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4.3 Prueba de hipótesis para una media con varianza conocida y desconocida.
Contraste de la media de una población normal con varianza σ 2 conocida Las suposiciones para esta prueba son mínimas. La población o distribución de interés tiene una media μ y una varianza σ2, conocida. El estadístico de prueba se basa en la media muestral X , por lo que también se supondrá que la población esta distribuida de manera manera normal normal o que se aplica aplican n las condicion condiciones es del teorema teorema del limite limite centra central. l. Esto Esto sini!ica que la distribución de X es apro"imadamente normal con una media μ y una varianza σ2#n.
Desarrollo del procedimiento de prueba Contraste bilateral $ipótesis nula% H & % µ = µ & $ipótesis alternativa% H ' % µ ≠ µ & (onde μ& es una constan constante te especi!ica especi!ica. El Estadísti Estadístico co de contraste contraste es% don donde
Z c = A.. Z ..calculado, X =
' n
Z c =
X − µ &
σ
en
n
n
siendo do ∑ X i , sien
( X ' ,..., X ) una una mues muestr traa de la n
i ='
población considerada normal N * µ , σ ) , varianza varianza conocida conocida y n + tamao de la muestra. -uest -uesto o que que X tiene una distribución apro"imadamente normal con media μ& y una desviación σ n si la ipótesis nula es verdadera, entonces puede conseuirse una reión critica con en el valor calculado de la media muestral X . El procedimiento de prueba para
H & % µ = µ & utiliza
el
estadístico estadí stico de prueba
Z c =
X − µ &
σ
n
, si la ipótesis
nula H ' % µ ≠ µ & es verdade verdadera, ra, entonce entoncess E * X ) = µ & , de donde se desprende que la distribuci distribución ón / es la distribución distribución normal normal estándar. estándar. -or lo tanto, si H & % µ = µ & es cierta, la probabilidad de que el estadístico de prueba /c caia entre entre -or lo tanto $& debe recazarse si%
− Z
α
2 .. y.. Z α 2 ..es..'
.
α
−
Estas Estas dos desiualdade desiualdadess se conocen conocen como Región Critica o Zonas de Rechazo *ver ra!ica 0).. 1iendo Z α 2 el valor de la abscisa de la normal *&,'), además es un valor que se encuentra en la tabla / que de3a a su dereca un área de probabilidad iual aα # 2 . Z c > Z α 2 ..o.. Z c < −Z α 2 ,
la ipótesis ula $&, si los valores de / c se encuentran Regla de Decisión: 4o se recaza la en el intervalo − Z α 2 ≤ Z c ≤ Z α 2 .5 El área área comp compre rendi ndida da en esa esa desiu desiual aldad dad se le denomina Zona de Aceptación o Región de Aceptación.
uego los valores críticos de la media media muestral ser!n% X VC
= µ & ± Z α 2 σ
n
La !ormula estadística
Z c =
X − µ &
σ
n
es un estadístico en la cual
µ &
es, por ipótesis, la
media de la población de la cual proviene la muestra. La razón de traba3ar con unidades estándar, o valores de /, es que permite !ormular criterios que se pueden aplicar a una amplia variedad de problemas y no solo a uno. 1i se apro"ima la distribución de muestreo de la media, con una distribución normal, se pueden aplicar los criterios de prueba que se muestran en el siuiente cuadro simbolico, se6n la elección de la ipótesis unilateral o bilateral. 7na vez mas, Z .. y..Z 2 son valores de / tal que el área situada a su dereca deba3o de la distribución normal estándar es α .. y..α 2 . α
α
α
C"ADR# $%&'(%C# )ipótesis Alternativa
Rechazar la hipótesis nula si
Aceptar la hipótesis nula o reservarse el *uicio $i
µ < µ &
Z < − Z α
Z
µ > µ &
Z
Z ≤ Z α
> Z α
≥ − Z α
Z < − Z α 2
µ ≠ µ &
o
− Z α 2 ≤ Z ≤ Z α 2
Z > Z α 2
La prueba que se a descrito es esencialmente con una muestra rande8 esta solo se cumple cuando la población que se muestrea tiene una distribución normal y es mayor o iual a 9&. (e la misma !orma, como se desconoce σ en mucas aplicaciones prácticas, a menudo no se tiene otra opción que acer la apro"imación adicional de sustituir este valor por la desviación típica 1 de la muestra.
