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Cuaderno Mates 4A - cub

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Índice 1 Números racionales pág. 2 Los números naturales y enteros. Los números primos. Fracciones. Operaciones con fracciones. Números decimales.

2 Los números reales pág. 10 Números racionales. El conjunto de los números reales. Topología de la recta real. Potencias de exponente racional. Propiedades de los radicales. Operaciones. Aproximaciones. Errores absoluto y relativo. Notación científica.

3 Proporcionalidad pág. 18 Magnitudes proporcionales. Regla de tres directa e inversa. Regla de tres compuesta. Porcentajes. Porcentaje de descuento y de aumento. Interés simple.

4 Polinomios. Fracciones algebraicas pág. 28 Monomios. Polinomios. Operaciones con polinomios. Identidades notables. Factor común. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio. Teorema del resto. Fatorización de polinomios. Fracciones algebraicas.

5 Ecuaciones y sistemas pág. 38 Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Otros tipos de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales. Inecuaciones lineales con una incógnita.

6 Estudio gráfico de funciones pág. 48 Concepto de función. Gráfica de una función. Dominio e imagen de una función. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad. Simetría y periodicidad. Tendencias y asíntotas.

7 Funciones algebraicas pág. 56 Funciones lineales. Funciones lineales definidas a trozos. Funciones parabólicas. Funciones de proporcionalidad inversa. Función exponencial.

8 Cálculo de áreas y volúmenes pág. 64 El Teorema de Pitágoras. Área de un polígono. Figuras circulares. Cuerpos geométricos. Cuerpos de revolución.

9 Trigonometría en ángulos agudos pág. 74 Razones trigonométricas de ángulos agudos. Propiedades de las razones trigonométricas. Razones trigonométricas de ángulos orientados. Valores máximo y mínimo del seno y coseno. Radianes y sistema sexagesimal. Reducción de ángulos al primer cuadrante.

10 Vectores pág. 84 Coordenadas de un vector. Módulo de un vector. Vector de posición. Vectores paralelos. Ecuaciones de la recta. Producto escalar.

11 Estadística pág. 92 Variable estadística. Tabla de frecuencias. Gráficas asociables a una tabla estadística. Medidas de tendencia central. Medidas de dispersión.

12 Estadística bidimensional pág. 100 Tabla de frecuencia. Distribuciones marginales. Distribuciones condicionadas. Covarianza. Rectas de regresión.

13 Combinatoria pág. 108 Utilización del producto para contar. Permutaciones. Factorial de un número. Variaciones. Combinaciones. Número combinatorio. Propiedades de los números combinatorios. El binomio de Newton.

14 Probabilidad pág. 116 Experimentos deterministas y aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos. Probabilidad de un suceso. La ley de Laplace. Composición de sucesos independientes. Probabilidad de sucesos dependiente.

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1 Números racionales LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS El conjunto de los números naturales N = {0,1, 2, 3,…} Operaciones: Suma y resta: Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el signo que tienen. Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del mayor en valor absoluto. Multiplicación y división: Para multiplicar (dividir) números enteros, multiplicamos (dividimos) los números y el signo se establece utilizando la regla de signos. Potencia: La potencia a elevado a n, an, la definimos como el producto de a por a n veces.

13 + 14 – (– 6 + 5) = 13 + 4 – (–1) = 13 + 4 + 1 = 18 1 Calcula: a) + (9 – 13) – (– 7 + 6) b) 2 − (−5 + 6 ) − 4 (2 + 4 ) 2 Completa las siguientes operaciones:

(

) (

)

a) 72 : 6 ⋅ 12 − 7 − 45 + 3 ⋅ 12 : 9

(

)

(

)

b) 65 : 19 − 6 + 3 ⋅ 19 − 36 : 3 + 2 



3 Calcula: a) (– 2)3

b) (– 3)2

c) 43

4 La madre de Marta, que es submarinista, está entrenando sumergida en una piscina a 392 cm de profundidad, mientras Marta la observa subida a hombros de su padre, que mide 180 cm. ¿Qué distancia hay entre Marta y su madre?

5 Realiza las siguientes operaciones: 2 a) 8 : 2 − 7 ⋅ 2 − ( 4 + 6 : 2) − 5 ⋅ ( −3) 2 b) 16 : 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 5 − ( 3 + 2) ⋅ 11

c) 8 : ( 4 − 12) − 3(−2 − 1) − 5( 9 − 10 )12 6 En un videoclub hay 125 películas, se compran 50 más, si en una semana se alquilan 12. ¿Cuántas películas hay ahora en el videoclub si sólo se han devuelto 3 de las alquiladas?

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7 Calcula: a) (– 3)3

b) (– 1)24

8 El patio de la casa de Pedro tiene 12 m de ancho y el doble de largo. Calcula su superficie.

9 Calcula: a) 2( 6 − 8) 2 +3 ( 5 − 4 )3 − 2 4 − 22 − (−3)

(

) (

)

2 2 b) 2 − 24 : 2 − 4 − 5 ⋅ 2 − 3 − 2 − 6 + 3 

10 Marta se ha comprado un piso con una cocina de 4 m de largo y 2 de ancho, un salón de 4 m de largo y 3 de ancho, un baño de 2 m de largo y 2 de ancho y una habitación de 3 m de largo y 4 de ancho. Calcula la superficie total del piso.

11 Cierta marca de galletas se envasan en paquetes de 40 unidades y se envían a las tiendas en cajas de 20 paquetes. Un supermercado hace un pedido de 25 cajas. ¿Cuántas galletas habrán encargado?

12 Juan tiene un billete de 20 euros, si se compra 2 libretas de 3 euros cada una, un lápiz de 2 euros y 2 bolígrafos de 1 euro cada uno. ¿Cuánto dinero le sobra?

13 En un Instituto hay 520 alumnos entre los cuatro cursos de secundaria, 300 alumnos pertenecen al primer ciclo y del resto 100 son alumnos. ¿Cuántas alumnas cursan el segundo ciclo de secundaria?

14 A Marta le dan todas las semanas 20 euros de paga, después de 5 semanas tiene ahorrados 45 euros. ¿Cuánto dinero ha gastado cada semana por termino medio?

15 Alberto tiene 1.200 euros en su cuenta bancaria, este mes le han ingresado 900 euros por un trabajo realizado y le han pasado dos recibos, uno de la luz por valor de 78 euros y otro de su tarjeta de crédito por valor de 125 euros. ¿Cuánto dinero tiene Alberto en su cuenta?

16 Ordena de mayor a menor: – 6; 4; – 3; 212; – 122; 16; 0; – 123

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LOS NÚMEROS PRIMOS Dados dos números naturales a y b decimos que: a es múltiplo de b si a = n · b con n natural. b es un divisor de a si el resto de dividir a entre b es cero. Un número es primo si los únicos divisores que tiene son el 1 y él mismo. Un número es divisible entre 2 (2 es un divisor del número) si es par. Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o en 5. Un número es divisible entre 11 si al restar la suma de las cifras alternas obtenemos cero o múltiplo de 11. 17 Determina si los siguientes números son primos o no: a) 131

c) 1.231

b) 173

d) 97

18 Determina si los siguientes números se pueden dividir entre 2, 3 o 5. a) 124

c) 120

b) 237

d) 1.231

19 De los siguientes números determina los múltiplos de 11 utilizando el criterio de divisibilidad. a) 132 b) 1.324 c) 24.674 20 Descompón en factores primos: a) 810

d) 720

b) 120

e) 72

c) 3.675

f) 245

21 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 24 y 8

b) 32 y 54

c) 60 y 12

d) 30 y 72

e) 18; 12 y 21

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FRACCIONES p Una fracción es una división indicada de un número entero entre un número natural: donde p es n un número entero y n un número natural. Dos fracciones Una fracción

a c y son equivalentes si: a · d = b · c b d

a es irreducible si el mcd de a y b es 1. b

22 Escribe una fracción equivalente de las siguientes fracciones: a)

20 30

b)

8 12

c)

20 75

60 75

c)

40 30

23 Simplifica las siguientes fracciones: a)

18 40

b)

24 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: 2 3 1 2 3 5 ; – ; ; ; ; ; –1,5 5 5 5 4 4 2 25 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones reduciéndolas a común denominador: a)

1 7 5 ; ; 9 18 12

b) –

5 1 7 ; ;– 12 6 15

26 Determina tres fracciones equivalentes a: a)

1 3

b)

2 7

c)

1 4

27 Determina si las siguientes fracciones son equivalentes: a)

5 8 y 15 24

b)

12 16 y 15 24

c)

20 42 y 50 105

28 Calcula el valor de x en cada caso: 2 x a) = 3 6

b)

4 12 = 5 x 5

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OPERACIONES CON FRACCIONES Suma y resta: Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos los numeradores. Multiplicación: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División: Para dividir una fracción entre otra fracción multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Potenciación: La potencia de una fracción se obtiene elevando denominador y numerador a dicha potencia. 29 Calcula y simplifica el resultado.  3 1 2 5 −  ⋅ + :  5  2 7 14 30 Calcula: a) 4 −

1  1 1 ⋅ −  2 4 5

 2   7  1 b)  3 −  :  + 1 ⋅ 5   2  2  31 Calcula y simplifica:  1 2 2 − 3⋅ −  3 4 5 a) 2 1 +2 4 b) 1 1 1− 2 c)

1

1+

−2+

1

1− 3+

6

3:

2 5−

1

1 4

4 5

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32 Calcula y simplifica el resultado cuando sea posible: 1

a) 1+ 2+

1 2−

1 3

2 +3 5 3 c) : 1 3 1− 1 2− 1 1+ 5 1−

33 Un labrador siega en 5 días

2 de su finca. ¿Cuánto segará, de media, cada uno de los días? 7

¿Cuánto tardará en segar toda la finca?

34 En una fábrica se producen cuatro tipos de tornillos: A, B , C y D. Del total de tornillos 1 1 6 son del tipo A, del tipo del B y del resto son del tipo C. ¿Qué fracción del total de tor5 4 7 nillos son del tipo D?

35 María tiene 30 cromos y le da la mitad a su hermano, después pierde la tercera parte de los que le quedaban. ¿Cuántos cromos le quedan ahora a María?

1 2 de su huerta de tomates, de alubias y el resto, que son 280 m2, de 4 5 patatas. ¿Qué fracción ha plantado de patatas? ¿Cuál es la superficie total de la huerta?

36 Un hortelano planta

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OPERACIONES CON FRACCIONES

37 Un atleta dispone de tres etapas para recorrer cierta distancia. En la primera recorre 5 1 del recorrido, en la segunda se ve obligado a retroceder . ¿Cuánto deberá recorrer en la 6 10 tercera etapa si quiere completar el recorrido?

3 de su capacidad. Gracias a las lluvias la cantidad de agua 4 1 1 aumenta de lo que faltaba por llenarse. Durante el año siguiente se consume del agua que 10 5

38 Un embalse está lleno en

había. ¿Qué fracción de la capacidad del embalse queda al final del año?

39 Un padre reparte su herencia entre sus tres hijos, al mayor le deja la cuarta parte y al segundo un tercio, cuánto dinero le corresponde a cada hijo si el padre dejo 1.200.000 euros de herencia. ¿Qué fracción del total le corresponde al hijo más pequeño?

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NÚMEROS DECIMALES Nuestro sistema de numeración es posicional, esto es, cada dígito tiene un valor u otro dependiendo de la posición que ocupe en el número. Unidades de millón

Centenas de millar

Decenas de millar

Unidades de millar

Centenas

Decenas

Unidades

1.000.000

100.000

10.000

1.000

100

10

1

40 Expresa como número decimal las siguientes fracciones: a)

1 4

d)

7 3

b)

7 10

e)

11 18

c)

2 5

f)

5 18

41 Encuentra dos números decimales entre: a) 2´35 y 2´351 b) 45´67 y 45´671 c) – 0´561 y – 0´56 d) – 3´321 y – 3´32 42 Expresa los siguientes números en forma decimal: a)

3 5

c)

7 9

b)

21 15

d)

12 9

43 Calcula: a) 0´39 – 1´25 + (2´3 · 1´16) b) 8´236 – 3´5 · 2´7 c) 7´123 – 3´56 · 1´5 d) 0´345 + 3´2 · (2´15 – 3´12) 44 Clasifica las siguientes fracciones según sea su expresión decimal: a)

1 3

b)

7 20

c)

39 18

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2 Los números realesl NÚMEROS RACIONALES El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todas las p fracciones de la forma siendo p un número entero y n un número natun ral distinto de cero.  p Q =  : p, n ∈ Z con n ≠ o   n Todo número decimal exacto, periódico puro o mixto se puede expresar como una fracción.

Obtener la expresión decimal de los números racionales, e indicar de que tipo es: 2 • Simplemente hacemos la división y clasificamos la expresión decimal 5 obtenida, que será exacta en el caso de que el denominador sea múl2 tiplo de 2. = 0´4 es un decimal exacto. 5 2 • = 0´33 = 0´3 es un decimal periódico puro 5 8 • = 0´ 533333... = 0´ 53 es un decimal periódico mixto. 15 Obtener el número racional de las expresiones decimales exactas o periódicas. Para las expresiones decimales periódicas recordemos que el numerador lo obtenemos de la diferencia de todas las cifras del número menos la parte sin periodo y el denominador son tantos nueves como cifras del periodo seguidos de tantos ceros como cifras del anteperiodo. 313 − 31 282 141 47 = = = 3´13 = 90 90 45 15 45 Expresa los siguientes números decimales en forma de fracción: a) 3´456

d) 2´34

b) 12′013

e) 2′32

c) 45´124

f) 0´21

46 Calcula la siguiente operación:

10

2 − 1´ 2 : 0´ 6 5

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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no periódica. Los números que se obtienen como solución de la ecuación x 2 = a, donde a ∈ Q con a ≥ 0 y no es un cuadrado perfecto, son irracionales. El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y el de los números irracionales. Este conjunto se representa con el símbolo R.

Encontrar un número irracional entre 1´31 y 1´311 Si añadimos dos ceros a la derecha del número más pequeño y un cero a la derecha del número mayor obtenemos:1´3100 y 1´3110 Cualquier número con la forma 1´310 está entre ambos números. Por tanto, tomamos, por ejemplo, el siguiente número irracional: 1´310101001000100001000001…

47 Encuentra dos números racionales comprendidos entre 5´31 y 5´311.

48 ¿Cuáles de los siguientes números decimales son racionales y cuáles irracionales? a) 5´3131…

c) 7´123123123…

b) 6´12345…

d) 5´2222…

49 Clasifica los siguientes números en irracionales o racionales: a) 0´123

d) π

b) 3´12342671...

e) 89´22222…

c)

1 2

f) 1´0121212…

50 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Todos los números enteros son racionales. b) Algunos números irracionales no son números reales. c) Todos los números reales son racionales o irracionales. d) Cualquier número decimal es racional. 51 Representa de forma exacta en la recta real 3 1 ZX3

ZX2 1

0

1

ZX3

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TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL Un intervalo abierto de extremos a y b, que se representa por (a, b), es el conjunto (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} (a y b no pertenecen al intervalo). Un intervalo cerrado de extremos a y b, que se representa por [a, b], es el conjunto [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (a y b sí pertenecen al intervalo). Un intervalo semiabierto es aquel que presenta un extremo de cada tipo: [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b} ; (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} Una semirrecta es un intervalo con uno de sus extremos igual a: ± ∞ (a, ∝) = {x ∈ R / a < x } [a, ∝) = {x ∈ R / x ≤ a} (–∝, b) = {x ∈ R / x < b} (–∝, b] = {x ∈ R / x ≤ b}

Sea el intervalo [3, 7). Indicar si los siguientes números pertenecen al intervalo: Estarán incluidos en el intervalo todos aquellos valores que cumplan la condición definida por el intervalo: [3, 7) ⇒ 3 ≤ x < 7 • 3 ⇒ 3 ≤ 3 < 7 Si pertenece al intervalo [3, 7) • 10 ⇒ 3 ≤ 10 < 7 Si pertenece al intervalo [3, 7) • 7 ⇒ 3 ≤ 7 5

c) – 3 < x ≤ 2

f) – 4 ≤ x < 6

54 Expresa los siguientes intervalos en forma de desigualdad:

12

a) [– 4, 5]

d) (7, 12)

b) [– 1, 0)

e) (– 3, 3]

c) [– 4, ∞)

f) (– ∞, 3]

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POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL Definimos a elevado a la enésima potencia, siendo a un número real y n un número natural, como: an = a · a · a · a... (n veces) Propiedades de las potencias: a1 = a an · am = an + m an : am = a n – m a0 = 1 1 a−n = n (a n )m = a n · m (a – b)n = a n · b n a Las potencias de exponente racional se definen como raíces de la siguienn

te forma: a m =

m

an

Simplificar y expresar el resultado como potencia de exponente positivo.

(3

2

•

⋅ 35

)

2

: 32

34

7

2

: 32

34

=

314 : 32 312 = 4 = 38 4 3 3

2

(2) ⋅ 2 :23 5

•

(3 ) =

8

=

212 : 23 29 = 3 = 26 23 2

55 Simplifica las expresiones:

( ) a) 2 ⋅ (2 : 2 ) 5 (5 : 5 ) : 5 b) 28 : 22 : 27 3

3

4

3

4

2

5

3

−2

−3

54 : ( 5−3 )−1

56 Expresa en forma de raíz: 2

4

a) 2 3

c) 5 7

2

3

b) 3 5

d) 3 5

57 Simplifica y expresa como potencia de exponente racional los siguientes radicales: a)

6

22

b)

12

34

c)

20

315

86

g)

15

318 ⋅ 212

52 ⋅ 34

h)

18

272

212

i)

36

125−3

58 Simplifica los siguientes radicales: a) b)

c)

20

1116

d)

24

6

625

e)

6

12

3−8

f)

18

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PROPIEDADES DE LOS RADICALES. OPERACIONES Para sumar o restar varias raíces, tienen que ser semejantes:

a c + b c = (a + b) c Para dividir y multiplicar raíces han de tener el mismo índice: n

a ⋅ n b = n a ⋅b

Potencia de una raíz: Raíz de una raíz:

n m

( a)

m

n

a =

n ⋅m

n

a : nb = na:b

= n am

a

Realizar las siguientes operaciones con raíces: •

2⋅33 =

3

3

2⋅3 = 3 6

6 : 2 = 6:2 =

•

• •

3

( 2) 3

3 5

2

=

3

22

2 =

15

2

Para multiplicar o dividir raíces con distinto índice tendremos que reducirlas a índice común: 3

•

3⋅ 2 4

6

=

32 ⋅ 23 4

=

12

34 ⋅ 26 = 23

12

34 ⋅ 23

2 2 Para extraer factores fuera de la raíz descompondremos en factores primos y a continuación dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la raíz. El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de la raíz y el resto es el exponente del factor primo que queda dentro de la raíz. •

3

81⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z =

3

34 ⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z = 3x 3 y

59 Realiza las siguientes operaciones con raíces: a) b)

3

3

23 22 ⋅ 5 3 6 ⋅ 3 16 ⋅ 4 23

c)

( )

6

d)

3

e)

9

12 ⋅ 3

f)

4

 2  2 :  5  5

g)

9 3

7

14

27 :

9

5

27

3

3xyz

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60 Extrae fuera de la raíz los términos que puedas: a)

3

16a 4b 21

b)

24 x 8 y 11

c)

320 25 x

d)

32 ⋅ 625 2.187

e)

2.000 7.776

3

61 Realiza las siguientes sumas y restas: a) 2 5 − 20 + 2 45

b) 3 2 + 4 8 + 50

5 + 45 − 80 + 180

c)

d) 18 + 50 − 98 + 3 8

e) 2 48 − 3 75 +

3 4

62 Realiza las siguientes operaciones con radicales: a)

( 27 − 3) ( 32 − 2) 3

3

b) 50 + 18 − 32

c)

3

16 − 3 54 + 3 56

d)

3

22 ⋅ 3 : 2 ⋅ 3

e)

3

52 : 5 53

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APROXIMACIONES. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado. Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal. Redondeo: si la cifra siguiente al orden considerado es menor que 5 se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden considerado. En caso contrario, se eliminan igualmente las cifras decimales a partir del orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal. El error absoluto (Ea) de una aproximación Va de un número Vr es el valor absoluto de su diferencia:

E a = Vr − Va El error relativo (Er) de una aproximación Va de un número Vr es el valor del cociente entre el error absoluto y Vr:

Er =

Ea Vr

Aproximar el número 5´123864 a las milésimas por aproximación por defecto, por exceso y redondeo. Por defecto: 5´123 Por exceso: 5´124 Por redondeo: 5´124

63 Aproxima el valor del número 2´19486 a las milésimas y calcula el error relativo cometido en cada caso: a) Por defecto:

b) Por exceso:

c) Por redondeo:

64 Calcula el error cometido al aproximar 7´872 por redondeo a las décimas.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA Para que un número esté expresado correctamente en notación científica debe ser de la forma: a, bcd... · 10n, donde n es un número entero Operaciones: Para sumar y restar números expresados en notación científica necesitamos que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud. Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica simplemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto de la expresión por otro.

