47__aplicaciones de Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables

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APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS  DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES  (OPTIMIZACIÓN)    En  esta  sección  se  resolverá  algunos  ejercicios  de  aplicación  de  los  criterios  de  las  derivadas  parciales  para  funciones  de  dos  variables  (se  debe  tomar  en  cuenta  los  teoremas respectivos explicados en la sección anterior).  Condiciones suficientes para la existencia de extremos.  

f xx ( x0 , y0 )   Positivo  Negativo     

TIPO 

Mínimo  Máximo  Punto de silla  Duda 

at em

H ( x0 , y0 )   Positivo  Positivo  Negativo  Cero 

a1

 

at ic

⎡ ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ⎤ ⎢ ⎥ ∂x 2 ∂x∂y ⎢ ⎥ H ( x0 , y0 ) = ⎢ ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ⎥   ⎢ ⎥ ∂y∂x ∂y 2 ⎣ ⎦

.c om

(a) Caso de dos variables. Sea P ( x0 , y0 )  un punto crítico de una función z = f ( x, y )  con  las  derivadas  parciales  de  segundo  orden  continuas  en  P,  y  sea H ( x0 , y0 )   el  determinante de su matriz Hessiana, entonces: 

ww

w.

M

Es  decir,  si  el  Hessiano  es  positivo  hay  extremo  (el  tipo  nos  lo  da f xx ( x0 , y0 ) ,  si  es  negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el Hessiano es negativo no hay extremo. Y  si el Hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)  (b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes: 

⎡ f xx f xy f xz ⎤ ⎡ f xx f xy ⎤ ⎢ ⎥ Δ1 = [ f xx ] ; Δ 2 = ⎢ ⎥ ; Δ 3 = ⎢ f yx f yy f yz ⎥ ...Δ n   ⎣⎢ f yx f yy ⎥⎦ ⎢f f f ⎥ ⎣ zy zy zz ⎦ i. ii. iii.

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un  mínimo en  P ( x0 , y0 )   Si  los  determinantes  tienen  signo alterno  (comenzando  con  un  valor  negativo  f xx ( x0 , y0 ) < 0 ), entonces la función tiene un máximo en P ( x0 , y0 )    En cualquier otro caso hay duda. 

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Mínimos y Máximos  Absoluto  En esta sección se desea optimizar una función, que es identificar el mínimo absoluto y  /  o  el  máximo  absoluto  de  la  función,  en  una  región  determinada  en  R 2   .  Tenga  en  cuenta  que  cuando  decimos  que  vamos  a  estar  trabajando  en  una  región  en  la  R 2   queremos decir que vamos a estar mirando a alguna región en el plano x y.   Con el fin de optimizar una función en una región que vamos a tener que conseguir un  par de definiciones de un medio y un hecho. Primero vamos a obtener las definiciones  de un medio.   Definiciones   1.  Se  llama  cerrado  si  incluye  su  frontera.  Una  región  se  llama  abierta    si  no  incluye  ningún límite de sus puntos.  

a1

.c om

2.   Una región en  R 2 . Se llama acotada si se puede estar completamente contenida en  un disco. En otras palabras, una región será limitada si es finito. 

at em

at ic

Pensemos un poco más sobre la definición de cerrado. Dijimos que una región se cierra  si  se  incluye  su  frontera.  Justo  lo  que  significa  esto?  Pensemos  en  un  rectángulo.  A  continuación se presentan dos definiciones de un rectángulo, uno se cerrado y la otra  está abierta.   ⎧ −5 < x < 3   abierta : ⎨ ⎩1 < y < 6

M

⎧ −5 ≤ x ≤ 3 cerrado : ⎨ ⎩1 ≤ y ≤ 6

ww

w.

En este primer caso no se permite el rango para incluir los puntos finales (es decir, no  estamos incluyendo los bordes del rectángulo) y por lo que no se permitió a la región  para  incluir  todos  los  puntos  en  el  borde  del  rectángulo.  En  otras  palabras,  no  se  permitió a la región para incluir a su límite y por lo que es abierto.   En el segundo caso, estamos permitiendo que la región que contiene los puntos en los  bordes y así contendrá toda su límite y por lo tanto se cierra.   Esta es una idea importante por el hecho siguiente.   TEOREMA DEL VALOR EXTREMO   Si  z = f ( x, y ) es  continua  en  algunos  cerrado,  acotado  D  en R 2     a  continuación,  hay  puntos en D,  f ( x1 , y1 ) y f ( x2 , y2 ) y de manera que  f ( x1 , y1 )  es el máximo absoluto y  f ( x2 , y2 )  es el mínimo absoluto de la función en desarrollo. 

Tenga en cuenta que este teorema no nos dice que el mínimo o máximo absoluto se  producirá  Sólo  nos  dice  que  van  a  existir.  Tenga  en  cuenta  también  que  el  mínimo  150       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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absoluto y / o máximo absoluto se puede producir en el interior de la región o puede  ocurrir en la frontera de la región.   PROCESO  BÁSICO  PARA  ENCONTRAR  EXTREMOS  ABSOLUTOS  FUNCIONES  DE  DOS  VARIABLES   1.  Buscar todos los puntos  críticos de la función que se encuentran en la región D  y  determinar el valor de la función en cada uno de estos puntos.   2. Buscar todos los extremos de la función en la frontera.   3.  Los  valores  de  mayor  a  menor  y  se  encuentran  en  los  dos  primeros  pasos  son  el  mínimo y el máximo absoluto de la función. 

