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Dinámica Página 1 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– FÍSICA 2º BACHILLERATO

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

1. ¿Qué fuerza vertical hacia arriba aplicamos a un cuerpo de 2 kg que asciende con una aceleración de 1 m/s2?. (Despreciar el rozamiento con el aire. Inicialmente el cuerpo estaba en reposo). SOL: F = 22 N 2. Dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo: a) cuando baja deslizando por un plano inclinado (sin rozamiento); b) cuando sube por dicho plano inclinado, al ser lanzado hacia arriba; c) cuando baja deslizando por un plano inclinado con rozamiento); d) cuando sube por dicho plano inclinado con rozamiento, al ser lanzado hacia arriba.

3. Una persona de 70 kg se encuentra sobre una báscula de baño en el interior de un ascensor. Calcular la indicación de la báscula en cada uno de los casos siguientes: a) si el ascensor está en reposo; b) cuando el ascensor arranca hacia arriba con aceleración de 1 m/s2, c) cuando el ascensor sube con velocidad constante de 4 m/s; d) cuando se acerca al piso en el que para, si la aceleración con que se mueve es de –1 m/s2; e) si se rompe el cable. →

SOL: La indicación de la báscula es la fuerza de reacción ejercida por la báscula, B , igual a la fuerza de acción →

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que el pasajero ejerce sobre ella en cada caso, F = B + P . a) F = 700 N; b) F = 770 N; c) F = 700 N; d) F = 630 N; e) F =) 0 4. Del techo de un vehículo cuelga un péndulo. Si dicho vehículo se pone en marcha con aceleración constante, la masa m del péndulo queda separada de la vertical. Calcular el ángulo de desviación, sabiendo que cuando ha recorrido los primeros 20 m, la celeridad del vehículo es de 36 km/h. SOL: tag α = a/g = 0'25 ⇒ α ≅ 14º

5. Un cuerpo de 20 kg se suelta en una rampa cuya inclinación es de 37º. Calcular la velocidad que tiene en el instante que recorre el primer metro desde que se soltó. Considerar despreciable el rozamiento. SOL: v = 3'46 m/s 6. Sobre un suelo horizontal se dispara un cuerpo con una celeridad de 6 m/s. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'2. Calcular el tiempo que tarda en detenerse. SOL: t = 3 s 7. Sobre un cuerpo de 20 kg se ejerce, mediante una cuerda, una fuerza de 100 N cuya dirección forma un ángulo de 37º por encima de la horizontal. Calcular la fuerza de rozamiento y la aceleración con que se arrastra el cuerpo, si el coeficiente de rozamiento es 0'2. SOL: Froz = 28 N; a = 2'6 m/s2 8. Un cuerpo de 20 kg se encuentra sobre un plano inclinado 37º, con un coeficiente de rozamiento de 0'2. Sobre dicho cuerpo ejercemos una fuerza horizontal de 300 N y el cuerpo asciende por la rampa. Calcular: a) Fuerza de rozamiento; b) Aceleración con que se mueve; c) Tiempo que tarda en recorrer 3 m desde que comienza a subir. SOL: a) Froz = 68 N ; b) a = 2'6 m/s2; c) t = 1'5 s 9. Un cuerpo de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal en la que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico tienen los valores 0'4 y 0'2, respectivamente. Calcular: a) ¿cuánto vale la fuerza de rozamiento?; b) ¿y si se aplica una fuerza horizontal de 60 N?; c) ¿cuál es la fuerza mínima que se precisa para iniciar el movimiento?; d) ¿cuál es la fuerza mínima necesaria para mantener el movimiento una vez iniciado éste?; e) si se le aplica una fuerza horizontal de 100 N, ¿cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?, describir el movimiento que se origina en este último caso. SOL: a) Si el cuerpo está en reposo y no actúa fuerza horizontal alguna, no habrá fuerza de rozamiento; b) la fuerza máxima de rozamiento es de 80 N; si se aplica una fuerza horizontal de 60 N, el cuerpo no se moverá y la fuerza de rozamiento será de 60 N; c) la fuerza mínima para iniciar el movimiento será de 80 N; d) la fuerza mínima para que el cuerpo se mueva con velocidad constante será de 40 N; e) Froz = 40N; a = 3 m/s2; (m.r.u.a) 10. Un cuerpo de 50 kg está en reposo sobre un suelo horizontal. La fuerza horizontal mínima para que se inicie el movimiento es de 147 N; y la fuerza horizontal mínima para mantenerlo en movimiento con velocidad constante es de 98 N. Calcular: a) El coeficiente de rozamiento estático y dinámico; b) El valor de la fuerza de rozamiento si se aplica al cuerpo en reposo una fuerza horizontal de 49 N. SOL: a) µe = 0'294; µc = 0'196; b) 49 N 11. Un cuerpo se encuentra sobre una superficie horizontal. Dicha superficie se va levantando por uno de sus extremos hasta el instante en que el cuerpo comienza a deslizar. Si en dicho instante el ángulo es de 15º, calcular: a) el coeficiente de rozamiento estático; b) el coeficiente de rozamiento dinámico, si tarda 4 s en recorrer los 2 primeros metros. SOL: a) µe = tag 15º = 0'27; b) µc = 0'24 →

12. Sea el sistema de la figura. Del bloque A se tira con una fuerza F de 200 N que forma un ángulo de 37º por encima de la horizontal. La masa de cada cuerpo es de 20 kg y el coeficiente de rozamiento cinético 0'1.Calcular: a) Fuerza de rozamiento en cada uno de los cuerpos; b) Aceleración; c) Tensión de la cuerda. SOL: a) (Froz)B = 20 N; (Froz)A = 8 N; b) a = 3'3 m/s2; c) T = 86 N