Para expresar cantidades en notación científica desplazamos la coma decimal hasta que solo nos quede una cifra entera, y el número de lugares que hayamos desplazado la coma lo indicamos en la potencia de diez, positiva si la desplazamos a la izquierda y negativa si es a la derecha. • 17.000.000 = 1´7 · 107 • 0´0000061 = 6´1 · 10–6

65 Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) La velocidad de la luz 300.000 km/s b) Siete billones y medio. c) Cuatro millonésimas. d) Veinticinco diezmilésimas. 66 Calcula las siguientes sumas y restas con notación científica. a) 0´15 · 10–3 + 4´28 · 10– 4 b) 1´5427 · 103 – 1´328 · 102 c) 5 · 1011 + 8 · 1011 – 9 · 1012 d) 5 · 104 + 4 · 102 67 Realiza las siguientes operaciones: a) 2 · 10–5 · 3 · 104 · 4 · 103 b) (3 · 104) : (2 · 10–2) c) [(5 · 103 + 5 · 104) : 5 · 103] · 3 · 10–2

d) (2 · 10– 3)2 : (8 · 10– 3 – 4 · 10– 3)

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3 Proporcionalidadl MAGNITUDES PROPORCIONALES Una razón o razón de proporción es la división entre dos medidas de una misma magnitud. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una medida de una magnitud por una cantidad a, la otra medida queda también multiplicada por la cantidad a. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una medida de una magnitud por una cantidad a, la otra medida queda dividida entre la cantidad a.

68

Determina la relación que se establece entre las siguientes magnitudes: a) La velocidad y el tiempo empleado en hacer un recorrido. b) La altura y la edad de una persona. c) Los kilogramos de peras y el precio que pagamos por ellos. d) El peso de una persona y su número de pie. e) La cantidad de comida que queda en una granja y el número de animales a alimentar.

f) La longitud del lado de un cuadrado y su área. g) El radio de una rueda y el número de vueltas que da a una misma velocidad.

h) El color de un coche y su velocidad máxima. 69

Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales: 6

2 8

70

18

5

0´5 4´5

1´25

Halla el valor de x en las siguientes proporciones: a)

6 12 = 5 x

d)

42 x = 15 45

b)

5 x = 4 8

e)

12 x = 21 7

c)

x 7 = 32 4

f)

15 3 = 40 x

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REGLA DE TRES DIRECTA E INVERSA Para resolver problemas de magnitudes proporcionales seguiremos los siguientes pasos: 1.º Recogemos los datos en una tabla, colocando las magnitudes en columna, al valor que nos piden calcular le asignamos una letra. 2.º Cada columna indica una razón: • Si son directamente proporcionales, igualamos las razones. • Si son inversamente proporcionales, igualamos una razón a la inversa de la otra. 3.º Despejamos la incógnita y obtenemos la solución.

71

La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado después de recorrer un kilómetro?

72

Si la sombra de un edificio de 30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m?

73

Una bomba de agua tarda 20 minutos en verter 4.000 litros de agua. ¿Cuánto tardará en llenar una piscina de 150 m3?

74

Una fuente arroja 250 litros de agua cada 20 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en una hora?

75

Nueve obreros tardan cuatro días en terminar una zanja. ¿Cuánto tardarían si uno de ellos se da de baja?

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REGLA DE TRES DIRECTA E INVERSA

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Con el agua de un depósito podemos llenar 630 botellas de tres cuartos de litro. ¿Cuántas botellas de litro y medio podríamos llenar?

77

En una tarta para 10 personas se tenían que emplear 5 huevos, 2 vasos y medio de leche, 75 gramos de mantequilla y 8 cucharadas de azúcar. ¿Qué cantidad de cada ingrediente habrá que emplear para 8 personas?

78

Marina tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio diarios. ¿Cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen?

79

Un alumno tarda 5 días en terminar un trabajo dedicando al mismo 3 horas diarias. ¿Cuántos días tardará si emplea 4 horas al día?

80

Un desagüe tarda 12 horas en vaciar un estanque. Si además de éste se instala otro el doble de grande, ¿cuánto tardaría en vaciarse?

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REGLA DE TRES COMPUESTA Cuando aparecen más de dos magnitudes tendremos que actuar de la siguiente manera: • Se ordenan las magnitudes y los datos y se averigua el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud que lleva la incógnita. • Se hace la reducción a la unidad.

Tres amigos han ido tres veces al cine y han gastado 40´5 €. ¿Cuánto gastarían si fuesen cuatro veces al cine con otros dos amigos? 3 amigos → 3 veces → 40´5 € 40´ 5 1 amigos → 1 veces → x € ⇒x = = 4´ 5 € ya que ambas 3·3 magnitudes son directamente proporcionales. Ahora de forma análoga calculamos lo que costará para 5 amigos 4 veces: 1 amigo → 1 vez → 4´5 € 5 amigos → 4 veces → x € ⇒ x = 4´5 · 4 · 5 = 90 € 40´ 5 · 4 · 5 Se puede resolver directamente: x= = 90 € 3·3 81

Cinco obreros trabajando durante tres días han cavado una zanja de 12 metros de longitud. ¿Cuántos metros de zanja hubieran cavado siete obreros durante dos días?

82

Seis cocineros en tres días hacen 150 menús. ¿Cuántos menús harán si se les suman tres cocineros durante cuatro días?

83

Cinco personas consumen 100 litros de agua en dos días. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8 personas durante una semana?

84

Un ciclista para recorrer una distancia emplea 7 días, a razón de 60 kilómetros por día, pedaleando 6 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer cada día si quiere cubrir la misma distancia en 5 días pedaleando 8 horas diarias?

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REGLA DE TRES COMPUESTA

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85

Con una caja de 10 baldosas se pavimentan 4 metros cuadrados. ¿Cuántos cajas de 30 baldosas serán precisos para pavimentar una zona de 24 metros cuadrados?

86

En una granja, 120 cerdos consumen 1.500 kg de alimento en 20 días. ¿Para cuántos días dispondrán de alimento si han comprado 80 cerdos más y 250 kg de alimento?

87

Un albañil trabajando en un muro 1 hora diaria tarda 6 días en acabar el trabajo. ¿Cuánto tardarán 3 albañiles trabajando 5 horas al día en acabar el mismo muro?

88

Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 280 baldosas de 25 cm de largo y 15 de ancho. ¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 10 cm de ancho?

89

Cuatro máquinas fabrican 2.540 tornillos funcionando 5 horas al día. ¿Cuántos fabricarán si se añade una máquina más y se aumentan en 3 horas el periodo de funcionamiento?

90

Cuatro carniceros tardan 6 horas en despiezar 12 vacas. ¿Cuántas horas tardarán 6 carniceros en despiezar 30 vacas?

91

En una obra trabajan 21 obreros 6 horas diarias para entregar la obra en 12 días. Si se da de baja 1 obrero y tienen que entregar la obra dos días antes, ¿cuántas horas diarias deben trabajar?

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PORCENTAJES Llamaremos tanto por ciento o porcentaje x % a la razón

x 100

Si hacemos la división, obtenemos un número decimal, a este número decimal lo llamaremos tanto por uno.

92

Calcula: a) 12% de 240

b) 25% de 1.080

c) 33% de 900

93

Expresa en tanto por uno los siguientes porcentajes: a) 12% b) 2% c) 23´7%

94

Expresa mediante un porcentaje los siguientes tantos por uno: a) 0´04

c) 0´045

b) 0´123

d) 1´23

95

En una clase de 25 alumnos 10 son niñas. ¿Qué porcentaje de niños hay en el aula?

96

En una finca de 18.000 m2 se utiliza un 20% para cultivar patatas, un 30% para cultivar maíz y un 15% para árboles frutales. Calcula la cantidad de terreno que se utiliza para cada tipo de cultivo.

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PORCENTAJES

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Juan hace una limonada con 31 litros de agua y 9 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón que hay en la limonada?

98

Si dos de cada ocho alumnos de la clase suspenden una asignatura: a) ¿Qué tanto por ciento de alumnos aprobará la asignatura?

b) ¿Cuántos alumnos suspenden si en la clase hay 20 alumnos?

99

En un colegio con 800 alumnos el 45% son chicas. ¿Cuántos chicos hay en el colegio?

100

¿Qué porcentaje de un cuadrado de 4 cm de lado ocupa un círculo inscrito en él?

101

Un vendedor cobra de comisiones 1.200 euros. Si ha generado 200.000 euros para la empresa, ¿cuánto es su porcentaje de comisión?

102

Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje de anotación del 60% en tiros de tres puntos. a) Si en el último partido ha anotado 6 canastas de tres puntos, ¿cuántos lanzamientos ha realizado?

b) Si en otro partido ha lanzado 30 veces de tres puntos, ¿cuántos canastas habrá acertado?

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PORCENTAJE DE DESCUENTO Y DE AUMENTO Para calcular en qué se transforma una cantidad C cuando aumenta o disminuye un p % se multiplica dicha cantidad por el índice de variación:

 

Si aumenta: C 1 +

p  100

 

Si disminuye: C 1 −

p  100

Por una camisa que costaba 30 € antes de las rebajas hemos pagado 25 €. ¿Qué porcentaje de descuento nos han aplicado?

 

30 1 −

x  = 25 100

 

x = 1−

25 100 = 16´ 6% 30

103

En un establecimiento de venta de ordenadores ofrecen un descuento del 30% sobre el precio marcado. Si un ordenador portátil está marcado en 790 €, ¿cuánto pagaremos por él?

104

Pedro ha gastado 40 € en unas zapatillas deportivas, si tenían un descuento del 20%. ¿Cuál era su precio antes del descuento?

105

En una tienda rebajan un juego que costaba 30 euros en un 18%. ¿Cuánto habrá que pagar por el juego después del descuento?

106

Un equipo de música cuesta 150 euros más el 16% de IVA. ¿Cuánto habrá que pagar por el equipo?

107

El precio de la gasolina se ha incrementado un 2%. Si ayer el litro de gasolina costaba 1´12 €, ¿cuánto vale después de la subida?

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PORCENTAJE DE DESCUENTO Y DE AUMENTO

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Un kilogramo de naranjas que costaba 2 € cuesta ahora 2´10 €. ¿Qué porcentaje ha aumentado el precio de las naranjas?

109

Hemos comprado una camisa por la que hemos pagado 30 €. Si en la etiqueta marcaba 50 €, ¿qué porcentaje de descuento nos han aplicado?

110

Un programa de televisión fue visto en el mes de febrero por 500.000 espectadores, lo que supone un 28% más que el mes anterior. ¿Cuántos espectadores vieron el programa en el mes de enero?

111

Por un libro que costaba 35 € hemos pagado 20 €. ¿Qué descuento nos han aplicado?

112

Una cámara de fotos tiene un precio de 120 € sin IVA (16%), el vendedor nos ofrece un descuento del 10 % después de sumarle los impuestos. Calcula el coste final de la cámara de fotos.

113

De las 850 gallinas de una granja la gripe aviar dejó solamente 238. ¿Qué porcentaje de gallinas murieron en la epidemia?

114

Sobre una compra por valor de 3.240 € nos aplican el 15% de descuento. ¿Cuánto debemos pagar?

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INTERÉS SIMPLE Interés simple (i) es la cantidad de dinero que genera un capital en un banco, retirando cada año el dinero generado. Llamamos capital (c) a la cantidad de dinero que ingresamos en el banco y rédito (r) al porcentaje que aumenta el capital. Si llamamos t al tiempo en años que tenemos el capital en el banco, obtenemos la siguiente fórmula para calcular el interés simple. c ⋅ r ⋅t i = 100

115

Si Pedro hace un ingreso de 1.500 € en una entidad bancaria que da un 2% de rédito: a) ¿Qué intereses habrá generado en tres años?

b) ¿Qué intereses habrá generado en 18 meses?

116

Calcula el interés que genera un capital de 4.000 € al 2´3% durante 6 años.

117

Calcula el interés simple que genera un capital de 6.700 € el 1´7% durante 15 meses.

118

Si un capital al 2´5% genera 200 € de intereses en 5 años. ¿Qué cantidad de dinero es el capital invertido?

119

Si un capital al 1´2% genera 100 € de intereses en 4 años. ¿Qué cantidad de euros se han invertido?

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4 Polinomios. Fracciones algebraicasl MONOMIOS Un monomio sobre el conjunto de los números reales es una expresión algebraica del tipo: a · xn · yn · … zp siendo a un número real y n, m… p naturales. a = coeficiente x, y… z = parte literal o indeterminadas. n, m … p = exponente, su suma nos da el grado. Operaciones: La suma de monomios semejantes es un monomio que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes y la misma parte literal. Para multiplicar o dividir monomios, utilizamos las propiedades de las potencias.

Indicar el coeficiente y la parte literal y el grado del monomio. • x2y6 = coeficiente = 1; parte literal = x2y6; grado = 2 + 6 = 8 2 • 3a b ⇒ coeficiente = 3; parte literal = a2b; grado = 2 + 1 = 3 120 De los siguientes monomios indica su coeficiente, su parte literal y su grado. 2 3 a) − 3 x

x 2 yz 3 2 c) 8 b)

d) 12 xy 3 z 28 xyz e) 13 121 Escribe un monomio que cumpla las siguientes características: a) Grado cuatro, parte literal xyz y coeficiente – 3 b) Grado 6 parte literal ab y coeficiente 0´5

c) Grado 4 parte literal xyzt y coeficiente 1. 122 Calcula las siguientes operaciones: a) 3 xy 2 + 5 xy 2 − 4 xy 2 b) 3 x 2 ⋅ 2 x − 3 x 3

(

)(

c) 8 x 4 y 3 z 3 : 2 x 2 yz 2 d) 21 xy3 – 15 xy3 e) 4x3y2 – 9 x3y2 28

)

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POLINOMIOS Un polinomio es una suma de monomios de distinto grado. Llamamos grado de un polinomio al grado mayor de los monomios que lo componen. Dado un polinomio P(x) el valor numérico del polinomio en a ∈ R es el número real obtenido al tomar x = a en la expresión polinómica.

Indicar el grado y el término independiente del polinomio. 3 x5 − 2 x4 + 3 x − 4 El grado se corresponde con el mayor de los grados de cada uno de los monomios que componen el polinomio y el término independiente es el coeficiente del monomio de grado cero. El grado es 5 y el término independiente es – 4 123 De los siguientes polinomios indica su grado y su término independiente. a) x 2 + 3 x 6 − 5 x + 3 − x 4 5 4 b) 1 − 2 x − 3 x + 2 x

124 Escribe un polinomio de grado 6 formado por cuatro términos y cuyo término independiente sea – 3.

125 Expresa un polinomio completo con dos variables y de grado cuatro.

126 Calcula el valor numérico del polinomio P ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 para los siguientes valores de la variable. a) x = 1 b) x = – 1 c) x = 2 d) x = – 4 e) x = – 3

127 Halla el valor numérico del polinomio P (xy) = 3x2y – 2xy2 + xy – 2 para los valores de las variables. a) x = 1 ; y = – 1 b) x = – 1 ; y = 1 c) x = 2 ; y = 3 d) x = – 2 ; y = – 1 e) x = 1 ; y = – 2 29

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OPERACIONES CON POLINOMIOS Para sumar polinomios sumaremos los monomios semejamtes. Para restar dos polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo. Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio de uno por todos los monomios del otro y simplificamos. Para dividir un polinomio P(x) entre otro Q(x) obtendremos un polinomio cociente C(x) y un resto R(x) tal que: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

Efectuar la siguiente división de polinomios: (2x3 + 4x2 – 1) : (x2 – 2). Realizamos la división como si de una división numérica se tratase indicando todos los pasos hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. 2x3 + 4x2 + 0x – 1 x2 – 2 + 4x 2x + 4 – 2x3 2 4x + 4x – 1 +8 – 4x2 4x + 7 C(x) = 2x + 4 y R(x) = 4x + 7 128 Calcula las siguientes operaciones con polinomios: 4 3 2 a) 2 x − ( 3 x − ( x − 2 x )) + 1

b) (x3 + x – 1) – ((x2 – x + 1) – (x3 – x2 – 1 )) + (x3 – x2 + x) c) (7x3 – 4x2 + 12) + (5x4 + x2 – 5x) d) 5x4 + x2 – 5x + (4x3 + 2x2 – 3x) + 9

129 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: a) (x – 2) · (2x + 1) – (x2 – 1) · (x + 2) b) (x + 2y) · (3x – y + 3 xy – 1)

c) (3x3 + 2x2 + x – 4) · (4x2 – 3x + 8) d) (x4 + 3x2 – 2x) · (5x3 – 2x + 3) e) 4 · (2x2 + x) – (– 3x3 – 4x2 + 5x) + 2 · (x3 – 2x)

130 Nos dicen que al efectuar la división (2x3 + 5x2 + 3x + 2) : (x2 + 3x + 1), se ha obtenido como cociente C(x) = 2x – 1 y como resto R(x) = 4x + 3. Comprueba si son correctos los resultados.

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

131 Divide: (4x6 – 4x4 + 6x5) : 2x3 132 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: a) (x + y) (x + z) – (x – y) (x – z) b) (2x + y – 2z) · (2x – y + 2z)

133 Realiza la siguiente división de polinomios: (x4 – 4x3 + 5x2 – x + 3) : (x2 – x + 1)

134 Dados los polinomios P ( x ) =

1 2 2 1 3 3 x + x + 2 y Q( x ) = x − x + 5 3 3 2 2

Calcula: 4P(x) + 3Q(x) =

135 Efectúa las siguientes productos y reduce los términos semejantes: a) (2x + 4) (x2 + 1) – (2x + 4) (1 – x2)

b) (a3 – a2b) · (– ab) · (2a – b)

c)

5 3 2 2  5 2  x − x + x−7 ⋅ x − 3x 3    5 2

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IDENTIDADES NOTABLES. FACTOR COMÚN Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma por diferencia: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

• (x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4 • (2x – 1)2 = 4x2 + 2 · 2x · (– 1) + (– 1)2 = 4x2 – 4x + 1 • (a + 3b) · (a – 3b) = a2 – (3b)2 = a2 – 9b2 136 Desarrolla las siguientes igualdades notables: a) (– 3x + 2)2 b) (2 – x)2 c) (3x + 2) (3x – 2) d) (2a + b) (2a – b) e) (– 2x + 5) (– 2x – 5) f) (2x + 3y)2 g) (x2 + 2x)2 h) (3x – 2y)2 137 Escribe como potencias y productos notables las siguientes expresiones: a) 16x4 – 24x2 + 9 b) x2y2 + 6xy + 9 c) x2y2 – 25 d) 4x2 – 4xy + y2 e) 16x2 – 25y2 138 Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos: a) 4x3 – 6x2 + 2x b) 24x4y3 – 12x3y + 6x2y2 c) – 3 x4y2 + 9x2y – 6xy d) 2x (x + 1) – 4 (x + 1) e) 5x (2x + 3) – 3 (2x + 3)2 32

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REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini es un algoritmo para dividir polinomios entre un divisor del tipo x – a, siendo a un número real.

Calcular el cociente y el resto de la siguiente división aplicando la regla de Ruffini. (3x3 – 2x2 + x – 1) : (x – 1) 1.º Escribimos en línea los coeficientes del polinomio ordenados según el grado del monomio, comenzando por el coeficiente líder y terminando con el término independiente. Escribimos un cero por cada coeficiente que no esté en el polinomio. 2.º A la izquierda, en una segunda línea, escribimos el valor a del dividendo, en nuestro caso, 1. 3.º Operamos según la figura que mostramos a continuación. – Bajamos el coeficiente líder, 3. – Multiplicamos el valor a por el coeficiente líder, 1 · 3. – Colocamos el resultado debajo del siguiente coeficiente y sumamos. – Repetimos el proceso hasta llegar al último coeficiente. 3 –2 1 –1 1 3

3

1

2

1

2

1 = Resto

4.º Los números que obtenemos en la última fila son los coeficientes del polinomio cociente, ordenados según el grado de mayor a menor. De estos, el último número, que se señala con una caja, es el resto de la división. C(x) = 3x2 + x + 2 R(x) = 1

139 Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini: a) (x4 – 3x2 + 5x – 2) : (x + 2)

b) (x6 – 3x4 – 5x2 + 1) : (x – 2)

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RAÍCES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO Dado un polinomio P(x), diremos que a es una raíz de P(x) si P(a) = 0

• Calcular el resto de dividir P(X) = 2x4 – x3 + 5x2 – 3x + 1 entre (x – 1) El resto de dividir un polinomio P(x) entre x – a es P(a). P(a) = 2 · 14 – 13 + 5 · 12 – 3 · 1 + 1 = 2 – 1 + 5 – 3 + 1 = 4 luego el resto = 4 • Hallar las raíces del polinomio x3 + 2x2 – 5x – 6 Probaremos aquellos valores divisores del término independiente, los que tengan un valor numérico cero serán las raíces: Los divisores de 6 son: x = ± 1; x = ± 2; x = ± 3; x = ± 6 Los valores numéricos para dichos números son: P(1) = 1 + 2 – 5 – 6 = – 8 P(– 1) = – 1 + 2 + 5 – 6 = 0 P(2) = 8 + 8 – 10 – 6 = 0 P(– 2) = – 8 + 8 + 10 – 6 = 4 P(3) = 27 + 18 – 15 – 6 = 24 P(– 3) = – 27 + 18 + 15 – 6 = 0 Las tres raíces del polinomio son: x = – 1; x = 2 y x = – 3 140 Calcula el resto de las siguientes divisiones sin hacer la división: a) (x5 – 3x4 + x2 – 1) : (x + 2) b) (5x4 – 3x4 + x3 – 2x2 + 3x – 5) : (x + 1)

c) (2x4 – 3x3 + x2 + 6x – 7) : (x + 3)

d) (2x4 – x3 – 5x – 3) : (x – 2)

141 Encuentra a lo menos una raíz del polinomio: x3 + 3x2 + x + 3

142 Halla las raíces enteras del siguiente polinomio: P(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de varios polinomios.

Factorizar el polinomio: P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3 Para factorizar el polinomio tendremos que encontrar las raíces del polinomio y utilizar la regla de Ruffini para calcular los diferentes términos, si fuera necesario. Para este polinomio las raíces son x = 1 y x = – 3, como son 2 y su grado es 3 buscaremos el tercer factor dividiendo por Ruffini: 2 1 –3

3 –8 3 2 5 –3 2 5 –3 0 –6 3 2 –1 0

El último de los cocientes, 2x – 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P(x) = (x – 1) (x + 3) (2x – 1) 143 Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x) = x3 – x2 – 4x + 4 b) P(x) = x3 – x2 – 9x + 9 c) P(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6

d) P(x) = x4 + 2x3 – 6x

144 Halla un polinomio cuyas raíces sean x = – 2; x = 2; x = 1 y x = – 5

145 El polinomio P(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces x = 1 y x = 4. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor.