a1

.c om

EJERCICIOS RESUELTOS.    1. Determine los tres números positivos cuya suma sea 24 de modo que su producto  sea el mayor posible. 

at ic

Dejar  x, y  y  z  como los tres números positivos cuya suma es 24. Sea  P  su producto.  x + y + z = 24; z = 24 − x − y .   Entonces  P ( x, y ) = xyz = xy ( 24 − x − y ) = 24 xy − x 2 y − xy 2 Si  x ≥ 24  o  y ≥ 24  o  x = 0  

at em

ó  y = 0 ,  entonces  P ≤ 0 .  Por  lo  tanto  el  máximo  de  P   se  produce  en  un  momento  critico dentro del cuadrado  0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24 .  Px ( x, y ) = 24 y − 2 xy − y 2 ⇒ Px ( x, y ) = 0; y ( 24 − 2 x − y ) = 0   Py ( x, y ) = 24 x − x 2 − 2 xy ⇒ Py ( x, y ) = 0; x ( 24 − x − 2 y ) = 0

M

Porque  x > 0, y > 0 ,  el  único  punto  critico  es  ( 8,8 )   que  da  el  máximo  absoluto. 

ww

w.

Entonces  z = 8 ,  y  así  los  tres  números  positivos  son  8,  8  y  8.  Alternativamente,  ver  ejercicio 26.    2. Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea  lo más pequeña posible.  Supongo que lo números no son todos iguales. Reemplazamos los mas pequeños, por  xy ejemplo  x ,  y  el  mas  largo,  digamos  y   de  dos  números  a   y    con  el  mismo  a producto.  Se  muestra  que  la  suma  se  reduce.  De  hecho  xy ax + ay − a 2 − xy ( a − x )( y − a ) .  Porque  x   es  el  más  pequeño  = ( x + y ) − ⎛⎜ a + ⎞⎟ = a ⎠ a a ⎝ y  y  es el más grande, entonces  a − x > 0  y  y − a > 0 . Ya que cada paso introduce un  nuevo plazo de  a , en la  mayoría de  n  medidas de disminución de suma llegamos al  caso de todos los términos de igualdad. En particular, si el producto de tres números  positivos es de 24, la suma por lo menos es que cada número es  3 24 . Para probar el  teorema  de  otros,  sustituimos  x   y  y   de  dos  números  a   y  x + y − a   con  la  misma  151       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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suma  y  demostrar  que  el  producto  a ( x + y − a ) − xy = ( a − x )( y − a ) > 0 . 

se 

incrementa. 

De 

hecho 

  3. Encuentre el punto del plano  3 x + 2 y − z = 5  que esté más cerca al punto  (1, −2, 3) , y  calcule la distancia mínima.  Dejar  w   unidades  de  la  distancia  desde  el  punto  (1, −2, 3)   a  un  punto  ( x, y , z )   en  el  plano  3 x + 2 y − z − 5; z = 3 x + 2 y − 5 .   Entonces 

w2 = ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) ; w2 = ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( 3 x + 2 y − 8 ) .  2

2

2

2

2

2

Porque  w   será  de  un  mínimo  cuando  w2   es  un  mínimo,  buscamos  el  valor  mínimo  2 2 1, −2,3 ) .  Porque  f ( x, y ) ≥ 100   cuando  ( x − 1) + ( y + 2 ) ≥ 100   el  absoluto  de  ( mínimo debe ocurrir en un punto crítico dentro del círculo  ( x − 1) + ( y + 2 ) = 100 .  2

2

f x ( x, y ) = 2 ( x − 1) + 2 ( 3 x + 2 y − 8 )( 3 ) = 20 x + 12 y − 50. f x ( x, y ) = 0;10 x + 6 y = 25

.c om

f y ( x, y ) = 2 ( y + 2 ) + 2 ( 3 x + 2 y − 8 )( 2 ) = 12 x + 10 y − 28. f y ( x, y ) = 0; 6 x + 5 y = 14  

2

at ic

a1

33 ⎛ 41 5 ⎞ El único punto crítico es  ⎜ , − ⎟  que debe ser el mínimo absoluto. Entonces  z = .  14 ⎝ 14 7 ⎠ ⎛ 41 5 33 ⎞ Por  lo  tanto,  el  punto  más  cercano  en  el  plano  de  (1, −2,3)   es  ⎜ , − , ⎟   y  la  ⎝ 14 7 14 ⎠ 2

2

at em

9 ⎛ 41 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 33 ⎞ distancia mínima es de  ⎜ − 1⎟ + ⎜ − + 2 ⎟ + ⎜ − 3 ⎟ = 14 .  14 ⎝ 14 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎠   4. Determine los puntos de la superficie  y 2 − xz = 4  que estén más cerca al origen, y 

w.

