4 Matematika 3 Transformasi Linier_3

Matematika Lanjut 1 Vektor Matriks dan Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier Bidang Datar dan Garis Lurus

Dr. D. L. Crispina Pardede, Dra., DEA. 1

Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, GhaliaIndonesia, Jakarta, 1995. [2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991. [3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968. 2

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

TRANSFORMASI LINIER 1. 2. 3. 4.

3

Pengertian Transformasi Transformasi Vektor Linier Matriks dan Transformasi Vektor Linier Produk Transformasi

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

TRANSFORMASI Misalkan A, B masing-masing ruang vektor atas field.

A X1 X2 X3

f

B Y1 Y2

Fungsi f merupakan transformasi (pemetaan/mapping) dari A (Rn) ke B (Rn). A disebut Domain dan B disebut Codomain 4

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Contoh

1. Diketahui transformasi T : R3
R3 dengan rumus transformasi T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ] untuk setiap [x1, x2, x3] ∈ R3. Vektor u = [2, 1, -1] akan ditransformasikan oleh T . 5

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Contoh

T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ] T[2, 1, -1] = …? x1 = 2 , x2 = 1 , x3 = -1 T[2, 1, -1] = =

[ 2.2 – 1 , 1+(-1) , (-1)2 ] [3 , 0 , 1]

Vektor [3, 0, 1] disebut peta dari vektor [2, 1, -1] . Vektor [2, 1, -1] disebut prapeta dari vektor [3, 0, 1] . 6

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Contoh

2. Diketahui transformasi T : R2
R1 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1 + x2 ] untuk setiap [x1, x2] ∈ R2. Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan [3, -1].

7

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Contoh

3. Diketahui transformasi T : R2
R3 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1, x1 + x2 , x2] untuk setiap [x1, x2] ∈ R2. Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan [3, -1].

8

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

TRANSFORMASI LINIER Transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, T: V
W disebut Transformasi Linier bila dipenuhi: i). ∀ v1, v2 ∈ V berlaku T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2) ii). ∀ v ∈ V dan k skalar berlaku T(k(v)) = k T(v).

9

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

… Contoh

Transformasi Linier 1. Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1] Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d] v1 + v2 = [ a+c , b+d ]


10

T(v1 + v2) = T [ a+c , b+d ] = [a+c+b+d, a+c] = [a+b+c+d, a+c] T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c]

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

… Contoh

Transformasi Linier

Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1] Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d] T(v1) = T[a, b] = [a+b, a] T(v2) = T[c, d] = [c+d, c] T(v1)+ T(v2) = [a+b, a] + [c+d, c] = [a+b+c+d, a+c] T(v1)+ T(v2) = [a+b+c+d, a+c] T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c] ∴ T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2). 11

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

… Contoh

Transformasi Linier 2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2] Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

Selidiki apakah T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)

12

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Linier

… Contoh

2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2] Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d] v1 + v2 = [ a+c , b+d ]


T(v1 + v2) = [(a+c)2 , b+d] = [ a2 +2ac+c2 , b+d ] T(v1 + v2) = [a2 +2ac+c2 , b+d ]




T(v1) = [a2, b] T(v2) = [c2, d] T(v1)+ T(v2) = [a2, b] + [c2, d] = [a2 + c2 , b+d ] T(v1)+ T(v2) = [ a2 + c2 , b+d ] ∴ T(v1 + v2) ≠ T(v1)+ T(v2).

13

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

… Contoh

Transformasi Linier 3. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2] Misalkan pula v = [a, b] , k : sebuah skalar. Akan diperiksa apakah T(k(v)) = k T(v).

14

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

… Contoh

Transformasi Linier Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2] v = [a, b] , k : sebuah skalar. k(v) = [ ka, kb ] T(k(v)) = [ (ka)2, kb ] = [ k2 a2, kb ] T(k(v)) = [ k2 a2, kb ] T(v) = [ a2 , b ] k T(v) = k [ a2 , b ] = [ ka2 , kb ]

k T(v) = [ ka2 , kb ] ∴ T(k(v)) ≠ k T(v). 15

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Linier

… Contoh

4. Buktikan bahwa transformasi T adalah transformasi linier. T[x1, x2] = [x2, x1]. Bukti: Untuk sembarang u , v akan ditunjukkan bahwa i). T(u + v) = T(u) + T(v) ii). T(ku) = k T(u)

16

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Linier

… Contoh

Bukti: Misalkan u = [a, b] dan v = [c, d]
(u + v) = [a+c, b+d]
T[a+c, b+d] = [b+d, a+c] = [b, a]+[d, c] = T[a, b] + T[c, d]
T(u + v) = T(u) + T(v)


T(k [a, b]) = T[ka, kb] = [kb, ka] = k [b, a] = k T[a, b]
T(ku) = k T(u)