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FRACCIONES ALGEBRAICAS Llamaremos fracción algebraica al cociente de dos polinomios

P( x ) Q( x )

Operaciones: Para sumar o restar fracciones algebraicas con el mismo denominador sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. La multiplicación de varias fracciones algebraicas es otra fracción algebraica que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. La división de dos fracciones algebraicas es el producto del dividendo por la inversa del divisor.

Reducir a común denominador las fracciones:

x−3

, x −1 3

x −1 x − 2 x2 − 2 x − 3 3

Las posibles raíces enteras del denominador de la primera son: ± 1 Se comprueba que solamente x = 1 lo es. Dividimos utilizando el método de Ruffini: 1 0 0 –1 1 1 1 1 1 1 1 0 El cociente C(x) = x2 + x + 1, que no tiene raíces reales, es el factor buscado, resultando: x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1) El denominador de la segunda fracción tiene como posibles raíces enteras: ± 1, ± 3. Solamente x = 3 lo es: 33 – 2 · 33 – 2 · 3 – 3 = 27 – 18 – 6 – 3 = 0. Dividimos: 1 –2 –2 –3 3 3 3 3 1 1 1 0 Obtenemos el mismo cociente que anteriormente, resultando el polinomio factorizado: x3 – 2x2 – 2x – 3 = (x – 3) (x2 + x + 1) El denominador común, por lo tanto, es: (x – 3) (x – 1) (x2 + x + 1) y las fracciones, respectivamente, son: ( x – 3)2 ( x – 1)2 ; ( x – 1) ( x – 3) ( x 2 + x + 1) ( x – 1) ( x – 3) ( x 2 + x + 1)

146 Simplifica la siguiente fracción algebraica:

x3 + 2 x2 x6 − 4 x4

147 Reduce a común denominador las siguientes fracciones: x +2 x x–2 ; 2 ; 2 2 x – 2x x – 4 x + 2x

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FRACCIONES ALGEBRÁICAS

148 Efectúa las siguientes operaciones:

x –1 1 3 – 2 + 2 2x x – 2x x –4

149 Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: a)

b)

x 2 1 − + 2 x + 1 x x + 2x

x+3 x − 4x + 3 2

+

x−5 x + x−2 2

x +1 x−2 c) x − 1 ⋅ x 2 + 2 x + 1

d)

x2 − 9 x + 4x + 4 2

:

x−3 x+2

1 1  x +1 e)  + ⋅  x + 1 x − 1 4 x 2

x − 2 3 f) 1 + + +1  x + 2 x+2

(

g)  x + 3

) + ( x + 3)  −1

−2

−1

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5 Ecuaciones y sistemas ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para determinados valores de las letras, llamadas incógnitas. Una solución real de una ecuación es un número real que verifica la igualdad. Diremos que una ecuación es lineal o de primer grado si sus miembros son expresiones polinómicas de grado uno. Para resolver ecuaciones de primer grado seguiremos los siguientes pasos: 1.º Quitar denominadores. 3.º Simplificar los miembros. 2.º Quitar paréntesis. 4.º Despejar.

(

)

(

)

(

• Resolver la siguiente ecuación: 3 21 − x − 10 4 − 3 x = 7 − 5 10 + x

)

1.º Quitando paréntesis: 63 – 3x – 40 + 30x = 7 – 50 – 5x 2.º Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad: 32x = – 66 − 66 − 33 3.º Despejamos la incógnita: x = = 32 16 • Resolver la siguiente ecuación con denominadores.

(

)

4+ x 5+ x 3 x −1 − + = 10 − x 3 3 6 1.º Multiplicamos por el m.c.m.(3, 6) = 6 la ecuación y se quitan denominadores: 8 + 2x – 10 – 2x + 3x – 3 = 60 – 6x 2.º Agrupando términos semejantes a ambos lados de la igualdad: 65 9 x = 65 ⇒ x = 9 150 Resuelve las siguientes ecuaciones:

(

) (

) (

a) 3 x − 3 − 4 2 − 3 x = 2 1 − 2 x

(

)

)

b) 5 x − 3 x + 5 = 3 x + 10

(

)

c) 3 x – 1 – 2 x – ( x + 3) = 5 x – 5 + 5 x

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151 Calcula la solución de las siguientes ecuaciones con denominadores. a)

b)

8x + 5 2 − 5x x − = 2− 10 6 5

(

3 x+2 4

) + 5 = 2x + 2

c)

x+8 x−4 − =2 2 6

d)

2 x − 10 3 x − 2 − =5 3 4

e)

4x − 1 3x + 1 x − 1 + = +2 2 4 3

152 Encuentra el resultado de las siguientes ecuaciones con paréntesis y denominadores: a)

2x + 4 5x + 7 3 − ( x + 3) = +1 3 2 4

 3 x − 2  5 x 20 − 2( 4 − 3 x ) = 2 − − 10 b) 5    9 2 3  

c)

d)

1  1 x − 1 + 4 = 1  4 − 2 x   x− 2  6 9 3  3 3

2 5

(

3 x−2 4

) − 5 ( x + 2) = 3 (2 x − 1) 6

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Diremos que una ecuación de segundo grado es aquella que sus miembros son expresiones polinómicas de grado dos. De forma general, una ecuación de segundo grado se expresa de la forma: ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b y c son números reales. Dada una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0 sus soluciones son: x=

− b ± b2 − 4 ac 2a

Resolver las ecuaciones: • 2x2 – 32 = 0 Despejamos la incógnita obteniéndose dos soluciones, positiva y negativa: 32 ⇒ x = ± 16 ⇒ x = ± 4 x2 = 2 • 5x2 – 320x = 0 Sacamos factor común a la incógnita y resolvemos la ecuación resultante: 5 x = 0 ⇒ x = 0 5 x x − 64 = 0 ⇒   x − 64 = 0 ⇒ x = 64 2 • x – 14x + 49 = 0 Aplicamos la fórmula para calcular el valor de la incógnita:

(

)

x=

− b ± b2 − 4 ac 14 ± 196 − 196 ⇒x= =7 2a 2

153 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 10 x 2 + 9 = 0

b) 3 x 2 − 27 x = 0 c) 3 x 2 − 27 = 0

d) 4 x 2 − 2 x = 0

e) 18 x 2 − 9 = 0 f) x 2 − 3 x = 0

g) 2 x 2 − 32 = 0 40

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

154 Halla las soluciones de estas ecuaciones:

(

) (

)(

a) x − 6 x + 6 = 2 6 − x 2

(

)

)

b) 3 x 2 x + 1 = x 2

155 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a) 4x2 + 2 (x + 3) + 3 = 4x – x2 + 2x (3x + 1)

b) 4 x 2 + ( x + 2)2 = 4 x ( x + 2)

c)

x2 3x +2= 4 2

d) 3 x − 8 =

3 x2 + 8 x

2 2 e) x − 2 + x − ( x − 1) = ( x + 1)( x − 1)

f) 3 x 2 − 2( x − 5 )2 − 22 x + 26 = 0

g) x ( 2 x + 6 ) = 2 x − 2

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OTROS TIPOS DE ECUACIONES Ecuación bicuadrada es una ecuación de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 Para resolverla, hacemos el cambio de variable z = x2. Una vez resuelta la ecuación en z, deshacemos el cambio y despejamos la x para obtener las soluciones de la ecuación.

• Resolver la ecuación bicuadrada: x4 – 4x2 – 5 = 0 Realizamos el cambio de z = x2 y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: z2 − 4 z − 5 = 0 ⇒ z =

4 ± 16 + 20 4 ± 6  z = 5 = = 2 2  z = −1

Ahora despejamos el valor de la x: z = 5 ⇒ x = ± 5   z = −1 ⇒ x = ± −1 sin solución real. 156 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: 4 2 a) x − 3 x + 2 = 0

b) 6 x 4 − 5 x 2 − 25 = 0

c) x 4 – 6 x 2 – 27 = 0

2 2 2 2 d) ( x − 2) + x ⋅ ( x − 1) = 2 x ⋅ ( x − 2)

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que tienen que satisfacerse a la vez. Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar tres métodos: sustitución, igualación y reducción. Utilizaremos el que nos resulte más sencillo para el sistema que tengamos que resolver.

5 x − 2 y = − 2 Resolver el sistema:   4 x + 2 y = 20 2y − 2 1.º Despejamos la variable que más nos interese en una de las ecuaciones. x = 5 2.º Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y resolvemos la ecuación resultante. 4

8y − 8 2 y − 2 + 2 y = 20 ⇒ + 2 y = 20 ⇒ 8 y − 8 + 10 y = 100 ⇒ 18 y = 108 ⇒ y = 6  5  5

3.º Sustituimos el valor de la variable obtenido en la otra ecuación. 2y − 2 2⋅6 − 2 12 − 2 x= ⇒x= ⇒x= ⇒ x = 2 La solución es x = 2 ; y = 6 5 5 5 157 Resuelve por el método de sustitución este sistema de ecuaciones:  y − 3x = − 8  y − 5x = − y − 3

158 Utilizando el método de igualación halla la solución de este sistema:  x – 3 y = 10  5 x + 2 y = – 1

159 Resuelve mediante el método de reducción:  −x − 3y = − 1 a)  4 x − 3 y = − 24

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

 2y x 1  − = b)  5 3 15 15 x − 15 y = 2 

160 En un albergue hay habitaciones dobles y triples. Si en total hay 20 habitaciones y 52 sacos de dormir, ¿cuántas tiendas hay de cada clase?

161 Halla dos números cuya suma sea 50, y la diferencia entre el mayor y el menor sea la mitad del menor.

162 Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas 11 de cociente y 8 de resto.

163 Al dividir dos números, resulta 2 de cociente y 6 de resto. Calcúlalos sabiendo que el doble de su suma es igual a cinco veces su diferencia, más 8.

164 Hace siete años la edad de un padre era el cuádruple de la de su hijo y actualmente es el triple. ¿Cuál es la edad de cada uno?

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INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una expresión algebraica con una desigualdad, donde el objetivo es obtener los números que verifican dicha desigualdad. Si multiplicamos o dividimos una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de signo.

• 3x – 6 < 2x + 3 ⇒ 3x – 2x < 6 + 3 ⇒ x < 9 ⇒ x ∈ (9, ∞) • 5 + 3x < 4 – x ⇒ 4 x < − 1 ⇒ x < − – 1/4

1 1 ⇒ x ∈ − ∞, −   4 4

0

165 Halla la solución de las siguientes inecuaciones:

(

a) 5 x − 8

)

≤ 3x + 2

b) 10 − 2 x ≥ 2

(

)

(

)

c) 2 x − 3 < 3 x − 2 x + 1 d)

4 − 2x > x −1 5

e)

2 − x 2x + 1 + ≥x 3 2

166 Resuelve las inecuaciones de primer grado y representa la solución en la recta real.

(

)

a) 5 x + 8 ≤ 3 x + 1

b)

(

) ≥ x+2−4

2 3x − 1 5

3

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INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

167 Resuelve las siguientes inecuaciones: a)

4x − 1 >3 2

b) 2( x − 3) − 3 ≤ 4 x − 5

c)

3( 2 x − 1) x + 2 − < − 2 (− x + 3) 3 2

d) 4( x + 2)2 − x ≥ 4 x 2 + 1

 

e) − 2 x − ( x − 8) ≥ x +

f) 3( x + 4 ) − x >

2x − 1 3

g) 3(1 − 2 x ) − 4 x ≤

h)

46

1 3

2x − 1 + 3x 2

3x − 2 x + 2 1− x 4 x − 5 − < − 3 4 3 2

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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Para resolver un sistema de inecuaciones seguimos los siguientes pasos: 1. Resolver cada una de las inecuaciones que forman el sistema. 2. Hacer la intersección de las soluciones y extraer los intervalos donde se verifican todas las inecuaciones.

2 x − 1 < 3 Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:  x + 2 > – 8 Resolvemos las inecuaciones y la solución del sistema será donde coin2 x − 1 < 3 ⇒ x < 2 ⇒ − 10 < x < 2 ⇒ x ∈ − 10, 2 cidan ambas:   x + 2 > − 8 ⇒ x > − 10

(

)

168 Encuentra las soluciones de los siguientes sistemas:

(

)

3 x − 2 x − 2 ≤ 5 x − 3 a)  x − 1− 3x > x + 4 x + 1

(

)

(

)

(

)

4 2 x − 2 − 5 x > 3 1 − 3 x + 3 b)  x + 2 3 + x ≤ 4 x − 2

(

)

(

)

(

7 x − 2 2 + x ≤ 2 x − 1 + 3 2 − x  c)  x − 2 −2> x +1   3

(

)

)

3 x−2 x +1  −3>5−  2 3 d)   3x − 3 ≥ 5 x − 2

(

)

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6 Estudio gráfico de funcionesl CONCEPTO DE FUNCIÓN Llamaremos función a toda relación existente entre dos variable, x, y, tal que para cada valor de x existe un único valor de y. Diremos que x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

¿La siguiente tabla puede representar una función? Razonar la respuesta. x y

–4 12

–2 21

1 3

0 4

–2 22

5 12

1 4

7 21

No puede ser una función porque existen valores de x con más de un valor de y. 169 Determina cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función: a)

Y

b)

Y

c)

Y

d)

Y

X

X

X

X

170 De los siguientes pares de magnitudes, señala cuáles son las que tienen una relación funcional y de qué tipo es ésta. a) El volumen de un cubo y su arista. b) La edad de una persona y el color de sus ojos. c) El importe del recibo de la luz y la cantidad de electricidad que se gasta en una casa. d) La edad de una persona y la talla de su camisa. e) El número de diagonales de un polígono y el número de lados. 171 Calcula la imagen de – 2, – 1 y 0 de las siguientes funciones. a) f ( x ) =

b) g( x ) = c) h( x ) =

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x −1 2 x+4 x −1 x −1

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función f es el conjunto de puntos del plano (x, y) donde y = f(x), esto es, los puntos del plano de la forma (x, f(x)). Los puntos de corte con los ejes de una función cualquiera f son: • Con el eje X (eje de abscisas) corta en los puntos del tipo (a, 0), es decir, f (a) = 0. Para calcular estos puntos resolvemos la ecuación f (x) = 0 • Con el eje Y (eje de ordenadas) solo corta en el punto (0, f (0)).

A partir de la siguiente gráfica expresar 5 puntos de la función representada 5 4 3 2

Y

X –1

1 2 3 4 5 6 7 8

Pueden ser: (– 1, 0); (1, 2); (2, 5); (3, 4) y (4, 3) 172 Realiza una tabla con, al menos, cinco puntos de las siguientes gráficas: 10

a)

x y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

x y

5

b)

4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2

173 Realiza una tabla de valores para la siguiente función: 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

–2 –3

x y 174 Determina los puntos de corte de la función ƒ (x) = 3x – 1

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DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función f es el conjunto de números reales donde está definida dicha función, es decir, los valores de x para los que se puede calcular el valor de f (x). Denotaremos este conjunto como Dom (f). La imagen de una función f es el conjunto de números reales, para los que existe una x tal que y = f (x). Denotaremos el conjunto de las imágenes de f por Im (f).

175 Determina el dominio y la imagen de las siguientes funciones: 5

a)

4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

1

2

3

–2 –3 –4 –5 7

b)

6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

4

5

6

7

–2 –3

176 Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f (x) = x2 – 2 b) g (x) = x3 – 2x + 1 1 c) h ( x ) = x +1

d) m ( x ) = e) p ( x ) =

f) r ( x ) =

50

2x x −4 2

x −1

x2 − x − 2

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CONTINUIDAD Diremos que una función es continua, si podemos repasar su gráfica con un lápiz sin levantarlo del papel. Los puntos donde una función no es continua son los puntos de discontinuidad.

Clasificar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) b) 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

1

2

3

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

a) La función es discontinua, presenta una discontinuidad de salto finito en x = – 1 y en x = 1 b) La función es discontinua, presenta una discontinuidad de salto finito en x = – 4 177 Clasifica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a)

b) 4

4

3

3

2

2

1

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

–2

–3

c)

d) 7

4

6

3

5

2

4

1

3 2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

–2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

6

7

–3 –4

–2 –3

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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sean x1 y x2 dos elementos cualesquiera del intervalo [a, b]: • La función f es creciente en [a, b] si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) • La función f es decreciente en [a, b] si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) • La función f es constante en [a, b] si f (x1) = f (x2) Diremos que una función alcanza un máximo relativo en un punto si pasa de ser creciente a ser decreciente en dicho punto. Diremos que una función alcanza un mínimo relativo en un punto si pasa de ser decreciente a ser creciente en dicho punto. Una función es convexa si al unir dos de sus puntos el segmento resultante queda por debajo de dicha función. Una función es cóncava si al unir dos de sus puntos el segmento resultante queda por encima de dicha función.

Determinar los intervalos de crecimiento de la siguiente función y sus extremos relativos. 6 La función es creciente en: 5 (– ∞, – 2) ∪ (0, 2) ∪ (2, ∞) 4 3 La función es decreciente en: (– 2, 0) 2 Mínimo relativo en: (0, 1) 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2

Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente función. 3 La función es cóncava en: (– 4, – 2) ∪ (0, 2) 2 La función es convexa en: (– 2, 0) ∪ (2, 4) 1 Tiene puntos de inflexión en: –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 (– 2, 0), (0, 0) y (2, 0) –2 –3

178 Determina los intervalos de crecimiento de la siguiente función y sus extremos relativos. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2 –3

179 Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente función. 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

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1

2

3

4

5

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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

180 Describe el crecimiento de la siguiente función e indica los máximos y mínimos relativos. y 3 2 1 –4

–3

–2

–1 –1

1

2

3

4

5

x

–2

181 La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura a lo largo de 1 día, de un paciente ingresado en un hospital:

Temperatura (°C)

40 39 38 37 36 2 h 4 h 6 h 8 h 10 h 12 h 14 h 16 h 18 h 20 h 22 h 24 h horas del día

a) Indica entre que horas del día le subió a ese paciente la temperatura y, entre cuales permaneció constante.

b) ¿Qué dos temperaturas máximas alcanzó el paciente a lo largo del día?

c) ¿Cuál fue la temperatura mínima del paciente a lo largo del día?

d) ¿A las 14 h le administraron un medicamento para bajarle la temperatura, ¿hasta qué hora le causó efecto? ¿Cuántos grados consiguió bajarle la temperatura este medicamento? 182 Analiza la gráfica. 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–2 –4

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SIMETRÍA Y PERIODICIDAD Una función es par o simétrica respecto del eje de ordenadas si: f (x) = f (– x) Una función es impar o simétrica respecto del origen si: f (– x) = – f (x)

183 Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan las simetrías que se indica: a) Par 2 1

–2

–1

1

2

1

2

1

2

–1 –2

b) Impar

2 1

–2

–1 –1 –2

c) Ni par, ni par

2 1

–2

–1 –1 –2

184 Determina si las siguientes funciones son pares o impares. a) f (x) = x2 – 2

b) h ( x ) =

c) g ( x ) =

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2 x x 3x − 1 2

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TENDENCIAS Y ASÍNTOTAS Cuando una función f tiende a una recta diremos que esta es una asíntota: • Si la función tiende a infinito en el punto a diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de f. • Si la función tiende a un valor b cuando x tiende a infinito diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de f.

Estudiar la tendencia de la siguiente función. 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2 –3 –4

f (x) ⇒ 0 cuando x ⇒ – ∞ f (x) ⇒ ∞ cuando x ⇒ – 1– f (x) ⇒ – ∞ cuando x ⇒ 1–

f (x) ⇒ 0 cuando x ⇒ ∞ f (x) ⇒– ∞ cuando x ⇒ – 1+ f (x) ⇒ ∞ cuando x ⇒ 1+

185 Estudia la tendencia de la siguiente función. 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2

186 Estudia la tendencia de la función cuando f ( x ) =

3 cuando x ⇒ 1– y x ⇒ 1+ x −1

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7 Funciones algebraicasl FUNCIONES LINEALES Diremos que una función es lineal si es de la forma f (x) = mx + n con m y n pertenece a R. Las funciones constantes son funciones lineales. Dada la recta y = mx + n, diremos que m es la pendiente de la recta. • Si m = 0 entonces la función es constante. • Si m > 0 entonces la recta es creciente. • Si m < 0 entonces la recta es decreciente. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es: m=

f ( a) − f ( b ) a−b

• Representar la gráfica de la función f (x) = 3x Realizamos una tabla de valores que trasladaremos al eje cartesiano x y

–2 –6

–1 –3

0 0

1 3

2 6

4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

–2 –3 –4

• Determinar la función lineal de pendiente m = 2 que pasa por el punto (3, – 2). Sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la función para conocer la ordenada en el origen: f ( x ) = mx + n ⇒ − 2 = 2 ⋅ 3 + n ⇒ n = − 2 − 6 ⇒ n = − 8 Ahora ya conocemos la función: f ( x ) = 2 x − 8 187 Representa la función f (x) = – 2x + 1 x y

4

–2 5

–1 3

0 1

1 –1

2 –3

3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

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1

2

3

4

5

6

7

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188 Determina las funciones lineales que verifican: a) Pendiente 3 y pasa por el punto (0, 1)

b) Pendiente – 2 y pasa por el punto (3, 2).

c) Pendiente – 1 y pasa por el punto (– 2, – 3).

189 Asocia cada una de las siguientes rectas con su expresión algebraica. 4 1

3 2 4

2

1

–4 –3 –2 –1 –1 –2

1

2

3

4

3

–3 –4

a) f (x) = 2x + 2 b) f (x) = – x – 3 c) f (x) = – x d) f ( x ) =

1 x −1 2

190 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (– 1, – 2).

