4 - Parte Ia - Rad&Mat

 

Gmnéflnd Gmnéfl nd Tuéftlnd Tuéftlnd I

Ndgpa gpas s Nbässlnas  Dcvdfnmc Tudftug Gmnedflns - H.H. ^dkurdl (Ymvlsmc Mcltlaf)

4.4 

Pdrtç rtçnub nubd ds m Ndgpa gpas s

  D gm gmné néfl flnd nd qu quéf éftl tlnd nd fîafîa-rm rmbd bdtl tlvç vçst stln lnd d oa oarf rfmn mnm m ug ugd d cm cmsn snrl rlêî êîa a uf uflo loln lndc dcd d m bajl bajlnd ndgm gmft ftm m na nafs fsls lstm tmft ftm m cm fugm fugmra rasa sas s om omfó fógm gmfa fas s fd fds s är ärmd mds s dt dtóg ógln lnd d m gabmnubdr.



  ^mju ^mjufca fca Clrdn ‒ds bmls oçslnds oçslnds iäslnds fmnmssärl fmnmssärlds ds pdrd d tmarld gdtmgätl gdtmgätlnd nd cm ugd jrdfcm pdrtm cd oçslnd m tacd quçglnd sîa nagpbmtdgmftm nafemnlcds‗.

Gds par qum prmnlsdgas lr dbìg cd gmnéflnd quéftlnd fîa rmbdtlvçstlnd1 Cals gatlvas8 

  Na Naga ga d gmn gmnéfl éflnd nd qué quéftl ftlnd nd fîa fîa-rm -rmbd bdtlv tlvçst çstlnd lnd ì oar oargub gubdcd dcd cm gdf gdfmlr mlrd d qum, qum, fa blgltm nbässlna, oarfmnm d rmbdêîa mfmrjld-gagmfta fd oargd fîa-rmbdtlvçstlnd, mbd ì lfndpdz cm mxpblndr d mstruturd olfd  cm ätagas elcrajmfþlcms.



  D gm gmné néfl flnd nd quéf quéftl tlnd nd fîa fîa rm rmbd bdtl tlvç vçst stln lnd d ì mssm mssmfn fnld ldbg bgmf mftm tm ugd ugd tm tmar arld ld cm   ugd

pdrtçnubd, fd qudb d lftmjrdb sairm taca a mspdêa cd cmfslcdcm cm praidilblcdcm cm mfnaftrdr ugd cdcd pdrtçnubd ì ug pdrd qudbqumr lfstdftm cm tmgpa. Fmstd tmarld, ds pdrtçnubds fîa pacmg smr   nrldcds nrldcds  fmg  cmstruçcds.

Mxmgpbas qum fîa pacmg smr trdtdcas par mstd tmarld8 

  Cm Cmnd ndlg lgmf mfta ta im imtd td fu funb nbmd mdrr mg qum qum ug mbìt mbìtra raf f m ug df dftl tlfm fmut utrl rlfa fa sî sîa a nrld nrldca cas s mfqudfta a fmutraf tarfd-sm ug prþtaf.



  Pranm ranmss ssas as slg slgpbms pbms fas qu qudl dls s ug äta tag ga mxnl xnltd tdc ca rmta rmtarf rfd d da sm smu u mstd stdca oufcdgmftdb mgltlfca ‒mspaftdfmdgmftm‗ ug øflna oþtaf fd dusèfnld cm ndgpas mxtmrfas.

Nafnmlta lta cm Ndgpa Ndgpa Nafnm

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  



Gmnéflnd Tuéftlnd I

4

  Fd tmarld nbässlnd   A nafn nafnmlta mlta c cm m ndgpa ndgpa oal ftr ftracuz acuzlca lca f fd d oçslnd oçslnd nbäs nbässlnd slnd p pdrd drd

cmsnrmvmr d lftmrdêîa mftrm cals narpas smpdrdcas par ugd clstéfnld olfltd. Par  mxmgpba, a ndgpa mbmtrlna   Mx, t   ì ugd oufêîa cm très nagpafmftms,    M  x x , M  y y , M  z   z , cmolflcd mg ndcd pafta ca mspdêa-tmgpa   x, t ,   m d lftmrdêîa mftrm cals narpas ndrrmjdcas,   4   m   9,   ì vlstd naga d lftmrdêîa ca narpa   9   nag a ndgpa mbìtrlna nrldca pmba narpa  4 . 

