4 Aritmetica Ok
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RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . a – b .
a : Antecedente b: Consecuente
Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. .
a . b
2
a : Antecedente b: Consecuente
PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico Proporción Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – a – b = r y c – c – d = r, entonces: . a – b = c – c – d .
. a+b=c+d .
Clases Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: . a – b = c – c – d .
. d: 4ta diferencial .
Continua Cuando los términos medios son iguales: . a – b = b – b – c .
.
. b
ac . 2
b: media d iferencial o media a ritmética . c: 3era. difer encial
Proporción Proporción Geométrica o Equicociente: Si:
a c = k y = k entonces b d NOTA:
. a.d=b.c .
Aritmética 4to Secundaria
.
a b
c . d
b, c : Medios a, d : Extremos
Clases Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde:
a b
.
c . d
. d: 4ta proporcional .
Continua Cuando los términos medios son iguales 3
a b . . b c NOTA:
. a . c = b2 .
.
. b a.c .
b: media p roporcional o media geométrica . c: 3era. propo rcional
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor 1) .
a1 a2 a3 ..... an k . b1 b2 b3 ..... bn
2) .
a1 a2 a3 ............. an n k . b1 b2 b3 ............bn
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: .
a1 a2
a2 b2
a3 b3
...............
an bn
k .
donde: a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes? Rpta. 40
2. Dada la proporción:
a b
c; d
a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 Hallar el valor de “a” Rpta. 9
Rpta. 72
9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo. 10. Rpta. 40 En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900? Rpta. 135
3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica 4. Rpta. 10 El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta.
b + p = 15 m + n = 14, calcular: a . b . n
$ 220
5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre? Rpta. 11
6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor
11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números Rpta. 65
12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: Rpta. 6 2
13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 12 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes Rpta. 60
Rpta. 185
7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado? Rpta. S/. 702
8. Si:
a b n 1 , además. m n p 2
14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación 11 11, 3 y 560. hallar uno que los números de los números 15. Rpta. 140 En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601 Rpta. 3
Aritmética 4to Secundaria
4
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números A) 80B) 160 D) 45 E) 40
A) 30/8B) 15/2 C) 20/3 D) 8 E) 15
C) 90
2. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números? A) 66 B) 55 D) 121E) 156
6. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números?
C) 132
7. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios. A) 1 D) 4
A) 88 B) 78 C) 72 D) 66 E) 64 4. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción A) 9 B) 8 D) 15 E) 16
A) 12 B) 24 D) 48 E) 60 9.
Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76
C) 12
5. Una ciudad esta dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad? A) 80 B) 70 C) 100 D) 150E) más de 150
C) 3
8. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números.
3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:
ab c 5 7 10
B) 2 E) 5
Si:
C) 36
a b c y a + b = 20. 2 8 7
Hallar: a . c + b
A) 22B) 64 D) 60E) 72
C) 71
10. Si se cumple:
a b 24 e 2 3 c d f
Además: (*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + d calcular: b + d + f
A) 12B) 24 D) 48E) 60
C) 36
CLAVES
1. C
6. B
2. C
7. B
3. A
8. D
4. C
9. E
5. D
10. D
Aritmética 4to Secundaria
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¿SABÍAS QUÉ...
LUIGI GALVANI (1737 – 98)
6
El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana c ontenían electricidad, lo que denominó electricidad animal. Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745 –1827), cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos teorías era completamente correcta. Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro en su honor.
Aritmética 4to Secundaria
PROMEDIOS Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:
a1 a2 a3 MENOR VALOR
……......
PROMEDIO
an
MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIO Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) O simplemente promedio .
Dar la
MA
7
Suma de datos . Número de datos
MA de: 7; 13 y 4
Resolución
7 13 4 = 8 3 OJO: SEA “n” NÚMEROS Y “ s” SUMA DE LOS NÚMEROS
. S=n.
MA (“n” números)
.
Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) . MG n Pr oducto de los datos . n: número de datos
Dar la
MG
de: 5; 15 y 45
Resolución 3
5 . 15 . 45 15
Promedio Armónico o Media Armónica ( MH ) .
Dar la
MH
Número de datos . Suma de Inversa de los datos
MH de: 6; 2 y 3
Resolución 3 3 1 1 1 6 2 3
Aritmética 4to Secundaria
Consideraciones importantes
Para 2 cantidades “a” y “b” . MA
ab . 2
. MH
2
11 a b
.
MG ab .
2ab . ab
Dado: 0 < a1 a2 a3 ……….…. an
8
Se verifica que:
an .
Si todos los valores son iguales MA MG MH
Para cantidades “a” y “b”
MA MG
MH 0
MAYOR MENOR PROMEDI O PROMEDIO
.
. MG 2 MA . MH . .
MA MG
(a b) 2 . 4(MA MG)
LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10
MA
3 5 10 3
6
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
Nuevo 3 5 10 7 4 = 7 = 3 3 Pr omedio PROMEDIO INICIAL
VARIACIÓN
IMPORTANTE
nuevo promedio var iación del promedio inical promedio
19
Donde:
var iación del promedio
total que se total que se dis min uye = aumenta Número de datos
Aritmética 4to Secundaria
Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución:
NOTAS 11 17 13
PESOS 2 1 3 6
+
TOTAL 11 x 2 17 x 1 13 x 3 78
+
La nota promedio será:
9
11 . 2 17 . 1 13 . 3 78 13 213 6
En general: .
PP
a1 P1 a2 P2 a3 P3 .......... an Pn . P1 P2 P3 ..........Pn
Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc 20
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Se tienen los siguientes números – 18, -16, -14, -11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. luego, de las siguientes proposiciones cuáles son correctas I. La media de los valores absolutos de los números negativos es mayor que el promedio total. II. La media de los valores positivos es 10,333....... III. La media de los números positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los números negativos IV. La media de los números positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los números negativos V. Los dos ceros no afectan a la media de los números 2. Rpta . I, II y III La nota promedio de un examen es “P” el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio? Rpta. P +
2 3
una cuarta al promedio, disminuye en 2. se puede afirmar que: I. La edad del cuarto es mayor que el promedio II. La edad del cuarto es menor que el promedio III. Por lo menos una persona es mayor que el cuarto El promedio de 50 6. Rpta . II y III números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio? Rpta. 4,9
7. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? Rpta. 64
8. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números? Rpta. 14
3. Se tiene 4 números. A la añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtiene los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 números es igual a: Rpta. 45
4. Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula? Rpta. 40%
5. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. Y se agrega
9. El mayor de dos números enteros es 40 22 y el menor promedio es 30. hallar la diferencia de los números Rpta. 40
10. El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2 2 . ¿Cuál es el 21 promedio aritmético de estos números? Rpta. 3.75
11. Hallar dos números enteros cuyo producto es 600 sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor. Rpta. 20
12. La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias? Aritmética 4to Secundaria
10
13. Rpta. 12 El promedio de las edades de “n” alumnos es “m” años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno y a la otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en:
15. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699, la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideramos? Rpta. 949
Rpta. 0.75
14. El promedio de un conjunto de valores es “P” si se eliminan 31 números cuya suma es 527 el promedio de los restantes sigue siendo “P” ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P?
11
Rpta. 119E PUBLICACIONES
Aritmética 4to Secundaria
A) 10 B) 11 D) 25 E) 15
PROBLEMAS 1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón A) 15B) 16,2 C) 15,2 D) 15,1E) 16,1 2. El promedio de las edades de cinco personas res 48. si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas? A) 16 añosB) 18 añosC) 19 años D) 21 añosE) 24 años 3. Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.? A) 168 kgB) 169 kgC) 170 kg D) 171 kgE) 172 kg 4. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. el número de dichos números puede ser: A) 2 B) 3 D) 5 E) 6 5.
C) 4
Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene.
A) 23B) 22,5 C) 20,5 D) 22E) 21 6. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años.
C) 20
7. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares también de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la media aritmética de los impares de 2 cifras no considerados?
8.
A) 75 B) 60 C) 65 D) 55 E) 35 Hallar la media aritmética de 2, 4, 6, 8, 10 A) 3 B) 5 D) 8 E) 10
C) 6
9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4 P. A = (8, b, 12) = 10 Hallar la media aritmética de: ayb A) 6 B) 8 D) 12E) 14
C) 10
10. Dados los números 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico. A) 0,5 B) 1 D) 0,3E) 1,3
C) 1,5
CLAVES
1. C
6. A
2. E
7. C
3. A
8. C
4. C
9. B
5. B
10. B
Aritmética 4to Secundaria
12
“DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS”
1. ¿Cuál es el número que excede a la medida armónica de su mitad y su quinta parte es 50? Rpta.
2. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es 6. hallar la diferencia de dichos números.
9. La MA de los cuadrados de los “n” primeros números naturales es 231/6. Hallar “n” Rpta.
19. Si la MH de dos números naturales es a MG de los mismos como 12 es a 13. hallar la diferencia de los números, si la suma es 117. Rpta.
13
Rpta.
3. ¿Cuál es la medida aritmética de 2 números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4? Rpta.
4. La media armónica de 2 números es 5, mientras que la media aritmética es 20. hallar la media geométrica Hallar n, si el promedio armónico 5. Rpta. de: 1, 1/2, 1/3, ....1/n, es 1/9 Rpta.
6. Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se encuentra la MG y la MH? Rpta.
7. La MH de 20 números es 18 y de otros 30 números diferentes entre si y de los anteriores es 54. hallar la MH de los 50 números. Rpta.
12. La MH de 3 cantidades es 1/5 y la MH de otras 5 cantidades es 1/3. ¿Cuál es la MH de las 8 cantidades juntas? La MH y MA de dos enteros, están 13. Rpta. en la relación de 48 es a 49, hallar los números, comprendiendo entre 41 y 47. Rpta.
14. La MA de 3 números es 14, la MG es par e igual a uno de ellos y la MH 72/7. hallar el menor de los números. Rpta.
15. La diferencia de cuadrados de 2 números es 144, además sus promedios, armónico y aritmético son entre si como 15 es a 16. hallar su MG Rpta.
17. La MG de 2 números es 6 2 , sabiendo que su MH y MA son dos enteros consecutivos, hallar dichos números pero sumados Rpta.
16. El mayor promedio de 2 números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números. Rpta.
8. La MA de 4 enteros impares positivos 28 diferentes entre si, es 6. ¿Cuánto puede ser como máximo el mayor de los números? Rpta.
18. En un aula del “Manuel Scorza” de alumnos, el promedio de notas aritmética es 12, si 20 de ellos tienen promedio de 18. ¿Cuál es el promedio notas de los 40 restantes? Rpta.
60 en un de
19. El promedio de 5 números es 85. Se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. hallar el sexto número. Rpta. Aritmética 4to Secundaria
20. En un salón de clase, “a” alumnos tienen 14 años, “b” alumnos tienen 11 años y “c” alumnos tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12 años. Hallar “a”
25. La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritmético y armónico son consecutivos hallar la diferencia de dichos números. Rpta.
Rpta.
21. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 números consecutivos es 380,5. hallar el menor de ellos. Un estudiante de ha obtenido 13, 14, 22. Rpta. 16, 12 y “a” en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Determine el valor de “a” si el promedio ponderado es 13,5 Rpta.
23. El promedio de 50 números es 30. si se retiren 4 números cuyo promedio es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio? Rpta.
24. El promedio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? Rpta.
26. El doble del promedio aritmético de 2 números es igual al cuadrado de su promedio geométrico, más 1. si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro? Rpta.
14
27. El promedio armónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el promedio armónico de los 70 números. Rpta. 28. El promedio armónico de 3 números es 180/27, uno de los números es 5 y el promedio geométrico de los otros 2 números es 6. dar como respuesta el menor de estos 3 números. Rpta.
29. El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armónico es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números? Rpta.
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¿SABÍAS QUÉ... 15
LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA
El químico realiza experimentos y análisis químicos para determinar la composición, propiedades y posibles transformaciones de la materia, mediante el uso de modernas técnicas experimentales. El químico realiza labores de control de calidad, aseguramiento de calidad, gerencia laboratorios de calidad e investigación en industrias tales como: farmacéutica, metalúrgica, de alimentos, petroquímica, cerámica, del cemento, plásticos, colorantes y otros.
Ámbito de trabajo: Laboratorios de control de calidad e investigación en las diferentes industrias químicas y en centros de educación.
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MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc. CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD
CANTIDAD
Longitud
2km
Tiempo
7 días
# de obreros
12 obreros
16
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo: Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
(Costo total) DP (# de libros) Se observo: 33
En General: Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante. OJO: D E BEMOS CONSIDERAR QUE A L RELACIONAR 2 MAGNITUDES , LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR , EL PRECIO DE CADA LIBRO , NO VA RÍA ( P ERMANECE CONSTANTE ) I S :
. “A” DP “B”
valor de A k cons tan te valor de B
.
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Interpretación Geométrica
17 IMPORTANTE: L A GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA POR EL I) ORIGEN DE COORDENADAS II) E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA ( EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS ) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE . III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B” VALORES CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A MAGNITUD B SE VERIFICA:
IV)
a1 b1
a1 b1
a2 b2
a2 b2
a3 b3
....... ……
an bn
a3 . . . an k b3 bn
SI TENEMOS QUE “A” DP “B” . F(x) = mx . m: pendiente (constante)
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) Ejemplo ilustrativo: Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
(# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante
En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es35que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. . A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte .
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Interpretación Geométrica
18
IMPORTANTE: I) L A GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA . II) E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE . III) L A FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:
. Fx m .
x
M : CONSTANTE
IV)
SI TENEMOS QUE “A” I.P B “
área del rec tan gulo bajo la curva
”
VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an MAGNITUD B b1 B2 …… bn SE VERIFICA: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k
Propiedades de las Magnitudes A. Para 2 magnitudes A y B se cumple: 1. 2.
3.
* A D.P. B B D. P. A * A I. P. B B I. P. A * A * A * A * A
D. P. B An D. P. Bn I. P. B An I. P. Bn D.P. B. A I.P. 1 B I.P. B A D.P. 1 B
B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) A D. P. (B . C)
A B .C
= cte
Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E
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A A A A
D. P. B I. P. C A. P. D D. P. E
.
A . C Cte . B.D.E
OJO: C UANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES . 37
Aplicaciones comunes: 19
(N° de obreros)
DP
(N° de obreros)
IP
(eficiencia)
(N° de obreros)
IP
(N° de días)
(N° de obreros)
IP
(horas diarias)
(velocidades)
IP
(Tiempo)
(N° de obreros)
DP
(Dificultad)
(N° de dientes)
IP
(obra)
(N° de vueltas)
# de Horas # de obreros por día días (ren dim iento ) cos n tan te . . (obra )(dificultad)
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inveramente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta S/. 45000. ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? Rpta. 45 000
2. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min. Rpta. 20
3. En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que:
6. El nivel de polución del aire en una cierta ciudad, varía D.P con el cuadrado de la población, son el número de e I.P fábricas y con la raíz cuadrada del área de parques y jardines. Si los incrementos de población, número de fábricas y áreas verdes son 20%, 30% y 44% respectivamente. ¿En qué porcentaje se incrementará la polución? 7. Rpta. 17% Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones Con C = constante A 1 8 27 64 B 1 0,5 0,3... 0.25 Con B = constante A 1 2 3 C 0,25 1 2,25
4 4
Si cuando: A = 4 y B = 9, C es 16 Hallar A cuando B = 3 y C = 4 Rpta. 54
8. En la siguiente gráfica A y B son magnitudes que se relacionan en forma proporcional
Rpta. Se perdió 160 000 dólares
4. Se sabe que: A.D.P. B2 (cuando “C” no varía) A.I.P C (cuando “B” no varía) Si el valor de B disminuye en sus 2/5 y su correspondiente valor de “C” disminuye en sus 9/25. ¿En cuánto varía el valor de A, respecto a su valor anterior? Rpta.
11 20
5. Dos veteranos de una guerra tienen concebidos sendas de pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo? Rpta. 25
Hallar el área de la región sombreada Rpta.
3
9. Por defectos del fenómeno del niño, la 40 temperatura promedio en el actual verano es media vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es I.P al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la producción del presente año, si el año anterior fue de 3600 toneladas? 39
Rpta. 1600
11. De un estudio efectuando en el departamento de logístico de una guarnición militar, se encontro que la cantidad de víveres (en kg.) para un batallón es IP al número de soldados y DP al cuadrado del números de bajas de una guerra. Si se sabe que en una guerra, 1000 kg de víveres sirven para Aritmética 4to Secundaria
20
500 soldados con un número de bajas de 10. ¿Qué cantidad de víveres serán necesarios para 1000 soldados, si se proyectan 50 bajas? En una agencia de turismo 10. Rpta. 1250 se ha notado que el número de turistas que viajan a un determinado lugar varía DP a la capacidad de cada ómnibus, al número de horas de trabajo de éstos, a la velocidad que utilizan y el número de ómnibus que se utilizan e IP a la distancia que debe recorrer. Se sabe que 1 ómnibus de 20 pasajeros puede llevar 180 pasajeros en 80 horas de trabajo recorriendo 60km/h cuando van hacia un lugar ubicado a 200km, de la agencia. Se ha edificado un hotel a 360km de la agencia, con una capacidad de 5000 huéspedes. ¿Cuántos ómnibus con capacidad para 30 pasajeros serán necesarios para que en 60 horas de trabajo usando una velocidad de 20 km/h pueda cubrir el 90% de la capacidad de dicho hotel? Rpta. 45
12. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales; la producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experimentado y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar. ¿Cuál sería su producción de 60 obreros experimentados; en segundo lugar, cuántos obreros nuevos fueron necesarios para producir con ellos 1760 artículos?
13. Rpta. 1560;80 Según la ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional ala volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%? Rpta. 3
14. Si dos cantidades P y Q son inversamente proporcionales con constante de proporcionales a k. ¿cuánto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de P y 1/Q vale 6? Rpta.
41
7/5
42
15. Se sabe que un cuerpo que cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9.80 m en 1 . 4 seg. Determinar la profundidad del pozo. Si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en dos segundos Rpta.
20
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21
PROBLEMAS 1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A = 34 A) 19 B) 2 C) 5 D) 13 E) 17 2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon? A) 12 B) 9 C) 21 D) 13 E) 18 3. Del siguiente gráfico de proporcionales. Calcular a + b
magnitudes
A) 48B) 112 D) 94 E) 80
C) 56 22
8. Se ha comprobado experimentar que una magnitud “A” es directamente proporcional a otra “B”. por ejemplo cuando “B” vale 4, “A” toma el valor de 2,4. hallar el valor de “B” que hace que “A” valga 48. A) 10B) 100 C) 20 D) 40 E) 80 El sueldo de un empleado es proporcional 9. al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo?
A) 10 B) 43 D) 46 E) 34
C) 64
4. Si se cumple que F (12) = 18 Calcular: S = F (5) + F (1) Sabiendo que F(x) es una función de proporcionalidad directa A) 7 B) 8 C) 71 D) 2 E) 9
A) 14B) 12 D) 21E) 18
C) 15
10. Se tienen dos poleas unidades mediante una faja de trasmisión tal como indica la figura. ¿Cuántas vueltas dará la segunda cuando la primera de 30 vueltas?
5. La magnitud A es I.P a B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b cuando A es igual a 4 A) 16B) 36 C) 24 D) 12E) 18 6. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene? A) 8 B) 10 C) 6 D) 12E) 15 7. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b
A) 22½ vueltasB) 40 vueltas C) 60 vueltasD) 20 vueltas E) 30 vueltas
CLAVES 1. B
6. A
2. C
7. B
3. D
8. E
4. E
9. E
5. B
10. A Aritmética 4to Secundaria
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE CIENCIAS BIOLÓGICAS 23
El biólogo, con mención en Zoología, Botánica e Hidrobiología y Pesquería estudia los organismos vivos y sus interrelaciones considerando los aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, ecológicos, taxonómicos, etc. Investiga en laboratorios y en condiciones naturales la estructura genética, fisiología, ecología y otros aspectos fundamentales de las plantas, animales, y los recursos pesqueros. Participa en la evaluación, conservación, mejoramiento, control biológico y aprovechamiento racional de los recursos naturales renovables. Ámbito de Trabajo: Centros de investigación y producción, centros superiores de enseñanza, laboratorios y servicios biológicos especializados, asesoramiento en materia de recursos naturales, ecología y conservación.
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REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
Pn = ank Ejemplos: 48
Directo Re parto * Simple inverso Pr oporcional * Compuesto
Como una aplicación de proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directas o inversamente proporcionales a ciertas cantidades llamados “Índice” Problema General: Repartir “N” en partes P1 P2 P3 ........... Pn que sean D.P a a1 a2 a3 a4 ................. an. Determinar cada una de las partes Partes P1 P2 P3 ............... Pn Indices a1 a2 a3 a4 ............ an Condición P1 P2 P3 ............... Pn D. P a1 a2 a3 a4 ............ an .
P1 a1
P2 a2
P3 a3
...........
Pn an
1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12 D.P
6 750 7 12 25
. k
750 30 . 25 24
Luego: 6(30) = 180 7(30) = 210 12(30) = 360
2. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6y8
k .
.
k 450 15
k (constante de proporcionalidad)
Propiedad: k=
Luego: 8(30) = 240
P1 P2 P3 ........... Pn a1 a2 a3 .......... an
.
Donde S1 = Suma de índices N = Cantidad a repartir
Luego:
o
. k
N S
4(30) = 120 3(30) = 90
3. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en forma I.P a los números 3y9
. k
P1 = a1k P2 = a2k P3 = a3k
Luego: 4(108) = 432 2(108) = 296
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648 6
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Repartir 1491 en 3 partes de manera que la primera tenga 2/3 más que la segunda y la segunda 2/5 más que la tercera. Una de dichas partes es: Rpta. 735 2. Se reparte una cantidad proporcionalmente 1; 2; 3 y 4 pero luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de la partes disminuye 170 unidades. ¿Cuánto le corresponde al cuarto? Rpta. 2040 3. El número 7200 se reparte directamente proporcional a 63, 112 y 175 . ¿Cuál es el producto de las cifras que conforman la mayor parte obtenida? Rpta. 0 4. Dividir 18500 D.P a los números 3 47; 349 y 3 50. Dar como respuesta la suma de las cifras de la mayor parte Rpta. 9 5. La suma de 3 números es 2832 y sus cuadrados son proporcionales a los números
1 ; 1 y 1 . ¿cuál es la suma de cifras del 8 50 98
mayor número? Rpta. 15
6. A y B tiene 80 y 55 bizcochuelos respectivamente. Llega C hambriento y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales, luego de comérselos; “C” le entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto de más recibe A con respecto a B? Rpta. 20 7. Se reparte 180 kilogramos, de un producto entre 5 personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta parte de la suma de los tres términos. términos. ¿Cuánto ¿Cuánto kilogramos reciben la primera y la quinta persona juntas? Rpta. 72
8. Tres ciclistas deben correr una misma distancia y se ponen de acuerdo para repartirse $ 94 500 en forma D.P a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulta que el primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas, y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz? Rpta. 45 000 9. Se hizo un reparto I.P a ciertos números obteniéndose 18 000; 14 400 y 12 000. Si el reparto hubiera a los mismos números una de las partes sería: Rpta. 17 760 10. Se desea repartir una cierta cantidad (N3 - N) en razón directa a los números: 2; 4; 6; 8; 10 ...... (2N). Si la menor de las partes obtenidas es (N + 7). Hallar N. Rpta. 9 11. Repartir 9900 en tres parte A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 2 Y B es a C como 5 es a 4. Dar como respuesta la suma de cifras de la mayor parte obtenida Rpta. 9 12. Se reparten “N” en partes D.P a los números: 24; 15 y 20 e I.P a los números 40; 24; 25. se obtiene que entre las 2 primeras exceden a la tercera en 765. indicar la suma de cifras de “N” Rpta. 18 13. Repartir 25038 en partes I.P alas inversas de 154; 452 y 753. dar como respuesta la parte menor Rpta. 108 14. A; B y C poseen un campo siendo sus partes proporcionales a los números 4; 2; 5 y 1,5. “A” vende la mitad de su parte a “C” y este vende 100 m 2 a “B” así las partes de “B” y “C” son iguales. ¿Cuántos m2 poseía “A” al principio? Rpta. 800 15. La repartir $ 5700 entre 3 personas; B y C se hace el reparto proporcionales a 3 números consecutivos crecientes. ¿Luego del reparto se tiene que 1/5 de lo que que le tocó a B más lo que le tocó a “A” y hacen lo que le tocó a “C”. ¿Cuánto le toco a esta última persona? Rpta. 2090
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PROBLEMAS 1. Un profesor decidió premiar a sus 3 mejores alumnos regalándoles S/. 9200 en forma directamente proporcional al números de problemas que resuelven de la guía. El primero resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indicar cuánto le tocó al segundo.