∴ Terbukti bahwa T[x1, x2] = [x2, x1] transformasi linier. 17

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Linier

… Contoh

1 2  x adalah transformasi linier. 5. Transformasi y =  3 4

Misalkan Peta dari

 3 2 x1 =   dan x 2 =   .  2  − 1  1 2  3   7    =   . x1 adalah y1 =   3 4  2  17 

 1 2  2   0    =   Peta dari x2 adalah y 2 =   3 4  − 1   2   1 2  5   7    =   = y1 + y 2 Peta dari (x1 + x2) adalah y =   3 4  1  19   1 2  9   21   3 9   =   = 3 y1 Peta dari 3 x1 = 3  =   adalah y 3 =   2 6  3 4  6   51  18

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Latihan

Selidiki apakah transformasi berikut merupakan transformasi linier: 1. T: R3
R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0] 2. T: R2
R2 , T[x, y] = [x+1, y+2] 3. T: R2
R , T[x, y] = xy 4. T: R2
R2 , T[x, y] = [x, y+1] 5. T: R3
R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z] 6. T: R
R2 , T(x) = [2x, 3x].

19

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

TRANSFORMASI & MATRIKS Pandang T: Rn
Rm suatu transformasi linier. {ei}, i = 1, 2, …, n, basis natural dari Rn. {εi}, i = 1, 2, …, m, basis natural dari Rm. T(e1), T(e2), …, T(en) adalah vektor-vektor di Rm yang merupakan kombinasi linier dari {εi} . Misalkan: T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm. T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm. :

T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm.  T(e1 )   a11     T(e 2 )   a12  M = M     T(e )   a m    1n 20

a 21 ... a m1   ε 1    a 22 ... a m 2   ε 2  M M  M    a 2 n ... a mn   ε m  D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks  T(e1 )   a11 a 21 ... a m1   ε 1        T(e 2 )   a12 a 22 ... a m 2   ε 2   M = M M M  M        T(e )   a  ε  a ... a m  m2 mn   m    m1

Matriks Koefisien

Transpose dari matriks koefisien di atas disebut matriks representasi dari transformasi linier T, atau disebut juga matriks transformasi dari T, relatif terhadap basis natural {ei} dan {εi}.  a11 a12 ... a1n   
Matriks Transformasi a ... a  a 21

22

2n

 M M M    a  a ... a m2 mn   m1

21

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

1. Diketahui transformasi T: R3
R3, dimana T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ]. Tentukan matriks transformasi T dan peta dari [2, 6, 3].

22

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks 1. Jawab:

… Contoh

T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ].

T(e1) = T[1, 0, 0] = [1, 0, 1] = 1 e1 + 0 e2 + 1 e3. T(e2) = T[0, 1, 0] = [0, 2, 0] = 0 e1 + 2 e2 + 0 e3. T(e3) = T[0, 0, 1] = [0, 0, 1] = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3. 1 0 1   Matriks koefisien =  0 2 0  0 0 1   1 0 0   ∴ Matriks Transformasi =  0 2 0  1 0 1   23

T[2, 6, 3] = ……

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks T[2, 6, 3] = ……

… Contoh

1 0 0  2  2       T[2, 6, 3] =  0 2 0   6  = 12  1 0 1  3  5      

∴ T[2, 6, 3] = [2, 12, 5] 2. Diketahui T: R2
R2 dimana

T[2, 1] = [5, -2] T[-1, 1] = [-1, 1]

Tentukan rumus transformasinya.

24

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

2. Jawab: T[2, 1] = 2 T[1, 0] + 1 T[0, 1] T[-1, 1] = -1 T[1, 0] + 1 T[0, 1] 2 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [5, -2] -1 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [-1, 1] Dari (1) & (2) diperoleh 3 T[1, 0] = [6, -3] T[1, 0] = [2, -1] T[0, 1] = [1, 0] Matriks transformasi : 25

…(1) …(2)

 2 1    −1 0  D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

 2 1 2. Matriks transformasi :    −1 0 

Mencari rumus transformasi:  x1   2 1   x1   2 x1 + x 2      =  T   =   x 2   − 1 0   x 2   − x1 

∴ T[x1, x2] = [ 2x1 + x2 , -x1 ]

26

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

3. Carilah matriks transformasi linier T di R2, dimana T[x1, x2] = [ 2x2 , 3x1 – x2 ]. relatif terhadap basis natural {e1 , e2}. Jawab: Langkah pertama adalah transformasikan vektor-vektor basis natural tersebut. T(e1) = T[1, 0] = T(e2) = T[0, 1] = Bentuk matriks transformasinya:

27

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

4. Carilah matriks transformasi linier T di R2, dimana T[x1, x2] = [ 3x1 - 4x2 , x1 + 5x2 ]. relatif terhadap basis natural {e1 , e2}. Jawab: ……. ……… ……………

28

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi & Matriks

… Contoh

5. Cari vektor x yang dipetakan pada vektor y = [5, 3] oleh transformasi Misalkan x = [a, b].

1 2  x y =  3 4  5 1 2  a    =      3  3 4   b 

Selesaikan sebagai SPL.

