4.7

3. Encuentre dos números positivos cuyo producto es 100 y cuya suma es un mínimo.  ( x , y )= x + y minf  ( sea sea x ∗ y =100 entonces entonces y=100 / x  por lo que f  (  ( x )= x ∗100 / x 2❑

derivando derivando se obtiene obtiene f ' ( x )= 1−10 0 / x ❑ 2

f ' ( x )= 0 ; 1 − 100 / x ❑ = 0

 x =10 y sustitu sustituyen yendo do en laorig la original inal 10∗ y =100 entonces y = 100 / 10 =10  por lo tantolos tanto los valores son  x = 10  y =10

4. La suma de dos números positivos positi vos es 16. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de sus cuadrados sean sean x + y = 16 2

2

 ( x )= x ❑ + y ❑ minf  (

entonces entonces y=16 − x la cual sustituimos 2

2

 ( x )= x ❑ +( 16 − x ) ❑  y f ' ( x )= 2 x −32 + 2 x f  ( despeja despejando ndo queda queda x=8 y y =8 7. 7. Encuentre  Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 metros, cuya área sea tan grande como sea posible. 2 a + 2 b=100 a =50−b ,yqueremo mo sq u e  A = a∗ b   s e amá x i mo ,e n t o n c e st e n emo s :

 A =( 50− b )b =50 b −b ², Pa r aq ues e am má á x i mod er i v a mo mo sei g ua l a mo mo sac e r o :

 A ' =50 −2 b =0 b=

−50 =25 −2

a =50−25 =25

8. 8. Encuentre  Encuentre las dimensiones de un rectángulo con área de 1 000 m2 cuyo perímetro sea tan pequeño como sea posible.  y = x + z ( Per í met r o)  x∗ z =1000 ( área )

 z =1000 / x Sus t i t ui mo syde r i v a mo s

 y = x +

1000

 x

 y ' =1−

1000

 x 2

Igualamos la derivada a cero 0 =1−

 z =

1000

 x

1000

 x

x =√ 1000=± 31,6227 y

2

=31,6227

9. Un modelo utiliado para el rendimiento ! yield " # de una producci$n agrícola como una %unci$n del nivel de nitr$geno & en el suelo !medido en unidades adecuadas" es Y =

k  2

1 +  

'onde ( es una constante positiva. )*u+ nivel de nitr$geno o%rece el meor rendimiento'erivamos la %unci$n a minimiar  1 +  

(¿¿ 2 )2 2 1+   ( k ) −k  ( 2  ) '  Y  = ¿ 2 1 +  

1 +  

¿

1 −  

¿ 2 (¿ ¿ 2 )2 (¿ ¿ 2)     1 +   2 2 2  k + k   −2 k  k − k   (¿¿ 2 )2 ¿ ¿ ¿ k ¿ ¿

 /ora igualamos la derivada a 0 2

¿

1 −  

¿

1+  

(¿¿ 2 )2=0 k ¿ ¿   !  (1−  2 ) =0  1−  2= 0  −  2=−1    2=1   =± √ 1 'ebido a que s$lo nos interesan cantidades positivas   =1 10. a rapide !en mg carbono / m 3 /" en que la %otosíntesis tiene lugar para una especie de %itoplancton es modelada por la %unci$n

 " =

100 #  2

 #  + # + 4

'onde I es la intensidad de lu !medida en miles de piecandela" .)3ara que intensidad de lu 3 es má4ima2 '  ( #  + # + 4 ) 100− 100 # ( 2 # + 1 )  " = ( # 2 + # + 4 ) 2

( 100 #  + 100 # + 400 )−( 200 #  + 200 # ) ¿ ( #  + # + 4 ) −100 ( #  −4 ) ¿ ( #  + # + 4 ) 2

2

2

2

2

2

2

Igualamos la derivada a 0 −100 ( # 2−4 ) 2

=0

( #  + # +4 ) −100 ( #  − 4 ) =0 2

2

2

#  =4

# =2

11. 5onsidere el siguiente problema6 un agricultor que dispone de 780 pies de material para construir una barda, quiere delimitar un área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales con bardas paralelas a un lado del rectángulo. )5uál es el área total más grande posible de los cuatro corralesa" 'ibue varios diagramas que ilustren la situaci$n, algunos con corrales ancos y largos cortos, y otros con corrales angostos y grandes largos. Encuentre las áreas totales de estas con%iguraciones. )3arece que ay un área má4ima- 9i es así, estímela. b" 'ibue un diagrama que ilustre la situaci$n general. Introduca la notaci$n y etiquete el diagrama con sus símbolos. c" Escriba una e4presi$n para el área total. d" Utilice la in%ormaci$n proporcionada para plantear una ecuaci$n que relacione las variables. e" Utilice el inciso d" para e4presar el área total como una %unci$n de una variable. %" :ermine de resolver el problema y compare la respuesta con su estimaci$n en el inciso a". a"