7. Dividir el número 3024 D.P a tres números de manera que el primero y el segundo están en la relación de 3 a 4 y el segundo con el tercero en la relación de 5 a 7. Indicar la mayor cifra del mayor de los números. A) 4 D) 5
A) 3000B) 3400 C) 2800 D) 3500E) 4000
B) 6 E) 9
C) 7 26
2. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12; y dar como respuesta la menor parte. A) 360B) 270 D) 180E) 150
9.
A) 64 B) 90 C) 180 D) 360E) 270 Repartir 940 en 3 partes que sean proporcionales a los números
5 ; 3 y 3 e 6 8 4
indicar el valor de la parte intermedia
A) 400B) 360 C) 210 D) 180E) 240 5. Repartir 648 en forma D.P a 4 y 6 a la vez en forma I.P a 3 y 9. dar como respuesta la parte menor A) 432B) 360 C) 240 D) 216E) 200 6. Tres obreros A, B trabajan 10; 12 y 15 días respectivamente en una obra. Si en total ganaron 1330 dólares. ¿Cuánto ganó B si el jornal de los obreros están en la relación de 4; 5 y 6? A) 420B) 280 C) 360 D) 430E) 450
29
8. Repartir 3430 D.P a los números 2 , 2 y 230. Indicar como respuesta la parte intermedia
C) 210
3. Repartir 594 en forma I.P a los números 2; 3; 6 y 10; y dar como respuesta la mayor parte.
4.
28
A) 960B) 940 C) 850 D) 980E) 290 Descomponer 529 en tres partes que sean D.P a los números
1 ; 2 y 1 . Dar como 4 5 2
respuesta la mayor de dichas partes
A) 115B) 184 C) 230 D) 460E) 320 10. Repartir Repartir 2040 proporcionalmente proporcionalmente a los númer núm eros os 5/8; 0,6 y 0,05. indicar la mayor parte. A) 1000B) 1020C) 920 D) 720E) 960
CLAVES
1. A
6. A
2. D
7. A
3. E
8. D
4. D
9. C
5. D
10. A
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¿SABÍAS QUÉ... 27
LA CARRERA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICAS
El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales de la tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacita para dedicarse a una carrera en investigación científica y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas.
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REGLA DE TRES Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad.
REGLA DE TRES SIMPLE Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos: 28
Regla de Tres Simple Directamente proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B. . x b1 .
a2 . a1
Ejemplo: 1. Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros?
Resolución:
x 20 . 30 15
x = 40 días
Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido de la magnitud B. .
x b1 . a1 . a2
Ejemplo: 1. Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Que sucede con la cuadrilla? Resolución: 57
x h. 4 1
x=4h
REGLA DE TRES COMPUESTA Aritmética 4to Secundaria
Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que tiene el valor desconocido se compara con las demás. Así podemos tener:
.
x d1 . a2 . b1 . c2 . e1 . a1 b2 c1 e2
29
Ejemplo: 1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m 2 en 20 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros se aumentarán, si se hace una obra de 600m2 en 15 días trabajando 4h/d?
x + 30 = 30 .
20 . 6 . 600 15 4 200
x + 30 = 180 x = 150 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorre un trayecto yendo a 90km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer 58 mismo trayecto yendo a 60km/h? el
Resolución I Yendo a:
90km/h
tarda 8 horas
Yendo a:
60km/h
tarda x horas
La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por I colocada encima de la columna de la velocidades. Por tanto:
90 x ; de donde: x = 60 8
90 . 8 = 12 60
Rpta. . x = 12 horas .
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Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable?
Resolución D 12m
cuestan S/. 42.
16m
cuestan S/. x
Si: 30
El costo es directamente proporcional al número de metros lo que se indica por la letra D encima de la columna metros.
Por tanto:
12 42 ; donde: x = 42 . 16 = 56 soles 12 16 x
Rpta. . x = 56 soles . Problema 3: Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14. ¿Cuántos obreros hay 59 que añadir para que la obre se termine en 8 días?
Resolución Sea: x = # de obreros que hay que añadir para que la obra se termine en 8 días. I Luego: Si: 20 obreros (20 + x) obreros
14 días 8 días
El número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a más obreros menos días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días.
Por tanto:
14 20 x ; donde: 20 + x = 20 . 14 8 20 8 20 + x = 35
Rpta . x = 15 obreros .
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Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?
Resolución: Sea: x = # de corderos que debe vender I Luego:
Si: 640 corderos
65 días
(640 - x) corderos
(65 + 15) = días = 80 días
31
El número de corderos es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir que a menos corderos tendrán para más días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días. Por tanto:
65 640 x ; de donde: 640 - x = 640 . 65 80 340 85
60
640 – x = 520
Rpta. . x = 120 corderos .
Problema 5:Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón velocidad de Manuel es de 56km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara?
Resolución: I Tiempos
velocidades
Manuel :
15
56km/h
Sara :
21
x km/h
Por tanto:
15 . La 21
El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad (Quiere decir a mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la columna
15 x ; de donde: x = 15 . 56 = 40 21 21 56
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Rpta. . x = 40 km/h .
Problema 6 Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5cm y 2,4m están movidas por una correa, cuando la menor dá 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones dá la ma yor? Resolución: 32
I
1,5 m
220 Rev.
2,4 m
x Rev
Los diámetros son inversamente proporcionales al número de revoluciones. (Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra I encima de la columna metros.
Por tanto:
1,5 x ; de donde: x = 1,5 . 220 2,4 2,4 220
Rpta . x = 137,5 rev .
Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12cm de arista habrá construido? Resolución: La relación que debemos tener presente, es entre el volumen y el tiempo; puesto que Nataly construye un cubo; veamos: Para construir este cubo de 4 cm de arista demora 6 horas, o sea: 62
En 6 horas (4cm)3
. . . . (1)
Luego: Sea “x” número de horas que demoraría en construir un cubo de 12 cm de arista.
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O sea: en x horas (12 cm)3 ...... (2) D De las expresiones (1) y (2); obtenemos: En 6 horas En x horas Tiempos
(4cm)3 (12 cm)3 Volúmenes
Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna volúmenes.
Por tanto:
6 x
(4cm )3 ; de donde: x = (12cm )3 x = 6 . (27)
. x = 162 horas .
Entonces: En 54 horas habrá hecho:
Rpta. Después de 54 horas de trabajo, del cubo de 12cm de arita habrá construido un 1/3.
Problema 8: 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? Resolución: Analizando el problema llegamos a la conclusión que luego del octavo día los 12 obreros tendrían 21 días para completar la obra. Pero como son sólo 7 obreros ahora en cuántos días más terminarán la obra. Luego: I
Si:
12 obreros
7 obreros
El número de obreros es inversamente proporcional 21 días al tiempo (Quiere decir a menos obreros más tiempo); lo que se indica x días por la letra I encima de la
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33
Por tanto:
12 x de donde : x = 7 21
12 . 21 = 36 7
. x = 36 días .
Los 7 obreros que quedan demorarán 36 días en terminar la obra (Tiempo total empleado por los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 =
. 44 días .
34
El retraso será: 44 días - 29 días = 15 días
Rpta.
. La obra se entregará con un retraso de 15 días .
Problema 9: Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Rozamiento Matemático en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea? Resolución:
64
Percy : rapidez 6 Total Del enunciado del problema , planteamos: Miguel : rapidez 3 10 rapidez Franklin : rapidez 1
Si: I Entre los tres:
10 rapidez
16 días
Entre Miguel
4 rapidez
x días
y Franklin
La rapidez es inversamente proporcional al tiempo (quiere decir que a menos rapidez más tiempo). Lo que se indica por la letra I de la columna rapidez.
Por tanto:
10 x ; de donde: x = 4 16
10 . 16 = 40 . x = 40 días . 4
Rpta. . Miguel con Franklin, harán la misma tarea en 40 días .
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Problema 10: Sabiendo que un venado atado a una cuerda de 3m de largo, tarda 5 días en comerse todo el pasto a su alcance. ¿Cuánto tardaría si la cuerda fuera 6m?
Resolución: Analizando el problema, llegamos a la conclusión que el buey al comer el pasto que está a su alcance determina un circulo (área del circulo (r 2) Luego: D
35
Áreas
Tiempos
(3m)2
5 días
(6m)2
x días
Las áreas son directamente proporcionales a los tiempos. (quiere decir que a más área más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna áreas
Por tanto:
(3m )2 (6m )2
5 ; de donde: x = 5
. x = 20 días .
x
Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en comerse a su alcance
todo el pasto que esta
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Veinte obreros tienen provisiones para 40 días. Si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzarán las provisiones? Rpta. 80 2. ¿Cuantos pares de medias podré comprar con S/. 800 si cada media cuesta S/. 4? Rpta. 100 3. El conejo salta 3 veces en 2s. ¿Cuánto tardará en saltar 126 veces? Rpta. 84 4. La tercera parte de un trabajo realizo en 5 días, lo que me falta lo termino en: Rpta. 10 5. Si: A = obras, B = días, C = eficiencia, D = obreros, ¿cuál es la alternativa correcta? a) D y C son DP b) A y B son IP c) C y B son DP d) A y D son IP e) C y D son IP 6. El kilogramo de yuca cuesta S/. 2 ¿Cuánto costará 7kg de yuca de igual calidad? Rpta. S/. 14
9. Los 2/7 de una obra los realizó en 18 días. ¿En cuántos días podré terminar los que falta? Rpta. 45 días
10. 4 polos en un cordel se secan en 4min. ¿Cuánto demorarán en secarse 8 polos? Rpta. 4 min
36
11. 40 obreros tienen provisiones para 60 días, si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzaran las provisiones? Rpta.
80
12. 5 obreros hacen una obra en 8 días, 32 obreros. ¿En cuantos días harán la misma obra? 11. Rpta. 5/4 días Un par de zapatillas cuesta S/. 160. ¿Cuánto costarán 12 zapatillas? Rpta.
S/. 960
12. En un cubo de aristas 2m se puede almacenar 200kg de arroz ¿Cuántos kilogramos más de arroz se almacenan en un cubo de arista 3m? Rpta. 475
7. Un móvil a velocidad constante recorre unos 400m en 8s. ¿cuántos metros recorrerá 20s? Rpta. 1000m 8. En 1/3 día se consume 2/7 de la carga de una pila. ¿Cuánto de carga se consumirá en 7/12 de día? Rpta. 1/2
13. Sabiendo que 10 campesinos siembran terreno cuadrado de 15m de lado en 12 días ¿en que tiempo 20 campesinos sembrarán un terreno de 30m de lado? Rpta.
24
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PROBLEMAS 7. Para terminar la reparación de un pozo en 8 días se necesitan 15 obreros ¿Cuántos obreros más se necesitan si se quiere terminar en 5 días?
1. Dos panes cuestan S/. 0,20 ¿cuánto costarán 4 panes? A) S/. 0, 10 C) S/. 0, 30 E) S/. 0,40
B) S/. 0,20 D) S/. 0,40
A) 8 B) 7 D) 5 E) 10
8. Un hombre puede leer un libro de “p” páginas en “d” días. ¿Cuántos días se demorará en leer “L” libros de “S” páginas cada uno?
2. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 5 horas recorre 600km. ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 horas? A) 840km D) 900km
B) 960km E) 720km
C) 690km
P d. L. S d. L. S C) L.S D) P E) p. L. S A) d, L. S B)
3. Catorce obreros hacen una misma obra en 9 días ¿Cuántos obreros harán la misma obra en 7 días? A) 15 B) 18 D) 16 E) 14
C) 17 9. Veinte trabajadores pueden hacer una zanja de 40m de profundidad en 24 días, 36 trabajadores en 18 días, ¿Qué profundidad cavarán?
4. Un obrero limpia 5 tubos en 20 minutos. ¿En cuántos minutos limpiará 20 tubos? A) 40 B) 60 C) 80 D) 90 E) 30 En 16 días se consume 1/8 de la carga de 5. una batería. ¿Cuántos se consumirá en 48 días? A) 3/5 D) 1/8
B) 2/7 E) 1/5
C) 9
C) 3/8
A) 50 B) 52 C) 53 D) 54 E) 51 10. Trabajando 10h/d, durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9h/d durante 25 días a 3 hornos más? A) 100B) 120 C) 153 D) 160E) 140
6. Sabiendo que 5 soldados fuman 5 cigarrillos en 5 min. ¿En que tiempo 6 soldados fumarán 6 cigarrillo? A) 1minB) 2minC) 3min D) 4minE) 5min
CLAVES
1. D
6. E
2. B
7. C
3. B
8. D
4. C
9. D
5. C
10. B Aritmética 4to Secundaria
37
REGLA DE INTERÉS Fórmulas para calcular el interés simple:
INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta.
. 1=
C. r. t , “t” en años . 100
. 1=
C. r. t , “t” meses . 1200
Interés (I) : Crédito, renta (anual) Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc. Tiempo (T) : Año, meses, días
. 1=
C. r. t , “t” en días. . 1200
OBSERVACIONES:
E L AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL , AQUEL QUE TIENE 12 MESES
DE 30
DÍAS CADA UNO
Ejemplo: Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene?
Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés.
Resolución: C = S/. 4000 OBSERVACIONES:
r = 12% semestral 24 % anual
P OR EJEMPLO, TENEMOS: 3 % MENSUAL
36% ANUAL
12% BIMENSUAL 72% ANUAL 10% QUINCENAL 240% ANUAL
Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi:
t = 15 meses I=
C. . r . t 4000 . 24 . 15 = = 1200 1200 1200
Y como M = C + I
M = 4000 + 1200 . M=C+1 .
M = 5200
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38
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Qué interés un capital de S/. 3000 impuestos al 20% en 5 meses? Rpta. S/. 250
2. ¿Que interés produce S/. 120000 en 2 meses y 10 días al 16% cuatrimestral? Rpta. S/. 11200
3. ¿Cuál es la capital que al 4% anual y durante 10 meses ha producido interés de S/. 12?
10. El menor de 2 capitales se coloca al 20% de interés simple durante 3 años y el otro al 25% durante 2 años, siendo la relación de montos, en ese orden de 4 es a 5. determinar el mayor capital, sabiendo que la suma de ambos capitales es 4200 Rpta. 2400 11. Se coloca S/. 1000 al 5% durante un cierto número de años y el capital se duplica. Si colocamos los S/. 1000 al 5% durante un tiempo que es 8 años mayor que el anterior, ¿Qué interés producirá? Rpta. S/. 1400
4. ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 3000 que fue impuesto al 3% bimestral durante 2 años? Rpta. S/. 4080
12. Los intereses generados por dos capitales en el mismo tiempo, con tasa del 13% bimestral 91% semestral respectivamente se encuentra en la misma relación que 11 y 19. Si la diferencia de dichos capitales es 600. calcular la suma de ellos. Rpta. 4020
5. Los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente S/. 420 más que el resto colocado al 4% ¿Cuál es el capital? Rpta. S/. 42000
13. ¿Durante 2/3 cuánto tiempo se debe colocar un capital al 60% semestral para que el monto sea el 180% del capital?
Rpta. S/. 360
Rpta. 8 meses
6. ¿A qué porcentaje anual se ha impuesto un capital de S/. 80000 que en 10 años se ha triplicado? Rpta. 20% 7. ¿Que tiempo ha estado impuesto S/. 500 para que al 2% anual se haya convertido en S/. 600? Rpta. 10 años 8. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 2000 mayor, el interés aumentaría en S/. 4000. Determinar la tasa. Rpta. 20%
14. El capital de Walter es el 10% del capital de Juan. ¿A qué tasa deberá imponer Walter su capital para que después de 10 años el monto obtenido por él sea el 20% del monto obtenido por Juan que presta su dinero al 5% durante el mismo tiempo? Rpta. 20% 15. Una persona tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y otra S/. 20000 que presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serán iguales? Rpta. 20 años 16 .
9. Tres hermanos Isidoro, Fortunato y Guillermo depositan en un banco 600; 1000 y 800 soles respectivamente. Al cobrar sus intereses, Fortunato recibe 100 soles más que Isidoro. ¿Cuánto le corresponde a Guillermo? Rpta. 200 soles
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39
A) S/. 88765B) S/ 82756 C) S/. 83756D) S/.85756 E) S/. 84756
PROBLEMAS 1. Hallar el interés anual de S/. 1580 al 20% 76
A) S/. 815B) S/. 518 C) S/. 316 D) 613 E) S/. 340
7. Una persona deposita hoy cierto capital interés simple. Luego de 2 meses del monto será S/. 3600 y 3 meses después a este primer tiempo será S/. 4350. ¿Cuál es el capital depositado hoy?
2. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 60000 mayor, el interés aumentaría en S/. 1800. Determinar la tasa A) 3%B) 4% D) 6%E) 7%
A) S/. 3100B) S/. 3050 C) S/. 3000D) S/. 3150 E) S/. 3250
C) 5% 8. Determine las tasas equivalentes I. 5% mensual II. 10% bimestral III. 2,5% quincenal IV. 30% semestral
3. Calcular el interés generado por depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses A) S/. 120B) S/. 150C) S/. 180 D) S/. 210E) S/. 240 ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado 4. un capital al 5% de interés anual, si los intereses producido alcanzan al 60% del valor del capital? A) 1 añoB) 10 años C) 12 añosD) 6 años E) 9 años
A) I y II B) II y IV C) III y ID) I; II y III E) I; II: III y IV 9. Un capital impuesto a un interés simple durante 7 meses, produjo un monto de S/. 41040. si el mismo capital se hubiera impuesto a la mismas tasa de interés por 10 meses el monto resultaría S/. 43200. Hallar la tasa A) 6%B) 12%C) 18% D) 24%E) 30%
5. ¿En cuánto años un capital impuesto al 8% produce un interés igual a 2/3 del monto? A) 20B) 22 D) 25E) 26
40
C) 24
10. Si un capital se triplicase y la tasa de interés fuera la mitad, el interés en el mismo sería S/. 840 más ¿Cuál fue el interés original? A) S/. 1480B) S/. 1580 C) S/. 1680D) S/. 1780 E) S/. 1880
6. ¿En cuánto se convertirán S/. 84 000 al 1,5% mensual durante 18 días?
CLAVES
1. C
6. E
2. A
7. A
3. E
8. E
4. C
9. D
5. D
10. C Aritmética 4to Secundaria
TEORÍA DE CONJUNTOS I Noción de conjuntos: Se entiende por conjunto a toda aquella colección o agrupación o reunión de objetos cualesquiera; a los cuales les llamamos elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto A esta formado por los elementos 1, 2, 3, m, n
41
Notación: A = {1, 2, 3, m, n}
Obs: A un conjunto lo denotamos con una letra mayúscula; y si sus elementos contuvieran letras estos se escribirían en minúsculas.
Determinación de un conjunto: Consiste en precisar que elementos forman el conjunto. Puede hacerse de 2 maneras:
1. Por Extensión: Es cuando se colocan todos los elementos del conjunto.
A ={1, 3, 5} B = {-1, 1} C = {lunes, martes, .....sábado, domingo.}
2. Por su Comprensión: Es cuando se coloca una expresión y que indique las características comunes de los elementos A ={x/x es un número impar, x 10}
iii) {6} A iv) {2, 7} A Rpta.:
los
siguientes
46
Rpta.:
02. Dado el conjunto B={m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones. I) {m} B
05. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:
ii) r B
A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10}
iii) [t} B
B ={x2+ 1/x
iv) {m, a, r} B
C ={ x² + 3x + 2/x N, x < 4}
N, 3 < x < 7}
D ={(x4 + 2) / x Z, 2 < x < 5} E ={ 4x² - 3/x Z, -5 , x < -1}
03. Dado el conjunto siguiente:
Rpta.:
A={4, {3}, [2}, 5} Indicar verdadero corresponda.
o
falso
según
06. Dado el conjunto A={1, {1,2}, 3} I) {3} A
Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda.
ii) {4} A
i) {1, 2}
iii) {4, {2}} A
ii) 1 A
iv) {{2}} A
iii) 2 A
v) n (A) = 4
iv) {2} A Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
07. Dado el conjunto:
Indicar verdadero (V) o falso(F):
A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. i) {5} A
i) A es un conjunto unitario ii) B es un conjunto vacío iii) B es un subconjunto de C
ii) {5, 7} A
iv) C y D son conjuntos iguales
iii) {5, 1} A iv) {7} A
11. Dados los conjuntos:
Rpta.:
47
U ={x/x N, 1 < x < 10}
08. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?
A ={x²/x N, x < 5} B ={x+5/x N, 3 < x < 7}
A ={x/x N, 5 < x < 6}
C ={x² + 1/x N, x < 4}
B ={x/x Q, 3 < x < 4}
Además U: universo
C ={x/x Z, -6 < x < -4}
Hallar el cardinal de AB y C.
D ={x/x N, -6 < x < -4}
Rpta.:
09. ¿Cuál de los siguientes conjuntos unitario?
es
M ={x/x N, x < 1} P ={x/x Z, x < 1} Q ={x/x N, -2 x < 0} R ={x/x Q, 5 < x < 7}
12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? Si A ={0, {1}, 1} Rpta.:
13. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7} B ={a +b , 10}
10. Dados los conjuntos: A = {x/x es una vocal la palabra „mátala‟} B= {x/x es una vocal de la palabra „beber‟]
Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8} Si A es primo Hallar A × B Rpta.:
C= {x/x es una vocal de la palabra „elementos‟} D=
{e, o}
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14. El conjunto:
19. Sea el conjunto A:
A ={x/x = 2x3/(21 - x), x N}
A ={1, 2, 1, 2, ............, {3}, 1}
Hallar la suma de elementos de A.
Hallar el número de subconjuntos propios de A:
Rpta.:
15. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: A ={a + b, a + 2b - 3, 12} calcular a² + b²
Rpta.:
20. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m n: Rpta.:
Rpta.:
16. ¿Cuántos subconjuntos propios tienen el conjunto A? Si: A ={x/x N, -5 < 3x - 2 < 10} Rpta.:
17. Dados los conjuntos: A ={ x -2 /x es impar, 3 < x < 11} B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3} calcular n(A) - n(B) Rpta.:
18. Si los conjuntos: A ={b + 1, 12} y B ={b + 3, a}
Son iguales, Halle: a + b Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
48
PROBLEMAS 01. Dados los conjuntos 05. Si n[P(A)] representa el número de conjuntos del elemento potencia de A.
U ={1, 2, 3, .............., 15} A ={x/x Z, x < 6} B ={x/x N,
3<
x<
Hallar n(A) × n(B); sí 26 }
C ={x/x N, x > 10}
n[p(A)] = 128
Hallar: n(A) × n(B) × n(C)
n[p(B)] = 512
A) 72 B) 25 C) 75 D) 81
A) 56
B) 72 C) 63
E) 100
D) 70
E) 46
02. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar: m+p
49
06. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
A ={7, m + 3} i) Sí n(A) = 0 entonces n[P(A)] = 0
b ={12, p - 4}
ii) Sí n(A) = 1 entonces n[P(A)] =2 A) 20
B) 12
D) 15
E) 10
C) 18
iii) Sí n(A) =3 entonces n[P(A)] =6 iv) Sí A = Ø, entonces n[P(A)] = 1 A) FVVV B) FVFF C) VVFV
03. Dados los conjuntos iguales A, B y C hallar m + t + s (m, t, s N) A ={15, 12, 9}
D) VVFF E) FVFV
07. Dado el conjunto:
B ={2m, m + 3, 15}
A ={2, 5, 6, 10}
C ={s + 2, 12, 10 + t}
indicar verdadero (V) o falso (F) i) {2} P(A)
A)12
B) 15 C) 18
D) 20
E) 21
ii) 6 P(A)
04. ¿Cuántos subconjuntos tienen A?, Sí n (A) =5 A) 16
B) 32
D) 64
E) 25
C) 18
iii) n [P(A)] = 16 iv) {5, 6, 10} P(A) v) Ø P(A)
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08. Dado el conjunto
12. Calcular la suma de elementos del conjunto:
A = {a, b, c, d, e} ¿Cuántos subconjuntos tienen por lo menos 2 elementos?
A) 25
B) 26
D) 28
E) 30
A ={x² + x/x Z, -4 < x < 2} A) 4
B) 6
D) 10
E) 12
C) 8
C) 27
13. Si: A ={x/x N, x < } ¿Qué expresión es verdadera?
09. Dado el conjunto
A) -3 A B) 15 A
A ={m, p, q, r, s, t} ¿Cuántos subconjuntos tienen a lo más 4 elementos?