  Fd tmarld quéftlnd   A na nafn fnml mlta ta cm ndgp ndgpa a dc dcqu qulr lrm m ugd ugd fa favd vd clgmf clgmfsî sîa a fd

tmarld quéftlnd. Mftrm 4

smfca d sagd suistltuçcd par ugd lftmjrdb. Baja,  B   

  B     cx

afcm

  ∉ B        4    ̊ 9 ∙  \  9 ∉ x

9

Cd oargubdêîa ca prlfnçpla vdrldnlafdb fa ndsa naftçfua, aitìg-sm ds mqudêýms cm Mubmr-Bdjrd Mubmr-Bdjrdfjm, fjm,

∉B         ∉ ∉B      ∙   ∉B        0 ∉ ∉ x ∉∉/∉ x  ∉t  ∉∉/∉t  ∉ Fa ndsa ca mxmgpba, mstd mqudêîa tarfd-sm

 ∉ 9   ∉ 9  \  9   ∙   9      0 ∉ x ∉t  qum ì d mqudêîa cm afcd pdrd ugd narcd. Cm Cmfslcdcm fslcdcm Ed Edglbtafldfd glbtafldfd   Mg dfdb dfdbaj ajld ld nag nag d Ed Edgl glbt btaf afld ldfd fd cm ugd ugd pd pdrt rtçn çnub ubd, d,  E      ∔ p l̊q l  ∙  B ,   pac pacmga mgas s cmolf cmolflr lr d cmfslc cmfslcdc dcm m Edglbt Edglbtafl afldfd dfd pd pdrd rd a sls slstmg tmgd d na naftç ftçfua fua,,

cdcd par 

  ∉B     ∙  B. E          ̊ ∉̊

4.>

Ndgpas Msnd sndbd bdrm rms s Nbä bässln sslnas as

Nafslcmrm ug ndgpa   x, t   qum ì ugd oufêîa rmdb cmolflcd mg ndcd pafta ca mspdêa x, t .   Odzmfca      ↙      fds mqudêýms cm Mubmr-Bdjrdfjm cd smêîa dftmrlar, m bmgirdfca

  ∉ ̊ qum   B        B     , ∉ x k  ,  afcm  k     4,9,>   au   x, y, z    ,  aitìg-sm

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

Gmnéflnd Tuéftlnd I >

∔ ∉ x∉ k 4

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k 

3

∉B         ∉ ∉B      ∙   ∉B        0 ∉ ∉∉/∉ x k  ∉t  ∉∉/∉t 

  Aismrvm qum sþ tmgas ugd mqudêîa cm Bdjrdfjm, narrmspafcmftm d ug øflna

ndgpa qum mstdgas cmsnrmvmfca.

Fatd Fatdêîa êîa navdrldftm n avdrldftm _mhd ds fatds cm dubd cm rmvlsîa sairm tmfsarms. Dqul fas lftmrmssd d gdfmlrd cm msnrmvmr d mqudêîa cm Mubmr-Bdjrdfjm fd oargd  rmbdtlvlstlndgmftm navdrldftm, lsta ì, dqumbd qum tmg d ‒gmsgd oargd‗ mg tacas as rmomrmfnldls lfmrnldls. Cdqumbm mstuca, vlgas qum ug qudcrlvmtar,  i ,  fa mspdêa-tmgpa cm Glfkawskl ì rmprmsmftdca par  i       i 4 , i 9 , i > , i 3       i, li 0 

afcm  i k  sîa rmdls m  i 3      li 0  ì lgdjlfärla pura. A vmtar paslêîa  x   ì cdca par   x        x 4 , x 9 , x > , x 3       x, lnt 

Srdfsoargdêýms cm Barmftz   Ds naarcmfdcds cm mvmftas qum anarrmg mg slstmgds

cm naar naarcm cmfd fdcd cds s bl bljd jdca cas s d cl clom omrm rmft ftms ms rm rmom omrm rmfn fnld ldls ls lf lfmr mrnl nldl dls, s,   ^    m   ^ ‹ (lflnldbgmftm nalfnlcmftms), mstîa rmbdnlafdcds par trdfsoargdêýms cm Barmftz, au smhd,  x ‹    d  x 

afcm  d   sdtlsodzmg d  d         ,   d ∙4        d 

Partdfta,  x       d ∙4   x ‹    d  x ‹

Tud udcrlvm crlvmtar tar m d trd trdfsoa fsoargd rgdêî êîa a cm Barm Barmftz ftz   ]g qudc qudcrlvmt rlvmtar, ar,   D,   par cmo cmolfl lflêîa êîa

trdfsoargd-sm cd gmsgd gdfmlrd qum x   sai trdfsoargdêýms cm Barmftz, au smhd,  D ‹    d  D 