191 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 2).

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FUNCIONES LINEALES DEFINIDAS A TROZOS  x − 1 si x < 2 Representar la siguiente función definida a trozos: f ( x ) =  2 x si x ≥ 2 En este caso tendremos que calcular dos tablas de valores, una para aquellos menores que 2 y otra para los iguales o mayores que 2. Representamos los datos en un eje cartesiano poniendo especial interés en el punto donde la función cambia, en este caso en x = 2 12 8 4 –12 –8

–4 –4

4

8

x y

–4 –5

–2 –3

0 –1

1 0

x y

2 4

3 6

4 8

5 10

12

–8 –12

3 x – 2 si x < − 2 192 Representa la función f ( x ) =  − x + 3 si x ≥ − 2 16

f (x) = 3x – 2 x y

12

f (x) = – x + 3 x y

8 4 –16 –12 –8

–4 –4

4

8

12

–8 –12 –16

 x + 2 si x ≤ − 2  193 Representa y estudia la siguiente función f ( x ) =  3 x − 4 si – 2 < x < 2  x − 2 si x ≥ 2  x

y

x

8 6 4 2 –10 –8

–6

–4

–2 –2 –4 –6 –8 –10

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2

4

6

8

10

y

x

y

16

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FUNCIONES PARABÓLICAS Una función parabólica es una función que tiene como ecuación un polinomio de segundo grado: f (x) = ax2 + bx + c con a ( 0 −b El vértice de una función parabólica se alcanza en x = , además estas 2a funciones son simétricas respecto a este eje.

Representar y estudiar la siguiente función parabólica f (x) = 2x2 Lo primero que haremos es calcular la coordenada x del vértice y una vez hallada realizaremos una tabla de valores con tres valores a la derecha y tres a la izquierda del vértice, como es simétrica serán iguales, y representamos. −b 0 ⇒x= =0 x= 2a 4 x y

–3 18

–2 8

–1 2

1 2

2 8

3 18

Dom. f (x) = R Img. f (x) = (0, ∞) Creciente en: (0, ∞) Decreciente de: (– ∞, 0) Continua en: R Mínimo en (0, 0)

15

10

5

–5

5

194 Determina el valor del vértice de las siguientes parábolas: a) f (x) = 2x2 + x – 1

b) f (x) = – x2 – 2x + 1

195 Representa y estudia la parábola f (x) = – x2 + x + 2

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FUNCIONES PARABÓLICAS

x y 4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

–2 –3 –4

196 Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas: a) f (x) = – x2 + 4

b) f (x) = x2 – 7x + 12

c) f (x) = x2 – 10x + 9

 − 4 si x ≤ − 3  197 Representa la gráfica de la función f ( x ) =  2 x − 1 si − 3 < x < 1  − x + 3 si x ≥ 1  10 8 6 4 2 –10 –8 –6 –4 –2 –2 –4 –6 –8 –10

60

2

4

6

8

10

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FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma: f ( x ) =

k x

Este tipo de funciones se denominan funciones hiperbólicas. k Las funciones de la forma f ( x ) = + c tienen las siguientes asíntotas: ax + b b • Una asíntota vertical en x = • Una asíntota vertical en y = c a ax + b Las funciones de la forma f ( x ) = tienen las siguientes asíntotas: cx + d a −d • Una asíntota vertical en x = • Una asíntota vertical en y = c c

Confeccionar una tabla de valores y representar la función f ( x ) = x y

–8 – 0´5

–2 –2

–1 –4

– 0´1 – 40

0´1 40

1 4

3 1´33

7 0´57

4 x

8 0´5

12 8 4 –20 –16 –12 –8

–4 –4

4

8

12

16

20

–8 –12

198 Representa la función f ( x ) =

–3 2x 10

x

5

y –20 –15 –10 –5 –5

5

10

15

20

–10

199 Representa y estudia la función f ( x ) =

2 x−3

x y 12 8 4 –20 –16 –12 –8 –4 –4

4

8 12 16 20

–8 –12

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FUNCIÓN EXPONENCIAL Decimos que una función es exponencial si se puede expresar de la forma: f (x) = ax con a > 0 y a ( 1

Representar la función f (x) = 5x x –5 –4 –3 –2 –1 y 0´00032 0´0016 0´008 0´04 0´2 5 4 3 2 1 –5

–4

–3

–1

–2

1

2

–1

3

4

5

0 1

y 7 6 5 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1

1 –1

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2

3

4

2 3 4 5 25 125 625 3.125

Dom f (x) = R Img f (x) = (0, ∞) f (x) ⇒ 0 cuando x ⇒ – ∞ f (x) > 0 para cualquier x f (x) ⇒ ∞ cuando x ⇒ ∞ f (0) = 1 f es creciente en R

 1 200 Representa y estudia la función exponencial: f ( x ) =  5 x

1 5

x

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201 Representa y estudia la siguiente función exponencial: f (x) = 2x + 5 x y

15 10

5

–15

–10

–5

5

10

15 x

 1 202 Representa y estudia la siguiente función exponencial f ( x ) =   − 3 3 x y

15 5

–15

–10

–5

5

10

15

–5 x

 1 203 Representa y estudia la función exponencial f ( x ) =   + 3 2 x y 15 10 5

–10

–5

5

10

15

20

25

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8 Cálculo de áreas y volúmenes EL TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 = a2 + b2

204 Calcula el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos: a) 7m 8m

b) 6m

9m

205 Calcula el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos: a) 12 m

9m

b) 6m

8m

c) 14 m

7m

206 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 m de lado.

207 Calcula la apotema de un hexágono regular de 50 cm de radio.

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208 Calcula el lado de un rombo de diagonales 10 y 20 cm.

209 En un triángulo isósceles los lados miden 8, 7 y 7 cm. Calcula la altura del triángulo.

210 Calcula la distancia existente entre una cuerda de 8 cm y el centro de una circunferencia de diámetro 10 cm.

211 Determina la altura sobre la hipotenusa de los siguientes triángulos:

6 cm

a)

x

c h 14 cm

b)

24 cm

m

h

8c

c

x

212 Calcula la altura sobre el lado mayor de un triángulo de lados 20, 15 y 10 cm.

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ÁREA DE UN POLÍGONO Cuadrado

l

Rectángulo

Triángulo

h

h l

b

A = l2

A=b·h

Paralelogramo

Rombo

h

b A=

Trapecio b

D

d

h

b A=b·h

B A=

D·d 2

A=

Polígono regular

a

l A=

p·a 2

213 Calcula el área de los siguientes polígonos: a) Un triángulo cuyos lados miden 15, 12 y 10 m.

b) Un hexágono regular de lado 10 cm.

c) Calcula el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

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b·h 2

( B 2+ b ) · h

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214 Calcula el área de las siguientes figuras: a) 4 cm

4 cm

h

5 cm

b) 4 cm 6 cm

c)

5 cm a 3 cm

d)

6 cm

8 cm

10 cm

215 Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases mide 23 cm y 18 cm y los lados iguales, 12 cm.

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FIGURAS CIRCULARES Sector circular

Círculo

Corona circular R

r

A=

α° r

π · r2 · α 360

r

A = π · r2

r

A = π (R 2 – r 2)

216 Calcula el ángulo que tiene un sector circular que ocupa un área de 6´54 cm2 si está delimitado por dos radios de 5 cm.

217 Calcula el área de una corona circular de 10 cm de radio mayor y 6 de radio menor.

218 Calcula el área sombreada: a)

8 cm

b)

10 cm

219 Un jardín tiene forma circular de diámetro 8 m y en el centro tiene una fuente circular de 2 m de diámetro. Cada metro cuadrado de césped cuesta 10 . Calcula cuanto costará poner el jardín relleno de césped.

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220 Halla el área de la parte sombreada de las siguientes figuras: a) 8 cm 10 cm

b) 5 cm 70° 7 cm

221 Calcula el área de la parte sombreada en la siguiente figura:

10 cm

4 cm

6 cm

222 Calcula el área coloreada si el lado del cuadrado es 10 cm.

223 Calcula el área interior de la siguiente figura: 4 cm 9 cm

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CUERPOS GEOMÉTRICOS Área del prisma: A = Alateral + 2 · Abase Volumen del prisma: V = Abase · h Área de la pirámide: A = Alateral + Abase Volumen de la pirámide: V =

1 ⋅A ⋅h 3 base

Calcular el volumen y el área del siguiente prisma:

10 cm

4 cm

El volumen es: V = Ab · h Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la base. 42 = a2 + 22 ⇒ a = 12 = 3´ 46 cm 4 ⋅ 3´ 46 El área de la base es: Ab = 6 ⋅ = 41´ 52 cm2 2 Luego el volumen es: V = 41´52 · 10 = 415´2 cm3 El área de todo el prisma es: A = A1 + 2 · Ab = 24 · 10 + 2 · 41´52 = 323´04 cm2

224 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma recto de base un cuadrado de lado 8 cm y de 15 cm de altura.

225 Calcula el área lateral y el área total de una pirámide recta de base un cuadrado de lado 5 cm y arista lateral 12 cm.

226 Calcula el volumen de una pirámide recta de base un cuadrado de lado 8 cm y arista de la pirámide 10 cm.

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227 Calcula el área lateral y total de un prisma de 20 cm de altura cuya base es un triángulo equilátero de 6 cm de arista.

228 Calcula el área total y el volumen de los siguientes poliedros: a)

9 cm 4 cm 5 cm

b)

a h = 10 cm 6 cm

229 Calcula el volumen de un pirámide hexagonal de arista básica 8 cm y 12 cm de altura de cada cara.

230 Halla el volumen de una pirámide cuadrangular regular si el lado de la base mide 7 cm y el área lateral es el doble del área de la base.

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CUERPOS DE REVOLUCIÓN (

Área del cilindro: A = Alateral + 2 Abase = 2πrg + 2πr 2 = 2πr g + r Volumen del cilindro: V = π ⋅ r ⋅ g

)

2

(

Área de un cono: A = Alateral + Abase = πrg + πr 2 = πr g + r Volumen de un cono: V =

)

1 π ⋅ r2 ⋅ h 3

Área de la esfera: A = 4 πr 2 4 Volumen de la esfera: V = πr 3 3

231 Calcula el área total de un cilindro de radio 4 cm y 10 cm de generatriz.

232 En un cono recto el radio de la base mide 10 cm y la altura 20 cm. Calcula: a) El área de la base. b) El área lateral.

c) El área de todo el cono. d) Volumen del cono. 233 De un cilindro conocemos su altura, 12 cm, y el radio de la base, 4 cm. Calcula su área y su volumen.

234 Calcula el área total y el volumen de una esfera de radio 4 cm.

235 Calcula el volumen de un cono de 6 cm de diámetro y 4 cm de generatriz.

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236 El área de una esfera es de 1.519´76 cm2. Calcula su volumen.

237 El volumen de una esfera es 369 m3. Calcula la superficie de la esfera.

238 ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito como el de la figura?

r=3m h=6m

239 Calcula el área de la siguiente figura:

20 cm

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9 Trigonometría en ángulos agudosl RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS β cateto opuesto = b

hipotenusa = c α cateto contiguo = a

Dado el ángulo α definimos las siguientes razones trigonométricas: cateto opuesto b • Seno de alfa ⇒ sen ( α ) = = hipotenusa c • Coseno de alfa ⇒ cos( α ) =

cateto contiguo a = hipotenusa c

• Tangente de alfa ⇒ tan( α ) =

cateto opuesto b = cateto contiguo a

Calcular el valor de las razones trigonométricas de los ángulos del siguiente triángulo rectángulo. β 7 cm α 5 cm

Primero aplicando el teorema de Pitágoras calculamos el valor de la hipotenusa y a continuación calculamos las razones trigonométricas: c2 = a2 + b2 ⇒ c = 49 + 25 = 8´ 6

74

sen ( α ) =

cateto opuesto 7 ⇒ sen (α ) = = 0´ 81 hipotenusa 8´ 6

cos( α ) =

cateto contiguo 5 ⇒ cos(α ) = = 0´ 58 hipotenusa 8´ 6

tan( α ) =

cateto opuesto 7 ⇒ tan( α ) = = 1´ 4 cateto contiguo 5

sen (β ) =

cateto opuesto 5 ⇒ sen (β ) = = 0´ 58 hipotenusa 8´ 6

cos(β ) =

cateto contiguo 7 ⇒ cos(β ) = = 0´ 81 hipotenusa 8´ 6

tan(β ) =

cateto opuesto 5 ⇒ tan(β ) = = 0´ 71 cateto contiguo 7

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240 Calcula el valor de las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyas medidas son: β 9 cm

4 cm

α c

241 En un triángulo rectángulo los catetos miden 36 y 77 centímetros. Halla las razones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto mayor.

242 Calcula los valores de las razones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto menor del triángulo del ejercicio anterior.

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PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Fórmula fundamental de trigonometría: cos2 (α) + sen2 (α) = 1 Valor de la tangente: tan( α ) =

sen ( α ) cos( α )

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo si sabemos que sen (α) = 0´3 Aplicando las fórmulas vistas anteriormente calculamos primero el valor del coseno y a continuación la tangente: cos2 ( α ) + sen2 ( α ) = 1 ⇒ cos( α ) = 1 − 0´ 32 ⇒ cos( α ) = 0´ 95 tan( α ) =

sen ( α ) 0´ 3 ⇒ tan( α ) = = 0´ 31 cos( α ) 0´ 95

243 Calcula el valor del seno y el coseno de un ángulo del que conocemos que el valor de su tangente es 3.

244 Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos sabiendo que: a) sen (α) = 0´4

b) sen (α) = 0´8

c) sen (α) = 0´6

d) sen (α) = 0´15

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PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

245 Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos sabiendo que: a) cos (α) = 0´5

b) cos (α) = 0´7

c) cos (α) = 0´25

d) cos (α) = 0´2

246 Calcula el seno y el coseno de los siguientes ángulos cuyas tangentes son: a) tan (α) = 4

b) tan (α) = 8

c) tan (α) = 1

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ORIENTADOS Definimos la circunferencia goniométrica o trigonométrica como la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. 2º cuadrante P (x, y )

1 90º

1er cuadrante

y x

α –1

x = cos (α) y = sen (α)

90º 360º 1

180º

3 cuadrante er

270º –1

4º cuadrante

Cualquier ángulo a determina un punto (x, y) de la circunferencia goniométrica. De esta forma, tenemos: cosα = primera coordenada del punto = x sen α = segunda coordenada del punto = y segunda coordenada senα tanα = = cos α primera coordenada

Para calcular el número de vueltas y el ángulo menor de 360° correspondiente a un ángulo, dividimos la amplitud del ángulo entre 360°, el cociente será el número de vueltas y el resto el ángulo con el que se corresponde. 750° ⇒ 750° 360° 30° 2 750° = 2 vueltas y 30° Para expresar la amplitud negativa de un ángulo en una amplitud positiva, reducimos a la primera vuelta restándolo de 360°. – 47° = 360° – 47° = 313° 247 Calcula el número de vueltas y el ángulo menor de 360° con el que se corresponden los siguientes ángulos: a) 1.225° b) 478° c) – 397° d) – 658°

e) 650° f) 1.678° g) – 1.307° h) – 1.296°

248 Calcula el ángulo comprendido entre 0° y 360° que determina el mismo punto en la circunferencia goniométrica que los siguientes ángulos: a) 1.478° e) 2.435° 46´ b) 3.876° f) 832° 35´ c) – 148° g) – 276° d) – 267° h) – 307° 249 Completa la siguiente tabla utilizando la definición de seno, coseno y tangente de un ánguo orientado: Ángulo

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Seno

Coseno

Tangente

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VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DEL SENO Y COSENO Como el seno y el coseno de un ángulo son las coordenadas de la circunferencia de radio 1 y centro el origen de coordenadas, tenemos que: – 1 sen α 1 – 1 cosα 1 El signo del seno, coseno y tangente depende del cuadrante donde se encuentre el ángulo: Cuadrante I II III IV

Seno + + – –

Coseno + – – +

Tangente + – + –

(–, +)

(+, +)

1 1

(–, –)

(+, –)

Determinar el coseno de un ángulo del segundo cuadrante que verifique que: senα = 0´3 A partir de la razón fundamental de trigonometría calculamos el valor del coseno: sen2α + cos2 α = 1 ⇒ cos α = 1 − 0´ 32 ⇒ cos α = ± 0´ 95 Como el ángulo pertenece al segundo cuadrante el coseno es negativo, con lo que el resultado sería: cosα = – 0´95 250 Determinar el coseno de un ángulo del segundo cuadrante que verifique que: senα =

1 3

251 Indica el signo de las siguientes razones trigonométricas sin realizar los cálculos: a) sen 134º b) cos 45º c) tan 187º

d) cos 169º e) tan 32º f) sen 358º

g) cos 285º h) tan 120º i) sen 210º

252 Indica el signo de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: Ángulo 345° 167° – 25° 215° – 125°

Seno

Coseno

Tangente

253 Si los siguientes ángulos están en el segundo cuadrante, calcula el resto de las razones trigonométricas: a) sen α = 0´5

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VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DEL SENO Y COSENO

b) cos α = – 0´3

254 Si los siguientes ángulos están en el tercer cuadrante, calcula el resto de las razones trigonométricas: a) sen α = – 0´2

b) tan α = 4

255 Si los siguientes ángulos están en el cuarto cuadrante, calcula el resto de las razones trigonométricas: a) cos α = 0´7

b) tan α = – 6

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RADIANES Y SISTEMA SEXAGESIMAL Diremos que un ángulo mide un radián si al trazar una circunferencia de centro el vértice del ángulo y de radio la unidad el arco que determina el ángulo es de longitud uno. π radianes = 180°

Expresar en radianes: • 45° Como son magnitudes directamente proporcionales utilizamos la regla de tres: π rad 180° x 45° 45π π x= = rad 180 4 2.520π • 2.520° x= = 14π rad 180 256 Expresa en radianes o en grados los siguientes ángulos: a) 210°

e) 405°

b) 315°

f) 690°

c) 240°

g) 1.470°

d)

7π rad 2

h)

9π rad 2

257 Calcula los grados de estos ángulos y halla con la calculadora el valor de sus funciones trigonométricas.

a)

π rad 5

b)

π rad 6

c)

π rad 4

d)

π rad 7

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REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE Ángulo

II cuadrante β =180 ° – α

III cuadrante β = α – 180 °

IV cuadrante β = 360 ° – α

sen α

sen β

– sen β

– sen β

cos α

– cos β

– cos β

cos β

tan α

– tan β

tan β

– tan β

• Expresar las funciones trigonométricas del ángulo 146° en función del ángulo del primer cuadrante que le corresponda.  sen 146° = sen 34°  180° − 146° = 34° ⇒  cos 146° = − cos 34°  tan 146° = − tan 34°  7π rad mediante el ángulo 6 del primer cuadrante utilizando la calculadora. Expresamos el ángulo en grados sexagesimales y buscamos la relación con el ángulo del primer cuadrante y hallamos sus razones usando la calculadora:

• Calcular las razones trigonométricas de

x=

7π  sen 210° = − sen 30° = − 0´ 5 6 = 210° ⇒ 210° − 180° = 30°⇒  cos 210° = − cos 30° = − 0´ 87  π  tan 210° = tan 30° = 0´ 58 

180 ⋅

258 Expresa las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de las razones de ángulos del primer cuadrante:

a) 187°

b) 235°

c) 268°

d) 289°

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e) 345°

f) 225°

g) 350°

259 Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos mediante ángulos del primer cuadrante utilizando la calculadora:

a)

3π rad 5

b)

10π rad 6

c)

7π rad 4

b)

5π rad 4

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10 Vectoresl COORDENADAS DE UN VECTOR. MÓDULO DE UN VECTOR Extremo o punto final Origen o punto inicial Sentido del vector Dirección Vector Sentido contrario

Módulo

Un vector es un segmento orientado en el espacio que está determinado por un punto inicial u origen, y un punto final o extremo.

