) e) f)
2
2x 1 4 4x 2 1 x 2 x 2 x 2 4x 4 2 2 9 x 2x3 4 x12 5x 25 2x 25 4x2 2
2 x 2 x 4 4 x 2 4
2x 32 3x 4 9
x2
13. Utiliza las identidades notables para escribir las siguientes expresiones en forma de producto o de potencia: 2
a)
x 2 6 x 9 x 3
b)
x2 16 x 4 4x
56
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
x 2 4 x 4 x 2
x3
x2
5x
d) 9 x 6 4 3 2x33 2 22 e) 4 x4 320 x 25
f)
1 x 2
4x4 4 x12 2
2
x
2
2
14. Extrae factor común en las siguientes expresiones:
x
a) 12 x 4 6 x24 x 26 3 x1 x43
b) 36x y 12 x y18 x6 y 6 x y2 x 3y 42
c)
24
3
2
2
3
2 6 xy 5 12 xy 2 xy10 x yz 3
3
2 2
x z
y
2 d) 18x x 5 12 x 5x 6 5 x3x 5 2 2
x
y
x
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 57 15. Realiza las siguientes divisiones utilizando el algoritmo de Ruffini: a)
x
4
1 : x 1
Por tanto, la división es igual a x 4 : 11 x x 31x 2 b)
x 3
2x 3 5x : 1 x 2
x
El cociente de la división es x 2 x 4 y el resto R 1. c)
2x3 x 3
2
1:x 3 x
Por tanto, el cociente es 2 x 2 3 x1 0 d)
57
2x
3
3:
2x
y el resto R 29.
y el resto R 0 .
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
El cociente de la división es 2 x 2 4 x 8 y el resto R 19 . e)
2x 3 3
x 2 : x2
x
El cociente de la división es 2 x 2 7 1 x 5 f)
2x
3
5 :x 2 2 x
con resto R 30 .
El cociente de la división es 2 x 2 x 2 y el resto R 4 . g)
2x2 4
x2 1:x1
x
El cociente de la división es 2 x3 2 x 2 1 y el resto R 2 . h)
x 7
x6 2 x3 1:
2x
El cociente de la división es x6 5 3x4 6 x3 122 x 26
x52 1 x04
y el resto R 207 .
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 58
4 16. Calcula el resto de la división x 3x23 x 2 3:x 1
x sin efectuar la división.
Según el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con el resultado de evaluar el polinomio en x 1 : P(1) 1 . Por tanto, el resto 34 1 2 13 1 32 132 1 3 8 es 8. 17. Realiza la división del ejercicio anterior y comprueba que obtienes el mismo resultado para el resto: Realizando la división por el método de Ruffini se comprueba el resultado:
58
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
18. Busca dos raíces enteras de los siguientes polinomios: a) 2 x3 x 2 7 x 6 El corolario al Teorema del Resto nos dice que las raíces enteras del polinomio dividen al término independiente. Por tanto, los candidatos a considerar son 1, 2, 3, 6 . P(1) 2 1 7 6 10 0 P (1) 21 76 0 P ( 2) 16 4 1 4 6 0 Por tanto, 1 y 2 son raíces enteras del polinomio. b) 3x 3 x 2 12 4x Los candidatos a raíz son 1, 2, 4 . Comprobamos: P( 1) 3 1 1 2 4 0 P (1) 3 1 12 4 0 P ( 2) 24 4 24 4 0 P( 2) 24 4 24 4 0 Por tanto, 2 y 2 son raíces enteras del polinomio. c) 2 x3 5 x 2 22 1x 5 Los candidatos a raíz son 1, 3, 5, 15 . Comprobando, se obtienen las siguientes raíces: P ( 1) 2 5 22 15 0 P( 5) 250 125 110 15 0 Los números 1y 5 son raíces enteras del polinomio. d) 2 x 41 1 x3 x 250 x 24 Los candidatos a raíz son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 . Comprobando, se obtienen las siguientes raíces: P( 3) 2·81 11·27 9 50·3 24 0 P( 4) 2·256 11·64 16 50·4 24 0 Por tanto, 3 y 4 son raíces enteras del polinomio. e) x 4 8x 2 9 Los candidatos a raíz son 1, 3, 9 . Comprobando, se obtienen las siguientes raíces: P ( 3) 81 72 9 0 P ( 3) 81 72 9 0 Por tanto, 3 y 3 son raíces enteras del polinomio. f) 2 x 4 3 x3 28 x 233 x 10 Los candidatos a raíz son 1, 2, 5, 1 0 . Comprobando, se obtienen las siguientes raíces: P ( 1) 2 3 28 331 0 0 P( 5) 1250 375 700 165 10 0 Por tanto, 1 y 5 son raíces enteras del polinomio.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 59 19. Factoriza los siguientes polinomios: 59
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
SOLUCIONARIO
x 3 2 x 2 5x 6 Los candidatos a raíz son 1, 2, 3, 6 . Comprobando, se obtiene que P (1) 1 256 0 y por tanto el polinomio es divisible entre x 1 . Realizando la división por Ruffini, se obtiene:
2 Por tanto, x3 2x 5 6x 1
x 6 x 2
.
x
Para hallar el resto de raíces del polinomio, resolvemos la ecuación x 2 x 6 0 :
x 2 x 2 1 x2 3 x 3 3 2 La factorización del polinomio es: x 2x5 6x 1 x2 x
1 24 1 5 1 2 2
3x
x
.
b) 2 x x 13 6x Los candidatos a raíz son 1, 2, 3, 6 . Comprobando, se obtiene que P ( 2) 16 4 26 6 0 3
2
y por tanto el polinomio es divisible entre x 2 . Realizando la división por Ruffini, se obtiene:
Por tanto, 2 x3 x2 136 x 22x 5 3 x 2
x
.
Para hallar el resto de raíces del polinomio, resolvemos la ecuación 2 x 2 5 3x 0 : x1 3 x 3 5 25 24 5 7 x 1 4 4 x2 2x 1 2
6 x 2 x 32 x1 La factorización del polinomio es por tanto: 2x x13 3
c)
2
x
3x 7 x 36 2x 0 Los candidatos a raíz son 1, 2, 4, 5, 10, 20 . Comprobando, se obtiene que 24 28 72 20 0 P( 2) 3
2
y por tanto el polinomio es divisible entre x 2 . Realizando la división por Ruffini, se obtiene:
Por tanto, 3x3 7x 2 362x0
2x3 13 x2 10
x
.
Para hallar el resto de raíces del polinomio, resolvemos la ecuación 3x 2 13 x 10 0 :
60
Matemáticas 4º ESO Académicas
4 2 169 120 13 17 x1 3x 2 6 3 6 6 x 2 5 x 5 3 2 20 x 2 3x 2 x5 La factorización del polinomio es por tanto: 3x 7 x36 x
d)
SOLUCIONARIO
13
x
x 4 3x 3 4 x
En primer lugar, sacando factor común se obtiene que x 4 3 3x4 x3 2x3 x4
x
.
Para factorizar x3 3x 2 4 , los candidatos a raíz son 1, 2, 4 . Comprobando, se obtiene que P (1) 1 3 4 0
y por tanto el polinomio es divisible entre
x 1 . Realizando la
división por Ruffini, se obtiene:
Por tanto, x 4 3x34 x x1 x 4 4 x 2
x
. 2
Podemos apreciar que el último factor es una identidad notable: x 2 4 x 4 x 2 y por tanto la factorización del polinomio es x 4 3x34 x 1x x2 x e)
2
x x 3x 5x 2 Los candidatos a raíz son 1, 2 . Comprobando, se obtiene que P (1) 1 13 5 2 0 4
3
2
y por tanto el polinomio es divisible entre x 1 . Aplicando Ruffini dos veces, se tiene:
Por tanto, x342 x 3x 52 x 12
x 22 x
x
.
Para hallar el resto de raíces del polinomio, resolvemos la ecuación x 2 x 2 0 :
x
1 18 13 2 2
x1 1 x 1 x2 2 x 2
3 3x 25 2x 1 x 2 La factorización del polinomio es por tanto: x 4 x 5
f)
4
3
3
x
2
x 2 x 11 x18 x4 8x En primer lugar,
2 x5 114 x3182 x4 8x 4
2x
3
sacando 2
factor x11 x 18 x 4 8 x
común x .
se
obtiene
que
Para factorizar 2 x 4 11 x318 x42 8 x , los candidatos a raíz son 1, 2, 4, 8 . Comprobando, se obtiene que P ( 2) 32 88 72 8 8 0 y por tanto el polinomio es divisible entre x 2 . Además, se puede comprobar utilizando el método de Ruffini que se trata de una raíz triple: 61
Matemáticas 4º ESO Académicas
x2 x1 La factorización del polinomio es 2 x15 14 1x 83 24x 8 x x 2
3
SOLUCIONARIO
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 60 20. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
x x 2 1
a)
x 1
xx
x2 2x 1
xx1
x 1
2
1 x 1
2 x 9 x 2 6 x 1 xx 3 1 xx 3 1 9 x3 6 x 2 x 9 x 2 1 3 1 3x1 3x 13 1 x3 1 x
b)
2x 2 9 x 5
c)
2
2x15 x 5 22 1 x x2
x
x
x 4 x 2 x 2 9 5 x 2 1 x 5 x Para realizar este último apartado hay que factorizar 2 x
.
21. Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas: 3 x3 x 1
x2 4
;
; x 24 4x 2 4
x2
x
En primer lugar debemos factorizar los denominadores para hallar su m.c.m.: x 2 4 x 2 x 2
x 2 4 x 4 x 2
2x 2 4 2x 2x x m..c2m x x2 2 x
2
2
2 Calculamos ahora las fracciones equivalentes 6 x x 212 6a las dadas con xeste 3 3 x denominador:
x2 4
2 x
x 3
3 x x 2 4 x 4 x 2 x 11
2 x 4 x2 2
62
x 2
2 2x 2x 2 2 x 2 x2
2 6 2 x x 2 x 3 2 x x 5x10 212 2222 2xx2 x 2 2xx2 x 2 2xx2x 2
2
x3
x
x 14 x 2 4 1 x 2 x 2 4 x x3 2 2 2x x 2x2x 2 2 x2 x 2 2 2x x 2 x
x2
x2
x 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 61 22. Realiza las siguientes operaciones de fracciones algebraicas y simplifica el resultado cuando sea posible: 2
2
x 3 x 39696 x 2 x 3 x3 3 x3 x3 3 x3 3 x 3 3x x 2 6 x9 x62 9 x 12 x x 33x 3 3x x x 33 x
a)
21x x x 44x 4 x 2
b)
2
x 2x 2
x x 2 2 2 x2 22 x
x 21 x 2 x2 22 x x
x
x
x
2 1 2x x
x
2 4x 2x x 2 2 x4 x2 3x32x x 2 2 2 x 2 2 x2 2 x
2
2
2
2
2
x 1 2 2 2 x x x 1 x x x1 x 1 1 x1 x
x11 x
x
2
x
x2
x
x 2 2x 2 2x
x 1
c)
x
x 1 x x x x 11x 1 1x 1x1 2
x
2
x x x
x
2 2
x 1 x x 1 x1
x x 2
x2 1 x x2 1 x x x x
2
x
x2 2 x x 1 x 1 2
e)
2
1x2 x1 x12 1 x x x x 2 x 4 x 2 4 x 1 x x 1 21 · 2 ·2 32 2 x13 6 x 2x 13 x 1 3 x 1 xx x2 1 3x x1 x
d)
2 x 2 12x 3 13 1x x x 242 x 2 x : : 3x 19 1x 2 3 1 3 1 x 3 1 x3 1 x2 2 x 2 x
f)
2 4 3 2 x4 3x2 2 x2 x442 x3 2 x 4 23x 3 3 3 3 2 3 x x x x x x x
x
x
x x
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 64 -66 POLINOMIOS 1. Simplifica las siguientes expresiones:
32 3 x2y 3x5227 x y y x 2y3 2x y x y x 4 4
y2 a) 5x 22y7
6 5
2 32 · · b) 3· 2 x· x yz x yz
c) 63
3a ·a b4
a5b
2ab
3
4
2
2·3·5 52 32x x 326yz x yz 6
4 a 3a5 3a5b a5 b4 ab a3 5 2 3 3 ab2 b 2ab
x y z 3
y
y
5 x y x 4
y
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
3xy 2 · 2 x3 y
32
32
8x y
SOLUCIONARIO
6 x 4 y 3 3xy 8x y 4
2. Dado el polinomio Px( ) x x x x 3 . 3
3 , evalúa el polinomio en x 1 ; x 1 ; x 2 ; x 2 ;
2
x 1 P(1) 1 13 123 11 1 3 4
3 x 1 P (1) 1 1
1 2 3 11 13 4
3
2
x 2 P (2) 2 2 3 8 4 2 3 1 2
x 2 P(2) 2 32 22 3 8 4 2 3 13
3
2
12 x 3 P(3) 3 3 3 3 2793 3
3. Escribe un polinomio de grado 5 que verifique simultáneamente: El coeficiente líder es 2. El término independiente es -1. El coeficiente de grado 2 es 1. No tiene término de grado 4.
x 5ax x3 1 bx 2
2) (x Podemos escribir cualquier polinomio de la forma: P todos ellos, haciendo a b 0 es Px() 2 x x 1 5
2
. El más sencillo de
OPERACIONES CON POLINOMIOS 4. Realiza las siguientes operaciones con polinomios: a)
x
2 x2 5x3 3x13 52 x4
x
32
x 3 2x 3x15 4x x 5 3 2
2
x4
3 2
x
x
x 7x1
32
x
x
2
3
2 2
3
· x x2 x 23
d) 1 x ·x x3 ·
1 x · x 2x 3 x 6 3x 6x2 3 2 2
3
2
x
2
3
3
2
3
x x
5. Dados los polinomios: Px() x 3x1 calcula: 2
a)
3
, Qx( ) 2x 33x
x
x
3x1 2 3x 3
2
x 2 x1 2 x2 2 3
x
x
x
x
x 2
3x 1 2 2x3 xx 2 Px() Qx()R (x) x x31 2
64
2 4
x
1 x x 2 3x 6 x3 x6 2 x x2 4 2x5 x 4
2
x 2·2
2
x x
x
x 9 x x x x 2 x4 6x 3 9x x3 x 6 23 x · x 22 2 x x 42 x 22x2 x332 x2 x 3
c)
x
b) 2·x x 22 3 x ·3 1· x 3 x2 4x2 63 2 3 x · x3 x
2
x
x
x
, R()x x2 1 x 2
y S ( x) x 3 ,
Matemáticas 4º ESO Académicas
b) Qx( )P x( S )·x( ) 2x x3 x 3 x31 ·x 2 3
3 3 x323x 2 3 x9 x3 3 2 x6 x53 x x x 2 x 2 2 c) Px( )· Rx( )Qx S ( x)· ( )x x 3 x1· x 2 1 x2 3 x 3x·
3 6 x 3 x 2 x 12x 6 x3 9 x x 2x x 2 8x 1 x 4 x3 3x 4
3 2
3
2
2
4
3
2
x
3
x
x
6. Realiza las siguientes divisiones de polinomios: a)
2 2 x5 54 x93 x19 x 1 x 16
b) 4 x 4 13 x3 25 x 2 11 1x0
c)
3 2 2 x5 34 x4 x 1 x x12 11
entre 2 x 2 3x
entre 4 x 2 x 2
entre 2 x 2 3x
IDENTIDADES NOTABLES 7. Utiliza las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones: a) b)
65
2
x25 x 5 x 2 10 2 2 x x 4 x 8 16
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
c)
x
d)
3x 2·3 2x 9 4 x2 x2 x 8· x8 64 x 2·2 x ·2 2 x 2x 4 4x 2 4 4x2 x
e) f)
2
3 x 4 6x 2 9
x2
8. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables: a) b) c) d) e) f) g) h)
2
2 4 3x2 9 x12 2 2 3x5 9 x30
2
x
25 x
2x x 4x 4x x x 5x 6 x 25 x60 36 2 3
45
2
3
6
2
2
4
6
x
2x3 4 x12 9 x 3x 4·3 4 x 3 4·3x 4 3 x4 2
2
9 x24 1 6
3x 4·4x 3 x 3x 4 ·3x 4 x 9 x16 3x 5·x53 x 3x 5 ·3 x 5 x9 x25 2
2
2
2
2
2
4 2
22
4 2
x x
x2
x
x
x
x
x
9. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables: 2
1 x 1 a) x x 2 4 2 16 2
2 b) 3x9 3
12 4 4 x 2 94x x 2 39 9
x
2
c)
4 12 9 4 9 2 33 6 x 4 2 x6 4 2x x x 3 x4 x 9 12 16 9 16 x x2 x x x
x
2 ·2 4 d) 2·2
2
2 2
2
4
2
3 9 6 9 e) x 1 x 2 1x 3 1 2 4 2 4 f)
3 3 2 3 32 6 4 4 x 3·x 4 3 x 16x 9
x2
x
x
x
9
10. Opera y simplifica utilizando las identidades notables: 2
b)
x2 x 2 x2· 2 x 4 4 x2 4 2x 4 x 2 2 3x1 2 3x·2 3 9x 6 1x42 9x 5 6x 210
c)
2x 5·
a)
66
5 2
2x1 x2 5·2 5 x4 2
x 4 1
x x2 x
2
x x
x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
42 1 x 4 26 x 4 x 2 25 4 x 2 2 d) 2 x5 x1 4 20 x 25 x3 2 1·2 x2 6 x9
25 x6 9 x4 1 x 4 x 20 x 2
2
2
x 26 17
2
4 1x 2
2
x16 4 x4 2 x9 f)
2
3x1 53
x
2
x9 x 14x 4 x 2
2 3
2
x 2 2· x x
2
x
2
x2
x
e) 2 x ·x3 4 x 4x4 x·3 4 2x 2 x·9 16 x 2 3
x
x
x2
x
x
9x2 6x1 25 4 30 x3 2 9 x4 2 4 x4 3 2 x x 2 4 3 2 4 2 6 1 x 25 3 0x9 x4 x 29 x 3x 0 x 6 1 x 9 x
x x 11. Expresa en forma de producto o de cuadrado utilizando las identidades notables: a)
4 x 2 4 x1 2 1 x
2
x 25 3 5x b) 9 x 2 30
c)
4 x2 1 2 1x· 2 1 x
d)
2 x 4 32 6 x 9x
e)
x4
f)
x4
g)
x2 x 4 x 1 2 1
2
x 3x 9 x 3· 3 x 6x 9 x 3 2
2
2
2
2
2
2
2 h) 81 4 x 9 2 · 9x 2
x 2
i)
2 x 4 6x 9 x 2 3
j)
25x 4 153 x29 x2 5 3x
x
2
12. Extrae factor común en las siguientes expresiones: a)
x6 x 4123 x2 2 x3 4 3 2 4
x
3
34
4 8x c) 12 x 2
3
4
2
2
4x 3 x2 2
ab
x
x
d) 4aa 4 6a a 4 8aa 4 2aa 2
2aa 4 a3 12 a 2 2
2
x
23
b) 9ab 6 ab18 ab 3 ab3 b2 6 a 2
4
23aa 4 4
REGLA DE RUFFINI 67
3 x 15 1 3 12 3 9 x x 1 1x 51 x 1 5 42 2 2 2 2 12 b a b a 4 a b a 8 b b 12 a 4 8 a b f) e)
x
x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
13. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones: a)
x
4
1 : x 1
Por tanto, la división es igual a x 4 : 11 x x 31x 2 b)
x
4
2 x 3 5x : 2 x 3
Por tanto, la división es igual a x 4 2 x33 5x: c)
6x
4
y el resto R 0 .
x
3 x7 1 x0: 3 x 2
2 x 3
x3
y el resto R 1.
24 Por tanto, la división es igual a 6 x 18x 51 x160 x 3 x 7 1x 0 : 3x3 2 6
resto R 490 . d) x 4 x3 4 x 24 2x : 3 x
y el
Por tanto, la división es igual a x 43 2 x 4x 4 x2: 332 x
4 x8 28x
x
y el resto
R 86. e) x5 4 x : x 1
5 1x Por tanto, la división es igual a x :4
f)
68
2x3 5
x4 : x 1 3
2
x
x
x 3x x
432
x
y el resto R 3 .
Matemáticas 4º ESO Académicas
2 Por tanto, la división es igual a 2 x5 33 x4 : 1x 22 x4 32
x5 5 x
x
x
SOLUCIONARIO
con resto
igual a R 5 . g)
x
8x 3 x7 6x: 3x x
7632
3 Por tanto, el cociente de la división es 3x 6 5 4x 3 x 9 2 x24 igual a R 729 .
x 243x 79
y el resto es
RAÍCES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO. 14. Determina el resto de las siguientes divisiones sin realizar la división: a)
2x 6x 3 5
4
x72 10x: 2 x
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P (2) 5
4
2
P( 2) 2· 2 6· 2 3· 2 7· 2 10 6 4 96 12 14 10 b)
3x
x Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P(1) 4
3 2 5 x4 2: x 1 4x
68
P 1 31 5 1 41 41 2 3 5 4 4 2 0 4
c)
x
5
3
2
3x : x 2
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P (2) 5
P 2 2 3 2 326 26 d)
2x3 5
x43 : x 21
x
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P(1) 5
3
2
P 1 2 1 3 1 4 1
2 3 4 5
15. Determina el valor de a para que el resto de la división sea cero: a)
4
3
x 4x 4
x : a2 x
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P (2) 4
3
P 2 aaa 32 8 24 0 24 2 4 2 4 2 a 16 b)
3x
4
3 2 5 x4 4x 2: x 1
x
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P(1)
P 1 31 5 1 41 41 2 3 5 4 4 2 0 4
la división es cero. 69
3
2
y por tanto el resto de
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
ax
4
x8 x3 4 4 : x2
SOLUCIONARIO
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P(2) 4 P a 2 ·2 8·2 3a 4·2 4 1a6 64 8 4 1 6
60
0 . Resolviendo la ecuación, se tiene que: Por tanto, el resto de la división es cero si 16a 60 60 15 16a 60 0a16 a 60a 16 4 16. Determina el valor de a para que el resto de la división sea -1. ax3 x9 x22 6 :x 3
Aplicando el Teorema del Resto, el resto de la división coincide con P (3) 2 P a3 ·3 39·3 2·3 a6 27 81 a0 a 27 a 81
17. Determina el valor de a para que el polinomio Px
x x a4
3
81 27
x3 x 2 2
4 verifique que
P 2 0 . Al evaluar el polinomio, se obtiene: 4
P 2 2 a 2
3
2
· 2 2· 2 4aa1684 4 4 4 3 2
Para que P 2 0 tiene que ocurrir, por tanto:
4a32 0 4a32 a a
32 84
18. Determina el polinomio de grado 3 que verifica:
P 1 P 2 3P0 P 2 8
x 2 y x 3 son factores de P x k x 1 x 2 x 3 .
, se tiene que x 1 ,
2 3 De la condición P 1 P P0
P x . Por tanto, el polinomio debe ser de la forma
La segunda condición afirma que P 2 8 y por tanto:
23 · 1· P 2 k 2 1 2 2 4·k1 4 8
k
de lo que se extrae que k 2 , de modo que el polinomio buscado es:
P x 2 x 1
x 3 x 2
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES 19. Extrae factor común y utiliza las identidades notables para descomponer los siguientes polinomios: a) 70
2 x43 2 x 2 2 x
2x 1x 22
x1
xx
2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x x
b) 24 x3 24 x26 6 4 x 4 x x12 6 x2 1 c)
2 24 3x6 544 2 x 43 3 x
2
x 18 x22 81 x3 2
42 d) 8x5 3 8 x2 2 x4 x4 x1 22 2x 1
2
9 x3 x
x
9
2
2
9x x
2
x
x
20. Descompón en factores los siguientes polinomios: a)
5
4
3
2
x 7 x 16 x 12 x 3 En primer lugar sacamos factor común: x5 74 x 16 x2122 3 x 2 x x7 16x 12 x 2 16 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 Los candidatos a raíces de Px x x 7x 3
3
2
Probando, se tiene que P 2 2 7· 2 16· 2 1 2 0
4 3 2 2 x 16 Por tanto, la descomposición del polinomio es: x5 7 x12
.
y dividiendo por Ruffini:
x
x 2 x 3
2
x
b) 2 x24 88 x3 x 2 x En primer lugar, sacamos factor común: 2 x 4238x2 8 2x 3x2 4x4x x Los candidatos a raíces de Px xx x 3
2
4
Probando, se tiene que P 1 1144 0
x
4 son 1, 2, 4 . y dividiendo por Ruffini:
2 2 x 2 . El cociente es una identidad notable: x 4 x
Por tanto, la descomposición del polinomio es: 2 2x 4 2 8 x3 8 x2 x1 2x x 2 x x c)
2 x 4 11 x3 9 x227 27 x Los candidatos a raíces son 1, 3, 9, 27 . Probando, se obtiene que P 1 P 3
71
0 y realizando la división por Ruffini:
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 x 32 x 3
2 La descomposición del polinomio es: 2x 4 11 x39 x27 27 x
d)
2
x 4 x 4 x 16 x 3 2 2 3 En primer lugar, sacamos factor común: x5 44 x 4 x x16 x 2 x 4 x 4 16 5
4
3
x
son 1, 2, 4, 8, 16 .
Probando, se tiene que P 2 P 2 0 y dividiendo por Ruffini:
543 x2 2 La descomposición del polinomio es: x 4x 4 16
x 2x x2 4 x
x
e) 2 x 413 x315 x2 5x Los candidatos a raíces de Px Probando, se tiene que
x 2 5 son 1, 5 . x 2 x41 3 x 315 P 1 P 5 0 y dividiendo por Ruffini:
4 3 15 La descomposición del polinomio es: 2 x1 3 x x25 x
f)
x 5x 9 x7 2 x 4 3 2 2 Los candidatos a raíces de Px x x 5x 9x 7 3
1 x 52 1x 2
x
2
son 1, 2 .
Probando, se tiene que P 1 0 . Podemos dividir varias veces utilizando Ruffini:
x2 2 x 1 La descomposición del polinomio es: x 4 5x39 7 g)
2x
3
5
4
3
2
4 2 x 6 5 6 x 13 x312 4x2 4 3
x 2x 6x 13 x 12 4x
Los candidatos a raíces de Px x x 6x 4
3
x
13 x 12 4 2
son 1, 2, 4 .
Probando, se tiene que P 1 0 . Dividimos usando Ruffini dos veces:
72
x
x 6 x 13 x 12 x4 x En primer lugar, sacamos factor común: 6
x
2
x3 4 x 2 4 1 6 Los candidatos a raíces de Px x
4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
2
El cociente es una identidad notable: x 2 4 x 4 x 2 y por tanto la descomposición del 5 4 3 x 13 x12 2 42x polinomio es: x 6 6
x 1x x2
2
2
x
h) x5 13x3 36 x En primer lugar, sacamos factor común: x5 313x 36 x4 2x x 13
x36
x 4x 132 36 son los divisores enteros de 36, esto es: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 .
Los candidatos a raíces de Px
Probando, se tiene que P 2 P 2 0 . Dividimos usando Ruffini dos veces:
2 3 x 3 y por tanto la descomposición El cociente es una identidad notable: x 9 x 5 x3 36 x x 2 x 2 x 9 9 x del polinomio es: x 13
x
FRACCIONES ALGEBRAICAS 21. Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas: a)
2 x 1 2 x x 1 x1 1 x1 x1 1
22x x x 32 x 1 x1 1 x1 x 2
b)
x x 2
x2 2 3 x 2 2 2x
2
73
2x 2 x
x2 x x x
x x
x33 2x 2 x 2 2x4 2 2 x4
21x 2 21 2 x 2 2 x1 4 x4 1 x21
x1 1x 1 1x
x 2 2 x3 23 2 4 x2 2 x x2 2 2x2 x 2 2 x x
x 2 x 2 c)
x x 1
x x
x
x2 x 2 x2
21 x
4 x 2 1 2 2x42 2 1 x x4 1 2 22 2 2x1 2 1 x 2 1 x2 1
2
x
x x
x x
2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 12 1x
21
x2
x x
x21
2
x
x
2
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
2
e)
x 11 212 x 2 x x11x 1 1x x
x 2 x1 2 x 1 x 4 x11x 1 1x 2
2
x 1 1 x1 x1 1
1 x1 x x 1 x1
2
x2
x
x
x
x x
x 1 2x 1 x1 2
x
x 2 x24
x
SOLUCIONARIO
x 1 x 1 2 x 1 x 2 2x 2x2 2 x 2 2x 2 x2 x
x
x
x
x
x
2
1 x 2 x 2 x 2 x2 2x 2 x 22 x x 2 2x2 x2 x 1 44x x 2 2x 2 2x2 2 x
f)
x 1
x 2
x
x3 2 4 4 1x x 2 2x x
2
x
x x
2x 3 x 2
2 x
x 121 1x x
3x
3
x
x 3 3
x221 2x 1 4 x 2 x
x
3
x
x
3
1 x 4 x3
3 2 4
2
x
x
x
x
x
x
x
22. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: 2 2 1 x1 x x x 212x x x 1 x x2 2 3 3 x x x3 x 3 x 3 x 3 2 x 3x 2 x 1 x3 x 1 2 3 x x 12 3x x x b) x 2 2 x 4 x2 2 2 x 2 x2 x x
x3
a)
x 1 x2 2 2 x2 x
x 2x x22 43 x6 x x x 2 2x 2 2x 2x 2
3x 2 3x 8 2 x x 2
2
c)
3 x 2 x 2 x2 x2 2
2
1 x2 x21 x 2 2x 2 x 2 x 2x x
74
x
x
2
2
x
x
3x 22 7 6 x 2 x2
2 2x 2 x x2x 2 x 2x x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x x
x x
x3 2 1x 2x2 1 2x236 24 x 2 x x 3 2x 2 x1 2 1 x 21 2x1 2 x1 2 1 x 2 1 2x1 21 x2 1
x
x
x
2 2 x x 2 2x 2 x x 2x x 2 2 x x 2 x x 2 2x x
d)
x2
2 2 x 2 x6 32x 4x2 x 4 x5 x 2 x12 1 x 2 12 1 x
x
x x
x2 x
x
x x
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
3x 5 2 x 3 x 5 x 2 9x3 3x 3 x3
2x
x
x 3 x3
x
2
2 x x 3 x 3 3 x3 3 x 3 x3 3 x
SOLUCIONARIO
x
x 5
x
x
2 x 26 x2 6 9 x x 5 222 6x 6 9 5x x 3 3 x 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x
x
x
x
x
x
2
x 11x 4 3 x 3 x f)
2 x 1 3x 3 1 2x21 3 x 31 x 2 x 3 x 9x 3 x 33 x
x x x 3x 2 1
2
32 1x x x
x 3 x 3 3x x3 x3 3
x x 3 3 x x 2x36 x x x x 3 3
2 2
x2
3
x
xx
x 36x 9 x 3 2
x
3
3x3 x
x3 3
x x
3 2 x73 23 x 3 2 2 x 3 x 6 x18 9x 27 x 3 x x x 3 3 x 33x x x33
g)
2 x 3 72 x33 2 x2 3x 6 x 18 x9327 x33 xx 3 x
2 2 5 2 x
2x x x 1 1 x
2x x x 1 1x h)
x 2 1 x3 x 1x 1 1 x
6 x 3 32 x12 1x
6x 3 32 1x 2 1 x
x
x x
x x
x 4 4x 11 x 27x x 3 x x
2 1x 1x
x x
x1 1 x x
x
3 2 55 x5 5 x 2 2x2 x x x x1 1 x x 1 1x x x
x
x 2 5 2 32 1 1x 32 12 x1 32 x1 2 12 x
2 x 2 2 5 4x x4 1 x 2 2 32 1 2 x1 x
8 x82 2 20 x 20 x 35 32 1 x 2 1 x
2
6x3 8 x822 x20 32 1x2 1
x x
3
202 x 5
3
x
23. Opera y simplifica si es posible:
75
5 x 2 x 1
1 25 x 1 25 4 x42 1 x6 3 x 232x 1
x x
2 5 1x1 1 xx x
2
x1 1x
2
x
2
2 x3 20 x 12
x2
x
2
3212 1
9x 1
x
x
x x
2
x x
2 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
11x x x 2 1 x 1 · 2 x x 2x 1 x
b)
1 1 x 1 x1 x1 x x 1 x 2 1 x 1 x · · 2 x 1 11x 2 1 x x2 x 1 x 1 x 2 1
·
11 1 x 1 x
2
a)
x 1
2
2
x 2 1 xx
d)
x x x 1
2
c)
2
2
2
2x1 32 1 x 3 x x x 32 12x x321 x 2 x x 2 x2 355 x32 2 x x x 42 2 2 x x x : 3 2 : 2 4 3 3 2 xx 2 x4 5 3x 2 x 2 x53 x x x x 4 2 4 x3 x 2 2 41x4121 x 2 x : x 2 3x96x 2 3 x
x xx
SOLUCIONARIO
:
2
e)
b a b a b a b a b2 a2 b a bab a · · b a a6b2 ba 3a2 b 32 ab b a 32 a b
f)
2 3 22b3a b 2b a b2 2 ba b 4ab3 4 2b ab 2 b : : 2 a2 ab a b 2 aab a a b a b
2
24. Opera y simplifica: a)
b)
x
2 x x6 2 x x 3 : x2
c)
11 1 1x x 2 x x 1 : x : x x 1 x 2 x 1x 1 x x 1 1 1 x 1 x x x 1 6 6 x 6 x2 x :1x x 3 x3 6 3 x 6 3 x 6 x x 2
6 x 36 36x 4 3 x 4 3 x 6 x 3x x63 6 x x 3 6 x x x
·
x 2 2x 1
x 23 41 x5
x 31 1x3
5x
·
76
x x2 x x
2
1 x 2 x 1 x1 x 2 x x
x2 x x x 1 x1 2 x
x 1 x2 4x 4 1 x1 x 2 x x
x2 x x x 1 x1 2 x
x 2 x3 2 x 24 x4 x4 4x x x 11x 2 x
x 24 x 4 x 4x 4 x 1 x1 x2 x x
32
32
2
2 x x 2 1 1x 2x 1x 2 x1 x
x x 1
x x
x x 1 x 1 x1x125 x 1x 5 x x
x x 1 x1 2 x
x3 x
x
1 1 1 x 1 2 : 2 d) 2 2 2 4 1 2 x x x x x x 1 2x 2 2x 1 x 1 x2
x
1
2
x
x2 x x
x
x
x 2 4 x 1 1 x2x
x x
x x
:
x 1 x x
x x
x
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
f)
x
2x2
x x 2 1 2x2 2x2 22 x
x x 3 1 x 2 x 2 2 5 x 2 x 4 4x 2 2x
x x 22 1x
x 2 21x 2
x 12 x
x
2
x
x
x x x x x x
x x
x x
x2 2 x3 6x 1 x 2 x 2 2 2x 3 x 9 x2 2 2 x x 2 2 x
3x 1 22x 1 x
x x x
x
x
x 2
2
3 x 2 x 12 1 x x 2 2 2 x2 1 x22 1 x x
2 x325 x22 x 2 x3 622x 2 2 x 2 21x 2 x2 1
x
5x 2 3x 1 x15 2 5 3 2 15 x 35 x2 2 x2x x2 2 xx22 x
312 x x 31 x 1 x x x 2 x 24 2 x 2 2 x 2 x2 x 2 x x x 22 36x2
g)
5 x 3x 1
x2 5 x2 x 2 x : x 3 4 x x23 1 x 2 2x x 2 2x x2 x x 2 2x
SOLUCIONARIO
2 x532 x22 x 2x3 62 2x 2
x 221
x2 1
x22 1
x x
x 2
x x
x 6 x7 x 2 1322x6
221
x
x
x
x
2
x
x
PROBLEMAS 25. Con un cartón cuadrado de 1m de lado se pretende construir una caja, de altura x , recortando las esquinas y doblando como se muestra en la figura.
Expresa mediante lenguaje algebraico el área de la caja y el volumen de ésta. En primer lugar, notemos que la longitud del lado de la caja será 1 2 x . El área de la caja puede calcularse como la suma del área del cuadrado que forma la base AB y de cada una de las paredes laterales AP (ya que por su diseño carece de tapa):
Acaja AB
2
A 1 2 x41 2 x 1 44x 4 4P 8 x 1x42
x
x2
En cuanto al volumen, podemos calcularlo como el área de su base por su altura:
Vcaja A hB · 1x2x· x x 2 77
3
x2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
26. Álvaro ha hecho los ejercicios de matemáticas, pero cuando iba al instituto se encuentra con que la libreta se ha manchado y tapa la solución de uno de los ejercicios. El polinomio que había escrito, según Álvaro, cumplía las siguientes condiciones: Era de grado 2 Era divisible entre x 3 . 1 era raíz. El resto de dividir el polinomio entre x 5 era 10. ¿Podrías encontrar el polinomio y ayudar a Álvaro?
Las tres primeras condiciones nos permiten afirmar que el polinomio tenía la siguiente forma: P x ax x 1 3 donde a . Aplicando el Teorema del Resto a la última de las condiciones, sabemos que P 5 10 . Puesto que P 5
10 a , podemos concluir que 12a 10 a 12
a 51 5 3 12
5 . 6
El polinomio perdido es, por tanto:
5 5 5 555 2 P x x x 13x xx 3 2x3 x 2 x3x 2 6 6 6 623 27. Expresa en lenguaje algebraico la siguiente afirmación: "La edad que tenía hace 5 años es la mitad de la edad que tendré dentro de 6". Llamando x a la edad actual, hace 5 años tenía x 5 y dentro de 6 tendré x 6 . Así: 1 x 5 x 6 2 DESAFÍO PISA - PÁG. 67 POTENCIA FISCAL DE UN VEHÍCULO La potencia fiscal de un vehículo se utiliza para determinar el impuesto de vehículos de tracción mecánica. El cálculo de la potencia fiscal del vehículo viene determinado en el anexo V del Reglamento General de Vehículos, aprobado por el R. D. 2822/1998, de 23 de diciembre. Para motores de combustión, la fórmula es:
CVF PN· · 0,785· D R 2·
0,6
Siendo:
N : el número de cilindros. D : el diámetro del cilindro en cm.
R : el recorrido del pistón en cm. P : una constante adimensional que toma el valor: 0,08 para motores de 4 tiempos. 0,11 para motores de 2 tiempos. 2
C D El volumen de un cilindro será: V · R · 0,D R785· · 2 N 2 Donde C es la cilindrada del vehículo. Conociendo la cilindrada del vehículo y el número de cilindros podemos c alcular la potencia fiscal. La potencia fiscal la podemos encontrar en kW, que es la medida en el Sistema Internacional de Unidades. 78
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Para hacer el cambio de unidades, tendremos en cuenta que 1 CV = 0,735 kW. Actividad 1: La potencia fiscal de un vehículo de 4 tiempos de 1800 cm 3 y 6 cilindros es de: 0,6
A: 14,71 CVF ya que, aplicando la fórmula: CVF P ·N ·V
0,6
1800 0,08·6· 71 14, 6
Actividad 2: Un coche con motor 4 tiempos de 6 cilindros tiene una potencia fiscal de 13,18 CVF; la cilindrada del vehículo es aproximadamente de: 0,6
C: 1500 cm3 ya que, aplicando la fórmula: CVF P ·N ·V
0,6
1500 0, 08·6· 13,18 6
Actividad 3: Un vehículo con potencia fiscal 11,54 kW tiene una potencia fiscal en caballos de vapor de: B: 15,7 CVF ya que 11,54 kW 11,54: 0,735 15,7 CV Actividad 4: Un ciclomotor de 2 tiempos tiene una potencia fiscal de 1,14 C VF; la cilindrada del ciclomotor es de: B: 49 cm3 ya que, aplicando la fórmula, tendremos que CVF P ·N ·V
0,6
0,11·6· 49
0,6
1,14
(un
ciclomotor tiene un motor de un solo cilindro). Actividad 5: Si en mi pueblo se paga a 8,42 € el CVF, por mi coche de 1 500 cm 3 y 4 cilindros debo pagar: B: 94,38 € ya que al aplicar la fórmula con motores de 2 y 4 tiempos, esta es la única opción que cuadra. 0,6
CVF ·8,4 2 P N · V·
79
1500 38€ ·8,4 2 94, 4
·8,4 2 0,0 8·4·
0,6
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 4: Ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 72 1. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones sin utilizar ningún método de resolución de ecuaciones: a)
x 2 225 x 15
b) 3x3 81 3x c) 5 x20 2 x d)
x x 10 0 x
1 ó x
x 1 e) 2 256 x9
f)
x 5
x
1 00 000
x 5
2. Comprueba que x 1 es una solución de la ecuación 3 x x 2 3 . 2
Si sustituimos x 1 en ambos términos de la ecuación, obtenemos: 2
3 1 1 3 2 22 4
1 3 4
Puesto que ambos valores son iguales, x 1 es solución de la ecuación EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 73 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
2 x1 3
2x 4 3 2x1
x
2 x1 3
2x 4 3 2 x1
x
2 x 13 x6 4 12x2 2 2 x 3 x4 x2 1x6122 3x 3
3 x 1 3 2x 3 5 x b) x 2 6 4 12 x 2 2 x 3 3 5 x24 12 12 12 12 12 x 2 2 x3 35 24x 12 x 4 x 6 15 3 24 x 12 x 4x 3 x 15 24 6 x
80
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
11x 33 33 x 3 11 23 x 1 2 x 3 2 x c) x 5 1 0 2 34 x 1 2 x 10 x 325 x 10 10 10 10 x
x 5 43 x1 2 10 3x 2 12 4 x 1 2 x10 x15 10
x x
4 x 2x 10 x10 x15 12 1 2 x 4 4 x 2 2 3x 2 x 5 231x 1 x d) x 4 6 8 2 3x 2 x10 3 1 x2 1x x 4 6 8 2 3x x 10 1 2 x1 0 x 4 6 8 2 18x 4 x 40 3 6 24 12x x 24 24 24 24 24 18x 4x40 3 6 24 x 12 x 0 x
0 0
0
18x 4x6 x 24 x40 3 12 40 x 55 x
55 11 x 40 8
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 74 4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a)
2 x 2 5 3x 0
2
b x
b ac 4 2a
5 2524 5 49 44 4
57
5 7 2 1 4 4 2 5 7 12 3 4 4
x1
x 2
b) 3x 2 13 x 10 0
b b 2 ac 4 13 169 120 13 x 2a 6 6 6 81
289 13 17
13 1 7 30 x 5 1 6 6 17 4 2 x 13 2 6 6 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
x2 2x 3 0 b b 2 ac4 2 4 12 2 16 2 4 x 2a 2 2 2
d)
2 x 3 6 0 x x 2 3x 2 x660 x2 x 0 x x 10
e)
2x 1 x2 3
0; x1 1 x2
16x
2 x 2 4 x x2 3 16 x 2 x 2 4 x x3 2 x16 0 2 x 2 18 0 2 x 2 18 x2
18 2
x 2 9 f)
x
9
x
3
4x 2 x2 2 1 x 2
4 x 2 2 x 4 x2 x 0 2 x 2 4x 4 x2 2 x 0 2x2 x 0 x2 1x g)
0; x1
x 4 x 3 1 12 2
1 2
x2
x
x 4 x 6x9 1 12 2
x
6 x 12 x x x 4 9 1 0 2
x 2 19x 6 0 x 2 19 x 6 0
x h)
19 361 24 19 337 2 2
2x1 3x 3 7x3 2
4x 4 1x 9x 73 2
2
4 x x 4 x3 19 x70 2
2
3x 2 7 3x 0 82
19 337 x2 2 x
x
19 337 x1 2
24 x1 2 4 x 2 2 2
6 2 2 2
3 1
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x
7
49 36 7 6
13 6
SOLUCIONARIO
7 13 x1 6 7 13 x 2 6
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 75 5. Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
x2 2x 8 0 El discriminante es igual a b 2 4ac 4 32 28 . Como 0 la ecuación no tiene ninguna solución. b) x 2 4 x 0 Puesto que b 2 4ac 16 0 , podemos afirmar que la ecuación tiene dos soluciones. c) x 2 3x 5 En primer lugar traemos todos los monomios al primer término: x2 3x 5 0 . Observando el discriminante, 9 20 0 , concluimos que la ecuación no tiene ninguna solución. a)
6. Escribe una ecuación de segundo grado con soluciones x 1 y x 3 . Como x1 x2 2 y x1 · x2 3 , haciendo a 1 tendremos que:
2 2 b b
3 c 3 c a a Así, la ecuación x 2 x 3 0 tiene como soluciones x 1 y x 3 . 2
7. Determina el valor de d para que las siguientes soluciones tengan una única solución: a)
dx 2 4 x 1 0 El determinante de la ecuación es 4 4d . Para que tenga una única solución debe ser nulo, y por tanto: 44 0d 44 d 1d
b) x 2 10x d 0 El determinante de la ecuación es 100 4 d . Para que tenga una única solución debe ser nulo, y por tanto: 100 4 d0 4 100 d 25d c)
x 2 dx 9 0 El determinante de la ecuación es d 2 36 . Para que tenga una única solución debe ser nulo, y por tanto:
d 2 360
83
2 d36
d36 6
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 76 8. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a)
x 4 15x 2 50 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: z 2 15z 50 0 15 5 z 10 15 225 2 00 15 25 15 5 1 2 z 2 2 2 z2 15 5 5 2 Deshaciendo el cambio:
2 x 10 x 10 2 x 5 x 5 b) 4 x 4 11 x 23 0
Soluciones: 10,
10, 5,
5
Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 4 z 2 11 z 3 0
z
11
121 48 11 169 8 8
Deshaciendo el cambio: 1 2 1 x x 2 2 4 x 3 x c)
11 13 2 1 z 1 8 8 4 11 13 24 z2 3 8 8
11 13 8
Soluciones: 1 2, 1 2
6 x 4 17 x2 5 Reordenamos y realizamos el cambio z x 2 para obtener: 6 z 2 17 z 5 0 17 1 3 30 5 z 17 289 120 17 169 17 13 1 12 12 2 z 1 12 12 12 z 17 13 4 2 12 12 3 Deshaciendo el cambio:
2 5 x x 2 x 2 1 x 3 d) 6 x 4 x 2 1 0
5 2 1 3
Soluciones:
5511 , , 2233
,
Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 6z 2 z 1 0 1 5 4 1 z1 12 1 2 3 1 1 24 1 25 1 5 z 12 12 12 6 1 z 1 5 2 12 12 2
84
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Deshaciendo el cambio:
2 1 x x 3 x 2 1 x 2
1 3
Soluciones:
1 1 , 3 3
9. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a)
x
2
5x x3 1x0
2 x 5x 0 5 x0x 0 x x3 x 5x x3 10x 30 0 x 1 0 x4 1 2 2 2 b) 6 x 24 x 2x 1 0x
5 x1
x2
2
6x 24 2
2
x2 2 x1 0x2
6 x 2240 6 2 4 x 2 4 x 2 2 1 1 8 1 3 2 0x x x 2 2 2 x 2 1 0 x 1 x
x
x2 x 1
c) 12 x 4 2 x32 x02 Sacando factor común, se obtiene: x2 0
2 x 26 x 2 1x0
d)
x0
2 6 x x 1 0
1 x
6 1 x 124 1 5 12 2 4 1 12 12 x 12 3
x 6 36x 2 0 Sacando factor común, se obtiene: x 2 x 4 36 0 Podemos factorizar el polinomio utilizando las identidades notables: x 2 x 2 6 x 2 6 0 Por tanto, debe ocurrir una de las siguientes opciones: O bien x 0
x0
2
o bien x 6 0
x2
2
x 06 6 x 6
2
o bien
x
6 (no es posible)
2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 77 10. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
2 x 7
x6 0
Aislamos la raíz en uno de los términos:
2x 6 7 x 85
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Elevamos al cuadrado:
2 x 6 7 2
x
2
4 x 2 24 x 36 49 x Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida: 4 x 2 24 x 49 x36 0 4 x 2 25 x 36 0 25 625 576 x 8
25 49 8
25 7 x1 8 x 25 7 2 8
25 7 8
32 8 4 18 9 8 4
Debemos comprobar las soluciones:
x1 4 2·4 7 4 6 8 7· 2 6 8 14 6
9 x2 4 b)
0
9 9 9 3 9 21 12 2· 7 6 7 · 6 0 4 4 2 2 22 2
Es solución de la ecuación
Es solución de la ecuación
5 x 5x
1 x
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 2 5 x 5 x 1
x 2 2 x 1 2 5
x
x2
x 2 x 2 2x1 25 0
2 x 2 2 x24 0 Para facilitar la resolución de esta ecuación, podemos dividir todos los términos por 2: x 2 x 12 0 1 7 6 x 3 1 1 48 1 49 1 7 1 2 2 x 7 8 2 2 2 x 1 4 1 2 2 Comprobamos las soluciones: x 3 3 1 1
53 5 3; 4 16
5 4 54;
x1 4 41 c)
3 9
4 8 x 8 x Elevamos al cuadrado ambos miembros: 2
16 8 x8
2
x
16 8 x 8 2 8x 16 8 x8 2x8
0 2 6 4 x
2
8
8 x
x
x
2
0 64 x 2 Elevando de nuevo al cuadrado, se tiene que: 86
Es solución de la ecuación
x
Es solución de la ecuación
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
0 64 x 2 x 2 64 x 64 x 8 Comprobamos las soluciones:
x18 4 88 88 4 16 x2 8 4 8 8 8 8
4 16
Es solución de la ecuación
Es solución de la ecuación
11. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
x2 2x 0 x2 x 3 Para que una fracción sea nula, el numerador debe ser igual a cero. Por tanto: x 0 x 2 2 x0 x2x0 x 2 Debemos comprobar la validez de las soluciones asegurándonos de que no se anula el denominador: x 0 x2 x330 Es solución de la ecuación
x 2 2 22 3 30 8 3 b) 3 2 x
Es solución de la ecuación
x
2
3x 8 x 3 x2 x 2 x2 2 3x 8 3x 0 x
8
64 36 8 6
100 6
8 10 6
8 10 2 1 x 1 6 6 3 8 10 18 x 2 6 6
3
Puesto que ninguna de las soluciones anula el denominador, ambas son válidas. 2x 2x 5 c) 1 x2 1 x 1 2 x51 x 1 1x x 2x
1 x1 x
1 x1
2x 2 x22 5 x5 x 1
x1 1 x x x2
2
x 5x 6 0
5 25 24 5 1 5 1 x 2 2 2
5 1 6 x 3 1 2 2 5 1 4 x 2 2 2 2
Puesto que ninguna de las soluciones anula los denominadores, ambas son válidas.
87
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 78 12. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones u tilizando el método de sustitución: a)
36 y 3x6 y 2 x 5 y 13
x
Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación se obtiene:
2 x 53 x 6 13 2 x 15 x 30 13 2 x 15 x 30 13 17 x 17 x1 Hallamos ahora el valor de y utilizando la ecuación despejada: y 3x636 3 x 1 Por tanto, la solución del sistema es: y 3
2 x 3 y 11 x y y 5 27 x5 27
b)
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación se obtiene: 2 5 y 27 3 y11
10 y 54 3 y 11 10 y 3 t 11 54 13 y 65 65 y 13
y
5
Hallamos ahora el valor de x utilizando la ecuación despejada: x 5 y 27 2 5 27 2 x 2 Por tanto, la solución del sistema es: y 5 c)
2 x 5 y11 x 3x 4 y 5
5 y 11 2
Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación se obtiene: 5 y 11 3· 4 5y 2 15 y 33 8 y 10
2 2 2 15 y 33 8 y 10 15 y 8 y 10 33 23 y 23
y 1
Hallamos ahora el valor de x utilizando la ecuación despejada: x Por tanto, la solución del sistema es: 88
x 3 y 1
5 y 11 2
5 11 6 2
2
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 79 13. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de igualación:
a)
2 1 y 2 x y1 3x 2 y12 y
x
3x 12 2 Igualamos ambas expresiones y resolvemos para x : 1 2 x 3 x 12
2 2 4 x 3 x12 2 2 2 4 x 3 x12 2 12 4 x3 x
14 147 x x 2 7
Hallamos ahora el valor de y : y 12 x14 3 x 2 Por tanto, la solución del sistema es: y 3
2 x 3 y 7 x b) 5x 2 y 11 x
.
3y 7 2
2 y 11 5
Igualamos ambas expresiones y resolvemos para y : 3 y 7 21 y1
2
5 15 y 35 4 y22 10 10 15 y 35 4 y22 15 y 4 y 22 35 19 y 57
y
57 3 19
Hallamos ahora el valor de x : x
3 9 7 2 y7 2 2 2
Por tanto, la solución del sistema es: x 1 y 3
2 x 3 y 0 y c) 4 x 3 y 6 y
2x 3 4x 6 3 Igualamos ambas expresiones y resolvemos para x :
89
1.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
2x 4x 6 3 3 2x 4x 6
2x
6
x
3
2 x 6 3 3 x 3 Por tanto, la solución del sistema es: y 2 Hallamos ahora el valor de y : y
2.
14. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de reducción: a)
6 x 4 y 8 4 x 3 y 23 Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 4 para obtener: 1 2 y 24 18x
16 x 12 y 92
Sumando ambas expresiones, queda: 34 x 68 x2 Sustituimos el valor de x en la primera ecuación para hallar y : 6 x 4 y 8
12 4 y 8 4 y 20
y5
Por tanto, la solución del sistema es:
x2 y 5
3x 4 y 16 b) 4 x 3 y 19 Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 3 para obtener: 12 x 1 6y 64
12 x 9 y 57
Sumando ambas expresiones, queda: 7 7 y 7 y 1 7 Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación para hallar x : 4 x 3 y 19
4 x 3 19 4 x 19 3 16 4 x16 x 4 4 Por tanto, la solución del sistema es:
90
x 4 y 1
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
2 x 3 y 9 4 x 5 y 19 Multiplicamos la primera ecuación por -2 para obtener: 4x 6 y 18
4 x 5 y 19
Sumando ambas expresiones, queda: 1 y y 1 Sustituimos el valor de y en la primera ecuación para hallar x : 2 x 3 y 9
2 x 3 9 2 x 9 3 2 x 12
x
12 6 2
Por tanto, la solución del sistema es:
x 6 y 1
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 80 15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: 2
a)
2
2 x2 y 2 1 3x 2 y 30 Usaremos el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2: 2 2 4 x 2 y 2 2 2 3x 2 y 30
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 7 x 2 28
x2
28 x2 4 x 7
2
Para cada una de los valores de x hallamos su correspondiente valor de y utilizando la primera ecuación del sistema: 2 x 2 y 2 1 2
2· 2 y2 1 8 y 2 1
y 2 1 8 y 2 9
y 2 9 y
3
(Obsérvese que, puesto que x aparece elevada al cuadrado no ha sido necesario distinguir entre su signo positivo o negativo).
