4. VEKTORSKA ANALIZA I TEORIJA POLJA.pdf

Poglavlje 3

VEKTORSKA ANALIZA TEORIJA POLJA 3.1

VEKTORSKE FUNKCIJE

Promatrali smo funkcije f : X ! Y; X; Y X

Rn ,

Y

R, potom funkcije f : X ! Y;

R, a ovdje ´cemo promatrati funkcije gdje su i domena i

kodomena "podebljane", tj. funkcije oblika f : X ! Y;

X

Rm ;

Y

Rn

(n

2):

Dakako, interesirat ´ce nas najvaµzniji sluµcaj kada je n = 2; 3 ili n = 4: PRIMJER 3.1 Funkcija koja svakoj toµcci iz jediniµcnog kruga X = D

R2

pridruµzuje toµcku na naµcin opisan slikom

Slika 3.1.

moµzemo interpretirati na naµcin: ukoliko je na kodomeni R3 zadan desni ! ! ! ortonormirani Kartezijev koordinatni sustav O; i ; j ; k ; tada tu funkciju 93

94

POGLAVLJE 3. VEKTORSKA ANALIZA

TEORIJA POLJA

moµzemo opisati sa:

o p ! n ! ! p f (x; y) = x i + y j + x2 + y 2 k = x; y; x2 + y 2 :

Dakle, u ovom bi primjeru funkcija f bila zadana sa tri skalarne funkcije p w1 ; w2 ; w3 : D ! R; w1 (x; y) = x; w2 (x; y) = y; w3 (x; y) = x2 + y 2 i svakoj toµcci T = (x; y) 2 D ovom funkcijom bi pridruµzili vektor f (T ) = fw1 (T ); w2 (T ); w3 (T )g : Uobiµcajeno je umjesto f pisati ! w: DEFINICIJA 3.2 Funkciju ! w : X ! Rn gdje je X naµcin

(n

2)

Rm opisan sa n-skalarnih funkcija wi : X ! R; i = 1; Rm

X3T 7 !! w (T ) = fw1 (T );

; n na

; wn (T )g

nazivamo vektorskom funkcijom. Pritom, (skalarne) funkcije wi : X ! R;

i = 1;

; n;

nazivamo koordinatnim funkcijama od ! w: Nama ´ce od posebnog interesa biti vektorske funkcije kojima je domena X

R a kodomena R3 ; dakle funkcije oblika ! w (t) = fw1 (t); w2 (t); w3 (t)g :

PRIMJER 3.3 Gibanje materijalne toµcke opisuje funkcija ! ! ! ! s (t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3t k ; t 2 [0; 1i :

Slika 3.2.

3.2. LIMES I NEPREKIDNOST

95

Nacrtajmo njenu putanju (hodograf ) - to su sve završne toµcke T (t) = (2 cos t; 2 sin t; 3t) 2 R3 vektora ! s (t); t 2 [0; 1i. Putanja te materijalne toµcke jest valjµcana uzvoj-

nica što se obavijaju´ci valjak x2 + y 2 = 4 "penje brzinom" z = 3t (Slika 3.2.). Ukoliko je zadano samo pravilo za ovakve funkcije prirodno se postavlja pitanje domene te funkcije. Dakako, (prirodna) domena takve funkcije je maksimalan podskup X za koji funkcija ima smisla, a to znaµci da na njemu sve koordinatne funkcije postoje.

3.2

LIMES I NEPREKIDNOST

Pojmovi limes i neprekidnost prirodno se poop´cuju i na vektorske funkcije. De…nirat ´cemo te pojmove za sluµcaj kada je domena X

R:

! DEFINICIJA 3.4 Re´ci´cemo da je vektor l graniµcna vrijednost (limes) ! funkcije ! w : X ! R3 ; u toµcki t0 2 X R; i pisati lim ! w (t) = l ; ako t!t0

(8" > 0) (9 > 0) (8t 2 X n ft0 g)

! )d ! w (t); l < ": (3.1)

d (t; t0 ) <

Kao i za skalarne funkcije, graniµcna vrijednost ima puni smisao samo u gomilištima i neizoliranim toµckama skupa X. Osim toga, budu´ci da je ovdje ! ! udaljenost de…nirana vektorskom normom d ! w (t); l = ! w (t) l , to se ! ! de…nicijska implikacija, ako je w (t) = fw1 (t); w2 (t); w3 (t)g i l = fl1 ; l2 ; l3 g; smije zapisati i ovako: jt

t0 j <

)

X3

i=1

(wi (t)

li )2

1 2

< ":

(3.2)

Pomo´cu toga se lako dokazuje ova µcinjenica: ! TEOREM 3.5 lim ! w (t) = l , lim wi (t) = li ; t!t0

t!t0

PRIMJER 3.6 Funkcija ! w (t) = graniµcnu vrijednost f1; 0; 0g jer je lim ! w (t) =

t!0

lim

t!0

sin t t ;

i = 1; 2; 3:

0; t ; t 2 h0; 1i ; ima u t = 0

sin t ; lim 0; lim t t!0 t!0 t

= f1; 0; 0g:

96

POGLAVLJE 3. VEKTORSKA ANALIZA

TEORIJA POLJA

DEFINICIJA 3.7 Re´ci ´cemo da je vektorska funkcija ! w : X ! R3 , X R, neprekidna u toµcki t0 2 X ako (8 > 0) (9 > 0)(8t 2 X)

d(t; t0 ) <

)d ! w (t); ! w (t0 ) < :

(3.3)

Ako je vektorska funkcija ! w neprekidna u svakoj toµcki t 2 A X, onda ! kaµzemo da je w neprekidna na skupu A. U sluµcaju A = X govorimo o neprekidnoj vektorskoj funkciji ! w. U praksi je vrlo korisno da se neprekidnost vektorske funkcije svodi na neprekidnost njezinih koordinatnih funkcija. O tomu govori sljede´ci teorem: TEOREM 3.8 Vektorska funkcija ! w : X ! R3 , X

R, je neprekidna (u

toµcki t0 ) onda i samo onda, ako su sve njezine koordinatne funkcije w1 ; w2 ; w3 : X ! R neprekidne (u toµcki t0 ). PRIMJER 3.9 Istraµzimo (ne)prekidnost vektorske funkcije ( ! ! (t 1) i + t2 k ; t