M

calcule la distancia mínima. 

ww

Sea  F  el cuadrado del número de unidades entre el origen y cualquier punto  ( x, y, z )   en el hiperboloide de una hoja  y 2 − xy = 4 . La distancia es de un mínimo cuando  F  es  un  mínimo.  Hemos  F = x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + z 2 + xz + 4 ⇒ Fx = 2 x + z ⇒ Fy = 2 z + x .  Por lo tanto,  x = 0  y  z = 0  es el único punto crítico de la función, y cuando  x = z = 0 ,  que tenemos  F = 4 .  Nos muestran que 2 es el valor mínimo absoluto de  F .   Considerar una esfera de radio 3, que cruza el plano  xz  en un círculo de radio 3. Este  círculo con su interior es un conjunto cerrado y acotado de  R  y así,  F  tiene un valor  mínimo absoluto en  R . Porque  F  tiene el valor 3 en el límite de  R  y 3 es mayor que  2,  entonces  el  mínimo  absoluto  de  F   en  R   no  puede  ocurrir  en  la  frontera.  Por  lo  tanto,  el  mínimo  absoluto  de  F   sobre  R   debe  ocurrir  en  el  punto  crítico.  Por  otra  parte,  F > 3  en todos los puntos fuera de  R . Por consiguiente, el punto crítico da el  152       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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valor mínimo absoluto de  F   para todos los puntos. Además, si  x = 0  y  z = 0 , hemos  y 2 = 4 . Por lo tanto, la distancia de 2 se produce en los puntos  ( 0, 2, 0 )  y  ( 0, −2, 0 ) . 

Solución alternativa:   2

1 ⎞ 3 ⎛ Completar el cuadrado de  x , tenemos  F = ⎜ x + z ⎟ + z 2 + 4 ≥ 4    2 ⎠ 4 ⎝ 1 Y la igualdad se da si y solo si  x + z = 0  y  z = 0 , es decir, es decir, si y solo si  x = 0  y  2 z = 0 . Por consiguiente  F  tiene un valor mínimo absoluto de 4 cuando  x = 0  y  z = 0 .    5. Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide  x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 4  y el 

plano  x − 4 y − z = 0  que estén más cerca del origen, y calcule la distancia mínima.  Sea  w   unidades  de  la  distancia  desde  el  punto  P ( x, y, z )   del  elipsoide  y2 + z2 = 1 −

1 2 x   de  modo  que  4

.c om

x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 4   al  origen.  Entonces 

ww

w.

M

at em

at ic

a1

⎛ 1 ⎞ 3 w2 = x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + ⎜1 − x 2 ⎟ = x 2 + 1  que tiene un valor mínimo absoluto de 1  ⎝ 4 ⎠ 4 cuando  porque  x = 0 .  Porque  P   se  encuentra  sobre  el  elipsoide  y  en  el  plano  x − 4 y − z = 0 ,  nos  encontramos  con  la  coordenadas  y   y  z   de  P   resolviendo  el  1 4 ;z = m .  sistema  y 2 + z 2 = 1, 4 y + z = 0 . Entonces  z = −4 y; y 2 + 16 y 2 = 1; y = ± 17 17 ⎛ 1 4 ⎞ ⎛ 1 4 ⎞ ,− , Los puntos son  ⎜ 0, ⎟  y  ⎜ 0, − ⎟ .  17 17 ⎠ ⎝ 17 17 ⎠ ⎝   6.  En  una  fábrica,  los  trabajadores  se  han  clasificado  en  dos  maneras:  A   y  B .  Los 

trabajadores tipo  A  ganan  $14  por jornada, mientras que los del tipo  B  ganan  $13 .  Para  alcanzar  cierta  producción  en  una  jornada,  se  ha  determinado  aumentar  los  salarios de los trabajadores, si se emplean  x  trabajadores del tipo  A  y  y  del tipo  B ,  encontrar  el  número  de  dólares  del  costo  de  la  jornada  es  y 3 + x 2 − 8 xy + 600 .  ¿Cuántos  trabajadores  de  cada  tipo  deben  emplearse  a  fin  de  que  el  costo  de  la  jornada  sea  un  mínimo  si  se  requieren  por  lo  menos  tres  trabajadores  de  cada  tipo  para una jornada? 

C = 14 x + 13 y + y 3 + x 2 − 8 xy + 600, x ≥ 3, y ≥ 3, x  y  y  enteros.   C x = 14 + 2 x − 8 y = 0, x = 4 y − 7 ⇒ C y = 13 + 3 y 2 − 8 x = 0 0 = 3 y 2 − 8 ( 4 y − 7 ) + 13 = 3 y 2 − 32 y + 69 = ( 3 y − 23 )( y − 3 ) ⇒ y = 3, x = 7 23 71 o  y = ⇒x= ⇒ C xx = 2 ⇒ C yy = 6 y ⇒ C xy = −8 ⇒ D = 12 y − 64   3 3

 

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C yy ( 7,3 ) = 18 ⇒ D ( 7, 3) = −24  punto de silla.  ⎛ 71 23 ⎞ ⎛ 71 23 ⎞ ⎛ 71 23 ⎞ C yy ⎜ , ⎟ = 46 ⇒ D ⎜ − ⎟ = 28 ,  mínimo  relativo.  En  ⎜ , ⎟ ⇒ C = 590.2   y  3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 1 las curvas de nivel son aproximadamente  z = 2h 2 − 16hk + 46k 2 = h 2 − 8hk + 23k 2 .  2 Elegimos  z = 1   y  completar  el  cuadrado  de  h   para  obtener  una  representación 

(

)

θ

paramétrica. Por lo tanto  1 = ( h − 4k ) + 7 k 2 ⇒ k = sen 2

7

⇒ h = 4k + cos θ . 

71 θ 23 θ .  Vemos  que  el  punto  entero  más  + 4 sen + cos θ ⇒ y = + sen 3 3 7 7 cercano  ( 24,8 )  se encuentra  fuera la curva, pero  ( 25,8 )  se encuentra en el interior.  x=

a1

.c om

De hecho,  C ( 24,8 ) = 592  pero  C ( 25,8 ) = 591  es el mínimo. 

at ic

    7.  Una  inyección  de  x   miligramos  de  cierto  medicamento  A   y  y   miligramos  del 

at em

medicamento  B  produce una respuesta de  R  unidades, y  R = x 2 y 3 ( c − x − y ) , donde 

M

c   es  una  constante  positiva.  ¿Qué  dosis  de  cada  medicamento  ocasionarán  la  respuesta máxima? 

w.

