4 Integracion+Por+Partes+ Metodo+Tabular+Para+IP

 

Lcdo Eliezer Montoya

Integracion por partes

Métodos y técnicas de integración

El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por  partes veamos de donde surge surge y algunos ejemplos propuestos ( 2º ) Método de Integración por partes:

∫ u.dv = u.v −  ∫ v.du  

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada de un producto de funciones. Veamos:  Veamos:  

Es conocida la dificultad que que encuentra el estudiante al aplicar la formula de

∫

∫

integración por partes  u.dv = u.v − v.du du  tal dificultad comienza con la elección las funciones u y v. Además se sabe que existen integrales que que no pueden pueden ser resueltas por partes como por ejemplo  x 2   x dx ; sin x 2 dx y e arcsin xdx ; e dx ; e− x dx ; sin 1 + x 4 dx    x Para ello se usa la palabra nemotécnica ILATE para la elección de u , donde donde : I: Funciones Inversas trigonométricas L: Funciones Logarítmicas A: Funciones Algebraicas T: Funciones Trigonométricas E: Funciones Exponenciales  se toma la primera función que que ocurra de izquierda a derecha en correspondencia correspondencia con la palabra ILATE, esta elección apoya la experiencia de lograr que la segunda integral sea más fácil

∫

 x

∫

∫

∫

∫

∫

Veamos ahora algunos ejemplos de integración p por or partes, tomados tomados de los ejercicios propuestos por Louis Lehithold en el capítulo 7.1; apoyándonos del

1

 

Lcdo Eliezer Montoya

Integracion por partes

trabajo realizado por el profesor Luís Beltrán en su solucionario del libro; evalúe la integral indefinida. Verifique la respuesta mediante diferenciación.

∫

2 .  x. c o s x.dx (♣) Solución. Elie zerMo ntoya Sea: u = x 

⇒  d u = d x    (1) d v = cos  d x ⇒ v  = s en x 

∫

∫

 

ap apli lica cando ndo la fór fórmul mulaa de integ integra raci ció n p o r p a rte s; u .d v = u .v − v.d u , c o n lo s d a to s d e ( 1 ) e n (♣) s e ob o btin e: senx nx dx = x.se nx + c o s x + c ∫ x. cos x.dx = x.se nx − ∫ se ⇒ ∫ x. c o s x.dx = x.s e nx + c os x + c

V er erif ic ica c íó n  F ´( x ) = f ( x ) d  dx

senx nx +  x. co s x − senx  se nx ( x.se nx + co s x + c ) = se

= x. c o s x

2

 

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Integracion por partes

3

 

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∫

Integracion por partes

 x

4.  x.3 dx Eliezer er Montoya Solución:Eliez

∫ x.3 dx  x

(♣)

Sea: u

u = x  ⇒ d u = dx dx  

a  +c a u du =  ∫  x ln a 1 que ( ) r re e c u e r d e :  3  x dv = 3  dx ⇒ v  = u u    ln 3  ∫ e du = e + c

∫

∫

Aplican Apl icando do la la fórmul fórmulaa de integ integrac ración ión por part partes, es, u.dv = u.vu.v- v.du con los datos de (1) een n (♣) ssee obt obtie iene ne:: 3 x

3x

3x

1

3x

3 x

∫ x.3 dx = x. ln 3 − ∫ ln 3dx = x. ln 3 − ln 3 ( ∫ 3 dx ) = x. ln 3 − (ln 3)  x

∫

3 x

 x

∴  x.3 dx = x.

ln 3

−

3x (ln 3) 2

x

2

+ C 

+ C 

Verificación :   3x x.3x ln 3 3 x ln 3  d  3 x 3x  x C 0 − + = + − +  x.    = x.3 2 2 d   x  ln 3 (ln 3) ln 3 (ln 3)   ln 3 

 

∫

5 . ln 5 xd  xdxx  El ieze Solución :  Elie zerr Mo nt ntoy oy a  xdxx (♣) ∫ ln 5 xd Sea Se a: u = ln  5 x ⇒ d u = d v = d x ⇒

( 5 x ) ´ 5 x

dx =

dx x

 (1) r e c u e r d e q u e : D x (l (ln t )  =

∫ d  v = ∫ d  x ⇒ v  = x + c

 D x t 

∫

t 

∫

a pl pl i c a n nd d o l a f o rrm m ul ul a d e i n t e g rra a ccii ó n p o orr pa pa rrtt e s : u d dvv = u .v − v d u,

