4-RM 5to (1 - 16)

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 CORPORACIÓN EDUCATIVA

Formando líderes, con una auténtica educación integral

School´s

Primero Quinto de Secundaria

Razonamiento Matemático

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Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

Presentación Didáctico

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra

“Formar líderes con una auténtica

“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”

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Capítulo 1.

Situaciones Lógicas y Recreativas ...................................

9

Capítulo 2.

Orden de Información: Horizontal y Vertical ...............

16

Capítulo 3.

Orden de Información: Relación de Datos,



Cuadro de Decisiones .......................................................

24

Capítulo 4.

Calculo Inductivo ..............................................................

33

Capítulo 5.

Ecuaciones ..........................................................................

41

Capítulo 6.

Edades .................................................................................

49

Capítulo 7.

Relojes .................................................................................

56

Capítulo 8.

Operaciones Matemáticas Arbitrarias .............................

64

Capítulo 9.

Sucesiones ...........................................................................

71

Capítulo 10.

Analogías y Distribuciones ...............................................

78

Capítulo 11.

Series ...................................................................................

84

Capítulo 12.

Sumatorias ..........................................................................

91

Capítulo 13.

Análisis Combinatorio I: Factorial de un Número,



Principios Fundamentales ................................................

Capítulo 14.

Análisis Combinatorio II: Permutaciones,



Variaciones, Combinaciones ............................................ 106

Capítulo 15.

Probabilidades .................................................................... 114

Capítulo 16.

Área de Regiones sombreadas .......................................... 122

99

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

Situaciones Lógicas y Recreativas

1

OBJETIVOS:  Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones proble-máticas.  Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.

Nociones Previas

Resolución:

Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones, a veces familiares pero relacionadas con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento.

♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1

(Dato)

♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > Jueves ∴ Rpta.: d

Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica.

Ejemplo 2: Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana?

Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.

a) sábado d) jueves

b) miércoles e) domingo

c) lunes

Resolución: ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.

J V

S D L M

-2 -1 0 +1 +2 +3

(Piden)

Hipatía

(Dato) ∴ Rpta.: e

I. problemas sobre relación de tiempos

* Sistema relación - tiempo

Ejemplo 1: Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? a) miércoles d) lunes

b) jueves e) sábado

c) martes

Formando líderes con una auténtica educación integral

Ejemplo 3: Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana? a) lunes d) viernes

b) sábado e) jueves

c) martes

9

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Resolución: Dato: -2 + 5 domingo +3 domingo ... (I)

Resolución: Hagamos un gráfico

Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II) ahora de (I) y (II): Dato

+1 viernes

+2

+3

sábado

domingo

abuelo

Incógnita ∴ Rpta.: e Ejemplo 4: Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer?

Ejemplo 2: En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo?

Resolución: Dato: Anteayer del mañana de +1

a) 30 soles d) 50 soles

pasado mañana martes +2

⇒ -2 + 1 + 2 martes

+1 martes

Piden:

Ayer del ayer de anteayer -1

-1

-2

= -1 - 1 - 2 = - 4 retroceder

-4

-2

-3

jueves viernes

-4

sábado domingo

Incógnita

es el abuelo de Camila.

∴ Rpta.: d

a) lunes d) sábado b) martes e) viernes c) jueves

-1

∴ Del gráfico se deduce que el hermano de ese hombre

0

Dato

b) 40 soles e) 60 soles

c) 20 soles

Resolución: En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes. Así por ejemplo, una misma persona puede ser padre e hijo a la vez. Luego haciendo un esquema utilizando la menor cantidad de personas, se tiene:

+1

lunes martes

∴ Rpta.: c

II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO Ejemplo 1: Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila? a) padre d) abuelo 10

b) tío e) suegro

c) tío abuelo

∴ Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20 ∴ Rpta.: b

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para formar siete cuadrados?

4) Si el ayer del pasado mañana del mañana de anteayer de mañana es jueves, ¿qué día fue ayer? Rpta: _______

Rpta: _______ 2) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

5) Si el mañana del pasado mañana del ayer de mañana de hace 3 días es miércoles, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del mañana del pasado mañana? Rpta: _______

Rpta: _______ 3) ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para dejar la basurita fuera del recogedor? 6) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: Rpta: _______

Rpta: _______

1) ¿Cuántos cerillos se debe mover como mínimo para obtener 5 cuadrados iguales a los mostrados?

4) ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mamá de mi madre?

Para Reforzar Rpta: _______

Rpta: _______ 2) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

5) ¿Qué día es hoy si el mañana del anteayer delpasado mañana es jueves? Rpta: _______

Rpta: _______ 3) ¿Cuántos palitos se deben de mover como mínimo para que el pez nade hacia la derecha?

Rpta: _______

Formando líderes con una auténtica educación integral

6) Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el mañana del mañana del pasado mañana de ayer? Rpta: _______

11

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor:

Para el alumno:

1

Si el presente mes tiene 5 martes, 5 miércoles y 5 jueves, ¿qué día caerá el 20 de dicho mes?



a) sábado b) jueves d) viernes

1

c) lunes e) domingo

Resolución:

En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes? a) 18 b) 19 d) 21 Resolución:

Clave: 2

Clave:

Coloca los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20. Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices. a) 10 b) 11 c) 15 d) 9 e) 17

2

En la siguiente figura, distribuye los números del 1 al 12, de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22. De como respuesta la suma de los números que van en los vértices (x + y + z + w). a) 10 b) 12 c) 11 d) 8 e) 9

Resolución:

x

w

y

z

Resolución:

Clave: 12

c) 20 e) 22

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Si hoy es jueves, ¿qué día de la semana fue hace 100 días? a) lunes b) viernes c) martes d) domingo e) sábado

3

Si anteayer fue martes, ¿qué día de la semana fue hace 250 días? a) lunes b) viernes c) martes d) domingo e) sábado

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Martín se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?

Clave: 4

¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

a) es su mamá b) es su hermano c) es su hermana d) es su tío e) es su abuela

a) hija b) esposa c) madre d) suegra e) abuela

Resolución:

Resolución:

Clave:

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Clave: 13

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Leonel si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo? a) abuelo b) hijo c) tío

5

d) padre e) yerno

Mi nombre es Trilcito y mi hermano Miguelito, además mi abuela tuvo un hijo solamente. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la nuera de la mamá de mi madre? a) mi hermana b) tía c) madre

Resolución:

d) prima e) abuela

Resolución:

Clave: 6

Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el mañana del mañana del pasado mañana de ayer? a) lunes b) miércoles c) jueves

d) viernes e) sábado

6

Siendo viernes el mañana de mañana de hace 5 días, ¿qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) lunes b) jueves c) viernes

Resolución:

d) martes e) sábado

Resolución:

Clave: 14

Clave:

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

¿Cuántos triángulos se pueden formar, como máximo, con 5 cerillos?

7

¿Cuántos cuadrados se pueden formar como máximo, con 12 cerillos?



a) 12 b) 6 d) 8



a) 5 b) 6 d) 8

c) 7 e) 10

Resolución:

Resolución:

Clave: 8



¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener sólo 3 cuadrados del mismo tamaño, sin dejar cabo suelto?

a) 4 b) 3 d) 2

c) 7 e) 4

c) 6 e) 5

Clave: 8



¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para dejar ocho?

a) 5 b) 6 d) 8

c) 7 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

15

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

Orden de Información: Horizontal y Vertical

2

OBJETIVOS:  Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.  Potenciar la habilidad analítica.  Ejercitar la capacidad recreativa con la matemática.

Nociones Previas En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:  La información que nos da el problema necesita ser ordenada.  Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada.  Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema. Para su mejor estudio han sido agrupados, según la manera de ordenar la información, en:

Ejemplo 2: Se sabe que:  Carlos es 3 cm más alto que Diego.  Juan es 2 cm más bajo que Diego.  Juan es 5 cm más bajo que Carlos.  Lucy es 3 cm más baja que Diego. Indica verdadero (V) o falso (F) según da.  Diego y Juan son de la misma talla.  Lucy es la más baja.  Diego es el más alto.

Orden de Información I

a) Ordenamiento lineal. b) Ordenamiento por posición de datos.

Orden de Información II c) Relación de datos (cuadro de afirmaciones). d) Ordenamiento circular.

correspon( ( (

) ) )

Genio e Ingenio

a. ordenamiento lineal En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda. a) Creciente o decreciente

Ejemplo 1: En una fiesta se encuentran 4 amigos Sandro, Luis, Pedro y Martín. Además:  Sandro es más alto que Martín pero más bajo que Luis.  Pedro es más alto que Sandro. 16

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  El más alto de los 4 es Luis. ( )  El más bajo es Martín. ( )  Es imposible que Pedro sea el más alto. ( )

Durante su etapa como profesor activo, al final de un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido: “¡Las preguntas del examen de este año son las mismas que las del año pasado!” “Sí” - le contestó Einstein-, “pero este año las respuestas son totalmente diferentes”.

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Ejemplo 2: Cinco amigos van al estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupado, entonces un jugador desde el campo observa que:  Susy está en el extremo derecho.  Braulio está entre Leandro y Lucía.  Boris está a la izquierda de Leandro que está sentado junto a Susy.

Nota Las proposiciones:  A no es mayor que B, significa que A pued e ser menor o igual que B.  A no es menor que B, significa que A puede ser mayor o igual que B. b) Lateral

El procedimiento es similar al seguido en el ordenamiento creciente o decreciente.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( )  Braulio se sienta junto a Lucía. ( )  La quinta posición a partir del extremo derecho está vacía. ( )  La quinta posición a partir del extremo izquierdo está vacía. ( )

izquierda ↔ derecha oeste ↔ este occidente ↔ oriente Ejemplo 2: Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera:  El libro de Aritmética está siempre junto y a la izquierda del de Álgebra.  El libro de Física está siempre junto y a la izquierda del libro de Química.  El libro de Geometría está a la izquierda del de Álgebra.  El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física.

B. ordenamiento por posición de datos En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  El libro que está a la derecha de los demás es el libro de Química. ( )  El libro que está a la izquierda de los demás es el libro de Aritmética. ( )  El cuarto libro contando desde el extremo derecho es el libro de Álgebra. ( )  El quinto libro contando desde el extremo izquierdo es el libro de Física. ( )

¡Cuidado! Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento; para que una afirmación sea verdadera debe cumplirse en todos los posibles ordenamientos.

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Ejemplo 1: Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Arturo vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy?

4 3 2 1

Ejemplo 2: Se observa nueve automóviles estacionados en fila, y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que:  El primero es blanco.  El de color habano está entre el negro y el gris.  El verde está entre el azul y el rojo.  El de color arena está al último.  El rojo está entre el verde y el lila.  El negro está después del habano.  El gris entre el lila y el habano. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

17

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Ejemplo 3: Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias, cada familia ocupa un piso , los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?

Nótese que es necesario trazar 2 segmentos, debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones. * Ahora utilicemos el vínculo que los relaciona: “Pedro” es menor que “Pipo” Pino Pipo Pepe Pedro

Resolución: Según el primer dato hay 2 posibilidades: (1)

Barrera

∴ Se aprecia que el mayor es Pino.

Aburto

Ejemplo 5: En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito y Makito).  Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario.  Mario llegó después que Cano y éste después que Kilito.  Trilcito llegó antes que Cano. ¿Quién llegó en cuarto lugar?

Barrera Aburto Calderón

Puesto que los Durán viven en el 2.º piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.º piso, sino en el 6.º En consecuencia los Muñoz viven en el 4.º piso. En conclusión Gómez Barrera Muñoz Aburto 2° Durán 1° Calderón 6° 5° 4° 3°

Resolución: Pepe Mario Cano

Ñol  Mario Cano  Kilito Makito “Makito” y “Kilito”

Resolución: Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado no indique; veamos:

Pepe Pedro

4.°

3.°

2.°

1.°

Ca

no

rio

5.°

Ma

Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor?

6.°

l

Ejemplo 4:

“Pedro” es menor que “Pepe”

  

Ño

2.° 1.° Calderón

Pep e

6.° 5.° 4.° 3°

(2)

∴ En cuarto lugar Mario. Ejemplo 6: Dada la siguiente información: I) Aristóteles es menor que José. II) José es un año menor que Walter. III) Walter es 21 años menor que Renán. Si resto las edades de Renán y José, obtengo: Resolución: Renán 21 Walter

- = 22

1 “Pipo” es menor que “Pino”

José

Pino Pipo

∴ 22 años. 18

Aristóteles

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Resolviendo en clase 1) Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia “Mendez” vive un piso más arriba que la familia “García”. La familia “Dueñas” vive más arriba que la familia “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los “Mendez”? Rpta: _______

4) En un edificio Beatriz vive más arriba que Álex, Javier más arriba que Saúl y éste más arriba que Álex. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso, ¿cuáles de las afirmaciones son necesariamente verdaderas? I. Javier vive más arriba que Álex. II. Javier vive más abajo que Álex. III. Beatriz vive más arriba que Saúl. IV. Beatriz adora a Javier. Rpta: _______

2) Cinco amigos están sentados en una banca en el parque, ubicados uno a continuación de otro. Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se sienta al lado de Silvia? Rpta: _______

5) En una carrera participan 6 personas: A, , C, D, E y F. Se sabe que A llegó antes que D, pero 2 puestos después de F, y B llegó inmediatamente después que A, pero antes que e. Se puede afirmar que: I. C llegó en segundo lugar. II. D llegó antes que E. Rpta: _______ III. E llegó en sexto lugar.

3) En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje que Nataly, Vanessa menor puntaje que Karina, Irene el mismo puntaje que Susana, Sara más que Silvia, Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién obtuvo menos puntaje? Rpta: _______

6) En un examen de Razonamiento Matemático Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara, Rosa más que Sofía, Laura el mismo puntaje que María; y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje? Rpta: _______

Para Reforzar 1) Se tiene un edificio de departamentos con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. Se sabe que: - La familia Calderón vive un piso más arriba que la familia Mendoza. - La familia Fernández vive más arriba que la familia Díaz. - La familia Calderón vive más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso vive la familia Calderón? Rpta: _______

4) En un edificio de 5 pisos viven las familias: Flores, Zanabria, Miranda, Pérez e Islas cada una en pisos diferentes. - Los Islas viven encima de los Zanabria. - Los Flores viven lo más alejado de los Miranda. - Los Miranda no pueden subir las escaleras. - A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último piso. Son ciertas: I. Los Flores viven en el piso dos. II. Los Pérez viven en el piso tres. III. Los Miranda viven en el piso uno. Rpta: _______

2) En una carrera participan 4 amigas: Milena, Rosa, Katy y Úrsula. Si del orden en que llegaron se conoce: - Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa. - Úrsula y Katy llegaron una detrás de otra en orden alfabético. - Milena aventajó a Rosa en 3 puestos. ¿Quién ganó la carrera? ¿Quién llegó tercera? Rpta: _______

5) En una banca en el parque se sientan Juana a la derecha de María y Ana a la izquierda de Juana, por lo tanto indicar lo verdadero: I. Juana está al medio. II. Juana está a la derecha. III. Juana está a la izquierda. IV. Ana está al medio. Rpta: _______ V. María está al medio

3) Si María es mayor que Lucía, Irene es menor que María y Lucía es menor que Irene, ¿quién no es mayor ni menor? Rpta: _______

6) Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que: - B obtuvo un punto más que D. - D obtuvo un punto más que C. - E obtuvo dos puntos menos que D. - B obtuvo dos puntos menos que A. Ordénalos de mayor a menor puntaje. Rpta: _______

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Para el profesor: 1



Para el alumno:

Seis amigas están escalando una montaña, Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? a) María b) Tania d) Daniela

c) Juana e) Carla

1





Resolución:

Cinco amigos A, B, C, D y E viven en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: - El departamento del cuarto piso está desocupado. - D vive adyacente a A y C. - E no vive en el último piso. Se afirma: I. B vive en el sexto piso. II. A no vive en el tercer piso. III. C vive más arriba que A. Son verdaderas: a) Sólo I b) II y III d) I y II

c) I y III e) Todas

Resolución:

Clave: 2



Clave:

Sobre una mesa hay un lapicero, un color y un plumón. Si sabemos que: - A la izquierda del color hay un lapicero. - A la derecha del plumón está el que pinta azul. - A la izquierda del que pinta azul está el que pinta verde. - A la derecha del que pinta rojo hay un plumón. entonces al extremo derecho, ¿qué objeto está? a) El plumón rojo b) Lapicero rojo c) Color azul d) Color rojo e) Lapicero azul Resolución:

2



Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático, aritmética, álgebra, física, historia y geometría. Si: - El libro de aritmética está junto y a la izquierda del de álgebra. - El libro de física está a la derecha del de aritmética y a la izquierda del de historia. - El libro de historia está junto y a la izquierda del de geometría. - El libro de razonamiento matemático está a la izquierda del de álgebra. De derecha a izquierda, el cuarto libro es de:



a) Raz. Mat. b) Aritmética d) Geometría

c) Física e) Álgebra

Resolución:

Clave: 20

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Se deben realizar cinco actividades A, B, C, D y E una por día desde el lunes hasta el viernes. B se realiza después de D. C se realiza el jueves o el viernes. D se realiza el jueves o el viernes. Halla la secuencia en que se realizan las actividades si A se realiza antes que E. a) AECBD b) AECDB c) CAEDB

3

En una competencia de motocrós participan 6 personas cada una con sus motos numeradas del 1 al 6. Se sabe que: - Los tres últimos lugares lo ocupan motos con nume-ración de los primeros números primos. - La moto 6 llegó inmediata-mente después del 1. - La diferencia entre el quinto y el segundo es 4. - La moto de cuarto lugar es la semisuma de los números de las motos de lugares extremos. ¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la moto número 1?



a) 6 b) 1 d) 3

d) CEADB e) EACBD

Resolución:

c) 5 e) 2

Resolución:

Clave: 4



Clave:

Cinco profesores: Medina, Parodi, Fernández, Cartolín y López están sentados en fila. Parodi está en el extremo de una fila y Fernández en el otro extremo. Cartolín estaba al lado de Parodi y Medina al lado de Fernández. ¿Quién estaba en el medio?

