#4 Sifat Kelengkapan Dari Bilangan Real

1.1 Sifat Kelengkapan dari Bilangan Real  Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari R , yaitu sifat kelengkapan. Seperti yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat kelengkapan berkaitan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.

Definisi 1.19. Misalkan  X  adalah himpunan bagian tak kosong dari R . a. Himpunan  X  dikatakan terbatas atas jika terdapat a  R  sedemikian sehingga a  x , untuk setiap  x  X  . Bilangan real a yang demikian disebut sebagai batas atas dari  X  . b. Himpunan  X  dikatakan terbatas bawah jika terdapat t erdapat b  R  sedemikian sehingga b  x , untuk setiap  x  X  . Bilangan real b yang demikian disebut sebagai batas bawah dari  X  .

c. Himpunan  X  dikatakan terbatas jika  X  terbatas atas dan terbatas bawah. Himpunan  X 

dikatakan tidak terbatas jika  X  tidak terbatas atas atau tidak terbatas t erbatas bawah.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan

b  R : b  0 merupakan



 x   x  R : x 



0

 x  1   x  R  : x 

maka

 x  R : x  0.

Setiap elemen pada himpunan

batas bawah dari  x  R  : x  0. Setiap kita mengambil elemen selalu

kita

dapatkan

bahwa

 x  x  1 ,

0. Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada

sehingga a  x , untuk setiap  x   x  R : x  0. Jadi himpunan

sedangkan

a  R  sedemikian

 x  R : x  0

terbatas

bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas. Contoh lain, pandang himpunan  x  R  : x  1 . Himpunan a  R  : a  1 merupakan koleksi semua batas atas dari  x  R  : x  1. Tidak ada b  R  sedemikian sehingga b  x , untuk semua  x   x  R : x  1, karena setiap kita mengambil  x   x  R : x  1 maka selalu dapat kita peroleh bahwa  x 1  x , sedangkan  x  1   x  R  : x  1. Akibatnya, himpunan

 x  R  : x  1

tidak mempunyai batas bawah. Jadi himpunan  x  R  : x  1 terbatas atas

tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

Berdasarkan paparan sebelumnya, himpunan

 x  R : 0  x  1

memiliki batas atas dan

batas bawah, atau dengan kata lain himpunan tersebut merupakan himpunan himpunan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum, dan batas bawah terbesar, disebut infimum, infimum, dari suatu himpunan bilangan real.

Definisi 1.20. Misalkan  X  adalah himpunan bagian tak kosong dari R . a. Misalkan  X  terbatas atas. Elemen a  R  dikatakan supremum dari  X  jika memenuhi syarat-syarat : (1) a adalah batas atas dari  X  (2) a  v , untuk setiap v , batas atas dari  X  . b. Misalkan  X  terbatas bawah. Elemen b  R  dikatakan infimum dari  X  jika memenuhi syarat-syarat : (1) b adalah batas bawah dari  X  (2) b  w , untuk setiap w , batas bawah dari  X  .

Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

 x  R : 0  x  1,

 x  R : 0  x  1

mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada

tidaklah





m, M    x  R : 0  x  1

sedemikian sehingga m  x dan  M  x , untuk setiap  x   x  R : 0  x  1. Sedangkan untuk supremum dan infimum, himpunan

 x  R : 0  x  1

memilikinya, yaitu 1 dan 0,

masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan

 x  R : 0  x  1

memiliki

infimum

dan

supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan  x  R : 0  x  1.

Selanjutnya, kita akan memberikan formulasi lain dari definisi supremum dan infimum pada definisi 1.20. Kita mulai dengan definisi supremum. Elemen a adalah batas atas dari  X  ekuivalen dengan a  x , untuk setiap  x  X  . Pernyataan a  v , untuk setiap v , batas atas dari  X  , mengandung arti bahwa jika  z  z 

a

maka

 z 

adalah bukan batas atas dari  X  . Jika

adalah bukan batas atas dari  X  maka terdapat  x z   X  sedemikian sehingga

 x z   z  .

Jadi kita mempunyai fakta bahwa jika bahwa  jika xz  z . Selanjutnya, jika diberikan

sebelumnya, sebelumnya, maka terdapat  x

 

 X 

z a

maka terdapat xz  X sedemikian sehingga

0

maka a     a . Dengan menggunakan fakta

 

sedemikian sehingga

 x   a   

. Jadi kita memperoleh

fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta sebelumnya, yaitu untuk setiap x  X sedemikian sehingga x  

 

a

 

 

0 terdapat

. Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta

yang ekuivalen dengan definisi 1.20.