 

c o n l o s d a tto o s d e (1) e n (♣) s e o b t ie n e : dx

 xdxx = (ln 5 x ) x − ∫ x. ∫ ln 5 xd  x ∴ ∫ ln 5 xdx  xd x = x ln 5 x − x + c

∫

dx = x. ln 5 x − dx = x ln 5 x − x + c

Veri fi  fica caci ció ón :  D x ( x ln ln 5 x − x + c ) = ln 5 x + x.( 5 / 5 x ) − 1 + 0 = ln 5 x + 1 − 1 = ln 5 x

4

 

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Integracion por partes

5

 

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Integracion por partes

(ln t ) 2

∫

7.

dt  = t  Solución:-Eliez Eliezer er Monto Montoya ya (ln t ) 2 t  dt = Usando Usa ndo sustituc sustitución ión o cam cambio bio devari devariab able: le:

∫

dt 

u = ln  t ⇒ du d u =

∫

no noss qu queeda: ∴

(ln t )

∫

t 

(ln t ) 2 t 

2

d t =

1

t  3 Verificación:

∫

2

dt = u .du =

u3 3

+C =

1 3

(ln t )3 + C  

(ln t )3 + C 

2 d 1 1 3−1 d  2 1   (ln t ) 3 ( (ln t ) + C ) = 3 ( ln t ) . (ln t ) + 0 = (ln t ) . = d  3  x 3 dx t t     Veamos otra forma de resolver el problema número 7 usando integración por  partes.

7.

∫

( l n t )

2

d t  =

t 

S o l u c i ó n : − E l ie z e r M o n t o y a

∫

( ln t )

2

∫

dt =

t

( l n t ) . ( l n t ) t 

d t ( ♣  )

u s em e m o s in t e g rra a ccii ó ón n p o r p a r te   s d t 

u = ln  t ⇒ d  u = ln t

dv =

∫  ddvv = ∫

  dt ⇒

t

t  ln t

  d t ⇒ v  =

t 

∫

   (1 ) 2 2 w   (ln t ) w dw = + c + c = 2 2 

a p li l i ca c a n d o l a f o rrm m u l a d e i n t e g rra a c ió i ó n  p o r p a r te s :

∫ ud v = u v − ∫ vdu

c o n lo s d a att o s d e (1 ) e n ( ♣ ) s e o b btt i e n e :

∫

( ln t ) 2

( ln t ) 2

d t = ln t .

t

−

2

∫

(ln t ) 2 d t 2

t

( ln t ) 3

=

2

−

1 2

∫

( ln t ) 2   dt t 

 

 s i p a s a m o s a l p r im e r m ie m b r o e l in t e g r a n d o

⇒

∫

⇒

3 2

∫

⇒ ∴

∫

( ln t )2  

t

∫

( ln t ) t 

( l n t ) t 

( l n t ) 2 t 

1

dt +

2

2

dt =

2

t 

( l n t )

3

1 3

( l n t ) 3 2

+C

 

 

+ C 

2 2

dt =

3

2 ( l n t )

d t = dt =

∫

( ln t ) 2

3

+ C =

( ln t ) 3 + C

1 3

3

(ln t ) + C

 

 

6

 

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Integracion por partes

∫

8 .  x . s e c 2 x d x  s o l u c i ó n :

∫  x . s e c

2

x d x (♣ )

Sea : u = x  ⇒ d  u = d x    (1 )  d v = s e c 2  x d x ⇒ v  = t a n x  a p l i c a n d o l a f o r m u la l a d e i n t e g r a ci cio n p o r p a rte s,

∫ u dv

= uv −

∫ v du ,

c o n l o s d a tto o s d e (1 ) e n ( ♣ ) s e o b ttii e n e :

∫  x . s e c

2

x d x = x ta n x − s i n  x

∫ ta n

⇒

∫ t a n  x d x = ∫ c o s  x d x ⇒

⇒

∫ t a n   x d x

xdx =

t = cos x   d t   d t = − s e n x d x  ⇒    − ∫ t  = − ln t + C   

= − ln c o s x + C = ln c o s x

−1

+ C = l n s e c x + C 

luego :

∫  x . s e c

2

x d x = x . t a n x − l n s e c  x + c

verificación :

