415-bono-izvijanje-nosaa.pdf

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA UNIVERZITET U NOVOM SADU

BOČNO IZVIJANJE NOSAČA VEŽBE PREDMET: STABILNOST I DINAMIKA KONSTRUKCIJA

NOVI SAD 2011.

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

BOČNO IZVIJANJE NOSAČA 1. Uvod Kod štapova koji imaju dominantno savijanje u jednoj ravni može se javiti znatno veća krutost poprečnog preseka na savijanje oko jedne ose (EIz – „jača osa“) u odnosu na drugu osu (EIy – „slabija osa“). Usled napona pritiska pri savijanju može da dođe do bočnog-torzionog izvijanja nosača, odnosno dolazi do rotacije (torzije), vertikalnog i horizontalnog (bočnog) pomeranja poprečnih preseka (slika 1). Bočno-torziono izvijanje je kombinacija torzije i savijanja nosača u dve ravni. Sva razmatranja su u okviru linearno-elastične teorije bočnog-torzionog izvijanja.

2. Analiza stabilnosti prizmatičnog štapa Razmatraju se pravi prizmatični štapovi sa konstantnim poprečnim presekom. Krutost poprečnog preseka EIz je mnogo veća od krutosti poprečnog preseka EIy. Primenjuje se teorija malih deformacija. Oblik poprečnog preseka ostaje nepromenjen u toku deformacije. Razmatramo slučaj slobodne (neograničene) torzije kod koje nema otpora tendenciji ka krivljenju (deplanaciji) poprečnih preseka, Raspored napona u svim poprečnim presecima je isti i rastojanja između poprečnih preseka se ne menjaju, odnosno ne javljanju se normalni naponi.

Slika 1. Bočno izvijanje nosača Diferencijalne jednačine savijanja i uvijanja imaju sledeći oblik (izvijen oblik): Savijanje oko z ose: EI z

d 2v = Mξ dx 2

Savijanje oko y ose: EI y

d 2u = Mη dx 2

Uvijanje oko x ose: GI t

dΦ = −M ς dx

strana 2 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

2.1 Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena čistom savijanju Razmatra se prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena čistom savijanju i „viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 2. Prosta greda – čisto savijanje Savijanje oko z ose: EI z

d 2v = M ξ = M z cos (Φ ) = M z dx 2

(1)

Savijanje oko y ose: EI y

d 2u = M η = M z sin(Φ ) = M z Φ dx 2

(2)

Uvijanje oko x ose: GI t

dΦ du = −M ς = −M T = −M z dx dx

(3)

Diferencijalna jednačina bočnog izvijanja: – jednom diferenciramo jednačinu (3) i u nju uvedemo izraz za d2u/dx2 iz jednačine (2). GI t

M z2 d 2Φ = − Φ EI y dx 2

Rešenje: M kr =

π GI t EI y L

Rešenje za obostrano bočno uklještenu gredu: M kr =

2π GI t EI y L

Napomena: izvođenje diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njenog rešenja je prikazano u literaturi koja je na kraju navedena. Komentar: vrednost kritičnog opterećenja zavisi, između ostalog, od torzione krutosti poprečnog preseka i savojne krutosti oko „slabije ose“.

strana 3 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

2.2 Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena ekscentričnom pritisku Razmatra se prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena ekscentričnom pritisku i „viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 3. Prosta greda – ekscentrični pritisak Moment savijanja u x-y ravni:

M z = Pe Moment savijanja u y-z ravni: M y = M z Φ − Pu

Savijanje oko y ose: d 2u EI y 2 = M y = M z Φ − Pu dx

(4)

Uvijanje oko x ose: GI t

dΦ du = −M z dx dx

(5)

Diferencijalna jednačina bočnog izvijanja: – jednom diferenciramo jednačinu (4) i u nju uvedemo izraz za dφ/dx iz jednačine (5).

M z2 d 3Φ + dx 3 EI y GI t

 P ⋅ GI t ⋅ 1 + M z2 

 du  =0  dx

Rešenje: M kr2 + Pkr GI t =

π2 GI t EI y L2

Napomena: izvođenje diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njenog rešenja je prikazano u literaturi koja je na kraju navedena. Komentari: 1) e = 0 => M = 0: Pkr =

π2 EI y L2

2) P = 0 => čisto savijanje: M kr =

π GI t EI y L strana 4 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

2.3 Rešenja za različite slučajeve Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka opterećena koncentrisanom silom u sredini raspona i u težištu poprečnog preseka.

Slika 4. Prosta greda – koncentrisana sila u sredini – „viljuškasto“ pridržana na krajevima i u horizontalnoj ravni zglobno oslonjena: Pkr =

16 ,94 GI t EI y L2

– bočno uklješteni krajevi: Pkr =

26 ,60 GI t EI y L2

Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka opterećena jednako podeljenim opterećenjem celom dužinom i u težištu poprečnog preseka.