Baja, naga  x       d  x ‹ ,   mftîa

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

 

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  ∉ x  ∉ ∉ x ‹ ∉ x 

   d 

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∉ ∉ x 

m, partdfta, a jrdclmftm   ∉ ì ug qudcrlvmtar. ∉ x  Pracuta msndbdr    A pracuta msndbdr  i  i    n  ì cmolflca par  >

i    n      i  n    

 ∔ i n    i n  h  h

3 3      i    n

 ∙  i 0 n 0

 h4

A pracuta msndbdr  i  i    n  ì lfvdrldftm par trdfsoargdêîa cm Barmftz, au smhd, i ‹   n ‹    i ‹ n ‹    d  i  d  n     d  d    i  n         i  n       i  n       i    n  

 t   cm smjufcd arcmg trdfsoargd-sm naga Smfsar cm smjufcd arcmg   ]g tmfsar  t  t ‹      d  d    t 

Mstdgas dcatdfca d nafvmfêîa ca ^dkurdl, qum fas blgltms cd rmbdtlvlcdcm  m naftrdvdrldftms  naftrdvdrldftms.. rmstrltd fîa odz clstlfêîa mftrm vmtarms navdrldftms vmtarms navdrldftms m

 

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Oargd navd navdrld rldftm ftm cd mqud qudêî êîa a cm Bd Bdjrd jrdfjm fjm   Cmstd std gdf dfml mlrd rd,, d mq mqu udê dêîa îa cm

Mubmr-Bdjrdfjm pacm smr rmmsnrltd naga >

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au smhd,

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Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

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afcm cmvmgas bmgirdr d nafvmfêîa cd sagd pdrd çfclnms rmpmtlcas, m        4,9,>,3.   8 

  Ndcd Ndcd tmrga cmstd mqud mqudêîa êîa smrä ug msndbdr msndbdr sm   B    oar ug msndbdr m d mqudêîa cm

ndgpa   aitlcd cd cmfslcdcm Bdjrdfjmdfd smrä  navdrldftm, lsta ì, d mqudêîa tmg d gmsgd oargd mg tacas as rmomrmfnldls cm Barmftz.

Ndgpa msndbdr fm Ndgpa f mutr utra a ^mhd    x   ug ndgpa msndbdr, qum par cmolflêîa, sai trdfsoargdêýms cm Barmftz mftrm as slstmgds ^  m  m  ^ ‹ ,  trdfsoargd-sm naga  ‹  x ‹        x 

afcm    ‹  x ‹   ì d oargd oufnlafdb ca ndgpa fa slstmgd   ^ ‹ .   Au smhd, ì ug  lfvdrldftm   sai mssds trdfsoargdêýms. Tudb cmvm smr d oargd cd Bdjrdfjmfd pdrd ug ndgpa msndbdr 1 

  m cm suds cmrlvdcds.   Pacm cm cmpmfcmr pmfcmr c ca a ndgpa msndbdr   



  Fî Fîa a pa pacm cm   cmpmfc cmpmfcmr mr mxpb mxpblnltd lnltdgmft gmftm m cds   naarcmfdcds   x  ,   ugd vmz qum lssa ssa vlabdrld d lfvdrléfnld par ratdêîa au trdfsbdêîa.



  Pdrd ugd mqu mqudêîa dêîa cm afcd blblfmdr fmdr,, fîa pacm dpdr dpdrmnmr mnmr mg   B     patèfnlds mbmvdcds cm    (gdlarms ca qum  9 .



  Fmstds naf nafclêýms, clêýms, d ø øflnd flnd Bdjrdfjmdfd Bdjrdfjmdfd passçvmb passçvmb ì

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Mubm ubmrr-Bd Bdjrd jrdfjm fjm   A

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Mubmr-Bdjrdfjm pdrd mstm ndgpa. Pdrtlfca cm

∉ ∉ x  m nafslcmrdfca qum

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Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

Gmnéflnd Tuéftlnd I

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Bmgirdfca qum  x 3      lnt ,  mftîa

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Baja,

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Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

5

 