 

d s e c x . ttaa n x − + c ) = tan x + x sec 2 x − + 0 = x.sec 2 x d x ( x . t a n x l n s e c x s e c x

7

 

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Integracion por partes

∫

10. ln( x 2 + 1) dx Solución :

∫ 

∫

1)) dx = u.v − vdu  Aplicando int egración por partes en : ln( x 2 + 1 

(1)

dv

u

2 x   u = ln( x 2 + 1 ) ⇒ d  u = 2 dx   ( x + 1) tenemos que :    dv = dx  ⇒  v=x    

( 2)

 sustituyendo ( 2) en (1)

∫ ln( x

2

2

+ 1) dx = x. ln( x + 1) − 2

 x 2

∫ ( x

2

+ 1)

dx + c1

(3)

resolviendo el segundo miembro de (3) 2

 x 2

∫ ( x

2

+ 1)

 ∫

dx = 2  1 −

 −1 dx = 2 x − 2 tan x + c2 x +1 1

2

2

 x 2

2

2

−1

⇒ ln ( x + 1)dx = x. ln( x + 1) − 2  x 2 + 1 dx = x. ln( x + 1) − 2 x + 2 tan

∫ ∴ ∫ ln ( x

∫

2

2

x + C 

−1

+ 1)dx = x. ln( x + 1) − 2 x + 2 tan  x + C 

Verificación : 2 x 2 −2+ 2 +0=  D x ( x. ln( x 2 + 1) − 2 x + 2 tan −1 x + C ) = ln( x 2 + 1) + x. 2  x + 1 x +1 2

= ln( x + 1) +

2 x 2 2

 x + 1

−

2x2 − 2 + 2 2

x +1

2

= ln( x + 1)

 

8

 

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Integracion por partes

El método Tabular:

Muchas veces nos vemos obligado a repetir varias veces el método de integración  por partes, para esto es mucho mejor utilizar un atajo conocido como el método Tabular .Para ver como este método trabaja suponga que u y v son funciones y considere la tabla: u

v

derivada de u → u1

v1 ← antiderivada de v

derivada de u1 → u2

v2 ← antiderivada de v1







derivada de un −1 → un

vn ← antiderivada de vn −1

derivada de un → un +1

vn +1 ← antiderivada de vn

 

Multiplique cada función –en forma horizontal- la primera columna por la función correspondientecomience en la segunda el signo de cada dos productos (alternándolos con +columna, luego – ycambie asi sucesivamente) y agregue los términos resultantes para obtener una suma S :  p  or

u

( +  )

v

+ uv

u1

 p  or

v1

u2

 p  or

v2

( +  )

+ u 2v2

u

p  or

v3

( −  )

+ u 3v3

3

 un u n +1

( −  )

  p  or

− u 1v1

 

 vn

 p o r 

( ∓  )

∓ u nvn S  ← s u m a

v n +1

 el principio de inducción matemática El mismo puede ser probado usando

∫ udv = u.v − u v + u v dv ∫ udv = S ± ∫ u dv 1 1

n +1

2 2

∫

− u3 v3 + ... ± un +1dv d vn +1

 

n +1

Donde el signo signo más (+) es usado si n  es impar y menos (-) si n es par. ** Si u es un polinomio de grado n , entonces la (n+1)derivada de u es cero , por lo tanto , u n+1  nos produciría la formula simple: n+1  = 0 y el método tabular nos

∫ udv = S + C     Donde C es la constante de integración.

9

 

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Integracion por partes

Visualiza los 4 casos, cuando podemos usar este método: (B) Integrales de la forma (A) Integrales de la forma

∫

∫

4. e ax sin bxdx

1.  pn ( x) sin axdx

5. e cos bxdx

2.  p ( x) cos axdx

∫∫

n

3.  pn ( x)eax dx

 

ax

 

donde don de pn ( x) es un p polin olinomi omio o de grado n Usando la palabra “ILATE” se hace u = P n (x) en todas estas integrales,  pues es la función Algebraica. La derivada de (n+1)-ésima de u es 0.

∫ Para este caso usando la palabra ILATE  u= sin bx (cos bx), Como bx), Como puedes notar la derivada de u nunca podrá ser ser 0, para esto nos detendremos cuando el  producto de la diagonal diagonal sea igual al integrando, salvo el factor constante.

