4_FRACCIONES EDITORIAL SINTESIS

FRACCIONES LA RELACION PARTE-TODO

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14. Proporcionalidad geométrica y semejanza

Colección: MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZATE

Grupo Beta

15. Poüedros Gcco¡i¡cuillénso¡d

1. Arc¡ dGcotrocimietrto:didáctica de las rn¡temÁticrs A¡s.lGuri&Ea Bdr&docón@A¡roM,r@Dhz@iro, LuúRio Rl)ll@,M.Si@vázqw

1ó Una m€todotogíe¡ctiv¡ y ¡údic¡ p¡ra l¡ e||seña¡z¡ de la geomehíN

¿ .1 l u me G} opc E c ¡ on*A n g e l M l rd E ¿ R 4 i o .F trc i s o ' U 4R i eyá LuisRicoRóllm. Encll@iú¡ csto Ma¡tlM, Búiqu. C¡úo Mal@z

17. El probleE¡ c¡,chu^

de l¡ medidr nat¡' M B'l'-lc Gó,* 'w 1& Cirq¡lando por el círrulo Fr¡rctu? PrdiI¡,Dfú. Adulfo Setor Hmárdcq Fi¡bh vcuzqu¿,

3. Nuúer&cidn y cáIculo Bd.rdo CónsAr@lo 4. [,¡accion€s sdvádórLlin@ cis, 5. Núñeft6 decim¡ls: Juli¡C¿ cúoPéÉz

M,' vi.loda s¡l&h.z Cñl¡ 19. Sup€rficie y volumctr M.. A¡eel* delorm Rofm, Frscisa M@no carErñ, F¡üciscocil cu¿dÉ .

po¡ qué y para q¡lé

20. ProporcioD¡Iil¡d dfurcta M,'Lui!¿Fiol Mo¡a,roséMl Forünyayreni

1 6, NúrÍ€¡os e¡temó toséL. GonzáLzM¡í, M.'Dd@ Iri¡rt Bü¡tor,Arono OnizComs, In¡Ñld¿ M¡chuc¡,Msúl¡ tilmo P&É2,A¡ronioonir vilñjo, Bs¡c¡onsdz rimérez

V.rg&

21. Nudos y n€xo6. Red€s €n I¡ $cuel¡ Mob¿sCon.t Bcn@ch, Jü@ SüchoCi[ AdonioMlrft d.l MmL Pib. Go¡z¡loMdrln

7. Divi¡ibilirl¿d Mode.bSiem Vázqez,A¡d¡!,sG@l¡, M,' T, Co¡zás tutudilo, Mdoco¡z¡lezaccl¡

22, Por los caminos de la lógics ha. Sd¿ l¿rn¡, ModqroAri.t¡ U¡mndi,

L Probl€mr¡ ¡ritméticos Écolarcr LüisPuigEspi¡o¡q,Fm4do (¡dá¡ ltM

23. Inictsción ¡l áIg€br¡ Meel Marl¡ 506 Robayra,MatlasC{@lD M!.hlI, M.¡ M.ecdasPrlaM Medins, Júef¡HdúÍlezDonJnsH

9. EstiE¡ción eD cdlcolo y mcdiit¡ ¡sidooSeepvia A¡.x, Er@ión C¡m,oMardr¿, EdiqÉ Cstro Ms¡dez, Lu¡! Rso Ro4re

24. E¡|3eñ¡nz¡ de l¡ suma y d€ Ia rc.lt¡ A!¡os M@ GóreZ

10. Aritmétic¡ y c¡lcul¡dor¡ FEddic udin! i abeló

25. Ens€ñanza de I¡ multitr üc*ión C¡rtorM@C6M

11. Msteüalec pala cotrstluir la g€omehía Fl{Ei€h, cr&di alsiúcr.lá, rcep M.'Fo.túy Ay¡)mi cam¡ Bürgués rZ Inútacitu a l¡ didictic¡ ile l¡ geometrí¡ craldi alsim catal4 JoepM,. l¡o¡tunyAtM, c¡@n BüguasFl@ich 13. Simctrí¡ din,ímic{ R¿helpéÉzcóM, ct¡u¡í Akiú cata¡á,c.f.rino Ruizoarido

Eltr Ph¡doRuiz

y d€ h divi.ión

26' tr',uncione! y grÁllcrs ¡o¡diDrulofd Piqet, Ca¡rM AúÁr'úcoitúM |

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27' au¡r y probabilidad Jm Dle Godi¡o.C.@o Bataoñ Bflabéu. M,' t lrtuC¡¡li@s Catellúo 28' EncüG3tas j¡ prccios A¡d.¿t No¡tcsCIEa

29. Prensa y matemáticas Antonio FernándezCano, Luis Rico Romero

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental

FRACCIONES

JosefaFernández Sucasas,M.' Inés Rodúguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra GrupoAzarquiel

LA RELACION PARTE.TODO

34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quintela

Consejoetitor:

CoonnrN¡.¡onrs:

Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

S¡,r,vnoon Lr,w¡nns Crsc¡,n M." Vrcronr¡ SANcnnzGlncfn ProfesoresTitulares de Didáctica de las Matemáticasde la Universidadde Sevilla