A) 64
B) 62
D) 58
E)57
C) 63
C) 5 A D) A 7 E) 4 A
14. ¿Cuál es el cardinal de:? A ={x2/x Z -19 < 7x + 2 < 37}
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10. Dado el conjunto; A ={ x+2/ x Z, x² < 9} Calcule la suma de los elementos de A. A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10
11. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto? A ={2, 1, {1}, 1, {1, 2}, {2}} A) 4
B) 8
D) 32
E) 64
15. ¿Cuál es la suma de elementos de: A ={2x/(3x + 1) N 4 < x < 8}
A) 36
B) 116
D) 165
E)160
C) 132
C) 16
Aritmética 4to Secundaria
50
TEORIA DE CONJUNTOS II
A
Operaciones entre Conjuntos:
C
01. Unión o Reunión (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos a la vez.
A U C 51
Notación: A U B ={x/x A v x B} . Propiedades: Los más importantes son: 1) A U B = B U A (conmutativa)
Ejem: Sean los conjuntos:
2) A U A = A (Idenpotente) A ={1, 2, 3, 6}
3) A U Ø = A
B ={2, 4, 6, 7, 8}
4) A U U = U; U : universo
C ={4, 7, 8}
02. Intersección (g): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B
A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8} B U C ={2, 4, 6, 7, 8,} A U C ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
Notación:
Gráficamente:
B
A
A g B ={x/x A x B}
.
Ej.: Sean los conjuntos: A ={ 1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8}
A U B
B
C ={4, 7, 8}
A g B ={2, 6}
C
A g C = {} B g C ={4, 7, 8}
B U C
Aritmética 4to Secundaria
Ejm: Sean los conjuntos:
Gráficamente
A ={1, 2, 3, 6}
A
B
B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}
A
B
U
A - B = {1, 3} B - C ={2, 6} 52
B
A - C ={1, 2, 3, 6}
C
Gráficamente:
B
C
U
A
B
A C
A
-
B
-
C
B
A
C
C
U
Propiedades:
B
i) A g B = B g A ii) A g A = A
A C
iii) A g Ø = Ø iv) A g U = A; U: universo
A 03. Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A. Notación: A - B ={x/x A x B} .
-
C
Propiedades: i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Ø iv) A - B B - A ; A B
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04. Complemento de un conjunto (C(A), A„): Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo. Notación:
A„ ={x/x U x A} . 53
Ejem: Sean: U = {1, 2, 3, .............., 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8} A„ = {2, 5, 6} Gráficamente: U
A
A
Propiedades: i) (A„)„ = A ii) Ø„ = U iii) U„ = Ø iv) A U A„ = U v) A g A„ = Ø
Nota:
“Leyes de Morgan”
(A U B)„ = A„ g B„ . (A g B)„ = A„ U B„
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PROBLEMAS 01. Ubicar la zona Sombreada
04. Ubicar la zona sombreada
A
C
B C
Rpta.: 54
05. Ubicar la zona sombreada Rpta.: U B
02. Ubicar la zona sombreada
B
06 Dados los conjuntos: A
A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10} B ={5, 6, 8, 10} Rpta.:
C ={2, 3, 4, 5, 6} D ={1, 2, 5, 8} Hallar : (A g B„) U (B U C)„
03. Ubicar la zona sombreada
A B
Rpta.:
07. Sí: A ={x/x N, 5 < x < 10} B ={x/x n, 2 < x < 9}
Rpta.:
Hallar A g B Rpta.:
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08. Sí:
13. En la sección de 3 “B” hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de sociales y 16 gustan del curso de inglés, si todos gustan de al menos uno. ¿Cuántos gustan a la vez de los 2?
M ={x/x Z, -6 < x < -1} N ={-x/x Z, 2 < x < 8}
Rpta.:
Q ={x/x Z, x < 10} Hallar (M g Q) – (N g Q) Rpta.:
09. ¿Qué operación sombreada?
A
representa
la
zona
B
C
Rpta.:
10. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. Si 17 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas? Rpta.:
11. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55 leen el comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? Rpta.:
12. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez?. Si cada uno de éstos juega por lo menos alguno de éstos.
14. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora? Rpta.:
15. En un salón de 40 alumnos se tomaron 2 exámenes: X, F, se sabe que 14 alumnos aprobaron solo X y 8 aprobaron solo F y 6 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron ambos cursos? Rpta.:
16. En una encuesta realizada a 120 personas, sobre los diarios que leen se encontró que: 47 personas leen Expreso, 72 leen El Comercio y 27 leen otros diarios. ¿Cuántas personas leen El Comercio y el Expreso?. Si todos leen al menos 2 periódicos. Rpta.:
17. En una academia deportiva obtuvo la siguiente información sobre los 108 alumnos matriculados en el ciclo de verano: - 45 se matricularon en fútbol - 36 se matricularon en basket - 38 se matricularon en natación - 19 se matricularon en basket y fútbol - 15 se matricularon en fútbol y natación - 14 se matricularon en basket y natación
Aritmética 4to Secundaria
55
-
9 se matricularon en los 3 cursos a ¿cuántos alumnos se matriculados en otros cursos?
PROBLEMAS les
vio
18. De un grupo de 150 turistas que regresaban a su país de origen, se obtuvo:
01. Ubicar la zona sombreada
M
D
- 75 visitaron Cuzco
56
- 59 visitaron Iquitos - 48 visitaron Huaraz - 18 visitaron solo Cuzco e Iquitos
A) M g D B) M U D
- 9 visitaron solo Cuzco y Huaraz
C) M - D D) D - M
- 21 visitaron solo Huaraz
E) M„ g D„
- 25 visitaron otras ciudades ¿Cuántos visitaron solo una de las ciudades mencionadas?
02. Ubicar la zona sombreada
M
T
19. De la pregunta anterior: ¿Cuántos visitaron Iquitos o Huaraz pero no ambas ciudades? Rpta.:
A) M U T
B) M - T
C) T - M
D) M„ - T„ E) M g T
20. Si se sabe que A , además: 03. Ubicar la zona sombreada n(A g B) = 6 n(B g C) =20
P
n(B) =28
T
n(A - B) 13 n(A U B) = 60 Hallar n(A); n[C-B]
A) P g T
B) P U T
C) (P - T) U (T - P) Rpta.:
D) P - T
E) T – P
Aritmética 4to Secundaria
04. Ubicar la zona sombreada
b) A
B
B
A C
C (A
A) A e B e C
B) U C
U
B) A g B g C
C) A e B e C D) A e B e A
57
c) A
E) N.A
B
05. Ubicar la zona sombreada
C (A U C)
B
U
d) B
A C
A) A g B g C C) A e B e C
B) A g B e C (A - C)
D) A e B g C
B
U
E) N.A
07. Si: U ={x/x N, x < 10}, es universo; 06. En los diagramas de Venn mostradas, sombrear las operaciones que se indican: a)
A ={1, 3, 4, 5} B ={3, 5, 7, 9} c ={x²/x U}
B
A
Hallar: A
A„ g C
B
U
A) {0, 2, 9} B) {0, 4, 9} C) {0, 9}
D) {0, 3, 9}
E) {0, 2}
Aritmética 4to Secundaria
08. Dados los conjuntos A y B, se sabe que: n(A e B) = 31 n(A - B) = 18 n(B - A) =7
A) 58 B) 57 C) 56
Hallar n(A) y n(B) A) 24 y10
12. Se observó que en una reunión 46 personas usaban relojes, 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿cuántas personas asistieron a la reunión, si todas al menos usaban una de las 2 prendas?
B) 24 y 13
D) 59 E) 60
C) 20 y 7 D) 16 y 12
13. Del problema anterior ¿Cuántas personas usaban solo pulseras?
E) 15 y 12
A) 11 B) 10 C)12 er
09. 60 alumnos del 3 año efectúan sus compras de útiles escolares en una librería grande: 26 de los cuales compran libros, 25 compran cuadernos y 28 hojas; además 15 de ellos compran libros y cuadernos, 7 compran cuadernos y hojas y 6 compran libros y hojas ¿cuántos alumnos compran libros solamente? A) 13 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16
D) 13 E) 14
14. En un avión hay 100 personas, de las cuales 16 no fuman y 32 no juegan ajedrez. ¿Cuántas personas fuman y juegan ajedrez?, si todas hacen al menos una de las 2 cosas. A) 50 B) 52 C) 51 D) 53
10. Consideramos 3 conjuntos A, B, C. La intersección de los 3 tiene 5 elementos la unión de 3 tienen 50 elementos. si la unión de A y B tienen 35 elementos y se sabe que cada intersección de dos de ellos tienen 10 elementos.
E) 54
15. En una encuesta realizada a 400 personas acerca de sus preferencias por las bebidas gaseosas se obtuvo el siguiente resultado. - 175 prefieren Inca Cola
¿Cuántos elementos tiene el conjunto C?
- 120 prefieren solo Coca Cola
A) 15 B) 16 C) 14
- 48 prefieren solo Fanta
D) 13 E) 17
- 39 prefieren Coca Cola y Fanta - 27 prefieren Inca Cola y Fanta
11. En el 5to año de secundaria se observó que los alumnos están pensando estudiar el próximo año medicina ó computación. Si 7 estudiaran ambas cosas y 19 estudiaran medicina. ¿Cuántos estudiaran solamente medicina? A) 11 B) 10 C) 13
- 30 prefieren Inca Cola u Coca Cola - 57 prefieren Fanta pero no Coca Cola. ¿Cuántos prefieren otras bebidas? A) 34 B) 35 C) 36 D) 26 E) 38
D) 14 E) 12
Aritmética 4to Secundaria
58
NUMERACIÓN -
*
Es la parte de la Aritmética que se encargará del estudio de los números y las relaciones que se establecen entre ellos.
OBS: Cuando el lugar coincide con el orden de un numeral; él número será de “2n”cifras; donde “n “es el lugar u orden donde en el que coinciden. 02. De la base:
Número: Es un ente matemático; por lo tanto no tienen definición. Nos da la idea de cantidad.
(BASE
215(n)
(No se puede definir, solo es conceptual)
Base
Indica que agrupamos “n” en “n.
* Numeral: Es la representación literal simbólica del número.
Ejem: “Agrupemos de 3 en 3 la siguiente cantidad”.
; a; etc.
Sistema Posicional de Numeración:
121 (3)
Es un conjunto de reglas o principios que nos ayudan a representar correctamente a los numerales.
-
Obs: SIG10 516
Principios:
(se lee solamente la base)
01. Del Orden:
Lugar
1
2
3
4
16 3
5
56972 Orden
59
Si numeral es de la base “n”; entonces la mayor cifra posible de este es “(n 1)”.
(concepto idea)
Ejem.: 3;
Z) > 2
4
3
2
1
1
0
5 3 2
= 16 = 121(3)
1
Para UNI; San Marcos el orden comienza de “1”
-
Aritmética 4to Secundaria
¿Cómo? BASE 2 3 4 . . . 10 11
- Dividiendo necesariamente.
Además: Si un numeral es de la base “n”; si se han formado “n “grupos de cierto orden; se obtiene una cifra (uno) del orden inmediato superior.
SISTEMA Binario Ternario Cuaternario
CIFRAS 0,1 0,1,2 0,1,2,3
Decimal Undecimal
0,1,2,3,…9 0,1,2,…9,(10)
3. De la Cifra: Representación Literal: 60
0 < (cifra Z ) < Base . {10, 11, 12, ........., 99}: * (Cifra máxima) = (Base - 1) * Además cuando se tenga una igualdad de dos numerales en diferentes bases; a mayor numeral aparente menor base; y a menor numeral aparente mayor base.
* ab : la barra se pone cuando el numeral contiene 2 o más letras
ab =
37
a=3 yb=7 Sólo se iguala si son de igual
tenemos “n OBS: En base “n” “diferentes cifras a tomar para formar un numeral de cualquier número de cifras.
mn =
11
M=1yn=1
Es un numeral representado L
Cifras: (0, 1, 2, ......, (n - 1).......;)
0
ab (7) 26 35 (7)
nada te indica que las cifras sean no ser que un problema te lo diga.
= Cifra no significativa
1, 2,… = Cifras significativas
pero P„ la Cifra de 1er lugar { 1, ......, n - 1}
OBS: Cada Cifra de un numeral es entera; y si es mayor que 9; se usara paréntesis; una Cifra no puede ser negativa.
También:
Ojo: Convencionalmente: 22; 151; 7447; ana; reconocer
# 2 capicuas
10 < > 11 < >
Las cifras equidistantes extremos son iguales.
en
los
12 < > Aritmética 4to Secundaria
Se leen igual de izquierda o derecha o viceversa. * Descomposición Polinomica (D.P)
* 2754 = 2000 + 700 + 50 + 4
Orden 3
2
1
0
2.10 + 7.10 + 5.10 + 4.1
Donde el exponente (1) y el exponente (0) es el orden.
- Generalmente es recomendable descomponer en barras, manteniéndose la base: (se toma en conciencia)
Ejem: abcab n abc n n² ab n
Obs:Para pasar un # de base de 10 a otra base 10; se pasará uno de ellos a base 10 y luego a la base requerida; para poder igualarla.
Ojo: La cifra de 1 er lugar o de último orden es siempre de “0 “(cero)
De base + de (10) a base (10) - Además: ( siempre se cumple que) abc (n) a.n 2 b.n c
* La Cifra de 1 er lugar es igual a la Cifra de último orden o de mayor orden Al reemplazar y ordenar queda él # en base 10. n 1n 1.........n 1 n
nk 1
"K" cifras
* La Cifra de orden cero es igual a la Cifra de mayor lugar. 2. * Cuando se lee un numeral en base de 10; se lee Cifra por Cifra como la dirección de la flecha del lugar; y al final se dice la base.
* 13
(4)
=4+3
* 1313 = 4 + 2 x 3 (4)
* 13
=4+3x3
13 13 (4)
1a1a . n k.a .. .. .. . 10(n)
* Propiedades:
1. * 9 = 10„- 1 * 99 = 10² - 1
* 44(5) = 52 - 1 en general
* 999 = 10³ - 1
Aritmética 4to Secundaria
61
PROBLEMAS 01. Hallar “n “; si se sabe que el siguiente número esta bien escrito
07. Sí: aabb n 639 Calcular: a + b + n
n 2 n 1 n 4 2 8
08. Dado que:
11abn 79(n2 )
Hallar: a + b + n
02. Dados los siguientes números; si se sabe que su representación esta dada de manera correcta:
62
09. Hallar: a + m + n; si se cumple que:
a 3a a 3 5 mnm4
m n n m n 1 ; m 3 2 3 2 9 3 7 Calcular: mn11 m. n
03. Sí mnp15 468
10. Si a un número se le añade la suma de sus cifras; se obtiene 8 799. ¿Cuál es la suma de dichas cifras?
Rpta.:
hallar m + n+ p
11. La suma de un número en 3 cifras con el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras es 1332. 04. Dada la siguiente igualdad: abc6 x
x24 8
calcular: a + b + x
05. Dado mnmn x 102 Hallar: “x + m - n”
- La diferencia entre los números anteriormente mencionados tiene como cifra de orden de las centenas 5.
Hallar la suma de dichas cifras: Rpta.:
12. Si se cumple: 06. Si tenemos que: abcmn1 3.1abcmn
Calcular: n - m - c - b – a
abc 6
12 002a 2 021 b 1022c
Hallar abc 8 y expresarlo en base (C):
Aritmética 4to Secundaria
13. Dado que:
17. Dado el #:
P 2116 . 5 1816³ . 1716² . 51
N a 1 a a 1a a 1 ²
a3
Expresar “P “ en base 4 y expresar su suma de cifras.
Expresar: a 1aa 1a4
14. Dada la siguiente igualdad: abc3 ac 2b 4
24m5
Se pide calcular:
a b m c b m c
13
18. Si el resultado de operar: 4ab ba4 es un # de 3 cifras; y además tenemos que: ab ba w 4
Entonces, calcular: 2a + 3b sabiendo que “a” es mínimo.
15. Sí: 14 11 12
en base (a + 5)
1( n 1)
11r 6 14a k
19. Sí:
am xy
2
“Calcular: a + k + n + r”
16. n01 y son números de tres cifras, y n1 mes un número de 2 cifras; todos ellos escritos en el sistema de base K + 1. sí: n01 n 1
con
ab9n ccn 7
bp
xy
c
>
2;
y;
Hallar : “q”
20. Sí:
n1 n1 n32 n1 k 1k 1k 1k 1k 1k 250 1
Expresar n01 n + 1 en el sistema decimal. Rpta.:
Hallar “k”:
Aritmética 4to Secundaria
63
PROBLEMAS 01. Sí el numeral esta bien expresado;
05. Si se cumple: ab2 abc
b
2aa 4 3c 2
8
107
Calcular: a + b + c
* Calcular “a + b + c”; si se sabe que al añadirle 24 10 al número anterior, se obtienen un número capicúa; además “b”puede ser Cifra de cualquier numeral en la base 9.
A) 3 B) 5 C) 8 D) 4 E) 6 64
A) 12 B) 7 C) 9 D) 8 E) 6
02. Sí el numeral; 2a 12a 3
a 4c b 1 d 3 5 2
Es capicúa; calcular a + b + c + d; si todos son Z.
06. Las edades de 2 hermanos son respectivamente nm y bb c ; si hace 5 años sus edades eran a0 8 y a17 ; diferenciándose en 2; calcular: a + b + c + m + n A) 23 B) 20 C) 24 D) 25 E) 26
07. Si el # aacc es un cuadrado perfecto entonces la suma de los dígitos de dicho número es: A) 12 B) 14 C) 18
A) 3 B) 2 C) 5 D) 7 E) 1
03. Sí:
4a5n 2 b38 ; calcular
a + b + n; si (n + 1) es impar
D) 22 E) 26
08. Si el numeral 434 de la base 7 se escribe como abab en la base “c”. Hallar a + b + c
A) 8 B) 4 C) 7 D) 5 E) 6 A) 8
B) 7
D) 10
E) 11
C) 9
04. Si al numeral 42301k se convierte en base (k²): la suma de sus cifras se duplica; Halle “k “: A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9
Aritmética 4to Secundaria
A) 72 B) 63 C) 56
09. Si:
D) 42 E) 30
abc cba m 1 n 1 p 2
Hallar mnp pnm
13. Si se cumple que:
A) 786 B) 766 C) 686
a a(2a )b a b bb 2
D) 881
Calcular : a × b; Si (a + b) es par.
E) 576
65
10. Hallar m × n; si se cumple que:
B) 9 C) 6
D) 10 E) 12
11. Sí:
aaaa 5
mn8
calcular: a + m + n
14. Sí: c < 5, además mn c ab n hallar: c + b; tomando en cuenta que todas las cifras son significativas:
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
15. Sí: 1n
A) 9
B) 16 C) 14
D) 12 E) 18
m2 n 4 1m5 2 m
A) 3
A) 18
B) 10 C) 12
1n
1n .
50veces
D) 13 E) 15
2060 ..
.
1n
60
Hallar “n”:
12. Sí:
ac b cb a 2
además:
a) 40
b) 41 c) 37
d) 44
e) 46
a + b + c = 24 Hallar: a × c
Aritmética 4to Secundaria
CONTEO DE NÚMEROS
Calcular la cantidad de términos Ejem: en: 14, 16, 18, .........., 92 n
I. Conteo de Números en Progresión aritmética:
Progresión Aritmética: es una sucesión de términos que tiene la característica que cada 2 términos consecutivos se diferencian en una misma cantidad llamada razón de dicha progresión aritmética.
92 12 2
40
II. Cantidad de Cifras utilizadas desde 1 hasta N: sea: 1, 2, 3, ......., “N”; y “N” tiene “k “ cifras 66
# cifras = (N + 1)k -
111 ... 1 "k " cifras
tn
t1 n 1r
tn = Último término
Ejem: Cuántas cifras se utilizan en: 1, 2, 3, ....., 200
t1 = Primer término n = # de términos
r = razón de la P.A.
Ejem: Hallar él termino 30 en:
# Cifras = (200 + 1) × 3 - 111 = 492
III. Conteo de Números por El Método Combinatorio:
10, 12, 14, .......
t30 = 10 + 29 x 2 = 68
* Cálculo del número de Términos (n):
* Método Combinatorio: sirve para hallar cuantos números existen de una determinada forma multiplicando los valores que tome sus variables independientes. Este método se basa en el principio de la multiplicación.
Ejem: n
tn t0 r
i. Decir de cuantas maneras puedo llegar de A hasta C
tn : Último término to : Término anterior al 1 ro r : Razón de la P.A.
A
M
C
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS PARA LA CLASE
ii ¿Cuántos números de 2 cifras existen en base 5? a b5
01. Hallar el término trigésimo en 232, 234, .....,
10 21
Rpta.:
32 43 4 4 x5
67
20 números
02
Decir cuántos elementos tienen el conjunto A: A ={54, 56, 58, ............, 102}
Rpta.:
03. Cuantas cifras se utilizan en, 1, 2, 3, ............, 1999
Rpta.:
04. Cuántos números de 3 cifras existen en base 4
Rpta.:
05. ¿Cuántos # de 3 cifras existen en base 10?
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
06. ¿Cuántos números de la siguiente forma existen?
11. ¿En qué sistema de numeración hay 30 números de 4 cifras de la forma
n
a a 1 b b1
aa 3bb 2
Rpta.: Rpta.:
07.¿Cuántos números existen de la forma?
8
12. Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema octal?
a 3a b 2 b
Rpta.: Rpta.:
08. ¿Cuántos números existen de la forma? a b a b 2 3 15
13. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en base 7, en los cuales una Cifra se repita exactamente 2 veces?
Rpta.: Rpta.:
09. Cuántas cifras se han utilizado en numerar todos los números no capicúas de la siguiente serie?
14. ¿Cuántos números pares de 4 cifras existen tales que empiezan en Cifra impar?
Rpta.: S = 46, 48, 59, ....., 599 8
Rpta.:
10. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan por lo menos una Cifra par y por lo menos una Cifra impar?
15. ¿Cuántos números capicúas tiene exactamente cifras no significativas en su escritura?
Rpta.:
16. Cuántos números impares de la forma Rpta.:
a a b b 6c 2
Existen?
Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
68
17. ¿Cuántos números pares de la forma existen?
PROBLEMAS
xyxyxy 6
01. Hallar él término de lugar siguiente P.A.:
Rpta.:
ba
de la
a8b; a 93; b04; ba5;.......
18. Dada la siguiente P.A.
A) 302 B) 402 C) 303
Sabiendo que t (40) =
, ,...... abc,......,161163
201.
D) 403 E) 352
69
Hallar : a + b + c
02. Si los términos “a” y “a + 1" de una progresión aritmética son 251 y 259 respectivamente Hallar la suma del 1 er y último termino si hasta el lugar “a” hay 30 términos y después del término de lugar “a+1" hay 45 términos.
Rpta.:
19. En la siguiente secuencia: 1, 2, 3, ...., abc se han utilizado 594 cifras Hallar a + b + c
A) 330 B) 630 C) 339 D) 679 E) 397
Rpta.:
03. Determine él número de términos de la siguiente sucesión: 20. De cuántas, maneras se puede llegar de M a Q:
M
N
P
Q
18, 33, 68, ......., 1908
A) 16 B) 19 C) 18 D) 20 E) 17
Rpta.:
04. De la siguiente sucesión: 9 17 27 39 ; ; ; ;...... 4 9 16 26
Tiene 20 términos, determinar la diferencia de términos de la última fracción. A) 62
B) 54 C) 64
D) 76
E) 70
Aritmética 4to Secundaria
05. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
ab n ; ba n 1; 88n 2 ;
....... 64 n 1 9
A) 14 B) 24 C) 72 D) 18 E) 23
10. Si él termino 16 de la siguiente P.A. es 125, calcular a × b: ab;......; 59; 65;.....
A) 24 B) 32 C) 35
06. Hallar la suma de los 30 primeros términos de la P.A., creciente: aaa; ab4; ac4;......
A) 26 140 B) 22 020 C) 17 670 D) 24 130 E) b y c
07. Hallar la suma de los 86 términos de la siguiente P.A.
70
D) 15 E) 20
11. Hallar el número de términos de la siguiente serie aritmética: a 72 ba; a69 ba; a66 ba;
....;(a 1)94ba
A) 20 B) 27 C) 52 D) 25 E) 30
a5n ; a7 n ; b0n ;.......; abc n
A) 13452n B) 13456n
12. Dado la siguiente P.A.
C) 13656n D) 13660n
;...; 754 13;....; abc;....;... cba ' n' ter min os
' n ' ter min os
E) 13330n
08. Si an² + bn representa la suma de los “n”primeros términos de una P.A., obteniéndose para los 6 primeros términos: 132 y 340 respectivamente. Calcular la suma de los (a + b) primeros términos.