(C) Integrales de la forma

(D) Integrales de la forma

6. sin ax. cos bx dx

9.

∫ ∫   8.∫ cos ax. cosbxdx 7. sin ax.sin bx d dxx

dond dondee a ≠ b  Estos casos se tratan de la misma manera que el caso B , u puede ser cualquiera de las dos funciones f unciones seno o coseno, como u nunca u nunca podrá ser 0,  para esto nos detendremos cuando el  producto de la diagonal diagonal sea igual al integrando, salvo el factor constante.  constante.  

∫

 pn ( x) r dx ( ax + b)

donde don de pn ( x) es un polin polinomi omio o  r no es un entero positivo. Igual que para el caso A considera u = dx  P n (x) y v = dv =   (ax + b) r 

∫

∫

∫

Ejemplo Nº 11 Use el método tabular para evaluar   ( 2 x 4 − 8 x3 )e −  3 x dx   Solución:

10

 

Lcdo Eliezer Montoya

∫ (2 x

4

3

− 8 x )e

−3 x

Integracion por partes

dx

Sea u = 2 x 4 − 8 x3 y dv = e −3 x dx

∫

∫

tenemos : ( 2 x 4 − 8 x3 )e−3 xdx d x = u.dv

 

 Por Sustitución     t = −3 x    1 1 1 de aqui v = ∫ dv = ∫ e − 3 x dx ⇒  d  t = − 3d x  ⇒   − ∫ et dt = − et + c0 = − e−3 x + c0 3 3 3  dt    − = dx   3 

∫

v= e

−3 x

1 − dx = − e 3 x + c0 3

( por ) 4

u = 2x − 8x

3

→

1

v=− e 3

(+) −3 x

( por )

u1 = u´= 8 x3 − 24 x2

→ ( por )

u2 = u1´= 24 x 2 − 48 x

→ ( por )

u3 = u2´= 48x − 48

→ ( por )

u4 = u3´=

→

48

( por )

u5 = u4´=

→

0

→

4

1

3

+ (2 x − 8 x )(− e

−3 x

3

)

(− )

v1 = 1 e−3 x 9 1 v2 = − e −3 x 27 1 v3 = e−3 x 81 1 −3 x v4 = − e 243 1 −3 x v5 = e 729

→

− (8 x3 − 24 x2 )( 1 e−3 x )

9

(+ )

→

2

+ (24 x − 48 x)(−

( −)

→

− (48 x − 48)(

(+)

→

+ (48)(−

1 243

1 81

1 27

e−3 x )

e−3 x )

e−3 x )

_____________________________________________  

S 

  Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado tenemos (2 x4 −8x3)e−3 xdx = S +C 

∫

1

1

1

1

⇒+(2 x4 −8x3)( )(− e−3 x ) −(8x3 −24x2)( )( e−3x) +(24x2 −48x)(− e−3x ) −(48x −48)( e−3x ) +(48)(− 3 8

9 27 8 8 16 16 16 16  2 8 ⇒  −  x4 + x3 − x3 + x2 − x2 + x − x+ − e−3 x +C  9 27 27 81  3 3 9 3 9

81

 2 16 16 32 32 ⇒  −  x4 + x3 + x2 + x + e−3 x +C  9 9 27 81    3  2 4 16 3 16 2 32 32 −3x 3 −3 x 4 ∴∫(2 x −8x )e dx =− x +  x + x + x + e +C  9 9 27 81    3  

11

1

e−3x ) +C  243

 

Lcdo Eliezer Montoya

∫ (6

Ejemplo Nº 11  11 

2

Integracion por partes

 x

+ 3 x + 5)e dx  

Solución: 2

 x

(6 x − 3 x + 5) e dx = 

    ∫com o u es un polinomio y dv

u

∫

∫

v = dv = e x dx = ex + c usan usando do el métod étodo o tabu tabula lar  r  ( por ) 2

u = 6 x − 3x + 5

(+)  x

→ ( por )

− (12 x − 3)( e )

(+ )  x

→

12

x

→

v1 = e

( por )

u2 = u1´=

x

+ (6 x − 3x + 5)(e )

(− )  x

→

u1 = u´= 12 x − 3

2

→

v=e

x

→

v2 = e

( por )

+ (12)(e )

( −)  x

u3 = u2´=

→

0

→

v3 = e

0  ____________  ______ ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ _________  ___ 