R = x 2 y 3 ( c − x − y ) = cx 2 y 3 − x 3 y 3 − x 2 y 4 , x ≥ 0, y ≥ 0 .  Si  x ≥ c, y ≥ c, x = 0 ,  o  y = 0 , 

ww

entonces  R ≤ 0 . Tanto, el máximo que buscamos ha de producirse en un punto crítico  dentro del cuadrado  0 ≤ x ≤ c, 0 ≤ y ≤ c .  Rx = 2cxy 3 − 3 x 2 y 3 − 2 xy 4  y  R y = 3cx 2 y 2 − 3 x 3 y 2 − 4 x 2 y 3 .  Rx = 0; xy 3 ( 2c − 3 x − 2 y ) = 0;3 x + 2 y = c ⇒ R y = 0; x 2 y 2 ( 3c − 3 x − 4 y ) = 0;3 x + 4 y = 3c

  1 1 El único punto crítico es cuando  x = c ⇒ y = c . Por lo tanto, la respuesta máxima  3 2 1 1 es cuando  c mg  de droga  A  y  c mg  de  B  se inyecta.  3 2   8.  Suponga  que  t   horas  después  de  la  inyección  de  x   miligramos  de  adrenalina  la  respuesta es de  R  unidades, y  R = te − t ( c − x ) x ,  donde  c  es una constante positiva. 

¿Qué valores de  x  y  t  producirán la respuesta máxima?  Dejar 

R ( t , x ) = te−t ( c − x ) x . 

Rt ( t , x ) = (1 − t ) e

−t

Parcial 

de 

diferenciación, 

se 

obtiene 

( c − x ) x  y  Rx ( t , x ) = te ( c − 2 x ) . Si  Rt ( t , x ) = 0 , entonces o bien  −t

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t = 1, x = 0   o  x = c .  Si  Rx ( t , x ) = 0 ,  entonces  o  bien  t = 0   o  x =

1 c .  Los  puntos  2

⎛ 1 ⎞ críticos son  ( 0, 0 ) , ( 0, c ) , y  ⎜ 1, c ⎟ .  ⎝ 2 ⎠ El dominio de  R  es el conjunto cerrado, pero son límites  {( t , x ) : t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ c} .  

⎛ 1 ⎞ 1 Para  demostrar  que  R ⎜1, c ⎟ = e −1c 2 ≈ 0.09c 2   es  un  valor  máximo  absoluto,  ⎝ 2 ⎠ 4 considere la cerrada y acotada  D = {( t , x ) : 0 ≤ t ≤ 2, 0 ≤ x ≤ c} . 

En  los  tres  lados  de  la  frontera  t = 0, x = 0 ,  y  x = c   tiene  el  valor  0.  Porque  2

1 2 ⎛ 1 ⎞ c − ⎜ x − c ⎟   a  continuación,  en  el  lado  t = 2 ,  hemos  4 2 ⎠ ⎝ 1 ⎛ 1 ⎞ R ( 2, x ) = 2c −2 ( c − x ) x ≤ c −2 c 2 ≈ 0.07c 2 < R ⎜ 1, c ⎟ .  2 ⎝ 2 ⎠ Por  lo  tanto  R   tiene  un  valor  máximo  absoluto  en  D   que  debe  ocurrir  en  el  punto  crítico interior. Además, porque  Dt ( te − t ) = (1 − t ) e − t < 0  para  x > 1 , entonces  te − t  es 

.c om

(c − x) x =

a1

decreciente para  t > 1 . Por lo tanto, para cualquier punto  ( t , x )  fuera de  D  tenemos 

at ic

R ( t , x ) = te−t ( c − x ) x < 2e−2 ( c − x ) x < R ( 2, x ) . 

at em

Por lo tanto el máximo absoluto en  D  es un máximo absoluto de todo el dominio de  1 R . Por lo tanto, la máxima respuesta se produce cuando  t = 1  y  x = c .  2 Alternativamente  R ( t , x ) = g ( t ) h ( x ) ,  donde  g ( t ) = te−t , t ≥ 0   y  separado.  g ′ ( t ) = (1 − t ) e−t  

M

h ( x ) = ( c − x ) x, 0 ≤ x ≤ c . Porque  g  y  h  son positivos, maximizamos cada función por 

ww

w.

Porque  g ′ ( t ) > 0   donde  0 ≤ t < 1   y  g ′ ( t ) < 0   si  t > 1 ,  entonces  g   tiene  un  valor  máximo absoluto cuando  t = 1 .  h′ ( x ) = c − 2 x   1 1 c  y  h′ ( x ) < 0  si  c < x ≤ c , entonces  h  tiene un valor  2 2 1 máximo absoluto cuando  x = c . Así,  R  tiene un valor máximo absoluto cuando  t = 1   2 1 y  x = c .  2   9. Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el 

Porque  h′ ( x ) > 0  si  0 ≤ x <

elipsoide  36 x 2 + 9 y 2 + 4 z 2 = 36   si  las  aristas  deben  ser  paralelas  a  los  ejes  coordenados.  Dejar  2l, 2w   y  2h   el  número  de  unidades  de  la  longitud,  anchura  y  altura,  respectivamente,  del  paralelepípedo  P .  Continuación,  en  el  octante  el  vértice  de  P   esta  en  ( l, w, h ) .  Desde  este  punto  es  en  el  elipsoide  155       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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9 ( 4 − 4l 2 − ω 2 ) . Si  V  unidades cúbicas es el volumen de  4 P , entonces  V = ( 2l )( 2ω )( 2h ) = 8lω h . Dejar 

