4 Teorema de Bayes

 

3.3 TEOREMA DE BAYES BAYES

EXPLICACIÓN TEXTUAL.

1. FUNDAMENTO.

La probabi babili lid dad condi diccional es el antecedent ente del del Teorema de Bayes. En los sigui uieentes inci ncisos, se des describe el ori riggen de la fór órmu mula la de pr prob obab abililid idad ad co cond ndic icio iona nall que que se util utiliz izaa en lo loss caso casoss a lo loss qu quee es está tá or orie ient ntad ado o el te teor orem emaa de Ba Baye yes. s. Pr Prim imer eram amen ente te,, la fórmula de probabilidad condicional para los eventos A y B , en un espacio muestral B , de donde se despeja el numer umeraador dor para tener la expr preesió sión en func unció ión n de la intersección de A y B . Lue ueggo, una una répl pliica de esto mismo, con el evento A como omo es espa paci cio o mues muestr traal de re reffer eren enccia a la esti estima maci ción ón de prob probab abil ilid idaad con ondi dicciona ional. l. Fi Fina nalm lmen entte, lu lueg ego o de ig igua uala larr la lass do doss ex expr pres esio ione ness de inte inters rsec ecci ción ón de es esto toss ej ejer erci cici cios os,, se desp despej ejaa el té térm rmin ino o de pr prob obab abililid idad ad co cond ndic icio iona nall pa para ra A da dado do B, co con n lo cu cual al se obti obtien enee la expr expres esió ión n fund fundam amen enta tall de dell te teor orem emaa - ve verr el inci inciso so f-. f-. a) Para los eventos A y B , en un contexto B ,

b) De donde,

c) Para los eventos eventos A y B , en un contexto A

d) Se tiene que

e) Igualando expresiones de los incisos "b" y "d",

f) Despejando,

 

2. TEOREMA. Cons Consis iste te en ref reformu ormula larr pr prob obab abililid idad ades es prev previa iass (a prio priori ri), ), a pa part rtir ir de in info form rmac ació ión n adic adicio iona nall al ca caso so,, pa para ra da darr lu luggar ar,, co con n el ello lo,, a probab pro babilid ilidade adess subsec subsecuent uentes, es, o a poster posterior iori.i. La for ormu mula laci ción ón,, pe perm rmit itee de detter erm min inaar la prob probab abil ilid idad ad condi ondiccio iona nall Pr Pr((A∣B) , a partir de las probabi babillidade dadess cond ndic iciionale naless inve invers rsas as:: Pr(B Pr(B∣A) .

 

3. CICLO La di diap apos osit itiv ivaa mues muestr traa la se secu cuen enci ciaa al algo gorí rítm tmic icaa qu quee suby subyac acee de detr trás ás de dell Teo eore rema ma de Ba Baye yes: s: En ci cicl clo o ho hora rari rio, o, empe empeza zand ndo o a la lass 12:0 12:00, 0, en la pa part rtee su supe peri rio or, el da datto de la pro proba babi bili lida dad d al alre rede dedo dorr de la hi hipó póte tesi sis; s; a la de dere rech cha, a, el da dato to de la pr prob obab abil ilid idaad de la ev evid iden enci ciaa qu quee su sussten entta a la hipó hipóttes esis is;; lu lueg ego o, la oper operaaci ción ón a rea eali lizzar con esto estoss da dato tos, s, y or orig igen en de la pr prob obab abil ilid idad ad conjun njuntta, al ce cent ntro ro;;cias de do larte su suma deior; las la prob prra obab abil ilid idad ades es alre rede dedo dor detas la las ev evid iden enci cias asype perm rmit ite e rob obte r abil la ilid pr prob obab idad marg matesi rgin inal dedala la(s (s)s) ev evid iden enci as,,dond ennde laepart pa ema in inffer erio r;spa para fi fina nalm lmen ente te al pond po nder erar arr es esta ssev evid iden enci cias as ob obte tene ner latene prob prner obab idad adabil deilid laad hi hipó póte sis, s,alda dada la las evidencias:

4. PILI Y MILY

 