( )

Módulo de un vector u a, b : u =

a2 + b2

(

Suma y resta de vectores: u ± v = u1 ± v1, u2 ± v2

(

)

Producto de un escalar por un vector: k ⋅ u = ku1, ku2

)

Las coordenadas de un vector de posición representan las coordenadas de cualquier vector equipolente a él. Para calcular las coordenadas de estos vectores desplazamos dichos vectores hasta el origen de coordenadas como en la figura: 4

u

3 2

–3 –2 –1

1

1

2

3

v –1 v = (3, –1)

260 Indica las coordenadas de estos vectores: 8

→

b

6 4

→

c

→

a

2

–10 –8 –6 –4 –2 –2 →

d

–4

2

4

6

8

10

→

r

–6

→

g

–8

261 Dibuja en un eje de coordenadas los siguientes vectores:

( ) b) b ( − 6, 2) c) c (7, − 4 ) d) d ( − 4, − 3)

6

a) a 5, 4

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4 2 –10 –8 –6 –4 –2

2 –2 –4 –6

4

6

8

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VECTOR DE POSICIÓN Dado un punto P, definimos el vector de posición del punto, OP , como el vector de origen el origen de coordenadas y extremo el punto P. Aplicaciones: Vector determinado por 2 puntos A y B: AB = OB − OA Distancia entre dos puntos: d ( A, B ) = AB OA + OB 2 Simétrico del punto A respecto del punto B: OS = 2OB − OA Punto medio de un segmento: OM =

• Hallar las coordenadas de un vector que tiene por extremos A (– 1, 9), B (8, – 1) El vector es la diferencia entre el punto B y el A. AB = OB − OA = ( 8, − 1) − (−1, 9 ) = ( 9, − 10 ) • Calcula la distancia entre los puntos A (– 3, – 3), B (8, – 3) d ( A, B ) = AB =

(8 + 3) + (−3 + 3) 2

2

= 11

– • Halla el punto medio del segmento AB : A (– 1, – 2), B (– 6, – 7) OM =

OA + OB ( −1, − 2) + ( −6, − 7 ) ( −7, − 9 )  7 9 = = = − , −   2 2 2 2 2

• Determinar el simétrico de A respecto a B: A (11, – 2), B (8, – 2) OS = 2OB − OA = 2(8, − 2) − (11, − 2) = ( 5, − 2) 262 De los siguientes vectores determina la coordenada de uno de sus extremos si conocemos el otro: a) AB( 4, 3), A(1, 1)

b) AB( − 5, − 2), A (1, 2)

c) AB( − 1, − 2), A ( − 3, − 2)

d) AB( − 3, 5 ), B( − 2, − 2)

e) AB( − 1, 5 ), B( − 2, − 4 )

f) AB( − 3, − 5 ), B( − 4, − 8)

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(

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)

(

)

263 Dados los vectores a 3, − 1 y b − 4, 3 calcula: a) a b) b c) a + b d) a − b e) 2a − b f) a + 3b g) 3b h) 5b 264 Determina las coordenadas de un vector que tiene por extremos los siguientes puntos: a) A (5, 4), B (2, 1) b) A (5, – 4), B (4, 2) c) A (3, – 4), B (– 2, 3) d) A (6, 5), B (– 7, – 2) e) A (5, 7), B (– 2, 6) f) A (2, 8), B (6, 3) g) A (– 4, 4), B (– 7, – 2) h) A (12, – 8), B (– 6, 23) 265 Calcula la distancia entre los siguientes puntos: a) A (3, 2), B (2, – 1) b) A (7, – 3), B (2, – 2) c) A (8, – 4), B (– 5, 3) d) A (– 1, 2), B (– 3, – 7)

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VECTOR DE POSICIÓN

– 266 Determina el punto medio del segmento AB siendo los puntos: a) A (3, 6), B (– 2, 3)

b) A (6, – 4), B (3, 2)

c) A (– 3, 7), B (– 5, 4)

d) A (– 5, 2), B (9, – 4)

e) A (– 1, 2), B (– 3, – 7)

f) A (1, 8), B (– 1, – 5) g) A (9, – 8), B (– 10, 12)

h) A (15, – 3), B (– 2, 7) 267 Dados los siguientes puntos determina el simétrico de A respecto a B: a) A (5, 6), B (– 4, 3) b) A (6, – 1), B (– 4, 2) c) A (5, – 7), B (– 1, 4) d) A (3, – 2), B (8, – 5) e) A (– 1, – 2), B (– 6, – 7) f) A (7, – 6), B (– 8, – 5) g) A (– 3, 7), B (– 27, 9) h) A (11, –3), B (5, 9) 87

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VECTORES PARALELOS Dos vectores u y v son paralelos si u1v2 = u 2 v1 Dados tres puntos A, B y C diremos que están alineados si están en la misma recta, esto es, si los vectores AB y AC son paralelos.

Comprobar si los puntos A (– 1, 4), B (2, 1), C (3, – 1) están alineados. Calculamos los vectores AB y AC y si estos son paralelos los puntos están alineados: AB = OB − OA = ( 2, 1) − ( − 1, 4 ) = ( 3, − 3) AC = OC − OA = ( 3, − 1) − ( − 1, 4 ) = ( 4, − 5 ) ( − 3) ⋅ 5 ≠ − 3 ⋅ 4 ⇔ − 15 ≠ − 12 Los tres puntos no están alineados. 268 Indica si los siguientes vectores son paralelos: a) a( 5, − 3) y b(10, − 6 ) b) a(15, − 10 ) y b( − 6, 4 ) c) a( 3, − 1) y b( 6, 2) d) a(12, − 9 ) y b( − 8, 6 ) 269 Encuentra un vector paralelo a: a) a( 2, − 1)

b) a( − 5, 4 )

270 Indica si los siguientes puntos están alineados: a) A (2, – 1), B (6, 1), C (10, 3)

b) A (– 2, – 5), B (– 6, 1), C (– 8, 4)

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ECUACIONES DE LA RECTA Un vector director de una recta es cualquier vector que tenga la misma dirección que dicha recta. Un vector normal de una recta es cualquier vector perpendicular a dicha recta.

Vector director Vector normal

La ecuación punto-pendiente de una recta es de la forma: y = m(x – a) + b Donde (a, b) es un punto fijo de la recta y m es su pendiente. La ecuación general de una recta es de la forma: ax + by + c = 0 Donde (a, b) es un vector normal de la recta

Determinar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(1, 3) y tiene por pendiente m = –1. Indicar dos puntos de dicha recta. Sustituimos los valores del punto y la pendiente en la ecuación de la recta y una vez la obtengamos le damos diferentes valores a x para obtener los valores de los puntos que nos piden. y = m(x – a) + b ⇒ y = – 1 (x – 1) + 3 ⇒ y = – x + 4 Para x = 2 ; Un punto de la recta es P(2, 2) Para x = 3 ; Un punto de la recta es P(3, 1) 271 Determina la ecuación punto pendiente de una recta que pasa por A (4, – 5) y tiene por pendiente m = – 2

272 Encuentra la ecuación punto pendiente de una recta que pasa por A (2, – 1) y tiene por vector director v( 4, 2).

273 Halla la ecuación general de la recta que pasa por A (3, –1) y B (– 2, 5).

274 Dada la recta 2x – 3y + 1 = 0, calcula: a) Tres puntos de la recta

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ECUACIONES DE LA RECTA

b) El vector normal de la recta.

c) El vector director de la recta. 275 Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (1, – 1) y (3, 2).

276 Calcula la ecuación general de la recta que pasa por (2, 1) y tiene por pendiente m = 3. Determina tres puntos de dicha recta.

277 Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (– 2, 1), (– 3, – 1). Determina su vector normal, su vector director y un punto de la recta.

278 Calcula la ecuación general de la recta

x − 3 y +1 = y halla el vector director. −4 3

279 Determina la ecuación general de una recta que pasa por A (3, 4) y tiene por vector director v( −1, 2) .

280 Una recta pasa por el punto P (2, 1) y su vector director es el v( 3, 4 ) . Determina tres puntos de dicha recta.

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PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores u y v se define como: u ⋅ v = u ⋅ v cosα donde α es el ángulo que forman u y v . El producto escalar se calcula así: u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.

(

)

(

)

• Calcular el producto escalar de: a 2, − 9 y b − 8, 2 ⇒ ⇒ a ⋅ b = 2 ⋅ ( − 8) + ( − 9 ) ⋅ 2 = − 34

(

)

(

• Hallar el ángulo formado por los vectores: a 2, − 1 y b 5, 2

)

Para calcular el ángulo que forman dos vectores despejamos el coseno del producto escalar. cos α =

a⋅b a⋅b

⇒ α = arccos

⇒ α = arccos 8 145

2 ⋅ 5 + ( − 1) ⋅ 2 2 + ( − 1)2 ⋅ 52 + 22 2

⇒

= 0´ 66 ⇒ α = 48´ 36º

281 Calcula el producto escalar de los siguientes pares de vectores:

( ) ( ) b) a (5, − 2) y b ( 3, 1) c) a (2, − 1) y b (− 5, 2) a) a 3, − 7 y b 1, − 6

282 Determina si los siguientes pares de vectores son perpendiculares:

( ) ( ) b) a (5, − 2) y b (6, 15) c) a (2, − 1) y b (− 1, 1) a) a 3, 9 y b 6, − 2

283 Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de vectores.

(

)

(

)

a) a 1, − 2 y b 6, − 1

(

)

(

)

b) a − 1, − 1 y b − 2, 1

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11 Estadístical VARIABLE ESTADÍSTICA La población es el conjunto de elementos objeto de un estudio estadístico. Cada elemento de la población se denomina individuo. Una muestra es un subconjunto de la población. Se dice que una muestra es representativa de la población si puede explicar su comportamiento. Una variable estadística es una característica de la población que queremos estudiar. Una variable estadística es cualitativa si no se puede expresar utilizando números. Una variable estadística es cuantitativa si se puede expresar utilizando números. Una variable estadística cuantitativa es discreta si los valores que puede tomar son aislados. Una variable estadística cuantitativa es continua si la variable puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

284 Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos, variables discretas o variables continuas escribiendo ejemplos posibles: a) Edad de los niños de una ciudad. b) Color del pelo de los niños de una ciudad. c) Peso de los niños de una ciudad. d) El deporte practicado por los niños de una ciudad. 285 Indica cuál es la población de cada uno de los siguientes estudios estadísticos y si es conveniente tomar una muestra: a) Altura y peso de los alumnos de una clase.

b) Marca de los coches de una ciudad. 286 Indica dos ejemplos de variable estadística: a) Cualitativa.

b) Cuantitativa.

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TABLA DE FRECUENCIAS Llamamos frecuencia absoluta (fi) al número de veces que aparece un valor xi de una variable estadística. Llamamos frecuencia relativa (hi) al cociente de la frecuencia absoluta correspondiente, fi, entre el tamaño N de la población. f hi = i N Llamamos porcentaje (pi) al producto de la frecuencia relativa correspondiente, fi, por 100. La frecuencia acumulada correspondiente al valor xi es la suma de las frecuencias absolutas anteriores al valor i-ésimo.

287 Las notas de una clase de Matemáticas han sido: {10, 1, 3, 4, 5, 7, 2, 9, 1, 3, 5, 6, 5, 5, 8, 2, 1, 5, 9, 10, 0, 5, 1, 1, 2, 7, 3, 9, 4}. Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas. Variable xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

288 El número de televisores que tienen en casa los alumnos de 4.º de la ESO de un instituto es el siguiente: Un televisor 27 alumnos, 2 televisores 16 alumnos, 3 televisores 5 alumnos y 4 televisores 2 alumnos, a partir de estos datos construye una tabla de frecuencias. Variable xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F.absoluta acumulada Fi

F. relativa Porcentaje acumulada acumulado Hi Pi

289 El peso en kilogramos de un grupo de personas es: {51, 52, 55, 61, 57, 66, 70, 55, 69, 74, 59, 70}. Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas agrupándolo por pesos de 5 en 5 kg. 93

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TABLA DE FRECUENCIAS

Peso xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F.absoluta acumulada Fi

F.relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

290 Se realiza un trabajo en la asignatura de Biología en una clase formada por 30 alumnos. 4 alumnos realizan el trabajo en un folio, 6 en 2 folios, 5 en 3 folios, y el resto en 4 folios. Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas. Variable xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

291 En cierto pueblo el 40% de las familias tienen un solo hijo, el 35% dos hijos, el 11% ninguno y el resto más de dos. Sabiendo que en el pueblo viven 1.100 familias, forma la tabla de frecuencias. N.º de hijos xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F. absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

292 El número de piezas defectuosas realizadas por una máquina en cada jornada de trabajo han sido las siguientes: {0, 13, 23, 55, 57, 43, 32, 23, 47, 50, 0, 12, 14, 27, 34, 56, 3, 12, 34, 39, 46, 10, 15, 30, 45, 0, 24, 37, 58} Realiza la tabla de frecuencias agrupándolos en clases de amplitud 15. N.º de hijos xi

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Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F. absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

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GRÁFICAS ASOCIABLES A UNA TABLA ESTADÍSTICA Diagrama de barras: se pueden utilizar con variables estadísticas cualitativas y cuantitativas discretas. Para construir estos gráficos, en el eje de abscisas representamos los datos xi y en el eje de ordenadas representamos las frecuencias absolutas, relativas o porcentajes, ya sean acumuladas o no. Histograma: Los histogramas sólo se pueden utilizar con variables estadísticas continuas o discretas si sus datos han sido agrupados en intervalos. Para construir estos gráficos, en el eje de abscisas representamos los intervalos de clase, y sobre cada intervalo se levanta un rectángulo. Polígono de frecuencias: Los polígonos de frecuencias se utilizan con variables discretas y continuas. Para construir estos gráficos, en el eje de abscisas representamos los datos o los intervalos de clase y en el eje de ordenadas representamos las frecuencias o los porcentajes. Diagrama de sectores: Los diagramas de sectores se pueden utilizar con variables cualitativas y variables cuantitativas discretas. Consisten en representar sectores circulares de ángulo, αi, proporcional a la frecuencia relativa.

293 En una encuesta realizada en la calle se ha preguntado por los libros leídos durante los últimos tres meses, lo datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla: Libros leídos Personas

0 210

1 555

2 187

3 36

4 o más 12

Realiza un diagrama de barras y el polígono de frecuencias para estos datos. 600 500 400 300 200 100 0

0

1

2

3

4 o más

294 El número de veces que los clientes de un supermercado han comprado una cierta marca de leche durante el último mes, se recogen en la tabla. Represéntalos en un polígono de frecuencias. N.º veces Personas

0 15

1 26

2 32

3 20

4 15

5 o más 8

35 30 25 20 15 10 5 0

0

1

2

3

4

5 o más

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GRÁFICAS ASOCIADAS A UNA TABLA ESTADÍSTICA

295 El número de zapatilla deportiva que utilizan los 20 alumnos de una clase de Educación física es: 37, 40, 39, 37, 38, 38, 38, 41, 42, 37, 43, 40, 38, 38, 38, 40, 37, 37, 38, 38. Construye la tabla de frecuencias y representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias para las frecuencias absolutas y para las frecuencias absolutas acumuladas. fi

xi

fi

Fi

fi

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

37

38

39

40

41

42

43

37

38

39

40

41

42

43

296 Un programa de televisión es calificado por una muestra de 800 espectadores, obteniendo estos resultados: muy bueno 42 %, bueno 30 %, regular 18 %, malo 8 %, muy malo 2%. Obtén la tabla de frecuencias de los datos y represéntalos en un gráfico de sectores. Calificación xi

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Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F. absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de centralización indican alrededor de qué valor tiende a situarse la mayor parte de los datos. Media aritmética: es la suma de todos los datos xi, o de las marcas de clase en su caso, multiplicados por su frecuencia absoluta fi y dividido entre el tamaño de la población N. n

x=

∑x i =1

i

⋅ fi

N La moda (Mo) es el valor xi que tiene la mayor frecuencia absoluta. En el caso de variable continua, lo que obtenemos es la clase modal. La mediana (Me) es el valor de la variable tal que la mitad de los valores son menores que él y la otra mitad son mayores que él.

297 Durante el mes de julio, en una determinada ciudad de la costa levantina se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 27, 28, 29, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 34, 31 y 29° C. Halla la media, la mediana y la moda. xi

fi

Fi

xi · fi

298 Calcula la media la mediana y la moda de los siguientes datos: xi fi

0 1

1 2

2 2 xi

fi

3 2 Fi

4 1

5 1

6 1

xi · fi

97

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

299 Calcula la media, la moda y la mediana para la distribución de frecuencias siguiente:

Clase

Clase

fi

(0 - 2)

2

[2 - 4)

6

[4 - 6)

7

[6 - 8)

5

[8 - 10)

2

Marca de clase xi

fi

Fi

xi · fi

300 Se han obtenido las siguientes puntuaciones en un test: 50, 23, 45, 36, 56, 34, 56, 67, 45, 34, 23, 45, 22, 75, 53, 21, 34, 43, 12, 78, 36, 49, 53, 27, 66, 45, 22, 33, 44, 48, 53, 57, 78, 31, 23, 47, 52, 33, 37, 63, 21, 35. Calcula la media, la mediana y la moda. Puntuaciones

Marca

fi

Fi

xi · fi

301 La media de una lista de 15 números es 6. Si se añaden a la lista los valores 11 y 8 ¿cuál es el valor de la nueva media?

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN La varianza (σ2) es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media.

∑f ⋅ (x n

σ2 =

i =1

i

i

)

2

−x

N La desviación típica (σ) es la raíz cuadrada positiva de la varianza. 302 Calcula la desviación típica de los siguientes datos: xi fi xi

0 102

fi

1 451 Fi

2 211

3 56

xi fi

x−x

2

2

x − x ⋅ fi

303 Calcula la desviación típica de los siguientes datos: xi fi xi

1 2 fi

2 2 Fi

3 4 xi fi

4 6

5 6

x−x

2

2

x − x ⋅ fi

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12 Estadística bidimensionall TABLA DE FRECUENCIA Llamaremos X e Y a las dos variables estadísticas y N al tamaño de la población objeto del estudio. Para recoger los datos utilizaremos una tabla de doble entrada.

Dadas dos variables estadísticas, se han obtenido los siguientes datos recogidos en una tabla de doble entrada, completarla y determinar el tamaño de la población. Y

2

4

6

8

10

12

1

1

1

2

8

8

7

2

2

9

3

8

8

1

3

6

5

5

4

9

1

4

8

4

1

3

10

3

5

1

0

1

1

5

2

X

TOTAL

TOTAL

Completamos los totales con la suma de cada una de las columnas, el tamaño de la población será la suma de todos ellos: Y

2

4

6

8

10

12

T0TAL

1

1

1

2

8

8

7

27

2

2

9

3

8

8

1

31

3

6

5

5

4

9

1

30

4

8

4

1

3

10

3

29

5

1

0

1

1

5

2

10

TOTAL

18

19

12

24

40

14

N = 127

X

304 Completa la siguiente tabla de doble entrada: Y

X 45

10

20

1

5

49 50

4

TOTAL

9

30

40

T0TAL

1

9

3

7

18

9

2

10

305 Completa la tabla y calcula el tamaño de la población. Y

X

4

2

100

3

2

4

5

TOTAL

10

5

6

5

2

7

T0TAL 12

4 1 9

9

2

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DISTRIBUCIONES MARGINALES Una variable estadística bidimensional tiene dos distribuciones marginales, una correspondiente a la variable X y otra correspondiente a la variable Y.

Calcular la media aritmética y la varianza para las distribuciones asociadas a la siguiente tabla: Y

X

12 15 16 TOTAL

3

4

5

6

T0TAL

12 7 3 22

5 8 7 20

2 4 5 11

1 2 4 7

20 21 19 N = 60

A partir de la tabla inicial obtenemos las tablas de las dos distribuciones marginales, y calculamos los datos pedidos.

n

La media es: x =

∑x i =1

i

xi

fi

xi fi

x−x

12 15 6

20 21 19 60

240 315 304 859

5´38 0´46 2´82

⋅ fi

N

⇒x=

∑f ⋅(x n

2 La varianza es: σ =

i =1

i

∑y

i

107´6 9´66 53´58 170´84

)

2

⇒ σ2 =

170´ 84 = 2´ 85 60 2

yi

fi

yi fi

y−y

3 4 5 6

22 20 11 7

66 80 55 42 243

1´10 0´002 0´90 3´0

⋅ fi

i =1

N

⇒x=

∑f ⋅ (y n

2 La varianza es: σ =

−x

i

i

i =1

N

−y

2

x − x ⋅ fi

859 = 14´ 32 60

N

n

La media es: y =

i

2

2

y − y ⋅ fi 24´2 0´04 9´9 26´6 60´74

243 = 4´ 05 60

)

2

⇒ σ2 =

170´ 84 = 2´ 85 60

306 Una variable bidimensional se distribuye mediante la siguiente tabla: Y 11 8 9 10 X 10 4 5 8 3 11 1 3 6 1 12 1 8 2 1 13 2 6 8 3 101

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DISTRIBUCIONES MARGINALES

Calcula la media aritmética y la varianza para cada distribución. xi

fi

xi fi

x−x

yi

fi

yi fi

y−y

2

2

2

x − x ⋅ fi

2

y − y ⋅ fi

307 Calcula la media aritmética de la variable X en la distribución del ejercicio 307: xi

102

fi

xi fi

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DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS Una distribución condicionada es la distribución que obtenemos al fijar un valor para una de las variables de una distribución bidimensional.

