4° Geometría

Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana

174

Lineas

180

Posiciones Relativas entre dos Rectas

185

Repaso

191

Punto de Corte entre Rectas

195

Segmento de Recta

199

Operaciones con Segmentos

205

Ejercicios de Reforzamiento

209

 Ángulo y Sistema Sexagesimal

212

 Ángulos según su medida

218

GEOMETRÍA I Nivel Secundaria

Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana En nuestro alrededor, tanto en la naturaleza como en las más diversas construcciones humanas, se despliega un maravilloso universo de formas y estructuras regidas por el orden y la lógica. Muy pocas cosas surgen o se desarrollan sin orden. Al contrario, bien en su esencia interna o bien en su apariencia exterior, todo en nuestro entorno respira armonía y sentido. La naturaleza puede ser caprichosa, pero en ningún modo es ilógica o inconsistente. Ahora bien, si todo lo que nos rodea tiene una determinada forma, y si toda forma tiene un orden lógico en su estructura,¿noresultarazonabledesear aprender sobre todo esto? ¿Verdad que te darías el trabajo de cavar un inmenso hoyo siempre y cuando supieras que al final del mismo encontrarás un valiosísimo tesoro?

Pues bien, la ciencia que se encarga del estudio de las relaciones, proporciones, medidas y propiedades de las formas que estructuran nuestro entorno es la Geometría. Etimológi camente hablando, Geometría proviene de dos palabras griegas: Geo Metría

174

: :

Tierra Medida

Por consiguiente, “la medida de la tierra” fue el humilde origen de la Geometría. Sí, de acuerdo con la mayoría de versiones, la Geometría tuvo sus inicios en Egipto, debido a la constante necesidad del hombre de medir sus tierras regularmente regularmente,, ya que el río Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada persona. Sin embargo, el hombre, desde tiempos remotos, no sólo se preocupó por medir las tierras. Su afán de erigir edificaciones descomunales también contribuyó al rápido desarrollo de la Geometría, pues tuvo que diseñar figuras adecuadas para que su trabajo no fuese en vano. Si bien es cierto que el origen empírico de la Geometría ocurrió en Egipto, debe considerarse a Grecia como su verdadera patria pues aquí se erige la Geometría como ciencia. Es en Grecia donde se reemplaza la observación y la experiencia cotidianas por las deducciones racionales a partir de axiomas y postulados que se concibieron por un agudo proceso lógico. Veamos a continuación una breve reseña histórica de uno de los principales sabios griegos de la antigüedad quien, con su valioso aporte, contribuyó a elevar a la Geometría al grado de ciencia.

Pitágoras f u e e l discípulo m á s sobresaliente de la Escuela Jónica, quien luego fundó la Escuela Pitagórica, cuyo lema era: “Los números rigen al mundo” mun do”.. Esta escuela se caracterizó por dividir el saber científico en cuatro ramas: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. En cuanto a Pitágoras debemos decir que su figura ha llegado a nosotros llena de mitos y leyendas. Sin embargo, nadie cuestiona que su más grande aporte a la ciencia geométrica es

Teorema de Pitágoras Pitágo ras

c

a

b En todo triángulo rectángulo, se cumple: a2 + b2 = c2

División Fundamental de la Geometría Importante La Geometría que estudiaremos en secundaria es la Geometría Euclidiana y, sólo si la analizamos a cabalidad, veremos claramente el armonioso desarrollo lógico que presenta. Más importante aún, habremos puesto bases sólidas para el estudio de otras geometrías mucho más complejas, pero a la vez, mucho más importantes que, entre otras cosas, buscan ansiosamente una respuesta matemática, es decir, una respuesta perfecta a las cuestiones relacionadas con la forma y origen del universo.

Para un mejor estudio, tal como lo hizo Euclides en la antigüedad, dividiremos a la Geometría en: Geometría Plana Geometría del Espacio 1. GEOMETRÍA PLANA Llamada también Planimetría. Se encarga del estudio de todas las figuras planas, como por ejemplo: el triángulo, el rectángulo, rectángulo, la circunferencia, etc. etc.

R

2. GEOMETRÍA DEL ESP ESPACIO ACIO Llamada también Estereometría. Se encarga del estudio de los sólidos geométricos, como por ejemplo: la pirámide, el cubo, la esfera, esfera, etc.

R

OTRAS GEOMETRÍAS MÁS COMPLEJAS

Ningúnedificiograndepodría sostenerse sin un fundamento, ¿verdad? De manera similar, no podemos pretender alcanzar grandes conocimientos matemáticos sin haber estudiado la Geometría Euclidiana.

Geometría Analítica

Geometría Fractal

Geometría Algorítmica

Geometría Elíptica

Geometría Diferencial

Geometría Hiperbólica

Geometría De Descriptiva

Geometría Ri Riemanniana

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA Tan importante es el conocimiento geométrico que hoy su estudio se hace necesario para las diversas profesiones y disciplinas existentes, como por ejemplo: Arquitectura, Ingeniería, Física, Química, Bellas Artes, Diseño Gráfico, Diseño Industrial, Astronomía, Telecomunicaciones Telecomunicaciones,, etc. Por consiguiente, la Geometría es una pieza básica para comprender la realidad. De allí que algunos consideran que la Geometría es el lazarillo de todas las demás ciencias.

175

5)

Nivel I 1)

Calcula (a+5).

L1

b) 3 e) 5

a) 8 d) 10

c) 4

6)

1

c) 3

a) 4 d) 3

L1

3

5a

30

b) 5 e) 6

9

8

2n

L1 L2

a) 8 d) 9

b) 10 e) 5 2

a) 8 d) 15

c) 7

7)

3

b) 9 e) 18

n–1

c) 12

Halla “x” si L1 // L2 // L3.

6

8 a

5 3

a) 5 d) 6

b) 4 e) 8

8)

Halla Hal la “a” “a”.. a

3 5 a) 10 d) 6

176

b) 9 e) 8

b) 3 e) 4

2

L2

12

L3 c) 12

L2 L3

a

c) 5

4

3y

a) 1 d) 2

b) 5 e) 3

b) 9 e) 12

4

Calcula “y” si L1 // L2 // L3.

L1 15

2x+2

a) 1 d) 2

c) 5 2

a) 6 d) 8

L2 L3 c) 5

L1

2

12

10

L1

11) Halla “a” si L1 // L2 // L3.

Halla Hal la “a” “a”.. 4

6

L3

5 3

L3 c) 2

Hallaa “x” Hall “x”.. 3

L2

10) Calcula n + 3 si L1 // L2 // L3.

Si L1 // L2 // L3, hall hallaa “n”. “n”.

4

4)

Calcula a + 2 si L1 // L2 // L3.

16

b) 4 e) 5

x

3)

9)

10

8

L3

a

2

2)

b

L2

5

a) 1 d) 6

Calcula “b” si L1 // L2 // L3.

a) 3 d) 5

L3 c) 4

L2

9 b) 4 e) 8

L3 c) 6

12) Halla x + y si L1 // L2 // L3.

L1 L2

L1

a

x

8

3

6

a) 10 d) 20

b) 12 e) 24

16 y

L1 L2

L3

c) 16

13) Halla (a + 3) si L1 // L2 // L3. a

a) 4 d) 12

L1

8

9

18) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

2a b) 6 e) 9

23) Calcula “x” “x”..

7

L2 L3

2

10

3x

8

x

a) 6 d) 4

c) 8

b) 3 e) 5

c) 2

Observación: n2 = n 14) Halla n + m si L1 // L2 // L3. L1

3

2

4

n

6

m

a) 20 d) 12

b) 18 e) 24

L2

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

24) Hall Hallaa “a” “a”.. 5a

19) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

L3

6

8

7

c) 21 x

a) 6 d) 4

b) 10 e) 2

c) 3

23 15) Halla a + b si a - b = 16 m. 3 5

a) 32 m d) 72 m

b a

b) 42 m e) 64 m

L1 L2 L3

a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

25) Hall Hallaa “a” “a”.. 6

2a+4 20) Halla x.

c) 48 m

10

x+2

3

a) 1 d) 8

b) 2 e) 6

c) 4

4 Nivel II 16) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

a) 3 d) 6

b) 2 e) 8

c) 5 26) Hall Hallaa “x” “x”..

21) Hal Halla la “a” “a”..

17

1 2a

3

x

2

15 5

a) 12 d) 8

b) 10 e) 14

c) 6

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22) Hall Hallaa “n” “n”.. 17) Calculael perímetrodel triángulo del problema anterior. a) 20 d) 23

b) 32 e) 30

a) 3 d) 5

b) 3 e) 2

c) 5

27) Halla “a2”. 5

2n+1

15

20

c) 40 4 a) 2 d) 1

177

x

b) 3 e) 6

a c) 4

a) 35 d) 24

b) 32 e) 40

c) 30

28) Calcula “b”.

32) Aplicando el teorema de Tales , indica el valor de x si L1 // L2 // L3.

3

2

A x B

b a) 13 d) 13

b) 5 e) 15

c) 10

a) 2 d) 4

a) 1 d) 4

c) 4

Nivel III 30) Aplicando el teorema de Tales, indique la medida del segmento AB si BC = 10, EF = 15, DE = 3 y además L1 // L2 // L3.

C a) 3 d) 2

D E

F b) 5 e) 6

L2

9 F b) 1 e) 5

L3 c) 3

33) Del problema anterior, calcula la longitud del segmento AC.

b) 3 e) 5

A B

L1

E

n

4 a) 2 d) 6

3

x+2 C

29) Halla (n + 3). 2 5

D

L1 L2

c) 3

34) Sabiendo que en todo triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llama catetos y que el lado que se opone a dicho ángulo se llama hipotenusa, coloque estos nombres en cada lado de los triángulos mostrados.  

35) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) La hipotenusa es siempre mayor que los catetos. ( ) b) La hipotenusa siempre se opone al ángulo recto. ( ) c) Los catetos son lados de mayor longitud que la hipotenusa. ( ) 36) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

x

3

Ejemplo: Cateto Menor

L3 c) 10

b) 2 e) 5

d)

4 Hipotenusa Cateto Mayor

a) 3 d) 5

b) 4 e) 6

c) 10

37) Aplicando el teorema de Pitágoras, halle el valor de x.

a) x

31) Indique verdadero (V ) o falso (F) observando el problema anterior.

8 b)

a) El segmento BC es cinco veces el segmento AB. ( )

a) 8 d) 10

c)

d) El segmento DE es menor que el segmento AB. ( )

178

b) 6 e) 15

c) 12

38) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

b) El segmento DF mide 18. ( ) c) El segmento AC mide 15. ( )

6

x

13

12 a) 13 d) 10

b) 12 e) 8

c) 5

39) Sabiendo que el perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados, halla el perímetro del triángulo del problema anterior. a) 25 d) 17

b) 20 e) 21

c) 30

40) Indique si son verdaderos (V) o falsos (F) los siguientes enunciados. a) Los Elementos fue escrito por Pitágoras. ( )

43) A continuación te mostramos una relación de nombres de varios objetos conocidos. Ordénalos apropiadamente de acuerdo a la Geometría que los estudia. • • • • • • • •

El tarro de leche. La caja de fósforo. La tarjeta de crédito. El dato. Una moneda muy delgada. La pelota de playa. Un pedazo de cinta adhesiva. La hoja de tu cuaderno.

Planimetría

b) Euclides pasó gran parte de su vida en Alejandría. ( ) c) Tales de Mileto fue discípulo de Pitágoras. ( )

47) Aplicando el teorema de Tales indique el valor de x. ( L1 // L2 // L3) A 1 B

D 3

L1 E x

2 C a) 3 d) 7

L2 F

b) 5 e) 8

L3 c) 6

48) Del problema anterior, indique verdadero (V) o falso (F) en forma adecuada. a) El segmento AB es el doble del segmento BC. ( ) b) El segmento DE es el triple del segmento AB. ( )

Estereometría

c) El segmento EF es el doble del segmento DE. ( )

d) Pitágoras fue discípulo de Tales de Mileto. ( )

d) El segmento EF es seis veces el segmento AB. ( ) 41) Relacione de manera adecuada las dos columnas. a) Pitágoras (

) Elementos

b) Tales

) Tierra

c) Geo

( (

) Samos

d) Euclides (

) Mileto

42) Complete de manera adecuada lo siguiente: a) El famoso teorema de ………… ….. ... . es aplicado sólo a triángulos rectángulos.

44) Con la ayuda de tu profesor y de un buen diccionario encuentra el significado de las siguientes palabras: a) Empirismo b) Etimología c) Didáctico

d) Lazarillo e) Axioma

M 1 N

Q x

3 P

45) ¿De qué escuela fue fundador Tales de Mileto? a) Pitagórica b) Alejandría c) Jónica

49) De acuerdo al teorema de Tales indique el valor de x. ( L1 // L2 // L3)

d) Academia e) Trilce

a) 5 d) 3

L1 R L2

6 S b) 1 e) 4

L3 c) 2

50) Del problema anterior, indique verdadero (V) o falso (F) en forma adecuada. a) El segmento QR es el triple del segmento RS. ( )

b) “Los números rigen al mundo”, fue el lema de la Escuela ………………

46) ¿Qué escuela de la antigüedad dividió el saber científico en Geometría, Música, Astronomía y Aritmética?

b) El segmento NP es la mitad del segmento RS. ( )

c) La obra de Euclides titulada Los Elementos es una colección de ..…………… libros.

a) Maranguita d) Alejandría b) Jónica e) Egipcia c) Pitágoras

d) El segmento MP es el cuádruple del segmento MN. ( )

179

c) El segmento QS mide 8. ( )

Líneas 1. LÍNEA RECTA

5. RAYO

7. SEGMENTO DE REC TA

Es aquel conjunto de puntos que se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.