Slika 5. Prosta greda – jednako podeljeno opterećenje – „viljuškasto“ pridržana na krajevima i u horizontalnoj ravni zglobno oslonjena: Pkr =

28,3 GI t EI y L2

Konzola pravougaonog poprečnog preseka opterećena koncentrisanom silom na kraju i u težištu poprečnog preseka.

Slika 6. Konzola – koncentrisana sila na kraju – kritična sila: Pkr =

4 ,013 GI t EI y L2 strana 5 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

Konzola pravougaonog poprečnog preseka opterećena jednako podeljenim opterećenjem celom dužinom i u težištu poprečnog preseka.

Slika 7. Konzola – jednako podeljeno opterećenje – kritično opterećenje: p kr =

12,85 GI t EI y L3

Napomena: izvođenja za prethodno prikazane slučajeve su data u literaturi koja je na kraju navedena.

strana 6 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

3. Analiza stabilnosti tankozidnih nosača otvorenog profila Razmatraju se pravi tankozidni štapovi sa konstantnim poprečnim presekom. Krutost poprečnog preseka EIz je mnogo veća od krutosti poprečnog preseka EIy. Primenjuje se teorija malih deformacija. Oblik poprečnog preseka ostaje nepromenjen u toku deformacije. Razmatramo slučaj ograničene torzije ili torzije sa savijanjem, odnosno slobodno krivljenje (deplanacija) poprečnog preseka je ograničeno (slika 8). Na slici 8 je prikazan konzolni nosač. U uklještenju poprečni presek ostaje prav (nema krivljenja tj. deplanacije) ali u ostalim poprečnim presecima postoji krivljenje drugačije u svakom poprečnom preseku. Zbog ovoga se rastojanja između tačaka pojedinih poprečnih preseka menjaju, odnosno podužna vlakna se izdužuju ili skraćuju. Usled ovoga se javljaju i normalni naponi pored smičućih. slobodna torzija slobodan štap na oba kraja nema otpora ka krivljenju (deplanaciji)

ograničena torzija uklješten štap na jednom kraju presek u uklještenju nema krivljenje ostali preseci imaju krivljenje

Slika 8. Torzija tankozidnih nosača otvorenog poprečnog preseka Diferencijalne jednačine savijanja i uvijanja imaju sledeći oblik (izvijen oblik): Savijanje oko z ose („jača osa“): d 2v EI z 2 = M ξ dx Savijanje oko y ose („slabija osa“): d 2u EI y 2 = M η dx Uvijanje oko x ose: C

dΦ d 3Φ − C1 = −M ς dx dx 3

C = GI t – krutost poprečnog preseka na torziju ( I t – torzioni moment inercije) C1 = EI ω – krutost poprečnog preseka na krivljenje ( I ω – sektorski moment inercije) Napomena: diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njihova rešenja, za različite slučajeve date u narednom poglavlju, su prikazane u literaturi koja je na kraju navedena. strana 7 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

3.1 Rešenja za različite slučajeve Prosta greda izložena čistom savijanju i „viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 9. Prosta greda – čisto savijanje Diferencijalna jednačina bočnog izvijanja: M z2 d 2Φ d 4Φ GI t − EI ω =− Φ EI y dx 2 dx 4

Kritični moment: M kr = γ 1

CEI y L

Vrednosti γ1 su date na sledećoj slici.

Konzola opterećena koncentrisanom silom na kraju i u težištu poprečnog preseka.

Slika 10. Konzola – koncentrisana sila na kraju Diferencijalna jednačina bočnog izvijanja: d 2Φ d 4Φ P2 ( L − x )2 Φ GI t − EI ω =− 2 4 EI y dx dx

Kritična sila: Pkr = γ 2

CEI y L2 strana 8 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

Vrednosti γ2 su date na sledećoj slici.

Prosta greda opterećena koncentrisanom silom u sredini raspona i jednako podeljnim opterećenje celom dužinom. „Viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 11. Prosta greda – koncentrisana sila u sredini Koncentrisana sila: Pkr = γ 2

CEI y L2

Jednako podeljno opterećenje: p kr = γ 4

CEI y L2

Vrednosti γ2 su date na sledećoj slici.

strana 9 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

Vrednosti γ4 su date na sledećoj slici.

Napomena: izvođenja za prethodno prikazane slučajeve su data u literaturi koja je na kraju navedena.

strana 10 od 17

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

4. Primeri 4.1 Konzola uskog pravouganog poprečnog preseka Odrediti vrednost kritičnog opterećenja za konzolni nosač prikazan na slici. Podaci: b/d = 8/200mm, E = 200GPa, µ = 0,3, L = 3m.

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konačnih elemenata u programu Ansys v12.1. Tip konačnog elementa „Beam189”. Rešenje: Iω → 0 b