4.1.DEFINICION DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

4.1. DEFINICIÓN DE ESPACIOS Y SUB ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre un cuerpo

, es un conjunto

no vacío, dotado de dos

operaciones: (

,

, +,.)

Operación Conjunto

no vacio

de vectores Ov

Operación Interna (SUMA DE VE CTORES)

Externa (PRODUCTO DE UN VECTOR por un ESCALAR)

Recordemos que la forma de representar a un vector es:

V=

              Condiciones

Genérico o restricciones

                     

      

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OPERAC OPERAC N IN ERNA ERNA

OPERAC OPERACIÓ IÓN N EXTERNA EXTERNA

S

Multiplic Multipli c ción de de un esc lar por un Vector Vector

¡  

 

¢  

de Vec ¦ 

£

¤

¥  



§

¨ 

es



¥  



¥  















           



   



=3

       Espacios Vectoriales Comunes

(V,K,+,*)

GENÉRICO

EJEMPLO

                  a + bx

3-x

0 + 0x

                  





( a, b )

( a, b , c ) 

1.

( 4 , -6 , 2 )

( 0, 0 , 0 )

; sobre obre el que qu e hay de de inidas inida s dos dos ope op erac ra ciones iones © 

 

Suma:

        (a) Conmutati a:   



( 0, 0 )

© 

Verifi Verificcando las las siguie igui entes ntes propie propiedades dad es



( 2 ,5)

Un espa espaccio vectorial vec torial (V (V), de de inido sobre obre un cuerpo k (e (en ge general





 

             











) es un con junto  junto

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Pro Producto po porr un escalar:

2.

           Verificando las siguient es propiedades:

                                                    

(a) (b) (c) (d)

Los elementos de un espacio vector torial se llaman vector tores. Un espacio vector torial real es un espacio vector torial sobre el cuerpo R de los números reales.

ACIO IO VECTORI TORIAL AL SUBESPAC Se llama subes ubespa paccio vectorial vectorial (S (S) de un espa espaccio vectorial vec torial V a cualquie ualqui er subc ub con junto  junto no vac o, tal que qu e   

sobre obre V



que que es espa es paccio vectorial vec torial con las la s mis mismas mas ope operac ra ciones iones d efinidas finida s

 

Carac ara cterizac rización de de subes ubespa paccios ios vectorial vec toriales es

                   Si V es un espa espaccio vectorial vec torial





, entonces ntonces

 

CON ICIO ION NES PARA QUE SE CUMP UMPLA LA UN ESPAC ACIO IO VECTORI TORIAL AL   

a) 

b)

     



        



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Ejemplo: Demos mostrar

a) 

si W es subes ubespa paccio vectorial: vectorial:

                                1. 







                                                2.









b) 

1. 



                



COM OMB BINAC NACIÓ IÓN N LINEAL Sea Sea 

   

, un con junto  junto de d e vector vec tores es de un e v V, un vector vector u de de V es una ! 

! 

combinación lineal d e los los vector vec tores es d e B, s se pue puede escribir escribir lo siguie igui ente nt e: " 

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E jemplo1:  jemplo1:

¿

  

                                                                       ombinación line lineal de de Es combinac

?





E jemplo2:  jemplo2:

¿



Es combinac ombina ción line lineal de de





?





















E jemplo3:  jemplo3:

¿

                                                                                                                Es combinac ombinación line lineal de de

?









































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CAP CA PSULA LINEAL () Gráfi Gráficamente se lo represent a así :

Sea Sea 

   

, un con junto  junto de de vector vec tores es d e un e v V El con junto  junto S # 

# 

# 

genera a V, o V es g enerado por S, si todo vector vector u es de V una combinac ombina ción line lineal de los lo s vector vectores es d e S, es decir: ecir:

 

              

PAS PASOS PA RA OBTENER UNA CAPS APSULA LINE AL ALGÚN CONJUNTO S

Ejemplo:

                   