Por tanto, el sistema tiene cuatro soluciones:
91
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
x1 2 y 1 3 x2 2 y 2 3 x3 2 y 3 3 x4 2 y 4 3
x 2 y 2 2x 9 b) 3x y 7 Despejamos y en la segunda ecuación: y 3x 7 y sustituimos su valor en la primera: 2
x 2 3 x 7 29 x x 2 9 x2 42 x49 2
9x
x 9 x 42x 2 x49 9 0 2
2
10x 2 40 x 40 0 Podemos facilitar la resolución de esta ecuación dividiendo todos sus términos por 10: x2 4x 4 0 Resulta una identidad notable:
x 2 0 2
20x 2 x
Hallamos el valor de y utilizando la expresión despejada: y 3x7 y 6 71 x 2 El sistema tiene una única solución: y 1 c)
x 2 y 2 40 xy 12 Despejamos y en la segunda ecuación: y
12 y sustituimos su valor en la primera: x
2
12 40 x 144 x 2 2 40 x2
x
x4 x
2
144 x
2
40 x 2 x2
x 40 x 144 0 Obtenemos una ecuación bicuadrática. Para resolverla, hacemos el cambio z x 2 : z 2 40 z 144 0 4
2
40 1600 5 76 z 2
40 1024 2
40 3 2 2
Hallamos los valores de x deshaciendo el cambio:
x2 36 x 36 x6 x2 4 x 92
4 x
2
40 32 72 z 36 1 2 2 z 40 32 8 4 2 2 2
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Para cada uno de los valores de x debemos hallar el valor correspondiente de y :
12 2 6 12 x2 6 y2 2 6 12 x3 2 y3 6 2 x1 6 y1
x4 2 y4
12 2
6
x2 2 y 2 6 xy 2
d)
Despejamos y en la segunda ecuación: y
2 y sustituimos su valor en la primera: x
2
2 6 x 4 x 2 2· 2 6 x2 2
x
x4 x
2
8 x
2
6x2 x2
x 6x 8 0 4
2
Obtenemos una ecuación bicuadrática. Para resolverla, hacemos el cambio z x 2 : z 2 6z 8 0
6 36 32 6 4 6 2 z 2 2
2
62 8 z 4 1 2 2 6 2 4 z 2 2 2 2
Hallamos los valores de x deshaciendo el cambio:
x2 4 x
4 x
2
x 2 2 x 2 Para cada uno de los valores de x debemos hallar el valor correspondiente de y : 2 1 x1 2 y 1 2 2 x2 2 y2 1 2 2 22 22 2 2 x3 y3 2 2 2· 2 x4 2 y4
93
2 2
22
2· 2
22
2
2
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 81 16. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa su solución en la recta real: a)
2 x 5 5 1x 2 x 5 x51
3x 6 x
6
2 3
x , 2
b) 5x 4 2 7x 5x 2 x47
3x 3 x 1
c)
x 1,
x 2 3x 2 x 4 8 2 x 4 3 2x 8 x
8
8
x 2 x 4 3 2 8 2 x 8 x3 4x 2
8 x
9 x 2 x
d)
2 9
2 x , 9
x x 1 x2 1 4 3 6 3x 4 x4 12 2 4 x 12 12 12 12 3x 4 x4 122 4 x 3x 4 x2 x 12 4 4
3x 12 12 x 4 3
e)
94
x 4,
1 x 2 3x x 1 3 6 2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
2 2 x2 3 3x 6 x 6 6 66 2 2 x2 3 3x 6 x 6 2 2 2 x3 3x x
2 x 6 x
f)
6 3 2
x 3,
x 3 x 1
3x 1 1 x 4 8 x 3x 3 3 1x 1 x 4 8 2 x 3 3 1 x 1 x 4 8 4x 6 3 1x 8 8 x 8 8 8 x 4 x 6 3 x1 88 8 x 4 x3 8 6 1 x x 1
x 1,
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 82 17. Determina el conjunto donde se verifican los s iguientes sistemas de inecuaciones: a)
2 6 3 x x x 5 1x x 15x x x x x x 5 1 5 3 5 3 5 1 2 4 2 x Solución: x 2, 3
122 b) 5 1 x
x 2x x24
x x 2 2 60 x x0 x 2 4x
13 x 3 x 15x2 5 13 x 3 2 2 2 x15 3 x2 13 Solución: x , 0 5 x 1 1 x 1 c) 1x 2 4 5x 4 x25 1 3 6 x xx 2 1 x21 2 5 Solución: x 1, 1 95
x
x
x
5
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
x 1 2 2 12x 21 21 3 1 x x x x x 2 1 5 2 5 1 2 4 2
SOLUCIONARIO
x
d)
Solución: x 2,3)
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 83 18. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a)
x 2 3x 10 0 Resolvemos la ecuación asociada: x 2 3x10 0
x1 2 x2 5
3 9 40 3 7 2 2
x
Obtenemos los intervalos: , 5 , 5, 2 y 2, . Evaluamos en un punto de cada intervalo:
, 5
10 10 x 3 10 1 0 100 30 10 0 2
2 0 0 3·0 10 10 0 5, 2 x 2 9 9 10 2, x 3 3 3 ·3 10
0
Por tanto, la solución es el intervalo: ,5 2,
b)
x2 x 6 0 Resolvemos la ecuación asociada:
x1 2 x2 3 Obtenemos los intervalos: , 3 , 3, 2 y 2, . Evaluamos en un punto de cada 6 0 x 2 x
x
1 24 1 5 1 2 2
intervalo:
,3
x 5 5
5 6 25 5 6 0 2
x0 0 0 26 0 3,2 2 3 3 3 6936 x 2,
0
Por tanto, la solución es el intervalo: 3, 2
c)
6 x 2 4 x15 0 Resolvemos la ecuación asociada: 6 x 2 4 x15 0
96
x
4 16 360 4 376 12 12
4 376 x1 12 x4 376 2 12
Matemáticas 4º ESO Académicas
Obtenemos los intervalos: ,
4 376 12
4 376 4 376 4 376 , , . , 12 y 12 12
Acotamos el valor de los extremos de los intervalos considerando que 4 376
2 y por tanto:
SOLUCIONARIO
4 20 4 376 4 376 4 20 0 12 12 12 12
400 20
2
Evaluamos en un punto de cada intervalo:
2 2 6· 2 4· 2 15 , 4 12376 x 24 815 0 4 376 4 376 2 , 15 0 x 0 6·0 4·015 12 12 4 376 , x 2 6· 2 24·2 15 24 815 0 12 4 376 4 376 Por tanto, la solución es el intervalo: , , 12 12
d) 10 x 2 19 x 6 0 Resolvemos la ecuación asociada:
10 x 2 19x6 0
x
19 601 x1 20 x19 601 2 20 19 601 19 601 19 601 , , . y 20 20 20
19 361 240 19 601 20 20
Obtenemos los intervalos: ,
19 601 20
,
0 Acotamos el valor de los extremos de los intervalos considerando que 19 601 900 3 y por tanto: 1
19 30 1 9 601 19 601 19 30 0 20 20 20 20
Evaluamos en un punto de cada intervalo:
19 601 2 1 1 9·1610 19 6 0 , x1 10· 20
2 19 601 ,19 601 x 0 10·0 19·0 6 6 0 20 20 19 601 , x 3 10·3 57 6 0 21 9·3 6 900 20 19 601 19 601 , Por tanto, la solución es el intervalo: 20 20
97
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
19. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a)
x 2 2 x1 2 1 x46 2
2
x
2
x 4 x 4 4 x1 4 6 x 8 x11 3x 2 0 Resolvemos la ecuación asociada:
11 0 3x2 8x
11 x1 3 x2 1
8 64 1 32 8 14 6 6
x
Obtenemos los intervalos: ,
11 , 3
11 3 , 1 y 1, .
Evaluamos en un punto de cada intervalo:
11 2 , x 10 3· 10 8· 10 11 300 80 11 0 3 11 28·0 11 11 0 3 , 1 x0 3·0
2
1, x 3
3·3 8·3 11 27 2411 0
11 , 1 3
Por tanto, la solución es el intervalo: x b)
3 2 1 2x 7 x 2 x 2 x 2 x6 34x 7 x 2
x
x
x
3x 2 14 x1 0 Resolvemos la ecuación asociada: 3 x 2 14 x1 0
14 196 12 14 208 14 4 13 7 2 13 x 6 6 6 3
7 2 13 x1 3 x 7 213 2 3
2 13 Obtenemos los intervalos: , 7 2 13 , 7 2 13 7, 3 3 3
y 7 2 13 , . 3
8 Acotamos el valor de los extremos de los intervalos considerando que 7 2 13 1
7 8 7 2 13 7 213 7 8 0 3 3 3 3
Evaluamos en un punto de cada intervalo:
98
5.
y por tanto:
Matemáticas 4º ESO Académicas
7 2 13 2 , x 1 3· 1 1 4· 1 1 3 14 1 0 3 7 2 13 7 2 13 , x 0 3·0 14·0 1 0 3 3 7 2 13 , x 5 3·5 214·5 1 75 70 1 1 0 3
Por tanto, la solución es el intervalo: x ,
7 2 13 3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 86 -88 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)
1 2 x 3
3 x 1 2 4 2x 4 3 x 1 2 4 4 x 8 4 3 x 4 4 4 4 x 84 3 x 4 x x 4 3 8
3x 9 x 3 6 x 351 31x x b) x 2 5 4 3x1 6 18 15 x x x 2 5 4 30 x 10 24 x 72 20 x5 25 x 20 20 20 20 30 x 10 2 4x72 20 x5 2 5 x 30 x 24 x 20 x 25 x5 10 72 11x 77 77 x x7 11 2x 3 7 10 x c) 4 x 3 2x 3 4 x 7 10x 3 99
72 13 3
,
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
12 3 x2 x3 21 3x 0
3x 2 x 21 x 12 3 3 20 x 12 x
12 3 20 5
2. Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas a)
2 x 2 3x 3 x 2
x
2
2 x 2 x29 4x42 x
4 x 5 b)
x 4 x1
5 4 2x 5 2x 1
x
x
2
1 x2 x 4 x 28 x4 8 x 54 x 4
x
8x 12 12 3 8 2 2 2x3 2 3 2 5x x 3 1 x x
c)
2 4 x92 2 9 x6 1x 2 5x 8 x 10 10 5 x 8 4
x
2
x
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y el número de soluciones:
2 x 2 3 5x 0 El discriminante de la ecuación es 9 40 49 0 . Por tanto, tiene 2 soluciones. b) x x 2 3x2 x 2 Desarrollamos la ecuación para encontrar su forma general: x 2 2x 3x2 x 2 a)
2x0 x 2 3x22 x
4 x 2 32x 0 c)
El discriminante es 9 32 23 0 1 x1 2 2x x
. Por tanto, la ecuación no tiene solución en
.
Desarrollamos la ecuación para encontrar su forma general: x 2 1 2 x 2
x2 2x 1 0 El discriminante de la ecuación es 4 4 0 . Por tanto, la ecuación tiene una única solución. 100
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4. Determina el valor de a para que la ecuación de segundo grado 9 x 2 ax 4 0 tenga una única solución: El discriminante de la ecuación, b 2 4ac a
2
144 tiene que ser igual a cero.
a 144 0 a 144 a 144 12 Esto es si a 12 o a 12 , entonces la ecuación tiene una única solución. 2
2
5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a)
2x2 x 15 0
12 x 3 1 1 120 1 11 1 4 x 4 4 x 10 5 2 4 2 2 b) 2 x x 6 0 8 x 2 1 1 48 1 7 1 4 x 4 4 x 6 3 2 4 2 2 c) 25x 5 x2 0 20 2 x 1 x 5 25 2 00 5 15 50 5 1 50 50 x 10 2 50 5 1 2 1 3 d) x x 4 2 4 1 2 1 3 x x 0 4 2 4
1 1 2 x1 1 1 1 3 1 1 2 4 4 2 x 2 2 1 1 1 4 2 x 2 2 1 2
1 2 1 1 2 3 2 3 1 2
6. Las siguientes ecuaciones de segundo grado s on incompletas. Resuélvelas: a)
x 22 3x 1x
x
2x 3 x4 6x x 2 2
2 x 2 x 23 4x 6x 0 x
x 2 6 0 x 101
6
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
2 x 3 2 3x 3 x18 4 x 2 12 9x x92 18 3x 2 12 x 0
x1 0 3x x 4 0 0 x2 x2 4 c)
2x 3 2 12x 1 x 2
x
4
2
2x 3 4 1x2 4 x42 x 5x 2 6 x 0 x1 0 x 5x 6 0 5x2 6 0 x2
6 5
d) 3x x3 5x3 4 x
2
2 3x 3 x 2 5 3x 8 x16 x
2 x 2 13 x1 x 2
2 x 13 2
13 2 13 2
7. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
2x 3 17x 1 2
a) 11x 2
2
11x 2 x 2 8 8 x9
x
2
2 6 x1 7 x 2 1 x 2
x
1 7x1 0 2 x 9 x x 11 8x6 x 28 x 2
2
2
6 x 2 x 1 0 6 1 x1 12 2 1 1 24 1 5 x 12 12 x 4 1 2 12 3 b)
x 1
2
1 2 x5 2 x
2
2
2
x 2 x 1 1 4 4 x 5 x2 x x 2 4 x 2 2 x4 5x 11 x20
3x 2 x 2 0 4 2 x 1 24 1 5 1 1 6 3 x 6 6 x 6 1 2 6 102
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
c)
SOLUCIONARIO
2
x 1 1 413 x 3 x 2 4 2 x2 1 41 3 x 2 3x 9 x x 4 4 4 x 2 12 x 36 4 x 2 4 x1 4 1 3 x 444 44 4 4 2 x 12 x 36 x 4 x2 4 x1 41 3 x 2 4 x 2 12x4 x3 2 3x 19x6 0
x
19
361 72 19 17 6 6 2
1 x 2 4 x2 x 4 16
d)
x36 1 41 0
1 2 x 1 6 3 36 x 6 2 6
2 1 2 1 17 x x 3 2 3 2 4
4 x 2 1 17 9 4 4 Multiplicando por 144 mcm 4,9,16 : 9 x 2 144x 576 64 x 2 36 6 12 9 x 2 64 x2 144 x 576 36 612 0 55 x 2 144 x 576 0 2 0 y por tanto no tiene solución. El discriminante de esta ecuación es 144 4·55·576
OTROS TIPOS DE ECUACIONES 8. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a)
2 x 4 5 x 212 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 2 z 2 5 z12 0 z1 4 5 25 9 6 5 11 Por lo que: z 3 4 4 z2 2 Deshaciendo el cambio: x 2 4 x 2
2 3 x x 2 2 9 x2 b) 4 x 4 0
Soluciones: 2, 2
Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 4 z 2 9 2z 0
103
Matemáticas 4º ESO Académicas
z1 2 9 81 32 9 7 1 8 8 z2 4 Deshaciendo el cambio: x 2 2 x 2 1 1 Soluciones: 2, 2, , 2 1 1 2 2 x x 4 2 Por lo que: z
c)
x 4 13x 2 36 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: z 2 13z 36 0 z 4 13 169 144 13 5 Por lo que: z 1 2 2 z2 9
Puesto que x 2 no puede ser negativo, no existe ninguna solución a la ecuación. d) 3x 4 243 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 3z 2 243 0 Por lo que: 3z 2 243 z2
243 2 z 81 9 3
z
Deshaciendo el cambio: 2 9 x 3 x 2 x 9 x e) 12x 2 3x 4
Soluciones: 3, 3
Realizando el cambio z x 2 obtenemos: 12z 3z 2 z1 0 Por lo que: 3z 2 12 0z 3 4z z0 z2 4 Deshaciendo el cambio:
x2 0 x 0 Soluciones: 0, 2, 2 2 x 4 x 2 f) x 4 5x 2 6 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: z 2 5z 6 0 z 3 5 25 24 5 1 Por lo que: z 1 2 2 z2 2 Deshaciendo el cambio:
x 2 3 x 2 x 2 x
3
2, Soluciones: 2,
3,
2
9. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a)
2
x 1 2 3x 2
2
6
2
x4
x 4 22 x14 4 2 x12 4 9x 6
x
x 14x 10 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: z 2 14 z 10 0 4
104
2
3
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Por lo que:
z
14
14 236 14 236 z1 2 2 14 236 14 236 z 2 2 2
196 40 14 236 2 2
7
59
7
59
Deshaciendo el cambio: 2 x 7 59 0 x 2 x 7 59 x 7 59
b) 2 x 2 2
2
Soluciones: 7
2
x3 137 0 2
, 7 59
59
x2
x2 7 2x 4 82 x 84 2 6x 913
0
x
x 4 7 x 2 12 0 Realizando el cambio z x 2 obtenemos: z 2 7 z 12 0 z1 3 7 49 48 7 1 Por lo que: z 2 2 z2 4 Ambas son negativas, por lo que la ecuación no tiene solución. c)
2
2x 1 1 1 x 1 2
2
x2
4x4 4 1 x 21 1 x 4 5x 4 4 x12 0 2
2
Realizando el cambio z x obtenemos: 5z 4 1z 0 z1 1 4 16 20 4 6 Por lo que: z 1 10 10 z2 5 Deshaciendo el cambio:
x 2 1 x 1 2 1 x x 5
Soluciones: 1, 1
10. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
x3 x 2 6x 0 Sacando factor común tenemos: x x 2 x 6 0 . Por tanto, x1 0 o x 2 x 6 x 0 . Resolvemos la ecuación de segundo grado: x 3 1 1 24 1 5 x 2 2 2 x3 2
Soluciones: 0, 3, 2
b) 4 x 4 4 x3 x 2 0 Sacando factor común tenemos: x 2 4 x 2 4 x1 0 . Por tanto, x1 0 o 4 x 2 4 1x 0 . Esta última se trata de una identidad notable, de modo que: 2
2x1 0 2 1 0x 105
x2
1 2
Soluciones: 0,
1 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
x 4 4 x3 4 x 2 0 Sacando factor común tenemos: x 2 x 2 4 x 4 0 . Por tanto, x1 0 o x 2 4 x 4 0 . Esta última se trata de una identidad notable, de modo que:
x 220 d)
20x 2 x2
Soluciones: 0, 2
x5 8 x 3 0 Sacando factor común tenemos: x 3 x 2 8 0 . Por tanto, x1 0 o x 2 8 0 . Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x2 80 x 8 22 Soluciones: 0, 2 2 , 2 2 e) 9 x 4 x 2 0 Sacando factor común tenemos: x 2 9 x 2 1 0 . Por tanto, x1 0 o 9x 2 1 0 . Esta última
f)
se trata de una identidad notable, de modo que: 1 x 1 1 1 3 Soluciones: 0, , 3x 13 1x 0 1 3 3 x 2 3 x6 x 4 2 x 2 0 Sacando factor común tenemos: x 2 x 4 x 2 2 0 . Por tanto, x1 0 o x 4 x 2 2 0 . Para resolver la ecuación bicuadrática realizamos el cambio x 2 z : z2 z 2 0 z 1 z 1 18 1 3 z1 2 2 2 2 Deshacemos el cambio:
x 2 1 x 1 2 x 2 x
Soluciones: 0, 1, 1
11. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a)
2x4 x36
x22 0 x Para resolver esta ecuación debemos factorizar el polinomio Px Dividimos por Ruffini:
2
Por tanto, Pxx x1x 2 252 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
106
x1 1 2 2 x 5 2x 0
x x2
4 xx3 6 2
2.
Matemáticas 4º ESO Académicas
2x2 5 2x 0 b)
x
2
5 25 16 5 3 4 4
x
x 6 x2 4
x2 2 1 x3 2
SOLUCIONARIO
Soluciones: 1, 2,
1 2
0
El producto de dos números es igual a 0 si alguno de ellos es 0. Nos fijamos en el primer paréntesis y observamos que no puede ser nulo ya que: x2 x 6 0
x
1 1 24 1 23 2 2
Por tanto, las soluciones a la ecuación son las de x 2 4 0 que son: 2, 2 . c)
2
x 2 2
x 21 2x220
2 x4 4 x 44 22 x 2 x 22x0
x 4 4 x
2
4 x2 22 x x42 2 0
2 2x4 3 x4 0 Realizamos el cambio x 2 z : 2 z 2 3 4z 0
3 9 32 4 La ecuación no tiene ninguna solución. z
12. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
b)
3x 2 12 0 x 2 3x Para que una fracción sea igual a 0, el numerador debe ser cero: 3x2 12 0 3 12x2 4 x 2 2 x Debemos comprobar que el denominador no se anula, ya que en caso contrario serían soluciones no válidas: x 2 22 3·2 0 Soluciones: 2, 2 2 x 2 2 3·2 0 x2 x x 2x 3 Dos fracciones son equivalentes si al multiplicarlas en cruz se obtiene el mismo resultado: x 2 2 x 3 x 2
2 x 2 3 x4 6x
x2
x2 x 6 0 x
1 1 24 1 5 2 2
x 2 1 x2 3
Es inmediato comprobar que las soluciones son válidas y no anulan los denominadores. 107
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
3x 2 3 1 x 1 x 3 3 x x 3 3 x 2 3 1x 1 x3 x3 x 2 9 3 x 23 11 x 2 x 2 3 x 20 0 x 3
3 9 160 x 4 La ecuación no tiene solución en los números reales. 5 3 d) 2 2 0 x x 2 x 2 5x 3 2 2 0 x2 x x 2 x 2 5 3x 0 x
5
1 x 1 2 x2 3
25 24 5 7 4 4
13. Resuelve las siguientes ecuaciones: 4
a)
2
x x 2 1 x 1 x x4 x 2 2 1 x 1x
x 4 x 2 2 1 x 2 x4 2x2 3 0 Realizamos el cambio x 2 z y obtenemos: z 2 2z 3 0 z 1 4 12 2 4 2 z 1 2 2 z2 3 Descartamos la solución negativa y deshacemos el cambio:
x 2 1 x 1 La solución x 1 no es válida ya que anula al denominador. Así, la única solución es x 1 . 3x 3 2 9x x b) x 2 1 x 1 x 1 x 3x 3 2 x 1x 9 1 1 x1 1 x1 x1 1 x x
3x3 2 x2 2 9 9x x 2 3x 7 6x 0 x
108
7 49 7 2 7 11 6 6
x2
x
x1 3 2 x2 3
x x
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
16 x 1 x 1 x 2 1 2
x 1 16 1 x1 1 x1 x x x 2 2 x 1 16 x 2 2 x 15 0
x1 5 2 4 60 2 8 2 2 x2 3 3x 4 3 x 3 x 4 3x 3 3x x 3x 2 x x 3 x x 3 x x 3
x d)
3x 2 4 1x 23 9x 2
x
5x 12 0 x
12 5
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x x 2 0 3x 2 x
3x 2 2
x
2
9 x 2 12 x 4 x 9 x 2 13 x 4 0 x b)
x1 1 13 169 1 44 13 5 4 18 18 x2 9
x2 x 3 0 x 3 2 x
x 3 2 2
x
2
x 2 6 x 9 4x x 2 10 x 9 0 x c)
x1 9 10 100 3 6 10 8 2 2 x2 1
x 1 x 5
x 1 2
109
x 5
2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x 2 2 x 1 x 5 x 2 3x 4 0 x
x1 4 3 9 16 3 5 2 2 x2 1
d) 3 x 8 1 x 2 3 x
8 8x
96 x x82 8 2 x 2x 1 0
2
x
2
0 x x 1
1
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 x 1 12
a)
1 x1
2
x
12
x
1 x 2 1 1x12
2
x
2 1 x 10 2 x
21
2
x 10 2 x
4 4 x 100 40 x4
2
x2
0 4 x 2 44 x96 0 x 2 11 x24 x
11
121 96 11 5 2 2
x1 3 x2 8
2x 1 x 2 5
b)
2x 1
2
x2 5
2
2x 1 x2 5
x2 2x 4 0 x
2 4 16
2 La ecuación no tiene ninguna solución. x 3 x 23
c)
x 3
2
x 23
x 6 x9 23 x
6 x 14
110
2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x
x
7 3 2
7 3
2
49 9 2x 3
x
3 d) 1 x 2 2
2 2 x3 3 1
2 x 2
2 2 3x 91 2 42 x3 9 1 2 2x
x
2
2
x
8x 12 99 18 x 2 x 21 x 18
x2
21 x 18 2
2x
441 42 x x 2 324
2
x2
441 42 x x 324 x 648 x 2 366 x 1089 0 2
x
x1 363 366 129600 366 360 2 2 x2 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 16. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación:
2 3x 3x 4 y 2 y 4 a) 5x 3 y 13 y 5x 13 3 Igualando: x 2 4 3 5 6 9 x 20
x 13 3 x52
29 x 58 x2 Hallamos y sustituyendo en alguna de las ecuaciones despejadas: x2 2 3 ·2 2 6 y 1 Solución: y 1 4 4 111
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x 3 y9 3x9 y b) 7 2y 5x 7 2 y x 5 Igualando: 7 2y 3 y 9 5 15 y 45 7 2 y
13 y 52 y 4 en una de las dos ecuaciones despejadas: Hallamos x sustituyendo x 3 Solución: x 3 y 91 2 93 y 4 4 x 3 y 7 y c) 8x 3 y 5 y
4 x 7 3 8x 5 3
Igualando: 4 x 7 8 5 x
3 3 8 5 4 x7 x 4x 2 x
1 2
Hallamos y sustituyendo en una de las dos ecuaciones despejadas: 1 x 4 x 7 27 y 3 Solución: 2 3 3 y 3
x 2 y2 2x2 y d) 4 y 7 8x 4 y 7 x 8 Igualando: 4 y 7 2 y 2
8 16 y 16 4 y7 12 y 9 9 3 y 12 4
Hallamos x sustituyendo en una de las dos ecuaciones despejadas:
3 x 2 y 2 2 2
112
1 2
x Solución:
1 2
y
3 4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
17. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
a)
1 5x 4 y 7 x 4 y 3
y
1 5x 4
Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: 1 5x 7 x 4· 3 4 7 x 1 5 3 x
4 1 12 3 Hallamos el valor de y sustituyendo en la expresión despejada: 12x 4
x
5 1 5 1 x 2 1 y 3 4 4 12 6
x Solución:
1 3
y
1 6
3 3x 1 y 2 5 20 b) 5x 4 y 8 y
5x 8 4 Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:
3 x 15 8· x 3 2 5 4 20 30 x5 x8 3 20 20 20 30 x 5 x8 3 35 x 11
11 35
x
Hallamos el valor de y sustituyendo en la expresión despejada:
11 8 5x8 45 y 7 4 4 2 8
y 1 y 2 x 5 c)
11 35 Solución: 45 y 28 2x 1 x
5
7 x 10 y 4
Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: 2x 1 7x 10· 4
5 7 x4 x2 4
3 x 2 113
x
2 3
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Hallamos el valor de y sustituyendo en la expresión despejada:
4 1 2 x 1 3 1 y 5 5 15
5x 2 y 23 d)
2 3 Solución: 1 y 15 5x 23 2 x
y
3x 5 y 29 Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: 5 x 23 29 2 6 x 25 x 115 58
3x 5·
19 x 57
x
57 3 19
Hallamos el valor de y sustituyendo en la expresión despejada: x 3 5x 23 15 23 8 y 4 Solución: y4 2 2 2 18. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de r educción: a)
3x 2 y 12 6 x 5 y 27
Multiplicando la primera ecuación por 2 tenemos: 6 x 4 y 24
6 x 5 y 27
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: y 3 Multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 tenemos: 0 y 60 15x 1
12 x 10 y 54
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 3x 6 x 2 . x 2 Solución: y 3
5 x 3 y 12 x y 2 5 11
b)
Multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 tenemos: 25x 15 y 60
6 x 15 y 33
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 31x 93 x 3 . Multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por 5 tenemos: 10 x 6 y 24
x 25y 55 10
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 31y 3 1 y 1 114
.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Solución: c)
x 3 y 1
2 x 5 y 16 8x 3 y18 Preparamos el sistema para poder aplicar el método: 2 x 5 y 16
8x 3 y 18
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 tenemos: 6 x 1 5 y 48
5 y 90 40 x 1
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 46 x 138 x 3 Multiplicando la primera ecuación por 4 : 8x 20 y 64
.
8x 3 y 18
Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 23 y 46 y 2 x 3 Solución: y 2
.
5x 3 y 3 d) 31 3x 4 y 15 Multiplicando la primera ecuación por 4 y la segunda por 3: 2 y 12 20 x 1
31 9 x 12 y 5
29 1 x . 5 5 Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 5: 15x 9 y 9 31 15x 20 y 3 58 2 Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 29 y y 3 3 1 x 5 Solución: 2 y 3 Sumando ambas ecuaciones se obtiene: 29x
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 19. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
115
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
3x y 3 xy 6 Despejando en la segunda ecuación, tenemos: 6 y x Sustituyendo en la primera ecuación: 6 3x 3
x 3x 2 6 3x
3x 2 3 6x 0 x 1 3 9 72 3 9 x 1 6 6 x2 2 Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y : x1 1 y1 6 x2 2 y 2 3 3x y 4 b) xy 32 Despejando en la segunda ecuación, tenemos: 32 y x Sustituyendo en la primera ecuación: 32 3x 4 x
3x 2 32 4 x 3x 2 4 x32 0
x1 1 16 384 4 20 6 6 x2 4 Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y : x1 1 y1 32 x
4
x2 4 y 2 8 c)
3x y 2 1 xy 1 5 Despejando en la segunda ecuación, tenemos: 5 y x Sustituyendo en la primera ecuación:
116
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
3x
5 x
2
3x 5 2 x 2
3 x 2 2 5x 0 x
10 5 2 4 60 2 8 x 1 6 3 6 6 x2 1
Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y :
5 y1 3 3 x2 1 y2 5 x1
3x 2 2 y 2 6 d) 2 2 5x 3 y 7 Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 tenemos:
9 x 2 6 y 218 2 2 10 6 14 x y Sumando, se obtiene: x 4 x 2 . Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y : 2
x 2 3· 4 2
2 y62 9 y 3 y
2 x 2 3· 4 2 y62 9 y 3 y Las soluciones son: x1 2 y1 3
x2 2 y2
3 3 x4 2 y4 3 x3 2 y3
3 x 4 y 17 e) 1 xy 1 7
Despejando en la segunda ecuación, tenemos: y Sustituyendo en la primera ecuación:
28 3 x x 17 3 x 2 28 17 x 3 x 2 17 x 28 0 42 x1 6 7 17 289 3 36 17 25 x 6 6 x2 8 4 6 3 117
7 x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y :
x1 7 y1
4 3
x2 f)
1 21 4
y2
2 x 2 3 y25 x12 3x 2 y 5
Despejando en la segunda ecuación, tenemos: Sustituyendo en la primera ecuación:
3x 5
y
2
2
3x 5 2 x 2 3· x 5 12 2 3· 9 x 2 30 x 25 512 x 4 8x 2 27 x2 90 x75 20 x48 2x2
19 x2 70 x27 0 Multiplicamos por 1 ambos términos de la ecuación para eliminar los signos: 19 x 2 70 x 27 0
70
4900 2052 70 2848 70 4 178 35 2 178 38 38 38 19 Para cada solución de x tenemos que hallar el correspondiente valor de y : x
x1
35 2 178 19
x2
35 2 178 19
y1
10 6 178 38
10 6 178 y2 38
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA 20. Resuelve las siguientes inecuaciones: a)
2 x 3 2 7 x 2 x7 x23
5x 1 1 1 x5 x 5, x 7 b) 3 21 5 4 x 3 2 10 x 7 4x 4 3 2 10x 7 x 3x 1 x 118
1 3
x
1 , 3
5 3 178 19 5 3 178 19
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
2x 1 3 2 x 1 4 2 2 x 1 12 6 x4 4 4 4 2 x 1126 x4 2 x 6 x4 112
4 x 7 x
7 4
, 7 4
x
21. Resuelve las siguientes inecuaciones: a)
2x 1 x2 4 2 x 1 4 8x
2x 9 b)
x
9 2
9 x , 2
1 3x x 5 x 1 2 6 3 9 x x5 6 6 x
16x 8 1 1 x , 2 2 1 x 2x 3 c) 1 4 8 2 2 x2 3x 8 x
4 x 9 9 9 x , 4 4 1 2x d) 1 x 5 1 2 x 5 5 x x
3x 4 x 4 3
4, 3
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA 22. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y representa la solución en la recta real:
119
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
SOLUCIONARIO
2 x13 24 x 2 x 3x 5 20 3 1 5x 5 x La solución es el intervalo x 2,5 .
26 x3 x 2 x33 1 x x x x 4 2 6 3 2 1 2 La solución es el intervalo x 3,
b)
c)
5 3 2x 4 7x x x 2 14x 7 x 3x2 x12
7 4
7 4
La solución es el intervalo x ,
2 3 x 2 x11 2 21 x d)
x
3 2
x 4 2 4 x 2 1 2 1x La solución es el intervalo x 2,
23. Resuelve los siguientes sistemas inecuaciones:
4 x2 3 5 x 3 x3 x 7 27 x x a) 2 x34 2 3 2 3 x x x 4 3 1x 2 El sistema, por tanto, no tiene solución ya que la intersección de los tres intervalos es vacía.
21 7 2x 3 3 2 x2 72x 6 6 x x x 3 x 1 x 4 2 x4 6 2 x b) 3 3 2x 2 2 132 5 x x1 x 5 La solución es por tanto x 1, . 120
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 3 5 2 x 11 x 1 2 x5 6 2 x4 4 x8 11 x 4 2 x 1223x1 x x 12 1 9 12 c) 9x 6 8 x4 2 2 x x 19 43 6 3 6 x 2 5 x 5
11
La solución del sistema es x
8
12 1112 x , 19 8 19
x
SOLUCIONARIO
8 x
24. Resuelve las siguientes inecuaciones: a)
1 5 1 5 x x 2 2 2 (Todos los valores de x son solución de la inecuación)
2 x32 2 2 32 12 5 x
b) 2 x 2 0 x x c)
x ,
2 x 1 3 2 4 x 2 x 2x 1 3 1 x 2 x1 3 2 2 x
Solución: x , 1
2,
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 25. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado y representa gráficamente la solución: a)
x2 8 0 Resolvemos la ecuación asociada:
x2 80 8 x 2 8x 2 x
Obtenemos los intervalos: , 2 2 , 2 2 , 2 2
y 2
2, . Evaluamos en un
punto de cada intervalo:
,22 3x 3 80 x 08 0 2 2,2 2 0 22, x33 8 0 2
2
2
Por tanto, la solución es el intervalo: , 2 2
2 2,
b) 2 x 2 6 0 Resolvemos la ecuación asociada:
2x 26 0 2 6
x23
x 32 x
Obtenemos los intervalos: , 3 , 3, 3 y 3, . Evaluamos en un punto de cada intervalo:
121
, 3
2
x22· 2 6 8 6 0
Matemáticas 4º ESO Académicas
3, 3 x0 2 ·0 6 2 0
2
3, x 2 2· 2 6 860
Por tanto, la solución es el intervalo: 3, 3
c)
SOLUCIONARIO
x2 6 0 2
Puesto que x 0 para cualquier valor x solución. d) x 2 12 0 Resolvemos la ecuación asociada:
, podemos concluir que la inecuación no tiene
2 x12 23x x2 120 x12
Obtenemos los intervalos: , 2 3 , 2 3 , 2 3
y 2
3, . Evaluamos en un
punto de cada intervalo:
,23 x4 41 2 0 0x 0 12 0 2 3,2 3 2 3, x4 4 120 Por tanto, la solución es el intervalo: 2 3 , 2 3 2
2
2
26. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado y representa gráficamente la solución: a)
x 2 6 x90
3 0x 30 3x
x
b)
x 4 x40
2 0x 20 2x
x
c)
3x 2 5 x 0 Resolvemos la ecuación asociada:
2
2
2
x1 0 5 x2 3 5 5 Obtenemos los intervalos: , 0 , 0, y , . 3x 2 5 0 x 3 5x 0x
3
Evaluamos en cada intervalo:
122
, 0
x 1 3 · 1 5· 13 5 0 2
5 2 3 5 0 0, 3 x 1 3·1 5 ·1 5 2 3 · 2 25·2 12 10 0 3 , x
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
Por tanto, la solución es el intervalo: ,0
SOLUCIONARIO
5 3,
d) 2x 8x 2 0 Resolvemos la ecuación asociada:
x1 0 x x x x 2 8 0 2 1 4 0 x2 1 4 1 1 Obtenemos los intervalos: , 0 , 0, y , . Evaluamos en cada intervalo: 4 4 2
, 0 x 1 2·1 8· 1
2
2 8 0 2
1 1 1 11 1 0 0, 4 x8 82· 8· 8 48 1 1 2·1 8·1 0 2 x 4 ,
Por tanto, la solución es el intervalo: ,0
e)
1 4,
x 2 5x 14 0 Resolvemos la ecuación asociada: x 2 5x 14 0
x1 7 x2 2 Obtenemos los intervalos: , 2 , 2,7 y 7, . Evaluamos en cada intervalo: x
5 25 56 5 9 2 2
,2
x 3 3 5· 3 14 9 1514 0 2
2, 7 x 0 0 52 ·0 14 0 2 5·10 14 100 7, x 10 10 Por tanto, la solución es el intervalo: 2,7
f)
6x 2 x 1 0 Resolvemos la ecuación asociada: 6x 2 x 1 0 1 1 24 1 5 x 12 12
123
1 x1 2 x 1 2 3
50 14 0
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 1 1
1
SOLUCIONARIO
Obtenemos los intervalos: , , , y , . Evaluamos en cada intervalo: 3 3 2 2
1 2 6 11 0 , x 16 1 11 3 1 1 0 6·0 02 1 0 3 , 2 x 1 2 2 , x 1 6·1 1 1 0 1 1 Por tanto, la solución es el intervalo: , , 3 2
g)
0 2 x 2 18 Resolvemos la ecuación asociada:
2 x218 0
2 3 x 9 x
Obtenemos los intervalos: , 3 , 3, 3 y 3, . Evaluamos en cada intervalo:
,3 x 5 2· 5 18 50 18 0 128 0 3, 3 x0 2·0 2 5 2·5 18 5 0 18 0 3, x Por tanto, la solución es el intervalo: ,3 3, 2
h) 4 9 x 2 0 Resolvemos la ecuación asociada:
4 2 4 9 x 2 0 x 2 x 9 3 2 2 2 2 Obtenemos los intervalos: , , , y , . Evaluamos en un punto de 3 3 3 3 cada intervalo:
2 1 0 , x 14 9· 3 2 2 , x0 4 9·0 0 2 3 3 2 1 49·1 0 2 , x 3
2
2 3
, Por tanto, la solución es el intervalo:
124
2 , 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
27. Resuelve las siguientes inecuaciones: a)
x 2 3x 10 0 Resolvemos la ecuación asociada: x 2 3x 10 0
3 9 40 2 Puesto que el polinomio x
2 nunca se anula, es siempre positivo o negativo. Px x x 3 10 Basta comprobar en un único valor, por ejemplo P 0 10 0 , para asegurar que la inecuación es cierta para cualquier valor x b) 2 x 2 13 x 15 Resolvemos la ecuación asociada: 2 x2 13 x 15 0
x
13
169 120 13 7 4 4
3 x 1 2 x2 5
3 3 2 2
Obtenemos los intervalos: , , ,5 y 5, . Evaluamos en un punto de cada intervalo:
3 2 0 2·0 213·0 15 , x 3 2 2 2· 2 213·2 15 ,5 x 2 10 2·10 15 2 13·10 5, x
3 2
Por tanto, la solución es el intervalo: , c)
5,
4 x 2 8 5x 0 Resolvemos la ecuación asociada: 4 x 2 8 5x 0 x
8
64 80 8 12 8 8
1 x 1 4 x 5 2 2
Obtenemos los intervalos: , 5 , 5 , 1 y 1 , . 2 2 4 4 Evaluamos en un punto de cada intervalo:
125
5 2 , 3 4 · 3 8· 3 5 36 24 5 0 x 2 5 1 2 5 0 2 , 4 x0 4 ·0 8·0
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
1 2 1 4·1 8·1 5 0 4 , x
5 1
Por tanto, la solución es el intervalo: , 2 4 d) 21x 2 46 x 7 Resolvemos la ecuación asociada:
21x 2 46 x 7 0
x1 1 7 x x 7 2 3 7 7 1 1 Obtenemos los intervalos: , , , y , . 3 3 7 7 46
2116 588 46 52 42 42
Evaluamos en cada intervalo:
7 2 , 3 21· x 3 4 6· 3 7 3 7 1 x 0 2 1·0 246·0 7 3 , 7 1 1 21·1 246·1 7 7 , x
Por tanto, la solución es el intervalo: 7 , 1
3 7
28. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado y representa las soluciones en la recta real: a)
2 x x3 5 1 x 2 x 2 6 x55 x 2 x 2 11 x 5 0 Resolvemos la ecuación asociada: 2 x 2 11 x 5 0
x
11
121 40 11 9 4 4
1 x 1 2 x2 5
Obtenemos los intervalos: , 5 , 5, 1 y 1 , . 2 2
Evaluamos en cada intervalo:
126
, 5
x 10 2· 10 11· 1 0 52 00 110 5 0 2
1 2 2· 1 11· 1 5 2 11 5 0 5, 2 x 1
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 , 5 0 x0 2·0 11·0 2 1 2
Por tanto, la solución es el intervalo: , 5 , b)
SOLUCIONARIO
x x 2 6 x x2 2x 6 x x2 x 6 0 Resolvemos la ecuación asociada: x2 x 6 0
x1 2 x2 3 Obtenemos los intervalos: , 3 , 3, 2 y 2, . x
1 1 24 1 5 2 2
Evaluamos en cada intervalo:
,3
x 10 10 6 100 106 0 10 2
3,2 x00 0 26 0 3 3 32 6 9 3 60 2, x
Por tanto, la solución es el intervalo: ,3 c)
1 x0 x 1 x3 x
2,
2
x x 2 3x x 2 2 1x0 2 x 2 1 0
2x2 1 0 Puesto que x 2 0 para cualquier valor de x solución.
, 2x 2 1 0 y por tanto la inecuación no tiene
PROBLEMAS 29. Encuentra dos números en los que la diferencia de sus cuadrados sea 21 y el triple del primero más el doble del segundo sea 19. Llamando x e y a los números buscados, el problema se traduce como el sistema:
x 2 y 2 21 3x 2 y 19 Despejando en la segunda ecuación, tenemos que y Sustituyendo este valor en la primera ecuación:
127
19 3x . 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
2
19 3x 21 2 361 114 x 9 x 2 x2 21 4 4 x 2 361 114 x9 x 2 21 5 x2 114 x 382 0 x2
x
114
7640 12996 114 2 1339 x1 20114 2 133910 57 1339 20 20 2 1339 57 1339 x 114 2 20 10
Para cada valor de x obtenemos un valor para y :
x1
57 1339 10
y 1
19 3 x 19 31339 2 20
x2
57 1339 10
y 2
19 3 x 19 31339 2 20
30. El triple de un número menos 5 veces su raíz cuadrada es igual a 2. ¿Cuál es ese número?
3x 5 x 2 3x 2 5 x 9 x 2 12 x 4 25
x
9 x 2 37 x 4 0 38 19 x 37 1369 1 44 13 35 1 18 9 x 18 18 x 13 2 18 31. Por cada hora extra que trabaja un obrero en festivo, gana 5 € más que si trabaja la hora extra en día laborable. Si ha trabajado 12 horas ex tras en días laborables y 9 horas extras en días festivos y le han pagado 381 €, ¿cuánto cobra el trabajador por cada hora extra en día festivo?
Llamando x a lo que se cobra por hora extra en día festivo, en un día laborable cobrará x 5 . Por tanto: x x 12 5 9 381 12 x 60 9 x 381 21x 4 41 x 21 € Por cada hora extra en un día festivo cobra 21 €.
32. Unos estudiantes alquilan un piso y tienen que poner 120 € al mes cada uno. Si dos de ellos dejan el piso, cada uno tiene que pone r ahora 200 €. ¿Cuánto cuesta el alquiler del piso?
128
Matemáticas 4º ESO Académicas
Sea x el importe del alquiler del piso. Entonces principio en el piso y
x
120
SOLUCIONARIO
es igual al número de estudiantes que había al
x será igual al número de estudiantes que quedan tras dejarlo dos de ellos. 200
Por tanto: x x 2 120 200 5x 1200 3 x 2 x 1200 x 600€ El alquiler del piso cuesta 600 €.
33. Roberto compra 4 cuadernos y 6 lápices por 5,40 €. Por 3 cuadernos y 8 lápices Ana ha pagado 5,10€. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?, ¿y un lápiz? Sea x el precio de un cuaderno e y el precio de un lápiz. Entonces:
4 x 6 y 5, 40 3x 8 y 5,10 Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 4 tenemos: 12 x 18y 16, 20
12 x 32 y 20,40
Sumando ambas ecuaciones, se tiene 14 y 4, 20 y 0, 30€ . Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación, tenemos: x 0,90€ 3x 8·0,30 5,10 3 x2,70 Los cuadernos cuestan 90 céntimos y los lápices 30 céntimos. 34. Un comerciante mezcla dos tipos de café, uno que cuesta 7 €/kg y otro que cuesta 11 €/kg. ¿Cuántos kg de café de c ada tipo tiene que mezclar para obtener 25 kg a un precio de 9,40 €/kg?
Llamando x a la cantidad de café del primer tipo (7 €/kg) tenemos: Precio kg € Café 1 7 €/kg x 7x Café 2 11 €/kg 25-x 11·(25-x) Mezcla 9,40 €/kg 25 9,4·25=235€ Puesto que el valor de la mezcla es la suma de los valores de los cafés, concluimos que: 7 x 11 25 x 235
7 x 275 11 x 235
4 x 40 x10 kg Se necesitan 10 kg del café más barato y 15 kg del café más caro. 35. En una bolsa tenemos 200 monedas entre monedas auténticas y monedas falsas. Si las monedas falsas pesan 12 g cada una y las monedas auténticas 15 g cada una, ¿cuántas monedas falsas hay sabiendo que la bolsa pesa 2,61 kg?
129
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sea n el número de monedas falsas, su peso es 12n gramos. Por otra parte, en la bolsa hay 200 n monedas auténticas que pesan 15 200 n gramos. La suma de ambos debe ser igual al de la bolsa:
12n 15 200 n 2610 12n 3000 15 n 2610
3n 390 n 130 Hay 130 monedas falsas y 70 monedas auténticas. hermanos, Roberto, Juan y Lucía, ponen 100 € para comprar un regalo a su padre. Si Roberto 36. Tres pone el doble que Juan y Lucía pone 1€ más la tercera parte que pone Roberto, ¿cuánto dinero ha puesto cada uno?
Cada hermano pone: Roberto x Juan 2 x x Lucía 1 3 La suma de las cantidades que ha puesto cada hermano debe dar el total: x x 2 x 1 100 3 3x 6 x x3 300 10 x 297 x 29, 70 € Por tanto, Roberto pone 29,70 €, Juan 59,40 € y Lucía pone los 10,90 € restantes.
37. Julián da 30 pasos para recorrer 7 m y 8 zancadas para recorrer 5 m. Si recorre 34 m realizando 92 desplazamientos entre pasos y zancadas, ¿cuántos pasos y zancadas ha dado Julián? Sea n el número de pasos. Entonces el número de zancadas es 92 n . Teniendo en cuenta que en cada paso recorre
7 5 de metro y en cada zancada , tenemos que la suma de metros recorridos con 30 8
pasos y zancadas debe ser 34: 7n 5 92 n 34 30 8 28n 75 92 n 4080
120 120 120 28n 6900 75 n 4080 2820 47 n n 60
Julián ha dado 60 pasos y 32 zancadas. 38. Dos niños montados en bicicleta distan entre sí 350 m. Si empiezan a pedalear hasta encontrarse con una velocidad de 6 m/s y 8m/s res pectivamente, ¿cuántos metros recorrerá cada niño? ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse?
130
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Llamando A y B a los niños y x a la distancia que recorre el primero, el segundo recorrerá 350 x m. d Teniendo en cuenta la ecuación t y el hecho de que el tiempo transcurrido desde que comienzan v a pedalear hasta que se encuentran es el mismo para ambos, tenemos que:
d Ad B x x 350 x x xm 8 2100 6 150 vA vB 6 8 Por tanto, el primer niño recorre 150 metros y el segundo 200 metros. El tiempo que tardan en d 150 encontrarse se halla utilizando la fórmula: t 25 s . v 6
t t A B
39. Un vehículo circula a una velocidad de 25 m/s (90 km/h). De pronto se cruza con un peatón, frena con una desaceleración de 7 m/s 2 y recorre una distancia de 37,5 m. Calcula el tiempo que tardará en frenar el vehículo. 1 Nota: La aceleración de frenado o desaceleración ha de ser negativa. Recuerda: e vt 0 at 2 . 2 2 Sabemos que e 37,5 m , v0 25 m / s y a 7 m / s . Por tanto:
t1 5 50 2500 2100 50 20 30 15 14 t2 14 14 7 15 2,14 s ya que la segunda se correspondería La solución correcta es la más pequeña de las dos, t 7 con una velocidad negativa que, en este contexto, no es posible. Esto último se puede apreciar mejor teniendo en cuenta que v v 0 at , lo que en este caso implicaría: 7 2 2 t 0 37,5 25t t 2 t t7 50 75
15 15 7 7 t 5v 25 7·5 s m 10
t v 25 7·s m 10
En el primer caso el coche está frenando. El segundo caso no se produce ya que el coche se para al llegar a v 0 (lo que ocurre transcurridos aproximadamente 3,57 segundos) . 40. Dos vehículos que distan 240 m entre sí van a chocar. Uno de ellos va a 25 m/s (90 km/h) con una aceleración de 6 m/s2. El otro viaja a 40 m/s (118 km/h) con una aceleración de 4 m/s 2. Calcula el tiempo que tardarán en chocar los dos vehículos y la distancia que recorre cada uno de ellos.
Llamando A y B a los vehículos y x a la distancia que recorre el primero de ellos, el segundo recorrerá 2 una distancia de 240 x . Teniendo en cuenta la ecuación e v t0 at , se tiene que: 131
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 25t t 6 2 240 t 4t 0 2
4
25t t3 2 240 t t40 2
1 2
2
SOLUCIONARIO
2
5t 65 t 240 0 2
t 2 13t 48 0 t
13
169 192
13 19
t 3 1
2 2 16 t2 eneste Descartamos la solución negativa ya que contexto no tiene sentido. Los dos coches tardarán, por tanto, 3 segundos en chocar. En ese intervalo de tiempo habrán recorrido:
1 ·6·3 2 75 2 7 102 m 2 B 240 x 138 m A x
25·3
41. Determina el conjunto de números reales para los que la ecuación ax 2 ax 4 0 no tiene solución: El determinante de la ecuación es: a 2 16a . Para que la ecuación no tenga solución, el determinante debe ser negativo: a 2 16 a 0 aa 16 0 Las soluciones a la ecuación asociada son a1 0 y a2 16 . Obtenemos los intervalos , 16 ,
16,0 y 0, . Evaluando en un punto para cada intervalo:
20 , 16 a 20 16· 20 400 320 0 10 1 00 160 0 16, 0 a 10 10 16· 2 1 1 16·1 1 16 0 0, x 2
2
Por tanto, el conjunto de números reales en los que el discriminante es negativo es 16,0 42. Una empresa de metal produce dos tipos de chapa, como se muestra en la figura.
Determina los valores de x para que la chapa rectangular sea más cara que la chapa cuadrada.
132
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
El área de la chapa rectangular es x x 3 x 2 3x . Para calcular el área de la chapa cuadrada, aplicamos el Teorema de
x x a x Pitágoras tal como se muestra en la imagen: a 2
2
2
2
2
2
2
El área del cuadrado es, por tanto, 2 x . Para que la chapa rectangular sea más cara, su área debe ser mayor: x 2 3x 2 x 2 2
x 3x 0
Las soluciones de la ecuación asociada son x1 0 y x2 3 . Obtenemos los intervalos ,0 , 0,3 y 3, . Evaluando en un punto para cada intervalo:
, 0 x 1 1 3· 1 0 0,3 a 11 23·10 2 0 3, x 55 3·5 2
Por tanto la chapa rectangular será más cara si x 0,3 DESAFÍO PISA - PÁG. 89 MEDIR EL CAUDAL DE UNA ACEQUIA La del caudal agua de un sis tema de riego es importante porque permite cantidad de medida agua utilizada por de cada regante. Hoy en día hay aparatos que permiten medir elcontrolar caudal delaagua; no obstante, se siguen utilizando métodos artesanos para medir el caudal. El método del flotador es uno de ellos. Se coloca un flotador en el centro de una acequia y se cronometra el tiempo que tarda en desplazarse unos metros previamente establecidos. Este proceso se repite varias veces para tomar el tiempo medio que emplea el flotador en el recorrido y hacer los cálculos más fiables. Llamamos v f a la velocidad del flotador. Una vez calculada, calculamos vm 0,8· v f que será la velocidad media. El caudal, Q , se obtiene multiplicando la velocidad media, vm , por la sección mojada, sm :
Q vm · sm La sección mojada dependerá de la forma que tenga la acequia; normalmente es rectangular, con lo que la sección se obtendrá multiplicando la anchura de la acequia por la profundidad del a gua. Todas las medidas las realizaremos en metros y el tiempo, en segundos: tendremos el caudal obtenido 3
en m s que es una medida especialmente grande para una acequia; por tanto, es recomendable cambiar de unidades a dm3 s , o lo que es lo mismo, l s . La siguiente tabla muestra una serie de mediciones que se han realizado en un sistema de riego:
133
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 1. El caudal en L/s del sector norte es: B: 200 L/s , ya que vm 0,8·
3 dm 100 2 10 , sm 8·2,5 20 dm y Q vm · sm 200 dm s s 8
ACTIVIDAD 2. El caudal en L/s del sector sur es: B: 768 L/s , ya que vm 0,8·
120
16
dm
3 2 , sm 12·4 48 dm y Q vm · sm 768 dm
s
6
s
3
ACTIVIDAD 3. Si una alberca de 0,2 hm de capacidad recibe el agua de la acequia del sector este, ¿cuánto tiempo necesitará para llenarse por completo? A:
6
días,
ya
que
el
caudal
es
de
3
Q vm · sm 403, 2 dm
s
y
por
tanto
8
t
2·10 l 5, 7 días l 403, 2 ·86400 s s día
ACTIVIDAD 4. Si el tiempo que tarda el flotador en el sector norte pasa de 8 s a 4 s, ¿cuánto aumentará el caudal? B: 200 L/s , ya que si el tiempo se divide entre 2, la velocidad se duplica y el caudal también. ACTIVIDAD 5. Hemos dejado la compuerta del sector sur abierta toda la noche, de forma que la profundidad del sector ha bajado 14 cm. El caudal ahora es de 3 2 C: 499 L/s , ya que ahora sm 12·2,6 31,2 dm y Q vm · sm 499,2 dm
134
s
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 5: Semejanzas, áreas y volúmenes EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 96 1. Indica si las siguientes figuras son semejantes razonando tu respuesta:
La primera pareja de figuras sí es semejante ya que los ángulos son iguales. En la segunda pareja, se puede apreciar que el ángulo Aˆ no es igual en ambas figuras ya que en una es agudo y en la otra obtuso. Por tanto, las figuras no son semejantes. 2. Copia la siguiente figura en tu c uaderno y construye una figura semejante:
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 97 3. Utiliza el Teorema de Tales para calcular la medida de los segmentos OA , AB y BC de la siguiente figura sabiendo que OC 50 m:
135
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Según el Teorema de Tales, tenemos que: OA OA ' OA 12 50·12 OA 15 m OC OC ' 50 40 40 AB A ' B' AB 13 50·13 AB 16,25 m OC OC ' 50 40 40 BC B ' C' BC 15 50·15 AB 18,75 m OC OC ' 50 40 40 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 98 4. Comprueba si son semejantes los siguientes triángulos:
15 12 18 . Por tanto, ambas figuras son proporcionales. 10 8 12 5. Calcula las medidas de los lados del triángulo sabiendo que los dos triángulos son semejantes. Los lados son proporcionales, ya que
A ' B' ' A' C ' ' A 10B AB AC 6 B ' C' ' A' C ' ' B10C Lado B ' C ' BC AC 8 Lado A ' B '
4
10·6 A ' B '
4
10·8 B ' ' C
4 4
15 20
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 99 6. Calcula el valor de las incógnitas del siguiente tri ángulo rectángulo y de todos sus ángulos.
El ángulo C es un ángulo recto. Calculamos el ángulo B 180º (90º 36º ) 54º . 136
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Como los triángulos ABC , ACD y BCD tienen dos ángulos iguales, son semejantes, y por tanto: AC AD 16 x 16·16 64 x 12,8 m AB AC 20 16 20 5 BC BD 12 x 12·12 36 x 7,2 m AB BC 20 12 20 5 AC CD 16 h 16·12 48 x 9,6 m AB BC 20 12 20 5
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 100 7. Determina la altura sobre la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos: Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos AB y BC respectivamente. Por el teorema del cateto:
AB2 AC · m 30 2 50· m BC2 AC· n 40 2 50· n
m 18 n32
cm cm
Aplicando ahora el teorema de la altura:
hn2m · 18·32 h 576 cm576 24 Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos AB y BC respectivamente. Por el teorema del cateto: AB2 AC· m 15 2 17· m m13, 23 cm
BC2 AC· n 8 2 17· n
n3,76
cm
Aplicando ahora el teorema de la altura:
49,83 7,06 hn2m · 49,83 h cm Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos AC y BC respectivamente. Por el teorema del cateto: 29· m m13,79 cm AC2 AB· m 20 2 BC2 AB· n 21 2 29· n
n 15,21 cm
Aplicando ahora el teorema de la altura: 2 hnm
·
209,75 h
209,cm 75 14, 48
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 101 8. Calcula el lado que falta y la altura sobre la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos: 137
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Llamando a a la hipotenusa del triángulo, por el Teorema de Pitágoras:
a 2 72 24a2 625 cm 25 Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos: 72 25· m m 1,96cm
242 25· n n 23,04 cm Aplicando el teorema de la altura podemos hallar la altura h sobre la hipotenusa:
nhm2 ·
h·
2 72 24 25 25
2 2
7 · 24 7·24 cm 6,72 25 2 25 En este triángulo, el lado que falta es uno de los catetos, b :
b 2 2 13 5 144cm12 132 2 b2 5 Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos: 52 13· m m 1,92cm
122 13· n n
11,08 cm
Aplicando el teorema de la altura podemos hallar la altura h sobre la hipotenusa: 2 52 12 nhm2 · h· 13 13
22
5 ·12 5·12 cm 4, 62 13 2 13
En el tercer triángulo el lado que falta es uno de los catetos, c :
cc 2 217 8 225 cm 172 27 2 15 Sean m y n las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos: 82 17· m m 3,76cm
152 17· n n
13, 24 cm
Aplicando el teorema de la altura podemos hallar la altura h sobre la hipotenusa: 2 82 15 nhm2 · h· 17 17
22
8 ·15 8·15 cm 7,06 17 2 17
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 102 9. Determina el área de los siguientes trapecios: a) Llamando h a la altura del trapecio trazada desde el vértice como se indica en la figura, se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa 26 cm y cateto mayor 54 30 24 cm. El tercer cateto es la altura, que podemos calcular con el Teorema de Pitágoras:
138
Matemáticas 4º ESO Académicas
2 2 262 24
hh
2 26 24 100cm10
2
Por tanto, el área del trapecio es: B b · h 54 3 0 ·10 A 420 cm2 2 2 b) Sea h la altura del trapecio, que es el cateto mayor del triángulo rectángulo que se forma al trazarla desde uno de los vértices superiores tal como se ve en el dibujo, que tiene de hipotenusa 17 cm y de cateto menor 31 15 :2 8 cm:
hh 172 28 2
17 7 225 cm 15 Por tanto, el área del trapecio es: B b · h 31 15 ·15 A 345cm2 2 2 2 2
10. Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. Si trazamos la altura h se forma un triángulo rectángulo con dos vértices del triángulo y el punto medio de la base, tal como se ve en la figura. Por el Teorema de Pitágoras:
hh 122 26 2
12 6
3 108 6cm
2 2
Por tanto, el área del triángulo es:
A
b· h 12·6 3
2
36 3 cm2 62,35 cm2
2
11. Calcula el área de un triángulo cuyos lados midan 17,10 y 21 cm.
Si trazamos la altura h desde uno de los vértices, tal como se muestra en la figura, obtenemos dos triángulos rectángulos ACD y BCD . Si aplicamos el Teorema de Pitágoras en cada uno de ellos obtenemos el siguiente sistema: 2 2 2 h m 17 2 2 h 21 m 10
2
Despejando h 2 en ambas ecuaciones e igualando, obtenemos: 2 2 172 m 10 21
m
2 2 172 2 m 21 2 42 10
2
m m
2 172 21 210 42 m m
630 15 cm 42
De la primera ecuación, se tiene que h 172 15 2 64 8 cm . Por tanto, el área del triángulo es igual a A
139
21·8 84 cm2 2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
12. Calcula el área de un hexágono regular de 20 cm de lado: Trazando el radio del hexágono y la apotema del hexágono a desde su centro al punto medio de uno de sus lados se forma un triángulo rectángulo como se aprecia en el dibujo. Sabiendo que en un hexágono regular la medida del radio de y del lado coinciden, aplicamos el Teorema de Pitágoras para obtener a : 2 a2 a 102 20
2
2 20 10 300cm10 3
Teniendo en cuenta que el perímetro del hexágono p es igual a 120 cm, el área del hexágono es igual a:
A
p · a 120·10 3
2
2
600 3 cm2 1039,23 cm2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 103 13. Calcula el área de un trapecio isósceles de 12 cm de base menor, 28 cm de base mayor y 17 cm de lados iguales. Trazando la altura desde uno de los vértices superiores se forma un triángulo rectángulo. Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
h 172 2 h2 8
2 2
17 8
225cm15
El área del trapecio es por tanto: B b · h 28 12 ·15
A
2
2
2
300 cm
14. Antonio mide 168 cm y su sombra en este preciso momento mide 2,1 m. Si la sombra de un árbol que está junto a él mide 7,5 cm, ¿qué altura tiene el árbol? El triángulo que forma Antonio con su sombra y el rayo de sol es semejante al que forma el árbol. Por tanto: h 1,68 h 6m 7,5 2,1 15. Calcula el lado de un rombo de diagonales de 20 cm y 48 cm. El lado l de un rombo es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con las semidiagonales.