EDITORIAL

SINTESIS

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Primera reimpresión: diciembre 1997 Diseño de cubierta: Juan José Vázquez Reservadostodos los derechos.Está prohibido, bajo las sancionespenalesy el resarcimiento civil previstos en las leyes,reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistema de recuperacióny por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier oEo, sin la autorización previa por escrito de Editorial Síntesis,S. A. @ Salvador Llinares Ciscar M." Victoria SánchezGarcía @ EDITORIAL SÍNTESIS. S. A. Vallehermoso. 34. 28015 Madrid Teléfono (91) 593 20 98 http://www.sintesis.com Depósito legal:. M - 43.826-1997 ISBN: 84-7738-047-3 Impreso en España - Printed in Spain

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INDICE Introducción

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Creenciassobre las fracciones 1.1. Las fraccionesy el lenguajecotidiano 1.2. Tus creenciassobrelas fracciones 1.2.t. Sí o no a las fraccionesen la escuela 1.2.2. Acercadel aprendizajedel conceptode fraccióny el lugar que debenocuparen el curriculum ... 1.2.3. Sobrelos algoritmos de las operacionescon fracciones . . . . 1.3. Otras opinionessobre las fracciones 1.3.1. Las fraccionesy su permanenciaen los primeros niveles . . . 1.3.2. Las fraccionesy las nuevastecnologías 1.3.3. El proceso de enseñanzaaprendizaje de las fracciones ]filas operacionescon las fracciones. 1.4. Nuestrascreencias

22 22 24 24 29 30 33

2. Las fr¡cciones en l¡ escuel¡ 2.1. Las fraccionesy las reformascurriculares..... 2.1.1. Las fracciones€n los distintos curricula antesde la instauración de la EGB 2.1.2. Las fraccionesen la EGB.

36 47

3. Las fracciones;rliferentesinterpretaciones .... 3.1. La existenciade diferentesinterpretaciones de las fracciones...... 3.2. La relación parte-todo y la medida 3.2.1. Representaciones continuasy discretas 3.2.2. Decimales 3.2.3. Las fraccionescomo puntos sobre la recta numérica . . . . . . 3.3. Las fracvionescomo cociente 3.3.1. Diüsión indicada.Reparto 3.3.2. Las fraccionescomo elementosde una estructuraalgebraica

51 52 55 56 59 59 63 63 67

35 36

3.4. Las fraccionescomo raz6n . 3.4.L. La probabilidad.... 3.4.2. Los porcentajes . . . . 3.5. Las fraccionesy los operadores.. 3.6. Una visión global de las fracciones 3.ó.1. Relacionesentre las distintas interpretaciones. . .. 3.6.2. Papel destacadode la relación parte-todo 4. La relaciónparte-todoy las fracciones.... 4.1. Introducción 4.1.1. Los atributos de la relación parte-todo 4.1.2. Los contextosde la relación parte-todo 4.1.3. La relación parte-todo como generadoradel lenguajey símbolos . 4.1.4. La relaciónparte-todoy el conocimientoinformal de los niños. 4.2. Relacionesentre situacionesconcretas,descripciónde situaciones, modelosy símbolos 4.3. El trabajo inicial con la relación parte-todo 4.3.1. Introducción 4 -3- 2- E lt am añod el a u n i d a d .......!s 4.3.3. Situacionesen las que la idea de fracción no es aplicable . 4.3.4. Dos direcciones... . 4.3.5. Una recapitulación. 4.4. Una secuenciapara la enseñanzadel conceptode fracción 4.4.1- Diferentesnocionesen el conceptode fracción 4.4.2. Una primera aproximación 4.4.3. Las primeras traslacionesentre las representaciones. El papel de las fraccionesunitarias 4.4.4. La forma escritade la relación parte-todo:las fracciones. . 4.4.5- Los diagramasy la forma escrita . 4.4.6. El problema de las citas perceptuales 4.4.7. Las fraccionesunitarias, el contar y las operacionescon fracciones 4.4.8. La utilización de otros concretos 4.4.9. Los contextosdiscretos 4 .4 . 10. Lar ec t anu m é ri c a .....i . 4.5. Varios nombrespara la mismarelación.La ideade equivalencia.. 4.6. La comparaciónde fracciones.La idea de orden . 5.

l0

Las operacionescon fracciones.Los algoritmos 5.1. Introducción 5.2. Las interpretaciones del conceptofraccióny las operaciones...... 5.2.1. Unapanorámica... 5.3. Algunascuestiones 5.3.1. El manejode los algoritmosy la resoluciónde problemas 5.3.2. Los algoritmosy el trabajo previo con las relacionesalgebraic as . . .

67 7l 7l 72 75 75 77 79 80 80 82 83 84

5.4. La suma y resta de fracciones 5.5. La multiplicación de fracciones 5.6. La división de fracciones 6. Errores y estimación 6.1. Introducción 6.2. El procesointeractivo en la enseñanzay la observaciónde errores 6.3. Errores en las fracciones 6.4. Algunos ejemplostípicos de errorescon las fracciones 6.4.I. Errores en la noción de equivalenciade fracciones 6.4.2. Errores en la adición y sustracción de fracciones