 ∙   9       0

nafemnlcd naga  mqudêîa cm Kbmlf-Jarcaf. Mstd mqudêîa hä oal nafslcmrdcd naga oartm ‒ndfcl ‒nd fclcdt cdtd‗ d‗ d dfä dfäbaj bajd d rmbdtl rmbdtlvçs vçstln tlnd d cd mqudê mqudêîa îa cm ^n ^nerÿ erÿclf clfjmr jmr fîa fîa-rm -rmbdt bdtlvç lvçstl stlnd. nd. D slglbdrlcdcm cmstd mqudêîa nag rmbdêîa mfmrjld-gagmfta pdrd ugd pdrtçnubd blvrm cm gdssd g ,  au smhd, 9

 M 9

∙ |p | n 9    g 9 n 3

tarfd-sm dpdrmftm qudfca suistltuçgas  M   ↙   l   ∉  ,   p k      ∙l   ∉ ∉t  ∉ x k  

  Ì lg lgpa part rtdf dftm tm ai aism smrv rvdr dr qu qum m d mq mqud udêî êîa a ai aitltlcd cd cm cmst std d su suis istltltu tulê lêîa îa rm rmbd bdnl nlaf afd d d smjufcd cmrlvdcd mspdnldb ca ndgpa à smjufcd cmrlvdcd tmgpardb, mfqudfta qum d mqudêîa cm ^nerÿclfjmr ì cm prlgmlrd arcmg fa tmgpa.

Patmfnldb cm \ukdwd

Pdrd lfnarpardr d oaftm fd cmfslcdcm Bdjrdfjmdfd ca ndgpa, idstd sagdr a tmrga cm lftmrdêîa B    lft      ∙

afcm    ì d cmfslcdcm cd oaftm. Dsslg, B        ∙  4

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∉ ∉ ∉ x  ∉ x 

   9  9

∙  

 D mqudêîa cm ndgpa tarfd-sm djard  ∙   9       

Ndsa mstätlna cm ug oaftm puftloargm   Pd Pdrd rd a nd ndsa sa mg qu qum m         x ,   au smhd, ì

lfcmpmfcmftm ca tmgpa (ndsa mstätlna), m d oaftm smhd puftloargm bandblzdcd fd arljmg, x       J  x ,  d mqudêîa cm ndgpa tarfd-sm

∊ 9  ∙   9       J   x 

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

Gmnéflnd Tuéftlnd I

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afcm  J  ì ugd nafstdftm fugìrlnd. ^abuêîa pmba gìtaca cd trdfsoargdcd cm Oaurlmr    ^mhd  ̎k    d trdfoargdcd cm

Oaurlmr cm   x   cmolflcd naga x       4 >/9 9  ̎k    

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mfnaftrd-sm ∙|k | 9 ∙   9 ̎k       J >/9 9  ̎ k ,  mfnaftrd-sm Ymsabvmfca mstd mqudêîa dbjìirlnd pdrd   ̎k       ∙

  J 4 9 >/9 |k |   9 9 

m x       ∙   J > 9 

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Pacmga Pac mgas s olxdr  olxdr   x   da ba bafj fja a ca ml mlxa xa-- z   cm oa oarg rgd d qu qum m

k    x      kr nas ,   afcm    ì a éfjuba pabdr ca vmtar  k.  k.   Naga  c > k      9k 9 smf   ck c ,

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

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lkx c  k    m9   |k |    9

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Gmnéflnd Tuéftlnd I 

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m lkr  ∙  m ∙lkr   ck  lkr 

9smf kr   ck      9 9 m ∙r  r  kr 

  Ais8  Mstm rmsubtdca pacmrld tmr slca aitlca par ugd lftmjrdb cm naftarfa fa pbdfa

nagpbmxa. Baja,

9 9 m ∙r  

x       ∙   J > 9 

Ndgpa gmsóflna

 

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∙r     x       ∙   J m r  3

\u \ukd kdwd wd pr prap após ós qum qum ug fønbm fønbmaf af oa oass ssm m d oa oaft ftm m cm ug ndg ndgpa pa

oarêd, oar êd, ned nedgdc gdca a   ndg ndgpa pa gms gmsóf óflna lna, cd gmsgd oargd qum ug aihmta ndrrmjdca mbmtrlndgmftm ì d oaftm cm ug ndgpa mbmtrastätlna. Mstd sabuêîa sljflolnd qum, sm ug ndgpa ndg pa gms gmsófl óflna na mstätl mstätlna na mg tarfa tarfa cm ug fønbma fønbmaf f ba bandb ndblz lzdca dca fd arl arljmg jmg,, sdt sdtlso lsodz dz d mftîa a d lf lftm tmfs fslc lcdc dcm m ca ndgp ndgpa a fa paft pafta a   x 9   cmvlca cmvlca à mqudêîa   ∊ 9  ∙   9       J   x ,   mftî prmsmfêd cm ug fønbmaf fa pafta  x 4  ì cdca par  ∙|x 9 ∙x 4 | x 9       ∙   J m 3 |x 9  ∙  x 4 |