2 24 l2 l 2 10
676 cm 26
16. Calcula los catetos y la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo: Aplicando el teorema del cateto: 2 24 32 242 54 · x x 10,6 54 3 2 30 50 302 54· y y 16,6 54 3 Aplicando el teorema de la altura:
h2 24·30 h 140
720 cm 12 5
cm cm
cm26,83
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 104 17. Calcula el área de la región sombreada en cada figura: a) La figura está formada por un cuadrado de lado 12 cm con un hueco circular de radio 6 cm. Por tanto, su área es el resultado de restar el área del círculo a la del cuadrado: A Acuadrado A 122 ·6 2 144 36 30,9 cm2 círculo b) En estede caso, sealtrata unha sector circular un radio de 4 m y un ángulo 120º que de se le suprimido uncon triángulo isósceles. Puesto que 120º es la tercera parte de 360º, el área del sector circular puede calcularse como la tercera parte del área del círculo del mismo radio: r 2 16 Asector cm2 3 3 Para hallar el área del triángulo isósceles nos fijamos en que la altura trazada desde el vértice formado por los lados iguales divide a la base en dos mitades y forma un triángulo rectángulo, como se ve en la figura. Aplicando el Teorema de Pitágoras: 2
b 42 2 2 2 2 b224·2 2 48b43 2 Por tanto, el área del triángulo es: Atriángulo
b · h 4 3·2
2
2
cm
4 3 cm2
El área de la figura sombreada es, por tanto: 16 A Asector Atriángulo 4 3 9,83 cm2
3
c) El área de una corona circular se halla restando las áreas de los círculos exterior e interior: Acorona A R 22 r 22 12 2 8 80 2 cm 251,33 cm R A r d) La figura es un sector de 100º de una corona circular. Calculamos el área de la corona completa: Acorona A R 22 r22 9 24 65 2 cm 204, 2 cm R A r El área de la figura es:
A
100 325 ·65 cm2 56, 72 cm2 360 18
e) La figura sombreada es el hueco entre un cuadrado de lado 5 cm y cuarto de un círculo del mismo radio:
Acírculo 25 25 5,37 cm2 4 4 f) La figura sombreada es el doble del resultado de restar un cuarto de círculo de radio 12 cm a un cuadrado del mismo lado: Acírculo 144 A 2 Acuadrado 2144 61,81 cm2 4 4 A Acuadrado
141
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 105 18. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma recto cuya base es un cuadrado de 5 cm de lado 10 cm de altura. Área lateral El área lateral es la suma del área de sus caras laterales, con forma rectangular de base 5 cm y altura 10 cm (dos bases cuadradas y cuatro caras rectangulares): A 4·5·10 200 cm2 lateral Área total Atotal 2 Abase Alateral 2·5 2 200 250 cm2 Volumen 3 VA hbase · 5 2·10cm 250 19. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide recta que tiene como base un cuadrado de 8 cm de lado y 10 cm de arista lateral. Área lateral Las caras laterales tienen forma de triángulo isósceles de base 8 cm. Podemos calcular su altura utilizando el Teorema de Pitágoras:
102 2 h2 4h
2 2
cm 10 4 84 4 21
18,33 cm
Por tanto:
8·4 21 2 2 Alateral 4· 64 21 cm 1173,14 cm 2 Área total Atotal Abase Alateral 82 1173,14 1237,14 cm2
Volumen La altura a de la pirámide forma un triángulo rectángulo con la altura de una cara h y el segmento que une el centro de la base con el punto medio del lado, que mide su mitad. Por tanto:
h2a2 2 a 4 h 2 2 4 68cm217 cm 8, 25 Calculamos el volumen mediante la fórmula: V
Abase · a 8 2·2 17
3
3
175,92cm3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 106 20. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras: a) Un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de generatriz. Área lateral La cara lateral es un rectángulo de altura g 12 cm y base L 2 r 10 cm :
Alateral L · g 1 20 cm2 376,99 cm2 142
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Área total Para calcular el área total debemos sumar las dos bases al área lateral: A 2· Abase A lateral 50 120 534,07 cm2 Volumen 3 V A base g · rg 2 cm 300 3cm 942, 48 b) Un cono de 8 cm de radio y 10 cm de generatriz. Área lateral La cara lateral es un sector circular de radio g 10 cm : Alateral rg 80 cm2 251,33 cm2 Área total Para calcular el área total debemos sumar la base al área lateral: A Abase Alateral 64 80 144 cm2 452,39 cm2 Volumen Para calcular la altura utilizamos el triángulo rectángulo formado por ella, el radio y la generatriz:
h2 g r 2 2 h36 cm36 6 Por tanto: A · h r 2 h 384 V base cm 3 3 3
3
3
cm402,12
21. Calcula el área y el volumen de una esfera de 8 cm de radio. Área: A 4 r
2
4 3
256 cm2 804, 25 cm2
Volumen: V r
3
2048 cm 3
3
2144,66 cm
3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 107 22. Calcula el área de cada región sabiendo que el plano está a escala 1:120 y que el cuadrado tiene un área de 12 cm2 en ese plano.
1 pero como queremos calcular el área 120 real a partir de la del plano debemos usar su inversa, r 120 . La razón de escala es
Las áreas de las figuras son proporcionales a las áreas en el plano con razón de proporcionalidad r 2 . El cuadrado DEHG tiene un área en el plano de 12 cm2 , luego su 2 2 2 área real será: ADEGH 12· r 172800 cm 17,28 m .
El hexágono tiene como lado el segmento ED , que es también el lado del cuadrado y por tanto: ED 12 2 3 cm . El perímetro del hexágono es por tanto p 12 3 cm y podemos calcular su apotema utilizando el teorema de Pitágoras y el hecho de que su radio mide igual que su lado: 143
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
3
a 2 23
SOLUCIONARIO
2
3 cm
p · a 12 3·3 18 3 cm2 2 2 2 2 Ahexágono (real ) Ahexágono · r448947,57 cm44,89 Ahexágono
m2
En cuanto al triángulo EHI se puede apreciar que su área es la sexta parte del hexágono, luego: Ahexágono( real) 44,89 AEHI ( real) 7,48 m2
6
6
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 110-112 1. Indica cuáles de estas figuras son semejantes y calcula su razón de semejanza:
La primera figura y la tercera tienen todos los ángulos iguales, de modo que son semejantes. Midiendo los segmentos correspondientes AB y MN tenemos que AB 2· MN y por tanto la razón de semejanza es r 2 . La segunda figura, en cambio, no es semejante a las otras dos, lo que se puede comprobar observando que el ángulo correspondiente al vértice A no es igual que el ángulo G . 2. Copia la siguiente figura en una hoja cuadriculada y dibuja una figura semejante a esta con raz ón de semejanza 2.
144
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Trazamos un segmento HI paralelo a AB y del doble de su longitud. Trazando las rectas AH y hallamos el punto como su intersección, y desde ese punto trazamos rectas a cada uno de los vértices del polígono srcinal. Los lados del polígono semejante se trazan mediante paralelas a los lados del polígono srcinal y obtenemos de esta forma una figura semejante con razón r 2 .
3. Dada la siguiente figura, construye una figura semejante con razón de semejanza
1 utilizando el 2
vértice A como punto para la proyección.
4. Dada la siguiente figura, construye una figura semejante con razón de semejanza vértice A como punto para la proyección.
145
1 utilizando el 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EL TEOREMA DE TALES. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5. Dado un triángulo de lados 3,8 cm, 46 mm y 0,48 m, calcula las medidas de un triángulo semejante a éste con razón de semejanza 4,2. Las medidas del triángulo semejante serán las del triángulo dado multiplicadas por la razón de semejanza. Por tanto, sus medidas serán: 3,8·4, 2 15,96 cm , 46·4, 2 193, 2 mm y 0,48·4,2 2,016 m . 6. Si trazamos la diagonal de un paralelogramo, ¿los triángulos que s e obtienen son semejantes? Los segmentos AB y BD son iguales y también lo son los ángulos y , por ser ángulos alternos formada por una secante a dos paralelas. Por tanto, los triángulos ABC y BCD comparten un ángulo y los segmentos que lo forman, y por tanto son iguales (algo más que semejantes). 7. Dados los siguientes triángulos en forma de Tales, calcula sus lados: Llamando x a la longitud del segmento BD e y a la de AE , podemos aplicar el teorema de Tales: 12 x 18 x 9, 6 cm 10 12 x 216
12
146
10
Matemáticas 4º ESO Académicas
y 16 18 10 y 16 18 y 10 y
y20
SOLUCIONARIO
cm
8. Sabiendo que las rectas a y b son paralelas, razona si los triángulos ABC y CDE son semejantes. Calcula los lados CE y ED . Como las rectas a y b son paralelas, A D y B E por ser ángulos alternos interiores producidos por sendas C en cada secantes a las paralelas.son Lostambién ángulos iguales en el vértice uno de los triángulos por ser ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, los triángulos y tienen los tres ángulos iguales y son semejantes.
Utilizando la semejanza entre los triángulos, tenemos que: CE 10 CE 20cm 28 14 ED 10 80 11, 43cm ED
16 14
7
TEOREMAS DEL CATETO Y DE LA ALTURA 9. Calcula la altura sobre la hipotenusa y los catetos del siguiente triángulo: Por el teorema del cateto: AB2 AC · AD AB 26·18 6 13
cm
BC 2 AC · CD BC 26·8 4 13 cm Aplicando ahora el teorema de la altura:
h2 ADCD· h 312 2 72 cm 10. Calcula el perímetro de los siguientes rectángulos: Por el teorema de la altura: h 2 A · CD DCD
144 cm 18 8
Por tanto, AC 18 8 26 cm . Aplicando el teorema del cateto:
AB2 AC · AD AB 26·8 4 13 BC AC · CD BC 26·18 6 13 2
cm cm
El perímetro del triángulo es: p 26 10 13 cm 62,06 cm Aplicando el teorema del cateto en el otro triángulo:
292 42,05 cm 20 Por tanto: CD AC y por el teorema del cateto: AD 22,05 cm AB 2 AC · CD AC
BC 2 AC · CD BC 2 42, 05· 22, 05 30, 45 cm El perímetro es: p 42,05 30,45 29 101,5 cm
147
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
11. Calcula la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo: Por el teorema del cateto: BC 2 AC · CD CD
64 cm 17
Aplicando el Teorema de Pitágoras en BCD :
h 2 82
64 17
2
64·17 64 6 4·16 h 2 17 2 17
64·16 3 2 cm 17 172
12. Calcula la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo: 2 2 2 AC 400 20 Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar AC : AC 16 12 Por el teorema del cateto:
256 12,8 cm 20 144 BC 2 AC · CD 7, 2 cm CD 20 Aplicando el teorema de la altura: h2 12,8·7,2 h
cm
AB2 AC · AD AD
92,16 cm 9,6
TEOREMA DE PITÁGORAS. ÁREAS 13. Determina el lado que falta de los siguientes triángulos rectángulos:
En el primer triángulo el lado que falta es la hipotenusa, por tanto: 2 a 2 21 20 a2 841 cm 29 En el segundo triángulo, el lado que falta es uno de los catetos, por tanto: 2 b2 26 10 b2
576 cm 24
14. Calcula la altura de un t riángulo equilátero de lado 5 cm. Trazando la altura del triángulo obtenemos un triángulo equilátero en el que la altura es uno de los catetos y la mitad de la base es el otro cateto. Por tanto:
h2 52 2,5 h2
cm 4,33 18,75
15. Calcula el perímetro de un rectángulo de diagonal 40 cm; uno de sus lados mide 24 cm. Como la diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo con los lados, cuya hipotenusa es la diagonal, llamando a al lado desconocido, tenemos que:
a2 a 2 402 24
1024 cm 32
Por tanto, el perímetro es: p 2· 32 24 112 cm 148
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
16. Calcula el área de un cuadrado cuya de diagonal 7 cm. Llamando a al lado del cuadrado, por el Teorema de Pitágoras: 49 2 2 aa2 2 2 a 7 2a 49 2 49 2 Por tanto, el área es A a 24,5 cm2 2 17. Calcula la altura de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 5 cm c ada uno. La altura h forma un triángulo rectángulo con la mitad de la base y uno de los lados iguales. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
2 4 2h 9 3cm h2 5 18. Calcula el perímetro de un rombo que tiene por diagonales 10 y 24 cm. El lado del rombo, a , es la hipotenusa de un triángulo que tiene por catetos las semidiagonales del rombo. Por tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras:
a 2 52 169 cm 13 12 2a Por tanto, el perímetro es: p 4a 52 cm 19. Calcula el área de un hexágono regular de 72 cm de perímetro. El lado del hexágono mide 72 12 cm y por tanto su radio también. La apotema a forma un triángulo 6 rectángulo cuya hipotenusa es el radio y el otro cateto es la mitad del lado. Por tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras:
a 2 122 62 a 6cm 3 El área del hexágono es por tanto: p· a A 216 3 cm2 374,12 cm2 2 20. Calcula el área de un pentágono regular de lado 10 cm; el radio es la circunferencia circunscrita es 8,5 cm. La apotema a forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio y la mitad de un lado el otro 2 cateto. Por tanto: a 2 8,52 5a
47, 25 cm 6,87
. El área del pentágono es:
p · a 50·6,87 2 A 2 171,85cm 2 21. Calcula el perímetro del trapecio isósceles que se muestra en la figura: El triángulo ABE es un triángulo rectángulo y su cateto menor mide 40 10 :2 15 cm . Por tanto:
AB2 242 15 2 AB 801 9 89
10 2·9 89 El perímetro es: p 40 149
cm
219,81 cm
Matemáticas 4º ESO Académicas
22. Calcula el área del trapecio que se muestra en la figura: Trazando una vertical desde C formamos un triángulo rectángulo de hipotenusa 20 cm, un cateto la altura h y el cateto menor igual a 37 25 12 cm . Aplicando Pitágoras: 2 h2 20 12 h2 256 cm 16 . Por tanto, el perímetro es: p 37 25 16 98 cm 20
23. Calcula la altura del siguiente triángulo: Trazando la altura desde C dividimos el segmento AB en dos segmentos, x y 21 x . Aplicando el Teorema de Pitágoras a los triángulos ACD y BCD tenemos:
h 2 x 2 102 2 2 h 21 x 17
2
Despejando en la primera ecuación: h 2 102 x 2 y sustituyendo en la segunda: 2 102 2 x 21 422 2 x x17
42 x 252 x 6 cm h 106 28
2
cm
24. Calcula el perímetro del triángulo rectángulo: Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo BDC :
2 DC 576 24 cm DC2 262 10 Por el teorema de la altura: 26 169 100 25 cm y por tanto AC 24 102 24· AD cm AD 6 6 24 6 Por el teorema del cateto: 169 25 13·5 6 5 · AB AB2 cm 66 6 6 169 65 350 175 Por tanto, el perímetro del triángulo ABC es: p 26 cm 6 66 3 FIGURAS CIRCULARES 25. Calcula el área de la zona sombreada: Corona circular: A R2 2r
2 25 12
2 2
481 m
120 · r ·144 48 Sector circular: A cm2 360 360 875 2 2 2 Sector de una corona: A R r cm 360 12 Círculo con hueco circular: A R2 2 r 22 10 52 75 cm
150
2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
26. Calcula el área de la zona sombreada: La figura está compuesta de un cuadrado al que se le han hecho dos huecos semicirculares. Juntando los dos huecos forman un círculo de radio 10 cm :
A Acuadrado Acírculo 202 10 2 85,84 cm2 La segunda figura tiene la misma área ya que juntando los cuatro cuartos de círculo tenemos un círculo del mismo radio.
CUERPOS GEOMÉTRICOS Y DE REVOLUCIÓN 27. Calcula el área lateral y el volumen de un cubo de 10 cm de arista: 2 4 00 cm2 Área lateral: A 4· Acara 4·10
Volumen: V a
3
103 1000 cm
3
28. Calcula el área lateral y el volumen de un cilindro hexagonal de 20 cm de lado y 10 cm de altura: 2 Área lateral: A 6· Acara 6·20·10 1200 cm
Volumen: V Abase · h Para calcular el área de la base, hay que tener en cuenta que la apotema forma un triángulo rectángulo 2
2
2
20 10 a con la mitad del lado y el radio del hexágono: a 300cm10 3 p · a 120·10 3 600 3 cm2 y V 600 3·10 6000 3 cm3 Por tanto: Abase 2
.
2
29. Calcula el volumen de una pirámide recta cuya base es un cuadrado de 15 cm de diagonal y cuyas aristas en las caras triangulares miden 25 cm. Para calcular el área de la base tenemos en cuenta que la diagonal del cuadrado forma un triángulo rectángulo con dos lados l de modo que, aplicando el Teorema de Pitágoras: l 2 l 2 152 y por tanto
225 15 15 2 225 cm . El área de la base es: Abase l 2 112,5cm2 . 2 2 2 2 La altura de la pirámide forma, a su vez, un triángulo rectángulo con la mitad de la diagonal de la base l
2
y la arista. Por el Teorema de Pitágoras: h 2 25 2
h El volumen de la pirámide es, por tanto: V A
1 3
15 2275 2 4h
base
591 · 1 ·112,5· 3
4
2275 5 91 cm 2
cm 894,32 2
. 3
30. Calcula el volumen de una pirámide recta cuya base es un hexágono de 10 c m de lado y cuyas aristas en las caras triangulares miden 12 cm de longitud Para calcular el área de la base tenemos en cuenta que la apotema a del hexágono forma un triángulo rectángulo con la mitad del lado y con el radio, que es igual al lado. 151
Matemáticas 4º ESO Académicas
2 2 Aplicando el Teorema de Pitágoras: a 2 10 5a
75 cm 53
SOLUCIONARIO
y por tanto el área de la base
p · a 60·5 3 es: Abase 150 3 cm2 . 2 2 La altura de la pirámide forma, a su vez, un triángulo rectángulo con el radio de la base y la arista. Por el Teorema de Pitágoras: h2 122 10 h2
44cm2 11 . 1 El volumen de la pirámide es, por tanto: V A hbase · 100 cm 33 3
3
cm 574,56
3
31. Calcula el área de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura:
2A A base
2 r r Alateral h 2 ·5· 5 12 170
534,07 cm2
cm2
32. Calcula el volumen de un cilindro de 20 cm de diámetro y de 15 cm de altura:
A base h ·rh El radio de la base es r 10 cm , luego: V
2
cm 1500
3
cm 4712,39
3
33. Calcula el área de un cono de 24 cm de diámetro y 5 cm de altura: La generatriz del cono es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio de la base 2 2 2 2 2 y la altura: g r h 12g 5
Por tanto: A Alateral A base r g
cm169 13 r 300 cm2 942, 48 cm2 .
34. Calcula el volumen de un cono de 12 cm de radio y 15 cm de generatriz: 2 2 Como el radio de la base es r 12 cm , tenemos que Abase r 144 cm . La altura del cono es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz y cuyo otro 2 g r2 h 2 cateto es el radio de la base: h
cm 81 9 1 3 3 1357,17 ·144 ·9 cm432 cm 3
1 V A h base · 3
.
35. Calcula el área y el volumen de una esfera de 15 cm de diámetro: Área: A 4 r 225 cm 760,86 cm 2
4 3
Volumen: V r
2
3
cm 562,5
2
3
cm 1767,15
3
ÁREA Y VOLUMEN DE FIGURAS SEMEJANTES 36. El área de un cuadrado es 18 cm 2. Calcula el área de un cuadrado semejante a este con razón de semejanza 2,4. El área se multiplica por el cuadrado de la razón de semejanza: A 18·2,4 103,68 cm . 2
152
2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
37. El perímetro de un paralelogramo es 18 cm. Calcula el perímetro de un paralelogramo semejante a este con razón de semejanza r
2 . 3
El perímetro, al ser una dimensión lineal, se multiplica por la razón de semejanza: p 18·
2 12 cm 3
38. El volumen de una pirámide es 18 cm3. Calcula el volumen de una pirámide semejante a ésta con razón de semejanza 0,8. El volumen del cubo se multiplica por el cubo de la razón de semejanza: V 18·0 ,8 9,216 cm . 3
3
39. El siguiente plano está a escala 1:25 . Calcula el perímetro y el área de cada habitación. Habitación EDGF : es un cuadrado de lado 6 cm . Por tanto, su perímetro en el plano es p 24 cm y su área A 36 cm . El perímetro real de la habitación es: p 24· 25 600 cm 6 m y el área: 2
A 36·252 22500 cm2 2,25 m2 . Habitación ABCD : El segmento AB forma un triángulo rectángulo con un cateto BC 10 cm e hipotenusa AC 26 cm . Por tanto: AB2 262 10 2 AB 576 24
cm .
El
perímetro
real
es,
por
tanto:
p 2 10 24 ·25 1700 cm 17 m y el área real A 10·24·252 150000 cm2 15 m2 . Fdese forma Habitación EFIH : Trazando la altura rectángulo de y catetoun triángulo Porhipotenusa tanto: 17 cm h desde 14 6 8 cm .
h2 172 82h
225 cm 15
. El perímetro real de la
habitación es p 17 14 1 5 6 ·25 1300 cm 13 m . El área del trapecio en el plano es: A
6 14 ·15 2
150cm2 y el real:
A 150·252 93750 cm2 9,375 m2
PROBLEMAS 40. Una viga de madera de 4 m es tá apoyada en la pared y separada de ésta 120 cm. ¿A qué altura estará el punto más alto de la viga? La escalera es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la separación hasta la pared. Por tanto:
1, 2 2 h2 42
h 14,56 3,82 m
41. Un triángulo tiene 24 cm 2 de área y uno de sus lados mide 4,8 cm. Calcula el área de un triángulo semejante a este en el que mida 12 cm el lado correspondiente al anterior. La razón de semejanza es r 153
12 2,5 y por tanto el área A ' A· r 2 24·2,5 4,8
2
150 cm2 .
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
42. Un álamo tiene la raíz enferma y para evitar que se caiga lo han afianzado con dos vientos. De esta manera, está perpendicular al suelo y sujeto con dos cables tal como se muestra en la figura. Si el ángulo que forman entre ellos es recto y la distancia de cada cable al árbol es 5 dm y 200 cm, respectivamente, ¿a qué altura está el á rbol sujeto? ¿Qué longitud de cable s e necesita? Aplicamos el teorema del cateto al triángulo EFG para calcular la longitud de cada cable:
EF 2 25·5 EF 125 5 5 dm11,18
25·20 EF 500 10dm 5 FG Por tanto, se necesitan en total: 2
5 5 1 0 5 15 5
dm
22,36 dm
dm33,54 dm
43. Ana está mirando el fondo de una piscina desde 1,5 m del borde. Si el ancho de la piscina es de 5 m y Ana mide 160 cm de alto, ¿qué profundidad tiene la piscina? El triángulo ADE , formado por la mirada de Ana, su altura y su distancia al borde de la piscina, es semejante al triángulo DHI por la igualdad de los ángulos EAD IDH y ADE DHI . Por tanto:
AE DE
DI 5·1,6 5,3 m DI 1,5 HI
La profundidad de la piscina es de 5,3 m . 44. Una casa de 8 m de altura proyecta una sombra de 6 m a las 2 de la tarde. Si a esa misma hora Ana tiene una sombra de 123 cm, ¿cuánto mide Ana? La casa, su sombra y los rayos de sol forman un triángulo semejante al que forman Ana, su sombra y los rayos de sol, ya que el ángulo que forman son iguales. Llamando h a la altura de Ana: h 6 123·6 h 92,25 cm . Ana mide 92,25 cm .
123 8
8
45. Unas escaleras mecánicas tienen un tramo de subida y otro de bajada, y deja un hueco de escalera como el que se muestra en la figura. Si cada kg de pintura da para pintar 5 m 2, ¿cuántos kilogramos de pintura necesitaríamos para dar dos manos de pintura al hueco de escalera? Podemos calcular el segmento ED aplicando el teorema de la altura al triángulo ABD :
ED2 24·6 ED 144 12 m 30·12 El área del triángulo ABD es A 180 m2 . Por ser 2 el triángulo BCD igual, en total necesitaremos pintar el equivalente a un área 4 veces el triángulo. Por 4·180 tanto, necesitaremos un total de 144 kg de pintura. 5
154
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
46. Dado un triángulo de lados 3,9; 2,7 y 4 m, c alcula las medidas que tendrá un triángulo a escala 2:15 . La razón de semejanza es r Las medidas serán: 3,9·
2 . 15
2 2 2 0,52 m ; 2,7 · 0,36 m y 4· 0,53 m 15 15 15
47. Rocío tiene una parcela rectangular cuya diagonal mide 40 m y 8 m más de largo que de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados mide la parcela? Llamando x al ancho de la parcela, el largo mide x 8 y ambos son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
x 2 x 8
2
40 x
2 22
x 16 x64 1600
2 x 16 x 1536 0 2
x
x1 24 16 16 2 4·2 ·1536 16 112 4 4 x2 32
La altura mide 24 cm y la base 32 cm y por tanto el área es: A 32·24 768 m
2
48. Una piscina de 4 m de ancho y 5 m de largo tiene una profundidad de 60 cm en el punto que menos cubre y de 180 cm en el que más. ¿Cuántos litros de agua caben en la piscina? Se trata de un prisma de base trapezoidal y altura 4 m. Para calcular la altura a de la base, trazamos una perpendicular a CH desde D formando un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 m y de cateto 180 60 120 cm . Por tanto:
h 52 1,2 2 4,85 m . El volumen del prisma es: 1,8 0,6 ·4 ,85 hAV base · m ·4 23,3 2
3
.
DESAFÍO PISA- PÁG. 113 DE REFORMAS EN EL PISO Los padres de Antonio van a realizar una reforma en su vivienda y para hacer un presupuesto aproximado han recopilado los datos que a continuación se muestran. Para las medidas de las habitaciones, han utilizado los planos de la vivienda y han recogido en la siguiente tabla los datos obtenidos del plano sabiendo que está a escala 3 : 85.
155
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Después han estado viendo los precios para alicatar los baños y la cocina, además de pintar el piso. En las siguientes tablas han recogido los precios por metro cuadrado de cada producto:
A todo esto tienen que añadir la mano de obra por alicatar y poner suelo, que tiene de precio 12 €/m2. Cuando se realiza un presupuesto para alicatar o pintar una vivienda, no se descuentan la superficie de puertas y ventanas, sino que se considera que todas las habitaciones están cerradas por completo. Además, la altura media de una habitación es de 2,35 metros. ACTIVIDAD 1. Pintar de blanco con la pintura 1 el dormitorio 2 cuesta: A: 98 €. El perímetro de la habitación es: P
mm 630
630:
3 m 17,85 85
, lo que multiplicado por la
altura da un área para pintar de A 41,95 m . Multiplicando por el precio de la pintura elegida se obtiene que el coste es de C 98 € 2
ACTIVIDAD 2. El baño 1 completo, pintando el techo de blanco, alicatando el baño y cambiando el suelo, cuesta como mucho: C: 1223 €. El techo mide AT
3 3 88: · 91: 6, 43 m2 , por lo que pintarlo de blanco, con la 85 85
pintura más cara, costará: CT
6, 43·3, 20 20,57 € .
3
·2,35 23,84 m2 . Para Las paredes del baño 1 tienen un área total de: AP 2· 88 91 : 85 calcular el coste de alicatar hay que tener en cuenta el coste del azulejo 1 más el de la mano de obra: por lo que alicatarlas con el azulejo 1 costará CP 23,84·24,10 12 860,51€ El suelo tiene un área igual al techo. Poniendo el suelo 1 y sumando la mano de obra, el coste es: CS 6,43·41,20 12 342 € . 1223,09 € El coste total es: C C TC C P S ACTIVIDAD 3. Alicatar la cocina con los azulejos más baratos costaría:
A: 760 €. La cocina tiene un área de A 2· 137 96 : 3 ·2,35
85
31,03 m2 , que, multiplicado por
el coste del azulejo más baratos y el precio de la mano de obra, da un coste de C 31,03·12,50 12 760,18 € ACTIVIDAD 4. Pintar el salón y el dormitorio 1 de color y el techo blanco costará, como mínimo:
156
Matemáticas 4º ESO Académicas
B: 356 €. Las paredes del salón tiene n un área de AS
SOLUCIONARIO
3 2· 185 195 : ·2,35 50,6 m2 y las del 85
3
·2,35 40,08 m2 por lo que pintarlas de color con la pintura dormitorio AD 2· 145 156 : 85 más barata costará CP AS AD ·2,70 244,85 € . Los techos del salón y del dormitorio tienen, por otra parte, áreas de ATS 28,96 m2 y ATD 18,16m 2 respectivamente, por lo que pintarlos de blanco costará: CT
A
TS
ATD ·2,35 110, 73 € para un coste total de C
CP CT
355,58 € .
ACTIVIDAD 5. Si en colocar 2 m 2 de suelo se tarda al menos 1 hora y 10 minutos trabajando 8 h/día, el tiempo que se empleará en poner el suelo de todo el piso será de: B: 7 días. Las dimensiones reales, en metros, de la casa son: Cocina Baño1 Baño2 Dorm 1 Dorm 2 Largo 3,88 2,49 3,40 4,11 4,39 Ancho 2,72 2,58 3,12 4,42 4,53 Área Suelo 10,56 6,43 10,60 18,16 19,91 94,61 7 · 55,19 h Por tanto, en cambiar todo el suelo se tardarán t 2 6 es 55,2 :8 6,9 .
Salón 5,24 5,53 28,96
Total 94,61
y por tanto el número de días
ACTIVIDAD 6. Se ha producido un error y la escala es de 1:30. El tiempo empleado en poner todo el suelo será: C: 8 días. En este caso las medidas reales de la casa son: Cocina Baño1 Baño2 Dorm 1 Dorm 2 Largo 4,11 2,64 3,60 4,35 4,65 Ancho 2,88 2,73 3,30 4,68 4,80 Área Suelo 11,84 7,21 11,88 20,36 22,32
Salón 5,55 5,85 32,47
Total 106,07
106, 07 7 Por tanto, en cambiar todo el suelo se tardarán t · 61,9 h y por tanto el número de días 2 6 es 61,9: 8 7,7 .
157
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 6: Trigonometría en ángulos agudos EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 118 1. Calcula el valor de las razones trigonométricas en los siguientes triángulos rectángulos. a) Calculamos la hipotenusa utilizando el Teorema de Pitágoras:
h 122 8 2 208 4 13
cm .
Las razones trigonométricas de son: 8 2 2 13 sen 13 4 13 13
12 3 3 13 13 4 13 13 8 2 tan 12 3
cos
Las razones trigonométricas de son: sen
313 213 ; cos 13 13
;tan
3 2
b) Calculamos el cateto restante usando el Teorema de Pitágoras:
a 24 2 16 2 320 8 5 cm . Las razones trigonométricas de son: 16 2 sen 24 3 8 5 5 cos 24 3
tan
16
8 5
25 5
Por tanto, las razones trigonométricas de son: sen
5 2 ; cos ;tan 3 3
c) Calculamos la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras:
h 202 30 2 1300 10 13 cm . Las razones trigonométricas de son:
sen
30 10 13
3 13 13
20 2 13 cos 10 13 13 30 3 tan 20 2 Las razones trigonométricas de son: sen
158
213 313 ; cos 13 13
;tan
2 3
5 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 119 2. Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que: a) sen 0,3 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que
cos2 1 0,3 2 0,91 cos 0,91 0,95 . sen 0,3 Calculamos la tangente: tan 0,31 cos 0,96 b) cos 0,5 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que sen 2 1 0,5 2 0, 75 sen 0, 75 0 ,87 . sen 0,87 Calculamos la tangente: tan 1, 73 cos 0,5 c) tan 5 . Utilizando la definición de tangente, tenemos que: sen tan 5 sen 5 cos cos Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que: 2 sen 2 cos 1
2
2 25cos
cos
1 0,196 26
1 cos
.
1 0,98 26
Calculamos el seno: sen 5cos 5
3. Calcula el seno y el coseno de un ángulo sabiendo que: a)
1 . Utilizando la definición de tangente, tenemos que: 2 sen 1 tan cos 2sen cos 2 Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría: tan
2 2 sen 2 2cos 1 s en
4sen
1 s en
Calculamos el coseno: cos 2sen
1 5
5 . 5
2 5 5
2 . Utilizando la definición de tangente, tenemos que: 3 sen 2 2 tan cos 3 sen 3 cos Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría:
b) tan
2 24 sen 2 2cos 1 cos 9
cos 2 3
1 cos 213 13
Calculamos el seno: sen cos
159
1393 1313
.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
1 . Utilizando la definición de tangente, tenemos que: 4 sen 1 tan cos 4sen cos 4 Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría: tan
2 2 sen 2 cos 1 sen 2
16sen
1 17
1 s en
17 . 7
Calculamos el coseno: cos 4sen 4 17
17
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 120 4. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 45º utilizando un cuadrado de 12 cm de lado.
La diagonal del cuadrado es la hipotenusa de triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 12 cm. Por el Teorema de Pitágoras:
d 2 122 12 d2 288cm12 2 Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son, por tanto:
sen 45º
12 122
2 2
12 cos 45º 122
2 2
12 tan 45º 12
1
5. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 30º y 60º utilizando un triángulo equilátero de 16 cm de lado. Trazando la altura h desde un vértice tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado del triángulo y los catetos la altura y la mitad de la base. Por el Teorema de Pitágoras:
h2 162 8d2 192cm8 3 Las razones trigonométricas de 30º y de 60º son: 8 1 8 3 3 sen30º 60º sen 16 2 16 2 3 8 3 81 cos 30º cos 60º 16 2 16 2
8 3 38 tan 30º 3 tan60º 3 8 8 3 6. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 45º utilizando un cuadrado de lado a . Trazando la diagonal d del cuadrado obtenemos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden a 12 cm y la diagonal, por el Teorema de Pitágoras: 2 2 d 2a a d 2 a a 2 cm 2 Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son, por tanto:
a sen 45º a 2 160
2 2
cos45º
a a 2
2 2
tan 45º
a 1 a
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 121 7. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando l a calculadora:
42º1217 17 0,74 tan 42º12 17 sen 42º12 17 0,67 0,91 cos 42º12 b) 84º32 sen 84º32 0,995 cos 84º32 0,095 tan 84º32 10,449 a)
c)
20º12 sen 20º12 0,35 cos 20º12 0,94 tan 20º12 0,37
8. Calcula los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos: En el primer triángulo, podemos usar el arcocoseno de :
12 36,87 36º52 12 15 Por tanto: 90º 53º7 48 53,13 arccos
En el segundo triángulo utilizamos la arcotangente de :
12 38,66 38º39 35 15 Por tanto: 90º 51º2 0 25 51,34 arctan
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 122 9. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: Para conocer el cateto a que falta podemos utilizar el Teorema de Pitágoras: 2 a 2 20 16 a2
144 cm 12 16 El ángulo es arccos 36,87 36º52 12 20 y por tanto: 90º 53º7 48 53,13 En el segundo caso, faltan los dos catetos a y b . a 21 cos 60º a 21·cos 10,5 cm 60º
21 b sen 60º 21
2 3 21 cm 2 El ángulo que falta es 90º 60º 30º b 21·sen 60º
18,19 cm
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 123 10. Aplica el teorema del seno para calcular el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos: 161
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Triángulo 1:
sen50º sen65º x 20 Triángulo 2: sen30º sen15º
a sen135º b
10 sen15º 10
x
20·sen50º sen 65º
16,9 cm
10·sen30º 19,32 cm sen15º 10·sen135º 27,32 cm b sen15º
a
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 124 11. Resuelve los siguientes triángulos: El ángulo que falta es 180º (30º 45º ) 105º . Aplicando el teorema del seno:
sen4 5º sen105º 20·sen4 5º a 14,64 cm 20 sen105º a sen30º sen105º 20·sen30º 10,35 cm b 20 sen105º b En el segundo triángulo, podemos utilizar el teorema del coseno para hallar el lado x que falta: 2 x 222 16 x 20,48 cm 5 2·16·5·cos30º x 419,56 Por el teorema del seno, el ángulo agudo es: sen s en 30 5·sen 45º 0,17 arcsen 0,17 9º 5622 sen 5 20, 48 20, 48 38 El tercer ángulo es, por tanto: 180º (30º 9º56 22 ) 140º3 Por último, en el tercer triángulo podemos hallar el ángulo de la izquierda utilizando el teorema del coseno:
402 24 2 60 2 2·24·60·cos cos 0,894
arccos 0,894
Por tanto, el ángulo opuesto al lado corto: sen sen 26º3346
24
40 24·sen 26º 3346 sen 0, 27 arcsen 0, 27 15º 3349 40 15º33 49 ) 137º52 25 El tercer ángulo será 180º (26º33 46 162
26º33 46
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 125 12. El conductor de un automóvil que circula en línea recta por una carretera observa una luz que proviene del piso 10 de un bloque de pisos que tiene en frente bajo un ángulo de 20º , avanza hacia el bloque 25 m y el ángulo es de 25º . ¿A qué distancia del bloque de pisos se encuentra el conductor? Construimos el siguiente sistema: h tan 20º d 25 ·tan20º h d 25 d ·tan25º h tan 25º h d Igualando:
· tan 20º m
25 88,91 tan 25º tan 20º Por tanto, el conductor se encuentra a 88,91m del bloque de pisos. d 20º d · tan 25º d 25· tan
13. Desde la playa observamos que la cima de un risco próximo está bajo un ángulo de 30º , avanzamos 30 m en dirección al acantilado y vemos que éste queda bajo un ángulo de 45º . Calcula la altura del risco. Construimos el siguiente sistema: h h tan 30º d 30 d tan 30º 30
d h tan 45º
tan 45º h d
Igualando: h
30tan30º tan 45º 40,98 tan30º tan4 5º tan20º Por tanto, el risco está a 40,98 m de altura.
30
h
tan4 5º
h
m
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 128-130 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos utilizando la definición: Triángulo 1. Calculamos el cateto que falta utilizando el Teorema de Pitágoras : a 102 6 2 64 8 m . Las razones trigonométricas de son:
63 sen 10 5
84 cos 10 5
63 tan 84
Por tanto, las razones trigonométricas de son:
sen
163
4 5
cos
3 tan 5
4 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Triángulo 2. La hipotenusa es: h 152 8 2 289 17 m . Las razones de son:
sen
8 17
15 cos 17
8 tan 15
Por tanto, las razones trigonométricas de son:
sen
15 17
8 cos 17
tan
15 8
Triángulo 3. La hipotenusa es: h 16 2 12 2 400 2 0 m . Las razones de son:
sen 16 4 cos tan4 12 3 20 5 20 5 3 Por tanto, las razones trigonométricas de son: 4 3 4 sen cos tan 5 5 3 Triángulo 4. Calculamos el cateto que falta utilizando el Teorema de Pitágoras : a 29 2 21 2 400 2 0 m . Las razones trigonométricas de son: 21 20 21 sen cos tan 29 29 20 Por tanto, las razones trigonométricas de son: 20 21 20 sen cos tan 29 29 21 2. Construye un triángulo rectángulo de forma que el seno de uno de sus ángulos tome el valor 0,25.
1 , esto 4 quiere decir que la razón entre el cateto opuesto a ese ángulo y la hipotenusa es 1: 4 . Cualquier triángulo que construyamos con esas dimensiones cumplirá la condición del enunciado. Si el seno de uno de los ángulos es sen 0,25
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 3. Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que: a) sen 0,35 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que
cos2 0,8775 1 0,35 2
sen 0,8775 0 ,94 . sen 0,35 Calculamos la tangente: tan cos 0,94 0,37 b) cos 0,5 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que sen 2 1 0,5 2 0, 75 sen 0, 75 0 ,87 . sen 0,87 Calculamos la tangente: tan 1, 73 cos 0,5 c) cos 1 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que . sen 2 11 2 0 sen 0 164
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
sen 0 cos d) sen 0,8 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que Calculamos la tangente: tan
cos2 1 0,8 2 0,36 cos 0,36 0 , 6 . sen 0,8 4 Calculamos la tangente: tan 1,3 cos 0,6 3 4. Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que: a) cos
2 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que 2 2
11 2 sen 2 1 1 2 22
1 2 sen 22
Calculamos la tangente: tan b) cos
.
sen 1 cos
3 . Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos que 2 2
31 3 sen 2 1 1 2 44
11 sen 42
Calculamos la tangente: tan
sen
.
1
cos
3 3
3
5. Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente es: a)
sen 2 cos Utilizando la igualdad fundamental de la trigonometría:
tan 2 . Por la definición de tangente, tan
2 sen 2 2cos 1 4 2cos
cos
El seno del ángulo es: sen
2 5 . 5
1 5
1 c os
b) tan 1 . Por la definición de tangente, tan
y por tanto sen 2cos .
5 5
sen 1 cos
Utilizando la igualdad fundamental de la trigonometría: 1 2 2 sen 2 2cos 1 c os cos 1 cos
2
y por tanto sen cos .
2 2
2 El seno del ángulo es: sen . 2 c)
tan 0 . Por la definición de tangente, tan igualdad fundamental de la trigonometría:
165
sen 0 cos
y por tanto sen 0 . Utilizando la
Matemáticas 4º ESO Académicas
sen 2 cos 1 c os2 1 c os 2
SOLUCIONARIO
1
d) tan 0,5 . Por la definición de tangente, tan
sen 0,5 y por tanto 2sen cos . cos
Utilizando la igualdad fundamental de la trigonometría: 2 2 sen 2 2cos 1 sen
4sen
1 sen
1 5 5
cos 5
25 5
6. Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que: a)
3 sen 3 . Utilizando la definición de tangente, tenemos que tan y por tanto 2 cos 2 3cos sen . Por la igualdad fundamental de la trigonometría: 2 9cos2 4 213 sen 2 1 1 cos cos 2 cos 2 4 13 13 tan
3 2 13 3 13 . 2 13 13
El seno del ángulo es: sen · b) tan
3 sen 3 . Por la definición de tangente, tenemos que tan 3 cos 3
y por tanto
3cos . Por la igualdad fundamental de la trigonometría: 3 3cos2 3 3 2 sen 2 1 cos cos 21 cos 9 4 2
sen
El seno del ángulo es: sen c)
tan
3 3 1 · . 3 2 2
3 sen 3 . Por la definición de tangente, tenemos que tan 2 cos 2
y por tanto
3cos . Por la igualdad fundamental de la trigonometría: 2 3cos2 4 27 2 sen 2 cos 1 cos 21 cos 4 7 7
sen
El seno del ángulo es: sen d) tan
327 21 · . 2 7 7
5 . Por la definición de tangente, tenemos que tan sen 5 4 cos 4
5 cos . Por la igualdad fundamental de la trigonometría: 4 5cos2 16 421 2 sen 2 cos 1 1 cos cos 2 16 21 21
sen
El seno del ángulo es: sen 166
5 4 21 105 · . 4 2 1 21
y por tanto
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
7. ¿Existe un ángulo que verifique que sen 0,4 y que cos 0,6 ? Justifica tu respuesta.
0, 4 No, ya que en ese caso sen cos igualdad fundamental de la trigonometría. 2
2
2
2
0,6 0,16 0,36 0 ,52 1
y no se verificaría la
8. ¿Puedes calcular la tangente de un ángulo cuyo seno sea 1? Justifica tu respuesta. 2
2
2
1 c 1 1 cos Si sen 1 entonces sen cos y la tangente no se puede os 0 sen calcular ya que tan y no es posible dividir por cero. En este caso no se trata de un triángulo cos ya que si sen 1 entonces el cateto opuesto y la hipotenusa son iguales, lo que implica que no existe el cateto contiguo (es igual a cero).
9. Puede existir un ángulo cuyo seno sea 1,2? ¿Y un ángulo cuyo seno sea 2? Razona tu respuesta. Ambas cosas son imposibles, ya que, por la definición del seno de un ángulo agudo, cateto opuesto sen y como el cateto de un triángulo es siempre menor que la hipotenusa, no hipotenusa existe un ángulo con seno mayor que 1. También, por la igualdad fundamental de la trigonometría, 0 sen 2 1 y por tanto no puede ser mayor que 1. 10. ¿Puede existir un ángulo cuyo coseno sea mayor que 1? Razona tu respuesta.
cateto contiguo No, ya que, por la definición del coseno de un ángulo agudo, cos y como el hipotenusa cateto de un triángulo es siempre menor que la hipotenusa, no existe un ángulo cuyo coseno sea mayor que 1. También, por la igualdad fundamental de la trigonometría, 0 cos 2 1 y por tanto no puede ser mayor que 1. 11. Determina el ángulo cuyo seno vale 0 y cuyo coseno vale 1.
cateto contiguo 1 , tenemos que el cateto contiguo es hipotenusa igual que la hipotenusa. Por tanto, el ángulo que forman es 0º , lo cual es congruente con el valor del cateto opuesto seno propuesto ya que si sen 0 entonces el cateto opuesto debe ser cero, esto hipotenusa es, el ángulo será 0º . Aplicando la definición del coseno: cos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENCILLAS 12. Calcula, sin utilizar el teorema de Pitágoras, la diagonal de un cuadrado de 20 cm de lado.
167
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
La diagonal d es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son los lados del cuadrado, y por tanto los ángulos iguales de dicho triángulo miden 45º . 20 20 4 0 sen 45º d 28 20 2cm 28,cm d sen 45º 2
13. Calcula, si utilizar el teorema de Pitágoras, la altura de un triángulo equilátero de 16 cm de lado.
60º Los ángulos un triángulo equilátero es miden . La altura yh elesotro un cateto de unde triángulo cuya hipotenusa un lado del triángulo cateto mide la mitad del lado, como se ve en la figura. Por tanto: h sen 60º 16
h 16sen 60º 16
3 8 cm 3 2
13,86 cm
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CON LA CALCULADORA 14. Calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos utilizando la calculadora: a) b) c) d)
21 12 ) 0,88 tan(28º 21 12 ) 0,54 sen(28º 2112 ) 0, 475 cos(28º sen(52º32) 0,794 cos(52º32 ) 0,608 tan(52º 32 ) 1,305 sen(45º12) 0, 71 cos(45º12 ) 0, 705 tan(45º12 ) 1,007 sen(45º ) 0,707 cos(45º ) 0,707 tan(45º ) 1
) 0,546 tan(56º53 38 ) 1,534 e) sen(56º5338 ) 0,838 cos(56º53 32 38 f) sen(12º 3256 ) 0, 217 cos(12º 56 ) 0,976 tan(12º32 56 ) 0, 223 15. Calcula el ángulo agudo, utilizando la calculadora, que verifica:
a) sen 0,32 b) cos 0,5677 c)
1 sen(0,32) 1 8º39 47 1 cos(0,5677) 55º2 4 36
1 tan 1 tan (1) 45º
3 tan (13) 60º d) tan 3 3 4 4 2 2 sen sen (1 ) 45º 2 2
1 e) sen sen( ) 25º 39 32
f)
16. Calcula, utilizando la calculadora, un ángulo que verifica:
cos(1) 0º a) cos 1 1
1
sen (1) 90º b) sen 1 1 sen 0 sen (0) 0º 1 d) cos 0 cos (0) 90º
c)
168
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
17. Comprueba con la calculadora que no puede existir un ángulo cuyo coseno sea mayor que 1. Introduciendo en la calculadora cos ( a) con a 1 , se obtiene un mensaje de error, ya que no puede existir tal ángulo. 1
18. Comprueba con la calculadora que no puede existir un ángulo cuyo seno sea mayor que 1. 1
Introduciendo en la calculadora sen ( a) con a 1 , se obtiene un mensaje de error, ya que no puede existir tal ángulo. 19. ¿Existen ángulos cuyo coseno sea negativo? En cas o afirmativo, pon un ejemplo. 1
Si introducimos en la calculadora cos ( 0,5) , por ejemplo, obtenemos un ángulo de 120º . Existen ángulos con coseno negativo y son mayores que 90º pero menores o iguales que 180º .
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 20. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: Triángulo 1: El ángulo que falta es 90º 30º 60º . Por tanto, el cateto corto será: a sen 30º a 18sen 30º 9 m . El cateto más largo es:
18
b b 18cos30º cos30º 18
18 3 9 3 m1 5,59 m . 2 Triángulo 2: El ángulo que falta es 90º 45º 45º . Por tanto, es un triángulo isósceles y el cateto que falta es igual a 16 m . La hipotenusa es: 16 16 3 2 cos 45º h 22,63 m. 16 2 m h cos 45º 2 Triángulo 3: El ángulo que falta es 90º 40º 50º . 12 12 14,3 m . Por tanto, el cateto corto será: tan 40º a a tan 40º 12 12 18,67 m . La hipotenusa es: sen 40º h sen 40º h Triángulo 4: El ángulo que falta es 90º 60º 30º . Por tanto, el cateto largo será: a tan60º a 18tan60º 18 3 m 31,18 m . 18 La hipotenusa es: cos 60º h h 18cos 60º 9 m .
18
21. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: Triángulo 1: Aplicando el Teorema de Pitágoras, calculamos el cateto que falta: 2 180m a 2 182 12 a m 6 5 13, 42 Llamando al ángulo menor y el mayor
169
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
12 2 2 sen arcsen 18 3 3 90º 48º1123 .
SOLUCIONARIO
41º 4837
Triángulo 2: Aplicando el Teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa: . h2 162 1 6h2 m 16 22,63 m2 Como el triángulo es isósceles, los dos ángulos agudos son iguales:
16 tan 1 arctan1 45º 16 Triángulo 3: Aplicando el Teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa: 24 2 h 676 26 m . h2 102 Llamando al ángulo menor y el mayor
24 cos 26 90º
12 12 arccos 13 13 67º2 2 49
Triángulo
4:
Aplicando
el
22º 37 12 Teorema
de
Pitágoras,
calculamos
el
cateto
que
falta:
2 2 a 2 5 3 a 16 4 m. Llamando al ángulo menor y el mayor : 3 3 sen arcsen 36º 5212 3 5 . 90º 53º7 48
22. Calcula la altura de los siguientes triángulos utilizando la resolución de triángulos rectángulos: Triángulo 1: Si trazamos la altura desde el vértice superior a la prolongación de la base, se forma un triángulo rectángulo y, aplicando la definición del seno: h sen2 0º h 18sen20º 6,16 m
18
Triángulo 2: Trazando la altura obtenemos un triángulo rectángulo y, por la definición del seno: h sen 30º h 16sen 30º 8 m
16
Triángulo 3: Trazando la altura obtenemos un triángulo rectángulo y, por la definición del seno: h sen 30º h 10sen 30º 5 m
10
Triángulo 4: Trazando la altura obtenemos un triángulo rectángulo y, por la definición del seno: h sen60º h 12sen 60º 6 3 m 10,39 m
12
23. Calcula la altura de los siguientes triángulos utilizando la resolución de triángulos rectángulos: Triángulo 1: Llamando x a la longitud desde el vértice inferior izquierdo hasta el pie de la altura, podemos plantear el siguiente sistema:
170
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
h h tan 20º 6 x x6 tan 20º h tan 40º h x tan 40º x Igualando, obtenemos: h h 6 tan2 0º tan4 0º
h h 6 tan 20º tan 40º
6 tan 40º tan 20º 3,86 m tan 40º tan 20º Triángulo 2: Llamando x a la longitud desde el vértice inferior izquierdo hasta el pie de la altura, podemos plantear el siguiente sistema: h h tan 30º x 12 x 12 tan 30º h tan 60º h x tan 60º x Igualando, obtenemos: h h 12 tan30º tan6 0º h h 12 tan 30º tan 60º 12tan60º tan 30º h tan 60º tan 30º h 12 tan 60ºtan 30º tan 60º tan 30º 1 Teniendo en cuenta que tan30º y que tan6 0º 3 , tenemos: 3 12 tan 60ºt an 30º 12 12 12 6 3 m 10,39 m h 1 31 2 tan 60º tan 30º 3 3 3 3 Triángulo 3: La altura forma un triángulo rectángulo con el lado que mide 10 m . Aplicando la definición del seno: h sen 30º h 10sen 30º 5 m 10 Triángulo 4: Si llamamos x a la distancia desde el vértice inferior izquierdo hasta el pie de la altura, podemos plantear el siguiente sistema: h tan 40º tan 20º
6 tan 40º tan 20º
h tan 30º h x 30 30 x tan 30º h tan 60º h x x tan 60º h h 30 tan30º tan 60º h h 30 tan30º tan 60º 171
h
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
0 tan 60º tan 30º 3 h tan 60º tan30º h 30tan 60º tan30º tan 60º tan 30º 1 Teniendo en cuenta que tan30º y que tan6 0º 3 , tenemos: 3 h
30 tan 60ºt an 30º tan 60º tan 30º
30 30 30 15 3 1 31 4 2 3 3 3 3
m 12,99 m
RESOLUCIÓN GENERAL DE TRIÁNGULOS 24. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos: Triángulo 1: El ángulo que falta es 180º 20º 40º 120º . Llamamos a y b a los lados opuestos a los ángulos 40º y 20º , respectivamente, y aplicamos el teorema del seno: a 16 16sen 40º a 11,88m sen4 0º sen120º sen120º b 16 16sen 20º b 6,32 m sen2 0º sen120º sen120º Por tanto, el perímetro del triángulo es: p 16 a b 34,19 m Triángulo 2: El ángulo que falta es 180º 50º 60º 70º . Llamamos a y b a los lados opuestos a
60º los ángulos y aplicamos el teorema del seno: a 12 y 50º , respectivamente, 12sen 60º 11,06m a sen6 0º sen7 0º sen7 0º b 12 12sen 50º 9,78 m b sen50º sen7 0º sen7 0º Por tanto, el perímetro del triángulo es: p 12 a b 32,84 m Triángulo 3: El ángulo que falta es 180º 30º 20º 130º . Llamamos a y b a los lados opuestos a los ángulos 30º y 20º , respectivamente, y aplicamos el teorema del seno: a 24 24sen 30º 15,66 m a sen30º sen130º sen130º 24 24sen 20º b b 10,72 m sen2 0º sen130º sen130º Por tanto, el perímetro del triángulo es: p 24 a b 50,38 m Triángulo 4: El ángulo que falta es 180º 15º 60º 105º . Llamamos a y b a los lados opuestos a los ángulos 15º y 60º , respectivamente, y aplicamos el teorema del seno: a 30 30sen15º a 8,04 m sen15º sen105º sen105º b 30 30sen 60º b 26,9 m sen6 0º sen105º sen105º Por tanto, el perímetro del triángulo es: p 30 a b 64,94 m
172
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
25. Calcula el lado que falta e n los siguientes triángulos: Triángulo 1: Llamando x al lado que falta, podemos aplicar el teorema del coseno para hallarlo:
x 2 16 2 20 2 2·16·20·cos20º x 54,6 7,39 m Triángulo 2: Llamando x al lado que falta, podemos aplicar el teorema del coseno para hallarlo: x 2 62 15 2 2·6·15·cos30º x 105,12 10,25 m Triángulo 3: Llamando x al lado que falta, podemos aplicar el teorema del coseno para hallarlo:
x 2 18 2 24 2 2·18·24·cos45º x 289,06 17 m Triángulo 4: Llamando x al lado que falta, podemos aplicar el teorema del coseno para hallarlo: x 2 20 2 30 2 2·20·30·cos15º x 140,89 11,87 m
26. Determina los ángulos interiores de los siguientes triángulos: Triángulo 1: Sean , y los ángulos opuestos, respectivamente, a los lados que miden 12 m , 16 m y 20 m . Aplicando el teorema del coseno:
16 122 16 2 20 2 2·16·20·cos cos
2
0,8
2·16·20
Por tanto, cos 0,8 36º52 12 . De manera análoga: 1
162 12 2 20 2 2·12·20·cos
202 12 2
12
cos
202 16 2 2 0, 6 2·12·20
.