Es aquella porción de línea recta que tiene un punto de origen y que se extiende en un solo sentido de forma ilimitada.

Es aquella porción de línea recta que tiene punto de origen y punto final.

L

O

A

origen

Línea recta L.

B

A Segmento AB.

Rayo: OA

2. LÍNEA CURVA Es aquella que no tiene segmento recto alguno, por pequeño que se suponga. M

6. SEMIRRECTA Es aquella porción de línea recta que no tiene punto de origen pero se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.

A

A B

B

Semirrecta: AB

3. LÍNEA QUEBRADA Líneaquebradao poligonal esla que se compone de dos o más segmentos rectilíneos.

2)

Nivel I 4. LÍNEA MIXTA Se conforma de manera intercalada de segmentos curvilíneos y rectilíneos.

1)

Del gráfico, calcula x si la línea tiene una longitud igual a (40 + 2π) cm. 2π

x

6m 8m

6m 8m

x

a) 10 cm b) 2 cm c) 2π cm d) 5 cm e) 20 cm

180

Halla el perímetro de la figura mostrada.

a) (2π + 10) m b) (4π + 20) m c) 12π m

d) 24π m e) 32 π m

3)

Escriba el nombre que corresponde a las siguientes líneas.

6)

a) ................ b) ................ c) ................

7)

d) ................

4)

Calcule la longitud total de la línea quebrada A B C D E F G. B 2 C 1 E D 1 1 3 3 F G

5)

b) 11 e) 13

8)

x

Relacione correctamente ambas columnas. I. O

P ( ) Recta

II. R

S ( ) Rayo

III. A

B ( ) Semirrecta

IV.

I.

V. 6m

b) 30 m e) 60 m

6m 18 m 9m 15 m 7m

c) 12

Calcule la longitud de las siguientes líneas, quebrada y mixta.

a) 6 m d) 25 m

Del gráfico, calcula x si el perímetro del triángulo equilátero es 18 m. a) b) c) d) e)

A a) 3 d) 14

La distancia de A a B es 5 km y de B a C es 8 km. Calcula la distancia de A a C. A B a) 10 km b) 12 km c) 11 km d) 15 km e) 13 km C

c) 15 m

9)

( ) Línea quebrada M

N ( ) Segmento

Relacione correctamente ambas columnas. a)

( ) Línea mixta

b)  

( ) Línea quebrada

c)  

( ) Línea recta

d)

( ) Línea curva

II. 6m

6m a) 6 m d) 24 m

181

b) 12 m e) 30 m

c) 18 m

10) Relacione correctamente ambas columnas. a)

( ) Línea recta

b)

( ) Segmento

c)

( ) Rayo

d)

( ) Semirrecta

11) Relacione correctamente ambas columnas. a)  

( ) Triángulo curvilíneo

b)  

( ) Triángulo esférico

c)  

( ) Triángulo rectilíneo

d)  

( ) Triángulo mixtilíneo

12) Mencione la longitud de una línea quebrada si con ésta podemos formar un cuadrado de lado igual a 2 m. a) 2 m2 d) 2 km

b) 2 cm e) 8 m

c) 2 m

13) Con una cuerda de 60 cm se puede construir un hexágono de lados iguales. ¿Cuánto mide un lado? a) 10 cm b) 60 cm c) 15 cm d) 18 cm e) 20 cm 14) Con una cuerda de 12 m se puede construir un triángulo de ................ de perímetro. a) 12 cm b) 24 cm c) 7 cm d) 26 cm e) 18 cm

15) Si la línea horizontal PQ mide 64 cm, calcula el lado del cuadrado formado con dicha línea. a) 64 cm b) 32 cm c) 16 cm d) 8 cm e) 4 cm

19) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona: 

Una línea recta es aquella en la que todos sus ................... siguen una misma ............... línea ................... es el conjunto de dos o más lineas rectas (segmentos) consecutivos de diferentes direcciones.

22) Menciona la longitud de una línea quebrada si con ésta se puede formar un pentágono regular de lados iguales a 3 cm. a) 3 cm d) 5 m

b) 6 cm c) 12 cm e) 25 cm

  Una

Nivel II 16) Si la línea horizontal PQ mide 36 cm, calcule el lado del triángulo equilátero que se puede formar.



Una línea curva es la ................... de infinitos puntos en cualquier dirección.



A la combinación de alguna línea curva y una línea recta se le conoce como ...................

a) 3 cm b) 6 cm c) 36 cm d) 12 cm e) 18 cm

17) Si Carlitos y Danielito parten al mismo tiempo de su casa y llegan al mismo tiempo al colegio siguiendo caminos diferentes, entonces podemos decir: I. Carlitos es más veloz que Danielito. II. Danielito escogió el camino más corto. III. Carlitos y Danielito tienen la misma velocidad. IV. El camino de Carlitos es una línea recta y el de Danielito es una línea mixta. Carlitos

20) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El rayo tiene origen. (

a) 6 m d) 12 m

182

b) 12 c) 24 m e) 12 km

1cm

a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm

24) Calcula el perímetro de la figura sombreada:

)

1cm

II. El rayo tiene un solo extremo. ( ) III. La línea curva es ilimitada. ( )

a) 28 cm b) 32 cm c) 30 cm d) 36 cm e) 24 cm

IV. La línea mixta se puede medir. ( ) a) VFVV d) VVVF

b) FFFF e) VVVV

c) VFVV

colegio

18) Mencione la longitud de una línea mixta, si está formada a partir de una circunferencia de 12 m de longitud.

1cm

1cm

21) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Danielito

23) Calcula el perímetro de la figura sombreada.

I. Una línea puede ser mixta. ( ) II. Un segmento de línea curva se puede medir. () III. La línea quebrada es la unión de varias porciones de líneas rectas. ( ) a) VVF d) FFV

b) VVV e) FFF

c) FVV

25) Para enrollar un hilo en un tubo cilíndrico se dieron 450 vueltas. Calcula la longitud del hilo si el tubo tiene 4 cm de perímetro en su sección recta. a) 10 m d) 18 m

b) 12 m e) 20 m

c) 16 m

26) Una soga se enrolla en un prisma cuadrangular de base cuadrada de lado 2 cm. Halla la longitud de la soga si da 1200 vueltas alrededor del prisma. a) 100 m b) 120 m c) 60 m d) 96 m e) 84 m

27) Calcula el largo de la pared mostrada si cada ladrillo tiene 25 cm de largo y entre ladrillo y ladrillo hay una junta de 3 cm.

32) Una columna posee cuatro varillas de fierro de 3 m cada una. ¿Cuántas varillas de fierro de 6 m lineales cada una se necesitan para construir 20 columnas? a) 20 d) 30

b) 40 e) 50

28) Calcula el perímetro de una mesa rectangular de 2 m de largo y 1 m de ancho. a) 7 m d) 6 m

b) 8 m e) 12 m

2u

3/2

c) 60

39) Calcula la longitud total de las siguientes líneas quebradas. 1u 2u

c) 10 m

29) En una edificación se construyen 20 vigas de 3 m cada una y 60 columnas de 2,10 m cada una. ¿Cuántos metros lineales de concreto se han empleado? a) 120 m b) 140 m c) 152 m d) 186 m e) 164 m

30) Con 2 bolsas de cemento se pueden construir 3 metros de vereda. ¿Cuál es la longitud de una vereda si se han empleado 100 bolsas de cemento? a) 100 m b) 120 m c) 150 m d) 130 m e) 180 m

Nivel III 31) Con media tonelada de asfalto se puede construir 20 m lineales de carretera. ¿Cuántos metros de carretera se pueden construir con 10 toneladas de asfalto? a) 200 m b) 250 m c) 300 m d) 400 m e) 600 m

183

b) 80 e) 180

4u

a) 59 u b) 69/2 u c) 3/2 u d) 29/2 u e) 28/2 u

33) Una viga peraltada posee 6 varillas de fierro de 4 m cada una. ¿Cuántas varillas de fierro de 8 m cada una se necesitan para construir 30 vigas? a) 90 d) 120

1u

2u

c) 60

x a) 2,00 m b) 1,50 m c) 1,93 m d) 1,80 m e) 4,00 m

38) Calcula la longitud total de las siguientes líneas quebradas. 4u

34) Calcula el perímetro de una puerta de 2,30 m de alto y 1,20 m de ancho. a) 5 m d) 9 m

b) 6 m e) 4 m

c) 7 m

35) Halla el perímetro de una ventana de 1,5 m de largo y 0,80 m de ancho. a) 3,2 m b) 4,5 m c) 4,2 m d) 5,4 m e) 4,6 m

36) Para hacer una red de desagüe se necesitan 120 tuberías de desagüe de 1,5 m cada una. Calcula la longitud de la red. a) 120 m b) 150 m c) 180 m d) 160 m e) 200 m

37) Calcula el lado del pentágono regular si tiene todos sus lados iguales, y su perímetro mide 25 cm. a) 3 cm b) 6 cm c) 5 cm d) 50 cm e) 15 cm

a) 40 u d) 43 u

b) 41 u e) 44 u

c) 42 u

40) U n c a r r e t e d e f o r m a cuadrangular se puede enrollar por un hilo cuya longitud se desea conocer, sabiendo que se realiza para ello 20 vueltas y el carrete tiene la siguient e forma: a) b) c) d) e)

8u 2u 20 u 16 u 160 u

   u    2

2u

41) Anita debe saber a qué distancia (d) está su cometa. Para ello debe enrollar y contar cuántas vueltas daría todo el hilo de su cometa, sabiendo que cuando la echó a volar dio 2400 vueltas y enrolló el hilo en el siguiente listón:

1=4cm

46) ¿Cuál es la longitud de una línea si con ésta se puede formar dos cuadrados de lado 2 m y dos de lado 4 m, respectivamente? a) 32 m d) 54 m

d

b) 32 m c) 48 m e) 192 m

42) Si una línea mide 30 cm, calcula la longitud del lado del triángulo equilátero que se puede formar con dicha línea. a) 5 m d) 12 m

b) 8 m e) 15 m

c) 36 m

47) Halla la longitud de una línea recta si con ella se puede formar un cuadrado de lado 3m y un triángulo equilátero de lado 4 m. a) 12 m d) 24 m

a) 96 m d) 162 m

b) 48 m e) 64 m

c) 10 m

b) 16 m e) 32 m

c) 20 m

48) Halla la longitud de una línea si con ella se puede formar el hexágono regular mostrado. a) b) c) d) e)

12 m 16 m 18 m 24 m 32 m

49) Calcula la longitud de una línea si con ella se puede formar el pentágono regular mostrado. a) b) c) d) e)

15 m 10 m 16 m 24 m 20 m

4m

50) Calcula la longitud de la línea quebrada mostrada formada por segmentos iguales a 4 m cada uno.

a) 36 m d) 40 m

b) 32 m e) 48 m

c) 28 m

2m

43) La longitud de una línea es 48 m. Calcula la medida del lado del triángulo equilátero que se puede formar con dicha línea. a) 12 m d) 16 m

b) 14 m e) 20 m

c) 15 m

44) La longitud de una línea es 40 m. Calcula la longitud del lado del cuadrado que se puede formar con dicha línea. a) 8 m d) 14 m

b) 10 m e) 15 m

c) 12 m

45) La longitud de una línea es 60 m. Calcula la longitud del lado del cuadradro que se puede formar con dicha línea. a) 12 m d) 16 m

184

b) 14 m e) 20 m

c) 15 m

La Geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. En el “mundo real” se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo… También da fundamento teórico a inventos, como sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones Diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

Posiciones Relativas entre dos rectas •

Veamosla siguientenarración sobre el comportamiento de dos rectas en el plano. Danielito y Carlitos decidencaminar exactamente por dos veredas opuestas de una gran avenida recta y del mismo ancho. ¿Llegarán a encontrarse en algún momento si los niños continúan caminando tal como lo decidieron?

Matemáticamente tenemos lo siguiente: A. RECTAS PARALELAS Son aquellas rectas que no tienen punto en común y son coplanares.

L2

Propiedades 1. REFLEXIVA L1 // L2

Av. La Marina

Evi dent emen te que no, comprobando que ambos niños han caminado sobre rectas paralelas, éstas son rectas que no se encuentran o nunca se intersecan. En cambio, ¿qué sucedería si los niños caminan sobre líneas tal como indica la figura?

⇒ L1 ∩ L2 = ∅

B. RECTAS SECANTES Son aquellas rectas que sólo tienen un punto en común y son coplanares.

185

L1 // L2

⇒

L1 // L2

L4

Euclides ⇒ L3 ∩ L4 = A

Las rectas secantes pueden ser perpendiculares o no. L2

Vemos pues que ambos se encuentran en algún momento, ello quiere decir que las líneas rectas se cortan o intersecan. A estas líneas rectas se les llama rectas secantes.

Si

A

 o  s    l  i  t   r   C  a

D  a  n i   e l  i   t  o 

Si una recta L1 es paralela a otra recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1.