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Dinámica Página 2 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 13. ¿Qué velocidad mínima debe llevar un ciclista para rizar un "rizo de la muerte", cuyo radio es 8 m. SOL: vmín =

R ⋅ g = 8'9 m/s

14. Una piedra de 1 kg está atada al extremo de una cuerda. La piedra describe una trayectoria circular de 1 m de radio en un plano vertical. Calcular la tensión de la cuerda al pasar la piedra por el punto más bajo y por el más alto, si la celeridad es de 6 m/s en ambas posiciones. SOL: La tensión es máxima cuando pasa por el punto más bajo y vale 46 N. La tensión es mínima cuando pasa por el punto más alto y vale 26 N. 15. Un ciclista avanza por una pista circular peraltada 20º. Su centro de gravedad describe una circunferencia de 80 m de radio. Determinar a qué velocidad debe avanzar para que la bicicleta se mantenga perpendicular al suelo. Se desprecian los rozamientos. SOL: Cuando un ciclista avanza por una carretera horizontal recta, su situación es la de la figura 1. Si desea girar hacia un lado, debe inclinarse hacia ese →

→

lado, y la resultante de las fuerzas P y N es la fuerza centrípeta que produce el giro. El uso de peraltes permite al ciclista describir circunferencias manteniendo la bicicleta perpendicular al suelo de la pista. La figura 3 presenta la situación planteada en este problema. tag α =

ac v2 = ⇒v= g g.R

R.g.tagα = 17 m/s

16. Una fuerza actúa 1 s sobre un cuerpo de 4 kg. La misma fuerza actúa 4 s sobre un cuerpo de 1 kg. ¿Se produce el mismo efecto en uno y otro cuerpo?. 17. Desde una misma altura se sueltan de forma simultánea dos objetos A y B. En el movimiento de caída interviene la acción del rozamiento del aire, que consideramos constante y de igual valor en ambos. Estudiar qué cuerpo llegará antes al suelo, si A tiene mayor masa que B. 18. Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre una bola de corcho sumergida en agua mediante una cuerda fijada al fondo del recipiente. 19. Un bloque se encuentra sin deslizar sobre la plataforma inclinada de un camión que acelera hacia delante. Dibujar todas las fuerzas que actúan en el bloque. En otro gráfico, dibujar la fuerza resultante e indicar el sistema de coordenadas más adecuado para el estudio de esta situación.

20. Cuando arrastramos un cuerpo pesado, ¿por qué es más difícil ponerlo en movimiento que mantenerlo en movimiento después de iniciado éste?. 21. Una fuerza de 55 N empuja un bloque de 22 N de peso contra la pared. El coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo y la pared es 0'6. Si el bloque está inicialmente en reposo: a) ¿seguirá en reposo?; b) ¿cuál es la fuerza que ejerce la pared sobre el cuerpo?. SOL: a) seguirá en reposo; b) 55 N 22. Si un cuerpo desliza sobre un plano horizontal con rozamiento, ¿cuáles de los siguientes factores influyen en el tiempo que tarda en pararse?: a) la velocidad inicial de lanzamiento; b) la masa del cuerpo; c) el material de que está constituido el cuerpo y la superficie del plano. ¿De qué forma influyen?. 23. En la figura se representan las dos fuerzas que actúan sobre la masa de un péndulo simple que oscila: el peso y la tensión. El vector peso se ha descompuesto en dos componentes. ¿Son iguales la →

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componente P n y la tensión T ?.

24. El vehículo de la figura se mueve hacia la derecha con aceleración constante. En la parte delantera hay un cuerpo colocado como se indica. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el vehículo es µ, estudiar el valor mínimo de la aceleración para que el cuerpo no caiga.

25. a) La masa de un péndulo simple oscilante pasa por la posición más baja; la tensión y el peso de la masa oscilante, ¿son iguales?. b) Explicar por qué se peraltan las curvas de las carreteras. 26. La Tierra atrae a la Luna; pero a pesar de la acción de esa fuerza, la Luna no gira cada vez con más velocidad ni cae sobre la Tierra. Justifica este hecho suponiendo que la órbita es circular, sin tener en cuenta la influencia de otros planetas. 27. Una persona de 70 kg está atada a una cuerda que cuelga de un helicóptero, prácticamente en reposo. Calcular la tensión de la cuerda en los siguientes casos: a) se sube a la persona con una aceleración de 1 m/s2; b) baja con una aceleración de 1 m/s2. SOL: a) 770 N; b) 630 N 28. La aceleración de una partícula, ¿es la misma en todos los sistemas inerciales?. 2

Dinámica Página 3 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 29. Si se hace girar rápidamente un cubo con agua en un plano vertical, el agua no se derrama. ¿Qué explicación da un observador fijo en el suelo?, ¿y un observador que se encontrase en el cubo?. 30. Un cuerpo de 20 kg se encuentra en reposo en un suelo horizontal. Se le aplica una fuerza de 20 N paralela al suelo. Calcular la velocidad del cuerpo después de recorrer los dos primeros metros. Despreciar los rozamientos. SOL: v = 2 m/s 31. Un cuerpo de 70 kg se encuentra suspendido de un dinamómetro que cuelga del techo de un ascensor. ¿Cuáles son las indicaciones del dinamómetro en los siguientes casos?: a) el ascensor está en reposo; b) sube con velocidad constante; c) asciende con aceleración de 1 m/s2; d) se rompe el cable. SOL: a) 700 N; b) 700 N; c) 770 N; d) 0 32. Un aviador y su paracaídas tienen en conjunto una masa de 150 kg. En cierto instante de su caída su aceleración es de 2'45 m/s2. ¿Qué fuerza de rozamiento actúa sobre el sistema en ese instante?. SOL: 1132'5 N ó 1867'5 N 33. Un cuerpo de 10 g se deja caer (caída libre). Cuando su velocidad es de 20 m/s se le aplica una fuerza en sentido opuesto al movimiento y tarda 4 s en detenerlo. Calcular el valor de la fuerza y el camino total recorrido por el cuerpo desde que se soltó. Dato: g = 10 m/s2. SOL: –0'15 N; 20 + 40 = 60 m 34. Sobre una masa de 100 g, en reposo, actúa una fuerza vertical y hacia arriba de 1'2 N, durante 4 s. Calcular: a) módulo, dirección y sentido de la aceleración durante los 4 s; b) altura máxima; c) tiempo total que tarda en pasar de nuevo por la posición inicial. SOL: a) 2 m/s2 vertical hacia arriba; b) 19'2 m; c) 6'8 s →