1 Por tanto, cos 0,6 53º 7 48
90º y por tanto se trata de un triángulo rectángulo. El tercer ángulo es 180 Triángulo 2: Sean , y los ángulos opuestos, respectivamente, a los lados que miden 12 m , 15 m y 6m . Aplicando el teorema del coseno:
12 15 2 6 2 2 62 12 0,925 2 15 2 2·12·15·cos cos 2·12·15 1
Por tanto, cos 0,925 22º19 54 . Aplicando el teorema del seno: 12 15 15sen sen 0, 47 sen sen 12
1 sen 0, 47 28º 2124
El tercer ángulo es 180 129º184 2 . Triángulo 3: Sean , y los ángulos opuestos, respectivamente, a los lados que miden 18 m , 16 m y 24 m .
173
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Aplicando el teorema del coseno:
182 16 2 24
2
16 2·16·24·cos cos
242 18 2 2·16·24
2
242 16 2 2·18·24
2
0, 66
Por tanto, cos 0,66 48º 35 20 . De manera análoga: 1
162 18 2 24
2
2·18· 24·cos
18
cos
0,75
Por tanto, cos 1 0,75 41º 48 33 El tercer ángulo es 180 89º 36 8 Triángulo 4: Sean , y los ángulos opuestos, respectivamente, a los lados que miden 20 m , 15 m y 30 m . Aplicando el teorema del coseno:
30 202 30 2 15 2 2·30·15·cos cos
15 2 20 2 2·30·15
2
0,805
1
Por tanto, cos 0,805 36º 20 10 . Aplicando el teorema del seno: 20 15 15sen sen 0, 44 sen sen 20
1 sen 0, 44 26º 234
El tercer ángulo es 180 117º164 7 . 27. Calcula el área de los siguientes triángulos: Triángulo 1: Sea h la altura y x la distancia desde el vértice inferior izquierdo hasta el pie de la altura. Planteamos el siguiente sistema: h h tan 45º x 30 30 h 20 x tan 45º h tan 60º h x x tan60º Igualando, obtenemos: h h h h 30 h 30 htan 1 30 60º tan 60º
tan 60º
30tan60º tan 60º 1
tan 60º
Teniendo en cuenta que tan6 0º 3 , obtenemos:
30 3 h 3 1
30 3 3 1
15 3 3 1 45 15 3 b· h Por tanto, el área del triángulo es: A 190,19m2 2 2
m19, 02
Triángulo 2: Sea h la altura trazada desde el vértice superior. Por la definición del seno tenemos que:
174
m
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
h sen15º h 15sen15º 3,88 m 15 b· h Por tanto, el área del triángulo es: A 11, 65 m2 2 Triángulo 3: Sea h la altura trazada desde el vértice superior. Por la definición del seno tenemos que: h sen70º h 18sen70º 16,91 m 18 Por tanto, el área del triángulo es: A b · h 20,3 m 2 2 Triángulo 4: Sea al ángulo opuesto al lado que mide 30 m . Por el teorema del seno: 20 30 30·sen 60º 1,3 . sen sen 60º sen 20 Sin embargo, esto es imposible ya que el seno de un ángulo no puede ser mayor que 1. ¿Qué quiere decir esto? Que el triángulo planteado es imposible: no hay ningún triángulo con esas dimensiones.
PROBLEMAS 28. Un edificio proyecta una sombra de 25 m y los rayos solares inciden en la horizontal con un ángulo de 15º . ¿Qué altura tiene el edificio? Los rayos solares, el edificio y la sombra forman un triángulo rectángulo en el que podemos aplicar la definición de tangente para hallar: h tan15º h 25tan15º 6, 7 m
25
El edificio tiene una altura de 6,7 m . 29. Un poste de 5 m está apoyado en una pared formando un ángulo de 80º con el suelo. ¿A qué altura de la pared estará apoyado el poste? Aplicando la definición del seno al triángulo rectángulo que forma el poste con la pared y el suelo, tenemos: h sen80º h 5sen80º 4,92 m
5 apoyado a una altura de 4,92 m . El poste estará 30. Julián está a 1,2 m de un árbol y mirando al punto más alto del árbol, lo ve bajo un ángulo de 60º . ¿Qué altura tiene el árbol?
175
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Aplicando la definición de tangente en el triángulo que forman Julián, el árbol y el suelo tenemos que: h tan6 0º h 1,2 tan6 0º 2, 08 m 1, 2 La altura del árbol es por tanto de 2,08 m (desde la altura de los ojos de Julián) 31. Lucía está mirando una gaviota que es tá posada sobre un risco en la playa. Si la elevación media del risco es de 30º y la altura es de 20 m, ¿qué distancia habrá hasta la gaviota? La distancia d hasta la gaviota, usando la definición del seno de un ángulo, es:
20 sen 30º d d
20 40 m sen30º
32. En una ciudad se construyen dos edificios iguales separados entre sí por 15 m. Si desde la azotea de un edificio se ve la base del otro edificio bajo un ángulo de 60º , qué altura tienen los edificios?
h tan60º h 15tan60º 15 3 m 25,98 m 15 33. El padre de Antonio es pintor y está trabajando subido a una escalera. Si la escalera mide 6 m de altura y él se encuentra a 5,2 m del suelo, ¿qué ángulo forma la escalera con el suelo? La escalera, la altura y el suelo forman un triángulo rectángulo del que la longitud de la escalera es la hipotenusa y la altura el cateto opuesto al ángulo que forma con el suelo. Por tanto:
5, 2 sen arcsen 0,86 60º4 25 6 34. La casa de mi primo Julián tiene unos 6 m de altura y proyecta una sombra de 10 m en el suelo. ¿Cuál es el ángulo con el que inciden los rayos solares en ese momento? La casa, la sombra y los rayos solares forman un triángulo rectángulo. Considerando que la casa y la sombra son los catetos del triángulo:
6 ¨ tan h arctan0, 6 30º57 50 10 35. Desde el centro de una c alle, Ángela observa dos edificios, uno a cada lado. Si la cúspide del edificio de la izquierda la ve bajo un ángulo de 30º y el edificio de la derecha bajo un ángulo de 50º , sabiendo que la altura del edificio de la izquierda es de 12 m, ¿qué altura tendrá el edificio de la derecha? ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?
176
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Llamamos h a la altura del edificio de la derecha y d a la distancia desde el punto en el que se encuentra Ángela hasta cada uno de los edificios, tenemos que: 12 12 tan 30º d 20,78 m d tan30º Por tanto, la distancia entre los dos edificios es: 2d 41,57 m . Además, para el edificio de la derecha tenemos que:
h h tan 50º d
d tan 50º 24,77 m .
36. Juan y Raúl miran la cúspide de un árbol bajo un ángulo de 40º y 60º con la horizontal, respectivamente. Si la distancia entre ambos es de 18 m, ¿qué altura tendrá el árbol? Sea h la altura del árbol y x la distancia de Raúl al árbol. Planteamos el siguiente sistema: h h tan 60º x x tan 60º h h tan 40º x 18 18 x tan 40º Igualando ambas expresiones: h h 18tan 40º tan 60º h 10,17 m 18
tan60º
tan4 0º
tan40º tan60º
37. Desde un barco se ve un fa ro a lo lejos, de forma que se observa la parte más alta bajo un ángulo con la horizontal de 20º . Si nos aproximamos 12 m, observamos que el ángulo es ahora de 25º . ¿Qué altura tiene el faro? ¿A qué distancia nos encontramos? Sea d la distancia hasta el faro y h su altura. Planteamos el siguiente sistema: h tan 20º h d 12 tan 20º d 12 tan 25º h h dtan 25º d Igualando ambas expresiones:
d 20º d tan 25º d 12tan
20º m
12tan 42,68 tan 25º tan 20º
.
Por tanto, la distancia hasta el faro es de 42,68 metros y su altura: h d tan 25 19,9 m 38. Situada entre dos edificios iguales, Lorena, desde ese punto, observa que el ángulo que forma la cúspide del edificio de la izquierda con la horizontal es de 60º y el ángulo que el edificio de la derecha forma con la horizontal es 40º . Si la distancia entre los edificios es de 50 m, ¿qué altura tienen los edificios? ¿a qué distancia de los edificios está situada Lorena? Llamemos h a la altura de los edificios y d a la distancia de Lorena al edificio de la izquierda. Utilizando la definición de tangente, planteamos el siguiente sistema:
177
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
h tan 60º h dtan 60º d h tan 40º h 50 dtan 40º 50 d Igualando ambas expresiones: d tan6 0º 50 d tan4 0º
d
50tan 40º 16,32 m tan 60º tan 40º Por tanto: h d tan 60º 28, 26 m La altura de los edificios es 28,26 m y la distancia a los edificios es de 16,32 m al de la derecha y 33,68 m al de la izquierda. 39. En una llanura se observa que una elevación del terreno se queda bajo un ángulo de 12º con la horizontal. Cuando avanzamos 200 m este ángulo pasa a ser de 25º . ¿A qué distancia del promontorio nos encontramos? Llamemos d a la distancia hasta el promontorio y h a su altura: h tan12º h d 200 tan12º d 200 tan 25º h h dtan 25º d
d 200 tan12º d tan 25º 200tan12º 167,53 m tan 25º tan12º Por tanto, nos encontramos a una distancia de 167,53 metros del promontorio. d
40. Alberto está en la azotea de un edificio. Desde la calle se observa que la base de la azotea con la horizontal forma un ángulo de 48º y que desde la cabeza de Alberto forma un ángulo con la horizontal de 54º . Sabiendo que Alberto mide 1,80 m, ¿qué altura tiene el edificio? Sea h la altura del edificio y d la distancia a la que está el observador desde la calle: h h tan48º d tan 48º d tan54º h 1,8 d h 1,8 d tan54
h h 1,8 h tan54º tan 48º tan54 1,8 tan 48º h 7,52 m tan 54º tan 48º
178
h
1,8 tan4 8º
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
41. Dos palomas están posadas en sendos postes de igual altura. Se encuentran una frente a la otra a una distancia de 4 m. En el suelo, entre ambas, se encuentra un niño tirando migas. El niño ve las palomas bajo un ángulo de 35º y 50º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué distancia del niño está cada paloma? Sean a y b las distancias del niño a las palomas de la izquierda y de la derecha respectivamente. El ángulo I es igual a 180º 50º 35º 95º . Por 4el teoremaadel seno: 4sen 35º a
sen95º sen35º b 4 sen95º sen50º
sen95º 4sen 50º b sen95º
2,3 m 3,08 m
DESAFÍO PISA - PÁG. 131 UN VIAJE EN AUTOBÚS Un autobús hace un recorrido circular pasando por las poblaciones A, B, C, D y E hasta que vuelve otra vez al punto de partida. El siguiente plano muestra una serie de medidas entre unas paradas y otras; está a escala 3:100 000. La velocidad media de un autobús de línea es de 40 km/h, contando el t iempo que pierde en la s ubida y bajada de viajeros en cada parada.
ACTIVIDAD 1. La distancia de la población B a la C es de: B: 2,5 km. Aplicando el teorema del coseno: 2 BC2 2 AC AB
2 2· AC· 2AB ·cos15 21 15
2·21·15·cos15 57,5
Por tanto, BC 57,5 7,6 cm . Como la escala es 3 cm 1km 7,6: 3 2,5 km
179
La distancia real será
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 2. La distancia entre las poblaciones A y D es de: C: 10 km. Por el Teorema de Pitágoras, AD 212 20 2 29 cm y la distancia real será 29:3 9,7 km ACTIVIDAD 3. La distancia entre las poblaciones D y E es de: B: 5 km. El ángulo en E es: E 180º 40º 30º 110º . Por el teorema del seno:
DE AD sen30º sen110º
9,7·sen30º DE sen110º
5,14km
ACTIVIDAD 4. El recorrido completo, desde que el autobús sale del municipio A hasta que vuelve de nuevo a su destino, cubre una distancia de:
EA AD 9,7·sen40º EA 6,64 km sen4 0º sen110º sen110º El recorrido es AB BC 6,7 5,1 6,6 26 km CD DE EA 5 2,5 A: 26 km. Por el teorema del seno:
ACTIVIDAD 5. El tiempo que tardará el autobús en hacer un recorrido completo es de:
e 26 B: 39 min, ya que t 0,65 h 0,65·60 39min v 40 ACTIVIDAD 6: Durante un día de lluvia, la velocidad media del autobús se reduce de forma considerable, pasando de 40 km/h a 25 km/h. El tiempo que empleará en el recorrido es de:
e 26 C: 1 h, ya que t 1,04 h 1 h2,4m in v 25
180
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 7: Trigonometría en ángulos orientados EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 136 1. Calcula el número de vueltas que dan los siguientes ángulos y el ángulo menor de 360º con el que corresponden: a) b) c) d) e)
750º 2·360º 30º . Da dos vueltas y se corresponde con 30º . . Da tres vueltas y se corresponde con . 1410º 3·360º 330º . Da una vuelta y se corresponde con 330º330º . 690º 360º 330º 900º 2·360º 180º . Da dos vueltas y se corresponde con 180º . 1400º 3·360º 320º . Da tres vueltas y se corresponde con 320º .
2. Determina el seno y el coseno de los siguientes ángulos utilizando la definición: a) b) c) d) e) f)
sen180º 0, cos180º 1 sen 270º 1, cos270º 0 sen90º 1, cos90º 0 sen360º 0, cos360º 1 sen 450º 1, cos 450º 0 sen 720º 0, cos720º 1
3. A la vista de la actividad 2, ¿a qué ángulos no se les puede determinar la tangente? La tangente no se puede determinar si el valor del coseno es 0, esto es, si la segunda coordenada del punto que determina el ángulo es 0. Esto ocurre en los múltiplos impares de 90º y el conjunto de todos esos ángulos se puede escribir como 2k 1 ·90º / k
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 137 4. Determina el coseno de un ángulo del 2 º cuadrante que verifique: a) sen 0,8 . Por la identidad fundamental de la trigonometría: sen 2 cos 2 1 , por lo que
cos 1 sen
2
. Como el ángulo está en el segundo cuadrante, escogemos el valor
negativo para el coseno: cos 1 0,8 2 0, 6 b) sen 3 . 5 1 , por lo que Por la identidad fundamental de la trigonometría: sen 2 cos 2
cos 1 sen
2
. Como el ángulo está en el segundo cuadrante, escogemos el valor 2
3 negativo para el coseno: cos 1 5
181
4 5
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
5. Determina el seno de un ángulo del 3er cuadrante que verifique:
3 a) cos . Por la identidad fundamental de la trigonometría: sen 2 cos 2 1 , por lo que 4
sen 1 cos 2 . Como el ángulo está en el tercer cuadrante, escogemos el valor negativo 2
3 4
para el seno: sen 1
7 16 4
7
b) tan 2 . Dado que tan sen 2 , se tiene cos sen y por tanto, sustituyendo en cos 2 la igualdad fundamental de la trigonometría y teniendo en cuenta que el seno debe ser negativo (por estar el ángulo en el tercer cuadrante):
sen sen 2
2
4
4 2 25 1 sen 5 5
5
6. Determina el valor de la tangente de un ángulo del 4º cuadrante que verifique:
2 . Calculamos en primer lugar el seno del ángulo, que debe ser negativo por estar en 4 el cuarto cuadrante. Por la identidad fundamental de la trigonometría: sen 2 cos 2 1 , por
a) cos
2
lo que sen 1cos
1
2
sen Por tanto: tan cos
14 4 2 4
14 2 14 16 4 4
.
14 7 2
3 . Calculamos en primer lugar el coseno del ángulo, que debe ser positivo por estar 2 en el cuarto cuadrante. Por la identidad fundamental de la trigonometría: sen 2 cos 2 1 ,
b) sen
por lo que cos 1 sen 2 1
3 2
3 sen 2 Por tanto: tan 3 1 cos 2 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 138 7. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 182
40º
40 2 180 9
2
1 4
1 . 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
150 5 180 6 60 c) 60º 180 3 330 11 d) 330º 180 6 245 49 e) 245º 180 36 290 29 f) 290º 180 18 b) 150º
8. Pasa a grados los s iguientes ángulos dados en radianes: a) b) c) d) e) f)
180 45 22,5º 22º30 8 8 2 5 5·180 2 25 112,5º 112º30 8 8 2 2 2·180 120º 3 3 3 3·180 5 40º 5 5·180 150º 6 6
3 3·180 108º 5 5
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 139 9. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando ángulos del primer cuadrante: a) b) c) d) e) f)
156º 180º 24º 195º 180º 15º 215º 180º 35º 290º 360º 70º 315º 360º 45º 260º 180º 80º
sen156º sen24º cos156º cos24º tan156º tan 24º sen15º sen195º cos195º cos15º tan195º tan15º sen35º sen 215º cos215º cos35º tan215º tan35º sen70º cos290º cos70º tan 290º tan70º sen 290º sen315º sen45º cos315º cos45º tan315º tan 45º sen80º sen 260º cos260º cos80º tan 260º tan80º
10. Comprueba con la calculadora los resultados obtenidos en la actividad anterior. a) b) c) d) e) f) 183
sen156º sen 24º 0,41 cos156º cos24º 0,91 tan156º tan 24º sen195º sen15º 0,97 tan195º tan15º 0,26 cos195º cos15º sen215º sen35º 0,82 tan215º tan35º 0,57 cos215º cos35º sen290º sen70º 0,94 cos290º cos70º 0,34 tan290º tan70º sen315º sen45º 0,71 cos315º cos45º 0,71 tan315º tan45º sen260º sen80º 0,17 tan260º tan80º 0,98 cos260º cos80º
0,44 0,27 0,7 2,75 1 5,67
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
11. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando ángulos del primer cuadrante: 7 7 7 7 a) sen sen cos cos tan tan
8 8 8 8 8 8 8 8 5 5 5 5 b) 2 sen c os cos t an tan sen 3 3 3 3 3 3 3 3 11 2 11 2 11 2 11 2 c) sen sen cos cos tan tan 9 9 9 9 9 9 9 9 17 3 17 3 17 3 17 3 d) sen cos cos tan tan 2 sen 10 10 10 10 10 10 10 10
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 140 12. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando las razones trigonométricas de los ángulos de 30º , 45º y 60º .
1 3 3 cos30º tan 30 2 2 3 3 cos120º cos60º b) sen120º sen60º 2 a) sen 30º
c)
sen210º sen30º
d) sen225º sen45º
1 cos210º cos30º 2 2 cos225º cos45º 2
1 cos150º cos30º 2 2 sen135º sen45º cos135º cos45º 2
e) sen150º sen30º f)
1 tan120º tan120º 2
3
3 tan2 10º 3 tan2 10º 2 3 2 tan225º tan45º 1 2 3 3 tan150º tan30º 2 3 2 tan135º tan4 5º 1 2
13. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos s abiendo que sen 15º 0, 2588 . Teniendo en cuenta que cos15º 1 sen 215º 0,9659 y tan15º a) 75º 90º 15º sen 75º cos15º 0,9659 cos 75º sen15º 0, 2588
1 3, 7321 tan15º 75º 180 90º 15º b) 105º 180º sen105º sen 75º cos15º 0,9659 cos195º cos75º sen15º 0,2588 tan 75º
184
sen15º 0, 2679 cos15º
Matemáticas 4º ESO Académicas
tan105º tan 75º
1 tan15º
SOLUCIONARIO
3, 7321
c) 195º 180º 15º sen195º sen15º 0,2588 cos1955º cos15º 0,9659
tan195º tan15 0, 2679
90º
75º d) 285º 360º 360
15º
sen 285º sen75º cos15º
0,9659
cos 285º cos 75º sen15º 0, 2588 tan2 85º tan 75º
1 3,7321 tan15º
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 141 14. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando la periodicidad: a) 955º 2·360º 235º
sen 955º sen 235º cos955º cos 235º tan 955º tan 955º b) 1245º 195º 4·360º
sen 1245º
sen195º cos
19 3 c) 2 4· 2 2 19 3 sen sen 2222 21 5 d) 2·2 4 4 21 5 sen sen 444
1245º cos195º tan
19
3 cos
21
5 21 cos tan 44
cos
cos
4
y no existe tan
5
1245º
tan195º
19 2
tan
15. Calcula dos ángulos que verifiquen: a) sen 0,2345 . Para que el seno sea negativo, el ángulo debe estar en el tercero o el cuarto cuadrante. Utilizando . la calculadora: arcsen 0,2345 13º3344
44 346º 26 16 ó 180 13º33 44 193º33 44 Por tanto: 360 13º33 b) sen 0,5 . Para que el seno sea positivo, el ángulo debe estar en el primer o el segundo cuadrante. Sabemos que: arcsen 0,55 30º , por tanto: 30º ó 180 30º 150º c)
cos
2 . 5
Para que el coseno sea positivo, el ángulo debe estar en el primer o el cuarto cuadrante.
185
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
2 73º34 12 . 5 25 48 Por tanto: 73º 3412 ó 360 73º3412 266º 3 d) cos . Para que el coseno sea negativo, el ángulo debe estar en el segundo o el tercer 4 Utilizando la calculadora: arccos
cuadrante.
3
Utilizando la calculadora: arccos 4 115º39 32 . 32 240º 20 28 Por tanto: 115º3932 ó 360 115º39
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGINAS 144-146 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 1. Calcula el ángulo comprendido entre 0º y 360º que determina el mismo punto en la circunferencia goniométrica que los siguientes ángulos: a) 1190º 3·360º 110º . El ángulo pedido es 110º b) 2453º 6·360º 293º . El ángulo pedido es 293º c) 3284º 9·360º 44º . El ángulo pedido es 44º 2. Calcula el ángulo comprendido entre 0º y 360º que determina el mismo punto en la circunferencia goniométrica que los siguientes ángulos: a) 60º 360º 300º . El ángulo pedido es 300º b) 298º 360º 62º . El ángulo pedido es 62º c) 322º 360º 38º . El ángulo pedido es 38º 3. Calcula el ángulo comprendido entre 0º y 360º que determina el mismo punto en la circunferencia goniométrica que los siguientes ángulos: a) 1394º 46º . El ángulo pedido es 46º 4·360º b) 1998º 162º . El ángulo pedido es 162º 6·360º c) 1235º 4·360º 205º . El ángulo pedido es 205º 4. Utilizando la definición de razón trigonométrica de ángulo orientado, completa la siguiente tabla: Ángulo
186
Coseno
Seno
0º
1
0
Tangente 0
90º
0
1
no tiene
180º
-1
0
0
270º
0
-1
no tiene
360º
1
0
0
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
5. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla utilizando la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo orientado: Ángulo Coseno Seno Tangente 90º
0
1
180º
-1
0
no tiene 0
270º
0
-1
no tiene
360º
1
0
0
6. Calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos utilizando la definición: a) b) c) d)
1800º 5·360º sen1800º 1 tan1800º 0 0 cos1800º 990º 2·360º 270º sen990º 1 cos1800º 0 . No existe tan990º 1980º 5·360º 180º 1 tan1980º 0 sen1980º 0 cos1980º 1530º 4·360º 90º sen1530º 1 cos1530º 0 . No existe tan1530º.
7. Calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos utilizando la definición: a)
1440º
b) 1620º c)
4·360º
sen 1440º 0 c os 1440º
5·360º 1800º
990º 3·360º 90º sen 990º 1 cos 990º
d) 1170º 4·360º 270º
1
tan 1440º
sen 1620º 0 cos 1620º sen 1170º
0
1 cos 1170º
0
1 tan 1620º
0
. No existe tan 990º
0
. No existe tan 1170º
VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DEL SENO Y EL COSENO
1 cos ? Razona tu respuesta. 8. ¿Existe algún ángulo que verifique la ecuación 2 cos 3 Despejando cos en la ecuación: 2 cos 3 1 cos
2cos 6 1 c os cos 5 Lo cual no es posible ya que 1 cos 1 1 3sen sen 1 ? Razona tu 2 respuesta y, en caso a firmativo, indica algún ángulo que resuelva la ecuación.
9. ¿Es posible encontrar algún ángulo que verifique la ecuación
Despejando sen en la ecuación:
187
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
1 3sen sen 1 2 1 3sen 2sen 2 1 1 sen arcsen 11º 3213 5 5 10. Indica el signo de las siguientes razones trigonométricas sin realizar los cálculos: a) b) c) d) e) f)
sen135º . Como el ángulo está en el segundo cuadrante, el seno es positivo. cos330º . Como el ángulo está en el cuarto cuadrante, el coseno es positivo. sen150º . Como el ángulo está en el segundo cuadrante, el seno es positivo. tan295º . Como el ángulo está en el cuarto cuadrante, la tangente es negativa. tan125º. Como el ángulo está en el segundo cuadrante, la tangente es negativa. sen190º . Como el ángulo está en el tercer cuadrante, el seno es negativo.
11. Si es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas en los siguientes casos: a) sen
2 3 2
cos 1
2 1 3
4 5 93
sen tan cos
2 2 sen cos 5 5 4 sen 2 2cos 1 22 cos cos 25
2 3 5 3
5 2 5
b) tan
1
25 29 5 29 29
cos
2 2 29 sen cos 5 29 3 c) cos 5 2
sen 1
3 3 22 sen 1 tan 5 25 5 cos
22 225 66 33
3
5 12. Si es un ángulo del segundo cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si: a) sen
188
2 4
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
2 2 cos 1 1 4 16 b) tan
3 3
sen
14 4
3 cos 3
3 2 sen 2 cos 1 2 2cos 9 33 1 3 sen cos · 3 32 2
tan
2 7 4 7 14 4
sen cos
cos
3
1 cos
3
4
2
13. Si es un ángulo del tercer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si: a)
1 1 sen cos 2 2 1 2 sen 2 cos 12 2cos 1 cos 4 1 1 25 5 sen cos · 2 2 5 5 tan
2
b)
tan
2
sen
2
5 24 cos
5
5
3
3
cos 2
1 2 sen 2 cos 12 2cos cos 1 2 2 2 23 6 sen cos · 2 2 3 3
3 22 cos
14. Si es un ángulo del c uarto cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si: a) sen
1 6 2
1 cos 1 1 6 b) tan
6 3
1 35 36 6
sen
2 2 sen 2 cos 1 2 2cos 3
sen tan cos
6 cos 3
cos
1 356 3535 6
1 cos
90 310 10 6 6 15 sen cos · 3 3 5 15 15 5 189
15 3 5
5
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
RADIANES Y SISTEMA SEXAGESIMAL 15. Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en sistema sexagesimal: a) b) c) d) e) f)
45 180 4 135 3 135º 180 4 315 7 315º 180 4 225 5 225º 180 4 1235 247 1235º 180 36 65 13 65º 180 36 45º
16. Pasa a grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
5 5·180 150º 6 6 9 9·180 b) 4 4 405º 15 15·180 c) 337,5º 337º30 8 8 a)
17. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla sin utilizar calculadora: Ángulo
2
3 2 2 1
Coseno
Seno
Tangente
0
1
no tiene
-1
0
0
0
-1
no tiene
0
0
18. Calcula las siguientes raz ones trigonométricas utilizando la calculadora:
5 0, 71 4 3 b) cos 0, 71 4 5 c) tan 2, 41 8 a) sen
190
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d) sen
SOLUCIONARIO
4 0,59 5
19. Dibuja los siguientes ángulos en la circunferencia goniométrica e indica el signo de sus razones trigonométricas: a)
6
. Tanto el seno como el coseno son positivos. Por tanto, la tangente es positiva.
b)
3 El seno es positivo y el coseno negativo. Por tanto, la tangente es negativa. 4
c)
15 . El seno es negativo y el coseno positivo. Por tanto, la tangente es negativa. 8
d)
4 . Tanto el seno como el coseno son negativos. Por tanto, la tangente es positiva. 3
191
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
5 . Tanto el seno como el coseno son negativos. Por tanto, la tangente es positiva. 4
f)
6 . Tanto el seno como el coseno son negativos. Por tanto, la tangente es positiva. 5
20. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla sin utilizar calculadora: Ángulo
2
3 2 2 192
Coseno
Seno
Tangente
0
1
no tiene
1
0
0
0
1
no tiene
1
0
0
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
21. Usa la calculadora para calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos dados en radianes:
0, 71 cos 0, 71 tan 1 4 4 4 2 2 2 b) sen 1,73 0,87 cos 0,5 tan 3 3 3 7 7 7 c) sen 0,71 cos 0, 71 tan 1 4 4 4 a) sen
22. Determina el cuadrante en el que están cada uno de los siguientes ángulos en radianes: a) 0 1,5 b) c) d)
4 5 3 2 5
2
2
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
Segundo cuadrante
2,15
Segundo cuadrante
3 2
Tercer cuadrante
Tercer cuadrante
e) 3, 2 f)
2
4 3 3 2
23. Determina el ángulo comprendido entre 0 y 2 que determine el mismo punto en la c ircunferencia goniométrica en los siguientes casos:
14 5 17 b) 4 27 c) 5 23 d) 6 31 a)
2
4 4 . El ángulo solicitado es . 5 5
2· 2
. El ángulo solicitado es . 4 4 7 7 . El ángulo solicitado es . 2·2 5 5 11 11 2 . El ángulo solicitado es . 6 6
5 3·2 5 . El ángulo solicitado es 5 . e) f) 17 8·2 . El ángulo solicitado es .
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE 24. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando ángulos del primer cuadrante: 193
Matemáticas 4º ESO Académicas
a) b) c) d) e) f)
100º 180º 80º 110º 180º 70º 150º 180º 30º 165º 180º 15º 225º 180º 45º 315º 360º 45º
sen100º sen110º sen150º sen165º sen225º sen315º
SOLUCIONARIO
sen80º tan100º tan80º cos100º cos80º sen70º tan110º tan70º cos110º cos70º sen30º cos150º cos30º tan150º tan30º sen15º tan165º tan15º cos165º cos15º sen45º cos225º cos45º tan225º tan 45º sen45º cos315º cos45º tan315º tan 45º
25. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos dados en radianes utilizando ángulos del primer cuadrante: a) b) c) d) e) f)
3 2 3 2 3 2 3 2 cos tan tan sen sen cos 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 sen sen cos cos tan tan 4444 4 4 4 4 7 7 7 7 sen sen cos cos tan tan 8888 8 8 8 8 5 5 5 5 sen sen cos cos tan tan 444 4 4 4 4 4 11 3 11 11 3 11 3 3 sen sen cos cos tan tan 888 8 8 8 8 8 7 7 7 7 2 sen cos tan tan sen cos 4 4 4 4 4 4 4 4
26. Dibuja dos ángulos y , distintos que verifiquen: a) sen sen y cos cos
b) sen sen y cos cos
194
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
sen sen y cos cos
ÁNGULOS COMPLEMENTARIO, SUPLEMENTARIO Y OPUESTO 27. Determina el ángulo complementario de los siguientes ángulos: a) 35º 90º 35º 55º b) 2 3 6 3 c) 4 2 4 4 25 d) 15º 4235 90º 15º 4235 74º17 3 e) 5 2 5 10 f) 25º12 90º 25º12 64º 48 28. Calcula, utilizando la calculadora, el seno y el coseno de los ángulos del ejercicio anterior y comprueba que se verifica que sen cos y cos sen con y complementarios, a) sen35º cos55º 0,57 cos35º sen55º 0,82 b) sen
1 cos sen 3 6 2
cos 3 62
c) Trivial, ya que
3
es su propio complementario.
4 5 cos74º17 25 0,27 cos15º423 d) sen15º423 5 sen74º17 25 3 3 e) sen cos 0,59 cos sen 0,81 5 10 5 10 8 0,43 cos2 5º12 sen6 4º4 8 0,9 f) sen2 5º12 cos64º4 29. Determina el ángulo suplementario de los siguientes ángulos: a) 120º 180º 120º 60º 4 4 b) 3 3 3 2 c) 3 3 3 7 7 d) 8 8 8 195
0,96
Matemáticas 4º ESO Académicas
e) 50º f) 90º
180º 50º 130º 180º 90º 90º
30. Calcula las siguientes razones trigonométricas sabiendo que sen
2 Calculamos en primer lugar cos 1 sen 2 1 a) sen 90º cos
tan 90º
7 7· 2 14 16 8 2· 2· 2 4
14 4 14 4
b) cos 180 cos
c)
2 : 4
14 4 7 2 4
1 cos tan sen
sen cos
d) tan 180º tan
2 1 7 4 14 7 7 4
31. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, sabiendo que sen
2 Calculamos en primer lugar cos 1 sen 1
7
64
57
7 : 8
57 64 8
7 8
a) sen sen
7 sen 8 2
b) cos
c)
tan tan
sen cos
1 cos 2 tan sen
d) tan
7 8 57
7 57
399 57
8 57 57 399 8 7 77 8
32. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos utilizando ángulos positivos: a) 90º 196
sen90º 1 cos90º 0 y no existe la tangente del ángulo.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
11 5 5 2·2 . Teniendo en cuenta que : 4 4 4 4 11 5 2 sen sen sen 4 2 4 4
b)
2 11 5 cos cos cos 4 2 4 4 5 11 tan 4 tan 4 tan 41 7 7 2 c) . Así, las razones trigonométricas de coinciden con las de . 4 4 4 4 7 2 7 2 7 sen sen ; cos cos tan 1 ;tan 42 42 4 4 4 4 d) 120º 360º 240º . Así, las razones trigonométricas de 120º coinciden con las de 240º . Teniendo en cuenta que 240º 180º 60º 3 sen 120º sen240º sen6 0º 2 1 cos 120º cos240º cos60º 2
tan 120º tan2 40º tan6 0º 15 e) 8 2
15 sen 8 15 cos 8
. Así, las razones trigonométricas de
8
sen cos 15 tan tan 8
f)
3
15
coinciden con las de
8
8
0,38 0,92
0, 41 8 300º 360º 60º . Así, las razones trigonométricas de 3 sen 300º cos60º 300º sen60º ; cos 2
300º coinciden con las de 60º . 1 ; tan 300º tan60º 3 2
PERIODICIDAD DE LAS RAZONES TR IGONOMÉTRICAS 33. Calcula las siguientes raz ones trigonométricas utilizando la periodicidad:
1 2 b) tan1680º tan 4·360º tan 180º 60º 240º tan 240º a) cos1500º cos 4·360º 60º cos60º
c)
tan1515º tan 4·360º 75º tan 75º 3,73
d) sen 2700º sen 7·360º 180º sen180º 0 197
.
8
8
tan60º
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
34. Calcula las siguientes raz ones trigonométricas utilizando la periodicidad: a) cos 7 cos 3· 2
cos
1
15 3 3 0 b) cos cos 3·2 cos 2 2 2 c) sen30 sen 15·2 sen0 0 d) cos18 cos 9·2 cos0 1 35 3 3 tan 4·2 e) tan tan f)
4 4 4 4 23 3 3 sen sen 5·2 sen 2 2
tan
1
0 2
35. Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la periodicidad:
17 cos 2·2 cos 4 4 42 19 9 9 tan 2 tan b) tan 5 5 5 5 a) cos
c)
sen
21
4 35 d) cos 6 e) f)
2
tan 0, 73 2 tan 5 2 5 5 sen 2· 2 sen sen sen 4 4 4 4 2 11 3 11 cos 2· cos cos 2 cos 2 6 6 6 62
23 1 1 tan 2 6 6 49 cos cos 3·2 8 tan
tan tan 2 6 6 3 0,92 cos 8 8
11
tan
6
3
36. Calcula las siguientes raz ones trigonométricas utilizando la periodicidad:
cos 2·360º 170º cos170º a) cos550º b) tan 530º tan 2·360º 190º c)
tan190º 0,18
sen 1240º sen 4·360º 200º sen 200º
d) tan 1475º tan 5·360º 325º
0,98 0,34
tan325º 360º 35º tan
37. Calcula las siguientes raz ones trigonométricas utilizando la periodicidad: a)
198
tan
15 tan 4
2·2 tan 4
1 4
tan35º
0,70
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
21 9 9 cos 3· 2 cos cos2 5 5 5 5 5 23 9 9 sen 2· 2 sen sen c) sen 8 8 88 8 31 3 5 5 d) cos cos 3· 2 cos cos 6 6 6 6 6 2 b) cos
cos sen
SOLUCIONARIO
0,81 0,38
cos
38. Dibuja dos ángulos distintos que verifiquen: a) Tengan igual seno:
b) Tengan igual coseno:
c) Tengan igual tangente:
39. Determina, utilizando la calculadora, dos á ngulos distintos que verifiquen:
3 5
3 o también, si el ángulo está situado en el cuarto 6 9º 43 56 5 56 290º16 4 cuadrante 360º 69º 43
a) cos arccos
199
Matemáticas 4º ESO Académicas
6 6 54 19 arcsen 24º 5 41 335º 6 6 41 204º5 41 en el tercer cuadrante, 180º 24º5
b) sen
SOLUCIONARIO
o también, situando el ángulo
40. Determina, utilizando la calculadora, dos á ngulos distintos que verifiquen: a)
tan 1 arctan 1 45º 315º cuadrante, 180º 45º 135º
o también, si el ángulo está situado en el segundo
b) tan 1 arctan 1 30º 3 3 cuadrante, 180º 30º 150º
o también, si el ángulo está situado en el segundo
41. Calcula los ángulos comprendidos entre 0º y 360º que verifican 5sen 2cos 2 4 . Considerando que cos2 1 sen 2 , sustituimos en la ecuación dada y obtenemos: 5sen 2 2sen 2 4 , de donde, reordenando: 2sen 2 5sen 2 0 . Haciendo el cambio t sen obtenemos una ecuación de segundo grado: t1 2 5 25 16 5 3 2t 2 52t 0 t 1 4 4 t2 2 La solución t1 2 no es válida ya que t sen 1 . Por tanto:
1 1 arcsen 2 30º sen 2 180º 30º 150º
o, si el ángulo
está situado en el segundo cuadrante:
PROBLEMAS 42. Unos amigos están jugando a la ruleta en el suelo; si la flecha apunta a Lucía y en un descuido Alberto la gira hacia la izquierda 30º y luego la gira hacia la derecha , ¿a qué lado de Lucía está apuntando
6
ahora? La flecha está apuntando a Lucía, ya que 30º
6
y el segundo giro corrige el primero.
43. En un circuito de velocidad circular un ciclista está dando vueltas. Si describe un ángulo de
6
58 5 5 9· 18 2 3 3
3
, el ciclista ha dado nueve vueltas completas y le falta poco (
30º ) para completar la décima vuelta.
44. Determina la velocidad angular a la que se mueve el segundero de un reloj. 200
,
3
¿cuántas vueltas completas ha dado? Como
58
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
La circunferencia de un reloj está dividida en sesenta secciones iguales que la manecilla recorre a razón de una por segundo. Por tanto, el ángulo que recorre la manecilla en un segundo es velocidad angular es, por tanto, de 6º por segundo o, expresado en radianes:
360º 6º y la 60
2 rad / s . 60 30
45. Un perro está dando vueltas sobre sí mismo a una velocidad angular de 0,9 rad/s. ¿Qué ángulo, expresado en grados, recorrido en 3 s? Nota: la velocidad angular se obtiene dividiendo el ángulo recorrido entrehabrá el tiempo. El ángulo recorrido, en radianes, será de 3·0,9 2,7 rad . Convertimos a grados sexagesimales: 180·2,7 154º 41 55 46. Tres amigos están situados de forma que describen un triángulo como se muestra en la figura. Calculan la tangente del ángulo y se vuelven a mover para formar un nuevo triángulo, con uno de sus ángulos de 30º . ¿Sigue siendo la tangente de la misma? Como el tercer ángulo del triángulo es siempre 30º , la suma no cambia ya que: 180º 30º 150º . Por tanto, la tangente de sigue siendo la misma. 47. Unos operarios están poniendo los bordillos de una isleta con forma de sector circular de 4 m de radio. Si el ángulo que forma este parterre es de 120º , ¿qué área encierra la isleta?
Asector
120 16 2 m · r 2 16, 76 m2 360 3
DESAFÍO PISA - PÁG. 147 UNA ONDA SINUOSA La elongación de una onda simple está determinada por la fórmula xt Asen t , donde es la velocidad angular, 2 , A es la amplitud máxima, el ángulo de desfase, es decir, el ángulo de T posición inicial, y T es el tiempo que transcurre hasta que está en la misma posición inicial, esto es, el periodo. Observa las gráficas, donde el e je horizontal representa el tiempo en segundos.
201
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 1. La amplitud máxima en ambas ondas es: B: 3 m ACTIVIDAD 2. El tiempo que tiene que pasar para que y (t ) 0 por primera vez es:
2 2 2 0 t C: 1,875 s. y t 0sen t
5 4
5 Tomando k 1 tendremos que t 8
5 4 5 15 2 8
5
5 5 k t
4
k
82
k.
t
1,875
ACTIVIDAD 3. El tiempo que tiene que pasar para que y (t ) 0 por segunda vez es:
5 35 4,375 B: 4,375. Tomando k 2 tendremos que t 5 8 8 ACTIVIDAD 4: Si el desfase en la onda y t es , entonces la onda tiene amplitud cero pasados:
2 2 0 A: 2,5 s. y t 0sen t
2 t 5 5 5 5 Tomando k 2 tendremos que t 5 2,5 8 2
5
5 5 k t 2 2
k
t
ACTIVIDAD 5: Si y t 1,5 m, los s egundos transcurridos son, aproximadamente:
2 3 2 1 3sen t C: 4,79 s. y t 1,5 sen
t . 5 4 2 5 4 2 2 2 2 5 t k 2t k 2 t k t 2 Por tanto, k 5 5 46 5 64 5 12 24 5 Tomando k 1 tendremos que t 5 4,79 24 202
k.
Matemáticas 4º ESO Académicas
203
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
UNIDAD 8: Geometría Analítica EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 152 1. Representa los siguientes vectores y dibuja dos v ectores equipolentes a cada uno: a) u 3, 4
b) v 3,1
c)
w 2, 5
2. Determina las coordenadas de los vectores de la figura:
a 1, 3 b 4, 2 u 3,1 v 2, 2
204
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 153 3. Dados los vectores u 3, 1 y v 2,5 , calcula: a) b)
u v
32 1
2
2 5
2
2
10 29
5 1, 4 c) u v 3 2 ,1 d) u v 3 2, 1 5 5, 6
e) 3u 3· 3, 1 9, 3 f)
2v 2· 2 ,5 4, 10
g) 5v 4 u 5· 2 h)
4u 12, 3
4·3,5·5 4·1
12 2 3
22,30
2
153
4. Representa gráficamente los vectores de los apartados c), d), e) y f) del ejercicio anterior.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 154 5. Dados los puntos A 3, 2 y B 2,4 determina: 2
, B 3 a) La distancia de A a B : d A 2 2 4 b) El punto medio del segmento AB : M
205
2
25 36
61
A B 32 2 4 1 , 2 2 2 2
,1
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c) El simétrico de A respecto de B : OS 2OB O A
2· 4 2 2 3,2·
d) El simétrico de B respecto de A : OS 2OA OB
2·3
2 4 2,2·
7,10 8, 8
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 155 6. Determina si los siguientes vectores son paralelos: a) u 6, 2 y v 9,3
u 6, 2
918 18 6·3 2·
v 9,3
|| u v
b) u 2, 4 y v 3, 6
u 2, 4
6 3· 4 12 12 2·
c)
v 3, 6
no son paralelos.
7. Determina un vector paralelo a los siguientes vectores: a) u 3,3 u1 9,9 b) v 18, 6 v1 6, 2
w 3,0 w 1 7,0
c)
8. Determina si los siguientes puntos están alineados:
A 1, 2 , B 2,3 , C 4,6 . No están alineados ya que:
a)
3·4 4·1 AC 4 1,6 2 4, 4 b) A 2,3 , B 3,1 , C 7,5 . Están alineados ya que: AB 2 1,3 2
3,1
AB 3 2,1 3 5, 2 AC 7 2 ,5 3
5, 2
5· 2 2 ·5
AB|| AC
9. Dados los puntos A 2,1 , B 1,3 , C 4, 2 , determina las coordenadas de un punto D para que ABCD sea un paralelogramo: Sea D ( x, y ) . Para formar un paralelogramo, los vectores BA y CD tienen que ser equipolentes, esto es, las coordenadas han de ser iguales:
BA 1 2,3 1 3, 2 CD x y4, 2
206
3 x 1 x 4 y 2 2 y 0
D
(1,0)
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 156 10. Calcula el producto escalar de las siguientes parejas de vectores: a) u 3, 2,v 1,3
uv· u v uv·
b) u 5, 2 ,v 4, 1
· uv uv· uv
· 2 32 2· 3 3 6 9
1 1
· 25·24 2· 12 0 2 22
1 1
11. Determina si las siguientes parejas de vectores son perpendiculares: a) u 4, v 6 , v u3, 2
· 4· 120 3 6· 2v u 12
b) u v2,v3 , u 3, 2
· 2· 3 u 3·2 66 12
v
12. Determina un vector perpendicular a cada uno de los siguientes vectores: a) u 1, 4 v
vu 4,1 3 5,wv 3 w 3,5 u 5, uw
b) v 3, 5w c)
13. Calcula el ángulo que forman las siguientes parejas de vectores: a) u 2,1 ,v
3,4
64 4 1· 9 16
Por tanto, arccos
b) u 1, 3 , v 1,0
u ·v u · v 10 arccos 55
arccos
u ·v u·v 1 arccos 10
52 arccos 5
26º 3354
arccos
1 1 9·1
Por tanto, arccos
10 arccos
108º 266 10
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 157 14. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P 2,5 y el vector director
u 3, 2 . Determina tres puntos de dicha recta. La ecuación vectorial es Q P k u · valores distintos de k : k 1 Q 1 2,5 3, 2 5,3
k 1 Q2
5 Q3 k 207
2,5 3 ,2
1, 7
2,5 5· 3, 2 17, 5
con k
. Para determinar tres puntos de la recta elegimos tres
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
15. Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P 1, 2 y el vector director u 1,5 . Determina tres puntos de dicha recta. Sea k
y Q x, y un punto de la recta. La ecuación paramétrica es:
x 1 k . y 2 5k Para determinar tres puntos de la recta elegimos tres valores distintos de k : k 1 Q 1 1 1,2 5 0, 7
k 1 Q2 1 1,25 2, 3 k 3 Q3 1 4, 3, 2 15 13
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 158 16. Determina la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P 3, 2 , siendo u 3, 4 un vector director. Determina tres puntos de esta recta. Sea Q x, y un punto de la recta buscada. La ecuación continua de la recta es:
x 3 y 2 4 3 Para determinar tres puntos de la recta elegimos un valor para una incógnita y resolvemos para la otra: y2 x 0 1 2 y 2 4 y 0, 2 Q1
4 y2 x 30 0 2 y 2 y 3, 2 Q2 4 y2 x 32 8 2 y 6 y 3,6 Q3 4
17. Determina un vector director y tres puntos de la recta de ecuación
x 3
2
y 5
3
.
Un vector director de la recta es u 2, 3 . Para determinar tres puntos de la recta elegimos un valor para una incógnita y resolvemos para la otra: y 5 x 1 y 1 y 1,1 Q1 2 6 5
3
30 3 0x 3 y 5 x x 3,0 Q2 2 y 5 x 30 0 5 y 5 y 3,5 Q1 3
18. Determina la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P 2, 3 y pendiente
2 . Determina tres puntos de dicha recta.
208
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sea Q x, y un punto de la recta buscada. La ecuación punto-pendiente es: y 2 x 2 3 . Para determinar tres puntos de la recta elegimos un valor para una incógnita y resolvemos para la otra: x 2 y 22 23 3 y 2, 3 Q1
x 0 y 2· 2 3 4 3y1 x 1 y 2 12 3
0,1 Q 63 3y 1,3 1
Q1 x 3
19. Determina la ecuación punto pendiente de la recta de ecuación
y 4 4 2 .
El punto P 3, 4 es un punto de la recta y el vector u 4, 2 un vector director. Por tanto, la pendiente es m
1 1 2 3 4 . La ecuación punto-pendiente es: y x 4 2 2
20. Determina la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por P 2, 4 y tiene a u 3, 1 como vector director. La pendiente de la recta es m
1 1 1 y la ecuación punto-pendiente es: y x 2 4 3 3 3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 159 21. Determina la ecuación general de una recta que pasa por el punto A 5,1 , siendo u 3, 2 un vector director de la recta. Determina tres puntos de la recta. Partiendo de la ecuación continua de la recta:
x 5
3
x 5 y 1 , operamos y despejamos: 3 2
y 1
2
2 x 5 3 1y 2 3 1 x 3 0y 2
3 13 0x
y
Para determinar tres puntos de la recta elegimos un valor para una incógnita y resolvemos para la otra: 3 9 0 y 3 y 2,3 Q1 x 2 43 13 y 0
2 10 0x 5 y 1 2 3x 130
x 5,1 Q2
y 12 3x 130 2 1 6 0x 8 x 8,1 Q3
22. Determina la ecuación general de una recta que pasa por los puntos
A
y . 2,5 B 3, 4
Como el vector AB 5, 9 es un vector director de la recta, el vector n 9,5 es un vector normal. Por tanto, la ecuación general de la recta pedida es 9 x 5 y c con c
. Dado que la recta debe
pasar por el punto A 2,5 , sustituyendo sus coordenadas en la ecuación se tiene:
9· 2 5·5 c c 18 25 7
209
. Por tanto, la recta es: 9 x 5 y 7
Matemáticas 4º ESO Académicas
23. Determina la ecuación general de la recta de ecuación r
SOLUCIONARIO
x 1 y 4 . 3 5
Operando en la ecuación continua de la recta y despejando, obtenemos: x 1 y 4 x05y 3 x y 5 x 1 3 4 y 5 3 7 7 0
3
5
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 160 24. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas y el punto de intersección en su caso: a)
r x 3 y 1 0 y s x y 5 0 . Como los coeficientes de x e y de las dos rectas no son proporcionales, las rectas son secantes. Resolviendo el sistema: 3 x10 y x 3 y1 0 y6 0 3y 2 x 50 y x y 50 Sustituyendo el valor y 3 en la ecuación de s , tenemos: x 350 2x . Por tanto, el punto de intersección es P 2, 3 .
b) r 2 x y 2 c)
1 2 1 2 y 2 0 . Como las rectas son paralelas. 2 1 1 2 2 6 15 7 y s4 las rectas son paralelas. x 10y2 0 . Como 4 10 2
0 y s x
r 6 x 15y7 0
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 161 25. Determina la ecuación de la recta paralela a r 2 x 3 y5 0 La recta de ecuación s x2 y 3c
0 con c
que pase por el punto A 2,4 .
es paralela a r . Para que pase por el punto A ,
2 3·4 c0 16 0 sustituimos sus coordenadas: 2· c 16 c
.
Por tanto, la recta solicitada es s 2x 3 y 16 0 26. Determina la ecuación de la recta perpendicular a r 2 x3 y4 0
que pase por el punto
A 3, 1 . Sea s la recta que buscamos. El vector u 2,3 es normal a r y por tanto es un vector director de
s . La ecuación continua de s es, por tanto: s
x 3 y 1 2 3
27. Determina el punto de intersección y el ángulo que forman las rectas r x 2y 3 s 3x y 4 0 .
0 y
El ángulo que forman viene dado por el ángulo de sus vectores normales que son, respectivamente: u (1, 2) y v 3,1 . 210
Matemáticas 4º ESO Académicas
u·v 5 5 arccos u · v 5· 10
Así: arccos
2 arccos 52
El punto de intersección es la solución al sistema: y3 x 3 0 y 0 2 x 2 5x 5 0 x y 3 4 0 6 2 8x0 y Sustituyendo en s , tenemos 3 y40 1 y
arccos
2 45º
1x . Por tanto, el punto de intersección es P 1,1 .