Una variable bidimensional se distribuye mediante la siguiente tabla: Y

8

9

10

11

1

1

3

2

1

2

2

5

3

2

3

1

1

3

2

4

1

2

5

1

X

Calcular la media aritmética y la varianza para las siguientes distribuciones condicionadas: a) X/y = 9 La distribución condicionada a que la variable Y tome el valor 9 es la siguiente (las dos primeras columnas) a partir de la cual realizamos los cálculos para hallar la media y la varianza:

La media es: x =

2

2

X/y = 9

fi9

xi fi

x−x

x − x ⋅ fi

1

3

3

1´39

4´17

2

5

10

0´03

0´15

3

1

3

0´67

0´67

4

2

8

3´31

6´62

11

24

11´61

24 = 2´18 11

La varianza es: σ 2 =

11´ 61 = 1´ 05 11

b) Y/x = 3

La media es: y =

2

2

Y/x = 3

fi3

yi fi

y−y

y − y ⋅ fi

8

1

8

3´45

3´45

9

1

9

0´74

0´74

10

3

30

0´02

0´06

11

2

22

1´30

2´60

7

69

6´85

69 = 9´ 86 7

La varianza es: σ 2 =

6´ 85 = 0´ 98 7

308 Una variable bidimensional se distribuye mediante la siguiente tabla. X [1 [2 [3 [4

Y -

2) 3) 4) 5)

[1 - 3)

[3 - 5)

[5 - 7)

[7 - 9)

1 2 1 2

3 6 4 2

2 3 5 3

1 4 2 2

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DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS

Calcula la media aritmética y la varianza para las siguientes distribuciones condicionadas: a) X/y = [3 - 5) X/y = [3 - 5)

xi

fi[3, 5)

xi fi

x−x

Y/x = [3 - 4)

yi

fi[3, 4)

yi fi

y−y

2

2

x − x ⋅ fi

b) Y/x = [3 - 4) 2

2

y − y ⋅ fi

309 Calcula la media aritmética de X/y = [5 - 7) del ejercicio anterior. X/y = [5 - 7)

104

xi

fi[3, 4)

xi fi

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COVARIANZA En una variable estadística bidimensional, la covarianza, σxy, es la media de las desviaciones de X e Y: ⎛ ⎞ ∑ ⎜∑ fij ⋅ xi ⎟ ⋅ yi ⎝ ⎠ σ xy = i i −x⋅y N Definimos el coeficiente de correlación lineal como el cociente de la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas de las variables X e Y. σ xy r= σx ⋅ σy

Calcular la covarianza de la siguiente distribución bidimensional: Y

X 1 2 3 4

5

6

7

8

7 6 4 1

9 5 3 2

3 2 1 4

1 2 2 5

Para calcular la covarianza utilizaremos una tabla de doble entrada: • En las celdas que están divididas en dos tenemos la frecuencia absoluta a la derecha y a la izquierda escribimos el producto fij · xi ·yi. • En la columna final hacemos los cálculos para obtener la media de la variable X. • En la fila final hacemos los cálculos para calcular la media de Y. Y

X

5 7 6 4 1

1 2 3 4

6 35 60 60 20

9 5 3 2

7 54 60 54 48

3 2 1 4

8

21 28 21 112

1 2 2 5

8 32 48 160

fj

18

19

10

10

fjyj

90

114

70

80

fi

fi·xi

20 15 10 12

20 30 30 48

∑f y j

j

128 ⇒x= = 2´ 25 57

i =1

N

σ xy =

∑ ⎜∑ f i

⎝

y=

i

ij

n

∑ xi ⋅ fi ⎛

i

= 354

n

x=

∑ f x = 128 ∑ ∑ f x y = 821

N = 57

∑y

i

i =1

N

⋅ fi

⇒y=

i

j

354 = 6´ 26 57

⎞ ⋅ xi ⎟ ⋅ yi 821 ⎠ −x⋅y= − 2´ 25 ⋅ 6´ 26 = 0´ 32 57 N

ij

i

310 Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidimensional. Y

X 1 2 3 4

4 1 2 5 3

6 6 4 2 6

8 5 3 1 4

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COVARIANZA

Y

X

5

6

fi

8

fi·xi

1 2 3 4 fj fjyj

311 Calcula el coeficiente de correlación de la distribución del ejercicio 309. xi

fi

x−x

2

2

x − x ⋅ fi

yi

fi

y−y

2

2

y − y ⋅ fi

312 De cierta distribución bidimensional, con un tamaño de población de 125, conocemos los siguientes datos: x = 12; y = 8; ∑

106

∑f x y ij

i

j

= 12.060 Calcula el valor de la covarianza.

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RECTAS DE REGRESIÓN Cuando el coeficiente de correlación lineal está próximo a 1 ó a –1, podemos utilizar la ecuación de una recta para intentar predecir los resultados de la variable Y, si conocemos la variable X. Esta recta se denomina recta de regresión de Y sobre X. σ y − y = xy2 x − x σx

(

)

Si lo que queremos es intentar predecir valores de la variable X, conocida la variable Y, tendremos la recta de regresión de X sobre Y. x−x=

σ xy σ y2

(y − y)

313 De una variable bidimensional conocemos los siguientes datos: σ x = 1´ 38;

σ y = 2´14;

σ xy = 0´ 98;

x = 4´16;

y = 8´ 34

a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X.

b) Estima el valor de Y para X igual a 4.

314 Calcula la recta de regresión de Y sobre X de la variable del ejercicio del ejemplo de la página 100.

Y

X

8

9

10

11

fi

fi·xi

10

11 12 13 fj fjyj

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13 Combinatorial UTLIZACIÓN DEL PRODUCTO PARA CONTAR Principio fundamental de enumeración: Si tenemos un conjunto A con m elementos y otro B con n elementos podemos elegir un elemento de cada uno de los conjuntos de m · n maneras distintas.

En un equipo de baloncesto tienen tres uniformes diferentes de pantalón y camiseta. ¿De cuántas formas diferentes pueden vestirse para un partido? Si lo representamos en un cuadro de doble entrada podremos ver cuales son las posibilidades: Camiseta A (CA) Camiseta B (CB) Camiseta C (CC)

Pantalón A (PA) CA - PA CB - PA CC - PA

Pantalón B (PB) CA - PB CB - PB CC - PB

Pantalón C (PC) CA - PC CB - PC CC - PC

En total tenemos 9 formas diferentes de equiparnos, que resultan de: 3·3=9 315 Si disponemos de 5 camisetas y 4 pantalones para vestirnos. ¿De cuántas maneras diferentes podemos vestirnos? 316 Si tiramos dos dados de seis caras cada uno de ellos, ¿cuántos resultados diferentes podemos obtener? 317 Si tiramos tres dados de seis caras cada uno de ellos, ¿cuántos resultados diferentes podemos obtener? 318 Para montar un coche de juguete tenemos 6 tipos de carrocería, 4 tipos de interior y 3 tipos de ruedas. ¿Cuántos coches diferentes podemos montar con estas piezas? 319 María tiene 6 collares, 5 anillos y 7 tipos de pendientes. ¿De cuántas formas distintas puede ponérselos? 320 Para construir un paraguas disponemos de 7 tipos de tela, 5 tipos de estructuras metálicas y 8 tipos de mango. ¿Cuántos tipos de paraguas podemos formar? 321 Juan dispone de un Mp3 con 5 tipos de carcasas y 3 tipos de auriculares. ¿De cuántas formas lo puede combinar?

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PERMUTACIONES. FACTORIAL DE UN NÚMERO Dado un número natural m, definimos el factorial de m, m!, como el producto de m por todos los números naturales menores que él. m! = m · (m – 1) · … · 2 · 1 Por convenio, el factorial de cero vale uno: 0! = 1 Una permutación de un conjunto A es una reordenación de sus elementos. Si A tiene m elementos, el número de permutaciones que se pueden hacer con él es: Pm = m · (m – 1) · … · 2 · 1 = m!

¿De cuántas formas diferentes se puede ordenar un conjunto de 9 elementos? Elegiremos uno a uno cada elemento del conjunto, colocando cada elemento en una posición, para la siguiente nos quedará un elemento menos: Para la primera posición tendremos 9 posibilidades. Para la segunda posición tendremos 8 posibilidades, ya que hemos colocado uno. Para la tercera posición tendremos 7 posibilidades, y así sucesivamente. Por lo tanto por el principio fundamental de numeración podremos ordenarlo de las siguientes formas diferentes: 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362.880 Lo que es lo mismo que: P9 = 9! = 362.880 322 Calcula: a) P4 b) P7 c) P8 323 En una clase la primera fila tiene 6 mesas. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 6 alumnos en esas mesas?

324 En una estantería tenemos 10 libros de cocina. ¿De cuántas formas los podemos colocar? Si de esos 10 libros 3 son de repostería y queremos que no se mezclen con los otros, ¿cuántas posibilidades tenemos ahora?

325 Cuántos números podemos obtener con las cifras 1, 2, 3 y 4.

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VARIACIONES Si tenemos un conjunto A de m elementos y elegimos r elementos distintos, de forma que el orden de estos influya, estaremos realizando variaciones de m elementos tomados de r en r. El número de variaciones de m elementos tomados de r en r es: m! = m ⋅ ( m − 1) ⋅ ... ⋅ ( m − ( r + 1)) Vm, r = ( m − r )! Si tenemos un conjunto A con n elementos y queremos formar otro conjunto de r elementos de A, con la posibilidad de repetirlos, estaremos realizando variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r. El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r es: VRn, r = nr

Calcular el número de variaciones de cuatro elementos tomados de dos en dos. 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2/ ⋅ 1/ = 4 ⋅ 3 = 12 = V4, 2 = ( 4 − 2)! 2/ ⋅ 1/ 326 Calcula: a) V7, 3 b) VR6, 2 c) VR9, 4 327 En una carrera ciclista en la que participan 100 corredores, ¿de cuántas formas diferentes puede darse el orden de llegada de los cuatro primeros?

328 Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de tres cifras distintas podemos formar?

329 Si lanzamos un dado tres veces, ¿cuántos resultados podemos obtener?

330 Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de dos cifras podemos formar?

331 Se sortean 5 premios entre 11 personas, de forma que a una misma persona le pueden tocar varios de ellos. ¿Cuántos resultados diferentes podrá haber?

332 Se disponen de tres pelotas diferentes y diez cestas numeradas del 1 al 10. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las pelotas en las cestas, si cada cesta sólo puede contener una pelota?

110

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VARIACIONES

333 ¿Cuántas quinielas de 15 resultados podemos rellenar?

334 En una bolsa tenemos bolas numeradas del 1 al 9. Si sacamos consecutivamente cuatro bolas, ¿cuántos números de cuatro cifras diferentes podremos formar con las bolas extraídas?

335 ¿Cuántos números de tres cifras distintas podremos formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?

336 ¿Cuántos números pares de tres cifras distintas podemos formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

337 ¿Cuántos números impares de cuatro cifras distintas pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?

338 ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9?

339 Con las letras de la palabra JUNIO, ¿cuántas palabras, con o sin significado, podemos formar con cuatro letras, pudiendo estas repetirse?

340 Tenemos que formar un código de seis cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas posibilidades hay?

341 En un torneo de balonmano hay ocho equipos participantes y solo tres trofeos. ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir los premios 1.º, 2.º y 3.º?

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COMBINACIONES. NÚMERO COMBINATORIO n Definimos el número combinatorio   , que denominamos «n sobre m»,  m como la siguiente expresión: n! n  = m m !( n − m)! Si tenemos un conjunto A de n elementos y queremos formar otro conjunto de m elementos de A, sin importarnos su orden, estaremos realizando una combinación de n elementos tomados de m en m. El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m es: n! n Cn, m =   = m m !( n − m)!

Calcular

12 ! 12 ⋅ 11 ⋅ 10 12 = = = 220  3  3 !(12 − 3)! 3 ⋅2 ⋅1

342 Calcula: 8 a)    5 15 b)   9  343 Halla el número de las siguientes combinaciones: a) C2, 3 b) C6, 2 c) C8, 4 d) C7, 7 344 En un campamento hay siete acampados en cada tienda. Si hacen turnos de limpieza de 2, ¿cuántos grupos diferentes podrán hacer?

345

112

El equipo de fútbol sala del colegio está compuesto por 10 jugadores. ¿Cuántos equipos diferentes puede presentar el entrenador? (es diferente con que solo cambie uno de los 5 jugadores que componen el equipo)

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COMBINACIONES. NÚMERO COMBINATORIO

346

En una bolsa tenemos 20 bolas de colores diferentes y tenemos que seleccionar siete. ¿De cuántas formas diferentes podemos hacerlo?

347 Paula quiere invitar a cinco de sus once amigas a una fiesta de cumpleaños. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

348 Doce comensales quieren sentarse a cenar en una mesa de siete plazas. ¿De cuántas maneras diferentes lo pueden hacer?

349 Si se extraen cuatro cartas de una baraja española, ¿cuántas jugadas podemos obtener?

350 Una determinada marca de caramelos fabrica 14 sabores diferentes. Si los presenta en paquetes de cinco sabores, ¿cuántos paquetes diferentes puede hacer?

351 Pedro quiere formar equipos de cuatro con los compañeros de clase. Si en el aula hay 25 alumnos, ¿cuántos equipos puede formar?

352 José tiene nueve amigos y desea invitarlos a cenar, pero sólo puede invitar a seis simultáneamente. ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede tener?

353 El juego de la Primitiva consiste en acertar 6 números naturales a elegir entre el 1 y el 49. ¿Cuántas posibles combinaciones hay? Si cada combinación nos cuesta 1 , ¿cuánto nos tendremos que gastar para asegurar que vamos a acertar seguro los 6 números?

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS Propiedades de los números combinatorios:  n   =1  0

 n   =1  n

 n   =n 1

 n  n     =  r   n − r

 n − 1  n − 1  n  =   +   r   r − 1  r 

354 Aplicando las propiedades de los números combinatorios calcula las siguientes expresiones:  20 a)    20

 20 d)    19 

 5 b)    0

 12  12 e)   +    10  11

 9 c)    1

 15  15 f)   +    13  1 

355 Calcula sin utilizar la calculadora:  20 a)    18   12 b)    10  10 c)    8  40 d)    37 356 Resuelve.  525  525   +   523  524 357

Calcula el valor de la siguiente expresión:  14  14   +   12  1 

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EL BINOMIO DE NEWTON La potencia n-ésima de cualquier binomio es : n n n n  2 n− 2  n  n−1  n n ( a + b)n =   an +   an−1b +   an− 2 b2 + ... +  b ab + ab +  0 1  2 n − 2  n − 1  n n n n n  2 n− 2  n  n−1  n n ( a − b)n =   an −   an−1b +   an− 2 b2 − ... +  b ab − ab +  0  1  2  n n − 2  n − 1

( a + b)4 =

4⋅3 3  4 4  4 3  4 2 2  4 3  4 4 a + a b+ ab + ab + b = a4 + 4 a3 b + ab + 4 ab3 + b4 =  0 1   2  3  4 2 ⋅1

= a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 ab3 + b4 358 Escribe el desarrollo del binomio de Newton de: a) (a – b)5

b) (a – b)6

359 Desarrolla las siguientes potencias: a) (x – 1)5

b) (2x + 3)6

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14 Probabilidad EXPERIMENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Un experimento es determinista si en iguales condiciones el resultado siempre es el mismo. Por tanto, este tipo de experimentos tienen un resultado predecible. Un experimento es aleatorio si al repetirlo en las mismas condiciones el resultado no tiene por qué repetirse. Por tanto, este tipo de experimentos no tienen un resultado predecible. Llamaremos espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados que se pueden producir en un experimento aleatorio.

360 Escribe tres ejemplos de experimentos deterministas y otros tres de experimentos aleatorios:

361 De los siguientes experimentos, ¿cuáles son aleatorios? a) Medir el lado de un cuadrado de diagonal 2 m. b) Sacar una carta de una baraja. c) Apuntar el color de la camisa del primer peatón con que nos crucemos. d) Abrir un libro por la primera página y apuntar el número de página. 362 Se considera el experimento sacar de una bolsa una bola numerada del 1 al 20. Escribe el espacio muestral.

363 Sea el experimento que consiste en lanzar dos monedas y mirar el resultado. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe los sucesos elementales. 364 Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda. b) Lanzar un dado numerado del 1 al 6. c) Lanzar 2 dados numerados del 1 al 6 y anotar la suma de sus caras. 365 Un alumno contesta a un test de cuatro preguntas al azar. Cada pregunta se contesta con verdadero o falso. Calcula el espacio muestral.

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SUCESOS Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Llamaremos suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del experimento. Llamaremos suceso compuesto al suceso que está formado por sucesos elementales. Llamaremos suceso seguro al suceso formado por todos los posibles resultados del experimento, es decir, el espacio muestral. Llamaremos suceso imposible al suceso que nunca puede ocurrir. Este suceso lo indicaremos con el símbolo Ø y se denomina conjunto vacío.

366 En una urna tenemos diez bolas numeradas del 1 al 10, si extraemos una de ellas al azar determina: a) Espacio muestral.

b) Suceso seguro.

c) Dos sucesos elementales.

d) Un suceso imposible.

e) Dos sucesos compuestos.

367 Se extrae una carta de una baraja española de 52 cartas, indica: a) Suceso seguro.

b) Dos sucesos elementales.

c) Suceso imposible.

d) Dos sucesos compuestos.

368 Se lanzan dos dados numerados del 1 al 6 y sumamos el resultado de ambas tiradas, determina: a) Suceso seguro.

b) Dos sucesos compuestos. c) Suceso imposible.

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OPERACIONES CON SUCESOS Sean dos sucesos A y B: Llamaremos A unión B al conjunto formado por los elementos que están en A o en B. A ∪ B = x : x ∈ A o x ∈B

{

}

Llamaremos A intersección B al conjunto formado por los elementos que están a la vez en A y en B.

{

A ∩ B = x : x ∈ A y x ∈B

}

Sea E un espacio muestral y A un suceso de ese espacio muestral, definimos el suceso contrario o complementario como el conjunto formado por los elementos de E que no están en A.

{

}

A = x : x ∉A

Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles si la intersección de A y B es el conjunto vacío, A ∩ B = ∅ Diremos que A y B son compatibles en el caso contrario, A ∩ B ≠ ∅

369 Sea el experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 10 y consideremos los siguientes sucesos: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2}, C = {2, 3, 4}, D = {1, 2} a) A ∪ B b) A ∪ D c) A ∩ C d) C ∩ D e) A ∩ C ∩ D 370 Se lanzan dos dados y se anotan los resultados de sus caras superiores. Se consideran los sucesos: A = “Salen dos resultados iguales”, B = “Al menos sale un uno” y C = “Los dos resultados son mayores que 3”. Calcula: a) Los elementos que componen A, B y C.

b) A ∪ B y B ∪ C.

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PROBABILIDAD DE UN SUCESO La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Notaremos como P(A) a la probabilidad del suceso A. Propiedades de la probabilidad: 1. La probabilidad de un suceso cualquiera A está comprendida entre los valores 0 y 1. 0 ≤ P ( A) ≤ 1 2. La probabilidad del suceso imposible es cero y la del suceso seguro uno. P(∅ ) = 0 P( E ) = 1 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos A, B es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de la intersección de los dos sucesos. P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

371 La probabilidad de cierto suceso es igual a 0´32, calcula la probabilidad de su contrario.

372 Dados dos sucesos A y B incompatibles tales que P(A) = 0´12 y P(B) = 0´2. Calcula: a) P ( A) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B ) d) P ( A ∩ B ) e) P ( B ∪ B ) 373 Si A y B son dos sucesos y P(A) = 0´5; P(B) = 0´8 y P ( A ∩ B ) = 0´4. Calcula: a) P ( A) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B ) d) P ( A ∪ B ) 374 Si A y B son dos sucesos y P(A) = 0´7; P(B) = 0´2 y P ( A ∩ B ) = 0´3. Calcula: a) P ( B ) b) P ( A ∪ B ) c) P ( A ∪ B ) 375 Si A y B son dos sucesos y P(A) = 0´4; P(B) = 0´6 y P ( A ∩ B ) = 0´1. Calcula: a) P ( A) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B ) 376 Si A y B son dos sucesos y P(A) = 0´23; P(B) = 0´4 y P ( A ∩ B ) = 0´12. Calcula: a) P ( A) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B ) d) P ( A ∪ B ) 119

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LA LEY DE LAPLACE Si los sucesos elementales de un experimento son equiprobables (tienen la misma probabilidad), la probabilidad de que ocurra un suceso A es: Número de casos favorables P A = Número de cassos posibles

( )

377 Si se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de que: a) Sea un rey.

b) Sea un oro.

c) Sea una figura.

d) Sea una figura o una copa.

378 Una bolsa contiene tres bolas blancas, cuatro rojas y cinco amarillas. Se extrae una de las bolas. Calcula la probabilidad de que sea: a) Blanca.

b) Roja.

c) Amarilla.

379 Una urna contiene tres bolas blancas, dos rojas, tres azules y cinco negras. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea blanca o roja.

b) No sea negra.

c) No sea ni blanca ni roja.

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COMPOSICIÓN DE SUCESOS INDEPENDIENTES Diremos que dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio son independientes si la probabilidad de que ocurra A no varía si ocurre B, y viceversa. En este caso se verifica: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

380 Se lanzan al aire dos dados de seis caras. Calcula la probabilidad de: a) Obtener dos seis. b) Obtener un cuatro y un tres. 381 Se lanza un dado al aire y se saca una bola de una bolsa que contiene dos bolas blancas y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la bola negra y un número menor que tres?

382 Tiramos un dado al aire y extraemos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar par y oros.

b) Sacar un seis y el as de espadas.

c) Sacar número primo y bastos.

d) Sacar mayor que cuatro y figura.

383 Se tiene una urna con cinco bolas rojas y siete azules. Se extrae una bola y se devuelve a la urna. A continuación se saca otra bola. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos rojas. b) Dos azules. 384 La probabilidad de que una persona sea morena es 0´8 y la probabilidad de que sea diestra es 0´93. Halla la probabilidad de que: a) Sea morena y diestra. b) Sea morena y zurda. c) No sea morena y diestra. 121

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PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES Diremos que dos sucesos A y B son dependientes si no son independientes, es decir, si la probabilidad de que ocurra uno depende de que ocurra el otro. Llamaremos A/B al suceso A condicionado a que ocurra B y B/A al suceso B condicionado a que ocurra A. Los sucesos dependientes verifican la siguiente fórmula: P(A ∩ B) = P(A/B) · P(B) = P(B/A) · P(A)

385 En una urna hay cinco bolas rojas, cuatro verdes y seis azules. Se extraen tres bolas simultáneamente. Calcula la probabilidad de que: a) Sean las tres rojas.

b) Haya una bola de cada color.

386 Un almacén tiene tres modelos de móviles de los cuales el 30% son del modelo A, el 50% del modelo B y el 20% del modelo C. Se sabe que el porcentaje de móviles defectuosos son 1%, 4% y 3% respectivamente. Calcula la probabilidad de que un teléfono escogido al azar sea defectuoso.

387 Un experimento consiste en sacar dos cartas sucesivamente de una baraja española, sin devolver la primera a la baraja, calcula la probabilidad de: a) Que las dos sean as.

b) Que la primera sea bastos y la segunda oros.

388 De una bolsa que contiene diez bolas, seis son blancas y cuatro azules. Calcula la probabilidad de que al sacar dos bolas consecutivamente de la bolsa ambas sean del mismo color.

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389 Al fabricar unos tornillos se hacen dos pruebas de calidad, la segunda prueba sólo se realiza si pasa la primera. La primera prueba no la pasan dos de cada 1.000 tornillos, y la segunda tres de cada 500. Calcula la probabilidad de que un tornillo no pase las pruebas.

390 En una clase hay 17 chicas y 13 chicos. Se elige al azar a dos personas para realizar un trabajo. Halla la probabilidad de que: a) Sean dos chicos.

b) Sean dos chicas.

c) Sean una chica y un chico.

391 Calcula la probabilidad de que al extraer dos cartas consecutivas de una baraja ninguna sea una copa

392 Consideremos una caja con 100 bombillas, de las cuales el 10% son defectuosas. Si se cogen al azar dos bombillas sin devolverlas a la caja. Halla: a) La probabilidad de que sean defectuosas.

b) La probabilidad de que al menos una bombilla sea defectuosa.

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S

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olucionario

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22

9 20

24

4 3 3 1 2 2 3 5 –1’5 < – < < < < < 5 5 5 4 4 2

25

5 7 1 a) 12 > 18 > 9

1 5 7 b) 6 > 12 > 15

2 4 5 a) 6 = 12 = 15 2 3 5 c) 8 = 12 = 20

6 10 8 b) 21 = 35 = 28

23

26

27

28 29 30

a)

b)

4 5

469 690

10.153 225

67

d)

117 50

e)

209 90

f)

21 100

68

46

–

43 30

47 48

5’3102 y 5’3103 a) Racional. b) Irracional. c) Racional. d) Racional. a) Racional, decimal exacto. b) Irracional. c) Irracional. d) Irracional. e) Racional, decimal periódico puro. f) Racional, decimal periódico mixto. a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero. d) Falso.

50 51

1 3

1 0

55

a)

b)

5

114

b)

d)

4

23

g)

5

g)

9

d) 27 b) 31/3

a)

59

5 5

58

2 Siega cada día de media Tardará en 35 segar toda la finca 17 días y medio.

40

4

c) 625 a) 21/3

33

39

3

57

d)

38

3

56

54

b) 14

37

1

a) (3, ∞) b) [– 2, 4) c) (– ∞, 6] a) [– 5, 4] b) [– 3, ∞) c) (– 3, 2] d) (7, 9) e) (5, ∞) f) [– 4, 6) a) − 4 ≤ x ≤ 5 b) −1 ≤ x < 0 c) x ≥ − 4 d) 7 < x < 12 e) −3 < x ≤ 3 f) x < 3 a) 233 b) 54

52 53

32

36

2

c) 33/4 1 c) 3 2 3

3

52

e)

3

5 ⋅ 32

f)

36 ⋅ 24 h)

3

3

i)

15

210 ⋅ 33

c)

24 ⋅ 311

⎛5⎞ f) 4 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

a) 2

b)

3

4

4

1 5

12

231 ⋅ 36 3

1 del total de tronillos. 20 Le quedan 10 cromos. 7 Patatas: El total de la finca 800 m2. 20 4 Deberá recorrer: de la distancia. 15 18 de la capacidad del embalse. 25 5 El pequeño heredará del total. 15 a) 0’25 b) 0’7 c) 0’4    d) 2’3 e) 0’6 1 f) 0’27

a) 2’4 · 103 b) 2’5 · 106 c) 3’3 · 10–1 d) 1 · 10–3 a) Inversamente proporcionales. b). No son proporcionales. c) Directamente proporcionales. d) No son proporcionales. e) Inversamente proporcionales. f) Directamente proporcionales. g) Inversamente proporcionales. h) No son proporcionales.

c)

18 a) 3

Los de tipo D son:

a) 5’78 · 10–4 c) 7’7 · 1012

901 75

49

60

62

18

1 18

4 5 b) 2 x y 6 y

10 2 c) 3 2 2 x

d)

2 3

53 1 3 18

a) 6 5

a) 6 6 72 d)

22 ⋅ 52 33

6

2 3

b) 16 2 c) 6 5 13 3 e) − 2 3 3 b) 4 2 c) − 2 + 2 7 e)

30

5

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

3

d) 7 2

Queda

e)

73 a) 2ab 2a

e) 61

33

a) Por defecto: 2’194 Er = 0’00039 Ea = 0’00086 b) Por exceso: 2’195 Ea = 0’00014 Er = 0’000063 c) Por redondeo: 2’195 Ea = 0’00014 Er = 0’000063 Redondeo: 7’9 Ea = 0’028 Er = 0’0035 a) 3 · 105 km/s b) 7’5 · 1012 c) 4 · 10–6 d) 2’5 · 10–4

66

b)

a)

35

c) –

64 65

432 125

13 b) 45 9 b) 8

63

a)

45

7

1 2

67 120

42 43 44

a) 2’3500’ < 2’3504 < 2’3506 < 2’3510 b) 45’6700 < 45’6705 < 45’6708 < 45’6710 c) – 0’5610 < – 0’5605 < – 0’5603 < – 0’5600 d) – 3’3210 < – 3’3207 < – 3’3203 < – 3’3200   a) 0’6 b) 1’4 c) 0’7 d) 0’3 a) 1’808 b) – 1’214 c) – 1’783 d) – 2’759 a) Decimal periódico puro. b) Decimal exacto. c) Decimal periódico mixto.

c)

a) Sí son equivalentes. b) No son equivalentes. c) Sí son equivalentes. b) x = 15 a) x = 4

159 a) 40

41

31

34

124

a) – 3 b) – 23 a) 51 b) 20 a) – 8 b) 9 c) 64 572 cm separan a Marta de su madre. a) – 6 b) 262 c) 3 166 películas. a) – 27 b) 1 El patio tiene 288 m2 a) 5 b) – 47 La superficie total es de 36 m2 Han encargado 20.000 galletas. Le sobran 10 € Hay 120 alumnas. Ha gastado 11 € de media. Ahora tiene 1.897 € 212 > 16 > 4 > 0 > – 3 > – 6 > – 122 > – 123 a) Primo b) Primo c) Primo d) Primo a) Entre 2 b) Entre 3 c) Entre 2, 3 y 5 d) Primo a) Sí es múltiplo. b) No es múltiplo. c) No es múltiplo. b) 23 · 3 · 5 c) 3 · 52 · 72 a) 2 · 34 · 5 d) 24 · 32 · 5 e) 23 · 32 f) 72 · 5 a) 24 b) 864 c) 60 d) 360 e) 252 2 4 2 a) b) c) 3 15 3

99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112

6 15

3´2 8

b) 1’4099 · 103 d) 5’04 · 104

2 5

1´8 4´5

0´5 1´25

b) x = 10 c) x = 56 a) x = 10 e) x = 4 f) x = 8 d) x = 126 600 vueltas 45 m 750 minutos = 12 horas y media. 750 litros. 4’5 días 315 botellas 4 huevos, 2 vasos de leche, 60 gramos de mantequilla y 6’4 cucharadas de azúcar. 5’4 temas diarios. 3’75 días. 4 horas. 11’2 m. 300 menús. 560 litros. 112 km/día. 2 cajas. 14 días. 9 h 36 min. 525 baldosas. 4.900 tornillos. 10 horas. 7’56 horas diarias. a) 28’8 b) 270 c) 297 a) 0´12 b) 0´02 c) 0´237 a) 4% b) 12´3% c) 4´5% d) 123% 60% 3.600 m2 para patatas, 5.400 m2 para maíz y 2.700 m2 para árboles frutales. 22’5% a) el 25% suspende, el 75% aprobará. b) 5 alumnos suspenden la asignatura. 400 chicos. 78’5% 0’6% a) 10 lanzamientos. b) 18 de tres puntos. 553 € 50 € 24´6 € 174 € 1’1424 € 5% 40% 390.625 espectadores. 42’86% 139’2 € precio con IVA y sin descuento. 111’36 € precio final.

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SOLUCIONARIO

113 114 115 116 117 118 119 120

121

122 123 124 125 126 127 128

129

130 131 132 133 134 135

136

137

138

139 140 141 142 143

144

72% 2.754 € a) 90 € b) 45 € 552 € 142’375 € 1.600 € 2.083’33 € a) coeficiente = –32; parte literal = x3; grado = 3 1 b) coeficiente = ; parte literal = x2yz3; 2 grado = 5 c) coeficiente = 8; parte literal = x 0; grado = 0 d) coeficiente = 12; parte literal = xy3z; grado = 5 28 e) coeficiente = ; parte literal = xyz; 13 grado = 3 a) – 3x3yz (existen diferentes respuestas) a 3b 3 b) (existen diferentes respuestas) 2 c) xzty (existen diferentes respuestas) a) 4xy2 b) 3x3 c) 4x2y2z d) 6xy3 e) – 5x3y2 a) Grado 6 y término independiente 3. b) Grado 5 y término independiente 1. Varios posibles. Varias posibles. c) P(2) = –1 a) P(1) = –2 b) P(1) = 8 d) P(4) = 413 e) P(–3) = 154 a) – 8 b) 2 c) 4 d) – 12 e) – 18 a) 2x4 – 3x3 + x2 – 2x + 1 b) 3x3 – 3x2 + 3x – 3 c) 5x4 + 7x3 – 3x2 – 5x + 12 d) 5x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 9 a) – x3 – 2x b) 3x2 y + 6xy2 + 3x2 + 5xy – 2y2 – x – 2y c) 12x5 – x4 – 2x3 – x2 + 20x – 32 d) 5x7 + 13x5 – 7x4 – 6x3 + 13x2 – 6x e) 5x3 + 12x2 – 5x 2x3 + 5x2 + 3x + 2 2x3 – 5x + 3x2 a) 2xy + 2xz b) 4x2 – y2 + 4yz – 4z2 C(x) = x2 – x + 3; R (x) = 3x 2x3 + x2 + 4x + 23 b) –2a5b + 3a4b2 – a3b3 a) 4x3 + 8x2 25 5 37 41 x − 6x 4 + x 3 − x 2 + 21x c) 6 10 2 a) 9x2 – 12x + 4 b) 4 – 2x + x2 c) (9x2 – 4) d) (4a2 – b2) f) 4x2 + 12xy + 9y2 e) (4x2 – 25) g) x4 + 4x3 +4x2 h) 9x2 – 12xy + 4y2 a) (4x2 – 3)2 b) (xy + 3) c) (xy + 5) (xy – 5) d) (2x – y)2 e) (4x + 5y) · (4x – 5y) a) 2x (2x2 – 3x + 1) b) 6x2y (4x2y2 – 2x + y) c) – 3xy (x3y – 3x + 2) d) (2x – 4) (x + 1) e) (2x + 3) (–x – 9) a) C(x) = x3 – 2x2 + x + 3; R(x) = –8 b) C(x) = x 5 + 2x4 + x3 + 2x2 –x – 2 R(x) = – 3 a) Resto = 77 b) Resto = – 1 c) Resto = – 115 d) Resto = 11 x = – 3 es una raíz. Las raíces son x = 1; x = – 1; x = – 2; x = 3 a) P(x) = (x – 1) (x – 2) (x + 2) b) P(x) = (x – 1) (x – 3) (x + 3) c) P(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 2) (x – 3) d) P(x) = x · (x3 + 2x2 – 6)

x4 + 4x3 – 9x2 – 16x + 20

145 146 147 148 149

P(x) = (x –1)(x –4)(x + 2) 1 x= 2 x (x – 2) ( x + 2 )2 x2 ( x – 2 )2 ; 3 ; 3 3 x – 4x x – 4x x – 4x −x + 4 2( x 2 − 4 ) x 3 − 5x − 5 a) 3 x + 3x 2 + 3x

161 162 163 164 165

⎛ 7⎤ e) x ∈ ⎜− ∞, ⎥ 2⎦ ⎝

2 x 2 – 3 x + 21 ( x – 1) ( x – 3 ) ( x + 2 ) x +3 x –2 c) 2 d) x +2 x –1 f)

166

⎛ 39 ⎞ a) x ∈ ⎜− ∞, − ⎟ 2⎠ ⎝ – 39/2 – 20

5 x 2 + 7 x + 10

(x + 2)

2

151

b) x = – 25

a) x = 1 c) x = –8 49 e) x = 29

152

153

1 c) x = – 10

18 b) x = 5 d) x = –94

2 3 1 −2 c) x = d) x = 3 73 a) No tiene solución real. b) {x = 0; x = 9 c) x = ± 3 b) x =

a) x = 1

168

e) x = ±

⎧x = 0 f) ⎨ ⎪⎩x = 3

g) x = ± 4

154

a) x = ± 4

⎧x = 0 ⎪ b) ⎨ 3 ⎪x = − ⎩ 5

155

a) x 1 =

157 158 159

160

b) x = 2 ⎧x = 1 ⎪ d) ⎨ 1 ⎪x = − ⎩ 2

⎧ e) ⎨ x = 2 ⎪⎩ x = 1

⎧⎪ x = 6 f) ⎨ 1 ⎪⎩ x2 = – 4

g) x = –1

⎧⎪x = ± 2 a) ⎨ ⎩⎪x = ± 1

b) x ∈ ⎡⎣− 2, ∞

c) x ∈(8, ∞)

d) x ∈ ⎡⎣− 1, ∞

⎛ 23 ⎞ e) x ∈ ⎜ −∞, ⎟ ⎝ 6⎠

⎛ − 37 ⎞ , ∞⎟ f) x ∈ ⎜ ⎠ ⎝ 4

⎛1 ⎞ g) x ∈ ⎜ , ∞⎟ ⎝4 ⎠ ⎡7 ⎞ a) x ∈ ⎢ , ∞⎟ ⎣4 ⎠

⎛ 48 ⎞ h) x ∈ ⎜ −∞, ⎟ ⎝ 37 ⎠

)

)

b) x ∈ ⎡⎣8, ∞)

⎧ 5 ⎪x = ± ⎪ 2 ⎨ b) ⎪ 5 ⎪⎩x = ± − 6

⎧ c) ⎨x = ± 3 d) Sin soluciones reales. ⎩⎪x = sin solución. La solución es x = 13, y = 31 La solución es x = 1; y = – 3 −23 28 ;y = a) La solución es x = 5 15 5 9 b) La solución es x = x = ; y = 3 5 Hay 8 habitaciones dobles y 12 triples.

d) Sin solución.

169

a) No es una función pues tiene valores de x con distintos valores de y. b) Es una función. c) No es una función pues tiene valores de x con distintos valores de y. d) Es una función.

170

a) Sí es una relación funcional no lineal. b) No es una relación funcional. c) Sí es una relación funcional afín. d) No es una relación funcional. e) Sí es una función afín. −3 1 a) f (− 2 ) = ;f (− 1) = − 1;f (0 ) = − 2 2

1 2

4 + 52 4 – 52 y x2 = –2 –2 ⎧ c) ⎨ x = 4 ⎩⎪ x = 2

⎛7 ⎞ a) x ∈ ⎜ , ∞⎟ ⎝4 ⎠

⎛ 3⎤ c) x ∈ ⎜− ∞, ⎥ 2⎦ ⎝

⎧ 1 d) ⎨x = 0; x = 2 ⎩

156

0 1 2

–3

x +4

a) x = 1

8

– 44/13

(x + 3)

167 150

0

–8

⎡ 44 ⎞ b) x ∈ ⎢− , ∞⎟ ⎣ 13 ⎠

2

g)

⎛ 9⎞ d) x ∈ ⎜– ∞, ⎟ 7⎠ ⎝

c) x ∈ (− ∞, 4)

b)

1 e) 2x − 2

Los números pedidos son: 30 y 20. Las partes son 32 y 360. Los números pedidos son: 26 y 58. El padre 63 años y el hijo 21. a) x ∈ (– ∞, 21⎤⎦ b) x ∈ (− ∞, 4⎤⎦

171

b) g (− 2 ) = 2 ; g (−1) = 3 ; g (0 ) = 2 c) h (−2 ) no existe; h (−1) no existe; h (0 ) no existe 172

173

a)

x y

0 0

1 1

2 4

–1 1

–2 4

b)

x y

0 2

2 0

–4 0

–2 4

4 4

x

–6

y

0

–5 –4– 1

1

3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

0

–1

–1

0

1

1

0

–1

–1

0

174

⎛1 ⎞ Eje X: P ⎜ , 0⎟ Eje Y : P (0, − 1) ⎝3 ⎠

175

a) Dom (f) = ⎡⎣− 5, − 2) ∪ (− 2, 0) ∪

176

177

∪ (− 2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, 5⎤⎦ Img (f) = [– 5, 0) ∪ (0, 5] b) Dom (g) = [– 7, – 4) ∪ (– 4, 2] ∪ (2, 7] Img (g) = [– 3, 7] a) Dom (f) = R b) Dom (g) = R c) Dom (h) = R – {–1} d) Dom (m) = R – {±2} e) Dom (p) = [1, ∞] f) Dom (r)= ( – ∞, – 1] ∪ [2, ∞) a) Discontinua de salto finito en: x = – 3; x=1yx=3 b) Continua en todo su intervalo de definición.

125

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178

179

180

181

182

183

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12:24

c) Discontinua de salto infinito en: x = – 4 y x=2 d) Discontinua de salto infinito en: x = – 1 y x=1 Creciente en: (– ∞, – 5) ∪ (– 3,1) ∪ (3, 4) Decreciente en: (– 5, – 3) ∪ (2, 3) ∪ (4, ∞) La función es constante en: (1, 2) Máximo relativo en: (– 5, 2) y (4, 1) Mínimo relativo en: (– 3, – 1) y (3, 0) La función es cóncava en: (– ∞, – 0) La función es convexa en: (0, ∞) La función tiene un punto de inflexión en: (0, 0) Es creciente en los intervalos: (–2, 0) y (1, 3) Decreciente en: (–3, –2); (0, 1) y (3, 4) Es continua en el intervalo: (4, 5) Máximos en los puntos: (0, 1) y (3, 3) Mínimos en los puntos: (–2, –2) y (1, 0). a) Le subió entre las 2 y las 4, entre las 8 y las 10, entre las 12 y las 14 y entre las 20 y las 24 horas. b) A lo largo del día llegó a tener 40 y 41ºC de fiebre. c) La temperatura mínima fue de 38ºC. d) Le causó efecto hasta las 18 horas y le bajó la fiebre hasta 38’5 ºC. Punto de corte con el eje X: (6, 0) Punto de corte con el eje Y: (0, 2) Es decreciente en: (–7, –4) y (4, 7) Es constante en el intervalo: (–4, 2) Es creciente en el intervalo: (2, 4) Tiene un máximo relativo en el punto: (4, 7) a) b) –4

–2

4

4

2

2

1

1

–1

c)

1

2

4

–4

–2

–1 –1

–2

–2

–4

–4

194 195

Dom. f(x) = R Img. f(x) = R Creciente en: (– ∞, ∞ ) Continua en: (– ∞, – 2) ∪ (– 2, 2) ∪ (2, ∞) Discontinuidad en: x = –2 y x = 2 ⎛ 1 9⎞ a) V ⎜− , − ⎟ b) V (– 1, 2) 8⎠ ⎝ 4 ⎛5 ⎞ Img. f(x) = ⎜ , − ∞⎟ Dom. f(x) = R 4 ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ Creciente de: ⎜− ∞, ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ Decreciente de: ⎜ , ∞⎟ ⎝2 ⎠

2

4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1

196

a) Corte con el eje X: A (2, 0 ); B (− 2, 0 ) Corte con el eje Y: C(0, 4) b) Corte con el eje X: A(3, 0); B(4, 0) Corte con el eje Y: C(0, 12) c) Corte con el eje X: A(1, 0); B(9, 0) Corte con el eje Y: C(0, 9)

197

10 8 6 4 2 2

4

6

8

10

–4 –6 –8 –10

198

15 10 5

1

–2

–1

1

2

4

–20 –15 –10 –5 –5

–1 –2

5

10

15

20

4

8 12 16 20

–10

–4

–15

184

a) La función es par. b) La función es impar. c) La función es impar.