6.4.3. Errores en la multiplicación y la división 6.5. Estimación Referencias

t4l t45 151 155 155 155 r 58 159 159

r60 r62 t64 t67

87 89 89 92 93 94 95 96 96 98

100 101 t02 105 106 109 110 l t4 116 125 131 132 134 137 138 138 l 4l ll

INTRODUCCION

Al abordar un tema tan conocido y a la oez tan complejo como el de las fracciones, hemos querido conjugar dos aspectos.Por un lado, pretendemos que lasfracciones se asocien a situaciones,que signiJiquenalgo para el alumno, que sepa utilizarlas, relacionarlas y aplicarlas. Sin embargo, no podemos oluidar que las Matemáticas son un arte. Y bajo este segundo aspecto, queremos iniciar a los jóuenes alumnos en la de las fracciones. De la misma manera que el buen conocedor del lenguaje utiliza las palabras para expresarse poéticamente, que el músico utiliza los sonidos combinándolos de forma armoniosd, que el pintor juega con los colores, debemos enseñar a los alumnos a relacionar las ideas matemáticas para conseguir un todo qrmonioso. Sólo así podrún apreciar la uerdadera esencia de las Matemáticas. "fi' La idea de fracción aparece a partir de situaciones en que está implícita la relación parte-todo. Esta relación es una de las posibles interpretaciones de la fracción. Pero, por otro lado, también podemos representar mediante una fracción situaciones en las que está implícita una relación parte-parte (o todo-todo), que nos lleuan a una interpretación de la fracción como razón. Aun existen otras interpretaciones de las fracciones: operador, cociente de dos números, etc. El constructo teórico que sintetiza todas ellas constituye el número racional. Hay, por tanto, un largo camino que recorrer entre las primeras ideas intuitiuas de y .Para ello seestudiabandiferentes aproximacionesa la enseñanzade dichos algoritmos,que facilitan su comprensión-manejoa travésde diagramas,materialesmanipulativos,etc. En un segundoperíodoel interésde las investigaciones se trasladaa qué es lo que los niños aprendencuandolas secuencias de enseñanza son desarrolladasminuciosamente. 30

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Por otra parte, M. Gouuno (1964)ya atribuye las dificultadescon las fraccionesa la falta de experienciacon las mismasseñalandoque la diversidad de puntosde vista es esencialen su estudioa un nivel elemental,ya que su introducción de una forma única lleva a un conocimientoatrofiado. Segúnlo anterior,la auténticacomprensióndel conceptode fracciónsólo puedealcanzarsemediantepresentacionesplurales de dicho concepto.Esta es una de las razonesque llevan a M. GourARD a defenderlas regletas Cuisinaire,siguiendolos trabajos de GnrrncNo, como uno de los procedimientos a utilizar para la introducción de las fracciones. PrecisamenteGtrrncNo puede considerarseun precursoren la idea de introducir las fraccionesconsiderándolasdesdeel principio como razones (vinculadastambién a la idea de operador).El material Cuisinaire resulta adecuadopara estemodo de proceder.El otro método tradiespecialmente cional de introducir las fraccionesera el presentadopor la relación parte todo, dividir un en partesy consideraralgunasde ellas,lo que por otra parte pareceser la más intuitiva de las interpretacionesde la fracción. La aproximación a las fraccionescomo operador ha sido desarrolladay estructuradadentro de su teoríageneralpor DnNns.Estemodo de proceder y detractores.Así, KEnsN (1975)escribe: tiene,como todos,sus defensores ya era conocido por los teóricos en el siglo pasado. De lo que realmente se trató fue de una aunténtica revolución de la orientación y de los contenidos de los currículos matemáticos en la escuela. Es dificil identificar las causas que desencadenaroneste brusco cambio. Desde un punto de vista formal, podría decirse que se pretendía dotar a los estudiantesde una formación más versátil, de manera que pudiesen adaptarse más tácilmente al avancecontinuo y vertiginoso que estaba teniendo lugar en un mundo cada dia más tecnológico y que demandaba una mayor compe-tencia matemática. Parecia como si se aceptase el hecho de que no era posible enseñara los alumnos unos conocimientos perdurables,en el sentido de permanentementeútiles. En lugar de ello, había que intentar dotarles de unas estructuras que les permitieran adaptarse a las variadas situacionesque pudieran encontrar en el futuro. También es interesanteseñalar que, justo por estos años, surge en distintos paísesuna gran preocupación por el análisis e innovación de los currícu40

Don Ju¡n dividc cl portcl y lo reparto cotrc todo

LUCCTONr0 QUEURADOS

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STIS PROI'¡EDADES

lt?, Qr¡rbr¡do o lrltcifd¡,- 153. Té¡miuo¡ dcl qrcbrrdo. - 159. ü.¡om¡c¡d,'r. P¡or¡t¡¡r.Nur,".rr,r,,r.-lür. Euiltrn dc ro q.r.ü¡¡rjo.-llil. Lntr3¡ dr r¡ r¡r.t,r.rlrr.-tt¡¡. l¡lsr d¡ tc ?rl¡rt?D I l¡ un qrrcbndo ¡rr rl mirnn. - 16l, Qut rc vcrf,c¡ cu¡ndo dn qlrbrr,l,r ljiltl|l, drl s¡let rni¡lr¡ trnrdlrj.-lü. l.rn qrr'brrrl'r y l:r rrl*.¡:rc¡úndt ¡l¡r,r[¡.-lti qnr.l'rrrl,s. - l¡¡. D¡vr\lio dt ¡^ rlr ll dc h Incc¡in dc un ntinem. - lt¿. lloprrl¡.¡$ prugio, hngrr,gru y [li¡t6. - lt4l. Cómo |. ndu¡c un rah].o ¡ qúr5¡¡do. r¡rtbndc: qurt¡t¡do. l€, ld. uq 0i¡ro ¡

una o vaI57. Lh¡¡rasc gucbrutlo o fruccióo cl nú¡r¡croque e.\prL-sa rias partes igualcsdc l¡ unidad.