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 164 -166 VECTORES 1. Determina las coordenadas de los s iguientes vectores utilizando vectores equipolentes:
a 2, 7 (negro) b 4,2 (verde) c 4, 1 (naranja) d 4,3 (azul) e 8, 4 (morado) 2. A la vista de la figura, dibuja los vectores: a) u b) 2u u c)
2
d) 3u
3. Determina, geométricamente, las siguientes operaciones: a) u v
211
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
b) u v
c)
3u 2v
4. Sean u 5, 2 y v 4, 3 dos vectores. Determina: a)
u 5, 2
b) u v 1, 1 c)
3u 15, 6
d) u v 9,5 e) v u 9, 5 f)
6u 5 v 50, 27
5. Si u
3,
es un vector, calcula:
5
a)
u 9 25 34
b)
u u 9 25
c)
3u 3· u 3 34
d)
3u 3 u 3· u3 34
212
34
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
3 3 3 34 u ·u 4 4 4
f)
3 3 3 334 u u · u 4 4 4 4
VECTOR DE POSICIÓN 6. Determina las coordenadas de un vector de extremos los puntos: a)
A 2,3 y B 2,1 AB 4, 2
b)
A 5,1 y B 4, 2 AB 1, 3
c)
A 2, 3 y B 2, 1 AB 4,2
7. Calcula las distancias entre los siguientes puntos: a)
A 4,1 y B 4,2 . d A , B 44 21 65
b)
A 9,5 y B 2, 3 . d A,B 2 9 3 5
12164
c)
A 5, 7 y B 5, 9 . d A , B 55 9 7
2
2
2
2
2
2
100 256
8. Determina el punto medio del segmento AB en los siguientes casos: a) b) c)
A B 0,2 2 A B A 1,7 y B 7, 3 . M 3, 2 2 AB 5 A 4,7 y B 1, 1 . M ,3 2 2 A 2,3 y B 2,1 . M
9. Determina el simétrico de A respecto de B en los siguientes casos: a)
A 1,6 y B 2,1 . S 2B A 5,4
b)
A 5, 2 y B 2, 6 . S 2B A 9, 16
c)
A 2,3 y B 4, 2 . S 2B A 6, 7
10. Calcula el perímetro de la siguiente figura: Los vértices de la figura son: A 3,3 , B 1,1 , C 2,2 ,
D 4, 2 , E 1, 3 y F 4, 2 . Las longitudes de los lados se calculan como la distancia entre vértices consecutivos: 213
185 356 2 89
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
p 2 2 10 2 5 26 10 26 2 2 5 10 26 23,82
d A, B 2 22 2 8 22 d B, C 3 1 10 2
2
d C , D 2 24 2 20 2 5
d D, E 5 12 226 d E , F 3 1 10 2
SOLUCIONARIO
2
d F , A 1 52 226
VECTORES PARALELOS 11. Indica si son paralelos o no los siguientes vectores: a) u 6,3 y v 8, 4
u 6,3
24 24 6· 4 3·8
v 8, 4
|| u v
b) u 5, 10 y v 4,8
u 5, 10
c)
4 4040 · 5·8 10 v 4,8 u 6,8 y v 9, 12
72 72 6· 12 8·9 v 9, 12 d) u 6,15 y v 4, 10 u 6,8
u 6,15
6· 10
15·4
v 4, 10
60 6 0
|| u v
|| u v
|| u v
12. Da dos vectores paralelos al vector: a) u 2, 4 || 4, 8 || 1,2 b) u 2,5 | | 2,5 |||| 6,6,154 c) u 3, 2 || 3,2
8,6 d) u | |
4,3
|| 2,
3 2
13. Dados los puntos A 4,3 , B 3, 2 y C 2, 2 determina las coordenadas de un punto D para que ABCD sea un paralelogramo. 214
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sea D ( x, y ) . Para formar un paralelogramo, los vectores BA y CD tienen que ser equipolentes, esto es, las coordenadas han de ser iguales:
x 2 1 BA 4 3 ,3 2 1,1 1 x D 2 1 1 y y CD x y2, 2
( 1, 1)
14. Determina si los siguientes puntos están alineados o no: a)
A 2,3 , B 3,1 , C 2,4 . No están alineados ya que: AB 3 2,1 3 1, 2 1·1 2 ·4 AB|| AC AC 2 2 ,4 3 4,1
b)
A 4,0 , B 0,8 , C 1,10 . Están alineados ya que:
4·10 8·5 AB|| AC AC 1 4,10 5,10 A 2,2 , B 2,4 , C 4,5 . Están alineados ya que: AB 4,8
c)
2 2,4 2 AB
4, 2
AC 4 2,5 2
6,3
4·3 2·6
|| AC . No están alineados. AB
PRODUCTO ESCALAR. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES 15. Calcula el producto escalar de los s iguientes pares de vectores: a) u 3, 4 , v 3, 5
· u v· uv uv
1 1 2
v b) u 4, 5, 2,3
u v·uv uv·
1 1 2
u 2, 6, v 4,2
· u v uv uv·
12 4 1 ·1 228
c)
· 2 920 11
· 8215 7
16. Determina si son perpendiculares los siguientes pares de vectores: a) u v 3,5 , v 4,u6
· u 12 300
b) u 2, v4 , 6,v 3u c)
u 10, v5 , v3, u6
· 12 vu 120 · u 30 30 0
17. Determina un vector perpendicular al vector: a) u 4,3 v b) u 5 v 2, c)
u 4,3 v
v u 3, 4
2 5,vu
u4 3,v
d) u 3,4 v 4,vu3 215
v
v
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
18. Calcula el ángulo que forman las siguientes parejas de vectores:
u ·v u·v 4 9 Por tanto, arccos arccos 1 180º 4 9· 4 9 u v arccos · b) u 1,3 , v 4,1 u·v 1 170 34 Así, arccos arccos 94º 2355 arccos 170 1 9· 16 1 170 u·v , v 6,3 c) u 2, 4 arccos u · v 12 12 Por tanto, arccos arccos 0 90º y son perpendiculares. 4 16· 36 9 a) u 2,3 ,v 2,3
arccos
ECUACIONES DE LA RECTA 19. Dada la recta de ecuación r 1, 3
k6, 7
, determina:
a) Tres puntos de la recta. Dando valores a k , tenemos: k 0 P 1, 3
k 1 Q 1, 3 6,7 7,10 k 1 R 1, 3 6, 7 5, 4 b) El vector director v 6, 7 c) Las ecuaciones paramétricas de la recta: x 1 6k k y 3 7k
x 1 6k
20. Dada la recta de ecuación r
y 3 7k a) Tres puntos de la recta. Dando valores a k , tenemos: k 0 P 1, 3
k 1 Q 1 6,3 7 7, 10 k 1 R 1 6,37 5, 4
216
k
, determina:
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
b) La ecuación vectorial de la recta. El vector director es u 6, 7 y pasa por P 1, 3 , por tanto r 1, 3
k6,
7
.
x 1 y 3 6 7 d) ¿El punto pertenece A 3, 2 a r ? c) La ecuación continua de la recta. r
Sustituyendo las coordenadas de A en la ecuación paramétrica de r , tenemos: 2 6 k 6 4 k k 3 31 . El punto no pertenece a la recta. 5 2 3 7 k 7 5 k k 7
x 2 k y 1 k
21. Determina la ecuación continua de la recta de ecuación r Despejando k e igualando, tenemos: k k x 2 x 2 r x 2 y 1 y 1 k k y 1 22. Dada la recta de ecuación r
x 4 y 3 , determina: 3 1
a) Tres puntos de la recta . Dando valores a una incógnita, hallamos la otra: y y 243 3 x 2 P 2 2 3 1 y 2,1 y
3 1 1 y y 44 3 3 x 4 0 0 3 3 y 4,3 y 3 1 1 y 74 3 y 3 x 7 5 y 7,5 1 2 3 y 3 1 1
Q
R
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta. El vector director de la recta es u 3, 1 y pasa por
x 2 3k y 1 k
el punto P 2,1 , por tanto: r
c) La ecuación vectorial de la recta . El vector director de la recta es u 3, 1 y pasa por el punto
P 2,1 , por tanto: r 2,1 k 3,1 d) ¿El punto A 1,1 pertenece a r ? Sustituyendo sus coordenadas en la ecuación continua, 1 4 1 3 tenemos: 1 2 . Por tanto, el punto no pertenece a la recta. 3 1 23. Dada la recta de ecuación r y 3 x 7 , determina: a) Tres puntos de la recta. Dando valores a una incógnita, hallamos la otra: 7 2,1 x0 y P 217
Matemáticas 4º ESO Académicas
x 1 y 37 4
1, 4 Q
x 4 y 127 5 4,R 5
SOLUCIONARIO
b) La ecuación continua de la recta. Tenemos que y 3x7 3
x7 y
luego un vector y 1 director de la recta u 1, 3 es y pasa por el punto P 2,1 . Por tanto: r x 2 3 c) ¿El punto A 2,1 pertenece a r ? Sustituyendo sus coordenadas en la ecuación de la recta, tenemos que 1 3·2 7 por lo que el punto no pertenece a la recta. 24. Dada la recta de ecuación r
x 3 y 2 , determina la ecuación punto-pendiente de la recta: 9 4
La recta pasa por el punto P 3, 2 y tiene como vector director a u 4,9 . Por tanto, la pendiente es m
9 4
9 x 3 2 . 4
y la ecuación punto pendiente: r y
25. Dada la recta de ecuación r y 3 x 3 5 , determina la ecuación continua de la recta. Despejando en la ecuación, tenemos: y 3 x 3 5 5 3 3y Luego la ecuación continua es r x 3
y 5 3
x 3
y 5 3
x
26. Determina la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A 3,1 y B 2, 5 . x 3 y 1 El vector AB 5, 6 es un vector director. Por tanto, la ecuación continua es: r 5 6
27. Determina la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A 1, 2 y
B 3, 2 . El vector AB 4,0 es un vector director de la recta y por tanto la pendiente es m
0 0 . La 4
ecuación punto-pendiente de la recta es: r y 2
28. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A 5, 4 y forma un ángulo de 30º con la horizontal. La pendiente de la recta es m tan30º
pendiente será: r y
218
3 x 5 4 3
3 y pasa por A 5, 4 , por lo que la ecuación punto3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
29. Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A 7, 1 y
B 2,8
x 7 9k k y 1 9k
El vector AB 9,9 es un vector director de la recta. Por tanto: r
30. Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto A y tiene como vector director u en los siguientes casos: a)
A 1,3 , u
5,2
La ecuación continua es r
x 1 y 3 . Operando y despejando: 5 2
x 1 y 3 2 x 1 5 x0 3y 2 5r 13 5 2
b)
y
2 ,u 2, 1 A 2, El vector n 1, 2 es normal a la recta, cuya ecuación es, por tanto: r x
c . Sustituimos las coordenadas de A para hallar general de la recta es: r x 2y 2 0 c)
c:
y2c
24 0c 2 c
0 con
. La ecuación
A 1, 2 ,u8, 1 1
1
La pendiente de la recta es: m 8 y la ecuación punto-pendiente: r Operando y despejando, tenemos: 1 y 1 x 8 15 r 0x y 2 x1 8 16 y 8 31. Dada la recta de ecuación r 2 x 5 y50
y
8 x 1
2.
, determina:
a) Tres puntos de la recta. Dando valores a una variable, calculamos la otra:
x 05 y5 y 0,1P 0 1
x 5 105 5y 0 3 y 5,3Q x 510 5 5y0
1y 5,1R
b) El vector director de la recta. Como n 2,5 es un vector normal, el vector u 5,2 es un vector director de la recta. c) La ecuación continua de la recta. Usando el vector director u y el punto P : r 32. Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
219
x y 1 5 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
A 1, 4 y B 2,1 . El vector AB 3, 3 es un vector director de la recta y por tanto la pendiente es m
3 3
1.
La ecuación punto-pendiente de la recta es: r y x 1 4 y,
despejando, la ecuación general es r x y 3 b)
0
A 1, 2 y B 2, 3 . El vector BA 3,5 es un vector director de la recta y por tanto la x 1 y 2 ecuación continua es: r . Operando y despejando: 3
c)
SOLUCIONARIO
5
5 x 1 3 2y 5 3r 1 0x y A 2,3 y B 5,8 . El vector AB 7,5 es un vector director de la recta y por tanto la ecuación continua es: r
5 x 27
x2
y 3
7
5
. Operando y despejando:
3y 5 r7 31x0 y
33. Dada la recta de ecuación r
x 1 y 2 , determina la ecuación general de la recta. 2 3
Operando y despejando sobre la ecuación: x 1 y 2 3 1x 2 2y 3 2 r 10 x 2 3 34. Dada la recta de ecuación r
3x 5 y4 0
y
, determina la ecuación continua de la recta.
El vector n 3, 5 es un vector normal a la recta y por tanto u 5,3 es un vector director. Hallamos un punto de la recta dando un valor a una de las incógnitas:
y 13 x5 x 3,1 A 4 0 3
.
La ecuación continua de la recta es, por tanto: r
x 3 y 1 5 3
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO 35. Determina la posición relativa de las rectas: a)
r 2 x y 1 y s x 2y 3
b) r 2 x 4 y6 0
y
0 . Como
2 1 , las rectas son secantes. 1 2
s 3x 6 y90
. Como
2 4 6 , las rectas son 3 6 9
s 9 x 3 y6 0
. Como
6 2 4 , las rectas son 9 3 6
coincidentes c)
r
6 x 2 y40
y
coincidentes 36. Determina la posición relativa de las rectas: r x 3y 5 220
0y s
x3 6
y2 2
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
El vector n 1,3 es normal a la recta r y por tanto u 3, 1 es un vector director suyo. Por otra parte, v 6,2 es un vector director de s . Tenemos que 3·2 1· 6
||u v . Por tanto, las
rectas son paralelas o coincidentes. Como el punto A 5,0 pertenece a r pero no a s , se trata de rectas paralelas. 37. Determina el punto de intersección de las rectas: a)
r 2 x y 1 0 ; s 2 x 3 y30 . Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas por reducción: 10 2 10x y 2 x y 2y2 0 1 y x0 y 3 y 0 2 3 3 2 x3 Sustituyendo en la primera ecuación: y 1 2 1 x10
0
. La intersección es el punto P 0,1
x
b) r x 2y 3 0 ; s 4 x y 3 0 . Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas por reducción: y3 0 4 8 x12 0y x 2 9 7y 9 0 y 4 3 0 x y 7 4x y30
30 x 2y 4 x y3 0
2x3 0 y 8 2 6x0 y
7 x 3 0
3
x
3 7
9
Por tanto, la intersección es el punto P 7 , 7
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES. ÁNGULO ENTRE RECTAS. 38. Dada la recta r 2 x 3 y60
, determina la ecuación de la recta:
a) Paralela a r que pasa por el punto A 2,5 . La recta pedida será s x2y c3 0 con c . Sustituyendo las coordenadas de A 4 15 0 podemos obtener: A s c c19 . La recta es: s 2x 3 y19 0 b) Perpendicular a r que pasa por el punto A 5, 2 . El vector n 2,3 es normal a la recta r y por tanto u 3, 2 es un vector director suyo y normal a la perpendicular pedida, que será: t
3 y 2 k x
k0 4 valor de k usamos las coordenadas de A : A t 15 es, por tanto: t 3x 2y11 0 39. Dada la recta r 2 x y 8
0 con k
k11
. Para obtener el . La recta pedida
0 , determina:
a) La ecuación general de la recta paralela a r que pasa por el punto A 3, 1 .
221
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
La recta pedida será s x2 y c 0 con c . Sustituyendo las coordenadas de A c podemos obtener: A s 61 0c 5 . La recta es: s 2 x y 5 0 b) La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por el punto A 2,3 . El vector n 2,1 es normal a la recta r y por tanto u 1, 2 es un vector director suyo y normal a la perpendicular pedida, que será: t x y2k
0 con k
de k usamos las coordenadas de A : A t 26 0k 4 k tanto: t x 2y 4 0 40. Dada la recta de ecuación r
x2 4
y3 5
. Para obtener el valor . La recta pedida es, por
, determina la ecuación general de la recta:
a) Paralela a r que pasa por el punto A 3, 2 . s
x3 4
y2 5
b) Perpendicular a r que pasa por el punto B 2,5 . El vector u 4,5 es un vector director de la recta y por tanto normal a la perpendicular. Un vector director de la perpendicular será u 5, 4 y su ecuación: r
x2
y 5
5
4
41. Determina el ángulo que forman las rectas r y s . Calcula el punto de intersección. a)
r 2x 3y 0 y s x 3y 2 0 . El ángulo que forman viene dado por el ángulo de sus vectores normales que son,
respectivamente: u (2,3) y v 1, 3 . Así,
u·v arccos u·v
11 11130 arccos arccos 130 13· 10
164º 4442
El punto de intersección es la solución al sistema: 2 x 3 y 0 x 2 0 x 2 x 3y 2 0 Sustituyendo en la ecuación de s , tenemos que 2 3 y2 0
intersección es P 2,
y
4 3
. Por tanto, el punto de
4
.
3
b) r 7 x y 3 0 y s x 2 y 1 0 . El ángulo que forman viene dado por el ángulo de sus vectores normales que son, respectivamente: u (7, 1) y v 1, 2 . Así,
u·v arccos u·v
9 109 arccos arccos 50· 5
El punto de intersección es la solución al sistema: 222
124º 4143 50
Matemáticas 4º ESO Académicas
7 x y 3 0 10 x 2y
14 2 x 60y 2 x10 y
13 x 5 0
y30 7 30x y 7 x 2 1 0 71 4x 7 0y x y
13 y 40
SOLUCIONARIO
5 13
x y
4 13
4 5 , . 13 13
Por tanto, el punto de intersección es P c)
r x 3y 4 0 y s 3x y 6 0 . El ángulo que forman viene dado por el ángulo de sus vectores normales que son,
respectivamente: u (1, 3) y v 3,1 . Así,
u·v arccos u·v
0 arccos 10· 10
arccos 0 90º
Las rectas son, pues, perpendiculares. El punto de intersección es la solución al sistema: y 4 0 3x40 y x 3 14 7 10 x 14 0 x y 6 0 9 3 x18 0y 10 5 3x
0 x 3 y 4 3 x y 6 03
391x 2 y0 6x0 y
10 y 18 0
y
18 10
9 5
7 9 . 5 5
Por tanto, el punto de intersección es P ,
PROBLEMAS 42. Natividad y Alfredo se van de ruta de senderismo y realizan un circuito cerrado como el que se muestra a continuación. Si las coordenadas están dadas en kilómetros, ¿cuántos habrán recorrido? Los vértices del polígono descrito son:
A 4,3 ; B 3,6 ; C 6,2 ; D 2,3 ; E 1, 2 y F 2,2 . Calculamos la longitud de cada segmento hallando las distancias entre vértices consecutivos:
d A, B 7 32 258 2 d B, C 3 4 225 5 2 d C , D 4 12 17
d D, E 3 52 234 2 d E , F 1 42 17
d F , A 2 1 25
2
Por tanto, han recorrido un total de
223
58 5 17 34 17 5 2 8,93
km
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
43. En la etapa de montaña de hoy, los ciclistas se van a encontrar con pendientes del 7%, el 12% y el 16%. ¿Qué ángulo con la horizontal formará la carretera en cada tramo de pendiente? El porcentaje de una inclinación de una rampa indica la pendiente de la recta. Por tanto: 7 7% arctan 4º 015 100 12 12% arctan 6º 50 34 100
16% arctan 16 9º 525 100 44. Un automóvil circula por la autovía con la misma dirección que marca la recta r 3x 4 y7 0
.
Si la mediana de la carretera pasa por el punto A 3,1 , ¿cuál es la ecuación de la recta que determina dicha mediana? La recta de la mediana será paralela a la carretera y por tanto tendrá la forma s x3 y 4k
k . Sustituyendo las coordenadas de A podemos hallar: A s 94 tanto, la recta pedida es: s 3x 4 y5 0 45. Determina el punto simétrico de A 1, 3 respecto a la recta r
0 con
0k 5 k
. Por
2 x y 1
0.
Calculemos la recta perpendicular a r que pasa por A . El vector n 2,1 es normal a la recta r y por tanto u 1, 2 es un vector director suyo y normal a la perpendicular pedida, que será: . La s x y2c 0 . Usamos las coordenadas de A para hallar c : A s 16 0c 7c recta buscada es s x 2y 7 0 . Hallemos ahora la intersección de r y s : y 10 4 2 2 x 0 y 2 x x 5 50 1x x y x 2 7 0 2 7 0y x y 2 x y10 2 10 7 0 24 x1 4 y0 x 2y
y 15 5 0
y3
La intersección de r y s es, así, el propio punto A 1, 3 que, como pertenece a la recta, es su propio simétrico. 46. Determina el punto simétrico de A 0,5 a la recta que pasa por los puntos B 2,1 y C 1,3 Para calcular la recta que pasa por B y C , consideremos que BC 1, 2 es un vector director de esa recta y por tanto su ecuación continua es: r x 2 y 1 2x4 1 y 2 r 50x 1 2
224
y
x 2 y 1 . Operando y despejando, tenemos: 2 1
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Calculemos ahora la recta perpendicular a r que pasa por A . Por ser BC 1, 2 normal a dicha recta, su ecuación será: s x y 2c 0 con c . Sustituyendo las coordenadas de A : A s 10 c c 10 . La recta es: s x 2y 10 0 . 0 Hallamos el punto de intersección de r y s resolviendo el sistema: 2 50x y 2 x y50 5 y25 0 5y x y 2 10 0 2 4x 20y 0 y5 0 4 2 10 x 0 y 2 x x y x 2 10 0 2 10y 0
x 0 5
x
0
El punto de intersección es el propio punto A , lo que quiere decir que su simétrico respecto de r es el mismo punto A . 47. Determina la distancia del punto A 5,1 a la recta r 3x y 2
0.
La distancia de A a r coincide con la distancia entre A y el punto de intersección de r y una recta perpendicular a ella que pase por A . El vector n 3, 1 es normal a la recta r y por tanto u 1,3 es un vector director suyo y normal a la perpendicular buscada: s x y3c coordenadas de A , se obtiene: A s 53 0c 8 c intersección de r y s se calcula resolviendo el sistema: y2 0 9 3 6x 0 y 3x 2 10 x 2 0 x 3 x8 0 y x 3 y 8 0 10
3x y20 3 x 3 y8 0
2x0 y 39 x 24 y0
10y26 0
0 . Sustituyendo las
y por tanto s x 3y 8
0 . La
1 5
26 13 y
10
5
1 26 . Finalmente, la distancia de A a r es: 5 5
Por tanto, el punto de intersección es: B ,
1 5
d A r, d ,A B 5 1
2
13 5
2
24 82 25 5
2
640 8 10 5,06 5
48. Un hombre se encuentra frente a la vía del tren en un tramo que discurre en línea recta. Si la vía describe la recta de ecuación r 4 x 3 y6 0 y el hombre se encuentra situado en el punto
A 1,1 , ¿a qué distancia estará el hombre de la vía del tren? La distancia de A a r coincide con la distancia entre A y el punto de intersección de r y una recta perpendicular a ella que pase por A . El vector n 4, 3 es normal a la recta r y por tanto u 3, 4 es un vector director suyo y normal a la perpendicular buscada: s x3 y 4 c coordenadas de A , se obtiene: A s 34 0c 1 c intersección de r y
225
s
se calcula resolviendo el sistema:
0 . Sustituyendo las
y por tanto s 3x 4 y1 0
. La
Matemáticas 4º ESO Académicas
4 x 3 y6 0 3x 4 y1 0
16 12 x 24y 0 9 12 x 3 0 y
x 21 25 0
y6 0 4 x 3 3 x 4 y1 0
12 9 x18 0y 1216x 4 0y
25 y 22 0
x y
SOLUCIONARIO
21 25 22 25
21 22 , . Finalmente, la distancia de A a r es: 25 25
Por tanto, el punto de intersección es: B 2
d A r, d ,A1B 1 21
2
22 25
25
2
2
4 3 2 25 1 25 25 5
2
49. Calcula el área del triángulo que tiene como vértices los puntos A 1, 2 , B 3,4 y C 1,5 . Consideremos el segmento AB como la base del triángulo: d A, B 2 22 28 22
.
La altura es la distancia desde el punto C a la base, esto es, a la recta r que pasa por A y B . La recta r tiene como vector director a AB 2,2 y por tanto también a u 1,1 . La ecuación es: r x
1 y 2rx
ecuación
es:
y
. Como u 1,1 es un vector normal de la perpendicular su
1 0 0.
Sustituyendo las coordenadas de C , se obtiene: y por tanto s x y 4 0 . La intersección de r y s se calcula
s xy c
Cs 1 c5c 0 4 resolviendo x y 1 el0 sistema: 2 x 3 0 x x y 4 0
x y 10 x y 40
x 10 y x 40y
3 2
2 y 5 0
y
5 2
3 5 2 2
Por tanto, el punto de intersección es: P , . Por tanto, la altura del triángulo mide: 2
2
5 5 522 3 5 5 4 2 2 2
2
h d C P, 1
.
b· h 2 2·5 2 20
Finalmente, el área del triángulo es: S
2
4
4
5
50. Calcula el área del paralelogramo: Los vértices del paralelogramo son:
A 3, 5 , B 2, 3 , C 6,4 y D 1, 2 . La base será, por tanto, la longitud de AB y la altura la distancia de D a la recta r que pasa por A y B . La base mide:
d A, B 5 22 229
. La recta r tiene como vector director
a AB 5, 2 y como vector normal, por tanto, a n 2, 5 . Su 226
Matemáticas 4º ESO Académicas
ecuación es: r x2 y 5c 0 A r 6 25 c c19
0 . Sustituyendo las coordenadas y por tanto r 2 x 5 y 19 0 .
de
A,
se
SOLUCIONARIO
obtiene:
Como AB 5, 2 es un vector normal de la perpendicular su ecuación es: s x5 y 2k Sustituyendo las coordenadas de D , se obtiene: D s 54 0k 9 k . La intersección de r y s se calcula resolviendo el sistema: s 5x 2 y9 0
0 2 x 5 y 19 5x 2 y9 0
4 10 x 38y 0 25 10 x 45 y0
29 x 83 0
x 95y 0 25 2 x 5 y 19 0 10 5 x 2 y 9 0 10 4 x 18 y0
29 y 77 0
0.
y por tanto
83 29
x y
77 29
83 77 , y la altura mide: 29 29
Por tanto, el punto de intersección es: P
h d D P,
83 1 29
2
77 2 29
2
54 2135 2 29
Finalmente, el área del paralelogramo es: S b · h
2
21141 27 29 29 29
.
29· 27 29 27 29
DESAFÍO PISA - PÁG. 167 POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS Decimos que un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos de la región interior que el polígono determina sigue permaneciendo en dicha región. En caso contrario, diremos que el polígono es cóncavo. Como podemos observar, en un polígono cóncavo hay un ángulo interior que es mayor de 180º . Observa el pentágono de la figura y contesta las cuestiones que se plantean a continuación.
ACTIVIDAD 1. La longitud del lado AB es: B:
53 ud, ya que AB 2, 7 AB 4 49 227
53
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 2. El simétrico del punto G respecto del lado DE es: A: 9,0 . La recta que determina el lado DE tiene pendiente m 1 y su ecuación es: y 3 x 10 o, en forma general: x y 7 . Las perpendiculares a ella son de la forma x y k y la que pasa por el punto G es x y 9 . El punto de intersección P de ambas es:
x y 7 x 16 2 x 8; x y 9
P 8,1
El simétrico de G respecto de P es: G 2GP 9, 0
ACTIVIDAD 3. El punto medio del segmento AB es: B: 3, 0,5 ya que
A B 3, 0,5 2
ACTIVIDAD 4. La distancia de C al segmento DE es: C: 3 2 ud. Como la recta que determina el lado DE es x y 7 , la perpendicular que pasa por C es x y 5 . El punto Q de intersección de ambas:
x y 7 2 x 12 x 6; Q6, 1 x y 5 3
La distancia de C a Q es: CQ
2
3 3 18 3 2
ACTIVIDAD 5. La tangente del ángulo que determina el vértice A es: C: 3,5. Trazando una vertical desde B se forma un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto al ángulo 7 es 7 y el contiguo 2, por lo que tan 3,5 2 ACTIVIDAD 6. La recta x 7 y 11 0
contiene el lado:
B: CD , ya que ambos puntos verifican la ecuación.
228
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 9: Estudio gráfico de funciones EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 174 1.
Dadas las siguientes gráficas, determina si corresponden a la gráfica de una función o no raz onando tu respuesta: En el primer caso, sí se trata de una función ya que para cada valor de la variable horizontal existe un único valor en la vertical. En el segundo caso, no se trata de una función ya que hay valores de la horizontal para los que existen dos posibles valores en la vertical.
2. ¿La siguiente tabla puede representar a una función? Razona tu respuesta.
No puede representar a una función ya que, si x fuera la variable independiente, habría dos posibles valores de y para x 2 . Igualmente, si y fuera la variable independiente, habría dos valores de x para y 3 .
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 175 3. Determina los puntos de corte con los ejes y elabora una tabla con 7 valores para las siguientes funciones:
f ( x) 2 3 x
a)
Punto de corte con el eje X: f x 0 23 0x
x
2 2 . El punto es , 0 3 3
Punto de corte con el eje Y: f (0) 2 . El punto es 0,2 Tabla de valores:
g x
b)
x x 2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
11
8
5
2
-1
-4
-7
2
Puntos de corte con el eje X:
xg
1 18 13 x x ó1 2 2 2
xx0 0 x22
Los puntos son: 1, 0 y 2,0
1
Punto de corte con el eje Y: g (0) 2 . El punto es 0,2 Tabla de valores: x
229
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) -10
-4
0
2
2
0
-4
2
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
SOLUCIONARIO
hx x 2x 5 Puntos de corte con el eje X: hx
2 x x 5 0 x 0 50 x0óx
5
1
2
.
Los puntos son: 0,0 y 5,0 Punto de corte con el eje Y: h(0) 0 . El punto es 0,0 Tabla de valores: x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
24
14
6
0
-4
-6
-6
4. Elabora una tabla con las siguientes gráficas con 6 valores. Gráfica 1 x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
0
1
4
1
0
-5
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
0
1
4
1
0
-5
Gráfica 2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 176 5. Determina el dominio de las siguientes funciones: a) b)
x2 1 x f x x 2
f x
Dom( f)
Dom()f
0 x / 2x 0 2,
c)
2x f x 2 Dom()f x 3
x /
d)
f x 2 x23 x Dom( ) f
/x2 3
e)
f x
f)
f x 2x3 x
2x x 2 x 20
Dom()f 2 3 Dom( )f
6. Determina el dominio: Gráfica 1: Dom( f ) 8, 2
4,12
Gráfica 2: Dom( f ) 12,6
230
x /
2 0 x3
x02
x /
3, 3
x , 0 ,
x 0 x 220
2x 0x
/x
3 2
4,5
1 0x 1x ,
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 177 7. Clasifica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
Discontinuidad de salto finito.
Discontinuidades de salto infinito.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 178 8. Determina la tasa de variación media en el intervalo 2,2 de las funciones: a)
f x 2 x1 TVM 2, 2
x 1
b)
f x
c)
f x x 2 3x TVM 2, 2
x 1
TVM
2,2
f 2 f 2 3 5
2 2
2
4
1 f 2 f 2 3 3 22 4 4 9 f 2 f 2
2 2
8 9
2
2 10 3 4
9. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos:
, 6 Crecimiento:
0, 7 8.5, Decrecimiento: 6,0 7,9.5 Máx. relativo: 6, 2 , 7 ,4 Min. relativo: 0, 6 , 8.5,2 Crecimiento:
6, , 6 0, 2 2, 4 Decrecimiento: 6, 4 4,0 Máx. relativo: 6,4 , 4,2 231
4, 6
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Min. relativo: 0,2, 6,0 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 179 10. Representa las siguientes funciones lineales: a)
y x2
b)
y
c)
y 1 2x
232
3 x 4
x -4 -2 0 2 4
y -2 0 2 4 6
x -2 -1 0 1 2
y -1,5 -0,75 0 0,75 1,5
x -2 -1 0 1 2
y 5 3 1 -1 -3
x -8 -4 0 4 8
y 5 2,5 0 -2,5 -5
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
5 y x 8
e)
y 2x 5
f)
y 5 2x
x -1 0 1 3 4
y -7 -5 -3 1 3
x -1
y 7
0 1 3 4
5 3 -1 -3
SOLUCIONARIO
11. Determina la función lineal que tiene pendiente m 3 y pasa por el punto 2, 2 La ecuación será de la forma: y 3x n . Sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación, tenemos: 2 6 n n 8 .
Por tanto, la función es: y
3x
8
12. Determina la función lineal que pasa por los puntos Hallamos en primer lugar la pendiente: m
233
2,3 y 1, 1
1 3 4 . 1 2 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4 x n . Sustituyendo las coordenadas del punto 1, 1 en la 3 4 7 ecuación, tenemos: 1 n n . 3 3 4 7 Por tanto, la función es: y x 3 3 La ecuación será de la forma: y
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 180 13. Representa las siguientes funciones y estúdialas gráficamente:
1 2 xsi 3 1x si1 2x 2 x si2 5x
f x 3
a)
Estudio de la función: i.
Dom f 3,5
ii.
Im f 3,0
iii.
Creciente en
iv. v. vi. vii.
3,7
1, 2 Decreciente en 3,5 Continua en 3,2 2,5 Discontinuidad de salto finito en x 2 No hay máximos ni mínimos, ya que la función no está definida ni en x 3 ni en x 5
1 2 xsi x 1 x si0 x 2 f x 11 x si2 x5 x 1 si x 5
b)
Estudio de la función: i. Dom f ii. Im f 0,2 iii. iv. v.
3, Creciente en 0,2 5, Decreciente en , 1 2,5 Continua en , 1 0,2 2,
vi. Discontinuidad de salto finito en x 2 vii. Máximo local en 2,9 y mínimo local en 5,6 234
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 181 14. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones:
4,0 4, Convexa en , 4 0,4 Cóncava en
Cóncava en 0, Convexa en ,0 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 182 15. Determina si las siguientes funciones son pares o impares: a)
y x 5 . No es par ni impar ya que f
b)
y x
c) d)
3
x x 5 .
5x . Como f x x3 5x
f x la función es impar.
1 1 . No es par ni impar ya que f x y x 1 x 1 2x 2 x . Como f x y 2 f x la función es impar. x2 4 x 4 2
2
e)
y 22 x . Como f x 22 x f x la función es par. x 4 x 4
f)
y
x2 1 x
3
. Como f
x2 1
x
x3
f x la función es impar.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 183 16. Estudia la tendencia de las siguientes f unciones: a)
y
1
x Tomando valores próximos a
f 0,1
1
0
pero mayores:
1
0 f,001 10; 0f ,01 100;
1
1000
0,1valores menores que 0,010 pero muy próximos:0,001 y si tomamos 1 10; 0,1
f 0,1
1 f0 ,01 100; 0,01
0f,001
1 0,001
1000
La función tiene una asíntota vertical en x 0 . Vemos además que f x cuando x 0 y f x cuando x 0 . Dando valores muy grandes a x , tenemos: 235
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 f 100 0,01; 100
1 0, 001 1000
f 1000
SOLUCIONARIO
los valores de f se hacen muy pequeños,
de modo que f x 0 cuando x . Igualmente, tomando valores negativos: 1 1 f 0, 01; 100 100 f 1000 1000 pequeños, de modo que f x 0 cuando b)
0, 001
los valores de f se hacen muy
x .
La recta y 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha y por la izquierda). 2 y 2x 3 Tomando valores próximos a
3 2
2
f 0,01
32 100; 0,02
3
pero mayores:
2
f
y si tomamos valores menores que
2 0
2 3 32 f 0,01 100; 2 0,02
0,001
1000
0,002
pero muy próximos:
f
0,001
2
0,002
1000
3 La función tiene una asíntota vertical en x . Vemos además que f x cuando 2
3 3 x y f x cuando x . 2 2 Dando valores muy grandes a x , tenemos: 2 2 los valores de f se hacen muy pequeños, de modo que f 100 203 ; f1000 2003
f x 0 cuando x . Igualmente, tomando valores negativos: 2 2 f 100 197 ; f 1000 1997 que f x 0 cuando
los valores de f se hacen muy pequeños, de modo
x .
La recta y 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha y por la izquierda). 3 c) y 5 x Tomando valores próximos a 5 pero mayores:
f 5 0,01
3
f 5 0,001 300;
0,01
y si tomamos valores menores que
f 5 0,01
3 300; 0,01
5
3
3000 0,001
pero muy próximos:
f 5 0,001
3 3000 0,001
La función tiene una asíntota vertical en x 5 . Vemos además que f x cuando x 5 y f x cuando x 5 . Dando valores muy grandes a x , tenemos: 236
Matemáticas 4º ESO Académicas
33 f 100 ; 95 95
3 3 1000 f
995 995
SOLUCIONARIO
los valores de f se hacen muy pequeños, de
modo que f x 0 cuando x . Igualmente, tomando valores negativos: 3 3 f 100 ; f 1000 105 1005 que f x 0 cuando
los valores de f se hacen muy pequeños, de modo
x .
La recta y 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha y por la izquierda).
17. Estudia la tendencia de la función f x
Tomando valores próximos a
1
4 1 1 cuando x y x . 3x 1 3 3
pero mayores:
3
1 3
4
1 4 200; f 0,02 3
f 0,01
0,001
y si tomamos valores menores que
4 1 f 0,01 3
1 4 200; 0,02
5
f 3
pero muy próximos:
0,001
La función tiene una asíntota vertical en x
1 f x cuando x . 3
2000
0,002
1
0,002
2000
1 . Vemos además que f x cuando x y
3
3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁG. 1 86-188 CONCEPTO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 1. Determina si las siguientes gráficas corresponden con alguna f unción y razona tu respuesta: En el primer caso, sí se trata de una función ya que para cada valor de la variable horizontal existe un único valor en la vertical. En el segundo caso, no se trata de una función ya que hay valores de la horizontal para los que existen dos posibles valores en la vertical. 2. Calcula la imagen de -2, -1 y 3 de las siguientes funciones: a)
f x x2 2x 8 f 2 4 4 8 0;
1 2x b) g x 2x 3 237
1 f 1 2 8 5;
3 9 6 f8 5
Matemáticas 4º ESO Académicas
41 5; 1g 2123 3; 3 6163 59 g 4 3 h x 2x 9
g 2
c)
h 2 49
5; 1h 2 9 7; 3 6 9 h 15;
3. Realiza una tabla con al menos 5 puntos de las siguientes gráficas:
x -3 -2 0 2 3
y 0 -3 -5 -3 0
x -6 -3 0 3 6
y 4 3 2 1 0
4. Realiza una tabla de valores para las siguientes funciones:
a)
y 1 2x
b)
yx
c)
y x 8
d)
y
2
x2
3
2 x 3
x y
-2 5
-1 3
0 1
1 -1
2 -3
x y
-2 8
-1 4
0 2
1 2
2 4
x y
-2 -16
-1 -9
0 -8
1 -7
2 0
x
-2 2
-1 1
0 2
1
2
1
2
5
2
3
y
5. Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a)
y 5 x 8
Puntos de corte con el eje X: y 05 x80 x
8 8 . El punto es: , 0 5 5
Punto de corte con el eje Y: y 5·0 8 8 . El punto es 0,8 238
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
y 2 x2 5x 3
b)
Puntos de corte con el eje X:
5 25 24 5 7 3 4 4 1 Los puntos de corte son: 3,0 y ,0 2 Punto de corte con el eje Y: y 3 . El punto es 0, 3
0 y352 0 x2 x
c)
y
x 1
El punto de corte es:
2
ó x2
x 1 1 x 0 10 x x 3
1 1 . El punto es 0, 3 3
2x 1 x2
2 x 1 02 10 x x2
Puntos de corte con el eje X: y 0 El punto de corte es:
.
1, 0
Punto de corte con el eje Y: y y
x1
x 3
Puntos de corte con el eje X: y 0
d)
1
x
x
1 . 2
1 2 ,0
Punto de corte con el eje Y: y
1 1 . El punto es 2 2
1 0, 2
DOMINIO E IMAGEN DE UNA F UNCIÓN 6. Determina el dominio de las siguientes funciones: a) b) c) d)
y
1 2x 1
1 2
Dom f
x om f 12, 12 D x 2 12 4x 1 y 2 Dom f x / x52 6 0x x 5x 6 1 x y Dom f x / x2 x x1 0x x2 x
y
2,3
0
,1
7. Determina el dominio de las siguientes funciones: a)
y x 12
b)
y
2 x 5 xD om
c)
y
2 x 9 Dom
239
Dom f 12,
x /
f
f
0 x ,5 0, x / 5 x2 2 9x 0
,3 3,
.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
y 3x
x 1 Dom f
x/ 10x 1,
SOLUCIONARIO
8. Determina el dominio de las siguientes funciones:
1
0 Dom f x / x42
a)
y
b)
y
6x
c)
y
2 x2 18x D om
d)
y
,2 2,
x2 4
x 1 Dom
2 4
1
2 4
,
10 x x,
f / 6x
f
x/ 2
x 0 x 9
9,
,0
Domf x / x0, 5 x 6 0x
x 5 x 6
1
1
3 3
Resolvemos la ecuación x 5 x 6 0 despejando:
x65 x 2 x 6 5
x
2
x 2 12 x 36 25 x x 2 13 x 36 0
x
13 169 1 44 2
Por tanto, el dominio es: Dom f
13 5 2
x1 9 x2 4
0, 4,9
9. Determina el dominio de las siguientes funciones: a)
Dom f 6, 3 0,3 4,6
b) Dom f 6,7
CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES 10. Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasifícalos:
240
Matemáticas 4º ESO Académicas
a) Discontinuidad evitable en x 4 . Discontinuidad de salto finito en x 1 . b) Discontinuidades de salto infinito en x 2 , x 0 y x 2 .
TASA DE VARIACIÓN MEDIA. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 11. Determina la tasa de variación media en el intervalo
a)
y 2 3 xTVM 2,1
x
b)
f x
c)
2,1 f x x 2 TVM
d)
f x
x2 1
TVM
2,1 de las siguientes funciones:
f 1 f 2
1 8 3 3
1 2
f 1 f 2
2,1 1 2 3
x
f 1 f 2
2,1 TVM
x3
1 2 2 5 310
1 2
f 1 f 2
1 2
3
3 0 3
1 2 2 3 36
9 10
3
3
5 2
5
12. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento en las siguientes funciones:
4, 1 1,5 Decrecimiento: , 4 1,1 5, Crecimiento:
241
,1 1,0 Decrecimiento: 0,1 1, Crecimiento:
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
13. Determina los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes gráficas: Crecimiento: ,1
1,
3n,3 n 1,5
Crecimiento: n
Decrecimiento: 1,1
3n 1.5,3 n
Decrecimiento: n
Máx. local: Mín. local:
1, 2 1, 2
Máx. local: Mín. local:
FUNCIONES LINEALES 14. Representa las siguientes funciones lineales: a)
y 3x 1
b)
y
242
x 5
x -2 -1 0 1 2
y -5 -2 1 4 7
x -10 -5 0 5 10
y 2 1 0 -1 -2
3n 1.5,1/ n 3n, 1 / n
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
y x 5
d)
y 2x
x -1 0 1 2 3
x -2 -1 0 1 2
SOLUCIONARIO
y 6 5 4 3 2
y 2 2
2
0 2
2
2
15. Determina la ecuación de la recta que verifica: a) Pendiente 3 y pasa por el punto 2,3 La ecuación será de la forma: y 3x n . Sustituyendo las coordenadas del punto en la n n 9 . Por tanto, la función es: y 3x 9 ecuación, tenemos: 3 6 b) Pendiente 2 y pasa por el punto 1,3
La ecuación será de la forma: y 2 x n . Sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación, tenemos: 3 2 n n 5 . Por tanto, la función es: y 2 x 5 c) Pendiente 1 y pasa por el punto 0,0 La ecuación será de la forma: y x n . Como la recta pasa por el origen, n 0 y por tanto, la función es: y x 16. Indica las rectas de la siguiente gráfica que tienen pendiente negativa, pendiente positiva y pendiente cero: Pendiente positiva: c, e Pendiente negativa: a, b Pendiente cero: d, f
17. Dibuja una recta con pendiente positiva que pase por el punto 2, 1 :
243
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
18. Determina la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: a)
2,1 y 1, 7 La pendiente es: m
1 7 2 . 2 1
La ecuación será de la forma: y 2 x n . Sustituyendo las coordenadas del punto 2,1 en la ecuación, tenemos: 1 4 n
5 . Por
n
tanto, la función es: y 2 x 5
b)
1, 1 y 2, 1 . La pendiente es: m
1 1 0. 2 1
Se trata pues de una recta horizontal que pasa por el punto 1, 1 , esto es: y 1 c)
5, 1 y 2,3 La pendiente es: m
1 3 4 . 5 2 7
La ecuación será de la forma: y
4 xn. 7
Sustituyendo las coordenadas del punto
d)
Por tanto, la función es: y
4
3,2 y 1, 3
7
La pendiente es: m
x
13 7
3 2 5 . 1 3 2
La ecuación será de la forma: y
244
2,3 en la ecuación, tenemos: 3 8
5 xn. 2
7
n
n
13 7
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
Sustituyendo las coordenadas del punto
3, 2 en la ecuación, tenemos: 2 15
5 11 . Por tanto, la función es: y x 2 2 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
19. Representa las siguientes funciones y estúdialas: 2 1x si x1 a) f x x 2 si x 1 Estudio de la función:
Dom f
Im f Creciente en todo su dominio Continua en todo su dominio No hay máximos ni mínimos b)
x 2 si 3 2 x x 1 s i2 x5
g x
Estudio de la función:
Dom g 3,5
Im g 6, 2 1, 4
3,2 Decreciente en 2,5 Continua en 3,2 2,5 Creciente en
Discontinuidad de salto finito en x 2 Máximo local en 2,4 y mínimo local en 5,6 20. Representa las siguientes funciones y estúdialas:
a)
x 5 si x 1 si 1 2x 2x 7 si x2
f x 6
Estudio de la función:
Dom f
Im f , 6 3,
Creciente en todo su dominio Decreciente en ( 1, 2) Continua en
2
Discontinuidad de salto finito en x 2 No hay máximos ni mínimos 245
2
SOLUCIONARIO
n n
11 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
2 x4 si 5 1x 3x si 1 2 x 5 si2 x5
b) xg x
Estudio de la función:
Dom g 5,5
Im g 6, 4
Creciente en 5, 1 2,5 Decreciente en ( 1, 2) Continua en
6, 1 1, 2 2,5
Discontinuidades de salto finito en x 1 y en
x2
1, 4 . Mínimo local en 5, 6 Máximo local en
3x5 si x 2 2 si 2 0 x c) h x x 1 si0 x3 x 5 si x 3 Estudio de la función:
Dom h Im h
,0 3, Decreciente en 2,3 Continua en , 2 2,0 0, Creciente en
Discontinuidades de salto finito en x 2 y en x 0 Mínimo local en
3, 2
21. Dadas las siguientes gráficas, determina la ecuación de la función que tiene cada representación gráfica:
a)
246
x 2 f x 2
si x 1 si2 0 x
2 8 x si x 3 3 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
x 7 si x 3 2 2 x 1 si3 x 1 f x 2 2 3 x 4 si1 0 x 3 x 4 si 0 x 4
22. Representa las siguientes funciones: a)
y x
b)
y x 2
c)
y x2
d)
y 2 6x
x -2 -1 0 1 2
y 2 1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 -2 -1 0
x -2 -1 0 1 2
y 4 3 2 1 0
x -2 -1 0 1 2
y 14 8 2 4 10
x -2 247
y 8
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
y 2x 1 3
-1 0 1 2
6 4 4 6
f)
y x 6 1
x -6 -3 0 3 6
y -1 2 5 8 11
SOLUCIONARIO
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 23. Determina los intervalos de convexidad y concavidad de las siguientes funciones: Cóncava en ,3 Convexa en 3, Cóncava en ,3 Convexa en 3,
SIMETRÍA Y PERIODICIDAD 24. Indica el tipo de simetría que presenta cada una de estas funciones y el eje de simetría en cada caso: a) b) c) d)
Función impar. Función simétrica respecto del eje x 2 Función par (eje de simetría x 0 ) Función impar
25. Determina si son pares o impares las siguientes funciones: a) 248
y 2 x 3 . No es par ni impar ya que f
x 2x 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
y x 2 2 . Como f x x2 2
c)
y x x x . Como f x x x3x
f x la función es impar.
d)
y 2x
f x la función es par.
5
4
3
f x la función es par.
5
3x 1. Como f x 2x 3x 1 2
SOLUCIONARIO
4
2
26. Determina si las siguientes funciones son simétricas respecto del srcen o respecto del eje de ordenadas:
1 1 . Considerando que f x la función no es par ni impar y por tanto no 2x 1 2 x 1 es simétrica respecto del eje de ordenadas ni respecto del srcen. x b) y 2 . Considerando que f x x2 x 1 f x la función es impar y por simétrica x 1 respecto del srcen. a)
y
c)
y
x 3
x2 3
2
x x 3
. Considerando que f
x
x3 x
f x la función es impar y por simétrica
respecto del srcen. d)
y
xx x
3
. Considerando que
f x
x x3 f x la función es par y por simétrica x
respecto del eje de ordenadas.
TENDENCIA DE LAS FUNCIONES 27. Determina la tendencia de las siguientes funciones: a)
2 cuando x 5 x 5 Tomando valores superiores a 5 pero cercanos: f x
f 5 0,01
2 200; 0,01
f5 0,001
2 2000 0,001
La función toma valores tan altos como queramos de modo que f x cuando x 5 . b)
x cuando x x2 2 Tomando valores negativos con valor absoluto alto: f x
100 f 100 100 22
10 n f 1 0 10 2 2 n n
0,010002;
Los valores de la función se hacen cada vez más pequeños: f x 0 cuando c)
f x
x .
1 1 cuando x x3
Tomando valores positivos muy altos: f 10n
1 1 10n 3
Los valores de la función se acercan cada vez más a 1: f x 1 cuando x . 249
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
f x 3x3 x2 x 1 cuando x
d)
Tomando valores negativos con valor absoluto alto:
f 10 3·10 n
3 10 10 3 1n10 n·3n 2 10 n
3 2n n
n
10
10
Como el valor del paréntesis se acerca cada vez más a 3 , los valores de la función son negativos con valor absoluto cada vez más alto: f x cuando
x .
28. Observa la gráfica y determina las t endencias que se indican:
a) Cuando x 3 y x 3 : f x cuando x 3 y f x cuando x 3
b) Cuando x 0 y x 0 :
f x cuando x 0 y f x cuando x 0 c) Cuando x 5 y x 5 :
f x cuando x 5 y f x cuando x 5 d) Cuando x y
x :
f x 1 cuando x y f x cuando x
PROBLEMAS 29. La siguiente gráfica muestra el perfil de la etapa de alta montaña de la Vuelta Ciclista a España.
250
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
a) Determina los intervalos de crecimiento donde se estime que está el recorrido de mayor pendiente. Las mayores subidas están entre los km 5 y 10, entre los km 18 y 20 y entre los 47,8 y los 50 km. b) ¿Hay alguna bajada importante? Hay una bajada importante entre los kilómetros 20 y 22,8. c) Determina los tramos en los que el recorrido es prácticamente llano. Hay un tramo llano entre los km 12 y 14 y un tramo corto en el km 15. 30. Las siguientes gráficas muestran el crecimiento de un bebé en los 3 primeros años de vida. Como puedes observar, las gráficas están separadas por sexos.
a) Un niño de año y medio que mide 80 cm y pesa 14 kg, ¿está dentro de un crecimiento normal según estas gráficas? En cuanto a estatura, está dentro de la normalidad pero en la parte baja del rango. En cuanto al peso, está un poco por encima del límite superior del rango considerado como normal. b) Determina las edades de un niño y una niña dentro de los parámetros normales para que tengan el mismo peso. ¿Tienen la misma altura en esas edades? Hasta los 27 meses de edad, los pesos normales de un niño y una niña no presentan grandes diferencias. En cuanto a la estatura, los niños estarán en un rango entre 85 y 100 cm y las niñas entre 82,5 y 97,5 cm.
DESAFÍO PISA - PÁG. 189 CAÍDA LIBRE Si dejamos caer en el vacío dos cuerpos con masas distintas desde el mismo punto, el tiempo que tardarán en alcanzar el suelo será el mismo. Es más, podemos concluir que la razón entre la altura desde la que cae un objeto y el cuadrado del tiempo que tarda en caer es constante. Esto es, h k , donde k es una constante. t2 La siguiente gráfica nos muestra la relación entre la altura de caída y el tiempo que tarda un objeto 251
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
en caída libre en llegar al suelo.
2
ACTIVIDAD 1. A la vista de la gráfica, la constante a la que se refiere el enunciado, en m s es: A: 19,6. Podemos observarlo en el punto 2, 78, 4 ACTIVIDAD 2. Conocida la constante, la altura desde la que caerá un objeto que tarda 3 segundos en caer al suelo es: A: 176,4, ya que h 19,6· t
2
19,6· 9 176,4
ACTIVIDAD 3. La Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo de tiempo 1,25 s y 3 s será: B: 83,3, ya que TVM
h 3 h 1,25
3 1, 25
19,6·3
19,6·1, 25 2 83,3 1, 75 2
ACTIVIDAD 4. Desde un avión que vuela a 5 000 m de altura se cae un objeto. El tiempo que tardará en alcanzar el suelo aproximadamente es de: A: 16 s, ya que t
h 5000 16 19,6 19,6
ACTIVIDAD 5. Un paracaidista se lanza desde un avión a 3 0 00 m de altura. Si debe abrir el paracaídas a 1 500 m de altura, los segundos que estará en caída libre serán, aproximadamente: C: 8,75, ya que recorrerá en caída libre 2500 m y t
252
h 1500 8,75 19,6 19,6
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 10: Funciones algebraicas y trascendentes EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 194 1. Representa las siguientes parábolas y estudia el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y la concavidad y la convexidad: 1 a) y x 2 4 Dominio: Dom f Crecimiento: ,0 Decrecimiento: 0, Máximo relativo: 0,0 La función es cóncava. b)
y x2 2 Dominio: Dom f Crecimiento: 0, Decrecimiento: ,0 Mínimo relativo: 0,2
c)
La función es convexa. 1 y x2 2 4 Dominio: Dom f Crecimiento: 0, Decrecimiento: ,0 Mínimo relativo: 0, 2 La función es convexa.
d)
y x2 4 Dominio: Dom f Crecimiento: ,0 Decrecimiento: 0,
253
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Máximo relativo: 0,4 La función es cóncava. e)
yx
2
4
Dominio: Dom f Crecimiento: 0, Decrecimiento: ,0 Mínimo relativo: 0, 4 La función es convexa. f)
y x2 3 Dominio: Dom f Crecimiento: ,0 Decrecimiento: 0, Máximo relativo: 0,3 La función es cóncava.
2. Determina el punto de corte con los ejes de las parábolas del ejercicio anterior. a)
y 1 x2 4
Punto de corte eje X: 0,0 Punto de corte eje Y: 0,0 b)
y x2 2 Puntos de corte eje X: No tiene Puntos de corte eje Y: 0,2
c)
y
1 2 x 2 4
Puntos de corte eje X:
1 2 x 20 8x2 22x 4
. Puntos:
2
Punto de corte eje Y: 0, 2 d)
y x2 4 Puntos de corte eje X:
2
40 x
2 4 x 2 x
. Puntos:
2,0 ; 2,0
Punto de corte eje Y: 0,4 e)
y x2 4 Puntos de corte eje X: x2 40 Punto de corte eje Y: 0, 4
254
4 x2 2 x
. Puntos:
2,0 ; 2 2,0
2,0 ; 2,0
Matemáticas 4º ESO Académicas
f)
y x2 3 Puntos de corte eje X:
x2 30 3x2 3 x
. Puntos:
3,0
3,0 ;
Puntos de corte eje Y: 0,3
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 195 3. Representa gráficamente y estudia las siguientes parábolas: a)
yx
2
x2
1 . 2 Evaluamos la función en el vértice y en uno de los lados.
Calculamos el vértice de la parábola: x Dominio: Dom f
7
Imagen: Im f , 4 Continua en todo su dominio.
1
Crecimiento: ,
2 1 Decrecimiento: , 2 1 7 Mínimo relativo: , 2 4
x 1 2 1
y 7 4 2
2 3
4 8
La función es convexa. Punto de corte eje X: no tiene. Punto de corte eje Y: 0,2 b)
y x 2 3x 3 . 2 Evaluamos la función en el vértice y en uno de los lados.
Calculamos el vértice de la parábola: x Dominio: Dom f
9
Imagen: Im f , 4
Continua en todo su dominio.
255
x 3 2
y 9 4
2 3 4
2 0 -4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
3 2
Crecimiento: ,
3 2 3 9 Máximo relativo: , 2 4 Decrecimiento: ,
La función es cóncava. Punto de corte eje X:
0 0x1 3 ó x2 x2 3x
Puntos: 0,0 ; 0,3 Punto de corte eje Y: 0,0 c)
y 2 x 2 5x 3 x
5 Calculamos el vértice de la parábola: x . 4 Evaluamos la función en el vértice y en uno de los lados.
y
5
4
Dominio: Dom f
8
-1 0 1
49 , 8
Imagen: Im f
49
-6 -3 4
Continua en todo su dominio.
5 4 5 Decrecimiento: , 4 5 49 Mínimo relativo: , 4 8 Crecimiento: ,
La función es convexa. Punto de corte0eje3X:52 x x 2
x
5 25 24 5 7 3 4 4
1
x1
1 2
Punto de corte eje Y: 0, 3 Puntos: 3,0 ; ,0
d)
y 4x2 4x 1 1 . 2 Evaluamos la función en el vértice y en uno de los lados.
Calculamos el vértice de la parábola: x Dominio: Dom f Imagen: Im f 0,
256
x 1 2 1 2 3
y 0 1 9 25
2
ó x2
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Continua en todo su dominio.
1 2 1 Decrecimiento: , 2 1 Mínimo relativo: , 0 2 Crecimiento: ,
La función es convexa. Punto de corte eje X: 4 x 2 4 1x0 2 1 0x 2
Punto de corte eje Y:
x
1 1 .Punto: ,0 2 2
0,1
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 196 4. Haz una tabla de valores y representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa:
a)
y
1 4x
x -2 -1
y -0,125 -0,25
1 4 1 4 1 2
b)
y
3 x
x -3 -1 1 3 1 3
1 3
257
-1 1 0,25 0,125
y 1 3 9 -9 -3 -1
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
y
2
x -2 -1
x
y -1 -2
1
-4
2 1
4
2 1 2
d)
y
1 4x
2 1
x -2 -1
1
4 1
4 1 2
e)
1 y 2x
f)
y
258
2 3x
x -2 -1 -0,25 0,25 1 2
y 0,125 0,25 1 -1 -0,25 -0,125 y 0,25 0,5 2 -2 -0,5 -0,25
x y -2 -0,33 -1 -0,67 -0,25 -2,67 0,25 2,67 1 0,67 2 0,33
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 197 5. Determina las asíntotas de las s iguientes funciones y represéntalas: a)
y
1 x2
Asíntota horizontal: y 0 Asíntota vertical: x 2
b)
y
1
x2
1
Asíntota horizontal: y
1
Asíntota vertical: x 2
c)
y
2 x 4
Asíntota horizontal: y 0 Asíntota vertical: x 4
259
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
2 3 x4 Asíntota horizontal: y 3 Asíntota vertical: x 4 y
e)
3 2 x4 Asíntota horizontal: y 2 Asíntota vertical: x 4
f)
y
y
2
2 x4 Asíntota horizontal: y 2 Asíntota vertical: x 4
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 198
260
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
6. Representa las siguientes funciones: a)
y
x2 x 1
Asíntota vertical: x 1 0 x 1 Asíntota horizontal: y
2 1 x 1 1
x2 x 1
1
y
x
b)
y
3x 1 2x 1 1 2 1 3 x 1 2 x
Asíntota vertical: 2 x 1 0 x
Asíntota horizontal: y
c)
3x 1 x2 0 x Asíntota vertical: x 2
y
2 1 3 x 2 1 x
3x 1 x2
3
y
x 1
2x 5 Asíntota vertical: 2 x 5 0
x 1 Asíntota horizontal: y 2x 5
261
3 2
y
y
Asíntota horizontal: y
d)
3x 1 2x 1
x
5 2 1 1 x 5 2 x
y
1 2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
y
SOLUCIONARIO
2 x 1 3x 4
Asíntota vertical: 3x 4 0
x
2 x 1 3x 4
Asíntota horizontal: y
4 3
1 2 x y 4 3
2 3
x
f)
6x 5 3x 12 12 0 4x Asíntota vertical: 3x y
Asíntota horizontal: y
6x 5 3x 12
5 6 x 12 3 x
y
2
7. Estudia el dominio y la imagen, la continuidad, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la concavidad y la convexidad de las funciones del ejercicio anterior: a)
y
x2 x 1
Dominio:
Dom f 1
Imagen: Im f
1
Continua y decreciente en todo su dominio. Cóncava en b)
,1 y convexa en 1,
3x 1 y 2x 1
1 2 3 Imagen: Im f 2 su dominio. Continua y creciente entodo Dominio: Dom f
1 2
1 2
Cóncava en , y convexa en , c)
y
3x 1 x2
Dominio: Dom f Imagen: Im f 262
2
3
Matemáticas 4º ESO Académicas
Continua y decreciente en todo su dominio.
, 2 y convexa en 2,
Cóncava en d)
y
x 1 2x 5
5 2 1 2
Dominio: Dom f Imagen: Im f
Continua y decreciente en todo su dominio.