L3

Notación

A

Q L4

Carlitos

•

Línea Oblicua hacia la derecha

L1

Notación

Danielito

L3

L1

LíneaRecta Vertical

M

LíneaRecta Horizontal

Uno de los postulados más famosos d e l a Geometría Euclidiana es: “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la primera”.

2. TRANSITIVA Si un recta L1 es paralela a una recta L2 y ésta a su vez es paralela a otra recta L3, entonces la primera recta L1 será paralela a la última L 3. Si

L1 // L2

y

L2 // L3

1)

⇒ L1 // L3

b) Dos rectas que no se cortan se llaman rectas ................ .

L3

c) Seg ún el postu lado de Euclides, por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una ............ ..................... .

3. Si dos rectas son paralelas, entonces losángulosqueformanconunasecante serán iguales en medida. L1

Completa los siguientes enunciados:

L2

2)

β

α

L3

4)

C

A

D

Defina cada uno de los enunciados:

 

______________________ ______________________

5)

   

L3

c) Rectas Paralelas

L2

   

6)

______________________ ______________________

Si L1

⊥

L3

y

⊥

L3

e) Rectas Coplanares

⇒ L1 // L2

   

______________________ ______________________

______________________ ______________________

Del ejercicio anterior, ¿cuántos puntos de intersección existen? b) 6 e) 9

7)

c) 10

Calcula cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada. a) 1 b) 2 d) Infinitos

d) Rectas Secantes    

5 6 10 15 9

a) 5 d) 15

______________________ ______________________

L1

BC es paralelo a AD. ( ) AB es paralelo a CD. ( ) AB es secante a BC. ( ) CD es paralelo a BC. ( )

Del gráfico mostrado, indique cuántas rectas secantes hay. a) b) c) d) e)

b) Rectas Perpendiculares

Si L1 // L2 ⇒ a = b

186

B

I. II. III. IV.

a) Línea Recta

L2

En el rectángulo ABCD, señale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

a) Dos rectas que se intersecan se llaman .......................... .

L2

L1

3)

Nivel I

c) 3 e)Ninguno

Según la Geometría no Euclidiana, ¿cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada? a) 1 b) 2 d) Infinitos

c) 3 e)Ninguno

8)

De acuerdo a la pregunta 3, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Existe sólo un par de segmentos paralelos. ( ) II. Existen dos pares de segmentos paralelos. ( )

11) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas. a)

b)

(

P

(

III. AB y BC tienen un solo punto en común. ( ) IV. “C”es elpunto dentersección de BC y CD. ( ) 9)

¿Cuántas líneas rectas son necesarias para formar un triángulo?

c)   d)  

( P A

(

) Rectas perpendiculares

a) L3 ⊥ L4

) “P” es el pie de las perpendiculares

b) L1 ∩ L2 = ⇒

) Rectas paralelas

c) L2 // L3

) Rectas secantes

12) Las huellasdejadaspor las ruedas de un auto que viaja en línea recta, nos dan la idea de:

a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Infinitas

10) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente las afirmaciones de ambas columnas. B

N

C

a) b) c) d) e)

15) Escribe el significado de las siguientes representaciones:

Rectas oblicuas Rectas cruzadas Rectas paralelas Rectas secantes Rectas coplanares

 

 

 

______________________

______________________

______________________

d) L1 ∩ L2 = A  

______________________

Nivel II 16) De la figura: L1 // L2 ; L2 // L3 ∧ L3 // L4 ¿Cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay? L1 L2 L3 L4

13) De las siguientes notaciones, indique las correctas. I. AB : segmento AB

A I. AB y CD II. BC y CD III. AB ⇒ CD IV. BC ⇒ AN

D (

) Rectas secantes ( ) Rectas paralelas ( )N ( )⇒

II. OA : rayo OA III. L1 // L2 : L1 es paralelo a L2

a) 6 y 4 d) 3 y 3

c) 6 y 2

IV. L1 ⊥L2 :L1 es perpendicular a L2 V. Si L1 // L2 y L2 // L3 ⇒ L1 // L3 a) I y II b) I y III c) I, II y III

d) Todas e) Ninguna

17) En la figura, α ≠ β . Indique verdadero (V) o falso (F) sobre lo que a continuación se menciona. L1 L2 L3

14) Representa con símbolos lo que se menciona a continuación. a) La recta L1 es perpendicular a la recta L2. b) La recta L3 es paralela a la recta L4. c) El punto“B”es la intersección de las rectas L5 y L6.

187

b) 6 y 3 e) 3 y 2

α    

α

b

L4

L1 y L2 son paralelas. L1, L2 y L3 son paralelas. L2 y L3 son paralelas. L2 y L3 son no paralelas.

a) VVVV d) FVVF

b) VFFV e) FFFF

c) VFFF

18) Del problema anterior, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. α = 45º II. α ≠ 45º ⇒ L2 ⊥ L3 III. L1 // L2 // L3 a) VVV d) FFV

b) VFF e) FVV

II. La Av. Faucett y la Av. Universitaria son paralelas. ( ) III. La Av. Dintilhac es paralela a la Av. Silva Ochoa. ( ) IV. La Av. Brasil y la Av. Escobedo son no paralelas. () V. La Av. Pershing y la Av. Brasil son perpendiculares. ( )

22) Indica la relación correcta. L1

L2

b

α

c) FFF a) Si α = β ⇒ L1 ⊥ L2

19) Del problema anterior, indique lo correcto. I. Hay dos pares de rectas paralelas. II. β ≤ 90º III. L1 // L2 a) I y II b) I y III c) Sólo II d) Sólo I e) Sólo III 20) En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces estas dos rectas son: a) b) c) d) e)

Iguales Perpendiculares Secantes Paralelas No se sabe

21) Indique dos ejemplos de rectas paralelas y rectas secantes que puedas hallar en tu aula de clases (grafícalas). 

a) VFFVF b) FVFVF c) VFFFF

b) Si α ≠ β ⇒ L1 // L2 c) Si L1 // L2 ⇒ α ≠ β d) Si L1 // L2 ⇒ α > β

25) Delgráficodelproblemaanterior, es correcto que:

e) Si α = β ⇒ L1 // L2

I. Las avenidas Faucett, Rafael Escardó, Silva Ochoa, Jorge Dintilhac y Universitaria son paralelas. ( ) II. Las avenidas Venezuela y Universitaria son secantes. ( ) III. Las avenidas Brasil y Universitaria son paralelas. ( )

23) Del problema anterior si L1 // L2, entonces: a) b) c) d) e)

d) VVVFV e) VFVFV

α < β α = 2β β < α α = β β = 2α

24) Según el croquis de algunas calles principales del distrito de San Miguel y Magdalena, indica verdadero (V ) o falso (F) según coresponda.

a) VVF d) FFF

b) VVV e) VFV

c) FVF

I. La Av. Venezuela es paralela a una porción de la Av. La Marina. ( )              t t        e        c     u        a      F  .      E  .     v      A

Rectas paralelas

       a      i     r        a          t      i        s     r        e     v      i     n      U  .     v      A

U.N.M.S.M

Av. Venezuela



Rectas secantes

        ó        d       r       a      c       s         E          l      e       a         f       a         R  .       v         A

Ovalo

A v . La Marina     a     o        h     c      O      v    a        l       i       S      v .      A

188

   c    a          h              t  il             in          D    e          rg             Jo  .        v     A

   l    i   s   r  a    B .   A  v

  d  o    b  e   o   s  c    E .   G .    V   A

A  v    . P    e  r    s  h   i    n    g  

26) Por cualquier punto de la recta L traza una recta perpendicular utilizando compás y regla.

32)  Desde“A”trazauna perpendicular a la recta L, utilizando compás y regla.

38) Utilizando escuadras traza una paralela a la recta L. L

L

L

A

27) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta a.

33) Desde el punto “B” traza una perpendicular a la recta b utilizando compás y regla.

39) Utilizando escuadras traza dos paralelas.

B

a

28) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta b.

b 34) Desde el punto “P” traza una perpendicular a la recta a utilizando compás y regla. P

40) Utilizando escuadras traza dos rectas paralelas que pasen por A y B.

b

a

29) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta L que pase por el punto A.

35) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta L que mida 3 cm.

30) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta a que pase por el punto B.

36) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta a que mida 2 cm.

a

B

37) Utilizando compás y regla traza una perpendicular a la recta b que mida 1,5 cm.

a

Nivel III

b

31) Utilizando compás y regla traza por “D” una perpendicular a la recta b. D

189

b

B

L

L

A

A

41) Utilizando escuadras traza tres rectas paralelas que pasen por P, Q y R. P

Q

R

42) Utilizando compás y regla traza dos rectas paralelas que disten 2 cm.

43) Utilizando compás y regla traza dos rectas paralelas que disten 3 cm.

44) Utilizando compás y regla traza dos rectas paralelas que disten 1,5 cm.

45) Utilizando compás y regla traza dos rectas paralelas que disten 2,5 cm.

46) Segúnel gráficomostrado,indica la afirmación correcta.

Av . C o  l me    n a                     te            r            a           g                   U      o            s            n      o                        l f        A    .            v        A

Av . U ru   g uay 

50) Del problema anterior indica lo falso. a) b) c) d) e)

θ = b α = θ α = γ ω = α θ + Ø = 180°

47) Del gráfico anterior, indica lo correcto. a) La Av. Quilca es paralela a la Av. Wilson. b) La Av. Colmena es paralela a la Av. Tacna. c) La Av. Tacna es paralela a la Av. Quilca. d) La Av. Quilca es paralela a la Av. Bolivia. e) La Av. Colmena es perpendicular a la Av. Alfonso Ugarte. 48) Del gráfico anterior, indica lo falso. a) La Av. Tacna es secante a la Av. Colmena. b) La Av. Uruguay es secante a la Av. Quilca. c) La Av. Alfonso Ugarte es paralela a la Av. Wilson. d) L a A v . U r u g u a y e s perpendicular a la Av. Colmena. e) La Av. Wilson es secante a la Av. Quilca. 49) Si L1 // L2, entonces indica lo verdadero. ⇒ β

         n                      l so Av. Quilca             i             . W          v            A

Av . B ol  i v  ia 

190

   a    n   c    a     T    v .    A

a) La Av. Colmena es paralela a la Av Tacna. b) La Av. Alfonso Ugarte es secante a la Av. Wilson. c) La Av. Uruguay es paralela a la Av. Bolivia. d) La Av. Uruguay es paralela a la Av. Wilson. e) LaAv.Quilcaesperpendicular a la Av. Bolivia.

θ ζ

L1

ψ

α  γ ω a) b) c) d) e)

θ = Ø α + ω = 180° α + γ = 180° α = ω α + θ = 180°

L2

La palabra fractal fue usada por primera vez hace menos de 20 años por el matemático polaco Benoit Mandelbrot en su trabajo Lageometríafractaldelanaturaleza. Derivó la palabra del verbo latín fractus, que significa “romper en fragmentos irregulares”. Los fractales son figuras geométricas al igual que los triángulos y los rectángulos, pero con unas propiedades especiales que los distinguen de éstos. Primero, son muy complejos a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir,que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. Uno de los usos más populares es en la música, donde ésta es acompañada de imágenes fractales.

Repaso 4)

Nivel I 1)

De acuerdo al teorema de Tales, indique el valor de “x” si L1 // L2 // L3. A 1 B 2 C a) 3 d) 7

2)

F b) 5 e) N.A.

L1

− Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4, la hipotenusa mide ............... .

L2 L3

− La hipotenusa siempre se opone a un ángulo ............ .

c) 6

5)

Relacionademaneraconveniente ambas columnas. (

) Línea mixta

Del problema anterior, indica si son verdaderos (V) o falsos (F), los siguientes enunciados:

b)

(

) Línea quebrada



EF es el doble de DE. (

)

c)

(



EF es la mitad de DE. (

)

) Línea recta



Si BC es el triple de AB, entonces EF es el triple de DE. ( ) El valor de “x” es 4.

(

191

3 4 5 6 8

x

4

d) 6)

)

De acuerdo al teorema de Pitágoras, calcula el valor de “x”. a) b) c) d) e)

8)

− Lahipotenusadeuntriángulo rectángulo siempre es mayor que los .............................. .

a)  



3)

D 3 E x

Completa de manera adecuada lo siguiente.

) Línea curva

Menciona la longitud de una línea quebrada si con ésta podemos formar un cuadrado de lado igual a 2 m. a) 2 m2 d) 2 cm

7)

(

b) 8 cm e) 8 m

c) 6 m

Con una cuerda de 12 m se puede construir un triángulo de ............... de perímetro.

3 a) 12 cm b) 24 m d) 12 m e) N.A.

c) 7 m

A un hilo bien estirado de 7 m de longitud se le dobla en forma de “S”. ¿Cuál es la longitud de la línea curva?

a) 7 m2 d) 7 cm

9)

b) 7 m3 e) 14 m

c) 7 m

Del problema anterior, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. − La longitud de la línea curva es mayor que la longitud de la línea recta. ( ) − La línea recta y la línea curva tienen la misma longitud. ( ) − La longitud de la línea curva es menor que la línea recta. ( ) − La longitud de la línea en forma de “S” es de 7 m. ( )

10) En la siguiente figura, calcula la longitud de la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras. a) b) c) d) e)

5 m2 8m 5 cm 5m 7m

3m 4m

11) Del problema anterior, ¿cuánto medirá el borde de un aro si tiene la misma longitud de la hipotenusa? a) 5 m2 d) 5 m

b) 5 m3 e) 7 m

c) 5 cm

12) Relaciona correctamente. Es una línea curva Es una línea mixta Es una línea quebrada Es una línea curva 13) Indique el camino que sigue una hormiga para llegar a su casa en menor tiempo.

15) Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. – Al rayo también se le conoce como vector. ( ) – En la semirrecta se considera al origen. ( ) – AB y AB indican lo mismo. ( ) – mAB y AB indica n lo mismo. ( ) – El rayo tiene origen. ( )

 

16) Relaciona de manera adecuada ambas columnas. a)

(

) Línea mixta

b)

(

) Línea quebrada

c)

(

) Línea recta

d)

(

) Línea curva

17) Menciona la longitud de una línea mixta si está formada a partir de una circunferencia de 12 m.

III.

a) 12 m2 b) 24 m d) 4 cm e) N.A.

b) I y II e) II

c) III

14) Relaciona de manera adecuada ambas columnas.

18) Con un alambre serpentino de 16 cm de longitud se construye un cuadrado de ......... de lado. a) 16 cm b) 16 cm2 c) 4 m d) 4 cm e) N.A. 19) Dibuja las líneas que a continuación se mencionan.

I.

(

) Recta

II.

(

) Rayo

III.

(

) Semirrecta

IV.

(

) Línea quebrada

Línea recta :

V.

(

) Segmento

Línea curva :

192

21) Del problema anterior, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Línea quebrada : Línea mixta :

– Elcablenoestiradorepresenta una línea curva. ( ) – Ambaslíneastienenla misma longitud. ( ) – La lína curva mide 50 m. ( ) 22) Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la altura del rectángulo.   m   1  0

c) 12 m

IV. a) I d) IV

a) 50 m3 b) 50 m2 c) 50 m d) 25 m e) 12 m

– El cable estirado representa una línea mixta. ( )

Nivel II

I. II.

20) A un cable bien estirado de 50 m de longitud se le da la forma de una serpiente. Menciona la longitud de esta última.

h

8m a) 3 m d) 6 m

b) 4 m e) 8 m

c) 5 m

23) Del problema anterior, ¿cuánto medirá el lado de un cuadrado cuyo perímetro es igual a la altura del rectángulo? a) 6 m b) 2 m c) 1 m d) 1,5 m e) 2,5 m 24) Calcula la longitud del segmento EF si en la figura es aplicable el teorema de Tales. a) b) c) d) e)

6m 4m A 3m 3m B 2m 3m F. D. C

D 4m E F

25) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas. 1) 2) 3) 4) (

Rectas paralelas. Rectas oblicuas. Pie de la perpendicular. Rectas perpendiculares. )

(

)

(

)

(

A

– La intersecció n de los segmentos AB y BC es el punto B. 29) En la figura, ¿cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay?

)

– Se llama pie de la oblicua al ......... de intersección de dos rectas oblicuas. – Se llama pie de la perpendicular al punto de intersección de dos ......... . – Dos rectas perpendiculares o dos rectas oblicuas son rectas ......... .

27) Si la cuerda L1 es paralela a la cuerda L2 y esta es paralela a la cuerda L3, entonces: L1

A

193

– Si la recta L1 es paralela a la recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1. – El segmento AB es paralelo al segmento CD.

26) Completa correctamente lo que a continuación se menciona.

a) b) c) d) e)

28) Representa con símbolos lo que se menciona a continuación.

B

C

L1 ⇒ L2 L2 // L3 L2 ⇒ L3 L1 ⇒ L2 = ⇒ N.A.

L2

a a) 2 y 1 d) 3 y 3

a b) 1 y 2 e) 2 y 3

a

I. II. III. IV.

c) 2 y 2

D

BC es pararlelo a AD. ( AB es paralelo a CD. ( AB es secante con BC. ( CD es paralelo a BC. (

M

B

A

C

D

I. II. III. IV.

AB y CD BC y CD AB ⇒ CD BC ⇒ AM

( ( ( (

) ) ) )

Rectas secantes Rectas paralelas M ⇒

33) Completa correctamente lo que a continuación se menciona.

30) En el rectángulo ABCD, señale verdadero (V ) o falso (F) lo que a continuación se menciona. B C

A

32) De acuerdo a la figura, relaciona correctamentelasinformaciones de ambas columnas.

) ) ) )

– El punto de intersección de dos rectas oblicuas se llama pie de la ................... . – El punto de intersección de dos rectas perpendiculares se llama ................... de la perpendicular. – Dos rectas secantes pueden ser rectas oblicuas o rectas .................... . 34) Las huellas dejadas por las llantas de un auto que viaja en línea recta nos dan idea de:

Nivel III L3

31) De acuerdo a la pregunta anterior, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

a) b) c) d) e)

Rectas oblicuas Rectas perpendiculares Rectas paralelas Rectas cruzadas N.A.

I. Existe sólo un par de segmentos paralelos. ( ) 35) Halla el número máximo de II. Existendosparesdesegmentos puntos de corte de 3 rectas paralelos. ( ) secantes. III. AB y BC tienen un solo punto de intersección. ( ) a) 3 b) 4 c) 5 IV. “C” es punto común de BC d) 6 e) 2 y CD. ( )

36) Halla el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 d) 8

b) 4 e) 3

c) 6

b) 6 e) 12

c) 8

a) 10 d) 13

b) 11 e) N.A.

c) 20

43) ¿Cuántos puntos de corte hay?

38) Halla el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 d) 17

b) 19 e) 180

c) 190

b) n(n+1) c) n(n-1) 2 2 e) N.A.

40) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a las 3 paralelas mostradas? a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

L1 L2 L3

41) ¿En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a las 3 paralelas mostradas? a) b) c) d) e)

194

2 4 6 8 10

L1 L2 L3

b) 5 e) 1

c) 3

49) Halla el número máximo de puntos de corte de seis rectas secantes. a) 12 d) 17

b) 13 e) 6

c) 15

50) Halla el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes. a) 8 d) 13

39) Halla el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. a) n 2 2 d) n 2

48) Halla el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 d) 2

37) Halla el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 d) 10

42) En la figura, indica el número de puntos de corte.

b) 10 e) 15

c) 12

a) 19 d) 25

b) 21 e) 17

c) 23

44) Calcula el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 d) 4

b) 7 e) 3

c) 5

45) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

46) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas. a) 10 d) 15

b) 12 e) 18

c) 9

47) ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas? a) 8 d) 12

b) 10 e) N.A.

c) 11

Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzodemuchasgeneraciones de matemáticos que intentaron resolverlos:laduplicacióndelcubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en trespartes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás. Y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Puntos de corte entre rectas En un día de paseo al campo, los alumnos del primer año observaron una gran cantidad de fibras rectas y delgadas de hilo de una telaraña, uno de ellos exclamó: “¡Averigüemos la cantidad de fibras!” y todos con gran entusiasmo y cuidado empezaron a contarlos, uno, dos, tres, .... 499, 500 (quinientas) fibras. Luego de un breve silencio, Jaime, el más inquieto del grupo, hace la siguiente pregunta: “Si la araña cruza todas las fibras, ¿cuántos puntos de cruce como mínimo y cuántos como máximo se obtendrá?” ... Al instante respondieron todos, como mínimo se obtendrá un punto de cruce y como máximo, la respuesta fue variada, unos decían 500, otros 800, otros 1000 y hubo más números diferentes como respuesta. Al no ponerse de acuerdo, acudieron al profesor de geometría y le plantearon el problema. El profesor pidió silencio para resolver el dilema y dijo lo siguiente: “Si cada fibra nos representa una recta, entonces tendremos 500 rectas secantes. Resolvamos el problema de manera gradual”. 2 rectas

1

se cortan en 1 punto ⇒ Podemos escribirlo como 2x1 =1 2

1

2

3 rectas 3

se cortan en 3 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 3x2 =3 2

12 3 4 rectas

4 5 6

se cortan en 6 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 4x3 =6 2 500 x 499 2

500 rectas

= 124 750

¡Qué cantidad tan grande! Exclamaron contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor, y siguieron indagando más cosas. Veamos uno de ellos. Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas, ¿cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán? Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: * 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos, esto quiere decir que: * 3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos. Las 3 rectas secantes se cortarán entre sí en:

3x2 = 3 puntos 2

⇒ El número de puntos de corte será: 12 + 3 = 15

195

Ptolomeo I Rey de Egipto, mandó llamar a Euclides y le exigió un camino más sencillo y corto para aprender y entender la Geometría. Euclides le contestó: “Mi estimado rey de Egipto, no existecaminoprivilegiadoalguno para los reyes, para todos es el mismo” (igual de complicado). ¡Así que, mi estimado Rey, póngaseaestudiarlospostulados y axiomas!

6)

Nivel I 1)

Halla el número máximo de puntos de corte de seis rectas secantes. a) 12 d) 17

2)

b) 21 e) 17

b) 28 e) 64

7)

3 4 5 6 1

c) 82

Indica el número de puntos de corte. a) b) c) d) e)

4 6 8 10 11

a) 6 d) 9

9)

¿En cuántos puntos de corte cortarán cuatro rectas paralelas a tres rectas secantes? b) 12 e) 18

b) 7 e) 10

c) 8

b) 12 e) 18

c) 9

14) ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas?

c) 14

En la figura, indica el número de puntos de corte. a) b) c) d) e)

c) 5

13) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas. a) 10 d) 15

8)

b) 7 e) 9

12) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 2 rectas paralelas.

8 6 4 3 10

a) 10 d) 16 4)

11) Calcula el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 d) 4

¿En cuántos puntos de corte cortarán dos rectas secantes a las cuatro paralelas mostradas? a) b) c) d) e)

c) 23

Halla el máximo número de puntos de corte de 8 rectas secantes. a) 4 d) 27

a) b) c) d) e)

c) 15

Halla el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes. a) 19 d) 25

3)

b) 13 e) 6

¿En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas?

10 11 20 13 15

a) 8 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

15) Halla el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 d) 2

b) 5 e) 1

c) 3

Nivel II 5)

Indica el número de puntos de corte.

a) 10 d) 13

196

b) 11 e) 17

c) 12

10) ¿Cuántos puntos de corte hay? a) b) c) d) e)

8 10 12 13 15

16) Halla el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

17) Halla el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 d) 8

b) 4 e) 3

c) 6

24) Halla el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes y 5 paralelas. a) 35 d) 39

b) 37 e) 31

c) 33

Nivel III 31) Calcula el máximo número de puntos de corte de “x” rectas secantes. a) x2

18) Halla el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

19) Halla el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 d) 17

b) 19 e) 180

c) 190

20) Halla el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. a) n 2 2 d) n2 2

b) n(n+1) c) n(n-1) 2 2 e) n-1 2

21) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a 3 paralelas? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

25) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a ‘‘p’’ rectas paralelas? a) p d) p/2

b) p - 1 e) p + 2

c) p + 1

b) x(x-1) c) (x-1) 2 2

d) x(x - 1)

e) (x + 1)

32) Calcula el máximo número de puntos de corte entre “N”rectas secantes. a) N(N - 1)

26) ¿Cuántospuntosde corte existen entre 3 rectas paralelas? a) 1 d) 3

b) 2 e) 9

c) 0

27) ¿Cuántospuntosde corte existen entre 50 rectas paralelas? a) 10 d) 0

b) 5 e) 50

c) 25

28) ¿Cuántospuntosde corte existen entre 9 rectas secantes? a) 36 d) 40

b) 32 e) 48

c) 30

b) N(N + 1) c) N(N-1) 2

d) n2 e) N-1 2

33) Calcula el máximo número de puntos de corte entre A rectas secantes y B rectas paralelas. a) A(A-1) d) 2AB 2 b) AB + A e) AB A(A-1) c) + AB 2

34) Calcula el máximo número de puntos de corte de K rectas secantes y P rectas paralelas. a) 2PK

22) ¿En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a 3 paralelas? a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

23) Halla el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos paralelas. a) 19 d) 25

197

b) 21 e) 27

c) 23

29) ¿Cuántospuntosde corte existen entre 4 rectas paralelas y 5 rectas secantes? a) 20 d) 36

b) 32 e) 30

c) 24

30) ¿Cuántospuntosde corte existen entre 10 rectas secantes? a) 45 d) 100

b) 40 e) 20

c) 50

b) P(K - 1) c) K(K -1) 2 d) K(K+1) 2 K(K -1) e) PK + 2

35) Halla el máximo número de puntos de corte entre 6 rectas secantes y 4 rectas paralelas. a) 32 d) 39

b) 36 e) 40

c) 38

36) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada?

a) 3 d) 5

b) 4 e) 6

c) 7

37) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada? a) b) c) d) e)

20 10 15 16 24

38) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada? a) b) c) d) e)

42) ¿Cuántospuntosdecorte existen en la figura?

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10 a) 16 d) 12

43) ¿Cuántospuntosde corte existen en la figura mostrada si L1 // L2 // L3 // L4? a) b) c) d) e)

12 10 8 14 15

L1 L2 L3 L4

44) La figura muestra “n” rectas paralelas. ¿Cuántos puntos de corte se determinan si se traza una secante a dichas paralelas?