Teorema 1.21. Elemen a  R , batas atas dari  X  , himpunan bagian tak kosong dari R , adalah supremum dari  X  jika dan hanya jika apabila  z sedemikian sehingga

a

maka terdapat  x z   X 

 x z   z  .

Teorema 1.22. Elemen a  R , batas atas dari  X  , himpunan bagian tak kosong dari R , adalah supremum dari  X  jika dan hanya jika untuk setiap sedemikian sehingga

 x   a   

 

terdapat  x

0

 

 X 

.

Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai berikut.

Teorema 1.23. Elemen b  R , batas bawah dari  X  , himpunan bagian tak kosong dari

R  ,

adalah infimum dari  X  jika dan hanya jika apabila  z  b maka terdapat  x z   X  sedemikian sehingga

 x z   z  .

Teorema 1.24. Elemen b  R , batas bawah dari  X  , himpunan bagian tak kosong dari adalah infimum dari  X  jika dan hanya jika untuk setiap sehingga

 

0

terdapat  x

 

 X 

R  ,

sedemikian

 x  b    .  

Bukti Teorema 1.23 dan Teorema 1.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.

Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan u, v  R  adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas U  . Untuk menunjukkan bahwa supremum dari U  adalah tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa

u v.

Untuk menunjukkannya, perhatikan

bahwa u  w dan v  w , untuk setiap w , batas atas dari U  . Karena u dan v juga batas atas dari U  , kita memiliki u  v dan v  u . Yang demikian berarti

uv

atau supremum dari

U  adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu

himpunan yang terbatas bawah juga tunggal.

Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R , atau biasa juga disebut sifat supremum dari

.

Aksioma 1.25 (Sifat Kelengkapan Kelengkapan dari R ). Setiap himpunan bagian dari atas memiliki supremum di

R 

yang terbatas

R  .

 Aksioma tersebut mengatakan bahwa R , digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan himpunan bilangan-bilangan rasional Q , sebagai himpunan bagian dari R  yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki “lubang”. Inilah yang membedakan R  dengan Q . Karena tidak “berlubang” inilah, R  ,

selain merupakan lapangan terurut, juga mempunyai sifat lengkap. lengkap. Oleh karena itu,

R 

disebut sebagai lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan



T  : t   Q : t  

0, t 2  2

bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi “lubang” 2

pada himpunan Q . Supremum dari T   Q yaitu 2

 x  2 ,

bukanlah bilangan rasional. Bilangan

Q . Maksudnya, supremum dari T   Q adalah

2 2

, yang merupakan akar dari persamaan

ini merupakan salah satu “lubang” pada yang bukan merupakan elemen dari Q .

Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada Q . Tetapi jika kita bekerja pada R , yang demikian tidak akan terjadi.

Sekarang, misalkan V  adalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapat l   R  sedemikian sehingga l  x , untuk setiap  x V  . Darinya, kita memperoleh bahwa l   x , untuk setiap  x V  . Dengan demikian, himpunan  Aksioma 1.25., himpunan himpunan

 x : x V 

 x : x V 

terbatas atas. Menurut

memiliki supremum. Misalkan  s adalah supremum

dari  x : x V  . Yang demikian berarti  s   x , untuk setiap  x V  , dan  s  r  , untuk setiap r  ,

batas atas dari

 x : x V  .

Darinya, kita memiliki  s  x , untuk setiap  x V  , dan

 s  r  , untuk setiap r  , batas atas dari

 x : x V  .

Dapat ditunjukkan ditunjukka n bahwa

r 

batas

atas dari  x : x V  jika dan hanya jika r  adalah batas bawah dari V  . Jadi kita memiliki  s  x , untuk setiap  x V  , dan  s  t , untuk setiap t , batas bawah dari V  , atau dengan

 s

kata lain,

adalah infimum dari himpunan V  . Berdasarkan penjelasan tersebut, kita

memiliki hal yang serupa dengan Aksioma 1.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari R 

yang terbatas bawah memiliki infimum di

R  .

Contoh 1.26. Tentukan supremum dari himpunan S    x  R : x  1 . Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa sup S  , supremum dari S  , adalah 1. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa : 1. Batas atas dari S  adalah 1, atau  x  1, untuk setiap  x  S  . 2. v  1 , untuk setiap v , batas atas dari S  . Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari S  . Selanjutnya, misalkan v  1 . Perhatikan elemen

1/ 2  v / 2 . Dapat ditunjukkan bahwa

v  1/ 2  v / 2  1 . Artinya, setiap elemen

v 1

bukanlah batas atas dari S  . Jelas bahwa v batas atas dari S  jika dan hanya jika v  1 . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas atas terkecil dari

S  . Dengan

demikian, 1 merupakan supremum dari S  .

Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.21 untuk menunjukkan 1 adalah supremum dari S  . Jika v  1 , berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih peroleh bahwa

 sv  S 

dan

v  sv .

 sv  1 / 2  v / 2 ,

kita

Jadi 1 merupakan supremum dari S  .

Kita akan coba cara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum dari S  , seperti yang tertulis pada Teorema 1.22. Diberikan  s  S   

 0 . Di sini kita akan memilih apakah ada

sedemikian sehingga 1     s (pemilihan  s yang demikian tidaklah unik). Jika kita

memilih

 

 s  1    / 2  

 s  1    / 2  1 ,  

 

 

maka kita memperoleh apa yang kita harapkan, karena jelas bahwa

atau dengan kata lain

mungkin untuk sembarang

 

0

 s  S   

dan 1     s  1    / 2 . Yang demikian selalu  

yang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dari S  .

■ Contoh 1.27. Tentukan infimum dari  I    x  R  : x  0. Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa inf  I  , infimum dari  I  , adalah 0. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa : 1. Batas bawah dari  I  adalah 0, atau 0  x , untuk setiap  x  I  . 2.

w  0 , untuk setiap w , batas bawah dari  I  .

Jelas 0 merupakan batas bawah dari  I  . Berikutnya, misalkan w  0 . Perhatikan bahwa

0  w / 2  w . Di sini

w / 2  I  . Artinya, jika w  0 maka w bukan batas bawah dari  I  . Jelas

bahwa w  0 jika dan hanya jika w adalah batas bawah dari  I  . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari  I  .

Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.23 untuk menunjukkan 0 adalah infimum dari  I  . Misalkan w  0 . Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan memilih kita peroleh bahwa

iw  I 

dan

iw  w .

iw  w / 2 ,

Akibatnya, 0 adalah infimum dari  I  .

Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada Teorema 1.24.  0 . Kita akan memilih apakah ada i  I  sedemikian sehingga i  0      .

Diberikan

 

Jika i

/2

 



 

diberikan.

 

 

maka

i   I 

Dengan

dan

i    

. Hal ini selalu mungkin untuk sembarang

demikian,

0

adalah

infimum

 

 0 yang

dari

 I  .

■

Contoh 1.28. Tunjukkan bahwa jika himpunan S   R  terbatas atas dan a  0 maka supremum dari aS : as : s  S  , sup aS  a sup S  . Penyelesaian. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita mulai dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa a sup S  adalah batas atas dari aS  atau a sup S  as , untuk setiap  s  S  , dan a sup S  v , untuk setiap v , batas atas dari aS  . Karena S  adalah himpunan yang terbatas atas, S  mempunyai supremum, menurut sifat Kelengkapan dari R . Karenanya, sup S

 s,

untuk setiap  s  S  .

Karena a  0 , a sup S  as , untuk setiap  s  S  . Artinya, a sup S  adalah batas atas dari aS  .  Akibatnya, aS  memiliki supremum. Selanjutnya, misalkan w adalah sembarang batas atas dari aS  atau w  as , untuk setiap  s  S  . Karena a  0 , kita peroleh bahwa w / a  s , untuk setiap  s  S  . Di sini w / a adalah batas atas dari S  . Akibatnya, w / a  sup S  atau w  a sup S  . Kita peroleh bahwa a sup S  w , untuk setiap w , batas atas dari aS  . Jadi sup aS  a

sup S  .

Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa a sup S  adalah batas atas dari aS  dan untuk setiap

v  a sup S 

terdapat

 sv  aS 

sedemikian

Telah ditunjukkan bahwa a sup S  adalah batas atas dari aS  . Sekarang,

sehingga

v  sv .

misalkan

v  a sup S  .

Karena a  0 , v / a  sup S  . Akibatnya, terdapat

 sv / a  S 

sedemikian

sehingga

v / a  sv / a .

Dengan memilih

Karenanya, kita memperoleh

 sv  asv / a ,

kita mempunyai

v  asv / a .

 sv  aS 

Di sini jelas bahwa

dan v 

sv .

asv / a  aS . 

Jadi sup aS   a sup S  .

■

Lebih jauh, kita akan melihat bagaimana sifat kelengkapan dari

R 

ini digunakan untuk

menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli N tidak mempunyai batas atas. Artinya tidak terdapat  x  R  sedemikian sehingga n  x , untuk setiap n  N , atau dengan kata lain  jika diberikan  x  R  terdapat n x

N

sedemikian sehingga

n x  x

.