4 Torsión

Ejemplo: Sistema hiper-estático con carga axial y montaje Las tres barras del sistema son del mismo material y tienen la misma sección transversal ( E = 2 x108 kg / cm 2 , A = 10cm2 ), pero la barra inclinada fue construida 2.0mm más corta. Determine los esfuerzos en las barras y el desplazamiento del nudo 8 luego que el sistema se ha construido y cargado.

Luego de montada la estructura, en una segunda fase se aplican las solicitaciones (cargas, cambio de temperatura), los nudos se desplazan y aparecen esfuerzos y deformaciones en los elementos. Como esta fase se inicia con las barras ya conectadas en los nudos, las deformaciones correspondientes en los elementos, pueden expresarse en función de los desplazamientos de los nudos. Por tanto, luego de construida y cargada una estructura, la deformación total () que experimenta una barra podrá obtenerse como la suma de la deformación inicial de montaje (zm) y la deformación ocasionada por el desplazamiento de sus nudos, es decir: −

−

−

δ = ∆ m + u ij .(d j − di ) En esta expresión, el signo de zm será positivo o negativo dependiendo si la barra fue más corta o más larga (antes del montaje) respectivamente. Aunque en la segunda fase no existieran solicitaciones (cargas, cambios de temperatura), los nudos sí se desplazarán. Esto debido a que las barras deformadas en la fase de montaje, tratarán de recuperar sus dimensiones originales y, aunque no lo logren completamente, ocasionará el movimiento de los nudos a los que se conectan. Por tanto, durante la construcción de un sistema hiperestático, los elementos con diferencias de longitud Lm, sí ocasionan en el sistema esfuerzos y deformaciones adicionales a los producidos por las cargas y los cambios de temperatura. El ejemplo que sigue muestra este efecto del montaje en una estructura hiperestática muy sencilla.

TORSION Ensayo de torsión de Coulomb Podemos encontrar en la práctica de la ingeniería una serie de elementos sometidos a torsión, como por ejemplo los ejes circulares macizos de transmisión, las vigas rectangulares que forman balcones en las edificaciones, etc.

En el presente capitulo estudiaremos los esfuerzos y las deformaciones que se presentan en elementos sometidos a torsión. Trataremos con elementos de sección circular o rectangular y también con barras de pared delgada. Supondremos que el material es linealmente elástico. 4.1 Torsión en barras rectas de sección circular Torsión en barras de sección circular Analicemos los esfuerzos y las deformaciones producidos por un momento torsor aplicado sobre un elemento de sección circular maciza o hueca. Para ello tracemos en la superficie exterior del elemento las circunferencias y los segmentos rectos que se muestran en la figura.

4.1.1 Análisis De formaciones Luego de aplicar el momento torsor la barra se deforma. La figura que sigue muestra el elemento con las deformaciones ampliadas para facilitar el análisis.

Al observar en detalle vemos que todas las circunferencias trazadas siguen contenidas en el mismo plano transversal al que pertenecieron antes de la aplicación del Momento Torsor. Por tanto, podemos decir que las secciones transversales planas siguen siendo planas luego de la deformación, es decir que en barras de sección circular no existe el fenómeno de alabeo. Podemos observar también que la distancia entre dos secciones transversales “S” en la figura permanece constante y que los radios de las secciones transversales permanecen rectos y no cambian de longitud. Esto nos lleva a afirmar que no existen deformaciones lineales longitudinales ni radiales en el elemento. En cambio, si observamos la superficie lateral de la barra, vemos que los ángulos formados por los segmentos rectos y las circunferencias han cambiado, indicando que la aplicación del momento torsor ha ocasionado deformaciones angulares. Poste en torsión Consideremos ahora un elemento diferencial de longitud dx y radio r, menor que el radio exterior R. Al aplicar el momento torsor, la sección de la derecha gira respecto de la sección izquierda un ángulo dφ y se produce la deformación angular, γ

» como: Podemos relacionar dφ y γ por medio del arco HJ

» = γ (dx) = r (dφ ) HJ por lo tanto:

dφ γ dφ = o γ =r dx r dx 4.1.2 Análisis de esfuerzos Las deformaciones angulares producidas por el momento torsor vienen acompañadas de esfuerzos cortantes que, en cada punto de la sección transversal siguen la dirección perpendicular al radio respectivo “r”.