Divisiún rJcun prutd lin cl grabatlt' quc cncnlxra

csta ¡r/rgino vúnt(x t¡ut rl.rrr Juan ha tlivitJid¡r

¡-"" I partes vrn el g:r- en el Plan del 65; en cuarto curso figuran en ambos la suma y la resta (Fig. 2.5), y en el curso siguiente el resto de las operaciones y propiedades. La única variación se aprecia en la reducción de fracciones a común denominador que en el plan del 65 se retrasa a 4.ocurso. Se mantiene un enfoque preferentementealgorítmico, y quizá el hecho anecdótico más relevante sea la desaparición de la palabra quebrado. Es de destacar el tratamiento desigual que se dan a las Matemáticas en los últimos cursos de la EnseñanzaPrimaria en relación al llamado Bachillerato Elemental. Así, en el caso de las fracciones,mientras que el 3."'curso del Bachillerato Elemental (Plan del 57) aparecenenglobadas en un tema sobre , en el curso correspondientede la EnseñanzaPrimaria una de las adquisicionesque se señala es la simplificación de fraccionesy las fracciones irreductibles. En cierto modo, los dos planes parecen corresy ponder a una dicotomía entre una forma de introducción > (Fi5.2.6 y 2.7). otra más

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no podemosindicar oor 315(tres quintos) la parte sombreada,al no estar formadapor partescongruentes. Esto es debidba que en¿;J;;ls por :7s: >las relaciones partetodo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que proceden de nuevas divisiones de la unidad. Es decir, el rhanejo con la recta numérica (contextos de media) puede ser una buena introducción a la noción de equivalencia: la misma parte de la unidad recibe nombres diferentes en función del número de divisiones. Un adecuado recurso didáctico para desarrollar estas ideas que relacionan las fraccionesy la noción de medida lo puede constituir los Números en Color. Este material está formado por regletasde madera de diferentescolores y diferentes longitudes, Blanca(b) Roja (r) Verde clara (v) Rosa Amarilla (a) Verde oscura(V) Negra (n) Marrón (m) Azul (A) Naranja (N)

61

con estas regletas' la pregunta tiene una traducción en términos de medida que indica . Para contestar a esta cuestión, hacemos un :(3 : 5)' La relaciónentrelos puntosde B y de '4 es de 5/3):(5 : 3)' b)

aleaciones'"'

una Las comparacionesrealizadasen los ejemplosanteriore-sdescriben como relación (todo-todo), aunque las fracciones (parte-parteD' razonestambién aparecencuando se describencompraciones

E¡slupro l:

ooo ooooo quintos (3/5)' la relación (razon)entre bolas negrasy blancases de tres quintos(3/5)' E¡Buplo 2. La relación de niños y niñas en estegrupo es de tres quintos(3/5)' E¡nuplo 3. La razl¡entre los círculosy los cuadradoses de tres (3 : 5).

La altura del muñeco A es 315de la de B; (3 : 5)' La altura del muñeco B es 513de la del A: (5 : 3)' c) d\

ooo

Las escalasen los dibujos de mapas, planos,

lt¡

T NNNT

a Algunosautoresutilizancontextoscotidianospara dotar_designihcado del puede ser interpretado como una fracción actuando sobre un número (operador), es decir, una acción más que la descripción de una situación; o cuando empleamos para describir esta situación el lenguaje de porcentajes ó0 oÁ de 20>, el 60 por ciento de veinte, estamos comunicando que existe la misma :(en el sentido de razón) que en ((sesentade cien>. Por otra parte, en la sección 3.5 de este mismo capítulo se mostraba la relación existente entre la interpretación de la fracción como operador o como razón, cuando se describía la equivalencia de estados. .r Además, como señala el propio Z. P. DnNns, la conexión entre la interpretación de la fracción como operador y la idea de medida se encuentra en un contexto natural en la realización de mapas y planos (la utilización de escalas). Para intentar clarificar estasúltimas relacionespodríamos indicar que las que pueden separar las distintas interpretaciones del número racional se van haciendo más según subimos por el edificio matemático, hasta que llega un momento que en (trabajo algebraico con números y ecuaciones)pasamos de una interpretación a otra sin impedim€ntos (conceptuales>.El poder de generalizacióny síntesisde las Matemáticas se muestra para ayudarnos a desenvolvernoscon facilidad. Con todas las caracterizacionesanteriores, hemos pretendido mostrar que el concepto (número racional) es muy complejo; formado por diversas interpretaciones e interrelaciones entre ellas; por eso, no podemos más que hacernos eco de la sugerenciade Suvn¡,u (1979) que, despuésde haber hecho una revisión de los proyectos de investigación desarrollados hasta 1979, en relación a la enseñanza de las ideas relacionadas con el número racional señala que conviene: -

76

considerar objetivos a largo y corto plazo en relación a cada una de las interpretaciones; seleccionarlas interpretacionesapropiadas para desarrollar esosobjetivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas necesarias; proporcionar secuenciasde enseñanza(actividades)que contribuyan al crecimiento de estas estructuras.

De todas formas, y como habíamos señaladoal principio de esta sección, manejar las diferentesinterpretacionesviene vinculado al dominio (posesión) de determinadas estructuras cognitivas (lo que condiciona el momento de (ver)) en la escuelaestas interpretaciones).De forma esquemática,tenemos:

en la secuencta lnferencias de enseñanza

La necesidadde que el niño desarrolle la comprensión del número racional en todas sus interpretaciones,así como plantear las relacionesentre estas interpretaciones diferentes ya ha sido defendida por algunos educadores matelnáticos, como hemos señalado en el primer capítulo (véasela opinión de KmnnN, Dmurs,...). El estudio pormenorizado, las caracterizaciones y las implicaciones en el proceso de enseñanzade algunas interpretaciones,en particular decimales, medida, fazon, operador, se sale fuera de este libro y ya ha sido estudiado por otros autores.