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35. Una partícula de 5 kg avanza con velocidad v = i –4 j +8 k . Se le aplica la fuerza constante F = i +5 j – k . Calcular la velocidad →

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al cabo de 10 s. Discutir si la celeridad aumenta por la acción de la fuerza. SOL: v = 3 i +6 j +6 k ; no varía. 36. Un buzo sumergido en el mar a 5 m de profundidad, suelta una bolita de corcho de 6 cm de diámetro y 70 g de masa. Calcular la velocidad con que llega a la superficie. Datos: la fuerza de rozamiento con el agua es un tercio del peso de la bola. La densidad del agua del mar es 1030 kg/m3. SOL: 5'7 m/s →

37. ¿Qué fuerza constante F hay que aplicar al cuerpo de 20 kg de la figura, que se encuentra en reposo, para que alcance el punto B al cabo de 2 s?. a) No hay rozamiento; b) El coeficiente de rozamiento es 0'2. SOL: a) F = 170 N; b) F = 202 N 38. Se desea subir un cuerpo de 20 kg por una rampa de 37º de inclinación. ¿Qué fuerza horizontal se necesita para que ascienda con velocidad constante?. Despreciar el rozamiento. SOL: 150 N 39. Por un suelo horizontal se dispara un cuerpo con velocidad de 6 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el suelo y el cuerpo es 0'3, calcular la distancia que recorre hasta detenerse. SOL: 6 m 40. Un cuerpo se encuentra en el punto A de la figura. Se le comunica una velocidad inicial de 6 m/s hacia la derecha de forma que rebasa el punto B, siguiendo la trayectoria que se indica. Calcular la velocidad con que llega al suelo teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento en el tramo AB es 0'1. Las distancias AB y BD miden 10'2 m y 2'4 m, respectivamente. SOL: 7'9 m/s 41. A un cuerpo de 20 kg en reposo sobre un suelo horizontal, con un coeficiente de rozamiento de 0'2, se le aplica una fuerza de 100 N formando un ángulo de 37º por debajo de la horizontal. Calcular la distancia que recorre al cabo de 10 s. SOL: 70 m

42. En el sistema de la figura, la masa de cada cuerpo es 20 kg. El coeficiente de rozamiento entre A y el plano es 0'25. Calcular el tiempo que transcurre desde que se sueltan los cuerpos hasta que A avanza 2 m, suponiendo despreciable el rozamiento de la polea. SOL: 2 s 43. En el sistema de la figura, la masa de A es 20 kg y el coeficiente de rozamiento con el plano es 0'4. Establecer: a) Valor máximo de la masa de B para que ésta ascienda; b) Valor mínimo de la masa de B para que ésta descienda. SOL: a) 5'6 kg; b) 18'4 kg 44. Un cuerpo macizo de 5 kg se encuentra en reposo sobre una rampa de inclinación, sumergido en una piscina llena de agua. Calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático para que el cuerpo no deslice. Datos: Densidad del agua pura, 1000 kg/m3. Densidad del cuerpo, 2000 kg/m3. SOL: 0'75 45. Desde una altura de 60 cm, en una rampa de 30º, se lanza un cuerpo en la dirección del plano con una celeridad de 2 m/s, y llega a la base del plano con una celeridad de 0'5 m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento con el plano inclinado. SOL: µ = 0'75 46. Un vagón de ferrocarril frena de manera uniforme y en 3'3 s su velocidad pasa de 47'5 km/h a 30 km/h. Calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático entre una maleta y el suelo del vagón para que la maleta no deslice al frenar. SOL: 0'147 47. En una máquina de Atwood (polea) los dos cuerpos que cuelgan de los extremos de la cuerda, tienen 7'8 kg de masa cada uno. Si inicialmente están a la misma altura, ¿qué sobrecarga hay que poner en uno de ellos para que se desnivelen 1 m en 1 s. SOL: 1'733 kg 3

Dinámica Página 4 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 48. En el sistema de la figura, calcular la tensión de la cuerda teniendo en cuenta que la masa de cada cuerpo es de 20 kg y el coeficiente de rozamiento es 0'2 para cada uno de los cuerpos. El módulo de la fuerza aplicada es de 300 N. SOL: T = 194 N

49. En el sistema de la figura, las masas son mA = 2 kg, mB = 3 kg y mC = 5 kg. El coeficiente de rozamiento entre A, B y el suelo es 0'2. Calcular la aceleración del movimiento y las tensiones de las cuerdas. SOL: a = 4 m/s2; T1 = 12 N; T2 = 30 N

50. En el sistema de la figura, en el que se desprecia la inercia de la polea y sus rozamientos, el coeficiente de rozamiento de los cuerpos con cada plano es 0'2. Calcular: a) Aceleración; b) Tensión de la cuerda; c) Espacio recorrido por cada cuerpo y velocidad al cabo de 1 s. SOL: a) a = 1'42 m/s2; b) T = 1'108 N; c) s = 0'71 m; v = 1'42 m/s