5 2
5 2
Cóncava en , y convexa en , e)
y
2 x 1 3x 4
4 3 2 Imagen: Im f 3 Dominio: Dom f
Continua y creciente en todo su dominio.
4 3
4 3
Cóncava en , y convexa en , f)
x y 6 5 3x 12
Dominio: Dom f Imagen:
4
Im f 2
Continua y decreciente en todo su dominio. Cóncava en
, 4 y convexa en 4,
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 199 8. Representa las siguientes funciones con raíces:
a)
263
y x 3
El dominio es: x 3 0 3,
x
y
3 4 5 7
0 1 1,414 2
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
y 2x 3
3
0 , El dominio es: 2 x 3 2
c)
6
3
x 0 1 2 3 4 5
y -2 -1 -0,59 -0,27 0 0,236
0,
x
y
0 1 2 4 5
-3 -2 -1,59 -1 -0,76
x 0,25 1 2 3 4 5
y 0 1,732 2,646 3,317 3,873 4,359
y 4x 1 El dominio es: 4 x 1 0
1 , 4
x 0,5 1 2 3 264
y 0 1 1,732 2,236 2,646
0,
y x 3 El dominio es: x 0
e)
x 1,5 2 3 4 5
y x 2 El dominio es: x 0
d)
y 0 1,414 2,449 3,162
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
f)
y 4x 2
1
2 0 , Dominio: 4 x 2
9. Determina la función inversa de la f unción
4 5
3,742 4,243
y 2x
2
8
y representa las dos ramas.
La función inversa se obtiene cambiando las variables y despejando:
x 8
x 2 y 8 y 2
2
2
x 8 y 2 y x 8 2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 200 10. Haz un boceto de las gráficas de las siguientes funciones exponenciales:
a)
y 5x
1 b) y 5
c) 265
y 2
x
x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
11. Expresa como una función exponencial utilizando las propiedades de potencia y realiza un boceto:
a)
1 y 22 x y 2
b)
y
c)
y 22 x
1 1 y 2x 2
2x
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 201 12. Representa las siguientes funciones exponenciales utilizando una tabla de valores: a)
266
y 3x 5
x -4 -2 0 1 2
y 5,012 5,111 6 8 14
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
y 3x 6
c)
y 3
x -3 -1 0 1 2 3
y -5,96 -5,67 -5 -3 3 21
x -8 -4 -3 -2 -1 0
y 0,012 1 3 9 27 81
x -1 0 2 5 6 7
y 0,001 0,004 0,037 1 3 9
x -2 -1 0 1
y 14 2 -1 -1,75
2 3
-1,94 -1,98
x 4
d)
y 3x5
e)
1 y 2 4
x
267
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
x
f)
3 y 4 2
x -5 -2 0 1 2
y 4,132 4,444 5 5,5 6,25
3
7,375 2 x 4
13. Representa la función f x 3
2
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 202 14. Representa las siguientes funciones logarítmicas: a)
y log4 x
b)
y log3 x
c)
y log0,2 x
268
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
y log0,5 x
15. Representa y estudia las siguientes f unciones logarítmicas: a)
y log x 6 Dominio: Dom f Imagen: Im f
6,
Continua y creciente en todo su dominio. La función es cóncava. Punto de corte eje X: b)
7,0
y log x 4
Dominio: Dom f
0,
Imagen: Im f
Continua y creciente en todo su dominio. La función es cóncava. Punto de corte eje X: c)
0.0001,0
y log x 3 5 Dominio: Dom f Imagen: Im f
3,
Continua y creciente en todo su dominio. La función es cóncava. Punto de corte eje X: 3.00001,0
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 203 16. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a)
23 x 1 Para que una potencia de 1, el exponente debe ser 0, por tanto:
269
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
3x 0 x 0 b) 32 x 1 27 Tomando logaritmo en base 3:
log3 3 2 x 1 log 27 3 2 x 1 3 22 x 1 x c)
32 x 1
7
log 3 2 x 1 log 7
2 x 1 ·log3 log7 2x 1
1 x
d) 3·2
x
2 x
log7 log3
log7 log3 log3 log 7 1,39 2 2 log 3
2 2 3
x log2 2 x 1 log 3 21 log 3 0,58 3 log 2 e) 4
x
8· 2 x
4x 8 2x 2x 8 x3 f)
22 x 1
3x 1
2 x 1
log 2
log 3
x 1
2 x 1 log2 x 1 log 3 2log2 log3 x log3 log2 x
log3 log 2
6,23
2log 2 log3 17. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a)
log x 4 x 10 4 1 0000
b)
log3 x 4 x 3 481
270
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
log3x 5 3 x 105 x
SOLUCIONARIO
105 3
d) ln x 3 x e
3
e) f)
2 2 2 x 5 x log 2x log x1 log 2 x1 2 10
x x 4 10 2 1 2 1 x x
log x log 2 1x 4 log
5x 4
x 2·10 1
104 4
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 204 18. Representa las funciones trigonométricas y determina los puntos de corte y los extremos relativos: a)
y cos x
Punto de corte con el eje Y: (0, 1) Puntos de corte con el eje X: x cos x 0
2 k
x
2
k
Puntos: k , 0 / k 2 b)
y sen 2 x
2
Punto de corte con el eje Y: (0,1) Puntos de corte con el eje X:
2 x 2 2 k 2 x 3 k x 3 k 2 2 4 2 x 2 2 k 2 x k x k 2 2 4
sen 2x 0 2
k, 0 / k 4 2
Puntos de corte; c) 271
y sen x
4
x
4
k
Matemáticas 4º ESO Académicas
Punto de corte con el eje Y: (0,
SOLUCIONARIO
2 )
2
Puntos de corte con el eje X: x 20 k 2x 2k x 4 4 3 x 2k x 2k x 4 4
sen x 4 0
7 4 3 4
2k k
3 k ,0 / k 4
Puntos de corte:
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 205 19. Representa las siguientes funciones en un intervalo de amplitud de su periodo: a) tan x 2
b)
272
tan 2 x
x
3 4
k
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
tan 2 x 4
d) tan x
273
4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 208 -210 FUNCIONES PARABÓLICAS 1. Representa las siguientes funciones parabólicas: a)
y x2 2 Vértice en x 0
b)
y x2 4x Vértice en x 2
c)
yx
2
x2
Vértice en x 1 2
d)
y x2 x 6 Vértice en x
274
1 2
x 0 1 2 3
x 0
y -2
1 2 3
-1 2 7
x 2 3 4 5
y 4 3 0 -5
x
y
0 1 2 3
-2 0 4 10
y -6 -4 0 6
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
e)
1 2 x 8 2 Vértice en x 0
f)
y 2 x 5x
y
2
Vértice en x
g)
h)
5 4
2 y x 4x 1 Vértice en x 2
y 2x
2
5x
Vértice en x
5 4
x 0 2 4 6
y 8 6 0 -10
x 2 3 4 5
y -2 3 12 25
x -2 -1 0
y 5 4 1
1
-4
x 2 2,5 3 3,5
y 2 0 -3 -7
2. Representa las siguientes funciones definidas a trozos:
275
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
x 1 s i x 2 f x x2 5 si 2 2 x x 2 si x 2
b)
f x
SOLUCIONARIO
2 x x si x 1 2 x 1 si x 1
3. Determina la ecuación de la función parabólica que verifica que f
1 f
2 0 y pasa por el
punto 3, 4 .
1 x 2 con a La función debe tener la forma y a x
.
1 3 2 4 1a Sustituyendo las coordenadas del punto, tenemos: 4 a3
1 x Por tanto, la función es: y x 2
y x
2
a
.
x 2
4. Determina gráfica y analíticamente la intersección de la recta y 2 x 14 con la parábola
y x2 4x 5 . Para hallar la intersección resolvemos el sistema: y 2 x 14
2 y x 4x 5
Por el método de igualación: 2x 14 x 24 5 x x2 6x 9 0
0 x 32
3;x 8 y
El punto de intersección es
3, 8 , como se ve en la gráfica.
FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. HIPÉRBOLAS
276
Matemáticas 4º ESO Académicas
5. Representa y estudia las siguientes funciones: a)
y
2 x
Dominio: Dom f Imagen:
0
Im f 0
Creciente en todo su dominio. Continua en ,0 0, . Discontinuidad de salto infinito en x 0 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x 0 . 1 b) y 3x Dominio: Dom f Imagen:
0
Im f 0
Decreciente en todo su dominio. Continua en
,0
0, .
Discontinuidad de salto infinito en x 0 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x 0 . 2 c) y 3x Dominio: Dom f Imagen:
0
Im f 0
Decreciente en todo su dominio. Continua en
,0
0, .
Discontinuidad de salto infinito en x 0 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x 0 . 6. Representa y estudia las siguientes funciones: a)
y
1 x2
Dominio: Dom f Imagen:
2
Im f 0
Creciente en todo su dominio. Continua en 277
,2
2,
.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Discontinuidad de salto infinito en x 2 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x 2 . 2 b) y x 3 Dominio: Dom f
3
Imagen: Im f 0 dominio. Decreciente en todo su Continua en
,3
3, .
Discontinuidad de salto infinito en x 3 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x 3 . 1 c) y x 2 Dominio: Dom f Imagen:
2
Im f 0
Decreciente en todo su dominio. Continua en
,2
2, .
Discontinuidad de salto infinito en x 2 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . d)
Asíntota vertical en x 2 . 1 y 2x 1
1 2 Imagen: Im f 0 Dominio: Dom f
Decreciente en todo su dominio. Continua en
278
1 , 2
1 , 2
.
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 Discontinuidad de salto infinito en x . 2 No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . 1 Asíntota vertical en x . 2 1 e) y 3x 1
Dominio: Dom f Imagen:
1 3
Im f 0
Creciente en todo su dominio.
1 3
Continua en ,
1 , 3
. 1 . 3
Discontinuidad de salto infinito en x
f)
No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 0 . 1 Asíntota vertical en x . 3 1 y 1 2x
1 2 Imagen: Im f 0 Dominio: Dom f
Creciente en todo su dominio. Continua en
1 , 2
1 , 2
.
1 Discontinuidad de salto infinito en x . 2 No hay máximos ni mínimos locales. 1 Asíntota horizontal en y 0 . Asíntota vertical en x . 2
7. Representa y estudia las siguientes funciones: a)
y
1 1 2x
Dominio: Dom f Imagen: Im f
0
1
Decreciente en todo su dominio. Continua en
,0
0, .
Discontinuidad de salto infinito en x 0 . 279
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 1 . Asíntota vertical en x 0 . 1 b) y 1 x 3 Dominio: Dom f Imagen: Im f
3
1
Creciente en todo su dominio. Continua en ,3 3, . Discontinuidad de salto infinito en x 3 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 1 . c)
Asíntota vertical en x 3 . 1 y 1 2x 1
1 2 1 Imagen: Im f Dominio: Dom f
Decreciente en todo su dominio.
1
2
Continua en ,
1 , 2
.
Discontinuidad de salto infinito en x
1 . 2
No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 1 . 1 Asíntota vertical en x . 2 2 1 d) y 1 4x 5
1 4 1 Imagen: Im f 5 Dominio: Dom f
Creciente en todo su dominio. Continua en ,1
4
, 14
.
Discontinuidad de salto infinito en x No hay máximos ni mínimos locales. 1 Asíntota horizontal en y . 5 1 Asíntota vertical en x . 4 280
1 . 4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
8. Representa y estudia las siguientes funciones: a)
y
1 x x 2
Dominio: Dom f Imagen: Im f
2
1
Creciente en todo su dominio. Continua en ,2 2, . Discontinuidad de salto infinito en x 2 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 1 . Asíntota vertical en x 2 . x2 b) y 2x 1
1 2 1 2
Dominio: Dom f Imagen: Im f
Decreciente en todo su dominio. Continua en
1 , 2
1 , 2
.
1 Discontinuidad de salto infinito en x . 2 No hay máximos ni mínimos locales. 1 Asíntota horizontal en y . 2 1 Asíntota vertical en x . 2 1 x c) y x 5
Dominio: Dom f Imagen: Im f
5
1
Creciente en todo su dominio. Continua en
,5
5, .
Discontinuidad de salto infinito en x 5 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 1 . Asíntota vertical en x 5 .
281
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
y
2x 1 x 3
Dominio: Dom f Imagen:
3
Im f 2
Decreciente en todo su dominio. Continua en
,3
3, .
Discontinuidad de salto infinito en x 3 . No hay máximos ni mínimos locales. Asíntota horizontal en y 2 . Asíntota vertical en x 3 . 4x 1 e) y 2x 3
3 2 Imagen: Im f 2 Dominio: Dom f
Decreciente en todo su dominio.
3 2
3 , 2
Continua en ,
.
Discontinuidad de salto infinito en x
f)
3 . 2
No hay máximos ni mínimos Asíntota horizontal en y 2locales. . 3 Asíntota vertical en x . 2 2x 3 y 4x 1
1 4 1 2
Dominio: Dom f Imagen: Im f
Decreciente en todo su dominio.
1 4
Continua en ,
1 , 4
.
1 Discontinuidad de salto infinito en x 4 . No hay máximos ni mínimos locales. 1 Asíntota horizontal en y . 2 1 Asíntota vertical en x . 4
282
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
9. Determina analítica y gráficamente la intersección de la hipérbola y y 5 x 2 .
Para hallar la intersección resolvemos el sistema: x2 y 2 x 1 y 5 x2 Por el método de igualación: x2 5 x 2 2x 1 x 2 10 x 24 5 2 x x
10 x 2 10 x 0 10 x x 1 0
x1 0 y1 2 3 2 x2 1 y Los puntos de intersección son
0, 2 y 1,3 , como se ve en la gráfica.
FUNCIONES CON RAÍCES 10. Representa las siguientes funciones radicales. a)
y 2x
b)
y 1 x
c)
y 1
283
x
SOLUCIONARIO
x2 con la recta 2x 1
Matemáticas 4º ESO Académicas
d)
SOLUCIONARIO
y x 2
e)
y 1 x 4
f)
y 2 2x 5
11. Determina la función inversa (o las dos ramas en su caso) de las siguientes funciones: a)
y x 1 x y 1 y
b)
2 y x2 x x y y y2 y x 0
c)
y x 2 x y 2 y
d)
y
e)
y
f)
2
2
2
1 x2
1 x 1 4 2 x42 y
2
x 1 y
1 1 4x 2
2 x
1 1 2 x y y2 x 1 1 3 x 3 y 1 y 1 x3 y 5 4 x yx 5x 2 4y 2 x45 y
x5
x
x
y
y5
x2
12. Determina la función inversa (o las dos ramas en su caso) de las siguientes funciones:
1 1 4x 2
a)
2 y x2 x x y y y2 y x 0
b)
y x 2 x 6 x y 2 6 y 6 0y 2 y x
284
y
y
1 1 46 2
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
y x 2 2 1x x 21 y2 y1 1x y
2
d)
2 0 y y x 2 x 6 x y26 y 6 y x
y
SOLUCIONARIO
x y
1 1 46
13. Determina la intersección de la función f x x 8 con la función g x
2
x2 .
Para hallar la intersección resolvemos el sistema:
y x 8 y x 2 Por el método de igualación:
x 8
x2
x 16 x 64 x 2 2
x 2 17 x 66 0 17 289 2 64 17 5 x 2 2 El punto de intersección es 11,3 , como se ve en la gráfica. x 11 y 3 1 1
x2 6 y2 2
El segundo punto no es válido ya que la función g x
FUNCIÓN EXPONENCIAL 14. Representa las siguientes funciones exponenciales: a)
y 4x
b)
y
285
1 2x
x 2 tiene imagen positiva.
x
Matemáticas 4º ESO Académicas
2 y 2·3x 3 x
c)
y
d)
y
e)
y
f)
y
3 2
x
3
x
2x
1 1 y 2 2
x
OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES 15. Representa y estudia las siguientes funciones exponenciales:
286
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
a)
y 2 1 x
Dominio: Dom f Imagen: Im f
1,
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 1 . b) y 1x 2 2 Dominio: Dom f Imagen:
Im f 2,
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 2 . c)
y 2x 3 Dominio: Dom f Imagen: Im f
3,
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. d)
Asíntota horizontal en y 3 . 1 y 1 x 2 Dominio: Dom f Imagen: Im f
,1
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 1 .
16. Representa y estudia las siguientes funciones exponenciales: a)
y 3x2 Dominio: Dom f Imagen:
Im f 0,
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 .
287
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
y2
x 4
Dominio: Dom f Imagen:
Im f 0,
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 . x 3
c)
y2
Dominio: Dom f Imagen: Im f 0, Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 .
d)
y 3x 2 Dominio: Dom f Imagen: Im f 0, Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 .
17. Representa y estudia las siguientes funciones exponenciales: a)
1 2x 3 Dominio: Dom f y
Imagen: Im f 0, Continua y decreciente en todo su dominio. Ni máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 . 1 b) y x 4 3 Dominio: Dom f . Imagen: Im f 0, Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. c)
Asíntota horizontal en y 0 . 1 y x2 2 Dominio: Dom f . Imagen: Im f ,0 Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 0 .
288
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
18. Representa y estudia las siguientes funciones ex ponenciales: a)
y 3x1 4 Dominio: Dom f Imagen: Im f 4,
b)
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en . y 4 2 x 3
y2
1
Dominio: Dom f Imagen: Im f 1, Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 1 . 1 c) y 2 x 1 2 Dominio: Dom f Imagen: Im f 1, Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 1 . d)
y 3 2 x 3 Dominio: Dom f
Imagen: Im f ,3
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota horizontal en y 3 .
FUNCIÓN LOGARÍTMICA 19. Representa las siguientes funciones logarítmicas: a)
289
y 1 log x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
b)
y 2 log x
c)
y 2 log x
d)
y log x 2
20. Representa y estudia las siguientes funciones logarítmicas: a)
y log0,5 x Dominio: Dom f 0, Imagen: Im f
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 0 b) y log0,5 x Dominio: Dom f , 0
Imagen: Im f
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 0 c) y log0,5 x 2 Dominio: Dom f 2,
Imagen: Im f
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 2 d) y log0,5 x 5 Dominio: Dom f 5, Imagen: Im f Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 5
290
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
21. Representa las siguientes funciones logarítmicas y estúdialas: a)
y log3 x Dominio: Dom f 0, Imagen: Im f
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 0 . b) y log 2 1 x Dominio: Dom f .1
Imagen: Im f
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 1 . c)
y log5 x 3 Dominio: Dom f 3, Imagen: Im f
Continua y creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 3 . d) y log3 1 x Dominio: Dom f ,1
Imagen: Im f
Continua y decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Asíntota vertical en x 1 . 22. ¿La función f x log x 2 es igual que la función g x 2log x ? Razona tu respuesta. A pesar de que log x 2log x , ambas funciones no son iguales ya que tienen un dominio de 2
definición diferente, ya que Dom f
*
y Dom g
23. Estudia el dominio de las siguientes funciones logarítmicas: a)
y ln x 2 D om f
0
b)
y log3 2 x1 Dom f ,
c) d)
y
1 2
291
log x 3 Dom f 3, y log0,5 1 3 x Dom f
,
1 3
Matemáticas 4º ESO Académicas
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 24. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: x x log81 a) 3 81 3 4
b) 3x 1 4 x1log3 log4
1x
log4 2, 26 log3
log3 x 2 x 2 3 log 3 log2 1,58 c) x 1 d) 2 4 x1 log4 23 x 1 1 e) 2x 1 x1log 2 0 x 2 2 x 3x f) 3 27 xlog27 3 25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: x 1
3 2x
x 2
x
a) 3
3·3 3x2 2x ·3 2 3 x 1 0x
5 24 5·5 25 x 24 x 24·5 24 x 51 c) 9x 3x 2 b) 5
x x
0
x
Llamando t 3x , tenemos: t2 t 2 0
t
1 1 8 13 2 2
t1 1 t2 2
Como t no puede ser negativo, tenemos que 1 3x x 0 2 1 2x d) 212x 1 x x 21 x 0 x x 2 2 2x 26. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
16 log16 log3 x 1 x 16 2x 1 2 8x 2 1 8 x 2 2, 41 2 log 3 3 log 2 2 1 3 log11 x 1 x x 3 x 31 1 x 3 3 1 b) 3 3 3 1 3 log 1 x 1,18 11 11 log3 3 2 5 x x c) 5x 5 1 6 5 x 6 5 6·5 x5 0 5x Llamando z 5x , tenemos: 2 z 6z 5 0 a)
z1 5 6 36 20 6 4 2 2 z2 1 x x Por tanto, 5 5 x1 1 o 1 5 x1 0 z
1 7 x43 7 49x 7 1 43 7 · 43 43 x7 1 d) 7 x 2 7 x
292
0
x
x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
27. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log x 4
x 10 4 10000 2 b) ln x 2 x e c)
log 2 x
1 1 x2 22 2
28. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log x 3 2
3x10 2 97x
2
b) log3 x 1 5 2log c)
13 x5 log
x 3 1 2
5
x
1 8
log 2 x 3 x2 3
d) log3
5
5 x 13 1 3 2
1 1 112 2 3 9 x x x 9
x
29. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
52 a) log 2 x 2log 23 log b) log32 log 4 3 3 l og 3 x c)
2
log
xlog 15
log
2 log
3
1 log43 4log4 3log 4 0 x 2
15x x
x
1
4 2 log 3 3 0 33 1 x
x
x
1
3 9
3 3
30. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
x x x 20 a) log x 1 log 2 1x log log 1 0x 2 1 x 2 1
10 1 0 2 3 x 10 2 3 x b) log 2 x3 log31 log 2 l og log 5 2 3 15 x 3 2 3 1x 10 1 10x c) log x 1 l og 1 log3 log log x 2 x2 3 2 3x 23 3x 3 10 x20 7 x23 x 7
x
19 6
31. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log x log x log 2 log
3 xlog 2 x 1 b) log x 1 log xlog 2 log log 2 x 2
293
x23
2x 3 x 1 2 1 2 x x
1x
x
10
x x
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
log 2 x x2 52 l2 og 3log 2 2 log x x 5
3
2
log
x x 5 log 2 3
2 x2 5 6x0
1 5 25 24 2 6 La solución es x 1 ya que x no puede ser negativo. x
d) log x log3 log x 2 l og3
log3 xlog
x 23 3
x
x2 3
1 Como x no puede ser negativo, no tiene solución. 4 100 100 x e) log 2 x l og32 log log 6 x 6 18 x 2100 0x 3x log 6 x 3 x 3 6 x 2 18 x 100 0 9x 2 x
x
18 2 681 9 681 x1 18 324 2400 12 6 x 12 18 2 681 9 681 x 2 12 6 Como x no puede ser negativo, la única solución válida es la primera.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 32. Representa las siguientes funciones: a)
y 1 sen x
b)
y sen4 x
294
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
y 2 cos x
d)
y cos x
6
33. Representa las siguientes funciones: a)
y tan2 x
b)
y tan2 x
295
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
c)
y 1 tan x
d)
y tan
2
x 4
34. Determina el periodo de la función y 1 2cos 2 x
y representa en un intervalo de amplitud 4
ese periodo: Como el periodo de la función coseno es 2 , si T es el periodo de la función se tiene: 22 T T 2 x T 2 x2
4
4
La representación de la función en el intervalo 0, es:
PROBLEMAS 296
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
35. Un agricultor tiene un depósito de agua con el que proporciona riego para su huerto a través de varios desagües iguales. Construye una función que relacione el número de desagües y el tiempo que tarda en vaciarse sabiendo que abriendo 3 desagües el depósito se vacía en 24 horas. Como tarda 24h con 3 desagües abiertos, con un solo desagüe tardaría 72 horas. Desagües 1 2 3 4 6 Tiempo 72 36 24 18 12 Se trata de una función de proporcionalidad inversa cuya expresión será: y k . x Para calcular el tiempo que tarda en vaciarse según el número de desagües hay que dividir 72 entre el 72 número de desagües, por tanto, la función es y x 36. Una empresa de mecanizados vende bombas hidráulicas a un precio que depende de la longitud del émbolo y del radio de la botella, de forma que el precio de la bomba lo calcula con la siguiente fórmula: P 120 30 x 12 R 2 donde P es el precio de la bomba en euros, x la longitud del émbolo en metros y R el radio de la botella en centímetros. a) Representa una gráfica con la evolución del precio de una bomba de radio R 20 cm en función de la longitud del émbolo.
P x 30 4920 . Se trata por tanto de una función x 30 12·20 La función es P 120 lineal. Construimos una tabla de valores y representamos la función: 2
x 0 5 10 15 20 25 30
P 4920 5070 5220 5370 5520 5670 5820
b) Determina el precio de una bomba que tiene un émbolo de 0,8 metros y un radio de botella de 30 cm. P 120 30·0,8 12·30 2 10944 € 37. Cercamos un terreno rectangular utilizando 120 m de valla. Determina la función que nos proporciona el área del terreno dependiendo de la anchura de éste. Sea x la anchura del terreno, entonces su largo es 60 x y la función que nos da el área dependiendo de su ancho: A x x 60 x
A x 60x x 2
38. La siguiente gráfica representa la trayectoria de un balón de baloncesto al tirar a canasta: 297
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
a) Determina la función que tiene como gráfica esta trayectoria. Se trata de una función parabólica cuyos puntos de corte con el eje X de la función están en
x
1 1 y en x 3 , por tanto la función tiene la forma: f x A x x 3 . 2 2
Observando que la función pasa por el punto 1, 2 , tenemos que:
1 A 1 31 2A A 2 A 2
x Por tanto, la función es: f x 2
1 3x 2
f2 7x3 x 2
x
b) ¿A qué distancia de la canasta tendría que estar el lanzador del balón para encestar si la canasta tiene una altura de 2,25 metros? El tirador está situado en x 0,5 . Tenemos que calcular el valor de x para que f x 2,5 :
7 5 2 x7 3 x 2 5 7 x0 x 11 2 2 2
2
44 7x 49 7 5 4 4
2,31 4 7 5 1,19 4
Nos quedamos con la solución mayor (en la que la pelota está cayendo). La distancia a la canasta será:
7 5 1 5 5 4 2 4
1,81 metros.
39. Un proyectil es lanzado y sigue una trayectoria definida por la función f x x 2 11x 80 . Determina: a) El punto más alto que alcanza el proyectil. El punto más alto se encuentra en el vértice de la parábola que describe, por tanto se alcanza en 11 x 121 80 80 metros. 11 . La altura en ese punto será: f 11 121 1 b) La distancia que alcanza el proyectil. f x 0 x2 11 x80 0
11 21 5 121 320 11 21 2 x 2 2 11 21 16 2 Nos quedamos con la solución positiva: el proyectil alcanza una distancia de 16 metros. 11
298
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
40. En un laboratorio realizan un experimento para determinar la velocidad con la que una vacuna empieza a ser efectiva. Dicha vacuna consta de anticuerpos que se reproducen por bipartición una vez cada 10 s egundos. Si tenemos un cultivo con una población inicial de 2 50 anticuerpos: a) Determina la ecuación de crecimiento de la población y represéntala. Sea N el número de anticuerpos y t el tiempo en segundos. Cada intervalo de 10 segundos, el número de anticuerpos se multiplica por 2, de modo que la t
función pedida es: N 250·2 10 . b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de tres horas y media? Tres horas y media son 3,5·360 0 12600 segundos, por tanto el número de anticuerpos será: 12600
N 250·2 10 250·2 1260 anticuerpos. c) Si la efectividad de la vacuna comienza cuando tenemos un millón de anticuerpos, ¿cuánto tiempo pasará desde que se administra la vacuna hasta que empieza a ser efectiva? t t 1000000 250·2 10 1000000 102 250 Tomando logaritmos: 10 log1000000 log 250 10 6 log 250 t 1000000 log 2log t 119,66 10 250 log 2 log 2 La bacteria empieza a ser efectiva por tanto a los 2 minutos. 41. Una determinada bacteria intestinal se reproduce por esporulación generando 5 bacterias iguales cada 12 minutos. Si tenemos un cultivo de dicha bacteria con 150 ejemplares. a) ¿Cuántas bacterias tendremos en el cultivo después de 2 horas? En cada intervalo de 12 minutos, el número de bacterias B se multiplica por 5. Teniendo en cuenta que dos horas son 120 minutos y por tanto 10 intervalos de ese tiempo, tendremos:
B 150·5 1,47·10 bacterias. b) Escribe la función que representa el número de bacterias en función del tiempo medido en minutos. Sea t el tiempo transcurrido en minutos. Tras cada intervalo de 12 minutos, el número de bacterias se multiplica por 5. Por tanto: 10
9
t
B 150·512 c) ¿Qué tiempo habrá pasado si tenemos en el cultivo más de 500 000 bacterias? t t 500000 150·5 12 500000 125 150 Tomando logaritmos: 12 log10000 log3 12 4 log3 10000 t log5log t 60, 48 minutos 12 3 log5 log5 Habrá pasado, por tanto, poco más de 1 hora.
299
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
42. El producto radioactivo torio 234 emite partículas alfa y beta. Se degrada en función del tiempo según la función f t 1020·5 t 1 , que representa la cantidad de partículas alfa y beta que emite. ¿Qué tiempo tiene que pasar para que el producto deje de emitir radiaciones? El producto dejará de emitir radiaciones cuando f t 0 , esto es:
1 1020·5t 1 t 5
1 5 t1020 1020
Tomando logaritmos: log1020 t log51020 4,3 log5 Por tanto, el tiempo transcurrido es de 4,3 segundos.
DESAFÍO PISA - PÁG. 211 EL TIRO PARABÓLICO Si lanzamos un objeto con una velocidad inicial v0 con una determinada inclinación, que forma un ángulo con la horizontal y desde una altura inicial y0 , describirá una trayectoria parabólica. En primer lugar determinamos la velocidad en el eje X y la velocidad en el eje Y: vx v0 cos
v y v0 sen De forma que el espacio recorrido para cada eje será: x vx t
1 y y0 v y t gt 2 2
Despejando el tiempo y sustituyendo, tendremos la parábola que determina la trayectoria. vy g y y0 x 2 x 2 vx 2vx Nota: si lanzamos una pieza de mortero desde una altura de 10 m con una velocidad inicial v0 18 m s formando un ángulo de 60º con la horizontal obtenemos la siguiente figura.
300
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 1. Según los datos, la velocidad en el eje X será de: C: 9 3 m/s, ya que vx 18 cos 60º
18 3 9 3 2
ACTIVIDAD 2. La altura máxima que alcanzará el objeto será de:
B: 22,40 m, ya que si el vértice de la parábola y
1
2
y0
v y t 2 gt está en t 1 . En ese punto la altura es: y g·1,59 2 22,4 10 18sen60 ·1,59 2
vy
g
18sen60º 9,8
1,59
ACTIVIDAD 3. El tiempo que tardará en alcanzar la altura máxima será de: C: 1,6 s, como hemos visto en la actividad anterior. ACTIVIDAD 4. ¿A qué distancia caerá el objetivo? B: 33,80 m. Cuando caiga, la altura será 0. Tomando la parábola: y y0
10 que: 0
18sen 60º 9,8 x 0 10 x23 18cos 60º 2·18cos 60º
Resolviendo la ecuación: 40·9,8 3 3 162 x 9,8 81
3 2,42 0,121 3
vy vx
x
g 2 x tendremos 2vx2
9,8 x x2 162
3 2,42 33,80 0,121 2,42 0,121
0
ACTIVIDAD 5. Si cambiamos el ángulo de tiro a 45º, la altura máxima será: C: 18,2 m, ya que si el vértice de la parábola y y0 v y t En ese punto la altura es: y 10 18sen45 ·1,3
301
v y 18sen 45º 1 2 1,3 . gt está en t g 2 9,8
1 g·1,3 2 18,2 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 11: Estadística EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 218 1. Indica tres ejemplos de variable estadística:
a) Cualitativa Sexo de un paciente en un estudio médico. Grado de satisfacción con un producto. Marca de un vehículo en un estudio sobre modelos más vendidos. b) Cuantitativa Número de pacientes sanados mediante un procedimiento. Cantidad de unidades vendidas de un producto. Número de vehículos matriculados por mes. c) Discreta Número de pacientes sanados mediante un procedimiento. Número de unidades fabricadas en una fábrica en un día. Cilindrada del motor en un estudio sobre vehículos más vendidos. d) Continua Gramos de medicamento suministrados a un paciente. Tiempo dedicado al estudio por el alumnado de un centro. Temperatura medida en una ciudad en cada día. 2. Indica de qué tipo es cada variable estadística: a) b) c) d)
El número de personas que habitan en una vivienda: Cuantitativa discreta. La longitud de las alas de las aves: Cuantitativa continua. El color del automóvil: Cualitativa. La cadena televisiva preferida: Cualitativa.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 219 3. Estudiamos el número de personas que habitan en las viviendas de una localidad y obtenemos los siguientes datos: 3, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 3 , 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2 , 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 , 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 5, 6 , 4, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 5 , 5, 6, 6, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 3, 4 , 5, 6, 1 Construye la tabla de frecuencias.
302
xi
fi
hi
pi
Fi
1 2 3 4 5 6 Totales
7 17 27 13 10 6 80
0,0875 0,2125 0,3375 0,1625 0,125 0,075 1
8,75% 21,25% 33,75% 16,25% 12,50% 7,50% 1
7 24 51 64 74 80
Hi
Pi
0,0875 8,75% 0,3 30,00% 0,6375 63,75% 0,8 80,00% 0,925 92,50% 1 100,00%
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4. Construye una tabla de frecuencias con los siguientes datos observados: 10, 14, 10, 12, 12, 13, 12, 11, 14, 15, 16, 16, 15, 14, 12, 13, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 14, 14, 15, 14, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 15, 16, 16, 16, 16, 12, 12, 14, 14
xi
fi
10 11 12
3 4 12
0,05455 5,45% 0,07273 7,27% 0,21818 21,82%
3 7 19
0,05455 5,45% 0,12727 12,73% 0,34545 34,55%
13 14 15 16 Totales
8 12 9 7 55
0,14545 0,21818 0,16364 0,12727 1
27 39 48 55
0,49091 0,70909 0,87273 1
pi
hi
Fi
14,55% 21,82% 16,36% 12,73% 1
Pi
Hi
49,09% 70,91% 87,27% 100,00%
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 220 5. Se ha realizado un estudio sobre el consumo de agua en las viviendas, en dos meses, de un determinado barrio y se han obtenido los datos que se muestran en la siguiente tabla: Consumo en m3 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) fi 28 54 65 125 28 Completa la tabla de frecuencias.
Ii xi [0,5) 2,5 [5,10) 7,5 [10,15) 12,5 [15,20) 17,5 [20,25) 22,5 Totales:
fi 28 54 65 125 28 300
hi pi 0,09333 9,33% 0,18 18,00% 0,21667 21,67% 0,41667 41,67% 0,09333 9,33% 1 1
Fi 28 82 147 272 300
Hi 0,09333 0,27333 0,49 0,90667 1
Pi 9,33% 27,33% 49,00% 90,67% 100,00%
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 221 6. Completa la tabla de frecuencias y representa el diagrama de barras:
303
xi
100
120
140
160
180
200
fi
25
36
42
50
33
28
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
100 120 140 160 180 200 Totales:
25 36 42 50 33 28 214
0,11682 0,16822 0,19626 0,23364 0,15421 0,13084 1
11,68% 16,82% 19,63% 23,36% 15,42% 13,08% 1
25 61 103 153 186 214
0,11682 0,28505 0,48131 0,71495 0,86916 1
11,68% 28,50% 48,13% 71,50% 86,92% 100,00%
Matemáticas 4º ESO Académicas
60 50 40 30 20 10 0 100
120
140
160
180
200
7. Completa la tabla de frecuencias y representa el histograma:
Ii
[1,5)
[5,9)
[9,13)
[13,17)
[17,21)
[21,25)
fi
12
14
18
16
15
10
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
[1,5) 3 [5,9) 7 [9,13) 11 [13,17) 15 [17,21) 19 [21,25) 23 Totales:
Ii
12 14 18 16 15 10 85
0,14 0,16 0,21 0,19 0,18 0,12 1
14% 16% 21% 19% 18% 12% 100%
12 26 44 60 75 85
0,14 0,31 0,52 0,71 0,88 1,00
14% 31% 52% 71% 88% 100%
20 15 10 5 0 [1,5)
[5,9)
[9,13)
[13,17)
[17,21)
[21,25)
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 222 8. Representa el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores de la siguiente tabla: xi 10 20 30 40
fi
304
7
15
12
6
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
10 20 30 40
7 15 12 6
0,18 0,38 0,30 0,15
18% 38% 30% 15%
10 30 60 100
7 22 34 40
18% 55% 85% 100%
Total:
40
1
100%
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
10 20 30 40
9. Representa el polígono de frecuencias asociado a esta tabla utilizando la frecuencia absoluta y la absoluta acumulada: Ii [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80)
fi
12
18
26
17
13
4
Construimos la tabla de frecuencias:
Ii
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
[20,30) [30,40) [40,50) [50,60)
25 35 45 55
12 18 26 17
0,13 0,20 0,29 0,19
13% 20% 29% 19%
12 30 56 73
0,13 0,33 0,62 0,81
13% 33% 62% 81%
[60,70) 65 [70,80) 75 Totales: Los gráficos pedidos son:
13 4 90
0,14 0,04 1
14% 4% 100%
86 90
0,96 1,00
96% 100%
Polígono de frecuencia absoluta
Polígono de frecuencias acumuladas
30 25 20 15 10 5 0 25
35
45
55
65
100 80 60 40 20 0
75
25
35
45
55
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 223 10. Calcula la media aritmética y la moda de las siguientes distribuciones:
305
xi
4
8
12
16
20
24
fi
17
23
28
12
14
6
Ii
[0,10)
[10,20)
[20,30)
fi
35
43
52
[30,40) [40,50) 27
13
65
75
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Construimos la tabla de frecuencias para cada una de ellas y calculamos la media:
fi
xi · fi
4 8 12 16 20
17 23 28 12 14
68 184 336 192 280
Ii
xi
fi
xi · fi
[0,10) [10,20) [20,30) [30,40)
5 15 25 35
35 43 52 27
175 645 1300 945
24 Total:
6 100
144 1204
[40,50) Total: 45
13 170
585 3650
xi
n
x · f i
La media en el primer caso es: x
i
i 1
N
1204 12,04 . 100
n
x · f i
En el segundo caso, la media es : x
i
i 1
3650
21,47
170 N La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta (12 ) y la clase modal [20,30) respectivamente. EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 224 11. Calcula la mediana de las siguientes distribuciones:
xi fi
25 11
26 16
27 24
28 21
29 8
xi
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
fi
15
20
21
24
10
xi
5
10
15
20
25
fi
20
23
25
10
8
Construimos las tres tablas de frecuencias:
xi
fi
Fi
xi
fi
Fi
xi
fi
Fi
25 26
11 16
11 27
3,4 3,5
15 20
15 35
5 10
20 23
20 43
27
24
51
3,6
21
56
15
25
68
28
21
72
3,7
24
80
20
10
78
29
8
80
3,8
10
90
25
8
86
Total:
80
Total:
90
Total:
86
Me 3,6
Me
Me 27 306
10 15 2
12,5
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 225 12. Se ha realizado un estudio sobre el consumo de agua doméstica y se han obtenido los siguientes datos en m3:
Ii
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
fi
12
17
25
36
18
10
Determina: a) La media aritmética Construimos la tabla de frecuencias:
Ii
xi
[4,6) 5 [6,8) 7 [8,10) 9 [10,12) 11 [12,14) 13 [14,16) 15 Total:
fi
xi · fi
Fi
12 17 25 36 18 10 118
60 119 225 396 234 150 1184
12 29 54 90 108 118
La media aritmética es: n
x · f i
x
i
i 1
10,03 1184 N 118 b) La clase modal La frecuencia absoluta más alta se corresponde con Mo 10,12 c) La mediana
N 59 . Observando la columna de las frecuencias 2 acumuladas vemos que la mediana se encuentra en el intervalo: 10,12 : El tamaño de la población es 118 y por tanto:
90 54 59 54 36 5 5 Me 10 12 10 Me 10 2 10Me 18
10, 27
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 226 13. Determina el recorrido absoluto y el recorrido relativo de la s iguiente distribución de datos:
xi
5
7
9
11
13
15
17
19
fi
18
25
36
41
32
17
8
3
Recorrido absoluto es: Ra xn x1 195 Recorrido relativo: Rr 307
xn x1
5 0,2 . 19
14
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 227 14. Calcula la varianza y la distribución típica de las siguientes distribuciones: Ii [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28)
fi
6
12
Ii [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) Total:
15
21
11
6
xi
fi
xi · f i
xi 2 · f i
2 6 10 14 18 22 26
6 12 15 21 11 6 3 74 936
12 72 150 294 198 132 78 936
24 432 1500 4116 3564 2904 2028 14568
La media aritmética de la distribución es: x
74
3
12,65
7
x
2
i
· fi 2 x
14568 936 N 74 74 Desviación típica: 36,8766 6,0726
2
Varianza:
i 1
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
fi
4
7
10
18
21
16
9
7
5
2
2
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
xi · f i
fi 4 7 10 18 21 16 9 7 5 2 99 5050
La media aritmética de la distribución es: x
36,8766
99
40 140 300 720 1050 960 630 560 450 200 5050
xi 2 · f i 400 2800 9000 28800 52500 57600 44100 44800 40500 20000 300500
51,01
7
x
i
2
· fi
300500 5050 N 99 99 Desviación típica: 433,323 20,8164 Varianza: 2
308
i 1
2
x
2
433,323
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 230 -232 VARIABLE ESTADÍSTICA. TABLA DE FRECUENCIAS 1. Indica el tipo de variable estadística y la población que estudia: a) b) c) d) e) f)
Edad a la que salimos con los amigos por primera vez en mi pueblo - Cuantitativa discreta La cadena de radio que escuchan los españoles - Cualitativa El precio del pan en los municipios de tu comunidad - Cuantitativa continua El gasto de electricidad en un mes en las viviendas de tu ciudad - Cuantitativa continua El peso de los alumnos de tu clase - Cuantitativa continua El tiempo que dedican diariamente a ver la televisión tus compañeros de instituto - Cuantitativa continua
2. Construye la tabla de frecuencias asociada a la siguiente tabla: x 1 2 3 4 f 12 16 26 11
5 9
6 6
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
1 2 3 4 5 6
12 16 26 11 9 6
0,15 0,20 0,33 0,14 0,11 0,08
15% 20% 33% 14% 11% 8%
12 28 54 65 74 80
0,15 0,35 0,68 0,81 0,93 1,00
15% 35% 68% 81% 93% 100%
Total:
80
1
100%
3. Se ha realizado un estudio sobre el número de personas que cogen el autobús entre las 7 y las 8 de la mañana en una determinada parada y se han obtenido los siguientes datos. Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias.
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
Lunes
45
0,13
13%
45
0,13
13%
Martes
54
0,16
16%
99
0,30
30%
Miércoles
69
0,21
21%
168
0,50
50%
Jueves
78
0,23
23%
246
0,74
74%
Viernes Sábado
65 18
0,19 0,05
19% 5%
311 329
0,93 0,99
93% 99%
Domingo
5
0,01
1%
334
1,00
100%
Total:
334
1
100%
5% p6 p7 6%
a) ¿Qué porcentaje corresponde al sábado? El sábado cogen el autobús el p6 b) ¿Qué porcentaje de personas cogen este autobús en fin de semana? 309
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
c) ¿Cuánto vale P4 ? ¿Qué significa? P4 74%. El 74% de las veces que se coge el autobús se hace de lunes a jueves. 4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:
xi
fi
hi
pi
Fi
10 20 30 40 Total:
25 34 26 75 160
0,15625 0,21250 0,16250 0,46875 1
15,625% 21,250% 16,250% 46,875% 100%
25 59 85 160
Pi
Hi
0,15625 15,625% 0,36875 36,875% 0,53125 53,125% 1 100%
5. Haz una tabla de frecuencias con los siguientes datos: 2, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 2 , 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 6, 6, 5, 5, 4, 4, 4 , 6, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3 , 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1 , 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 5, 5, 6 , 5, 6, 4, 5, 6, 3, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6 , 5, 4, 6, 5, 6, 5, 5, 4 , 3, 3, 3, 4 , 2, 5, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 3, 6, 5
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
1
14
0,14
14%
14
0,14
14%
2
19
0,19
19%
33
0,33
33%
3
20
0,20
20%
53
0,53
53%
4
17
0,17
17%
70
0,70
70%
5
17
0,17
17%
87
0,87
87%
6
13
0,13
13%
100
1,00
100%
Total:
100
1
100%
6. Haz una tabla de frecuencias con los siguientes datos: 20,3; 23,5; 34,2; 29,5; 30; 31; 31,2; 31,3; 31,5; 29,7; 29,1; 27,7; 34,7; 28,8; 30,4; 30,5; 31,2; 31,4; 34,1; 23,7; 21; 22,7; 27,3; 28,2; 27,5; 27,1; 25,2; 24,3; 24,5; 26,3; 26,9; 28; 25; 30,7; 32,4; 32; 20,9; 20,3; 34,3; 23,4; 27,8; 27,2; 23,6; 25,6; 24,3; 21,2; 21,5; 20,8; 25,3; 25,4; 30,1; 31; 25,1; 22,3; 26,3; 26; 27; 32; 33; 27,3; 22 (Nota: Utiliza intervalos de amplitud 4 empezando en 20)
Ii
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
[20,24) [24,28) [28,32) [32,36)
22 26 30 34
14 21 18 8
0,23 0,34 0,30 0,13
23% 34% 30% 13%
14 35 53 61
0,23 0,57 0,87 1,00
23% 57% 87% 100%
61
1
100%
Totales:
7. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:
310
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
7 17 27 37
15 19 20 9
0,1875 0,2375 0,2500 0,1125
18,75% 23,75% 25,00% 11,25%
15 34 54 63
0,1875 0,4250 0,6750 0,7875
18,75% 42,50% 67,50% 78,75%
Matemáticas 4º ESO Académicas
47
17
0,2125
21,25%
80
1
100%
SOLUCIONARIO
Total: 80 1 100% 8. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
5
37
0,15
15%
37
0,15
15%
10
45
0,18
18%
82
0,33
33%
15 20
65 85
0,26 0,34
26% 34%
147 232
0,59 0,93
59% 93%
25
18
0,07
7%
250
1
100%
Total:
250
1
100%
GRÁFICO ASOCIADO A UNA TABLA DE FRECUENCIAS 9. Haz un histograma y el polígono de frecuencias utilizando la frecuencia absoluta asociado a la siguiente tabla: Ii [5, 10) [10, 15) [15,20) [20,25) [25,30)
fi
18
32
45
34
15
Construimos la tabla de frecuencias y el gráfico asociado:
xi 7,5
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
18
0,13
13%
18
0,13
13%
[10,15) 12,5
32
0,22
22%
50
0,35
35%
[15,20) 17,5
45
0,31
31%
95
0,66
66%
[20,25) 22,5
34
0,24
24%
129
0,90
90%
[25,30) 27,5
15
0,10
10%
144
1,00 100%
Totales:
144
1
100%
Ii [5,10)
Polígono de frecuencia absoluta
50 40 30 20 10 0 7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
10. Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias asociado a esta tabla:
xi 311
100
200
300
400
500
600
Matemáticas 4º ESO Académicas
fi
25
35
45
50
30
SOLUCIONARIO
20
a) Utilizando la frecuencia absoluta
hi
xi
fi
100
25
0,12 12%
25
200 300
35 45
0,17 17% 0,22 22%
60 0,29 29% 105 0,51 51%
400
50
0,24 24%
155 0,76 76%
500
30
0,15 15%
185 0,90 90%
600
20
0,10 10%
205
Total: 205
1
pi
Fi
Hi
Pi
0,12 12%
1
100%
100%
Polígono de frecuencia absoluta
60 50 40 30 20 10 0 100
200
300
400
500
600
500
600
b) Utilizando la frecuencia absoluta acumulada Polígono de frecuencias acumuladas
200 150 100 50 0 100
200
300
400
11. Un estudio sobre el beneficio alcanzado por una empresa en bolsa arroja el siguiente resultado en 4 años, donde los datos están dados en millones de euros: Año 2010 2011 2012 2013 Beneficio 5,8 7,3 8,2 9,4 Haz un gráfico que muestre la evolución del beneficio de la empresa. Realizaremos un gráfico para la evolución del beneficio (frecuencia absoluta) y otro para la evolución del beneficio acumulado. Para ello, construimos la tabla de frecuencias:
xi
312
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
2010 5,8
0,19 19%
6
0,19 19%
2011 7,3
0,24 24%
13
0,43 43%
Matemáticas 4º ESO Académicas
2012 8,2
0,27 27%
21
0,69 69%
2013
0,31 31%
31
1,00 100%
9,4
Total: 30,7
1
SOLUCIONARIO
100%
y representamos las gráficas de los polígonos de frecuencias asociados a la frecuencia absoluta y a la frecuencia relativa: Beneficio acumulado
Beneficio/año
10 8 6 4 2 0
30 20 10 2010
2011
2012
0
2013
2010
2011
2012
2013
12. Haz un histograma y el polígono de f recuencias utilizando la frecuencia absoluta acumulada asociado a la siguiente tabla: Ii [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)
fi
12
18
25
3
Realizamos la tabla de frecuencias y el gráfico asociado: xi fi Ii hi pi [10,20) 15 [20,30) 25 [30,40) 35 [40,50) 45 Totales:
12 18 25 3 58
0,21 0,31 0,43 0,05 1
Fi
21% 12 31% 30 43% 55 5% 58 100%
Hi
Pi
0,21 0,52 0,95 1,00
21% 52% 95% 100%
Polígono de frecuencias acumuladas
60 40 20 0 15
25
35
45
13. En la biblioteca del instituto tienen los libros clasificados de la siguiente forma: Tipo Científicos Literatura Históricos Novela Nº 150 135 215 300 Haz un diagrama de sectores para esta tabla.
313
Matemáticas 4º ESO Académicas
Científicos Literatura Históricos Novela
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 14. Calcula la media aritmética y la moda de las distribuciones siguientes:
xi
2
4
6
8
10
12
14
fi
7
12
16
18
13
10
4
xi
fi
xi · f i
2 4 6 8
7 12 16 18
14 48 96 144
10 12 14 Total:
13 10 4 80
130 120 56 608
7
x · f i
La media es x
314
i 1
N
i
608 7,6 y la moda Mo 8 80
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
fi
6
8
13
14
17
12
8
6
xi
fi
xi · f i
10 20 30 40 50 60 70 80 Total:
6 8 13 14 17 12 8 6 84
60 160 390 560 850 720 560 480 3780
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
8
x · f i
La media es x
i 1
N
i
3780 45 y la moda Mo 50 84
15. Calcula la media aritmética de la s iguiente distribución de datos: [2,5)
[5,8)
fi
10
13
xi
fi
xi · f i
3,5 6,5 9,5 12,5 15,5
10 13 18 7 2 50
35 84,5 171 87,5 31 409
Ii [2,5) [5,8) [8,11) [11,14) [14,17) Total:
Ii
[8,11) [11,14) [14,17) 18
7
2
5
x · f i
La media es x
i 1
i
N
409 8,18 50
16. Calcula la mediana y la moda de la siguiente distribución de datos:
xi
5
8
11
14
17
20
23
26
fi
6
12
18
21
14
11
8
4
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas:
xi
fi
Fi
5 8 11 14 17 20 23 26 Total:
6 12 18 21 14 11 8 4 94
6 18 36 57 71 82 90 94
La mediana es Me 14 y la moda Mo 14
17. Calcula la mediana y la moda de la siguiente distribución de datos:
xi fi
10
20
30
40
50
60
70
6
8
12
15
5
3
2
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas:
315
xi
fi
Fi
10 20
6 8
6 14
Matemáticas 4º ESO Académicas
30 40 50 60 70 Total:
12 15 5 3 2 51
26 41 46 49 52
SOLUCIONARIO
La mediana es Me 30 y la moda Mo 40
18. Calcula la mediana y la moda de la siguiente distribución de datos:
xi
20
25
30
35
40
45
50
fi
8
9
11
15
7
6
4
xi
fi
Fi
20 25 30 35 40 45 50 Total:
8 9 11 15 7 6 4 60
8 17 28 43 50 56 60
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas:
La mediana es Me 35 y la moda Mo 35
19. Calcula la mediana y la moda de la siguiente distribución de datos:
xi
100
200
300
400
500
600
fi
12
18
21
23
19
9
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas:
xi 100 200 300 400
f i Fi 12 18 21 23
12 30 51 74
La mediana es Me
300 400 350 y la moda Mo 400 2
500 19 93 600 9 102 Total: 102 20. Calcula la media aritmética y la mediana de la siguiente distribución de datos:
316
Ii
[5,7)
fi
12
[7,9) [9,11) [11,13) [13,15) 16
21
14
9
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas y los valores necesarios para la media:
xi
fi
xi · fi
Fi
[5,7) 6 [7,9) 8 [9,11) 10 [11,13) 12 [13,15) 14 Total:
12 16 21 14 9 72
72 128 210 168 126 704
6 14 24 36 50
Ii
5
x · f i
Media: x
i
i 1
N
704 9,7 72
Mediana: Me 13
21. Calcula la media aritmética y la mediana de la siguiente distribución de datos:
xi
10
20
30
40
50
60
hi
0,12
0,16
0,23
0,25
0,19
0,05
Calculamos la tabla de frecuencias acumuladas y los valores necesarios para la media: xi hi 10 0,12 1,2 20 0,16 3,2 30 0,23 6,9 40 0,25 10 50 0,19 9,5 60 0,05 3 Total: 1 33,8
0,12 0,28 0,51 0,76 0,95 1
6
Media: x
x · h 33,8 i
i
i 1
Mediana: Me 30
MEDIDAS DE DISPERSIÓN 22. Calcula el recorrido absoluto y relativo de la siguiente distribución de datos:
xi
10
20
30
40
50
60
70
fi
12
16
18
21
15
17
8
El recorrido absoluto es: Ra
xn x1 70 10 60 y el recorrido relativo: Rr 10 0,7 70
23. Calcula la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución de datos:
317
xi
5
10
15
20
25
30
35
fi
4
7
12
15
11
9
5
Matemáticas 4º ESO Académicas
Calculamos la tabla de frecuencia con los datos necesarios:
xi
fi
xi · fi
2 xi · fi
5 10 15 20 25 30
4 7 12 15 11 9
20 70 180 300 275 270
100 700 2700 6000 6875 8100
35 Total:
5 175 6125 63 1290 30600 1290 La media aritmética de la distribución es: x 20,47 63 7
x
2
i
Varianza: 2
i 1
N
· fi 2 x
30600 1290 63 63
2
66,4399
66, 4399 8,1511
Desviación típica:
24. Calcula la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución de datos:
xi
1
2
3
4
5
6
7
fi
5
7
12
9
4
3
2
Calculamos la tabla de frecuencia con los datos necesarios:
fi
xi · fi
xi · fi
1 2 3 4 5 6 7 Total:
5 7 12 9 4 3 2 42
5 14 36 36 20 18 14 143
5 28 108 144 100 108 98 591
La media aritmética de la distribución es: x 7
x
2
i
Varianza:
2
i 1
N
Desviación típica:
2
xi
143 3,4048 42
· fi
2
x 2
591 143 42 42
2,479
2, 479 1,5745
25. Calcula la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución de datos:
318
Ii
[0,4)
fi
7
[4,8) [8,12) [12,16) [16,20) 16
21
9
4
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
Calculamos la tabla de frecuencia con los datos necesarios: 2
Ii
xi
fi
xi · fi
xi · fi
[0,4) [4,8) [8,12) [12,16)
2 6 10 14
7 16 21 9
14 96 210 126
28 576 2100 1764
[16,20) 18 Total:
4 57
72 518
1296 5764
La media aritmética de la distribución es: x
518 9,0877 57
5
x
2
i
Varianza: 2
i 1
N
Desviación típica:
· fi 2 x
5764 518 57 57
2
18,5362
18,5362 4,3054
26. Calcula la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución de datos:
Ii
[1,4)
[4,7)
[7,10)
fi
5
7
9
[10,13) [13,16) [16,19) 18
4
2
Calculamos la tabla de frecuencia con los datos necesarios:
Ii [1,4) [4,7) [7,10) [10,13) [13,16) [16,19) Total:
fi
xi · fi
xi · fi
2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5
5 7 9 18 4 2 45
12,5 38,5 76,5 207 58 35 427,5
31,25 211,75 650,25 2380,5 841 612,5 4727,25
La media aritmética de la distribución es: x
4727,25
427,5 9,5 45
2
45 9,5 14,8 Desviación típica: 14,8 3,8471 Varianza:
2
2
xi
27. Calcula la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución de datos:
319
xi
10
11
12
13
14
15
16
fi
5
12
18
7
4
3
1
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
xi
fi
xi · fi
2 xi · fi
10 11 12 13 14
5 12 18 7 4
50 132 216 91 56
500 1452 2592 1183 784
15 16 Total:
3 1 50
45 16 606
675 256 7442
La media aritmética de la distribución es: x
SOLUCIONARIO
606 12,12 50
2
7442 606 Varianza: 2 1,9456 50 50 Desviación típica:
1,9456 1,3948
PROBLEMAS 28. La siguiente tabla está incompleta. Es el estudio realizado en un instituto sobre el tipo de música preferida por sus alumnos. a) Completa la tabla en tu cuaderno
xi
fi
hi
pi
Hi
Fi
Pi
Rock 25 0,14 14% 25 0,14 14% Pop 45 0,25 25% 70 0,39 39% Flamenco 57 0,32 32% 127 0,71 71% Rap 32 0,18 18% 159 0,88 88% Punk 12 0,07 7% 171 0,95 95% Heavy 9 0,05 5% 180 1 100% Total: 180 1 100% b) ¿Qué porcentaje de individuos prefiere el rap? El 18% de los individuos prefiere el rap. c) ¿Qué porcentaje de individuos prefiere el heavy o el rock? Sumando sus porcentajes, obtenemos que el 14% 5% 19% prefieren el heavy o el rock. 29. Los gastos de un instituto se resumen en la siguiente tabla: Concepto Mantenimiento Material de oficina Otros gastos
Gasto (€) 22.345,30 € 12.345,20 € 6.360,50 €
Realiza un diagrama de sectores que represente los gastos del centro. 320
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Mantenimiento 16%
Material de oficina 54%
30%
Otros gastos
30. La nota final de un examen s e calcula como media aritmética de las notas parciales. Rodolfo ha sac ado un 7,3 y un 6,2 en sendas pruebas parciales, y quedan por realizar una última prueba. Al final ha obtenido una media final de 5,2. ¿Sabrías determinar la nota de la última prueba parcial?