A) 95
B) 175 C) 224
D) 279 E) 132
09. Sea la Prog. A aob; aac;.......;boa de 89 términos, hallar: a + b + c
Calcular : a + b + c
A) 10 B) 20 C) 30 D) 35 E) 40
13. Si 4ab y ab7 son el primero y él último termino de una P.A.; cuya cantidad de términos es 22. Calcular el décimo séptimo termino sí: a + b = 11
A) 426 B) 474 C) 747 D) 682 E) 936
Aritmética 4to Secundaria
14. La suma de los 11 primeros términos de una P.A. es 187 ¿Qué lugar ocupa 599 si el cuarto término es 11?
15. En 2 sistemas de numeración de bases consecutivas existen 155 números que se escriben con 2 cifras en ambas bases ¿Cuál es la suma de dichas bases?
A) 140 B) 160 C) 78 D) 200 E) 190
A) 23
B) 25
D) 29
E) 3
C) 27
71
Aritmética 4to Secundaria
CUATRO OPERACIONES I
Luego: 435(7)+ 164(7)
Adición: Dados 2 números naturales a y b se llama suma de a y b y se denota a + b al número natural S, tal que S = a + b.
416(7) 1351(7)
Se denomina “Adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b), su suma a + b.
72
Sustracción: Ejem:
1 5 7 13 sumandos
suma
* La adición en otros sistemas de numeración:
Definición: Dados 2 números naturales ay b se llama diferencia de a y b y se denota (a - b) al número natural D, si existe que a - b =D se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b) su diferencia (a - b)
Ejm: sume: Ejem:
4357 + 1647 + 4167
34 - 21 = 13 Minuendo Sustraendo
Resolución: Los sumandos en la parte vertical son colocados para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupa sus cifras.
2 1 4 3 Sumandos 1 6 4 1 Suma ¿ …
0 orden 57 + 47 67 ?
Diferencia
* La sustracción Numeración
2
Sistemas
de
432 5 143 5
5 4 6 15 2 .7 lleva
1
otros
Ejm: dados:
Orden Procedimiento
0
en
queda
3 6 1 2 12 1 .7 se lleva
5
queda
4 1 4 1 10 1 .7 se lleva
Halle la diferencia
1
3
queda
Aritmética 4to Secundaria
Resolución: Se dispone los términos de manera vertical, para trabajar de acuerdo al orden:
Obs:
abc k cba k x z y k 1
2 Minuendo Sustraendo Diferencia
1
0
4 1 25 1 2 35 ¿ … ?
Trabajemos en forma ordenada Orden
Procedimiento Como a “2 “no se le puede disminuir en 3 lo que se hace es regresar del orden 1 vez la base (es decir 5)
0
* Complemento Aritmético (C.A.)
Se denomina complemento aritmético de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior , a su cifra de mayor orden.
Ejem: C.A De 738
Luego: 5 + 2 - 3 = 4 (queda)
1
xyz( k )
Orden
Como se ha regresado una vez la base, quiere decir que en este orden se tiene ahora 3 - 1 = 2, pero a 2 no le podemos disminuir en 4, luego del orden 2 regresemos una vez la base (es decir 5)
sol 3210 Orden 1000 7 48 252
C. A.
C.A.(748) = 257
5 + 2 - 4 = 3 queda
2
Aquí se tenia 4 veces la base, como regresamos 1 vez la base aquí quedo 4 - 1 - 1 = 2 queda
Ejem:
C.A. De
210 Orden 100 7 53 7
Al final se tienen que:
14 7
C. A.
432(5) 143(5)
C.A. (53(7)) = 14(7)
234(5)
Aritmética 4to Secundaria
73
Forma practica de calcular el C.A.: A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual va a disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos
1. Ejem: 9 9 10
C. A. 7 4 8 252
9 9 10
C. A. 7 0 4 0 2960
74
Aritmética 4to Secundaria
08. Si se cumple que:
PROBLEMAS 01. Sabiendo que: + c = 9.
ab bc 67 ;
Además a + b
aa8 a 8 aaa 8........ 987.... " n" Veces
Hallar “a”
Hallar a + b² + c³
09. Si se cumple que:
02. Sabiendo que: a1b a 2 b a 3b
aaa abc 679
..... a 9 b 7713
Calcular: a + b + c
75
Hallar a + b
10. Sí: 03. Si a + b + c = 14 hallar
CA abc mdm Calcular: cac acc
ab3 c2b 4ac bca
04. Sí: 4ab ba4 es de 3 cifras y calcular el menor 2a + 3b:
ab ba w4
11. Sí: a + b + c = 15
Calcular la suma de cifras de:
05. Una persona tiene ahorrados ba soles y diario gana ab soles. Al cabo de un mes tiene b0a soles. Si diario gasta 10 soles. ¿Cuánto ahorra diariamente?
06. Al sumar los C.A. de obtiene 734 619
ab , abab
y
ababab
se
9
S a 1 bc 9 ca b 1
b c 1 a 9
en la base 10
12. En la suma: a1a a 2a......a9a bcd3
Calcular:
Calcular (a + b + c + d)
. A.( C. A.( C. A.(.....(C. A.( a b b a ab ))....) C ba Veces
07. Si se cumple que: abcde egd ggaad dfgc
Calcule : ab + cd + ef + g, si a letras diferentes les corresponden letras diferentes.
13. Sí:
cbca a1b5 5 a ba
5 aa09 Halle: a 2 + b² + c²
Aritmética 4to Secundaria
14. Sí:
PROBLEMAS
abbc cbba 4mnp
Calcule : a + c + p; Sí ac + 2mn = 186
15. Un alumno al restar 2 números de 3 cifras cada uno invirtió el orden de las cifras del minuendo, obteniendo 112 de diferencia, en lugar de 805. se sabe que la suma de cifras del minuendo más lo del sustraendo es 28. Calcule la suma de la cifra del minuendo.
01. Hallar S + A + N; sabiendo que: 666 SAN NAS
A) 8
B) 9
D) 11
E) 18
C) 10
76
02. Hallar x + y + a; si: a1x a 2 x ....a 7 x 38y1
16. Sí
b 1dc 2
CA(abco) CA ac
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Halle a - b + c – d
03. Hallar el valor de “m”; 17. Sí: abc cba 1mn y a + c = 12. Calcule a + 2c
18. Hallar (a - c); sabiendo que: abc cba
def , y , def fed 297
M 1² 1 2² 2 3² 3.... 10
A) 240 B) 340 C) 440 D) 480 E) 540
04. Hallar el valor de “R”; 19. Calcular:
R 1³ 1 2³ 2....15³ 15
“(a - c), (x + y), (k - d)”, si se cumple que: A) 14 280 B) 12 800 ab 7
ba 7 xy 7 , y
, abc k 25d k cba k
20. La diferencia de los C.A. de dos números consecutivos es un número de 3 cifras. ¿Cuál es este número de 3 cifras?
C) 12 400 D) 14 200 E) 14 400
05. Si se cumple que: m1m m2m.....m9m abc 4
Hallar a + b + c A) 10 B) 12 c) 16 D) 14 E) 17 Aritmética 4to Secundaria
06. Si se cumple que:
10. Sabiendo que:
CA abc8 2358
2. abc 5 cba c
Hallar a + b + c
Hallar a + b + c, si “b “ es cifra máxima.
A) 9 B) 10 C) 12
A) 5 B) 6 C) 7
D) 11 E) 13
D) 8 E) 9 77
07. Sabiendo que: abc cba mnp
11. Sabiendo que:
2a 2 b4c
CA abc
Hallar: (a + b - c)²
Hallar: E mnp npm pmn
A) 25 B) 36 C) 49 D)100 E)121
A) 998
B) 1 898 C) 1 798
D) 1 998 E) 1 888
12. Dado:
CA ab CA ba 79
08. La suma de los 3 términos de una resta es 184. Si la diferencia es 32. Hallar es sustraendo.
Hallar: a + b A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 73
A) 9
B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
09. Sabiendo que: xyz zyx mn m 3
Hallar: x - z A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
13. Sabiendo que: abc xy 2 cba
Hallar: a + c
A) 9
B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
Aritmética 4to Secundaria
14. La suma de los 3 términos de una recta es 900. El sustraendo es la 1/5 parte del minuendo por la diferencia.
A) 450 B) 360 C) 150 D) 300 E) 400
15. Si se cumple que:
78
abc 2mn cba ;
Además a² + c² = 5b². 5b². Calcule: a + b + c + m + n
A) 18 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32
Aritmética 4to Secundaria
CUATRO OPERACIONES II
Aplicativos: Ejm: Aplicativos:
01. Sí:
Multiplicación:
abc bc 3125
Hallar “(a + b + c)”: * Operación aritmética aritméti ca que tienen por objeto repartir una cantidad llamada multiplicando, tantas veces como indique otra, llamada multiplicador.
abc bc 125 25
A +b +c = 8
79
P=M.m .
02. Si
abc abc 99 ........123
Hallar (a + b + c):
Donde: P =producto M =multiplicando m = multiplicador multiplicador
abc.100 abc ....123 a5 b 7 c7
A + b + c = 19 Observación:
1. Par × Par = Par 2. Par × Impar = Par
03. Sí:
aabb 77 .......041
Hallar: (a + b):
3. Impar × Impar = Impar 4. ........5 Par ........0
aabb 77
5. ........5 Im par ........5
.......2 .......6 .......0
6. x x 1
31 31
..041
a+b=8
Aritmética 4to Secundaria
División: * Operación Aritmética inversa que consiste en saber cuantas veces una cantidad
llamada dividendo contiene a otra llama divisor:
qd + 1 = qe Elementos:
* Propiedades:
* Dividendo: (D) * Divisor: (d)
r min 1 rmax d 1
1. 0 r d
80
* Cociente (q) - Cociente por defecto (qd)
2. re + rd = d
- Cociente por exceso (qe) 3. qe + qd + 1
Residuo (r) - Residuo por defecto. r (d) - Residuo por exceso. r (e)
4. D d 2D 2d r
q
2r q
División Entera: Exacta : Cuando el residuo es igual a cero Inexacta : Ocurre cuando el residuo es diferente de cero ( 0)
División Entera Inexacta:
* En toda división entera inexacta, si al dividendo y al divisor se multiplica o divide por una misma cantidad, el cociente no se altera, pero el residuo quedara multiplicado o dividido por dicha cantidad.
a) Por defecto: D = d. qd + rd .
b) Por Exceso: D = d. qe – re .
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS
01. Se sabe que de la operación 12345 xA, la suma de los productos parciales resultó 240. Halle el valor de A. Rpta.:
07. Si se cumple: abcd 4 dcba , calcular la suma de todos los números de 4 cifras diferentes que se pueden formar con la cifra a, b, c y d. dar como respuesta la suma de cifras. Rpta.:
02. Si uno de los factores de un producto es el triple del otro, si a cada uno de ellos se le suman 3 unidades, el producto aumenta en 33. Halle la suma de los factores.
81
08. El producto de 2 números aumenta en
840, si el multiplicador se aumenta en 12, pero si el multiplicando se aumenta en 12,el producto aumenta en 1 200. ¿En cuanto
aumenta el producto, si los factores aumentan en 12?
Rpta.:
Rpta.:
03. Sí:
mama b
4650 mama e 7324
Calcule:
mama bebe
Rpta.:
09. Al dividir un número de 3 cifras entre su complemento aritmético, el residuo es máximo. Calcular cuantos valores puede tomar él cociente, si es de 2 cifras. Rpta.:
04. En una división por defecto, el residuo fue mínimo; si al residuo por exceso le disminuimos 5 unidades, resulta ser 6. Calcule la suma de cifras del divisor. Rpta.:
10. Si se divide 9 850 entre 32 ¿ cual es la suma de la máxima y la mínima cantidad que se debe aumentar al dividendo pasa que él cociente aumente en 3 unidades?
Rpta.:
05. En una división entera donde el dividendo esta comprendido entre 500 y600, el divisor es 85. Si el residuo por exceso es mayor que el residuo por defecto en 25 unidades, halle el dividendo.
11. Sí:
abcd 79 .... bcd3
Hallar: a + b + c + d
Rpta.:
Rpta.:
12. Multiplicar por 9 a un número de 2 cifras es 40 se obtiene un residuo que es el cuádruple del cociente respectivo. Además él número es, máximo.
equivalente a intercalar un cero entre sus cifras. ¿Cuál es el CA del número que resulta de invertir el orden de sus cifras?
Rpta.:
Rpta.:
06. Halle un número tal que el dividendo entre
Aritmética 4to Secundaria
13. Un número de 6 cifras es tal que la primera de sus cifras es 2 y si dicha cifra se traslada al orden cero, se obtendrá un número que será el triple del original. Determinar la suma de cifras de dicho número. Rpta.:
**
**8*
4* *** ** *** ***
14. Sí:
11N =.......9 757 y
7
82
4N = .......3 548 Rpta.: Calcular la suma de las ultimas cuatro cifras de (91 x N).
15. Hallar la suma de cifras del producto total de: ac9 ; si: a b 319 y
Rpta.:
abc 9
b c 38 9
Rpta.:
16. Sí:
18. ¿Cuántos valores puede tomar el residuo de una división entera inexacta?, Sabiendo que el dividendo es 1 200 y él; cociente es 19.
abc ba 2c 42b
Calcular: a + b + c
19. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 30 veces más que, el residuo; y la diferencia de los mismos es 20 veces más que dicho residuo. Hallar el cociente. Rpta.:
Rpta.:
17. El siguiente esquema presenta a * como una cifra, hallar la suma del dividendo, divisor y cociente.
20 . Al dividir dos números se obtiene un residuo igual a 25. Si 85 es lo máximo que se puede aumentar al dividendo para que el cociente disminuya en k. Calcular “k “más el divisor. Rpta.
5**** |**
.
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS 01. La diferencia de 2 números es 132, su cociente es 7 y su residuo es el más grande. Hallar el mayor de ellos
05. Hallar el menor numeral de 3 cifras tal que si se divide en 43, resulta el residuo por defecto mayor que el residuo por exceso en 9 unidades.
A) 151 B) 132 C) 113 D) 32 E) 19
A) 112 B) 151 C) 103 D) 155
02. Sabiendo que: Nx7 = ....116; Nx74 = ......612; Calcular las 3 ultimas cifras del producto de Nx347
83
E) 154
06. En una multiplicación, el multiplicador es 23. si el multiplicador aumenta en 12 unidades y el multiplicando disminuye en 5 unidades, el producto aumenta en 965. Hallar el multiplicando original.
A) 232 B) 952 C) 456 D) 056 E) 086
A) 92 B) 93 C) 94 D) 95 E) 96
03. En una división inexacta el residuo máximo es 28. si se sabe que el divisor tiene las mismas cifras del cociente pero en orden inverso, determine el dividendo y de como respuesta la suma de las cifras.
07. ¿Cuántos números enteros positivos, menores que 1000 al dividirlos en 54 dan un residuo igual al cuadrado del cociente?
A) 14 B) 18 C) 15 A) 14 B) 23 C) 10 D) 29 E) 11
04. Se dan para multiplicar los numerales 96 y 55, si se aumentan 11 unidades al multiplicador cuántas unidades hay que disminuir al multiplicando, para que no varíe el producto?
A) 48 B) 16 C) 15 D) 11 E) 14
D) 6
E) 17
08. Dado que: abcde 999 ......73891
Calcular: a+b+c+d+ e
A) 9 B) 6 C) 12 D) 18 E) 27
Aritmética 4to Secundaria
09. Sí:
A) 17 B) 14 C) 15 abc 19 ....541: abc 13 ....107
Hallar la suma de las 3 últimas cifras del, producto abc 24
D) 16 E) 18
13. Sí: 10
265 n .413 n xyx03 n ;
hallar x + y en base
A) 14 B) 16 C) 18 84
A) 12 B) 13 C) 14
D) 13 E) 15
D) 15 E) 16
10. A un número de 4 cifras se le divide entre 37, obteniéndose como cociente el número formado por sus 2 últimas cifras y como residuo el mayor posible. Si las cifras del numeral son diferentes entre sí. Dar la suma de ellas. A) 33 B) 23
14. Sí: N ab 17 472 x
y Nxcb 53872
Hallar N; si además se sabe que c - a = 5. dar como respuesta la suma de cifras.
C)22
D) 25 E) 26
A) 16 B) 17 C) 18 D) 15 E) 19
11. Sí:
abc3 2 2003
determinar a + b + c
15. Hallar a + b + c + d; Si:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 8
abcd. bd bc. bd
12. Sí: abcd 7 6667 ......32117 hallar el de: a + b + c + d en base 10
43904;
1184
valor A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
Aritmética 4to Secundaria
DIVISIBILIDAD I
• A es múltiplo de B
Ejem: * Divisor - Se denomina divisor de un número entero a aquel entero positivo que lo divide en forma entera y exacta.
- “6 es divisor de 30 y 30 es múltiplo de 6" - “1 es divisor de todo # entero” - “0 es divisor de todo # entero positivo” - -20 es múltiplo de 4
28 ÷ 4 = 7
85
- -40 es múltiplo de 8 - 18 es múltiplo de -3
Donde:
- 35 es divisible por -7 4 = divisor de 28
r = 0, pero: sí r 0; entonces “d “es el divisor de la división.
* Representación de los no múltiplos
- Por Defecto: todo residuo es 0 * Múltiplo: - Se denomina múltiplo de un entero positivo “A “, a un entero “B” que resulta de multiplicar “A “por otro entero.
25 ÷ 6 = 4 25 = 6 × 4 + 1 25 =
o
6
+1
rd = 1 (residuo por defecto) 28 = (4) × 7 =
o
4
4
o
4
= módulo (div. Exacta)
- Por exceso:
A ÷ B = k r=0
25 ÷ 6 = 5 25 = (6)5 - 5 25 = o6 - 5
B: módulo Z+ y A, k Z
• B es divisor de A
re = 5 (residuo por exceso)
Por lo anterior
• A es divisor de B qe = qd + 1 < > A = (B)k < >
r d + r e = d
Aritmética 4to Secundaria
d: módulo
ii) 42 28 14
7
7
7
Obs: iii)
3 20 60
30 5 5
abcd n n d
n² cdn
86 n
8³ 512 2 2;
iv)
n
3
2 2
- Principios: 16
8
24 8
32 72 8
24 32 72 1. i) 16
2.
8
8
8
* 2N =
N 30
o
6
N=
o
3
3
2
* 3A = 8o + 6
3
3(A-2) =
o
8
5
10 15 30
N
6 divisores del mod ulo
* 2N =
11 + o
8 A=
+2
o
8
11
N = 11 + 4
* 2A = o6 + 4
A =
+2
N a r
3.
o
3
N b r N MCMa, b, c r N c r
o * 3N = 11 +5
3N =
11
3N =
11
o
+ 5 + 22
o
+ 27
o
11
4. * 3n 5 como 3 5
N 5 (Principio de Arquímides)
Aritmética 4to Secundaria
(N=
o
11
Es conveniente llevar:
+ 9)
* Aplicaciones de Binomio de Newton:
la
Divisibilidad
n
a r a r n : a,r,n
al
n
n a 1 o 8 1
Además 87 n
n a r n, si" n" espar a r n a r , si " n" esimpar
Obs:
n a r a r
r n : tambienpuedeser
a
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS 01. Determine el residuo por exceso que obtenemos al dividir ä “entre 41; sí 2 062 es múltiplo de 41 más 385. Rpta.:
02. Qué residuo se Obtiene de “N” al dividir entre 8, sabiendo que: N 1234567 8 .30021 4 .101111 2 ?
03. si se cumple que: abcd xyz7 9 mnpq12 4 rsto 7
donde (0 = cero)
07. Hallar los números de la forma: N = ab1ba , que son múltiplos de 44. Dar como respuesta el residuo de N ÷ 5 Rpta.:
08. ¿Cuántos números capicúas de 3 cifras al dividirse entre 5 y 11 siempre dejan como residuo 4 y 3 respectivamente? Rpta.:
09. Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. Dar como respuesta el producto de sus cifras. Rpta.:
Hallar a + b + c + d: siendo abcd mínimo. Rpta.:
10. Hallar el resto de dividir: 7 ,........ 321321321 29 cifras
04. El número de alumnos en un colegio es menor que 500 y mayor que 350; se observa además que los 5/9 de total usan anteojos y los 3/17 son hinchas de Unión Huaral ¿Cual es él número de alumnos que no usan anteojos? Rpta.:
Rpta.:
11. ¿Cuantos términos de: 5; 5; 13; 17; .....; 1 041 son
o
5
+ 2?
Rpta.:
05. Se conoce que un numeral de 4 cifras es divisible por “n”, pero si desde su primera cifra se le aumenta 1, 3, 4 y 2 respectivamente el nuevo numeral de 4 cifras también es divisible por “n”. ¿Cuántos valores puede tomar “n?”
12. Si el numeral N mn1p 6 es múltiplo de 140. calcular: (n - p) Rpta.:
Rpta.:
06. ¿Cuántos son los pares (x, y) de enteros positivos que satisfacen la ecuación? 2x + 3y = 101 Rpta.:
13. Un barco donde viajaban 300 personas naufraga. De los sobrevivientes, la octava parte son peruanos y la onceava parte eran chilenos y de los muertos la novena parte eran peruanos ¿Cuántos peruanos viajan en el barco? Aritmética 4to Secundaria
88
14. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y 7 y además terminen en 5?
Hallar : A × B Rpta.:
Rpta.:
15. ¿Cuántos términos de la siguiente progresión Aritmé Aritmétic tica a dan como resto 4 al ser divididos entre 13.
18. ¿Cuántos múltiplos de 15 de la forma 1ab existen Rpta.:
50; 59; 68; . ; 1 526
19. Hallar el residuo de dividir E entre 7:
Rpta.:
E = 1 × 8 + 2 × 8² + 3 × 8² +... +100 × 8100
16. Si ab1ba es múltiplo de 44. Hallar (a + b) Rpta.:
20. Hallar el resto de dividir E entre 4: E = 2² + 42 + 6² +......+ 1000²
17. Sí: 5a10b 72
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
89
PROBLEMAS
01. Si abcd es un número de 4 cifras, la suma de los números: abcd + dcba , siempre es múltiplo de: A) 9
B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
06. María Luisa gasta S/.24 soles en lácteos lleva queso, helados y flanes. el queso cuesta s/.4 soles, cada helado cuesta s/. 2 y cada flan cuestan s/. 1. ¿Cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado? Dar un número de respuesta posible 90
02. ¿Cuántos números:
21
hay en la siguiente serie de
A) 16
B) 17
D) 25
E) 28
C) 22
18 × 21; 18 × 22; 18 × 23; ....; 18 × 2 100
07. Un granjero compró pavos patos y pollo, cada pavo costo 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo 5 soles. Si compro en total 100 animales como 1000 soles. ¿Cuántos pollos compró?
A) 298 B) 295 C) 301 D) 287 E) 302
A) 50 B) 10 C) 85 D) 90 E) 70
03. Sí: CA. ( mnp ) - CA ( pnm ) = 7 Calcular la máxima suma de m, n y p sabiendo que p m A) 10 B) 12 C) 15
08. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1? A) 125 B) 1286 C) 1 280
D) 17 E) 20
D) 1238 E) 129
04. Calcular “f” sí:
7 35aa8 38f
abbc 2a
09. Un número de la formula 3a3bab es siempre múltiplo de:
A) 1 B) 2 C) 3
A) 41
B) 43
D) 4 E) 5
D) 17
E) 9
05. Hallar “x, sí:
10. Hallar: a + c - b
6210abcdx 9 2 28
A) 8
B) 7
D) 5
E) 4
C) 11
C) 6
Sí;
abc 7 y ab 8 c
A) 5 B) 6 C) 6 D) 4 E) 3 Aritmética 4to Secundaria
11. Sí 5a10b 72 ; Hallar : a × b
D) 6
E) 5
A) 32 B) 24 C) 48
14. Sea:
D) 36 E) 24
12. Si el número xyx2y es múltiplo de 99, Hallar x + y A) 8
B) 9
D) 6
E) 7
32n 2 2 6n1
A) 7
B) 4
D) 6
D) 11
es múltiplo de:
C) 8
91
C) 10
15. Sí:
abcd 9 y cd ab 43
Hallar a + b + c + d
13. Hallar el valor de “c”:
a46c 72 a3bc 13
A) 4
A) 15
B) 16
D) 18
D) 9
C) 27
B) 2 C) 7
Aritmética 4to Secundaria
DIVISIBILIDAD II
Luego: Si cd
abcd =
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
4
abcd será 4 ; si y sólo sí cd =
- Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que este sea divisible; y si no lo es nos permitirá calcular el residuo a partir de ellos.
92
Veamos los siguientes criterios EN BASE 10:
I) Divisibilidad por 2n:
3
Sea abcd = 2 (a) + bcd abcd =
8
+ bcd
Luego: Si bcd = {000,008,016,...992} b c d =
1. Divisibilidad por 2
8
abcd será 8 ; si y sólo sí bcd =
8
abcd :
De donde
4
3. Divisibilidad por 8: (8=23)
- Sea
abcd
abcd
= 2 (22.a+21.b + c) + d
Nota: De manera más general podemos decir que:
= 2+ d
2
Luego: Si d = {0,2,4,6,8}
abcd
abcd será 2 , si y solo si d =
=
2
2
- “Para un número de „n‟ cifras, será múltiplo de 2m; si y solo sí las últimos „m‟ cifras de este número (contando de izquierda a derecha) son múltiplos de 2 m; todo esto independientemente de las demás cifras de este número”
2
2. Divisibilidad por 4: (4 = 22)
abc... fg ... pqr 2n fg... pqr ( 2n ) "m" cifras "n"cifras
- Sea
:
abcd
II. Divisibilidad por 5n: De donde:
abcd
abcd = 4 +cd
= 22(2.a + b) + cd
- De manera inductiva, análoga a la anterior podemos concluir que: “Para todo número de „n‟ cifras, será múltiplo de (5m), si y solo sí el número formado por las [ultimas „m‟ cifras (contando de izquierda a derecha son también múltiplos de (5 m); todo esto independientemente de las demás cifras”. Aritmética 4to Secundaria
fg... pqr (5 m
abc... fg ... pqr 5
m
)
"m" cifras
1.63 + 3.62 + 2 x 6 + 3 =
9
+6x2+3
"n" cifras
De manera deductiva; se cumple que:
339 =
1. abcd = 5 + d; Si: d =
339 =
5
+ 15
9
+6
9
93
5
abcd =
5
2. abcd =
’
+ cd ; Si: cd =
25
33 9
9
-69
37
-6
25
abcd =
25
Lo cual es cierto, como9podemos ver. 3. abcd = Si
bcd =
125
+
bcd
III. Divisibilidad por 3:
abcd = 125
125
Obs: Esta propiedad que se obtuvo con 2 y 5: pasan a ser un CRITERIO DE DIVISIBILIDAD pero tener en cuenta que esas características especiales se dan porque en la base 10 se cumple que: 2 x 5 = 10
De manera visionaria podemos generalizar para otras bases: veamos por ejemplo:
En base 6: 6 = 3 x 2
- Dado un número con cierta cantidad de cifras decimos que este número es múltiplo de 3 más la suma de cifras de dicho número. Veamos: abcd =
3
+ (a+b+c+d); pero:
Si (a+b+c+d) =
3
abcd = 3
IV. Divisibilidad por 9: - Dado un número con cierta cantidad de cifras; decimos que este número es múltiplo de 9 más la suma de cifras de dicho número.
i) 132 3 = 3 + 3 = 3 (6)
(6)
(6)
(6)
Veamos: abcd =
2
ii) 1323(6)= (3(6) )+ 23(6)
9
+ (a+b+c+d); pero:
Si (a+b+c+d) =
abcd =
9
9
Aritmética 4to Secundaria
Obs.
Nuevamente dando una visión más general acerca de este criterio de divisibilidad, podemos decir lo siguiente para el criterio de divisibilidad por 9 en base 10: 10 = 9 + 1 9 = 10 - 1
Si (d - c + b - a) =
11
=
abcd = 11
Obs: Dando una generalización similar a la anterior: se puede comprobar que: en cierta base:
Veamos en base 5: 4 = 5 - 1 321(5) =
3 2 1 4 5 5 5 5
52 x 3 + 5 x 2 + 1 =
4
abcd n
=
n 1 + (+dn + cn + bn - an) 94
+ 6
Y: Si (+dn - cn + bn - an) = n 1
86 = 4 + 6 86
4
-6
20
abcdn =
n 1
“Otros criterios de Divisibilidad”
4
Lo cual es cierto, y se multiplica en el cuadro.
Sea
abcdn = abcdn
=
n 1 + (an + bn + cn + dn)
Y: si (an + bn + cn + dn) = n 1
abcdn
1. Divisibilidad por 7
Dado:
abcdef = 7 + {(f + 3e + 2d) -(c + 3b + 2a)} - + N
= n 1 Pero, si: N =
7 abcdef 7
V. Divisibilidad por 11: (11=10+1) 2. Divisibilidad por 13: - Dado un número con cierta cantidad de cifras, decimos que este número es 11 más la última cifra, menos la penúltima cifra, más la antepenúltima cifra, ... ; y así sucesivamente hasta llegar a la primera cifra (contando de izquierda a derecha).
Dado:
abcdef = 13 + {(f - 3e - 4d) -(c - 3b - 4a)} - + N
Veamos:
abcd
=
11
+ (+ d -c + b -a);
Pero:
Aritmética 4to Secundaria
3. Divisibilidad por 33: Dado:
abcdef = 33 + (ab - cd - ef) N
Si: N = 33 = abcdef = 33
95
4. Divisibilidad por 99: Dado:
Si: N = 99 = abcdef = 99
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS 1. En la siguiente secuencia:
8. Si
1, 2, 3, ..., 400 ¿Cuántos son simultáneamente?.
ab
=
,
5
ba 9
y
ab c 8
3 y 5
Calcular c
Rpta.:
Rpta.:
2. ¿Cuántos números de 3 cifras son
13
?
Rpta.:
96
9. Si: 6a8ab es divisible por 45. Determinar ab
Rpta.:
+ 3, el 3. ¿En una división el divisor es 11 cociente 11 + 8 y el resto 11 - 2. ¿Qué forma tiene el dividendo?
Rpta.:
10. Se tiene un número formado por 113 cifras, las 63 primeras son 8 y los restantes 6. Hallar el residuo de dividir el número entre 7. Rpta.:
4. Si a la derecha de un número de 3 cifras se repite el mismo número, el número de 6 cifras así formado, es siempre múltiplo de:
11. Si:
abcd 5 2, dabc 11 7 , bcad = 9 +
Además cxd
Rpta.:
5. Si: a + b + c = 6. Entonces: abc + cab + bca ; siempre será múltiplo. Como mínimo impar de: Rpta.:
dabc
2
es mínimo. Calcular a x b +
Rpta.: 12. Determinar un numeral capicúa de 4 cifras, que al ser dividido entre 63 da como residuo 2. Rpta.:
6. ¿Cuántos números de 4 cifras existen tales que al dividirlos entre 12 dan como residuo 5? Rpta.:
13. Al dividir 2a3b5c6d entre 13, se obtiene 2 de residuo. Determinar el residuo al dividir: 57a4b8c7d , entre 13. Rpta.:
7. Si: abc 7 y ab 8 x C =
7
Calcular a . (b + c)
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
14. En una función de cine: entre adultos, jóvenes y niños suman 8/5. Los 5/11 de los jóvenes son mujeres, el número de adultos es igual a la séptima parte del número de jóvenes, además el número de niños es menor que la de adultos y la tercera parte de los jóvenes están en platea. Calcular el número de niños.
P ab25
5840
5842
2 x ab33 20 tér min os
3. ab41
5844
...
Entre 8
Rpta.:
15. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles por 4, pero no por 5 ni por 3? Rpta.: 16.Si:
19. Calcular el residuo de dividir:
97
Rpta.:
20. Si la siguiente expresión: E 3 abs se lleva a base 8. Hallar la cifra de menor orden.
abc 8 cba 6 =
... 2(7)
Hallar: a + c
Rpta.:
Rpta.: 17. Indicar el residuo que se obtiene al dividir la siguiente expresión entre 17.
E = 3 x 52n + 1 + 23n + 1
Rpta.:
18. Si „n„ es el total de números de 3 cifras que cumplen con ser 3 y 7 + 5. Calcular el residuo que se obtiene al dividir:
232323 ...568
98
entre 5
n valores
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS 01. Hallar el mayor ab tal que al convertir N 137ab a la base 6 termina en 5. a) 79
b) 86
c) 99
d) 47
e) 31
06. Hallar el menor de 4 cifras, múltiplo de 4, donde sus 3 primeras cifras son iguales, además al dividir dicho número entre 3 deja como residuo 2.
a) 1112
b) 2226
c) 3334
d) 1111
e) 2222 98 2
02. Sea N = K donde k puede ser cualquier número natural, al convertir N a la base 9, la cifra de primer orden es x. Hallar la suma de todos los valores diferentes que puede tomar X. a) 19
b) 20
c) 16
d) 32
e) 14
07. Hallar el numeral capicúa de 3 cifras divisible por 45. Dar como respuesta el producto de sus cifras.
a) 100
b) 80
c) 200
d) 400
e) 720 03. ¿Cuál es el menor número de términos que debe tomar S = 91 + 91 + 91 + ...; para que la suma tenga 6 divisores. a) 4
b) 12
c) 9
d) 6
e) 7
04. Desde el 1 hasta el 600, ¿cuántos son múltiplos de 2 y 11 , pero no de 4 ? a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
08. Si:
babab ...ab 7 4 69 cifras
Calcular a + b
a) 6
b) 7
c) 15
d) 16
e) 12 09. Calcular el valor de ( b - c ); si divisible por 99.
a57b
es
e) 20
05. Dado
abcabc5 ;
siempre es divisible entre:
a) 4
b) 13
c) 15
d) 18
a) 3
b) 4
c) 2
d) 7
e) 1
e) 24
Aritmética 4to Secundaria
10. Calcular el residuo de dividir a5b3 entre 7 si al dividir a2b entre 7 el residuo es 5.
a) 3
b) 4
c) 7
d) 1
e) 2
11. Calcular el valor de “a”; si se cumple que:
13. Si:
pqr 3 7 ; pqr 4 8 ; pqr 5 9
Hallar el mayor valor de (p + q + r)
a) 20
b) 21
c) 22
d) 14
e) 18
99
2a5a 23
a) 2
b) 7
c) 1
d) 2
14. Calcular el residuo al dividir P entre 7, si: P
83485555
UNI99
e) 3
12. Calcular entre J.
el resto de dividir 2m3n4p5q6
Sabiendo que: 1m2n3p4q = 7 + 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. ¿En cuántos ceros termina el numeral 117! (2!)! al expresar en el sistema de base 21?
a) 24
b) 40
c) 36
d) 12
e) 72
Aritmética 4to Secundaria
DIVISIBILIDAD
Ejemplos: 16; 748; 600; 174004 son números divisibles por 2 porque terminan en cero o en cifra par.
1.- ¿Qué es Divisibilidad?
Es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. Un número A es divisible por otro número B; cuando A contiene a B; cuando contiene A contiene a B exactamente un número entero de veces.
Para n = 2 Entonces: n = 2; 2n = 4
Ejemplos: 1300; 128; 316; 100 son números divisibles por 4; por que sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número que es múltiplo de 4.
Ejemplo:
Para n = 3
114 es divisible por 19; ya que: Entonces: 2n = 8.
Cociente: 6 144 9 0 6
Un número es divisible por 8 si termina en 3 ceros o las tres ultimas cifras forman un número divisible por 8.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Ejemplos: 1000; 7016; 5000; 10088 son números divisibles por 8 porque termina en 3 ceros o las 3 ultimas cifras forman un número múltiplo de 8. Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por 2n si termina en n ceros o si la n ultimas cifras forman un número divisible por 2n.
Divisibilidad por 5 n:
Casos particulares
Un número es divisible por 5n si termina en n ceros o si las n ultimas cifras forman un número divisible por 5n.
Casos particulares
Para n = 1 Entonces 2n = 2; entonces:
Un número divisible por 2 si termina en un cero o la ultima cifra es un número divisible por 2.
Entonces 5n = 5
Para n = 1
Un número divisible por 5, si termina en cero o si la ultima cifra es 5.
Aritmética 4to Secundaria
100
50; 75; 10065; son números divisibles por 5.
Luego: 57231 es divisible por 9 9
Entonces: 5n = 52 = 25
Para n = 2
Divisibilidad por 6 ( 6 ) Un número es divisible por 25 si las ultimas 2 cifras son ceros o si las 2 ultimas cifras forman un número divisible por 25. 575; 800; 525 son números divisibles por 25.
Para n = 3
Un número es divisible por 6 si lo es también por 2 y por 3 simultáneamente.
Entonces: 5n = 53 = 125.
° b
Un número es divisible por 125 si las 3 últimas cifras sean cero o si las 3 últimas cifras forman un divisible por 125.
Ejemplo: (1) 1068;
Ejemplos: 70000; 5250; 3000; 152375 son números divisibles por 125.
Entonces es divisible por 6.
101
2° 3°
Es divisible por 2 y es divisible por 3.
1068 = 6
Divisibilidad por 3 ( 3 )
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras de un número múltiplo de 3.
Divisibilidad por 7
Un número será divisible por 7, si e cumple con la siguiente regla:
Ejemplo: (1) 178407; entonces: 1 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 = 27 es múltiplo de 3 3
Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha e izquierda por los siguientes factores:
178407 es divisible por 3. 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; -1; -3; -2; ….. etc.
Divisibilidad por 9 ( 9 )
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras de un número múltiplo de 9.
Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7; el número dado será entonces divisible por 7. ¿Es 626934 por 7?
Ejemplo: (1) 57231; entonces: 5 + 7 + 2 + 3 + 1 = 18 es múltiplo de 9.
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS
Veamos:
6
2
6
9
3
4
x 2 3 1 2 3 1 12 6 6 18 9 4 7
01) Dar “n” si 4n267n es divisible entre 11. Rpta.:
02) Dar “n” si
nnn2n
es divisible entre 7.
Entonces: 626939 es divisible por 7 7
102
Rpta.: Divisibilidad por 11
03) Encontrar la suma de todos números de 3 cifras consecutivos que sean múltiplo de 7. Un número será divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar. (Empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11.
¿Es 9873226 divisible por 11?
Rpta.:
04) Hallar la suma de cifras del menor número de la forma abb que es múltiplo de 28. Rpta.:
Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de las cifras de las unidades: 6 + 2 + 7 + 9 = 24. . . . (1)
Sumamos luego las cifras de orden para a partir de la cifra de las decenas: 2 + 3 + 8 = 13…. (2)
Ahora restamos (1) – (2) = 24 – 13 = 11
9873226 es divisible por 11.
05) Si el número abcbbc es divisible entre 1125. Hallar el valor de “a” Rpta.:
06) ¿Cuántos números de 5 cifras divisibles entre 63; tiene sus 4 últimas cifras iguales? Rpta.:
07) ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras son divisibles entre 12? Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
08) Simplificar:
E 7 (7 1) (7 2) (7 12)
16) Sabiendo que: abc 25 y cba 11 Dar la suma de los posibles valores que toma “a” 09) Encuentre el menor entero positivo tal que: 8x
Rpta.:
+ 3 = 13 Rpta.:
10) Entre 50 y 300. ¿Cuántos números son divisibles entre 5?
17) Ubique el mayor número de la forma 54a75b que sea múltiplo de 56 y señale la suma de sus 3 menores cifras. Rpta.:
Rpta.:
11) Dar la suma de los valores que toma “n” si
18) ¿Cuántos valores podría tomar x en 72x9x2x ; para ser divisible por 26?
2n75n8 3
Rpta.: Rpta.:
12) Cuantos números divisibles entre 8?
de la forma xyn44 son
19) Simplificar:
E (6 2) (6 4) ( 6 6)
........ (6 40)
Rpta.: Rpta.:
13) Si 4aa32n 99 . Dar el valor de “a”
20) Encontrar la suma de los 36 primeros múltiplos positivos de 4 y 6.
Rpta.: 14) El número 8n843m es divisible entre 88. dar “n”
Rpta.:
21) El cuadrado de todo número no múltiplo de 3 es siempre:
Rpta.:
15) Si x12x71x 11 4 . Dar el valor de x
Rpta.:
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
103
PROBLEMAS
01) ¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles entre b?
06) ¿Qué valor toma “n” para que sea divisible entre 3 el siguiente numeral: 3a4aa ?
a) 14
b) 15
a) 2
c) 16
d) 13
b) cualquier impar
e) 16
c) impar menor que 5
104
d) Ningún valor 02) Del 1 al 400. ¿Cuántos números son divisibles entre 14? a) 27
b) 28
c) 29
d) 30
07) Dar “n” si
e) 26
03) Calcular (n – x) si el número nx1xn es divisible entre 44. a) 0
b) 3
c) 4
d) 5
e) 0
nnn2n
es divisible entre 7.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 5
08) Simplificar: E 236 4 (7 2) 6 (7 3) 5
e) 2
a) 7 3 04) Que resto se obtiene al dividir 43165324893 entre 9?
c) 7 5
b) 7 1
d) 7 2
e) 7 6 a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
09) ¿Qué valor puede tomar “n” en: 40 n 7 4
e) 6
05) Dar el valor de a si 4aa35 9 a) 3
b) 2
c) 1
d) 4
a) 45
b) 60
c) 42
d) 50
e) 49
e) 5
10) Si se cumple que: a7b92 208 hallar el valor de “a x b” Aritmética 4to Secundaria
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
11) ¿Cuántos números de la forma a09b son múltiplos de 91.
13) ¿Qué cifras remplazan a “x” a “y” para que el número 7x36y5 sea divisible por 1375? Indique Xy. a) Indeterminado
b) 1
c) 0
d) 8
e) 49 a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) Más de 5
12) Si a9nm5m es divisible entre 504. dar el valor de a x n. a) 21
b) 24
c) 16
d) 9
e) 18
14) ¿Cuántos números de la forma xyn44 son divisibles entre 8? a) 450
b) 800
c) 350
d) 400
e) 500
15) Hallar el residuo que se obtiene al dividir 66 142 entre 7. a) 4
b) 1
c) 6
d) 2
e) 0
Aritmética 4to Secundaria
105
NÚMEROS PRIMOS
Definición: Es aquel número entero y positivo que tiene sólo 2 divisores, que son el mismo número y la unidad.
Divisores de un Número:
Si un número compuesto N; se descompone en sus factores primos del siguiente modo; N A m B n Cr ; Donde A, B y C son números primos; se tiene que el número de Divisores (Primos y no Primos) de N esta dado por la siguiente formula:
Por ejemplo: Número
N de divisores : (m 1) (n 1) (r 1)
Divisores
5
1
5
Número Compuesto: es aquel número entero y positivo que tiene más de 2 divisores; por ejemplo: Número
Divisores
6
1, 2, 3, 6
106
Por ejemplo: Si 540 = 2 2 x 33 x 5
El # de divisores (Primos y no primos) de 540 es igual a:
Número Simple: Es aquel número entero y positivo que tiene uno o 2 divisores solamente.
Número
Divisores
1 P
1 1; p
(2 1) (3 1) (1 1) 24
Exponentes de los factores primos en la descomposición canónica.
sólo 1 divisor sólo 2 divisores
Conclusiones y Formulas Adicionales: Observaciones:
El único número primo, que es par es el número 2. Todo número primo mayor que 3 es múltiplo de
6 1 ó múltiplo de 6 1
La secuencia de los números primos es ilimitada.
Descomposición Canónica:
Sea el número N: tal que:
* N a α xbβ xc γ (Descomposición canónica)
I)
La descomposición canónica de un número es el producto de las potencias de los factores primos diferentes del número.
Cantidad de Divisores: DN (α 1) (β 1) ( γ 1)
II) Suma de Divisores:
Ejemplo: 120; 120
2
60
2
30
2 120
15
3
5
5
3 1 2 31 5
α1 1 a 1
a S N
b β1 1 c γ 1 1 b 1 c 1
# primos dist int os
1
Aritmética 4to Secundaria
III) Producto de Divisores:
PN
DN (N) 2
PROBLEMAS
01) Cuantos divisores primo tiene el número 588. Rpta.:
02) Cuántos divisores tiene 11025 107
Rpta.:
03) Si 6n.8 tiene 70 divisores. Hallar “n” Rpta.:
04) La suma de los 4 primeros números primos impares es: Rpta.:
05) ¿Cuántos divisores tiene 5000? Rpta.:
06) ¿Cuántos divisores tiene 90000? Rpta.:
07) ¿Cuántos divisores múltiplos de 9 9 tiene el numeral 18900? Rpta.:
08) ¿Cuántos divisores impares tiene 118800? Rpta.: 09) Si 15 10 n tiene 144 divisores. Dar “n” Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
10) Hallar el valor de “x”; sabiendo que: A = 14 30 x ; B = 21 15 x . Además: nd (A) + nd (b) = 36 Rpta.:
Rpta.:
16) Si: 4k2 4K tiene 92 divisores. Hallar el valor de “K”
11) Si el número N = 13 K + 2 – 13K tiene 75 divisores compuestos. Indicar el valor de “x”
Rpta.: 108
Rpta.:
17) ¿Cuántos divisores de 2400 son 6 ? 12) ¿Cuántos divisores primos tiene N = 1965600?
Rpta.:
18) ¿Cuántos divisores de 2400 son 10 ?
13) ¿Cuántos divisores de 113 400 términos en 1; 3; 7 o 9? Rpta.:
14) ¿Cuántos triángulos rectán-gulos existen que tengan como área 800 m2 y además sus catetos sean números enteros en metros?
Rpta.:
19) ¿Cuánto divisores tiene 5000? Rpta.:
20) ¿Cuál es la suma de los 4 primeros números impares?
Rpta.: 15) ¿Cuál es el exponente de 7 descomposición canónica de (300!)?
Rpta.:
en
la
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) ¿Cuántos divisores tiene 53208? a) 24
a) 220
b) 80
c) 120
d) 75
b) 16 e) 60
c) 18
d) 30
e) 15 07) Si 15 10 n . Tiene 144 divisores. Hallar “n” 02) ¿Cuántos divisores tiene 11025? a) 24
b) 27
c) 30
d) 15
a) 9
b) 8
c) 7
d) 10
e) 11
e) 28 08) ¿Cuántos 03) Si 6 n 8 tiene 70 divisores. Dar “n” a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
números de la forma: ( 4a 3) (3b) ( 4a 3) son primos absolutos siendo a y b dígitos? a) 3
b) 2
c) 1
d) 4
e) 5
e) 8
n
04) Si “ 5 625 ” tiene “6 n” divisores. Hallar “n”
09) Si P = 20 x 27 x… x 48 tiene 5n divisores ¿Cuántos divisores tiene 32 p?
a) 1
b) 2
a) 2 n
b) 8 n
c) 3
d) 4
c) 6n
d) 10n
e) 12n
e) 5
05) ¿Cuántos divisores tiene 588 sabiendo que estos divisores también debe ser primos?
10) Si a 2b 3 tiene 35 divisores ¿Cuántos divisores tiene a3. b4?
a) 6
b) 8
a) 60
b) 48
c) 3
d) 10
c) 79
d) 140
e) 4
e) 63
06) ¿Cuántos divisores tiene 90000? Aritmética 4to Secundaria
109
11) ¿Cuántos triángulos rectángulos existen que tengan como área 800 m2 y además sus catetos sean números enteros en metros?
13) ¿Cuántos divisores tiene 30 0000? a) 36
b) 48 d) 25
a) 8
b) 9
c) 81
c) 10
d) 11
e) 10
e) 12
12) ¿Cuántos divisores de 113400 terminan en 1; 3; 7 o 9?
14) Si el número N; N 13K 2 13K tiene 75 divisores compuestos. Indicara el valor de “K” a) 3
b) 4 d) 6
a) 10
b) 13
c) 5
c) 12
d) 15
e) 7
e) 17 15) ¿Cuántos divisores tiene 82 000? a) 35
b) 40
c) 38
d) 41
e) N.A
Aritmética 4to Secundaria
110
80 = 24 x 5
M.C.D y M. C. M
90 = 2 x 32 x 5
Máximo Común Divisor:
120 = 23 x 3 x 5 El M.C.D de dos o más números naturales es el mayor divisor común de los números dados.
m.c.m = Todos los factores primos comunes y no comunes mayor Exponentes.
MCD (30, 12) = 6
111
El MCD de 2 números primos entre si (PESI) es la unidad.
Otra forma: 80 90 120 2
Ejemplo: MCD (3,5) = 1
40
45
60
2
20
45
30
. .
Si a 2 o mas números se le multiplica o divide por otro, su MCD quedara multiplicando o dividido por dicho número.
Si a 2 o mas números se les divide entre su MCD, los cocientes obtenidos son PESI.
Si K = MCD (A, B) = d
A
K
B q B qK K
El M.C.M de 2 números de los cuales uno este contenido en otra manera exacta; entonces el M.C.M es el mayor de los números.
2 números PESI tienen como M.C.M el producto de ellos.
Si a 2 o mas números se les multiplica o divide por otro M.C.M quedara multiplicado o dividido por dicho número.
Si el M.C.M de 2 o más números se les divide entre estos; los cocientes obtenidos son PESI.
El producto del MCD por el MCM de 2 números es igual al producto de ellos.
p y q son
Mínimo Común Múltiplo:
El m.c.m de 2 o más números naturales es el menor Múltiplo Común de los números dados. Ejemplo: m.c. (12, 18) = 36
P A PK
PESI.
m.c. m = 720
MCD MCM A x B
K .
(m.c.m) (pk ) (qk ) m.c.m k (p q) m.c.m p xq m.c.d
Si descomponemos canónicamente: m.c.m (80, 80, 120) = 24 x 32x 5 = 720 Aritmética 4to Secundaria
CONCLUSIONES ACERCA DE M.C.D Y EL M.C.M M.C.D
Descomposición Simultánea:
Ejemplo: calcular el M.C.D y M.C.M de:
1. Es un divisor común de las cantidades. 2. Es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo: sean los números: 30 y 45.
a) 80; 120 y 200
Solución: Hallando el M.C.D
112
Hallando sus divisores: 80 40 20 10 2
30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 45 : 1; 3; 5; 9; 15; 45.
120 60 30 15 3
200 100 50 25 5
2 2 2 5
X
3
2 x 5 = 40
SON PESI
15 Divisores Comunes 1; 3; 5;
Máximo
M.C.D (30; 45) = 15.
Observación:
Los divisores comunes de un conjunto de cantidades son los divisores de su M.C.D.
En general:
M.C.D. (80; 120; 200) = 40
Cada número se puede expresar.
80 = 40 x 2 120 = 40 x 3 200 = 40 x 5
SON PESI
Observaciones:
Si A, B y C son PESI
M.C.D (A, B, C) = 1 Para los números A, B y C.
M.C.D. (A, B, C) = K
Si A B
CB
M.C.D (A, B, C) = B
Aritmética 4to Secundaria
M. C. M
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL M.C.D Y M.C.M
1. Es un múltiplo común de las cantidades 2. Es el menor de estos múltiplos comunes. Ejemplo: Sean 4 y 6
Veamos la descomposición simultánea:
Hallemos sus múltiplos.
Aplicación: 1 4 6
: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32;……….. : 6; 12; 18; 24; 30; 36;……
Múltiplos Comunes:
12, 24, 36, ......
113
Si sabemos que: M.C.D (2a; 3b) = 12
Entonces hallar el MCD de (4a; 6b)
Mínimo
Solución: M.C.M (4; 6) = 12 MCD (2a; 3b) = 12
Observaciones:
MCD (2a (2); 3b (2)) = 12 (2) Los múltiplos comunes de un conjunto de cantidades son los múltiplos de su
MCD (4a; 6b) = 24
Ojo: Si m.c. m (A, B, C) = m m. c. m (An, Bn, Cn) = m x n Si 2 números A y B son PESI. Entonces M.C.M [A; B] = A . B
Donde: n es Z+ Si los números A, B y C son PESI entonces:
M.C.M [A; B; C] = A . B . C
Aplicación: 2
Hallar el valor de A B ; si sabemos que el m. c. m. (42a; 6B) = 8064 y el M.C.D (77a; 11B) = 88
Aritmética 4to Secundaria
Entonces Resolvemos:
En general: Sean los números A, B y C
Solución: M.C.D (A, B, C) = K; luego Si; m. c. m (42A; 6B) = 8064 Entonces el, m. c. m (7A; B) = 1344
A= K x P B= K x q C= K x r
SON PESI
Y también notamos que:
114
En general: sean los números A, B, C donde: M. C. D (77A; 11B) = 88 m.c.m [A, B, C] = m; luego: Entonces:
M.C.D (7A; B) = 8
m= A x P m= B x q m = C x r
SON PESI
Ahora sabemos que:
Calcule el M. C. D y m. c .m de:
Por propiedad:
M.C.D(7 A; B) x m.c.m.(7 A; B) 7 A x B
a) 60; 96;
8 x 1344 7 A x B ......... (I)
Como nos piden: “A x B”
Entonces en (I) tendríamos:
1536 = A x B
Solución:
60 - 96 2 30 - 48 2 15 - 24 3 2 5-8 2 x 3 = 12
Luego: M. C. D (60; 96) = 12 m. c. m (60; 96) = 12 x 5 x 8
* Ahora veamos otro método para hallar el M.C.D y M.C.M
m.c.m. (60 ; 96) = .M.C.D. (60 ; 96) . 5 . 8
Aritmética 4to Secundaria
Además: 60 12
5
96 12 8 60 96 12 12 5 8
60 x 96 = M.C.D. . .m.c.m.
En general para 2 números A y B
Si MCD (A ; B) = k
A K P B K q
Entonces:
M.C.D (A, B, C) = 23 . 32 . 5 M.C.M. (A, B, C) = 2 5 . 36 . 53 . 72 .
11 En general: Dadas las canónicas de varios números.
descomposiciones
El M.C.D de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes elevados cada uno a su menor exponente.
El m.c.m. de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.
PESI
Aplicación (3): Si:
A = 45 . 60n
y
B = 60 . 45 n
m.c.m. (A ; B) = m
Entonces:
i. m = k . P . q ii. A . B = K . m OJO
Si M.C.D. (A , B, C) = K
Calcular el menor valor de n para que se cumpla que su m.c.m sea igual a 12 veces su M.C.D.
Solución:
Descomponemos canónicamente:
M.C.D (An, Bn; Cn) = K . n Donde: n Z+
A = 22n . 32 + n . 5n + 1 B = 22 . 32n + 1 . 5n + 1
DESCOMPOSICION CANÓNICA Ejemplo: Halle el M.C.D. y m.c.m de los números A, B y C donde:
A = 25 . 32 . 53 B = 23 . 34 . 52 . 72
Hallemos el m.c.m. y el M.C.D:
M.C.D.(A ; B) = 2 2 . 32 + n . 5n + 1 m.c.m. (A ; B) = 2 2n . 32n + 1 . 5n + 1
C = 24 . 36 . 5 . 11
Aritmética 4to Secundaria
115
*
Por Condición:
(4 . 3)(n – 1) = 12
m.c.m. (A ; B) = 12 . M.C.D. (A ; B)
(12)n – 1 = 121
2
2n .
3
2n + 1 .
5
n+1
= 12 2 .
2 .
3
2+n .
5
n+1
n – 1 = 1
n=2
22(n – 1) . 3(n – 1) = 12 (4)(n – 1) . 3(n – 1) = 12
El menor valor de n es 2.
116
Aritmética 4to Secundaria
DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES
TEOREMA:
Si:
En toda división entera inexacta el M.C.D. del dividiendo y el divisor es el M.C.D. del divisor y el residuo.
D
d
r
q
M.C.D. (D ; d) = M.C.D. (d ; r) 117
Ejemplo:
Calcular el MCD de 156 y 120
156 120 36
1
M.C.D. (156 ; 120) = M.C.D.(120 ; 36) 120 36 12 3
M.C.D. (120 ; 36) = M.C.D.(36 ; 12) 36 12 0
3
M.C.D. (36 ; 12) = 12 M.C.D.(156 ; 120) = 12 En general:
Sean los números A y B donde A > B
A
q1 q2
q3
q4 Cocientes
B
r 1
r 2
r 3
r 1
r 2
r 3
0 Re siduos
M.C.D. (A ; B) = r 3
M.C.D.
.
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS
01) El MCD de 2 números es 12 y su producto es 864. Dar el mayor de ellos
08) Los cocientes obtenidos en el proceso. Hallar el M.C.D de 2 números son respectivamente 2; 3; 1; 2 y 2.Hallar la suma de los números si su MCD es 24.
Rpta.: Rpta.: 02) El M.C.D. (4a; 2b) = 126. dar el M.C.D de (6a; 3b) Rpta.:
03) El M.C.M de 2 números primos entre si (PESI) es 240. ¿Cuántos pares de números cumplen tal condición? Rpta.:
118
09) Dar “n” si A = 45 x 60n. B = 60 MCD ( A,B )
x
45n; además:
1 m.c.m ( A,B ) 12
Rpta.:
10) Dos números son entre si 40 es 75; además su m.c.m. es 1080. dar la suma de los números. Rpta.:
04) Dar el m.c.m de 128 y 2010. Rpta.:
05) El número: “N” se divide entre 4; 6 y 15 da como restos 3,5 y 14, el menor valor de N ( Z +) es: Rpta.:
11) Calcular la suma de 2 números primos entre si, talque se diferencia en 7 y su MCM sea 330. Rpta.:
12) Se divide un terreno de 670m por 330 m en cuadrados cuyas longitudes de sus lados son enteras de metros.¿Cuantos cuadrados son? Sabiendo que el área de cada uno de ellas están comprendidos entre 50m 2 y 110 m 2.
06) Hallar el MCD de: 240, 3030, 4020 y 5010. Rpta.: Rpta.:
07) Al obtener el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes números consecutivos y como restos 210; 50; 10; 10. Dar la suma.
13) El m.cm. de 72 n. 750 y 4. 90n tiene 2944 divisores. Dar “n” Rpta.:
Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
14) Un número es 13 veces el otro número, además el MCM de ellos es 559. hallar, le MCD de estos números.
17) El MCM de 2 números a y b es 88. Además a 2 + b = 108. Hallar el valor de a + b. Rpta.:
Rpta.:
15) Cuales son los 2 números primos entre si; cuyo MCM es 330 y su diferencia es 7?
18) El MCM de A/4 y B/4 es 2a y MCD (2A; 2B) =m B. calcular A/C. Rpta.:
119
Rpta.:
16) Un número excede al otro en 3460 y al calcular el MCD de dichos números mediante el algoritmo de Euclide a los cocientes sucesivos fueran: a; 2; 3; 2 y 4. Si el MCD fue 20. hallar “a”
19) La suma de 2 números es 299 y la suma de su MCM y su MCD es 851. Calcular la diferencia entre los 2 números. Rpta.:
Rpta.: 20) La diferencia de 2 números es 36 y la diferencia de su MCM y su MCD es 36. ¿Cuál es el producto de dichos números?
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) El M.C.M de 2 números (A y B) es 210. Si el producto es 2730. ¿Cuántos valores toma A?
06) La suma de los cuadrados cuadrados de 2 números es 325 y uno de ellos es 3 veces su MCD. Hallar el mayor.
a) 5
b) 6
a) 8
b) 12
c) 4
d) 3
c) 10
d) 15
e) 7
e) 13
02) Dar el M.C.D de 308; 168 y 252 a) 14
b) 16
c) 18
d) 56
07) Dar números al multiplicarse se obtiene que su MCD es “C” y cuando se divide por dichos números es F. hallar el MCD.
F C
a)
e) 42
c) 03) Dar el m.c.m. de 24; 30; 18 y 90
120
F C
b) 3 F.C
d) F.C
e) F.C a) 180
b) 360
c) 720
d) 480
e) 1440
04) ¿Cuál es el número menor que no es divisible por 4; 6; 9; 11 y 12 que al dividirlo entre estos se obtiene restos iguales?
08) El producto y el cociente del MCM y MCD de 2 números es 2880 y 45. ¿Cuál es el número menor? a) 45
b) 44
c) 34
d) 46
e) 40 a) 215
b) 317
c) 397
d) 428
e) 459
05) Si se sabe que MCD de A y B es 7. Si A 2 + B2 = 245. ¿Cuánto vale el mayor?
09) Hallar la diferencia de 2 números sabiendo que su suma es 325 y su MCM es 100. a) 175
b) 275
c) 75
d) 25
e) 225 a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
10) Hallar la suma de 2 números enteros; sabiendo que están en relación de 3 a 7 y que el producto de su MCD por su m.c.m es 21504.
e) 17 Aritmética 4to Secundaria
13) Si MCD (4a; 2b) = 128, dar el MCD de 6a; 3b. a) 360
b) 320
c) 920
d) 160
e) 180
a) 132
b) 192
c) 144
d) 216
e) 408 11) Dar “n” si: A = 45 x 60 n. además: MCD ( A, B)
B = 60 x 45n
1 m.c.m( A, B) 2
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
a) 29
b) 119
c) 59
d) 83
e) 99
12) Hallar MCD de: 20 40; 3030; 4020; 5010. a) 2040
b) 3030
c) 4020
d) 5010
e) 1050
14) Si “N” se divide entre 4; 6 y 15 da como restos 32; 5 y 14, el menor valor de N (Z+) es:
15) Dar el m.c.m de 12 8 y 2010. a) 164
b) 324
c) 212
d) 49
e) 818
Aritmética 4to Secundaria
121
MEZCLA Y ALEACIÓN
P
Es la unión de 2 o más componentes o ingredientes; donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza.
B. A.
PRECIO MEDIO O PRECIO DE COSTO DE UNA MEZCLA.
Es el precio producido (ponderado) por una unidad de mezcla resultante. El precio, es el precio costo; es decir no considera ganancias o perdidas.
P1C1 P2 C 2 ........ Pn Cn C1 C 2 ....... C n
Relación de Mezcla Mediante la Regla del Aspa En que relación es necesaria mezclar arroz de $. 1,80 el Kg. y arroz de $/. 1,70 el Kg.; para obtener un arroz cuyo precio medio sea $/. 1,76.
Solución:
Pesos Precios Unitarios
2 1
Precio Medio
3
Total
X Kg.
$ / .1,80
1,80 x.
Y Kg.
$ / .1,70
1,70 y.
Pm 1,76
Pm 1,76
Precios por Unidad de Mezcla:
C1, C2,………, Cn
1,76 - 1,70 3 0,06
1,80 1,76
y Kg
x y 3 2
P1, P2,……, PN
Cantidades en (g, Kg, etc)
xy
Forma Práctica:
X Kg
1,80 x 1,70y
1,70
0,04 2 1,80 - 1,76
Costo por ingrediente: * P1 C1, P2 C2;……; PnCn
Aritmética 4to Secundaria
122
MEZCLAS ALCOHOLICAS
Ejemplo:
Son mezclas de alcohol puro y agua destilada.
A 4 litros de alcohol de 81° se le agrega 1 Litro de alcohol puro y cierta cantidad de H 2O. Si se obtuvo alcohol de 53°. ¿Qué cantidad de H 2O contiene el alcohol final?
A.
Componentes Grados Productos
Grado de Una Mezcla Alcohólica (porcentaje de Pureza)
Es la relación expresada en porcentaje (%) que existe entre el volumen del alcohol puro y el volumen de la mezcla.
Grado
4 1
81 100
324 100
x
0
0
5x
53
424
53
Valcohol 100% VTotal
18,5 Grado 100 % 74 18,5 6,5
324 100 0 x3 5x
De acuerdo con este resultado concluimos que la mezcla final de alcohol contiene 47% de H2O; los mismos que equivalen a 3,76 litros.
Ojo: 74 74% de pureza.
significa que
V alcohol 74%del Vtota V agua 26%del Vtotal
100°
(Alcohol puro)
0 G 100
6°
0°
Nota: Los problemas de mezclas alcohólicas se resuelven usando los mismos procedimientos que en mezclas; considerando ahora a los grados como a los precios. Ahora veamos un ejemplo de mezclas:
Aritmética 4to Secundaria
123
MEZCLA Y ALEACIÓN
Número de Kilates de una Aleación de Oro
Aleación:
Es una raíz homogénea de metales; obtenida por medio de un proceso de FUSION (fundición). En aritmética se trabaja a nivel de joyería
El número de Kilates de una aleación de oro; indica cuantas partes de la aleación (Dividida en 24 partes iguales) son de oro puro.
Ejemplo: Metales Finos ; Oro; Plata ; Platino ;...... Componente s : Metales de Liga : Cobre ; Niquel ;.........
Oro de Kilates
Ley
Ley de una Aleación:
Es la relación que existe entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación.
18 24
3 4
3
16 24
1 4
Cobre
:
124
0,75
Ejemplo: Oro Puro : 15 5 Oro de 15 Kilates 3 1 : Cobre 18 6
Ejemplo:
Se funde 14,6g. de plata con 10,4g. de cobre la ley de la aleación, cual será:
Ley
Oro Puro : 18
14,6 14,26 0,584 (584 milesimas ) 14,6 10,4 25
Plata Pura 584 / 100 de Significa Cobre 416 / 1000 de
PTOTAL PTOTAL
Escala de la Ley:
Metal frio Puro Metal Liga Puro
Ley
15 5 0,625 24 8
Escala del # de Kilates:
Kilates
Kilates
24 Kilates
1,00
18 Kilates
0,75
12 Kilates
0,50
0 Kilates
0,00
1
0
LEY
PFINO PTOTAL
Ley
N Kilates 24
Aritmética 4to Secundaria
REGLA DE MEZCLA
Sea “Pm” precio de costo por kilogramo de la mezcla. Calculando en la mezcla
* RESUMEN: Cuando hemos definido mezcla hemos dado por entender que es la reunión de 2 o más sustancias (ingredientes) homogéneos en cantidades arbitrarias; conservando cada una de ellas su propia naturaleza.
o
Costo total
= =
5(30) + 2(20) S/. 190
o
Peso total
=
50kg 125
Mezcla de arroz peruano y
Ejemplo: brasileño.
Precio por kilogramo da la mezcla.
Mezcla de 4 litros de alcohol y 2 litros e agua. Pm =
190 = S/. 3,8 el kilogramo 50
Aplicación: Precio de venta:
Se desea mezclar 2 clases de maní de diferentes calidades. 30Kg de S/. 5 el kilogramo con 20kg de S/. 2 el kilogramo. Se desea calcular:
Pv = 3,8 + 50% (3,8) = 3,8 + 1,9 Pv = S/. 5,7 el kilogramo.
El precio de costo de un kilogramo de la mezcla. A que precio se debe vender el kilogramo de la mezcla para ganar un 50% del costo. Resolución:
Concluimos:
5 30 2 20
Pm =
Ahora; los ingredientes:
30 20
INGREDIENTES
= S/. 3,8
INGREDIENTES
30kg
20kg
S/. 5.00 el kg
S/. 2.00 el kg
30kg
20kg
S/. 5.00 el kg
S/. 2.00 el kg
50kg
50kg
MEZCLA
MEZCLA
Sea “Pm” precio
por kilogramo de la mezcla
S/. 3,8 el kg
Pm
Aritmética 4to Secundaria
El primer ingrediente disminuye en calidad de S/. 5 a S/. 3,8 en (5 – 3, B = 1,2); S/. 1,2 por cada kilogramo; en 30 kilogramos la perdida es (1,2 x 30) = 36 El segundo ingrediente aumenta de calidad de S/. 2 a S/. 3,8 en ((3,8 – 2) = 1,8). S/. 1,8 por cada kilogramo; en 20 kilogramos la ganancia es (1,8 x 20 = 36). S/. 36 Lo que pierde un ingrediente es equivalente a lo que gana otro ingrediente, es decir:
Se tiene 2 recipientes A y B en las que se ha mezclado agua y alcohol. En A hay 60 litros ( l) de agua y 20 litros (l) de alcohol; en B hay 10 litros ( l) de alcohol y 10 litros ( l) de agua; calcular que tanto por ciento de alcohol hay en cada uno de los recipientes.
Solución:
A
1,2 30 1,8 20
126
36 36
Perdida Ganancia aparente aparente S / . 2 S / . 3,8 S / . 5
60 l
Pr ecio menor
Pr ecio medio
Pr ecio mayor
20 l
Agua Alcohol
VT = 80 litros Ahora veamos algunas conclusiones: Pr ecio Pr ecio Pm menor mayor
20 litros de los 80; son alcohol puro
% Alcohol
puro
Comparando los precios unitarios con el precio medio, se observa. Ganancia Perdida aparente aparente
20 100 % 25% 80
Es decir su grado de pureza es de 25° B
Pr ecio Pr ecio medio cos to 10 l
* Ahora veamos:
10 l
Agua Alcohol
VT = 20 litros
MEZCLA ALCOHÓLICA
Es un caso particular; donde los ingredientes principales son el agua y el alcohol.
10l de los 20l son alcohol puro.
% Alcohol puro
10 100 % 50% 20
Aplicación:
Aritmética 4to Secundaria
Es decir su grado de pureza es de 50° Es decir:
En general: Para una mezcla alcohólica.
Grado de pureza
Volumen de Alcohol Puro 100 Volumen de la Mezcla
Alcohol puro
gm
25 80 50 20 80 20
30
El grado medio (gm) de una mezcla se calcula en forma análoga que el precio medio considerando los grados de pureza por los precios. 127
100° A
Agua pura
0° B 80l
En la aplicación anterior:
20l
A 50°
25°
B 80 l 20 l 100l
gB = 50°
g A = 25°
Al mezclarlos obtendremos
gm = 30º 100 l
Se cumple; lo que aumenta en A es igual a la perdida en B. gm
gm: Grado de la mezcla
5%(80) = 20%(20) 400% = 400%
20 10 100 30 80 20
gm
Ganancia aparente
Perdida aparente
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS
01) A 4 litros de alcohol 81° se le agrega 1 litro de alcohol puro y cierta cantidad de agua. Si se obtuvo alcohol de 53° ¿Qué cantidad de agua tiene el alcohol final? Rpta.:
02) ¿Cuantos litros de alcohol puro se debe agregar a 28 litros de alcohol de 65° para obtener el alcohol de 80°? Rpta.:
03) ¿En que relación se deben mezclar 2 sustancias cuyas unidades son 1,8 y 1,2 para obtener una sustancia de 1,6 de densidad? Rpta.:
04) Se mezcla 3 litros de ácido de 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega una concentración al 50% ¿Cuántos litros del diluyente se empleo? Rpta.:
05) Al fundir 20gr. de oro de 18K y 20gr. de oro de 800 milésimas; 30g al 6% de oro y 30g de cobre. ¿De cuantos Kilates es la nueva aleación? Rpta.: 06) Se tieneda2 barra de oro: En la 1erael 80%era es oro puro y en la 2 cuyo peso es el doble de la 1 el 75% es oro puro. ¿Cuál es la ley que resulta de la fusión? Rpta.: 07) A 18 gramos de oro de 17K se eleva su ley hasta 21 K agregando de oro puro. ¿Qué peso de cobre será necesario alear con este nuevo lingote para volverlo a su ley original? Rpta.: 08) A como sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino S/. 0,84 con 8 litros S/. 0,90 y 12 litros de S/. 1,20. Rpta.: 09) Para obtener vino de S/. 0,80 el litro. ¿En que proporción directa serán necesarias mezclar vinos de S/. 0,90 y S/. 0,50 el litro? Rpta.:
10) El latón se compone de 33 partes de zinc y 67 de cobre es 850 Kg. de latón. ¿Qué diferencia hay entre los pesos de cobre y el zinc? Rpta.:
11) Se mezclan 20Kg. de café de S/. 12 el Kg. con 30Kg. de café de S/. 10 el Kg. ¿Cuál es el precio unitario de la mezcla? Rpta.:
12) Se ha mezclado 200 litros de vino a 5 soles el litro con 30 litros de vino de precio mayor, obteniéndose una mezcla con precio medio de 6,50 soles el litro. ¿Cuál es el costo, en soles por litro del mencionado vino de mayor Precio? Rpta.: 13) ¿Cual es la pureza de una mezcla alcohólica que contiene 24 litros de alcohol puro y 8 litros de agua? Rpta.:
14) Se mezclan en un recipiente de 5 litros de capacidad 2 metales líquidos A y B que están en relación de 2 a 3. Se retiran 2 litros de la mezcla, es cuando se desea saber cuantos litros del metal A quedan en el recipiente. Rpta.:
15) Se tienen 16 gramos de una aleación de oro de ab Kilates; si se le agrega 48 gramos de oro puro se convierte en una aleación de ba Kilates. Hallar (a + b). Rpta.:
16) Las leyes de 3 lingotes de plata son: 0,900; 0, 800 y 0,720 milésimos. Si se fundieran el primero y el segundo se obtendría un lingote de 0,840 de ley y se fundiera el segundo y el tercero se obtendría un lingote de 0,770 de ley. Determinar el peso del segundo lingote; si se sabe que la suma de los peso de los tres lingotes es 10,2 Kilogramos. Rpta.:
17) De un recipiente lleno de alcohol se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua; luego se Aritmética 4to Secundaria
128
extrae la quinta parte y se completa con agua. ¿Cuantos litros de alcohol de 95° se necesitaran agregar a 20 litros de esta ultima mezcla para obtener alcohol de 90°? Rpta.:
18) Se tienen 10 litros de alcohol a 40°, el 20% de esta mezcla se echa a un recipiente que contiene cierta cantidad de agua; obteniéndose alcohol de 5°. ¿Cuántos litros de agua contenía este recipiente? Rpta.:
19) Se compro damajuanas que contenían 5 números consecutivos de litros de vino; con precios de S/. 400, S/. 300; S/. 200; S/.300; respectivamente. Al mezclar los contenidos se vendió el litro ganando Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Se quiere obtener 100 litros de alcohol de 74°; mezclando 30 litros de alcohol de 80°; con cantidades convenientes de alcohol puro y agua. ¿Cuál es la diferencia de las cantidades a mezclarse de alcohol puro y agua? a) 10 Lt
b) 20 Lt.
c) 30 Lt.
D) 50 Lt.
e) 25 Lt.
129
02) Se tienen 2 mezclas alcohólicas; una de 40 litros al 80% y otra de 60litros al 75%. ¿Cuántos litros se deben intercambiar para que ambas tengan el mismo porcentaje de alcohol? a) 16
b) 20
c) 32
d) 40
e) 24 20) Se mezclan: vino de S/. 11,700 y S/. 22,300 el hectolitro y se vende en S/. 200.00 el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase entrara en una mezcla de 212 litros? Rpta.:
03) Se tiene una mezcla de 4 ingredientes (cuyos precios unitarios están en progresión geométrica de razón 2) en cantidades I.P a dichos precios. Si el mas caro de los ingredientes cuesta S/. 12 por Kilogramo. ¿Cuánto costara el kilogramo de dicha mezcla? a) S/. 3,2
b) S/. 3,6
c) S/. 4,2
d) S/. 4,6
e) S/. 4,8 04) Se tomo 4 clases de arroz; de precios: S/. 1,80; S/. 1,79; S/. 1,82 y S/. 1,83. hallar la diferencia de Kilogramos que se tomo de la cuarta y segunda calidad. Si la diferencia de la primera y tercera calidad es 60 Kilogramos; además el precio de la mezcla es S/. 1,81. a) 30
b) 120
c) 60
d) 15
e) 40
Aritmética 4to Secundaria
05) Paco tiene una botella con alcohol de 40° y para obtener alcohol de 54° mezcla de todo el contenido con el 25% de la botella de Ricky. Si la botella de Paco y Ricky tienen volúmenes en la relación de 3 a 8 respectivamente. Calcular la pureza de alcohol de la botella de Ricky. a) 60° b) 75° c) 80°
d) 100°
06) ¿Cuál debería ser la pureza de alcohol que se debe añadir a 80 litros de alcohol de 96° de pureza; para obtener un hectolitro de 90° de pureza? a) 66°
b) 65°
c) 64°
d) 60°
e) 70° 07) Se tiene alcohol de 50° y 80° de pureza. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe añadir a una mezcla de 20 litros del primero con 30 litros del segundo; para contener alcohol de 75° de pureza? a) 15 lts.
b) 13 lts
c) 14 lts
d) 16 lts.
e) 20 lts.
08) Se mezclan alcohol de 48° y agua en la proporción de 5, 3 y “N”. Hallar “N” si la mezcla es del mismo grado que uno de los ingredientes. a) 3 b) 4
d) 25 Kg.
11) Se tiene un recipiente que contiene 60 litros de alcohol de 60°, si se retiran 20 litros que son reemplazados por agua. ¿Cuántos litros de la nueva mezcla deben reemplazarse ahora por agua, para que resulte alcohol de 36°?
a) 7 lts
b) 5 lts
c) 8 lts
d) 9 lts
e) 6 lts
12) Si se mezclan “N” kilos de arroz de S/. (N – 1) el kilo; con “N” kilos de arroz de S/. (N + 1) el kilo; se obtienen entonces una mezcla cuyo precio es S/. 60. Si se mezcla el doble de la cantidad del primer arroz con el triple de la cantidad inicial del segundo arroz. ¿Cuál será el precio de un kilo de dicha mezcla? a) S/. 60,8
b) S/. 60,5
c) S/. 60,2
d) S/. 60.
e) S/. 70.
d) 2
e) 7 09) Se tiene 150 litros de una mezcla alcohólica en la que el volumen de alcohol puro es el 150% del volumen de agua. ¿Cuántos litros de agua debe agregarse a esta mezcla para obtener alcohol al 40%? a) 75 lts b) 80 lts c) 60 lts
c) 20 Kg. e) 35 Kg.
e) 90°
c) 5
10) ¿Cuántos kilogramos de una amalgama al 60% deben fundirse con “x” kilogramos de una amalgama al 90% para obtener una amalgama que contenga 48 kilogramos de mercurio y 12 kilogramos de cobre? a) 30 Kg. b) 90 Kg.
d) 65 lts
13) Las leyes y los pesos de 4 lingotes son proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4. Si al mezclar los 4 se obtienen una aleación de 0,480 milésimas. Hallar la ley del segundo. a) 0,620
b) 0,320
c) 0,580
d) 0,120
e) 0,450
e) 76 lts.
Aritmética 4to Secundaria
130
14) Los precios de los ingredientes por litro de varias sustancias son: S/. 100, S/. 200, S/. 300,… si el litro de mezcla cuesta S/. 1700; tomándose de cada uno de los ingredientes como: 1, 2, 3,….. ¿Cómo cuanto se tomo de la última sustancia?
15) Mezclando vino de S/. 51000 y S/. 67000 el hectolitro; se han obtenido 1648 litros, que se han vendido por S/. 791040 perdiendo en la venta el 20%. ¿Cuántos litros entraron de cada clase? Dar la diferencia.
a) 25
b) 30
a) 206 lts
b) 300 lts
c) 26
d) 27
c) 0 lts
d) 820 lts
e) 40
e) 520 lts.
131
Aritmética 4to Secundaria
TANTO POR CUANTO Donde:
X = Tanto por ciento. N = Unidad referencial.
Tanto Por Cuanto:
P = Porcentaje. El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b.
Ejemplos: 132
x a N b
a X (N) b
1) El 50% de S/. 60 es:
50 60 30 100
2) El 80% de 25m es = 20m Ejemplos:
3) El 10% de 100 = 10 Ojo: Siempre se cumple que:
Si tenemos:
1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10
3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7
Ahora si le sacamos o lo aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad:
a por b de
N
a b
1º) N = 100%. N
2º) a % N b % N = ( a b) % N
3º) a % del b % de N es:
a b c N x x 100 100 100
4º) a % del b % de N es:
axb
(N)
100
%N
Ejemplo: 20% del 40% de N.
Tanto Por ciento:
Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera.
Es igual a:
Formula General:
X%N=P
20 x 40 %N 8%N 100
Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera como el (100%)
Aritmética 4to Secundaria
PROBLEMAS
01) ¿Cuál es el 40% de 840 soles?
09) Un futbolista dispara 17 penales; acertando todos ellos. ¿Cuánto debe tirar luego; fallando, para tener una eficiencia del 85%? Rpta.:
Rpta.:
02) Que porcentaje es 156 de 650? Rpta.:
03) Si a una cantidad le sacamos su 45% nos queda 378. hallar ducha cantidad.
10) ¿Cuánto de agua debe añadirse a 10Lts de alcohol que es 95% puro; para obtener una solución que sea 50% puro? Rpta.:
133
11) En una aleación el 30% es cobre. ¿Cuántas libras de cobre debe agregarse a 40 libras de esta aleación para que resulte una aleación con 60% de cobre?
Rpta.: Rpta.: 04) Juan tiene S/. 84, 000 y Pedro 15% menos de lo que tiene Juan; ¿Cuánto tiene Pedro? Rpta.:
05) Que porcentaje es 696 de 480? Rpta.:
06) El sueldo de Carmen es de 180, 000 soles; pero Patricia recibe un sueldo 24% mayor que el de Carmen. ¿Cuál es el sueldo de Patricia? Rpta.:
07) Una herencia se reparte entre 2 hermana si el mayor ha recibido 2´800 soles; lo cual representa el 70% de la herencia. ¿Cuánto ha recibido el menor de los hermanos? Rpta.: 08) Una persona recibe la cantidad de 1750 soles al ganar un premio que ha sido descontado en 12,5%. ¿Cuál es la suma de dicho premio?
12) Que precio debe fijarse a un artículo que costo, 4,000 soles; sabiendo que se va hacer una rebaja del 20% de dicho precio y aun así ganar el 20% del costo? Rpta.: 13) En una oficina hay 156 personas, de las cuales ¼ son mujeres y los demás hombres. Si se desea que el 40% del personal sean mujeres. ¿Cuántas se tendrían que contratar? Rpta.:
14) Se vende una mercadería en 10K soles ganando el m % de su costo ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadería se hubiese vendido en 11K soles? Rpta.:
15) Para Construir un ferrocarril sobre una montaña; desde el pie hasta la cima; se necesita hacerlo subir 600 mts. La pendiente se puede reducir haciendo que el ferrocarril de vueltas a la montaña. ¿En cuanto aumentara el trayecto a recorrer; si se quiere reducir la pendiente de 3% a 2%?
Rpta.: Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
16) Para construir un edificio se compraron ladrillos a 1,200 soles el millar se utilizaron por diversos causas 3,600 ladrillos, equivalentes al 0,1% del total comprado. ¿Cuánto se invirtió en la compra? Rpta.: 17) En un examen de admisión en el que se requiere aprobar los cuatro exámenes programados solo el 12% de los postulantes podrían ser admitidos; si solo se adquiera aprobar 3 de los exámenes; el número de los postulantes a admitir aumentaría en 2/3 del número anterior y totalizarían así 800. ¿Cuántos son los postulantes? Rpta.: 18) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 30%. ¿En que porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en el 9%? Rpta.:
19) Si la longitud del radio de un círculo aumento en 40%. ¿En que porcentaje aumenta la medida del área de su superficie? Rpta.:
PROBLEMAS 01) De que cantidad es 165%? a) 520
b) 460
c) 300
d) 120
e) 600
02) Oscar prepara una mezcla en la cual por cada 3 vasos de licor; hay 2 de gaseosa. Si prepara 2 litros de mezcla. ¿Qué porcentaje será el licor? a) 70%
b) 38%
c) 61%
d) 60%
e) 40%
03) Una mañana calurosa; iba tarzán saltando de liana en liana; cuando observa en un árbol; a un grupo de monos a los cuales les arroja 50 pedradas. Si acierta 20 de los tiros: Calcular: ¿Qué porcentaje de los tiros acertó? a) 35%
b) 80%
c) 40%
d) 42%
e) 45%
20) En que porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%? Rpta.:
04) Del problema anterior: ¿Qué porcentaje de los tiros que acierta no acierta? a) 30%
b) 25%
c) 20%
d) 18%
e) 35% 05) El 15% de 32; es el 12% de que número? a) 40
b) 30
c) 20
d) 25
e) 35
Aritmética 4to Secundaria
134
06) Hallar el 40% del 60% de una cantidad N. a) 25% N
b) 29% N
c) 23% N
d) 28% N
e) 30% N
11) Si el área de un cuadrado ha aumentado en un 300 por ciento, diga ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento para el lado del cuadrado? a) 120%
b) 11%
c) 110%
d) 100%
e) 90% 07) El número total de artículos aumenta en su 20% y el precio disminuye en su 20%; luego el precio total:
12) La diferencia entre los 7/160 y el 44 por mil de una suma de dinero viene a ser su:
a) Aumente en 4% b) Disminuye en su 4%
a) 0,4%
b) 0,050%
c) Aumenta en su 24%
c) 0,025%
d) 0,04%
d) No aumenta, ni disminuye
e) 0,30%
e) N.A
08) Si la base de un triangulo aumenta en 30% y su altura en 50%. ¿En que porcentaje aumentara el área? a) 95%
b) 100%
c) 50%
d) 90%
13) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 20% en que porcentaje debe aumentar el ancho para que el área aumente en un 60 por ciento? a) 30%
b) 33,3%
c) 45%
d) 33%
e) 40%
e) 80% 14) Al 75% de un número se divide entre 4 y se multiplica por 3. 09) Si x aumenta en 15% ¿En cuanto aumentara x2 ? a) 30% b) 30,50% c) 32,5%
d) 31,25%
a) 105
b) 108
c) 106
d) 120
e) 100
e) 32,25%
10) Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28 por ciento de lo que quedaría; perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo?
15) En una granja, el 30% de gallinas es el 20% del número de conejos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de gallinas? a) 50
b) 60
c) 80
d) 90
a) 1,600 soles b) 1,500 soles c) 1,000 soles
d) 2,000 soles e) N.A.
e) N.A. Aritmética 4to Secundaria
135
ASUNTOS COMERCIALES Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes:
2. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera a otra unidad. Descuento Sucesivos:
Pv Precio de venta G Ganancia Pc Precio de costo P Perdida GB Ganancia Bruta GN Ganancia Neta
De = 100% - (100 – D1)% de (100 – D2)% De (100 – D3) % de…………. ……………… (100 – Dn) %
Obs.: Precio fijado;
PL = PF = PM
Precio de lista,
Precio de mercado.
Obs.: Nótese que el orden en que se efectúan los descuentos no afecta el descuento total.
Dentro del problema de los descuentos sucesivos; es muy común. El trabajar con 2 descuentos para ello: El descuento equivalente (DE) a 2 descuentos dados D1 y D2 es:
De = 400% - (100 – D1) de (100 – D2) %
De = D1 + D2 – D1 de D2
Ahora veamos las distintos casos que ocurren en una transacción comercial:
1. Cuando Existe Ganancia Pv Pc Ganancia Pv Pc GB
2. Cuando se Originan Gastos GB GN Gastos Adicionale s
3. Cuando Existen Perdida
Aumentos Sucesivos:
A = A1 + A2 + A1 de A2
Ejemplo: Pv Pc Perdida
Importante: 1. Todo porcentaje de ganancia o perdida que no refiera a la unidad de venta o alguna otra unidad; se asumirá que es sobre el precio de costo.
1er aumento 10%; segundo descuento: 20%
A = 10% + 20% + 10% de 20% A = 10% + 20% + 2% = 32%
Aritmética 4to Secundaria
136
PROBLEMAS 01) ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costo 4,000 soles, sabiendo que se va a hacer una rebaja de 20% del costo? Rpta.:
02) Se vende una mercadería en 10K soles ganando el m% de su costo. ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadería se hubieses vendido en 11 K soles? Rpta.:
03) Una persona pregunta en una tienda que descuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto y le responden que 20%; va a otra tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%, ahorrándose así 35 soles. ¿Cuánto costaba el repuesto? Rpta.:
04) El precio de un articulo es de S/. 15 en una fabrica un comerciante adquiere 5 de tales artículos por lo que hacen el 20% de descuento. Luego lo vende obteniendo por ello S/. 80. ¿Qué porcentaje del precio de venta se está ganando? Rpta.:
05) Si la razón aritmética del 20% de “A” y el 40% de “B” es 20; además la razón geométrica del 40% de “A” y el 60% de “B” es 3/2. Hallar ( A + B) Rpta.:
09) Si el 20% de “A” y el 25% de “B” y el 50% de “C” son perpendiculares a 3; 4 y 5. ¿Qué porcentaje de (A + C) es B? Rpta.:
10) Se requiere rebajar al 5% la concentración de 20 litros de solución define que esta al 7,5% para lo cual se añade H2O (agua) ¿Cuánto de agua hay que agregar? Rpta.:
11) Una tela a lavarse e encoge 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 metros de ancho ¿Qué longitud debe comprarse si e necesita 36 m2? Rpta.:
12) Un articulo al venderse se le rebaja el 10% luego se le recarga el 10% pero se le vuelve a rebajar el 10% pagando así 89100. ¿Cuál era el precio del artículo? Rpta.:
13) Al vender un objeto ganando el 30 % del precio de costo se gana S/. 600 mas que si se vende ganando el 20% de del precio de venta. ¿Hallar el precio de costo si la suma de este con el precio de venta fue S/. 5000? Rpta.:
06) Si un comerciante vende los 3/5 de su mercadería ganando el 20% y en el resto pierde el 25%. ¿Gana o pierde? ¿Qué porcentaje del costo? Rpta.:
14) Lo que tiene “A” es lo que tiene a “B” como 7 es a 3; si el 20% de “A” se pasa a “B” y luego el 25% del nuevo valor de “B” se pasa a “A”. Si al final “A” tiene 2010. ¿Cuánto tenia al principio? Rpta.:
07) Cuando se añade un litro de agua a una mezcla tiene 20% de ácido; cuando se añade un litro de ácido a la nueva mezcla; el resultado tiene 33 1/3% de ácido. El porcentaje de ácido en la mezcla original es: Rpta.:
15) Si el 4 por 10 del 10% de “a” por 1000 de 50 es igual el 30% de “b”. hallar el “b” por “a” de 24000. Rpta.:
08) Sofía le dice a Mario “Entre tu dinero y el mío hacemos S/. 1125; pero si hubiéramos recibido 80% menos; tendrías lo que yo tendría si recibiera 20% menos. ¿Cuánto tiene Mario? Rpta.:
16) El largo de un rectángulo aumenta ¿en un 20%. ¿En que porcentaje debe disminuir su ancho, para que su área no varié? Rpta.:
17) Al precio de costo de un objeto se le recarga el 25% ¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que
Aritmética 4to Secundaria
137
se puede hacer sobre el precio de venta para no perder? Rpta.:
a) S/. 12
b) 20
c) 17
d) 10
e) 15 18) Un refrigerador se realiza en 250,000 menos dos descuentos sucesivos de 20 y 15 por ciento, entonces el precio de venta es: Rpta.: 19) Un comerciante obtiene 25% de ganancia sobre las ventas. ¿Calcular el porcentaje de ganancia sobre los costos? Rpta.:
05) Una persona compro cuadernos a 8 soles c/u y lo vendió obteniendo una utilidad neta de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto el 15% de la ganancia bruta y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro? a) 35
b) 30
c) 38
d) 40
138
e) 42 20) Si el precio de un artículo disminuye en un 40% y en demanda aumenta en un 80%. ¿En que porcentaje aumenta la recaudación? Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Un articulo que costo S/. 2268 se vendió ganando el 30% del precio de venta. ¿Cuánto se gano? a) S/. 324
b) S/. 648
c) S/. 972
d) S/. 840
e) S/. 500
02) Un articulo costo S/. 1800, se vende perdiendo el 20% del precio de venta. ¿Cuánto se perdió?
06) Para fijar el precio de venta de un artículo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? a) 33%
b) 38%
c) 42%
d) 50%
e) 44%
07) Se vendió un televisor ganando el 20% del precio de costo; pero si se hubiera vendido el 20% del precio de venta; la ganancia hubiera sido S/. 12 más. ¿En cuanto se vendió el televisor? a) 298
b) 315 d) 288
a) S/. 300
b) S/. 280
c) 256
c) S/. 180
d) S/. 240
e) 302
e) S/. 210 08) Un comerciante compra libros a S/. 32 cada una. 03) Se vende un articulo en S/. 550 ganando el 10% del costo más el 20% de la venta. Indique, el precio de costo. a) S/. 420
b) 400
c) 480
d) 1640
e) 520
Anuncia su venta a S/. ab de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes sobre el precio real de venta. Determinar ab ; dando como respuesta a + b. a) 15
b) 10
c) 6
d) 8
e) 5 04) La venta de un articulo produce cierto gasto; se vende el articulo en S/. 330 en el cual se gana el 10% del costo; siendo además la ganancia neta S/. 20 ¿Cuántos soles ascendió el gasto?
09) El precio de un artículo se aumenta en un tanto por 80 y luego se rebaja al mismo tanto pero por 90 y se tienen así el precio original. Hallar dicho tanto.
Aritmética 4to Secundaria
a) 10
b) 8
c) 34 y 50
c) 12
d) 20
e) 30 y 46
d) 32 y 40
e) 45
10) Un comerciante compra una mercadería por S/. 400; vende el 20% de esta mercadería con una perdida del 10%. ¿Qué tanto por ciento debe ganar en el resto de la mercadería; para recuperar lo perdido y a aun ganar el 30% de toda la mercadería.
13) ¿En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de un artículo para fijar su precio al público de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo? a) 166,6ˆ %
b) 156,8ˆ % d) 143,6ˆ %
a) 20%
b) 15%
c) 188,8ˆ %
c) 30%
d) 35%
e) 169,6ˆ %
139
e) 40%
11) Se ha vendido 30 lavadoras ganando el 20% de su costo con el importe de ello se compraron cocinas a gas; de las cuales el 20% se vendió ganando el 30% de su costo; el 60% se vendió a su precio. De costo y el resto perdiendo el 10% con lo cual se gano 2160 soles. ¿Cuánto costo cada lavadora? a) S/. 1500
b) 1800
c) 1200
d) 900
e) 1000
12) Por cada 2 artículos “T” se comprar 3 artículos “R” y sus costos respectivos están en la misma razón de 1 a 2. Se decide venderlos a todos por los primeros con ganancia del 30% y los otros con un 40% obteniendo un total de 3520. ¿Cuánto compro de cada uno; si el precio de venta del más barato es 26 soles?
14) Se fije el precio de un articulo aumentado en K% de su precio de costo si luego el hace un descuento equivalente el 25% de su precio de costo se observa que se ganan el 20% de su precio de venta ¿Cuál es el valor de “K”? a) 50
b) 28
c) 70
d) 60
e) 32
15) Un comerciante comprar al contado un articulo con un descuento del 20% del precio de lista ¿Qué porcentaje del precio fijado en lista representa el precio de venta del comerciante; si el debe ganara el 20% del precio de compra? a) 95%
b) 85%
c) 80%
d) 96%
e) 94% a) 36 y 52
b) 26 y 90
Aritmética 4to Secundaria
FORMULARIO DIVISIBILIDAD
Números Primos
Si N: N a α xbβ xc γ
Criterios:
Divisibilidad por 2n:
I)
Cantidad de Divisores:
Un número es divisible por 2n si termina en “n ceros” o si las ultimas “n” cifras forman un número por 2n.
DN (α 1) (β 1) ( γ 1) 140
II) Suma de Divisores: Divisibilidad por 5n: α1 1 a 1
Un número es divisible por 5n cuando el número termina en n ceros o si las ultimas n cifras forman un número divisible por 5n.
Divisibilidad por 3:
a S N
b β1 1 c γ 1 1 b 1 c 1
III) Producto de Divisores:
Un número es divisible por 3 cuando la suma de las cifras es un múltiplo de 3.
PN
DN (N) 2
Divisibilidad por 9: Es cuando el número al sumar sus cifras es un múltiplo de 9.
M.C.D y M.C.M
Divisibilidad por 6:
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.
2 números PESI tienen como M.C.M al producto de ellos. Si a 2 o mas números se le multiplica o divide por otro número su M.C.M quedara multiplicado o dividido por dicho número. El producto del M.C.D por el M.C.M de 2 números es igual al producto de ellos.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si se cumple con la siguiente regla:
MCD MCM A x B
K
Multiplicamos cada una de las cifras del mismo dado de derecha a izquierda por los siguientes factores: 1, 3; +2; -1; -3; -2; 1; 1; 3; 2;
(m.c.m) (pk ) ( qk ) m.c.m k (p q) m.c.m p xq m.c.d
Aritmética 4to Secundaria
Asuntos Comerciales:
Cuando hay ganancia en la Transacción Pv Pc Ganancia
Mezcla y Aleación:
Pv Pc GB
Precio Medio:
Cuando se Originan Gastos
P
P1C1 P2 C 2 ........ Pn Cn C1 C 2 ....... C n 141
GB GN Gastos Adicionale s
Mezcla Alcohólica:
Cuando Existen Perdida Pv Pc Perdida
Grado de una Mezcla Alcohólica:
Descuento Sucesivos: Grado
De = 100% - (100 – D1)% de (100 – D2)% De (100 – D3) % de…………. ……………… (100 – Dn) %
Valcohol 100% VTotal l
Aleación:
Ley de Aleación
Para 2 descuento: De = D1 + D2 – D1 de D2 LEY
Aumento Sucesivo:
Para 2 Aumentos:
Ley
PFINO PTOTAL
N Kilates 24
A = A1 + A2 + A1 de A2
Aritmética 4to Secundaria
MISCELÁNEA
142
Aritmética 4to Secundaria
01) Una señora lleva 300 naranjas al mercado y encuentra que el 20% esta malogrado y solo pudo vender el 70% de los buenos. ¿cuántos quedaron sin vender? Rpta.:
02) En cierto momento de una fiesta el 60% de los hombres están bailando y el 20% de las mujeres no bailan. Si en total fueran 350 personas. ¿Cuántos bailaron en ese momento? Rpta.:
03) De un conjunto de 800 personas; el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman? Rpta.:
04) Un tejido al lavarse se encoge en 2 por 15 de su longitud y el 5% de su ancho. Después de lavarse, ¿Qué porcentaje del área original es el área que ha quedado? Rpta.: 05) En una granja el 20% son patos; los 45% gallinas y el resto son pavos. Si el número de gallinas fuera el doble. ¿Qué porcentaje del total serán pavos? Rpta.:
06) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c ¿Qué parte de b es a? Rpta.:
07) ¿En cuanto aumentara “N3”?, si N aumenta en un 20% Rpta.:
08) El 50% de A es igual al 30% de B. ¿Qué tanto por ciento de “5ª + 7B” es A + B?
09) Si cada una de las dimensiones de un paralelepípedo aumentaran en 20%, 50% y 40%. ¿En cuanto aumentara su volumen? Rpta.:
10) Un artículo que costo S/. 2268 se vendió ganando el 30% del precio de venta ¿Cuánto gano? 143
Rpta.: 11) Un articulo costo S/. 1800; se vende perdiendo el 20% del precio de venta ¿Cuánto se perdió? Rpta.:
12) Se vende un articulo en S/. 550 ganando el 10% del costo más el 20% de la venta. Indique el precio de costo. Rpta.:
13) La venta de un articulo produce cierto gasto; se vende el articulo en S/. 330 en el cual se gana el 10% del costo; siendo además la ganancia neta S/. 20 ¿a cuantos soles ascendió el gasto? Rpta.:
14) Una persona compro a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo una utilidad neta de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro? Rpta.:
15) Para fijar el precio de venta de un articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%, ¿Qué tanto por cierto al costo se ha ganado? Rpta.:
Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
16) Se vendió un televisor ganado el 20% del precio de costo; pero si se hubiera vendido ganando el 20% del precio de venta, la ganancia habría sido S/. 12 más ¿En cuanto se vendió el televisor? Rpta.:
17) Un comerciante compra libros a S/. 32 cada una. Anuncia su venta a S/. ab de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes; resulte ganando 20% sobre el precio de venta. Determinar ab , dando como respuesta a + b. Rpta.:
18) El precio de un artículo se aumenta en tanto por ciento por 80 y luego se rebaja el mismo tanto por ciento por 40 y se tienen así el precio original. Hallar el descuento. Rpta.:
19) Se fija el precio de un articulo alimentando en K % de su precio de costo. Si luego se hace un descuento equivalente al 25% de su precio de costo y se observa que se gana el 20% de su precio de venta. ¿Cuál es el valor de k? Rpta.: 20) ¿Qué cantidad de agua hay que añadir a 3 litros de alcohol de 40° para que resulte la mezcla de 30°? Rpta.:
21) ¿Qué cantidad de vino de 30 A % el litro hay que añadir a 5 litros de vino de 60 A %. Para que la mezcla resulte de 40 %? Rpta.:
22) „¿Qué cantidades de café de S/. 50, S/. 40 y S/. 30 Kilo hará falta para obtener café que se pueda vender a S/. 35 Kilo sin ganar ni perder; si se quiere que en la mezcla entren 6 kilos de café de S/. 30 el kilo? Rpta.:
23) ¿Qué cantidades de café de 20 y 15 cts. La libra tengo que añadir a 6 lbs. De café de 40 cts. Para formar una mezcla que le pueda vender a 27 cts. La libra formando 5 cts. Por libra? Rpta.:
24) Un tabernero tiene 6 lts. de vino de 80 cts. Y quiere saber que cantidades de vino de 60, 50 y 40 cts. debe añadir a los 6 litros anteriores para formar una mezcla que pueda venderla a 78 cts. el litro ganando 8 cts. en cada litro. Rpta.: 25) ¿A como debo vender el litro de una mezcla de 30 lts de vino de 60 cts. y 20 lts. de agua para ganar 8 cts. por litro? Rpta.:
26) Para obtener alcohol de 60° ¿Qué cantidades serán necesarias de alcohol de 70° y de 30°? Rpta.:
27) ¿Qué cantidades de vino de 80 cts. y de agua serán necesarias obtener vino que vendido a 55 cts. el litro deje una utilidad de 10 cts. por litro? Rpta.:
28) Para obtener café de 40 cts. libras; ¿Qué cantidades serán necesarias de café de 65, 50, 45, 38 y 25 cts. la libra? Rpta.: 29) De los 600 litros de vino que contiene un barril, el 20% es vino de 50 cts.; el 8% vino de 60 cts.; el 23% vino de 70 cts. y el resto de vino $ 1el litro. ¿A como sale el litro de la mezcla? Rpta.:
30) Fundiendo 10 gramos de oro puro con 5 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación? Aritmética 4to Secundaria
144
Rpta.: Rpta.:
31) Una cadena de plata que pesa 200 gramos contiene 50 gramos de cobre ¿Cuál es la ley? Rpta.:
32) Un vaso de oro que pesa 900 gramos contiene 100 gramos de liga ¿Cuál es la ley?
39) Un objeto de oro pesa 1,6718 gramos y su ley es 0,900. Si el gramo de oro puro se paga a $ 1.15. ¿Cuánto vale ese objeto? Rpta.:
40) ¿Qué resto se obtiene 43165324893 entre 9? Rpta.:
al
dividir
41) Si 8 xyx5 y es divisible entre 88. dar x – y. Rpta.:
Rpta.:
33) Un arete de oro pesa 2 gramos y es de ley 0,900. ¿Cuánto pesa el oro que contiene?
42) Si se cumple: a7b92 208 , hallar el valor de “a x b” Rpta.:
Rpta.:
34) Un anillo de 14 kilates pesa 12 gramos ¿Cuánto pesa el oro que contiene? Rpta.:
43) Si x12 x71x 11 4 . Dar el valor de “x” Rpta.:
44) Si se sabe que:
abcd 9
35) Un vasito de oro de 16 kilates pesa 60 adarmes ¿Cual es su valor en monedad si el adarme de oro se paga en 6 bolívares? Rpta.:
cd ab 43
Hallar el valor de: 36) Un anillo de oro de 18 kilates pesa 12 gramos ¿Cuánto vale el oro del anillo pagándolo a 8 bolívares el gramo? Rpta.: 37) Una cadenita de oro de 0,50 de ley contiene 5 adarmes de oro puro. ¿Cuánto pesa la cadenita? Rpta.:
38) Un objeto de oro de 16 kilates contiene 120 gramos de oro puro ¿Cuántos gramos de liga tienen el objeto?
ab c d
Rpta.: 45) ¿Cuántos múltiplos de 30 hay en la siguiente serie? 24(24) 24(24 1) 24(24 2) 24(24 3) ......... .......
24(24 150)
Rpta.:
46) Luego de una clase se retiran 3 alumnos y de los que quedan 1/9 son mujeres y 1/11 Aritmética 4to Secundaria
145
usan lapiceros rojos. ¿cuántos alumnos habían al comienzo de la clase?
54) Una señora lleva 3000 naranjas al mercado y encuentra que el 20% esta malogrado y solo pudo vender el 70% de los buenos.
Rpta.: Rpta.: 47) A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños; mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailan? Rpta.:
55) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c ¿Qué parte de b es a? Rpta.:
146
48) Resolver: x N y y N 56) A un examen se presentan 32 alumnos se observa que los del profesor Saavedra aprobaran todos y que su número era exactamente el 5% del total de aprobados. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?(sabiendo que el 37, 5% de los alumnos que se presentaron desaprobaron)
24x + 37y = 2989
Dar la suma de los valores que toma “x”
Rpta.:
Rpta.:
49) Hallar a y b sabiendo que son enteros y positivos y: 126ª + 198b = 2214. Indique la menor diferencia entre a y b.
57) Si el lado de un cuadrado aumenta en un 10%. ¿En que porcentaje aumenta el área del cuadrado? Rpta.:
Rpta.:
58) Un refrigerador se realiza en 250,000 menos 2 descuentos sucesivos de 20 y 15 por ciento; entonces el precio de venta es:
50) ¿Cuál es el resto de dividir 52105 entre 72? Rpta.:
Rpta.: 51) ¿Qué resto se obtiene al dividir 196 70 entre 17? Rpta.: 52) Hallar el residuo que obtiene al dividir 146 entre 11?
99
Rpta.:
53) Que valor puede tomar “n” en 40n = 7° + 4. Rpta.:
59) Un comerciante obtiene 25 por ciento de ganancia sobre las ventas. Calcular el porcentaje de ganancia sobre los costos. Rpta.:
60) Un fabricante rebaja en un 5 por ciento el precio de su mercadería ¿En que porcentaje debería aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso aumente en un 10%? Aritmética 4to Secundaria
Rpta.:
61) En que porcentaje aumenta el área de un circulo cuando la longitud del radio se incrementa en el 20%? Rpta.:
62) Los descuentos sucesivos del 15% y 25% de una cantidad son equivalentes a un descuento único ¿Hallar dicho descuento único? Rpta.: 63) Dos descuentos sucesivos de 40% y 10% equivalen a un único descuento de: Rpta.:
64) Un artículo se ha vendido en 12,000 soles ganando el 20% del precio de costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo del artículo. Rpta.:
65) Si el número de artículos que se venden aumenta en el 20%; por que el precio disminuye en un 25%. ¿Cuál es el porcentaje de variación de los ingresos? Rpta.:
66) Un fabricante rebaja en un 5% el precio de su mercancía. ¿En que porcentaje deberá aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso bruto aumente en un 10%? Rpta.:
67) Una solución de 32 litros de ácido contiene 10 de ácido puro. ¿Cuántos litros de agua sabemos agregar a fin de que el ácido? Rpta.:
68) Un comerciante desea promocionar sus ventas ofreciendo un descuento del 20%; pero como en realidad no quiere rebajar el precio; deberá previamente subirlos. ¿En que porcentaje lo hará? Rpta.:
69) Se vende un objeto ganando el 10% del costo. Si se quisiera ganar 132 soles; habría que aumentarle el 10% del precio de venta. ¿Cuál es el costo del objeto? Rpta.:
70) Un comerciante vendió un reloj ganando el 60% del precio de venta. Si lo hubiese vendido ganando el 60% del costo hubiese perdido: 11, 340 soles. ¿Cuánto le costo el reloj? Rpta.:
71) Un importador de maquinaria para la construcción carga sobre su mercadería el 25% del costo. Si descuenta el 12% del importe de la factura a un comprador. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia efectiva? Rpta.:
72) Los 2/5 de una mercancía se venden con un 6% de perdidas; la mitad del resto con un 2% de ganancia. ¿Cuánto debe ganar en la venta del resto para ganar el 9% sobre el total de las mercancías? Rpta.:
73) Si a 4,852 soles se le aumenta el 5% y al resultado se le resta el 95% de el. ¿Cuánto queda? Rpta.:
74) Si el área de un círculo ha aumentado en 525%. ¿Diga cual ha sido el porcentaje de aumento para el radio? Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
147
75) La diferencia entre el 7/160 y el 44 por mil de una suma de dinero; viene a ser su: Rpta.:
76) Si el largo de un rectángulo aumenta en el 20%; en que porcentaje debe aumentar el ancho para que el se aumenta en 68%? Rpta.:
77) Si el largo de un rectángulo aumenta en un 30%; en que porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en el 9%? Rpta.:
82) Un fabricante encuentra el 0,4% de su producción es defectuosa y no pudo enviarse al mercado. ¿Cuántos articulo de cada 10,000 producidos serán rechazados? Rpta.:
83) Una señora va a comprar 3 mts. De tela cuyo precio por mt. Es de 30 soles. Si ella paga 192.00 soles por los 3 mts. ¿Qué porcentaje de descuento ha recibido? Rpta.:
84) En un tonel cuya capacidad es de 100 lts. se echan vinos diferente calidad, se vacían 40 litros de 0,60 soles el litro y 52 litros de 0,80 soles de litro; completando con agua el resto. ¿A que precio debe venderse el litro para ganar el 25% del costo? Rpta.:
78) La altura de un cilindro disminuye en su cuarta parte y el radio de su base aumenta en un quinto de su valor inicial. ¿En que porcentaje ha aumentado su volumen? Rpta.:
85) La relación de 2 números es de 3 es a 5, ¿Qué porcentaje del cuadrado del mayor es de cuadrado del menor? Rpta.:
79) La habilidad de 2 operarios es como 5 es a 8. Cuando el primero haya hecho 280 mts. De obra en 4 días. ¿Cuánto de obra hará el segundo en 10 días?
86) Una balanza mal graduada pesaba un bulto como 57Kg. cuando realmente pesaba 70Kg. ¿Cuántos Kg. pesara realmente un bulto que con dicha balanza dio 634 Kg?
Rpta.:
80) En un engranaje, el piñón mayor tiene 40dientes y el menor 25. Si el piñón mayor da 200 vueltas. ¿Cuántos da el menor?
Rpta.: 87) Un comerciante vendió un artículo ganando el 20% de P.C y con dicha ganancia compro otro artículo que lo vendió ganando el 25% de precio de venta. ¿En que relación se encuentran los precios de venta de los 2 artículos?
Rpta.: Rpta.: 81) Un banco tiene provisiones para alimentar a su tripulación de 400 hombres, durante 6 meses. ¿Cuánto tiempo durarían estas provisiones si el número de hombres fuese 1600? Rpta.:
88) Un comerciante compra cierta cantidad de manzanas pero se le malogra el 35% por lo que vende el resto a 419 soles el Kg. ganando el 17% del costo. ¿A cuanto compro el comerciante cada Kg. de manzana?
Aritmética 4to Secundaria
148
Rpta.:
89) En una granja el 20% del número de gallinas es igual al 30% del número de pavos. Si se retiran 150 gallinas el número de pavos será el 60% del total. Hallar el número de pavos.
Rpta.:
96) En una mezcla de 3 tipos de cocoa cuyos precios unitarios son S/. 9; S/. 10 y S/. 15 un precio medio de S/. 12; además del mas caro se utiliza 60Kg. ¿Cuántos Kilogramos tendrá la mezcla si el peso del primero es al peso del segundo como 2 es a 3?
Rpta.: 90) Si perdiera el 30% del dinero que tengo y ganara el 26% de lo que me quedaría; perdería 2,360 soles. ¿Cuánto tengo? Rpta.:
91) En un club juvenil el 25% del número de varones es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?
Rpta.: 149
97) Se han mezclado 15 litros de vino de S/. 9 el litro con 9 litros de S/. 12 el litro. Calcula la cantidad de agua que se debe añadir para que la nueva mezcla resulte de S/. 9 el litro. Rpta.:
Rpta.:
92) Si el área de un círculo disminuye en un 64%. ¿En porcentaje habrá disminuido su radio? Rpta.:
93) Si un articulo lo vendo haciendo un descuento del 20%; gano el 20% del precio de costo. ¿Qué porcentaje debo rebajar al precio de venta para ganar el 14% del precio de costo?
98) Se tiene en un recipiente alcohol pero se extrae la cuarta parte se remplaza con agua. Calcula el volumen de agua al final si el volumen constante es 30 litros. Rpta.: 99) Se tienen 2 mezclas alcohólicas de 60° y 80° de la primera se toma ¼ y se mezcla con 2/5 de la segunda obteniéndose alcohol de 76°. calcule la pureza de alcohol que resulta al mezclar los contenidos restantes. Rpta.:
Rpta.:
94) El precio de venta de un articulo; representa un 30% mas el precio de costo. Si al venderse el artículo se hace un descuento del 10% sobre el precio de venta. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia efectiva? Rpta.: 95) Se mezclan 2 clases de vinos S/. 5 y S7. 9 el litro obteniéndose una mezcla de 48 litros y cuyo precio por litro es de S/. 6. Calcule cuantos litros utilizo en la mezcla de cada ingrediente
100) Se tienen 2 recipientes de alcohol uno de 80° y el otro de 40°, si se toman 30 litros del precio y 50 litros del segundo se mezclan en un recipiente. ¿Cuántos litros de agua hay que agregar en ese recipiente pata obtener una mezcla de 50°? 101) Un recipiente de 100 litros de capacidad esta llena con alcohol de 80° ¿Cuántos litros de dichos recipientes hay que sacar para que al remplazarlo por agua se obtenga mezcla de 60°? Rpta.:
Aritmética 4to Secundaria
102) Se mezclan 3 ingredientes en la relación de: 2, 3 y 5 y cuyos precios por Kg., son: S/. 6; S/. 9 S/. 7 respectivamente, obteniéndose 100 Kg. de mezcla. ¿Cuál debe será el precio por kilogramos de mezcla? Rpta.:
103) A 25 litro de vino que se importa a S/. 7 el litro se añaden 5 litros de alcohol de S/. 25 el litro. ¿En cuanto debe venderse el litro se mezcla para ganar el 40% sobre el precio de costo?
Rpta.:
108) En un total se tiene 200 litros de alcohol puro y por un agujero se cae el 40% del contenido en cada hora; pero al final de cada hora se completa lo que se cae con agua. Calcular el grado de la mezcla al iniciar la tercera hora. Rpta.: 150
109) Un litro de alcohol de 60% tiene un peso de 940 gramos. Determinar el peso de un litro de alcohol al 48%
Rpta.: Rpta.: 104) Si 30 litro de una mezcla contiene 12 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una mezcla de 15°? Rpta.:
105) Se tiene 2 mezclas alcohólicas de 20° y 15° cuyo precio por litro son S7. 18 y S/. 13 respectivamente. Si al mezclarse se obtiene 19° de pureza. Calcule a como se debe vender cada litro para ganar el 50% de costo.
110) Se tiene 2 calidades de arroz 30Kg. y 20Kg. respectivamente. ¿Cuántos KG. se deben intercambiar para tener arroz de un solo precio en ambas partes? Rpta.: 111) Un comerciante tiene 120 Kg. de café crudo de S/. 1,80 el Kg. y 240 Kg. de café crudo de S/. 2,10 el Kg. Si se desea vender café tostado ganado el 30% ¿A que precio deberá vender cada Kg. sabiendo que el café al tostarse pierde 1/3 de su peso? Rpta.:
Rpta.:
106) Al mezclar 10Lt. De 60° con 20 Lt. De 30° de pureza si el costo de la mezcla es de S/: 80 el litro. Se desea saber cuanto costara cada litro si se mezclan cantidades iguales a 60° y 30° (considere S/. 0 el costo del agua) Rpta.: 107) Se tienen 2 tipos de vino de diferentes calidades cuyos volúmenes se diferencian en 15 litros se observa que luego de intercambiar 18 litros; los recipientes contienen la misma cantidad de vino. Determinar el menor volumen de un recipiente al inicio.
112) Se mezcla el alcohol de 40°, 30° y 20° deseándose obtener alcohol de 20° sea la quinta parte que el de 40°. ¿Cuántos litros de alcohol de 30°, entrarán en la mezcla; si esta tiene un volumen total de 8 litros? Rpta.: 113) Se mezclan 3 tipos de café en la relación de 5, 3 y 7 cuyos precios por Kg. son: S/. 8, S/. 6 y S/. 10 respectivamente, obteniéndose finalmente 150 Kg. de café. ¿A cuanto se debe vender el Kg. si se desea ganar el 20%? Rpta.:
114) Se mezclan arroz de S/. 2,5 con arroz en S/. 3,5 el Kg. obteniéndose 100 Kg. de arroz de S/. 2,8 el Kg. ¿Cuántos Kg. del Aritmética 4to Secundaria
mas caro hubiese que agregar a la mezcla para que su nuevo costo sea S/. 3,3 el Kg? Rpta.: 115) El precio de costo por Kg. de café es S/. 3,16 siendo este el resultado de mezclar 2 tipos de café de S/. 5 y S/. 3 el Kg. y de haber obtenido 100 Kg. ¿Cuántos Kg. del mas caro hay en la mezcla? Rpta.:
116) Se mezclan 10 litros del alcohol de 90° con 50 litros de alcohol de 60°. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a la mezcla para obtener alcohol de 40°? Rpta.:
117) Se tiene alcohol de 98°, 38° y 28° y se requiere formar 140L. de alcohol de 38° si se sabe que se utilizo 8 litros mas de alcohol 38° que de 28°; halle cuantos litros de alcohol de 48° se utilizaron? Rpta.:
Rpta.:
121) Una persona lleva 200 naranjas la numerado y encuentran que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin venderse? Rpta.:
122) Un comerciante vende un articulo ganando el 20% de su costo; calcule cuanto gano si lo vendió a S/. 480. Rpta.:
123) Alejandro compra un libro; por el cual le hicieron una rebaja del 30% se dejo de pagar 330.Calcule cual era el precio inicial del libro. Rpta.:
124) De un conjunto de 400 personas el 70% son hombres el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 75% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas? Rpta.:
118) En un recipiente de 60 litros de 40° de pureza se extrae 35 litros de alcohol de dicho mezcla, pero es reemplazado con agua. Determine en cuanto vario el volumen de agua. Rpta.:
125) Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? Rpta.:
119) Se ha mezclado 440 litros de vino de S/. 60 el litro, con 148 litros de vino de S/. 40. el litro y para que resulte uno de S/. 40 el litro se le agrega agua. Indique la cantidad de agua que se debe añadir.
126) Un comerciante compro cuadernos a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio neto de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro? Rpta.:
Rpta.:
120) Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N.
127) En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de artículo para fijar su precio al público; de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo. Aritmética 4to Secundaria
151
Rpta.:
128) En un centro comercial los artículos se están ofertando con un descuento del 30% + 30% por lo cual una persona compro dos artículos en S/. 102 además sus precios iniciales se diferencian en 100. ¿Calcule el precio inicial de cada artículo? Rpta.:
129) Dar la suma de los valores enteros positivos de x que verifican: 4x + 7y = 59; x e y +z
136) Que valor pudo tomar n: 40n = 7° + 4 Rpta.:
137) En una reunión de 20 hombres y 30 mujeres hay 10 parejas de esposos; calcular: 152
a)
¿Qué tanto por ciento son los hombres? Rpta.:
b)
¿Qué tanto por ciento de las mujeres son casadas? Rpta.:
c)
¿Qué tanto por ciento de los casados son las mujeres? Rpta.:
d)
De los solteros que tanto por ciento son mujeres. Rpta.:
Rpta.:
130) Cuantos soluciones tiene: 5a + 9b = 102 Si a y b +Z Rpta.:
131) Dar el resto de dividir 237 entre 7. Rpta.:
132) Dar el resto de dividir 6438 entre 13: Rpta.:
133) Cristian piensa ahorra cada día S/. 150, pero cada mañana se encuentra con Ana y gasta S/. 129. Si no es Ana es Betty con quien gasta S/. 73, de esta manera. ¿En cuantos días como máximo José ahorrar S/ 1456? Rpta.: 134) ¿Qué resto existe en dividir? 196 17?
138) En una conferencia donde asistieron: peruanos; bolivianos; ecuatorianos; se sabe que 60%; 50% y 20% respectivamente de ellos son varones, si el número de mujeres que asistieron son iguales: calcule cuantas personas asistieron si es el menor número de 3 cifras. Rpta.:
70
entre
Rpta.:
135) ¿Qué residuo hay en dividir 176 99 entre 11?
139) Al calcular el a 2 por b del 3 por 5 del b por 1 c del c%, de N resulta el 3 por de N. a Calcule “a”. Rpta.:
Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
140) Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N. Rpta.:
147) Para vender un articulo se descontó en un 25%, aun así se gana el 20%. Calcule el precio de venta si la diferencia del precio fijado y precio de costo es S/. 12. Rpta.:
141) Una persona lleva 2000 naranjas al mercado y encuentran que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin venderse?
148) Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?
Rpta.: Rpta.: 142) Un comerciante vende un artículo ganando el 20% de su costo. Calcule cuanto gano si lo vendió a S/. 480. Rpta.:
143) Alberto compra un libro, por el cual le hicieron una rebaja del 30% si dejo de pagar 330. Calcule cual era el precio inicial del libro. Rpta.:
144) De un conjunto de 400 personas, el 70% son hombres, el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 75% de las mujeres fuman. ¿Cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas? Rpta.:
145) Cecilia compra una blusa y un pantalón; en la blusa el comerciante realiza 2 aumento sucesivos del 10% y 20% de su precio inicial; pero en el pantalón realiza 3 descuentos sucesivos del 20%; 10% y 40% ella observa al momento de pagar, los precio eran iguales. ¿Calcule el precio inicial de cada articulo si ambos sumaban S/. 73? Rpta.:
146) En un centro comercial los artículos se están ofertando con un descuento del 30% + 30%; por lo cual una persona compra dos artículos en S/. 102 además sus precios iniciales se diferencian en 100. Calcule el precio inicial de cada artículo. Rpta.:
149) Un comerciante compro cuadernos a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio neto de S/. 51. Si la venta le ocasiono un gasto del 15% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuántos cuadernos compro? Rpta.: 150) En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de un artículo para fijar su precio al público; de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aun se gane el 60% del costo. Rpta.:
151) Se mezcla 2 clases de vinos de S/. 5 y S/. 9 el litro obteniéndose una mezcla de 48l y cuyo precio por litro es de S/. 6. Calcule cuantos litros intervino en la mezcla de cada ingrediente. Rpta.:
152) En una mezcla de 3 tipos de coca cuyos precios unitarios son: S/. 9 ; S/. 10 y S/. 15 se obtiene un precio medio de S/. 12; además del mas caro se utiliza 3 a 60kg. ¿Cuántos kilogramos tendrá la mezcla si el peso del primero es al peso del segundo como 2 es a 3? Rpta.: Aritmética 4to Secundaria
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