51. En la figura, las masas de A y B son 10 kg y 5 kg respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre A y la mesa es 0'2. Determinar: a) Masa mínima de C que evitará el movimiento de los cuerpos; b) Aceleración de cada cuerpo si se elimina C. SOL: a) 15 kg; b) 2 m/s2

52. Una cuerda de 1 m de longitud se rompe cuando de ella se cuelga un cuerpo de 10 kg. Con esta cuerda y una piedra de 0'2 kg se construye una honda de pastor. La hacemos girar pero, en un instante dado, la cuerda se rompe al pasar la piedra por la posición más baja de su trayectoria. ¿Cuál es la velocidad de la piedra en ese punto?. SOL: 22'1 m/s 53. Un automóvil avanza por una carretera horizontal con una celeridad de 20 m/s. Calcular la fuerza que ejerce el suelo del vehículo sobre un pasajero de 70 kg en los siguientes casos: a) si el vehículo avanza por un tramo recto; b) en el punto más alto de un cambio de rasante; c) en el punto más bajo de un badén, suponiendo que el badén y el cambio de rasante tienen de radio de curvatura 100 m. SOL: a) 700 N; b) 420 N; c) 980 N 54. Un tiovivo consta de un aro horizontal de 3 m de radio del que cuelgan cuerdas de 4 m de longitud. Si en el extremo de la cuerda se sienta un hombre de 80 kg, ¿con qué velocidad angular debe girar el tiovivo para que el hilo forme un ángulo de 37º con la vertical?. ¿Cuál es entonces la tensión de la cuerda?. SOL: w = 1'17 rad/s; T = 1000 N 55. Un cubo está atado a una cuerda de 60 cm. El cubo contiene agua; la masa del conjunto es 3 kg. Hallar la velocidad mínima para que no se derrame el agua al pasar el cubo por la posición más desfavorable de su trayectoria circular en el plano vertical. SOL: v ≅ 2'45 m/s 56. Un avión vuela a 900 km/h y "riza el rizo", es decir, describe una circunferencia en un plano vertical. ¿Qué radio debe tener el rizo si la fuerza que ejerce el piloto contra el asiento es 10 veces su peso, al pasar por el punto más bajo?. SOL: R = 694'4 m 57. El péndulo que cuelga del techo de un tren que avanza a velocidad constante, se desvía 37º de la vertical cuando describe una circunferencia de 100 m de radio. Calcular la celeridad del tren. SOL: 27'4 m/s 58. Un cuerpo de 8 kg avanza a 10 m/s. Una fuerza constante y opuesta al movimiento actúa durante 3 s y le comunica una velocidad de 2 m/s en sentido contrario al inicial. Calcular los valores del impulso y de la fuerza aplicada. SOL: – 96 N.s; – 32 N 59. Calcular la aceleración hacia la derecha que hay que comunicar al plano inclinado para que el cuerpo permanezca en reposo respecto al plano inclinado. Se desprecia el rozamiento. SOL: a = g. tag 37º = 9'8. 0'75 = 7'35 m/s2

60. Un ascensor de 1200 kg, en cuyo interior viaja una persona de 80 kg en un instante dado lleva una velocidad en su movimiento ascendente de 6 m/s, la cual va disminuyendo a razón de 2 m/s2. Durante este tiempo, hállese: a) la tensión del cable del ascensor; b) el peso aparente de la persona en el interior del mismo, c) el tiempo empleado en pararse desde que su velocidad era de 6 m/s. SOL: a) T = 9984 N ; b) P = 624 N; c) 3 s. 61. Por un suelo horizontal se lanza un cuerpo con velocidad de 6 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el suelo y el cuerpo es 0'3, calcular la distancia que recorre hasta detenerse. SOL: 6 m. 62. Por la garganta de una polea, cuyo peso y rozamiento son despreciables, de radio 0'1 m, pasa una cuerda de uno de cuyos extremos cuelga una masa de 2 kg y del otro extremo una masa de 4 kg. Se pide: a) la aceleración con que se moverán los cuerpos si se deja el sistema en libertad; b) la aceleración angular de la polea; c) la tensión de la cuerda; d) si inicialmente los pesos estaban nivelados, calcular el tiempo que tardarán en desnivelarse 6 m. SOL: a) 3'2 m/s2; b) 32'7 rad/s2; c) 26 N; d) 1'3 s. 4

Dinámica Página 5 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 63. Con una honda de 0'75 m de radio se hace girar una piedra de 0'25 kg a 300 r.p.m. en un plano horizontal, a 2 m del suelo. Calcular: a) la tensión de la cuerda; b) la velocidad con que sale despedida la piedra al soltar uno de los cabos de la honda; c) el tiempo que tardará en llegar al suelo, supuesto horizontal y despreciando la resistencia del aire; d) la distancia a la que caerá la piedra. SOL: a) 183'7 N; b) 23'5 m/s; c) 0'64 s; d) 15 m. 64. Comentar las frases: a) "El movimiento de un cuerpo siempre tiene lugar en la dirección de la fuerza resultante". b) "Si una partícula se mueve con velocidad constante, no actúan fuerzas sobre ella". c) "La fuerza con que la Tierra atrae a una manzana es mayor que la fuerza con que la manzana atrae a la Tierra". →

→

→

65. Sobre una masa m actúa una fuerza F produciéndole una aceleración a . Dos fuerzas iguales F formando un ángulo de 90º, actúan →

