4.2 Esfuerzo Normal y Cortante en Vigas

MECANICA DE MATERIALES

UNIDAD 4

4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS

Consideremos a continuación la viga simplemente apoyada de la fig. 2.4.a, la misma presenta una carga puntual “P” aplicada perpendicularmente al eje de la viga. La sección transversal de la viga está compuesta por cuatro placas, inicialmente independientes entre sí. Para el momento de aplicación de la carga “P”, la deformación por flexión que aparece en la viga, hace que las placas deslicen horizontalmente unas sobre otras. Si ahora asumimos que las placas tienen algún pegamento o soldadura, de tal manera que impida el deslizamiento anterior, instintivamente podemos visualizar la aparición de una fuerza horizontal entre las placas, que las mantendrá unidas entre sí. Esta fuerza generada tiene las características de una fuerza cortante por ser tangente o paralela a la superficie de contacto entre las placas. Considerando la sección con las placas soldadas de la fig. 2.4.b, donde se aprecian los prismas de esfuerzo normal a compresión y tracción, podemos notar como las resultantes C1 y C2 de compresión, tienen diferente magnitud, por lo tanto en el plano “b” se produce una fuerza cortante Vb, que mantiene en equilibrio las dos placas superiores, de igual manera se cumple en las dos placas inferiores a tracción, por la simetría los cortes Vb = Vd. Las caras “a” y “e”, por ser libres no pueden generar fuerza cortante, mientras que en el plano “c”, se produce el mayor desequilibrio de fuerzas normales puesto que se suman las dos fuerzas de compresión superior con las dos de tracción inferior, las cuales deben ser equilibradas por la fuerza cortante Vc. Este ejemplo permite de antemano suponer que a diferencia de los esfuerzos normales, los esfuerzos cortantes presentan sus valores máximos en el eje neutro, mientras que los esfuerzos mínimos están en las fibras superiores e inferiores de la sección estudiada.

Fig. 2.4.a

σ

σ

σ

Fig. 2.4.b El corte en el plano b = d El corte en el plano a y e = 0 El corte en el plano c es el máximo C1 + C2 = C3 + C4

La parte izquierda de la figura de abajo representa la sección longitudinal del elemento diferencial “dx”, contenido entre las secciones 1 y 2, y los respectivos diagramas de esfuerzo normal en ambas secciones, considerando que estos diagramas difieren en intensidad, debido a la variación de magnitud de momento flector existente entre ambas secciones. En la sección transversal de la derecha, se establece una fibra situada a una distancia variable “y”, medida desde el eje neutro cuya sección transversal es dA. La distancia “y1” esta situada en el plano de separación entre dos placas, por ejemplo el plano “b”, el área rayada representa la placa superior.

σ1dA

σ2dA dv Y1

dx

dA

C

y y1

b

Si consideramos que “dv” es un diferencial de fuerza cortante resistente, que aparece entre las placas soldadas, por lo que matemáticamente se puede expresar como un esfuerzo cortante por un área de aplicación horizontal:

dv =

τ

∙( b∙dx)

τ

= dv / (b∙dx) (ec. 2.4.a)

La diferencia de fuerzas horizontales generadas por los esfuerzos normales “σ” ubicados a ambos lados en las secciones 1 y 2 es: dv = ∫y1 σ2. dA - ∫ y1 σ1. dA = M2 / ⌶ ∫ y1 y. dA – M1 / ⌶ ∫ y1 y. dA = (M2 – M1) / ⌶. ∫ y1 y.dA (M2 – M1) = dM Incremento diferencial del Momento Flector Sustituyendo en la la ec. 2.4.a.: τ = d M . ∫ y1 y∙ dA ⌶∙(b.dx) dM / dx = V; relación encontrada anteriormente entre corte y momento flector. ∫y1 y∙ dA = Me; momento estático o de primer orden. Finalmente la fórmula de esfuerzo cortante en vigas sustituyendo a “b” por “t” será:

τ

= V. Me ⌶.t

: Esfuerzo cortante en una fibra fibra situada a la altura “y1”, del eje neutro. V: Fuerza cortante actuante en la sección. ⌶: Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro. t: ancho de la zona cortada donde se evalúa el esfuerzo. Para no confundir con el ancho de la viga usaremos la letra “t”, b = t. τ

Me: momento estático del área de sección de viga que genera el esfuerzo cortante a la altura “y1”.

ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS A fin de evaluar los esfuerzos cortantes, consideremos el equilibrio de un elemento p-p’-n-n’. Recortado entre dos secciones transversales m-n y m’-n’ separados por una distancia dx. Si los momentos flexionantes en las secciones transversales m-n y m’-n’ son iguales, los esfuerzo normales σx que actúan sobre los lados n-p y n’p’ también serán iguales. En consecuencia el elemento estará en equilibrio bajo la acción de estos esfuerzos, por tanto el esfuerzo contante τ debe ser cero.

Para en el caso más general de un momento flexionante variable, denotemos por M y M+dM y si consideramos un elemento de área dA a una distancia “y” del eje neutro. La fuerza normal será dF= σx·dA, entonces: dF= (M·y·dA )/I , pero al sumar estas fuerzas elementales sobre el área de la cara p-n del elemento macizo. Se obtienen la fuerza horizontal F1=∫ (M∙y)/I ∙dA; y si tomamos la otra cara p’- n’ tendremos que F2=∫(M+dM)/I ∙y∙ dA; finalmente la fuerza F3 que actúa sobre la cara superior del elemento F3=  ·b·dx, en la cual b·dx, constituye el área de la cara superior por estática F3=F2-F1; entonces: Por estática →ΣFx → ΣFx =0, -F1 +F2 –F3 =0, entonces F3 =F2 –F1 ∙b∙dx= [∫ (M+dM)/I ∙y∙ dA] -[( M∙y∙dA )/I]  = dM/dx∙ (1/bI) ∙ ∫y∙ dA, pero V=dM/dx, entonces:  = V/ bI ∫y∙ dA, pero Qx= ∫y∙ dA, entonces:  = VQ/bI donde: τ: esfuerzo contante. Q: primer momento de área que tiende a deslizarse. I: momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro. b: longitud de la sección en el eje neutro. El primer momento de área Q, se obtiene de multiplicar el área a deslizarse por la distancia comprendida desde el centroide del área hasta el eje neutro. El flujo de corte está definido como q= VQ/I, ósea que q=τb

Bibliografia http://ingeniar.com.ve/Docencia/Resistencia.pdf Mecánica de Materiales Ing. Álvaro Vallejo P.