c"

c"   rea %otal= x∗ y d" 3erímetro  84 ; 2y 780  84 ; 2y  y =

e"  A = x '  %"  A =

750− 5 x 2

 750 −5 x 2

750− 10 x 2

=375−5 x

aora igualamos la derivada a 0 para conocer el valor de 4 375−5 x =0

−5 x =−375  x =75 9ustituimos en el perímetro para conocer a y 750− 5 ( 75)  y = 2  y =187.5

9ustituimos esos valores en la %$rmula del área má4ima  /  78 < 1=7.8  1>,0?2.8 Ese es el valor de área má4ima 1?. Un contenedor rectangular de almacenamiento sin tapa a de tener un volumen de 10 m @. a longitud de su

base es dos veces el anco. El material para la base cuesta A10 por metro cuadrado y el material para los costados cuesta A? por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales que agan más barato el contenedor.

& =10 m 9ustituyendo

( ( a ) =6

2

( ( a )=

'espeando 

(  ( a ) = =

180

( ) 30

b

& =2 bb =2 b  3 b = √ 4.5=1.651 m 2

+ 10 (2 b )

 

'erivando

+ 20 b2 ) ( 1 )

b

[ 120 b2 b2−( −180 + 40 b2 ) 2 b ] b

4

[ 120 b −(−360 b + 80 b ) ] 4

10 2b

2

5osto de lado

10=2 b 

' ' 

3

2

 

(  ( a ) =

'erivando ' 

(  ( a )=

 Brea lateral

−180 b

−180 + 40 b3 =0 b2 'espeando 40 b

b

 Ab =2 b2

3

=

3

=180

180 40

120 b

4 3

+ 360 b −80 b 4

b

5omo la cantidad dio positiva

b

 Ab =2 b (b )

b

(  ( a )=

+ 40 b

3 − 180 + 40 b (  ( a )= ) (2 ) 2

 Al = 4 b + 2 b =6 b

3

4

' ' 

' 

 Al = 2 ( 2 b ) + 2 b

9ustituyendo 

' ' 

entonces se trata de un minímo 9ustituyendo en !1" 180 +20 ( 1.651 )2 ( = 1.651

= 4.5

( =163.54

1=. a" 'emuestre que de todos los rectángulos con un área determinada, el de perímetro más pequeño es un

cuadrado. 4 y

/4y

324;2y

9ustituyendo en 3

 A  " =2 x + 2 (  )  x 'espeando y de /

 A  y =  x

'' 

 " = 0

'erivando  1

 x 2− A = 0  x =√  A ∴

 Es un mínimo

 "' =2 −2 A ( 2 )  x 2  x − A )  "' =2 ( 2  x

 "'' = 2 A

( x )> 2

3

0

1C. Encuentre el punto sobre la recta y  2 x ; @ que esta mas cerca del origen.

 y =mx + b

Intersecci$n

Igualando y despeando

 y =2 x −3  y =

 y =

− x

− x

2

2

=2 x −3

−6 −6 = 5

10

2 2 m =−1 −3

b =0

− x = 4 x −6

 y =2 x −3

5

m= ∴

 y =

0 =0 + b

−1

 y =

2

6

3

5

5 1

− x

5 x =6

2

( ,− )

()

 y =−

 x + b

2

 x =

6 5

21. Dusque los puntos sobre la elipse > x 2 ; y 2  > que están mas leos del punto !1, 0". 2

 x +

 y

2

4

=1

'erivando

−3 x +1 √ 5−2 x −3 x 2 −3 x +1 =0 2 √ 5 −2 x − 3 x

f ' ( x )=

f  ( x )=√ ( x −1) +( 4 −4 x ) 2

2

f  ( x )=√ 5− 2 x −3 x

2

∴ *os puntos más alejadosson :

 x =

(

−1 3

,

4 √ 3 3

)

y

(

−1 3

,−

9ustituyendo

4 √ 3 3

f  ( −1 ) =2 f 

−1

4 √ 3

3

3

(  ) −1 3

16 4 3 = √  = √  3

3

máx absoluto

)