36l 2 + 9ω 2 + 4h 2 = 36; h 2 =

f ( l, ω ) = V 2 = 64l 2ω 2 h 2 = 144l 2ω 2 ( 4 − 4l 2 − ω 2 ) = 144 ( 4l 2ω 2 − 4l 4ω 2 − l 2ω 4 )  

El  dominio  de  f   es  la  región  cerrado  y  acotado  por  el  circulo  4l 2 + ω 2 = 4 ,  y 

f ( l, ω ) = 0  en la frontera. Tanto el máximo que buscamos ha de ocurrir en un interior  de puntos críticos.  f l ( l, ω ) = 144 ( 8lω 2 − 16l 3ω 2 − 2lω 4 ) ⇒ fω ( l, ω ) = 144 ( 8l 2ω − 8l 4ω − 4l 2ω 2 )   f l ( l, ω ) = 0 ⇒ 288lω 2 ( 4 − 8l 2 − ω 2 ) = 0 ⇒ 8l 2 + ω 2 = 4  ( l = 0  o  ω = 0  da un punto 

fω ( l, ω ) = 0 ⇒ 576l 2ω ( 2 − 2l 2 − ω 2 ) = 0 ⇒ 2l 2 + ω 2 = 2

frontera) 

 

Por  lo  tanto 

( 3 ) = 163 = 163

at ic

⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ máximo  es  8 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

a1

.c om

1 4 l 2 =   y  ω 2 = .  El  único  punto  crítico,  y  por  lo  tanto  el  valor  máximo  absoluto,  es  3 3 1 2 9⎛ 4 4⎞   y  ω = .  Entonces  h 2 = ⎜ 4 − − ⎟ = 3; h = 3   y  el  volumen  cuando  l = 4⎝ 3 3⎠ 3 3

3 .  Como  alternativa,  porque  la  suma  81 2 V = ( 36l 2 )( 9ω 2 )( 4h 2 )  es mayor  4 son  iguales,  y  así 

cuando 

at em

36l 2 + 9ω 2 + 4h 2  es una constante, el producto 

condiciones  1 2 36l = 9ω = 4h = 12 ⇒ l = ,ω = , h = 3 .  3 3   10.  Se  elabora  una  caja  rectangular  sin  tapa  con  un  costo  de  material  de  $10 .  Si  el 

las 

2

2

ww

w.

M

2

material para el fondo de la caja cuesta  $0.15  por pie cuadrado y el material para los  lados cuesta  $0.30  por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor  volumen que pueda elaborarse.  Dejar  l pie, ω pie ,  y  h pie   la  longitud,  anchura  y  altura  del  piso,  de  la  caja  V pie3   el 

volumen.  Entonces  .15lω + 30 ( 2lh + 2ω h ) = 10,3lω + 12lh + 12ω h = 200 .  Porque  la 

suma  es  constante,  el  producto  432V 2 = ( 3lω )(12lh )(12ω h )   es  mayor  cuando  3

200 500 ⎛ 200 ⎞ 3lω = 12lh = 12ω h = 2 ⇒ 432l 2ω 2 h 2 = ⎜ ⎟ ⇒ lω h = 3 27 ⎝ 3 ⎠   lω h 10 lω h 5 2 =ω ⇒ 2 l= = = 3 ωh 6 lω   11. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de  10 pie3  empleando 

tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de  $0.18  por  156       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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pie cuadrado, el costo del material para el frente y la parte trasera es de  $0.16  por pie  cuadrado,  y  el  costo  del  material  para  los  otros  dos  lados  es  de  $0.12   por  pie  cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales  sea un mínimo.  Dejar  l pie, ω pie   y  h pie   la  longitud,  anchura  y  altura,  respectivamente,  de  la  caja.  16 Que  centavos  C   es  el  costo  de  los  materiales.  Entonces  lω h = 16 ⇒ h =   y  lω 256 192 .  Si  l ≥ 1000   y  ω ≥ 0.1   o  l ≥ 0.1   y  + C = 18lω + 16ω h + 12lh = 18lω + ω l 256 = 2560 ;  ω ≥ 1000 , entonces  C ≥ 18 (1000 )( 0.1) = 1800 . Si  l ≤ 0.1 , entonces  C ≥ ( 0.1)

192 = 1920 . Por lo tanto, el valor mínimo absoluto de  C  debe  ( 0.1) ocurrir en un momento crítico en el interior de la plaza  0.1 ≤ l ≤ 1000, 0.1 ≤ ω ≤ 1000 . 