3éZ-,

Papel destacado de la relación parte-todo

par(e-todo, tanto en contexAhora bien, parece ser que la i{r-te.rpretación tos continuos como discretos (caracterizadoen la sección 3.2) constituye la piéára angúlar sobre la que se van a desarrollar algunas de las restantes interpretaciones,tal y como se indica en el diagrama anterior' Esta del concepto parte-todo se ve reflejada en la gran atención que normalmente recibe en el desarrollo de las matemáticasescolares. Además, existen opiniones (E[nnnnucH, PAYNE,1978)que dehenden la idea de que para realizarla introducción al concepto de fraccón se_debeusar unu int.iprétación simple (contexto de área. continuo), indicando que la ríación parte-todo es la que constituye la interpretación más natural para los niñoJ(además de constituir un buen modelo para dotar de significado a la suma de fracciones). Sin embargo estasintroducciones unívocas tienen que ser completadas a lo largo de la enseñanzacon otras interpretacionesdel concepto de fracción para intentar evitar las posibles limitaciones conceptuales que se podrían

77

derivar.Una excesivaasociaciónde la idea de fraccióna la interpretación parte-todo(contextocontinuo)podría planteardificultadesante cuestiones como la siguiente(Hanr, l98l):

f ñ * !

.

Veámoslocon un ejemPlo: Totalidad.

División en dos partes.

Relación 1 a 2 e¡tre Parte Y todo.

División en 8 partes'

Relación 4 a 8 entre parte y todo.

en ambos casos tengo igual parte del total.

8l

Distintas relaciones parte-todo pueden expresar la misma parte de un objeto total. En este caso las relaciones se refieren al mismo objeto fisico, y por ello se dicen equivalentes.

4.1.2. Los contextos de la relación parte-todo La utilizaciín de determinados contextos pueden influenciar el desarrollo de secuenciasde enseñanzactJyoobjetivo sea la adquisición de las primeras nociones relativas a la relación parte-todo.

e inicial para la adquisiciónde las nocionesrelativasal número racional, dentro de esteconceptono todos los contextospresentanla misma dificultad, lo que condicionala clasede materiales(concretos) que deben ser utilizados. obtenemos: De forma esquemática

Relaciónparte-todo: a)

Contextoscontinuos:cuartillas, tirasde paPel,Paiitas...

\ tos continuos, basadas en actividades de doblar papel, pajitas,... las ideas

básicasrelacionadascon la noción parte-todopuedenser adquiridaspor niños de ocho años,mientrasque la utilizaciónde contextosdiscretosen las actividadesde enseñanza puedenocasionaren un primer momentomayores dificultades(PnvNn,1978). Esta opinión contradicelas conclusiones del trabajo de Novu,us (1976) que indica que los dos contextosresultaronser del mismo grado de dificul't tad. El objetivo de las investigacionesde Novu,us consistíaen identificar las posiblesdependencias que se pudierandar entrelas ideasvinconceptuales culadasa la noción de fracción. Entre las ideasque consideróse encontrabanla de asociaruna fracción con el área de una parte de una figura (contextocontinuo),con un subconjunto de un conjunto(contextodiscreto),o con un punto de la rectanumérica. Aunqueinteresantes, los resultadosdebenser considerados con precauclon. I:{,o.ytl¿¡S.pon-c-lu.Igq}e _gl desarr o{9 . de_las- relasip¡res."parfe¡-tg-d.qen contextoscontinuos-ydiscretos5pn-reguisilos previosparael trqpajg_cq¡la recfa.numérica.¡ Además sus experienciasindicaron que la capacidadde asociprgna fraccióna una representaciónen un contextodiscretoo continuo ¿ñi#á at-íiáliá¡o con las relacionesde équivalenciálaii'ertiiites'"hornbies para las relacionesequivalentes). de enseñanza(actividades .,--'-'^Nuestra opinión esque para diseñarsecuencias de clase)debemosoptar por un contexto continuo,en primer lugar, e ir integrandoposteriormenteactividadesen las que se utilicen como faseintermedia objetos articulados para utilizar finalmentesituacionesen las que el (la unidad> estéformado por elementosdiscretos.En estecaso el objetivo de la secuenciade enseñanza(objetivo a corto plazo) serádesarrollar-potenciar los atributosdel conceptode fracción(asumiendoen estecaso i' los señaladospor Pr¡,c¡r et al. y los añadidospor PevNn). Estasconsideraciones tieneninferencias en la secuencia de enseñanza. De forma resumidasepuedeindicar que aunquela relaciónparte-todoes básica 82

4.1.3. L¿ relaciónparte-todocomo generadora del lenguajey símbolos

De algunamanerase puedeentenderque la relaciónparte-todose endel númeroracional.Esta cuentraen el origende las demásinterpretaciones intepretaciónes de las más intuitivas en el niño, por tanto el problemase planteaen que su uso la convierteen generadorade lenguajey símbolos,que van a constituirla basey origendel trabajo con las demásinterpretaciones. Debe tenersemuchocuidadoen la identihcaciónde los símboloscon las así como en la utilizacióndel lenguajeasociadoa las ideasde situaciones, parte-todoque se realizaen estosmomentos.La atenciónespecialque recibe estainterpretacióninicial de las fraccionesnos obliga a ser cuidadososcon las ideasque en ella se transmiten. El lenguajey los símbolosutilizadosen este primer momento pueden de la noción fracción. condicionarla comprensiónde futurasampliaciones (Krnsr-srn, 1986) han señaladoqueel maneAsí,algunasinvestigaciones jo de las fraccionescomo númerosen determinadas tareascomo puedenser: - colocarfraccionessobrela rectanumérica, - nombrar fraccions(entreDdos fraccionesdadas,... son relativamentecomplicadaspara los niños que sólo las fracciones como una descripciónde una relaciónentrelas partesen que seha dividido un todo y el todo.