P ili ili y Mi Mili li trab trabaj ajan an ju junt ntas as la lass ta tare reas as de una una as asig igna natu turra es esco cola larr. Pili Pili reali ealizza el 75% 75% del del tr trab abaj ajo o y Mi Mili li el re rest sto. o. La Lass secc seccio ione ness qu quee reali ealizza Pi Pili li re reci cibe ben n 15 15% % de obse observ rvac acio ione ness de corr correc ecci ción ón C, en tan anto to que que Mili Mili reci recibe be el 20%. 20%. Si en una una rev evis isió ión n se en encu cuen entr traa una una obse observ rvac ació ión, n, ¿cuá ¿cuáll es la prob probab abil ilid idad ad de que que Pi Pili li hay haya rea realiz lizado ado esa parte parte del traba trabajo? jo? Datos Dat os y su int interp erpret retaci ación: ón: Pa Para ra Pil Pili: i: observ observaci aciones ones de cor correc recció ción n Pr(C|P)=0.15, por por se serr su trab trabaj ajo: o: Pr(P)=0.75  Pr(P)=0.75 Pa Para ra Mili Mili:: observ observaci acione oness de cor correc recció ción n  Pr(C|M)=0.20, por por se serr su trab trabaj ajo: o: Pr(M)=0.25  Pr(M)=0.25 So Solu luci ción ón:: (L (Laa rele releva vanc ncia ia del del hech hecho o de que que sea sea Pili Pili la auto autorra de un trab trabaj ajo o con con Obse Observ rvac acio ione nes) s),, se dete determ rmin inaa me medi dian ante te (la ponder ponderac ación ión de la lass Ob Obse serv rvac acio iones nes al trab trabaj ajo o de Pili) Pili),, en rela relaci ción ón a (esta (estass mi mism smas as Ob Obse serv rvac acion iones es a su suss trab trabaj ajos os), ), y (la (lass Ob Obse serv rvac acio iones nes al tr trab abaj ajo o de Mi Mili) li):: Donde Pr(C∣P)⋅Pr(P)=0.15⋅0.75=0.1125 , es la l a parte a ponderar po nderar,, y Pr(B)=∑Pr(C|Ti)  Pr(Ti)=(0.15  0.75)+(0.20  0.25) =0.1625 es el "todo" o contexto de ponderación. Solución

Pr   = 0.1 .15 5

Pr(P)= 0.75 Pr(C|M)=0.20 Pr(M)=0.25

Pr   =

Observación al Trabajo Trabajo de Pili Observación al Trabajo Trabajo de Mili

Pr   ∗ Pr Pr( ()) Pr   ∗   + Pr   ∗ Pr() ()

ó      ó     = ó   ó que recibió observaciones  observaciones   +        

Pr   =

0.15 0.1 5 ∗ (0.75) (0.75)

 = 0.6923 0.15 0.1 5 ∗ 0.75 0.75 + (0.20 (0.20 ∗ 0.25) 0.25)

5. CASO PILI Y MILY, CON DIAGRAMAS DE ARBOL.

 

Los diagramas de árbol expanden sus ramas con la sucesión de valores de las variables aleatorias (va) involucradas en el problema. Cada valor de (va) se exp xpan ande de co con n los los valor alores es de una una si sigu guie ient ntee (v (va) a) . Par araa el caso caso de Pi Pili li y Mi Mili li,, y la lass obse observ rvac acio ione ness en trab trabaj ajos os,, el dia diagr grama ama de árbol árbol se ini inicia cia co con n los valore valoress corre correspo spond ndien ientes tes a la participación de las chicas en el desarrollo de los T rabajos P ily, 0.75 , y M ili, 0.25 ; y prosigue, en cada una de estas ramas, con las ramas de observaciones de C orrecciones a los T rabajos, correcciones para Pili (C∣P)=0.15 , y (C'∣P)=0.85 ; e igual para Mili: ili: (C∣M)= )=0. 0.20 20 , y (C'∣M)=0.80 Las hojas terminales del árbol constituyen los valores de las variables conjuntas, en sus intersecciones, intersecciones, que cumplen en cascada con todas las características de las ramas que le dieron lugar.

Pr(P∩C)=0.1125;

Pr(P∩C′)=0.6375; Pr(M∩C)=0.05; Pr(M∩C′)=0.2 Para el cálculo de Pr(P∣C) , se localiza la parte a ponderar Pr(P Pr(P,C)=Pr(P∩C)=0.1125 ,C)=Pr(P∩C)=0.1125 y se calcula el espacio muestral o valor marginal de referencia Pr(C)=Pr(P∩C)+Pr(M∩C)=0.1125+0.05=0.1625

Finalmente, se determina la probabilidad condicional con:

 

Conjunta

Marginal Pr(C)=0.1625

Pr(P|C)= 0.1125 / 0.1625=0.6923= 70%

6. CASO PILI Y MILY, CON CONJUNTOS.

 

En la representación de este caso, a través del diagrama de Venn, se uti tillizan 3 conj njun unttos: P ily, M ili, y observación de C orrecciones. El problema indica que el espacio muestral o todo , está referido a las observaciones de C orrecciones realizadas a los tra trabajos de las chic icaas: C∩P y C∩M ; y que, de est estas do doss pa part rtes es,, la pa part rtee a pond ponder erar ar co corr rres espo pond ndee a la se secc cció ión n de C∩P , es estto es es::

casi el 70% .