S    érminos de la columna obtenida S y simplificado tenemos tenemos   Sumando los ttérminos

3 x + 5) e dx = ∫ udv = S + C  ∫ (6 x−    2

 x



dv

u

2

 x

 x

x

= (6 x − 3 x + 5)e − (12 x − 3)e + 12e + C  =  6 x − 3 x + 5 − 12 x + 3 + 12  e + C  2

 x

2

 

 x

= 6 x − 15 x + 20 e + C 

∫

(

)

∴ (6 x − 3 x + 5)e dx = ( 6 x − 15 x + 20 ) e + C 

Ejemplo Nº 12

 x

2

∫5

4

2

 x

sinh 2 xdx  

Solución:

12

 

Lcdo Eliezer Montoya

∫ 5 x

4

Integracion por partes

sinh 2 xdx

u = 5 x 4 (es derivable)

∫

∫

v = dv = sinh 2 x dx =

1

cosh 2 x + c0

 

2 v1 = cosh 2 x = sinh 2 x + c1 2 4 Usemos el método tabular ( por ) 1 4 u = 5x v cosh 2 x = → 2 ( por ) 1 u1 = u´= 20 x3 → v1 = sinh 2 x 4 ( por ) 1 u2 = u1´= 60 x2 → v2 = 8 cosh 2 x ( por ) 1 u3 = u2´= 120 x → v3 = sinh 2 16 ( por ) 1 u4 = u3´= 120 → v4 = 32 cosh 2 x ( por ) 1 u5 = u4´= 0 → v5 = 64 sinh 2 x  

∫

∫5

4

1

1

( +)

→

4

1

5

2

2

+ (5x )( cosh 2 x) =

(−)

→ (+)

→ (−)

→ ( +)

→

3

1

x4 cosh 2 x 3

)( sinh 2 x) = −5 x si s inh 2 x − (20 x )(

4 15 2 1 )( cosh 2 x) = x 2 cosh 2 x + (60 x )( 8 2 1 15 − (120 x)( sinh 2 x) = − x sinh 2 x 16 2 1 15 + (120)( cosh 2 x) = cosh 2 x 32 4

( −)

_____________________________________________  

→

S 

sinh 2 xdx =  S + C

5

4 3 =  x cosh 2 x − 5x sinh 2 x +

15

x2 cosh 2 x −

15

x sinh 2 x +

15

cosh 2 x + C  2 2 2 4   5 4 3  3 3  2 =  x + 3x +  cosh 2 x − 5  x + x  sinh 2 x + C  2 2 2   2 12 x + 36 dx , este problema lo resolvemos utilizado repetidas Ejemplo Nro 13 5 3 x + 2 veces integración por partes Solución:

∫

13

 

Lcdo Eliezer Montoya

∫

12 x 2 + 36 5

3 x + 2

Integracion por partes

dx

u = 12 x + 3 6 ⇒ d u = 24 x dx 2

 Por sustitución

 t 3 x 2  =  +   1 dt 1 1 t4/5   5 4/5 dv = 5   t +c ⇒ v  = ∫ dv = ∫ 5   ⇒  d  t = 3dx   ⇒ ∫   1/ 5 = ∫ t −1 / 5 dt = +c= 3 3 3 4 / 5 1 2 t  3 x + 2 3x + 2  dt    = dx  3  dx

v=

∫

dx

dx 5

3 x + 2

=

5 12

(3 x + 2) 4 / 5 + c

  Usemos el método tabular  ____  __ ____ __ u n __ _____ ___ ___ ____ __ ____ ___ _ vn _____ __ ___ __ ____ _____ ___ _____ __ ___ __ ____ ____ ____ __ u n vn __ _____ ___ _____ __ ___ __  1 2 x 2 + 3 6

( por po r )

 2 4 x

(po por r)

24

(  por   po r )

5 12 25

(3 x + 2 ) 4 / 5

32 4 125 12 5

1360 8

(3 x + 2)14 / 5

(3 x + 2 ) 4 / 5

12

 (3 x + 2) 9 / 5

5

( + ) + (1 2 x 2 + 3 6 ) (− ) − ( 24 x ) ( + ) + (24)

