4.3 Movimiento Plano

4.3 movimiento plano de un cuerpo rígido Un cuerpo: Es un objeto que no pierde sus propiedades físicas ni químicas por estar en movimiento; se analizará el movimiento de piedras, neumáticos, automóviles, automóviles, proyectiles, etc. Un cuerpo rígido: Es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma; para fines de movimiento se puede suponer que el neumático de un automóvil es un cuerpo rígido. El movimiento de cuerpo rígido, se analizará considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación.

En el movimiento plano de un cuerpo rígido, siempre existe un punto de el (o de una extensión rígida de el) que tiene velocidad instantánea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto. Tal punto se conoce como centro instantáneo de rotación. EJEMPLO Si se lanza un ladrillo, se puede determinar el movimiento de su centro de masa sin tener que considerar su movimiento rotacional. la única fuerza significativa es su peso, y la segunda ley de Newton determina la aceleración de su centro de masa. Sin embargo, suponga que el ladrillo este parado sobre el piso y usted lo vuelca, por que desea determinar el movimiento de su centro al caer. En este caso el ladrillo esta sometido a su peso y a una fuerza ejercida por el piso. No se puede determinar la fuerza ejercida por el piso ni el movimiento del centro de masa sin analizar su movimiento racional. Antes de analizar tales movimientos, debemos considerar como describirlos. Un ladrillo es un ejemplo de cuerpo rígido cuyo movimiento se puede describir tratándolo como cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma. La definición precisa es que la distancia entre todo par de puntos del cuerpo rígido permanece constante. Si bien cualquier cuerpo se deforma al moverse, si su deformación es pequeña su movimiento puede aproximarse modelándolo como cuerpo rígido. Para describir el movimiento de un cuerpo rígido basta con describir el movimiento en un solo punto, como su centro de masa y el movimiento rotacional del cuerpo alrededor de ese punto. Algunos tipos particulares de movimientos ocurren con frecuencia en ciertas aplicaciones. Como ayuda para visualizarlos usamos un sistema coordenado que se mueve junto con el cuerpo rígido. Tal sistema coordenado se llama fijo al cuerpo

El movimiento mas general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como Una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero No rotante en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación. Por ejemplo: el movimiento del cuerpo de la fig. 10-2 que pasa de la posicion de 1 a 2 puede considerarse como de uno de traslación representado por el desplazamiento cc* que une las dos posiciones del centro de masa, y uno de rotación alrededor de un eje a través del centro de masa cc*

TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO En el plano, un cuerpo puede moverse de tres formas diferentes: traslación, rotación al rededor de un eje fijo y movimiento plano general. Traslación: Un cuerpo está en traslación si todas las partículas (puntos) que lo componen describen la misma trayectoria. La traslación puede ser rectilínea o curvilínea. [Figuras a y b].

(a) Traslación rectilínea (b) Traslación curvilínea Una característica del movimiento de traslación es que cualquier recta, considerada como perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma dirección. Esto se puede apreciar en la figura a donde la recta AB es paralela a la recta A’B’

Ejercicio. Inadvertidamente la puerta de un automóvil ha quedado ligeramente abierta cuando se aplican los frenos para dar al vehículo una aceleración constante hacia atrás a deducir las expresiones de la velocidad angular w de la puerta cuando esta pasa por la posición de θ=90. Y las componentes de la reacción en la bisagra para cualquier valor de θ. La masa de la puerta es m y su centro de masa esta a una distancia r del eje de la bisagra O y el radio de giro respecto a O es k o.

Solución. Como la velocidad w aumenta con θ, es preciso hallar como varia la aceleración angular α de forma que podamos integrar esta en todo el intervalo para obtener w. La ecuación de α la podemos obtener de una ecuación de momentos con respecto a O.

Esta ecuación se convierte en la ecuación cinemática ligadura y es:

Los módulos de las componentes en ma son:

Donde

y

Para un ángulo dado por θ, las tres incógnitas de α, Ox y Oy. Podemos eliminar Ox y Oy mediante una ecuación de momentos respecto a O lo que da:

Despejando α tenemos:

Ejercicio. La barra esbelta AB de masa 30 kg se mueve en el plano vertical estando sus extremos Obligados a deslizarse por las guías horizontal y vertical lisas si la fuerza de 150 N se aplica A cuando la barra esta inicialmente en reposo, en la posición θ=30. calcular la aceleración angular resultante de la barra y la fuerza actuante sobre los pequeños rodillos A y B.

Solución. La barra ejecuta un movimiento vinculado, por lo que debemos establecer la relación entre la aceleración del centro de ,masa y la aceleración angular. Primero debe resolverse la ecuación de la aceleración relativa y a continuación se resuelve la ecuación Para obtener expresiones que relacionen a con α.

Seguidamente construimos tal como se muestra en la figura, los diagramas para solido libre y cinético conocidas ahora ax y ay en función de α, las incógnitas que quedan son α y las fuerzas A y B. la aplicación de las ecuaciones nos da:

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones se obtiene

Existe la posibilidad de tomar C como centro de momentos y emplear la ecuación con lo cual se evita la necesidad de resolver un sistema de tres ecuaciones, de este modo quedan automáticamente eliminadas las dos incógnitas, A y B lo que nos permite hallar directamente α. Es decir

Conocidas ya α podemos aplicar independientemente las ecuaciones de las fuerzas Y obtener