83

Por otra parte, una inferencia que se debe hacer en el desarrollo de las secuenciasde enseñanzade la noción fracción es el cuidado especialque hav que tener en identificar las manipulaciones concretas,la expresión veJbal,los diagramas, la expresión escrita y los símbolos que se manejan en estas situaciones.(Estas ideas serán descritasa lo largó de las próximas seccio_ nes.) En otras palabras, en un primer momento de la secuenciade enseñanza, el objetivo primordial de desarrollar la comprensión del concepto viene vinculado a la capacidad de que el niño pueda hacer de la noción parte-todo. Esta idea de intentar vincular el objetivo de conseguir la comprensión de la relación parte-todo ala capacidadde representaresta co-preniión conseguida nos presenta otra de las característicasde la secuenciade enseñanza:la necesidadde el significado de los símbolos con los niños. Bajo esta perspectiva,la idea de el significado de los símbolos debe verse como el propósito de llenar de significado los símbolos (la representación de la relación) que los niños utilizan (o van a úilizar) para describir las situaciones que llevan implícitas la noción de fracción. .: Este hecho hace que nuestra atención se centre en las posibles representa. ciones de la noción parte-todo así como en las diferenteslraslacionesde una representacióna otra. (Esta cuestión será desarrollada en detalle en la sección 4.4 de este capitulo.)

4.1.4. La relación parte-todo y el conocimiento informal de los niños una forma de comenzar a desarrollar el ,que pretenda dotar de significado los símbolos que utilizamos para representar el concepto, es dar importancia al conocimiento que de forma fragmentaria e informal llevan los niños en relación a la noción fracción (parte-iodo) cuando vamos a empezar a trabajar estas ideas. También conviene localizar situaciones usuales en las que aunque nunca se hayan trabajado así. Actividades desarrolladasen las auras normalmente que pueden no tener ninguna relación, a primera vista, con el desarrollo de conciptos matemáticos, pueden ser utilizadas a este respecto. Ejemplo de este tipo de actividades pueden ser la construcción de murales o mosaicos en el aula. La colocación de un gran panel de papel en una pared de la clase,el cual se divide en regionesiguales pu.u gtupor de niños a los que se les pide que realicen sus dibujos pueden-ser ñtilés a través de cuestionesy actividadescomo: 84

-

; la introducción por parte del profesor de divisiones .

puedensuscitarcuestiones como, Provocando los comentarios de los niños y dejando que sean ellos los que justihquen sus respuestas. La construcción de mosaicos utilizando (cuartos) de distintos colores y formas pueden introducirnos en considerar mosaicos formados por determinadas formas y colores de tal forma que resulten . Actividades de recorte y pegado con hojas de revistas y periódicos también pueden ser utilizadas para este conocimiento informal que pueden manejar los niños sobre las fracciones.Sugerenciascomo, -estimar el tamaño de una foto en relación a la hoja entera; - relacionar el tamaño de algunas fotos en hojas distintas de un periódico, adquiera haceque er iu verdaderadimensiónen -ui..iur de llegara la conceptuarizacióndela relació"-fu*.l,oto. "t;;;. Las fases de trabajo con este materialmanrienen,los mismosupu.tuaá,descritosp";; ;r;;;os de papel rectangulares, atendiendoa las diieccion",¿"1 ,rqu",nu-a.-üs rlprerentacio_ Además

ffi1Jrj?*::iones'

potencia nociones comolaso" suf"rnci"s equiva-

otro materialestructuradoque puede ayudara conceptualizar todaslas nocionesy reracionesindicadas'so"'ior Númerosen color. No "ono"idos deeste."i;;il;.;que

consideru_o; q;; essuficien_

lil:H'ff:mención

4.4.9. Los contextosdiscretos Al principiode estecapitulo,habíamos señaladola necesidad de incorpo_ rar en un momento dado a ra secuencia de enseñanz;1;;;; conrextos discretosdondela relaciónp"r,"-irá. presente.El motivo consistía en presentardesdediversasperspectivas "rluui"ru la noción de fracción.Se intentaba evitar asi que la formación ¿e ¿sta lrü u¡n"rruda sólo a determinados concretos'podríamos_ entenderesto como una expresión del principio de Drc¡'¡Bs de variabilidadpercepriv"i;;r;;;i; percepción, mantenerla reración (estructura)matemática).oJ toaas for;; iuy iu" ;;;"t""res que ra

1hcha,, eu,uui,o,, ) puede ;H:iHTrlH:1];iXffi:""1;* ffiiretos

El énfasisque se rearizoanteriormente s.ob_re er paper que juegan las fracciones unitariasen la_concep,""l¿".i0" de la relaciónpárte-todo,u.n_ a inrenraraIIan