4

Cinco profesores: Miranda, Escalante, Mercado, Vera y Rabines están sentados en fila. Escalante estaba en el extremo de la fila y Mercado en el otro extremo. Vera estaba al lado de Escalante y Miranda al lado de Mercado. ¿Quién estaba en el medio?

a) Medrano b) Cartolín d) López



a) Escalante b) Mercado d) Vera

c) Fernández e) Parodi

Resolución:

c) Rabines e) Miranda

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 21

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Cuatro amigos viven en un edificio de 4 pisos. Alberto vive en el primer piso, Martín vive más abajo que José y Walter vive en el piso inmediatamente superior a Martín. ¿En qué piso vive Walter? a) Primero d) Cuarto b) Segundo e) F.D. c) Tercero

5

Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia “Mendez” vive un piso más arriba que la familia “García”. La familia “Dueñas” vive más arriba que la familia “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los “Mendez”? a) 1.er piso b) 3.er piso c) 4.º piso

d) 2.º piso e) 2.º y 3.er piso

Resolución: Resolución:

Clave: 6

Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante, y Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Flavio c) Erick

d) Toño e) Damte

6

Cinco amigos están sentados en una banca en el parque, ubicados uno a continuación de otro. Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se sienta al lado de Silvia? a) Zarahí b) Pedro c) Manuel

d) José e) Juan

Resolución:

Resolución:

Clave: 22

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Maria es mayor que Sara, Ana es menor que Sara, pero mayor que Nataly, y Nataly es menor que Vanessa. ¿Cuál de las cinco es la menor de todas? a) Nataly b) Vanessa c) Sara

7

d) Ana e) María

Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso lo ocupa: a) Bica b) David c) Franco

Resolución:

d) Carlos e) Enzo

Resolución:

Clave: 8







En el hipódromo de Monterrico hay seis participantes en el Gran Derby Nacional; Rey de Oros, La Alemana, Don Bruno, Sigmund y el gran favorito Santorín. - Sigmund llegó después de Rey de Oros. - La Alemana llegó entre los tres primeros. - El favorito no defraudó. Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) Si la Alemana llegó 2da, el Rey de Oros llegó 3ro. ( ) Si Don Bruno llegó 3ro, el Rey de Oros legó 4to. ( ) Si Don Bruno llegó 2do, la Alemana llegó 3ra. ( ) Si la Alemana llegó 3ra, Don Bruno llegó 2do. a) FVVF b) VVVV d) FFVV

c) FVVV e) VVVF

Clave: 8



El señor Paibar y el señor Castro tienen la misma cantidad de dinero; Paibar sin embargo, es más rico que el señor Ruiz quien es más rico que el señor Prado. El señor Cornejo, que es más pobre que Paibar, pero más rico que Prado, no es tan rico como Ruiz. El señor Castro es más pobre que el señor Pérez. Si el más pobre tiene S/. 500 y además entre lo que tiene cada uno de ellos hay una diferencia de S/. 1000. ¿Cuántos soles tiene el señor Pérez? a) 4 500 b) 3 500 c) 2 500 d) 1 500 e) 500 Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

23

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Capítulo

Orden de Información:

3

Relación de Datos Cuadro de Decisiones

C. RELACIÓN DE DATOS (Cuadro de afirMaciones) Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos proporcionados, marcando las relaciones correctas y eliminando las negativas. Ejemplo 1: Tres amigas: Carmen, Fátima y Milagros comentan sobre el color de polo que llevan puesto. - Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes”. - Milagros dice: “Me gustaría tener un polo verde como el tuyo”. - Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”. ¿Qué color de polo tiene cada una? Resolución Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades. Azul

Rojo

Verde

Carmen Fátima Milagros Primer Dato: Como Carmen no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.

Carmen

Azul

Rojo

Verde

X

X



Fátima

X

Milagros

X

Tercer Dato: Fátima tiene polo rojo. 24

Azul

Rojo

Verde

Carmen

X

X



Fátima

X



X

Milagros



X

X

Por lo tanto: Carmen  Verde ; Fátima  Rojo ∴ Milagros  Azul

Gauss, a la edad de diez años su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.

Reto ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Resolución

Ejemplo 2: Mily, Pili, Lenín y Ely terminaron sus estudios de Medicina, Ingeniería, Matemática y Derecho, se sabe que: - Mily no estudia Medicina. - Pili hubiera estudiado Derecho si Lenín hubiera estudiado Ingeniería. - Ely quiere empezar a estudiar Matemática. - Lenín estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática, ¿qué estudia Pili?

Viuda Ruiz

Quiroz

Páez

Ana

No

Sí

No

Carmen

Sí

No

No

Betty

No

No

Sí

∴ Betty Páez

∴ Rpta.: b

Resolución * De los dos primeros enunciados: - Lenín no estudia Medicina. - Pili no estudia Derecho, Lenín no estudia Ingeniería.

Reto Medicina Mily

Ingeniería Matemática

Derecho

No

Pili

No

Lenín

No

Ely

- Lenín estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática. Se tiene: - Ely no estudia Matemática. - Lenín no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina. - Mily estudia Matemática.

Medicina

Ingeniería Matemática

Derecho

Mily

No

No

Sí

No

Pili

Sí

No

No

No

Lenín

No

No

No

Sí

Ely

No

Sí

No

No

Ejemplo 3:

Tres amigos en el bar Les voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real: Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío. - Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor. - Camarero: Son 300 pesetas, caballeros. Y cada uno de ellos pone 100 pesetas. Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice: - Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales sólo 250 ptas.  El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente: - Camarero: Ya está. Me quedaré con 20 ptas y les devuelvo 30, diez para cada uno. Les devuelve a cada uno 10 ptas. Ahora es cuando viene el problema. Si cada uno puso 100 ptas y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno de ellos 90 ptas. 90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el camarero son 290 ptas. ¿DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ?

De tres amigas se sabe que: - Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen. - Ana era muy amiga del fallecido esposo de la señora Cruz. - La viuda y Betty son menores que la señora Quiroz. - La señora Páez es bien alegre. El nombre correcto es: a) Betty Ruiz d) Carmen Páez

b) Betty Páez e) Carmen Ruiz

c) Ana Páez

Formando líderes con una auténtica educación integral

25

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. C. ORDENAMIENTO CIRCULAR En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia). Ejemplo 1: Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa. - Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana. - David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos. Entonces es siempre cierto que: A) Ana y Carlos se sientan juntos. B) David está a la derecha de Julio. C) David está a la izquierda de Julio. D) Ana y Carlos están separados por un asiento. Resolución Carlos Julio

Resolución

D

* Empezando por el último dato, tendremos:

P

L

R

S C

∴ A la derecha de Coquito esta Silvia. Ejemplo 3: Ana invita a cenar a sus amigos: Betty, Coryna, Daniel, Ely y Felipe; este último por razones de trabajo no pudo asistir. Se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente y se sabe que: - Ana se sienta junto a Ely y Daniel. - Frente a Ely se sienta Betty. - Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Entre quiénes se sienta Ely? Resolución - Ana se sienta junto a Ely y Daniel.

Ana

(Primera posibilidad)

D

E A

Julio Ana

- Frente a Ely se sienta Betty.

Carlos

B D

E

(Segunda posibilidad) Al analizar las alternativas, observamos que la que cumple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato).

∴ Rpta.: d

A

- “Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío”. Entonces, dicho asiento debe de estar entre las dos mujeres, luego:

Ejemplo 2: Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa redonda. David no está al lado de Coquito ni de Silvia. Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito? 26

B

C

D

E A

∴ Ely se sienta entre Ana y Corina.

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes ocupaciones y se sabe que:  Raúl y el gasfitero son amigos del mecánico.  Carlos es amigo del mecánico.  El comerciante es familia de Bruno.  El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico.  Raúl es comerciante. ¿Cuál es la ocupación de Carlos? a) Mecánico b) Gasfitero c) Faltan datos

d) Pintor e) Comerciante

a) Sólo I d) I y III

2) Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además:  D no se sienta junto a B.  A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.  E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? a) C y E b) C y B c) A y D

4) Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular y se sabe que:  Las 5 sillas se encuentran distribuidas simétricamente.  A se sienta junto a B.  D no se sienta junto a C. Podemos afirmar con certeza que: I. D se sienta junto a A. II. E se sienta junto a C. III. B se sienta junto a D.

d) C y A e) B y E

3) Felipe, Marco, Pedro, Daniel y Carlos harán una encuesta en cinco distritos de Lima: La Molina, San Isidro, Pueblo Libre, Lince y Miraflores cada uno en un distrito diferente. Y se sabe que:  Felipe irá a La Molina, pero Marco la hará en su propio distrito.  Las suegras de Pedro y Daniel viven en San Isidro, por lo cual ellos no aceptan ir a ese distrito.  Marco vive en Lince y es el único que encuesta en su distrito.  Daniel vive en Pueblo Libre. ¿Dónde encuesta Carlos?

b) Sólo II c) I y II e) Todas

5) “A”, “B”, “C” y “D” corresponden a los nombres de Roberto, Gerardo, Manuel y Jesús (no necesariamente en ese orden).  Roberto, “C” y “D” fueron al teatro juntos.  Gerardo, “A” y “B” trabajan en la misma fábrica.  “A”, “C” y Manuel concurren a los juegos mecánicos con regularidad.  “D”, “B” y Jesús juegan en el mismo equipo.  “C” es moreno, en cambio, Gerardo es de tez blanca. Determina quién es moreno y quién es “A”. a) Jesús ; Roberto b) Jesús ; Gerardo c) Manuel ; Roberto d) Manuel ; Gerardo e) Roberto ; Gerardo 6) Alicia, Carmen, Francis y Edith tienen diferentes profesiones: periodista, médico, kinesiólogo y matemático y viven en las ciudades X, Y, Z y W. Además, se sabe que:  Francis no vive en X ni en Y.  El médico vive en X.  Alicia vive en W.  Edith es kinesióloga.  El periodista nunca ha emigrado de Z. ¿Qué profesión tiene Alicia?

a) La Molina b) Miraflores c) San Isidro d) Lince e) Pueblo Libre

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a) Abogado b) Médico c) Periodista d) Kinesióloga e) Matemático

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Para Reforzar 1) Tres amigos: Ana, Beto y Carlos tienen diferentes profesiones; profesor, médico y electricista, no necesariamente en ese orden y se sabe que:  Ana es el médico.  Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor b) Contador c) Médico d) Mecánico e) Electricista

a) A o B b) A c) D

2) En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétrica-mente se sientan cinco hermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco. Se sabe que:  Francisco y Miluska no se sientan juntos.  Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.  Fabiola se sienta frente a Guisela. ¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Erica b) Miluska c) Francisco

28

d) A o nadie e) Nadie

5) Tres personas X, Y, Z disponen de A, B y C libros aunque no necesariamente en ese orden. Además se conoce que:  Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A libros.  Z le dice a la que tiene A que tiene sed. Se pregunta: ¿Quién tiene A libros? a) X b) Y c) Z d) X o Z e) Y o Z

d) Guisela e) Fabiola

3) Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes profesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico pero ninguno en ese orden. Y se sabe que:  Carlos, el abogado y el médico juegan fútbol.  Raúl, el médico y el abogado juegan ajedrez. ¿Qué profesión tiene Pedro? a) Ingeniero b) Médico c) Abogado d) Profesor e) Contador

4) En una mesa circular hay 6 asientos y se sientan 4 amigos: A, B, C y D.  Nadie se ha sentado junto a A.  Si llega un amigo más, podría estar junto a B.  Frente a D no hay nadie. ¿Quién está frente a C?

6) Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente:  “Yo ahorro en Interbank”, dice el médico a Roberto.  Tito comenta: “El banco que más interés paga es el Wiese”.  El abogado dice: “¨Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima”  El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante? a) Roberto b) Roberto o José c) José d) F. I. e) Tito

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Para el profesor: 1



Para el alumno: 1

Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima, Cusco e Iquitos; pero cada uno tiene carácter diferente: tímido, agresivo y liberal.  Marcos no está en Lima.  Luis no está en el Cusco.  El que está en Lima no es tímido.  Luis no es liberal, ni tímido. Se quiere saber en qué ciudad vive Víctor, que es uno de los amigos, y qué carácter tiene. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo. a) Lima ; liberal c) Cusco ; tímido e) Iquitos ; agresivo



Rommel, Álex, Luis y Eduardo practican los siguientes deportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Y se sabe que:  Luis no vive en Los Olivos ni en Breña.  El atleta vive en Los Olivos.  Rommel vive en Miraflores.  Eduardo es futbolista.  El nadador nunca ha emigrado de San Borja. ¿Qué deporte practica Rommel?



a) Natación b) Atletismo d) Tenis



b) Lima ; agresivo d) Cusco ; liberal

Resolución:

c) Fútbol e) Básquet

Resolución:

Clave: 2

Los señores Pérez, Sánchez, García y Lazo son médico, abogado, ingeniero y matemático, aunque no necesariamente en ese orden. Pérez no sabe de medicina ni de leyes, Sánchez no sabe de números ni de planos García sabe los códigos legales y Lazo no sabe medicina ni tampoco de construcción. ¿Qué profesión tiene el Sr. Pérez?



a) Médico b) Matemático c) Abogado d) Pintor e) Ingeniero Resolución:

Clave: 2

Marcos, Janeth, Manuel y Magaly son hinchas de los siguientes equipos (no necesariamente en ese orden): Cienciano, Universitario, Cristal y Alianza. Marcos no es hincha de Boys y su amigo tampoco. Si sabemos que Magaly es hincha de Universitario y su enamorado es hincha de Cristal y es el único amigo de Marcos, ¿hincha de qué equipo es Marcos?



a) Universitario b) Cienciano d) Cienciano y Cristal

c) Cristal e) Alianza

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 29

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3



Tres amigos: Alex, Luis y Rommel, tienen distintas aficiones: fútbol, tenis y natación, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Y se sabe que:  Luis no practica tenis.  El tenista no gusta del rojo.  Alex no practica tenis.  Quien practica natación gusta del blanco.  Luis no gusta del rojo. ¿Qué afición tiene Alex y cuál es el color favorito de Rommel? a) Natación - azul c) Fútbol - rojo e) Fútbol - azul

3



Tres hermanos practican natación, atletismo o básquet; cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde, Juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet y Gustavo participa por el verde. ¿Qué deporte le corresponde a Alberto y Gustavo, respectivamente? a) Natación y básquet b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos

b) Fútbol - blanco d) Natación - blanco

Resolución:

Resolución:

Clave: 4



Clave:

Tres hermanos: Abel, Bruno y Caín tienen edades diferentes y profesiones distintas: arquitecto, contador y filósofo. Además tienen diferente marca de automóvil: Datsun, Nissan y Toyota, no necesariamente en ese orden. Se sabe lo siguiente:  Abel no es contador ni es el mayor de los hermanos.  Caín pintó s u Toyota de color verde.  El menor de los hermanos es contador y tiene un Datsun. La lista que corresponde a un ordenamiento de mayor a menor con respecto a la edad de los hermanos es: a) Caín, Bruno y Abel b) Caín, Abel y Bruno c) Bruno, Abel y Caín d) Bruno, Caín, y Abel e) Abel, Caín y Bruno

4





El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista. Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. Al escritor no le gusta fumar Hamilton porque prefiere cigarrillos más fuertes como Premier. Javier es más joven que el periodista y nunca ha fumado. El escritor es Renato y es más joven que el que fuma Hamilton. ¿Quién es el escritor? a) Renato b) Javier c) Antonio d) Santiago e) No se puede determinar Resolución:

Resolución:

Clave: 30

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Están en una sala de conferencia: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en ese orden, de los profesionales son: Pedro, Diego, Juan y Luis. Y si se sabe que: 1. Pedro y el contador no se llevan bien. 2. Juan se lleva muy bien con el médico. 3. Diego es pariente del abogado y éste es amigo de Luis. 4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. ¿Quién es el médico?

5

a) Chocolate y fresa b) Vainilla y fresa c) Marrasquino y chocolate d) Marrasquino y vainilla e) Fresa y marrasquino

a) Pedro b) Luis d) Pablo

Luis, Judith, Armando y su prima Marilyn ordenaron helados de sus sabores favoritos. Cada uno ordenó un sabor diferente, tomaron helado de chocolate, fresa, vainilla y marrasquino. A Armando y Marilyn no les gusta la fresa. Judith tomó chocolate. Marilyn solía tomar marrasquino pero se cansó de éste. ¿Qué ordenaron Armando y Marilyn, respectivamente?

c) Diego e) Juan

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Por mi casa vive un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, el otro colérico y el otro triste y se sabe que:  Al gordo nunca se le ve reír.  El enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces:

Clave: 6

A, B y C tienen una mascota cada uno, perro, gato y mono. Si B le dice al que tiene el gato, que la otra tiene un perro, y C le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces:



a) El gordo para alegre b) El flaco para triste c) El enano para triste d) El flaco para alegre e) El gordo para colérico

a) A tiene el mono b) C tiene el gato c) B tiene el perro d) A tiene el gato e) B tiene el gato Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 31

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Tres hermanos Erico, Luchito y Maravito tienen distintos oficios; uno es carretillero, el otro malabarista y el otro profesor; cada uno de ellos tiene un hijo que no desea seguir el oficio de su padre sino el de uno de sus tíos y además no quieren ser colegas el uno del otro. Si el profesor es Erico y el hijo de Luchito quiere ser malabarista, ¿quién de los padres espera tener un hijo profesor?

7

a) Maravito b) Luchito c) Erico d) Ninguno de ellos e) Datos insuficientes



Resolución:

Ana, Betty, Carol y Dina son 4 señoritas cuyas ocupaciones son: enfermera, profesora, secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). Además se sabe lo siguiente:  Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarse el auto al trabajo.  Betty gana más dinero que Carol.  Ana le gana siempre a Dina jugando casino.  La actriz no vive cerca de la casa de la profesora.  La enfermera camina siempre a su trabajo.  La única vez que la secretaria vio a la actriz detuvo su auto para pedirle un autógrafo.  La actriz gana más dinero que la profesora o la secretaria, pero no tiene auto. ¿Qué ocupación tiene Carol? a) Enfermera b) Actriz c) Profesora d) Contadora e) Secretaria Resolución:

Clave: 8





Clave:

En una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutir cuatro obreros A, B, C y D y tres empleados: X, Y, Z, y se sabe que:  Ningún empleado se sienta junto a otro empleado.  B se sienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos. II. X se sienta junto a B. III. A se sienta junto a Y. a) Sólo I b) I y II d) I y III

c) I y II e) Sólo II

Resolución:

8



Aníbal invita a cenar a sus amigos Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe; este último por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de una misma mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si:  Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel.  Eduardo se encuentra diametralmente opuesto a Betty.  Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿quién está junto y a la derecha de Eduardo? a) Aníbal b) Daniel d) Felipe

c) Celinda e) Betty

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 32

Formando líderes con una auténtica educación integral

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Capítulo

4

Cálculo Inductivo

OBJETIVOS:  Desarrollar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de un problema.  Dotar al estudiante de herramientas metodológicas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso del pensamiento creativo.

Lógica Inductiva

Ejemplo 2:

Consiste en la observación y análisis de casos particulares lo cuál nos permite el descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras.

Halla la suma de cifras de: E = (111...111)2

CASO

CASO

CASO

I

II

III

CASO

...

25 cifras

Resolución: Por inducción:  Para 2 cifras: (11)2 = 121 Suma de cifras = 4 = (1 + 1)2 2 cifras

GENERAL

2

 Para 3 cifras: (111) = 12321 Suma de cifras=9 = (1+1+1)2

Casos Particulares

3 cifras

Razonamiento Inductivo

2

 Para 4 cifras:(1+1+1+1) = 1234321 Suma de cifras=16=(1+1+1+1)2

Ejemplo 1:

4 cifras

Al sumar números impares consecutivos en forma ordenada, tenemos: 2

S1 = 1 S2 = 1 + 3 S3 = 1 + 3 + 5

=1 =1 = 4 = 22 = 9 = 32 ...

...

...

...

...

...

...

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 S10 = 1+3+5+7+...+19= 100 = 102 Vemos que el resultado de sumar números impares consecutivos es de la forma n2 donde “n” es la cantidad de números impares que se suman. Sn = 1+3+5+7+ ... = n2 (n sumandos)

Reto La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial. Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel, uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme, otro, un civil francés, enrolado en la resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad, ninguno conocía a los demás. Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron y todo quedó en profunda oscuridad, se oyó el chasquido de un beso, seguido por el retallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”. El alemán pensó: “¿pero qué ha pasado? ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”. Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo?

Formando líderes con una auténtica educación integral

33

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar “E” sería: Suma de cifras = (1+1+1+...+1)

2

2

= 25 = 625

Suma de números en un calendario Se trata de poder sumar los nueve números contenidos en el cuadrado seleccionado en el calendario, bastando que nos digan el número menor del cuadrado. En este caso se trata del número 7.

25 veces

Ejemplo 3: Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo.

Para averiguar la suma, debemos sumar 8 y después multiplicar por 9: (7 + 8) . 9 = 135 OCTUBRE L M M J 1

1

2

3

98 99 100

Resolución: Debido a que la distribución de las esferas responde a una forma triangular, entonces analizaremos, recurriendo a la inducción, los casos iniciales a dicha formación. # esferas 1.er caso 

1

Números triangulares = 1

=

1x2 2

2.º caso 1 2



1+2

= 3

=

2x3 2

V

2 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 26 27 28 29 30

N.° esferas de la base

N.° esferas de la base

S

D

3 10 17 24 31

4 11 18 25

Al número que te den le sumas 8 y esta suma la multiplicas por 9. También se puede hacer cuando los días están ordenados en vertical. La suma de los nueve números contenidos en el cuadrado es: (2 + 8) . 9 = 90

L

2

9

16 23

M 3

10 17 24

M 4

11 18 25

J

5

12 19 26

V

6

13 20 27

S

7

14 21 28

D

8

15 22

3.er caso

.....

=

3x4 2

N.° esferas de la base .....

 1+2+3= 6

.....

1 2 3

En cualquier hoja de calendario se pasa de un número al que hay debajo de él, sumando 7. En cualquier cuadrado de nueve números, se pasa del número menor al que ocupa el centro sumando 8. Los nueve números de cada cuadrado de números se pueden escribir en función del número que ocupa el centro del cuadrado.

En general N.° esferas de la base 100 x 101  1 + 2 + 3 + ...+100 = 2 = 5050 1 2 3

34

98 99 100

∴ Suma de esferas del arreglo triangular 5050.

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... ... ... ...

9 10 11 12

10 11 12 13 ...

4 5 6 7

Resolución: Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo, aplicando inducción tendremos: 1.er caso

Analizamos casos particulares:

1

# maneras que se puede leer 1.er caso 1

3 4 5 6

9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 18 19

Resolución:

S

2 3 4 5

...

S A A N N N M M M M A A A A A R R R R R R C C C C C C C O O O O O O O O S S S S S S S S S

1 2 3 4

...

Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz.

...

¿De cuántas formas distintas se puede leer “SAN MARCOS” en el siguiente arreglo?

...

Ejemplo 5:

...

Ejemplo 4:

=

21 - 1

N° esfera de la base



Suma = 1 = ( 1 )3 N.° de Filas



Suma = 8 = ( 2 )3

1er.caso caso 2.º 1 2 2 3

N.° de Filas 3.er caso

2.º caso S

2

=

22 - 1



Suma = 27= ( 3 )3 N.° de Filas

...

A A

1 2 3 2 3 4 3 4 5

N° esferas de la base

3 4 5 6

... ... ... ...

9 10 11 12

10 11 12 ...

En general S A A N N N M M M M = S S S

29 - 1

N° esferas de la base = 256

S S S ∴ Maneras distintas de leer “San Marcos”: 256

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10 11 12 3 13  Suma = ( 10 ) = 1000 N.° de Filas

...

23 - 1

2 3 4 5

...

=

1 2 3 4

...

4

.....

A A N N N

N° esferas de la base

...

S

...

En general

3.er caso

18 19

∴ Suma de todos los elementos 1000

Reto Estas frente a tres apagadores, un pasillo y al fondo una habitación con la puerta cerrada.  ¿Cómo saber cuál de los apagadores enciende el foco de la habitación recorriendo el pasillo una sola vez?   Enciendes el apagador 1 y esperas 5 minutos, lo apagas y enciendes el 2.  Recorres el pasillo y abres la puerta: Si el foco está encendido, el apagador 2 es el bueno, si está apagado pero caliente es el 1 y si está frío, debe ser el 3.

35

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Resolviendo en clase 4) Halla el total de palitos en:

1) Calcula la suma de cifras del resultado en “E”, si: E =(333...33)2 40 cifras

Rpta: _______ Rpta: _______

1

3

48 49 50

5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer “JESSICA”?

2) Calcula la suma de cifras de “A”, si: A = (333...34)2

J EEE SSSSS SSSSSSS I I I I I I I I I CCCCCCCCCCC AAAAAAAAAAAAA

100 cifras

Rpta: _______ 3) Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar:

2

P = 997 x 998 x 999 x 1000+1

Rpta: _______

Rpta: _______

6) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “INGRESO”?

I NN G G G R R R R E E E S S O

Rpta: _______

Para Reforzar 4) Halla el total de palitos que conforman la figura.

1) Calcula la suma de cifras de: M = (666...66)2 12 cifras

Rpta: _______

Rpta: _______ 2) Calcula la suma de cifras del resultado de: B = (999...995)2 101 cifras

Rpta: _______

M = 100 x 101 x 102 x 103+1 Rpta: _______

3

38 39 40

4

I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I

6) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “RAZONAR”?

3) Calcula la suma de cifras del resultado de:

36

2

5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO en el siguiente arreglo? Rpta: _______



1

Rpta: _______

R A

A Z Z Z O O O O N N N A A R

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4

Para el profesor:

Para el alumno:

1

Halla la última cifra luego de efectuar el producto:

1



R=(22004+1)(22003+1)(22002+1)... ...(22 + 1)





a) 10 b) 12 d) 25

c) 5 e) 4



Resolución:

¿En qué cifra termina: P = 4+(10700 +1)...(103+1)(102 + 1)(10+1)? a) 1 b) 4 d) 5

c) 8 e) 9

Resolución:

Clave: 2

Halla la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 x 10.

Clave: 2

Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 1 2 3 4

2 4 6 ... 18 20 4 6 8 ... 20 22 6 8 10 ... 22 24 18 20 22 ... 34 36 20 22 24 ... 36 38

a) 2 500 b) 1 900 d) 2 000

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

... ... ... ...

9 10 10 11 11 12 12 13

9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 18 19 c) 1650 e) 3 600



a) 100 b) 500 d) 1001

c) 1000 e) 3000

Resolución:

Resolución:

Clave:

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Clave: 37

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1

1

4

7

1

3

2

5

8

2

4

3

6

9

a) 100 b) 12 d) 15

3

Los puntajes que tiene un alumno en la academia en sus exámenes son:

N.º examen Puntaje 1 ........... 2 2 ........... 5 3 ........... 10 4 ........... 17

c) 14 e) 16

...

Se sigue la siguiente secuencia hasta que la suma de los números de la esquina superior derecha e inferior izquierda sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

...

3



¿Cuál fue la nota que obtuvo en el décimo segundo examen?



a) 120 b) 146 d) 148

Resolución:

c) 145 e) 150

Resolución:

Clave:

Clave:

4

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer trotamundos? N O U D R T M N O T O A U D S R T M N O O U D N

4

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer mentorianos? A N I N E T R A O M N O I N S E T R A O N I N A



a) 130 b) 128 d) 166



a) 100 b) 96 d) 81

c) 135 e) 120

Resolución:

Resolución:

Clave: 38

c) 120 e) 64

Clave:

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Calcula el número total de asteriscos * * * * * * * * * * * *

¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?

Fila (1) Fila (2) Fila (3) 1

* *

* * * * ** * ** *

5

a) 350 b) 332 d) 304

2

3

28 29 30

Fila (17) Fila (18) Fila (19)

c) 325 e) 100



Resolución:

a) 600 b) 1200 d) 1000

c) 900 e) 1100

Resolución:

Clave:

Clave:

6

¿Cuál es el menor número “n” que multiplicado por 33 nos da un número cuyas cifras son todas 7?

6

¿Cuál es el número de 5 cifras que multiplicado por 22, nos da un producto cuyas cifras son todas 8?



a) 24 379 b) 23 569 d) 21 869



a) 50 243 b) 35 490 d) 25 625

c) 21 769 e) 21 978

Resolución:

c) 62 521 e) 40 404

Resolución:

Clave:

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Clave: 39

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J=

7

Calcula “J”.

1 1 1 E= 1 + + +...+ 99x100 1x2 2x3 3x4

1 1 1 1 + + + 1x3 3x5 5x7 199x201

a) 1 b) 101/201 d) 100/201

c) 199/201 e) 99/201

Calcula “E”.



Resolución:

a) 1/100 b) 99/2 d) 90/100

Resolución:

Clave: 8

Si: M(1) = 4 x 1 + 1 M(2) = 8 x 4 + 8 M(3) = 12 x 9 + 27

Clave: 8

Halla el valor de la F(100), si: F(1) = 1 F(2) = 3 + 5 F(3) = 7 + 9 + 11 F(4) = 13 + 15 + 17 + 19

Calcula el valor de x, si M(x)= 4 x 104

a) 15 b) 18 d) 20

c) 100/99 e) 99/100

c) 23 e) 21

Resolución:



2

a) 1 000 000 b) (103) d) Todas

c) 106 3 e) (102)

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 40

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Capítulo

5

Ecuaciones OBJETIVOS:

 Relacionar matemáticamente hechos de nuestra vida diaria.  Ejecutar la capacidad de abstracción para representar y relacionar simbólicamente los datos de un problema con las variables elegidas para las incógnitas.

Nociones previas Plantear una ecuación es traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal). Nuestro lenguaje está lleno de expresiones que en algunos casos puede ser medido (el costo de un libro, el número de alumnos de un aula, la altura de un estudiante, etc.) y en otros no pueden ser medidos (la alegría de un estudiante, la habilidad de una persona, el heroísmo de un soldado, etc.). En este tema nos ocuparemos de aquellas expresiones que sí podemos representar matemáticamente: * Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados: Lenguaje Común (Verbal)

Lenguaje Matemático (Forma simbólica)

 El triple de un número, aumentado en su mitad.  El triple de un número aumentado en su mitad.  El cuadrado de un número, aumentado en cinco.  El cuadrado de un número aumentado en cinco.  La suma de dos números consecutivos es 99.  La suma de tres números pares consecutivos es 36.  La suma de tres números impares consecutivos es 45.  Gastó la tercera parte de lo que no gastó.  El número de varones es la quinta parte del total de los reunidos.

?

¡Hola! me llamo incógnita, mi juego favorito son las escondidas, muchos me buscan, pero son muy pocos los que me encuentran.

Me agrada ver sufrir a los que no logran hacerlo. Tal regocijo me causa ver sus rostros demacrados por la derrota... ¡Me temen! Je, je, je. Mas aquéllos que me encuentran me causan admiración por su gran habilidad y perseverancia. Incluso muchas veces los he retado con ayuda de mis amigas las fracciones, pero ellos se sonríen y siguen jugando, como si supiesen que van a ganarme.

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41

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Historia de las ecuaciones Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo el de Rhid - 1650 a.C.- y el de Moscú -1850 a.C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dicha ecuaciones.

1 En notación moderna, la ecuación sería x + x = 24. 7 La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de “método de la falsa posición” o “regula falsi” consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y se verifica la igualdad ya tenemos la solución, sino, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = c

Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la “x” nos daría:

Donde a, b y c eran números conocidos y “x” incógnita que ellos denominaban montón; una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”.

como nuestra solución es 24, es decir, 8 x 3; la solución es 21 = 3 x 7, ya que



7+

1 x 7 = 8, y 7

3 x (7 +

1 x 7) = 24 7

El arte de plantear Ecuaciones

El idioma del Álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua, al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos: En la lengua vernácula:

En el idioma del álgebra

Un comerciante tenía una determinada suma de dinero.

x

El primer año se gastó 100 libras. Aumentó el resto con un tercio de éste.

(x - 100) + x -100 = 4(x -100) 3 3

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras.

4x - 700 4x - 400 -100 = 3 3

Y aumentó la cantidad restante en un tercio de ella.

4x - 700 + 4x - 700 = 16x - 2800 9 9 3

El tercer año gastó de nuevo 100 libras.

16x-2800 -100 = 16x - 3700 9 9

Después de que hubo agregado su tercera parte.

16x-3700 16x-3700 64x-14800 + = 27 27 9

El capital llegó al doble del inicial.

42

x - 100

64x - 14800 = 2x 27

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Ejemplo 1: Si ganara S/. 300, tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. 300. ¿Cuánto tengo? Resolución: Tengo al inicio “S/. x” Si ganara S/.300 tendría: x + 300 Si perdiera S/.300 me quedaría: x - 300 Planteamos la ecuación: x + 300 = 3(x - 300) x + 300 = 3x - 900 300 + 900 = 3x - x 1200 = 2x 600 = x ∴ Tengo S/. 600 Ejemplo 2: Halla el número de hojas de un libro de R.M. si sabemos que si arrancamos 25 quedarán la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más. Resolución: Número de hojas “x” Si arranco 25 hojas me quedaría: x - 25 Si tuviera 50 más tendría: x + 50 Planteamos la ecuación: 1 x - 25 = (x + 50) 2

Ejemplo 3: Halla la longitud de un puente si sabemos que el séxtuplo de dicha longitud disminuido en 300 metros es equivalente al triple de dicha longitud disminuido en 60 metros. Resolución: Longitud del puente: “x” metros Planteamos la ecuación: 6x - 300 = 3x - 60 6x - 3x = 300 - 60 3x = 240 x = 80 ∴ Longitud del puente 80 metros. Ejemplo 4: Si compro 7 cuadernos y 3 lápices, gasto S/. 44; pero si compro 7 lápices y 3 cuadernos, gasto S/. 36. ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuánto 1 lapicero? Resolución: Costo de 1 cuaderno: S/. C Costo de 1 lapicero: S/. L De los datos planteamos las ecuaciones: 7C + 3L = 44 ....... (1) 3C + 7C = 36 ...... (2) (1)+(2): 10(C + L)=80 ⇒ C+L= 8 (1)-(2): 4(C - L)= 8 ⇒ C - L= 2 2C = 10

2x -50 = x + 50 2x - x = 50 + 50 x = 100 ∴ Número de hojas 100.

C=5 Por tanto:

L=3

∴ 1 cuaderno cuesta S/. 5 y 1 lapicero cuesta S/. 3.

Curiosidades Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son mas difíciles de construir?. La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?...

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Reto

Las arañas y los escarabajos Un chiquito cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?

43

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) De los 200 soles que tenía, gasté la tercera parte de lo que no gasté. ¿Cuántos soles gasté? Rpta: ________

4) Anita compró cierto número de cuadernos por la suma de 120 soles. Si por cada cuaderno hubiera pagado 2 soles menos, habría comprado 2 cuadernos más por la misma suma. ¿Cuántos cuadernos compró? Rpta: ________

2) En una reunión, la cuarta parte de las personas son hombres. Si la diferencia entre el número de mujeres y hombres es 80, ¿cuántas mujeres hay en dicha reunión? Rpta: ________

5) Sobre un estante se pueden colocar 30 libros de ciencias y 6 libros de letras o 18 librosde letras y 10 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de letras únicamente se pueden colocar? Rpta: ________

3) Compré un lote de pantalones a 180 soles el ciento y vendí a 24 soles la docena, ganando en el negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos de pantalones compré?

6) Si por S/. 2 dieran 6 canicas más de las que dan, la docena costaría 90 céntimos menos. ¿Cuántos soles cuesta cada canica?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Se debía repartir 1800 soles entre cierto número de personas; cuatro de ellas renunciaron a su parte, con lo cual a cada uno de los restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran originalmente?

4) Pedro paga por 2 polos y 5 faldas un total de 495 soles. Si cada falda cuesta S/. 15 más que un polo, ¿cuántos soles cuestan un polo y una falda juntos?

Para Reforzar

Rpta: ________

2) Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.

Rpta: ________

5) Si 144 manzanas cuestan tantos soles como manzanas dan por 169 soles, ¿cuánto costarán dos docenas de manzanas ? Rpta: ________

Rpta: ________

3) Un niño le dice a su padre: “de los 140 soles que me diste, gasté 58 soles más de los que no gasté”. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño?

6) En un pueblo, a cada habitante le correspondía 60 litros de agua por día; como llegan 40 personas, corresponden ahora 2 litros menos por semana. ¿Cuántas personas hay en el pueblo?

Rpta: ________

Rpta: ________

44

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5

Para el profesor:

Para el alumno:

1

A cierto número par, se le suma los dos números impares que le anteceden y los dos números pares que le preceden, obteniéndose en total 630. El producto de los dígitos del número par de referencia, es:



a) 10 b) 14 d) 60

c) 16 e) 12

1

En un asamblea todos deben votar a favor o en contra de una moción. En una primera rueda, los que votaron en contra ganaron por 20 votos; en una segunda vuelta se aprobó la moción por una diferencia de 10 votos. ¿Cuántos asambleístas cambiaron de opinión?



a) 5 b) 10 d) 20

Resolución:

c) 15 e) 25

Resolución:

Clave: 2

El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. Halla el número.



a) 14 b) 12 d) 9

c) 10 e) 8

Resolución:

Clave: 2

Nicolás tiene tres veces más dinero de lo que tiene Víctor. Si Nicolás le diera 15 soles a Víctor, entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre los dos?



a) S/. 25 b) S/. 30 d) S/. 50

c) S/. 45 e) S/. 60

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 45

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

En una reunión se contaban tantos caballeros como 3 veces el número de damas. Después llegaron 300 caballeros más y 40 damas más, y ahora por cada dama hay 5 caballeros. ¿Cuántas damas habían al comienzo?

3

Tres hermanos se reparten en partes iguales una herencia que consiste en un terreno de 170 m2, 2 autos de igual valor y S/. 1000 más uno de los autos y el tercero recibe 20 m2 y el otro auto. ¿Cuál es el valor de un auto?



a) 38 b) 42 d) 50



a) S/. 6 800 b) S/. 4 100 d) S/. 2 400

c) 51 e) 49

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Tengo cierta cantidad de nuevos soles. Si regalara (2x – 3), me quedaría (8x – 6). ¿Cuánto tengo?



a) 6x – 9 b) 10x – 9 d) 6x + 3

c) 8x – 3 e) 9x – 10

Resolución:

4

Del producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. El número mayor es:



a) 6 b) 7 d) 9

c) 8 e) 10

Resolución:

Clave: 46

c) S/. 7 000 e) S/. 6 500

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra, logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menor cantidad?

5

Se tiene 3 números positivos ordenados de menor a mayor, de manera que el segundo excede al primero en la misma cantidad que el tercero excede al segundo. El producto de los 2 primeros es 75 y el producto de los 2 últimos es 375. Calcula el recíproco del mayor.



a) 18 b) 28 d) 20



a) 0,04 b) 0,05 d) 0,02

c) 16 e) 15

Resolución:

c) 0,5 e) 0,01

Resolución:

Clave: 6

El triple de lo que me faltaría para tener lo que tú tendrás, si es que yo te diese S/. 10, es igual a 7 veces más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo, si tú tienes 2 veces más de lo que yo tengo?



a) S/. 30 b) S/. 40 d) S/. 25

Clave: 6

Se tiene un número impar, se le añade el par de números impares que le anteceden y los tres números pares que son inmediatamente anteriores a dicho número, dando un resultado de 939 unidades. Calcula la suma de cifras del número impar mencionado.



a) 20 b) 16 d) 13

c) S/. 60 e) S/. 45

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

c) 15 e) 14

Resolución:

Clave: 47

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Se tiene un grupo de 84 fichas de 10 gramos cada una y otro grupo de 54 fichas de 25 gramos cada una. ¿Cuántas fichas deben intercambiarse para que ambos adquieran el mismo peso?



a) 34 b) 29 d) 39

c) 37 e) 25

7

“n” personas almuerzan en un restaurante de manera que “n- 4” personas ofrecen cubrir con todos los gastos, para lo cual pagan c/u S/. 60 adicionales a la cuota que les correspondía inicialmente. Calcula la cuenta total.



a) 15 n – 60 b) 15n2 – 60n 2 d) 15n – 60

c) 15n + 60 e) 15n2 + 60n

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

8

Un grupo de amigos sale a pasear. Después de comer helados 3 de ellos se dan cuenta que no tenían dinero, por lo que cada uno de los otros pagó S/. 4 más y la cuenta total, que era de S/. 72 quedó saldada. ¿Cuántas personas pagaron la cuenta?

8

Nandito pagó una deuda con monedas de S/.5 y S/.2, el número de monedas de S/.5 excede a las de S/. 2 en 15, y la cantidad de dinero que pagó con monedas de S/.5 es 2 veces más que la cantidad que pagó con monedas de S/. 2. ¿Cuál es el valor de la deuda?



a) 9 b) 10 d) 11



a) S/. 700 b) S/. 800 d) S/. 400

c) 6 e) 5

c) S/. 500 e) S/. 600

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 48

Formando líderes con una auténtica educación integral

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Capítulo

6

Edades

OBJETIVOS: a Utilizar las habilidades y capacidades para resolver los diferentes casos de ejercicios sobre edades. a Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera sencilla y rápida. a Hacer de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades, donde intervengan dos o más sujetos.

OBSERVACIÓN: Epitafio: Inscripción puesta en una sepultura o escrita como si estuviera destinada a ello. DIOFANTO: (vivió alrededor del año 275) En una antología griega de problemas algebraicos en forma de Epigramas, se recoge el siguiente Epitafio: "Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera un niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en camino de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida". En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades.

-

Presente: Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, ...

-

Pasado: Tenía, tenías, hace 20 años, cuando él tenía, ...

-

Futuro: Tendré, dentro de 5 años, cuando tú tengas, tendremos, ...

Edad: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Se da generalmente en años, pero puede darse en días o meses. En este capítulo desarrollaremos los problemas donde intervienen las edades de uno o más sujetos.

Consideraciones Generales 1) El tiempo transcurre igual para todos desde un mismo tiempo de referencia. Ejemplo 1:

Sujetos: Son los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos los animales, los árboles, entre otros. Tiempos: Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado, se complicará la resolución del problema.

Formando líderes con una auténtica educación integral

hace 6 años

dentro de 7 años

Pasado Presente Futuro José

20

26

33

Cinthia

15

21

28 49

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 2) La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante. Ejemplo 2:

hace 5 años

dentro de 8años

Eso quiere decir que Lady es mayor que Sebastián en: 45 - 36 = 9 años

Pasado Presente Futuro Ricardo

13

Jorge

Reemplazamos de acuerdo a los datos: 4k + 5 = 5k - 4 → k = 9 L = 5(9) = 45 S = 4(9) = 36

18

∴ Cuando nació Sebastián, Lady tenía 9 años.

12

Cuando Jorge nació, ¿cuántos años tenía Ricardo? Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos:

* Otro tipo de problema. Nota: Para resolver éste tipo de problemas debes tener presente que: 1. Cuando una persona ya cumplió años, se cumple: Año de Edad Año + = nacimiento actual actual

• Tipo I Cuando interviene la edad de un solo sujeto. -y

+x E Edad Actual

Hace "y" años

2. Cuando una persona aún no cumple años, se cumple: Año de Edad Año + = -1 nacimiento actual actual

Dentro de "x" años

• Tipo II

Ejemplo 4

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos. En éste caso es recomendable usar el siguiente cuadro: Tiempo S u j e t o s

Pasado Presente Futuro

A

A1

A2

A3

B

B1

B2

B3

Relaciones: A2 - A1 = B2 - B1 ...(I) A3 - A1 = B3 - B1 ...(II) A3 - A2 = B3 - B2 ...(III)

E d a d e s

Resolución: Planteando los datos obtenemos:

En las celdas correspondientes al tiempo, ¿siempre se deberá colocar presente, pasado y futuro?

Las edades actuales de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 4, respectivamente. La edad que tendrá Sebastián dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Lady hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián?

Ya que las edades son proporcionales a 5 y 4, tenemos: Edad Lady (L) 5 → L = 5k = S = 4k Edad Sebastián (S) 4 50

Año de nacimiento

En 1965 edad:

19ab

2 (ab) años 3

Luego planteamos: 2 (ab)+ 19ab 3 2 1965 = 1900 + ab + 3 (ab) 5 65 = (ab) → ab = 39 3 1965 =

Ejemplo 3

Resolución:

A una persona, en el año 1965, se le preguntó por su edad y contestó: "Tengo, en años, las dos terceras partes del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento". Halla la suma de las cifras de su edad en dicho año.

Entonces la edad de la persona es: 2 (39) = 26 años 3 La suma de cifras de su edad es: ∴2+6=8

Formando líderes con una auténtica educación integral

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Resolviendo en clase 1) Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César, cuando Andrea tenga 22 años?

4) La suma de las edades actuales de Esteban y Manuel es 26 años. Si la diferencia de las mismas es dos años, ¿cuál es la edad del mayor?

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Cuando Silvia tenga 22 años, Maritza tendrá 29. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años?

5) Rosario es mayor que Carolina por cuatro años. Si la suma de sus edades actuales es 52 años, ¿cuál es la edad de Rosario?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) La diferencia de las edades de Carmen y Amelia es tres años actualmente. ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 17 años?

6) La suma de las edades de José, Pedro y César es 42 años. ¿Cuál será la suma de edades dentro de siete años?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Dentro de siete años Jorge tendrá 27 años. ¿Cuál era su edad hace siete años?

4) En el problema anterior, ¿cuál será la edad del menor dentro de ocho años?

Rpta: ________

Rpta: ________

2) En el momento que Felipe tenga 31 años, Andrés tendrá 22 años. ¿Cuál es la edad actual de Andrés si Felipe hace dos años tenía 11 años de edad?

5) Hace cuatro años la suma de las edades de dos señoritas era 38 años. Actualmente, ¿cuál es la suma de sus edades?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Pepe es mayor que Coco por cinco años. ¿En cuántos años será menor Coco que Pepe, dentro de 25 años?

6) La edad de William es el doble de la edad de María Belén y hace 12 años la suma de sus edades era 30 años. Entonces María Belén tiene actualmente:

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar

Formando líderes con una auténtica educación integral

51

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6

Para el profesor:

Para el alumno:

1

La edad de Sara es el triple de la edad de ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad ángel tiene:

1

Juan tiene 42 años y Pedro 18. ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue nueve veces la edad que tuvo Pedro en ese entonces?



a) 10 años b) 9 años d) 8 años



a) 12 b) 10 d) 11

c) 7 años e) 11 años

Resolución:

c) 14 e) 15

Resolución:

Clave:

Clave:

2

La suma de las edades actuales de 2 profesoras es 47 años, dentro de 4 años la mayor tendrá el doble de la edad que tenía la menor hace 6 años. Halla la edad actual de la mayor.

2

Un padre le dice a su hijo: "Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble". ¿Qué edad tiene el hijo?



a) 25 años b) 28 años d) 26 años



a) 8 años b) 24 años d) 32 años

c) 27 años e) 29 años

Resolución:

Resolución:

Clave: 52

c) 14 años e) 16 años

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Dentro de 5 años, tú tendrás la edad que ahora tengo. ¿Qué edad tendrá cuando mi edad y tu edad sean proporcionales a 13 y 8?



a) 6 años b) 12 años d) 14 años

c) 8 años e) 10 años

3

José tiene 24 años, y su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Flor cuando José tenía la tercera parte de la edad que tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor?



a) 19 años b) 24 años d) 25 años

c) 20 años e) 21 años

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

4

Hace 10 años la edad de A era el doble de la edad de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad actual de B?

4

La señora Angela tuvo a los 27 años 2 hijos mellizos; hoy las edades de los tres suman 63 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de 3 años?



a) 12 años b) 35 años d) 50 años



a) 12 años b) 15 años d) 21 años

c) 22 años e) 24 años

Resolución:

c) 24 años e) 18 años

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 53

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Pedrito es 12 años menor que Susana. Hace 4 años ella era 3 veces mayor que él. ¿Qué edades tienen ahora?



a) 10 y 22 b) 18 y 36 d) 24 y 12

c) 20 y 8 e) 30 y 18

Resolución:

5

Hace 6 años la edad de Roberto era 4 veces la edad de Pablo. Halla sus edades actuales, sabiendo que dentro de cuatro años Roberto tendrá 2 veces la edad de Pablo.



a) 16 y 25 b) 11 y 26 d) 13 y 23

c) 26 y 12 e) 16 y 28

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Pepe tiene 30 años y su edad es el triple de la edad que Pepa tenía cuando Pepe tenía la edad que Pepa tiene. ¿Cuántos años tiene Pepa?



a) 20 años b) 35 años d) 40 años

6

Richard le dice a Carito: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando transcurra el doble de aquel entonces al presente, nuestras edades sumarán 108 años". ¿Qué edad tiene Richard?



a) 16 años b) 40 años d) 32 años

c) 15 años e) 25 años

Resolución:

c) 24 años e) 36 años

Resolución:

Clave: 54

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Hace 7 años tenía x años, y dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5. Halla x.



a) 10 b) 13 d) 14

c) 11 e) 12

Resolución:

7

Hace 6 años la edad de Roberto era 4 veces la edad de Pablo. Halla sus edades actuales, sabiendo que dentro de cuatro años Roberto tendrá 2 veces la edad de Pablo.



a) 16 y 25 años c) 26 y 12 años e) 16 y 28 años

b) 11 y 26 años d) 13 y 23 años

Resolución:

Clave: 8

Juan le dijo a Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años". Halla la suma de las edades actuales de ambos.



a) 18 años b) 49 años d) 30 años

c) 21 años e) 28 años

Clave: 8

Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54. ¿Qué edad tengo?



a) 18 años b) 28 años d) 30 años

c) 21 años e) 24 años

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

55

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

7

Relojes OBJETIVOS: a Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver ejercicios sobre relojes.

a Dar a conocer a los estudiantes las diferentes técnicas usadas en la resolución de ejercicios referente a relojes. a Aplicar a situaciones reales de la vida diaria referente a la medición del tiempo.

Ángulos determinados por las agujas de un reloj En este capítulo analizaremos problemas derivados de la relación que existe entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj (minutero y horario). divisiones de un reloj

11

12

→ Si el minutero de un reloj recorre una división, transcurre un minuto y ha barrido un ángulo de 6º. RELACIÓN DE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y EL MINUTERO En una hora el minutero da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones, osea la doceava parte de lo que recorre el minutero.

1 2

10 9

3

1 hora 1 min

4

8 7

6

5

Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de las cuales está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos. Por otro lado, se conoce que toda la circunferencia del reloj tiene 360º. Del análisis anterior, tenemos las siguientes equivalencias: 60 divisiones60 minutos360º 1 división 1 minuto 6º

56

Las equivalencias anteriores indican lo siguiente:

minutero

horario

360º 6º

30º 1/2º

Hora referencial: Dada una hora cualquiera, la hora referencial será la hora exacta anterior a dicha hora. Por ejemplo: → A las 6h 30 min, la hora de referencia será las 6 en punto. → A las 4h 20 min, la hora de referencia será las 4 en punto. ángulo formado por las manecillas del reloj a una hora determinada Ejemplo 1: ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 6:20 a.m.?

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. b) Cuando el minutero adelanta al horario: 12

12

11

1

9

3

a=

2

10 9

3

a

4

8 7

6

Ejemplos usando las fórmulas anteriores: Indica que ángulo forman las manecillas del reloj a las:

5

6

6:20 a.m.

Hora referencial

11 M -30H ...(II) 2

a) 3h 26 min

Análisis: En 20 minutos, el minutero avanzó: 6º x 20 = 120º

11

11

1 2

10

120º

9

6

2

9

3 4 7

1

6

5

2

9

4

1

8

10 3

8 7

12

12

10

1º x 20 = 10º 2

En 20 minutos, el horario avanzó: 12

11

3 10º

8

5

7

4 6

5

Horario

Minutero

¿Quién adelanta a quién? ______________________________ posiciones particulares entre las manecillas → Superpuestas → a = __________

Relación para hallar "a": 180º + 10º = 120º + a ⇒ a = 70º

→ Opuestas

→ a = __________

→ Perpendiculares→ a =_________ 11

12

10

120º

9 8

1

7

6

Ejemplos: 3

a

10º

2

4

1. ¿A qué hora entre las 7 y 8 p.m. las agujas están opuestas?

5 11

6:20

a = 30H - 11 M ...(I) 2

2

9

3 4

8

_________________ a= _______

a) Cuando el horario adelanta al minutero:

1

10

¿Cuál es la relación para determinar "a"?

Mediante el procedimiento anterior-mente descrito se puede demostrar que el ángulo formado por las manecillas del reloj a las H horas y M minutos, es:

12

7

6

5

a = _______________ ; H = ________________ ¿Quién adelanta a quién? _____________________________ ¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________

Formando líderes con una auténtica educación integral

57

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 2. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas son perpendiculares?

Hora real = Hora atrasada + atraso

12

1

Hora marcada

11

Hora real = Hora adelantada - adelanto

2

10 9

3 4

8 7

5

6

Hora = Hora - Atraso atrasada real total Hora = Hora + Adelanto adelantada real

Ejemplo 1: a = _______________ ; H = ________________

Un reloj tiene un atraso de 2 minutos cada 3 horas. ¿Cuánto se atrasará en 1 día?

¿Quién adelanta a quién? _____________________________

Resolución: Se resolverá el problema, empleando la "regla de tres".

¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________

Tiempo 3 horas 1 día = 24 horas

¿Es la única solución? No. Hay otra solución.

11

12

x=

1

9

24 .2 = 16 minutos 3

Ejemplo 2:

3 4

8 7

Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta?

5

6

a) 8:25

a = _______________ ; H = ________________

b) 8:42 c) 8:35 d) 9:12 e) 10:01

Resolución:

¿Quién adelanta a quién? _____________________________ ¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________

En 1 hora

se atrasa

En 6 horas

se atrasará

3 minutos x

Por regla de 3 simple directa: x=

Adelantos y atrasos En aquellas situaciones donde se encuentran relojes malogrados debemos considerar:

58

2 minutos x

2

10

+ATRASO

-ADELANTO

TOTAL

TOTAL

Hora indicada por un reloj atrasado

Atraso

6x3 min =18 min (Atraso total) 1

Hora ⇒ correcta = 8:17 + 18 = 8:35 (Real)

Rpta.: c

Hora indicada por un reloj adelantado

Hora Real

-Atraso

+Adelanto

Total

Total

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj cuando éste marque las 4:00 p.m.

4) ¿A qué hora entre las 5 y 6 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 90º?

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj cuando éste marque las 9:20 p.m.

5) Un reloj se adelanta 15 segundos cada cuarto de hora. ¿Cuánto se adelantará en 6 horas?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60º?

6) A partir de las 3:15 a.m. un reloj se adelanta 2 minutos cada 4 horas. ¿Qué hora marcará cuando realmente sea las 9:15 p.m.?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj cuando éste marque las 5:40 p.m.

4) Un reloj se atrasa 6 minutos cada 8 horas, ¿cuál será su atraso en un día?

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj cuando éste marque las 6:30 p.m.

5) Un reloj se atrasa 18 segundos cada 2 horas. ¿Cuánto se atrasará en 14 horas?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) ¿A qué hora entre las 9 y las 10 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 75º?

6) ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 8:20 p.m.?

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar

Formando líderes con una auténtica educación integral

59

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7

Para el profesor:

Para el alumno:

1

¿Cuánto mide el ángulo que determinan las agujas de un reloj a las 4h 40min?

1

¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p.m.?



a) 120º b) 110º d) 105º



a) 100º b) 60º d) 110º

c) 90º e) 100º

Resolución:

c) 70º e) 80º

Resolución:

Clave:

Clave:

2

¿Cuánto mide el ángulo que determina las agujas de un reloj a las 5h 10 min?

2

¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 6:40 a.m.?



a) 110º b) 95º d) 100º



a) 60º b) 40º d) 45º

c) 105º e) 115º

Resolución:

Resolución:

Clave: 60

c) 36º e) 30º

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Si son las 2h 36 min, ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj?

3

¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas de un reloj determinan un ángulo que mide 40º?



a) 138º b) 142º d) 146º



a) 5:15 b) 5:14 d) 5:21

c) 117º e) 72º

Resolución:

c) 5:22 e) 5:20

Resolución:

Clave: 4

¿A qué hora entre la 1 y las 2 están opuestas las agujas del reloj?



a) 1h 42



1 min 11 2 c) 1h 38 min 11 1 e) 1h 36 min 11

b) 1h 35 min d) 1h 30

7 min 11

Clave: 4

¿A qué hora entre las 9 y 10 las agujas de un reloj están en línea recta?



a) 9:15



Resolución:

5 c) 9:16 11 1 e) 9:17 11

b) 9:16 d) 9:16

4 11

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 61

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Un reloj se atrasa tres segundos por minuto. Si ya tiene un atraso de 3 minutos, ¿cuántos minutos necesita para tener 1 hora de retraso?



a) 125' b) 72' d) 1200'

c) 1140' e) 148'

5

Un reloj se adelanta 7 segundos cada 45 minutos. ¿Cuánto se adelantará en 1 día?



a) 2'18'' b) 2'48'' d) 5'10''

Resolución:

c) 4'42'' e) 3'44''

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Un reloj se atrasa 3 minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sea las 10:24h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto?

6

Un reloj se adelanta 2 minutos cada media hora. Si hace 8 horas que viene funcionando así, ¿qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 02:38 h?



a) 11:24 b) 09:25 d) 09:24



a) 02:16h b) 02:06h d) 02:10h

c) 10:28 e) 09:28

Resolución:

Resolución:

Clave: 62

c) 02:08h e) 02:18h

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

a) 2h 24 min



b) 2h 22 min



7

¿Qué hora será según el gráfico?

c) 2h 23 min



d) 2h 21 min



e) 2h 22 1/2 min

¿Qué hora es según el gráfico?

12

12

11

1

10

2 a

9

3

2a 4

8 5

7



a) 3h 55 5/13 min



b) 4h 45 4/13 min



d) 3h 58 5/10 min



e) 3h 35 5/13 min

11 10

2

a 9

c) 3h 45 5/4 min

4

8 5

7

6

Resolución:

Clave:

Clave:

8

¿Qué hora será exactamente según el gráfico?



a) 9h 20 min



b) 9h 25 min



12

c) 9h 36 min

11

1

10

2 a

9

3

3a

d) 9h 42 min e) 9h 18 min

3

a

6

Resolución:

1

4

8 7

5

8

De acuerdo al gráfico, ¿qué hora es?



a) 2:51



b) 2:52



12 11

1

10

2

2a

c) 2:53

a

9



d) 2:54



e) 2:55

Resolución:

4

8 7

6

3

5 6

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

63

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

8

Operaciones Matemáticas Arbitrarias

Nociones Previas

¿qué es un operador matemático?

Este es un capítulo que basa su importancia en la gran aplicación que tiene sobre los procesos condicionados y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, a las que se supone estamos poco acostumbrados. Permite también analizar nuevas operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos:

Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como ejemplos de operadores matemáticos tenemos:

1. Operadores Universales Son los símbolos de las operaciones convencionales conocidas, tales como:

¿Qué es una operación matemática? Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: la adición, la sustracción, la multiplicación, etc. Por ejemplo: Con los números 4 y 9 podemos realizar las siguientes operaciones:

Operación

Operador

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

x

División

÷

Radicación Valor Absoluto



Máximo Entero

[]

Sumatoria

∑

2. Operador Arbitrario Es cualquier símbolo, signo o figura con el cual se define una operación matemática en función de las operaciones universales. Estos operadores reciben el nombre de operadores matemáticos, y pueden ser: *

Operador asterisco Operador cuadrado

4 + 9 = 13 9-4=5 4=2 92 = 81

Operador nabla #

Operador grilla Operador triángulo Operador rectángulo

Como podrás notar toda operación matemática tiene su operador y su regla de correspondencia. 64

Operador diamante @ Operador arroba, etc.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. regla de correspondencia

En I : (2#3) = 22 +32 - 5 =4+9-5=8

En el presente capítulo, se definiran operaciones en base a las ya conocidas, con reglas de correspondencia arbitrarias y utilizando operadores arbitrarios.

Luego

(2 #3 ) # 1 8

Ejemplo:

#1

Operación m

1.er componente

II

n = 2m + 3n Regla de formación

Operador

En II : (8#1) = 82+12 - 5 = 64+1 - 5 = 60

2.º componente

Rpta.: (2#3)#1= 60 Nota Las definiciones que pueden dar m y n son de infinitas maneras, no es la única como se dio, sino dependerá de la creatividad del que lo propone; por eso se dice que son operadores arbitrarios.

2) Operadores Compuestos

casos en operadores arbitrarios De muchos casos, consideramos tres, siendo estos.

Es cuando la operación tiene dos o más operadores, o tiene ciertas condiciones el sistema. 3. Si

a a

halla

b = ab - 1 b=a÷b+1 E = (3

2) (6

3) + 1

1) Operadores Simples Es cuando en la operación interviene un solo operador y sin condiciones particulares.

Resolución: En E = (3

1. Si m * n = m2 + mn - n2 + 1, halla E = (3* 2) + (4 * 3) Resolución: II

En I : (3*2)= 32+3 . 2 - 22+1 =9+6-4+1 (3*2) = 12 En II :(4*3)= 42+4 . 3 - 32+1 = 16 + 12 - 9 + 1 (4*3)= 20 Luego E = 12 + 20 = 32 Rpta.: E = 32 2. Si A # B = A2 + B2 - 5, halla (2 #3 ) # 1 Resolución: (2 #3 ) # 1 I

I

3) + 1 II

...observamos que luego de hallar I ∧ II estos resultados se multiplican... ¿verdad?

E = (3 * 2) + (4 * 3) I

2) (6

I

(3 2) = 3 . 2 - 1

II (6

=6-1=5 3) = 6 ÷ 3 + 1 =

Luego E = (3

2+1=3

2) (6 (5)

3) + 1 (3)

15

+1 16

Observamos que aplicaremos el operador dos veces.

II

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta.: E = 16 65

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Se define a # b =R + 4 ⇔ b.R = a + 2. Halla el valor de x en la igualdad. x # 7 + (x + 2) # 7 = 8 # 5 + 8 Rpta: ________



calcula

(

3) Si

x ⊕= Hallar:

a

b = 3a + xb y



5

4 = 35



8

7

Halla:

Rpta: ________

a3-b3 y además m#n = nm, 2 a +ab+b2 1 #(102 * 90) 3 Rpta: ________

5) Si:

(

2) Si a * b =

4) Si:



x+2 , si x es par 3 x+3 , si x es impar; 2

a+2 , si a es par 3 a+3 , si a es impar; 2

a*=

* Halla: E = (3*)* – 3(2 ) * 5

Rpta: ________

6) Si se sabe que:

⊕ ⊕ (((3⊕)⊕)⊕...)⊕ + 10 / 4 ⊕ 1

3



2004 veces

x * y = y2 + x3

Calcula: 2 * 2

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Si: a%b = (a-b)2+(a+b)(a-b)+2ab Calcula: 25%(24%(23%(22%...(2%1)...)))

4) Si: a * b = 2a - 3b Calcula: M=(...(((50*51)49*48)48*47)47*46)...)2*1

Rpta: ________ 2) Si x ≠ 1; además: x+1 F(x) = x-1 Halla: E = F(F(F(...F(F(x))...)))

Rpta: ________ 5) Dado: x # y = mx2 – nxy se obtuvieron en 2 aplicaciones: 2#1 = 10 ∧ 1#2= 4 Halla B; si 3 # B = 33 Rpta: ________

4444 operaciones

Rpta: ________ 3) Se define:

x + 5 = x + 1,



Calcula:

24



Si:

6) Siendo:

9 =3

Calcula:

E = 3⊗(4⊗(5⊗(...))) 100 paréntesis

Rpta: ________ 66

p ⊗ q = p3 + 2p

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 8

Para el profesor: 1



1

Si se define: x = (x+1) , 2 Halla n en:

Si: n3 + 1 = 14n Calcula c en: 2c + 1 = 42

2n+1

Para el alumno:

= 21

a) 1/2 b) 2 d) 3



c) 1 e) 1/3

a) 1 b) 4 d) 3

c) 2 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Si:



calcula:

2

x - 1 = x + 1, ...



x - 5 ...

a) x+200 b) x+195 d) x+210

Si: x+1

=x+4

Además: x-1 = 2x - 7



100 operadores



Clave:

c) x–200 e) x+205

Resolución:

Calcula:

... 8 ... "2000 operadores"



200

b) 82 a) 8 d) 8

c) 82000 e) 16

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 67

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Si se cumple que: P(x+2) = 4x - 3; P(n-2) = 5



Calcula

P

n

(3(

a) -1 b) 2 d) -3

c) 0 e) 3

3

Se cumple: f(x+2) = x . f(x) Además: f(2) = 1 Calcula: f(20) a) 20! b) 29 . 9! c) 5! d) 12! e) 10!

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Si:



m = m2 - m y además

Halla:

+



a) 2 b) 20 d) 64

3

a) 81 b) 64 d) 188

4 c) 225 e) 125

Resolución:

x + 1 = 870 x2 + 1 c) 110 e) 90

Resolución:

Clave: 68

Si se define la operación

2x + 1 = 16x + 9 Calcula:



4

2x – 1 = 4x + 1

y además



Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 20) 5 Se define la operación:

5

Si x y = x - y + 2(y x)

a ⊗ b = 2a b ⊗ a ; a ⊗ b >0



1 ⊗ 27



Halla:



a) 2 b) 3 d) 6



Calcula:



a) 24 b) 30 d) 36

c) 25 e) 48

Resolución:

12 3

Resolución:

Clave: 38) 6 Se define:

Clave: 6

2

En el conjunto Z+ se define:

a = a +a x+12

a – 2 = a2 – 2a

= 42



halla x en: 2x+5 +1 = 108

Calcula: x2/11



c) 4 e) 9

a) 152 b) 142 d) 132

c) 112 e) -10



a) 5/2 b) 3 d) 4

c) 2 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 69

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Si:

m⊕n=m-n-m+n+m-n-m+n+... (m+n sumandos)



Calcula:



a) 0 b) 1 d) 3

7

Se define:



Halla el valor de:

a-5 = a-9

...

E=(...(((1⊕17)2⊕16)3⊕15)...)17⊕1 c) 2 e) 4

Resolución:

6 +6 +6 +6 ... 125 operadores



a) 125 b) 625 d) 225

c) 250 e) 500

Resolución:

Clave: 8

Si:



Halle:

 2   a # b =  a b + 35b   1  4a  b

Clave: 8

Si:



Calcule:

2 m∗n= m +6 2

E = 4 ∗ (5 ∗ (6 ∗ (...))

5 # [5 # (5 # (5 # (...)))]

1000 operadores

100 operadores



a) 1 b) 3 d) 5

c) –2 e) 10

Resolución:



a) 1002 b) 10002 2 d) 14

c) 100002 e) 11

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 70

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

9

Sucesiones

Definición

b) 27 ; 9 ; 18 ; 6 ; 12 ; 4 ; 8

Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras y figuras), tales que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente, acorde con una ley de formación o regla de recurrencia.

÷3

÷3

x2

x2

÷3

x2

* Sucesiones alternadas

Ley de formación

-2

Es el orden matemático que relaciona los términos de una sucesión. La ley de formación se determina relacionando las operaciones básicas o mediante una deducción lógica.

-3

-4

-5

a) 2 ; 10 ; 5 ; 8 ; 8 ; 5 ; 11 ; 1 ; 14 ; -4 +3

+3

+3

+6

+6

+3

a. sucesiones numéricas * Sucesiones por diferencias sucesivas

+6

a) 3 ; 14 ; 24 ; 33 ; 41 ; 48 +11 +10 +9 +8

+6

a) 1 ; 6 ; 2; 12 ; 4; 18 ; 8 ; 24 ; 16 ; 30 ; 32 x2

+7

x2

x2

x2

x2

b) -2 ; -5 ; -10 ; -17 ; -26 ; -37 -3

-5

-7

-9

-11

b. sucesiones alfabéticas

* Sucesiones por cocientes sucesivos a) 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 12 ; 60 ; 360 2 2 x1 x2

x3

x4

x5

1 1 x x 5 4

1 x 3

a) 9 ; 11 ; 8 ; 10 ; 7 ; 9 ; 6 -3

+2

-3

+2

1

-3

Formando líderes con una auténtica educación integral

3 +2

1 x 2

* Sucesiones combinadas

+2

Ejemplos: a) A ; C ; F ; J ; Ñ ; T

x6

b) 1440 ; 240 ; 48 ; 12 ; 4 ; 2

1 x 6

Solamente se consideran letras simples. Cada letra recibe un número según el orden alfabético.

6 +3

10 15 21 +4

+5

+6

b) D ; F ; I ; K ; N ; O ; R 4

6 +2

9 +3

11 14 16 19 +2

+3

+2

+3

71

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. c) ¿Qué letra continúa? M ; J ; V ; S ; ... Si tratamos de resolver el ejercicio por el criterio o lugar que ocupa en el abecedario, no encontraremos coherencia. Sin embargo podemos ver que las letras son iniciales de palabras conocidas (días de la semana). M ; J ; V ; S ; D ... I U I Á O É E E B M R V R A I C E N D N O S E O G L S O E S

Reto Juan sale de casa, en coche, para recoger a su esposa Ana a la salida del trabajo. Todos los días llega puntual a las 19h. Hoy Ana ha salido un poco antes y va andando siguiendo el camino contrario al que recorre su marido. Al cabo de 20 minutos se encuentran, Ana sube al coche y regresan juntos a casa, llegando 6 minutos antes de lo habitual. Si no consideramos el tiempo de parada y suponemos que las velocidades del coche y de Ana son constantes, ¿a qué hora salió Ana del trabajo?

C. sucesiones ALFANUMÉRICAS Se busca la relación independiente entre número y letra. Ejemplo: a) 4E ; 6F ; 9H ; 13R ; 18Ñ ; 24 S +2 +3 +4

5

6

+1 +2

8

+5

11 +3

+6

15 +4

20 +5

D. sucesiones POLINOMIALES * Sucesión lineal o de primer grado Tiene la forma: tn = an + b a : razón (r) b = t1 - r

Tiene la forma: tn = an2+bn+c Ejemplo: Halla t10 . c=

4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ... t10 +3

+3

+3 → tn

-4 ; 0 ; 6 ; 14 ; 24 ; 36 ; ...

a+b = 2a =

Ejemplo:

+3 +3

* Sucesión cuadrática o de segundo grado

+4 +6 +8 +10 +12 +2 +2 +2 +2

tn = n2 + 3n - 4 ∴ t10 = 102 + 3(10) - 4= 126

=3n+1

∴ t10 = 3(10) + 1 = 31

72

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) ¿Qué letra sigue en la siguiente sucesión literal? B; D; G; I; L ; N ; ...

4) ¿Qué letra continúa en la sucesión? D; C; S; O; D; ...

Rpta: ________

2) Halla el número que continúa en la sucesión: -1; 0; 0; 2; 9; ...

Rpta: ________

5) Halla x. 2; 3; 5; 4; 9; 25; 8; 27; x

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Halla las dos letras que continúan en la siguiente sucesión: W, J, Q, Ñ, M, R, I, U, ..., ...

6) ¿Qué término continúa? 38 ; 59; 1517; 6544 Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) En la siguiente sucesión literal, ¿qué letra sigue? A, C, F, J, ...

4) ¿Qué letra continúa en la sucesión? E; F; M; A; M; ...

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Dada la siguiente sucesión: 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... halla el décimo término y da como respuesta la suma de sus cifras. Rpta: ________



3) Halla las dos letras que continúan en la siguiente sucesión: A, A, F, B, J, D, M, G, ..., ...



5) Halla x. 29;18; 11; 7; 4; 3; x Rpta: ________

6) Halla x.

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

x-3; 4x-1; 10x2; 22x6 Rpta: ________

73

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 9

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Halla el conjunto de letras que continúan: ADB; DHD; HKF; MMH; ... a) RMK b) RNJ d) JÑJ

1

c) SMJ e) NMA

Halla el par de letras que continúan: BG; EG; GK; JO; LS; ... a) ÑW b) PX d) OV

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Halla los términos que siguen en esta secuencia: 3; 7; 14; 25; 43; ... ; ... a) 84; 141 b) 57; 144 d) 72; 119

c) 69; 109 e) 73; 122

Resolución:

Clave:

2

¿Qué números siguen? 2, 3, 5, 6, 9, 10, 14, 15, ... , ... a) 19; 21 b) 23; 25 d) 23; 24

c) 20; 21 e) 21; 22

Resolución:

Clave: 74

c) OW e) PV

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3 En la siguiente sucesión, faltan el primero y el último término: ..; 217; 126; 65; 28; 9 ; ... entonces la diferencia entre dichos términos es:

a) 271 b) 343 d) 323

3

Halla el término que continúa en: 1; 6; 13; 28; 63; 136; ... a) 268 b) 250 d) 291

c) 321 e) 342

c) 283 e) 271

Resolución: Resolución:

Clave:

4 Halla a + b.

2 ; 3 6 ; 5 11 ; 7 18;

a) 48 b) 36 d) 64

a

b

c) 21 e) 84

Clave: 2 ; 2 ; 6 ; 2 2 ; ...

4

a) 10 b) 10 d) 12

c) 12 e) 13

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 75

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Halla el término que continúa en: 2M; 5J; 20V; 25S; ... a) 120D b) 150D P d) 150

5

Halla el término que continúa en la sucesión: 3 3 3a 6 ; ; ; a2 a 2 4 3 b) a2 8

c) 35D e) N.A.

3 a) a 8 3 2 d) a 16

Resolución:

3 3 a 2 3 e) a 16 c)

Resolución:

Clave:

6

Si: 3/2; 6/5; 12/8; 24/11; x/y; ...

halla x + y.

a) 50 b) 46 d) 53

c) 62 e) N.A.

Clave:

6

Halla el término que continúa en la sucesión: 4; 14/5; 16/7; 2 ; ... a) 21/11 b) 23/11 d) 20/11

c) 20/9 e) 21/10

Resolución: Resolución:

Clave: 76

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

En la siguiente sucesión: 3; 3; 6; 18; 72; 216; 2160; ... ¿cuál de los términos debe ser reemplazado para que se forme una sucesión? a) 6 b) 18 d) 216

7

¿Cuál es el número que falta para completar la siguiente sucesión? 18; 17; 15; 12; 11; 9; 5; 3; 0 a) 16 b) 8 d) 4

c) 72 e) 2160

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) 6 e) N.A.

Halla el enésimo término de cada secuencia: I) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... 2 5 10 17

II) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... 3 5 7 9

n 2n+1 ; a) 2 n +1 2n-1 n n+1 ; c) 2n-1 2n+1 n n d) ; 2n-1 n+1

n 2n-1 b) 2 ; n -1 2n+1

e)

n 2n-1 ; n2+1 2n+1

Clave:

8

Halla el enésimo término de la siguiente secuencia: 3 ; 1 ; 9 ; 3 ; 5 ; 18 ; ... 5 7 2 3 10 a) 3n b) n n+2 n+2 2n d) n+1

c) 3n n+4 e) 3n 2n-1

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

77

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Capítulo

10

Analogías y Distribuciones

Analogías

Ejemplos:

1. Halla x. 2 4 3

analogías numéricas En este tipo de problemas hay que buscar el número que falta en base a una comparación horizontal entre relaciones numéricas. Generalmente se relacionan los términos extremos, para así hallar el centro. Ejemplos:

8 7 9

1. Halla x.

(30) (40) (x)

3 5 6

6 20 x

Resolución: 2x3=6 4 x 5 = 20 3 x 6 = x → x = 18

4 6 7

Resolución:

2. Calcula x.

8 x 4 - 2 = 30 7 x 6 - 2 = 40 9 x 7 - 2 = x → x = 61

7 5 4

-3 10 x

8 4 4

analogías alfabéticas

Resolución:

Se busca relacionar las letras de nuestro abecedario formando palabras o buscando una ley de formación:

7+5+4 = 16 8+4+4 = 16 -3+10+x = 16 → x = 9

Ejemplos:

1. CASA PARA

2. 25 49

(CATO) (PASA)

(BECA) (DICE)

TOMA SAPO

distribuciones gráficas Son situaciones numéricas donde se buscará alguna relación operativa entre sus números dispuestos en un determinado gráfico.

31 35

Ejemplos:

7

Distribuciones distribuciones numéricas En este caso se consideran grupos de números distribuidos en filas (horizontales) y columnas (verticales), pudiendo establecerse analogías entre filas como en el caso anterior; también entre columnas sin que la incógnita sea necesariamente el número central. Por este motivo las operaciones a realizarse alcanzan una mayor diversidad y exigen más raciocinio. 78

1. Halla el valor x. 6

5

8

36

49

7x5+1 =36

6x8+1 =49 3

4

x 3x4+1 =x → x = 13

Formando líderes con una auténtica educación integral

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Resolviendo en clase 1) Halla el número que falta dentro del paréntesis. 143 346 215

(17) (21) ( )

4) ¿Cuál es el número que falta?

225 521 415

3 6 24

5 10 40

7 14 ( )

Rpta: ________ 5) Indica el número q u e fa lt a en el recuadro en blanco.

2) ¿Cuál es el número que falta? 40 48 54

(20) (26) ( )

20 30 24

6

10

12

21 10 17 Rpta: ________

10 2

3

7

Rpta: ________

6

9

12

6) Indica el número que falta sobre la tercera mesa.

3) Halla el número que falta: 8 11 ( )

18

4

Rpta: ________

12 20 13

Rpta: ________

5

4

8

2

1

Rpta: ________

4

2

2

1

1

3

2

3

Para Reforzar 1) ¿Qué número falta en el paréntesis? 387 855 918

(11) (9) ( )

4) ¿Cuál es el número que falta?

142 441 372

4 1 5

3 4 2

12 4 ( )

Rpta: ________

(36) (9) ( )

11 12 16 Rpta: ________

38 27 ( )

Rpta: ________

9

6

5

4

8

3

5

6) Halla x.

3) Indica el número que falta: 7 6 5

7

5) ¿Cuál es el número que falta en el círculo vacío?

2) Indica el número que falta: 5 9 12

Rpta: ________

5

5 4 3

17 2

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

3

6

x

5

1

Rpta: ________

79

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Indica el número que falta en la cabeza del tercer muñeco. a) 31 b) 6 c) 17 d) 43 e) 0

23 3

2

1

18 5 4

1

2

4 7

2

5

Indica el número que se debe colocar en el círculo vacío. a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1

6 1

Resolución:

5

4 4

5 7

13

x 9

Calcula el número que falta: 415 (315) 530 836 (316) 112 213 ( ) 420 a) 240 b) 213 d) 211

3

Clave:

2

c) 212 e) 210

Calcula el número que falta. 151 (85) 321 188 (118) 424 214 ( ) 320 a) 54 b) 53 d) 58

c) 44 e) 43

Resolución:

Resolución:

Clave: 80

2

Resolución:

Clave:

2

2 8

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3 ¿Cuál es el número que falta? 40 10 5

3 4 2 a) 1 b) 3 d) 2

3

11 6 ( )

¿Qué número falta? 4 8 10

9 5 3 a) 10 b) 11 d) 13

c) 4 e) 5

20 14 ( ) c) 22 e) 14

Resolución:

Resolución:

Clave:

4 Calcula x.

2 4 5

(72) (1600) (...)

a) 8000 b) 7000 d) 5000

Clave:

4

3 5 8 c) 4000 e) 6000

Resolución:

Halla el número que falta. 1 (1) 2 (72) 4 ( ) a) 16 b) 24 d) 64

1 3 1 c) 12 e) 36

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 81

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Halla el número que falta. 17 18 11 23 12 31 ( ) 24 36

5 19 12 25

a) 75 b) 36 d) 28

¿Qué número falta? 7 5 8 5 3 ( )

6 9 5

12 27 55

a) 4 b) 3 d) 5

c) 67 e) 48

Resolución:

c) 2 e) -8

Resolución:

Clave:

6

Halla x. a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

5

3

3

16 6

7 22

7

2 2

5

9 x

6

4

Resolución:

6

Halla x. a) 48 b) 54 c) 50 d) 53 e) 52

4 23 5 7

5 28 12 8

8 x 20 9

Resolución:

Clave: 82

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Halla x.

7 5

6

2

3 31 7

6 42 5

2

2

x

4

6

a) 23 b) 25 c) 24 d) 21 e) 19

7

9

a) 44 b) 43 d) 48

Calcula x.

c) 50 e) 46

Resolución:

3

2

7

15

9

5 x

Clave:

8 11

6

9

3

7

7 9

6

6 4

2

Resolución:

Halla x en: a) 4 b) 7 c) 6 d) 5 e) 3

6

49

Clave:

8

7

2

6

x 8

5

Resolución:

Calcula el valor de x. a) 6 b) 12 c) 8 d) 17 e) 5

5

12 6

9 15

1

x 1 12 3

3 9 5 5 3

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

83

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Capítulo

11

Series

Concepto

Fórmulas

Es una secuencia ordenada de términos que guardan una determinada regla de formación.

* Para calcular el término enésimo (an)

a. Sucesión 4; 8; 12; 16

Ejemplos:

an = a1 + (n-1)r * Para calcular el número de términos (n)

→ 4+8+12+16 = 40 serie

n=

valor de la serie

* Para calcular la suma de términos (S)

b. Sucesión: 1; 4; 16; 64; 256

SA = (

→ 1+4+16+64+256 = 341 serie

an-a1 r +1

valor de la serie

a1+an 2

(n

* Para calcular el término central (tC) tC =

Tipos de serie

a1+an 2

Observación: "n" debe ser impar.

serie aritmética Concepto

serie geométrica

Es una secuencia ordenada de números en la cual se cumple que cada término es igual a su anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón.

Concepto Es una secuencia de números en la cual se cumple que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad constante llamada razón.

Serie a1+a2+a3+...+a(n-1)+an

...

En donde: a1 : Primer término a2 : Segundo término an : Enésimo término

Razón (r) r = a 2 - a1 r = a3 - a 2 r = an - a(n-1) 84

"n" términos Serie

a1+a2+a3+...+an

En donde: a1 : Primer término a2 : Segundo término ...

"n" términos

an : Enésimo término Razón (r) a2 a3 an r = a ; r = a ; ... ; r = a 1 2 n-1

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5. Suma de los n primeros cubos perfectos.

Fórmulas * Para calcular el término enésimo (an) an = a1 . r

13+23+33+43+...+n3 =

n-1

* Para calcular la suma de términos (S) a1(rn-1) r-1

S=

6. Suma de los "n" primeros productos consecutivos. a) Tomados de 2 en 2 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)

a 1 . an

=

Observación: "n" debe ser impar. Principales series notables

7. Suma de inversas de los productos de números consecutivos. a) De 2 en 2 1 1 1 1 + + + +...+ 1x2 2x3 3x4 4x5 1 n = nx(n+1) n+1

n(n+1) 1+2+3+4+...+n = 2 n: número de términos. 2. Suma de los n primeros números pares.

b) De 3 en 3

2+4+6+8+...+2n = n(n+1)

1 1 1 1 + + + 1x2x3 2x3x4 3x4x5 4x5x6

n: número de términos. 3. Suma de los n primeros números impares.

+...+

1 + 3 + 5 + 7+ ...+(2n-1)=n2

4. Suma de los n primeros números cuadrados perfectos. 12+22+32+...+n2=

n(n+1)(n+2) 3

n: número de términos.

1. Suma de los n primeros números naturales.

n: número de términos.

2

n: número de términos.

* Para calcular el término central (tC) tC =

n(n+1) 2

1 n(n+3) = n(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2)

* Suma límite (SL) Sólo aplicable en sucesiones geométricas decrecientes.

n(n+1)(2n+1) 6

t1 SL = 1-q

t1: primer término q: razón geométrica

n: número de términos. Ejemplo: S= 1+4+9+16+...+625 S=12+22+32+42+...+252

S=

(

)( + )[2( 6

)+1]

S=

Formando líderes con una auténtica educación integral

Nota

Entre las múltiples operaciones que pueden explicar la relación entre los extremos y el número central, será siempre mejor aceptada la que implique los cálculos más simples y verosímiles, sin caer en operaciones rebuscadas o cálculos extravagantes.

85

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Resolviendo en clase 4) Calcula E = 14+16+18+20+...+60

1) Dada Sn = 1+2+3+...+(n+1), halla S=S1+S2+S3+...+S30 Rpta: ________

2) Calcula: S=0,01+0,04+0,09+...+16 Rpta: ________

3) Halla el valor de 3 y si: 1+3+5+7+...+(2y+5)=900

Rpta: ________

5)

Si: A = 1+2+3+...+n B = 2+4+6+...+2n además AB = 6050 halla n2+n-1

Rpta: ________

6) Calcula

Rpta: ________

22+42+62+82+...+302 Rpta: ________

Para Reforzar 1) Calcula la suma: 1+2+3+4+...+100+100+99+98+...+3+2+1

4) Calcula S=17+19+21+...+73

Rpta: ________

2) Calcula S=0,1+0,3+0,5+...+8,7 Rpta: ________

3) Halla el valor de x en: 1+3+5+...+(2x-13)=324 Rpta: ________

86

Rpta: ________

5) Si 1+2+3+4+...+x=91 y 1+3+5+7+...+y= 289, halla 3x-y. Rpta: ________

6) Halla S=(13+12)+(23+12)+(33+12)+...+(93+12) Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 PROBLEMAS PARA CLASE N° 11

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcula la suma 2/3 + 4/15 + 8/75 + .... + ∞ a) 5/9 b) 2/3 d) 8/9

1

Calcula la suma: 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... + ∞ a) 1/4 b) 1/2 d) 1/6

c) 7/8 e) 10/9

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Halla el valor de la siguiente serie: 1 + 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 420 a) 3080 b) 3081 d) 3181

c) 1/3 e) 2/3

c) 3180 e) 3810

Resolución:

Clave:

2

Calcula: M = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 19 x 20 a) 1330 b) 1430 d) 3080

c) 2870 e) 1520

Resolución:

Clave:

Clave:

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Halla la suma: 7+12+17+22+...+127 a) 1675 b) 1608 d) 1139

3

c) 2278 e) 3216

Halla el valor de M. M = 7+14+21+28+...+98 a) 300 b) 105 d) 745

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

c) 73 e) 77

Resolución:

4

La suma de 20 números enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? a) 830 b) 720 d) 820

c) 630 e) 900

Resolución:

Clave: 88

Clave:

Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745. Halla el mayor de los sumandos. a) 75 b) 74 d) 76

c) 735 e) 3675

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5 Halla la suma total del siguiente arreglo: 12+22+32+42+...+302 22+32+42+...+302 32+42+...+302 42+...+302 ...



Se arreglan números en forma de "diamante", como se muestra en el diagrama:

1

...



5

1 2 2 1

302

a) 206 325 b) 206 225 d) 216 225

1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1

¿Cuál es la suma de los números en el enésimo diamante? n(2n2+1) n(n2+3) n(n2-2) a) b) c) 3 2 3 n(n2+1) n(n2+2) d) e) 3 3

c) 216 525 e) 206 255

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30. 1

...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

...

a) 465 b) 850 c) 890 d) 910 e) 999

Clave:

6

Si se sigue la siguiente secuencia: ... (1)

(2)

(3)

¿cuántas esferas tendrá la figura 20? a) 210 b) 200 d) 230

c) 310 e) 420

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 89

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Lolo compra el día de hoy 19 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total si el penúltimo día se compró 43 cajas? a) 623 b) 819 d) 430

7

Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/. 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró el primer mes? a) 20 b) 10 d) 2

c) 720 e) 729

c) 5 e) 18

Resolución: Resolución:

Clave:

8

Clave:

Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de la siguiente manera, en el primer minuto recorre "a" metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros y retrocede 10 m, en el tercer minuto recorre "3a" m y retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a" m y retrocede 10 m, y así sucesivamente, llegando a la meta en 21 minutos exactamente. Halla "2a". a) 15 b) 20 d) 30

c) 24 e) 32

Resolución:

8

Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría el ciclo, él gastaba mayor número de tizas por semana. Así la primera semana gastó 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas y cada caja de tizas traía 15 tizas. ¿Cuántas cajas abrió el profesor durante el ciclo para completar su dictado? a) 121 b) 120 d) 119

c) 122 e) 123

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 90

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

12

Sumatorias

Consideramos la siguiente sucesión an ; an+1; an+2; an+3; ...; am

B. Expresa mediante la notación de sumatoria las siguientes sumas:

La suma de los términos de la sucesión será: m

an+an+1+an+2+an+3+...+ama= ∑ai i=n

La expresión en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la serie dada.

a) a31 +a 32 +a 33 +a 34 +a 35 +a36 +a37 7

= ∑ a 3i i=1

b) at5 +at6+at7+at8 +at9+at10 10

= ∑ atk k=5

Donde: ∑: Notación Sigma. Nos representa la suma de los términos de la forma "ai" de dicha sucesión. ai : Nos representa uno de los términos de la sucesión, dependiendo del valor de "i". i = n → a i = an 1.er término i = n+1→ ai = an+1 2. término i = n+2→ ai = an+2 3.er término



i = m → ai = am

...

...



º

término general

i : toma valores desde n hasta m i=n→Límite inferior de la sumatoria i=m→Límite superior de la sumatoria Ejemplos: A. Expresa las sumatorias en forma desarrollada. 7

a) ∑ a =a +a +a +a +a +a +a i 1 2 3 4 5 6 7 i=1 7

b) ∑ i2 =32+42+52+62+72 i=3

Formando líderes con una auténtica educación integral

En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias absolutas) de los valores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el país X (10 000 casos) y el país Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemio-lógica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que el país X tiene 100 000 habitantes y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.

91

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Propiedades de sumatorias

tercera propiedad Cuando el término general está afectado por una constante.

primera propiedad

Si

m

∑a

m

k=n

k=n

donde "C" es cualquier constante.

k=n k

Número = ( Límite - Límite + 1) de superior inferior términos Número de términos = m-n+1

Ejemplo: 5

5

∑ 12i2=12 ∑ i2

i=1

i=1

cuarta propiedad Cuando el término general es una constante.

Ejemplo:

m

∑ c=(m-n+1)c

Halla el número de términos en la siguiente sumatoria.

k=n

Ejemplos:

11

∑ X =X +X +X +X +X +X + i 4 5 6 7 8 9

i=4

m

∑ Cak=C ∑ ak

Número de términos de una sumatoria.

8

X10+X11

a) ∑ a=a+a+a+a+a+a+a+a=8a i=1

Número de términos = (11-4)+1=8

13

b) ∑ 2=[(13-6)+1] x 2= 8 x 2=16 i=6

Las sumatorias más usuales en nuestro estudio son: n

1) ∑ i=1+2+3+4+...+n i=1

=

n(n+1) 2

n

2) ∑ 2i=2+4+6+8+...+2n=n(n+1) i=1

n

3) ∑ (2i-1)=1+3+5+7+...+(2n-1) i=1

segunda propiedad Para sumas o diferencias de dos o más variables. n

n

n

n

i=k

i=k

i=k

i=k

6

6

6

6

i=3

i=3

i=3

i=3

= n2

∑ (ai+bi-ci)= ∑ ai+ ∑ bi - ∑ ci

Ejemplo: ∑ (ai+bi-ci)= ∑ ai+ ∑ bi - ∑ ci

92

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. n

4) ∑ i2=12+22+32+42+...+n2 i=1

i=1

n(n+1)(2n+1) = 6 n

5) ∑ i3=13+23+33+...+n3 i=1

n(n+1) 2

=

n

11) ∑ + =

1 1 1 = + 2i x(2i+2) 2x4 4x6 1 1 +...+ 6x8 2n(2n+2) n 4(n+1)

2

n

6) ∑ i(i+1)=1x2+2x3+3x4+4x5+ i=1

...+n(n+1)= n(n+1)(n+2) 3 n

7) ∑ n(n+1)(n+2) = 1x2x3+2x3x4+ i=1

3x4x5+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) 4 n

1 1 1 1 + + = i(i+1) 1x2 2x3 3x4 i=1

8) ∑

+

1 1 +...+ 4x5 n(n+1)

=

n (n+1)

n

1 1 1 + = i(i+1)(i+2) 1x2x3 2x3x4 i=1

9) ∑

+

1 1 +...+ 3x4x5 n(n+1)(n+2)

=

n(n+3) 4(n+1)(n+2)

n

10) ∑ i=1

De acuerdo a la clasificación del Ministerio de Agricultura, las tierras de cultivo en el Perú están divididas de la siguiente manera: 1) Las aptas para cultivos permanentes: No reúnen condiciones ecológicas para una remoción periódica, pero sí permiten la fijación de cultivos perennes como frutales, pastos y forestales. 2) Las aptas para producción forestal: Son inapropiadas para propósitos agropecuarios, pero sí para la explotación forestal y sus derivados. 3) Aptas para pastos: No aptas para fines agrícolas, pero sirven para las pasturas naturales y cultivables. 4) Aptas para cultivos en limpio: Tierras para la agricultura tanto diversificada como intensiva. No se encuentran concentradas sino fraccionadas. 5) Tierra de protección: Son inapropiadas para el desarrollo agropecuario y explotación forestal. Pueden ser utilizadas para el suministro de energía, preservación de vida silvestre y áreas turísticas.

1 1 1 = + (2i-1)(2i+1) 1x3 3x5

+

1 1 1 +...+ + 5x7 7x9 (2n-1)(2n+1)

TIERRAS DEL PERú

=

n 2n+1

Cultivos permanentes 2% Producción forestal 38% Pastos 14% Cultivos en limpio 4% Tierras de protección 42% Total 100%

Formando líderes con una auténtica educación integral

%

ha 2 707 000 48 696 000 17 916 000 4 902 000 54 300 560 128 512 560

93

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Determina el número de sumandos que se obtiene en cada caso: 32

4) Calcula:

33

I. ∑ ak

II. ∑ ak

k=3

17

24

i=1

x=1

∑ i2 + ∑ x2 Rpta: ________

k=5

Rpta: ________

5) Calcula el valor de:

2) Calcula:

25

23

∑ (4x3-5x2)

∑ 3i

y=13

i=9

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Halla a.

3) Efectúa:

a

25

∑ b3=4324

∑ (8k+3)

b=1

k=1

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Determina el número de sumandos que se obtiene al desarrollar:

4) Halla el valor de: 11

∑ 8a2

32

a=1

∑ ak

k=4

Rpta: ________

Rpta: ________

5) Calcula: 2) Halla:

22

44

x=12

y=8

∑ x2 + ∑ (2y+1)

33

∑ 2k

k=10

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Efectúa:

6) Halla n. 33

n

∑ (6k-5)

∑ 2x2=1300

k=1

x=1

Rpta: ________

94

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12

Para el profesor: 1

Calcula:

5

∑ k=1

3 5

Para el alumno: 1

9

34

k=3

k=5

∑ 8+ ∑

a) 0 b) 1 d) 3

3 10

Resuelve:

4

20

20

1 30 1 +∑ k=1 4 k=1 6

- ∑ 14

∑

k=1

a) 25 b) 64 d) 100

c) 2 e) 4

Clave: Calcula:

c) 81 e) 121

Resolución:

Resolución:

2

1 k=110 ∑

10

∑ cos

k=5

2

kp 2

a) -2 b) -1 d) 1

Clave: Calcula:

5

∑ a=3

c) 0 e) 2

Resolución:

a a-2

a) 18/3 b) 20/3 d) 24/3

c) 22/3 e) 21/3

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 95

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Calcula el valor de E.

3

58

Resuelve:

19

∑ (7x+21)

∑ (2k+1)

E=

x=3

k=1 36

30

k=1

k=1

19

∑ (x+3)

∑ (5k-3)- ∑ (5k+27) a) 50 b) 32 d) 40

x=3

a) 4 b) 5 d) 7

c) 41 e) 30

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Halla el valor de:

10

∑ (2k-4k+3)

Clave:

4

Halla:

k=1

a) 2046 b) 2200 d) 1023

c) 1856 e) 480

9

∑ (k2+2k+1)

k=4

a) 255 b) 355 d) 375

c) 365 e) 385

Resolución:

Resolución:

Clave: 96

c) 6 e) 8

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5 Calcula

30

5

M=4 ∑ [k(k+1)]-1

Calcula el valor de la siguiente suma:

k=4

a) 12/31 b) 23/31 d) 27/31

7

∑ [(i-2)(i+1)-6]

c) 26/31 e) 25/31

i=5

a) 92 b) 300 d) 68

c) 120 e) 74

Resolución: Resolución:

Clave:

6 Calcula:

Clave:

6

270

∑ (ak+1-ak)

Evalúa:

k=1

k=1

donde ak =1+3k. a) 800 b) 805 d) 820

10

∑

c) 810 e) 825

a) -10 b) -11 d) -10/11

(

1 1 - ( k+1 k c) 10/11 e) -11/10

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 97

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Calcula:

10

n

∑

∑

n=1

k=1

7

k n+1

Calcula

30

a

∑x

∑

a=1 x=1

a) 28,0 b) 28,7 d) 27,5

a) 4960 b) 4230 d) 4970

c) 27,0 e) 27,2

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Expresa en sumatoria el siguiente arreglo numérico si en total se tiene 10 filas.

a) ∑ (2k+4) k=1

10

b) ∑ (k+5) k=1

10

d) ∑ (5k+1) k=1

8

Usando sumatoria, representa la suma: 8+11+14+17+...+44 13

a) 65+∑ 3k k=1

13

13

b) ∑ 3k+65 k=1

d) 3 ∑ (k+5)

...

...

3+3 3+2+3 3+2+2+3 3+2+2+2+3 10

c) 4980 e) 4860

k=1

10

c) ∑ (7-k) k=1

13

c) 3 ∑ k+70 k=1

13

e) ∑ k+65 k=1

Resolución:

9

e) ∑ (27K+4) k=1

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 98

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

Análisis Combinatorio I:

13

Factorial de un Número Principios Fundamentales

Factorial (!) El factorial de un número "n" entero y positivo, es el producto de todos los números consecutivos desde el 1 hasta "n". El símbolo que se utiliza para designar el factorial es "n!".

IV. En factoriales, las siguientes operaciones no se cumplen:

(n+m)! ≠ n!+m! (n - m)! ≠ n! - m!

V. Si a! = b! ⇒ a = b; donde a y b son diferentes de cero.

+

n! = 1 x 2 x 3 x ... x n; n ∈ Z notación



(x+3)! = 8! ⇒ x + 3 = 8 ∴ x = 5 m m! !≠ n n!

n = n = n!

Ejemplos:

Se lee: "factorial de n o n factorial".

1. x! = 1 . 2 . 3 . ... . x 2. 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8

propiedades de los factoriales I.

Solamente existen factoriales para números enteros y positivos.

Como el orden de los factores no altera el producto, entonces:



Es decir n = n!

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 o también 8! = 8 x 7!



Donde:

En general el factorial de un número "n" se puede escribir como: n! = n(n-1)!

n ∈ Z+

II. Por axioma de las matemáticas, se define que: 0! = 1; 1! = 1 III. El factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto del factorial de otro número menor que él por todos los números consecutivos a este último; hasta completar dicho número. Así: 7! = 7 x 6 x 5! 9! = 9 x 8 x 7x 6! (n-1)! = (n-1) x (n-2) x (n-3)!

La última igualdad nos indica que el factorial de un número "n", es igual al número "n" multiplicado por el factorial del número inmediato anterior. 3. Simplifica:

Formando líderes con una auténtica educación integral

R=

8!+7! 7!

Resolución: Recuerda que 8! = 8 . 7 ! Reemplazando valores en el numerador. 8.7!+7! R= 7! 99

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 2. Un comité de seis personas formado por: Luis, Fernando, Ricardo, Alicia, Rosa y Lucía, deben escoger un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas puede realizarse si Ricardo o Lucía deben ser presidente?

Factorizando 7! en el numerador. R=

7!(8+1) 7! R=9

Resolución:

4. Halla "n" de la igualdad.

Se tienen tres espacios por llenar,

(n+7)! (n+5)! = 15! (n+6)!+(n+5)!

Presidente

Secretario

Tesorero

Si el presidente es Ricardo, quedan cinco formas de cubrir el cargo de secretario y cuatro formas de cubrir el cargo de tesorero, luego el número de formas es: 1 x 5 x 4 = 20. Si la presidenta es Lucía tendremos igualmente 20 formas de constituir la directiva.

Resolución: Teniendo en cuenta que: (n+7)! = (n+7)(n+6)! (n+6)! = (n+6)(n+5)! Reemplazando valores se obtiene:

Luego: Número total de formas= 20+20

(n+7) x (n+6)! x (n+5)! = 15! (n+6)(n+5)!+(n+5)!

Número total de formas= 40

Sacando un factor común en el denominador (n+5)! (n+7) (n+6)! (n+5)! = 15! (n+5)!(n+6+1)

principio de la multiplicación Si un experimento se puede realizar en k pasos sucesivos y el paso 1 se puede realizar de n1 formas, el paso 2 de n2 formas.... y el paso "k" de nk formas; entonces el número de experimentos posibles del conjunto es: n1 . n2 . n3 . ... . nk.

(n+7) x (n+6)! x (n+5)! = 15! (n+5)!(n+7) (n+6)! = 15! Para que la igualdad se cumpla: n=9

Ejemplos: PRINCIPIO DE SUMA

1. Supongamos que deseamos saber de cuántas formas podemos desplazarnos de "A" a "C", pasando por "B" o "D".

Si un experimento se puede realizar de n1 formas, un segundo experimento de n2 formas.... y el experimento "k" de nk formas; además si estos experimentos no se pueden dar a la vez; el número total de formas es n1+ n2+ ...+nk. Ejemplos:

C

D

1. Jorge quiere hacerle un obsequio a Susana, pero no sabe si regalarle flores o chocolates. Si escoge regalarle flores tiene que escoger 5 tipos de flores y si quiere regalar chocolates tiene que escoger 6 tipos de ellos. ¿De cuántas maneras podrá escoger un regalo? Resolución: Flores Chocolates

: 5 maneras : 6 maneras

Luego, flores o chocolates: 5+6 = 11 maneras 100

B

A

Resolución: a) Para desplazarnos de "A" a "C", pasando por "B", tenemos 3 x 5 = 15 formas. b) Para desplazarnos de "A" a "C" pasando por "D", tenemos 4 x 3 = 12 formas. c) El total de formas para desplazarnos de "A" a "C", pasando por "B" o "D", es 15 + 12 = 27 Total de formas = 27 Notamos que si pasamos por "B" no se puede pasar por "D" a la vez.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Simplifica:

4) Halla "x" en: 25! - 24! 6 x 24!

(x-2)!+(2!)! (x-4)! = x! 3x Rpta: ________

2) Simplifica: (n+2)!+(n+1)! (n+1)!

5) Reduce la siguiente expresión: E = 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x ... x 2n Rpta: ________

6) ¿De cuántas maneras diferentes podría viajar una persona de "A" a "D" sin retroceder?

3) Calcula "n" en: (n+1)!x(n+3)! = 9! (n+1)!+(n+2)!

A

B

C

D

Para Reforzar 1) Calcula "n" de:



4) Halla "x".

n(n-1)! = 720

(x+3)! =7 (x+2)!+(x+1)! Rpta: ________

2) Simplifica: (n+2)! (n+1)!

5) Reduce la siguiente expresión: R = 3 x 6 x 9 x 12 x 15 x ... x 3n Rpta: ________

3) Halla el valor de x en: (x-4)! = 120

Formando líderes con una auténtica educación integral

6) En la figura, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad 1 a la ciudad 4? 1

2

3

4

101

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13

Para el profesor: 1

Si



calcula (a+1)! (a-2)!



Para el alumno:

(a-2)!+(a-1)! 1 = a! 3

a) 24 b) 48 d) 120

1

Halla el valor de "n" en: n!(n!-1) 15 = n!-2 2



a) 2 b) 3 d) 5

c) 4 e) 6

c) 60 e) 144 Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

2

Un funcionario desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizar dicho viaje?

2

Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en bus. Si hay 5 rutas diferentes para el tren y 4 para el bus, ¿por cuántas rutas diferentes se puede viajar?



a) 15 b) 2 d) 4



a) 9 b) 20 d) 25

c) 8 e) 30

Resolución:

Resolución:

Clave: 102

c) 12 e) 24

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras pueden escribirse con las cifras 1; 2; 3 y 4 sin que se repita ninguna cifra?

3

Se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares de zapatos diferentes. ¿Cuántas maneras de calzar hay en total?



a) 36 b) 6 d) 12



a) 3 b) 5 d) 8

c) 8 e) 24

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Simplifica:



M = 4!-5!+6! 5!+6!-7!

a) 6 b) 10 d) 12

c) 6 e) 15

Clave: 4

x

175

Calcula:

c) 15 e) 24

Resolución:

M = 7!+8!+9! 9!(7!+8!)

a) 1/8 b) 2/7 d) 1/16

c) 8 e) 81

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 103

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

¿Cuántas placas de automóvil de 5 símbolos pueden hacerse si los 2 primeros son vocales y los 3 últimos dígitos? a) 18 000 b) 14 400 c) 20 500 d) 25 000 e) 20 000

5

Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de tres dígitos. Si solamente sabe que los dígitos posibles son 2, 4 y 6, ¿cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar?



a) 48 b) 26 d) 21

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

¿Cuántos caminos hay de "A" a "B"? A



a) 12 b) 15 d) 16

Clave: 6

B c) 20 e) N.A.

Resolución:

¿Por cuántos caminos diferentes se puede llegar de A hasta B sin regresar en ningún caso? B

A

a) 7 b) 8 d) 13

c) 15 e) 12

Resolución:

Clave: 104

c) 27 e) 35

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

En un servicio de mensajería, las motos que usan tienen placas que constan de una letra seguida de un dígito. Las letras a usarse son "A", "B" y "C", y los dígitos: 2, 4, 6 y 8. ¿Cuántas placas diferentes hay?



a) 10 b) 12 d) 15

c) 7 e) 19

7

En una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5 y en otra urna 4 fichas numeradas del 6 al 9. Se saca una ficha de la primera urna y otra de la segunda urna, y con los números de las 2 urnas se forma un numeral. ¿Cuántos son todos los valores posibles de este numeral?



a) 56 b) 10 d) 40

c) 20 e) 18

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Halla el valor de "m" si: (m+1)!(m-1)!=36m+(m!)2



a) 2 b) 3 d) 5

Clave: 8

Si



a) 2 b) 3 d) 5

c) 4 e) 6

Resolución:

(x+3)!+(x+1)!(x+2)(x+3)=240 calcula el valor de: (x+1)! E= x! c) 4 e) 6

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

105

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

Análisis Combinatorio II:

14

Permutaciones - Variaciones Combinaciones

Análisis Combinatorio Es la parte de la matemática que se ocupa del estudio de las elecciones que se pueden formar con un determinado número de elementos. Ejemplos:

2. Si el mismo estudiante anterior además de los tres pantalones y cinco camisas, tiene dos pares de zapatos marrón y negro. ¿De cuántas formas se puede vestir con pantalón, camisa y zapatos? Resolución:

1. Supongamos que un estudiante tiene tres pantalones: negro, azul y marrón, y cinco camisas diferentes. ¿De cuántas formas se puede vestir con pantalón y camisa?

El gráfico para la primera posibilidad es: C1

Resolución: Los pantalones los puede escoger de tres formas y con cada pantalón puede usar cualquiera de las cinco camisas, luego el total de formas de vestir es: 3 x 5 = 15. También se puede graficar como:

Pantalón negro

Pantalón azul

C1 C2 C3 C4 C5

C2 Pantalón negro

C3 C4 C5

Zm Zn Zm Zn Zm Zn Zm Zn Zm Zn

En este caso tenemos 1x5x2 formas, si a esto agregamos las otras dos que se inician con pantalón azul pantalón marrón, se tendrá 30 formas distintas de vestirse con zapato, pantalón y camisa.

C1 C2 C3 C4 C5

Es importante anotar que:

Pantalón marrón

C1 C2 C3 C4 C5

Zapato Pantalón Camisa

Como se puede ver, existen 15 formas diferentes de vestirse con pantalón y camisa. 106

2 formas 3 formas 5 formas Número total de = 2 x 3 x 5 = 30 formas

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Definiciones Básicas permutaciones El número de maneras en que se pueden ordenar a los "n" elementos de un conjunto, tomando a todos a la vez, es:

Ejemplos: 1. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar a los elementos del conjunto {a; b; c; d; e; f} alrededor de una circunferencia? circ

Pn = n! Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede ordenar a todos los elementos del conjunto {a, b, c}?

P n = (5-1)! = 4! = 24 2. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas alrededor de una mesa redonda? a) 540 b) 720 d) 120

Resolución: P3 = 3! = 6 maneras

Resolución: Una persona puede sentarse en cualquier puesto de la mesa redonda. Las otras 6 personas pueden acomodarse de:

variaciones Las maneras de ordenar a "n" elementos de un conjunto, tomados de "r" en "r", es: n Vr =

c) 240 e) 60

6x5x4x3x2x1=6!=720 maneras

n! (n - r)!

Alrededor de la mesa Por fórmula:

Ejemplo:

P(n-1)=(n-1)!

¿De cuántas maneras se puede ordenar a todos los elementos del conjunto {a, b, c, d}? Luego:

Resolución: 4

V2 =

P7-1=(7-1)!=6! = 720 maneras Rpta.: b

4! = 12 maneras (4 - 2)! permutaciones con repetición

combinaciones El número de maneras que se puede agrupar los "n" elementos de un conjunto tomados de "r" en "r" es: n Cr =

El número de maneras en que se pueden ordenar a "n" elementos, repitiéndose uno de ellos "a" veces, otro "b" veces, otro "c" veces, etc., es:

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de tres letras se pueden determinar con las letras a, b, c, d?

3. Indica cuántos ordenamientos se pueden hacer con las 8 letras siguientes: a; a; a; b; b; c; c; d interviniendo las 8 letras en cada ordenamiento. Resolución: 8

P 3, 2, 2 =

Resolución: 4

C3 =

4! =4 (4 - 2)! . 3!

Otras Definiciones

n! a!b!c!...

n

P a, b, c, ... =

n! (n - r)! . r!

8! = 1680 3! 2! 3!

4. ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de las palabras NONOM?

permutaciones circulares El número de maneras en que se pueden ordenar a "n" elementos de un conjunto alrededor de una circunferencia es: circ

P n = (n-1)!

Formando líderes con una auténtica educación integral

a) 20 b) 12 d) 30

c) 15 e) 45

Resolución: Por fórmula:

P

m 1m 2 n

=

m! m 1x m 2 107

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. • La cuarta persona puede ocupar cualquiera de los 3 restantes.

Donde: m = 5 (N.º total de elementos) m1 = 2 (La letra "N" se repite dos veces) m2 = 2(La letra "O" se repite dos veces) Luego:

2.2

Luego; las cuatro personas se pueden sentar de: (6)(5)(4)(3) = 360 Formas distintas

5! = 3x4x5 2!x2! 2! 3x4x5 =30 palabras = 2

P5 = 2.2

P5

Por variación: (El orden en que tomarán asiento si interesa) 6

V4=

6! 6! = =3x4x5x6=360 (6-4)! 2!

6

V 4 = 360 1. Calcula el número de triángulos que se pueden trazar por "n" puntos no colineales.



n(n+1)(2n-1) a)



c)



e)

6

n(n-1)(n-2) 6

4. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar seis niños en fila, a condición de que tres de ellos, en particular, estén siempre juntos?

b) n(n+1)(n+2) 6

d)

Rpta.: c

n(n+1) 2

a) 5 040 b) 4 050 d) 72

N.A.

c) 7 000 e) 144

Resolución:

Resolución:

Este problema, se trata de una combinación ya que el orden de unir los puntos no interesa, además sabemos que para formar un triángulo se necesitan 3 puntos no colineales.

Como de los seis niños tres deben estar siempre juntos, entonces se puede considerar como un solo; de esta manera planteamos lo siguiente: Si los tres niños los consideramos como uno se tendría:

n

N.º de triángulos = C3

Luego: n C3=

1

n! (n-2)(n-1)n = (n-3)!x3! 6

A

∴ N.º de triángulos = n(n-1)(n-2) 6 Rpta.: b 2. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas? a) 60 b) 24 d) 360

2

c) 120 e) N.A.

3

4

5

6

B

C

D

Los cuatro se pueden ubicar de P4 = 4! = 24 formas diferentes. Por los tres que deben estar siempre juntos se pueden acomodar de: P3 = 3! = 6 formas diferentes. Luego por el principio de la multiplicación, el número total de posibilidades de ubicación es: Total = 6 x 24 = 144 formas Rpta.: e

Resolución: • La primera persona puede ocupar cualquiera de los 6 asientos. • La segunda persona puede ocupar cualquiera de los 5 restantes. • La tercera persona puede ocupar cualquiera de los 4 restantes. 108

Formando líderes con una auténtica educación integral

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Resolviendo en clase 1) El padre, la madre y sus dos hijos, ¿de cuántas formas se pueden acomodar para tomarles una foto? Rpta: ________

4) Con todas las letras de la palabra AMARRAS, ¿cuántas palabras diferentes se puede formar, sin importar lo que diga, si en ningún caso la "M" y la "S" deben estar juntas? Rpta: ________

2) ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en el campeonato descentralizado de fútbol en una rueda en la que participan 16 equipos?

5) Si tenemos una fila de seis butacas, ¿de cuántas formas se pueden sentar tres personas?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Para cierto número de baile se necesitan 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección si se disponen de 6 bailarines y 8 bailarinas?

6) En un mercado venden seis tipos diferentes de frutas y ocho tipos diferentes de verduras. ¿De cuántas maneras una señora podrá comprar tres tipos diferentes de fruta y dos tipos diferentes de verdura?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) ¿De cuántas formas se puede acomodar 4 personas para tomarse una foto?

4) Con las letras de la palabra "EDITOR", ¿cuántas palabras de seis letras que terminen en "E" se pueden formar?

Para Reforzar

Rpta: ________

Rpta: ________

2) En una reunión hay 10 personas y se despiden con un apretón de mano. ¿Cuántos apretones de mano se producen?

5) Un padre va al cine con sus cuatro hijos. ¿De cuántas maneras podrán sentarse en una fila si el padre siempre se sienta en el centro?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Juan, Carlos, María, Rosa y Cecilia deben elegir presidente, secretario y vocal. ¿De cuántas formas se puede realizar la elección?

6) En el problema anterior, ¿de cuántas maneras diferentes, la señora podrá comprar tres tipos diferentes de fruta o dos tipos diferentes de verdura?

Rpta: ________

Rpta: ________

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109

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14

Para el profesor:

Para el alumno:

1

Josué tiene 12 amigos y 15 amigas. ¿De cuántas maneras podrá elegir a seis amigos y ocho amigas para invitarlos a su casa?

1

Un muchacho visita a su enamorada tres veces a la semana. ¿De cuántas maneras podrá elegir dichos días de visita si uno de esos días debe ser sábado?



a) 924 b) 5 945 940 d) 5 945 490



a) 21 b) 30 d) 42

c) 6435 e) 7359

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

2

Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa?



a) 30 b) 20 d) 21

c) 36 e) 24

Resolución:

2

Kiara tiene 6 pantalones y 5 camisas, todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras se podrá vestir si el pantalón negro se lo debe poner siempre con la camisa crema?



a) 25 b) 26 d) 28

c) 27 e) 24

Resolución:

Clave: 110

c) 15 e) 45

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 ingenieros y 5 médicos, de manera que en cada grupo debe haber por lo menos 4 médicos?



a) 150 b) 260 d) 120

c) 230 e) 115

3

Resolución:

Con 6 oficiales y 5 soldados, ¿cuántos grupos de 5 personas se puede formar, de manera que en cada grupo se ubique sólo un oficial? a) 30 b) 36 d) 120

Resolución:

Clave: 4



Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, vicepresidente y secretario puede formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? a) 1428 b) 1716 d) 1718

c) 40 e) 150

c) 1628 e) 1728

Clave: 4

En el consejo de una ciudad hay diez consejales y seis regidores. ¿Cuántos comités pueden conformarse si deben constar de ocho consejales y tres regidores?



a) 300 b) 420 d) 900

c) 640 e) 1080

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 111

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5



Un club desea formar una bandera representativa, de tres franjas verticales, una a continuación de otra. Si se proponen siete colores diferentes, ¿cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar? a) 35 b) 210 d) 21

5

Un barco lleva cinco banderas de color diferente. ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer izando en un mástil, por lo menos tres banderas?



a) 520 b) 246 d) 150

c) 430 e) 864000

c) 5040 e) 42 Resolución:

Resolución:

Clave: 6



Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. ¿De cuánras formas podrán ubicarse si el asiento vacío debe quedar entre las dos mujeres? a) 6 b) 12 d) 24

c) 32 e) 48

Resolución:

6

El Día de la Bandera deben disponerse a 8 cadetes alrededor del asta. ¿De cuántas maneras se podrá hacer ese ordenamiento? a) 40320 b) 5040 d) 2720

c) 720 e) 5400

Resolución:

Clave: 112

Clave:

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Una bolsa contiene cuatro bolas blancas, dos negras y tres rojas. Calcula el número de formas que se pueden seleccionar cinco bolas de modo que dos sean blancas, una sea negra y dos sean rojas.

7

El capitán de un yate solicitó, dos oficiales y tres marineros. Si se presentaron cinco oficiales y seis marineros, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación?



a) 19 b) 23 d) 42



a) 200 b) 400 d) 2400

c) 30 e) 36

Resolución:

Resolución:

Clave: 8



En un grupo de 15 personas hay cuatro que se llaman Luis, seis Pedro y el resto Jorge. ¿De cuántas maneras se podrá elegir a dos Luises, cuatro Pedros y tres Jorges? a) 900 b) 600 d) 300

c) 1200 e) 600

c) 750 e) 1200

Clave: 8

¿Cuántas palabras se pueden determinar, empleando todas las letras de la palabra COCODRILO? a) 24630 b) 18720 d) 60166

c) 24700 e) 30240

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

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113

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

Probabilidades

El primero en estudiar las cuestiones relativas a la relación existente entre la probabilidad matemática y los resultados reales fue el suizo Jacques Bernouilli (1654 - 1705); primer matemático de una numerosa familia cuyos miembros, al menos nueve, fueron matemáticos o físicos notables. Viajó mucho toda su vida y mantuvo contacto con los científicos de su época, principalmente con Leibniz, con el que resolvió problemas sobre cálculo infinitesimal.

15

EXPERIMENTO ALEATORIO Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puede predecir con seguridad antes de realizarlo. Ejemplo: • Lanzar una moneda al aire.

Probabilidad Matemática La probabilidad matemática de que un suceso llegue a ocurrir de determinada manera, puede indicarse por la razón que existe entre el número de maneras en que puede ocurrir del modo que se desee y el número total de posibilidades. Si un acontecimiento puede ocurrir de "a" maneras y fallar en "b" maneras, la probabilidad "x" de que ocurra es: x=

a a+b

• Sacar un guante de una caja oscura.

La probabilidad "y" de que no ocurra es: y=

b a+b

La suma de probabilidades de acierto y de fracaso es igual a 1: x+y=1 Si "n" es el número total de casos y de esto "h" son favorables, h la probabilidad de que ocurra es , y la probabilidad n de que no ocurra es 1 -

h n

La probabilidad de un acontecimiento no puede ser negativa ni tener un valor mayor que la unidad; o sea, para todo acontecimiento "E" tenemos: 0 ≤ P(E) ≤ 1 114

espacio muestral (Ω) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: • Al lanzar un dado.

Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. evento Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: • Al lanzar un dado. Entonces evento "A", tal que: A: Resulta un número par. A = {2, 4, 6}

Luego: a. El número de casos favorables al evento: sale punto par y sello, es: n(A) =3 ⇒P(A) =



definición clásica de probabilidad Cuando se realiza una prueba esta puede dar varios resultados distintos, pero todos igualmente probables. Definición: La probabilidad de un evento A(P(A)) es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Casos favorables P(A) = Casos posibles Propiedades: Si A es un evento definido en Ω, entonces: 0 ≤ P(A) ≤ 1

3 1 = 12 4

b. El número de casos favorables al evento: sale puntaje no menor de 3 y acompañado de cara en la moneda, es:

n(A) =4



⇒P(A) =

4 1 = 12 3

Ejemplo 2: Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean de puntaje 3? Resolución: 1.er lanzamiento: 1 P (sale puntaje 3)= 6 2.º lanzamiento: 1 P (sale puntaje 3)= 6

Si P(A) = 0 ⇒ A = ∅ A es un evento imposible.

el evento: "sale puntaje 3" en el 2.º lanzamiento no depende de lo que salió en el 1.er lanzamiento, luego la probabilidad de que salga puntaje 3 dos veces consecutivas es:

Si P(A) = 1 ⇒ A = Ω A es un evento seguro. Ejemplo 1:

1 6

Se lanza un dado acompañado de una moneda. Calcula la probabilidad de obtener:

x

1 1 = 6 36

a. Puntaje par acompañado de sello en la moneda.

Ejemplo 3:

b. Puntaje no menor de 3 y acompañado de cara en la moneda.

Raúl rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota par mayor que 12?

Resolución:

Resolución: Experimento aleatorio



Total de casos posibles (espacio muestral Ω) 123456 1 2 3 4 5 6 SSSSSS CCCCCC ⇒ n(Ω) = 12

El espacio muestral tendría 21 elementos (la nota va desde cero hasta 20), veamos: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 19, 20} Luego n(Ω) = 21 Consideremos ahora el evento A: A: Nota par mayor que 12. A={14, 16, 18, 20} luego: n(A) = 4 4 ⇒ P(A) = 21

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115

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Ejemplo 4:

Pierre Simón Laplace

Ana, Betty y 4 amigas más van a ser ubicadas en una carpeta de 6 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Betty se sienten juntas? Resolución: Las personas a sentarse son:

Ana, Betty, 4 amigas más ε: se ubican aleatoriamente en 6 asientos.

Existen 6! = 720 formas posibles de sentarse. A: que Ana y Betty se sienten juntas. Juntas A

B

las 4 restantes

es como si fueran 5 elementos, 4 personas libres y 2 juntas que hacen como un elemento. Existe 5! 2! = 240 formas posibles. ∴ P(A) =

116

240 1 = 720 3

(1749-1827) Laplace probó la estabilidad del sistema solar. En análisis, Laplace introdujo la función potencial y los coeficientes de Laplace. Dio especial importancia a la teoría de la probabilidad. Asistió a la Escuela Prioral Benedictina en Beaumont, de los 7 a los 16 años. A la edad de 16 años ingresó en la Universidad de Caen, para estudiar teología. Escribió sus primeros artículos matemáticos mientras estudiaba en dicha universidad. En 1973, llegó a ser miembro de la Academia de Ciencias de París. En 1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillería Real, examinó y aprobó al joven de 16 años Napoleón Bonaparte. Durante la Revolución Francesa, ayudó a establecer el Sistema Métrico. Enseñó Cálculo en la Escuela Normal y llegó a ser miembro del Instituto Francés en 1795. Bajo el mandato de Napoleón fue miembro del Senado, después Canciller y recibió la Legión de Honor en 1805. Aunque intervino en política en tiempos de Napoleón, se pasó al bando de Luis XVIII, quien lo nombró marqués y par. Sin embargo, Napoleón, en sus memorias escritas en Santa Elena, dice que cesó a Laplace de su puesto después de sólo seis semanas porque: “trajo el espíritu de lo infinitamente pequeño al Gobierno”. Laplace llegó a ser conde del Imperio en 1806 y fue nombrado marqués en 1817 después de la restauración de los Borbones. En sus últimos años vivió en Arcueil, donde ayudó a fundar la Sociedad de Arcueil, potenciando la investigación de los jóvenes científicos.

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Resolviendo en clase 1) Determina la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado sea múltiplo de 3.

4) Se extrae una bola de un total de 10 (las bolas están numeradas del 1 al 10).

Rpta: ________

¿Cuál es la probabilidad que dicha bola sea múltiplo de 3 si se sabe que fue par? Rpta: ________

2) Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Halla la probabilidad de que la carta extraída represente su valor con una letra.

5) Una caja contiene 5 bolas rojas, 3 bolas negras y 4 bolas blancas. Si se extraen 2 bolas al azar, determina la probabilidad de que las 2 bolas sean rojas.

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras. Si se saca una sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

6) En un caja oscura hay cuatro bolas blancas, cinco rojas y siete negras. Indica cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola blanca.

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Determina la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado sea un número impar.

4) Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar al azar una bola, resulte múltiplo de 5?

Para Reforzar

Rpta: ________ Rpta: ________

2) Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Halla la probabilidad de que la carta extraída sea un 8 de corazones.

5) Una caja contiene 5 bolas rojas, 3 bolas negras y 4 bolas blancas. Si se extraen 2 bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de extraer 2 bolas negras?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Sin mirar se oprime una de las 27 letras de una máquina. Halla la probabilidad de que sea una vocal.

6) En un caja oscura hay cuatro bolas blancas, cinco rojas y siete negras. Indica cuál es la probabilidad de extraer al azar Una bola roja.

Rpta: ________

Rpta: ________

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117

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15

Para el profesor:

Para el alumno:

1

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta de color rojo o una negra?



a) 1/2 b) 1/52 d) 4/4

c) 1/13 e) 1/26

1

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as?



a) 1/52 b) 1/13 d) 1/26

c) 4/13 e) 1/12

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

2

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta menor que cinco?

2

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una figura?



a) 4/13 b) 5/13 d) 1/26



a) 3/13 b) 1/52 d) 1/26

c) 1/52 e) 1/13

Resolución:

Resolución:

Clave: 118

c) 1/13 e) 1/12

Clave:

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Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta roja menor que cinco?



a) 2/13 b) 4/13 d) 1/13

c) 1/52 e) 5/26

3

De un juego de naipes, indica ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta de color rojo?



a) 1/2 b) 1/4 d) 1/13

c) 1/52 e) 1/12

Resolución: Resolución:

Clave: 4



La probabilidad de no aprobar Matemática I es 0,8; la probabilidad de no aprobar Física I es 0,75 y la probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos es 0,95. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Física I si sabemos que no se aprobó Matemática I? a) 3/4 b) 2/7 d) 2/25

c) 3/25 e) 5/17

Clave: 4



Resolución:

Las probabilidades que tienen Manuel, Franklin y Henry de resolver un mismo problema matemático son: 4 , 2 y 3 ; respectivamente. 5 3 7 Si intentan hacerlo los tres, determina la probabilidad de que se resuelva el problema. a) 24/105 b) 81/105 d) 101/105

c) 90/105 e) N.A.

Resolución:

Clave:

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Clave: 119

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado tres resultados iguales? a) 1/4 b) 2/3 d) 1/2

5

c) 1/8 e) 1/6

Resolución:

Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado dos sellos? a) 1/8 b) 1/2 d) 3/8

Resolución:

Clave: 6

c) 1/2 e) 3/8

Resolución:

6

Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado dos caras y un sello? a) 1/8 b) 1/2 d) 1/6

c) 3/8 e) 3/2

Resolución:

Clave: 120

Clave:

Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado a los más dos sellos? a) 7/8 b) 3/4 d) 1/8

c) 1/6 e) 1/4

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado por lo menos dos caras? a) 1/2 b) 3/4 d) 3/8

c) 1/8 e) 7/8

18) 7 Si se lanzan tres monedas al aire, indica ¿cuál es la probabilidad de obtener como resultado dos resultados iguales y uno diferente? a) 3/4 b) 1/4 c) 1/8 d) 3/8 e) 1/2

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

De una urna de 8 bolas de las cuales 5 son blancas y 3 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 5 bolas de las cuáles 3 sean blancas y 2 negras?



a) 53,5% b) 40,9% d) 20,7%

c) 59,6% e) 44,5%

Resolución:

Clave: 8

En una bolsa hay 18 bolas, de las cuales 5 son negras, 3 son rojas y el resto de otros colores. Sin mirar se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra o roja?



a) 5/18 b) 3/13 d) 9/4

c) 4/9 e) 3/5

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

121

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec.

Capítulo

16

Área de Regiones Sombreadas

Región Poligonal

FÓRMULA BÁSICA

Se llama así a la reunión de un polígono con su interior. Son polígonos: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc.

A ∆ABC=

b.h 2

FÓRMULA de herón B c

Observación

a

A

Círculo: Es una superficie plana que resulta de la unión de una circunferencia con su región interior.

A ∆ABC=

p(p-a)(p-b)(p-c)

a+b+c 2 (p: semiperímetro del ∆ABC) donde: p =

Área

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

Es la medida de extensión de una región poligonal o circular. Se expresa en unidades cuadráticas: m2; cm2; km2; etc.

B c

Área de Regiones Triangulares

h b

C

b

A

b

C

Si el ∆ABC es equilátero. B

B L

h

122

b

C

A

L

A=

L2 3 4

A=

h2 3 3

L

h A

b.csena 2

Observación

h C

A ∆ABC=

a

A

B

B

A

C

b

C

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. relación de áreas 1.

•

B

B

N

A ∆ABC m = A ∆MNP n

h A

2.

M

C

m

P

n

C

A

a

A

ABCD

=

(AC)(BD).sena 2

D

Área de una región limitada por:

B

Q

h1

A ∆ABC h = 1 A ∆PQR h2

h2 A

ABCD: Cóncavo

C

m

3.

P

m

A. UN CUADRADO

R

A = L2

d

L

o A =

B

BN : ceviana relativa a AC.

A

N m

4.

A ∆ABN m = A ∆NBC n

C

L B. UN RECTÁNGULO

n

a

A =a.b

B

BM : mediana relativa a AC.

d2 2

b C. UN ROMBO

A ∆ABM = A ∆BMC A

M m

5.

C

d1

m

A =

p

S

S S G S

A

2

d2

B p

d1 . d2

S M

n

G: baricentro del ∆ABC

D. UN ROMBOIDE

n

S

C

m

h

m

A = b.h

m

a A = a.n

Área de Regiones Cuadrangulares

Relaciones de áreas:

fórmula general •

b

I. En todo paralelogramo

ABCD: Convexo C B a A

A2

A1 A

ABCD

=

(AC)(BD).sena 2

D

Formando líderes con una auténtica educación integral

A

B D

C

⇒

⇒

A1=A2

A=B=C=D

123

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. C

B

A=

⇒

A

ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR

ATotal 2

⇒ T

A

A=B+C

B

r

A = p(R2 - r2) Además, si T es punto de tangencia:

R

II. En todo trapecio

A =

B

C

M

S

A

D

Si AM = MB ATotal ⇒ S= 2

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A

A1

A

B C

O

A2

⇒ A1 = A2

A

⇒ A2 = B.C

p (AB)2 4

A

AOB

a B

R

=

pR2.a 360º

a: en grados sexagesimales

1. Calcula el área de la región sombreada determinada por las semicircunferencias (AB=16 cm).

III. En todo cuadrilátero

A

B D

A.C = B.D

C

A

B

Resolución:

A

Si M, N, P y Q son puntos medios. N

B

4cm

C

Q

A

⇒ A

MNPQ

=

A

4cm

D 4 cm

A = 8 x 4 = 32 cm2

ÁREA DE UN CÍRCULO

2. En la figura, halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. A = pR2

d

A 8 cm

Área de Regiones Circulares

B

C

A

D

o también: A =

pd2 4

donde: d es la longitud del diámetro.

124

4cm

Luego del traslado se tiene un rectángulo.

ABCD

2

B

R

A

B 4cm

P

M

B

10 m

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. Resolución: En la figura efectuamos algunos trazos para luego trasladar ciertas regiones.

4. Halla el área de la región sombreada si el cuadrante tiene radio 4u.

Resolución: Del gráfico: Sx = S BOC - (S

B

Trasladando las regiones como señala las flechas tenemos: B C

2 D

S1

Q

2 O

+S

Sx

2

2 C

P

BDQ

+S

QPC

)) ODQP

p42 p22 p22 + + 22 4 4 4

Sx =

∴ Sx= 2(p-2)u2 A

D 10 m

Como la figura es un cuadrado la región sombreada es la mitad del cuadrado. Luego:

5. En el gráfico, halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado.

H

A

3. En la figura, halla el área de la región sombreada. N

B

D

Lxa 2

12m x 10m 120m2 = = 60m2 2 2

∴S = 60m2

Formando líderes con una auténtica educación integral

16

8

C H S2

A

F

D

16 m

P

a. Sabemos que el área de la región, cuya forma es un paralelogramo, es largo por ancho. b. Los vértices de la región sombreada son puntos medios de los lados del paralelogramo, entonces por la propiedad estudiada su área debe ser la mitad del paralelogramo. Luego: Datos: largo = L = 12m ancho = a = 10m ⇒ Hallamos el área de la región sombreada. S=

G S1

C

Resolución:

S=

Si la figura es un cuadrado, podemos afirmar que:

10 m

A

E

B

Resolución:

R

D

F

16 m

∴S1 = 50m2

M

C

G

S

L2 (10m)2 = = 2 2 2 100m2 S1= = 50m2 2 S1=

E

B

EF : diagonal mayor (16) GH: diagonal menor (8) EF : altura (h)=(16) AD: base (b) = (16)

del rombo FGEH

del triángulo AED

Entonces el área de las regiones sombreadas será: S1+S2 = S AED - S FGEH Regiones sombreadas

Área del triángulo

S1+S2 = =

Área del rombo

16mx16m 16mx8m bxh Dxd 2 2 2 2 = 256m2 - 128m2 = 128m2 - 64m2 2 2

∴ S1+S2 = 64m2 125

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Resolviendo en clase 1) Cuatro semicircunferencia tienen de radio 2 cm. Halla el área sombreada.

4) En la siguiente figura, DA, D DC y CB son tangentes a la semicircunferencia de centro "O". Si DA = 4 cm y CB = 1 cm, calcula el área de la región sombreada. A

Rpta: ________

E

B

M

C I

A

Q

D

P

B

O

Rpta: ________ 2) Halla el área de la región sombreada si el área del rectángulo ABCD es 20 m2.

C

5) Halla el área sombreada en:

r O

A

B

Rpta: ________

Rpta: ________

N

3) Halla: Área región sombreada Área total

a

6) Halla el área sombreada en: (p = 3,14)

a

Rpta: ________

Rpta: ________

a

a

O1 a O

O2

O3

Para Reforzar 1) Si la figura es un cuadrado de lado "a", halla el área de la región sombreada.

a

Rpta: ________

Rpta: ________

2) En la figura mostrada, halla el área del rectán- B gulo ABCD sabiendo que el área de la región sombreada AMND mide 40 m2. Rpta: ________ 3) En el gráfico, AC es diámetro y AB=BC. Además AB//CD y "B" es punto de tan- A gencia. Halla el área sombreada. Rpta: ________ 126

a

4) ¿En qué relación están el área de la región sombreada y el trapecio?

3

2a

M 2 N1 C

5) Calcula la parte sombreada.

A

Rpta: ________

D

B R

R O

D R

C

2

6) En la figura se muestra un cuadrado de lado "2a" y centro de la circunferencia "O". Halla el área de la región sombreada. Rpta: ________

B

C

O

A

D

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si la figura es un cuadrado, halla el área sombreada. 2

a) a /4 b) 4a2 c) 8a2 d) a2 e) 5a2

a

1

Halla el área sombreada si ABCD es un cuadrado. a

B

Resolución:

a) a/4 b) a2/4 c) 3a2/2 d) 4a2 e) a2-4

C

A

D

Resolución:

Clave: 2

Clave:

Calcula el área sombreada si d = 6m.

2

Halla el área de la región sombreada.

a) 6 m2 b) 2 m2 c) 4 m2 d) 16 m2 e) N.A.



a) 299 - 3p b) 2(64-13p) c) 4(72-13p) d) 7(72-9p) e) N.A.

d O1

O2

Resolución:

4 6

16

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 127

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 3

Calcula el área sombreada si AB = 8 m.

3

Halla el área sombreada en porcentaje.



a) 9p m2 b) 4p m2 c) 6p m2 d) 13p m2 e) 8p m2



a) 42% b) 15% c) 50% d) 25% e) 32%







A

O1 O2

B

O3

Resolución:

O2

O1 4m

O3

1m

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Si R=3 cm y π=3,14, halla el área sombreada.

4

Si el área de paralelogramo es 1 000 cm2, calcula el área sombreada.



a) 13 m2 b) 12,87 m2 c) 15 m2 d) 18 m2 e) N.A.



a) 10 cm2 b) 8 cm2 c) 20 cm2 d) 1000 cm2 e) N.A.



R O2



R O1



Resolución:

D

B

C

Resolución:

Clave: 128

A

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 5

Calcula el área de la región sombreada en función del lado "a" del hexágono regular. π 2 a2 a) ( 3- 2 )u 2 a2 2 b) (2 3- π)u 2 a2 (3 3- π)u2 c) 2 a2 (π- 3 )u2 d) 4 e) N.A.

5

Halla el área del cuadrado inscrito en el triángulo rectángulo ABC si AB = 3 y BC = 6 a) 9 b) 6 c) 2,5 d) 4 e) 3

A

B

C

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Clave:

Determina el área de la región sombreada si el área de ABC es 4 2 m2. a) 8 2 m2 b) 4 2 m2 c) 2 2 m2 d) 4+p m2 e) N.A.

B a A

b c

C

Resolución:

6

En la figura, calcula el área achurada si la diagonal del cuadrado mide 4 2 m.



a) 8 m2 b) 8p m2 c) 16p m2 d) 16 m2 e) 15p m2 Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 129

Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 Raz. Matemático - 5to Sec. 7

Si ABC es un triángulo equilátero, halla el área de la región sombreada. a) 52p b) 36p c) 42p d) 40p e) 48p

7

12

Resolución:

Calcula el área del círculo inscrito en el sector circular. 4 a) 8p/2 b) 25p/2 60º c) 16p/3 d) 64p/9 4 e) 16p/9 Resolución:

Clave: 8





Clave:

Halla el área de la región sombreada si los radios miden 4u y 11u, MN = 3 3u y además (M y N) son puntos de tangencia. 5 a) (9 6 6 b) (9 5 1 c) (9 5 1 d) (9 6 5 e) (9 6

3-π)u2 3-2π)u2 3-2π)u2 3-2π)u2

O2

O1

8

Si AB es tangente a la circunferencia menor y mide 6cm, halla el área de la región sombreada.



a) 3π cm2 b) 6π cm2 c) 9π cm2 d) 10π cm2 e) 12π cm2



M

N

R r A

B

Resolución:

3-2π)u2

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 130

Formando líderes con una auténtica educación integral