16 17 20 18 19

1 2 3 n a) n + 1 d) 2n

b) n e) n/2

c) n - 1

40) ¿Cuántos puntos de corte hay?

a) 26 d) 29

b) 27 e) 30

c) 28

45) La figura muestra m rectas paralelas. ¿Cuántos puntos de corte se determinan si se traza 3 rectas secantes a dichas paralelas? 1 2 3

41) ¿Cuántos puntos de corte hay?

m a) 18 d) 24

198

b) 19 e) 13

c) 18

47) L a f i g u r a m u e s t r a “ a ” circunferencias y “b” rectas que pasan por un mismo punto. ¿Cuántos puntos de corte se determinan en total? 3 2

8 9 10 12 14

39) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada? a) b) c) d) e)

46) ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada?

b) 20 e) 25

c) 22

a) m b) 2m d) 3m - 1 e) 3m

c) m + 3

1 a) 2ab + 1 b) 2ab c) 2ab - 1

d) 4ab + 1 e) 4ab - 1

48) ¿Cuántas rectas secantes existen si determinan 28 puntos de corte? a) 13 d) 8

b) 12 e) 9

c) 10

49) ¿Cuántas rectas secantes existen si determinan 45 puntos de corte? a) 8 d) 12

b) 9 e) 15

c) 10

50) ¿Cuántas rectas secantes determinan 105 puntos de corte? a) 12 d) 9

b) 15 e) 16

c) 10

Segmento de Recta En el capítulo III estudiamos a las líneas rectas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recordemos que el segmento es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. P

L

Q

En la figura anterior, tomamos “P” y “Q” de la recta L. A esta porción de recta limitada por los puntos en mención se le llama segmento PQ o segmento QP.

A 3m I. mAB = 3 m

(287 - 212 a.C.) Debemos recalcar que todas las mediciones lineales que se dan en nuestra vida cotidiana no son más que una operación de medir segmentos. Así por ejemplo, si queremos medir el borde de una pizarra rectangular, la altura de una casa o el ancho de una puerta, como se muestra: 4m

A

Atodosegmentosuelerepresentarse escribiendo los dos puntos asignados a sus extremos con una pequeña rayita sobre ellos, así:

C

M 1,8m

MN : segmento MN o NM : segmento NM

N P

Longitud de un Segmento

Si el segmento AB tiene una longitud de 3 m, entonces:

199

B

D

N

La longitud de un segmento es un número positivo que representa a su medida y suele representarse de dos maneras. Para esto pongamos el siguiente ejemplo:

Arquímedes

II. AB = 3 m

Notación de un Segmento

M

B

1m

Q

decimos entonces: 

mAB = mDC =4m o AB = DC =4m



mMN = 1,8m o MN = 8m



PQ = 1m o mPQ = 1m

  S i n discusión, fue el matemático griego más genial que vivió en Siracusa. Su padre fue el astrónomo Fidias. Se atribuyen a Arquímedes numerosos inventos, entre ellos el “tornillo sin fin” destinado a traer agua del subsuelo en Egipto. Participó en la defensa de Siracusa. Laoriginalidad deArquímedes lo convirtió, junto a Platón, en la flor innata del genio griego. Descubrió las propiedades del número π y las enunció en el libro Medida del círculo. 310 < π < 310 71 70 Se antici pó a Newton 2000 años, pues descubrió los conceptos y principios básicos del Cálculo Integral. Murió asesinado por un soldado romano en la cárcel mientras resolvía un problema.

Punto Medio de un Segmento Es el punto que divide al segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Veamos la figura: A

M

3) Se construye el segmento PQ, siendo el punto de intersección de éste con EF el punto medio buscado.

Francois Viete

Nota

B

“M” es el punto medio del segmento AB si:

Se traslada longitudes de segmentos midiendo con el compás el segmento dado, y luego dibujando en el lugar deseado.

mAM = mMB o AM = MB Se dice también que el punto “M” biseca al segmento AB.

Ubicación del Punto Medio de un segmento mediante la Regla no Graduada y el Compás Si queremos ubicar el punto medio de un segmento mediante este método, sigamos los siguientes pasos: 1) Con una regla no graduada se dibuja un segmento de una longitud cualquiera, tal como muestra la figura.

Ejemplo: Ubica el punto medio del segmento AB. I)

B

A

II)

P A

B Q

III) P

E

F

2) Haciendo centro con un compás en el punto“E” y con cualquier longitud (*) dibujamos una pequeña curva sobreydebajodelsegmento.Luego se sigue el mismo procedimiento tomando como centro el punto F. P

E

Q (*) La longitud a tomar debe ser algo mayor que la mitad del segmento EF.

200

M A

B

Q Haciendo uso deunaregla graduada oelcompás,compruebaqueelpuntoM es el punto medio del segmento AB.

F

Recuerda

Nota El segmento PQ es perpendicular al segmento AB. Además, a toda recta que pase por PQ se le llama mediatriz del segmento AB.

(Fontenay–le–Comte, 1540–París, 1603). Matemático francés. Fue miembro del Parlamento de Bretaña (1573 - 1582) y después consejero privado de las cortes de Enrique III y de Enrique IV. Conocedor de Diofanto y Cardano, estableció las reglas para la extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus (1570). Se dedicó asimismo al estudio de los fundamentos del Álgebra, con la publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en el cual introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría plana y esférica.

4)

Nivel I 1)

Completa de manera adecuada las siguientes oraciones:

a) mAB = mCD ( ) b) BC es la notación del segmento BC. ( ) c) BC indica la medida del segmento BC. ( ) d) La longitud de un segmento es un número mayor que cero. ( )

a) El segmento es una __________derecta limitada por ________ puntos llamados ____________. b) La longitud de un _________ es un __________ positivo. c) El ________ medio divide al segmento en ________ iguales 2)

Segmento AB Medida del segmento AB Recta AB Semirrecta AB

( ) AB ( ) AB 3)

5)

Relaciona correctamente los datos de ambas columnas. a) b) c) d)

1 2 A 3 4 5 D

6)

( ) AB ( ) AB

B

1 2 3 4 5

7)

A

B

B b) 2 e) 6

C

C

C

A a) PA < PB b) PA > PB c) PA = PB

d) PA = 2PB e) PB = 2PA

a) b) c) d) e)

QA < QB QB < PB QA = 2QB QA = QB 2QA = QB

11) Indica el número máximo de segmentosquesepuedenformar con los tres puntos de la figura.

c) 3

C 7y1 7y7 14 y 7 A 7 y -14 -7 y -14

Por el método de la regla y el compás, construye la mediatriz del segmento AB y ubica al azar un punto “P” de ella. Haciendo uso del compás, ¿qué puedes decir de las medidas de los segmentos PA y PB? B

D

Si “M” es el punto medio del segmento AB, entonces las medidas de AB y AM, respectivamente son: a) b) c) d) e)

9)

10) Del problema anterior, ubica al azar otro punto Q de la mediatriz e indica la relación correcta.

¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? A a) 1 d) 5

8)

201

Menciona el número de segmentos que se pueden formar con los puntos A, B y C. a) b) c) d) e)

Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) b) c) d) e)

De acuerdo a la figura anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se enuncia.

7 M

B

Mediante el método de la regla y el compás ubica el punto medio de un segmento y comprueba la certeza haciendo uso del compás como instrumento de comparación.

a) b) c) d) e)

1 2 3 0 4

B

A

C

12) Indica el número máximo de segmentos que se obtiene al unir los cuatro puntos mostrados. a) b) c) d) e)

2 A 4 6 3 7 D

B

C

13) Por el método de la regla y el compás, construye un triángulo y trace las mediatrices de sus lados. Indica en cuántos puntos se cortan. a) b) c) d) e)

En uno En tres En cuatro En dos En ningún punto

14) ¿Cuántos segmentos se pueden obtener con tres puntos no colineales? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

15) Por el método de la regla y el compás, trace la mediatriz de la cuerda AB. ¿Qué observa de esta recta? A B O

a) b) c) d) e)

No pasa por el centro. Pasa por el centro. A veces pasa. Sin precisar. Todas se cumplen.

18) Relaciona correctamente las informaciones de ambas columnas. a) PQ  

(

) Pie de la oblicua

b) mPQ

(

) Vector PQ

c)

(

) Medida del segmento PQ

d)  

(

) Pie de la perpendicular

3 6 9 12 13

PQ es la notación del segmento PQ. ( )



mPQ indica la medida del segmento PQ. ( )



Elsegmentotieneunnúmero limitado de puntos. ( )

Nivel II 16) Utilizando el criterio anterior, dibuja una circunferencia y ubica su centro. 17) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona. a) Si“M”es un punto que biseca al segmento, entonces lo _______ en partes iguales. b) Con tres puntos colineales se puede obtener _________ segmentos. c) Dos puntos cualesquiera determinan una ________.

202

21) Indica el número de segmentos en la figura.

A

6 2 3 4 5

a) 12 y 24 b) 12 y 12 c) 24 y 24 d) 6 y 12 e) F. D. 24) Mediante el método de la regla y el compás, ubica “M” y “N” sabiendo que son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. B

C

25) De acuerdo al problema anterior, usando solamente el compás como instrumento de comparación, ¿qué puedes decir de las medidas de MN y AC? a) MN = AC 1 AC 3 1 c) MN = AC 2 b) MN =

d) MN = 2AC e) MN = 3AC

E

C

A

b) 2 e) 5

B

c) 3

22) ¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? a) b) c) d) e)

P

26) Utilizando compás y regla, determina el punto medio del segmento AB.

D

B

a) 1 d) 4

N 18

A

20) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:  

12 M

19) Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) b) c) d) e)

23) Halla las medidas de MN y NP, de acuerdo a la figura.

27) Utilizando compás y regla determina el punto medio del segmento PQ. Q

D A

B

C

P

28) Utiliza ndo compás y regla determina el punto medio de RS.

33) Divide el segmento mostrado en tres segmentos de igual longitud utilizando compás y escuadras.

39) Divide el segmento mostrado en 3 segmentos proporcionales a 2, 3 y 5.

R

S 29) Grafica un segmento de 3 cm e indica su punto medio utilizando compás y regla.

30) Grafica un segmento de 3,5 cm y ubica su punto medio utilizando compás y regla.

34) Divide el segmento mostrado en cuatro segmentos de igual longitud utilizando compás y escuadras.

35) Divide el segmento mostrado en cinco segmentos de igual longitud utilizando compás y escuadras.

40) Utilizando compás y regla dibuja un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm.

41) Utilizando compás y regla dibuja un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 3 cm.

36) Divide el segmento mostrado en 2 segmentos proporcionales a 3 y 2, utilizando compás y escuadras. Nivel III 31) Grafica un segmento de 4 cm y traza una perpendicular por su punto medio, utilizando compás y regla.

32) Grafica un segmento de 5 cm y traza una perpendicular por su punto medio, utilizando compás y regla.

203

37) Dividir el segmento mostrado en 2 segmentos proporcionales a 5 y 3, utilizando compás y escuadras.

38) Divide el segmento mostrado en 3 segmentos proporcionales a 1, 2 y 3.

42) Utilizando compás y regla dibuja un triángulo equilátero de lado 3 cm.

43) Utilizando compás y regla dibuja un triángulo equilátero de perímetro 6 cm.

44) ¿Cuántos segmentos existen en la figura mostrada? a) b) c) d) e)

2 3 1 4 5

A

B

C

45) ¿Cuántos segmentos existen en la figura mostrada? a) b) c) d) e)

4 6 3A 2 8

B

C

D

47) Calculalacantidaddesegmentos que tiene la figura mostrada. a) b) c) d) e)

4 3 2 5 A 6

B

E D

C

48) Calcula el máximo valor entero que puede tomar el segmento AC. a) b) c) d) e)

B 5 12 5 17 15 16 A

12 C

49) Calcula el mínimo valor entero que puede tomar el segmento PQ. a) b) c) d) e)

3 2 5 1 4 Q

3 2 5 4A 6

a) b) c) d) e)

26 28 10 30 25 27

D B

C

El ADN (la huella digital de las criaturas vivientes) tiene la forma de una larga escalera que se tuerce como un espiral. Si todo el ADN de una de tus células se desempacara y se estirara tendría aproximadamente 180cm. Debido a que tú tienes más o menos cinco trillones de células (5x10 18) en tu cuerpo, la longitud total del ADN empacado en ellas sería al estirarse 30 veces la distancia de ida y vuelta al Sol. Este ADN, desempacado y estirado constituiría un segmento pues tiene dos extremos y una longitud.

204

9 R

13

50) Calcula el máximo valor entero que puede tomar x + y.

46) Calculala cantidaddesegmentos que tiene la figura mostrada. a) b) c) d) e)

P

x y 18

Operaciones con Segmentos Queridos amigos, operar con segmentos es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones básicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos. Éstas se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante 5 km, para luego recorrer 3 km más hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.

3 km

5 km C

F

D

Carlitos recorrió entonces : 5 km + 3 km = 8 km Pero notemos que:

5 km es la longitud de CF 3 km es la longitud de FD 8 km es la longitud de CD

Entonces: CF + FD = CD

Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD). De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD, nos quedamos con CF; esto es:

Euclides En tiempo de Ptolomeo I, el gran matemático griego Euclides fundó y creó en Alejandría (siglo IV a.C.) la geometría que lleva su nombre, cuyos principios han servido de base durante dos mil años a la Geometría.