*X".lr:i"ff :

ar

; ; i_Jin;uItad; ;;il; "lc

ri-*,* n conrex_

Si tenemosun conjunto de cinco fichasy consideramos que

ooooo ;:ilt:ltj:t' 110

cadaficha se consideraun quinto de

Las dilicultadespuedenempezarcuando hay que considerarpartesde la unidad formadaspor diversosobjetosdiscretos:

,,C- Q ' o o o o o o o o sonun quintode la unidad.> n"n". oscuras -t* Reconociendolas difrcultadesque puedanaparecer,las actividadesque planteamosdebenestardirigidasa: - reconocimientode la unidad; - reconocimientode partesde una unidad,y - ¿cuántaspartes? En un primer momentolas situacionesque sedebenpresentarson aquemás familiaresa los niños llas que conllevanfraccionesque consideremos que estéformadade tal modo y la unidad (medios,tercios,cuartos,...) en las (subgrupos de un elemento). partes una ficha que las coincidancon unidad como Si consideramos

ooo

iO iÓ; O : ,, .

Si consideramos como la unidad

oooooo

e-ao; O-o--ó; la unidad sin demasiados

):(una de las dos>, , .

111

Hay que evitar que los niños puedan confundir la cantidad de hchas en cadaparte (subgrupo) con el número de partes que se tengan. Esta situación se puede presentar en: Asi indican:

ru

El número total de las parteslo hemos multiplicado por dos, el número de partes sombreadastambién lo hemosmultiplicado por dos' 4de8

Los cuartosestánsombreados. 2de4

Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectang que ,", y lu recta numérica.És una forma de organizarla información regla' la a poseemosen estosmomentos,que puedeayudara aproximarnos de 'S;;p;; en las actividadesde gtnétu. la familia de medios,de cuartos' unitarias' fracciones de contar tercios"..que salena partir de lás secuencias Si iodós los dobleieslos realizamosde forma verticaltenemos, Familia de los medios: Familia de los tercios: Familia de los cuartos:

I

lr: rll

I

l' l' l'l '! ttz

ó

2/4

i

stz

2

2/2 3/3 4/4

6/4

4/2 6/3

t'!'l 'l 3

612 9/3

t2l

rsra representaciónpuedeser más clara aumentandoer número de fami_ lias consideradas.Así seobtienenlr" r¡g"ü,"s fraccionesequivalentes, entre

r/2 : 214 l:tll : 2/2:3¡3:4/4:... 312: 6¡4 2:2/t: 412:6/3:gl4:... 5/2 : 1g¡4 3:3lt: 6/2:9¡3:t2/4:... si toda esta información la podemos colocar en una gran pizarra d,e franela en er aura, ra dirección estosmomentos es descubrir el modelo numérico que se sigueen "'G;i;; ta generaciónde fraccionesequivalentes. La ventajade podermosrrartanta inform*tó;;i;;;;#;", a través de Ios datosorganizadosenra pizarriá" iün.ru, esquefacilitael determinar la regla que se sigueen todas rásfamitias áe fraccionesequivarentes, al tener ante la vista varias de estasfamilias. El objetivo de utilizar estegran

2?3 -:3r24

? l2'

d) Dadas dos fraccionesencontrarfraccionesequivalentesa las dos, con un denominadorcomún. El algoritmoque estosautoressugierenes elegirel denominadormás grandede las fraccionesdadase ir intentando múltiplos sucesivos. El verdaderovalor de estosejerciciosse encuentraen el análisisde los procesospersonalesconjeturadospor los niños en su trabajo en pequeños grupos y en las discusionesposteriorescon la claseentera cuando cada grupo presentay justificasus procedimientos. En las secuenciasde ejerciciosde este estilo, los niños encuentranmás fácilmentelas solucionescuando lo que apareceson relacionesde múltiplos, por ejemplo:

3? 4t2 en dondepara pasarde 4 a 12 multiplicamospor 3, luegohay que multiplicar el 3 del denominadorde la primerafracciónpor el factor 3 para obtener el numeradorbuscado. Sin embargolos niños tienenmás dificultadesen los ejerciciosen los que no se da estarelaciónde múltiplos,por ejemplo: 912 -:t2?

así, los siguientesejerciciosse pueden proponer para ayudar a la generalización.

i) 2 x 2

b\ Dada una fraccióny un nuevo denominadorencontrarel numerador

ii)3x?_ 4x?-

en estecasoel paso de 9 a 12 no es a travésdel producto de un número natural. de ejerciciospropuestapor Ennnnnucr et a/. (1978)se En estasecuencia que en todo momento los niños puedenrecurrir al material sobreentiende para comprobar sus resultados.

123

Además, la verbalizaciónde todos los pensamientos subyacentesa Ia manipulación, sea de símbolos o concreta, ayudará a interiinzar la regla puestade manifiestocuando se construyen familias de fraccionesequivalentes a una dada. Esta secuencia,con la que se obtiene el procedimiento para obtener fraccionesequivarentescon_términosmayores, debería con acti_ vidades-ejercicios de simplificación: ""-pl"tá^" 362??153 : 60:30: 15 10

n: i que ayudarán a mostrar la regla en todos sus aspectos. Hay que recordar que estosejerciciosson sugerenc ia de aüiuidades que ayudenal profesora estructurarsusaccionesdocátes. g. J*ir,; debenser consideradoscomo ejerciciosindividualesa rearizarpor cada niño sin antes habersedesarronadoalgunascrasesprevias de diálogo-¿ircuriáo pequeños y gran grupo. "n ,, Y-" dentro del campo-delos símbolos,existensugerenciassobrela forma de aftanzarla regla de obtención de fraccionesequivalentes, que sfrpoyan en la delinición del elementounidad. ..1