Para satisfacer el equilibrio diferencial en cada punto, deberá existir un esfuerzo cortante en dirección longitudinal, numéricamente igual al esfuerzo en la sección transversal. La figura que sigue muestra ambos esfuerzos.

Como se ha supuesto que el material sigue la Ley de

Hooke, el esfuerzo cortante en la sección transversal, a una distancia r del eje del elemento será:

τ = G.γ r  dφ  τ = G. r. ÷ r  dx  Tomando ahora un elemento diferencial de área dA a una distancia r del eje del elemento, el diferencial de fuerza será:

dφ dF =τ dA = G.r .dA r dx Y el diferencial del momento torsor correspondiente: Equilibrio:

dT = G.r 2.

dφ dφ dA = G. (r 2dA) dx dx

Luego, integrando:

T = ∫G

dφ 2 (r dA) dx

J = ∫ r 2dA= Momento polar de inercia

Como

Tendremos

T = G.J

dφ dx

dφ T = dx G.J

Luego, para un punto cualquiera de la sección ubicada a una distancia r del centro tendremos:

Distribución de esfuerzos

T .r τ = r J

Esta expresión nos muestra que, el esfuerzo cortante en un punto de la sección es directamente proporcional a la distancia del punto al centro de la sección. Por tanto el esfuerzo cortante será cero en el centro y tendrá un valor máximo en los puntos más alejados de éste.

∴ τ

T .r max J =

Podemos plantear también:

r τr = R τ max O que:

r τ = .τ r R max Luego, la distribución de esfuerzos cortantes a lo largo de un diámetro para una sección transversal circular maciza será:

R4 Con J = π . 2

J: Momento de inercia Y la distribución de esfuerzos para una sección transversal circular hueca será:

π 4 4 ) Con J = .(Rext − Rint 2 Potencia Eje de transmisión Es común encontrar ejes circulares de transmisión de potencia a los cuales se les aplica un momento torsor a través de motores o máquinas. Si se define, Potencia, como el trabajo realizado por unidad de tiempo, y el trabajo generado por un momento torsor como T .dθ , entonces:

POTENCIA = p = T

dθ dt

P = T .ϖ = T .(2.π . f )

: Potencia transmitida desde el motor a los demás

elemento Donde ω es la velocidad angular y f es la frecuencia, hay un equilibrio dinámico.

Las unidades de potencia más comúnmente usadas son los Watts, y los caballos de fuerza HP (Horse Power). 1 Watt = 1N.m/s 1HP = 550pies.libra/S 4.1.3 Ángulo de giro debido a torción Hemos deducido que:

dφ γ = dx r Por tanto:

γ dφ = dx r Luego

dφ =

τr

G dx = r

T( x) .r

J ( x) .G r

dx =

T( x) G.J ( x)

dx

Finalmente, el ángulo de torsión entre dos secciones transversales A y B se calculará como:

∴φB = φB −φA = ∫AB A

T( x) G.J ( x)

dx

En el caso en el que una de las dos secciones no pueda girar, como por ejemplo si la sección A es un empotramiento, entonces:

φB = ∫AB

T( x) G.J ( x)

dx

Si el momento torsor es constante entre A y B, y la sección transversal también, entonces:

φB =

T .L G.J

Ejemplo: Torsión en elementos de sección circular Para el eje macizo mostrado en La figura, determine el diámetro mínimo (D) de manera tal que el giro en el extremo C no exceda de 0.002 radianes y el esfuerzo cortante máximo que se presente en el eje no exceda de τ adm = 40kg / cm2 . Considere E = 2 x106 kg / cm2 y µ=0.20.