185

f (x) → 2 f (x) → 2 f (x) → ∞ f (x) → ∞ f (x) → ∞ f (x) → – ∞

186

199

4 –20 –16 –12 –8 –4 –4 –8 –12

Dom. f(x) = (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) Img. f(x) = (– ∞, 0) ∪ (0, ∞) Continua de: (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) Discontinuidad de salto infinito en: x = 3 Decreciente en: (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) 200

6 5

187

4

4

3

3

2

2

1

1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7 –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1

–2 –3

Img f(x) = (0, ∞) Dom f(x) = R f (x) → ∞ cuando x → – ∞ f (x) → 0 cuando x → ∞ f (x) > 0 para cualquier x f (0) = 1 f es decreciente en R

–4

188

189

190 191 192

a) f (x) = 3x + 1 b) f (x) = – 2x + 8 c) f (x) = – x – 5 a) Corresponde a la recta 1. b) Corresponde a la recta 4. c) Corresponde a la recta 3. d) Corresponde a la recta 2. 5 1 f (x ) = x – 3 3

201

–15

16

8 4 4

8

12

16

–8

229 230 231 232

233 234 235 236 237 238 239 240

241

–10

–5

5

10

15

Dom f(x) = R Img f(x) = (5, ∞) f (x) → ∞ cuando x → ∞ f (x) > 0 para cualquier x f (x) → 5 cuando x → – ∞ f (0) = 6 f es creciente en R

12

–4 –4

215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

5

f (x) = – x + 4

–16 –12 –8

204 205 206 207 208 209 210 211 212 213

15

10

202

242

–5

5

10

25

a) c = 10’63 m b) a = 6’71 m a) b = 7’94 m b) c = 10 m c) a = 12’42 m h = 8’66 m ap = 43’30 cm d = 11’18 cm h = 5’74 cm d = 3 cm a) h = 5’42 cm b) h = 7’54 cm h = 7’27 cm a) A = 59’83 cm2 b) A = 259’8 cm2 c) A = 43’35 cm2 a) A = 4’85 cm2 b) A = 12 cm2 c) A = 30 cm2 d) A = 64 cm2 A = 135’01 cm2 α = 30º A = 200’96 cm2 a) A = 13’76 cm2 b) A = 43 cm2 Costará 47’1 · 10 = 471 € a) A = 113’04 cm2 b) A = 14’65 cm2 A = 138’16 cm2 A = 43 cm2 A = 46’88 cm2 Al = 480 cm2 At = 544 cm2 V = 960 cm3 Al = 117’3 cm2 At = 142’3 cm2 V = 176 cm2 Al = 360 cm2 At = 391’2 cm3 a) At = 202 cm2 V = 180 cm3 b) At = 161’28 cm2 V = 120 cm3 V = 533’512 cm3 V = 98’98 cm3 A = 351’58 cm2 a) Ab = 314 cm2 b) Al = 702’10 cm2 c) A = 1.016’10 cm2 d) V = 2.093’33 cm3 A = 351’68 cm2 V = 602’88 cm3 A = 200’96 cm2 V = 268’08 cm3 V = 24’87 cm3 V = 5.572’45 cm3 A = 113’04 cm2 226.080 litros 2 A = 1.256 cm  sen (α ) = 0´ 4 cos (α ) = 0´ 89 sen(β ) = 0´ 89 tan(α ) = 0´ 49  tan(β ) = 2´ 01 cos (β ) = 0´ 4 sen(α ) = 0´ 9 tan(α ) = 2´ 14

cos(α ) = 0´ 42

sen (β ) = 0´ 42

cos (β ) = 0´ 9

244

a) cos(α ) = 0´ 92 b) cos(α ) = 0´ 6 c) cos(α ) = 0´ 8 d) cos(α ) = 0´ 99

tan(α ) = 0´ 43  tan(α ) = 1´ 3 tan(α ) = 0´ 75  tan(α ) = 0´ 15

245

a) b) c) d)

sen(α ) = 0´ 86 sen(α ) = 0´ 71 sen(α ) = 0´ 97

tan(α ) = 102 ´ tan(α ) = 3´ 88

sen(α ) = 0´ 98

tan(α ) = 4´ 9

15

8

–5

6 4 2 –10 –8

–6

–4

–2 –2 –4 –6 –8 –10

126

20

sen(α ) = 0´ 95

5

–10

15

cos (α ) = 0´ 32

15

–15

10

243

–16 10

5

tan(β ) = 0´ 47

–12

193

–5

Im f(x) = (3, ∞) Dom f(x) = R f(x) → ∞ cuando x → – ∞ f(x) → 3 cuando x → ∞ f(x) > 0 para cualquier x f es creciente en R

12 8

cuando x → – ∞ cuando x → ∞ cuando x → – 2– cuando x → – 2+ cuando x → 2– cuando x → 2+

f (x) → – ∞ cuando x → 1– f (x) → ∞ cuando x → 1+

5

–10

214

–4

15

10

–3

2

–4

203

–2

4

4

⎛ 1 5⎞ Máximo en: ⎜ , ⎟ ⎝2 4 ⎠

Continua en R

–10 –8 –6 –4 –2 –2 1

–1

Página 126

2

4

6

8

10

Img f(x) = (3, ∞) Dom f(x) = R f (x) → ∞ cuando x → – ∞ f (x) → – 3 cuando x → ∞ f es creciente en R

tan(α ) = 172 ´

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SOLUCIONARIO

246

247

248

249

250 251

252

253 254 255 256

a) cos(α ) = 0'24 b) cos(α ) = 0´ 12 c) cos(α ) = 0´ 71 a) 3 vueltas y 145º c) 323º e) 1 vuelta y 290º g) 133º a) 38º c) 212º e) 275º 46´ g) 84º

b) 1 vuelta y 118º d) 62º f) 4 vueltas y 238º h) 144º b) 276º d) 93º f) 112º 35´ h) 53º

Ángulo

Seno

Coseno

Tangente

0° 180° 360° –90°

0 0 0 –1

1 –1 1 0

0 0 0 Indeterminado

Seno

Coseno

Tangente

345° 167° – 25° 215° – 125°

– + – – –

+ – + – –

– – – + +

a) cos α = – 0’87 b) sen α = 0’95 a) cos α = – 0’98 b) cos α = – 0’24 a) sen α = – 0’71 b) cos α = 0’16 a) x = 14 πrad

tan α = – 0’57 tan α = – 3’17 tan α = 0’20 sen α = – 0’97 tan α = – 1’01 sen α = – 0’99 7π b) x = rad 4

c) x =

4π rad 3

d) x = 630°

e) x =

9π rad 4

f) x =

23 π rad 6

a) sen 36º = 0’59; cos 36º = 0’81 tan 36º = 0’73 b) sen 30º = 0’5; cos 30º = 0’87 tan 30º = 0’58 c) sen 45º = 0’71; cos 45º = 0’71 tan 45º = 1 d) sen 25’71º = 0’43; cos 25’71º = 0’90 tan 25’71º = 0’48

⎧sen 187 º = − sen 7 º ⎪ 258 a) ⎨cos 187 º = − cos 7 º ⎪tan 187 º = tan 7 º ⎩ ⎧sen 235 º = − sen 55 º ⎪ b) ⎨cos 235 º = − cos 55 º ⎪tan 235 º = tan 55 º ⎩ ⎧sen 268 º = − sen 88 º ⎪ c ) ⎨cos 268 º = − cos 88 º ⎪tan 268 º = tan 888 º ⎩ ⎧sen 289 º = − sen 71º ⎪ d) ⎨cos 289 º = cos 71º ⎪tan 289 º = − tan 71º ⎩ ⎧sen 345 º = − senn 15 º ⎪ e) ⎨cos 345 º = cos 15 º ⎪tan 345 º = − tan 15 º ⎩

269 270

⎧sen 108° = sen 72° = 0´ 95 ⎪ a ) ⎨cos 108° = − cos 72° = − 0´ 31 ⎪ ⎩tan 108° = − tan 72° = − 3´ 07

⎧sen 315° = − sen 45° = − 0´ 71 ⎪ c ) ⎨cos 315° = cos 45° = 0´ 71 ⎪ ⎩tan 315° = − tan 45° = − 1 ⎧sen 225° = − sen 45° = − 0´ 71 ⎪ d) ⎨cos 225° = − cos 45° = − 0´ 71 ⎪ ⎩tan 225° = tan 45° = 1 ⎧sen 315° = − sen 45° = − 0´ 71 ⎪ e) ⎨cos 315° = − cos 45° = − 0´ 71 ⎪ ⎩tan 315° = tan 45° = 1   260 a (4, 3) b (12, −2) c (4, 3)    d (0, 5) f (− 6, 4) g (6, − 3) 6 261 → →

b

4

c→

a

2

10 –8 –6 –4 –2

2 –2 –4

4

6

8

10

→

d

–6

262

263

a) B(5, 4) c) B(–4, –4) e) B(1, 9) a) 10 c) (–1, 2) e) (10, –5) g) (–12, 9)

b) B(–4, 4) d) B(–1, 7) f) B(1, 3) b) 5 d) (7, –4) f) (–9, 8) h) 25

 264 a) AB (−3, − 3 )  b) AB (−1, 6 )  c) AB (−5, − 1))  d) AB (−13, − 7 )  e) AB (−7, − 1)  f) AB (4, − 5 )  g) AB (−11, − 6 )  h) AB (6, 31) b) 26 c) 265 a) 10 ⎛ 1 9⎞ ⎛9 ⎞ 266 a) ⎜ , ⎟ b) ⎜ , − 1⎟ ⎝2 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎛ 5⎞ d) (2, − 1) e) ⎜−2, ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ −1 3⎞ g) ⎜ , − ⎟ 2⎠ ⎝2 267 a) OS (−13, 0 ) b) OS (−14, 5 ) c) OS (−7, 15 ) d) OS (13,, − 8 ) e) OS (−11, − 12 ) f) OS (−23, − 4 ) g) OS (−1, 11) h) OS (−1, 21)

  b) a b   d) a b

c) No son p aralelos.

⎧sen 300° = − sen 60° = − 0´ 87 ⎪ b) ⎨cos 300° = cos 60° = 0´55 ⎪ ´ ⎩tan 300° = − tan 60° = − 173

2 3 3 Indica el signo de las siguientes razones trigonométricas sin realizar los cálculos: a) + b) + c) + d) – e) + f) – g) + h) – i) –

49 π g) x = rad 6 h) x = 810°

257

259

cos α =

Ángulo

 268 a) a b

⎧⎪sen 225 º = − sen 45 º f ) ⎨cos 225 º = − cos 45 º ⎩⎪tan 225 º = tan 45 º ⎧⎪sen 350 º = − sen 10 º g) ⎨cos 350 º = cos 10 º ⎩⎪tan 350 º = − tan 10 º

sen(α ) = 0´ 97 sen(α ) = 0´ 99 sen(α ) = 0´ 71

271 272 273 274

a) Varias soluciones. b) Varias soluciones. a) Los tres puntos están alineados. b) Los tres puntos están alineados. y = –2x + 3 y = 2x –5 –6x –5y + 13 = 0 ⎛ 5⎞ ⎛ 7⎞ a) P ⎜ 2, ⎟ P ⎜ 3, ⎟ P (2, −1) ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠   b) v(2, −3) c) v( 3, 2)

3x – 2y – 5 = 0 3x – y – 5 = 0 P(1. –2) P(3, 1) P(–1, –8) –2x + y – 3 = 0   v ( − 1, − 2) n( − 2, 1) P (1, 5 )  278 3x + 4y – 5 = 0 v(− 4, 3) 279 –2x – y + 10 = 0 Q(8, 9) 280 Q(5, 5) Q(– 4, – 7)    281 a ) a · b = 43 b) a · b = 13   c ) a · b = – 12 282 a) Son perpendiculares. b) Son perpendiculares. c) No son perpendiculares. 283 a) α = 53’98° b) α = 71’57° 284 a) Variable discreta. b) Cualitativo. c) Variable continua. d) Cualitativo. 285 a) La población son los alumnos de la clase, no es necesario realizar una muestra. b) Los coches de la ciudad, es necesario realizar una muestra. 286 a) Color de la camisa de los niños de un campeonato de atletismo. Marca del reproductor de música de los alumnos del Instituto. b) Nota del último examen de Lengua de 4.º A. Número del calzado de los alumnos de la ESO del Instituto. 287 Variable x Frecuencia absoluta f Frecuencia relativa h 275 276 277

i

i

i

0

1

0’034

1

5

0’173

2

3

0’104

3

3

0’104

4

2

0’069

5

6

0’206

6

1

0’034

7

2

0’069

8

1

0’034

9

3

0’104

10

2

0’069

29

288

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F.absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

1

27

0’54

54

27

0’54

54

2

16

0’32

32

43

0’86

86

3

5

0’1

10

48

0’96

96

50

1

100

F.absoluta acumulada Fi

F.relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

2 6 7 9 12

0’167 0’500 0’58 0’750 1

16’7 50 58’3 75 100

4

289 218 ⎛ 3⎞ c) ⎜−4, − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ f) ⎜0, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 13 ⎞ h) ⎜ , 2 ⎟ ⎝2 ⎠

290

291

292

1

Variable xi

2

0’04

4

50

1

100

Peso xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

[50 - 55) [55 - 60) [60 - 65) [65 - 70) [70 - 75)

2 4 1 2 3 12

0’167 0’333 0’083 0’167 0’25 1

16’7 33’3 8’3 16’7 25 100

Variable xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

1 2 3 4

4 6 5 5 20

0´20 0´30 0´25 0´25 1

N.º de hijos xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F. absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

0

121

0’11

11

121

0’11

11

1

440

0’40

40

561

0’51

2

385

0’35

35

946

0’86

86

2

154

0’14

14

1.100

1

100

1.100

1

100

N.º de hijos xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Porcentaje pi

F. absoluta acumulada Fi

F. relativa acumulada Hi

Porcentaje acumulado Pi

[0 - 15)

9

0´310

31

9

0´310

31

[15 - 30)

5

0´173

17´3

14

0´483

48´3

[30 - 45)

7

0´241

24´1

21

0´724

72´4

8

0´276

27´6

29

1

100

29

1

100

[45 - 60)

51

127

Soluc Cuad. Mates 4ºA ESO.qxd

293

15/7/08

12:24

329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341

600 500 400 300 200 100 0

294

0

1

2

3

4 o más

35 30 25 20 15 10 5 0

295

0 fi

fi

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

37

38

39

40

41

42

43

37

38

39

40

41

42

43

5 o más

Mma

296

Ma R

MB B

297 298 299 300 301 302 303 304

– La media es: x = 30’48 °C La mediana 30 °C y la moda, 31 °C. La media es: x– = 2’7 la mediana es: Me = 2,5 y la moda: 1, 2 y 3. – La media es: x = 4’91 La moda es [4 – 6). La mediana es [4 – 6). La media es: x– = 43’57 La moda es [30 – 40). La mediana es [40 – 50). La nueva media es 6´41. σ = 0’76 σ = 1’28 X

Y 45 49 50 TOTAL

305

X

Y 2 3 4 TOTAL

306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322

323 324 325 326

327 328

128

Página 128

10

20

30

40

T0TAL

1 5 4 9

5 3 2 10

2 3 9 14

1 7 2 10

9 18 17 N = 43

4

5

6

7

T0TAL

3 2 5 10

5 1 3 9

2 6 1 9

2 4 2 8

12 13 11 N = 36

a) N = 36 b) f35 = 1 x– = 11’48 σ2 = 0’93 y– = 9’52 σ2 = 0’76 x– = 2’97 a) x– = 2’83 σ2 = 0’846 b) y– = 5’33 σ2 = 2’89 x– = 3’19 σxy = 0’46 r = 0’27 σxy = 0’48 a) y = 0’71x + 5’39 b) y = 6’67 y = 13’31 – 0’33x Podemos vestirnos de 20 maneras distintas. Podemos obtener 36 resultados diferentes. Podemos obtener 216 resultados diferentes. Podemos montar 72 modelos distintos. Puede ponérselos de 210 formas distintas. Podemos formar 280 paraguas. Lo puede combinar de 15 formas diferentes. a) 24 b) 5.040 c) 40.320 Pueden sentarse de 720 formas diferentes. En el primer caso P10 = 3.628.800 En el segundo caso P3 · P7 = 30.240 Podemos obtener 24 números diferentes sin repetir ninguna cifra. a) 210 b) 36 c) 6.561 Pueden darse 94.109.400 formas de llegada. Podemos formar 60 números distintos sin repetir ninguna cifra.

Podemos obtener 216 resultados diferentes. Podemos formar 25 números de dos cifras. Podrá haber 161.051 resultados diferentes. Se pueden disponer de 720 formas diferentes. Podemos rellenar 14.348.907 quinielas. Podemos formar 3.024 números. Podemos formar 210 números. En total 24 números pares. Podemos formar 480 números impares. En total podemos formar 120 números. En total podemos formar 625 palabras. En total podemos formar 64 códigos. En total 336 maneras distintas. ⎛ 8⎞ ⎛ 15⎞ 342 a ) ⎜ ⎟ = 56 b ) ⎜ ⎟ = 5.005 ⎝ 5⎠ ⎝ 9⎠ 343 a) C4, 3 = 4 b) C6, 2 = 15 c) C8, 4 = 14 d) C7, 7 = 1 344 Pueden hacer 21 turnos. 345 Puede presentar 252 equipos. 346 Podemos hacerlo de 77.520 formas diferentes. 347 Puede hacerlo de 462 maneras. 348 Lo pueden hacer de 792 formas. 349 Se pueden obtener 91.390 jugadas. 350 Puede presentar 2.002 paquetes diferentes. 351 Puede formar 12.650 equipos 352 Puede formar 84 grupos. 353 Nos gastaremos 13.983.816 € ⎛ 20⎞ ⎛ 5⎞ b) ⎜ ⎟ = 1 354 a ) ⎜ ⎟ = 1 ⎝ 20⎠ ⎝ 0⎠

369

370

371 372

373

⎛ 9⎞ c) ⎜ ⎟ = 9 ⎝ 1⎠

⎛ 20⎞ d ) ⎜ ⎟ = 20 ⎝ 19⎠

⎛ 12⎞ ⎛ 12⎞ e ) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 78 ⎝ 10⎠ ⎝ 11⎠

⎛ 15⎞ ⎛ 15⎞ f ) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 120 ⎝ 13⎠ ⎝ 1 ⎠

375

⎛ 12⎞ b ) ⎜ ⎟ = 66 ⎝ 10⎠

376

⎛ 20⎞ 355 a ) ⎜ ⎟ = 190 ⎝ 18⎠ ⎛ 10⎞ c ) ⎜ ⎟ = 45 ⎝ 8⎠

374

⎛ 40⎞ d ) ⎜ ⎟ = 9.880 ⎝ 37 ⎠

⎛ 525⎞ ⎛ 525⎞ = 138.075 356 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎝ 523⎠ ⎝ 524 ⎟⎠ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 357 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 105 ⎝ 12⎠ ⎝ 1 ⎠ 358 a) a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 – 5ab4 – b5 b) a6 – 6a54b + 15a4b2 – 20a3b3 + 15a2b4 – – 6ab5 – b6 359 a) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 – 5x – 1 b) 64x6 + 576x5 + 2.160x4 + 4.320x3 + + 4.860x2 – 2.916x + 729 360 Varias soluciones. 361 a) Determinista. b) Aleatorio. c) Aleatorio. d) Determinista. 362 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} 363 a) E = {cc, cx, xx} b) {cc}, {cx}, {xx}. 364 a) E = {C, X} b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 365 E = {VVVV, VVVF, VVFV, VVFF, VFVV, VFVF, VFFV, VFFF, FVVV, FVVF, FVFV, FVFF, FFVV, FFVF, FFFV, FFFF} 366 a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b) Sacar menor o igual que 10. c) A = Sacar 1, B = Sacar 5. d) Sacar una bola que no tenga un número del 1 al 10. e) C = Sacar par, D = Sacar primo. 367 a) Sacar una carta con un número menor o igual a 12. b) A = Sacar rey, B = Sacar siete de oros. c) Sacar una carta que no tenga un número del 1 al 12. d) C = Sacar bastos, D = sacar figura. 368 a) Sacar un número mayor o igual a 2 y menor o igual que 12.

377

378

379 380 381 382

383 384

385 386 387 388 389 390 391 392

b) Sacar par, Sacar impar. c) Sacar un número que no sea mayor o igual a 2 y menor o igual que 12. a) A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10} b) A ∪ D = {1, 2, 4, 6, 8, 10} c) A ∩ C = {2, 4} d) A ∩ D = {2} e) A ∩ C ∩ D = {2} a) A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)} C = {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} b) A ∪ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B ∪ C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} – P (A ) –= 0’68 a) P (A ) = 0’88 – b) P (B ) = 0’8 c) P (A ∪ B ) = 0’32 d) P (A ∩ B )= 0 – e) P (B ∪ B ) = 1 – a) P (A ) = 0’5 – b) P (B ) = 0’2 c) P (A ∪ B ) = 0’9 –– d) P (A ∪ B ) = 0’1 – a) P (B ) = 0’8 b) P (A ∪ B ) = 0’6 –– c) P (A ∪ B ) = 0’4 – a)P (A ) = 0’6 – b) P (B ) = 0’4 c) P (A ∪ B ) = 0’9 – a) P (A ) = 0’77 – b) P (B ) = 0’6 c) P (A ∪ B ) = 0’51 –– d) P (A ∪ B ) = 0’49 a) P (rey) = 0’1 b) P (oro) = 0’25 c) P (figura) = 0’3 d) P (figura ∩ copa) = 0’475 a) P (blanco) =0’25 b) P (roja) = 0’ 3 c) P (amarilla) = 0’142 a) P (blanca o roja) = 0’38 b) P (no negra) = 0’61 c) P (ni blanca ni roja) = 0’61 a) P (A) = 0’027 b) P (B) = 0’027 P (N ∩ 4 ∩ figura) = 0’1 a) P (R1 ∩ R2) = 0’17 b) P (A1 ∩ A2) = 0’34 a) P (M ∩ D) = 0’74 b) P (M ∩ Z) = 0’056 – c) P (M ∩ D) = 0’18  b) 0,2 a) P (R ∩ R ∩ R) = 0’022 P (defectuoso) = 0’029 a) P (As ∩ As) = 0’008 b) P (Bastos ∩ Oros) = 0’064 P (mismo color) = 0’46 P (no pasa las pruebas) = 0’007988 a) P (dos chicos) = 0’179 b) P (dos chicas) = 0’313 c) P (una chica y un chico) = 0’508 P (ninguna copa) = 0’56 a) P (D1 ∩ D2) = 0’091 b) P (al menos una defectuosa) = 0’19

Cuaderno Mates 4A - cre

28/5/08

d

11:20

Página 1

Redacción y selección de contenidos: Juan José Castro Celeiro Edición: María Luisa Hernández Diseño de cubierta e interiores: Rosana Naveira Fotocomposición, maquetación y realización de gráficos: J.B. Estudio Gráfico y Editorial, S. L. Dibujos: J.B. Estudio Gráfico y Editorial, S. L. Preimpresión: José Ciria Producción editorial: Francisco Antón Dirección editorial: Carlos Rodríguez Editorial Editex, S. A. ha puesto todos los medios a su alcance para reconocer en citas y referencias los eventuales derechos de terceros y cumplir todos los requisitos establecidos por la Ley de Propiedad Intelectual. Por las posibles omisiones o errores, se excusa anticipadamente y está dispuesta a introducir las correcciones precisas en posteriores ediciones o reimpresiones de esta obra.

d

El presente material didáctico ha sido creado por iniciativa y bajo la coordinación de Editorial Editex, S. A., conforme a su propio proyecto editorial. © Editorial Editex, S. A. Vía Dos Castillas, 33. C.E. Ática 7, edificio 3, planta 3ª, oficina B 28224 Pozuelo de Alarcón (Madrid) ISBN eBook: 978-84-9003-785-0

Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sigs. del Código Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (www.cedro.org) vela por el respeto de los citados derechos.