7,3 6,2 x 5, 2 7,3 6, 2 x 15, 6 x 2,1 3 En la última prueba ha obtenido una nota de 2,1 .
.
31. El valor catastral de una vivienda se determina teniendo en cuenta una serie de factores: zona en la que está la vivienda, precio del suelo en esa zona, tamaño de la vivienda y otros factores económicos más. A partir de ese valor se determina el impuesto de bienes e inmuebles que el propietario debe pagar por esa vivienda. En la siguiente tabla se muestra el valor catastral de las viviendas de una determinada zona de la ciudad:
xi
fi
[0, 60 000) [60 000, 90 000) [90 000, 120 000) [120 000, 150 000) [150 000, 200 000) [200 000, 300 000)
62 78 90 45 15 10
a) Calcula el valor catastral medio del barrio estudiado. Construimos la tabla con los datos necesarios pero, para mayor comodidad, escribimos el importe en miles de euros:
Ii [0, 60) [60, 90) [90, 120) [120, 150) [150, 200) [200, 300) Total: 321
2
xi
fi
xi · fi
xi · fi
Fi
30 75 105 135 175 250
62 78 90 45 15 10 300
1860 5850 9450 6075 2625 2500 28360
55800 438750 992250 820125 459375 625000 3391300
62 140 230 275 290 300
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
28360 94,53 miles de euros. 300 b) Calcula la mediana La media es x
La mediana se alcanza en el intervalo 90,120 y es: Me 90 120 90 150 140 230 140
90 30 300 Me Me 90 10 90 90
93, 3 miles de €.
c) Calcula la varianza. 7
x 2
i
i 1
2
· fi
2
x
3391300 28360 300 300
N d) Calcula la desviación típica.
2
2367,7822
2367,7822 48,6599
e) A la vista de los datos obtenidos, ¿qué podemos afirmar sobre la media aritmética? La media aritmética de los datos está situada cerca de la mediana y por tanto cerca de la posición central. Sin embargo, por ser la varianza y la desviación típica valores muy altos, la distribución no es homogénea y sería un error tomar el valor de la media como un valor aproximado del importe que paga cada una de las casas, ya que los datos son muy homogéneos. La media solamente informa de que, si todas las casas pagaran lo mismo, ese importe tendría que ser 93 333,33 € para que la recaudación total fuera igual.
32. En una fábrica de montaje de automóviles montan coches de tres tipos: utilitarios, gama media y gama alta. Para determinar los vehículos que es conveniente montar en función de sus posibilidades de venta, se realiza un estudio tomando a 1 20 personas a las que s e les pregunta por el vehículo que responde mejor a sus necesidades, y se obtienen los resultados que se resumen en la siguiente tabla: Tipo de coche Utilitario Media Alta Nº de personas 84 24 12 a) Según estos datos, ¿qué porcentaje de vehículos de cada clase se deberían montar? 84 Utilitario: ·100 70% 120 24 Media: ·100 20% 120 Alta:
12 120 ·100
10%
b) Realiza un diagrama de sectores.
322
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Utilitario
10% 20%
Media 70%
Alta
c) Si se montan 2500 vehículos, ¿cuántas de cada clase se deberían fabricar? Utilitario: 70% de 2500 0,7· 2500 1750 vehículos Media: 20% de 2500 0,2·25 00 500 vehículos Alta: 10% de 2500 0,1·2500 250 vehículos 33. En una determinada empresa, cada trabajador tiene un sueldo distinto en función de la dificultad del trabajo y la necesaria preparación para realizar la actividad, de forma que los salarios de los trabajadores se distribuyen de la siguiente forma: Sueldo [800, 1000) [1000, 1200) [1200, 1400) [1400, 1600) [1600, 1800) [1800, 2000) [2000, 2200)
Nº de trabajadores 45 62 86 91 24 14 8
a) Haz un histograma y un polígono de frecuencias Sueldo [800, 1000) [1000, 1200) [1200, 1400) [1400, 1600) [1600, 1800) [1800, 2000) [2000, 2200) Totales:
xi
fi
900 1100 1300 1500 1700 1900 2100
45 62 86 91 24 14 8 330
Polígono de frecuencias
100 80 60 40 20 0 900
323
1100 1300 1500 1700 1900 2100
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
b) Calcula la media aritmética Realizamos una tabla de frecuencia con todos los datos necesarios:
xi · fi
2
Ii
xi
fi
[800, 1000) [1000, 1200) [1200, 1400) [1400, 1600)
900 1100 1300 1500
45 62 86 91
40500 36450000 68200 75020000 111800 145340000 136500 204750000
45 107 193 284
[1600, 1700 [1800, 1800) 2000) 1900 [2000, 2200) 2100 Total: 441200 Media: x 1336,97 330 c) Calcula la mediana
24 14 8 330
40800 26600 69360000 50540000 16800 35280000 441200 616740000
308 322 330
La mediana se alcanza en el intervalo Me 1200 1400 1200 165 107 193 107
xi · fi
Fi
1200,1400 y es:
Me 1200 200 58 86
11600 Me 1200 86
1334,88 €
d) Calcula la varianza y la desviación típica. 7
x
2
i
Varianza: 2
Desviación típica:
· fi
2
x 81421,1203
i 1
N
81421,1203 285,3439
DESAFÍO PISA - PÁG. 233 UNA NOTICIA INQUIETANTE A continuación se muestra la evolución del paro registrado en el país en el año 2014-15. Se presentan dos gráficos, uno en el que se muestra la evolución del paro por sectores profesionales y otro en el que se muestra la distribución por sexos.
324
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Observa la evolución del número de parados por sectores y por sexos, y contesta a las siguientes cuestiones.
ACTIVIDAD 1. A la vista del gráfico, el paro registrado en el s ector servicios ha bajado, ¿en qué porcentaje? A: 23% , ya que
2202511 ·100 77% y 100% 77% 33% 2856994
ACTIVIDAD 2. Según se puede extraer del gráfico, el paro registrado de septiembre de 2014 a s eptiembre de 2015 ha bajado en un: C: 19% La suma de parados en septiembre de 2014 era de 4447660 y un año más tarde de
3589042 . La bajada en el número de parados es 1
3589042 ·100 19% 4447660
ACTIVIDAD 3. Observando la gráfica de evolución de desempleo por meses relativa a las mujeres, ¿qué mes se puede ver como generador de empleo estacional y solo por poco tiempo? B: Diciembre, ya que el paro registrado baja pero en seguida vuelve a subir en enero. ACTIVIDAD 4. A la vista de la gráfica, el número de parados mujeres es mayor que el de parados hombres; aproximadamente en septiembre de 2015 se diferencian en: B: 300000 ACTIVIDAD 5. Estima el número de mujeres paradas sin empleo anterior en septiembre de 2015. B: 200000 . Puesto que en septiembre de 2015 hay 2, 3 millones de mujeres desempleadas frente a
2,3 ·100 56% de los parados. Si son la misma 2,3 1,8 proporción de los parados sin empleo anterior serán el 56% de 361797 , esto es, más o menos unas 1,8 millones, las mujeres representan el
doscientas mil. 325
Matemáticas 4º ESO Académicas
326
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 12: Estadística Bidimensional EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 238 1. Dadas dos variables estadísticas, hemos obtenido los datos que se resumen en la siguiente tabla:
a) Completa en tu cuaderno la columna y la fila de totales. Y 2 4 6 8 10 . X 10
12
Totales
7
10
12
17
13
6
65
20
9
12
15
18
12
7
73
30
16
12
11
8
4
3
54
40
21
16
10
9
5
2
63
Totales
53
50
48
52
34
18
255
b) Calcula el tamaño de la población. N 255 c) ¿Qué valor tiene la frecuencia absoluta f 2,3 ? f2,3
15
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 239 2. Calcula la media aritmética y la varianza para las distribuciones marginales asociadas a la siguiente tabla: Y 10 20 30 40 . X 100 12 8 6 4 200 16 14 11 9 300 18 20 22 10 400 21 23 16 10 La distribución marginal para X es:
327
xi
f i·
xi · fi·
2 xi · fi·
100 200 300 400
30 50 70 70
3000 10000 21000 28000
300000 2000000 6300000 11200000
Total
220
62000
19800000
Matemáticas 4º ESO Académicas
4
2 62000 La media es x 281,81 y la varianza: X 220 La distribución marginal para Y es:
x
2
i
· fi·
i 1
N
2
x 10578,51
yj
f· j
y j · f· j
y j 2 · f· j
10
67
670
67000
20
65
1300
26000
30
55
1650
49500
40
33
1320
52800
Total
220
4940
13500
4
2 4940 La media es y 22,45 y la varianza: Y 220
y
2 j
· f· j
i 1
N
SOLUCIONARIO
2
y 109,43
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 240 3. Una variable bidimensional se distribuye mediante la siguiente tabla: Y 10 11 12 13 . X 10
12
18
25
14
20
16
21
24
16
30
12
15
18
20
Calcula: a) La media aritmética y la varianza para la distribución condicionada X / y 12 Calculamos la tabla de frecuencias para la distribución:
xi
fi3
xi · fi3
xi 2 · fi 3
10
25
250
2500
20
24
480
9600
30
18
540
16200
Total
67
1270
28300 3
La media es x
1270 67
x
2
i
18,9552
y la varianza: X / y 12 2
i 1
N
· fi3
2
x 63,0876
b) La media aritmética y la varianza para la distribución condicionada Y / x 20 Calculamos la tabla de frecuencias para la distribución:
328
Matemáticas 4º ESO Académicas
2
yj
f2 j
y j · f2 j
y j · f2 j
10
16
160
1600
11
21
231
2541
12
24
288
3456
13
16
208
2704
Total
77
887
10301 4
2 887 La media es y 11,5195 y la varianza: Y / x20 77
y
2 j
· f2 j
i 1
2
y 1,0808
N
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 241 4. Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidimensional: Y 5 10 15 20 . X 10
8
12
16
4
20
21
9
8
2
30
18
7
0
0
Hallamos la media de las dos variables:
xi
f i·
xi · f i·
10
40
400
20
40
800
30
25
750
Total
105
1950
Las medias son: x
1950 105
18,5714
y y
yj
f· j
y j · f· j
5
47
235
10
28
280
15
24
360
20
6
120
Total
105
995
995 9,4762 . 105
Escribimos una doble entrada con el producto fij · xi · jy .
329
Y X 10 20 30 Totales
5 400 2100 2700 5200
10
15
20
Totales
1200 2400 800 4800 1800 2400 800 7100 2100 0 0 4800 5100 4800 1600 16700
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
f
La covarianza es: XY
j
· xi ·j y x· y
ij
i
N
SOLUCIONARIO
16,9388
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 242 5. Calcula el coeficiente de correlación lineal para la distribución bidimensional siguiente: Y 1 2 3 4 . X 10 0 0 6 9 11
0
4
12
8
12
9
13
21
16
4
0
12
0
0
Calculamos las medias y las desviaciones típicas de las dos variables:
f i·
10
15
150
11
24
12 13 Total
2 X
y j · f· j y j 2 · f· j
yj
f· j
1500
1
30
30
30
264
2904
2
32
64
128
29
348
4176
3
22
66
198
33 101
429 5577 1191 14157
4 Total
17 101
68 228
272 628
Las medias son : x
xi · f i· xi 2 · fi·
xi
1191 228 2,2574 , mientras que las varianzas son: 11,7921 y y 101 101
1,1152y Y 2 1,1219 y las desviaciones típicas: X 1,056 y Y 1,0592.
Para la covarianza construimos una tabla con los productos: fij · xi · jy Y .
1
X
3
4
Totales
10
0
0
180
360
540
11
0
88
396
352
836
12
108
384
144
0
636
13 Totales
273 381
312 784
0 720
0 712
585 2597
f El valor de la covarianza es XY de correlación lineal es: r
330
2
XY X · Y
j
ij
i
N
· xi ·j y x· y
0,8108
0,9069 y, finalmente, el coeficiente
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 243 6. Calcula la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y de la siguiente distribución: a) Estima el valor de Y para X igual a 80 b) Estima el valor de X para Y igual a 10 Y .
1
2
3
4
5
6
10 20
0 0
0 0
0 0
0 0
3 4
5 4
30
0
0
3
3
4
7
40
0
3
1
5
3
0
50
3
4
5
4
3
0
60
4
2
3
2
0
0
70
3
1
1
0
0
0
X
RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X: y y
XY
xx 2 X Calculamos las medias, las desviaciones típicas y la covarianza: 2
xi
f i·
xi · fi·
xi · fi·
10
8
80
800
20 30
8 17
160 510
3200 15300
40
12
480
19200
50
19
950
47500
60
11
660
70
5
350
Total
80
y j · f· j y j 2 · f· j
yj
f· j
1 2
10 10
10 20
10 40
3
13
39
117
4
14
56
224
5
17
85
425
39600
6
16
96
576
24500
Total
80
306
1392
3190 150100 306 3190 Las medias son: x 3,825 , mientras que las varianzas son: 39,875 y y 80 80
2 X
286,234 y Y 2 2,7694 y las desviaciones típicas: X 16,9185 y Y 1,6641.
Para la covarianza construimos una tabla con los productos: fij · xi · jy Y .
331
1
2
3
4
5
6
Totales
X 10
0
0
0
0
150
300
450
20
0
0
0
0
400
480
880
30
0
0
270
360
600
1260
2490
40 50 60 70
0 150 240 210
240 400 240 140
120 750 540 210
800 800 480 0
600 750 0 0
0 0 0 0
1760 2850 1500 560
Matemáticas 4º ESO Académicas
Totales
600
El valor de la covarianza es XY
1020
1890 2440
j i fij · xi
2500 2040
·j y x· y
N
RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y: x x En este caso solo falta calcular
sobre Y es: x 39,875
XY Y2
XY
2
10490
21,3969 y
Por tanto, la recta de regresión de Y sobre X es: y 3,825
XY 2
X
0,075
0,075 x 39,875
y y .
Y
7,7262 , por tanto la ecuación de la recta de regresión de X
7,7262 y 3,825
0,07580 39,875 Estimación del valor de Y para X igual a 80: y 3,825 Estimación del valor de X para Y igual a 10: x 39,875
7,726210 3,825
26,6689
y x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 246 -248 VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES MARGINALES 1. La siguiente tabla resume los datos obtenidos de una variable estadística bidimensional: Y .
X 10
10
20
30
40
0
3
4
4
11
4
5
3
6
12
3
4
5
0
13 7 6 1 0 a) Determina las frecuencias absolutas para las distribuciones marginales
xi
f i· xi · fi· xi 2 · fi·
10
11
110
1100
11
18
198
2178
12
12
144
1728
13
14
182
Total 55
634
yj
f· j
y j · f· j y j 2 · f· j
2366
10 20 30 40
14 18 13 10
140 360 390 400
7372
Total
55
1290 36300
b) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales 634 1290 Las medias son: x 23,45 . 11,527 y y 55 55 c) Calcula la varianza de las distribuciones marginales. Las varianzas son: X 1,15835 y Y 109,8843. d) Calcula la desviación típica de las distribuciones marginales. 2
332
SOLUCIONARIO
2
1400 7200 11700 16000
7,8346
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Las desviaciones típicas son: X 1,0763 y Y 10,4826. e) Calcula la mediana de la distribución marginal correspondiente a la variable X. Construimos la tabla marginal con las frecuencias acumuladas:
xi
f i·
Fi·
10 11
11 18
11 29
12 13 Total
12 14 55
41 55
La mediana es Me 11
2. Dada la siguiente distribución bidimensional, calcula la media y la varianza de las distribuciones marginales: Y [0,8) [8,16) [16,24) . X 10
4
9
3
20
5
3
8
30
8
7
3
40
10
3
4
Construimos las tablas de las distribuciones marginales:
f i·
10
16
160
1600
20
16
320
6400
30
18
540
16200
2 X
xi · f i· xi · fi·
40
17
680
Total
67
1700 51400
Las medias son: x
2
xi
1700 67
27200
25,3731 y y
Ij
yj
f· j
y j · f· j
y j 2 · f· j
[0,8)
4
27
108
432
[8,16)
12
22
264
3168
[16,24)
20
18
360
7200
Total:
67
732
10800
732 10,9254 , mientras que las varianzas son: 67
123,3682 y Y 2 41,8303
3. La siguiente tabla resume los datos obtenidos de una variable estadística bidimensional: Y [0, 6) [6, 12) [12, 18) [18, 24) . X 10 0 3 6 0 20
0
3
5
6
30
8
6
10
8
40
3
4
9
12
a) Determina las frecuencias absolutas para las distribuciones marginales. Obtenemos la tabla de frecuencias con los datos necesarios para este y el resto de apartados: 333
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
xi
f i·
xi · f i·
xi · fi·
Ij
yj
f· j
y j · f· j
y j 2 · f· j
10 20 30
9 14 32
90 280 960
900 5600 28800
[0, 6) [6, 12) [12, 18)
3 9 15
11 16 30
33 144 450
99 1296 6750
40 Total
28 83
1120 2450
44800 80100
[18, 24) 20 Total:
26 83
520 1147
10400 18545
2
b) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. 1147 2450 Las medias son: x 13,8193 . 29,5181 y y 83 83 c) Calcula la varianza de las distribuciones marginales. Las varianzas son: X 93,7436 y Y 32,4613. d) Calcula las desviaciones típicas de las distribuciones marginales. 2
2
Las desviaciones típicas son:
X
9,6821 y Y 5,6975.
e) Calcula la mediana de la distribución marginal correspondiente a la variable Y . Construimos la tabla marginal con las frecuencias acumuladas:
I
y j
f j
[0, 6) 3 [6, 12) 9 [12, 18) 15 [18, 24) 20 Total:
·j
11 16 30 26 83
F ·j
11 27 57 83
La mediana se encuentra en el intervalo [12, 18) y se calcula:
Me 12 18 12 14,5·6 Me 12 41,5 27 57 27 30
14,9
4. La siguiente tabla resume los datos de una variable bidimensional: Y [1, 5) [5, 9) [9, 13) [13, 17) . X 3 0 0 2 4 5 0 1 3 1 7 2 3 3 0 9 5 2 0 0 a) Haz gráfica con una Parauna realizar la gráfica denube nubede depuntos puntos necesitamos los 26 puntos: x y
334
3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 15 15 15 15 7 11 11 11 15 3 3 7 7 7 11 11 11 3 3 3 3 3 7 7
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
91
0
b) Determina las frecuencias absolutas para las distribuciones marginales. 2
y j · f· j y j 2 · f· j
xi
f i·
xi · fi·
xi · fi·
Ij
yj
f· j
10
6
60
600
[1, 5)
3
7
21
63
20
5
100
2000
[5, 9)
7
6
42
294
30
8
240
7200
[9, 13)
11
8
88
968
40
7
280
11200
[13, 17)
15
5
75
1125
Total
26
680
21000
Total:
26
226
2450
c) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. 680 1147 Las medias son: x 26,1538 y y 8,6923 . 26 83 d) Calcula la varianza de las distribuciones marginales.
2
2
Las varianzas son: X y Y 18,6746. 123,6686 e) Calcula la desviación típica de las distribuciones marginales. Las desviaciones típicas son: X f)
11,1206y Y 4,3214 .
Calcula la mediana de la distribución marginal correspondiente a la variable Y . Construimos la tabla marginal con las frecuencias acumuladas:
Ij
yj
f· j
F· j
[1, 5) 3 [5, 9) 7 [9, 13) 11 [13, 17) 15 Total:
7 6 8 5 26
7 13 21 26
La mediana es el extremo superior del intervalo [9, 13):
Me 9
DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS 5. La siguiente tabla corresponde al estudio de una variable bidimensional: Y 5 10 15 20 . X 2 5 3 5 1 3 2 4 4 3 4 6 6 5 4 a) Calcula la media aritmética de la distribución X / y 10 335
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Construimos la tabla de frecuencias de la distribución X / y 10
xi
f i·
xi · fi·
10
3
30
20
4
80
30
6
180
Total
13
290
La media es x y 10
290 22,3077 . 13
b) Calcula la media aritmética de la distribución Y / x 3 . Construimos la tabla de frecuencias de la distribución Y / x 3 :
yj
f· j
y j · f· j
5
2
10
10
4
40
15
4
60
20
3
60
Total:
13
170
La media es x y 10
290 22,3077 13
6. Dada la siguiente distribución bidimensional, calcula la media y la varianza de la distribución condicionada X / y 11 : .
Y
11
12
13
5
5
6
1
6
7
8
2
7
8
9
3
8
2
3
5
X
Calculamos la tabla de frecuencias de la distribución condicionada:
f i·
xi · fi·
xi · fi·
5
5
25
125
6
7
42
252
7
8
56
392
8
2
16
128
Total
22
139
897
139 La media es x 6,318 y la varianza: 22
336
2
xi
2 X / y 11
0,8533
Matemáticas 4º ESO Académicas
7. Dada la tabla:
.
Y X [0, 2)
[1, 5)
[5, 9)
[9, 13)
[13, 17)
1
2
8
2
[2, 4)
3
5
3
4
[4, 6)
4
7
4
6
[6, 8)
7
8
7
1
[8, 10)
8
4
6
6
[10,12)
2
2
5
8
[12, 14)
1
1
3
2
a) Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución Y / x 2, 4
Construimos la tabla de frecuencias de la distribución condicionada:
La media es y x
[2,4)
y j · f· j y j 2 · f· j
Ij
yj
f· j
[1, 5)
3
3
9
27
[5, 9)
7
5
35
245
[9, 13)
11
3
33
363
[13, 17) 15 Total:
4 15
60 137
900 1535
137 15
2
9,13 y la varianza Y / x[2,4)
18,9156
b) Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución X / y 5,9 Construimos la tabla de frecuencias de la distribución condicionada:
xi
f i·
xi · fi·
2 xi · fi·
[0, 2) 1 [2, 4) 3 [4, 6) 5 [6, 8) 7 [8, 10) 9 [10,12) 11 [12, 14) 13 Total
2 5 7 8 4 2 1 29
2 15 35 56 36 22 13 179
2 45 175 392 324 242 169 1349
Ii
La media es x y [5,9)
337
2 179 6,1724 y la varianza X / y[5,9) 29
8,4185
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
COVARIANZA 8. Calcula la covarianza de la siguiente distribución: Y 10 . X 3 2 5 4 7 3 9 1
15
20
5 3 4 2
1 2 5 7
Calculamos las medias de las distribuciones marginales:
xi
f i·
xi · fi·
yj
f· j
y j · f· j
3 5 7 9 Total
8 9 12 10 39
24 45 84 90 243
10
10
100
15
14
210
20
15
300
Total:
39
610
Las medias son: x
243 610 6,2308 y y 15,641 . 39 39
Para la covarianza construimos una tabla con los productos fij · xi · jy : Y 10 15 20 Totales . X 3 60 225 60 345 5 200 225 200 625 7 210 420 700 1330 9
90
270
1260
1620
Totales
560
1140
2220
3920
f j
Por tanto, la covarianza es XY
ij
i
· xi ·j y
N
x · y 3,0572
9. Calcula la covarianza de la s iguiente distribución: Y .
338
X 10
5
6
7
1
3
1
11
3
4
0
12
7
5
6
13
4
2
6
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Construimos la tabla de frecuencias de las distribuciones marginales para calcular sus medias:
xi
f i·
xi · fi·
yj
f· j
y j · f· j
10
5
50
5
15
75
11
7
77
6
14
84
12
18
216
7
13
91
13
12
156
Total:
42
250
Total
42
499
Las medias son: x
499 42
11,881 y
y
250 5,9524 . 42
Para la covarianza construimos una tabla con los productos fij · xi · jy : Y .
5
6
7
Totales
10
50
180
70
300
11
165
264
0
429
12
420
360
504
1284
13
260
156
546
962
Totales
895
960
1120
2975
X
f j
Por tanto, la covarianza es XY
ij
i
N
· xi ·j y x · y 0,1134
10. Calcula la covarianza de la siguiente distribución: Y .
[5, 7)
[7, 9)
[9, 11)
10
2
5
8
20
4
7
4
30
5
4
2
40
9
3
1
X
Construimos las tablas de frecuencias de las distribuciones marginales para calcular las medias:
339
xi
f i·
xi · fi·
10
15
150
20
15
300
30
11
330
40
13
520
Matemáticas 4º ESO Académicas
Total
54
SOLUCIONARIO
1300
Ij
yj
f· j
y j · f· j
[5, 7)
6
20
120
[7, 9)
8
19
152
[9, 11)
10
15
150
54
422
Total: Las medias son: x 1300 24,0741 y y 422 7,8148 . 54 54 Para la covarianza construimos una tabla con los productos fij · xi · jy : Y .
6
X
8
10
Totales
10
120
400
800
1320
20
480
1120
800
2400
30
900
960
600
2460
40
2160
960
400
3520
Totales
3660
3440
2600
9700
Por tanto, la covarianza es XY
ij x i j f · j i ·y x· y N
8,5048
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. RECTAS DE REGRESIÓN 11. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación lineal de la siguiente distribución: Y .
X 5 6 7 8
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
5 8 10 15
7 4 7 10
9 2 1 0
Construimos las tablas de frecuencias de las distribuciones marginales para calcular sus medias y sus desviaciones típicas: 2
xi
f i·
xi · f i·
xi · fi·
5 6 7 8 Total
21 14 18 25 78
105 84 126 200 515
525 504 882 1600 3511
340
Ij
yj
[10, 15) 12,5 [15, 20) 17,5 [20, 25) 22,5 Total:
f· j
y j · f· j y j 2 · f· j
38 28 12 78
475 5937,5 490 8575 270 6075 1235 20587,5
Matemáticas 4º ESO Académicas
Las medias son x
2 2 515 1235 6,6026 y y 15,83 , las varianzas: X 1,419 y Y 78 78
y las desviaciones típicas: X
SOLUCIONARIO
13,2479
1,1912y Y 3,6398.
Para la covarianza construimos una tabla con los productos: fij · xi · jy Y .
X
5 6 7 8 Totales
12,5
17,5
22,5
Totales
312,5 600 875 1500 3287,5
612,5 420 857,5 1400 3290
1012,5 270 157,5 0 1440
1937,5 1290 1890 2900 8017,5
El valor de la covarianza es XY de correlación lineal es: r
XY X · Y
f j
ij
i
N
· xi ·j y x· y
1, 7521 y, finalmente, el coeficiente
0,4041
12. En el estudio de cierta variable bidimensional se han obtenido los siguientes datos: x 35,5 ,
X
1,2 , y 135, Y 5,3 , XY 5,36 .
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
r
XY
·
0,8428
X Y
b) Determina la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X XY La ecuación de la recta es: y y 2 x x , por tanto: y 135 3,72 x 35,5 X
c) Determina la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y XY La ecuación de la recta es: x x 2 y y , por tanto: x 35,5 0,1908 y 135 Y d) Estima el valor de la variable X para Y igual a 20.
Utilizando la recta de regresión de X sobre Y , tenemos:
x 35,5 0,1908 20 135 13,0562
13. En un instituto se realiza un es tudio para determinar la relación entre el número de horas dedicadas a ver la televisión (variable X) y el número de asignaturas suspensas (variable Y), y se obtienen los datos que se resumen a continuación. Y 0 1 2 3 4 5 6 7 . X 1 12 7 0 0 0 0 0 0 341
Matemáticas 4º ESO Académicas
2 3 4 5
15 7 0 0
11 4 0 0
6 2 3 1
0 6 7 6
0 7 9 7
0 8 9 7
0 0 10 17
SOLUCIONARIO
0 0 15 21
a) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. Construimos la tabla de frecuencias de las distribuciones marginales: 2
xi
f i·
xi · fi·
xi 2 · fi·
1 2 3 4 5
19 32 34 53 59
19 64 102 212 295
19 128 306 848 1475
Total
197
692
2776
yj
0 1 2 3 4 5 6 7 Total:
f· j
34 22 12 19 23 24 27 36 197
y j · f· j y j · f· j 0 22 24 57 92 120 162 252 729
0 22 48 171 368 600 972 1764 3945
729 692 3,5127 y y 3,7005 197 197 b) Calcula la varianza y la desviación típica de las distribuciones marginales. Las medias son: x
Las varianzas son:
Y
2
1,7524
y
2,5163 .
2
X
6,3316
y las desviaciones típicas:
1,3238 y
X
Y
c) Calcula la covarianza de la variable bidimensional. Para la covarianza construimos una tabla con los productos f ij · xi · jy :
.
Y X 1 2 3 4 5 Totales
0
1
2
3
4
5
0 0 0 0 0 0
7 22 12 0 0 41
0 24 12 24 10 70
0 0 54 84 90 228
0 0 84 144 140 368
0 0 120 180 175 475
El valor de la covarianza es XY
6
7
0 0 0 0 0 0 240 420 510 735 750 1155
Totales 7 46 282 1092 1660 3087
ij i f x · ·j y j i x · y 2,6713
N d) Calcula las rectas de regresión X / Y e Y / X . Recta de regresión X / Y La ecuación de la recta es: x x Recta de regresión Y / X 342
XY 2
Y
y y , por tanto: x 3,5127 1,5244 y 3,7005
Matemáticas 4º ESO Académicas
XY
La ecuación de la recta es: y y
2
X
SOLUCIONARIO
x x , por tanto: y 3,7005 0,4219 x 3,5127
14. La Dirección General de Tráfico realiza un estudio para determinar la relación existente entre el consumo de alcohol y los errores que se cometen al volante que pueden ocasionar accidentes. Escogido un grupo de conductores al azar, lo s ometen a 6 pruebas de conducción, primero sin tomar nada, luego una copa, después dos y finalmente 3, y se obtienen los siguientes resultados. La variable X es el número de copas consumidas y la variable Y, el número de pruebas superadas. Y .
X 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
0 0 10 25
0 0 23 16
0 0 7 0
0 3 0 0
0 7 0 0
18 15 0 0
23 15 0 0
a) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. Construimos la tabla de frecuencia de las distribuciones marginales: 2
xi
f i·
xi · fi·
xi · fi·
0
41
0
0
1
40
40
40
2 3
40 41
80 123
160 369
Total
162
243
569
y j · f· j y j 2 · f· j
yj
f· j
0
35
0
0
1
39
39
39
2
7
14
28
3
3
9
27
4 5 6 Total:
7 33 38 162
28 165 228 483
112 825 1368 2399
243 483 1,5 y y 2,9815 162 162 b) Calcula la varianza y la desviación típica de las distribuciones marginales. Las medias son x
Las varianzas son:
2 X
1,2623
y
2 Y
5,9194
y las desviaciones típicas:
2,433 . Y c) Calcula la covarianza de la variable bidimensional.
Para la covarianza construimos una tabla con los productos f ij · xi · jy : .
343
Y X 0 1 2 3 Totales
0
1
2
3
4
5
6
Totales
0 0 0 0 0
0 0 46 48 94
0 0 28 0 28
0 9 0 0 9
0 28 0 0 28
0 75 0 0 75
0 90 0 0 90
0 202 74 48 324
X
1,1235 y
Matemáticas 4º ESO Académicas
f El valor de la covarianza es XY
j
ij
i
· xi ·j y x· y
N d) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación lineal. El coeficiente de correlación lineal es: r
XY
·
SOLUCIONARIO
2,4722
0,9044 .
X Y
Es un valor negativo (esto es, la pendiente de la recta es negativa: cuanto mayor sea la variable menorconcluye será la variable ) y cercanolineal al -1, por lo queentre la aproximación por una recta es buena. ElXestudio que hayYcorrelación negativa el número de copas y el número de pruebas superadas. e) Calcula las rectas de regresión X / Y e Y / X . Recta de regresión X / Y La ecuación de la recta es: x x
x 1,5
XY 2
Y
y y , por tanto:
y 2,9815 0,4177
Recta de regresión Y / X La ecuación de la recta es: y y
y 2,9815 f)
XY 2
X
x x , por tanto:
x 1,5 1,9584
Predice los errores que cometería una persona que se tome 5 copas. Utilizamos la recta de regresión Y / X de para predecir el valor de Y si x 5 :
1,9584 y 2,9815 5 1,5
3,8729
Este valor significa que no conseguiría superar ninguna prueba, esto es, cometería errores en las 6 pruebas. 15. En un periódico local se ha publicado un estudio estadístico de una variable estadística bidimensional. De los datos publicados se obtiene que X 2,3 , Y 5,4 y XY 15 . ¿Es posible el valor obtenido de la covarianza? Razona tu respuesta. No es posible, ya que, si calculamos el valor del coeficiente de correlación lineal se obtiene:
r
XY
·
1,21 1
X Y
El coeficiente debe ser menor que 1 y, por tanto, hay un error en los datos publicados. 16. La ecuación de la recta de regresión X sobre Y de un estudio estadístico bidimensional es
x 3,5 2 y 5
.
a) Determina x e
y.
Las medias son x 3,5 y y 5 b) ¿El coeficiente de correlación lineal es positivo? Razona tu respuesta. XY Sí, ya que si 2 2 , entonces la covarianza es positiva y por tanto el coeficiente de correlación Y lineal también. 344
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
c) ¿Se puede estimar el valor de X para Y igual a 2? En caso afirmativo, estímalo. Si el valor 2 está entre los posibles valores de la variable Y en el contexto del estudio, se puede realizar la estimación, que será: x
3,5 2 2 5 2,5
(En el estudio realizado puede que no tenga sentido un valor negativo de que interpretar este resultado).
d) Si
Y
X
, en cuyo caso habría
0,35 , determina el valor de la c ovarianza. XY
Puesto que Y2
2 , tenemos que: 2 2 2 2·0,35 0,245 XY Y
PROBLEMAS 17. En mi clase hay compañeros que usan el transporte escolar, otros a los que los traen los padres con su vehículo y otros que vienen andando. La siguiente tabla muestra los datos según el sexo: Y Mujer Hombre . X Transporte escolar 6 4 A pie 8 7 Acompañado 3 2 a) Dibuja el polígono de frecuencias para la variable X para cada sexo. Utiliza el mismo eje para tal gráfica. 10 8 6
Mujer
4
Hombre
2 0 Transporte escolar
A pie
Acompañado
b) Representa una gráfica de sectores para cada sexo. Mujer
Hombre
Transporte escolar
Transporte escolar 15%
18% 35%
31%
A pie
47%
A pie
54%
Acompañado
Acompañado
18. En mi instituto se realiza un estudio para determinar la relación entre el número de asignaturas suspensas y las horas de dedicación al estudio:
345
Matemáticas 4º ESO Académicas
Y . X 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0 18 25
0 0 0 0 0 0 8 12 12 9 2 0 16 0 0 0 5 0 0 0
0 3 0 0 0
15 0 0 0 0
17 0 0 0 0
SOLUCIONARIO
a) Construimos Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. las tablas de frecuencia de las distribuciones marginales (en la siguiente página) 353 291 Las medias son: x 2,0493 e y 2,4859 142 142 2
xi
f i·
0
32
0
0
1
23
23
23
2
23
46
92
3
34
102
306
4
30
120
480
Total
142
291
901
xi · f i·
xi · fi·
y j · f· j y j 2 · f· j
yj
f· j
0
43
0
0
1
33
33
33
2
9
18
36
3
10
30
90
4
12
48
192
5
3
15
75
6
15
90
540
7
17
119
833
Total:
142
353
1799
b) Calcula la varianza y la distribución típica de las distribuciones marginales. Las varianzas son:
2 X
2,1455 y Y 2 6,4892
Las desviaciones típicas: X 1,4647 y Y 2,5474 . c) Calcula la covarianza de la variable bidimensional. Para la covarianza construimos una tabla con los productos f ij · xi · jy :
Y
0
1
2
3
4
5
6
7
Totales
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 2 3 4 Totales
0 0 0 0 0
0 24 48 20 92
0 36 0 0 36
24 12 0 0 36
48 0 0 0 48
15 0 0 0 15
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
87 72 48 20 227
. X
f El valor de la covarianza es XY
j
i
ij
· xi ·j y x· y
N d) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación lineal. 346
3,4958
Matemáticas 4º ESO Académicas
El coeficiente de correlación lineal es: r
XY
·
SOLUCIONARIO
0,9369 .
X Y
Es un valor negativo (esto es, la pendiente de la recta es negativa: cuanto mayor sea la variable X menor será la variable Y y viceversa) y cercano al -1, por lo que la aproximación por una recta es buena. El estudio concluye que hay correlación lineal negativa entre el número de asignaturas suspensas y las horas dedicadas al estudio. 19. Para probar la eficacia de un medicamento, se hacen unas pruebas de evolución de una enfermedad en pacientes que han tomado distintas dosis y se observan los días que tarda el paciente en recuperarse de la enfermedad. La variable X es el número de dosis del medicamento que consume el paciente e Y es el número de días que tarda el paciente en curarse. Y 1 2 3 4 5 6 7 . X 0 0 0 0 0 0 8 12 1 0 0 0 0 6 12 0 2 0 0 0 6 7 0 0 3 12 21 18 0 0 0 0 4 17 15 0 0 0 0 0 a) Calcula la media aritmética de las distribuciones marginales. Construimos una tabla de frecuencias para las distribuciones marginales:
x
f
0
20
0
0
1
18
18
18
2
13
26
52
3
51
153
459
4
32
128
512
Total
134
325
1041
x·f i
i·
Las medias son: x
i·
x ·f i
y j · f· j y j 2 · f j
yj
f· j
1
29
29
29
2
36
72
144
3
18
54
162
4
6
24
96
5
13
65
325
6
20
120
720
7
12
84
588
Total:
134
448
2064
2
i
i·
448 325 3,3433 2,04254 e y 134 134
b) Calcula la varianza y la 2desviación típica2de las distribuciones marginales. Las varianzas son: X 1,8862 y Y 4,2254 y las desviaciones típicas:
Y
2,0556 .
c) Calcula la covarianza de la variable bidimensional. Para la covarianza construimos una tabla con los productos f ij · xi · jy : Y . X 0 347
·
1
2
3
4
5
6
7
Totales
0
0
0
0
0
0
0
0
X
1,3734 y
Matemáticas 4º ESO Académicas
1 0 0 0 0 30 72 2 0 0 0 48 70 0 3 36 126 162 0 0 0 4 68 120 0 0 0 0 Totales 104 246 162 48 100 72
El valor de la covarianza es XY
f j
i
ij
0 0 0 0 0
· xi ·j y x· y
SOLUCIONARIO
102 118 324 188 732
2, 646
N d) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación lineal. XY 0,9373 . El coeficiente de correlación lineal es: r X · Y Es un valor negativo (esto es, la pendiente de la recta es negativa: cuanto mayor sea la variable X menor será la variable Y y viceversa) y cercano al -1, por lo que la aproximación por una recta es buena. El estudio concluye que hay correlación lineal negativa entre el número de dosis y los días que tarda el paciente en curarse. e) Calcula las rectas de regresión X / Y e Y / X . Recta de regresión X / Y La ecuación de la recta es: x x
x 2,4254
XY 2
Y
y y , por tanto:
0,6262 y 3,3433
Recta de regresión Y / X La ecuación de la recta es: y y
y 3,3433 f)
XY 2
X
x x , por tanto:
1,4028 x 2,4254
A la vista de es tos resultados, ¿consideras que es eficaz el medicamento? Razona tu respuesta. Es posible afirmar que el medicamento es bueno ya que hay una alta correlación lineal negativa entre el número de dosis y el tiempo que tarda el paciente en curarse. (No obstante, en los estudios reales habría que realizar más pruebas para descartar que la causa de la mejora de los pacientes sea debida a otros factores ajenos al medicamento)
DESAFÍO PISA- PÁG. 238 ¿CUÁNTAS PERSONAS VIVEN EN UN PISO? En la localidad de Moradoria se ha realizado un estudio estadístico para establecer la relación existente entre el número de personas que habita una vivienda y los metros cuadrados de esta. La siguiente tabla muestra los resultados de dicho estudio, en el que la variable X representa los metros cuadrados de la vivienda y la variable Y el número de personas que vive en dicha vivienda:
348
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 1. ¿Cuántas viviendas vacías hay en el municipio? B: 41, ya que la suma de viviendas vacías es f·1 41 ACTIVIDAD 2. El número de habitantes de Moradoria es de: C: 1000, ya que si multiplicamos los habitantes de cada casa por el número de ellas y luego sumamos fij · y j 1000 se obtiene
i, j
ACTIVIDAD 3. El número de viviendas del municipio es: B: 300, ya que
f
300
ij
i, j
ACTIVIDAD 4. Los metros cuadrados de la vivienda media son, aproximadamente:
f ·x i·
A: 75, ya que
i
74,16
i
300
ACTIVIDAD 5. El tamaño de la vivienda vacía en metros cuadrados es, aproximadamente:
f A: 73, ya que
349
i1
41 i
x
·
i
72,13
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 13: Combinatoria EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 256 1. Mario tiene 4 pantalones y 3 camisas: a) ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse? Puede vestirse de 4·3 12 formas distintas. b) Si además Mario tiene 4 zapatos distintos, ¿de cuántas formas distintas puede vestirse ahora? Podrá combinar cada par de zapatos con cada una de las 12 formas de vestir, de modo que en total podrá vestirse de 4·12 48 formas distintas. 2. En un restaurante se ofrecen distintos platos: 4 primeros, 4 segundos y 3 postres distintos. ¿Cuántos menús distintos se pueden elaborar? Se pueden elaborar 4·4 ·3 48 menús diferentes. 3. Juan tiene 3 felpas, 2 bufandas y 4 guantes distintos. ¿De cuántas formas distintas puede combinar las prendas? Puede combinarlas de 3·2 ·4
24
maneras diferentes.
4. En una estantería queda hueco para 3 libros más. Queremos colocar uno de cada tipo elegidos entre 2 de matemáticas, 5 de música y 4 de ciencias. ¿De cuántas formas posibles se pueden colocar estos libros? Se pueden colocar de 2·5·4
40
formas posibles.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 257 5. Calcula: a)
P4 4! 4·3·2·1 24
b)
P5 5! 5·4·3 ·2·1 120
c)
P6 6! 6·5·4·3·2·1 720
d) P2 2! 2·1 2 e)
P9 9! 9·8·7· 6·5·4·3·2·1 362880
6. Van al cine 6 amigos y se sientan en una sola fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse los 6 amigos? Pueden sentarse de P6 6! 6·5·4·3·2·1 720 formas distintas. 7. Ernesto tiene una enciclopedia de 24 tomos, 9 son de historia universal y los otros 15 tomos son de historia de España. ¿De cuántas formas puede colocar la enciclopedia en una estantería? ¿Y si no quiere mezclar los tomos de historia universal con los de historia de España? 350
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Puede colocarlos de P24 24! 6, 2·10 formas diferentes. Si no quiere mezclarlos, podrá colocar primero los de historia universal o los de España, de modo que 23
tendrá:
2·9!·15! 9, 49·1017 formas diferentes de hacerlo.
8. ¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden hacer con la palabra LARGO?
Se pueden hacer
P5 5! 5·4·3 ·2·1 120 palabras con esas cinco letras.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 258 9. Calcula: 5! 60 2! 8! b) V8,4 1680 4! 7! c) V7,5 2520 2! 10! d) V10,4 5040 6! a) V5,3
e) V12,8
12! 19958400 4!
10. ¿Cuántas palabras de 5 letras con o sin sentido se pueden formar con las letras A, B, C, D, E, F, G, H, I sin repetir letras? Se pueden formar V8,5
8! 6720 palabras distintas. 3!
11. En un parking hay 5 plazas libres y llegan 3 amigos cada uno con su vehículo. ¿De cuántas formas distintas podrán ocupar las plazas de aparcamiento? Se pueden ocupar de V5,3
5! 60 formas diferentes. 2!
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 259 12. Calcula: a) VR5,4 5 b) VR2,5
625
2 32
c) VR4,4 4 351
4 5
4
256
Matemáticas 4º ESO Académicas
d) VR5,3
5 3 125
e) VR8,5
8
5
SOLUCIONARIO
32768
13. ¿Cuántas palabras de 4 letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra REMANDO, repitiendo o no las letras? Repitiendo letras se pueden formar VR7,4 7 entonces se pueden formar V7,4
4
2401
palabras. Si no es posible repetir letras,
7! 840 palabras. 3!
14. Si tiramos un dado dos veces, ¿cuántos resultados distintos podemos obtener? Podemos obtener VR6,2
62 36 resultados diferentes.
15. ¿Cuántos números de 3 cifras podemos formar con los dígitos del número 345 897? Repitiendo dígitos se pueden formar VR6,3 6 entonces se pueden formar V6,3
3
216 números. Si no es posible repetir los dígitos,
6! 120 palabras. 3!
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 260 16. Representa un diagrama de árbol de: a) Las permutaciones del conjunto A, B, C, D que empiezan por B .
352
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
, ,C , D E que empiezan por AB . b) Las permutaciones del conjunto A, B
c) Todas las apuestas posibles para acertar una quiniela con tan solo tres partidos.
17. Representa con un diagrama de árbol todos los números pares de tres cifras que se pueden hacer con los dígitos 3, 4, 5 y 6.
353
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 261 18. Calcula utilizando la calculadora:
4 4! a) C4,3 4 3 3! 4 3 !
8 8! b) C8,2 28 2 2! 8 2 ! c)
10 10! 10 9 9! 10 9 !
C10,9
4 4! d) C4,4 1 4 4! 4 4 ! 10 10! 120 7 ! 7 7! 10
e) C10,7
19. En una pizzería te permiten elegir 4 ingredientes de una lista de 7. ¿Cuántas pizzas distintas se pueden elaborar?
7 7! Se podrán elaborar C7,4 35 pizzas diferentes. 4 4! 7 4 !
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 262
n 1 r
20. Demuestra la siguiente igualdad:
n 1 n r
n 1
n
r 1
r
1n !1 n !1 nr nr !1 !1 r 1 r ! n r !1 r !1 nr! !r n r ! !r n r !
n r r n r !n r!
1n! n 1! !r n r! ! rn! r
n!
n r
21. Comprueba si se verifican las siguientes afirmaciones:
5! 5! 3!5C3! 5 2 !2! 5,2 12! 12! C12,1 12 b) C12,1 12 1!12 1 ! 11! 7! 7! 2·7! 8·7! 8! CC7,4CC7,3 8,4 7 ,4 7,3 C c) C 8,4 4!·3 ! 3!·4 ! 3!·4 ! 4·3!·4 ! 4!·4 ! a) CC5,3C 5,2
354
5
,3
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
22. Calcula, sin utilizar la calculadora científica, los siguientes números combinatorios:
10 1 10 10 10! 10·9· 8! 10·9 b) 45 2 8 ! 8! · 2! 8 8! 10 a)
9 9! 9·8· 7! 9·8 36 2 2! 9 2 ! 2!· 7! 2 42 42! 42·41· 40! 42·41 d) 861 40 40! 42 40 ! 2 40! · 2! c)
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 263 23. Escribe el desarrollo del binomio de Newton de: a) b) c)
a b 5 a 5ab 54 a b a ab 6 6
6
5
4 5 a b1032 ab23 10 b ab 5 5 6 ab1542 ab320 a24b 15 b 6 ab
4
3 a b 2 a a4b8 3 2ab422 ab32
b41 6
24. Desarrolla las siguientes potencias: a) b) c)
5
x 1 x5 54 1x 03 4
1 2x0 5 x1
x32 16x x 2 x 8 x 24 4 4 2x1 16 x32 x243 8x21 4
3
x
2
x
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁG. 2 66-268 UTILIZACIÓN DEL PRODUCTO PARA CONTAR 1. María tiene un juego que consiste en construir muñecos de madera componiendo tres partes, cabeza, cuerpo y piernas. Si tenemos 5 tipos diferentes de cabeza, 4 de cuerpos y 6 de piernas, ¿cuántos muñecos diferentes se pueden componer? Puede componer 5·4·6 120 diferentes muñecos 2. El abuelo de Juan le ha regalado un móvil que puede personalizar como quiera. En concreto tiene cuatro carátulas distintas y tres tipos de teclado. ¿De cuántas formas puede montar Juan su móvil? Lo puede personalizar de 4·3 12 formas distintas.
355
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
3. En una fábrica de lámparas preparan un tipo de lámpara combinando los tipos de pantalla, pie y cuerpo, de forma que los clientes pueden personalizar su lámpara combinando estas partes. Si tienen 9 tipos de pantalla, 7 cuerpos y 6 pies, ¿cuántos tipos distintos de lámpara se pueden construir? Es posible componer 9·7·6 378 lámparas diferentes.
PERMUTACIONES. FACTORIAL DE UN NÚMERO 4. Calcula: a) El número de permutaciones de 8 elementos - P8
8! 40320
b) El número de permutaciones de 15 elementos - P15 15! 1,31·10 c) El número de permutaciones de 10 elementos -
12
P10 10! 3628800
5. Calcula el número de permutaciones de: a)
P4 4! 24
b)
P1 1! 1
c)
P6 6! 720
d)
P
10! 3628800
10
6. Utiliza la calculadora para calcular los siguientes números: a) b) c) d)
6! 720 4·3! 24
7! 5040 5·4! 120
7. Raúl quiere colocar una colección de 8 cuentos en el estante de su habitación. ¿De cuántas formas distintas los puede colocar en dicho estante? Puede colocarlos de 8! 40320 formas distintas. 8. En el sorteo de la ONCE ha salido el número 18492. ¿Cuántos números con los mismo dígitos se pueden hacer? Se pueden formar 5! 120 números diferentes.
VARIACIONES 9. Calcula:
356
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
8! 1680 4! 7! b) El número de variaciones de 7 elementos tomados de 6 en 6. - V7,6 5040 1! 10! c) El número de variaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3. - V10,3 720 7! a) El número de variaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4. - V8,4
d) El número de variaciones de 12 elementos tomados de 8 en 8. - V12,8
12! 4!
19958400
10. Calcula: a) El número de variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2. - VR5,2
52 25
b) El número de variaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3. - VR4,3
43 64
c) El número de variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 5 en 5. - VR2,5
25 32
d) El número de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 4 en 4. - VR3,4
34 81
11. Calcula: 6! 720 1! 18! 1,07·1015 3!
a) V6,5 b) V18,15
c) V9,3 9! 6! 504 16! d) V16,12 8,72·10 11 4! 24! e) V24,20 2,58·10 22 4! 10! f) V10,5 30240 5! 12. Calcula: a) VR5,2
52 25
b) VR2,8 2 c) VR3,5
8
256
3 243
d) VR7,3 7
5
343 3 e) VR10,3 10 1000 f)
3
VR3,4 34 81
13. ¿Cuántos números de tres cifras distintas podemos hacer con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? Podremos hacer V7,3 357
7! 210 números distintos. 4!
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
14. ¿Cuántas palabras de cinco letras distintas, con o sin sentido, se pueden construir con las letras de la palabra MURCIÉLAGO? Sin repetir letras, podremos construir V10,5 podríamos hacer VR10,5
10! 30240 palabras distintas. Si se acepta repetir letra, 5!
10 5 100000 palabras diferentes.
15. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden hacer con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4? Podemos formar V5,3 hacer VR5,3
5! 60 números diferentes sin repetir dígitos. Repitiendo dígitos podremos 2!
5 3 125 números diferentes.
16. ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden hacer con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9?
8! 1680 números distintos. De ellos, la mitad son pares 4! (ya que la mitad de las cifras ofrecidas son pares). Repitiendo cifras, podremos escoger cualquiera de Sin repetir cifras, podemos formar V8,4
los 4 dígitos impares para la última cifra y elegir entre las VR8,3
8 3 512 formas diferentes para las
tres primeras. En total tendremos 512·4 2048 números diferentes. 17. ¿Cuántos números menores de 10000 se pueden hacer con las cifras 0, 1, 2 y 3? Todos los números que se forman con esas cuatro cifras son menores de diez mil. Sin repetir cifras, podremos escoger 4! 24 números diferentes. Si podemos repetir cifras, el número es de 44 256 .
DIAGRAMAS DE ÁRBOL 18. Construye un diagrama de árbol que muestre las permutaciones de las letras A, B, C, D y E. Un esquema de todas las permutaciones que comienzan por la letra A sería el siguiente:
En total hay 4! 24 permutaciones que comienzan por la letra A y, por tanto, permutaciones en total, cuyo diagrama de árbol tendría este aspecto:
358
5! 120
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
19. Haz un diagrama de árbol y enumera las variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3. 5! 60 variaciones diferentes. Tomemos los elementos como A, B, C, D y E. 2! En un diagrama de árbol las opciones son: Tenemos en total: V5,3
ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED DAB DAC DAE 359
DBA DBC DBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
20. Cuatro amigos, Juan, Ana, Pedro y Lucía, van al cine. Si Juan y Ana son novios y tienen que sentarse juntos, ¿de cuántas formas podrán hacerlo? (Nota: Utiliza un diagrama de árbol para hacer el ejercicio)
Se podrán sentar de 12 maneras diferentes. COMBINACIONES. NÚMERO COMBINATORIO 21. Calcula: a) El número de combinaciones de 7 elementos tomados de 2 en 2
7 2
C7,2
7! 21 2!·5!
b) El número de combinaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3 10 10! C10,3 120 3 3!·7! c) El número de combinaciones de 50 elementos tomados de 2 en 2 50 C50,2 50! 1225 2 2!·48! d) El número de combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3
6 6! 20 3 3!·3!
C6,3
e) El número de combinaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5
8 8! 56 5 5!·3!
C8,5 360
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
22. Calcula, utilizando la calculadora, los siguientes números combinatorios:
6 6! 15 4 4!·2! 17 17! 17 b) 16 16!·1! 16 16! c) 120 14 14!·2! 12 12! 1 d) 0 0!·12! a)
35 35! 1 35 35!·0! 27 27! 27 1 1!·26!
e) f)
23. Calcula, utilizando la fórmula de número combinatorio:
20 20! 190 18 18!·2! 10 10! b) 2 2!·8! 45 a)
12 12! 9 9!·3! 220 15 15! 455 d) 3 3!·12! 100 100! 100 e) 99 99!·1! 125 125! f) 7750 2 2!·123! c)
24. De una caja de 20 colores elegimos tres para hacer un dibujo. ¿De cuántas formas podemos elegir los tres colores?
20 20! 1140 maneras diferentes. 3 3!·17!
Podremos escoger los colores de C20,3
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 25. Calcula las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los números combinatorios:
361
Matemáticas 4º ESO Académicas
20 1 20
a)
1000 1 0 64 c) 64 63 100 d) 1 100 25 25 e) 22 23 24 24 f) 22 1 b)
26 26! 2600 23 23!·3! 24 24 25 25! 300 23!·2! 22 23 23
EL BINOMIO DE NEWTON 26. Desarrolla las siguientes expresiones: 6
a)
5 6 b ab a b a 6ab 65 ab1542 ab3 20 a24b 15
b)
a b a 5
6
ab 5 ab 10 a b 10 ab b5
5
4
3 2
2 3
4
5
27. Desarrolla las siguientes expresiones: 4
c)
32 2x4 x82 x3 x 4 2 x 16 7 5 x2 21 4x35 3 35 x x 1 x7 76 x 21 4 4 3 2 x32 16x x 2 x 8 x 24
d)
x
a) b)
4
1 8x 644 6x 24 x1
2
7 1x
x
28. Desarrolla las siguientes expresiones:
b)
2x 1 38 x123 6x2 1 x 32 x 40 x80 x 25 x5 410
c)
2x
a)
d)
3
x 3 x 8 x12 18 3 9
7
5
3
27x
4
3 x496 x216 2x 3 16
x 2 x72
29. Desarrolla las siguientes expresiones: 3
1 1 3 3 a) x x 5 125 25 5 362
x2
x 32x 80
x3
27x
x
SOLUCIONARIO
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4
1 1 x 11 3 x 2 4 16 8 32
b)
x 2 32
x3
5
c)
3 5x 5 x52 5 x 4 5x x 1 1 2 2 2 4 16 32
x4 x
3
x 3 x 29 27 x x 3 d) 8 3 2 27 2 4
PROBLEMAS 30. Tres amigos se quieren repartir unas zapatillas, una gorra y un móvil. ¿De cuántas maneras distintas pueden hacerlo? Se trata de una permutación ya que se reparten todos los elementos, sin repeticiones e importando el orden en que se hace. Por tanto, pueden hacerlos de P3 3! 6 maneras distintas. 31. Seis amigos quieren repartirse tres camisetas iguales. ¿De cuántas formas pueden hacerlo? Debemos escoger tres amigos de entre los 6, sin repetir y sin importar el orden. Se trata pues de una
6 6! 20 formas diferentes. 3 3!·6!
combinación: pueden repartirse las camisetas de C6,3
32. Seis amigos van a comprar las entradas para una sesión de c ine, pero solo quedan cuatro. ¿De cuántas formas distintas pueden repartirse las entradas? Se trata de escoger cuatro amigos de entre los seis posibles, sin repetir y sin que importe el orden en que lo hagamos. Para calcular el número de formas diferentes de repartirse las entradas debemos usar
6 6! 15 4 2!·4!
por tanto una combinación: C6,4
33. En la radio tienen un concurso abierto que utiliza los mensajes a móviles para participar. Consiste en enviar un mensaje de texto con 5 letras ordenadas, que son las respuestas a dichas preguntas, y cada pregunta tiene tres opciones: a, b y c. De esta forma, a cada acertante de la serie que da la respuesta correcta a todas las preguntas se le obsequia con la entrada a un concierto. ¿Cuántos mensajes de móvil tenemos que enviar para acertar las cinco preguntas con toda seguridad? Puesto que el orden en que situemos las letras importa y se pueden repetir, se trata de una variación con repetición de tres elementos tomados de 5 en 5: debemos enviar por tanto VR3,5
3 5 243
mensajes para acertar con total seguridad. 34. En el armario de mi abuelo hay 5 trajes distintos, 6 camisas y 4 corbatas. ¿De cuántas formas distintas se puede vestir mi abuelo? Puede vestirse de 5·6·4 120 formas distintas.