Ejemplo: Torsión en sistema isostático con engranajes Tres ejes sólidos con 2.5cm de diámetro, están conectados como se muestra en la figura. Todos los apoyos permiten la libre rotación de los ejes, salvo el apoyo D en el cual el giro está completamente restringido. Si TA = 150kg.cm , TE = 300kg.cm y G = 830000kg / cm2 , encuentre los ángulos de rotación de los extremos A y E. No image

Comparación entre carga axial y torsión en barras de sección circular Es posible hacer algunas analogías entre las fórmulas encontradas para los casos de un elemento sometido a una carga axial P y un elemento de sección circular sometido a un momento torsor τ . Carga axial

Torsión en barras de sección circular

Rango linealmente elástico

Rango linealmente elástico

Como se puede apreciar, las pendientes de las rectas de subida de las gráficas a vs. y t vs. y, son E y G respectivamente, cumpliéndose en el rango linealmente elástico:

ε=

σ E

y

γ=

τ G

Asimismo, para el cálculo de la deformación axial y el ángulo de giro en el extremo B, hemos encontrado:

L

P( x) .dx

0

E.A( x)

δ =∫

L T .dx ( x)

φB = ∫

0

G.J ( x)

Si la sección transversal es constante: Sección constante

δ=

P.L E.A

Sección constante

φ=

T .L G.J

4.2 Torsión en barras rectas de sección no circular Torsión en barras de sección no circular Viga en torsión Estudiaremos ahora el fenómeno de torsión en elementos de sección rectangular y en elementos de pared delgada. Al someter a torsión a una barra de sección no circular, vemos que sus secciones transversales, inicialmente planas, no se mantienen planas luego de la deformación. Este fenómeno se conoce como el alabeo de la sección transversal.

El análisis de los esfuerzos y las deformaciones en el caso de secciones no circulares es bastante complejo y escapa al alcance de este texto. Sin embargo, es posible conocer la distribución de esfuerzos en ciertas regiones y obtener los valores máximos como se ve en este acápite. En la superficie exterior de la barra mostrada no existen esfuerzos cortantes, por tanto en la sección transversal, los esfuerzos normales al borde deben ser nulos (τ =0) y sólo pueden existir esfuerzos cortantes paralelos al borde (τ t ).

Para el caso de una sección rectangular, el esfuerzo cortante en cualquier esquina de la sección debe ser nulo, ya que no pueden existir esfuerzos en ninguna de las dos direcciones normales al borde.

4.2.1 Analogía de la membrana Existe un paralelo físico entre el problema de torsión y el de una membrana sometida a presión uniforme, colocada sobre una plancha que tiene una perforación igual a la sección transversal en estudio.

El paralelo es el siguiente: •

El esfuerzo cortante en un punto P(y,z) de la sección transversal (t) es proporcional a la pendiente máxima de la membrana en el punto correspondiente. En la figura τ es proporcional a tan φ .

•

El esfuerzo cortante en un punto P(y,z) tiene la dirección de la tangente

•

horizontal de la membrana en P. Es decir τ es paralelo a

µ en la figura.

El momento torsor es proporcional al volumen encerrado entre la membrana y la superficie horizontal que ocupaba inicialmente.

4.2.2 Esfuerzos y deformaciones en una sección rectangular Usemos la analogía de la membrana para estudiar la distribución de esfuerzos cortantes en un elemento de sección rectangular, de lados a y b. La figura muestra el elemento en torsión y la forma que toma la membrana respectiva.

En la membrana se han resaltado 3 curvas que corresponden a su intercepción con los planos verticales que pasan por el eje y, por el eje z y por la diagonal. El detalle de estas curvas se muestra a continuación.

Se observa que al centro de la membrana y en las esquinas no hay inclinación, por tanto en estos puntos el esfuerzo cortante será nulo. También como α1 > α 2 el esfuerzo a la mitad del lado más largo será mayor que el correspondiente al lado más corto. La figura que sigue muestra la distribución de esfuerzos sobre los ejes, la diagonal y los lados de la sección.