Encontrar la caps ap sula de de 

1. Escribimo sc ribimoss la de d efinic finición:

 

2. Escribimo sc ribimoss la formula ge g enéric ricame am ente nt e

 

                    

3. Obte bt en emos mos un sistema de d e ecua ecuacciones iones

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4. Expres xpr esamo amoss matric matricialme ialm ente nt e la expres xpr esión ión ante anterior

                                                

5. Aplic Aplicamos amo s G auss auss--Jordán para encontrar la res r estri tricc cción ión en est es te caso

6. Como te tenemos mos que que no exis xiste soluc olución obte obt en emos mos la siguie iguiente nte caps apsula

   

                     

CONJ NJU UNTO GEN GENER ERA A OR S g en era a W , donde donde S es el con junto  junto ge g en erador

PASOS PARA HALLA ALLAR R S QUE GEN GENER ERA AAW

1. 2. 3. 4

Hallar las restr st ricciones Remplazar las restr st ricciones Contar el numero de variables De compon er el ector tor de acuerdo al números de ariable

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Ejemplo 2:

                                                                              









              

 





DEPEN DEPE NDE DENC NCIIA E IN INDEPE DEPEN NDE DENC NCIIA LINEAL álgebra line lineal, un con junto  junto de de vector vectores es es linealmente En álge

de independiente si ninguno de 3 ellos llos pue puede ser ser escrito escrito con una combinac ombinación line lineal de d e los los restant estantes es.. Por ejemplo, ejemplo, en R ,

los los vector vectores es (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son line linealme almente nte inde independie ndientes ntes,, mie mientras ntras que que (2, 1, 1), (1, 0, 1) y (3, 1, 2) no lo son, ya que que el te tercero cero es la suma de de los los dos dos prime primeros ros. Un con junto  junto de de vector vectores es es linealmente dependiente si alguno de de los los vector vectores es pue puede ser ser escrito escrito con una combinac ombinación line lineal de de los los restant estantes es.. Un con junto  junto es LI si ninguno de d e sus vector vectores es es combinac ombinación line lineal de de los los otros otros. Un con junto  junto es LD si alguno de de sus vector vectores es es combinac ombinación line lineal de de los los otros otros.

PASOS PARA PRO PROBA BAR R SI ES L.I. O L.D. 1.

Se ti ene que hace r la comb inación lin eal nula.

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Ejemplo 1: Verificar si S es LD

                                               







Ejemplo 2: Verificar si S es LI

                                                          



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BASE Sea Sea (V (V, k, +,*)un e.v y   S es base ba se de V si:

a)

S es L.I.

b)

S g enera Av Av



PASOS PARA HALLA ALLAR R UNA UNA BA SE a)

Hallar

el con junto  junto ge generador

b)

Probar que que es L.I.

DIMEN DIME NSIÓ IÓN N DE V DEFIN DEFINICIÓN IÓN: es el núme núm ero de de vector vec tores es de S EJEMPL O: Encontrar una base ba se del s. e.v W.

a)

  

Hallar

el con junto  junto ge generador

                        

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EJEMPL O:

ba se del s. e.v W. Encontrar una base y

Hallar

el con junto  junto ge gen erado

                                                    

  



 

y

Probar que que S es L.I.





                                                              











Teorema 11(libro de traba jo  jo) Dim

(V ( V) = n =# de vector vec tores es de S

S es la base base de V si tie tiene n vector vec tores es LI

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E jemplo:  jemplo: y

Demos mostrar

que que S es una base ba se de W:

                                                                                       







Dim( R

3

)= 3 =# de vector vec tores es d e S

S g enera a W

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dimensión de de S con W: Encontrar la dime

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E jemplo  jemploss:

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COMO COMP OMPLLET ETA AR UNA U NA BASE E jemplo:  jemplo: 3

ompletar la base base S para lle llegar al e.v V=R . Comple

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3

3. Ahora de demos mostramos tramos si es LI para comple ompl etar una base base de R .

                                                                                        

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