→

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→

→

sobre la misma masa y le producen una aceleración a ' . ¿En qué relación están los módulos de a y a ' . SOL: | a '| = 2 . | a | 66. Momento lineal de una partícula. Teorema de conservación. 67. Momento angular de una partícula. Variación con el tiempo. Principio de conservación. Exponer algún ejemplo práctico al efecto. 68. Un cuerpo se lanza con una velocidad de 8 m/s hacia arriba por un plano inclinado de 10 m de longitud y 8 m de altura. Si el coeficiente de rozamiento es

1 , calcular: a) altura máxima a que sube; b) la velocidad con que llega a la base del plano en el movimiento 3

de caída. SOL: a) 2'56 m; b) 6'19 m/s. →

→

→

69. La posición de una partícula de masa 0'2 kg viene dada por el vector de posición r (t) = 3t i + 2t2 j . Determina: a) el momento lineal y el momento angular con respecto al origen de coordenadas; b) El momento respecto al origen de coordenadas de la fuerza a que →

está sometida la partícula; c) Comprobar que M F = →

→

→

→

→

→

→

dL . dt →

→

SOL: a) p = 0'6 i + 0'8 j ; L = 1'2 t2 k ; b) M = 2'4 t k ; c) M =

→

→ dL = 2'4 t k dt

70. Una partícula con velocidad constante tiene un momento cinético nulo respecto de un punto, ¿qué se deduce de esto?. 71. Un bloque de 5 kg se lanza hacia arriba, por la línea de máxima pendiente, sobre un plano inclinado 37º, con una velocidad inicial de 9'8 m/s. Se observa que recorre una distancia de 6 m y después desliza hacia abajo hasta el punto de partida. Calcular: a) La fuerza de rozamiento; b) la velocidad del bloque cuando vuelve a la posición inicial. SOL: a) 10 N; b) 7 m/s. 72. a) Calcular la fuerza que habría que aplicar a un cuerpo de 100 kg (en el sentido del movimiento) para que comience a deslizar subiendo por un plano inclinado 10º, sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático es 0'4. b) Si el coeficiente dinámico de rozamiento es 0'3, ¿cuál será la fuerza que es preciso aplicar para que continúe moviéndose, sin aceleración, una vez iniciado el movimiento?. Dato: g = 10 m/s2. SOL: a) F = 567 N; b) F ' = 469 N. 73. Un cuerpo de masa 5 kg se lanza hacia arriba con velocidad 10 m/s por un plano inclinado de 25 m de longitud y 20 m de altura. Si el coeficiente de rozamiento es

1 , calcular: a) Altura máxima a que sube; b) Velocidad con que llega abajo cuando desciende. 3

SOL: a) 4 m; b) 7'74 m/s. 74. Un bloque de 3 kg se lanza hacia arriba a lo largo de un plano inclinado 30º, con una velocidad inicial de 6 m/s. Se detiene después de recorrer 3 m y empieza a deslizarse hacia abajo. Calcular: a) El coeficiente de rozamiento; b) La velocidad cuando pasa por la posición inicial. Dato: g = 9'8 m/s2. SOL: a) 0'13; b) 4'78 m/s. 75. Un bloque de 30 kg se lanza desde la base de un plano inclinado 30º, con una velocidad inicial de 15 m/s. El bloque realiza un movimiento de subida y bajada, llegando de nuevo a la base del plano con una velocidad de 5 m/s. Halla: a) Coeficiente dinámico de rozamiento; b) Aceleración con que asciende el cuerpo por el plano inclinado. SOL: a) 0'46188; b) – 9 m/s2. 76. Momento angular de una partícula: concepto, variación con el tiempo, teorema de conservación. Ejemplos de conservación. 77. Dos cuerpos de 5 kg de masa cada uno se encuentran unidos por una cuerda ideal que pasa por la garganta de una polea. Uno de los cuerpos se encuentra apoyado en un plano inclinado 37º y el otro cuelga verticalmente. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo situado en el plano inclinado y dicho plano es 0'25, calcular: a) Aceleración del movimiento; b) Tensión de la cuerda. SOL: a) a = 1 m/s2; b) T = 45 N. 78. Por la garganta de una polea, de masa y rozamiento despreciables, de radio 0'2 m, pasa una cuerda en cuyos extremos cuelgan masas de 4 kg y 6 kg respectivamente. Calcular: a) Aceleración con que se moverán los cuerpos; b) Aceleración angular de la polea; c) Tensión de la cuerda durante el movimiento de los cuerpos; d) Si inicialmente los cuerpos estaban nivelados, ¿qué tiempo tardarán en desnivelarse 4 m?. SOL: a) a = 2 m/s2; b) α = 10 rad/s2; c) T = 48 N; d) t = 2 s. 79. Se tiene un plano inclinado 37º respecto a la horizontal, cuya longitud es de 10 m. ¿Qué velocidad paralela al plano debe comunicarse al cuerpo en la base del mismo para que dicho cuerpo llegue a la cima del plano con velocidad nula. El coeficiente de rozamiento es 0'475. SOL: vo = 14 m/s. 5

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80. La posición de una partícula de masa 0'5 kg viene dada por el vector de posición r (t) = 6t i + 2t2 j (S.I.). Determina: a) Momento lineal respecto al origen de coordenadas; b) Momento angular respecto al origen de coordenadas; c) Momento de la fuerza a la que está →

sometida la partícula respecto al origen de coordenadas, d) Comprobar que M F = →