Empleando la teoría de la elasticidad puede demostrarse que:

τ max =

T c1.a.b 2

τ 2 = c3.τ max

dφ T = dx c2.a.b3.G Donde c1, c2 y c3 son funciones de a/b como se muestra en la tabla siguiente:

Para T, a, b y G constantes, tendremos:

φ=

T .L c2.a.b3.G

Para un elemento de sección rectangular muy alargada (a/b →∞) podemos asumir que c1 = c2 = 1/3 y c3 =0 74 Denominando ahora “t” al espesor y suponiendo que el momento torsor se mantiene constante a lo largo de la longitud “L” del elemento, tendremos:

3.T a.t 2 3.T .L φ= 3 a.t .G 0.74(3T ) τ2= a.t 2

τ max =

4.2.3 Elementos de pared delgada Denominados también perfiles de pared delgada. Son elementos en los cuales el espesor “t” de la pared es comparativamente mucho menor que las otras dimensiones de la sección transversal. Los perfiles se pueden clasificar en perfiles abiertos y cerrados. Estudiaremos a continuación ambos tipos. Perfiles abiertos desarrollables Son aquellos que pueden transformarse en elementos de sección rectangular muy alargada con sólo modificar la forma de la línea media de la sección. La figura muestra la sección transversal de tres perfiles desarrollables de espesor “ t ” y longitud de línea media “ l ”. .

Estos tres perfiles pueden abrirse (desarrollarse) hasta obtener un elemento de sección rectangular alargada como se muestra en la figura.

Si construimos las membranas para los tres perfiles mostrados y para el perfil rectangular alargado correspondiente, veremos que todas las membranas adoptan una forma del tipo parabólico en cualquier espesor “ t ” alejado de los extremos. Por tanto, el esfuerzo cortante tendrá una distribución casi lineal en el espesor “ t ”, con un valor cero en la línea media y valores máximos en los extremos.

Dada la similitud referida para la forma que adoptan las membranas, el esfuerzo cortante máximo de un perfil desarrollable se puede obtener con la expresión empleada para un perfil rectangular alargado. Es decir:

τ max =

3.T l.t 2

y si además, el momento torsor se mantiene constante a lo largo de la longitud “L” del elemento, el giro relativo entre sus extremos se calculará como:

φ=

3.T .L l.t 3.G

Perfiles abiertos compuestos Son elementos formados por varios perfiles de sección alarqada, unidos de tal manera que el perfil resultante ya no puede desarrollarse en un rectángulo único. Empleando la analogía de la membrana veremos que, para los perfiles componentes es posible asumir un comportamiento similar al de elementos independientes de sección rectangular alargada.

Por tanto, la relación entre el giro expresar como: y el torsor de cada perfil componente se puede

3.LT . φi = 3 i li .ti .G

ó

li .ti3.G Ti = 3.L

Ya que el momento torsor “T” es resistido por la acción conjunta de todas las partes. Tendremos:

li .ti3.G T = ∑ Ti = ∑ .φi 3. L i =1 i =1 n

n

y como el giro es único para todos los perfiles componentes:

G n 3 T= φi ∑ li .ti 3.L i =1

→

φi = φ =

3.LT . n

G.∑ li .ti3

i =1 Luego, el esfuerzo máximo en cada parte componente se calculará como:

3.Ti 3.li .ti3.G ti .G τi = 2 = φ = φ 2 i L li .ti 3.L.li .ti ó reemplazando la expresión encontrada para

tendremos:

Perfiles cerrados Son elementos tubulares de pared delgada con sección transversal cerrada. La figura muestra la sección transversal de 3 perfiles cerrados:

Al construir la membrana para cualquiera de estos perfiles, vemos que en cada espesor “ t ”, la membrana luce prácticamente como una línea recta. Por tanto en cada espesor el esfuerzo cortante será prácticamente constante y paralelo a la línea media.

Flujo de corte (q) Tomemos un elemento diferencial con espesor variado de t1 a t2 en un segmento de línea media. La figura que sigue muestra este elemento junto a las que recibe.

Planteando equilibrio de fuerzas en el eje X tendremos:

∑ Fx = 0 τ1.t1.dx −τ 2.t2.dx =0 ∴τ 1.t1 =τ 2 .t2 =cons tan te En general, el producto del esfuerzo cortante por el espesor es un valor constante al que llamaremos flujo de corte y representaremos por q. Dado que en cada espesor “ t ” los esfuerzos son paralelos a la línea media, el flujo de corte puede interpretarse como una fuerza por unidad de longitud, que va recorriendo la línea media con valor constante.

q =τ1.t1 =τ 2.t2 = cte

q = τprom . t

A= área media Es evidente que como el flujo es constante, τ será máximo donde mínimo.

t

sea

Planteando la equivalencia entre el torsor aplicado “T “y el torsor resultante del flujo distribuido, se obtienen las siguientes relaciones:

T = 2.q.µA

ó

q=

T 2.µA

τ pto =

y

T 2.µAt.