Naga a ndgpa ì mstätlna,        x ,  d cmfslcdcm Edglbtafldfd, cmolflcd par  E      

  ∉ ∉B      ∙  B. ∉t  ∉∉/∉t 

smrä   E     lft      ∙B    lft      ,  m, partdfta        Jx    E lft   

 c   c   x      J  x , x    x ∙x   c   x   E       c   x      lft

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Mftîa, d mfmrjld cm lftmrdêîa mftrm cals fønbmafs, ug bandblzdca fa pafta   x 4  m a autra fa pafta  x 9 ,   ì 4,9 

 E lft

 ∙

  J 9 m ∙|x 9 ∙x 4 | 3 |x 9  ∙  x 4 |

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

Gmnéflnd Tuéftlnd I

44

Clomrmftm ca ndsa cm Naubagi, mstd lftmrdêîa ì  dtrdtlvd   m cm  nurta dbndfnm. _dl d zmra rdplcdgmftm pdrd

4 |x 9  ∙  x 4 |      

Ndgpa msndbdr nagpbmxa Bmld mstd smêîa fa blvra-tmxta.

4.3

Ndgpas Nbä bässlna sslnas s cm Gdxwm xwmbb bb

Mqudêýms iäslnds As nd ndgp gpas as mbmt mbmtra ragd gdjf jfìt ìtln lnas as sî sîa a tr trdt dtdc dcas as cm cmft ftra ra cd mstr mstrut utur urd d cd mb mbmt mtra racl clfé fégl glnd nd nbässlnd. Fmstm ndsa, pdrtlgas cds mqudêýms cm Gdxwmbb cdcds par   h n  ,

∊    M      ,

 

∊    I  ∙   4n ∉M   ∉t 

∊    I      0,

 

∊    M      4n ∉I      0. ∉t 



Fmstds uflcdcms, d nafstdftm cm mstruturd olfd ì cdcd par  9   m  ≅   4   4>:,03 3n

 Ds uflcdcms dcatdcds dqul, ds nedgdcds   uf uflcd lcdcms cms rdn rdnlaf lafdbl dblzdc zdcds ds cm

Emdvlslcm-Barmftz, mstîa rmbdnlafdcds nag ds ca NJ^ dtrdvìs cm8 NJ^ m

 

Ydnlafdblzdcd E-B   m 3

↙

M, I, D,    ↙

mD/n   ↙

   

3 M, I, D,   m 3

3 D   /n      mD/n

Par mxmgpba, ds mqudêýms cm Gdxwmbb fa NJ^, aitlcds d pdrtlr cmstds uflcdcms sîa

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

49

 

∊     M



3

∊     I

3

  3 ,

∉M   3 n ∉t 

∙   4



∊     I

   0, 3 ∊     M    4 ∉I   3 3 n ∉t 

Aismrvm

qum

fmstds

uflcdcms,

d

 

 



∊    M      3,

  3 h

 4 n      ∊    I  ∙ n

   0

 

   

oarêd

∉M   ∉t 



  3 h n

∊    I      0

  ∊    M      4n ∉I      0 ∉t 

cm

Barmftz,   O      ∙mM     v    I /n    olnd

lfdbtmrdcd fas cals slstmgds.

Smfsar ca ndgpa mbmtragdjfìtlna   O   

  _dgas

lftracuzlr

a

tmfsar

mbmtr tra agdjìtlna,   O  nuhds  ,   nuhds

na nagp gpaf afmf mftm tms s

narrmspafcmg, fa oargdblsga rmbdtlvlstd, da ndgpas M  m  I .  Au smhd,

 O     

0   I >   ∙ I 9   ∙lM 4 ∙ I >   0   I 4   ∙lM 9  I 9

  ∙ I 4   0   ∙lM >

lM 4   lM 9   lM >   0

afcm aivldgmftm O   ì dftl-slgìtrlna fas çfclnms. 

  Cmolflfca Cmolflfca-sm -sm tdgiìg a qudcrlvmtar n ndrjd-narrmftm, drjd-narrmftm, h  ,   naga  h        h, ln ln  ,

ds mqudêýms cm Gdxwmbb pacmg smr msnrltds gdls dirmvldcdgmftm. 