→

→

→

→

→

→

→

SOL: a) p = 3 i +2t j (S.I.); b) L o = 6t2 k ; c) M F =12t k ; d) M F =

→

dL . dt

→

dL dt

81. Una balanza de resorte se encuentra situada sobre la plataforma de un ascensor. Se coloca una masa de 10 kg en la balanza. ¿Cómo →

debería ser el movimiento del ascensor para que la lectura de la balanza fuera de 80 N?. Tómese: | g | = 10 m/s2. SOL: Bajar con a = 2 m/s2 o subir con a = – 2 m/s2. 82. Un cuerpo de 0'2 kg cuelga de un hilo de 0'3 m fijo por su otro extremo. El cuerpo está describiendo un movimiento circular uniforme en un plano horizontal, de forma que el hilo forma un ángulo de 37º con la vertical. Calcular: a) Velocidad lineal del cuerpo colgante; b) Tensión de la cuerda. SOL: a) v = 1'16 m/s; b) T = 2'5 N. 83. Momento angular o cinético de una partícula: concepto, variación con el tiempo, teorema de conservación. Exponer algún ejemplo en el que se conserve el momento angular. 84. Un cuerpo de masa 4 kg se encuentra sobre un plano inclinado 37º y unido mediante una cuerda ideal que pasa por la garganta de una polea a otro cuerpo de masa 6 kg situado sobre una meseta horizontal. El coeficiente de rozamiento de cada cuerpo con la superficie de apoyo es 0'5. ¿Qué fuerza horizontal se debe aplicar al cuerpo de 6 kg para que el conjunto se mueva con una aceleración de 1 m/s2 →

de forma que el primer cuerpo ascienda por el plano inclinado?. ¿Qué tensión soporta la cuerda?. SOL: | F | = 80 N; T = 44 N. 85. ¿Qué fuerza constante y paralela a un plano inclinado 37º hay que aplicar a un cuerpo de masa 20 kg que se encuentra inicialmente en reposo para que recorra una distancia de 5 m por dicho plano en 2 s sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0'2?. →

SOL: | F | = 202 N. 86. Un cuerpo se lanza con una velocidad de 8 m/s hacia arriba por un plano inclinado de 10 m de longitud y 6 m de altura. Si el coeficiente de rozamiento es

1 , calcular: a) altura máxima a la que sube; b) velocidad con que llega a la base del plano en el 4

movimiento de caída. SOL: a) h = 2'4 m; b) vF = 5'65 m/s. →

→

87. Bajo la acción de una fuerza F , un cuerpo de masa 5 kg se mueve en el plano XZ de manera que su vector de posición es r (t) = →

→

2t i + 5t2 k (S.I.). Determina: a) Momento lineal respecto al origen de coordenadas; b) Momento angular respecto al origen de →

coordenadas; c) Momento de la fuerza a la que está sometida la partícula respecto al origen de coordenadas, d) Comprobar que M F = →

→

→ → → → → → → → dL dL . SOL: a) p = 10 i + 50t k (S.I.); b) L o = – 50t2 j (S.I.); c) M F = – 100t j (S.I.); d) M F = . dt dt

88. Un objeto atado a una cuerda se pone en rotación, de forma que describe una circunferencia en un plano vertical. Demuestra que la diferencia de tensiones entre el punto más bajo y el punto más alto de la trayectoria, es 6 veces el peso del objeto. 89. Un dispositivo de arrastre utiliza un cable de acero para tirar de una vagoneta de carbón de 200 kg de masa, a lo largo de un plano inclinado 37º, salvando un desnivel de 12 m de altura. Sabiendo que el movimiento de la vagoneta es rectilíneo y uniforme y que el coeficiente de rozamiento es 0'5, se pide. a) Un esquema de las fuerzas actuantes; b) La tensión que soporta el cable. SOL: b) T = 2000 N. 90. Dos cuerpos de 5 kg cada uno están atados a los extremos de una cuerda ideal que pasa por la garganta de una polea. Uno de los cuerpos está apoyado sobre un plano inclinado 37º con la horizontal, y el otro cuerpo cuelga verticalmente. El coeficiente de rozamiento entre uno de los cuerpos y el plano inclinado es 0'25. Obtener: a) Diagrama de las fuerzas actuantes. b) Aceleración del movimiento. c) Tensión de la cuerda. SOL: b) a = 1 m/s2 ; c) T = 45 N. →

→

→

91. Un cuerpo de masa 2 kg, tiene un movimiento que viene dado por el vector de posición r (t) = 5 t i – 3 t2 j , (expresado en unidades del S.I.). Determinar en función del tiempo: a) Velocidad lineal y momento lineal; b) Momento angular o cinético respecto al origen de coordenadas; c) Fuerza aplicada y momento de la fuerza aplicada respecto al origen de coordenadas; d) Comprobar que se →

cumple la ecuación M F = →

→

→

→

dL . dt →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

SOL: a) v = 5 i – 6t j (m/s); p = 10 i – 12t j (S.I.); b) L o = – 30t2 k (S.I.); c) F = – 12 j (N); M F = – 60t k (N.m); d) M F =

→

dL . dt

92. Dos bloques iguales, de 20 kg cada uno, están unidos por una cuerda inextensible, y situados sobre un mismo plano horizontal. Se →

aplica al cuerpo de la derecha una fuerza F de módulo 150 N que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si se parte del reposo, y el coeficiente de rozamiento dinámico es 0'15, hallar: a) La fuerza de rozamiento sobre cada bloque; b) La aceleración del sistema; c) La tensión de la cuerda de unión. SOL: a) (FRoz)A = 18'75 N; (FRoz)B = 30 N; b) a = 2'03 m/s2; c) T = 70'6 N. 6