En estas expresiones, A es el área encerrada por la línea media, como se ve en la figura que sigue.

µA = π .D 4

2

En cuanto al giro de torsión puede demostrarse que:

dφ Tx .L ds = ∫ dx 4.µA2.G t Donde

φ=

T .L ds Ñ ∫ 2 µ 4.A ,G t

ds ∫ se evalúa a lo largo de toda la línea media t

Ejemplo: Torsión en elementos de sección no circular

µA = a.b

Se aplica un torque de 700kg.m al eje hueco mostrado. Encuentre: a) Los esfuerzos cortantes en P1 y P2. b) El giro en el extremo libre -

G = 2.65x105 kg / cm2

Ejemplo: Comparación de torsión: sección abierta y cerrada La figura muestra las secciones transversales de dos barras (A y B) de pared delgada y espesor constante t=0.8 cm. Ambas barras están hechas del mismo material, son de igual longitud y se someten al mismo momento torsor T=5ton.m. a) Grafique la distribución de esfuerzos cortantes en el segmento P-O de cada elemento. b) Determine la relación en que estarán los esfuerzos. cortantes máximos de ambas barras (τ B /τ A ).

4.3 Sistemas hiperestáticos en torsión Como se recordará, para resolver cualquier sistema hiperestático es necesario recurrir además de las ecuaciones de equilibrio, a las relaciones geométricas propias del sistema (ecuaciones de compatibilidad) e incorporar las relaciones esfuerzo deformación de los elementos (!eyes constitutivas). Luego de plantear y resolver el juego de ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y leyes constitutivas, el análisis de esfuerzos en las secciones transversales puede hacerse con las expresiones presentadas a lo largo de este capítulo. Ejemplo: Torsión en sistema hiperestático Dermlne el esfuerzo máximo en el eje (L=1 m, d=l6cm) y en las dos barras mostradas (L=2m, A=4cm2) si actúa el momento torsor indicado q, y las barras sufren una variación de temperatura ∆T=-5 °C. Calcule además el giro en el extremo A del eje. Para el eje y las barras considere E=2x10 6 kg/cm2, G=8x105kg/cm2 α=1.2x10-5 1/°C.

FLEXIÓN Y CORTANTE 5.1 Introducción Puente La figura muestra un elemento recto en equilibrio bajo la acción de cargas perpendiculares a su eje. En cada sección transversal de este elemento, las cargas actuantes junto a las reacciones producen un momento flector y una fuerza cortante. Si las cargas actúan en un plano de simetría este problema se conoce como flexión plana o flexión transversal.

Experimento de Galileo Probablemente el primer experimento para estudiar la flexión en vigas fue desarrollado por Galileo en el siglo XVII (Ver foto adjunta). Aunque las conclusiones de Galileo respecto al problema de flexión fueron erradas, este experimento constituye una muestra temprana del valor que tiene la experimentación en la construcción de teorías de comportamiento. Galileo Galilei En este capítulo se estudian las deformaciones y esfuerzos que se producen en las secciones transversales de un elemento por efecto del momento flector y la fuerza cortante. También se desarrollan procedimientos para determinar la forma que adquiere el eje longitudinal de un elemento sometido a cargas transversales.

5.2 Características de los elementos y las cargas Stonehenge Trataremos con elementos construidos de materiales linealmente elásticos tanto para esfuerzos normales como para esfuerzos cortantes.

Estudiaremos elementos rectos que tienen un plano de simetría y cuya longitud es considerablemente mayor que las dimensiones de la sección transversal. Emplearemos el eje X para el eje longitudinal del elemento y el plano XY para el plano de simetría como se muestra en la figura.

Las cargas actúan en el plano de simetría del elemento o simétricamente respecto a éste.