  Par mxmgpba mxmgpba,, nag mstds cmolflêýms, cmolflêýms, ds mqudêýms mqudêýms qum cmpmfcmg cd oaftm, lsta ì,

∊    M      ,   ∊    I  ∙   4n ∉M   ∉t 



 h n

pacmg smr msnrltds naga  O   h   n ∉∉ x  

O   pacm smr aitlca ca patmfnldb vmtar  D   Fatm qum a tm tmfsar  fsar   O   D , dtrdvìs cds rmbdêýms8

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

4>

 

 D       D, l   O     

  ∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 

qum sdtlsodzmg dutagdtlndgmftm d dftl-slgmtrld fas çfclnms    m   .  Dbb ju g ds na g pa fmf t ms ca t mfs ar    ]sdfca ds rmbdêýms  D  

  4 ∉D

 

  ∊    D, M   ∙∊ ∙ n ∉t 

I

mfnaftrd-sm   x 3      lnt ,   D 3      l

  ∉ D 9 ∙   ∉ D 4 ∉ x 4 ∉ x 9   ∉ D > ∙   ∉ D 4  O 4> 4>    ∉ x 4 ∉ x >   ∉ D l ∙   ∉ D 3  O 3l    ∉ x 3 ∉ x l  O 49 49   

   ∊    D  >      I >    ∙∊    D  9      ∙ I 9 

  4 ∉ D l   ∙   ∉l  ln

∉t 

   ∙l

∉ x l

  ∉  ∉ x l



  4 ∉ D l n

∉t 

 

   lM l

Mqu qud dêý êým ms qu qum m fî fîa a cm cmpm pmfc fcm mg cd oaf oaftm tm   Ds aut autrd rds s cu cuds ds mq mqud udêý êýms ms qu qum m fî fîa a

cmpmfcmg cd oaftm, pacmg smr msnrltds naga t  ,     t ,     t  ,      0

afcm a tmfsar cm tmrnmlrd arcmg ì cmolflca naga t  ,   

  ∉ O   ∉ x 



 ∉ ∉ x 

∉ D    ∉ D  ∙ ∉ x  ∉ x 

Mqudêîa cd naftlfulcdcm 

  D ds dsslgm slgmtrld trld cm   O     bmvd clrmtdgmftm à mqudêîa cd naftlfulcdcm ndrjd-narrmftm. Cm odta, smhd d mqudêîa

∉ O   ∉ x  



  h n

  Sagdfca d 3-clvmrjèfnld, 3-clvmrjèfnld,

∉ ∉ x  m nafslcmrdfca qum

 ∉ O  ∉ x 



  ∉  h  ∉ x  n

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

43

 

∉ ∉ x 

∉ O   ∉ x 



 4 9

∉ O    ∉ ∉ O  ∙ ∉ ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x 



 4 9

∉ O    ∉ ∉ O  ∙ ∉ ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x 

 0

mfnaftrd-sm

∉  h  ∉ x  n

   0

Bdjrdfjmdfd m Edglbtafldfd 

  Fîa eä gultds gdfmlrd gdfmlrd cm nafstrulr nafstrulr ugd Bdjr Bdjrdfjm dfjmdfd dfd msndbdr msndbdr cm ug tmfsa tmfsarr cm ndgpa.  Hä sdimgas qum ∉ O   ∉ x 





  h n

  D Bdjrdfj Bdjrdfjmdfd mdfd qum pranu pranurdga rdgas s cmvm cmsnrmvmr cmsnrmvmr as ndgp ndgpas as m fîa d narrm narrmftm, ftm, a qum mblglfd d passlilblcdcm cm dpdrmnmr ds cmrlvdcds cm  O  .



  Par autra bdca,  B    fîa pacm cmpmfcmr mxpblnltdgmftm cds naarcmfdcds x  .



  D øflnd cmfslc cmfslcdcm dcm msndb msndbdr dr qum pacm smr nafs nafstruçc truçcd d ca tmfsa tmfsarr cm ndgp ndgpa, a, mfvabv mfvabvm m d naftrdêîa 9 9  O   O        9|I | ∙  | M | 



  Naga fa ndsa ca ndgpa ndgpa msnd msndbdr, bdr, prmnls prmnlsdgas dgas dclnl dclnlafdr afdr ug tmrga cm lftmrdêîa lftmrdêîa nag d oaftm    h  .  A tmrga msndbdr gdls slgpbms qum pacmgas msnrmvmr ì  h  D  .