363
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
35. En mi habitación tengo 12 maquetas de automóviles antiguos. ¿De cuántas formas distintas los puedo ordenar en un estante? Se trata de una permutación ya que se reparten todos los elementos, sin repeticiones e importando el orden en que se hace. Por tanto, puedo ordenarlas de P12 12! 479001600 maneras distintas. 36. En un cajón hay 12 canicas distintas. ¿De cuántas formas distintas podemos coger cuatro canicas? Se de escoger cuatro canicas de entre las docediferentes posibles, coger sin repetir y sin que importe el por orden en quetrata lo hagamos. Para calcular el número de formas las canicas debemos usar tanto
12 12! 495 4 4!·8!
una combinación: C12,4
37. Un equipo de fútbol está compuesto por 1 portero, 4 defensas, 3 centrocampistas y 3 delanteros. Si el entrenador dispone de 3 porteros, 7 defensas, 5 centrocampistas y 6 delanteros, ¿cuántos equipos distintos puede confeccionar el entrenador? Para la portería tiene 3 opciones diferentes. Para la defensa puede escoger 4 de entre 7. Si suponemos que no importa el orden (no distinguimos
7 4
entre puestos en la defensa), tiene C7,4
7! 35 opciones. 4!·3!
5
En cuanto a los centrocampistas, dispone de C5,3
5!
10 opciones.
3 3!·2! 6 6! 20 posibilidades diferentes. 3 3!·3!
En la delantera puede escoger entre C6,3
En total, dispone de 3·35·10· 20 21000 opciones distintas para confeccionar el equipo. 38. ¿Cuántos números distintos pueden formarse con las cifras del número 333355 ? Cualquier número que formemos tendrá seis dígitos, dos de los cuales serán un 5. Por tanto, son
6 6! 15 números diferentes. 2 2!·4!
C6,2
39. Ángela está comprando ropa con su padre. El padre le dice que escoja 3 vestidos de entre los 15 que hay en la tienda. ¿De cuántas formas distintas puede hacerlo? Puesto que no importa el orden en que los coja y no puede repetir, se trata de una combinación. Puede
15 15! 455 maneras diferentes. 3 3!·12!
escoger los tres vestidos de C15,3
40. El examen final de la facultad consta de 8 preguntas. Para aprobar es necesario contestar de forma correcta a la mitad de ellas, sin importar el orden: a) ¿De cuántas formas distintas puedo elegir las cuatro preguntas?
364
Matemáticas 4º ESO Académicas
8 4
Puedo elegirlas de C8,4
SOLUCIONARIO
8! 70 formas distintas. 4!·4!
b) Si hay una pregunta de la que no tengo ni idea, ¿de cuántas formas puedo elegir ahora entre las cuatro preguntas?
7 4
En este caso solo tenemos C7,4
7! 35 formas diferentes. 4!·3!
41. En un estudio de diseño quieren confeccionar tres tipos de banderas, una con tres franjas horizontales, otra con dos franjas verticales y otra con tres franjas horizontales y un escudo. Si disponen de 11 colores distintos y 3 tipos de escudo, ¿cuántas banderas distintas se pueden hacer? Para la bandera de tres franjas horizontales tenemos que tener en cuenta que el orden sí importa. Si 11! no se admiten repeticiones tendrán V11,3 990 banderas diferentes. 8! 11! Para la bandera con dos franjas verticales, en cambio, tenemos: V11,2 110 banderas diferentes. 9! Para la de tres franjas verticales con un escudo, serán: 3·V11,3 3·
11! 8!
2970
En total, por tanto, podrán diseñar 990 110 2970 4070 banderas diferentes. Podríamos plantear banderas diferentes si se pueden repetir colores o si permitimos la repetición de colores "alterna", a la manera de las banderas de Andalucía o España. Para este caso, podemos escoger 11! dos colores, importando el orden (exterior e interior), por lo que serán banderas más. V11,2 9! 110 A este número habrá que añadirle las banderas con este diseño en vertical y un escudo, que serán
3·V11,2 3·110 330 . Finalmente, hay 11 banderas con un solo color (todas las franjas iguales) y 33 banderas
con
un
solo
color
y
un
escudo
encima.
En
total tenemos,
por
tanto:
4070 110 330 11 33 4543 banderas. Aún podríamos ampliar el número posible de diseños si admitimos dos franjas juntas de un color y la tercera de otro. De estas tendríamos 2·V11,2
11! 9!
220
sin escudo (multiplicamos por dos puesto
que las dos franjas iguales pueden ser las superiores o las inferiores) y
3·2·V11,2 3·2·110 660 con
escudo. El total de banderas es, por tanto: 4543 220 660 5423 . 42. En el Museo de Ciencias tienen catalogada una colección con má s de cien años. Dicha colección consta de 5 tomos sobre anatomía, 4 tomos sobre fauna animal, 6 tomos sobre especies vegetales y 3 tomos sobre insectos.mezclar ¿De cuántas formas distintastipo? se pueden ordenar en un estante para su exposición si no se pueden los tomos de distinto En primer lugar, calculamos el número de formas diferentes de ordenar las categorías, que será: 4! Dentro de cada categoría podemos permutar el orden de los tomos. Por tanto, el total de formas diferentes de mezclar los tomos es: 4!·5!· 4!· 6!·3! 298598400 43. Tres compañeros entran en el vestuario para prepararse para la competición. Tienen que vestirse cada uno con una camiseta distinta y encuentran que tienen 4 c amisetas disponibles para ellos. ¿De cuántas formas pueden vestirse? 365
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Se trata de escoger 3 elementos de entre 4, de manera que importa el orden y no admiten repetición: 4! se trata, por tanto, de una variación: V4,3 24 formas diferentes. 1! 44. En la parada del autobús hay 4 personas esperando. Cuando llega el bus y se suben a él, comprueban que hay 6 asientos libres. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse los viajeros? Los pasajeros dejarán 2 asientos libres de entre los 6. Como no importa el orden de esos dos asientos
6! 6 15 formas diferentes de hacerlo. 2 2!·4!
libres, hay C6,2
Además, los 4 pasajeros pueden cambiar de sitio entre ellos, de forma que para cada una de las configuraciones anteriores hay 4! 24 formas distintas de sentarse. El total de formas distintas de sentarse será, por tanto, de 24·15 360 45. Miguel tiene una heladería. En ella sirve helados utilizando 10 sabores distintos, de forma que vende tarrinas con uno, dos y tres sabores distintos. ¿Cuántos envases distintos puede hacer para su venta? Para un sabor tendrá 10 envases diferentes según el sabor. Para dos sabores, puesto que no importa el orden y no tiene sentido repetir (sería un solo sabor),
10 10! 45 helados diferentes. 2 2!·8!
podremos hacer C10,2
10 10! Con tres sabores hay C10,3 3 3!·7! 120 helados distintos. En total, por tanto, tiene que hacer 10 45 120 175 envases distintos. 46. En una urna hay siete bolas numeradas del 0 al 6. Si se sacan cinco bolas sin devolverlas a la urna, ¿cuántos números se pueden formar? El orden en que se saquen las bolas importa y no se pueden repetir, de forma que hay V6,5
6! 720 1!
números posibles. 47. Las matrículas de los coches están compuestas por tres letras y cuatro números. De las letras están eliminadas las vocales para evitar formar palabras. ¿Cuántos coches se pueden matricular con este sistema? Puesto que hay 20 letras diferentes (eliminamos la Ñ y la Q también puesto que dan lugar a equívocos al leer las matrículas), y tenemos que 3 el orden importa y se pueden repetir letras, se trata de una variación con repetición: VR20,3 20 8000 formas diferentes para las letras. Para cada combinación de letras hay diez mil números, por tanto, el total es de 80 millones de matrículas. 48. ¿Cuántas palabras de 4 letras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra RAUDO? ¿Y que empiecen por R? 5! Podemos formar V5,4 120 palabras diferentes. 1! La quinta parte de ellas empieza por R, luego son 24 palabras. 366
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
49. Siete amigos van juntos al cine y se encuentran con dos a migos más, Ana y Alberto. Determina: a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse los amigos juntos en una fila? Como importa el orden en que se sienten y han de hacerlo todos, se trata de una permutación. Hay por tanto 7! 5040 maneras diferentes de sentarse. b) Si Ana y Alberto son novios y quieren estar siempre juntos, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar? Si se tienen que sentar juntos, hay que considerarlos como un solo elemento a la hora de ordenarlos. De este modo, ahora hay 6! 720 formas diferentes de sentarse. c) Ana y Alberto se han peleado. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar si Ana y Alberto no pueden estar juntos? Restando los dos resultados anteriores, tenemos que en 5040 720 4320 de las formas de sentarse Ana y Alberto no estarán juntos. 50. Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 determina: a) ¿Cuántos números de tres cifras podemos formar? Si no admitimos repetición de dígitos, en la primera cifra puede ir cualquiera menos el 0 y en las otras dos cualquiera de los restantes: 9·9· 8 648 números distintos. b) ¿Cuántos números de cinco cifras? Si no admitimos repetición de dígitos, en la primera cifra puede ir cualquiera menos el 0 y en las otras cualquiera de los restantes: 9·9 ·8·7·6 27216 números distintos. c) ¿Cuántos números pares de cinco cifras?
9·8·7·6 3024 . Si el cuatro, resto pueden Si la la última última cifra cifra es es un un cero, dos, un un seisser: o un ocho, el resto pueden ser: 8·8·7·6 En total, tenemos 4·2688 3024 13776 d) ¿Cuántos múltiplos de 5 con cuatro cifras? Si la última cifra es un cero, el resto de las cifras pueden ser: 9·8·7 504 . Si la última cifra es un cinco, el resto pueden ser: 8·8·7 448 En total hay 504 448 952 e) ¿Cuántos números de 4 cifras múltiplos de 2 y 5? La última cifra habrá de ser un cero, y el resto 9·8·7 504
51. Con las letras de la palabra RIACHUELO, calcula: a) El número de palabras de tres letras distintas que se pueden formar. 9! Podremos formar palabras reordenando las letras, sin repetir: V9,3 504 6! b) El número de palabras de cuatro letras que se pueden formar. V9,4 9! 3024 5! c) El número de palabras de menos de cuatro letras que se pueden formar. Sumando el número de palabras con tres, dos o una letra: 9! 9! 9! V9,3 V9,2 V9,1 504 72 9 585 6! 7! 8! d) El número de palabras de seis letras que se pueden formar. 9! V9,6 60480 3! e) El número de palabras de cuatro letras que empiecen por U. 367
2688
.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
En este caso se trata de formar palabras de 3 letras con las 8 letras restantes: 8! V8,3 336 5! f) El número de palabras de seis letras que empiecen por U y terminen por O. En este caso se trata de formar palabras de cuatro letras con las 7 restantes: 7! V7,4 840 3! g) El número de palabras que se pueden formar sin repetir las letras. Permutando todas las letras formamos P9
9! 362880
palabras
DESAFÍO PISA - PÁG. 269 CONTANDO CON LOS POLÍGONOS Un polígono es convexo si el segmento que une cualesquiera dos puntos interiores del polígono no interseca a los lados del polígono.
Una diagonal de un polígono es el segmento que se puede trazar uniendo dos vértices que no coinciden con un lado de dicho polígono.
ACTIVIDAD 1. Un polígono al que no se le pueden trazar diagonales es un: B: Triángulo, ya que cualquier segmento que una sus vértices coincide con uno de los lados. ACTIVIDAD 2: Un cuadrado tiene dos diagonales; un pentágono tiene: C: Cinco. Cada punto se une con otros dos, lo que haría 10 diagonales, pero como están compartidas de dos en dos hay que dividir entre dos. ACTIVIDAD 3: El número de diagonales de un hexágono son: C: 9. Cada punto se une con otros 3, y como las diagonales se comparten entre dos: 368
6·3 9 2
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
ACTIVIDAD 4: El número de diagonales de un dodecágono es:
B: 54. Del mismo modo que antes,
12· 12 3 2
54 (restamos 3 del número de vértices ya que se
descuentan los vértices adyacentes y el propio vértice). ACTIVIDAD 5: El número de diagonales de un polígono de cien lados es:
A: 4850. Del mismo modo que antes,
369
100· 100 3 2
4850
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
UNIDAD 14: Probabilidad EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 274 1. Da dos ejemplos de experimentos deterministas y otros dos de experimentos aleatorios: Deterministas: aplicar una fuente de calor y obtener la temperatura a la que estará un líquido; ejecutar una función de un programa de ordenador. Aleatorios: sacar una carta de una baraja; medir la temperatura de un día en un punto determinado. 2. Determina el espacio muestral de los s iguientes experimentos: a) Lanzar dos monedas - E C , C , , C, X , , , X C
X X
b) Lanzar una moneda y un dado de 6 caras E C,1, C ,2 ,
X , , 4X, X ,1, X,2 , ,3
,3 C, , 4C, ,5 ,C
,6 , C
,5 ,X ,6 X
c) Lanzar un dado de cuatro caras dos veces E 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 ,2,1 , 2,2 , 2,3,
2,4 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,1,4,2 , 4,3 , 4,4 d) Lanzar una moneda tres veces.
E C , C, C, , ,C C , , X, , C , X , C, , C , ,X ,X,
, X,C, C, , X , C X
X X C
X X X
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 275 3. Determina el suceso seguro y los sucesos elementales de los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda dos veces. Suceso seguro: E C , C , , C, X , , , X C Sucesos elementales: C,C, C, X, , ,X,C
X X
X X
b) Lanzar un dado de seis caras dos veces Sucesos elementales: 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5, 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 ,
2,6 , 3,1 , 3,2 , 3,3 ,3,4 , 3,5, 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 ,4,5 , 4,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 ,6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6 Suceso seguro: Espacio muestral, formado por todos los sucesos elementales. c) Lanzar un dado de seis caras dos veces y s umar sus puntuaciones Suceso seguro: la unión de todos los sucesos elementales. Sucesos elementales:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 , 1 1, 12
d) Lanzar un dado de seis caras dos veces y multiplicar sus puntuaciones Suceso seguro: la unión de todos los sucesos elementales. Sucesos elementales: 1,2, 3 ,4 ,5, 6 , 8 ,10 , 12 ,9 , 15 , 18 , 16 , 20 ,
24 ,25 ,30 ,36
370
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4. Da dos sucesos compuestos para cada uno de los experimentos de la actividad anterior. a) b) c) d)
Que salga alguna cara. Que salgan dos resultados iguales. Que salga el mismo resultado en los dos dados. Que ambos sean pares. Que salga par. Que salga menos de 7. Que salga un resultado impar. Que el resultado sea múltiplo de 3.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 276 5. Se extrae una bola de entre 60 bolas numeradas considerando los siguientes sucesos. A = {Sacar un número múltiplo de 3} B = {Sacar un número m últiplo de 5} C = {Sacar un número múltiplo de 4} Determina los elementos de los siguientes conjuntos. a)
A B 3, 5, 6, 9,10,12,15,18, 20, 21, 24, 25, 27, 30, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 45,
48, 50, 51, 54, 55, 57, 60 b)
A B 3, 4, 6, 8, 9,12,15,16,18, 20, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 33, 36, 39, 40, 42, 44, 45,
48, 51, 52, 54, 56, 57, 60 c)
B C 4, 5, 8,10,12,15,16, 20, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36,40, 44, 45,
d)
A B 15,30, 45, 60
e)
A C 12, 24, 36, 48, 60
f)
B C 20, 40, 60
g)
A B 5,10, 20, 25, 35, 40, 50, 55
48, 50, 52, 55, 56, 60
h) B
C 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10,11, 13,14,15,17,18,19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 57,
58, 59, 60 i)
C C n n /1
60
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 277 6. Lanza una moneda 20 veces y anota la frecuencia absoluta obtenida. A la vista del resultado, ¿crees que la probabilidad de sacar cara o cruz es la misma? Lanza 20 veces más la moneda y vuelve a plantearte la pregunta. Cada lanzamiento de la moneda es independiente de los anteriores, de forma que la probabilidad permanecerá siempre constante e igual a 0, 5
371
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 278 7. Si E es un espacio muestral y A y B dos sucesos incompatibles tales que P A 0,2 y
P B 0,4 , calcula: a)
1PA 0,8
PA
P b) P A B PA B
0,2 0,4 0,6
c) P A B PE d) P B 1PB
e) f)
P A A
PB B
1 0, 6 PE 1 P 0
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 279 8. De la baraja española se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar un múltiplo de 3 El suceso T = "sacar un múltiplo de 3" tiene 16 elementos (ya que hay 4 múltiplo s de 3 por cada palo de la baraja). Por tanto, P T
16
1
48 3 b) Sacar un rey El suceso R = "sacar un rey" tiene 4 elementos (uno por cada palo de la baraja). Por tanto 4 1 P R 48 12 c) Sacar una figura El suceso F = "sacar una figura" tiene 12 elementos (tres por cada palo de la baraja), por tanto
PF
12 48
1 4
d) Sacar una figura que no sea de espadas
El suceso A = "sacar una carta de espadas" tiene 12 elementos. Por tanto, P A
1
12 48
e) Sacar el siete de bastos El suceso B = "sacar el siete de bastos" tiene un solo elemento: P B f)
1 48
Sacar copas El suceso C = "sacar una carta de copas" tiene 12 elementos, por lo que P C
9. Se lanzan dos monedas al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar dos cruces.
372
12 48
1 4
3 4
Matemáticas 4º ESO Académicas
El espacio muestral es E C , C , , C, X , , , X C
. El suceso
X X
SOLUCIONARIO
A X , X , "sacar
1 dos cruces", tiene un solo elemento, por lo que P A 4 b) Sacar una cruz y una cara. El suceso B C , X , X ,C
tiene dos elementos, por tanto: P B 24 12
c) Sacar al menos una cruz. El suceso es
C d) No sacar cara.
y por tanto:
C X, ,X, C, X,X
P C
3 4
El suceso D X , X tiene un solo elemento, por lo que P D
1 4
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 280 10. Se lanza un dado de 8 caras dos veces y sumamos las puntuaciones obtenidas. Calcula la probabilidad de los sucesos elementales. Si el resultado de lanzar los dados es x, y , con
x
el resultado del primer lanzamiento e y el del
8,1 segundo lanzamiento, el espacio muestral E x, y /1 x
y8
tiene 64 elementos. Sea
Ri al suceso "la suma de las puntuaciones es i ". Tenemos: 1 64
R2 1,1 P R2
R3 1,2 , 2,1
R4 1,3 , 2,2 , 3,1
R5 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1
R6 1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1
R7 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1
R8 1,7 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 , 7,1
P R3
2 64
1 32
3
P R4 64 P R5
4 1 64 16 5
P R6 64
3 32 7 P R8 64
P R7
6 64
R9 1,8 , 2,7 , 8,1 , 3,6 , 4,5 , 5,4 , 6,3 ,7,2
373
P R9 7 R10 2,8 , 3,7 , 4,6 , 5,5 , 6,4 , 7,3 , 8,2 P R 64 10 6 3 R11 3,8 , 4,7 , 5,6 , 6,5 , 7,4 , 8,3 11 P R 64 32 5 R12 4,8 , 5,7 , 6,6 , 7,5 , 8,4 12 P R 64 4 1 R13 5,8 , 6,7 , 7,6 , 8,5 13 P R 64 16
8 64
1 8
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
3
R14 6,8 , 7,7 , 8,6
14P R 64
R15 7,8, 8,7
P R 15
R16 8,8 P16 R
1 64
2 64
1 32
11. Se lanza un dado de 6 caras dos veces y multiplicamos las puntuaciones obtenidas. a) Calcula la probabilidad de los sucesos elementales. Si el resultado de lanzar los dados es x, y , con
el resultado del primer lanzamiento e y el
x
del segundo lanzamiento, el espacio muestral E x, y /1 x 6,1
y6
tiene 36
elementos. Utilizamos la siguiente tabla, donde el resultado del primer lanzamiento se muestra en la primera columna, el del segundo lanzamiento en la primera fila y el resultado de multiplicarlos en la celda que se obtiene al cruzar la fila y columna correspondientes, para listar los sucesos elementales: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 12
3 6 9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
Sea Ri al suceso "el producto de las puntuaciones es i ". Tenemos: 1 2 1 P R P R 1 15 36 36 18 2 1 1 P R P R 2 16 36 18 36 2 1 2 1 PR P R 3 18 36 18 36 18 2 1 3 1 P R P R 4 20 36 18 36 12 2 1 5 P R P R 24 5 36 18 36 4 1 1 P R P R 6 25 36 9 36
374
P R8 2 36
1 18
1 36 2 1 P R10 36 18
P R9
P R12
4 1 36 9
P R30 2 1 36 18
P R36
1 36
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
b) Calcula la probabilidad de obtener un número par. Sea B = "obtener un número par". Utilizando la tabla anterior, podemos ver que hay 27 sucesos favorables. Por tanto, P B
27
36
3 4
c) Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3. Sea C = "obtener un múltiplo de 3". Utilizando la tabla anterior, podemos ver que hay 20 sucesos favorables. 20 Por tanto, P C 36
5 9
d) Calcula la probabilidad de obtener un número par múltiplo de 3. Sea D = "obtener un número par múltiplo de 3". Utilizando la tabla anterior, podemos ver que hay 15 sucesos favorables. 15 5 Por tanto, P D 36 12 EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 281 12. Se lanzan tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener una cara. Sea A el suceso "sacar una cara", unión de tres sucesos elementales: CXX , XCX y XXC . Puesto que los lanzamientos de la moneda son independientes, tenemos que 3 111 1 , de modo que . P CXX P XCX P XXC P A 8 2 · 2 2 · 8 b) Obtener dos caras. Puesto que el suceso B "obtener dos caras" es el mismo que "obtener una cruz", por la simetría 3 del problema tenemos que P B . 8 c) Obtener tres caras. Puesto que los lanzamientos de la moneda son independientes, tenemos que 111 1 P CCC · · 222 8
,
d) Obtener al menos una cara. Sea D el suceso "obtener al menos una cara". Entonces su complementario es D = "no obtener caras" o, de forma equivalente, "obtener tres cruces". De este modo: PD 1P D P1XXX 1 18 78 13. Se lanzan al aire dos dados. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar un 5 y un 6. Sea A el suceso "sacar un 5 y un 6", sabemos que A 5,6, 6,5 PA P 5,P6
1 11 1 2 1 6,5 · 6 6 · 6 6 36 18
b) Sacar un 3. La probabilidad de que no salga un 3 en cada dado es 375
5 . 6
por lo que:
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
La probabilidad de que no salga ni en el primero ni en el segundo, por ser sucesos independientes, 5 5 25 es · . 6 6 36 25 1 1 El suceso B = "sacar un 3" es el complementario de este, por lo que P B 1 36 36 c) Sacar al menos un 5. 5 La probabilidad de que no salga un 5 en cada dado es . 6 La probabilidad 5 5 25 de que no salga ni en el primero ni en el segundo, por ser sucesos independientes, es · . 6 6 36 El suceso C = "sacar al menos un 5" es el complementario de este, por lo que
1 25361136
P C
.
d) Sacar un número par. 1 . 2 Entonces la probabilidad de que ambos sean impares, por ser sucesos independientes, es 1 3 1 1 1 · . El suceso D = "sacar un número par" es su complementario: P D 1 2 2 4 4 4
La probabilidad de que obtener un número impar en cada dado es
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 282 14. De una urna que contiene 8 bolas blancas, 10 bolas negras y 7 bolas rojas se extraen una a una tres bolas al azar. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Extraer, en este orden, una bola blanca, una roja y una negra. Sean los sucesos A = {sacar la primera bola blanca}, B = {sacar la segunda bola roja} y C = {sacar la tercera bola negra}, entonces:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Por tanto, P A B C
825 7·2410·23 14 115
b) Extraer las tres bolas negras. Sean los sucesos A = {sacar la primera bola negra}, B = {sacar la segunda bola negra} y C = {sacar la tercera bola negra}, entonces:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B 98 6 · · 25 24 23 115 c) Extraer dos bolas negras y la última de otro color. Sean los sucesos A = {sacar la primera bola negra}, B = {sacar la segunda bola negra} y C = {sacar la tercera bola de otro color}, entonces: Por tanto, P A B C
10
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Por tanto, P A B C
376
9 15 · · 10 25 24 23
9 92
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
d) No extraer bolas negras. Sean los sucesos A = {no sacar la primera bola negra}, B = {no sacar la segunda bola negra} y C = {no sacar la tercera bola negra}, entonces:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Por tanto, P A B C
13 · · 152514 24 23
91 460
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES - PÁG. 283 15. De una urna con 9 bolas blancas, 6 bolas negras y 10 rojas se extraen dos bolas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que las dos bolas sean blancas. 9 8 3 Consideremos el suceso A = {Sacar las dos bolas blancas}, tenemos que P A · 25 24 25 b) Que una de las bolas sea blanca. Sea B el suceso "sacar una bola blanca". Al no especificar el orden, tenemos que considerar los dos sucesos:
B1 = {Sacar la primera blanca y la segunda de otro color} B2 = {Sacar la primera de otro color y la segunda blanca} Por ser sucesos incompatibles, tenemos que: 9 16 16 9 36 B · · P B PB 1P 2 25 24 25 24 75 c) Que ninguna bola sea blanca. 16 15 2 Sea el suceso C = {Sacar dos bolas que no sean blancas}, tenemos que P C · 25 24 5 d) Que una bola sea blanca sabiendo que la otra es negra. Sea D el suceso "sacar una bola blanca y otra negra". Al no especificar el orden, tenemos que considerar los dos sucesos:
D1 = {Sacar la primera negra y la segunda blanca}
D2 = {Sacar la primera blanca y la segunda negra} Por ser sucesos incompatibles, tenemos que: 6 9 9 6 9 P D PD 1P · · D 2 25 24 25 24 50 e) Que alguna de las bolas sea blanca. El suceso E = {Sacar al menos una bola blanca} se obtiene mediante la unión de los sucesos incompatibles B = {Sacar una bola blanca} y A = {Sacar las dos bolas blancas}. Por tanto: P E PA P B 3 36 45 3 25 75 75 5
16. En una clase hay 16 niños y 14 niñas, de los cuales 12 niños y 10 niñas son morenos. Calcula la probabilidad de escoger un niño al azar moreno. Sean los sucesos A = {escoger un niño} y B = {escoger a una persona morena}. Entonces: 16 12 2 P (A )B P · A /P B A· . 30 16 5 377
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN - PÁGS. 286 -288 EXPERIMENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS 1. Determina el espacio muestral de los s iguientes experimentos: a) Lanzar dos monedas al aire y un dado de cuatro caras.
, , , 4C, C, ,1 , C , X , 2, C, X E C , C,1 , ,C, C2 , , C,3 C ,3 , ,C, 4X, X, 2 , , , X3 ,C , , 4X, C, ,1 X , C, 1 , ,X, C , X , X, 2 , X, ,3 b) Lanzar dos dados de ocho caras al aire. Si el resultado de lanzar los dados es x, y , con
x
, X, 4 X
C X X X
el resultado del primer lanzamiento e y el
del segundo lanzamiento, el espacio muestral es E x, y /1 x8,1
y8
c) Lanzar tres monedas al aire.
E C , C, C, , ,C C , , X, ,C , X, C, , C , X , X
X , C, X,
, X , ,X ,C,
X X X
X
C C
2. De una urna que contiene 10 bolas rojas, 6 bolas blancas y 4 bolas negras se extrae una bola al azar. Determina el espacio muestral. Sean R , B y N los sucesos "sacar una bola roja/blanca/negra", respectivamente. El espacio muestral es: E R, B, N
3. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) Lanzar dos dados de diez caras al aire y sumar las puntuaciones obtenidas.
E 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17, 18,19, 20 b) Lanzar dos dados de seis caras al aire y multiplicar las puntuaciones obtenidas.
E 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10,12,15,16,18, 20, 24, 25, 30, 36 c) Extraer dos bolas de una urna que contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9 y multiplicar sus puntuaciones.
E 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,12,14,15,16,18, 20, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 35,36, 40, 42, 45,
48,54,56, 63, 72 SUCESOS 4. En una clase hay 12 alumnas y 16 alumnos. Por el color de pelo, del total, entre alumnos y alumnas, podemos contar 12 castaños, 14 morenos y 2 rubios. Si elegimos una persona al az ar, da ejemplos de un suceso que: a) b) c) d) 378
Sea imposible. Que la persona no tenga pelo. Sea seguro. Que la persona elegida tenga pelo. Sea elemental. Elegir a una persona en concreto. Sea compuesto. Elegir una persona rubia.
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
5. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9. Si se extrae una bola, determina: a) Tres sucesos elementales. Sacar una bola con el número 4, sacar una bola con el número 8, sacar una bola con el número 0. b) Dos sucesos compuestos. Sacar una bola con un número par, sacar una bola con un número mayor que 5. c) Un suceso seguro. Sacar una bola con un número menor de 10. d) Un suceso imposible. Sacar una bola con un número negativo.
OPERACIONES CON SUCESOS 6. De una urna con 20 bolas numeradas del 1 al 20 se extrae una bola. Sean A 2, 4, 6, 8,10,12 ,
B 4, 6,12,18 , y C 1, 3, 4, 6, 8 tres sucesos del espacio muestral E. Determina los sucesos: a)
A B 2, 4, 6, 8,10,12,18
b)
A C 1, 2, 3, 4, 6, 8,10,12
c)
B C 1, 3, 4, 6, 8,12,18
d)
A B 4, 6,12
e)
A C 4,6,8
f) g)
B C 4, 6 A 1, 3, 5, 7, 9,11,13,14,15, 16,17,18,19, 20
h)
B C 1, 3, 8
i)
C C E 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20
FRECUENCIA DE UN SUCESO. LEY DE L OS GRANDES NÚMEROS. 7. Se lanza una moneda al aire 1000 veces y se anotan los resultados que se resumen en la siguiente tabla. Cara Cruz Total 197 803 1000 A la vista de los resultados, ¿crees que la moneda está cargada para que salga cruz más veces? Sí, ya que la distribución, en el caso de que la moneda no estuviera cargada, debiera acercarse más a la igualdad entre resultados. 8. Dos amigos están jugando con una moneda a ver el que acierta si sale cara o cruz. Después de 6 lanzamientos, en todas las tiradas ha salido cara. ¿Crees que la probabilidad de que salga cruz en el siguiente resultado es mayor? Razona tu respues ta. No, ya que cada lanzamiento es independiente de los anteriores. El hecho de que ya haya ocurrido que salgan seis caras no hace más o menos probable que en el séptimo lanzamiento sea cruz. 379
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
9. A lo largo de una temporada, de los 640 tiros libres que ha lanzado un jugador ha anotado 55 0. ¿Cuál será la probabilidad de que este jugador anote un tiro libre? Su probabilidad es P
550 55 . 640 64
PROBABILIDAD DE UN SUCESO 10. Si A y B son dos sucesos incompatibles y P A 0,6 y P B 0,3 , calcula la probabilidad de A B
P A B PA P B
0,9
11. Un experimento consta de dos sucesos elementales, A y B . Si la probabilidad de que ocurra A es 0, 7 , ¿cuál será la probabilidad de que ocurra B ?
1PA
Como A B , tendremos que PB
0,3
12. Si A y B son dos sucesos y P A 0,6 y P B 0,5 , y P A a)
PA
b) P B c)
1PA
P A P B
P A B
0,1 P1 A B P A B P P A 1B A B P A B P A B P A 1B
d) P A B
e)
f)
0, 4
1PB 0,5
P A B
B 0,2 calcula:
0,9
0,1 0,8
LA LEY DE LAPLACE 13. En una piscina hay 20 bañistas, 7 de ellos llevan el bañador azul, 9 el bañador rojo y 4 el bañador negro. Si elegimos al azar un bañista, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que el bañista lleve bañador color negro. Sea N el suceso "el bañador es de color negro", entonces P N 4 1 20 5 b) Que el bañista lleve bañador color azul. 7 Sea A el suceso "el bañador es de color azul", entonces P A 20 c) Que el bañador no sea rojo.
Sea R el suceso "el bañador es de color rojo", entonces P R
380
1
9 20
11 20
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
d) Que el bañador sea negro o rojo. 4 9 13 P N R PN PR 20 20 20 e) Que el bañador no sea negro. 1 4 P N 1 5 5 14. Se lanza un dado de seis caras numeradas al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
3 1 6 2 3 1 b) Sacar un número impar. P (impar ) 6 2 c) Sacar un número menor que 4. a) Sacar un número par. P ( par )
Sea X el resultado de lanzar el dado, entonces: P ( X 4) d) Sacar un número menor o igual que 4. P ( X 4) e) Sacar un 2. P( X 2) f)
3 1 6 2
4 2 6 3
1 6
Sacar un 2 o un 5. P ( X 2, 5 )
2 1 6 3
2 1 6 3 3 1 h) Sacar un número primo. P ( X 2,3,5 ) 6 2 g) Sacar un número múltiplo de 3. P ( X 3, 6 )
15. En una estantería hay una enciclopedia con 24 volúmenes. Se escoge al azar un volumen. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que sea el volumen 12.
1 24 12 1 b) Que sea un volumen par. P ( X 2, 4,6,8 ,10,12,14,16,18, 20) 24 2 6 1 c) Que sea un volumen múltiplo de 3. P ( X 3,6,9,12,15,18) 24 4 Sea X el número del volumen extraído, entonces: P ( X 12)
16. Se toman las letras de la palabra GOMERA, se recortan y se introducen en una bolsa. Se sacan las seis letras de forma consecutiva. Calcula la probabilidad de que la secuencia forme de nuevo la palabra GOMERA. El número de palabras que se pueden formar es 6! 720 . Por tanto, la probabilidad de que la palabra 1 formada sea de nuevo GOMERA es 720 17. Se lanza un dado de seis caras dos veces. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que el primero salga 6 y el segundo un número par. 381
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sean los sucesos A = "el primer dado sale un 6" y B = "el segundo dado sale par", entonces: 1 3 3 1 P A B · 6 6 36 12 b) Que en el primero salga un número primo y en el segundo un 2 o un 5. Sean los sucesos A = "el primer dado sale primo" y B = "el segundo dado sale 2 o 5", entonces: 3 2 6 1 P A B · 6 6 36 6 c) Que las puntuaciones obtenidas en las dos tiradas sumen 8. El suceso A = "la suma de las tiradas es 8" está compuesto de cinco sucesos elementales: A 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 ,6,2 .
5 36 d) Que el producto de las puntuaciones obtenidas en las dos tiradas sea 12. Por tanto: P A
Solo hay una forma de que ocurra A = "la suma de las tiradas es 12". Por tanto: P A
1 36
18. Se elige al azar una ficha de un juego de dominó. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que la ficha sea la blanca doble. En el juego de dominó hay un total de 28 fichas. Por tanto, la probabilidad del suceso A = "la 1 ficha extraída es la blanca doble" es P A 28 b) Que la ficha sea un 6. Hay 7 fichas con un 6, por lo que la probabilidad del suceso A = "la ficha extraída es un 6" es 7 1 28 4
P A
c) Que la ficha no sea blanca. Hay 7 fichas blancas, por lo que la probabilidad del suceso A = "la ficha extraída no es blanca" 7 21 3 es P A 1 28 28 4 d) Que la suma de la puntuación sea 10. El suceso A = "la suma de las puntuaciones es 10" está compuesto de dos sucesos elementales: A 4,6, 5,5 . Por tanto: P A 2 1 28 14 e) Que el producto de su puntuación sea 12. El suceso A = "el producto de las puntuaciones es 12" está compuesto de sucesos elementales: A 2,6, 3,4 . Por tanto: P A 2 1 28 14 f) Que la suma de su puntuación sea par. El suceso A = "la suma de las puntuaciones es par" está formado por 16 sucesos elementales:
A 0,0 , 0,2 , 0,4 , 0,6 ,1,1 ,1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,3 ,
3,5 , 4,4 , 4,6 , 5,5 , 6,6
. Por tanto: P A 16 4 28
7
19. Se lanzan dos dados de seis caras al aire y se suman sus puntaciones. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
382
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sea X el resultado de sumar las puntuaciones. Utilizamos la siguiente tabla para calcular las probabilidades: 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
a) Obtener 5. P X 5
4 1 36 9
b) Obtener un 4 o un 6. P X 4,6
8 2 36 9
3 1 36 12 12 1 d) Obtener un múltiplo de 3. P X 3,6,9,12 36 3 7 e) Obtener un múltiplo de 5. P X 5,10 36 18 1 f) Obtener un número par. P X 2,4,6,8,10,12 c) Obtener un número mayor de 10. P X 10
36 2 20. En una clase con 30 alumnos, la probabilidad de elegir un chico al azar es 0 ,6. ¿Cuántos chicos hay en la clase? Sea N el número de chicos en la clase, entonces
N 0, 6 N 0,6·30 18 . 30
21. Se lanzan al aire dos dados de seis caras y se multiplican sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: Sea X el resultado de sumar las puntuaciones. Utilizamos la siguiente tabla para calcular las probabilidades:
383
1
2
3
4
5
6
1 2
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
4 1 36 9 2 1 b) Obtener 20. P X 20 36 18 a) Obtener 6. P X 6
c) Obtener un número par. P X 2,4,6,8,10,12,16,18,20,24,30,36 d) Obtener un 8. P X 8
27 3 36 4
2 1 36 18
e) Obtener un múltiplo de 5. P X 5,10,15,20,25,30 11 36 5 f) Obtener un número menor que 4. P X 1,2,3 36 22. Se introducen en una bolsa las letras de la palabra MENTOL y se sacan 4 letras al azar. Calcula la probabilidad de que las letras M y E sean elegidas. El número de posibles elecciones, dado que no importa el orden y no se pueden repetir, es el número
6 6! 15 . Las combinaciones en las que aparecen las letras M y E serán 4 4!·2!
combinatorio C6,4
4 2
las maneras de elegir dos letras de entre las 4 restantes, esto es, C4,2 probabilidad de que aparezcan la M y la E es:
4! 6 . Por tanto, la 2!·2!
6 2 15 5
23. Ana y Alberto van al cine junto con 3 amigos más. Se s ientan al azar en 5 asientos consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Alberto se sienten juntos? El número de formas distintas en que se pueden sentar es
P5 5! 120 . Se sentarán juntos en
P4 4! 24 de esas ocasiones. Por tanto, la probabilidad de que se sienten juntos es:
4! 5!
1 5
.
COMPOSICIÓN DE SUCESOS INDEPENDIENTES 24. Sean A y B dos sucesos independientes, P A 0,3 y P B 0,4 . Calcula: a)
P A B P A P B·
b) P A B c) d)
P A P B P A B 0,3 0,4 0,12 0,58
PA B P A B PA B
PA B
0,12 P A 1B
1 0,58 0, 42
1 0,12 0,88
25. De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9 se extrae una bola y se lanza una moneda al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar un 3 y que salga cara.
384
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
Sean los sucesos A ="Sacar la bola con un 3" y B ="Sacar una cara". Como son sucesos independientes: 1 1 1 · P A B PA P B· 10 2 20 b) Sacar un 0 y que salga cruz. Sean los sucesos A = "Sacar la bola con un 0" y B = "Sacar una cruz". Como son sucesos independientes: 1 1 1 P A B PA P B· · 10 2 cara. 20 c) Sacar un múltiplo de 3 y que salga Sean los sucesos A = "Sacar una bola con un múltiplo de 3" y B = "Sacar una cruz". Como son sucesos independientes: 3 1 3 P A B PA P B· · 10 2 20 d) Sacar un número par. Sean los sucesos A = "Sacar la bola con un número par". Como hay 5 posibilidades de un total de 10: P A
5 10
1 2
26. Se lanza un dado de seis caras 3 veces. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener un 1, un 3 y un 5. Como no se especifica el orden, hay que tener en cuenta los sucesos:
A1 = "Sacar un 1 en el primer dado, un 3 en el segundo y un 5 en el tercero" A2 = "Sacar un 1 en el primer dado, un 5 en el segundo y un 5 en el tercero" A3 = "Sacar un 3 en el primer dado, un 1 en el segundo y un 5 en el tercero" A4 = "Sacar un 3 en el primer dado, un 5 en el segundo y un 1 en el tercero”
A5 = "Sacar un 5 en el primer dado, un 1 en el segundo y un 3 en el tercero” A6 = "Sacar un 5 en el primer dado, un 3 en el segundo y un 1 en el tercero” 1 11 1 Todos ellos son incompatibles, con P Ai · · , por tanto, la probabilidad del suceso 6 6 6 216 1 1 "obtener un 1, un 3 y un 5" es 6· 216 36 b) Obtener un 2, un 3 y un número par. Como no se especifica el orden, hay que tener en cuenta los sucesos:
A1 = "Sacar un 2 en el primer dado, un 3 en el segundo y par en el tercero" A2 = "Sacar un 2 en el primer dado, un 5 en el segundo y un 5 en el tercero" A3 = "Sacar un 3 en el primer dado, un 2 en el segundo y par en el tercero" A4 = "Sacar un 3 en el primer dado, par en el segundo y un 2 en el tercero”
A5 = "Sacar par en el primer dado, un 2 en el segundo y un 3 en el tercero” A6 = "Sacar par en el primer dado, un 3 en el segundo y un 2 en el tercero” 385
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
113 1 Todos ellos son incompatibles, con P Ai · · , por tanto, la probabilidad del suceso 6 6 6 72 1 1 "obtener un 2, un 3 y un número par" es 6· 72 12 c) Obtener un 2 exactamente. Teniendo en cuenta los sucesos:
A1 = "Sacar un 2 en el primer dado y cualquier número en los otros dos" A = "Sacar un 2 en el segundo dado y cualquier número en los otros dos" 2
A3 = "Sacar un 2 en el tercer dado y cualquier número en los otros dos" 1 5 5 25 Todos ellos son incompatibles, con P Ai · · , por tanto, la probabilidad del suceso 6 6 6 216 25 25 "obtener un 2, un 3 y un número par" es 3· 216 72 27. Se lanzan dos dados de seis caras al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que la suma de las puntuaciones sume 7. Utilizamos la siguiente tabla para contar los casos: + 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7
5 6 7 8
6 7 8 9
4 5 6
8 9 10
9 10 11
10 11 12
6 1 36 6 b) Que el producto de las puntuaciones sea 24. Utilizamos la siguiente tabla para contar los casos: * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
5 6 7
6 7 8
7 8 9
Por tanto, la probabilidad es P
2 Por tanto, la probabilidad es P 36
1 18
c) Que salga un 1. El suceso C = "Que salga un 1" está compuesto de 10 resultados sucesos elementales. Por tanto 10 5 la probabilidad es P C 36 18 d) Que no salga ningún 1.
386
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
El suceso D = "Que no salga ningún 1" se puede calcular como producto de los sucesos independientes "que no salga un 1 en el primer dado" y "que no salga un 1 en el segundo dado". 5 5 25 · 6 6 36
Por tanto P D
e) Que salga al menos un 1.
P D
25 1 1
1
36
36
28. de Unasalir moneda está trucada, formatres queveces, la probabilidad salir cara es doble de la probabilidad cruz. Si lanzamos lade moneda calcula la de probabilidad deellos siguientes sucesos: a) Que salga cara las tres veces. Como los sucesos C = "salir cara" y X = "salir cruz" son complementarios, tenemos que: 1 2 PC PX 1PX P PX12 PX P X13 C 3 3 Por tanto: P CCC P C P· C· P C · 23232 3 827 b) Que salgan dos caras. 221 212 122 4 · · ·· ·· P CCX P CXC P XCC 333 333 333 9 c) Que no salga ninguna cara. P XXX P X P·X P· X ·· 13131 3 127 d) Que salga al menos una cara. 1 26 P XXX 1 P XXX 1 27 27
29. De una urna que contiene 7 bolas blancas, 5 bolas verdes, 8 bolas azules y 1 bola roja se extrae una bola, se vuelve a introducir en la urna y se saca otra bola. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las dos bolas son azules. Consideramos los sucesos: A = "la primera bola es azul" B = "la segunda bola es azul" Como son sucesos independientes (ya que reintroducimos la bola): 8 8 64 P A B PA P B· · 21 21 441 b) Una bola es blanca y la otra roja. Consideramos los sucesos:
A1 = "la primera bola es blanca" y B1 = "la segunda bola es roja" A2 = "la primera bola es roja" y B2 = "la segunda bola es blanca" La probabilidad es: 7 1 1 7 14 2 P A 1 B P P AP B2 P2·A P B · · · 21 1 2A2 B 1 1 21 21 21 441 387
63
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
c) Una de las bolas es roja. Consideramos los sucesos: A = "la primera bola es roja y la segunda no" B = "la segunda bola es roja y la primera no" Como son sucesos incompatibles, tenemos que: 1 20 20 1 40 P A B PA P B · · 21 21 21 21 441 d) Una de las bolas es verde. Consideramos losbola sucesos: A = "la primera es verde y la segunda no" B = "la segunda bola es verde y la primera no" Como son sucesos incompatibles, tenemos que: 5 16 16 5 160 P A B PA P B · · 21 21 21 21 441 e) Las dos bolas son verdes. Consideramos los sucesos: A = "la primera bola es verde" B = "la segunda bola es verde" Como son sucesos independientes (ya que reintroducimos la bola): 5 5 25 P A B PA P B· · 21 21 441 f) Ninguna de las bolas es verde. Consideramos los sucesos:
A == "la B "la primera segundabola bolano noes esverde" verde" Como son sucesos independientes (ya que reintroducimos la bola): 16 16 256 P A B PA P B· · 21 21 441 g) Alguna bola es verde. 256 185 Es el complementario del anterior: P A B P1 A B 1 441 441
PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES 30. En una clase hay 17 chicos y 13 chicas. Si se eligen dos alumnos al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que los dos sean chicos. Consideramos los sucesos: A = "la primera persona elegida es un chico"
B = "la segunda persona elegida es un chico” P A B P A P B·A
/
17 16 136 · 30 29 435
b) Que los dos sean chicas. Consideramos los sucesos: C = "la primera persona elegida es una chica" D = "la segunda persona elegida es una chica” 13 12 26 P C D P C P D· C / · 30 29 145 388
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
c) Que uno de ellos sea chico. Consideramos los sucesos: E = "la primera persona elegida es un chico y la segunda una chica" F = "la primera persona elegida es una chica y la segunda un chico" 17 13 13 17 442 P E F PE P F · · 30 29 30 29 870 d) Que al menos uno de ellos sea chica. Es la complementaria del apartado a): P A B
P1 A B
1
136
296
435 435 e) Que ninguno sea chico. Es el mismo caso del apartado b), ya que si ninguno es chico significa que ambas con chicas, por 26 tanto, la probabilidad es . 145 31. En una clase hay 12 chicos y 15 chicas. De los chicos, hay 7 que visten con vaqueros y de las chicas 3. Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que vista con vaqueros. Sean los sucesos: A = "la persona elegida es un chico" B = "la persona elegida es una chica" V = "la persona elegida lleva vaqueros" Entonces, la probabilidad de que lleve vaqueros es: 12 7 15 3 10 P V P A P V A P B P V B · / · / · · 27 12 27 15 27 b) Que sea chico y no lleve vaqueros. 2 5 5 P V A P A P · V· A / 127 12 27 c) Que sea chica y lleve vaqueros. 5 3 1 PV · B P B P V·B / 127 15 9 d) Que sea chica y no lleve vaqueros. 4 P V B P A P · V·B / 152712 15 9 e) Que sea chico y lleve vaqueros. 2 7 7 · PV A P A P V· A / 127 12 27
32. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9. Se extraen tres bolas consecutivamente. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que salgan el 3, luego el 2 y finalmente el 5. Sean los sucesos A = {sacar en la primera bola un 3}, B = {sacar en la segunda bola un 2} y C = {sacar en la tercera bola un 5}, entonces:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Por tanto, P A B C
389
1101·19 ·8 1720
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
b) Que salgan el 0, el 9 y un número par. Sean los sucesos
A1 = {sacar en la primera bola un 0, en la segunda un 9 y en la tercera par distinto de 0}, A2 = {sacar en la primera bola un 0, en la segunda par distinto de 0 y en la tercera un 9},
A3 = {sacar en la primera bola un 9, en la segunda un 0 y en la tercera par distinto de 0}, A4 = {sacar en la primera bola un 9, en la segunda par distinto de 0 y en la tercera un 0},
A5 = {sacar en la primera bola par distinto de 0, en la segunda un 0 y en la tercera un 9}, A6 = {sacar en la primera bola par distinto de 0, en la segunda un 9 y en la tercera un 0}, Todos ellos son incompatibles. Teniendo en cuenta la fórmula:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Tenemos que la probabilidad de que salga el 0, el 9 y un número par es: 6 6 1 14 1 41 1 14 1 41 4 11 4 11 1 P A ·· · · ·· · · · · ·· i i PA 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 i 1 i 1 c) Que salga el 1. Sean los sucesos
30
A1 = {sacar en la primera bola un 1}, A2 = {sacar en la primera bola cualquier número y en la segunda un 1},
A3 = {sacar en las dos primeras bolas cualquier número y en la tercera un 1}, Tenemos que P A 1 A2
3
A
P A P A P A 1
2
3
1 1 1 242 121 10 9 8 720 360
d) Que no salga el 3. Sean los sucesos A = {no sacar en la primera bola un 3}, B = {no sacar en la segunda bola un 3} y C = {no sacar en la tercera bola un 3}, entonces:
P A B C P A B P C A· / B P A P B· A/· P /C A B Por tanto, P A B C
9108·97 ·8 710
33. De una bolsa que contiene 10 bolas negras y 8 bolas blancas s e extraen dos bolas consecutivamente. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. Sean los sucesos: A = {sacar las dos bolas del mismo color}
N1 = {sacar la primera bola negra}, N 2 = {sacar la segunda bola negra},
B1 = {sacar la primera bola blanca}, B2 = {sacar la segunda bola blanca}, Tenemos que A N1
2N
P A PN N 2 P B1 B2 1 390
1
2B
B
y por tanto, como N1
P1N P2 N1 N 1· P/B2 1P
BB· /
N2 y B1 B2 son incompatibles:
Matemáticas 4º ESO Académicas
Así, P A
SOLUCIONARIO
10 9 8 7 146 73 · · 18 17 18 17 306 153
34. De una urna que contiene 2 bolas blancas, 4 bolas negras, 5 bolas verdes y 6 bolas rojas se extraen dos bolas al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que la primera bola sea blanca y la segunda verde. Sean los sucesos: B = {sacar la primera bola blanca} V = {sacar la segunda bola verde}, 2 5 5 Entonces P B V P B P V·B / · 17 16 136 b) Que las dos bolas sean negras. Sean los sucesos:
N1 = {sacar la primera bola negra}
N 2 = {sacar la segunda bola negra}, Entonces P N
1
N2
PN1 P
N · N
/
2 1
4 3 3 · 17 16 68
c) Que una de las bolas sea roja. Sean los sucesos:
R1 = {sacar la primera bola roja y la segunda de otro color} R2 = {sacar la segunda bola roja y la primera de otro color}, Entonces P R 1 R2
PR P R 1
2
6 11 11 6 33 · · 17 16 17 16 68
d) Que ninguna bola sea roja. Sean los sucesos:
R1 = {sacar la primera bola roja} R2 = {sacar la segunda bola roja}, Entonces P R 1 R2
PR P R ·R 1
2 1
/
11 10 55 · 17 16 136
e) Que al menos una bola sea roja.
Se trata del complementario el anterior: PR R1
2
P1R R 1 2
1
55 136
81 136
35. En mi clase hay 12 chicos y 18 chicas. A 10 de los chicos les gustan las matemáticas y a 10 de las chicas también. Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de los s iguientes sucesos: a) Que sea chico y le gusten las matemáticas. Sean los sucesos: A = {que la persona elegida sea un chico} M = {que a la persona elegida le gusten las matemáticas}, 12 10 1 Entonces P A M PA P M· A / · 30 12 3 b) Que sea chica y no le gusten las matemáticas. Sea el suceso B = {que la persona elegida sea una chica} 391
Matemáticas 4º ESO Académicas
Entonces P B M
P B P M· B
/
18 6
SOLUCIONARIO
1
30 ·18 5
c) Que sea chico y no le gusten las matemáticas. P A M P A P M · A / 1302 ·212 115 d) Que sea chica y le gusten las matemáticas. 18 10 1 P B M PB P M· B / · 30 18 3 36. En una pajarería hay 30 canarios en una jaula, 18 machos y 12 hembras. De los machos, 4 s on blancos y de las hembras, 2. Se cogen dos canarios al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Los dos son machos, uno de ellos blanco. Sean los sucesos: A = {el primer pájaro es un macho blanco y el segundo un macho de otro color} B = {el primer pájaro es un macho de otro color y el segundo un macho blanco}, 4 14 14 4 56 Entonces P A B PA P B · · 30 29 30 29 435 b) Uno es hembra. Sean los sucesos: A = {el primer pájaro es un macho y el segundo hembra} B = {el primer pájaro es una hembra y el segundo un macho} 18 12 12 18 216 72 Entonces P A B PA P B · · 30 29 30 29 435 145 c) Los dos son hembras blancas. Sean los sucesos: A = {el primer pájaro es una hembra blanca} y B = {el segundo pájaro es una hembra blanca} 2 1 2 Entonces P A B P A P B·A / · 30 29 435 d) Uno es una hembra blanca y el otro un macho. Sean los sucesos: A = {el primer pájaro es una hembra blanca y el segundo un macho} B = {el primer pájaro es un macho y el segundo una hembra blanca}, 2 18 18 2 36 12 Entonces P A B PA P B · · 30 29 30 29 435 145 e) Los dos son blancos. Sean los sucesos: A = {el primer pájaro es blanco} y B = {el segundo pájaro es blanco} 6 5 1 Entonces P A B P A P B·A / 30 · 29 29
392
Matemáticas 4º ESO Académicas
SOLUCIONARIO
DESAFÍO PISA - PÁG. 289 EN LA TÓMBOLA A Laura y Juan les han llamado la atención unos juegos que hay en una tómbola de la feria de su pueblo. Uno de los juegos consiste en lanzar dos dados y hacer una tirada en una ruleta como la que se muestra en la figura.
Si al lanzar los dados su suma es múltiplo de 5, entonces puede hacer una tirada en la ruleta. Se obtiene un premio de tipo 1 si la ruleta se para en el color rojo, un premio de tipo 2 si se para en el color verde y un premio de tipo 3 si se para en el color azul. El caso es que se quedan un rato viendo el juego y deciden jugar. ¿Podrías ayudarlos a responder a las siguientes cuestiones? ACTIVIDAD 1. ¿Con qué probabilidad podrán hacer una tirada de ruleta? 7 . Hay 4 formas diferentes de sacar un 5 y 3 formas diferentes de sacar un 10, por lo que la 36 7 probabilidad de obtener un múltiplo de 5 es P M 5 36
A:
ACTIVIDAD 2. La probabilidad de obtener algún premio es: C:
7 3 . Como la probabilidad de que salga un color premiado es y los sucesos "obtener un 5 en la 96 8
tirada" y "obtener un color premiado en la ruleta" son independientes, la probabilidad es
7 3 7 · 36 8 96
ACTIVIDAD 3. La probabilidad de obtener un premio de tipo 3 será: A:
7 7 1 7 ya que · 36 8 288 288
ACTIVIDAD 4. La probabilidad de no obtener premio sabiendo que han realizado una tirada de ruleta es: A:
7 5 35 35 , ya que · 36 8 288 288 393
Matemáticas 4º ESO Académicas
ACTIVIDAD 5. La probabilidad de no obtener premio es: A:
89 7 89 ya que 1 96 96 96
394
SOLUCIONARIO
View more...
Comments
