4. Diseño de control lineal en variables de estados en tiempo continuo

Sistemas de Control II.

Ingeniería Electrónica

4. Diseño de control lineal en variables de estados en tiempo continuo

El diseño de controladores para procesos reales puede encararse de diversos modos, dependiendo de las necesidades del usuario y los requerimientos del comportamiento del proceso. Cada metodología de diseño comienza con la fijación de un modelo del proceso, que puede definirse en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Aquí va a detallarse una metodología en el dominio del tiempo, siguiendo la representación de sistemas en variables de estados. 4.1. Diseño de controladores de estado lineales

Existen diversos esquemas de control, basados en la teoría de Entrada-Salida y en la de variables de estado. A continuación se muestran los esquemas más difundidos. 4.1.1. Controlador en esquema Entrada-salida

Se realimenta el error de control, definido como e t=yd-yt. Los esquemas más difundidos son los del tipo Proporcional Integral Derivativo PID, con sus diversas variantes, por ejemplo, Modificado, con predictor, con anti-wind up, auto sintonía, etc. yd

et

Controlador

ut

Proceso

yt

-

Fig. 4-1. Esquema de control en la representación de sistemas Entrada-Salida.

Nótese que en la Fig. 4-1 sólo se está midiendo y t que es la variable de salida, quedando todas las demás variables fuera de las entradas del controlador. Frecuentemente, a igualdad de costo en los sensores, ésas variables intermedias se pueden medir con mayor exactitud. 4.1.2. Controlador en esquema de Espacio de estados

Se realimenta el estado del proceso, x(t).

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ut

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yt -

Proceso

rt

et

xt

Controlador Fig. 4-2. Esquema de control basado en realimentación de estados.

En el esquema de la Fig. 4-2 se destaca la posibilidad de medir las variables convenientes del proceso, incluida la y t, Para realizar el diseño del Controlador, se utiliza el concepto de Diseño de controladores en variables de estado. 4.2. Esquema básico del controlador lineal de estado

Dado el sistema lineal determinístico en tiempo continuo (4-1) (4-2)

x& (t) = Ax (t ) + Bu (t )

y (t) = Cx(t ) + Du(t )

Se controla la regulación del sistema mediante un controlador lineal, del tipo (4-3) donde K es la matriz (o vector) del controlador. El esquema de control se muestra en la Fig. 4-3. u t = −K ⋅ x(t )

ut

x&

∫ ⋅ dt

B

x0

xt

C

yt

A -

xD

K Fig. 4-3. Esquema de control en tiempo continuo. La solución del sistema de lazo cerrado resulta, para x D=0, http://www.inv.limac.efn.uncor.edu/

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x& t = e ( A −BK )⋅t x 0 .

(4-4)

Para establecer el valor de la matriz K del controlador, existen diversas metodologías. En el ámbito de diseño de controladores de estado lineales, las metodologías más difundidas son Asignación de polos y Funcional de costo. No obstante, para lograr encontrar al controlador K, el sistema de cumplir con la condición de Controlabilidad, que es una característica que puede calcularse antes que el controlador. 4.3. Controlabilidad

El concepto de controlabilidad establece que (4-1) es controlable si es posible generar una acción de control u t  para transferir al sistema desde cualquier condición inicial a cualquier condición final en un intervalo de tiempo finito. Si cada estado es controlable, entonces se dice que el sistema es completamente controlable. Para establecer la condición de controlabilidad de un sistema, es necesario introducir conceptos de álgebra matricial, como el Teorema de Cayley-Hamilton y el cálculo de la matriz exponencial. 4.3.1. Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema establece que toda matriz cuadrada n×n anula su ecuación característica, lo que se puede escribir como (4-5) p(λ ) = λ I − A = λ n + c n −1 λ n −1 + c n − 2 λ n −2 + L + c1 λ  + c 0 = 0 entonces (4-6) p(A ) = A n + c n −1 A n −1 + c n − 2 A n −2 + L + c1 A + c 0 I = 0. Nótese que la (4-5) es una igualdad escalar y que la (4-6) es una igualdad matricial. Por lo tanto, ambas ecuaciones no pueden igualarse, o sea que no pueden intercambiarse A por λ. Para demostrarlo, se recurre al cálculo de la inversa de ( λI-A) (λ I − A )−1 =

adj(λ I − A ) λ I − A

(4-7)

si se premultiplica miembro a miembro por ( λI-A), (al igual que si se posmultiplica), se obtiene la identidad I = (λ I − A )

adj(λ I − A ) , λ I − A

(4-8)

lo que puede escribirse como http://www.inv.limac.efn.uncor.edu/

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λ I − A I = (λ I − A )adj(λ I − A ) = p(λ )I.

(4-9)

Reemplando el cálculo de la adjunta por su equivalente en forma de poliomonio B, (4-10)

p(λ )I = (λ I − A )B

donde n −1

B = adj(λ I − A ) = ∑ λ i B i .

(4-11)

i=0

Calculando entonces

n −1

p(λ )I = (λ I − A )∑ λ i B i

(4-12)

i =0

que como λ y A no varían con n, se incorporan a la sumatoria directamente, obteniendo n −1

n −1

n −1

n −1

p(λ )I = ∑ λ Iλ  B i − ∑ Aλ  B i = ∑ λ  IB i − ∑ λ i ABi i

i =0

i

i=0

en forma compacta

i +1

i =0

i =0

n −1

p(λ )I = λ Bn−1 + ∑ λi (Bi −1 − ABi ) − AB0 . n

(4-13)

i =1

(4-14)

Desarrollando el primer miembro, se tiene n

n −1

n

λ I + λ c n −1I + L + λc1I + c 0 I = λ B n −1 +

n −1

λi (Bi 1 − ABi ) − AB0 ∑ i 1 −

(4-15)

=

de donde se igualan cada uno de los términos de igual potencia de λ I = Bn−1 ,

(4-16) (4-17) ci I = Bi−1 − ABi ∀1 ≤ i ≤ n - 1, (4-18) c 0 I = − AB0 . Para poder incorporar a la matriz A en la igualdad (4-15), se va a multiplicar miembro a miembro por A j a las Ecs. (4-16), (4-17) y (4-18), y luego se realiza el proceso de la suma. A n I = A n B n −1 (4-19) (4-20) A i c i I = A i B i −1 − A i AB i ∀1 ≤ i ≤ n - 1 (4-21) A 0 c 0 I = −A 0 AB 0 pero nótese que A 0 es la identidad I. Ahora se procede sumando a las igualdades (4-19), (4-20) y (4-21) lo que resulta en n −1

n −1

i =1

i =1

A n + ∑ A i c i + c 0 I = A n B n −1 + ∑ (A i B i −1 − A i AB i ) − AB 0 .

(4-22)

Desarrollando la suma del segundo miembro, se tiene n −1

A + ∑ A i ci + c0 I = A n Bn −1 + A n−1Bn −2 − A n −1ABn−1 + A n−2 Bn−3 − A n −2 ABn−2 n

(4-23)

i=1

+ A B0 − A AB1 − AB0 = 0.

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Por lo tanto, se demostró que p(A)= 0 ya que n −1

A n + ∑ A i c i + c 0 I = A n + c n −1A n −1 + c n −2 A n −2 + L + c1 A + c n I = 0.

(4-24)

i =1

Nótese que p(A) es un polinomio en A y consiste en una matriz, mientras que p( λ) es un escalar. Ejemplo.

Verifique que la matriz a b   c d

(4-25)

A=

cumple con el Teorema de Cayley Hamilton. Concecuencias del Teorema de Cayley Hamilton

Cualquier función polinómica de A ∈ℜn×n, puede escribirse como una combinación lineal de I, A, A2, …An-1. Es decir n −1

A = −∑ c 1 A i . n

(4-26)

i =0

Si existe la inversa de A, entonces A -1 también es una combinación lineal de la potencias de A.

n-1 primeras

La matriz eAt también resulta ser combinación lineal de las n-1 primeras potencias de A (At )i n −1 = ∑ α i (t )A i e =∑ i! i=0 i =0 At

∞

(4-27)

donde los coeficientes son las funciones de tiempo αi(t). Ésta última consecuencia es importante para el cálculo de e At, ya que sólo se debe encontrar a las funciones αi(t). Polinomio mínimo

La ecuación característica de una matriz A, no es necesariamente la ecuación escalar de menor grado que satisface. El polinomio de menor grado que A satisface es el polinomio mínimo. Puede escribirse φ(λ ) = λm + a1λm−1 + L + a m−1λ + a m , m ≤ n

(4-28)

tal que φ(A)=0,

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φ(A ) = A m + a1A m−1 + L + a m−1A + a m I = 0.

(4-29)

4.3.2. Cómputo de la matriz exponencial

Existen varias opciones. Por ejemplo, puede hallarse mediante el método de la diagonalización de eAt. eλ1t  0 At Dt −1 e = Pe P = P   0   0

0 e λ 2t 0 0

0 0 O

0

   P −1   e λn t 

0 0 0

(4-30)

donde P es una matriz diagonalizante. Si es Jordan, e At = Se JtS−1.

(4-31)

También puede usarse la transformada de Laplace, e At = L−1 [(sI − A )−1 ]

(4-32) donde primero debe obtenerse la inversa de (sI-A) en términos de s, lo que da cocientes de polinomios y luego se antitransforma cada elemento de la matriz. Empleando el teorema de Cayley Hamilton Ec (4-27), se sabe que n −1

e At = α 0 (t )I + α1 (t )A + α 2 (t )A 2 + L + α n −1 (t )A n −1 = ∑ α k (t )A k k =0

(4-33)

por lo que sólo se deben encontrar las funciones temporales αi(t), que son n incógnitas. Se puede multiplicar miembro a miembro la igualdad (4-33) por un autovector correspondiente a un autovalor λ1 y se obtiene (4-34) e λ  t = α 0 (t ) + α 1 (t )λ 1 + α 2 (t )λ 12 + L + α n −1 (t )λ 1n −1 1

repitiendo para todos los autovectores, si son distintos, se obtiene e λ 1t  1 λ 1  λ 1t   e  = 1 λ 2  M  M M  λ 1t   e  1 λ n

λ 1n −1   α 0 (t )   n −1   L λ 2  α 1 (t )   L

O L

 M    λ nn −1  α n −1 (t )

(4-35)

M

donde se despeja el vector de las funciones αi(t), con la inversa de V, donde 1 λ 1  1 λ 2 V= M M  1 λ n

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L

λ 1n −1 

L

λ n2 −1 

O L



  λ nn −1  M

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(4-36)

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y se define como matriz de Vandermonde, y va a tener inversa si los autovalores de A son distintos. Cuando existe multiplicidad de autovalores, por ejemplo multiplicidad r, entonces se realizan r-1derivadas de (4-34), e λ  t = α 0 (t ) + α 1 (t )λ 1 + α 2 (t )λ 2 + L + α n −1 (t )λ n −1 (4-37) 1

d (e λ 1t ) = te λ 1t = α 1 (t ) + 2α 2 (t )λ 12 + L + (n − 1)α n −1 (t )λ 1n −2 dλ 1

(4-38)

d r −1 (e λ 1t ) r −1 λ 1t = t e = (r − 1)!α r −1 (t ) + L + (n − r )L(n − 2)(n − 1)α n −1 ( t )λ n −1−r r −1 d λ 1

(4-39)

y se completan las n ecuaciones independientes. Método Sylvester

El método basado en la aproximación de Sylvester consiste en despejar e At del determinante 1 λ1 1 λ2 M

M

λ21

L

λm1 −1

λ22

L

λm2 −1

eλ1t e λ 2t

M

M

M

M

L

λmm−1

L

A m−1

eλm t e At

1 λ m λ2m I A A2

= 0.

(4-40)

Se desarrolla a partir de la última columna, y se despeja e At, obteniendo una expresión como la (4-33). Ejemplo

Calcular eAt mediante el método de Sylvester siendo 0

1 .  0 − 2

A=

(4-41)

Aplicando la fórmula para autovalores distintos 1 λ 1 e λ 1t 1 0 1 1 λ 2 e λ 2t = 1 − 2 e −2 t = 0. I A e At I A e At − 2e At  + A + 2 I  − Ae At  = 0,

(4-42)

(4-43)

resulta  At 

e

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=I+

1 (1 − e −2t  )A. 2

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(4-44)

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Es lo mismo que resolver el sistema e λ 1t  = α 0 (t ) + α 1 (t )λ 1  λ 2t  e = α 0 (t ) + α 1 (t )λ 2

(4-45)

Reemplazando el valor de los autovalores 0 y -2, α 0 (t ) = 1   1 − e −2t  α  = ( ) t   1  2

Ahora se obtiene e At  = α 0 (t )I + α 1 (t )A = I +

(4-46)

1 (1 − e −2t  )A. 2

(4-47)

Ejercicio. Calcule las funciones αi(t) para la matriz 0 0 − 2 A = 0 1 0 . 1 0 − 3

(4-48)

4.4. Condición de controlabilidad

Para deducir la condición de controlabilidad, se asumirá que el estado final será el origen a un tiempo t1, y que t0 será 0. Aplicando ésta condición a la solución t

(4-49)

x (t ) = e x (t 0 ) + ∫ e A ( t −s ) Bu(s )ds At

0

se obtiene t1

(4-50)

x (0 ) = − ∫ e −As Bu (s )ds. 0

Ahora se reemplazará a e -At  por su equivalente analítico (4-33). Por lo tanto, se utiliza la igualdad n −1

e At = α 0 (t )I + α1 (t )A + α 2 (t )A 2 + L + α n −1 (t )A n −1 = ∑ α k (t )A k

que es útil para evaluar analíticamente a la función e At.

(4-51)

k =0

Reemplazando entonces la igualdad (4-51) en la Ec. (4-50), se obtiene n −1

t1

x (0 ) = −∑ A B ∫ α k (s )u (s )ds k =0

k

(4-52)

0

donde puede simplificarse la expresión si se calculan las integrales temporales, obteniéndose t1

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∫0

)uPucheta. (s )ds = β k . α kJ.(sA. Dr. Ing.

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valores βk, como (4-53) Así, la Ec. (4-52) resulta en

n −1

x (0 ) = −∑ A k Bβ k .

(4-54)

k =0

Puede escribirse entonces, en forma de producto matricial de una matriz y un vector,  β0  β  n −1 x (0) = −[B | AB | L A B]⋅  1   M    β n −1 

(4-55)

donde se deduce que la Ec. (4-55) debe tener solución para cualquier x(0), siendo la incógnita los βk que contienen a ut. Por lo tanto, la matriz (4-56) [B | AB | LA n−1B] = M debe tener rango n, y ser invertible para hallar éstos valores βk. Ésta es la matriz de controlabilidad M. Nótese que la prueba de controlabilidad no requiere resolver la ecuación diferencial del sistema, sino que se construye con las matrices de Estado y de Entrada del sistema (4-1). 4.5. Diseño mediante asignación de polos

El diseño de controladores mediante asignación de polos es directa, como puede verse en la Literatura (Ogata, Pag 789 s 792). Se define a una matriz de trasformación T  = MW (4-57) donde M es la matriz de controlabilidad definida como M = [B | AB | L A n−1B] (4-58) y la matriz W definida como  a n −1 a  n −2 W= M   a1  1

a n −2 a n −3

L

M

O

M

1 0

L

0 0

L

L

a 1 1 1 0 M

 M 0

(4-59)

donde los coeficientes a i son los que aparecen en el polinomio característico sI − A = s n + a 1s n −1 + L + a n −1s + a n .

(4-60)

Se define el nuevo vector de estado xˆ  como xˆ  = Tx.

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(4-61) 36

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Si la inversa de T  existe, lo que está sujeto a que el sistema sea controlable, se puede reemplazar el estado x por el nuevo estado en las ecuaciones del sistema (4-62) x&ˆ t = T −1 AT ⋅ xˆ t + T −1 B ⋅ u t donde las matrices de estados y de entrada tendrán la forma canónica controlable 1 0  0  0 1  0 T -1 AT =  M M M   0 0 0  - a n - a n -1 - a n -2

K

0

K

0

K O K



,  1  - a1 M

0    0  T -1 B = 0 .    .    1

(4-63)

(4-64)

A su vez, la acción de control se transforma en u t = −KTxˆ t

(4-65)

siendo el controlador KT = [δ n

δ n −1 L δ1 ].

(4-66)

Este controlador se reemplaza en la Ecuación de estados del modelo (4-1), obteniendo

(

)

x&ˆ t = T −1 AT − T −1 B ⋅ KT xˆ t .

(4-67) La ecuación característica de éste sistema es la misma que la del sistema sin transformar. Por lo tanto, seleccionando un conjunto de autovalores µ1, µ2, µ3,..., µn, la ecuación característica de lazo cerrado se convierte en (s − µ1 )(s − µ 2 )L (s − µ n ) = s n + α1s n −1 + L + α n −1s + α n = 0 (4-68) que debe ser igual a la del sistema (4-69) sI − (T −1 AT − T −1 B ⋅ KT ) = 0. Así, reemplazando los valores obtenidos por las Ec (4-63), (4-65) y (4-66) , se tiene que 1 0  0  0 1  0 sI −  M M M  0 0 0  - a n - a n -1 - a n -2 http://www.inv.limac.efn.uncor.edu/

K K K O K

0  0   0 0

 +  [δ  0  n 1  .    - a1  1 M

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δ n −1 L δ1 ] = 0

(4-70)

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y operando para calcular la ecuación característica en términos de los coeficientes de diseño, s

-1

0

K

0

s -1

K

0

M

M

M

K

M

0

0

0

O

−1

an + δn

a n -1 + δ n −1

K

s + a1 + δ 1

0

=0

(4-71)

y resolviendo el determinante se llega a (4-72) s n + (a 1 + δ1 )s n −1 + L + (a n −1 + δ n −1 )s + (a n + δ n ) = 0 que si se iguala a la Ecuación característica definida en la Ec. (4-68), se concluye que pueden despejar los valores δ para construir el controlador de la Ec. (4-66), que resulta KT = [α n − a n

α n −1 − a n −1 L α 1 − a 1 ]

(4-73)

α n −1 − a n −1 L α 1 − a 1 ]T −1 .

(4-74)

de donde puede despejarse K K = [α n − a n

El diseño del controlador comienza ubicando a los polos µ i, que son los polos de lazo cerrado. Luego, mediante la Ec. (4-68) se obtienen los coeficientes αi, y resolviendo la Ec. (4-74) se obtiene el controlador K. Nótese que éste método tiene como ventaja de que es un método simple y directo. No obstante, no se tiene en cuenta el efecto conjunto de los polos en el comportamiento del sistema, ni tampoco la magnitud de las acciones de control.  El método requiere de iteraciones  prueba y error hasta encontrar la respuesta adecuada.

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