27. Busque las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que puede ser inscrito en un círculo de radio r .

SO!"#O$%  =r + x

&e la 'igura y el teorema de (itágoras podemos de'inir  b 2

=√ r 2− x 2

b =2 √ r − x 2

2

1

 A = b 2

9ustituyendo base y altura en el área 1

 A = 2 ( √ r − x )( r + x ) 2

 A =( √ r − x )( r + x ) 2

2

'erivando6

dA 1  = √ r 2− x 2 +( a +r ) ( r 2− x 2) 2 dx 2

2

2

dA r − x − x − rx  = dx √ r 2− x 2

−1 2

(−2 a )

2

2

2

2

2

r − x − x −rx

=0 √ r 2− x 2 2 2 r − rx −2 x = 0

( r + x ) ( r −2 x ) =0 r  x 1=  x2=−r



2

sabemos que 4 no puede ser negativa por lo que solo nos interesa  x 9ustituimos 4 en la base y altura 1

 por lo tanto los valores de las dimensiones para el area má4ima son ∴

r 3  =r + = r 2

2

3

b =r √ 3 ,  = r 2

28. )ncuentre el área del rectángulo más grande que puede ser inscrito en un

triángulo rectángulo con catetos de longitudes de * cm y + cm si dos lados del rectángulo se encuentran a lo largo de los catetos. &e la 'igura podemos deducir que

&espe,ando y

Sustituimos en el área

&eri-ando el área y despe,ando 

Sustituyendo en la ecuación principal

E /E/ 'E E5:/&FUG E9 ∴

 A =3

Sustituyendo  e y en el /rea

Halle el cilindro de mayor volumen posible que puede inscribirse en una esfera de radio r . 2 & = +   29.

&el teorema de pitagoras otenemos que

Despejando  2

Sustituyendo  2  en el -olumen

&eri-ando considerando r como una constante

Igualando a cero y despejando h

Sustituyendo en el volumen

∴

& =

4 3 √ 3

+r

3

!usque el cilindro de mayor volumen posible que puede inscribirse en un cono de altura h y radio base r . Soluci"n 3.

 #a que son tri$ngulos semejantes

 y  =  x r



y%

x r

2

2

&  ( x ) =+ x (  − y )= + x −

+ 3 x r

Derivando & -  ( x )= +x ( 2−

3 x

)

r Igualamos a cero

( r )=

+x 2−

3 x

0

2

 x 1=0 x 2= r 3

&l valor que usaremos ser$ '2 2 2 + 3  x 2 2 &  r = + x − x =+ x 1 − = +  r r r 3 3

( )

( ) ( )( ) 2

1−

2

3

=

4 27

2

+r  ∴ /l volumenmaximo

& =

4 27

2

+r 

3(. &ncuentre el cilindro circular recto de mayor super)cie que puede inscribirse en una esfera de radio r .

Soluci"n *sando el teorema de +it$goras podemos escribir  √  x2 + r 2= 2

2 √  x

2

+ r 2 =

 1



La superfcie del área del cilindro es 2 2 + x + 2 +x h  Y sustituyendo h tenemos . =2 + x + 2 +x 2 √  x + r Derivando 2 2 2 4 + ( r + 2 x ) . - = 4 +x + √  x 2 +r 2 2

2

2

 2



0 =4 +x +

+ 2 x2 ) 2 2 √  x + r

 4 + ( r

2

Dividimos ambos lados por ( 4 + ¿ ( r 2+2 x 2) 0 = x + 2 2 √  x + r −(r 2 + 2 x 2 )  x =  3 2 2 √  x +r ( r 2 + 2 x2 )2 2  x = 2 2  x + r 2 2 2 2 2 2  x ( x + r )=( r + 2 x ) 2 2 4 4 2 2 4  x r − x = r − 4 r  x + 4 x 4 2 2 4 0 =r −5 r  x + 5 x 2 2 2 2 4 5 ( x ) −5 r  x + r =0 

2

 x =

5r

2

± √ 25 r 4 −4 ( 5 ) ( r 4 ) 2 ( 5)

2

5 r ± √ 25 r

2

5 r ± √ 5 r

2

 x =

2

 x =

−20 r 4

10 2

 x =

4

4

10 5r

 x =r

2

± r 2 √ 5 10

√

5 + √ 5 10

. =2 + r

2

. =2 + r

2

. =2 + r

2

. =2 + r

2

 5 + √ 5 10  5

+ √ 5 10

 5 + √ 5 10

(

5

10

√ √ − √ 10

+4 + r

2

+4 + r

2

+ 5 √ 5

. = + r ( 1 + √ 5) 2

+4 + r

5 + √ 5

)

 25

2

r−

5r

2

+ r 2 √ 5 10

5

100 ∴ la superficie maxima

√ 5 5

. = + r ( 1 + √ 5) 2