7. CASO PILI Y MILY, CON TABLAS MATRICIALES.

 

La solución del problema de Pili y Mili, y las observaciones de correcciones, con tablas matric matr icia iale les, s, ti tien enee much muchaa se seme meja janz nzaa co con n la solu soluci ción ón a trav través és de diag diagra rama mass de árbo árbol. l. Se in inic icia ia con con una una ta tabl blaa de fdp (f (fun unci ción ón de dist distri ribu buci ción ón de prob probai aili lida dad d ) de dell T rab abaj ajo o, con con valor alores es de la vari variab able le al alea eato tori riaa (v (va) a) de Pr Pr(x (x=P =P)i )ily ly=0 =0.7 .75 5 , y Pr(x Pr(x=M =M)i )ili li=0 =0.2 .25 5. En se segu guid ida, a, se asie asient ntan an los los da dato toss co corr rres espo pond ndie ient ntes es a las las ob obse serv rvac acio ione ness de C orre orrecc cció ión n de los los trab trabaj ajos os,, en las las celt celtas as de un unaa matr matriz iz de prob probab abililid idad ad cond condici icion onal al:: ob obse serv rvac acio ione ness de co corr rrec ecci cion ones es,, para para P ily ily, Pr Pr(C (C∣P) P)=0 =0.1 .15 5 ; y obse observ rvac acio ione ness de corr correc ecci cion ones es par para M ili, ili, Pr(C∣M)=0.20 Esta última matriz puede completarse con los valores de complemento a las 0.15=0.85 .85 , y Pr(C' M)=1−0.20=0.80 probabilidades anteriores: anteriores: Pr(C' P)=1−0.15=0 Con el producto de las probabilidad del T rabajo, con la matriz de probabilidad co cond ndic icio iona nal, l, se obti obtien enee la ma matr triz iz de prob probab abil ilid idad ad conj conjun unta ta,, con con colu column mnas as Pr( Pr(Tx∩C) y Pr(Tx∩C') :

Pr(P∩C)=0.1125, Pr(P∩C′)=0.6375 Pr(M∩C)=0.0500, Pr(M∩C′)=0.2000

8. CASO PILI Y MILY, CON TABLAS MATRICIALES, CONTINUACIÓN.

 

La suma de las columnas de la matriz conjunta, of ofrrece ece los los es espa paci cio os mues muestr traale less de C or orre recc ccio ione ness y sin C' orrecc orreccion iones, es, respec respectiv tivame amente nte Pr(C=si)=0.1125+0. Pr(C=si)=0.1 125+0.0500=0 0500=0.1625 .1625 ; Pr(C=no)=0.6375+0.2000=0.8375 La división de las celdas de la matriz conjunta, entre los elementos de la fdp marginal f(C)=Pr(Cx), recientemente calcul ulaada, da, da como res esu ult ltaado la matriz condic dicional nal in invversa, Pr(Tx∣Cx) (por (por column columna): a):

esta es la probabilidad planteada en el problema Pr(M|C)=0.3077 Pr(P|C′)=0.7612

Pr(M|C′)=0.2388

9. CASO PILI Y MILY, CON TABLAS MATRICIALES, CONTINUACIÓN.

 

Cuan Cuando do las las op oper erac acio ione ness fina finale les, s, de la matr matriz iz de prob probab abililid idad ad conj conjun unta ta se re real aliz izan an co con n la fdp marg margin inal al f(T) f(T)=P =Pr( r(TTx) , se ob obti tien enee co como mo re resu sult ltad ado o la matr matriz iz de prob probab abili ilida dad d co cond ndic icio iona nal, l, co con n aquel aquello loss eleme element ntos os pr prop opor orci cion onad ados os co como mo dato datos, s, es decir decir::

Pr(C|P)=0.1125/0.75=0.15 Pr(C|M)=0.0500/0.25=0.20

Y así sucesivamente...  