25

(3 x + 2 ) 9 / 5

3 24 125

1 3 60 8

(3 x + 2)14 / 5

 _____ ____ _____ ____ _____ ____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ __ 

0

S 

érminos de la columna obtenida S y simplificado tenemos  Sumando los ttérminos 2

∫

12 x + 36

∫

152 x + 36 dx = 5 (12 x 2 + 36)(3x + 2) 4 / 5 − 24 x. 25 (3x + 2)9 / 5 + 24. 125 (3x + 2)14 / 5 + C = 12 324 13608 3 x + 2 50 125 2 4/5 = (5 x + 15)(3x + 2) − (3x + 2)14 / 5 + C  x(3 x + 2)9 / 5 + 27 567 50 125 2 4/5 = (5 x + 15)(3x + 2) − (3x + 2) 2 (3x + 2)4 / 5 + C  x(3 x + 2)(3x + 2) 4 / 5 + 27 567 50 125 4/5  2 2 = (3 x + 2) 5 x + 15 − (3 x + 2)  + C  x(3x + 2) + 27 567  

5

3 x + 2

dx = S+C  

2

50 2 100 125 2 500 500   2 5 x + 15 − 9 x − 27 x + 63  x + 189 x + 567  + C  200 9005  4 / 5 10 2 = (3 x + 2)   x − + C  x+ 189 567  7

= (3 x + 2)

4/5

 

14

 

 

Lcdo Eliezer Montoya

∫e

Ejemplo 14:

∫e

ax

ax

Integracion por partes

cos bxdx  

cos bxdx

como a ≠ b

 

Aqui: u = cos  bx ⇒ du d u = −b.sin bx PorSustitucióno PorSustitu Cam biode decióno Variable  Cambio  = t ax   1 t 1 t 1 ax ax v = ∫ dv = ∫e   dx ⇒   dt = adx   ⇒ ∫ e  dt = e = e   a a a  dt = dx   a   

Usemos el método tabular (como la derivadas de u no son cero nos detendremos cuando el producto de la diagonal sea igual al integrando, integrando, salvo el factor constante.) ( por) (+) 1 ax 1 ax 1 ax + (cos bx)( e ) = + e cos bx u = cos bx → v= e → a a a ( por) ( −) b ax 1 ax 1 ax 1 1 2 2 u = u´= −b.sin bx → v = a e → − (−b sin bx)( a e ) = + a2 e sin bx   u2 =

du1 dx

(+)



2

= − b cos bx

→

v2 = ?

 ____________  ______ __________ __________ ___________ ___________ ___________ __________ _______  __ 

S 

∫e

ax

1

e ax c o s b x +

b

∫

e a x s i n b x + v1 d u 1 + C   a a2 1 ax 1 ax b ax 2 = + e c o s b x + 2 e s in b x + ( 2 e ) ( − b c o s b x) + C   a a a

cos bxdx = +

∫

1

ax

ax

∫e

ax

2 cos bxdx + b 2 a

e

∫e

ax

2

e

sin b x −

b2

∫e

ax

b c o s bx bx ) + C   a a a  P a s a n d o a l p r im e r m ie m b r o , S u m a n d o t é r m i n o s s e m e j a n te s y s im p li f ic a n d o = +

cos bx +

b

2

b c o s b x = 1 e a x c o s b x + b2 e a x s i n b x + C   a a

 a 2 + b 2  ax b ax 1 ax   ∫ e c o s b x d x = e c o s b x + 2 e s in b x + C   2 a a  a   b ax  a2  1 ax  a2    a2 ax ∫ e c o s b x d x =  a 2 + b 2   a e c o s b x   +  a 2 + b 2   a 2 e s in b x +  a 2 + b 2     ax ax  e   e  ax = + e b x d x a b x b sin b x + C   c o s . c o s    2 2 2 2  ∫ a +b  a +b   e ax  ax bx + b. s in b x ] + C   ∫ e c o s b x d x =  a 2 + b 2  [a . c o s bx  

15

 C 

 

 

Lcdo Eliezer Montoya

Como:

∫

Integracion por partes

   e cos bxdx = 

 bx + b.sin bx ] + C      [ a. cos bx + a b  

ax

e ax

2

2

Quedará como ejercicio y verificar la fórmula de recurrencia siguiente:

∫

   e sin bxdx =  ax

  [ a sin bx − b cos bx ]   a + b   e ax

2

2

(con estas formulas de recurrencia puedes resolver res olver los problemas 53 y 54