.c om

si  ω ≤ 1 , entonces  C ≥

2

at em

at ic

a1

⎛ 9l 2 ⎞ 256 64 ∂C 192 512 ∂C 3   = 18ω − 2 = 0 ⇒ ω = 2 = 18l − 2 = 0 ⇒ 18l − 192 ⎜ ⎟ ⇒l = 27 ∂l l 9l ∂ω ω ⎝ 64 ⎠ 8 El  único  punto  crítico,  y  por  lo  tanto  el  valor  mínimo  absoluto,  es  cuando  l =   y  3 ω = 2 . Entonces  h = 3  y  C = 288 .    12. Suponga que  T  grados es la temperatura en cualquier punto  ( x, y , z )  de la esfera 

M

x 2 + y 2 + z 2 = 4 , y  T = 100 xy 2 z . Obtenga los puntos de la esfera donde la temperatura 

ww

w.

es la máxima y también los puntos donde es mínima. Además, calcule la temperatura  en estos puntos.  Porque  y 2 = 4 − x 2 − z 2  es una función de  x  y  z   T ( x, z ) = 100 xz ( 4 − x 2 − z 2 ) ⇒ x 2 + z 2 ≤ 4   (1) 

Así: 

Tx ( x, z ) = 100 ⎡⎣ xz ( −2 x ) + z ( 4 − x 2 − z 2 ) ⎤⎦ = −100 z ( 3 x 2 + z 2 − 4 )  

y 

Tz ( x, z ) = 100 ⎡⎣ xz ( −2 z ) + x ( 4 − x 2 − z 2 ) ⎤⎦ = −100 z ( 3 z 2 + x 2 − 4 ) . 

Si  Tx ( x, z ) = 0  y  Tz ( x, z ) = 0 , hemos    z ( 3 x 2 + z 2 − 4 ) = 0   (2)  x ( 3 z 2 + z 2 − 4 ) = 0 (3) 

Si  z = 0 , continuación de la ecuación (3) obtenemos  x = 0  o  z = ±2   Si  x = 0 , continuación de la ecuación (2) obtenemos  z = 0  o  z = ±2   Si  x ≠ 0  y  z ≠ 0 , entonces obtenemos  3 x 2 + z 2 − 4 = 0  y  3 z 2 + x 2 − 4 = 0      (4)  Las  soluciones  de  la  ecuación  (4)  son  x = ±1   y  z = ±1 .  Usamos  (1)  para  encontrar  el  valor de  T  en cada punto crítico.  157       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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Por  lo  tanto,  T ( 0, 0 ) = 0 ⇒ T ( 0, 2 ) = 0 ⇒ T ( 0, −2 ) = 0 ⇒ T ( 2, 0 ) = 0 ⇒ T ( −2, 0 ) = 0   y 

T (1,1) = T ( −1, −1) = 200 ⇒ T (1, −1) = T ( −1,1) = −200 .  Porque  x 2 + z 2 ≤ 4  es un conjunto cerrado y acotado y  T  tiene el valor 0 en el límite,  el  máximo  absoluto  y  el  mínimo  de  T   se  encuentran  en  los  puntos  críticos.  Además 

y 2 = 2  cuando  x = ±1  y  z = ±1 . Por lo tanto, 200 grados es la mayor temperatura, y 

(

) (

)

esta  temperatura  se  produce  en  los  puntos  1, ± 2,1   y  −1, ± 2, −1 .  La  menor 

(

)

temperatura  es  −200   grados,  que  se  produce  en  los  puntos  1, ± 2, −1   y 

( −1, ±

)

2,1 . Alternativamente, los extremos de la  T  se produce en el máximo de  T 2 . 

a1

.c om

T 2 = 2500 ( 2 x 2 ) y 2 y 2 ( 2 x 2 ) Porque la suma de los factores  2 x 2 + y 2 + y 2 + 2 z 2 = 8  es la    más  grande  una  constante,  el  producto  es  cuando  los  factores  son  iguales,  que  es  1 cuando  2 x 2 = y 2 = 2 z 2 = ( 8 ) = 2 ⇒ x = ±1, y = ± 2, z = ±1   que  conduce  a  la  misma  4 conclusión.    13. Suponga que en la producción de cierto artículo se requieren  x  horas – máquina y 

at ic

y   horas  –  persona,  y  que  el  costo  de  producción  está  dado  por  f ( x, y ) ,  donde 

at em

f ( x, y ) = 2 x 3 − 6 xy + y 2 + 500 . Determine los números de horas – máquina y de horas 

– persona necesarios para producir el artículo al costo mínimo. 

w.

M

Cuando  la  producción  de  la  mercancía  requiere  x   horas  máquinas  y  y   horas  –  persona,  el  costo  de  producción  está  dada  por  3 2 f ( x, y ) = 2 x − 6 xy + y + 500 ⇒ x ≥ 0, y ≥ 0 . 

ww

f x ( x, y ) = 6 x 2 − 6 y = 0; y = x 2  y  f y ( x, y ) = −6 x + 2 y = 0; −6 x + 2 x 2 = 0; x = 0,3  

( 0, 0 )   y  ( 3,9 ) . f ( 0, 0 ) = 500   y  f ( 3,9 ) = 473 .  Ahora  2 f ( x, y ) = z 2 ( 2 x − 9 ) + ( 3 x − y ) + 500 .  Sí  x ≥ 10, f ( x, y ) ≥ 100 (11) + 500 = 1600 > 473 ;  2 si  0 ≤ x ≤ 10   y  y ≥ 60   entonces  f ( x, y ) ≥ −9 (100 ) + ( 30 ) + 500 = 500 > 473 .  Por  lo 