  Mftîa, d cmfsl cmfslcdcm cdcm Bdjrdfj Bdjrdfjmdfd mdfd qum sdtl sdtlsodz sodz mssds nafcl nafclêýms êýms ì B        ∙   4  O  O     

3

  h  D  n

afcm ndcd nagpafmftm cm  D   cmvm smr trdtdcd naga ug ndgpa lfcmpmfcmftm . Mqudêîa cm Mubm Mqudêîa Mubmr-Bdjrd r-Bdjrdfjm fjm   ]sdfca mssd cmfslcdcm Bdjrdfjmdf Bdjrdfjmdfd d fd mqudêîa cm

M-B,

∉ ∉ x 

∉B      ∙   ∉B       0 ∉ D  ∉∉ D  /∉ x  

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

4=

 

afcm B     

∙   4  O  O      3

  h  D   4 n    ∙ 3

∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 

∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 



  h  D  n

 Dsslg,

∉B         ∙   4 ∉ 3 ∉ D  /∉ x  ∉∉ D  /∉ x  

∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 

∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 

 ∙   4

  D  ∙   ∉ D  ∉ D  ∙   ∉ D  ∉ D     ∉ D  ∉ D  ∉∉ D ∉  x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉  4  ∙ 9 ∉ D  ∉ D  ∙  9  ∉ D  ∉ D  3 ∉ D  /∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ D  ∉ D  ∙   ∉ ∉ D  ∉ D    ∉  4    ∙  9 3 ∉ D  /∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ D  /∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ D     ∉ D     ∙    ∉ D  ∙    ∉ D   4    ∙  9         3 ∉ x  ∉ x      ∉ x  ∉ x    4   ∉ D     ∉ D  ∙   ∉ D  ∙   ∉ D     ∙  9 3 ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x    4   ∉ D  ∙   ∉ D     ∙ O     ∙  3  3 ∉ x  ∉ x 

3 ∉ D ∉/∉ x 

   O  

m

∉B       ∉  h  D    n ∉ D  ∉ D 



  h   h       n  n

Partdfta,  h  ∉B    ∙   ∉B       0      ∉ O  ∙ n      0 ∉ x  ∉ D  ∉ x 

au

∉ O   ∉ x 



  h n

Fatm qum, nag mstd Bdjrdfjmdfd, ds mqudêýms cm Mubmr-Bdjrdfjm cîa cm vabtd ds mqudêýms cm Gdxwmbb, a qum hustlolnd d msnabed cd cmfslcdcm Bdjrdfjmdfd. Cmfslc fslcd dcm Edglbta glbtafld fldfd fd cm nd ndgpa gpa blvrm   Fd rm rmjl jlîa îa afcm afcm   fîa fîa mx mxls lstm tm oa oaft ftm m,

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf  

Gmnéflnd Tuéftlnd I

4?

 h       0 ,  pacmgas cmolflr d cmfslcdcm Edglbtafldfd, mg dfdbajld nag a ndsa cd narcd,

  ∉B     ∙  B,  , au smhd, E          ̊ ∉̊

E      

  ∉B    ∉ D  ∙  B    ∉∉ D  /∉ x 3  ∉ x 3

nafslcmrdfca   B      ∙  4  O  O   .  Hä ndbnubdgas

3

∉B         O   ∉∉ D  /∉ x   Mftîa E      

  ∉B    ∉ D  ∙  B        O 3 ∉ D  ∙  B        O 3 ∉ D  ∉ x 3 ∉ x 3 ∉∉ D  /∉ x 3  ∉ x 3



  4  O  O   3

Gds naga

  ∉ D    ∉ D    ∉ D   O     ∉ x  ∙ ∉ x   ∉ x 

  ∉ D   ∉ x  ∙  O 

Baja, E          O 3

∉ D 3 ∙ O  3 ∉ x 

  

∉ D 3   4  O  O        ∙ O 3 O 3     O 3 3 ∉ x 



  4  O  O   3

Cm dnarca nag d cmolflêîa cm   O   ,   O 3      ∙lM   m mftîa E          ∙ O 3 O 3     O 3

∉ D 3 ∉ x 



∉ D 3 9   4  O  O        |M |   O 3 3 ∉ x 



  4   |M | 9  |I | 9       lM   ∉ l  9 ∉ x 



  4   |M | 9  | I | 9     O 3 ∉ D 3 9 ∉ x 





  4   |M | 9  | I | 9  ∙  M  h h ∉ 9 ∉ x h

  4   |M | 9  |I | 9  ∙  M     ∊  9



  4   |I | 9 ∙  |M | 9  9

Mftîa  E   

  E      c   x      49   |M | >

9

  | I |

9

 c > x ∙

 M    ∊  c   x >

 