Dinámica Página 7 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 93. Una partícula de masa m, sujeta al extremo de una cuerda de longitud L, inextensible y sin masa, gira describiendo circunferencias verticales alrededor de un punto fijo O. a) Demostrar que la mínima velocidad de la partícula en el punto A superior de la trayectoria, deberá ser (g L)1/2; b) Para ese caso, ¿cuál será la velocidad en el punto inferior B?; c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda en ambas posiciones. SOL: b) vB = 5gL ; c) TA = 0; TB = 6 m g. 94. Un dispositivo de arrastre utiliza un cable de acero para tirar de una vagoneta de carbón de 200 kg de masa, a lo largo de un plano inclinado 37º de inclinación, salvando un desnivel de 12 m de altura. Sabiendo que el movimiento de la vagoneta es rectilíneo y uniforme y que el coeficiente de rozamiento es 0'5, se pide: a) Un esquema de las fuerzas actuantes. b) La tensión que soporta el cable. c) La potencia desarrollada por el dispositivo elevador, teniendo en cuenta que la elevación se produce en 40 s. Datos: |g| = 10 m/s2 ; Sen 37º ≅ 0'6 ; Cos 37º ≅ 0'8. SOL: b) T = 2000 N ; c) Potencia = 1000 W. 95. Un cuerpo se encuentra sobre una superficie horizontal. Dicha superficie se va levantando por uno de sus extremos hasta el instante en que el cuerpo comienza a deslizar. Si en ese instante el ángulo es de 30º, calcular: a) El coeficiente de rozamiento estático. b) El coeficiente de rozamiento dinámico si tarda 4 segundos en recorrer los 2 primeros metros. SOL: a) µe = 0'577; b) µc = 0'548. 96. Dos cuerpos de 5 kg cada uno están atados a los extremos de una cuerda ideal que pasa por la garganta de una polea. Uno de los cuerpos está apoyado sobre un plano inclinado 37º con la horizontal, y el otro cuerpo cuelga verticalmente. El coeficiente de rozamiento entre uno de los cuerpos y el plano inclinado es 0'25. Obtener: a) Diagrama de las fuerzas actuantes. b) Aceleración del movimiento. c) →

Tensión de la cuerda. Datos: | g | = 10 m/s2 ; Sen 37º ≅ 0'6 ; Cos 37º ≅ 0'8. SOL: b) a = 1 m/s2; c) T = 45 N. 97. a) ¿Puede una aceleración constante modificar la dirección del vector velocidad?. Cita ejemplos. b) Comenta las siguientes frases: b1) "El movimiento de un cuerpo siempre tiene lugar en la dirección de la fuerza resultante"; b2) "Si un cuerpo no está acelerando, no debe existir fuerza alguna actuando sobre él". 98. Dibuja las fuerzas que actúan sobre un cuerpo lanzado oblicuamente: a) Cuando está ascendiendo; b) Cuando en el punto más alto de su trayectoria; c) Cuando está descendiendo. Dibuja el vector velocidad en los casos anteriores. 99. Una bolita, de masa 2 kg y unida al extremo de una cuerda de longitud 1 m, se mueve en un plano vertical, describiendo una circunferencia. ¿Cuál es la velocidad máxima que puede alcanzar la bolita, si la cuerda puede soportar hasta una tensión máxima de 350 →

N?. NOTA: Es imprescindible la confección de esquemas o diagramas. SOL: | g | = 9'8 m/s . vMáxima = 12'853 m/s. 100. Un paracaidista desciende con velocidad constante, durante un tiempo, después de abrir el paracaídas, con lo que su aceleración es →

→

nula. Sin embargo la Tierra lo atrae con una fuerza de magnitud mg . ¿Cómo es esto posible?. SOL: | F Roz | = | P | . 101. Un objeto de 150 g unido al extremo de una cuerda gira sobre una mesa horizontal con m.c.u. de radio 20 cm. La cuerda pasa por un agujero practicado en la mesa y está unida por el otro extremo a un cuerpo de 1'5 kg que está en reposo. a) Dibuja un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. b) Calcula la velocidad lineal con que gira el cuerpo que está sobre la mesa y las componentes tangencial y normal de la aceleración. SOL: b) 4'4 m/s; at = 0; an = 96'8 m/s2 102. La bola de la figura gira en el aire con m.c.u. a razón de una vuelta por segundo. Si la longitud de la cuerda es de 0'3 m y la masa de la bola es de 100 g, calcula: a) la tensión de la cuerda; b) el ángulo que forma la cuerda con la vertical. SOL: a) T = 1'2 N; b) α = 34'9º

103. Una bola atada al extremo de una cuerda de 0'5 m de longitud gira en el aire con una velocidad constante en módulo. Si la cuerda forma un ángulo de 11'5º con la vertical, calcula el módulo de la velocidad. SOL: 0'45 m/s

104. Un cuerpo de 50 g colgado de un hilo de 1'2 m de longitud, describe una circunferencia de 0'5 m de radio con celeridad constante como indica la figura. Calcular. a) La tensión del hilo. b) La velocidad con que se mueve. c) El tiempo que tarda en dar una vuelta. SOL: |g| = 9'8 m/s2. a) T = 0'54 N; b) v = 1'49 m/s; c) T = 2'1 s

105. Un cuerpo que parte del reposo desliza, con rozamiento, a lo largo de un plano inclinado 30º y luego continúa moviéndose sobre un plano horizontal. a) Explique qué fuerzas actúan sobre el cuerpo cuando se mueve sobre el plano inclinado y por el horizontal. b) Obtenga el coeficiente dinámico de rozamiento, constante en todo el recorrido, sabiendo que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado. (Canarias). SOL: µ = 0'27. 106. Enuncie los principios de la dinámica. (Extremadura) 107. Se dispara una bala de 200 g contra un bloque de madera de 800 g en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se incrusta en el bloque y el conjunto se pone en movimiento parándose, debido al rozamiento, después de recorrer 5 m. El coeficiente de rozamiento vale 0'4. Calcular. a) La aceleración del conjunto desde que se inicia el movimiento. b) La velocidad con que el conjunto inicia e →

movimiento. c) La velocidad de la bala en el instante del impacto. SOL: | g | = 10 m/s2. a) a = – 4 m/s2; b) vo = 6'32 m/s; c) v = 31'6 m/s. 7