+,+&-#: 1e desea determinar, con base a la media X de una muestra aleatoria de tamao '&&, si el asto diario promedio en alimentos de !amilias de tres miembros de cierta escala de inreso es de :;&.& 0s. < partir de in!ormación recolectada en otros estudios pertinentes, suponemos que la variabilidad de esos astos están dados por una desviación estándar de σ = '22.& Bs. y se sabe que la media de la muestra es de :=:.& 0s. El e"perimento se debe realizar con un nivel de sini!icancia de α + &.&;.y &.&' >< qué conclusiones se debe llear?
$#"C%(/: Lo -rimero que se debe realizar es plantearse las ipótesis% H & % µ = :;&.& H ' % µ ≠ :;& .&
El nivel de sini!icancia de &.&; por tabla se sabe que Z α 2 X :=:.& 8 µ & = :;&.& 8 σ = '22.& , aora se aplica la !ormula% =
= ±'.@A
8 n + '&& 8
Regla de Decisión: 4 1e recaza la ipótesis ula Z c > Z α 2 ..o.. Z c < −Z α 2
Z c =
X − µ & σ
→ Z c =
n
Conclusión: Bomo
es decir,
:=: − :;& '22
=
Z c > '
[email protected] c
2: '22 '&
'&&
=
2:
$&, si los valores de < −'.@A .5
∴ Z = 2.9
'2.2
es decir, Z c = 2.9 > '.@A , se recaza H & % µ = :;&.& y se concluye que el asto en alimentos diario en promedio de las !amilias en estudio no es iual a :;&.& 0s. -or ser la di!erencia entre la media X observada y el valor ipotético de μ es demasiado rande para atribuirse a la casualidad. Comando e n cuenta los datos, pareciera que el asto promedio diario en alimentación de esas !amilias es superior a :;&.& 0s. Esto se puede observar en la ra!ica en donde /c + 2.9& cae !uera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que µ = :;& Z c es mayor que
Z α 2 ,
>Dué ocurriría si se ubiese utilizado un nivel de sini!icancia de α + &.&' en vez de &.&;? Esta interroante se le de3a a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
+,+&-# 2: Los sistemas de escape de emerencia para aviones son impulsados por un combustible sólido. 7na de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especi!icaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de ;& cm#s. 1e sabe que la desviación estándar de esa rapidez es de σ+2 cm#s El e"perimentador decide especi!icar un nivel de sini!icancia, de + &.&;. 1elecciona una muestra aleatoria de n + 2; y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de media muestral+;'.9 cm#s >< qué conclusión debe llear?
$#"C%(/: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión. H & % µ = ;& ..cm # s H ' % µ ≠ ;&..cm # s
-or X
=
tabla
se
sabe
;'.9..cm # s... y..µ &
que
=
Z α 2 = ±',@A
8
n
+
2;8
σ
+
2
cm#s8
;&..cm # s .
Regla de Decisión: 4 1e recaza la ipótesis ula Z c
> Z α 2 ..o.. Z c < −Z α 2
es decir,
Z c
> '
[email protected] c
$&, si los valores de < −'.@A .5
'.@A , se recaza % µ = ;& con un nivel de sini!icancia de &.&;. (e eco, se observa una evidencia Z c es mayor que
!uerte de que la rapidez promedio de combustión es mayor que ;& cm#s. Esto se puede observar en la ra!ica en donde /c + 9.2; cae !uera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que µ = ;& . >Dué ocurriría si se ubiese utilizado un nivel de sini!icancia de α + &.&' en vez de &.&;? Esta interroante se le de3a a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
+,+&-# 0: La duración media de una muestra de '&& bombillos !luorescentes producidos por la compaía Feneral Electric resulta ser ';=& oras, con una desviación estándar de '2& oras. 1i μ es la duración media de todos los tubos producidos por la compaía, compruebe la ipótesis $o% G+'A&& oras contra la ipótesis $'% GH'A&& oras con un nivel de sini!icancia de a) &.&', b) &.&;.
$#"C%(/: Bomo ya están planteadas las ipótesis para un contraste bilateral se determina por tabla los valores de / al &.&', donde Z α 2 (atos% µ & 'A&&,.. X ';=&,..S '2&8..n '&&. $ipótesis% =
=
=
= ±2.;:
.
=
H & % µ & = 'A&&..horas H ' % µ ≠ 'A&&..horas
Regla de Decisión o Region Critica: 4 1e recaza la ipótesis ula $&, si los valores de Z c > Z α 2 ..o.. Z c < −Z α 2
2.;:..o..Z c < −2.;: .5
n
9& '2& '&
para estandarizar los valores%
=−
9& '2
→ Z c = −2.;&
, es decir, Z c = −2.;& > −2.;: , se