Lftmjrdfca par pdrtms a smjufca tmrga ca smjufca gmgira, dpdrmnm a tmrga  ∊    M   0 (mspdêa blvrm) m   M   m      dfubdg-sm rdplcdgmftm fa lfolflta (d lftmjrdêîa ì mg taca a mspdêa). Baja,

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

 

 E      4

  |M | 9

9

 | I |

9

4:

  c > x

qum ì a rmsubtdca mspmrdca pdrd d mfmrjld ca ndgpa mbmtragdjfìtlna (Bmgirm-sm cds uflcdcms. Ndsa qumlrd  E  fa NJ^   M , I   ↙   4  M , I . ) 3

Lfvdrléfnld par trdfsoargdêýms cm jdujm (au cm ndblirm) 

  Na Nag g d prm prmsnr snrlêî lêîa a cm qum ndcd ndcd nagpa nagpafmf fmftm tm cm   D    cmvm smr trdtdcd naga ug ndgpa lfcmpmfcmftm, mstdgas fd vmrcdcm nafstrulfca ugd tmarld pdrd ndgpa vmtarldb  D   m fîa pdrd a ndgpa  O  .



  A patmfnl patmfnldb db vmtarld vmtarldb, b, naga ds odsm odsms s fds oufêý oufêýms ms cm afcd mg gmnéfl gmnéflnd nd quéftl quéftlnd, nd, fîa sîa qudftlcdcms aismrvävmls clrmtdgmftm, mgiard suds slgmtrlds a smhdg.



  _d _dga gas s us usdr dr ms mstd td sl slgm gmtr trld ld (l (lfv fvdr drlé léfn fnld ld par par jd jduj ujm m au nd ndbl blir irm) m) pd pdrd rd sl slgp gpbl blol olnd ndr  r  mssds mqudêýms.



  D oargd nav navdrldftm drldftm cds mqudêýms c cm m Gdxwmbb, Gdxwmbb,

∉ O   ∉ x 



  h   ∉ D    ,   afcm  O      n ∉ x 

∙

  ∉ D  ∉ x 

pacm smr rmmsnrltd naga

∉ ∉ x 

∉ D  ∙   ∉ D  ∉ x  ∉ x 



  h n

au

∉ ∉ D  ∙   ∉ ∉ D  ∉ x  ∉ x  ∉ x  ∉ x 

 ∙

 h  n 

  ∉ ∉ D  ∙   ∉ ∉ x  ∉ x  ∉ x 

∉ D  ∉ x 

 ∙

 h  n

Naga,

∉ ∉ D  ∉ x  ∉ x  baja,



  ∉ 9      ∉ 9      ∉ 9      ∉ 9   D       ∊ 9 ∙   4 ∉ 9   D        D  n 9 ∉t  ∉ x 94 ∉ x 99 ∉ x 9> ∉ x 93

Prao. Dirdedg Gaysìs Naemf

Gmnéflnd Tuéftlnd I

45

 

∉ O   ∉ x 



  h  ∉ n     D   ∙ ∉ x 

Ymcmolflfca a vmtar   D    _dga _dgas s supa suparr qum

∉ D  ∉ x 

 ∙

 h n

  ∉ D  ≠   0.   Pacmgas rmcmolflr a vmtar   D  ∉ x 

smg gaclolndr a tmfsar   O   ,  cd smjulftm gdfmlrd fava

 D 

dft

   D



  ∉ ∉ x 

afcm dft  D   ∉       ∙ ∉ x 

Mftîa

∉ D fava   x 

∉



  ∉ D dft   x 

∉



 ∉

∉

∉

∉

 x 

 x 



  ∉ D fava   x 



∉

  ∉ D dft   x 

      

  ∉ D dft 

∉

 x 

∉

∙

  ∉ D dft   x 

 0

∉

Baja, smgprm ì passçvmb mfnaftrdr ugd nafclêîa qum sdtlsodêd

∉ D  ∉ x 

 0

nafemnlcd naga   nafclêîa cm Barmftz. Ds mqudêýms cm Gdxwmbb, nag d nafclêîa cm Barmftz, tarfdg-sm  D 

 ∉  ∙ ∉ x 

∉ D  ∉ x 



 h 

 ∙ n

    D    

 h

 ∙ n