4 Econometrias

 

 Introducción a la Econometría Econometría

VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS RESUELTOS: 9   ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN APLICADO A LA ECONOMÍA MEXICANA, CON MÉTODOS COMPL COMPLEMENTARIOS EMENTARIOS Y/O DIFERENTES 9  VII.1 Ejemplos Referidos a la Regresión Simple Suponga que el consumo (Y) y el ingreso (X) para los últimos 4 años (en millones de pesos) son los siguientes:

 Año 1 2 3 4 n=4

(Y  )i i  (X  )ii   3 5 4 6 5 8 8 9 20 28 Y  = 20/4=5  X    = 28/4=7

yi  -2 -1 0 +3 0

 x ii   -2 -1 +1 +2 0

 x ii 2  4 1 1 4 10

 x i  yyi  4 1 0 6 11

Se desea probar la hipótesis  de que el consumo en México depende de las variaciones que experimenta el ingreso, los pasos son los siguientes: 1. Se establece la relación económica entre ambas variables a través de la ecuación de regresión:

 y 

=

a

bX

+  





+

e

Donde:  y  es el consumo estimado en la muestra del consumo real 

a  , b son los estimadores de los parámetros reales: a y b e = y -  y  residuo o diferencia 





Para encontrar los valores de a  y 

b



se usan las ecuaciones normales siguientes:

∑ ∑

Y

=

 XY

na + b ∑ X   

 



= a∑ 

X  

+ b ∑   X 2 

Cuya solución nos permite obtener:

∑ aˆ =

 X 2 ∑ Y  −

∑  X ∑  XY  =a = 2 n∑  X 2 − ( ∑  X )   

Y  

−

bX   

“y”

Profesor Gena ro Sánc Sánc hez Ba Ba raja rajas s

73

 

 Introducción a la Econometría n∑  XY  −

∑  X ∑ Y  2 2 n∑  X  − ( ∑  X )

bˆ =

Observaciones: A menudo para simplificar operaciones se desvían los valores de  x   ee y con respecto a  X  e Y   para obtener b ; y las literales xi e yi se usan para: 

=

 xi

−

Xi

X    e  yi

=

Yi

−

Y 

Por lo tanto, el cálculo de los estimadores es: b

= ∑

a

=





 xi yi

∑

Y  

−

  2 i

 x

11

=

10

=

. 11

b X  = 5 − (1.1)7 = 

− 2.7

Así, la ecuación de regresión estimada es:  y =  − 2.7 + 1.1 X i 

Obsérvese que b tiene signo positivo, lo cual es bueno por que corrobora la teoría económica de que a medida que aumenta el ingreso (X) también aumenta el consumo (Y). 

2. Una vez obten obtenido idoss los parám parámetro etross a   y b , se prueba su significación estadística, es decir, se verifica si hay o no relación entre el ingreso (X) y el consumo (Y). Para ello se requieren las varianzas de los dos: 



∑  X i n∑ xi2   2

Var.a



Var.b

  

= =

σ 

2 u

σ  u2

donde σ  u es la varianza residual

1

∑

 xi2 2

2

Como generalmente se desconoce σ   , la varianza residual, se estima con S  que es un estimador insesgado de σ  2u  , cuya formula es: u

2

S 

=

σ 



2 u

= ∑

2

ei

n − k 

 

n = número de observaciones k = número de parámetros estimados Así, los estimadores insesgados de las varianzas de a  y 

74

b



son:

Profesor Gena ro Sánc Sánc hez Bara Bara jas

 

 Introducción a la Econometría Econometría

2 a

S 



S b2 

= ∑

∑  X i n − k  n∑ xi2 2 ei 1 ∑ = n − k  ∑  xi2 ei2

2

Derivado de lo anterior podemos decir en general que S    aˆ y S bˆ   son los errores estándar de los estimadores. Como U i  tiene distribución normal, Yi , a , b también se distribuyen normalmente, y estimadores. como la muestra n = 4 es decir, menor que 30, usamos t con n - k grados de libertad para probar la hipótesis y construir intervalos de confianza para a  y b . Para ello, a partir de los datos de la tabla anterior, se requiere hacer adicionalmente los siguientes cálculos. 



 Año 1 2 3 4 n=4

  Puesto que:

 

 yi 2.8 3.9 6.1 7.2 20 

  



ei = Yi − yi

ei 2

 X ii 2 

 x ii 2 

 yi 2

+0.2 +0.1 -1.1 +0.8 0

0.04 0.01 1.21 0.64 1.9

25 36 64 81 206

4 1 1 4 10

4 1 0 9 14

 



 yˆi

= aˆ +

bˆ X i

 sustituimo o s . sustituim

=  yˆ 2 =  yˆ3 =  yˆ 4 =  yˆ1

− 2.7 + 1.1(5) = 2.8 − 2.7 + 1.1(6) = 3.9 − 2.7 + 1.1(8) = 6.1 − 2.7 + 1.1(9) = 7.2

Profesor Gena ro Sánc Sánc hez Ba Ba raja rajas s

75

 

 Introducción a la Econometría

Gráficamente: 

 yˆ =

8 y 7 6 5     o 4     m     u 3     s     n 2     o      C 1 0 -1 0 -2 -3

2

4

− 2. 7 + 1.1 X i

6

8

10

x Ingreso

con estos datos ahora calculamos S 

= ∑

S aˆ

=

2 aˆ

Calculamos:

∑  X i = 2 n − k  n∑  xi

2 bˆ

S 

=

S bˆ

=

2

2

ei

1.9

206

(4 − 2) 4(10)

=

391.4 80

=

4.8925

2.2118

∑

ei2

(n − k )∑  xi

2

=

1.9 (4 − 2)(10)

=

1.9 20

=

0.0950

0.3082

Así, las hipótesis nulas ( Ho) y alternativas ( Ha) se plantean de la siguiente manera:  H o: a = 0  H a: a ≠  0 t a

=

aˆ − a S aˆ

=

−

2.7 − 0

2.2118

Ho: b = 0 H a: b ≠  0

= − 1.2207

 

t b

=

bˆ − b S bˆ

=

1.1 − 0 0.3082

=

 

3.5691

Como se recordará, en el análisis de regresión se espera rechazar  H o y aceptar H a , es decir que a y b sean diferentes de cero y por consiguiente, decir que hay relación de Y con X. Ahora bien, puesto nivel ddee sign significac ificación ión del 10% y 2 grad grados os de lliberta ibertad, d, es igual igual a 2.910 eenn tablas tablas que  t  con un nivel 2.920