29

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi

… Latihan

Berikan matriks dari transformasi berikut: 1. T: R3
R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0] 2. T: R2
R2 , T[x, y] = [x+1, y+2] 3. T: R2
R , T[x, y] = xy 4. T: R2
R2 , T[x, y] = [x, y+1] 5. T: R3
R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z] 6. T: R
R2 , T(x) = [2x, 3x]. 30

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

PRODUK TRANSFORMASI Pandang 2 buah transformasi S dan T dimana S: Vn
Wr dan T: Wr
Um , dengan A matriks transformasi S dan B matriks transformasi T .

v∈V ∈ n

S

w∈Wr

T

u∈U ∈ m

TS TS merupakan produk transformasi. Matriks transformasi dari TS adalah BA 31

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Produk Transformasi

… Contoh

Diketahui: T: R3
R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan S: R3
R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + z] Tentukan produk transformasi ST, matriks transformasinya dan peta dari vektor [1, 0, 2]. 32

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Produk Transformasi

… Contoh

Jawab: T: R3
R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan S: R3
R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z] Produk transformasi ST : ST[x, y, z] = = S(T[x, y, z]) = S([2y + z, 3x + y + z, y]) = [2(2y+z)+(3x+y+z)+(y),(2y + z)+(y) , 2(2y+z)+(3x+y+z)+2(y) ] =[

3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ]

∴ ST = [ 3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ] 33

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Produk Transformasi

… Contoh

Jawab: T: R3
R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan S: R3
R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z] Misalkan A matriks transformasi S dan B dari T. 0 2 1   A = 3 1 1 0 1 0  

2 1 1   B = 1 0 1  2 1 2  

Matriks transformasi dari ST adalah matriks BA:  2 1 1   0 2 1   3 6 3      BA =  1 0 1   3 1 1  =  0 3 1   2 1 2   0 1 0   3 7 3     

34

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Produk Transformasi

… Contoh

Jawab: T: R3
R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan S: R3
R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z] Peta dari vektor [1, 0, 2].

 1   3 6 3  1   9         (BA) 0  =  0 3 1   0  =  2   2   3 7 3  2   9         Peta dari [1, 0, 2] adalah [9, 2, 9].

35

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Produk Transformasi

… Latihan

Diketahui: Transformasi linier T1[x1, x2, x3] = [ 2x1+3x2+x3, 5x1+x3, x2+x3 ] dan T2[x1, x2, x3] = [ x1 , x2+x3 , x1 ] Tentukan: 1. Matriks transformasi dari T1 dan T2 2. Produk transformasi T2T1 dan matriksnya. 3. Peta dari vektor [1, 1, 0]. Jelaskan jawaban Anda. 36

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

TRANSFORMASI INVERS Misalkan T suatu transformasi linier di Rn. Misalkan pula A adalah matriks transformasi T, dimana rank(A) = n. Jika rank(A)= n, maka setiap vektor di Rn menjadi peta dan setiap dua vektor berbeda memiliki peta yang berbeda. Jika x ∈ Rn, maka petanya adalah y = Ax …(1) Pandang transformasi linier U dengan matriks transformasi B berordo n, sedemikian hingga x = By …(2)

37

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Invers (2) Untuk x sembarang, x = By x = BAx
BA = I dimana I adalah matriks transformasi identitas (1) Untuk y sembarang, y = Ax y = ABy
AB = I dimana I adalah transformasi identitas A adalah matriks transformasi dari T, B adalah matriks invers dari A, B adalah matriks transformasi dari U, maka U disebut transformasi invers dari transformasi T, ditulis T-1 = U, dan sebaliknya. 38

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Invers

39




Matriks dari invers sebuah transformasi T diperoleh dengan mencari invers dari matriks transformasi T tsb.




Transformasi T di Rn memiliki invers, jika rank matriks transformasinya sama dengan n.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Transformasi Invers

… Latihan

1. Diketahui T : R3
R3, dimana T[x1, x2, x3] = [ 2x1 , 4x1 – x2 , 2x1 + 3x2 - x3 ] a. Tunjukkan bahwa transformasi T memiliki invers. b. Berikan rumus dari transformasi invers tersebut. (Rumus dari T-1). 2. Vektor y = [2, 0, 1] adalah peta dari vektor x melalui suatu transormasi y = Ax. Tentukan vektor x tersebut bila diketahui 1 0 1    A =  1 0 − 1 0 1 0   

40

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)