Dinámica Página 8 de 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 108. Sobre una superficie horizontal se lanza un cuerpo de 2 kg con una velocidad inicial de 5 m/s. El cuerpo se para debido al rozamiento después de recorrer 20 m. Calcular. a) La aceleración. b) El coeficiente de rozamiento. c) El tiempo que ha estado en movimiento. d) ¿Qué fuerza horizontal se debe aplicar al cuerpo para que a los 20 m, en lugar de pararse tenga una velocidad de 8 m/s?. →

SOL: | g | = 10 m/s2. a) a = – 0'625 m/s2; b) µ = 0'06; c) t = 8 s; d) F = 3'15 N. 109. Un cuerpo de 50 kg está en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento vale 0'2 y el estático 0'5. Calcular. a) La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie cuando el cuerpo está en reposo. b) ¿Qué fuerza mínima es necesaria para iniciar el movimiento?. c) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento si la fuerza horizontal aplicada es de 400 N?. En este caso, ¿cuánto →

vale la aceleración?. SOL: | g | = 10 m/s2. a) FRoz = 0; b) F = 250 N; c) FRoz = 100 N; a = 6 m/s2 110. ¿Qué fuerza mínima horizontal se debe aplicar a un cuerpo de 2 kg para que suba con velocidad constante por un plano inclinado →

del 20 por 100 de pendiente (tag α = 0'2) si el coeficiente de rozamiento vale 0'25?. SOL: | g | = 9'81 m/s2. F = 9'15 N. 111. Se tiene un plano con una inclinación de 30º, cuya longitud es de 10 m. a) ¿Qué velocidad se debe comunicar a un cuerpo de 1 kg en la parte inferior del plano para que llegue a la parte superior con velocidad nula. b) ¿Cuánto tiempo ha tardado en subir?. c) ¿Una vez parado, se inicia el descenso por su propio peso, ¿cuánto tiempo tardará en bajar?. d) ¿Con qué velocidad llegará al comienzo del plano?. Datos: |g| = 10 m/s2. Coeficiente de rozamiento = 0'2. SOL: a) vo = 11'59 m/s; b) t = 1'72 s; c) t' = 2'46 s; d) 8 m/s. 112. Dados los cuerpos de la figura adjunta, calcular la aceleración con que se mueven y la tensión de la cuerda. El coeficiente de rozamiento es el mismo para los dos cuerpos y vale 0'2. SOL: |g| = 9'8 m/s2. a) a = 1'73 m/s2; b) T = 7'38 N

113. ¿Cómo se puede medir la aceleración de un automóvil empleando una plomada?. SOL: a = g . tag α 114. Se deja caer libremente un cuerpo de 10 g de masa, y cuando su velocidad es de 20 m/s se le opone una fuerza que detiene su caída en 4 s. ¿Cuánto debe valer dicha fuerza?. b) ¿Qué espacio habrá recorrido hasta el momento de aplicar la fuerza?. c) ¿Qué espacio total →

habrá recorrido hasta el instante de detenerse?. SOL: | g | = 9'8 m/s2. a) F = – 0'148 N; b) 20'4 m; c) 60'4 m 115. Un cuerpo baja deslizándose por una montaña. La superficie de deslizamiento forma 30º con la horizontal. Desde la cumbre, situada a 60 m de altura se lanza hacia abajo un cuerpo con una velocidad inicial de 2 m/s y llega al suelo con una velocidad de 0'5 m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento. SOL: 0'58 116. Una bolita unida por un hilo de 0'5 m de longitud a un punto fijo de una superficie plana, gira deslizando sin rozamiento sobre dicha superficie con una velocidad angular de 10 rpm. ¿Cuál será la inclinación máxima de dicha superficie para que la bolita continúe describiendo circunferencias?. SOL: tag α = 0'055 117. A lo largo de un plano inclinado del 30 por 100 (tag α = 0'3) de pendiente y 0'3 de coeficiente de rozamiento se desplaza un cuerpo de 100 kg. La altura del plano es 50 m. Calcular. a) la fuerza mínima horizontal necesaria para subir el cuerpo con velocidad constante. b) la fuerza paralela al plano necesaria para subir el mismo en 10 s con movimiento uniformemente acelerado. SOL: a) 647 N; b) 911'4 N 118. El coeficiente de rozamiento estático entre el suelo de un camión y una caja situada encima del mismo es 0'3. El camión lleva una velocidad de 80'5 km/h. ¿Cuál debe ser la distancia mínima de parada del camión (supuesta deceleración constante o frenando de manera uniforme) para que la caja no deslice. SOL: 85 m. 119. Se dispara una bala de 0'1 kg en dirección horizontal y choca con un bloque de madera de 2 kg que está en reposo sobre una mesa horizontal. La bala queda incrustada en el bloque y el conjunto (bala + bloque) resbala sobre la mesa recorriendo 2 m hasta pararse. El coeficiente de rozamiento es 0'4. Calcular: a) Fuerza de rozamiento y aceleración del conjunto (bala + bloque); b) Velocidad con que comienza a moverse el conjunto (bala + bloque) ; c) Velocidad de la bala inmediatamente antes del choque. SOL: a) FRoz = – 8'4 N ; a = – 4 m/s2 ; b) 4 m/s ; c) 84 m/s. 120. Sobre un bloque de madera de 2 kg que se encuentra en la base de un plano inclinado 30º, se dispara un proyectil de 0'1 kg con una velocidad de 100 m/s incrustándose en él, como indica la figura adjunta. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0'1, calcular la distancia que recorre el conjunto sobre el →

plano. SOL: | g | = 9'8 m/s2; s = 1'97 m.

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