Los  puntos  críticos  son 

tanto,  el  mínimo  absoluto  debe  ocurrir  en  un  punto  crítico  dentro  del  rectángulo  0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 60 , es decir, en  ( 3,9 ) .    14.  Una  tienda  de  ropa  vende  dos  tipos  de  camisa  que  son  similares  pero  que  son  elaboradas por diferentes fabricantes. El costo de la tienda  para el  primer tipo es de  $40   y  el  costo  del  segundo  tipo  es  de  $50 .  Por  medio  de  la  experiencia,  se  ha  determinado que si el precio de venta del primer tipo es de  x  dólares y el precio de  venta para el segundo tipo es de  y  dólares, entonces el número de camisas del primer  tipo que se venden mensualmente es  3200 − 50 x + 25 y , y el de las del segundo tipo es  25 x − 25 y . ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada tipo de camisa a fin de obtener la 

máxima utilidad?  158       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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Los beneficios son la unidad  x − 40  y  −50 .  P = ( x − 40 )( 3200 − 50 x + 25 y ) + ( y − 50 )( 25 x − 25 y ) = 3950 x + 250 y − 50 x 2 + 50 xy

−25 y 2 − 128, 000 ⇒ Px = 3950 − 100 x + 50 y = 0 ⇒ Py = 250 + 50 x − 50 y = 0

 

Px + Py = 4200 − 50 x = 0, x = 84 ⇒ Px + 2 Py = 4450 − 50 y = 0, y = 89 Pxx = −100 ⇒ Pyy = −50 ⇒ Pxy = 50 ⇒ D = 2500 > 0

El  punto  crítico  es  un  máximo  relativo.  Ya  que  P   es  una  cuádrica.  También  es  un  máximo  absoluto,  vender  la  primera  $84 ,  el  segundo  en  $89   para  una  ganancia  de  $49.025 .      15. Un decorador, quien es un monopolista, hace dos tipos de marcos para pinturas.  Por medio de la experiencia, el decorador ha determinado que si elabora  x  marcos del  primer  tipo  y  y   marcos  del  segundo  tipo  y  los  pone  a  la  venta  en  una  sala  de  exhibición,  pueden  venderse  por  (100 − 2 x )   dólares  y  (120 − 3 y )   dólares  cada  uno, 

.c om

respectivamente.  El  costo  total  de  fabricación  de  estos  marcos  es  (12 x + 12 y + 4 xy )  

at ic

a1

dólares. ¿Cuántos marcos de cada tipo debe producir para obtener la máxima utilidad,  y cuál es esa utilidad?  P = R − C = x (100 − 2 x ) + y (120 − 3 y ) − (12 x + 12 y + 4 xy ) = −2 x 2 − 4 xy − 3 y 2 + 88 x + 108 y Px = −4 x − 4 y + 88 = 0 ⇒ Py = −4 x − 6 y + 108 = 0 ⇒ 3Px − 2 Py = −4 x + 48 = 0, x = 12

at em

Px − Py = 2 y − 20 = 0, y = 10 ⇒ Pyy = −4 ⇒ Pyy = −4 ⇒ D = 8 ⇒ (12,10 )

M

Es  un  máximo  relativo,  ya  que  P   es  una  cuádrica,  es  un  máximo  absoluto.  P (12,10 ) = 1064 . Producir 12 de tipo 1, 10 de tipo 2, con una ganancia de  $1064 . 

ww

w.

  16. Demuestre que la caja rectangular de mayor volumen que puede colocarse dentro  de una esfera tiene la forma de un cubo.  Dejar  P (12,10 ) = 1064  unidades que el diámetro de la esfera, donde  P (12,10 ) = 1064   es una constante. Suponemos que el cuadro es un sólido rectangular y que la caja con  mayor volumen se inscribe es la esfera. Si los lados de la caja tienen una longitud  x, y   y  z  unidades, y el volumen es  V  unidades cúbicas, a continuación  v = xyz . Porque el  cuadro se inscribe en la esfera, una diagonal de la caja es de un diámetro de la esfera.  Por  lo  tanto  x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .  Eliminamos  la  variable  z .  Entonces  V 2 = x 2 y 2 z 2 = x 2 y 2 ( a 2 − x 2 − y 2 ) . 

Dejar 

f 

la 

función 

definida 

por 

f ( x, y ) = x 2 y 2 ( a 2 − x 2 − y 2 ) = a 2 x 2 y 2 − x 4 y 2 − x 2 y 4   y  el  valor  máximo  de  V   se 

produce en el punto donde  f  tiene un valor máximo. Para encontrar el punto crítico  de  f  fijamos derivadas parciales iguales a 0. Así,   f x ( x, y ) = 2 a 2 xy 2 − 4 x 3 y 2 − 2 xy 4 = 0 (1) 

f y ( x, y ) = 2a 2 x 2 y − 2 x 4 y − 4 x 2 y 3 = 0 (2)  159       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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Eliminamos  a  de la ecuación del sistema en (1) y (2). Porque  x ≠ 0  y  y ≠ 0 , dividimos  la ecuación (1) por  y  y ecuación (2) por  x . Esto se traduce en  2 a 2 xy − 4 x 3 y − 2 xy 3 = 0 (3)  2 a 2 xy − 2 x 3 y − 4 xy 3 = 0 (4)    Restando la ecuación (4) de la ecuación (3), tenemos  −2 x 3 y + 2 xy 3 = 0 . Dividiendo a  ambos  lados  por  2xy ,  obtenemos  − x 2 + y 2 = 0 ⇒ y 2 = x 2 ⇒ y = x .  Sustituyendo  y = x  en la ecuación (1), tenemos   1 1   2a 2 x 3 − 4 x 5 − 2 x 5 = 0 ⇒ 2a 3 = 6 x 2 ⇒ x = 3a ⇒ y = 3a .  Se  muestra  que  3 3 1 ⎛1 ⎞ 1 6 3a, 3a ⎟ = f⎜ a  es un valor máximo absoluto. Debido a que el domino de  f   3 ⎝3 ⎠ 27