2..,

J' '

:

2 fú l

zr3 6 t *l¡j: i , s : o

La introducción de la multiplicación de fracciones, favorecela utilización de estassugerencias.En el capítulo siguienteveremosqué ror-u pu"á"n adoptar. También puedeser útil aprovecharla conexión entre hs iraccionesy los decimalespara determinarla equivalenciade fraccioner. si Áuol¡o de los decimalespor los niños nos lo plrmite, podemos "r utilizar la calculado ra paÍa mo'trar.dicha equivarencia.se enfatiza en esta situación la conexión entre las fracciones,la división de dos números naturales y los decimales. 6

t: 2 ,:

6 :3:2 3:2:

; 1,5 |

t2 : 12:6:2 6 6 4:6:4:1,5

Por otra parte el y19jo de la equivalencia de fraccionesnos puede permitir acercarnosa la idea de la densidad de los ,rn-"ro, racionales, medianteactividadesde búsquedade fracciones(entre)) otras dos fracciones dadas. A continuaciónvamosa ver cómo seutiliza la idea de fracciónequivalente para determinarla relaciónque existeentre er una fracción?Esta podría ser la pregunta clave.Una actividad que podría ayudar a respondera estacuestiónseríala de pedir a los niños que construyan una fraccióntan próxima a 1 como seaposiblepero menor que él mismo (BnHn,et al.,1986). Podemoscomenzarpidiéndoleal niño qu€ proponga una fracción cercana ala unidad. Supongamosque la respuestaes 517' A continuación le pedimosque dé una fracción más cercade la unidad que la anterior. La idea es intentar que observe que puede hacerlo aumentando el numerador y proponer consecuentemente 6l7 . La tareaes más dificil cuando le volvemosa pedir otra fracción a partir de ésta,más próxima a la unidad pero menor que ella. Un alumno con una comprensión suficientedeberá ser capaz de razonar que aumentando el numerador y el denominadoren una unidad obtiene 718,que es mayor que 617,pero menor que uno. Evidentementeestasactividadesse puedenmodilicar cambiandoel número al que pedimosque los niños se aproximen con las fracciones' Otro tipo de actividadpodría serlas que requierancomparardos fraccionesdadas.En ellasalgunosniños elaboranestrategiaspersonalesque consisten en utilizar otra fraccióncomo punto de referenciapara realizarla comparación, o realizanmentamenteciertos algoritmos. Actividades que potencien destrezasde estimación en situacionesde .sumapuedenser las que ante una seriede cinco o seisnúmerosnaturalesse pida a los niños que formen dos fraccionescuya suma estélo más cercana posible a un número dado (este número dado estaría en función de los númerosnaturalesque se le proporcionana los niños en primer lugar). Una modificación de la tarea anterior consistiríaen que los niños proporcionendosfracciones cuyasumaestélo máscercanaposiblea un número dado pero sin proporcionarlesde antemanoningún conjunto de números naturalespara que formen las fracciones. que el valor de estastareasestáno tanto en la respuesta Evidentemente que se les den oportunidades proporcionar como en las puedan los niños para que puedanverbalizarlas estrategiasutilizadaspara dar la respuesta. 165

La comparaciónde las distintasestrategias empleadaspor variosniños y la discusióncentradaen cuál es la idóneaen cadacasopuede,por una parte, ayudar al profesor a darse cuenta de cuál es el nivei de conocimiento en relacióna las fraccionesy a las operacionescon ellasque tienensusalumnos. Por otra parte ayudaa los-niñosa serconscientes de suspropiasestrategias para que las reafirmeno las modifiquen en cada situación párticular. volvemos aquí a insistir en la necesidadde trasladarla atenciónsobrelas estrategiasempleadasy su justificación por parte de los niños frente a la valoraciónde las respuestas sólo como correctaso incorretas. Paraoperaciones como la multiplicacióny con el mismoobjetivoreseñado para las actividadesanteriores,wooncocr (19g6)ha propuesto lo siguiente:se le da al niño una ligura geométrica,por ejemploun rectánguloy sele pideque dibujerectángulosque seanlll0, rl2,3la y 9lr0 del rectánguló original,planteándose una seriede preguntaspara hacerlesreflexionarsobre lo que han realizado. Estaspreguntasse referirána la comparacióndel tamaño de los rectángulos,a ordenarlesde mayor a menor y cómo podrán sabersi el rectángulo que tienen que pintar era mucho menor o sólo un poco menor qué el original. a+ En una segundaparte s€ utiliza la experienciaadquirida para calcular productosde fracciones,pidiéndoles,por ejemplo,que estimencuál seráel resultadoaproximado al determinarla fracción de una cantidad:siendoesta cantidad al principio un número natural para luego pasar a fraccionesen tareascomo las de estimar el resultadode 1/10 por Il3, ll2 por 113,... haciéndoles tambiénpreguntasdel mismo tipo de lai anteriores.Para terminar, queremosresaltarque una de las ventajasde presentara los niños actividadesde estimar tanto el > de la fracción como el resultadode las operaciones con fraccionesesquelesayudaa profundizaren el propio conceptode fraccióny de las operaciones. De hecho,la asimilación de dicho conceptoy el desarrollode la habilidad de estimarson procesosque transcurrenparalelamente,apoyándoseuno en el otro.

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