CD - FD = CF Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura: A

205

7 km

2 km

3 km B

Interesante

C

D

AB + BC =

AC

=

AC + CD =

....................

=

..................

BC + CD =

....................

=

..................

AC – BC =

AB

=

AD – CD =

....................

=

..................

BD – CD =

....................

=

..................

5 km

3 km

Einstein dijo: Restringir nu es tr o s conocimientos a un pequeño grupo de personas debilita el espíritu filosófico de un pueblo y lo conduce a una pobreza espiritual.

6)

Nivel I 1)

De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. A a) b) c) d)

2)

B AB ⇒ BC = AC AB ⇒ BC = AC AB ⇒ BC = B AB + BC = AC

B b) 4 e) 10

C c) 6

D

B b) 3 e) 8

B

D c) 5

D c) 3

Relaciona de manera adecuada lo que a continuación se menciona. 

 

206

C b) 4 e) 17

El postulado de la reunión, indica que el ............ es igual a la suma de las ................ . Dos segmentos son ................. si tienen la misma longitud. Si AB > PQ, entonces la expresión AB ÷ PQ es mayor que ............... .

M B a+1 a b) A M B a a+5 c) A M B

c) 10

14) De acuerdo a la figura, halla el valor de BC – AB.

Calcula el valor de ‘‘ω ’’ en la siguiente figura si AB = 12.

A

ω

M

a) 2 d) 8

B

b) 4 e) 10

A a) 12 d) 3

x+4 B

x+5 C

b) 2 e) 4

D c) 6

11) Del problema anterior, halla el valor de CD – BC. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x50+10 A

x50 B

a) 5 d) 0

b) 10 e) F. D.

C c) x50

15) Del problema anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que se menciona.

c) 6

10) Hallaelvalor delmenorsegmento determinado si AD = 21. x+3

( ) MB - MA = 5 ( ) AM = MB ( ) AM > MB

R

b) 20 e) 6

c) 15

13) R e l a c i o n a d e m a n e r a adecuada:

x+10 Q

b) 10 e) F. D.

a) A

D

Halla el valor de ‘‘x’’ si PR = 30.

a) 8 d) 15 9)

12) De la figura, encuentra el valor de QR – PQ. x+10 x P Q R a) 5 d) 20

c) 6

ω

C b) 2 e) 5

B

P

C

c) 3

Halla el valor de BC si AD = 12, AC = 10 y BD = 9. A a) 5 d) 8

8)

b) 2 e) 1,5

x

Halla el valor de mBC si AB = 14, BD = 18 y C es punto medio de AD. A a) 1 d) 4

5)

7)

Halla mBC, si AB = 10, BD = 24 y C es punto medio de AD. A a) 2 d) 7

4)

a) 1 d) 0,5

De acuerdo a la figura, calcula BC si AD = 10, AC = 8 y BD = 6. A a) 2 d) 8

3)

( ( ( (

C ) ) ) )

Si A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, halla el valor de BC cuando AC = BD = 3 y AD = 5.

* * * *

CB < BA ( ) CB > BA ( ) CB – BA = 10 CB = BA ( )

(

)

Nivel II 16) De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. P    

Q PQ + QR = PR PR – QR = PQ PQ ∪ QR = PR PR ∩ PQ = PQ

R ( ) ( ) ( ) ( )

17) De la figura, indica el valor de BC. 12 A

B

C

D

10 b) 5 e) 4

 

AB = BC ( )  BC – AB = 2 ( )   AD = 15  AD ∩ BC = BC

c) 7

x+7

x+3 B

a) 2 d) 3,5

C

b) 2,5 e) 4

A

x B

a) 9 d) 6

x+1 C

b) 8 e) 5

D

A

A a) 5 d) 8

5–2x

B C D b) 10 c) 7 e) Imposible

21) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. B

a) 10 d) 20

b) 15 e) 12

207

7–2x

x+5

A

c) 7

x+5 B

a) b) c) d)

9–x M

x AB – BM AB BM ∪ MC

( ) 12 ( ) 5 ( ) 2 ( ) BC

B

a) 1 d) 4

C

C

D c) 5

A a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

P

Q

R

AQ = PR AP = QR AP + PQ =AQ AQ – PQ = QR AP = 2PQ

30) De acuerdo a la figura, calcula AB si AC = 18m y BC = 10m. A a) 6 m d) 5 m

B b) 8 m e) 9 m

C c) 3 m

A a) 10 m d) 9 m

B b) 12 m e) 13 m

C c) 15 m

32) Según la figura, AP = 18m y AB = CP = 5m. Halla BC.

c) 3

C

A a) 6 m d) 5 m

B C b) 8 m e) 9 m

P c) 7 m

D 33) Según la figura, calcula PQ si AD = 24m y AP = QD = 10m. A a) 3 m d) 6 m

27) ¿Cuántos segmentos existen en la figura? Q b) 2 e) 5

c) 5

31) De acuerdo a la figura, halla AB si AC = 30m y BC = 18m.

AB = BC BC = CD AC = BD AB + BC = BD BC + CD = BD

P a) 1 d) 4

D

D

b) 2 e) 5

B

P

Nivel III

25) Calcula BC si AB = 10, BD = 16 y C es punto medio de AD. A

Q b) 4 e) 7

C

26) Según la figura, indica lo correcto.

2+x

x+3

C

b) 5 e) F. D.

R a) 3 d) 6

A

B

a) 0 d) 2

28) ¿Cuántos segmentos existen en la figura?

29) De acuerdo a la figura, indica lo verdadero:

c) 7

20) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. 3+x

)

c) 3

19) Halla el valor de la longitud del menor segmento si AD = 27. x–1

(

x

x+10

18) De la figura, halla la longitud del menor segmento si AC = 10. A

)

23) Encuentra el valor de AB – BC.

A

x

(

24) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas.

15 a) 3 d) 9

22) Del problemaanterior, indicasi es verdadero (V ) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

R c) 3

P Q D b) 2 m c) 8 m e) 4 m

34) Si AC = 18m y M es punto medio de AC, calcula AM. A a) 9 m d) 11 m

M b) 8 m e) 12 m

C c) 10 m

35) Si AC = 30m y PC = 12m, halla MP si M es punto medio de AC. A M C P a) 15 m b) 18 m c) 30 m d) 25 m e) 27 m 36) Si AC = 40m y CQ = 12m, halla MQ sabiendo que M es punto medio de AC. A

M

a) 28 m d) 36 m

C

b) 30 m e) 34 m

Q c) 32 m

37) Halla AM si M es punto medio de BC y AB = 14m, BC = 18m. A a) 18 m d) 25 m

B M C b) 20 m c) 23 m e) 28 m

38) Calcula PM si M es punto medio de QR, PQ = 8m y QR = 24m. P a) 18 m d) 20 m

Q M R b) 12 m c) 16 m e) 24 m

39) H a l l a A M s i A M = B M , BC = 15m y AC = 27m

40) En la figura, calcula MN si M es punto medio de AB y N es punto medio de BC. Además AB = 10m y BC = 18 m. a) 13 m d) 15 m

M

B b) 14 m e) 16 m

N

C

c) 12 m

41) Según la figura, calcula PQ siendo P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente. Además AB = 16m y BC = 20m. A a) 14 m d) 18 m

208

B b) 16 m e) 20 m

A a) 1 m d) 5 m

B M C b) 3 m c) 4 m e) 2 m

43) Determina PM siendo M punto medio de AQ, AQ = 32m y AP = 12 m. A a) 3 m d) 6 m

P M b) 2 m e) 5 m

C c) 19 m

49) Calcula MN si M y N son puntos medios de AB y BC, respectivamente, y además AC = 24 m. A M a) 10 m d) 18 m

Q c) 4 m

B N C b) 12 m c) 16 m e) 13 m

50) H a l l a P Q s i e n d o P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente, y además AC = 32m. A

P

a) 16 m d) 14 m

B b) 18 m e) 10 m

Q

A a) 4 m d) 5 m

M B C b) 2 m c) 3 m e) 6 m

45) Halla MD si M es punto medio de PQ, PQ = 36m y DQ = 11 m. P a) 4 m d) 5 m

M b) 6 m e) 7 m

D

Q c) 8 m

A a) 10 m d) 18 m

B C b) 12 m c) 20 m e) 24 m

47) Calcula PQ si PQ = 3QR y PR = 40 m. P a) 20 m d) 36 m

Q R b) 24 m c) 32 m e) 30 m

48) Halla AB si AB = BC = 2CD y además AD = 50m. A B C D a) 10 m b) 15 m c) 25 m d) 20 m e) 12 m

C

c) 12 m

44) Calcula BM si AM = MC, AC = 28m y BC = 10m.

46) Halla AB si AB = 2BC y AC = 30 m.

A M B C a) 8 m b) 12 m c) 6 m d) 10 m e) 4 m

A

42) Determina BM si AM = MC, AC = 30m y AB = 10m.

Si hay un parásito que sin duda pone los pelos de punta tan sólo con la idea de poder albergarlo en el interior es la tenia. La tenia o solitaria es un parásito intestinal que llega a alcanzar los 10 metros de longitud y vive solo en el interior del intestino delgado y grueso del individuo. Imagínate un gusano así adherido a las paredes de tu intestino. La Teniasis se suele contraer al ingerir carne cruda o poco cocinada con una larva enquistada. Se han reportado casos en los que la tenia ha salido del cuerpo total o parcialmente por el ano. Este parásito, extraído y estiradoconstituiríaun segmento pues tiene dos extremos y una longitud.

Ejercicios de Reforzamiento 4)

Nivel I 1)

Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona. Una figura geométrica es un conjunto de ___________.  En una ____________ recta todos sus puntos siguen una misma dirección.   La planimetría, llamada también ____________, estudialasfigurasgeométricas en el plano. 

2)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

  

Tales de Mileto fue discípulo de Pitágoras. ( ) Dos rectas secantes se cortan en dos puntos. ( ) La intersección de dos rectas paralelas es nula. ( ) La circunferencia es una figura geométrica no convexa. ( )

)

B) Figura no (   convexa

)

5)

D) Rayo

(

)

a) CDBA b) DCAB c) ABCD d) CDAB e) CADB

209

A a) b) c) d) e)

C 9)

A

D

BC es paralelo a AD CD es paralelo a BC AB es paralelo a CD AB es secante a BC 6)

( ) ( ) ( ) ( )

Del problema anterior, escriba verdadero (V) o falso (F). a) b) c) d)

BC // AB BC ∩ AB = C AB ∩ CD = ∅ AB ⊥ BC

( ) ( ) ( ) ( )

Indica el número de puntos de corte en la siguiente figura. a) b) c) d) e)

8 10 12 16 14

L2

θ

Para el cuadrado ABCD, señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda. B

7)

C) Rectas ( )   paralelas

En la figura, θ ≠ ∅. Indique la alternativa incorrecta.

a) a, c y d b) b y e c) d y f  d) Todas e) b, d y e

Relacionademaneraconveniente los datos de ambas columnas. A) Línea ( quebrada

8)

L1

Indica verdadero (V) o falso (F) en los siguientes enunciados: 

3)

Indica las figuras geométricas convexas.

θ

L3

∅

B

L4

L1 // L2 L1 ∩ L4 = A L2 // L3 L2 ∩ L4 = B L2 // L1

¿Cuántos puntos de corte hay? a) b) c) d) e)

6 8 9 10 12

10) Calcula el máximo número de puntosdecorteentredocerectas paralelas y dos rectas secantes. a) 24 d) 21

b) 23 e) 50

c) 25

11) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona:  Si un punto biseca a un segmento, entonces lo _____________ en partes iguales. 

Dos segmentos se intersecan en ______________ punto.



La distancia más corta entre ____________ es la longitud del segmento que los une.

12) En la figura, AC – AB = 6. Halla mBC. A a) 6 d) 24

B

C

b) 3 e) 4



c) 12

13) Calcula mAC. 12+x

3



3

3–x

A

B

a) 15 d) 36

b) 12 e) 18

b) 13 e) 10



c) 3

(

b)

(

El rayo no tiene origen. ( )



La semirrecta tiene origen. ( ) El rayo tiene origen. (

)

20) Relaciona de manera adecuada los datos de ambas columnas.

c) 15

15) Relaciona correctamente ambas columnas. a)

El segmento es una porción de recta limitada por dos puntos. ( )

C

14) Del problema anterior, si x = 1, halla AC – BC. a) 12 d) 11

19) Indica si es verdadero (V ) o falso (F) lo que a continuación se menciona:

a)

(

) triángulo

b)

(

) línea curva

c)  

(

) figura convexa

) Rayo ) Línea quebrada

(

) Línea curva

d)

(

) Segmento

A a) 4 d) 7

B

C

b) 6 e) 12

c) 8

25) Del problema anterior, calcula mAC. a) 8 d) 16

b) 10 e) 12

c) 14

26) Halla x. a) b) c) d) e)

4

1 3 4 2 5

3

2x+1

27) Halla x. d)  

c)  

24) Si AB = BC, halla el valor de ‘‘x’’. 4+x 12 – x

(

) figura no convexa

21) Indica el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes.

a) b) c) d) e)

x

11 13 14 3 12 15

12 4

Nivel II 16) Ubica el punto medio del segmento PQ utilizando la regla y el compás. P

Q

17) Si ‘‘P’’ es punto medio de AB, halla mAP. 12+x 8–x A a) 8 d) 6

M P b) 12 e) 10

B c) 4

18) Del problema anterior, indica el valor de 2 mPB. a) 16 d) 10

210

b) 24 e) 8

c) 20

a) 10 d) 40

b) 20 e) 5

c) 30 28) Calcula (a + 2) si L1 // L2 // L3.

22) C a l c u l a B C s i A D = 1 2 , AC = 10 y BD = 9. A a) 7 d) 6

B b) 5 e) 8

C D c) 4

23) Las regiones que se muestran son equivalentes. Halle el valor de “x”.

25m

2

x 3

2

a) 25 m b) 25 m c) 25 m d) 50 m2 e) 80 m2

a) b) c) d) e)

4 5 7 6 8

a

2

8

a

L1 L2 L3

29) Calcula x + 3 si L1 // L2 // L3. a) b) c) d) e)

2 5 4 6 8

1 x+1

3 9

L1 L2 L3

30) Halla a si L1 // AC.

35) Halla el perímetro de un cuadrado de lado 15 m.

B 8

a+1

L1

4

3 A

C

a) 6 d) 4

b) 5 e) 8

a) 40 m d) 64 m

b) 44 m e) 60 m

c) 48 m

a) 3 d) 4

36) Calcula el perímetro de un cuadrado de diagonal 6m.

c) 7

a) 12 m b) 24 m c) 36 m

Nivel III

41) Si una línea tiene una longitud de 64m, ¿cuántos cuadrados cuyosladosmidan4msepueden formar?

d) 12 2 m e) 18 2 m

b) 2 e) 6

c) 5

42) Utilizando compás y regla traza a la recta L una perpendicular por cualquier punto. L

31) Calcula n si L1 // PQ. R

37) ¿Cuántas caras tiene el sólido geométrico mostrado?

2n+1

15 6

L1

2

Q

P a) 1 d) 5

b) 3 e) 2

c) 4

a) b) c) d) e)

6 7 8 9 10

43) Utilizando compás y regla traza a la recta L una perpendicular que pase por P. P

32) Calcula (x - 2) si L1 // BC.

L

38) ¿Cuántas caras tiene el sólido mostrado?

B x 9 A

2x

a) 8 d) 5

L1

b) 6 e) 3

C

8

a) b) c) d) e)

44) Utilizando compás y regla traza por Q una perpendicular a la recta L.

3 2 8 4 6

Q L

c) 4 39) Calcula el perímetro de la figura sombreada.

33) Calcula 2a - 3 si L1 // AB. B L 4 1

45) Utilizando compás y regla determina el punto medio del segmento AB.

2

3a A

a

a) 5 d) 6

12 b) 4 e) 2

C c) 3

34) Calcula el perímetro de un triángulo equilátero de lado 9m. a) 12 m d) 24 m

211

b) 27 m e) 30 m

c) 18 m

a) 8 + 2π b) 10π c) 18π

d) 8 + π e) 10 + 2π

40) Si una línea mide 30 m, ¿cuántos triángulos equiláteros cuyos lados midan 5 m se pueden formar? a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

c) 2

A

B

46) Utilizando compás y regla traza una perpendicular al segmento PQ que pase por su punto medio. P Q

Ángulo y Sistema Sexagesimal 1. Definición Geométrica del Ángulo

C

Ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos con el mismo origen llamado vértice.

B

90º

D

50º

150º

ELEMENTOS:

180º

* Lados

: OA y OB

* Vértice

: ‘‘O’’

* Notación :

^ AOB, AOB

A

0º

E

O

A

^ = 90º ; m AOB = 50º; mAOC ^ = 180º m AOD = 150º, mAOE O

α

3. Ángulos Congruentes B

2. Medición Angular Hemos entendido que una mayor abertura implica un mayor ángulo. Sin embargo, el hombre para ser más exacto en sus apreciaciones y cálculos ha ideado muchísimos sistemas de medición angular a través de la historia. Podríamos decir que los más conocidos son: * El Sistema Sexagesimal * El Sistema Centesimal * El Sistema Radial

Se dice que dos o más ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Si el ángulo ABC es congruente con el ángulo EOF, entonces escribiremos ^ ⇒ EOF. ^ ABC ^ = mEOF ^ =α También: mABC A

B

α C

Ahora bien, el sistema que utilizaremos en nuestro curso será el sexagesimal, el cual se concibe dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales a partir del centro. A cada una de estas partecitas se le llama grado sexagesimal (1°). Para ilustrarlo, imaginemos que Lorenita hubiese dividido su torta en 360 tajadas, todas iguales entre sí. ¿Puedes imaginarlo? Pues bien, cada tajada representaría un grado sexagesimal. El instrumento que utilizaremos para medir los ángulos en forma precisa y en el sistema acordado será el transportador sexagesimal.

O

E

α F

¿Recuerdas cuál es el sistema que acordamos utilizar para medir los ángulos? ___________________________. Por consiguiente, es menester que sepamos más sobre este sistema.

212

178'' 60 58'' 2

Recuerda El antiquísimo, pero aún vigente sistema sexagesimal, se concibe dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales, todas con respecto al centro de la circunferencia. A cada una de esas partes se le llama grado sexagesimal (1°). El grado sexagesimal (1°) es la unidad del sistema. Ahora bien, en pos de una mayor precisión, cada grado sexagesimal fue dividido en sesenta partes más pequeñas, todas iguales entre sí, a las que se le dio el nombre de minutos sexagesimales ('). Finalmente, y aunque no lo crean, se requería de mayor precisión aún. Por eso, a cada minuto se le dividió en sesenta partecitas, diminutas en extremo, todas iguales entre sí, a las que se les llamó segundos sexagesimales (''). 1 vuelta < > 360° 1° < > 60' 1 < > 60 1° < > 3600 '

b) 10 925'' < > ______________ Como 1º 3600'' dividamos 10 925 ÷ 3600 para saber cuántos grados hay en 10 925 segundos. 10 925'' 3600   125'' 3º Me han sobrado 125''. ¿Cuántos minutos habrá en 125''? 125'' 60   5'' 2'

''

''

Interesante Para medir el tiempo, al igual que los ángulos, se utiliza el sistema sexagesimal, llamado así pues una unidad superior es sesenta veces la unidad inmediata inferior. Para el tiempo 1 hora < > 60 minutos 1 minuto < > 60 segundos

Para los ángulos 1° < > 60' 1' < > 60''

Sin embargo, para medir períodos de tiempos mayores se utilizan unidades que no guardan relación con el sistema sexagesimal. Por ejemplo, el año se divide en 12 meses, a su vez , el mes se divide en 30 días, la semana en 7 días, etc.

En la dirección de internet www.sexagesimal.org hay una novedosa propuesta de convertir el calendario que actualmente usamos (calendario gregoriano) en un calendario sexagesimal. Según esta propuesta ya no habrían 12 meses de 30 días como promedio sino 6 meses de sesenta días. Esos meses se llamarían frigée, éclose, floreé, graneé, récole y caduce. Entre mes y mes se colocaría un día llamado ‘‘adventicio’’. ¿Desearías saber más sobre esta innovadora propuesta? Ingresa a la dirección citada. Ejemplos: a) 178'' < > ______________ Como 1' 60'' dividamos 178 ÷ 60 para saber cuántos minutos hay en 178 segundos.

213

Observa el reloj de la fotografía adjunta. ¿Verdad que las doce divisiones de las horas no han sido colocadas al azar?, puesto que las horas tienen la misma duración estemos donde estemos, ¿cómo crees que serán los ángulos que forman con respecto al centro el 3 con el 4, el 7 con el 8 ó el 11 con el 12? ... ¡Excelente! Estas aberturas sonunejemploprecisodeángulos congruentes.

4)

Nivel I 1)

Si el ángulo mostrado tiene como medida 60°, hallael valor de x. B

O a) 30º d) 12º 2)

^ y COD ^ son En la figura, AOB congruentes. Halla el valor de x. B D

O

3x

30º A

a) 30º d) 20º

2x-10º

O

C

b) 20º e) 50º

8) 5)

A partir del gráfico, calcula x si m AOB = 66°.

^ y En la figura, los ángulos MNP ^ son congruentes. Halla el RST valor de x. M

R

N

7x-5°

2x+20º

a) 10º d) 30º

b) 5º e) 35º

c) 15º

9)

A a) 60º d) 20º 3)

b) 66º e) 15º

c) 30º

6)

El ángulo mostrado mide 45°. Halla el valor de ω.

c) 10º

b) 40º e) 60º

c) 50º

S

T

P

2x+6º

b) 40º e) 25º

La medida de un ángulo es 2x - 10°. Calcula x si dicho ángulo es congruente con el doble de la medida de un ángulo de 80°. a) 85º d) 55º

B O

T

c) 30º

A c) 60º

70º S

a) 10º d) 40º

b) 20º e) 5º

U

Del gráfico mostrado, calcula x + y si los ángulos AOB y PQR son congruentes. A P

La medida de un ángulo es 3x - 20°. Calcula 2x si dicho ángulo es congruente con otro ángulo cuya medida es la tercera parte de 120°. a) 60º d) 20º

b) 50º e) 30º

c) 40º

A O O a) 45º d) 15º

B a) 25º d) 45º

ω+30º B b) 60º e) 20º

45°-y

x+20º

b) 20º e) 60º

R c) 40º

c) 30º 7)

Del gráfico mostrado, calcula x - y si los ángulos AOB, PQR y STU son congruentes. A

O

214

Q

R

P     º     0     2       y      3

2x-10º B

Q

10) Del gráfico mostrado, calcula x - y si los ángulos AOB, MNP y QRS son congruentes. N B 80º 2x-20º A a) b) c) d) e)

30º 50º 20º 15º 35º

O M

P S x+y Q

R

11) Indica el valor de x si los ángulos mostrados son congruentes. A M 3 000'

15º+x

O

P

B a) 35' d) 25°

b) 25' e) 30°

N

O

550'+x P

a) 40' d) 50''

b) 50' e) 500''

Q

c) 50°

13) Indica el valor de x si los ángulos mostrados son congruentes. R P x+1º M

N S

a) 1° d) 8°

b) 10° e) 7°

36 000'' T c) 9°

a) OA b) O ( ( ( (

) ) ) )

c) d)

α ^ AOB

Notación del ángulo Medida del ángulo Lado del ángulo Vértice del ángulo

Agudos Suplementarios Complementarios Congruentes Rectos

18) H a c i e n d o u s o d e t u transportador y tomando como lado inicial el rayo OB, dibuja un ángulo de 60° en sentido antihorario.

O

B

O

α=30º68' A

a) 32° b) 31° c) 31° 8' d) 31° 18' e) 32° 18'

15) Si la medida de un ángulo es 15°120', indica su equivalencia. a) 16° b) 17° d) 16° 30' e) 18°

215

19) Haciendousodetutransportador y tomando como lado inicial el rayo MN, dibuja un ángulo de 90° en sentido horario. N M 20) Haciendousodetutransportador y tomando como lado inicial el rayo BA, dibuja un ángulo de 140° en sentido antihorario. B

c) 14° A

B a) 10° d) 30°

86º

b) 20° e) 25°

c) 35°

22) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a) La notación de un ángulo se hace con letras minúsculas. ( ) b) Los rayos que forman al ángulo son sus lados. ( ) c) El ángulo es la figura formada por dos semirrectas. ( ) d) Se dice que dos ángulos son cong ruen tes cuando tienen la misma medida. ( ) 23) La medida de un ángulo es 3x + 25°. Calcula x si dicho ángulo es congruente con otro ángulo cuya medida es 100°. a) 3° d) 30°

B 14) Indica el valor equivalente de ‘‘α’’.

3x-4° A

E

C

D

17) Si dos ángulos tienen la misma medida, se dice que son: a) b) c) d) e)

O

α A

10º B

16) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas. B

c) 35°

12) Indica el valor de x si los ángulos mostrados son congruentes. A R

O

21) Si los ángulos AOB y CDE son cong ruen tes, calcula x.

Nivel II

b) 20° e) 28°

c) 25°

24) ¿Cuántos segundos hay en 2° 2' 2''? a) 7200'' b) 7300'' c) 7320'' d) 7321'' e) 7322'' 25) ¿Cuántos segundos hay en 15'? a) 720'' d) 900''

b) 800'' c) 1080'' e) 1000''

26) ¿Cuántos minutos hay en 1500''? a) 5' d) 20'

b) 10' e) 25'

c) 15'

27) Indica el valor de: 3° 3' E= 3' a) 60 d) 3

b) 61 e) 120

34) Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda. c) 31

28) Simplifica e indica el valor de: 5° 15' E= 45' a) 7 d) 10

b) 8 e) 6

c) 9

a) 180° < > 179° 60' ( ) b) 180° < > 179° 60'' ( ) c) 180° < > 179° 59' 60'' ( ) d) 180° < > 179° 120' ( )

35) Con la ayuda del transportador, indica el valor de x. (O: centro de la circunferencia)

x 29) Simplifica e indica el valor de: 3' 20'' T= 25'' a) 5 d) 9

b) 6 e) 10

b) 72 e) 89

36) De acuerdo con la figura y con la ayuda del transportador, indica la relación correcta.

31) Expresa el equivalente de 136'. a) 2° 16'' b) 2' 16'' d) 3° 16' e) 2° 16'

a) 2° 4' 15'' d) b) 3° 4' 15'' e) c) 4° 4' 15''

a) β = 2α d) b) α = 2β e) c) α < β

B

216

1° 15' 55'' 2° 5' 45''

a) b) c) d) e)

P

M

2x+5º

d) e)

α>β α=β

37) Del gráfico mostrado, calcula x + 2y si los ángulos AOB, MNP y QRS son congruentes.

A

a) 1° 15' 45'' b) 1° 5' 45'' c) 1° 25' 45''

a) b) c) d) e)

10° 20° 30° 35° 5°

T

80º+z U A

O

x+5y+z B

39) Del problema anterior, calcula m PQR si ‘‘z’’ toma el valor de 5°. b) 80° e) 60°

c) 70°

40) Del problema 38, ¿cuánto le falta a la medida del ángulo AOB para ser 180° si ‘‘z’’ toma el valor de 20°? b) 80° e) 120°

c) 70°

41) Completademaneraadecuadalo que a continuación se muestra.

1° 4' 15'' 3° 3' 15''

33) Expresa el equivale nte de 3945''.

R

α

c) 2° 46'

32) Expresa el equivale nte de 11055''.

50º+x+z

a) 85° d) 110°

β

c) 79

Nivel III

Q

a) 85° d) 40°

c) 8

30) Simplifica e indica el valor de: 2° 11' 40'' R= 1' 40'' a) 70 d) 80

O

38) Del gráfico mostrado, calcula x - 2y si los ángulos PQR, STU y AOB son congruentes. S P

     y        5     +      x

O

42) Indica si es verdadero (V) o falso (F) cada relación mostrada. * * * *

N 49° 55° 69° 35° 52°

a) Un _________________ es equivalente a 60 minutos. b) Un minuto es equivalente a ______ ______ segundos. c) La medida angular de una circunferencia es ________ grados. d) Un grado es equivalente a ________ segundos.

Q

1° < > 60'' 1° < > 360'' 1' < > 60° 1' < > 60''

( ) ( ) ( ) ( )

43) ¿Cuántos minutos hay en 3°? R

75º S

a) 60 d) 90

b) 120 e) 3

c) 180

44) ¿Cuántos grados hay en 120'? a) 2º d) 7º

b) 3º e) 9º

c) 5º

45) Indica la medida angular equivalente del ángulo mostrado. B

195'

O

A

a) 2° 15' b) 1° 15' c) 3° 30' d) 4° 30' e) 3° 15' 46) ¿Cuántos minutos hay en 5° 7'? a) 300' d) 307'

b) 200' e) 310'

c) 360'

Imaginemos que Lorenita prepara una deliciosa torta de chocolate y la va a compartir con algunos de sus amiguitos. Así pues, están reunidos alrededor de la torta, esperando recibir su porción. Llegó el momento tan esperado: Lorenita agarra el cuchillo y desde el centro de la torta, empieza a dividirla en tajadas, dejando, por supuesto, la cuarta parte para su voraz profesor de geometría. Veamos cómo Lorenita dividió su torta:

47) ¿Cuánto le falta a la medida del ángulo RST para ser congruente con 90°? R

S

Savitri

36000' T

a) 81° d) 81'

b) 80° e) 82°

Cesitar

217

L u  C    c  h i  t  o  a  r    l    i    t    a  

M

90° < > 89° 60'' 90° < > 5 400' 90° < > 89° 59' 60'' 90° < > 89° 58' 120''

Observemos, queridos alumnos, que las tajadas más grandes tienen una mayor abertura en el centro con respecto a las tajadas más chicas. Por ejemplo: ¿No es cierto que la tajada de Lorenita es más estrecha que la de Fernandito? ¿Y qué puedes decir de la tajada del ‘‘profe’’ con respecto a la de Carlita? Ahora bien, toda tajada de torta nos da la idea de lo que es un ángulo. Informalmente, podríamos decir que la abertura de cada tajada con respecto al centro del pastel es un ángulo. Por consiguiente:

49) Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a) b) c) d)

Fernando

c) 80'

48) Con la ayuda de tu transportador y tomando como lado inicial el rayo OM, dibuja un ángulo de 1200' en sentido horario.

O

El profe de Geo.

   a    n          re    o          L

( ) ( ) ( ) ( )

‘‘A mayor abertura, mayor ángulo’’

Ángulos según su medida “A mayor abertura le corresponde mayor ángulo”. Esa frase ya la sabemos muy bien, ¿verdad? Sin embargo, aún no hemos clasificado a los ángulos de acuerdo a las aberturas (medidas).

1. Ángulo Nulo

5. Ángulo Agudo

Es aquel ángulo cuyos lados son rayos coincidentes en dirección y sentido. Su medida es 0º y no hay abertura.

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º.

O

A

B α

El hacerlo nos permitirá conocerlos mejor, teniendo una idea aproximada de la forma que tendrán si conocemos su medida.

2. Á n g u l o Vuelta

Clasificando a los ángulos ¡nadie nos podrá engañar! Así pues:

Es aquel ángulo cuyos lados son coincidentes en dirección y sentido, pero luego de haber ocurrido un giro completo (360°).

* ¿Podrá el siguiente ángulo medir 100º? Sí No * ¿Podrá el siguiente ángulo medir 180º? Sí No

* ¿Guarda coherencia el siguiente gráfico? 140º

Sí No

de

θ

una 6. Ángulo Obtuso

A

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.

ω

B

β

3. Áng ul o Lla no o de Media Vuelta Es aquel ángulo cuyos lados son rayos opuestos. Su medida es 180º. OA y OB : Rayos opuestos. A

O

B

4. Ángulo Recto o de un Cuarto de Vuelta Es aquel ángulo cuyos lados son rayos perpendiculares. Su medida es 90º.

Nivel I 1)

Del gráfico mostrado, calcula x si m AOB = 37º y OB ⇒ OC. C B

* ¿Fueron todas tus respuestas “No”? Si no fue así, no te preocupes. Primero veamos la clasificación de los ángulos según su medida, y luego reconsidera los gráficos.

218

x A

O

D

a) 63º d) 60º

b) 43º e) 37º

c) 53º

2)

Del gráfico mostrado si m AOB = 25º y OB ⇒ OC. Calcula x. O D A x

6)

Calcula m BOC si la suma de las medidas de los ángulos AOC y BOC equivale a la medida de un ángulo llano. O C

B

80º

C

A

a) 25º d) 55º

3)

b) 35º e) 65º

B

c) 45º a) 40º d) 90º

Del gráfico mostrado, calcula m BOC si los ángulos AOB y COD son rectos. B

7)

b) 50º e) 100º

Si m AOB = 20º, calcula m AOD, sabiendo que m BOC = 4m AOB.

A C

O 120º

C

B O

D a) 30º d) 60º

b) 40º e) 70º

c) 50º

Del gráfico mostrado, calcula m COD si los ángulos BOC y AOD son rectos.

A D

a) 20º d) 80º 4)

c) 80º

8)

b) 40º e) 100º

c) 60º

Calcula y - 2x.

¿Qué ángulo forma la Torre de Pisa con el suelo?

B

C 50º

O

y x x

A

Agudo

x D a) 50º d) 130º

5)

b) 100º e) 150º

c) 120º

Del gráfico mostrado, calcula x si OA ⇒ OC y OB ⇒ OD. C x O a) 40º d) 50º

219

50º

b) 25º e) 20º

9)

b) 60º e) 150º

c) 90º

Calcula x + y.

y

B

D

a) 30º d) 120º

5y x

A c) 30º

a) 118º d) 15º

Uno de los monumentos más visitados en Italia es la Torre ubicada en Pisa, bella ciudad de 100 000 habitantes. En el pasado se creía que la inclinación era partedelproyecto,ahorasabemos que no. La Torre fue diseñada para que sea perpendicular al suelo. Sin embargo, como se descubrió que año a año la Torre se estaba inclinando, de 1 a 2 milímetros, el 7 de enero de 1990 el edifício se cerró al público para ser reparado. La Torre, de 58 metros de altura, estaba inclinada como 5 metros sobre su eje vertical. Después de 11 años ha sido enderezada unos 40 centímetros por lo que fue reabierta al público el 15 de diciembre del 2001.

b) 128º e) 123º

57º c) 138º

Recto

Obtuso

10) Del problema anterior, ¿qué clase de ángulo es (x - 2y - 3º)? a) b) c) d) e)

Ángulo recto Ángulo llano Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo de una vuelta

3y 5y

2x a) 80° d) 110°

y

x b) 90° e) 120°

c) 100°

12) ¿En cuánto excede el triple de la quinta parte de un ángulo llano a la mitad de un ángulo recto? a) 53° d) 63°

b) 9° e) 70°

c) 18°

13) ¿A cuánto equivale la medida de un ángulo si ésta es la quinta parte de la medida de un ángulo llano? a) 72° d) 40°

b) 30° e) 35°

c) 36°

14) ¿A cuánto equivale la medida de un ángulo si ésta equivale a la cuarta parte de un ángulo llano? a) 90° d) 45°

b) 100° e) 50°

c) 40°

15) La suma de las medidas de dos ángulos que son proporcionales a 2 y 3 es equivalente a la medida de un ángulo recto. Calcula la medida del menor. a) 54° d) 36°

220

16) La suma de las medidas de dos ángulos que sonproporcionales a 1 y 9 es equivalente a la medida de un ángulo recto. Calcula la medida del mayor. a) 9° d) 45°

11) Calcula x + y.

b) 18° e) 30°

c) 27°

20) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

Nivel II

b) 18° e) 81°

c) 27°

17) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I) La medida de un ángulo llano equivale a la medida de 2 ángulos rectos. ( ) II) Un ángulo obtuso es aquel mayor que 90º y menor que 360º. ( ) III) La medida del ángulo deuna vuelta equivale a la medida de dos ángulos llanos. ( ) a) VVV d) VVF

b) VFV e) VFF

21) Del gráfico, calcula: m AOB + m COD si OA ⇒ OC y OB ⇒ OD. O

A

30º D

B

C

c) FFF

18) Relacionademaneraconveniente ambas columnas. a) b) c) d)

I) La suma de las medidas de dos ángulos agudos es equivalente a la medida de un ángulo obtuso. ( ) II) La suma de las medidas de dosángulosobtusossiempre es mayor que la medida de un ángulo llano. ( ) III) Si tenemos 18 ángulos, cada uno de ellos con 20º de medida, entonces la suma de sus medidas equivale a la medida de una vuelta. ( )

Ángulo obtuso ( ) 180º Ángulo llano ( ) 127º 3600'' ( ) 1' 60'' ( ) 1º

a) 60º d) 100º

a) La unidad del sistema sexagesimal es el _________ sexagesimal. b) La medida de un ángulo cuantifica la __________ entre sus lados. c) Para medir un ángulo existen muchísimos ___________, pero el que usaremos en nuestro curso es________.

c) 40º

22) Delgráficomostrado,los ángulos BOC y DOE son congruentes. Calcula m EOC si el ángulo COD es recto. C D E

19) C o m p l e t a d e m a n e r a adecuada.

b) 30º e) 120º

a) 105º d) 135º

O b) 110º e) 125º

20º

B A

c) 120º

23) Con los resultados del problema 11, indica el tipo de ángulo que sería (3y - x/2). a) b) c) d) e)

Ángulo llano Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo de una vuelta Ángulo recto

24) La suma de las medidas de tres ángulos que son proporcionales a 2, 3 y 4 es equivalente a la medida de un ángulo llano. Calcula la medida del ángulo intermedio. a) 20° d) 60°

b) 40° e) 100°

33) Del gráfico, calcula “x”. 49º

a

a) 9° d) 50°

x

70º

b) 41° e) 45°

c) 49°

29) Calcula “b”.

c) 30°

26) Calcula “x”.

b) 30° e) 40°

b) 54° e) 108°

c) 36°

a) 120° d) 145°

c) 135°

35) Calcula “x”. x

x

130º a a a) 155° d) 140°

b) 125° e) 175°

46º c) 135°

a) 46° d) 64°

2x a) b) c) d) e)

x c) 45°

b) 44° e) 36°

c) 54°

36) Halla “x” e “y”.

46º q q b) 78° e) 34°

3x

60° y 20° 30° y 5° 60° y 10° 30° y 20° 30° y 10°

x

3y4y 2y

c) 58° 37) Halla “x” si a - b = 30º.

32) Del gráfico, calcula “x”. a

x

221

b) 115° e) 155°

30) Calcula “x”.

60º

27) Calcula “x”.

a) 18° d) 40°

70º

65º

36º

a) 68° d) 48°

2x-q

c) 130°

x

31) Calcula “x”. 2x x

b) 120° e) 170°

34) Calcula “x”.

Nivel III

a) 15° d) 60°

a) 100° d) 150°

b

a) 18° d) 72°

b) 20° e) 50°

x

80º

c) 80°

25) La suma de las medidas de tres ángulos que son proporcionales a 2, 3 y 4 es equivalemte a la mitad de la medida de un ángulo llano. Calcula la medida del ángulo menor. a) 10° d) 40°

28) Calcula “a”.

2x

b) 36° e) 60°

x+q c) 30°

30º-q

a) 140° d) 170°

2q

b) 120° e) 100°

b

c) 160°

a) 20° d) 50°

b) 30° e) 60°

x

c) 40°