a1

.c om

es el cerrado y acotado en sí  x 2 + y 2 ≤ a 2  y  f  tiene el valor 0 en la frontera, entonces  f   tiene  un  valor  máximo  que  debe  ocurrir  en  el  punto  crítico  interior.  Porque  x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,  a  continuación,  sustituyendo  los  valores  encontrados  para  x   y  y ,  1 1 1 1 obtenemos  z 2 = a 2 − x 2 − y 2 = a 2 − a 2 − a 2 = a 2 .  Por  lo  tanto  x = 3a .  Por  lo  3 3 3 3 tanto  x = y = z   y  concluimos  que  V   tiene  un  volumen  máximo  si  la  caja  está  en  la 

at ic

forma de un cubo. Como alternativa, porque la suma de los factores de  V 2 = x 2 y 2 z 2  es 

w.

M

at em

la constante  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  el producto es mayor, cuando los factores son iguales,  por lo tanto,  x = y = z  y concluimos que  V  tiene un volumen máximo si la caja esta  en forma de un cubo.    17.  Se  elabora  una  caja  sin  tapa  con  una  cantidad  de  material  dada.  Determine  las  dimensiones relativas de la caja que contenga el mayor volumen posible. 

ww

Dejar  l, w  y  h  el número de unidades de la longitud, anchura y altura de la caja. Sea  S   unidades cuadradas que su superficie ( S  es una constante)  y  V  unidades cubicas su  volumen.  S − lw S lw − l 2 w 2 ⇒ V = lwh = S = lw + 2lh + 2 wh ⇒ h = , l > 0, w > 0 2 ( l + w) 2 ( l + w)   ∂V Sw2 − l 2 w2 − 2lw3 2 = = 0 ⇒ S − l − 2lw = 0 ∂l 2 ( l + w) y 

∂V S l 2 − l 2 w2 − 2l3 w = = 0 ⇒ S − w2 − 2lw = 0 .  2 ∂w 2 ( l + w)

Restando, 

se 

obtiene 

⎛ S S⎞ 1 S   y  l 2 = w2 ⇒ l = w   y  así  ⎜⎜ , ⎟⎟   es  el  único  punto  crítico.  Entonces  h = 2 3 3 3 ⎝ ⎠ 3

1 ⎛ S ⎞2 V = ⎜ ⎟ .  Si  l ≥ 10 S   y  w ≥ 0.1 S   o  l ≥ 0.1 S   y  w ≥ 10 S ,  entonces  2⎝ 3 ⎠

160       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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V=

lw ( S − l w ) 2 ( l + w)

≤ 0 .  Si  w ≤ 0.1 S ⇒ V ≤

(

)

l 0.1 S S 2l

3 3

S2 1⎛ S ⎞ = < ⎜ ⎟   y  lo  mismo  si  20 2 ⎝ 3 ⎠

l ≤ 0.1 S .  Por  lo  tanto,  el  volumen  máximo  absoluto  se  produce  en  un  momento 

crítico dentro del cuadrado  0.1 S ≤ l ≤ 10 S ⇒ 0.1 S ≤ w ≤ 10 S . Es decir, cuando  1 l : w : h = 1:1: . Como alternativa, porque la suma  lw + 2lh + 2wh  es una constante,  2 el producto  4V 2 = ( lw )( 2lh )( 2wh )  es mayor cuando las condiciones son iguales. Por  lo tanto  lw = 2lh = 2wh ⇒

1 2 2 = = ⇒ l : w : h = 2 : 2 :1 .  h w l

a1

.c om

  18. Un monopolista produce engrapadoras y grapas cuyas ecuaciones de demanda son  x = 11 − 2 p − 2q  y  y = 19 − 2 p − 3q , donde la demanda de engrapadoras es  1000x  si el  precio unitario es  p  dólares, y la  demanda de grapas es de  1000 y  cajas si el precio 

ic

unitario por caja es  q  dólares. El costo de producción de cada engrapadora es de  $2 , y 

em

at

el  de  cada caja  de grapas es  de  $1 .  Demuestre  que  para  obtener  la  máxima  utilidad  total, las engrapadoras deben ser gratuitas y las grapas deben ser costosas. 

M

at

Centro de actividad:  p − 2, q − 1 ⇒ P

w.

( p − 2 )(11 − 2 p − 2q ) + ( q − 1)(19 − 2 p − 3q ) = 17 p + 26q − 2 p 2 − 4 pq − 3q 2 − 41

ww

1 PP = 17 − 4 p − 4q = 0 ⇒ Pq = 26 − 4 p − 6q = 0 ⇒ PP − 2 Pq = −1 − 4 p = 0, p = −   4 9 Pp − Pq = −9 + 2q = 0, q = 2 Porque  el  único  punto  crítico  no  está  en  el  dominio,  el  máximo  es  en  la  frontera.  Si  13 46 .  p = 0 ⇒ P = 26q − 3q 2 − 41 ⇒ P ′ = 26 − 6q = 0 ⇒ q = ⇒P= 3 3 Sí  q = 0 ⇒ 17 p − 2 p 2 − 41 ≤ 0 .  Por  lo  tanto,  el  máximo  beneficio  se  produce  si  las  grapadoras son libres y una caja de grapas se vende por  $4.33 .      Nota: Se recomienda consultar el archivo de optimización localizado en el enlace de  TRAYECTO I MECANICA MANTENIMIENTO, TRIMESTRE II.    DÁMASO ROJAS  FEBRERO  2012   

161       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS