4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay

4 PROBLEMAS PROPUESTOS Por: Ariel Marcillo Pincay Estimado Tutor, saludos le estoy enviando la solución a los cuatro problemas propuestos del mes de mayo del 2015, espero vuestras sugerencias en caso de ser necesario, muchas gracias. 1. Se ha planteado un exámen de n preguntas, todas con el mismo valor de puntuación, de las que un alumno ha respondido correctamente 15 de las 20 primeras preguntas y responde correctamente un tercio de las preguntas restantes. Si la calificación del alumno es 5 sobre 10 ¿Cuántas preguntas tenía el exámen? SOLUCIÓN: Sea n, el número total de preguntas. 10, el puntaje total del exámen. 10/n, el valor de cada pregunta asignada. 15, el número de preguntas respondidas en forma correcta. De tal manera que: 10 150 15 ( ) = 𝑛 𝑛 𝑛 − 20, las preguntas que quedan por responder y son 1/3; por lo tanto: 𝑛 − 20 10 ( )∗( ) 3 𝑛 Obtuvo entonces 5 puntos. Lo que nos queda de la siguiente manera: 𝑛 − 20 10 150 ( )∗( )+ =5 3 𝑛 𝑛 𝑛 − 20 150 )+ =5 3𝑛 𝑛 A partir de esta ecuación despejamos el valor de n, encontrando primero el valor del mcm=3n Por lo tanto: 10(𝑛 − 20) + 3 ∗ 150 = 3𝑛 ∗ 5 10𝑛 − 200 + 450 = 15𝑛 10 ∗ (

10𝑛 + 250 = 15𝑛 250 = 15𝑛 − 10𝑛 250 = 5𝑛 𝑛=

250 5

𝑛 = 50 Concluimos entonces que el exámen tenía 50 preguntas.

2. En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes y pequeñas, y se tienen para ello 60m² de tableros de madera. Las grandes necesitan 4m² de tablero y las pequeñas 3m². el carpintero debe hacer como mínimo tres estanterías grandes, y el número de pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de $60 y por cada una de las pequeñas es de $40, ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será este beneficio? SOLUCIÓN: Primeramente plantearemos el sistema de inecuaciones donde se define el problema. Denominemos con x el número de estanterías grandes, con y el número de estanterías pequeñas. Entonces las inecuaciones del problema son: 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 60 𝑥≥3 𝑦 ≥ 2𝑥 Por lo tanto, la función que tenemos que Maximizar es: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 40𝑦 Con la ayuda de Geogebra construimos el gráfico y procedemos a determinar sus vértices.

Los vértices de la construcción son los puntos: A=(3,16); B=(6,12); C=(3,6). Ahora procedemos a encontrar los valores que toma la función en los puntos descritos anteriormente. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 40𝑦 𝐹 (𝐴) = 𝐹(3,16) = 820 𝑭(𝑩) = 𝑭(𝟔, 𝟏𝟐) = 𝟖𝟒𝟎 𝐹 (𝐶 ) = 𝐹(3,6) = 420 Finalmente, decimos que el mayor beneficio es de 840 euros los mismos que se obtienen haciendo 6 estanterías grandes y 12 estanterías pequeñas.

3. Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los tres valores. SOLUCIÓN: La progresión aritmética se define como: ÷ 𝑡1 ∙ 𝑡2 ∙ 𝑡3 ∙ … … ∙ 𝑡𝑛 Donde; 𝑡1 = 𝑡2 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑑 𝑡3 = 𝑡2 + 𝑑 = 𝑡1 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑡1 + 2𝑑 La progresión geométrica es entonces: ÷ 𝑡1: 𝑡2: 𝑡3: … … . . : 𝑡𝑛 𝑡2 𝑡3 = 𝑡1 𝑡2 Los términos consecutivos a, b, c, de una progresión aritmética en dónde a