10. CASO PILI Y MILY, CON TABLAS MATRICIALES, RESUMEN. En esta última diapositiva, se observan los cuatro arreglos matriciales involucrados en los cálculos: La f(T)=Pr(Tx) f(T)=Pr(Tcondicional x) , x1=Pili ,Pr(Cx x2=Mili La función matriz demarginal probabilidades condicional ∣Tx Tx)) , con valores valores de Cx de Si y No La matriz de probabilidad conjunta f(Tx,Cx)=Pr( f(Tx,Cx)=Pr(Tx∩Cx) La matriz de probabilidad condicional inversa, inversa, Pr(Tx∣Cx)

De donde se obtiene la respuesta a la pregunta formulada: Pr(P∣C)=0.6923 , muy

próximo al 70% . 11. EL PENSAMIENTO BAYESSIANO. BAYESSIANO.

 

La Teoría Teoría de Bayes es de relevancia singular, singular, ya que permite per mite trazar un rumbo a seguir segu ir ante una sucesión de eventos. Esto lo han entendido muchos emprendedores de Internet, y desarrolladores de aplicaciones de Software en general, que han utilizado sus principios para diseñar algoritmos que permiten dar seguimiento a las preferencias que manifiestan los usuarios, y anticiparse a la decisión qu quee estos están por realizar. realizar. A fin de empezar a practicar los principios de Bayes en la vida diaria, es recomendable tener en cuenta los siguientes aspectos: 1.- Considera los antecedentes del caso. 2.- Reflexiona..., si estuvieras equivocad@, ¿cómo ¿cómo serían las cosas? cosas? 3.-Avanza de a poco..., agrega pequeños copos de evidencia. evide ncia.

 

RECORDAR.

 

  videncia de aprendizaje 1.- El exame examen n de certificación de carrera, les toma a los alumnos terminarlo de 5 a 9 horas, de acuerdo a la siguiente función función de distribución porcentual (horas, %): (5, 15%), (6, 20%), (7, 25%), (8, 35%), (9, 5%) a).- ¿Qué porcentaje de alumnos terminará entre... entre... 6 y 8 horas, inclusive? b).- ¿Cuál es la probabilidad de que el examen examen termine en más de 8 horas? 2. Una encuesta de salida del examen de certificación, indica que 35% lo consideraron fácil, 25% regular, y 40% difícil. Luego, se realizaron algunas entrevistas en la estación de radio local sobre el particular particular,, por lo cual se desea saber saber.. a) a)..- ¿c ¿cuá uáll es la prob probab abili ilida dad d de que que el entr entrev evis ista tado do cons consid ider eree el exam examen en fá fáci cill o di difíc fícil? il? 3.- El 15 de Octubre: Día mundial del lavado de manos. En el mundo, la diarrea es una de las causas principales de morbi-mortalidad,el 88% de las muertes por diarrea se deben a la falta de acceso a facilidades de saneamiento, además de la disponibilidad de agua para higiene y para consumo. Hoy en día 2.5 billones de personas, entre los que casi un billón son niños, viven sin saneamiento básico. Cada 20 segundos, un niño muere como resultado de un saneamiento precario, eso significa 1.5 millones de muertes al año que podrían prevenirse. Según la Organización Mundila de Salud (OMS) el lavado de manos con agua y jabón reduciría el riesgo de las enfermedades diarreicas agudas en un 47 por p or ciento. Aludiendo a este caso, se realizó una encuesta para determinar si los alumnos, de los diferentes grados escolares escolares de una institución educativa, se lavaban las manos después de ir al baño. Los resultados indican: http://www.paho.org/col/index.ph http://www .paho.org/col/index.php?option=com_conten p?option=com_content&view=article&id=1297 t&view=article&id=1297:dia-mundial-del-lavado-de-manos-las-manos-limpias-salv :dia-mundial-del-lavado-de-manos-las-manos-limpias-salvan-vidas&Itemid=460 an-vidas&Itemid=460

a).- ¿Qué tipo de origen se le atribuye a los datos base de este problema? Objetiva Obje tiva - clásic clásicaa Objetiva Obje tiva - empír empírica ica Subjetiva  – Bayessiana b).- Desde el punto de vista de "toda" la institución educativa, educativa, ¿qué porcentaje acumulan de "práctica de lavado de manos" los dos grados escolares de mejores prácticas?

 

4.- La función de distribución conjunta de alumnos de grados de avance medio hacia atrás y hacia adelante, y aseo de manos, indica que:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno al azar, este sea de avance en grados (1 a 3), dado que no se lavó las manos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno al azar, este sea de avance en grados (1 a 3), dado que sí se lavó las manos? c) Si en la inst instit ituc ució ión, n, la matr matríc ícul ulaa es de 20 200 0 al alum umno nos, s, ¿cuá ¿cuánt ntos os de dell prim primer er grad grado o se es espe perrar aría ía qu quee no se la lava vara ran n la lass mano manos? s?