En fin la integración por partes partes se aplica para calcular las primitivas de las funciones siguientes: *El producto de una función polinómica por una función exponencial *El producto de una función polinómica por una función seno o por un coseno *El producto de una función exponencial por un seno o por un coseno *El producto de una función polinomica por una función logarítmica. *Funciones trigonométricas inversas: Arc sin , Arc cos , Arc tan, Arc sinh , Arc cosh, Arc tanh *Ciertas raíces cuadradas

16

 

Lcdo Eliezer Montoya

Integracion por partes

Ejercicios propuestos

En los problemas 1 al 12 , use integración integración por partes para evaluar cada integral. integral.

∫ 3) ∫ x.e  dx 5) ∫ ln  5 xdx   7) ∫ cos  xdx   9) ∫ sec  xdx   11) ∫ t . sec t  . tan t .dt   1)   x. cos   2 xdx   3x

 

−1

 

−1

∫ 4) ∫ x.e dx 6) ∫ x. ln   2 xdx   8) ∫ x  ln  ( x )dx   10) ∫ sin  xdx   12) ∫ tan  xdx   2)  x. sin   kxdx  −4 x

 

3

2

 

−1

 

−1

En los problemas problemas 13 al 22 use repetidas veces in integración tegración por partes para evaluar cada integral

∫ 15) ∫ (3 x

∫

13)  x 3 . sin   3 x.dx   2

14)  x 2 . sin   2 xdx  

 − 2 x + 1  ). cos xdx  

    −x 16)  ( x 2 − 3 x +  2 ).e dx  

∫

  x 2     2 x 17)  ∫    + x . e dx     2   19)

∫e

  −  x

∫

18)  x 2 . sec  x. tan xdx  

∫ e . sin xdx   22)  ∫ e . sin   bx.dx  

cos 2 xdx

2  x

20)

∫

***21)  cs c 3 xdx

ax

En los problemas 23 al 26 use una sustitución conveniente para expresar la integral en una una forma tal que la integración por partes sea aplicable .Entonces evalué la integral: 23)

∫

25) 

∫

2

 x 3 .  e x dx   2

 1 + x  dx

∫ 26)  ∫ cos

3   2 x 2 .dx   24)   x . sin

. tan −1 ( sin x ) dx  

En los problemas 27 27 al 46 evalué cad cadaa integral:

∫ **31)  ∫ (ln x   ) dx

∫ 30)  ∫ ln(   1 + t   ) dt   32)  ∫ sin  x dx

33)   x. csc   2  x.dx  

34)  co sh −1 xdx

∫

   e − x dx 27)  ( 2 x −  1).   x

**29)   x.e   sin xdx 2

∫

28)   x. sinh   xdx 2

∫ 17

 

Lcdo Eliezer Montoya

35) 

 x 3

∫

1 − x

2

dx  

∫

37)   x.11 cos    x 4 dx   39) 

∫

π  

/9

0

3

4

2

sin 3 x.dx  

Integracion por partes

36) 

 x 2

∫

2

dx  

 x − 1

∫

38)   x 3 / 2 cos    x .dx   40) 

 x.e  x

1

∫ ( 1 + x) 0

2

.dx  

∫ sec   dx   ver el ejercicio Nº 09 y luego evaluar 42)  ∫ cos   xdx   ver el ejercicio Nº 07 y luego evaluar 43)  ∫ (5 x  − 2 x + 1) sin x.dx   44)  ∫ . sin (ln x )dx   45)  ∫  x. sin  xdx   46)  ∫  x.tan xdx   41) 

 

−1

2

1

−1

−1 π  

/4

e

2

0

π  

0

/2

3

2

0

−1

0

En los problemas 47 al 50, use el método tabular para evaluar cada integral. integral. 47)  x 4 . cos   2 xdx  

∫ ∫ 51)  ∫ ( 2 x − 3 x + x ) . cosh xdx   53)  ∫ e sin5 xdx  

49)  t 4  . e − t .dt   3

6 x

2

48)  ( x 3 −  2 x 2  +   x ).e x dx  

∫ ∫

3  −x 50)  ( x 5 −    x + x ).e   .dx  

∫ (8 54)  ∫ e

52) 

3

−4 x

− 5 x ) . sinh 5 xdx   2

cos3 xdx  

1

 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.

18